Pedro J. MianaCursodeAnalisisFuncionalDepartamento de MatematicasUniversidad de ZaragozaPresentacionEscribir unlibro de texto de Analisis Funcional enel Departamento deMatematicas delaUniversidaddeZaragozaes ungranreto. Lafamadeeste departamento tanto a nivel nacional como a nivel internacional nos haceserexigentesconnosotrosmismos. Presentamosestetextoconhumildadeilusion.El Analisis Funcional es una asignatura de sntesis y de abstraccion, congrancantidaddeaplicacionesdentrodel AnalisisMatematico, enotrasra-masdelasMatematicaseinclusoenotrasciencias. Tieneunagranbellezaintrnseca, aplicaciones variadas, y es el origen de importantes teoras matema-ticas.Existen buenos libros, algunos verdaderas obras de arte y otros casi enci-clopedias, del Analisis Funcional. A menudo estan escritos para el profesor opara un alumno avanzado, tal vez estudiante de tercer ciclo. Nos proponemospresentaruntextobaseadecuadoparaelalumnadodesegundociclodelosactuales planes de estudio. Este libro esta pensado para una asignatura cua-trimestral de75creditos. El ultimocaptulosobreteoraespectral puedesersuprimidoenasignaturasdemenorduracion.Cadacaptuloincluyeunasecciondeejerciciosyotradenotashistoricasquepermitenal lectorcom-prender los resultados del Analisis Funcional de una forma mas coherente.Quiero terminar esta presentacion mostrando mi agradecimiento a todaslaspersonasquemehanayudadoaelaborarymejorarestetexto. GraciasaRaquel, JoseLuis, Bienveyatodosmiscompa nerosdel areadeAnalisisMatematico de la Universidad de Zaragoza por su ayuda y apoyo.Deseo que la lectura de este libro sea interesante y satisfactoria.Zaragoza, 13 de enero de 2006 P.J.M.8ANataliaBrevesapunteshistoricosEl origendel AnalisisFuncional esm ultiple. Hayquienlosit uaenel pro-blema de la cuerda y membrana vibrantes y los problemas de contorno de lasecuacionesdiferenciales.CercanaseencuentralaFsicanewtonianaconsusnumerososproblemas, amenudoinconexosensuformulacionyquedieronorigen, entre otras, a las teoras del calculo de variaciones y de las ecuacionesintegrales. Volterra al estudiar la variacion del area encerrada por una curvacuandolacurvavara, trabajaconaplicacionesquetienenpordominiodedenicionunconjuntodefunciones. Hadamardles dael nombredefun-cionales por lo que Levy propone el nombre de la teora que la estudia comoAnalisis Funcional.Literalmente el termino Analisis Funcional hace referencia a la idea deanalizarespaciosdefuncionesatravesdefuncionalesactuandoenestoses-pacios. Eligiendohabilmenteel espaciodefuncionesylosfuncionalessobreel, sepodranresolverecuacionesfuncionales. Enlasprimerasdecadasdelsiglo XX, esta tecnica fue empleada satisfactoriamente en diversas areas comoecuaciones integrales, supercies minimales, ecuaciones en derivadas parciales,analisis armonico y problema de los momentos.Durantelosa nosveintelateoraespectral deoperadorestuvosorpren-dentes aplicaciones a problemas unicamente planteados en espacios de Hilbert.La aparicion en 1932 del libro de John von Neumann Mathematische Grund-lagen der Quantenmechanik y de Linear Transformations in Hilbert Spacesand Applications in Analysis de Marshall Stone mostraron la aparicion dela teora de operadores (en espacios de Hilbert) como una parte propia perontimamenterelacionadoconloqueseconoceahoraporAnalisisFuncionalLineal.Por aquellos a nos el Analisis Funcional Lineal experimento su primer grandesarrollo. Muchasdelasideasempleadascristalizaronenprincipiosgene-ralesqueseformularonydemostraron. Variastecnicasevolucionaronparaaplicarlasaproblemaslinealesmasgeneralesquelosplanteadosenespaciosde Hilbert. Tres principios basicos fueron pronto reconocidos.12 BrevesapunteshistoricosEl teoremadeextensiondeHahn-Banach. Un funcional lineal y continuo enun subespacio vectorial de un espacio normado admite una extension continuay lineal a todo espacio.El teoremadeBanach-Steinhaus. Toda familia de operadores lineales y con-tinuosentreespaciosdeBanachqueestepuntualmenteacotadaenlabolaunidad esta uniformemente acotada.Elteoremadelaaplicacionabierta. Un operador lineal, continuo y sobreyec-tivo entre dos espacios de Banach es abierto.En1932latraduccionfrancesaOperationsLineairesdel librodeSte-fan Banach aparecio. En el, estos tres teoremas fueron presentados como lospilares fundamentales del Analisis Funcional. Despues de formular cada prin-cipioensuformamasgeneral,Banach proporcionabaunagranvariedaddeaplicaciones de cada principio. Haba asegurado el papel central de estos re-sultados en el estudio de problemas lineales.En los a nos treinta y principios de los cuarenta las fronteras del AnalisisFuncional fueron continuamente extendidas (con el resultado logico de ciertaperdida en la denicion del Analisis Funcional). Cada resultado probado eraobtenido mediante una rapida incursion en un territorio inexplorado. Las in-vestigaciones de Gelfand en la estructura de algebras de Banach conmutativasreunicaron la teora general del Analisis Funcional Lineal con la teora de ope-radores para dar lugar, entre otras cosas, a una demostracion sorprendente delteoremaespectralparaoperadoresacotadosnormales.LateoradeGelfandtambien fue usada para estudiar los grupos abelianos localmente compactos,unanuevapruebadelresultadodedualidaddePontryaginfueobtenida.Elanalisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos llegaba a ser unrealidad factible y el Analisis Armonico haba nacido.Despues de la Segunda Guerra Mundial la escuela francesa de Analisis Fun-cional continuo la labor que la escuela polaca haba iniciado y desarrollo unaserie de investigaciones intensivas sobre la estructuras de los espacios vecto-riales topologicos, especialmente sobre los espacios de funciones dierenciablesy sus duales. Laurent Schwartz jo la teora de distribuciones (una teora an-ticipada por otros pero incuestionable a partir de la labor fructfera realizadapor Schwartz). El escenario estaba montado para uno de los hitos alcanzadosporel AnalisisFuncional: el descubrimientodeBernardMalgrangeyLeonEhrenpreisquetodaecuacionenderivadasparcialeshomogeneaconcoe-cientes constantes tiene solucion distribucional fundamental. Su demostraciones una vuelta de tuerca del teorema de Hahn-Banach.Aprincipiosdelossesentalasherramientasqueunjovenanalistafun-cional necesitaba eran diversas como eran sus posibles aplicaciones. La teorade Choquet unio el Analisis Funcional Lineal con la teora de operadores; estohizo que la teora de la medida fue una valiosa aliada del Analisis Funcional.Tecnicas y motivaciones probabilsticas invadieron el Analisis Funcional y laBrevesapunteshistoricos 13teoradeoperadores; el analisis complejoproporcionointeresantes proble-masquepodanserreformuladosysolucionadosenelcontextodelAnalisisFuncional. Practicamente todas las areas del Analisis trasladaron sus propiosproblemas, tecnicaseintuicionesal AnalisisFuncional paraobtenernuevosresultados.Estos desarrollos dieronsus frutos. Largamenteperoinapropiadamenteconsiderados, problemas clasicos en espacios de Banach fueron atacados conespriturenovado.SolounospocosdelosproblemasplanteadosporBanachensumonografapermanecensinresolver.Esmas,aplicacionesdelateorade estructura de espacios de Banach se han encontrado en Analisis Armonico,teora de la probabilidad, teora de interpolacion, teora de la aproximacion yen la distribucion de los valores propios de operadores en espacios de Hilbert.El estudio de operadores enunespacio de Hilbert ha experimentadotambien profundos desarrollos. El ultimo de ellos ha unido la teora de ope-radores conlaK-teorayharesueltodiversas asuntos entrelageometradiferencial y la topologa algebraica.Actualmente el termino Analisis Funcional incluye una gran variedad decampos matematicos. Como descripcion general, suele decirse queelAnalisisFuncional esel estudiodeciertasestructurasalgebraico-topologicasydelosmetodosporlosqueel conocimientodeestasestructuraspuedeseraplicadoaproblemasdeAnalisis (Epstein).ParteIEspaciosdeBanachEnestaprimerapartedel cursonoscentramosenel estudiodeloses-paciosnormados,queenelcasodesercompletossedenominanespaciosdeBanach. Aunque dentro del Analisis Funcional existen ejemplos importantesde espacios vectorial topologicos que no son normados, el espacio normado esla estructura principal sobre la que se asienta esta memoria. Pretendemos daruna vision rica en ejemplos, resultados y aplicaciones de la teora de AnalisisFuncional en estos espacios.En el primer captulo repasaremos algunos conocimientos que el alumno yadebe poseer, recordandole especialmente algebra lineal y topologa elemental.Tambien probaremos resultados nuevos para ellos que sirven para centrar ideassobre los objetos a los que vamos a dedicar nuestro estudio, hablamos de losespacios vectoriales nito-dimensionales o del algebraC([a, b]).En el segundo captulo trabajaremos en los espacios Lp. Estos espacios sonimportantes tanto en el Analisis Matematico como en la Matematica Aplicada.Damos una presentacion detallada que ayudara al estudiante a entenderlos yaplicar estos conocimientos en otras materias como por ejemplo, Analisis deFourier,EcuacionesenDerivadasParciales,oAnalisisEspectral.Se nalamosademas que es necesario poseer conocimientos previos de la asignatura de laTeora de la Medida. Si este no es el caso, es posible desarrollar esta captuloen el contexto de la medida de Lebesgue y de los espacios de Lebesgue Lp()con Rn.En el tercer y ultimo captulo nos centraremos en tres teoremas fundamen-tales sobre aplicaciones lineales y acotadas entre espacios normados. La impor-16tancia de estos resultados en el Analisis Funcional es sobradamente conociday es ilustrada con varias aplicaciones.1IntroduccionalosespaciosnormadosEn este captulo recordamos conceptos ya conocidos por el estudiante en cursosanteriores y jamos la notacion que usaremos a lo largo del curso. Partiendodeuncontenidomnimo, esuncaptuloquepermitevariarsuscontenidosyeltiempodededicaciona eldependiendodel niveldelosestudiantes,lasperspectivas del curso y su orientacion denitiva.Losespaciosvectorialesnormadossonespaciosintermediosentreloses-paciosvectorialestopologicosylosespaciospre-Hilbertyuncontextoade-cuadoparael AnalisisFuncional. Launioncoherentedel espaciovectorialylatopologa(provenientedeunanorma)dotaalespaciodeunestructurarica y que permite un estudio en detalle. La dimension del espacio vectorialescrucial endiversosresultados, porejemplo, laestructuradelosespaciosvectoriales de dimension nita esta perfectamente determinada, vease seccion1.3. Las aplicaciones lineales y continuas pueden ser usadas para comparar unespacionormadoconotroeidenticarlos(seccion1.2).Sia nadimosunase-gunda operacion al espacio vectorial de forma adecuada se obtiene un algebranormada. El teoremadeWeierstrassesunresultadonotableenel algebraC([a, b]). Tantoejemplosdeespaciosnormadoscomodealgebrasnormadassoncomentadosendetalleenestecaptulo, algunosconocidosparael estu-diante y otros nuevos.Daremoscomoreferenciasbasicasloslibros[Co] y[MV] yconunnivelsuperior [BN], [R] y [RN].1.1EspaciosnormadosComenzamosrecuperandoel conceptodeespaciovectorial, estudiadoenlaasignatura deAlgebra Lineal.Sea K el cuerpo de los n umeros reales R o complejos C y cuyos elementosllamamos escalares. Sobre un conjunto de elementosX(que denominaremosvectores)sedenendosoperaciones:lasumadevectores,+,operacionin-ternaenXyel productodeunvectorporunescalarK, x, K,18 Introducci onalosespaciosnormadosx X. Un espacio vectorial (X, +, , K) esta formado por el conjuntoX, lasdosoperacionesanteriores,+, yelcuerpodeescalares Kcumpliendounaserie de propiedades conocidas. Por ejemplo, la buena coexistencia de las dosoperaciones se expresa a traves de las propiedades distributivas.Denicion1.1Sea(X, +, K) unespaciovectorial. Sellamanormaaunaplicacion || : X R tal que(i) |x| 0 y |x| = 0 si y solamente six = 0 conx X.(ii) |x| = [[ |x| para K yx X.(iii) |x +y| |x| +|y| parax, y X.Al par (X, ||) se le llama espacio normado. Una aplicacionp : X [0, )que cumpla solo las condiciones (ii) y (iii) se llama seminorma.Nota. Es posible denir normas distintas sobre el mismo espacio vectorial X,como el alumno puede conocer en Rny que recordaremos mas adelante en elEjemplo 1.Unanormaenunespaciovectorialinduceunametricad : XX R,(invariante por traslaciones) denida mediante,d(x, y) := |x y|, x, y X.El espacio (X, d) es un espacio metrico. La metrica d induce una topologa denXsiendo una base local (B(x, ))>0 el conjunto de las bolas centradas enel vectorx X:B(x, ) := y X [ |x y| < = x +B(0, ), > 0.Escribiremos BX(x, ) si queremos hacer explcito el espacio de Banach X. Labola unidad cerrada se denota porD(0, 1),DX= D(0, 1) = B(0, 1) = x X; |x| 1.Analogamente se utilizan las bolas cerradasD(x, ) conx Xy > 0.Aunque esta no es la notacion estandar en el Analisis Funcional, preferimosseguirlaparabeneciodelalumnado.Enasignaturasanteriores,enespecialenTopologayGeometraElemental,labolaunidadabiertacentradaenelorigen se denota por B(0, 1). Mantendremos esta notacion y escribiremos parala bola unidad cerradaD(0, 1), se nalando a nuestro alumnado que en textosde Analisis Funcional el concepto importante son las bolas cerradas y que sepuedenencontrarlaescrituraBXparadenotarlabolaunidadcerradadelespacioX.El espacio (X, d) es un espacio topologico y permite hablar de clausura deun conjunto, A, o del interior, Int(A), con A X; de propiedades topologicascomo densidad, separabilidad, compacidad; al ser espacio metricos, son espa-ciosT2o de Hausdor, es decir, para todox = y X, existen un entorno deEspaciosnormados 19x y un entorno dey disjuntos entre s. Tambien recordaremos las denicionesde funciones continuas y de funciones abiertas. Un espacio topologico se dicelocalmentecompacto si cada punto admite una base de entornos compactos.Todos estos conceptos se suponen conocidos por el estudiante y se comentaranbrevemente cuando vayan a ser utilizados.Volviendo a espacios normados, las operaciones algebraicas y la norma deun espacio normado(x, y) x +y, (, x) x, x |x|,son aplicaciones continuas. En espacios normados (como en cualquier espaciometrico) la continuidad de aplicaciones se puede probar a traves de sucesiones.Denicion1.2Sean (X, ||) un espacio normado y (xn)nN X.(i)La sucesion (xn)nN se dice convergente a x Xsi para todo > 0 existen0 N tal que |xnx| < para todon > n0.(ii) La sucesion (xn)nNse dice deCauchy si para todo> 0 existen0 Ntal que |xmxn| < para todom, n > n0.Si (xn)nNconverge ax se escribe limnxn = x,xn x o limn|xnx| = 0.Toda sucesion convergente es de Cauchy, pero en algunos espacios no todasucesion de Cauchy es convergente.Denicion1.3Un espacio de Banach X es un espacio normado tal que todasucesion de Cauchy es convergente (es decir,Xes un espacio completo).Enespacios normados es posibledenir series devectores. SeanXunespacionormadoy(xn)nN X. Laserie n=1xnsediceconvergenteax XsilimNNn=1xn = x,yseescribe x= n=1xn. Laserie n=1xnesdeCauchysi lasucesion(Nn=1xn)NNes de Cauchy. La serie n=1xnse dice que convergeabsolu-tamente si la serien=1|xn| converge.Laconvergenciadelasseriesabsolutamenteconvergentescaracterizanalos espacios de Banach como probamos en la siguiente proposicion y usaremosen varios resultados de este texto.Proposicion1.4SeaXun espacio normado. EntoncesXes un espacio deBanach si y solamente si toda serie absolutamente convergente es convergente.Demostracion.SeaXunespaciodeBanachy n=1xnunaserieabsoluta-mente convergente. Notemos que toda serie absolutamente convergente es unaserie de Cauchy, y comoXes un espacio de Banach, la serie es convergente.Recprocamente, sea ahora una sucesion de Cauchy (xn)nN X. Noteseque la sucesion (xn)nN Xes convergente si y solo si la serie20 Introducci onalosespaciosnormadosn=0(xn+1xn)es convergente, yambos lmites coincidensi x0=0. Por ser lasucesion(xn)nN Xde Cauchy, existenn1< n2< n3.... < nk... de modo que|xmxn| 0 tal que|x|

a|x|;y se dicen equivalentes si existen constantes 0 < a < b tales quea|x| |x|

b|x|,paratodox X. Enestecasoseindicaque || ||

(esunarelacionde equivalencia). Notese que dos normas son equivalentes si y solo si inducenen Xla misma topologa. El Teorema de los isomorsmos de Banach permiteidenticar normas equivalentes y normas comparables en espacios de Banach(ejercicio 3.4).Sea (X, ||) un espacio normado e Y X un subespacio de X (recordamosquelossubconjuntosYXqueheredanlaestructuradeespaciovectorialdeXson los subespaciosvectorialesdeX). Entonces (Y, ||) es un espacionormado.Ademassi XesBanachentoncesY esunespaciodeBanachsiysolo siYes cerrado enX.Sea Yun subespacio cerrado en un espacio vectorial normado X. El espaciovectorial cociente X/Yes un espacio normado con la norma cociente ||X/Ydada por|x +Y |X/Y:= inf|x +y| ; y Y .La norma cociente genera la topologa cociente, y si X es de Banach, entoncestambien lo esX/Y .Paraterminarestaseccioncomentamosendetallealgunosejemplosdeespacios normados.Ejemplos (1) Espacios Kn. SeaX= Knconn N, 1 p y se denela norma ||p : RnR como|(x1, x2, . . . xn)|p =

nk=1[xk[p1p, 1 p < ,Espaciosnormados 21y |(x1, x2, . . . xn)|= max1kn[xk[. Se cumple que ||pes una norma y(Kn, ||p) es un espacio normado.La desigualdad triangular de la norma | |p se llama a menudo desigualdadde Minkowski,

nk=1[xk +yk[p1p

nk=1[xk[p1p+

nk=1[yk[p1p,y se prueba a partir de la desigualdad de Holder: si 1 < p < y1p +1q= 1,entoncesnk=1[xkyk[

nk=1[xk[p1p

nk=1[yk[q1q,vease una prueba en ejercicio 1.1.Notese que|(x1, x2, . . . xn)|

nk=1[xk[p1p n1p|(x1, x2, . . . xn)|y por tanto ||p ||qcon 1 p, q . A partir de ahora consideraremosel espacio vectorial Kndotado de la topologa usual, generada por cualquierade las normas equivalentes ||pcon 1 p .(2) Espacios de sucesiones KN. Sea 1 p < y el espacio vectorial

p:= (xn)n=1 K ;n=1[xn[p< .Se dene la norma|(xn)|p :=

n=1[xn[p1p,y (p, ||p) es un espacio de Banach.El espacioes denido como

:= (xn)n=1 K ; supn[xn[ < ,y la norma |(xn)|:= supn[xn[< . El par (, ||) es un espacio deBanach. Los subespaciosc, c0yc00se denen comoc : = (xn)n=1 K ; (xn) es convergente ,c0 : = (xn)n=1 K ; limnxn = 0,c00 : = (xn)n=1 K ; existen0 N tal quexn = 0 para todon > n0.Notese quec00 c0 c y quec0, yc son subespacios cerrados de ypor tanto (c0, ||) y (c, ||) son espacios de Banach.22 Introducci onalosespaciosnormadosEl espacio (c00, ||) es normado, pero no es completo. La clausura dec00en(, ||)eselsubespacio(c0, ||),mientrasquelaclausuradec00en (p, ||p) es el propio espacio (p, ||p) con 1 p < .(3)Espacios defunciones continuas. SeaKunconjuntocompactodeunespacio topologico de Hausdor. Sea el espacio vectorialC(K) denido porC(K) := f: K K ; fcontinua,ylanorma |f|:=maxsK[f(s)[.Elpar(C(K), ||)esunespaciodeBanach y la convergencia en ||se llama convergencia uniforme.El espacioC0(Rn) denido porC0(Rn) := f: RnK ; fcontinua, limxf(x) = 0,con la norma |f| := supsRn [f(s)[ es un espacio de Banach.Por ultimoseann Nya, b Rcona 0 tal que |T(x)| C|x| parax X.Aplicacionesentreespaciosnormados 23Demostracion.Esclaroque(i) (ii).Probemosque(ii) (iii).Porcon-tinuidad en 0 existe> 0 tal que |T(x)|< 1 si |x|n0, entonces |Tm(x) Tn(x)| |x| para todom >n0.ComoT(x) = limmTm(x) entonces |T(x) Tn(x)| = |(T Tn)(x)| |x|y |TnT| paran > n0. .Nota. En el captulo tercero probaremos (como consecuencia del teorema deHahn-Banach) que la completitud de Yes una condicion necesaria si L(X, Y )es espacio de Banach (Teorema 3.5 (ii)).24 Introducci onalosespaciosnormadosDos espacios normados X e Yson isomorfos si existe T: X Ybiyectiva,lineal, continuaydeinversacontinua. EnestecasoseescribeX Y yesequivalente a que existanm, M> 0 tales quem|x| |T(x)| M|x|, x X.En el caso en queXeYsean espacios de Banach toda aplicacion biyectiva,lineal y continua entre ellos es un isomorsmo, (Corolario 3.25). Notese queun mismo espacio vectorialXdotado con dos normas equivalentes puede serconsiderado como dos espacios vectoriales isomorfos.Un isomorsmo isometrico es un isomorsmo T: X Ytal que |T(x)| =|x| parax X. En este caso desde el punto de vista del Analisis Funcionales posible identicar los espacios.Denicion1.7SeaXun espacio normado sobre K. Se llama espaciodual,X

, al espacioX

:= L(X, K).Porel teoremaanterior, si XesunespacionormadoentoncesX

esdeBanach.Ejemplos. Podemos identicar los siguientes espacios duales(c0)

= 1; (p)

= q,1p + 1q= 1, 1 < p < ; (1)

= ,como sigue. Seax (xn)n E=c0, p, con 1 p< ey (yn)n E

.Entoncesy(x) =n=1xnyn.En la seccion 2.5 probaremos versiones mas generales de estos resultados.1.3EspaciosdedimensionnitaLacondicionde dimensionnitaenlos espacios vectoriales normados esmuyexigenteyprovocafaltadevariedad. Todoslosespaciosvectorialesn-dimensional normados son isomorfos, las normas en un espacio vectorial nitodimensional sonequivalentesylosconjuntoscerradosyacotadossoncom-pactos.Teorema1.8Toda aplicacion lineal de Knen cualquier espacio normadoXes continua.Demostracion.SeaT: KnXunaaplicacionlineal.Si ejnj=1eslabasecanonica de Kn, y (1,, n) Kn, tenemos que|T(1,, n)| = |nj=1jT(ej)| nj=1[j[|T(ej)|Espaciosdedimensionnita 25 |(1,, n)|2nj=1|T(ej)| C|(1,, n)|2donde C =nj=1|T(ej)|. Entonces Tes continua por la Proposicion 1.5. .El siguiente teorema prueba que Knes, salvo isomorsmos, el unico espacionormadon-dimensional sobre K.Teorema1.9(Teoremade Tichonov) Sea Xunespacionormadode di-mensionnsobreK. Entoncestodabiyecci onlineal deKnenXesuniso-morsmo.Demostracion. SeaT : KnXunabiyeccionlineal. Por laproposicionanterior existeC> 0 tal que|T(x)| C|x|, x Kn.SeaahoraSn= x Kn; |x|2=1queal seruncompactodeKn,entonces T(Sn) es un compacto de X; al ser Tinyectiva, entonces 0 T(Sn).En particular T(Sn) es un subconjunto cerrado de Xque no contiene al cero.Por tanto existe > 0 tal queD(0, ) T(Sn) = . Ademas probaremos queD(0, ) T(DKn(0, 1)). En caso contrario, seaz D(0, ) ` T(DKn(0, 1)). AlserTsobreyectivaexistex Kntal quez=T(x)y |x|2>1. PortantoT(|x|12x) D(0, ) T(Sn) llegando a contradiccion. En conclusion,T1(D(0, )) DKn(0, 1),y por tanto|x|2 |T(x)| parax Kn, concluyendo queTes un isomor-smo. .Corolario1.10Las siguientes armaciones son ciertas.(i) SiXes un espacio normado de dimension nita, toda aplicacion lineal deXen otro espacio normadoYes continua.(ii)Toda biyeccion lineal entre dosespacios normadosdedimension nitaesunisomorsmo. Enconsecuencia, dosespaciosnormadosdedimensionnita son isomorfos si, y solo si, tienen la misma dimension.(iii) Todaslasnormassobreunmismoespaciovectorial dedimensionnitason equivalentes.(iv)Todo espacio normado de dimension nita es un espacio de Banach.(v) Todo subespacio nito dimensional de un espacio normado es cerrado.(vi)Un subconjunto de un espacio normado de dimension nita es compactosi y solo si es cerrado y acotado (Teorema de Bolzano-Weierstrass).Demostracion. (i) SeanXun espacio normadon-dimensional yT:X Yuna aplicacion lineal. Siempre se puede denir una biyeccion lineal T1 : KnX.PorelteoremaanteriorT1esunisomorsmo,ycomoT T1: KnY26 Introducci onalosespaciosnormadoseslineal, porel Teorema1.8escontinua. PortantoT=(T T1) T1escontinua.(ii) Sean X e Yespacios normados. Si X e Yson isomorfos, entonces son alge-braicamente isomorfos y por tanto tienen la misma dimension. Recprocamente,si X e Ytienen la misma dimension nita, entonces existe una biyeccion linealy por (i) es continua.(iii) Sean Xun espacio de dimension nita sobre K y ||1, ||2 dos normassobre X. Consideremos la aplicacion identidad de IX: (X, | |1) (X, | |2),la cual es un isomorsmo y por tanto las normas son equivalentes.(iv) SeaXun espacio de dimension nitan sobre K. Por el teorema anteriorXes isomorfo a Kn, y como este es completo,Xes completo.(v) SeanXun espacio normado yMun subespacio-nito dimensional deX.Por el apartado (iv)Mes completo y por tanto es cerrado.(vi) SeanXun espacio normado de dimension nitan sobre K yA un sub-conjunto de X. Si A es compacto entonces es cerrado y acotado (esto es ciertoencualquierespaciometrico). Recprocamente, seaAcerradoyacotadoyseaT: X Knunisomorsmo. EsclaroqueT(A)escerradoyacotadoenKn, luegoT(A)escompacto, yporlacontinuidaddeT1sesiguequeA = T1(T(A)) es compacto enX. .Las armaciones analogas a las anteriores en el caso de espacios vectorialesinnito dimensionales son falsas. Es mas, el teorema de Bolzano-Weierstrasscaracteriza los espacios de dimension nita.Teorema1.11(Teorema de Riesz) SeaXun espacio normado. Las siguien-tes armaciones son equivalentes.(i)Xes de dimension nita.(ii)Todo conjunto cerrado y acotado deXes compacto.(iii)La bola unidad cerradaD(0, 1) es compacta (Xes localmente compacto).Demostracion. La implicacion (i) (ii) es el teorema de Bolzano-Weierstrass.Es claro que (ii) implica (iii). Solo falta concluir que (iii) implica (i). Por serD(0, 1) compacto, existenx1, x2. . . xntal queD(0, 1) ni=1D(xi, 12).SeanY= spanx1, . . . , xn yQ : X X/Yla aplicacion cociente. Al serQsobreyectiva, abierta, lineal y cumplir que |Q| 1, se tiene queDX/Y (0, 1) = Q(DX(0, 1)) ni=1Q(xi +D(0, 12))=12Q(DX(0, 1)) =12DX/Y (0, 1),donde aplicamos queQ(xi) = 0 ya quexi Y . De forma reiterada se obtieneque DX/Y (0, 1) 12nDX/Y (0, 1) para todo n N. Si z DX/Y (0, 1) entoncesAlgebrasnormadas 27z 12nDX/Y (0, 1) y |z|X/Y 12npara todon N. Por tantoDX/Y (0, 1) =0, asX/Y= 0 yX = Y . .Nota. Esta demostracion del teorema de Riesz es debida a Choquet. Existenotrasqueinvolucranel lemasobrelaexistenciadeelementoscasi ortogo-nales o lema de Riesz [CM, p.18].1.4AlgebrasnormadasDenition 1.12. UnalgebranormadaAesunespacionormadosobre Kconuna segunda operacion interna, producto,AA A, (x, y) xy tal que(i) x(yz) = (xy)z,(ii) x(y +z) = xy +xz, (x +y)z) = xz +yz,(iii) (xy) = (x)y = x(y)y |xy| K|x||y| conK> 0, x, y, z A, y K. Un algebradeBanaches un algebra normada completa.Se dice que el algebra de Banach es conmutativa sixy = yx conx, y A;con unidad si existee A tal queex = xe = x para todox A; con unidadaproximadasiexiste(en)n Atalqueenx xyxen xconx A.Launidad aproximada (en)nse dice acotada si existeK> 0 tal que |en| 0 tal que [f(t)[ cont [a, b]. Sit, s [a, b] entonces2 f(t) f(s) 2.Tomamos>0.Alserfuniformementecontinuaen[a, b]existe>0talque si [t s[ < entonces [f(t) f(s)[ < , es decir, < f(t) f(s) < .Dados [a, b] denimos la funciongs(t) = (t s)2. Notese que si [t s[ ,entonces [gs(t)[ 2. Combinandoambasdesigualdadessetienequeparatodot [a, b], 2gs(t)2 f(t) f(s) + 2gs(t)2.Como cadaPnes positivo y lineal se cumple quePn(f0) 2Pn(gs)2 Pn(f) f(s)Pn(f0) Pn(f0) + 2Pn(gs)2. (1.1)Por hipotesis se tiene que Pn(f0) converge a 1 uniformemente en [a, b] mientrasPn(gs)(s) converge a 0 uniformemente para todos [a, b], ya quegs = f2 2sf1 +s2f0, y por tantoPn(gs)(s) = Pn(f2)(s) 2sPn(f1)(s) +s2Pn(f0)(s) s22s2+s2= 0.Debido a las desigualdades de (1.1) se concluye que Pn(f) converge uniforme-mente afen [a, b].Si fC([a, b]), f : [a, b] Centonces f = 'f+ if con 'f, fC([a, b]) y 'f, f : [a, b]R. Bastaaplicarel casoyademostradoparaconcluir el resultado. .Por el teorema anterior, considerando unos operadores adecuadosPnpo-dremos demostrar la convergencia uniforme. As, el teorema de Weierstrass sedemuestra como consecuencia del Teorema 1.13.Corolario1.14(Teorema de Weierstrass) El conjunto de los polinomios enuna variable es uniformemente denso enC([a, b]).Demostracion. Haciendoel cambiodevariable t a +t(b a) podemossuponer sin perdida de generalidad que [a, b] = [0, 1]. Consideramos los opera-doresBn : C([0, 1]) C([0, 1]) conn = 1, 2, . . . denidos porBn(f)(t) =nk=0f

kn

nk

tk(1 t)nk, t [0, 1].(El polinomio Bn(f) de grado n a lo sumo se denomina polinomio de Bernsteinasociado af). Para probar queBn(f) funiformemente basta probar que30 Introducci onalosespaciosnormadoslosoperadoresBncumplenlashipotesisdelteorema1.13.ClaramentecadaBnes lineal, positivo yBn(f0)(t) =nk=0

nk

tk(1 t)nk= 1,Bn(f1)(t) =nk=1kn

nk

tk(1 t)nk= tn1j=0

n 1j

tj(1 t)(n1)j= t,Bn(f2)(t) =nk=1

kn

n 1k 1

tk(1 t)nk=nk=1

(n 1)(k 1)n(n 1)+1n

n 1k 1

tk(1 t)nk= (1 1n)t2+1nt,paran = 1, 2, . . . . Lo que implica que limn|Bn(fm) fm|= 0 para todom = 0, 1, 2.. Porelteorema1.13setienequelimn|Bn(f) f|= 0paratodof C([0, 1]). .Notas. Existen extensiones del teorema de Weierstrass. El teorema de Stone-Weierstrasscomplejoarmaquesi AesunasubalgebraautoconjugadadeC(K), donde K es un compacto de Hausdor, A separa puntos de K y contienea las funciones constantes, entoncesA es densa enC(K), [Yo, p.10].Sea el espacio de Banach (Cp([, ]), ||) dondeCp([, ]) = f C([, ]) ; f() = f().Sean las funciones (en)nZ Cp([, ]) dondeen(t) = eintcont [, ).Las combinaciones lineales de las funciones (en)nZ,Pn(t) =nj=njeijt, t [, ), j C,sellamanpolinomiostrigonometricos. Si fCp([, ])loscoecientedeFourier def Xse denen mediantef(k) =

f(t)eikt dt2, k Z.La sumas parciales de la serie de Fourier son las sumasSn(f)(t) =nk=nf(k)eikt, t R,n N,mientras que la serie de Fourier defes formalmente la expresionEl teoremadeWeierstrass 31S(f)(t) k=f(k)eikt.Eslogicoesperarquelaserieparcial deFourier, Sn(f)(t), deunafuncionf Cp([, ]) converja al valor de la funcionf(t) en cadat [, ). Sinembargo no es as, vease la seccion 3.5.2. El siguiente teorema completa estainformacion.Corolario1.15(Teorema de Weierstrass trigonometrico) El conjunto de lospolinomios trigonometricos es denso en (Cp([, ]), ||).Demostracion. Sea f Cp([, ]). Entonces f= f1 +f2, con f1 la parte paryf2la parte impar def,f1(x) =f(x) +f(x)2, f2(x) =f(x) f(x)2, x [, ],conf2() =f2(0) = 0. Al ser el conjunto de los polinomios trigonometricosun espacio vectorial basta probar el resultado para funcionesf1yf2con laspropiedades anteriores.Seafuna funcion par en [, ]. Como : [1, 1] [0, ] denida me-diante (t) = arccos(t) es una biyeccion, estrictamente decreciente y continua,la funcionf : [1, 1] C es continua, y por el Corolario 1.14, existe unpolinomiop de modo que|f p| = supt[1,1][f (t) p(t)[ < ,es decir, que|f p cos | = supx[0,][f(x) p(cos(x))[ < .Al serfy cos funciones pares se deduce que tambiensupx[,][f(x) p(cos(x))[ < .Como p cos es unpolinomio trigonometrico (recordemos que cos(t) =(eit+eit)/2) queda probado el resultado para funciones pares.Seaf unafuncionimparen[, ] conf()=f(0)=0. Porlacon-tinuidad uniforme de f en [0, ], jado > 0 existe > 0 tal que si [xx

[ < entonces[f(x) f(x

)[ < .Al ser f unafuncioncontinuaqueseanulaen0yen, existe0t}d(x)=

{xX; 1t}(x, t) 0si t . Como [f(x)[pEt (x) [f(x)[p, por el teorema de la convergenciaacotada, se demuestra que48 LosespaciosLplimt

X[f(x)[pEt (x)d(x) = 0,y por lo tanto limttpf(t) = 0, es decir la parte (ii).Por ultimo para probar (iii), seaEel conjunto denido porE := (x, t) X [0, ) ; [f(x)[ > t.El conjuntoEes / B([0, ))-medible, y la funciont (Et) =f(t) esmedible.PorelteoremadeFubiniyporlaigualdadE(x, t) =[0,|f(x)|)(t)se tiene que

[0,)ptp1f(t)dt =

[0,)ptp1

XE(x, t)d(x)dt=

X

[0,)ptp1[0,|f(x)|)(x, t)dtd(x) =

X[f(x)[pd(x) = |f|pp,con lo que se concluye la prueba. .2.4DensidadenLpEn esta seccion demostramos los dos resultados siguientes. Sea (X, /, ) unespacio de medida. Las siguientes armaciones se cumplen.(i)El conjunto de las funciones simples que pertenecen aLp(X) es denso enLp(X) con 1 p , (Teorema 2.16 y Teorema 2.17).(ii) ElconjuntodelasfuncionescontinuasdesoportecompactoesdensoenLp(X) con 1 p < , (Teorema 2.19).Recordemos que una funcion simple, s : X C, es una combinacion linealde funciones caractersticas de conjuntos medibles, ([Ce, p. 50]). Toda funcionsimples se puede escribir de la formas =nj=1jEj,dondeEj Ek = sij = k,j = 0,Ej /, para todo 1 j n. Debido ala anterior igualdad es facil probar que[s[p=nj=1[j[pEj,yportantos Lp(X)con1 p< si ysolosi (Ej)< paratodo1 j , esto es, la funcions es integrable,s L1(X). Por otra parte todafuncion simple y medibles pertenece aL(X).DensidadenLp49Teorema2.16El conjunto de las funciones simples y medibles es denso enL(X).Demostracion. SeafL(X). Tenemosqueprobarqueexiste(sn)nunasucesion de funciones simples y medibles tal que |f sn| 0 sin .Para toda funcion positiva y medible,f: X [0, ], existe una sucesionde funciones simples y medibles (sn)n1tal que(i)0 s1 s2 . . . sn . . . f;(ii) se cumple quef(x) = limnsn(x) para todox X;(iii)el lmite anterior es uniforme en x X; f(x) = .Vease por ejemplo [Ce, Teorema II.2.1].En el caso en que f L(X) y f 0 la sucesion (sn)n dada en el resultadoanterior cumple que |f sn| 0. Si f L(X) yf:X C, entoncesfse puede escribir de la formaf= f1f2 +i(f3f4) confj : X [0, ),fj L(X), 1 j 4. Aplicando el caso anterior, existen cuatro sucesionesde funciones simples (s(j)n)n, 1 j 4, tales que|f

s(1)ns(2)ni(s(3)ns(4)n)

| 0sin , terminando as la demostracion. .Usando ideas similares se demuestra el siguiente resultadoTeorema2.17El conjuntodelasfuncionessimples,medibleseintegrableses denso enLp(X) con 1 p < .Demostracion. Sea f Lp(X) con 1 p < y f 0. Por la demostracion delTeorema 2.16, existe una sucesion de funciones simples (sn)n ((sn)n Lp(X)con 1 p) tal quesn(x) f(x) para todon 1 ylimnsn(x) = f(x),paratodox X. Como [f(x) sn(x)[p2[f(x)[p, porel teoremadelaconvergencia dominada se tiene que|f sn|pp

X[f(x) sn(x)[pd(x) 0,si n . Enel casof : XCprocedemosdeigual formaqueenlademostracion del Teorema 2.16. .Sea(X, ) unespaciotopologicodeHausdorylocalmentecompacto,(veasedenicionesenlaseccion1.1). Denotamospor B(X)ala-algebraengendrada por los abiertos de X y los elementos de B(X) se llaman borelianosdeX([Ce, p.49]). Una medida : B(X) [0, ] se dice regular si(i)para todo compactoK X, se tiene(K) < ;50 LosespaciosLp(ii) para todoE B(X) con(E) < y > 0, existeVun abierto yKuncompacto tales queK E V , y(V `K) < .Si f: X Cesunafunciondenidaenel espaciotopologicoX, sellamasoporte def, sop(f), al conjunto denido mediantesop(f) := x X; f(x) = 0.Por el ultimo se denota porCc(X) el conjuntoCc(X) := f: X C ; fcontinua y de soporte compacto.El siguiente resultado topologico se enuncia sin demostracion, vease [R2,Teorema 2.12].Lema2.18(Lema de Urysohn) Sean (X, ) un espacio de Hausdor topologicolocalmentecompacto, V unabiertoyKuncompactoconK V .Entoncesexistef Cc(X) tal queK f V.Teorema2.19SeanXunespaciotopologicodeHausdorlocalmentecom-pacto y (X, B(X), ) un espacio de medida con una medida regular. Entoncesse cumple queCc(X) es denso enLp(X) si 1 p < .Demostracion. Supongamos primero quef=E Lp(X) con 1 p< yE B(X). Sea > 0. Como (E) < y es regular existen un K compactoy unVabierto tales queK E Vy(V `K) 0. Porel parrafo anterior para cadai = 1, . . . n, existeni Cc(X) tales que|Ei i|p 0. Por el Teorema 2.17 existes, funcionsimple e integrable, tal que|f s|p 0. Comofn funiformemente enX, existen N tal que[fn(x) f(x)[ 0 tal queiJ[ai[ iJ(['ai[ +[ai[) Kpara todoJ Inito.Recprocamente, consideremos el caso particular en queai 0 para todoi Iy seas = supiJ aiJ I, Jnito K. Tomemos > 0; sabemosque existeJ0 Inito tal ques 0 tales queK|x|2 B(x, x) M|x|2, x H.El funcional bescontinuoparael productoescalarquedene ByporelTeorema 4.37 existe un unicow Htal queB(y, w) = B(w, y) = b(y), y H.Aplicando el apartado (i) concluimos la demostracion de (ii). .Nota.El teoremaanteriorseaplicaenel principiodeDirichlet: dadaunafuncion continua g denida en la frontera del disco unidad del plano complejo,estudiar la existencia de una funcionu continua y armonica en el interior deldisco que coincida cong en la frontera (ver [CM]).ElproblemadeSturm-LiouvilleSeaH1(I) el espacio de Sobolev denido porH1(I) := u L2(I) ; g L2(I) tal que

Iu

=

Ig C(1)c(I),donde C(1)c(I) = C(1)(I) ; con soporte compacto y se denota u

= g.El espacioH1(I) es un espacio de Hilbert con producto escalar'u, v`H1(I) = 'u, v`L2(I) +'u

, v

`L2(I),y la norma asociada |u|H1(I) = |u|L2(I) + |u

|L2(I). La inyeccionH1(I)L2(I) es continua y compacta ([Br, Teorema VIII.7]). Se dice queu H2(I)si u

H1(I). El subespacio de HilbertH10(I) se dene como la clausura deC(1)c(I) en H1(I). El espacio H10(I) es un espacio de Hilbert separable, (veanseestas deniciones en [Br]).SeaI = (0, 1). Consideramos el problema de Sturm-Liouville,DualesdelosespaciosdeHilbert 115

(pu

)

(x) +qu(x) = f(x), x I,u(0) = u(1) = 0,(4.1)dondep C(1)(I), q C(I)yfL2(I). Unasolucionclasicauesunafuncionu H2(I) que cumple la ecuacion (4.1). Nos proponemos demostrarla existencia de soluciones clasicas del problema de Sturm-Liouville.Siu es una solucion clasica de (4.1) entonces se tiene que

Ipu

v

+

Iquv =

Ifv, v H10(I).Consideremos el espaciode Hilbert H10(I) ylaformabilineal continuaysimetricaB(u, v) =

Ipu

v

+

Iquv.Sip(x) > 0 yq(x) 0 entonces esta forma es coerciva, ya queB(u, u) =

Ip(u

)2+

Iqu2 |u

|2L2(I) C|u|2H1(I),donde hemos empleado la desigualdad de Poincare: si I es un intervalo acotadoentonces |u|H1(I) M|u

|2L2(I). Notese que esta desigualdad se cumple, yaque al serInito yu H10(I),[u(x)[ = [u(x) u(0)[ = [

x0u

(t)dt[ |u

|L1(I),y por tanto|u|2L2(I) |u

|2L1(I) |u

|2L2(I),donde aplicamos la desigualdad de Holder.Notese que por el Teorema principal de los problemas variacionales cuadraticos,Teorema 4.40, existeu H10 unica tal queB(u, v) =

Ifv, v H10(I),y ademasu = minvH10(I)

12

I(pv2+qv2)

Ifv

.Es claro que pu

H1(I), y por tanto u

=1ppu

H1(I), con lo que u H2(I)y es una solucion clasica.116 Introducci onalosespaciosdeHilbertEjercicios(4.1) Sea (xn)mn=1una familia ortonormal en un espacio de Hilbert H.Pruebese que para cadax Hmin1,...mK|x mn=1nxn|se alcanza sin = 'x, xn`,n = 1, . . . m.(4.2)SeanHunespaciodeHilbert, x0 HyMunsubespaciovectorialcerrado enH. Pruebese quemin|x x0| ;x M = max['x0, y`[ ;y M, |y| = 1.(4.3) Dado el espacio (C([0, 1]), | |) yM:= f C([0, 1]); 120f

112f= 1.Pruebese queMes convexo y cerrado enC([0, 1]) pero no tiene elementos denorma mnima.(4.4) Pruebese que siM= f L1([0, 1]);

10f= 1 entoncesMes convexoy cerrado enL1([0, 1]) con innitos elementos de norma mnima.(4.5) Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que (xn)n=1 converge debilmenteax,xn wx si para caday Hse tiene que'xn, y` 'x, y`.Pruebese que(i)sixn x entoncesxn wx;(ii) xn x si y solo sixn wx y |xn| |x|.(4.6)SeaAconvexo, cerradoynovacoenunespaciodeHilbert, ysea(xn)n=1 A tal quexn wx. Pruebese quex A.(4.7) Sea (un)n=1 un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert. Demuestreseque un; n = 1, 2, es cerrado y acotado pero no compacto enH.(4.8)Pruebeseque

f(t) cos(nt)dt 0si f L2(T)(lemadeRiemann-Lebesgue).(4.9)SeanH=L2([1, 1]) yun(t) =tnpara n=0, 1, . . . . Aplicandoel procesodeortogonalizaciondeGram-Schmidtseconstruyeunasucesion(en)nortonormal.Ejercicios 117(i) Calcule explcitamente los tres primeros terminos de dicha sucesion.(ii)Pruebeseque(en)nesunasucesiondepolinomios, llamadasucesiondepolinomios de Legendre, que constituyen una base hilbertiana deH.(iii) Pruebese queek(t) =kj=0akjtj, conakk> 0 y tk=kj=0bkjej(t), conbkk> 0.(iv)Pruebesequesi Pnesunpolinomiodegradon,y 'Pn(t), tj`=0para0 j< n, entoncesPn(t) = cnen(t) para ciertocn K.(v) Sea Pn(t) =dndtn(t21)n. Utilizando integracionpor partes reiterada-mentepruebeseque 'Pn(t), tj` =0con0 j 0.(vi)Integrando por partes repetidas veces pruebese que|Pn|22 =(n!)222n+12n + 1y obtengase la formula de Rodrigues:en(t) =

n + 1212nn!dndtn(t21)n.(4.10) Pruebese que entre todas las curvas cerradas y simples en el plano delongitudL la circunferencia es la que encierra un area maxima.Para ello:(i) Demuestrese que sifes una funcion denida en un intervalo [0, 2] deri-vable, conderivadacontinua, entoncesel desarrollodeFourierdef

seobtiene derivando termino a termino el desarrollo de Fourier def.(ii)Si s es el parametro arco entonces la curva admite una parametrizacion enfuncion det := s/L, cont [0, 1], dada porx(t) = a02

n1an cos(2nt) +n1bnsen(2nt)

,y(t) = c0 +2

n1cn cos(2nt) +n1dnsen(2nt)

.Ded uzcase queL2=

10(x

)2(t) + (y

)2(t)dt =n142n2(a2n +b2n +c2n +d2n).118 Introducci onalosespaciosdeHilbert(iii) Muestrese que el areaA que encierra la curva cumple queA =

10x(t)dy(t)dtdt =n12n(andnbncn).(iv)Muestrese queL2 4A 0, (desigualdadisoperimetrica), y que se dala igualdad si y solo si a1 =d1, b1 = c1yan =bn =cn =dn = 0 paratodon 2.Notashistoricas 1194.7NotashistoricasDavid Hilbert nacio en 1862 en Konisberg (Prusia y actualmente KaliningradoRusia) y muri o en 1943 en Gottingen (Alemania). Estudio en la UniversidaddeKonigsbergbajoladirecciondeLindemannconsiguiendosudoctoradoen1885. Unodesus grandes amigos fueMinkowski existiendounafuerteinuencia mutua en sus respectivos progresos matematicos.Abandono Konisberg en 1895 al conseguir un puesto en la Universidad deGottingendondecontinuoense nandoyael restodesucarrera. El puestodominantequeocupabaHilbert enel mundodelas matematicas despuesde1900hizoquevariasuniversidadesintentaranconseguirsinexitoal bri-llante profesor. Gottingen se convirtio en uno de los centros principales de lasMatematicas durante mas de treinta a nos.La capacidad matematica de David Hilbert asombra tanto por la diversi-dad de temas que trato como por la profundidad que alcanzo en ellos. Trabajoen teora invariante y probo su famoso teorema de Bases; en teora algebraicaden umeros; engeometraaxiomaticadondeseleconsideraquehasidoelautor mas inuyente despues de Euclides.EnelSegundoCongresoInternacionaldeMatematicasenParisen1902plantea en su conferencia The Problems of Mathematics una lista de 23 proble-mas (algunos de los cuales todava hoy sin resolver). Es un discurso lleno deoptimismo en las matematicas:Everymathematiciancertainlyshares... theconvictionthat everymath-ematical problemisnecessarilycapableof strictresolution... wehearwithinourselvestheconstantcry:Thereistheproblem,seekthesolution.Youcannd it through pure thought...Muchos han proclamado que en 1915 Hilbert descubrio las ecuaciones co-rrectas de la teora general de la relatividad antes que Einstein pero sin em-bargo nunca lo reclamo. En realidad el artculo de Hilbert publicado el 6 dediciembrede1915nocontienetalesecuacionesmientrasqueaparecenenelde Einstein de 2 Diciembre 1915.Hilbert recibio muchos reconocimientos. En 1930 fue nombrado ciudadanode honor de Konisberg y termino su discurso de agradecimiento con sus seisfamosas palabras que muestran su entusiasmo por las matematicas y por suvida resolviendo problemas matematicos:Wir m ussen wissen, wir werden wissen.D. Hilbert seinteresopor los sensacionales resultados deF. Fredholmsobre resoluciones de ecuaciones integrales en el invierno de 1900-1901. Entre1904 y 1910 Hilbert publico seis artculos sobre las Ecuaciones Integrales en elGottingen Nachrichten, que fueron posteriormente reunidos en forma de libroen 1912. En el aparecen nociones y directrices novedosas que posteriormente,en manos de matematicos como E. Schmidt y F. Riesz, van a convertirse enlosfundamentosdel AnalisisFuncional. Hilbertintroducelosconceptosdesistemaortogonal completodefunciones, pruebasufamosoprincipiode120 Introducci onalosespaciosdeHilberteleccion ( compacidad debil de la bola unidad de 2), estudia el problema deSturm-Liouville y considera formas cuadraticas generales.LasideastopologicasintroducidasenlatesisdeM. Frechet(veaseno-tas historicas del captulo 1) se difundieron rapidamente. Uno de los mejoresalumnosdeHilbert, E. Schmidt, denioen1908el espaciodedimensioninnita2con las nociones actuales de producto escalar, norma, ortogonali-dad, etc. Introdujo el lenguaje geometrico moderno, probando el teorema dela proyeccion ortogonal y el proceso de ortogonalizacion que lleva su nombre.Otros dos jovenes matematicos E. Fischer y F. Riesz tambien adoptaronesta vision geometrica y topologica del espacio de Hilbert, lo que les llevo adescubrir (independientemente) el llamado teorema de Fischer-Riesz (1906-1907). Este teorema establece una inesperada relacion de estos teoremas conotrograndescubrimientodela epoca,laTeoradeintegraciondeLebesgue:el espacio de Lebesgue de funciones de cuadrado integrable sobre [a, b] es iso-morfo al espacio de Hilbert 2. Las consecuencias de este resultado estructuralhicieron ver la importancia del nuevo Analisis y abrieron el camino hacia laintroduccion de los espacios Lpy ppor Riesz y, en denitiva, la aparicion delespacio normado de Banach.5TeoraespectraldeoperadorescompactosnormalesAunque los principales resultados de las proximas secciones y los ejemplos quetrataremosalnaldeestaseccionseenuncianenespaciosdeHilbert,enlaprimera seccion trabajaremos en espacios normados y en espacios de Banach.5.1Inversi ondeoperadores.EspectroSeanXeYespacios normados, y seaT L(X, Y ). Recordemos que se dicequeTesinvertiblesi existeunoperador S L(Y, X)tal queTS=IYyST =IX. Enestecasoseescribe S=T1. NotesequelainversiondeloperadorTresuelve el siguiente problema: dadoy Y encontrarx XtalqueT(x) = y.Denicion5.1SeaXun espacio normado sobre K,T L(X) eIla identi-dad sobreX.(i)Sediceque KesunvalorregulardeT si T I esunoperadorinvertible. El conjunto de los valores regulares de T se denomina el conjuntoresolvente deT,(T).(ii) Los valores no regulares deTse llaman valoresespectrales deT. El con-junto de los valores espectrales deTse denomina espectro deT,(T).Un n umero K se dice que es un valor propio deTsi ker(T I) = 0.El conjunto de los valores propios deTse llama espectro puntual deTyse denotap(T). Notese quep(T) (T).Si p(T) yT(x) = x conx = 0, entoncesx se llama vector propio deTcorrespondiente al valor propio . Al subespacio ker(T I) se le llamasubespacio propio correspondiente al valor propio.EnelcasoqueXseaunespacionitodimensional,dim(X)=nyT L(X), es bien conocido que se cumple la igualdad122 Teoraespectral deoperadorescompactosnormalesn = dim(X) = dim(ker(T)) + dim(T(X)).Notemos que TI es no invertible si y solo si TI es no inyectivo. Por tantoel espectro de T coincide con el espectro puntual de T y esta formado a lo sumopornelementos,lasracesdelpolinomiocaractersticoP() = det(T I)(vease por ejemplo [Hu]).En espacios de dimension innita la situacion es distinta. Sea el espacio deHilbert2y consideremos el operador desplazamiento a derecha,Sr : 2 2denido porSr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .).Notese que 0 (Sr), ya queSrno es sobreyectivo, pero 0 p(Sr), ya quede hechop(Sr) = .Amenudo, enteoradeoperadores, expresiones formales validas enelcampoescalarsecumplentambienparaoperadores.Aslasumadelaseriegeometrica11 a= 1 +a +a2+. . .con [a[ < 1 en el caso escalar inspira el siguiente teorema en el caso vectorial.Teorema5.2SeanXunespaciodeBanachyT L(X)tal que |T|< 1.EntoncesI Tes invertible y se tiene(I T)1=n=0Tnen L(X) siendo |(I T)1| 11 |T|,T0= IyTn= T . . .n T.Demostracion. ComoXes espacio de Banach, L(X) es de Banach (Teorema1.6) y por la Proposicion 1.4 basta comprobar quen=0|Tn| < ,para concluir queS =n=0Tnes convergente en L(X). Notese queS(I T) = S ST= T0= I, (I T)S = S TS = I,es decir que (I T)1= S. Por ultimo|(I T)1| n=0|Tn| n=0|T|n=11 |T|con lo que se concluye la prueba. .El operador (I T)1, con (T), se llama operador resolvente, y esfacil comprobar la identidad de la resolvente,Inversi ondeoperadores.Espectro 123(I T)1(I T)1= ( )(I T)1(I T)1, , (T)(vease por ejemplo [Re, Theorem V.5]).Teorema5.3Sean X un espacio de Banach complejo y T L(X). Entoncesel espectro (T) es unsubconjuntocompactonovacodeCcontenidoenD(0, |T|).Demostracion. Sea C`D(0, |T|). Entonces |T| [1[ |T| entonces|()| = |1(I T)1| = |1n0Tnn| 1[[11 |T|/[[=1[[ |T|.Por el teorema de Liouville vectorial [R, Theorem 3.32], esto implicara que es constante y() = 0, imposible por la denicion de. .Nota. Otra demostracion de este resultado, basico en teora de operadores ymas generalmente en algebras de Banach, puede encontrarse en [Br] y [R].A continuacion consideramos algunos ejemplos de operadores acotados enespaciosdeHilbert. El teorema5.2esutilizadopararesolverproblemasdeinversion.Ejemplos (1) Sea(aij)i,j=1unamatriz innitacon aijKytal quei,j=1[aij[2< . SeanH1, H2dos espacios deHilbert separables dedi-mension innita con bases ortonormales (un)ny (vn)nrespectivamente. En-tonces la formula124 Teoraespectral deoperadorescompactosnormalesT(x) = T

i=1'x, ui`ui

:=j=1

i=1aij'x, ui`vj

dene un operador deH1enH2con|T|

i,j=1[aij[2

12.En efecto, para ver queTesta bien denido hay que probar que la seriei=1aij'x, ui`es convergente, y si denimosbj :=i=1aij'x, ui` entoncesj=1[bj[2< .Basta aplicar la desigualdad de Holder (ejercicio 1.1) para obtener quei=1[aij[ ['x, ui`[

i=1[aij[212

i=1['x, ui`212.Tambien obtenemos que|T(x)|2=j=1[bj[2i,j=1[aij[2|x|2,terminando la prueba.Sii,j=1[aij[2< 1, el sistemaxij=1aijxj = yi, i = 1, 2, . . . ,tieneuna unicasolucionz =(z1, z2, . . .)paracaday =(y1, y2, . . .) 2.Ademas los sistemas truncadosxinj=1aijxj = yi, i = 1, 2, . . . , n,tienenuna unicasolucionz(n)=(z(n)1, z(n)2, . . . z(n)n)ylasucesionJn(z(n))tieneporlmitezen2, dondeJneslainclusiondeKnenlasprimerasncoordenadas de2.Para demostrar la primera parte basta aplicar el Teorema 5.2 al operadorT : 22. SeaTn: 22el operadordenidoapartirdelamatriztruncada, es decir, aij = aijsi 1 i, j n y aij = 0 en otro caso. El sistematruncado de nuevo tiene solucion por el Teorema 5.2, y debido a la unicidadde la solucion esJn(z(n)). Falta comprobar queJn(z(n)) z en2. Para elloInversi ondeoperadores.Espectro 125|z Jnz(n)| = |k=0Tk(y) Tkn(y(n))| = |k=0Tk(y(n)+y y(n)) Tkny(n)| |k=0Tk(y y(n))| +|k=0(TkTkn)(y(n))| |k=0Tk(y y(n))| +|T Tn| |k=0

k1j=0Tk1jTjn

(y(n))|11 |T||y y(n)| +|T Tn| |y(n)|

k=0k1

11 |T||y y(n)| +|T Tn| |y|Cdonde = i,j=1[aij[2.Comolimn|y y(n)| = 0ylimn|T Tn| = 0seconcluye quez = limnJn(z(n)).(2) Seak L2([a, b] [a, b]). Entonces la formulaKf(t) :=

bak(t, s)f(s)dsdeneunoperador acotadoK: L2([a, b]) L2([a, b]) (llamadooperadorintegral con n ucleok) que cumple|K|2

ba

ba[k(t, s)[2dtds.La demostracion es analoga al ejemplo anterior utilizando la desigualdad deHolder integral.Si ba

ba [k(t, s)[2dtds 0 el conjunto n N ; [n[ esnito, yportantolimnn=0. Seax BH(0, 1). Entoncesparacadan N, se tiene que|T(x) nk=1k'x, ek`fk| =

k=n+1[k[2'x, ek`212 sup[k[ ; k > n,donde usamos el ejercicio 5.3, y por tanto Tes compacto al ser lmite en L(H)de una sucesion de operadores de rango nito. .Notas. En el corolario anterior, si H1 = H2 se prueba de identica manera queunoperadorTescompactoautoadjuntosiysolosiloscoecientes(n)nJ140 Teoraespectral deoperadorescompactosnormalessonreales, con0como unicopuntodeacumulacion, yexisteunconjuntoortonormal contable (en)nNtal queT(x) =nJn'x, en`en,paratodox H1=H2.TambiensecumplequeunoperadorT L(H)escompactonormal si ysolosi existenunconjuntodeescalares(n)nJcon0comoel unicopuntodeacumulacion, yunconjuntoortonormal contable(en)nNtales queT(x) =nJn'x, en`en,para todox H.5.5AplicacionesdelteoremaespectralParaterminar este captulodamos dos aplicaciones del teoremaespectralenlapruebadeexistenciadesolucionesdeecuacionesfuncionales(alterna-tiva de Fredholm) y de algunas ecuaciones diferenciales (problema de Sturm-Liouville).5.5.1Alternativa de FredholmDados K, H un espacio de Hilbert, T L(H) e y H, estamos interesadosen encontrar solucion a la ecuacion funcional(I T)(x) = y(comparese con el Teorema 5.2 y ejemplos de la seccion 5.1).Teorema5.21(Alternativa de Fredholm) SeaHun espacio de Hilbert sobreKyT L(H)unoperadorcompactoautoadjunto.Sea(en)nJunabasedeIm(T) tal queTse expresa en la formaT(x) =nJn'x, en`en.(i) Si p(T) 0 entonces para caday Hla ecuacion (I T)(x) = ytiene una unica solucion que viene dada por la formulax =1

y +nJn n'y, en`en

.Aplicacionesdel teoremaespectral 141(ii)Si p(T)`0 entonces la ecuacion (I T)(x) =ytiene solucion siy solo siy ker(I T)), siendo la solucion general, en este caso,x =1

y +nJn n'y, en`en

+z,dondez ker(I T) es arbitrario yJ = n J : n = .(iii) La ecuacionT(x) = ytiene solucion si y solo si,y (ker(T)), enJ['y, en`[21[n[2< .En este caso las soluciones vienen dadas porx = z +nJ1n'y, en`en,dondez ker(T) es arbitrario.Demostracion.Notesequesiexistesolucionalaecuacion(I T)(x)=y,cony Hy 0 = , entonces esta cumplirax =1(T(x) +y) =1

nJn'x, en`en +y

.Por tanto 'x, en` = 1(n'x, en` +'y, en`), o sea( n)'x, en` = 'y, en`.Para probar (i), sea p(T)0. Entonces n = 0 para todo n Jy consideramos la seriex =1

nJn n'y, en`en +y

.La serie anterior converge ya que sip(T) es innito entonces limnn = 0 ysupn[n/( n[ < , con lo quenJ

n n

2['y, en`[2< ,(Proposicion 4.33). Es claro quex expresada por la serie anterior es la unicasolucion de la ecuacion (I T)(x) = y.Para (ii), sea ahora p(T)`0. Si la ecuacion (I T)(x) =ytienesolucionentoncesy Im(I T) (ker(I T))(usamosqueTesau-toadjunto y la Proposicion 5.7 (vi)). Recprocamente, si y (ker(I T))se comprueba que el vector142 Teoraespectral deoperadorescompactosnormalesx =1

y +nJn n'y, en`en

+z,dondez ker(I T)esarbitrarioyJ= n J; n =,satisfacelaecuacion (I T)(x) = y.Por ultimo, para(iii), si laecuacionT(x)=ytienesolucion, entoncesy Im(T) (ker(T)). Por otro lado se tiene quenJn'x, en`en = T(x) = y =nJ'y, en`en,de donde 'x, en` = 1n'y, en` ynJ['y, en`[21[n[2< .Recprocamente, si se cumple quey (ker(T)),nJ['y, en`[21[n[2< ,se comprueba directamente que el vector denido porx = z +nJ1n'y, en`en,dondez ker(T) es arbitrario, es solucion de la ecuacionT(x) = y. .Nota. Se pueden encontrar algunas formulaciones particulares de la alterna-tiva de Fredholm para operadores diferenciales en los problemas de Dirichlety Neumann, por ejemplo en [C, Teorema 13.9].5.5.2Funciones propias del problema de Sturm-LiouvilleSeaI = (0, 1) y consideramos ( problema de Sturm-Liouville)

(pu

)

(x) +qu(x) = f(x), x I,u(0) = u(1) = 0,(5.2)dondep C(1)(I), q C(I)yf L2(I), estudiadoenlaseccion3.6(al-gunos casos particulares se ven en los ejercicios de este captulo). Probamosel siguiente resultado.Teorema5.22Seap C(1)(I)conp > 0enIyq C(I).Entoncesexistenunasucesion(n)n1den umerosrealespositivosyunabasehilber-tiana (en)n1deL2(I) tales queen C(2)(I) y

(pe

n)

(x) +qen(x) = nen(x), x I,en(0) = en(1) = 0.Ademasn sin .Aplicacionesdel teoremaespectral 143Demostracion. Siempre se puede suponer que q 0, en caso contrario elegire-mosCconstante tal queq +C 0, lo cual implica sustituirnporn +C.Porlaseccion4.6sabemosqueparacadaf L2(I)existeu H10(I) H2(I) unicasoluciondel problema(5.2). SeaT : L2(I) L2(I) tal queT(f) = u. Comprobemos que Tes un operador continuo, autoadjunto y com-pacto. Probemos primero queT:L2(I) H1(I) es continuo. Integrando elproblema (5.2) se obtiene que

Ip(u

)2+

Iqu2=

Ifu.Por la desigualdad de Holder obtenemos que|u

|2L2(I) |f|2L2(I)|u|2L2(I).DeestoydeladesigualdaddePoincare(veaselaseccion4.6)resultaque|u|H1(I) C|f|L2(I), dondeCes una constante independiente defy deu,y por tanto|T(f)|H1(I) C|f|L2(I).Comolainyeccionde H1(I) enL2(I) es compacta, (veaseseccion5.3, eloperadorT: L2(I) L2(I) es compacto.Demostremos ahora que

IT(f)g =

IfT(g), f, g L2(I).Siu = T(f) yv = T(g) se tiene que(pu

)

+qu = f,(pv

)

+qv = g.Multiplicando la primera ecuacion porvy la segunda poru, e integrado porpartes, se tiene que

Ipu

v

+

Iquv =

Ifv =

Igu.Notese que ker(T) = 0 ya que si T(f) = u = 0 entonces f= 0 y ademas

IT(f)f=

Iuf=

I(p(u

)2+qu2) 0, f L2(I). (5.3)Por el teoremaespectral, Teorema5.19, L2(I) posee unbase hilbertiana(en))n1formada por vectores propios de T asociada a valores propios(n)n1. Secumplequen>0(yaquen 0porladesigualdad5.3y = 0 porque ker(T) = 0) yn 0.ComoT(en) = nen, entonces(pe

n)

+qen = nen, n =1n.Por ultimo se tiene queen C(2)(I) ya quef= nen C(I). .144 Teoraespectral deoperadorescompactosnormalesEjercicios(5.1) SeaXun espacio de Banach.(i)Si T L(X)esinvertibleyS L(X)estalque |T S|