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Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Graduação em Administração - ESAG/UDESC
Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção - UFSC
Centro Universitário Estácio de Sá de Santa Catarina
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Material Didático da Estácio
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- SUMÁRIO -
Conceitos Introdutórios
Medidas de Tendência Central
Medidas de Dispersão
Probabilidades
Distribuição Binomial Distribuição de Frequência
Distribuição Normal
Distribuição de Bernoulli
Distribuição de Poisson
Bibliografia
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Retornar
Conceitos Introdutórios
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ESTATÍSTICA
LIVROS DE ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
Origem no latim:
status (estado) + isticum (contar)
Informações referentes ao estado
Coleta, Organização, Descrição, Análise e Interpretação de Dados
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Para Sir Ronald A. Fisher (1890-1962):
Estatística é o estudo das populações, das variações e dos métodos de redução de dados.
O Que é Estatística?
ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA
“Eu gosto de pensar na Estatística como a ciência de aprendizagem a partir dos dados...”
Jon KettenringPresidente da American Statistical Association, 1997
O Que é Estatística?
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“Estatística é um conjunto de técnicas e métodos que auxilia o processo de tomada de decisão na presença de incerteza.”
Estatística Descritiva coleta, organização e descrição dos dados.
Estatística Inferencial análise e interpretação dos dados.
ESTATÍSTICA
O Que é Estatística (definição)?
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Panorama Histórico
ESTATÍSTICA
Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos e óbitos, que hoje chamamos de “estatísticas”.
Na Idade Média, colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas.
O Livro dos Impostos
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À partir do século XVI começaram a surgir as primeiras
análises sistemáticas de fatos sociais.
No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo feição
verdadeiramente científica. Gottfried Achenwall batizou a
nova ciência com o nome de Estatística, determinando o seu
objetivo e suas relações com as ciências.
O verbete “statistics” apareceu na
Enciclopédia Britânica em 1797.
ESTATÍSTICA
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POPULAÇÃO: Conjunto de elementos que se deseja estudar
Finita Número de alunos de uma escola
Infinita Número de estrelas no céu
AMOSTRA: Subconjunto de elementos da população.
ESTATÍSTICA
POPULAÇÃO x AMOSTRA
PopulaçãoAmostra
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Fases do Método Estatístico
1) Coleta de dados
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em:
contínua: quando feita continuamente;
periódica: quando feita em intervalos constantes de tempo;
ocasional: quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência.
ESTATÍSTICA
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2) Crítica dos dados
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e imperfeições.
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; e é interna quando visa a observar os elementos originais dos dados da coleta.
ESTATÍSTICA
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação.
Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
3) Apuração dos dados
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4) Exposição ou apresentação dos dados
ESTATÍSTICA
5) Análise e Interpretação dos resultados
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados sob a forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas típicas.
Para tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra).
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Uma representação didática …
Informação
Decisão
Dados
Estatística
ESTATÍSTICA
Conhecimento
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Parte da estatística que descreve e analisa dados sem tirar
conclusões mais genéricas.
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA DESCRITIVA (Dedutiva)
Média Desvio padrão
Gráfico Tabela
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É admitirmos que os resultados obtidos na análise dos dados
de uma amostra são válidos para toda a população da qual a
amostra foi retirada. Consiste em obtermos e generalizar
conclusões. (CASTANHEIRA,
2010)
ESTATÍSTICA
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (Indutiva)
Estatísticas Parâmetros
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EXPECTATIVA DE VIDA – Diferenças entre os países
ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA
• SPSS• Epidata• Bioestat• Excel• STATA• SAS• Epi Info
Ferramentas para Análise de Dados
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.
Disciplina de Probabilidade e Estatística
Retornar
Distribuição de Frequência
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ESTATÍSTICA
Dados Nominais (Sexo, Raça, Cor dos Olhos) Dados Ordinais (Grau de Satisfação) Dados Numéricos Contínuos (Altura, Peso) Dados Numéricos Discretos (Número de Filiais)
“Estatísticas aplicadas em alguns tipos de dados não podem ser aplicadas a outros .”
TIPOS DE DADOS
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BIOESTATÍSTICA
Dados Intervalares (Temperatura oC)
Quando se referem a valores obtidos mediante a aplicação de uma unidade de medida arbitrária, porém constante e onde o zero é relativo. Este tipo de dado tem restrições a cálculos.
30oC não é três vezes mais quente que 10oCPara cálculos se utiliza a escala Kelvin
TIPOS DE DADOS
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BIOESTATÍSTICA
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BIOESTATÍSTICA
1ª Regra: Arredondar para o número mais próximo 2ª Regra: Arredondar para o par mais próximo
5,0 5,5 6,0
6,0 6,5 7,0
ARREDONDAMENTO DE DADOS CONTÍNUOS
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BIOESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 1
Faça os seguintes arredondamentos:
38,648 para o centésimo mais próximo 38,65
54,76 para o décimo mais próximo 54,8
27,465 para o centésimo mais próximo 27,46
42,455 para o centésimo mais próximo 42,46
4,5 para o inteiro mais próximo 4
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BIOESTATÍSTICA
AGRUPAMENTO DE DADOS POR VALORES DISTINTOS
8 2 5 6 5 6 5 4 3 7 5 6 5 4 7 2 5 4 6 5 3 6 5 4 2 5 3 6
x f (frequência) 2 3 3 3 4 4 5 9 6 6 7 2 8 1Total 28
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BIOESTATÍSTICA
AGRUPAMENTO DE DADOS POR CLASSES
Classes f (frequência) Ponto Médio
39 50 4 44,550 61 5 55,5 61 72 5 66,572 83 6 77,583 94 5 88,5
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BIOESTATÍSTICA
MÉTODO DE STURGES
Utilizado para determinar o número de classes a serem formadas em uma distribuição de frequência
i = 1 + 3,3 . Log n
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BIOESTATÍSTICA
MÉTODO DE STURGES
Exemplo: Se em uma pesquisa tivermos 800 observações, quantas
classes podem ser formadas?
i = 1 + 3,3 . Log ni = 1 + 3,3 . Log 800i = 1 + 3,3 . 2,9031
i = 10,58023 11 Classes
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BIOESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 2
Em uma amostra de estudantes foram coletadas as seguintes alturas em metros: 1,70 1,58 1,67 1,72 1,70 1,71 1,75 1,58 1,64 1,66 1,72 1,70 1,73 1,82 1,79 1,77 1,76 1,75 1,73 1,65 1,64 1,63 1,62 1,66 1,71 1,68 1,69 1,70 1,59 1,61 1,64 1,76 1,64 1,70 1,64 1,65 1,70 1,79 1,80 1,70 1,67 1,71 1,72 1,63 1,70
a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?b) Qual é a altura do sujeito mais alto e a do mais baixo?c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.d) Faça o agrupamento por 6 classes.
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BIOESTATÍSTICA
EXERCÍCIO No 3
Em uma pesquisa com jogadoras de basquete foram coletados os seguintes pesos corporais em quilogramas: 65 66 62 66 63 61 67 63 64 62 68 67 65 64 65 66 63 64 65 66 64 63 64 66 65 63 64 65 64 63 64 63 64 68 69 70
a) Qual foi o tamanho da amostra (n)?b) Qual é o maior peso e o menor?c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos.d) Faça o agrupamento em 3 classes.
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar
Medidas de Tendência CentralDisciplina de Probabilidade e Estatística
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ESTATÍSTICA
Nos dão uma idéia de onde se localiza o centro, o ponto médio de um determinado conjunto de dados.
Medidas: Média, Moda e Mediana.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
f
x
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ESTATÍSTICA
É um valor típico representativo de um conjunto de dados. Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição.
Modos de calcular
1) para dados simples
2) para valores distintos
3) para agrupamentos em classes
MÉDIA
x = S x / n
x = S fx / n
x = S fx / n
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ESTATÍSTICA
1) Cálculo para dados simples
MÉDIA
x = S x / n
S x = Soma dos valores
n = tamanho da amostra
x = (16+18+23+21+17+16+19+20)
8
x = 18,75
16 18 23 21
17 16 19 20
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ESTATÍSTICA
2) Cálculo para valores distintos
x f fx 2 3 6 3 3 9 4 4 16 5 9 45 6 6 36 7 2 14 8 1 8 Total 28 134
MÉDIA
x = S fx / n
S fx = Soma dos produtos
dos valores distintos
com a frequência
n = tamanho da amostra
x = 134 x = 4,7857 28
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ESTATÍSTICA
3) Cálculo para agrupamentos em classes
Classes f x fx
39 50 4 44,5 178 50 61 5 55,5 277,5 61 72 5 66,5 332,5 72 83 6 77,5 465 83 94 5 88,5 442,5
Total 25 - 1695,5
MÉDIA
x = S fx / n
S fx = Soma dos produtos
dos valores distintos
com a frequência
n = tamanho da amostra
x = 1695,5 x = 67,82 25
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ESTATÍSTICA
É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.
Para um número par de termos a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores intermediários.
Interpretação:
50% dos valores estão abaixo ou coincidem com a mediana e 50% estão acima ou coincidem com a mediana.
MEDIANA
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ESTATÍSTICA
1) Cálculo da mediana para dados simples
MEDIANA
2 3 4 5 6
7 8 9 10
PMd =(n+1) / 2
PMd = (9+1) / 2
PMd = 5o Termo
Mediana (Md) = 6
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ESTATÍSTICA
2) Cálculo da mediana para valores distintos x f fa 2 3 3o
3 3 6o
4 4 10o
5 9 19o
6 6 25o
7 2 27o
8 1 28o
Total 28 -
MEDIANA
PMd =(n+1) / 2
PMd = (28+1) / 2
PMd = 14,5
x entre 14o e 15o Termo
Mediana (Md) = 5
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ESTATÍSTICA
3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes
Classes f x fa
39 50 4 44,5 4o
50 61 5 55,5 9o
61 72 5 66,5 14o
72 83 6 77,5 20o
83 94 5 88,5 25o
Total 25 - -
MEDIANA
PMd =(n+1) / 2
PMd = (25+1) / 2
PMd = 13o Termo
Classe Mediana
61 72Mediana (Md) = 66,5 (estimativa)
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ESTATÍSTICA
3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes
Pode-se fazer a interpolação da classe mediana
MEDIANA
Classe Mediana
61 72
Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A
Li = limite inferior da classe mediana
PMd = posição da mediana
faa = frequência acumulada da classe anterior
f = frequência da classe mediana
A = amplitude da classe mediana
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ESTATÍSTICA
3) Cálculo da mediana para agrupamentos em classes
Interpolação da classe mediana
MEDIANA
Md = Li + ((PMd - faa) / f ) . A
Md = 61 + ((13 - 9) / 5) . 11
Mediana (Md) = 69,8
Classe Mediana
61 72
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ESTATÍSTICA
É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Símbolo = Mo
MODA
1) Moda para dados simples
Exemplos:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 AMODAL
2, 3, 3, 4, 5, 6 ,7 MODA = 3
2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 BIMODAL (Mo = 3 e Mo = 5)
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ESTATÍSTICA
2) Moda para valores distintos x f 2 3 3 3 4 4 5 9 6 6 7 2 8 1 Total 28
MODA
O valor 5 tem o maior número de ocorrências (9)
Mo = 5
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ESTATÍSTICA
3) Moda para agrupamentos em classes
Classes f x fa
39 50 4 44,5 4o
50 61 5 55,5 9o
61 72 5 66,5 14o
72 83 6 77,5 20o
83 94 5 88,5 25o
Total 25 - -
MODA
Moda Bruta
Ponto médio da classe de maior frequência
Mo = 77,5
É uma estimativa
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ESTATÍSTICA
3) Moda para agrupamentos em classes
MODA
Moda de King
Mo = Li + (A . f2 / (f1 + f2))
Li = limite inferior da classe modal
A = amplitude do intervalo da classe modal
f1 = frequência da classe anterior a modal
f2 = frequência da classe posterior a modal
Mo = 72 + (11 . 5)
5 + 5
Mo = 77,5
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ESTATÍSTICA
MÉDIA: Apropriada para Dados Numéricos
MODA: Apropriada para Dados Nominais
MEDIANA: Apropriada para Dados Ordinais
Dados Nominais: Só se usa a Moda.
Dados Ordinais: Pode-se usar a Mediana e a Moda.
Dados Numéricos: Pode-se usar a Média, a Mediana e a Moda.
USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
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Mo = 3 . Md – 2 . x
ESTATÍSTICA
MODA DE PEARSON
Quando se conhece o valor da média e da mediana pode-se encontrar a MODA pela aplicação da fórmula de Pearson.
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ESTATÍSTICA
USO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
O salário médio dos empregados é uma relação entre soma e contagem, isto é, o somatório dos salários recebidos dividido pelo número empregados dessa indústria.
O salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.
A mediana salarial dos empregados de uma indústria é o salário que separa os 50% menores dos 50% maiores.
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EXERCÍCIO No 1
Determine a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados
ESTATÍSTICA
6 5 8 4 7 6 9 7 3
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EXERCÍCIO No 2
Determine o menor valor, o maior valor, a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados
ESTATÍSTICA
12 32 54 17 82 99 51 11 44 22
22 33 44 52 76 41 37 10 5 87
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar
Medidas de DispersãoDisciplina de Probabilidade e Estatística
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ESTATÍSTICA
DISPERSÃO DOS DADOS
Vimos que um conjunto de valores pode ser convenientemente sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores representativos - média aritmética, mediana e moda.
Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.
Amplitude, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação
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ESTATÍSTICA
É frequentemente chamada de variabilidade.
Medidas mais comuns: Variância, Desvio Padrão, Amplitude e Coeficiente de Variação
DISPERSÃO DOS DADOS
f
x
Dispersão dos dados
na população
Dispersão dos dados
na amostra
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ESTATÍSTICA
É uma forma de se ver o quanto os dados se afastam da média.Exemplo: Vilarejo com apenas 11 pessoas
135cm 152cm 136cm 152cm 138cm 157cm 141cm 163cm 143cm 170cm 152cm
Dispersão na População
Média = 149cm
Mediana e Moda = 152cm
Valor Máximo = 170cm
Valor Mínimo = 135cm
Amplitude = 35cm
Alturas de 11 pessoas
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ESTATÍSTICA
Alturas (N=11) x - x (x - x)2 135cm 135-149 -14 196136cm 136-149 -13 169138cm 138-149 -11 121141cm 141-149 -8 64143cm 143-149 -6 36152cm 152-149 3 9152cm 152-149 3 9152cm 152-149 3 9157cm 157-149 8 64163cm 163-149 14 196170cm 170-149 21 441Total 1314
Dispersão na População
s 2 Variância
= 1314 / 11
= 119,454 cm2
s Desvio Padrão
= 119,454
= 10,92 cm
Soma dos desvios quadráticos
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s2 = S ( x - x )2 / N
ESTATÍSTICA
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA POPULAÇÃO
Variância da população
Desvio Padrão da população = Raiz quadrada da variância
= s s2
Como a dispersão nas amostras é menor do que na população, se faz um ajuste matemático.
![Page 60: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/60.jpg)
ESTATÍSTICA
Variância da Amostra ( s2 ou v )
s2 = S ( x - x )2 / ( n -1 )
Desvio Padrão da amostra ( s ou DP ) = Raiz quadrada da variância
s = s2
A dispersão nas amostras é menor do que na população, por isso é que se faz este ajuste matemático
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA AMOSTRA
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ESTATÍSTICA
SIGNIFICADO:
É um modo de representar a dispersão dos dados ao redor da média.
DESVIO PADRÃO
f
xMédia
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ESTATÍSTICA
A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B, logo o desvio padrão de A é maior do que o de B.
DESVIO PADRÃO
f
xMédia
Curva A Curva B
x
f
Média
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ESTATÍSTICA
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O desvio padrão depende da unidade de medida usada, assim um desvio medido em dias será maior do que um medido em meses.
O coeficiente de variação expressa o desvio-padrão como porcentagem do valor da média.
COEF. VARIAÇÃO = 100 . DESVIO PADRÃO
MÉDIA
Quanto menor for este coeficiente mais homogênea é a amostra.
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ESTATÍSTICA
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Classificação da proporção que o desvio padrão apresenta sobre a média.
GRAU DE HOMOGENEIDADE DOS DADOS
até 10% ÓTIMO
de 10% a 20% BOM
de 20% a 30% REGULAR
acima de 30% RUIM
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ESTATÍSTICA
EXERCÍCIOS
1) Determine a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:
4 5 5 6
6 7 7 8
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ESTATÍSTICA
2) Determine o valor de n, a amplitude, a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:
22 32 45 22 46 76 24 21 78 43 21 58 92 11 16 28 33 73 11 29 22 47 28 24 21 53 36 88 99 18 Como a base de dados
é extensa sugere-se que os cálculos sejam feitos com o uso da planilha eletrônica Microsoft Excel .
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ESTATÍSTICA
FUNÇÕES FÓRMULAS NO EXCEL
Contagem Numérica =CONT.NÚM(A1:A30)
Mínimo =MÍNlMO(A1:A30) Máximo =MÁXlMO(A1:A30)
Total (Soma) =SOMA(A1:A30)
Média =MÉDIA(A1:A30) Moda =MODO(A1:A30)
Mediana =MED(A1:A30)
Variância =VAR(A1:A30)
Desvio padrão =DESVPAD(A1:A30)
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar
ProbabilidadesDisciplina de Probabilidade e Estatística
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69
ESTATÍSTICA
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Fonte: www.blogdogaz.com.br
A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar)
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.
Será que o ônibus vai demorar?
Será que essa chuva vai passar?
70
ESTATÍSTICA
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Ao começarmos o
estudo da probabilidade,
normalmente a primeira
ideia que nos vem à
mente é a da sua
utilização em jogos, mas
podemos utilizá-la em
muitas outras áreas.
71
ESTATÍSTICA
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Exemplo na área comercial:
Um site de comércio
eletrônico utiliza a
probabilidade para prever a
possibilidade de fraude por
parte de um possível
comprador.
72
Fonte: http://www.morcego.blogger.com.br/2007_03_01_arch
ive.html
ESTATÍSTICA
![Page 73: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/73.jpg)
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Conforme DuPasquier, em uma série de
observações de um conjunto natural, realizadas em
circunstâncias idênticas, um atributo x ocorre com
frequência relativa, cujo valor é uma aproximação da
probabilidade, aproximação esta tanto maior quanto
maior for o número de observações.
(CASTANHEIRA, 2010)
73
ESTATÍSTICA
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Fonte: http://www.trendfollowingbovespa.com.br/2012_12_01_archive.html
74
ESTATÍSTICA
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Pierre Simon Marquis de Laplace
Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 Paris, 5 de março de 1827
Foi um matemático, astrônomo e físico francês considerado o paida Teoria das Probabilidades.
75
ESTATÍSTICA
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TEORIA DAS PROBABILIDADES
Os teoremas de base das probabilidades podem ser
demonstrados a partir dos axiomas das probabilidades
e da teoria de conjuntos.
Calcula a chance de um evento
ocorrer
76
ESTATÍSTICA
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Experimento Aleatório
Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando realizados em condições
praticamente iguais.
Ex.: Lançamento de um dado
Observação do sexo de recém-nascidos
Lançamento de uma moeda
Jogar duas moedas
77
ESTATÍSTICA
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Espaço Amostral (S)
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
Exemplo: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
S2 = { M, F }
S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa
S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... }
S5 = { CC, CK, KC, KK }78
ESTATÍSTICA
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Espaço Amostral no Lançamento de 3 Moedas
79
ESTATÍSTICA
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Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente denotado por letras maiúsculas.
Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento.
Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.
Exemplo: lançamento de um dado
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento A = sair face par (evento composto)
Evento B = sair 1 (evento simples) 80
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados possíveis.
Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade do evento A é dada por:
P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
81
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Qual é a probabilidade de cair CARA no lançamento de uma moeda?
P(A)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
P(A)= 1/2 ou seja 50%
82
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Qual é a probabilidade de sair o número 6 no lançamento de um dado?
P(B)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
P(B)= 1/6 ou seja 16,6667%
83
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Qual é a probabilidade de cair um número PAR no lançamento de um dado?
P(C)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
P(C)= 3/6 ou seja 50%
84
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Lançando-se dois dados simultaneamente, qual é a chance da soma dos resultados ser igual a sete?
P(D)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
Jogar um dado E outro (multiplicação)
P(D)= 6/36 ou seja 16,6667%
E = MultiplicaçãoOu = Soma
85
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, qual é a chance de aparecer coroa na moeda e um número menor
que 4 no dado?
P(E)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
Coroa na moeda E >4 no dado (multiplicação)
P(E)= ½ x 3/6 ou seja 25%
E = MultiplicaçãoOu = Soma
86
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Uma urna tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas são sacadas dessa urna sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de ambas serem brancas?
P(F)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
1 branca E outra branca (Multiplicação)
P(F)= 4/9 x 3/8 ou seja 16,6667%
E = MultiplicaçãoOu = Soma
87
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Uma urna tem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual é a probabilidade de obter um número par ou menor que 5?
P(G)= N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
N.º total de casos possíveis
Par OU Menor que 5 (Soma)
P(G)= 10/20 + 2/20 ou seja 60%
E = MultiplicaçãoOu = Soma 2 e 4 já haviam sido contados
88
ESTATÍSTICA
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE
Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é de 1/25. Quando está doente a probabilidade de ser devorada por predadores é de ¼ e de 1/40 quando não está doente. Qual é a probabilidade de uma ave, escolhida aleatoriamente, dessa população ser devorada?
DOENTE E SER DEVORADA SADIA E SER DEVORADA
1/25 x ¼ = 1/100 = 1% 24/25 x 1/40 = 24/1000 = 2,4%
Chance de uma ave Sadia OU Doente ser devorada
Soma das probabilidades: 1% + 2,4% = 3,4%
89
ESTATÍSTICA
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90
Fonte: chargesdodenny.blogspot.com
ESTATÍSTICA
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar
Distribuição de BernoulliDisciplina de Probabilidade e Estatística
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ESTATÍSTICA
Jackob Benoulli (1654-1705)
Foi um matemático suíço.
Nascimento: 27 de dezembro de 1654
Basiléia, Suíça.
Falecimento: 16 de agosto de 1705, Basiléia, Suíça.
Educação: Universidade da Basiléia
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ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Estuda o comportamento dos Ensaios de Bernoulli
Sucesso / Fracasso
Na área de teoria das probabilidades, a distribuição de Bernoulli é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso e valor 0 com a probabilidade de falha.
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ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Estuda o comportamento dos Ensaios de Bernoulli
Sucesso / Fracasso
Exemplos:
- Lançar uma moeda e ver se ocorre cara ou não;- Lançar um dado e observar se ocorre 6 ou não;- Numa linha de produção, observar se um item é
defeituoso ou não;- Verificar se um servidor de uma intranet está ativo
ou não.
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ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Ensaios de Bernoulli
Quando x = 1 Sucesso / Quando x = 0 Fracasso
x p (x)
0 1 – p
1 p
Total 1
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ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
A distribuição de Bernoulli é um caso especial da Distribuição Binomial, com n=1
![Page 97: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/97.jpg)
Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja x: nº de bolas verdes. Determinar P(x).
P(x) = 20/50 = 2/5 = 0,4 = 40%
Var(X) = p.q = (2/5).(3/5) = 6/25
ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar
Distribuição BinomialDisciplina de Probabilidade e Estatística
![Page 99: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/99.jpg)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Estuda o comportamento amostral de eventos dicotômicos.
Masculino / FemininoSatisfeito / InsatisfeitoAtrasado / Não-atrasado
Estes eventos são denominados designativos
(sim / não ou sucesso / fracasso)
![Page 100: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/100.jpg)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Ocorre em experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
a. O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n);
b. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas;
c. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados;
d. No decorrer do experimento, a probabilidade de sucesso e de insucesso manter-se-ão constantes.
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ESTATÍSTICA
EXPERIMENTO BINOMIAL
Tem as seguintes características:
( 1 ) consiste de n ensaios;
( 2 ) cada ensaio tem apenas dois resultados: sim ou não;
( 3 ) os ensaios são independentes entre si;
( 4 ) com probabilidade de ocorrer sim, sendo uma constante
entre 0 e 1.Exemplo: Lançamento de uma moeda 3 vezes e observar o número de caras. n = 3 = 0,5
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ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
![Page 103: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/103.jpg)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Binômio de Newton
![Page 104: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/104.jpg)
ESTATÍSTICA
Simplificando a Fórmula:
Cálculo Probabilístico (Distribuição Binomial):
P (r) = n! . pr . (1 - p)n-r
r! . (n - r)!
n = número de tentativas ou repetições do experimento
r = proporção desejada de sucessosn - r = proporção esperada de fracassosp = probabilidade de sucessos
![Page 105: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/105.jpg)
Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar
Distribuição de PoissonDisciplina de Probabilidade e Estatística
![Page 106: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/106.jpg)
ESTATÍSTICA
Siméon Denis Poisson (1781-1840)
Foi um matemático e físico francês.
Nascimento: 21 de junho de 1781, Pithiviers, França
Falecimento: 25 de abril de 1840, Sceaux, França
Educação: École Polytechnique
![Page 107: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/107.jpg)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Considera as situações em que se avalia o número de ocorrências de um tipo de evento por unidade de tempo, de comprimento, de área, ou de volume.
Exemplos: Número de consultas a uma base de dados em um minuto; Número de pedidos a um servidor num intervalo de tempo; Número de erros de tipografia em um formulário; Número de defeitos em um m2 de piso cerâmico;
![Page 108: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/108.jpg)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
SUPOSIÇÕES:- Independência entre as ocorrências do evento considerado;- Os eventos ocorrem de modo aleatório (não há tentativas de
aumentar ou reduzir as ocorrências do evento, no intervalo considerado)
![Page 109: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/109.jpg)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
x = número de ocorrências no intervaloλ (lambda) = número médio de ocorrências no intervalo
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287
Observação: e = Número de Euler, Número de Nápier, Número de Neper, Número Neperiano
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ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3 consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto não ocorra nenhuma consulta:
!0
3)(
03
e
xp
%9787,4049787068,0)( xp
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ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3 consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorra apenas 1 consulta:
!1
3)(
13
e
xp
%9336,141493361205,0)( xp
![Page 112: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/112.jpg)
ESTATÍSTICA
EXEMPLO:
Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de 3 consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram 2 consultas:
!2
3)(
23
e
xp
%4042,22224041808,0)( xp
![Page 113: Curso de Graduação em Engenharia - CCE0292 Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. Graduação em Administração - ESAG/UDESC Doutorado e Mestrado em Engenharia.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081602/552fc15f497959413d8e75e7/html5/thumbnails/113.jpg)
ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
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Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Retornar
Distribuição NormalDisciplina de Probabilidade e Estatística
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ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL x DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Média, Moda e Mediana
x
y
x
y
Média, Moda e Mediana
Variável dicotômica (sim ou não, sucesso ou
fracasso)
Dá para enumerar os possíveis resultados
Variável contínua (infinitos resultados possíveis)
Não dá para enumerar os possíveis resultados
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ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Média, Moda e Mediana
x
y Variável contínua (infinitos resultados possíveis)
Não dá para enumerar
os possíveis resultados
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ESTATÍSTICA
CURVA NORMAL
É descrita pela média e pelo desvio padrão.
A mediana, a média e a moda coincidem.
A curva é simétrica ao redor da média.
A curva é mesocúrtica.Média, Moda e
Medianax
y
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ESTATÍSTICA
CURVA NORMAL
As inferências em pesquisas em administração estão baseadas em dados, cuja distribuição é normal.
A curva normal (Gauss) é simétrica, unimodal e tem forma de sino.
É assintótica em relação ao eixo horizontal (eixo x).
Média, Moda e Mediana
x
y
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ESTATÍSTICA
CURVA NORMAL
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ESTATÍSTICA
A ESTATÍSTICA Z
0x
y
1 DP 1 DP
2 DP2 DP
3 DP 3 DP
-1 +1-2 +2 +3-3
A estatística Z (standard score) está baseada na curva normal.
Mede o afastamento de um valor em relação a média em unidades de desvios padrão.
Z = x - x
s
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ESTATÍSTICA
A ESTATÍSTICA Z
0
x
y
-1 +1-2 +2 +3-3
Exemplo:
A altura média dos estudantes da ESTÁCIO é de 1,70m com desvio padrão de 10cm
Z = x - x
s
z
170160 180150140 190 200
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ESTATÍSTICA
ÁREAS DA CURVA NORMAL
Áreas
-1DP a +1DP 68,27%
-2DP a +2DP 95,45%
-3DP a +3DP 99,73%
-1,96DP a +1,96DP 95%
Média a 1DP 34,13%
Média a 2 DP 47,72%
Média a 3DP 49,86%
Média, Moda e Mediana x
y
1 DP 1 DP
2 DP2 DP
3 DP 3 DP
-1 DP +1 DP-2 DP +2 DP +3 DP-3 DP
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ESTATÍSTICA
ÁREAS DA CURVA NORMAL
0
x
y
-1 +1-2 +2 +3-3 z
34,13%
47,72%
49,86%
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ESTATÍSTICA
ÁREAS DA CURVA NORMAL
0
x
y
-1 +1-2 +2 +3-3 z
68,27%
95,45%
99,73%
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ESTATÍSTICA
TABELA Z
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ESTATÍSTICA
Média, Moda e Mediana
(continuação)
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ESTATÍSTICA
Média, Moda e Mediana
No Microsoft Excel
=DIST.NORM (x; média; s; 1) - 1
= DIST.NORMP (z) - 1
Fornece o valor da área entre x e a cauda
direita.
Fornece o valor da área entre z e a cauda
direita.
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ESTATÍSTICA
EXERCÍCIOS
1) O processo de fabricação de uma determinada empresa apresenta a média de peso de uma peça igual a 100g e desvio padrão de 1,5 g. Qual é a proporção de peças entre 100 e 102g?
100 102
0 ?
x
z
Z = (x - média) / desvio padrão = (102 - 100) / 1,5 = 1,33
na tabela qdo z = 1,33 a área é de 50% - 9,18% = 40,82%
?
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ESTATÍSTICA
2) Calcule as seguintes proporções de peças:
(a) com peso entre 98 e 102g
(b) abaixo de 98g
(c) acima de 102g
(d) abaixo de 100g
(e) abaixo de 96,5g
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Fonte Bibliográfica
BARBETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 5.ed. Florianópolis: UFSC, 2006.
BARBETA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2008.
BRUNI, A. L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
BRUNI, A. L. Excel Aplicado à Gestão Empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
CASTANHEIRA, N. P. Estatística Aplicada a Todos os Níveis. 5.ed. São Paulo: IBPES, 2010.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
LEVIN, J. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. 7.ed. São Paulo: Harbra, 2007.
SPIEGEL, M. R. Estatística. 8.ed. São Paulo: Makron Books, 2006.
STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2007.
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The Wrap-up
A little knowledge of statistic helps you understand a lot about the information which is presented to you.