Curso Metal 3D (T2)

7/23/2019 Curso Metal 3D (T2)

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NIVEL USUARIOMETAL 3D Y NUEVO

METAL 3D

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T2Clculo de EstructurasMetlicas con CYPE Metal


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Nivel Usuario Metal 3D y Nuevo Metal 3D

T2 Clculo de Estructuras Metlicas con CYPE Metal

ZIGURAT Consultora de Formacin Tcnica S.L.10/11/2009 (Ed.) 10/11/2009 (Rev.0)

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NDICE DE CONTENIDOS

Tema 2: Clculo de Estructuras Metlicas con CYPE Metal

Parte 1 Mtodo matricialPaso 1 Conceptos bsicosPaso 2 Prctica 1. Prtico planoPaso 3 Prctica 2. Viga doblemente empotradaPaso 4 Prctica 3. Viga continua

Parte 2 Conceptos Bsicos en secciones de aceroPaso 1 Clasificacin de las seccionesPaso 2 PandeoPaso 3 Pandeo Lateral

Parte 3 Conceptos bsicos en secciones mixtas (EC-4)Paso 1 Tipos de secciones mixtasPaso 2 Normativa y clculo

Parte 4 Sistemas EstructuralesPaso 1 Elementos de la Esttica. Cargas, vnculos y reaccionesPaso 2 Sistemas isostticos e hiperestticosPaso 3 Estructuras Trasnacionales e intraslacionales


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Tema 2 Clculo de Estructuras Metlicascon CYPE Metal

Parte 1Mtodo matricial

N PASO TTULO

1 Conceptos bsicos

Los mtodos clsicos de anlisis de estructuras desarrollados a finales del siglo XlX tenanla desventaja de conducir a clculos laboriosos cuando se aplicaban a estructurasmedianamente complejas, en cuanto a la cantidad de elementos que formaban la estructurase refiere.

Muchos de estos mtodos, conducan a sistemas con un gran nmero de ecuacioneslineales que en aquellos tiempos resultaban casi imposibles de resolver, sin la ayuda de los

ordenadores de los que se dispone actualmente.

Hoy en da, dichos inconvenientes no son un problema yes por eso que actualmente mtodos como el de la rigidez, que conduce a grandes sistemasde ecuaciones lineales es usado en muchos software utilizados para el clculo deestructuras de barras.

Conceptos bsicos

Debido a la forma de trabajo de los mtodos de clculo, es conveniente mencionar y aclararalgunos conceptos que ayuden a entender los mtodos en si.

Barra

Trmino estructural con el que se designan y discretizan, elementos tales como vigas opilares dentro del mtodo de las fuerzas o los desplazamientos. La barra queda identificadapor sus extremos, su inercia, rea y mdulo de elasticidad.

Figura 1.1.1 Elemento barra


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Nudo

Los nudos son los extremos de las barras. Constituyen parte fundamental en el anlisis deestructuras utilizando el mtodo de la rigidez. Segn los grados de libertad que puedarestringir un nudo, se clasifican como:

Nudo rgido

Es aquel en el que todas las barras que confluyen a l giran ngulos iguales. La rigidez delnudo, se opone a la deformacin angular de las barras con un determinado momento, elcual a su vez, es repartido entre las barras segn la rigidez de cada una de ellas. La figura1.1.2

ilustra.

Figura 1.1.2 Diagrama de momentos y deformada de la estructura con un Nudo rgido en launin de todas sus barras.

Nudo semirigido

Es aquel en el que todas las barras que confluyen a l, pueden girar ngulos diferentes. Larigidez del nudo se opone a la deformacin angular de las barras en menor medida que ladel nudo rgido. Obsrvese en la figura 1.1.3 como el momento en el nudo es menor que eldel nudo rgido de la figura 1.1.2.


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Figura 1.1.3 Diagrama de momentos y deformada de la estructura con un Nudo semirgido enla unin de todas sus barras.

Nudo articulado

La resistencia que opone un nudo articulado al giro angular de cualquiera de las barras quellegan a l es nula, ya que su rigidez angular es cero. Lo anterior ocasiona que las barrasque llegan al nudo giren sin que exista alguna relacin o dependencia entre el giro de una u

otra barra. Obsrvese en la figura 1.1.4 como el momento en el nudo articulado es cero.

Figura 1.1.4 Diagrama de momentos y deformada de la estructura con un Nudo articulado en launin de todas sus barras.

Modelo de clculo

Un modelo de clculo, consiste en la idealizacin de la estructura real, utilizando un modelomatemtico que se aproxime lo mximo posible al comportamiento real de la estructura.


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El Modelo de clculo utilizado por el mtodo de la rigidez, consiste en barras unidas en susextremos unas con otras por medio de sus nudos.

La siguiente figura muestra en lneas punteadas el modelo utilizado para modelizar elprtico. Se puede observar como la unin entre vigas y vigas o pilares se lleva a caboutilizando los nudos.

Figura 1.1.5 Modelo de clculo

Grados de libertad

Se definen como grados de libertad de una estructura, los desplazamientos o giros quedeterminan el cambio de geometra de la misma despus de ser cargada.

Los grados de libertad de un nudo o extremo de una barra en el plano son tres, y definen losposibles desplazamientos o giros que puede tener dicho nudo en el plano. Dichos

desplazamientos son:

: Desplazamiento horizontal del nudo: Desplazamiento vertical del nudo: Giro del nudo


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Figura 1.1.6 Barra deformada por aplicacin de los grados de libertad

El concepto de grados de libertad, es aplicable a todos y cada uno de los nudos queconforma la estructura, lo que quiere decir, que si conocemos el valor de losdesplazamientos o giros en los extremos de las barras que conforman la estructuraconoceremos su deformada, tal como se muestra en la figura 1.1.7.

Figura 1.1.7. Deformada de un prtico plano

Coeficientes de rigidez de una barra

La rigidez de un cuerpo, K, es la fuerza que es necesario aplicar sobre dicho cuerpo, paraprovocarle una determinada deformacin. En este caso, se aplicar un giro o undesplazamiento unitario, en un determinado grado de libertad del nudo, obtenindose lasfuerzas que se producen en los extremos de la barra, como consecuencia, del movimientoprovocador.

Las fuerzas en los extremos de las barras que se oponen a los desplazamientos unitarios desus nudos, se conocen como coeficientes de rigidez.


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Es comn, utilizar la siguiente nomenclatura para los coeficientes de rigidez: Kij ; siendo Kij,la fuerza en el grado de libertad i, debida a un desplazamiento o giro unitario del grado delibertad J.

Las siguientes figuras ilustran el concepto de rigidez de una barra en el plano y lanomenclatura utilizada. La primera de ellas ilustra la barra en su estado no deformado y losgrados de libertad.

Figura 1.1.8 Barra sin deformacin alguna

Si se aplica un desplazamiento unitario 4, en la direccin horizontal, que en este caso, seha asociado al nmero 4, en el extremo derecho de la barra de la figura 1.1.8, mientras quelos dems movimientos o grados de libertad de la barra permanecen fijos, se producen lasfuerzas K14, K24, K34, K44, K54 y K64.

Figura 1.1.9 Barra sometida a deformacin axial en su extremo derecho

Si ahora, en vez de provocar un desplazamiento unitario, se provoca un giro unitario en elextremo derecho de la barra, permaneciendo al igual que en el caso anterior, todos losdems grados de libertad de los dos nudos de la barra fijos. Esto provoca que se produzcanlos coeficientes de rigidez o fuerzas K16, K26, K36, K46, K56 y K66.

Figura 1.1.10 Barra sometida a deformacin angular en su extremo derecho


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Valor de los coeficientes de rigidez

Por estar fuera del alcance de este curso la demostracin de la obtencin de los valores delos coeficientes de rigidez, dichos valores se dan a continuacin de manera directa:

Figura 1.1.11 Rigideces o fuerzas producidas por un desplazamiento axial unitario

Figura 1.1.12 Rigideces o fuerzas producidas por un desplazamiento angular unitario

Figura 1.1.13 Rigideces o fuerzas producidas por un desplazamiento

El convenio de signos utilizado para las fuerzas en los extremos de la barra es el siguiente:

Figura 1.1.14 Convencin de signos utilizado por el mtodo de la rigidez


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Descripcin del mtodo de la rigidez

El mtodo de la rigidez se aplica a estructuras de barras se encuentren unidas mediantenudos rgidos o articulados.

El mtodo consiste en aplicar desplazamientos segn el grado de libertad que se estanalizando, manteniendo el resto de grados de libertad de la estructura inmviles,obteniendo de esta manera los esfuerzos generados en los extremos de las barras.Posteriormente, se plantea el equilibrio de cada nudo obtenindose un sistema lineal deecuaciones que puede expresarse de forma matricial de la siguiente manera:

Donde:

es el vector de cargas aplicadas en los nudos

es la matriz de rigidez de la estructura que almacena todas las rigideces de loselementos de la estructura y que relaciona las fuerzas en los nudos con los desplazamientosde los mismos.

es el vector de desplazamientos producidos en los nudos de las barras.

Las condiciones para aplicar el mtodo son:

- Material elstico y lineal- Los desplazamientos de la estructura deben serpequeos.


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N PASO TTULO

2 Prctica 1. Prtico plano

Dado el siguiente prtico, se pide a partir de imponer desplazamientos unitarios en susnudos, el sistema de ecuaciones lineales que relaciona las deformaciones y las fuerzas ensus nudos.

Figura 1.2.1 Estructura real y modelo de clculo

Determinacin de los grados de libertad

Nudo 1

Este nudo representa un empotramiento,es decir, tiene restringidos los grados de libertadque le permiten desplazarse o girar. Como consecuencia de esto, se dice que el valor de losgrados de libertad de dicho nudo son nulos.

Nudo 2Este nudo es rigido y al no estar coaccionados ninguno de sus grados de libertad puedegirar y desplazarse vertical y horizontalmente, es decir, posee tres grados de libertad: 2,2, 2 los cuales tendran valores diferentes de cero.

Nudo 3

Igual que el nudo 2. Los grados de libertad del nudo son: 3, 3, 3.

Nudo 4

Igual que el nudo 1.


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En este caso puede decirse que el desplazamiento horizontal, , de los nudos 2 y 3 es igual

y que el acortamiento de los pilares, , es tan pequeo que puede despreciarse con lo que2 y 3 son cero.

Es decir, los 12 grados de libertad iniciales de la estructura se han reducido a tres que son:el desplazamiento horizontal y los giros de los nudos dos y tres.

Aplicacin de movimientos unitarios segn los grados delibertad del prtico

Giro unitario en nudo 2

Al permitirse que el nudo 2 del prtico gire las barras se deformarn y aparecern lasfuerzas que se muestran en la figura 1.2.2.

Figura 1.2.2 Rigideces o fuerzas debidas al giro del nodo 2

No Giro unitario en nudo 3

Al permitirse que el nudo 3 del prtico gire, las barras se deformarn y aparecern lasfuerzas que se muestran en la figura 1.2.3.


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Figura 1.2.3 Rigideces o fuerzas debidas al giro del nodo 3

Desplazamiento horizontal unitario

Al permitirse que el prtico se desplace, los pilares del prticos se deformarn induciendolas fuerzas que aparecen en la figura 1.2.4.

Figura 1.2.4 Rigideces o fuerzas debidas al desplazamiento horizontal


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Ecuaciones de equilibrio de los nudos

Si se supone que todas las barras del prtico tienen la mismalongitud y seccin, y adems estn construidas con el mismo

material, el anterior sistema de ecuaciones lineales escrito deforma matricial queda:


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N PASO TTULO

3 Prctica 2. Viga doblemente empotrada

Dada la siguiente viga, se pide calcular el valor del desplazamiento del nudo donde esaplicada la fuerza F y las reacciones de la viga en sus extremos.

Figura 1.3.1 Viga biempotrada con carga axial

Discretizacin de la viga

Se discretiza la viga en nudos y barras de la siguiente manera:

Figura 1.3.2 Discretizacin y fuerzas de la viga

Identificacin de los grados de libertad

Los nudos 1 y 3 de la viga son empotramientos con lo cual todos sus grados de libertad soncero. El nudo 2 de la viga, puede desplazarse comprimiendo la parte derecha y traccionandola izquierda.

Aplicacin de los desplazamientos unitarios

Se aplicar un desplazamiento unitario en el sentido del grado de libertad horizontal en elnudo 2, obtenindose de esta manera las fuerzas que aparecen en los extremos de lasbarras A y B.

Desplazamiento del nudo 2 en la barra A

Figura 1.3.3 Rigideces o fuerzas debida al desplazamiento unitario del nudo 2 en la barra A


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Como se ha visto, este desplazamiento produce dos fuerzas de sentido contrario de valor:

Desplazamiento del nudo 2 en la barra B

Figura 1.3.4 Rigideces o fuerzas debida al desplazamiento unitario del nudo 2 en la barra B

Al igual que para la barra A las dos fuerzas que se producen en elextremo de la barra B son:

Equilibrio en los nudos

Para que la estructura est en equilibrio, tambin lo deben estar cada uno de sus nudos, espor esto que se establece a continuacin el equilibrio de cada uno de los nudos de la viga,utilizando para ello la figura 1.3.2.


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Expresando el anterior sistema de ecuaciones lineales de forma matricial, se tiene:

Condiciones de compatibilidad de deformaciones

Debe tenerse en cuenta que 2a = 2b, por lo tanto la ecuacin 2 queda:

Despejando 2A se tiene:

Reemplazando ahora, este valor en las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el valor de lasreacciones en los empotramientos de la viga:


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N PASO TTULO

4 Prctica 3. Viga contnua

Dada la siguiente viga, se pide calcular el valor de los giros de los nudos y las reacciones delos apoyos.

Figura 1.4.1 Viga continua

Discretizacin de la viga

La viga se discretiza en nudos y barras de la siguiente manera:

Figura 1.4.2 Discretizacin de la viga

Identificacin de los grados de libertad

La siguiente figura ilustra como en el nudo 1 todos los movimientos son cero, por tratarse deun empotramiento. Los nudos dos y tres, son articulaciones las cuales pueden girarmantenindose fijos sus otros dos movimientos.

Figura 1.4.3 Grados de libertad de la viga


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Aplicacin de los desplazamientos unitarios

Se aplicar un movimiento unitario en los nudos dos y tres, en el sentido de los grados delibertad no restringidos, obtenindose de esta manera, los momentos que aparecen en losextremos de las barras A y B. En este caso, dichos movimientos consisten en giros unitarios.

Figura 1.4.4 Giro del nudo 2 en la barra A

Figura 1.4.5 Giro del nudo 2 en la barra B

Figura 1.4.6 Giro del nudo 3 en la barra B

Equilibrio en los nudos

La estructura estar en equilibrio si tambin lo estn cada uno de sus nudos. Para llevar acabo el anlisis de fuerzas en los nudos, se debe tener en cuenta las cargas aplicadas enlos mismos y las reacciones si stos son apoyos.


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Figura 1.4.7 Fuerzas y momentos externos en los nudos de la viga

Lo anterior escrito de forma matricial queda:

Esta seria la matriz, que el programa de clculo que se utilizara para calcular la viga, tendraque resolver internamente para encontrar las reacciones de la viga. Sin embargo, en estaunidad por tratarse slo de tres ecuaciones se har de forma manual.


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Despejando 3 de la ecuacin nmero 3 se tiene:

Reemplazando el valor de 3 en la ecuacin 2 se tiene:

La ecuacin anterior permite obtener el valor del ngulo 2 en funcin de momento aplicadoen el nudo 2. Conocido ya el valor de 2, se reemplaza en la ecuacin 1 para obtenerse elvalor del momento del empotramiento en el nudo 1.

Con el inters de dar una aplicacin a las expresiones vistas anteriormente, se darnvalores numricos a las propiedades de la viga del ejemplo anterior para resolverse

utilizando las expresiones desarrolladas, al mismo tiempo que el resultado se compara conel obtenido por el programa Metal 3D.

Figura 1.4.8 Viga continua resuelta manualmente

Se determina el valor de 2:

El valor de 3se obtiene reemplazando en la siguiente ecuacin:


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Reemplazando 2en la ecuacin 4, obtenemos el valor del momento reaccin en el apoyo:

Utilizando el Metal 3D se obtienen los siguientes resultados:

Figura 1.4.9 Momentos y desplazamientos calculados por Metal 3D.

Resultados que coinciden con los clculos manuales.


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NPARTE

NPASO TTULO DEL PASO RECURSO

2 1 Clasificacin De las secciones 08

El Eurocdigo de estructuras de acero y el CTE DB-SE-A clasifican lassecciones segn el tipo de fenmeno de inestabilidad local (abolladura)que puede presentarse en sus zonas de chapa comprimida y que puedeafectar, tanto a su resistencia como a su capacidad de rotacin.

Esta clasificacin permite determinar el tipo de anlisis global de esfuerzosa utilizar en el clculo de la estructura y fijar los criterios para obtener suresistencia frente a solicitaciones de flexin y compresin.

Las cuatro clases de secciones son: Clase 1 (plsticas), clase 2(compactas); clase 3 (semicompactas) y clase 4 (esbeltas).

CLASE 1 PLSTICASLas secciones de clase 1 son aquellas en las que se pueden formar rtulasplsticas permitiendo la redistribucin de esfuerzos sin que se vean

afectadas por fenmenos de abolladura sus zonas comprimidas. Son todasaquellas secciones robustas.

CLASE 2 COMPACTASSon aquellas en las que la capacidad de giro est limitada por fenmenosde inestabilidad local, por lo tanto, nicamente se admite un anlisis deesfuerzos obtenidos en rgimen elstico. Son secciones menos robustasque pueden llegar a la plastificacin completa pero sin permitir el giro dela seccin ya que se abollan.

CLASE 3 SEMICOMPACTASEn estas secciones la fibra extrema puede alcanzar el lmite elstico, perodebido a la inestabilidad de zonas comprimidas, no es posible alcanzar laredistribucin de tensiones.

CLASE 4 ESBELTASLas secciones de clase 4 son las formadas por elementos esbeltos, en lascuales, la fibra extrema no alcanza ni siquiera el lmite elstico del acerodebido a fenmenos de inestabilidad local.

Elegir una u otra clase de seccin depende del proyectista y condiciona eltipo de anlisis de la estructura, elstico o plstico.


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La siguiente figura recoge los diagramas tensindeformacin caractersticode cada uno de las cuatro tipologas de secciones que contempla el CTE.

Figura 2.1.1 Diagramas tensin deformacin para lasTipologas

La siguiente tabla muestra el mtodo de clculo a utilizar tanto para elanlisis global de la estructura como para la determinacin de laresistencia de la seccin.

Tabla 2.1.1 Mtodos de clculo segn la clase de seccin

La asignacin de una clase a una seccin determinada depende de:


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La esbeltez geomtrica [dimensin/ espesor] de los elementoscomprimidos.La posicin de la fibra neutra plstica para clases 1 y 2 y elstica para laclase 3.El lmite elstico del acero Las condiciones de unin del perfil (laminado osoldado).

El CTE proporciona las tablas 5.3 para determinar la clase de elementosapoyados en dos bordes (almas) y la 5.4 para elementos apoyados en unborde (alas).


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Figura 2.1.2. Limites de esbeltez para almas segn el CTE.


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Figura 2.1.3. Limites de esbeltez para alas segn elCTE

Como cada elemento comprimido de una seccin (ala o alma) puedepertenecer a clases diferentes, se asignar a la seccin la clase menosfavorable. Se consideran de Clase 4 los elementos que sobrepasan loslmites para la Clase 3.

Ejemplo

Dada la siguiente seccin de una viga simplemente apoyada sometida aflexin simple comprobar que clase es la seccin.


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Figura 2.1.4 Perfil doble T simtrico

Clasificacin del ala superior

Factor de reduccin, .Para determinar dicho factor, primero se debe averiguar que tensin parael lmite elstico le corresponde al acero de acuerdo con el espesor del alaen este caso. Esta tensin se determina utilizando la tabla 2.1.2.

Tabla 2.1.2 Tensiones para lmites elsticos segn elespesor de la pieza

Ley de tensiones en el ala superior.Al estar sometida la pieza slo a momento flector alrededor de su ejeprincipal, la distribucin de tensiones que se tiene en el ala corresponde aun estado de compresin uniforme que corresponde al primer caso de latabla 2.1.3.


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Reemplazando el valor del coeficiente de reduccin, , se encuentran cadauno de los lmites

Valor lmite de clase 1 = 9.18Valor lmite de clase 2 = 10.20Valor lmite de clase 3 = 14.28

Esbeltez del ala superior

C= 400mm/2-10mm/2= 195mmt= 20mmC/t = 195/20 = 9.75

Con este valor de esbeltez el ala superior se clasifica como clase 2.

Clasificacin del alma

Factor de reduccin, .Al ser el espesor del alma menor a 16mm (10mm), el valor de la tensinpara el lmite elstico es 235N/mm2.

Ley de tensiones del almaLa distribucin de tensiones en el alma del perfil puede obedecer aalgunos de los siguientes dos casos:

Reemplazando el valor del coeficiente de reduccin, , se encuentran cadauno de los lmites:

Valor lmite de clase 1 = 72,00Valor lmite de clase 2 = 83,00Valor lmite de clase 3 = 124,00

Esbeltez del alma


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C= 1000mm-2*20mm= 960mm

t= 10mmC/t = 960/10 = 96Con este valor de esbeltez el ala se clasifica como clase 3.

La seccin consta de un ala clase 2 y un alma clase 3, por lo tanto laseccin es clase 3 al estar sometida a flexin simple.


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NPARTE

NPASO TTULO DEL PASO RECURSO

2 2 Pandeo 08

El pandeo es el fenmeno de inestabilidad por el cual un elemento linealsometido a compresin segn su eje se curva desplazndose de sudirectriz.

Un soporte comprimido presenta cierta flexibilidad que hace que unapequea diferencia de la direccin de la carga respecto al eje, oimperfecciones de la pieza produzcan momentos flectores (producto de lacarga por la excentricidad). Aunque estos momentos sean pequeos, sepueden producir grandes tensiones y consecuentemente deformacionesadicionales importantes que originen un aumento de los momentos.

El fenmeno del pandeo, es un aspecto importante a tener en cuenta enelementos de estructuras de acero sometidas a compresin. Una posiblesolucin para dicho problema de inestabilidad consiste en aumentar laseccin transversal de la pieza aunque en la mayora de los casos

conviene mas arriostrar la pieza para disminuir su longitud de pandeo y deesta manera aumentar su resistencia a dicho fenmeno.

A continuacin, se presenta el anlisis de pandeo segn el CTE DB-SE-A.

Los datos de partida para el clculo a pandeo son:

- Carga Axial a soportar- Longitud L del pilar- Tipo de vnculos en los extremos

La resistencia de la barra a compresin, NC,Rd no debe superar laresistencia plstica de la seccin bruta Npl,Rd y tambin debe ser menorque la resistencia ltima a pandeo de la barra,Nb,Rd.

Resistencia plsticaQueda definida por la siguiente expresin:

Npl,Rd= A.fyd

Donde:A es el rea de la seccin bruta para secciones clase 1,2 y 3.


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A es el rea eficaz para secciones clase 4.

Resistencia a pandeoLa resistencia ltima a pandeo, se define como la resistencia plstica de labarra multiplicada por un factor reductor denominado coeficiente dereduccin por pandeo, , que depende de la esbeltez reducida de la pieza yde las curvas de pandeo.

- fyd es la resistencia de clculo,- M1 es el coeficiente parcial de seguridad del material.

Esbeltez ReducidaLa esbeltez reducida , es la relacin entre la resistencia plstica de laseccin de clculo y la compresin crtica por pandeo. Para barras rectasde seccin y axil constante dicha esbeltez es:

Siendo Ncr:

E es el mdulo de elasticidadI es el momento de inercia del rea de la seccin para flexin en el planoconsiderado.Lk longitud de pandeo de la pieza.

Obtenida la esbeltez reducida de la barra, el valor del coeficiente depandeo puede obtenerse por medio de tres caminos diferentes:

1. Utilizando la formulacin: Para valores de la esbeltez reducida, k 0,2,elvalor del coeficiente de pandeo, es:


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es el coeficiente de imperfeccin que depende del tipo de perfil, por estoexisten cinco curvas diferentes de pandeo. A cada curva le corresponde unvalor de

Tabla 2.1.1. Factor de imperfeccin segn curva de pandeo

Para encontrar la curva de pandeo correspondiente a cada perfil debeutilizarse la tabla 2.1.2.


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Figura 2.2.1. Seleccin de las curvas de pandeo, CTE

2. Utilizando la figura 6.3 de DB-SE APara utilizar esta opcin deben tenerse los datos de entrada a la figura

2.2.2 que son: el valor de la esbeltez reducida y la curva de pandeo


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correspondiente, el proceso de calculo de cada una de estas variables se

ha explicado anteriormente.

Figura 2.2.2. Curvas de pandeo segn el CTE.

3. Utilizando la tabla 6.3 del de DB-SE AEl CTE tabula los valores dados por la figura 2.2.2 en la siguiente tabla


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Figura 2.2.3. Valores del coeficiente de pandeo segn elCTE

Estos valores tambin se encuentran tabulados para las diferentes curvasde pandeo en funcin de la esbeltez relativa , el coeficiente deimperfeccin. La figura 2.2.3

Ejemplo

Determine la resistencia a pandeo del siguiente pilar. El eje dbil del pilarse encuentra arriostrado en tres puntos, mientras que su eje fuerte noposee ningn punto de arriostramiento intermedio en toda su longitud.

La carga axial de diseo del pilar, Nsd, es de 100KN y las distancias dearriostramientos son:


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Figura 2.2.4 Seccin y alzado del pilar

1. Determinacin de la longitud de pandeo

Alrededor del eje y-y, Lk,yAl estar la columna articulada en sus extremos el coeficiente para lalongitud de pandeo vale 1, por lo tanto:

Alrededor del eje z-z, Lcr,zAl estar la columna articulada en sus apoyos intermedios el coeficiente

para la longitud de pandeo vale 1, por lo tanto:


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2. Resistencia ltima de pandeo del pilar

Limite de elsticoEl espesor mximo de la seccin es de 32mm, por lo tanto la tensin parael lmite elstico es de 225N/mm2

Compresin critica por pandeo, NcrPara determinar la resistencia de clculo de pandeo Nb,Rd del pilar, debedefinirse el factor de reduccin . Este factor se determina calculando la

esbeltez reducida en base a la fuerza crtica elstica y la resistencia de laseccin transversal a las fuerzas normales.

Esbeltez reducida,La esbeltez reducida para cada eje se obtiene por mediode la siguiente expresin:

Coeficientes reductores por pandeo,Este coeficiente deber analizarse para ambos ejes.

Pandeo alrededor del eje y-y:Datos para entrar a la tabla:


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Obtenido el coeficiente de imperfeccin se determina el factor dereduccin, y

Reemplazando los valores se tiene:

Pandeo alrededor del eje z-z:

Datos para entrar a la tabla:

Obtenido el coeficiente de imperfeccin se determina el factor de

reduccin, para cada eje:

Reemplazando los valores se tiene:

El valor del coeficiente reductor por pandeo que debe tomarse es el menordel obtenido en cada eje, en este caso 0. 80.


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Resistencia a pandeo del pilar

Ahora se realizar la comprobacin para verificar que la carga de diseodel pilar, Nsd, no sobrepase el valor de la resistencia ltima a pandeo de labarra, Nb,Rd:


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Parte 2Conceptos Bsicos en secciones de acero

N PASO TTULO

1 Pandeo lateral

Una seccin transversal sometida a flexin se encuentra expuesta a la distribucin linealtensiones mostrada en la figura 2.3.1. En dicha seccin, la parte comprimida o traccionada

de la seccin vara segn la deformacin del perfil, por ejemplo, en los centros de vano deuna viga continua su parte superior estar comprimida mientras que la inferior estartraccionada. En los apoyos la situacin anterior se invierte.

Figura 2.3.1 Distribucin de tensiones en un perfil Isometido a flexin simple

Como se vio en la unidad anterior una seccin sometida a esfuerzos de compresin puedepresentar inestabilidades. Esto significa, que al encontrarse la parte comprimida de la vigasometida a un cierto momento, puede desviarse de su eje longitudinal, perdiendo su formaoriginal de mxima resistencia como se ilustra en la figura 2.3.2.

Figura 2.3.2 Pandeo lateral del ala comprimida de un perfil

El momento limite o mximo que puede soportar la viga sin pandear lateralmente dependede su estado de carga, sus caractersticas mecnicas y geomtricas y la distancia entre

apoyos se denomina Momento critico de pandeo lateral.


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Al igual que en el caso de pandeo de pilares la distancia entre puntos de arriostramiento del

perfil juega un papel importante ya que a mayor separacin entre dichos arriostramientosmenor ser la resistencia a pandeo lateral de la viga.

Puede decirse entonces, que el pandeo lateral se produce en elementos sometidos a flexincuya ala comprimida no posee arriostramientos transversales a distancias adecuadas, ostos no son lo suficientemente rgidos como para impedir su desplazamiento.

El efecto del pandeo lateral puede llegar a producir el vuelco de la viga pudiendo versecomprometida la estabilidad de la estructura.

El momento crtico, Mcr, que provoca el pandeo lateral en una viga depende de:

Las caractersticas mecnicas de la vigaEl tipo de carga que soporta la viga (distribuida, uniforme etc.).Las condiciones de soporte de la viga.

La comprobacin a pandeo lateral no es necesaria si:

El ala comprimida de la viga se encuentra totalmente conectada a un elemento indeformablecomo puede llegar a serlo un forjado de hormign el ala comprimida de la viga se encentraarriostrada por un tornapuntas como se ilustra en las figuras 2.3.3 y 2.3.4.

Figura 2.3.3 Ala inferior de la viga sujeta por un tornapuntas

Figura 2.3.4 Arriostrado del ala inferior de una viga


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42

La figura 2.3.4 se muestra el denominado tornapuntas. A efectos de clculo existe una

distancia de arriostramiento del ala superior y otra distancia de arriostramiento del alainferior.

En este caso cualquier correa de cubierta arriostra el ala superior, con lo que la distancia dearriostramiento a pandeo de ala es la distancia entre correas. En el ala inferior se colocantornapuntas que mediante unas lengetas se unen a la correa de cubierta un tramo de perfiltipo L simplemente atornillado. Esta barra arriostra el ala inferior. En el ala inferior suelecolocarse tornapunta cada dos correas.

El ala comprimida esta inmovilizada a una distancia d no superior a 40 veces el radio degiro de la viga y el elemento rigidizador puede soportar el 1% del axil de compresin de laviga.

Para familiarizarse un poco ms con este fenmeno y con la formulacin que seutilizar para analizarlo ms adelante se muestran los siguientes casos:

Perfil en voladizo

Si se aumenta la carga en el extremo de una viga en voladizo tal como se ilustra en la figura2.3.5, hasta que dicha carga provoque el momento critico de pandeo lateral, Mcr, el alainferior de la viga sometida en este caso a compresin, se volver inestable y flectarlateralmente hasta un nuevo equilibrio estable.

Figura 2.3.5 Pandeo lateral de una viga en voladizo

Viga biapoyada con momentos extremos

En este caso el ala superior de la viga se encuentra comprimida. Cuando el momento criticode pandeo, Mcr, alcance el valor mostrado en la frmula, el ala no podr absorber msmomento y se liberar lateralmente, tal como se ilustra en la figura 2.3.6.


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43

Figura 2.3.6 Pandeo lateral de una viga sometida flexin pura

Viga simplemente apoyada con una carga puntual en el centro

Este caso cuando la fibra superior, que trabaja a compresin, no pueda absorber msmomento se liberar lateralmente producindose el pandeo lateral de la viga como lomuestra la figura 2.3.7.

Figura 2.3.7 Pandeo lateral de una viga simplemente apoyada sometida a flexin

El valor del momento crtico para este caso vale:

Se Observa que para los dos ltimos casos mostrados las frmulas son casi idnticas,variando nicamente su denominador. Es decir, puede establecerse entonces, unaexpresin general que dependa de una variable que represente la variacin de lascondiciones de carga y de apoyo de la viga para cada posible caso. Dicha variable sedenomina C1.


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Los valores de C1 se establecen en funcin del diagrama de momentos segn la figura2.3.8:

Figura 2.3.8 Tabla de valores

Si las condiciones de arriostramiento de una viga permiten laposibilidad de que se puede presentar el fenmeno del pandeolateral, debe comprobarse que MEdMb,Rd

Donde:MEd es el valor de clculo del momento flectorMb,Rd el valor de clculo de la resistencia frente al pandeo lateral

El valor de Mb,Rd se determina de acuerdo con la relacin:

Donde:

Wy es el mdulo resistente de la seccin, acorde con el tipo de sta, es decir:Wy: Wpl,y para secciones de clases 1 y 2


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45

Wy: Wel,y para secciones de clase 3

Wy: Wef,ypara secciones de clase 4

LT factor de reduccin para el pandeo lateral, el cual puededeterminarse usando la siguiente expresin:

Donde:

Siendo:LT esbeltez relativa frente al pandeo lateralLT factor de imperfeccin, obtenido de la siguiente tabla:

Tabla 2.3.9 Factor de imperfeccin LT

La esbeltez relativa frente al pandeo lateral se determina segn la siguiente expresin:

Donde:Mcr es el momento crtico elstico de pandeo lateral calculado utilizando la siguienteexpresin:

MLTv es la componente del momento crtico de pandeo lateral, querepresenta la resistencia por torsin uniforme de la barra y sedetermina por medio de la siguiente expresin:

Donde:


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49


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Parte 3conceptos bsicos en secciones mixtas

N PASO TTULO

1 Tipos de secciones mixtas

Se entiende por seccin mixta aquel elemento estructural compuesto por dos materiales;madera acero, hormign - madera, ladrillo hormign, ladrillo acero, etc., por lo que el

clculo requiere unas consideraciones especiales. Nos referimos en este apartado a losformados por hormign y acero unidos entre s mediante conectadores para limitar eldeslizamiento relativo entre ellos

En el caso de vigas mixtas combinan un perfil inferior de acero y una losa superior dehormign (ver figura 1), y en un soporte mixto un ncleo central de acero revestido dehormign o un perfil tubular relleno de hormign y cuya parte hueca puede contener un perfilmetlico. Los forjados mixtos estn formados por una chapa grecada solidarizada con unacapa de hormign, esta chapa se emplea tambin como encofrado

Figura 3.1.1. Elementos Mixtos

Para secciones mixtas en las que el acero se encuentre recubierto de hormign hay quedisponer un recubrimiento mnimo de hormign para:

a) asegurar una correcta adherencia entre los dos materiales,

b) proteger al acero frente a la corrosin y,

c) proporcionar una adecuada resistencia al fuego


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N PASO TTULO

2 Normativa y clculo

Normativa

Respecto a la normativa de este tipo de elementos se emplea para el clculo el Eurocdigo4, Proyecto de estructuras mixtas de hormign y acero y el CTE (en la actualidadpendiente de aprobacin), por lo que pasar a ser la normativa de obligado cumplimiento deestas estructuras

Clculo

Para poder aplicar las leyes de resistencia de materiales en las piezas heterogneas sesustituye la seccin mixta por su equivalente en acero dando lugar a la seccinhomogeneizada, ver Figura 3.2.1. Para obtenerla se divide el ancho de la superficie dehormign por el coeficiente n de equivalencia, n = Ea/ Ec. Eaes el mdulo de elasticidaddel acero estructural y Ecel mdulo eficaz del hormign. Es decir, se estudia la seccincomo si estuviera compuesta nicamente por acero

Figura 3.2.1. Seccin homogeneizada

Resistencia de la seccin. El clculo de una seccin mixta a flexin se determinaconsiderando como lmite de la tensin mxima en cada material, el valor admisiblecorrespondiente; para el hormign comprimido 0,85fck/c; para el acero que conformael perfil fy/a; y para las armaduras embebidas en el hormign fsk/s. El momento mximoque puede admitir la seccin lo determina el que se alcance primero

Para determinar la fibra neutra se puede suponer, como aproximacin, que coincide con elcentro de gravedad de la seccin homogeneizada de coordenada zg


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Para un momento flector positivo (+M), ver Figura 3.2.2, las tensiones mximas que se

producen en la fibra superior, no deben superar el valor admisible correspondiente, por loque queda:

c= (M/Ieq)zg(1/n) (0,85fck/c)

Y en la fibra inferior:

a= (M/Ieq) zinf= (M/Ieq) (ha+hc-zg) (fy/a)

(Ieq es el momento de inercia de la seccin homogeneizada y n el coeficiente deequivalencia)

Figura 3.2.2. Momento flector positivo

En el caso de momento flector negativo (- M) se aplican las mismas frmulas para el clculo

de tensiones, pero hay que comprobar las tensiones en las armaduras embebidas en la losade hormign y la inercia equivalente Ieq es la inercia de la seccin sin contar con elhormign.


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Parte 4Sistemas estructurales

N PASO TTULO

1Elementos de la esttica. Cargas vnculos yreacciones

Cargas

Fuerzas que actan sobre la estructura; pueden ser puntuales, lineales o superficiales.

Figura 4.1.1 Cargas puntuales equivalentes

Vnculos

Una estructura plana tiene tres grados de libertad (dos de traslacin y uno de rotacin).Estos grados de libertad pueden ser restringidos para evitar los desplazamientos y giros.Esta restriccin viene dada por los vnculos.


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Tipos de vnculos (n = n de grados de libertad)

Figura 4.1.2 Grabados de libertad en Apoyo simple, articulacin y empotramiento

Reacciones

Fuerzas que resultan de la limitacin del movimiento permitiendo el equilibrio. Cada vnculotiene un n de incgnitas (I= 1, 2 3).

Figura 4.1.3 Incgnitas en Apoyo simple, articulacin y empotramiento


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N PASO TTULO

2 Sistemas isostticos e hiperestticos

Consideremos un sistema plano formado por una viga biapoyada en el que A es un apoyosimple que permite el desplazamiento horizontal y B una articulacin (figura 4.2.1).

Figura 4.2.1

Con las 3 ecuaciones de la esttica (M=0, Fx= 0, Fy= 0) podemos calcular las reacciones(Rya, Ryb, Rxb) para cualquier conjunto de cargas exteriores. Por lo tanto puede decirse queesta estructura es isosttica ya que el nmero de incgnitas es igual al nmero de

ecuaciones de la esttica y se pueden obtener reacciones y esfuerzos y a partir de ellos lastensiones y deformaciones en cualquier seccin.

Figura 4.2.2

En el caso de la otra figura (figura 4.2.3) en el que la viga est empotrada en A y articuladaen B, existen 5 incgnitas (Rxa, Rya, Ma, Rxb, Ryb) y tan slo 3 ecuaciones de la esttica, porlo tanto puede decirse que el sistema es hiperesttico o estticamente indeterminado (figura4.2.3). Este tipo de estructuras no se pueden solucionar aplicando las ecuaciones deequilibrio y es necesario obtener ecuaciones adicionales relacionadas con la deformabilidadde la estructura (entre los posibles mtodos destacan las ecuaciones de la elstica o elmtodo de superposicin).

El grado de libertad es la diferencia entre el nmero total de incgnitas y el nmero de

ecuaciones independientes que pueden plantearse; G = I E.


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Figura 4.2.3 Ejemplo de vigas hiperestticas

Observacin. Podemos realizar esta misma clasificacin en sistemas de barras articuladas,si nos referimos a grados de libertad internos. Siendo n el nmero de nudos y b el nmerode barras; para sistemas planos si 2n = 3 + b la estructura es isosttica internamente y si 2n< 3 + b es hiperesttica. En este tipo de estructuras si existen un gran nmero de nudos(2n> 3 + b) se denomina mecanismo.

Figura 4.2.4


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N PASO TTULO

3 Estructuras tralacionales e intraslacionales

Una estructura es intraslacional si sus nudos, bajo solicitaciones de clculo, presentandesplazamientos en el plano del prtico cuyo efecto puede ser despreciado desde el puntode vista de la estabilidad del conjunto.

Segn varios autores este criterio es muy riguroso en la prctica. Es el proyectista el quedebe evaluar la rigidez de la misma segn la importancia de las acciones horizontales y de

los elementos que arriostran. A mayor esbeltez aumenta la traslacionalidad.

En el caso contrario se considera una estructura traslacional.

Figura 4.3.1 Prticos traslacionales/ intraslacionales, comentarios EHE98

En los comentarios de la Instruccin Espaola EHE98 se dice que esta clasificacin no esrgida...


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El concepto de traslacionalidad/ intraslacionalidad es muy importante ya que influye en elclculo de la longitud de pandeo de soportes de prticos. La longitud de pandeo en el planoconsiderado (L) depende de la relacin de las rigideces relativas de los soportes y las vigasen cada uno de los extremos y si el prtico es traslacional o intraslacional. De estas tablasse obtiene para el clculo de la longitud de pandeo; L = l.

Siendo la relacin entre los soportes (p) y las vigas (v) y teniendo en cuenta que su valorpara apoyos articulados y libres es infinito y para apoyos empotrados es de cero:


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En estas grficas se puede apreciar las lneas punteadas que representan los casos mscomunes que nos podemos encontrar en la vida diaria:

1- Viga biempotrada (intraslacional)

2- Viga biarticulada (intraslacional)

3- Viga empotrada-articulada (intraslacional)

4 Vi l di (t l i l)

Curso Metal 3D (T2)

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