Curso Probabilidad y Estadistica Universidad

8/19/2019 Curso Probabilidad y Estadistica Universidad

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1.1 Defnición de estadística y conceptos básicos

Estadística descriptiva

Conjunto de técnicas y métodos que son usados para recolectar,organizar y representar en forma de tablas y grá cas informaciónnumérica. También se incluyen aqu el cálculo de medidas estad sticasde centralidad y !ariabilidad.

Teoría de decisión

"a teor a de la decisión es una área interdisciplinaria de estudio,relacionada con casi todos los participantes en ramas de la ciencia,ingenier a principalmente la psicolog a del consumidor #basados enperspecti!as cogniti!o$conductuales%.

Población

&na población es el conjunto de todos los elementos a los quese somete a un estudio estad stico .

Muestra aleatoria:

&na muestra es un conjunto representati!o de la población dereferencia, el n'mero de indi!iduos de una muestra es menorque el de la población.

() (oblación *)*uestra

Parámetros

Es la cantidad numérica calculada sobre la población.

[Escriba el nombre de la compañía]

UN D!D 1:

"#T!D$#T %!


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1.( Datos no a)rupadosMedidas de Tendencia %entral

E+isten tres medidas comunes para identi car el centro de un conjuntode dato. En cada caso, se ubican alrededor del punto en donde seaglomeran los datos.

• Media*edida de tendencia central usualmente llamada promedio, sede ne como la di!isión de la suma de todos los !alores entre eln'mero de datos.

• MedianaEs el !alor que al organizar los datos en orden ascendente odescendente a la mitad o centro de los mismos. "a posición queocupa la mediana puede ser determinada mediante la siguientefórmula

*ediana ) * +,n-( /1-(0*edia -, , /, , 0, 1, 1

*edia -, , /, 2 3, 1, 2, 2.Es) #340%5 ) .

6ados los siguientes 1 datos ordenados en orden ascendente3, 1, 1, --, --, --, -/, -0.

&tilizando la fórmula para ubicar la posición del dato querepresenta la mediana indica que

*ediana ) #15 %4-5 ) /.3



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(or lo que la mediana está ubicada entre el dato / y 37 el !alor deldato / es 8--9 y del dato 3 es 8--9, por lo que al sacar elpromedio, da que la mediana de la muestra estudiada es 11 .

• ModaEs el dato que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto deelementos estudiados.6el ejemplo anterior donde los datos recopilados son

2 42 42 112 112 112 152 13El dato que ocurre con mayor frecuencia es el !alor --, siendoeste !alor la moda.

• Media ponderadaEs una media aritmética, en la cual se considera a cada uno de los!alores de acuerdo con su importancia en el grupo.*ediana (onderada

En donde X 6 :bser!ación indi!idualQ6 el peso o ponderación asignada a cada obser!ación

Cuando la muestra que se ;a tomado de la población o procesoque se desea analizar, es menor de


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Cur!a >

Cur!a ? Cur!a C

3 podemos apreciar el signi cado gra co de las medidas de tendenciacentral.

@ig. 3. Comparación de la localización central de lastres cur!as

Medidas de dispersión o de variabilidad

"as medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan delcentro los !alores de la distribución.

• Rango: El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de losdatos de una distribución estad stica.

Dato Mayor 7 dato menor• Desviación media: "a des!iación respecto a la media es la

diferencia entre cada !alor de la !ariable estad stica y la mediaaritmética .

• Varianza o desviación cuadrática media "a !arianza es lamedia aritmética del cuadrado de las des!iaciones respecto a la

media de una distribución estad stica.

• Desviación estándar o típica: "a des!iación t pica informasobre la dispersión de los datos respecto al !alor de la media7cuanto mayor sea su !alor, más dispersos estarán los datos.



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Medidas de posición

"as medidas de posición di!iden un conjunto de datos en grupos con elmismo n'mero de indi!iduos.(ara calcular las medidas de posición es necesario que los datos esténordenados de menor a mayor.

"as medidas de posición son

Cuartiles

"os cuartiles son los tres !alores de la !ariable que di!iden a un conjuntode datos ordenados en cuatro partes iguales.

8 12 8 ( y 8 9 determinan los !alores correspondientes al ( 2 al ; yal < de los datos .

8 ( coincide con la mediana .

%álculo de los cuartiles-% =rdenamos los datos de menor a mayor .

% ?uscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la e+presión.

Número impar de datos

, 3,


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, 3,


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Mediana: "a mediana se encuentra en el inter!alo donde la frecuencia

acumulada llega ;asta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el inter!alo en el que se encuentre B5 .

? i es el l mite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N-( es la semisuma de las frecuencias absolutas.

@i71 es la Arecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a i es la amplitud de la clase.

"a mediana es independiente de las amplitudes de los inter!alos .

Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estad stica que !ienedada por la siguiente tabla



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-==5 )3=

Clase modal F00,02%

Moda

? i es el l mite inferior de la clase modal.

A i es la frecuencia absoluta de la clase modal.

A i771 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.A i7/1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

a i es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra Aórmula de la moda que da un valoraproBimado de ésta

EjemploCalcular la moda de una distribución estad stica que !iene dada por lasiguiente tabla



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@i71 ) es la Arecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a i ) es la amplitud de la clase.

Ejercicio de cuartilesCalcular los cuartiles de la distribución de la tabla

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Deciles

"os deciles son los nue!e !alores que di!iden la serie de datos en diezpartes iguales.



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"os deciles dan los !alores correspondientes al -=G, al =G... y al 2=Gde los datos.

D coincide con la mediana .

%álculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra en latabla de las frecuencias acumuladas.

? i) es el l mite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N) es la suma de las frecuencias absolutas.@i716 es la Arecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a i )es la amplitud de la clase.

Ejercicio de decilesCalcular los deciles de la distribución de la tabla



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Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil

Cálculo del cuarto decil

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil

(ercentiles

"os percentiles son los 22 !alores que di!iden la serie de datos en -==partes iguales.

"os percentiles dan los !alores correspondientes al -G, al G... y al 22Gde los datos.



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P ; coincide con la mediana .

%álculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en

la tabla de las frecuencias acumuladas.

? i6 es el l mite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

B) es la suma de las frecuencias absolutas.

@i71 )es la Arecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a i6 es la amplitud de la clase.

Ejercicio de percentilesCalcular el percentil 9 y 3; de la distribución de la tabla

Percentil !

(ercentil 0=



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">ercicios a resolver:

-. "os datos siguientes corresponden a los tiempos de reacción deuna muestra de


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E!ento que consiste en los elementos que están en > y en ?

• Complementoo también

E!ento que consiste en los elementos que B: están en >.

• 6iferencia

E!ento que consiste en los elementos que están en ? y B: en >

• Conjuntos mutuamente e+cluyentes.> y ? son mutuamente e+cluyentes si no tienen ning'n elementoen com'n.

TEcnicas de conteo



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• !ermutación Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa ellugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyendic;o arreglo.

6

6onde

n6 n'mero total de objetosr6 n'mero de objetos seleccionadosF6 factorial, producto de los n'meros naturales entre - y n.

">emplo:

-% JCuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si sedesea que consten de (residente, Decretario, Tesorero, (rimerPocal y Degundo PocalK, s esta representación puede ser formadade entre 3 miembros del sindicato de una peque a empresa.

"olución:

n ) 3, r ) 33( 3 " 3Q5 # 3 R3%Q ) 3Q 5 =Q

) # 3 + / + < + + - +....+ -% 5 # = + -2 + -1 + ... + -%) 0,


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Com#inación: Es todo arreglo de elementos en donde nonos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de loselementos que constituyen dic;o arreglo.

Donde:n$ Total de objetosr$ @orma de agrupar

Ejemplo:

-% (ara contestar un e+amen un alumno debe contestar 2 de -

preguntas, JCuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 2

preguntasK

#olución:

n 6 1(2 r 6 G

1( %G 6 1(F - ,1( H G FGF 6 1(F - 9FGF 6 1( B 11 B 1; - 9F 6 ((;

maneras de seleccionar las nue!e preguntas o dic;o de otra

manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de = grupos de

2 preguntas para contestar el e+amen

% &na se ora desea in!itar a cenar a 3 de -- amigos que tiene, a.

JCuántas maneras tiene de in!itarlosKn 6 112 r 6

11 % 6 11F - ,11 H F F 6 11F - 3F F 6 11 B 1; B G B 4 B < B 3F -

3F F 6 53( maneras de invitarlos



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Es decir que se pueden formar /0 grupos de cinco personas para

ser in!itadas a cenar.

. TE:IS> E"E*EBT>" 6E "> (I:?>?O"O6>6 6E EPEBT:DProbabilidad: se entiende por probabilidad como aquella posibilidadque ;ay entre di!ersas posibilidades de que un determinado ;ec;osuceda. Es decir que es aquello que puede suceder o pasar .

"spacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados deuna e+periencia aleatoria, lo representaremos por " #o bien por la letragriega I %

"vento: Iesultado particular que puede ser simple o compuesto conrespecto al espacio muestral.

>+iomas y teoremas

!* =M!#"os aBiomas de probabilidad son las condiciones m nimas que deben!eri carse para que una función de nida sobre un conjunto de sucesosdetermine consistentemente sus probabilidades. @ueron formulados por

olmogóro! en -2


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Ejemplo "a probabilidad de sacar un n'mero del - al 0 en un dado

equilibrado es U-U.

y ? son e!entos mutuamente e+cluyentes, entonces la p#> ∪ ?%

) p#>% 4 p#?%

Teoremas

T"=&"M! 1. DiA es un e!ento nulo o !ac o, entonces la probabilidad de

que ocurra A debe ser cero.

p,A 6;

D"M=#T&!% JN:

Di sumamos a A un e!ento ! cualquiera, como A y ! son dos e!entos

mutuamente e+cluyentes, entonces p #>fV%)p#>% 4p#f%)p#>%. "LL6

T"=&"M! ( . "a probabilidad del complemento de >, > c debe ser,

p#>c%) - R p#>%

D"M=#T&!% JN: Di el espacio muestral d, se di!ide en dos e!entos

mutuamente e+clusi!os, > y > c luego d)>V> c, por tanto p#d%)p#>% 4



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p#>c% y como en el a+ioma dos se a rma que p#d%)-, por tanto, p#> c%) -

$ p#>% ."LL6

T"=&"M! 9. Di un e!ento > W ?, entonces la p#>% ≤ X p#?%.

D"M=#T&!% JN:

Di separamos el e!ento ? en dos e!entos mutuamente e+cluyentes, > y

? Y > #? menos >%, por tanto, ?)>V#? Y >% y p#?%)p#>% 4p#? Y >%, luego

entonces si p#? Y >%%Xp#?%. "LL6

T"=&"M! 5. "a p# > Y ? %) p#>% R p#>Z?%

D"M=#T&!% JN: Di > y ? son dos e!entos cualquiera, entonces el

e!ento > se puede separar en dos e!entos mutuamente e+cluyentes,

#> Y ?% y >Z?, por tanto, >)#> Y ?%V#>Z?%, luego p#>%)p#> Y ?% 4 p#>Z?%,

entonces, p#> Y ?% ) p#>% R p#>Z?%. "LL6

T"=&"M! . (ara dos e!entos > y ?, p#>V?%)p#>% 4 p#?% R p#>Z?%.



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D"M=#T&!% JN: Di >∪ ? ) #> Y ?% V ?, donde #> Y ?% y ? son e!entos

mutuamente e+cluyentes, por lo que p#> V ?% ) p#> Y ?% 4 p#?% y del

teorema anterior tomamos que p#> Y ?% ) p#>% R p#>Z?%, por tanto, p#> V

?% ) p#>% 4 p#?% R p#>Z?%. "LL6

&e)las de adición:

Esta regla e+presa la probabilidad de que ocurran dos o mássucesos a la !ez, P # $ % &'(

(uede presentarse de dos formas

Para con>untos con ntersección:

Esto se debe a que sumamos la probabilidad de > más laprobabilidad de ? , pero como ya ;ab amos sumado la intersección,entonces la restamos.

Para con>untos con Mutuamente eBcluyentes :

En este caso, no ;ay ning'n problema en sumar ambasprobabilidades.

">emplo1: De lanza un dado gana [


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Dea ? ) resultado di!isible por < ? ) M mbos sucesostienen intersección K

"uego,

">emplo ( : De tiene una baraja de cartas # 3 cartas sin joc\ers%,J Cuál es la probabilidad de sacar una Ieina ó un >s K

Dea > ) sacar una reina y sea ? ) sacar un as, entonces

N=T!: #i observas esta re)la2 puedes notar Kue se relacionaAuertemente con la Unión entre con>untos ,ó y es una suma.

&e)las de multiplicación

Cuando se presentan dos e!entos el resultado del primero puede tenerun efecto en el resultado de o puede no tenerlo. Esto es, que lose!entos pueden ser dependientes o independientes. E+isten dos tipos deprobabilidades que se presentan bajo independencia estad stica.

-.$ Iegla especial de la multiplicaciónP ,! ∩ L 6 P,! P ,L E!entos independientes

.$Iegla general de la multiplicaciónP ,! L 6 P,! P ,LO! E!ento dependiente

Probabilidad condicional


http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/Glosario.htm#Sumadeprobabilidadeshttp://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/paginas/Glosario.htm#Sumadeprobabilidades


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Es la probabilidad de obtener un suceso, dado que ya ocurrióotro. Es decir, si tenemos los sucesos > y ? que pertenecen aun mismo espacio muestral #2 y si la ( #>% es diferente de cero,entonces esta probabilidad que esta designada por

">emplo:

"a probabilidad de que una persona tenga una cuenta dea;orros es de =,03 y la probabilidad de que in!ierta en un C6Ty a;orre en una cuenta de a;orros es de =, i dado ?, para cualquier i, es


;ttp 55]]].uniquindio.edu.co5uniquindio5ntic5trabajos505grupo


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>plicando en el numerador la Iegla de *ultiplicación P,! i∩L 6 P,! iP,L ! i y en el denominador el Teorema de (robabilidad Total P,L 6P,! 1 P,L ! 1 / P,! ( P,L ! ( / . . . / P,! n P,L ! n 2obtenemosla ecuación que representa al

">emplo 9. 11. Ieferente al problema de la fábrica que produce dostipos de reguladores > y ? !isto anteriormente en la aparte correspondeal Teorema de (robabilidad Total, cabe ;acer el siguiente análisis si seselecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se !eque funciona bien JCuál es la probabilidad de que sea del tipo ?K

-oluci.n

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionanbien, por lo que ese e!ento act'a como espacio muestral reducido, o seacomo e!ento condición. (or lo tanto, el planteamiento de la pregunta es(#? ^ @%.

"os datos que se tienen son

(#>% ) =.A3(#@ ^ >% ) =.23

(#?% ) =. 3(#@ ^ ?% ) =.21

6e acuerdo al Teorema de ?ayes

(odemos obser!ar que el denominador corresponde al resultado

obtenido al aplicar el Teorema de (robabilidad Total, lo cual debe ser as ,

ya que la probabilidad condicional establece que . 6eesta forma podemos !er que la (robabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de ?ayes. Tambiénpodemos obser!ar que aplicando los conceptos de la Iegla de



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*ultiplicación y del Teorema de (robabilidad Total llegamos alplanteamiento del teorema de ?ayes, Peamos

">emplo 9. 1(. &na fábrica que produce material para la construccióntiene < máquinas, a las que se les denomina >, ? y C. "a máquina >produce tabique, la ? adoqu n y la C losetas. "a máquina > produce el3=G de la producción total de la fábrica, la ? el emplo 9. 19. > un congreso asisten -== personas, de las cuales 03son ;ombres y


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azar a un especialista en computación JCuál es la probabilidad de quesea mujerK

-oluci.n

6e namos los e!entosQ: Dea un ;ombre

M: Dea una mujer

": "a persona sea especialista en computación

Tenemos que

(or lo tanto

'ariable aleatoria discreta

Es aquella que sólo puede tomar !alores enteros.


UN D!D 9:

'ariables aleatorias


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Ejemplos

• El n'mero de ;ijos de una familia• "a puntuación obtenida al lanzar un dado.

'alor esperado

∈ x= μ=∑

i= 1

n

χi∗f ( χi)

'arianCa

σ χ 2 = ∑

i= 1

n

χ i2∗f ( χi)− μ2

Desviación "stándar

σ χ = √ Var . ( χ )= √ 1

Distribución binomial

"a distribución binomial es t pica de las !ariables que procedende un e+perimento que cumple las siguientes condiciones

-% El e+perimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo nun n'mero natural jo.

% Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedadesde la !ariable binómica o de ?ernouilli, es decir, sólo e+isten dosposibles resultados, mutuamente e+cluyentes, que se denominangeneralmente como é+ito y fracaso.


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n es el n'mero de pruebas.

R es el n'mero de é+itos.

p es la probabilidad de é+ito.

K es la probabilidad de fracaso

(ropiedades de la distribución binomial

Media 6 ` )

'arianCa )

Desviación estándar )">emplo:

"a 'ltima no!ela de un autor ;a tenido un gran é+ito, ;asta el punto deque el 1=G de los lectores ya la ;an le do. &n grupo de / amigos sona cionados a la lectura

-JCuál es la probabilidad de que el grupo ;ayan le do la no!ela personasK

n ) /

p ) =.1

q ) =.

?#/, =.1%

J cómo má+imo K



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(ara ejercicios ;ttp 55]]].!itutor.com5pro5


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Vamos a tratar de explicarlo:

N: es el número total de bolas en la urna

N1: es el número total de bolas blancas

N2: es el número total de bolas negras

k : es el número de bolas blancas cuya probabilidad se está calculando

n : es el número de ensayos que se realiza

Veamos un ejemplo : en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas !uál esla probabilidad de que " sean blancas#

$ntonces:

% & '() % ' & 7) %( & 5) * & ") n & 4

Si aplicamos el modelo:

+or lo tanto, + -x & " & /,"5"5. $s decir, la probabilidad de sacar " bolas blancas es del"5,"0.



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Ejemplo : en una 1iesta hay (/ personas: '4 casadas y 2 solteras. Se eligen " personas alazar !uál es la probabilidad de que las " sean solteras#

(or lo tanto, ( #+ )


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/edia $ λ

0arian1a #2' $ λ

+esv( Est(" √ λ

Distri#ución &eom trica

Distri#ución 'ni(orme

'ariable aleatoria continua

Es aquella que puede tomar todos los !alores posibles dentro de uncierto inter!alo de la recta real.

Ejemplos

• "a altura de los alumnos de una clase• "as ;oras de duración de una pila.

Distri#ución 'ni(orme

3a distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier alor dentro de uninter alo, todos ellos con la misma probabilidad.


Unida

d 5:'ariables

!leatorias%ontinuas


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$s una distribución continua porque puede tomar cualquier alor y no únicamente unnúmero determinado -como ocurre en las distribuciones discretas .

Ejemplo : el precio medio del litro de gasolina durante el pr ximo a6o se estima que puedeoscilar entre '4/ y '2/ ptas. +odr a ser, por tanto, de '4" ptas., o de '4",4 ptas., o de'4",45 ptas., o de '4",455 ptas, etc. 8ay in1initas posibilidades, todas ellas con la misma

probabilidad.

Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del inter alo, iene de1inida por:

9onde:

b : es el extremo superior -en el e emplo, '2/ ptas.

a : es el extremo in1erior -en el e emplo, '4/ ptas.

+or lo tanto, la 1unci n de distribuci n del ejemplo ser a:

$s decir, que el alor 1inal est; entre '4/ ptas. y '4' ptas. tiene un 50 de probabilidad, queest; entre '4' y '4(, otro 50, etc.

$l alor medio de esta distribuci n se calcula:

En el ejemplo

+or lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el pr ximo a6o es de '5/ ptas.

Veamos otro ejemplo :

$l olumen de precipitaciones estimado para el pr ximo a6o en la ciudad de Se illa a aoscilar entre 4// y 5// litros por metro cuadrado. !alcular la 1unci n de distribuci n y la

precipitaci n media esperada:



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$s decir, que el olumen de precipitaciones est; entre 4// y 4/' litros tiene un '0 de probabilidades) que est; entre 4/' y 4/( litros, otro '0, etc.

$l alor medio esperado es:

Es decir, la precipitación media estimada en De!illa para el pró+imo a o es de/3= litros.

Distri#ución )ormal

"a distribución normal fue de nida por 6e *oi!re en -A


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Ejemplo: el salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según unadistribuci n normal, con media 5 millones de ptas. y des iaci n t pica ' mill n de ptas.!alcular el porcenta e de empleados con un sueldo in1erior a 7 millones de ptas.

3o primero que haremos es trans1ormar esa distribuci n en una normal tipi1icada, para ellose crea una nue a ariable -< que será igual a la anterior -= menos su media y di idida

por la des iaci n t pica

$n el e emplo, la nue a ariable ser a:

$sta nue a ariable se distribuye como una normal tipi1icada. 3a ariable < quecorresponde a una ariable = de alor 7 es:

77(5

+or lo tanto, el porcenta e de empleados con salarios in1eriores a 7 millones de ptas. es del>7,7(50

Ejercicio 2º: 3a ida media de los habitantes de un pa s es de 2? a6os, con una arianza de(5. Se hace un estudio en una peque6a ciudad de '/./// habitantes:

a !uántas personas superarán pre isiblemente los 75 a6os#

b !uántos i irán menos de 2/ a6os#

a) Personas que vivir n !previsiblemente) m s de "# a$os

!alculamos el alor de la normal tipi1icada equi alente a 75 a6os

+or lo tanto



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Problemas propuestos sobre unidad .:

http:CCDDD.itch.edu.mxCacademicCindustrialCsabaticoritaCEpri ateC/>+ro blemas0(/propuestosFV.htm

Problemas Propuestos.

-. "n una cierta área de la ciudad se da como una raCón del <de los robos la necesidad de dinero para comprarestupeAacientes. "ncuentre la probabilidad Kue dentro de los próBimos asaltos reportados en esa área

a eBactamente ( se debieran a la necesidad de dinero paracomprar dro)as

b cuando mucSo 9 se debieran a la misma raCón arribaindicada.

r. a ;.;4


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a los 5 estEn contaminados por la mosca del mediterráneo

b cualKuier cantidad entre 1 y 9 estE contaminada.

r. a 13-41

b 35-31

9. De acuerdo con una investi)ación llevada a cabo por la!dministrative Mana)ement #ociety2 1-9 de las compa ías en"stados Unidos le dan a sus empleados cuatro semanas devacaciones despuEs de 1 a os de servicio. "ncuentre laprobabilidad de Kue 3 de las compa ías investi)adas al aCar2 elnVmero Kue les dan a sus empleados cuatro semanas devacaciones despuEs de 1 a os de servicio es

a cualKuier cantidad entre ( y

b menos de 9.

r. a ;.35<

b ;.34;

5.

De acuerdo con un estudio publicado por un )rupo desociólo)os de la Universidad de MassacSussets2aproBimadamente 3; de los adictos al 'alium en el estado deMassacSussets2 lo tomaron por primera veC debido a problemaspsicoló)icos. "ncuentre la probabilidad de Kue los si)uientes 4adictos entrevistados

a eBactamente 9 Sayan comenCado a usarlo debido aproblemas psicoló)icos.

b al menos de ellos comenCaran a tomarlo por problemasKue no Aueron psicoló)icos.

r. a ;.1(9G

b ;. G51



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. !l probar una cierta clase de neumático para camión en unterreno escabroso se encontró Kue ( de los camionesterminaban la prueba con los neumáticos da ados. De lossi)uientes 1 camiones probados encuentre la probabilidad deKue

a de 9 a 3 ten)an poncSaduras

b menos de 5 ten)an poncSaduras

c más de ten)an poncSaduras

r. a ;.


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probabilidad de Kue eBactamente de los próBimos < pacientesKue se sometan a esta intervención sobrevivanX

r. ;.1(5;

4. Un in)eniero de control de tráfco reporta Kue el < de los

veSículos Kue pasan por un punto de verifcación tienenmatrículas del estado. W%uál es la probabilidad de Kue más de <de los si)uientes G veSículos no sean del estadoX

r. ;.4959

G. Una investi)ación de los residentes de una ciudad de "stadosUnidos mostró Kue (; preAerían un telEAono blanco Kue decualKuier otro color disponible. W%uál es la probabilidad de Kuemás de la mitad de los si)uientes (; telEAonos Kue se instalenen esta ciudad sean de color blancoX

r. ;.;;;3

1;. #e sabe Kue el 5; de los ratones inyectados con un sueroKuedan prote)idos contra una cierta enAermedad. #i ratonesson inyectados2 encuentre la probabilidad de Kue

a nin)uno contrai)a la enAermedad

b menos de ( la contrai)an

c más de 9 la contrai)an

r. a ;.;


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11. #upon)a Kue los motores de un aeroplano operan en Aormaindependiente y de Kue Aallan con una probabilidad de ;.5.#uponiendo Kue uno de estos arteAactos realiCa un vuelo se)uroen tanto se manten)a Auncionando cuando menos la mitad desus motores2 determine KuE aeroplano2 uno de los 5 motores o

uno de (2 tiene mayor probabilidad de terminar su vueloeBitosamente.

r. ;.4(;4 y ;.45;;YYY

(7 plano delmotor

1(. "ncuentre la media y la varianCa de la variable aleatoriabinomial del problema propuesto os2 ( ne)ros y 1 blanco.

r. (1-( 3

1 . ?as probabilidades son de ;.52 ;.(2 ;.9 y ;.12 respectivamente2de Kue un dele)ado lle)ue por aire a cierta convención2 lle)ueen autobVs2 9en automóvil o en tren. W%uál es la probabilidadde Kue entre G dele)ados seleccionados aleatoriamente en esta



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convención2 9 Sayan lle)ado por aire2 9 en autobVs2 1 enautomóvil y ( en tren.

r. ;.;;


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(;. Un científco inocula varios ratones2 uno a la veC2 con un)ermen de una enAermedad Sasta Kue obtiene ( Kue la Sancontraído. #i la probabilidad de contraer la enAermedad es 1-3.Wcuál es la probabilidad de Kue se reKuieran 4 ratonesX

r. ;.;3 1(1. #upon)a Kue la probabilidad de Kue una persona determinada

crea una Sistoria acerca de los atentados a una Aamosa actriC esde ;.4. W%uál es la probabilidad de Kue

a la seBta persona Kue escucSa tal Sistoria sea la cuartaKue la creaX

b ?a tercera persona Kue escucSa tal Sistoria sea laprimera en creerlaX

r. a ;.1394

b ;.;9(

((. Tres personas lanCan una moneda y la Kue sal)a dispare>a pa)alos caAEs. #i todas las monedas caen i)uales2 se lanCannuevamente. "ncuentre la probabilidad de Kue se necesitenmenos de 5 lanCamientos.

r. 39-35

(9. ?a probabilidad de Kue un estudiante para piloto apruebe eleBamen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de;.


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(5. "n promedio2 en una cierta intersección ocurren 9 accidentesviales por mes W%uál es la probabilidad de Kue en undeterminado mes en esta intersección

a ocurran eBactamente accidentesX

b ocurran menos de 9 accidentesX

r. a ;.1;;4

b ;.5(9(

( . Una cierta área del este de "stados Unidos es aAectada enpromedio por 3 Suracanes al a o. "ncuentre la probabilidad deKue en un determinado a o esta área sea aAectada por

a menos de 5 Suracanes

b cualKuier cantidad entre 3 y 4 Suracanes.

r. a ;.1 1(

b ;.5;1

(3. "n un estudio de un inventario se determinó Kue2 en promedio2la demanda por un artículo en particular en una bode)a era de veces al día. W%uál es la probabilidad de Kue en un determinadodía este artículo sea reKuerido

a más de vecesX

b Ni una sola veCX

r. a ;.945;

b ;.;;3<



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(


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y se realiCan 1;; soldaduras. ?a máKuina se aceptará para suAabricación si no son deAectuosas más de tres soldaduras.

a W%uál es la probabilidad de Kue una máKuina efcientesea recSaCadaX

b W%uál es la probabilidad de Kue una máKuina inefcientecon G de soldaduras correctas sea aceptadaX

95. Una a)encia Kue renta automóviles en un aeropuerto localtiene disponibles @ord2 < %Sevrolet2 5 Dod)e2 9 Datsun y 5Toyota. #i la a)encia selecciona aleatoriamente G de estosveSículos para transportar dele)ados desde el aeropuerto Sastael centro de convenciones en el centro de la ciudad2 encuentrela probabilidad de Kue se utilicen ( @ord2 9 %Sevrolet2 1 Dod)e21 Datsun y ( Toyota.

9 . ?as llamadas de servicio entran a un centro de mantenimientode acuerdo con un proceso de Poisson y en un promedio entran (.<llamadas por minuto. "ncuentre la probabilidad de Kue:

a no más de 5 llamadas entren en un minuto cualKuiera

b menos de ( llamadas entren en un minuto cualKuiera

más de 1; llamadas entren en un periodo de minutos

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