Simona ROATEI Mircea ARICIUC

4331__________________________________________________________________________ Geometrie diferenial

Capitolul 7

Curbe n plan7.1. Curbe plane. Moduri de reprezentare. Puncte singulare ale curbelor plane.7.2. Lungimea unui arc de curb plan. Elementul de arc. Parametrizare natural.7.3. Exemple de curbe plane celebre7.4. Tangenta si normala ntr-un punct nesingular la o curb plan.7.5. Curbura unei curbe plane

7.6. Cerc osculator

7.7. nfurtoarea unei familii de curbe plane 7.8. Evoluta unei curbe plane 7.1 Curbe plane. Moduri de reprezentare. Puncte singulare.Noiunea de curb se refer la o categorie larg de obiecte unidimensionale continue. Prin definiie, se numete curb funcia prin care un interval de numere reale (un subinterval nevid i conex al mulimii numerelor reale ) este tranformat ntr-o mulime de puncte dintr-un spaiu topologic.

Dac spaiul topologic respectiv este planul matematic (bidimensional) curba se numete "plan". Primele curbe studiate au fost din aceast clas, ca de exemplu linia dreapt i cercul.

Dei ideea de curb corespunde unui obiect conex i unidimensional, exist n matematic numeroase exemple de curbe "stranii" a cror dimensiune este mai mare dect 1 (cum este cazul curbei lui Peano care poate acoperi planul), incluzndu-le pe cele cu dimensiune fracionar care snt studiate ca obiecte fractale, precum fulgul lui Koch. n aceste cazuri intervine proprietatea de nedifereniabilitate a acestor curbe, aspect pe care l vom explica n cele ce urmeaz.Conceptul matematic de curb a gsit numeroase aplicaii ntr-o multitudine de domenii. Iat numai cteva exemple:

n geografie, geodezie, cartografie: curbe de nivel;

n analiza matematic: grafice de funcii;

n geometria tridimensional: seciuni ntre suprafee;

n fizic: traiectorii;

n grafic pe calculator: curbe Bzier, curbe spline;

n economie: curba cererii, curba costului;

n psihologie: curba nvrii, curba uitrii;

n mod intuitiv, o curb poate fi considerat ca fiind traiectoria unui punct material n micare sau un fir material de grosime neglijabil. De asemenea, o curb este reprezentarea geometric a unei funcii, cu alte cuvinte, este graficul funciei.

Originea noiunii de curb se gsete n mecanic (cinematic), iar dezvoltrile ulterioare au impus un studiu sistematic al conceptului de curb.

Acest capitol este dedicat studiului curbelor plane, urmnd ca urmtorul capitol s se ocupe de studiul curbelor n spaiu. Fie un sistem de coordonate carteziene n plan .Definiie. Aplicaia vectorial r : I de clas Ck , , denit pe intervalul real I se numete drum parametrizat n . Definiie. Se numete curb plan de clas Ck submuimea de puncte din plan: = {P | t I : P = r(t) }.

Se noteaz cu r(I ) = Im(r) = {r(t)|t I } i se numete imaginea (urma, suportul) geometric a curbei.n practic, aceast mulime de puncte imagine se numete curb.

Putem gndi parametrul t s fie timpul, iar curba s fie traiectoria unui punct material.

ntruct o curb este plan dac exist un plan care s o conin, alegem un reper cartezian n acest plan, .

Dac notm cu x, y componentele scalare ale vectorului r, atunci:

(sau ), , iar ecuaiile x = x(t), y = y(t) se numesc ecuaiile parametrice ale drumului r, iar t se numete parametru.Observaie. Mai multe drumuri diferite pot s aib acelai suport, adic s aib ca imagine geometric aceeai mulime din spaiu. Astfel de drumuri se numesc echivalente.Observaie.

1. Dac r C0(I ) spunem c este o curb continu.2. Dac r Ck (I ), k 1 spunem c este o curb difereniabil de clasa Ck .3. Dac r ( C(I), adic este o curb ce admite derivate continue de orice ordin i se numete neted.Menionm ns c doar continuitatea aplicaiei (condiia 1) este o condiie prea slab, fapt ce determin generarea unor ciudenii. Un astfel de exemplu este curba lui Peano, care este o curb parametric (se va prezenta n cele ce urmeaz) n plan, ce se afl ntr-un ptrat unitate, fr intersecii i care trece prin fiecare punct al ptratului.

Fig. 7.1.Pentru a evita astfel de anomalii, presupunem c funciile sunt de clas Ck, k > 1, sau cel puin, de clas Ck pe poriuni.Moduri de reprezentare a curbelor planeAvem urmtoarele moduri de prezentare a unei curbe plane:

a. Reprezentarea vectorialOricrui punct al curbei, , i se poate asocia vectorul de poziie , t I. Atunci : I , este numita o reprezentare vectoriala a curbei , iar ecuaia

(7.2)

se numeste ecuaia vectorial a curbei.b. Reprezentarea parametricDaca descompunem vectorii din ecuatia (7.2), atunci obtinem ecuaiile parametrice:

(7.3)c. Reprezentarea explicitFie , f ( C1(I). Graficul su Gf = {(x, f(x)); x ( I} este urma drumului parametrizat , de ecuaii parametrice:

Spunem atunci c ecuaia:y = f(x)

(7.4)

reprezint ecuaia explicit a curbei.d. Reprezentarea n coordonate polare

Ecuaia unei curbe n coordonate polare este de forma

,

unde i sunt coordonatele polare ale unui punct din plan, iar este o funcie derivabil. n acest caz, f() este coordonata . n consecin, curba are ecuaiile parametrice

, .

(7.5)

e. Reprezentarea implicitPrin eliminarea parametrului t din ecuaiile parametrice, obinem ecuaia implicit sau ecuaia cartezian:F(x, y) = 0.

(7.6)Ne ntrebm n ce condiii ecuaia de mai sus poate defini implicit o funcie

y = f(x), deci F(x, f(x)) 0sau de o funciex = f'(y), deci F(f(y),y) 0.

Rspunsul este dat de teorema funciilor implicite:Teorem. Fie o mulime deschis, , F ( C1(D) i un punct (x0, y0) ( D. Dac funcia f admite derivate pariale , continue ntr-o vecintate V ( D a punctului (x0, y0) (D , iar , atunci exist o vecintate deschis I a punctului x0 i o vecintate deschis U a punctului y0, astfel nct V' = I U ( D, precum i funcia unic determinat f : I U, f ( C1(I), cu f(x0) = y0 , astfel nct F(x, y) = 0, adic F(x, f(x)) 0.Relaia (7.1) mai poate fi scris deci, astfel, n care mulimea: = {(x, y) ( D; F(x, y) = 0}definete curb plan de clas C1 avnd ecuaia cartezianF(x, y) = 0.Definiie. Un punct (x0, y0) ( se numete singular dac:

.n reprezentare vectorial, punctul t ( I se numete singular dac .Definiie. Un punct t ( I se numete nesingular dac . Curba de clas C1 se numete nesingular sau neted dac:

Exemplu. S considerm drumurile date prin , r1(t) = (cost, sint), r2(t) = (cos3t, sin3t). Drumul r1 este neted, dar drumul r2 nu este neted, ntruct . Suportul lui r2 are "vrfuri" n punctele corespunztoare celor patru valori ale parametrului (vezi fig.7.2). Prin urmare, noiunea de drum "neted" corespunde coninutului intuitiv al acestui cuvnt.

Fig. 7.2.Definiie. Vectorul se numete vectorul vitez. Pentru k 2, vectorul se numete vectorul acceleraie al drumului r n punctul t. n cazul unui mobil, faptul c , (t ( I, are semnificaia c mobilul "se mic" tot timpul (de aceea punctele singulare se numesc uneori puncte staionare).Exemplu.

Drumul , t (Rcost, Rsint), unde R > 0 i z0 sunt constante, este un drum parametrizat de cals C, nesingular, al crui suport este cercul cu centrul n punctul (0, 0, z0), de raz R, situat n planul z = z0.Definiie. Fie un punct (x0, y0) ( (). Vectorulgrad (7.7)se numete gradientul aplicatiei F. 7.2. Elementul de arc. Lungimea unui arc de curb plan. Parametrizare natural.Fie o curb plan dat de reprezentarea vectorial Considerm o nou valoare a parametrului t = t + h I, h . Obinem astfel doua puncte ale curbei : M(r(t)) si M(r(t + h)). Lungimea arcului MM cuprins ntre punctele M si M' se aproximeaza prin:

.

Fig. 7.3.Elementul de arc ds este dat de relatia:

=ds.S exprimm elementul de arc pentru diverse reprezentri ale curbei .a. Reprezentarea parametric

n acest caz elementul de arc este:

b. Reprezentarea explicitn cazul curbelor reprezentate de ecuaii sub forma:

sau y = f(x), elementul de arc este:

.c. Reprezentarea n coordonate polare

n cazul ecuaiei unei curbe n coordonate polare n forma:

,

sau sub form parametric:

, ,

elementul de arc este:

.

Reamintim unele rezultate din analiz matematic.Definiie. Dou drumuri netede , se numesc echivalente, cu aceeai orientare i vom scrie r ~ , dac exist funcia ( : I J, bijectiv, strict cresctoare, de clas C1 cu ('(t) ( 0, (t ( I, astfel nct r = (. Funcia ( se numete schimbare de parametru.

Exemple.

1) Drumurile netede , r(t) = (cost, sint) i , sunt echivalente cu aceeai orientare. Schimbarea de parametru este dat de funcia ( : [0, ] [1, 1], ((t) = cost.

2) Orice drum neted este echivalent cu drumul , .

3) Drumurile , , au acelai suport i anume cercul cu centrul n origine, de raz 1, dar nu sunt echivalente deoarece nu exist o funcie bijectiv ( : [0, 2] [0, 2] astfel nct r1 = r2 (.Definiie. Drumul parametrizat r : I , unde I = [a, b] se numete rectificabil dac mulimea lungimilor tuturor liniilor poligonale nscrise n suportul drumului este majorat. Marginea superioar a acestei mulimi se numete lungimea drumului r. Teorem. Orice drum neted r : I , unde I = [a, b] ([a, b], r) este rectificabil, iar lungimea acestui drum este:

.

Exemplu. Fie drumul , r(t) = (cost, sint). Avem c . Dac t1, t2([0, 2(], t1 < t2, conform teoremei de mai sus, rezult c lungimea drumului este L = a(t2 t1), adic lungimea unui arc de cerc este egal cu produsul dintre raza cercului i msura n radiani a unghiului la centru.Se poate demonstra c:

un drum echivalent cu un drum rectificabil este rectificabil;

dou drumuri rectificabile i echivalente au aceeai lungime.Definiie. Orice curb care conine cel puin un drum rectificabil se numete curb rectificabil. Prin lungimea unei curbe rectificabile se nelege lungimea comun a drumurilor care alctuiesc aceast curb.Definiie. Drumul r : I se numete cu parametrizare natural (intrinsec) dac , pentru orice s ( I. n acest caz s se numete parametru natural.

Propoziie. Fie I = [0, L], L > 0, r : I un drum parametrizat cu parametrizare natural i A = r(0). Dac M = r(s), cu 0 s L, atunci s este chiar lungimea arcului AM.Demonstraia este imediat.Definiie. Fie I = [0, L], L > 0, r : I un drum parametrizat cu parametrizare natural i A = r(0). Punctul M are coordonatele x(s), y(s), iar s se numete abscisa curbilinie a punctului M fa de "originea" A(x(0), y(0)).Teorem. Pentru orice drum parametrizat neted r : I , exist un drum cu parametrizare narural : J , echivalent cu acesta.Demonstraie. Fie r : I un drum parametrizat neted i t0 ( I un punct fixat. Definim funcia . Funcia ( este derivabil i , deci ( este strict cresctoare. Notm J = ((I) i definim drumul parametrizat , sau . Avem:

.deci . Dar , deci r este echivalent cu un drum cu parametrizare natural.Definiie. Drumul : J se numete parametrizarea natural a drumului r : I .Problem. S se determine parametrizarea natural a drumului

Soluie. Avem cu . Atunci . Rezolvnd n raport cu t, obinem , deci . Imaginea intervalului [0, 2(] prin funcia ( este intervalul . Atunci, drumul cu parametrizare natural echivalent cu drumul dat este .Definiie. Se numete sens pozitiv pe o curb plan, sensul care corespunde la valorile cresctoare ale parametrului ales pe curb. 7.3. Exemple de curbe plane celebrePrezentm n continuare exemple de curbe plane celebre, precum i modul n care se obin ecuaiile acestora n diverse reprezentri.7.3.1. Cisoida lui Diocles

Se consider un cerc de raz dat a i o tangent ntr-un punct A fixat pe cerc. O secant oarecare, dus prin punctul O, diametral opus lui A, taie cercul n C i tangenta n B (fig. 7.3).Definiie. Cisoida lui Diocles este curba ce reprezint locul geometric al punctului P care are proprietatea BP = OC.S determinm ecuaia locului geometric. Considerm punctul O originea reperului, axa Ox dreapta (OA), iar axa Oy perpendiculara n O pe OA (fig. 7.4.).

Fig. 7.4.Fie ( unghiul variabil format de secant cu axa Ox i lungimea segmentului OP.Atunci, coordonatele x, y ale punctului P sunt:x = cos(,y = sin(.

ntruct variaz cu (, trebuie exprimat n funcie de ( i astfel se obine:

.

cum rezult din triunghiurile dreptunghice OAB i OCA.Obinem deci ecuaia cisoidei n coordonate polare, sau reprezentarea polar a cisoidei.() : .Prin introducerea valorii lui n expresiile pentru x i y, se obine:

relaii ce exprim reprezentarea parametric a cisoidei.Prin eliminarea ntre cele dou ecuaii a parametrului (, se obine:

, deci:

sau:

() : x3 + xy2 2ay2 = 0,relaie care constituie reprezentarea implicit a cisoidei.Din ultima ecuaie se obine reprezentarea explicit a cisoidei:

() : .Cisoida lui Diocles este reprezentat grafic n fig. 7.5.

Fig. 7.5.7.3.2. Cicloida lui Diocles

Definiie. Cicloida este curba plan descris de un punct fix de pe un cerc, care ruleaz, fr s alunece, pe o dreapt fix.

Fie O un punct fix al unui cerc de raz a, tangent n O la dreapta (d).Pentru a determina ecuaia cicloidei se consider punctul fix O drept origine a reperului, dreapta tangent (d), drept ax Ox i axa Oy perpendicular n O pe (d) (fig. 7.6.)

Fig. 7.6.Cnd cercul ruleaz din poziia O pn n poziia A, punctul care a fost n O a ajuns n M. Se obine:

, unde ( este unghiul de rulare.n triunghiul OM se obine:

Dac se proiecteaz pe axa Ox, respectiv pe axa Oy, ultima egalitate i se noteaz cu x, y coordonatele carteziene ale lui M rezult: punct de contact O' din poziia A ntr-o poziie arbitrar, cu N.Punctul A va trece n punctul M (fig. 7.6.)

,

.Dar:

,

,

+ = 270,

,

,de unde

sau

care constituie reprezentarea parametric a cicloidei.Eliminarea parametrului ntre cele dou ecuaii parametrice conduce la ecuaia:

care constituie reprezentarea explicit a cicloidei i care n general nu este utilizat .S reprezentm grafic cicloida. Pentru a determina interseciile cu axele de coordonate rezolvm ecuaiile x(t) = 0, y(t) = 0. S remarcm c x(t) = 0 implic t = 0, iar din y(t) = 0 rezult , . Aadar, cicloida trece prin origine i intersecteaz semiaxa pozitiv Ox n punctele de abscise x(tk) = 2ka. Studiem variaia funciilor x(t) i y(t). Avem x'(t) = a(1 cost), y'(t) = asint. Alctuim tabloul de variaie:

t0

2

3

4+

x'(t)0+++ 0+ ++ 0 +

x(t)0

a

2a

3a

4a

y'(t)0+00+00

y(t)0

2a

0

2a

0

n ceea ce privete asimptotele, s observm c nu exist t ( [0, ), astfel nct s fie finit i, deci nu exist asimptote verticale. Pe de alt parte , x +, cnd t +, dar nu exist. Aadar, nu exist asimptote orizontale. Deoarece , nu exist nici asimptote oblice. Alura cicloidei este dat n figura urmtoare.

Fig. 7.7. 7.3.3. Epicicloida. CardioidaDefiniie. Epicicloida este curba descris de un punct de pe un cerc care ruleaz, fr s alunece, pe un alt cerc exterior fix.Fie cercul cu centrul n O' de raz b care ruleaz pe cercul fix cu centrul n O i de raz a.Se alege reperul xOy cu originea n centrul O, iar axele, doi diametri perpendiculari, astfel nct axa Ox s treac prin punctul A, punct iniial de contact ntre cercurile considerate.Se consider rularea cercului O' din poziia A ntr-o poziie arbitrar, cu N punct de contact.Punctul A va trece n punctul M (fig. 7.8).

Fig. 7.8.

Se noteaz:

,

are loc

,adica = b'

de unde

i deci:

relaie care se va utiliza n cele ce urmeaz.Din triunghiul OMO' rezult relaia:

care, prin proiectare pe axele de coordonate, unde x, y sunt coordonatele carteziene ale punctului M al epicicloidei, conduce la:

,

Dar:

,

,

,

Deoarece:

, adic

,rezult

,relaie ce a fost folosit.n acest fel se obine reprezentarea parametric a epicicloidei sub forma:

Definiie. Cardioida este epicicloida n care cele dou cercuri, cel fix i cel mobil, au raze egale.Dac se consider a = b n reprezentarea parametric a epicicloidei, se obine reprezentarea parametric a cardioidei:

reprezentat grafic n fig. 7.9.Prin eliminarea, ntre cele dou ecuaii, a parametrului , se obine:

i

deci

adic

,sau

.Ultimele dou ecuaii, constituie reprezentarea implicit (iraional, respectiv raional) a cardioidei.Prin substituirea formulelor x = cos(, , se obine ecuaia cardioidei n coordonate polare, sau reprezentarea polar a cardioidei:() : = 2a(1 cos(),reperul polar are drept pol, punctul de contact al cercurilor, iar drept ax polar, linia centrelor celor dou cercuri.

Fig. 7.9.7.3.4. Hipocicloida. AstroidaDefiniie. Hipocicloida este curba descris de un punct de pe un cerc care ruleaz, fr s alunece, pe un alt cerc fix, cercurile fiind interioare.Se alege reperul xOy, format din doi diametri perpendiculari ai cercului fix de centru O, astfel nct axa Ox s treac prin punctul A, punct iniial de contact ntre cercurile considerate.Se consider rularea cercului de centru O' din poziia A ntr-o poziie arbitrar, cu N punct de contact ntre cercul fix i cercul mobil. Punctul A va trece n punctul M (fig. 7.10).

Fig. 7.10.

Se noteaz:

,

(n sens trigonometric), i se obine:

,

(n sens trigonometric), adic:

a = b'

de unde:

i deci:

,

relaie care se va utiliza n cele ce urmeaz.Din triunghiul OO'M se obine:

din care rezult:

,

.Dar:

,

,

,

Deoarece:

,(n sens trigonometric) adic:

,de unde:

,relaie ce a fost folosit.n acest mod s-a obinut reprezentarea parametric a hipocicloidei de forma:

Definiie. Astroida este hipocicloida care are patru ramuri simetrice.n acest caz, raza b a cercului mobil trebuie s fie a patra parte din raza cercului fix, pentru ca el s se atearn ntr-o rulare complet pe un sfert de cerc (fig. 7.11).

Fig. 7.11.

Dac se consider a = 4b n ecuaiile parametrice ale hipocicloidei, se obin ecuaiile:

,care constituie reprezentarea parametric a astroidei i care se mai poate scrie i sub forma:

Prin eliminarea parametrului ntre cele dou ecuaii, se obine reprezentarea implicit a astroidei:

.Se vor da n continuare cteva exemple de curbe plane n reprezentarea polar:

= (().

Vom determina n continuare ecuaia unei drepte n coordonate polare.Fie OP = p, distana de la originea O a reperului xOy la dreapta (d), unghiul de nclinare al dreptei (d) fa de Ox i , ( coordonatele polare ale unui punct M ( (d) (fig. 7.11).

Se obine:OP = OMsin,i deoarece = (, rezult din ultima egalitate relaia:p = sin( (),adic ecuaia dreptei n coordonate polare, sau reprezentarea polar a dreptei, sub forma:

, ( = arctg m, m = panta dreptei).

7.3.5. Spirale7.3.5.1. Spirala lui Arhimede

Definiie. Spirala lui Arhimede ia natere prin deplasarea unui punct cu o micare uniform pe o semidreapt, n timp ce semidreapta se rotete n jurul unei extremiti fixe cu o vitez unghiular constant.Se consider semidreapta OD care se rotete cu vitez unghiular constant n jurul punctului O. Punctul M parcurge dreapta cu o vitez constant (fig. 7.12.).

Se noteaz:OM = , i cu t, timpul. Se obine: = vt, ( = t,de unde:

,adic() : = k (,care constituie ecuaia spiralei lui Arhimede n coordonate polare, sau reprezentarea polar a spiralei lui Arhimede (fig. 7.13). Fig. 7.12.

Fig. 7.13.7.3.5.2. Spirala hiperbolicSe construiesc n jurul polului O o serie de cercuri concentrice, care taie axa polar n punctele A1, A2, A3, .... Se duc din aceste puncte pe cercurile respective arce egale, de lungime dat a. Locul geometric al extremitilor acestor arce este spirala hiperbolic (fig. 7.14. a i b).

Fig. 7.14. a

Fig. 7.14. bRezult:

,

sau

1(1 = 2(2 = 3(3 = = a.Coordonatele polare ale punctului Mi verific deci ecuaia: ( = a,de unde:

,este ecuaia n coordonate polare a spiralei hiperbolice, sau reprezentarea polar a spiralei hiperbolice.Din aceast ecuaie rezult c dac , atunci 0, adic punctul de pe curb ajunge n pol dup un numr infinit de mare de rotiri complete. Se spune c polul este punct asimptotic.Mai mult, din:y = sin(i

,se obine:

de unde:

,

ceea ce arat c y = a este asimptot orizontal pentru spirala hiperbolic i motiveaz reprezentarea grafic a ei dat n fig. 7.14. b.Spirala lui Arhimede i spirala hiperbolic sunt cazuri particulare ale spiralelor generale de ecuaie:

.7.3.5.3. Spirala logaritmicDefiniie. Spirala logaritmic este curba n care argumentul ( este proporional cu logaritmul razei vectoare (fig. 7.15), adic:

,de unde:

.

Fig. 7.15.7.3.6. Lemniscata

Definiie. Lemniscata este locul geometric al punctelor cu proprietatea c produsul distanelor la dou puncte fixe este constant i egal cu ptratul jumtii distanei ntre cele dou puncte fixe.

Fig. 7.16.

Se consider F1, F2, cele dou puncte fixe, O mijlocul segmentului [F1F2] i M un punct oarecare al lemniscatei. Prin alegerea reperului polar cu O drept pol i ax polar dreapta (OF2) (fig. 7.16), se obine:

OM = , , OF1 = OF2 = a.

Dac se aplic teorema cosinusului n triunghiurile OMF1, respectiv OMF2, rezult relaiile:

;

,care introduse n definiia locului geometric:MF1 MF2 = a2,conduc la ecuaia:(2 a2)2 4a22cos2( = a4Ultima ecuaie este echivalent cu ecuaia:4 + 2a22 = 4a22cos2(,sau cu ecuaia:2 = 2a2(2cos2( 1)i prin nlocuirea parantezei, se obine ecuaia lemniscatei n coordonate polare, sau reprezentarea polar a lemniscatei, de forma:() : 2 = 2a2cos2( Dac se folosesc formulele , se obine ecuaia:() : (x2 + y2)2 2a2(x2 y2) = 0,adic reprezentarea implicit a lemniscatei.Curba are forma similar cifrei 8 i simbolului .

Lemniscata a fost descris prima dat n 1694 de Jakob Bernoulli ca o modificare a unei elipse, care este locul geometric al punctelor pentru care suma distanelor la dou puncte fixe, numite focare, este constant. Un oval Cassini, prin contrast, este locul geometric al punctelor pentru care produsul acestor distane este constant. n cazul n care curba trece prin punctul de la jumtatea distanei dintre focare, ovalul este o lemniscat a lui Bernoulli.

Lemniscata poate fi obinut ca transformata invers a unei hiperbole, avnd cercul de inversie centrat n centrul hiperbolei.

n figura de mai jos este prezentat lemniscata pentru mai multe valori ale parametrului a.

Lemniscata lui Bernoulli

7.3.7. Foliul lui DescartesFoliul lui Descartes are ecuaiile parametrice:

, t ( 1

Intersecia imaginii curbei cu axele de coordonate este originea axelor de coordonate (t = 0). Prin calcul obinem . Observm c , , deci nu exist asimptote verticale i orizontale. De asemenea:

,

,deci, dreapta este asimptot oblic.

Tabloul de variaie este:

t

1

0

+

x'(t)++ |+ ++ 0

x(t)0

0

0

y'(t) |0+++0

y(t)0

0

0

Alura curbei este cea din fig. 7.17.

Fig. 7.17.7.3.8. Rozata cu trei foiEste curba de ecuaie . Condiia 0 este satisfcut pe [0, 2(] pentru . Dac dou valori ale lui ( difer print-un multiplu de 2(, este acelai, deci punctele corespunztoare coicid. Deoarece '(() = 3asin3(, tabloul de variaie este

( 0

(

'(() | / / |+ + 0 | / /

(()a 0| / / |0 a 0| / /

( (

2(

'(()/ / |+ + 0 | / / |+ + 0

(()/ / |0 a 0| / / |0 a

iar graficul este:

Fig. 7.18. 7.4. Tangenta i normala ntr-un punct regulat la o curb planDefiniie. Se numete tangent la o curb plan () ntr-un punct ordinar M' ( (), poziia limit a dreptei secante la curb i ce trece prin M' i printr-un punct M ( () cnd M M' (fig. 7.19).

Fig. 7.19.Deoarece este vector director al secantei D(M, M'), prin amplicare cu obinem c este tot vector director al secantei D(M, M'). Trecnd la limit, deducem c vectorul

este vector director al tangentei TM().

Scriem n continuare diferite reprezentri pentru ecuaiile tangentei la curba ntr-un punct regulat al curbei: Ecuaia vectorial:

Ecuaiile parametrice:

Ecuaia cartezian

sau unde este panta tangentei.1. Fie curba (), dat n coordonate carteziene ortogonale prin ecuaia explicit:() : y = f(x), x ( (x1, x2) .i fie M un punct ordinar oarecare de pe aceast curb. Ecuaia tangentei n M este de forma:(T) : Y y(x) = m(X x),n care m = y'(x), conform interpretrii geometrice a derivatei. Rezult atunci c ecuaia tangentei este:(T) : Y y(x) = y'(x) (X x),unde X, Y sunt coordonate curente pe dreapta tangent.2. Fie curba () dat prin ecuaia implicit:() : F(x, y) = 0, (x, y) ( D ,care definete pe y ca funcie implicit pe x, se obine:

,conform formulei de derivare a funciilor implicite. Atunci ecuaia tangentei devine:

care se mai scrie dup efectuarea calculelor:

3. Fie curba () dat prin ecuaiile parametrice:

.Ecuaia tangentei se scrie atunci:

,sau sub forma:

Exemple.

1. n planul xOy, fie cercul de centru C(a, b) i raz R > 0. S se arate c tangenta la cerc este perpendicular pe raz n punctul de contact.

Soluie. Ecuaia vectorial a cercului dat este , t ( [0,2(]. Fie M(x, y) un punct de pe cerc. Deoarece i , atunci , deci tangenta la cerc este perpendicular pe raz n punctul de contact.

2. S se stabileasc ecuaia tangentei n punctul (x0, y0) la conica de ecuaie

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.

Soluie. Folosind ecuaia tangentei i innd seama c

obinem atunci pentru ecuaia tangentei:

Aceast ecuaie se mai numete ecuaia dedublat a conicei.

Fig. 7.20.

Definiie. Se numete normal ntr-un punct ordinar la o curb plan, perpendicular pe tangenta n acel punct la curba dat (fig. 7.20). Corespunztor celor trei cazuri considerate n determinarea ecuaiei tangentei, rezult cazurile similare n scopul determinrii ecuaiei normalei:1. Deoarece normala este perpendicular pe tangent, se obine:

,unde este panta normalei n punctul M la curba () dat de ecuaia:y = y(x), x ( (x1, x2) .Ecuaia normalei este aadar:

unde X, Y sunt coordonate curente pe dreapta normal.2. Dac curba () este dat prin ecuaia implicit:() : F(x, y) = 0, (x, y) ( D .se obine:

Ecuaia normalei devine:

,

care dup efectuarea calculelor se mai scrie:

3. Dac curba () este dat prin ecuaiile parametrice:

atunci se obine:

Ecuaia normalei se scrie:

,sau sub forma:

.Observaie. Dac se ine seama de faptul c n cazul n care m = 0 atunci dreapta este paralel cu axa Ox, iar dac m = dreapta este paralel cu axa Oy, se obine pentru i c tangenta este paralel cu Ox, iar dac i tangenta este paralel cu Oy.Condiia ca punctul s fie ordinar este esenial, deoarece n caz contrar ambele derivate pariale s-ar anula i deci nu s-ar putea preciza panta tangentei.Exemplu. S se scrie ecuaiile tangentelor i normalelor n punctele indicate, la curbele:a) y = lnx + 1 n punctul de abscis e;b) x = etcost, y =etsint n punctul A(1, 0);c) x3 + 3x2y y2 + 9 = 0 n punctul B(0, 3).Soluie: a) Punctul de abscis e are ordonata y = 2, iar panta tangentei se calculeaz pentru x = e. Ecuaia tangentei este:

, sau

iar a normalei:

, sau

b) Se observ c punctul A(1, 0) corespunde bijectiv valorii t0 = 0. Derivatele :

,calculate n A au valorile i .Panta tangentei n A este m = 1, iar ecuaia tangentei n A la curba considerat este:(T) : x y 1 = 0.Ecuaia normalei se scrie:(N) : x + y 1 = 0.c) Deoarece:

panta tangentei n B are valoarea m = 0. Ecuaia tangentei n B la curba considerat este:(T) : y 3 = 0, i a dreptei normale:(N) : x = 0. 7.5. Curbura unei curbe planeFie o curb plan dat prin reprezentarea vectorial:

,s ( [0, L],

s fiind abscisa curbilinie, parametrul natural.

Fie M un punct nesingular de pe curb al crui vector de poziie este pentru care 0, cu s = l(M), unde este punctul origine al curbei corespunztor lui s = 0. Fie M' un punct din vecintatea lui M avnd vectorul de poziie astfel nct |s' s| < , > 0 xat.Considerm tangentele la curb n punctele Mi M', care formeaza cu axa Ox unghiurile ' i . Aceasta nseamn c unghiul cele dou tangente va : = .

Fig. 7.21.Definiie. Se numete unghi de contingen al unui arc de curb, unghiul ascuit format de tangentele duse la extremitile arcului.

Definiie. Se numete curbur medie a unui arc de curb, raportul dintre msura unghiului de contingen i lungimea arcului.

Definiie. Se numete curbura unei curbe plane ntr-un punct nesingular, limita curburii medii, cnd lungimea arcului tinde ctre zero. Inversul modulului curburii este raza de curbur a curbei n acel punct.

Observaii.

1) n cazul unei drepte, tangenta n orice punct coicide cu dreapta, deci curbura unei drepte este nul.

2) Curbura unei drepte este prin definiie nenegativ.

3) n cazul unui cerc, unghiul de contingen corespunztor arcului MM' este egal cu unghiul normalelor n M i M', deci cu unghiul razelor n M i M'. Dac R este raza cercului, atunci |s| = R. n consecin, raportul este constant, deci . Aadar, pentru un cerc curbura este aceeai n orice punct i anume inversul razei, deci raza este inversa curburii.

Prin analogie cu cazul cercului, putem folosi urmtoarea definiie.

Definiie. Se numete raza de curbur a unei curbe ntr-un punct inversa curburii n acel punct.

Dac R(t) este raza de curbur ntr-un punct, atunci curbura k(t) n acel punct este

.

Potrivit definiiilor de mai sus se obin pentru curba () urmtoarele relaii (fig. 7.22): = msura unghiului de contingen,

= curbura medie,

= curbura,

.

Fig. 7.22.

Teorem. Se consider o curb plan (), dat n reprezentare explicit:

,de clas cel puin 2 n vecintatea unui punct ordinar al su. Atunci curbura curbei () n punctul ordinar considerat este dat de relaia:

,n care derivatele sunt calculate n punctul considerat.Demonstraie. Fie curba () clas cel puin 2 n vecintatea unui punct ordinar M1(x, y) al curbei (y' ( 0, y" ( 0 i continue), M2(x + x, y + y) un punct al lui () infinit apropiat, de M i (T1), (T2) tangentele n M1 respectiv n M2, care formeaz cu axa Ox unghiurile de msuri i respectiv + (fig. 7.23), deci: = . Curbura medie este:

sau prin mprire cu x a numrtorului i numitorului:

.La limit se obine:

,deci

.S-a folosit faptul c dac s 0 (M2 M1) atunci x 0.Dac se ine cont de interpretarea geometric a derivatei i anume:

,rezult:

= arctgy'i prin derivare n raport cu x se obine:

deci:

, .Observaie. Dac curba plan () este dat n reprezentare implicit:() : F(x, y) = 0, (x, y) ( D .atunci, conform formulelor de derivare a funciilor implicite:

Deoarece clasa curbei este cel puin 2 (teorema lui Schwarz este ndeplinit ) se obine:

Curbura i raza de curbur au atunci expresiile:

,

,n care derivatele sunt calculate n punctul considerat.

Observaia. Dac curba plan () este dat n reprezentare parametric:

atunci se obin formulele:

,

Expresiile curburii i razei de curbur devin:

,

n care derivatele sunt calculate n punctul considerat.n cazul reprezentrii n coordonate polare, = (), ( [1, 2], inem seama c

,

. Avem atunci c:

,

,

,iar formula curburii este n acest caz este:

Raza de curbur este inversa curburii, deci:

.

Exemple.1) Curbura curbei de ecuaii parametrice: x = a(cost + tsint), y = a(sint tcost), a > 0, n , este .

2) Curbura curbei y = cosx este . n particular, k(0) = 1, , k(() = 1.3) S calculm raza de curbur n punctul A(2, 0) a curbei de ecuaie F(x, y) = 16y2 4x4 x6. Calculm , . Atunci, putem exprima x = x(y). Derivnd de dou ori egalitatea 16y2 4x4(y) + x6(y) = 0, obinem: 16y 8x3x' + 3x5x' = 0, 16 24x2x'2 8x3x" + 15x4x'2 + 3x5x" = 0. Scriind aceste relaii n punctul A, rezult x"(0) = 0, x"(0) = . Folosind formula, avem , deci raza de curbur este 2.4) Fie curba = a(1 cos), a > 0, ( [0, 2(]. Deoarece ' = asin, " = acos, obinem raza de curbur .5) S determinm punctele de curbur maxim i minim ale curbei y = chx, x ( . n acest caz, , x ( . Curbura este maxim cnd numitorul este minim, deci cnd x = 0. Aadar, curbura maxim este k(0) = 1, n punctul (0, 1). Curba nu are puncte de curbur minim. 7.6. Contactul ntre dou curbe plane. Cerc de curbur (osculator) ntr-un punctIntuitiv, problema contactului se pune n punctele comune ale celor dou curbe plane i msoar ct de mult se apropie una de alta n vecintatea acestor puncte.Problema interseciei a dou curbe plane i are soluia n problema algebric de rezolvare a sistemului format din reprezentrile analitice ale celor dou curbe.Noiunea de contact ntre curbe plane descrie analitic situaii cum sunt cele prezentate n fig. 7.23. (2)

M0 M0 (1) (1) (2)Fig. 7.23.Se consider curbele plane de reprezentri analitice:

sau

ambele de clas k, k ( . Punctele lor comune se obin prin rezolvarea sistemului:

care este echivalent cu ecuaia:

Cele dou curbe au forma cu att mai asemntoare n vecintatea unui punct M0(t0), cu ct ordinul de multiplicare al lui t0, ca soluie a ecuaiei , este mai mare.Definiie. Dou curbe plane au ntr-un punct comun un contact de ordinul n dac n acel punct sunt confundate n + 1 puncte comune celor dou curbe.Teorem. Fie curbele plane (1) i (2) de clas k, k ( , date respectiv prin ecuaiile:

Condiiile ca ntr-un punct comun M0(t = t0) s existe un contact de ordinul n, n k sunt:

unde

.Demonstraie. Dup cum s-a artat mai sus, determinarea punctelor de intersecie ntre cele dou curbe plane (1) i (2) revine la rezolvarea ecuaiei

Fie ti (i = 1, 2, ..., k, ..., s) rdcinile sale reale. Acestor valori ale parametrului t le corespund punctele Mi(x(ti), y(ti) comune curbelor (1) i (2).Dac n punctul M0 corespunztor valorii t0 a parametrului t, cele dou curbe plane au un contact de ordinul n, atunci pe baza definiiei de mai sus rezult c t = t0 este o rdcin de ordinul n + 1 de multiplicitate pentru ecuaia . Cu alte cuvinte se obin relaiile:

.Observaie. Teorema de mai sus caracterizeaz contactul de ordinul n pentru dou curbe plane, ntr-un punct comun al lor, n cazul n care o curb este dat n reprezentare parametric, iar a doua n reprezentare implicit, iar teorema urmtoare se refer la cazul n care ambele curbe sunt date n reprezentare explicit.Teorem. Dac dou curbe plane (1) i (2) de clas, date respectiv prin ecuaiile explicite:

,

,

au ntr-un punct comun M0 un contact de ordinul n, n k, atunci funciile f1(x), f2(x) i derivatele lor pn la i inclusiv ordinul n, sunt egale n acel punct, derivatele de ordinul n + 1 au valori distincte n punctul respectiv.Demonstraie. Dup cum s-a menionat mai sus, gsirea punctelor comune a dou curbe plane, revine la rezolvarea sistemului format din reprezentrile analitice ale celor dou curbe (1) i (2), adic la rezolvarea sistemului:

care este echivalent cu sistemul:

(i = 1 sau 2).Prin rezolvarea ecuaiei:E(x) f1(x) f2(x) = 0se obin abscisele punctelor comune celor dou curbe plane, fie acestea:x0, x1, x2, , xs,adic:f1(xi) = f2(xi), ( i ( {0, 1, , s}.Dac se presupune c x = x0 este abscisa punctului M0 n care cele dou curbe au un contact de ordinul n, nseamn, n conformitate cu definiia de mai sus, c n punctul M0 se confund n + 1 puncte comune celor dou curbe, adic x = x0 este rdcin a ecuaiei E(x) = 0, de ordinul n + 1 de multiplicitate.Analitic, aceasta revine la faptul cunoscut din analiza matematic: E(x0) = 0, E'(x0) = 0, , En(x0) = 0 i En+1(x0) ( 0.Dac se ine cont de notaia fcut pentru E(x), ultimele relaii se pot scrie sub forma:

, i .Exemplu. Se consider curbele plane:(1) : y = ex,

a) S se afle ordinul contactului lor n punctul comun.b) S se calculeze curbura lor n acel punct.Soluie: a) Fie funcia:

Zeroul funciei E(x), adic abscisa punctului de intersecie a curbelor (1) i (2) este x = 0. Se poate cu uurin verifica unicitatea acestei soluii. Rezult c punctul comun are coordonatele (0, 1). Se calculeaz:

,

,

.Rezult c cele dou curbe au n punctul comun un contact de ordinul 2, adic trei puncte confundate.b) n punctul comun, curburile celor dou curbe sunt egale, deoarece ordinul contactului n acest punct este 2, deci ele admit acelai cerc osculator.

Noiunea de cerc de curbur sau cerc osculator este legat de necesitatea aproximrii unei curbe n jurul unui punct al su printr-un arc de cerc care s aib aceeai curbur ca i curba n punctul respectiv.

Fie o curb parametrizat plan.

Definiie. Se numete cerc de curbur (osculator) al curbei C n punctul M ( , cercul care:

este tangent n punctul M la curba C;

are convexitatea n jurul punctului M ndreptat n aceeai parte ca i urma curbei;

are aceeai curbur ca i curba n punctul M.Centru cercului de curbur se numete centru de curbur.

Se poate da o definiie echivalent astfel:Definiie. Se numete cerc osculator al unei curbe plane ntr-un punct ordinar, cercul care are cu curba n punctul ordinar un contact de cel puin ordinul 2.Teorem. Orice curb plan, de clas cel puin 2 n vecintatea unui punct ordinar al ei, admite un cerc osculator i numai unul n acel punct, care are coordonatele centrului i raza date de expresiile:

,

,

pentru cazul n care curba este dat n reprezentare parametric:

,sau:

,

, ,

pentru cazul n care curba este dat n reprezentare explicit:

.Demonstraie:n scopul studierii existenei cercului osculator, fie curba () dat n reprezentare parametric:

i M0 ( () un punct ordinar, corespunztor la t = t0. Se caut ecuaia cercului sub form implicit:(C ) : (x )2 + (y ()2 R2 = 0,unde (, () coordonatele centrului cercului i R raza cercului, se determin din condiiile de contact. n conformitate cu teorema de mai sus n care:

,

,

,condiiile de contact de cel puin ordinul 2 ntre () i (C ) n M0(t0) sunt:

.Rezult c , (, R sunt soluiile sistemului de ecuaii:

unde:x0 = x(t0), y0 = y(t0), , , , .Dac se consider necunoscutele (x0 ), (y0 () n sistemul format de ultimele dou ecuaii de mai sus, n ipoteza:

,prin regula lui Cramer se obine:

,

de unde se deduc pentru coordonatele centrului cercului osculator expresiile:

,

Pentru a afla raza cercului, se nlocuiesc valorile pentru (x0 ) i (y0 () n ecuaia i se obine:

Dac curba plan () este dat n reprezentare explicit:

,atunci prin trecerea la reprezentarea parametric:

se obine:

, , , , t0 = x0,i deci coordonatele centrului cercului osculator i raza cercului osculator, ntr-un punct ordinar M0(x0) ( () la curba dat n reprezentare explicit, sunt date de:

, ,

Pentru a rspunde complet la problema existenei cercului osculator, trebuie cercetat cazul:

sau pentru reprezentarea explicit () : y = y(x), x ( (x1, x2) , ecuaia echivalent:

care conduce la ecuaia diferenial:y" = 0,de unde prin integrare, se obine:y = c1x + c2,adic ecuaia unei familii de drepte.Observaie. Din definiie rezult c centrul de curbur se afl pe normala la curb n punctul considerat de aceeai parte cu convexitatea. Raza cercului de curbur este raza de curbur R a curbei n punctul respectiv. Deci:

n cazul curbelor definite parametric de ecuaiile x = x(t), y = y(t), t ( I i

pentru curbele definite explicit de ecuaia y = y(x), x ( I.

Cnd curba este concav, ca n fig. urmtoare, y"(x) < 0, deci |y"(x)| = y"(x).

Fig.7.24.Vom folosi atunci formula pentru R:

,

formula corespunztoare curbelor definite parametric fiind

S stabilim formulele pentru coordonatele centrului de curbur. Pentru aceasta, fie M(x(t), y(t)) un punct pe curb i C((t), (t)) centrul de curbur (fig.7.24).

Proiectnd ortogonal segmentul MC pe axele de coordonate, gsim

,

Dar, dac este versorul tangentei, atunci , deci:

.

nlocuind, obinem coordonatele centrului de curbur:

Aceste formulele rmn valabile i n cazul n care curba este convex.Observaie. Cercul de curbur (osculator) ntr-un punct M al unei curbe se mai poate defini ca poziie limit a unui cerc care trece prin trei puncte ale curbei, apropiate de M, cnd acestea tind ctre punctul M.Probleme.1) S se determine coordonatele centrului de curbur ntr-un punct oarecare al cicloidei de ecuaii parametrice

, .Soluie. Efectund calculele, obinem:

,

.

Obinem coordonatele centrului de curbur :

,

.2) Fie elipsa x = acost, y = bsint, t ( [0, 2(]. S se scrie ecuaia cercului osculator n punctul A(0, b).

Soluie. n acest caz . Coordonatele centrului osculator sunt:

, ,

iar raza de curbur este .

Atunci, ecuaia cercului osculator n punctul A este:

. 7.7. nfurtoarea unei familii de curbe plane

Definiie. Mulimea curbelor n care fiecare curb din familie s fie perfect determinatv de valoarea respectiv a parametrului t ( , se numete familie de curbe plane (cu un parametru).

Fie , F ( C1(D). Ecuaia

F(x, y, t) = 0

se numete ecuaia familiei de curbe pentru orice t ( .

(+)

() CdFig. 7.25.Definiie. Fie familia de curbe plane date n reprezentare implicit:

: F(x, y, t) = 0 ,,

de clas k, k 1, astfel nct funcia F s fie difereniabil i n raport cu t.Se consider dou curbe vecine i , unde:

: F(x, y, t + t) = 0,care se intersecteaz n punctul M (fig. 7.26).

Dac t 0, curba tinde ctre curba , iar punctul M ia o poziie limit Ct pe curba .

Punctul Ct, care este punctul de intersecie a dou curbe infinit vecine, se numete punct caracteristic al curbei (t).Prin urmare, fiecare curb din familia are un punct caracteristic.Definiie. Se numete nfurtoare a familiei de curbe plane locul geometric al punctelor caracteristice Ct, ale curbelor din familie.

Fig.7.26.nfurtoarea familiei este o curb plan dac, pentru orice M ( , exist o curb unic din familia care este tangent n M la curba i orice curb din familie nu are un arc comun cu .Teorema. nfurtoarea unei familii de curbe plane date n reprezentare implicit:(t) : F(x, y, t) = 0, (x, y) ( D , .se obine, dac exist, prin eliminarea parametrului t ntre ecuaia dat i ecuaia obinut prin anularea derivatei pariale n raport cu membrul nti al acesteia: .Demonstraie. Sistemul care d coordonatele punctului M:F(x, y, t) = 0,F(x, y, t + t) = 0, este echivalent cu sistemul:

deoarece i acesta rezolvat n raport cu x i y d tot coordonatele punctului M.Dac t 0, punctul M tinde ctre punctul caracteristic Ct pe curba (t). n acest caz sistemul devine:

adic

.Observaie. Dac eliminarea lui t ntmpin dificulti de calcul, se rezolv n raport cu x i y aceste dou ecuaii i se obine:

x = x(t), y = y(t).

relaii care reprezint ecuaiile parametrice ale nfurtoarei.

Deoarece nfurtoarea este format din puncte de contact, aceste ecuaii dau i reprezentarea parametric a nfurtoarei. Punctul (x(t), y(t)) verific ecuaia familiei de curbe, rezult c

F(x(t), y(t), t) = 0.

Derivnd n raport cu t, obinem:

(7.8)Coeficientul unghiular al tangentei la curba nfurtoare n cazul F(x, y, t) = 0 este:

iar n cazul x = x(t), y = y(t) este:

.

Condiia m = m1 conduce la relaia

.

innd seama de (7.8), rezult

.

n consecin, x(t) i y(t) trebuie s verifice sistemul de ecuaii:

(7.9)Aadar, dac nfurtoarea exist, reprezentarea ei parametric se obine rezolvnd sistemul (7.9) n raport cu x i y.

Probleme.

1) S se determine nfurtoarea familiei de cercuri cu centrele pe o hiperbol echilater i care trec prin origine.Soluie: Ecuaia implicit a unei hiperbole echilatere este de forma:(H) : xy a = 0Ecuaiile cercurilor cu centrul n M i care trec prin origine sunt de forma:

Ecuaia nfurtoarei se obine prin eliminarea parametrului t ntre ecuaiile sistemului:

adic

Dac se adun ecuaiile sistemului de mai sus, dup ce n prealabil a doua ecuaie a fost amplificat cu t, se obine:

Dup nlocuirea lui t ntr-una din ecuaiile sistemului, rezult ecuaia implicit a nfurtoarei:(I) : (x2 + y2)2 16axy = 0.2) S se gseasc ecuaia nfurtoarei familiei de cercuri

(x t)2 + y2 = r2, r = const.

Soluie. Derivm n raport cu t i obinem x = t. Eliminnd n ecuaia familiei, obinem y2 r2 = 0, deci y = t. Aadar, nfurtoarea este format din dou drepte paralele cu axa Ox. 7.8. Evoluta (desfurata) unei curbe plane

Dac se consider o curb plan, tangentele la ea constituie o familie de drepte, care depind de un parametru (parametrul curbei), a crei nfurtoare este curba dat (fig. 7.27). Evident, c i normalele unei curbe plane constituie o familie de drepte, care depind de un parametru i anume parametrul ales pe curb.

Fig. 7.27.Definiie. Se numete evoluta unei curbe plane nfurtoarea familiei normalelor la curba dat.

Fig. 7.28.Observaie. Tangentele la evoluta (E) sunt normale la curba dat ().Observaie. Coordonatele X i Y ale punctului curent de pe evolut, corespunztor punctului M(x(t), y(t)) de pe curba (), au aceleai expresii ca cele ale centrului cercului osculator. Se obine astfel:Teorem. Evoluta unei curbe plane este locul geometric al centrelor cercurilor osculatoare ale curbei date.Teorem. Fie o curb plan () de clas k, k ( , k 2, dat n reprezentare parametric:

.Atunci evoluta ei este o curb plan (E), definit analitic prin relaiile:

(7.10)

Aceste ecuaii pot fi considerate ca ecuaii parametrice ale evolutei.

Demonstraie. ntr-un punct curent, ordinar, M(x(t), y(t)) al curbei plane (), normala (N) este dat analitic prin ecuaia:

,adic o ecuaie de forma:

.deci ecuaia unei familii de drepte care depinde de parametrul t.Pentru a determina evoluta (E) trebuie eliminat parametrul t (pentru determinarea ecuaiei implicite a evolutei), sau trebuie explicitate X i Y funcie de t (pentru determinarea reprezentrii parametrice a evolutei), ntre ecuaiile:

unde:

n ipoteza:

,se poate rezolva cu ajutorul formulelor lui Cramer sistemul:

n necunoscutele X x(t), Y y(t) i se obine soluia unic:

ecuaii ce constituie reprezentarea parametric a evolutei curbei () date.Problem. S se gseasc evoluta elipsei x = a cost, y = b sint, t ( [0, 2(].

Soluie. Avem c:

Aceasta este reprezentarea parametric a evolutei elipsei. Eliminnd parametrul t, gsim ecuaia acestei evolute sub form implicit:

.Aceast curb este de tipul unei astroide.

M

PAGE

_1294825089.unknown

_1295073531.unknown

_1295074537.unknown

_1295075142.unknown

_1295083545.unknown

_1332664310.unknown

_1334648453.unknown

_1334649315.unknown

_1336459294.unknown

_1336459523.unknown

_1335248316.unknown

_1335243847.unknown

_1334648548.unknown

_1333871560.unknown

_1334648412.unknown

_1333871351.unknown

_1295249241.unknown

_1295249263.unknown

_1295249308.unknown

_1295775449.unknown

_1295249319.unknown

_1295249270.unknown

_1295249256.unknown

_1295083746.unknown

_1295084120.unknown

_1295084378.unknown

_1295083759.unknown

_1295083595.unknown

_1295075248.unknown

_1295075690.unknown

_1295076939.unknown

_1295077031.unknown

_1295077116.unknown

_1295077117.unknown

_1295077114.unknown

_1295077115.unknown

_1295077113.unknown

_1295077007.unknown

_1295077018.unknown

_1295076948.unknown

_1295075760.unknown

_1295075793.unknown

_1295075802.unknown

_1295075781.unknown

_1295075709.unknown

_1295075734.unknown

_1295075700.unknown

_1295075288.unknown

_1295075334.unknown

_1295075675.unknown

_1295075303.unknown

_1295075268.unknown

_1295075278.unknown

_1295075257.unknown

_1295075176.unknown

_1295075231.unknown

_1295075240.unknown

_1295075193.unknown

_1295075158.unknown

_1295075167.unknown

_1295075150.unknown

_1295074777.unknown

_1295074930.unknown

_1295075087.unknown

_1295075123.unknown

_1295075133.unknown

_1295075098.unknown

_1295075054.unknown

_1295075065.unknown

_1295074941.unknown

_1295074833.unknown

_1295074850.unknown

_1295074858.unknown

_1295074841.unknown

_1295074817.unknown

_1295074826.unknown

_1295074808.unknown

_1295074615.unknown

_1295074739.unknown

_1295074757.unknown

_1295074766.unknown

_1295074748.unknown

_1295074703.unknown

_1295074713.unknown

_1295074623.unknown

_1295074573.unknown

_1295074595.unknown

_1295074605.unknown

_1295074585.unknown

_1295074554.unknown

_1295074563.unknown

_1295074545.unknown

_1295074084.unknown

_1295074262.unknown

_1295074451.unknown

_1295074498.unknown

_1295074518.unknown

_1295074526.unknown

_1295074507.unknown

_1295074474.unknown

_1295074482.unknown

_1295074466.unknown

_1295074299.unknown

_1295074350.unknown

_1295074401.unknown

_1295074308.unknown

_1295074281.unknown

_1295074290.unknown

_1295074271.unknown

_1295074178.unknown

_1295074223.unknown

_1295074241.unknown

_1295074250.unknown

_1295074232.unknown

_1295074192.unknown

_1295074209.unknown

_1295074185.unknown

_1295074143.unknown

_1295074158.unknown

_1295074168.unknown

_1295074149.unknown

_1295074104.unknown

_1295074116.unknown

_1295074096.unknown

_1295073912.unknown

_1295073995.unknown

_1295074041.unknown

_1295074059.unknown

_1295074075.unknown

_1295074050.unknown

_1295074021.unknown

_1295074030.unknown

_1295074003.unknown

_1295073957.unknown

_1295073975.unknown

_1295073986.unknown

_1295073965.unknown

_1295073937.unknown

_1295073945.unknown

_1295073919.unknown

_1295073639.unknown

_1295073874.unknown

_1295073889.unknown

_1295073903.unknown

_1295073882.unknown

_1295073852.unknown

_1295073861.unknown

_1295073842.unknown

_1295073581.unknown

_1295073620.unknown

_1295073629.unknown

_1295073610.unknown

_1295073549.unknown

_1295073571.unknown

_1295073542.unknown

_1295072086.unknown

_1295072961.unknown

_1295073205.unknown

_1295073404.unknown

_1295073490.unknown

_1295073515.unknown

_1295073521.unknown

_1295073507.unknown

_1295073457.unknown

_1295073476.unknown

_1295073443.unknown

_1295073296.unknown

_1295073315.unknown

_1295073395.unknown

_1295073306.unknown

_1295073265.unknown

_1295073282.unknown

_1295073214.unknown

_1295073053.unknown

_1295073103.unknown

_1295073146.unknown

_1295073156.unknown

_1295073135.unknown

_1295073073.unknown

_1295073083.unknown

_1295073064.unknown

_1295073003.unknown

_1295073034.unknown

_1295073043.unknown

_1295073025.unknown

_1295072983.unknown

_1295072991.unknown

_1295072973.unknown

_1295072433.unknown

_1295072664.unknown

_1295072847.unknown

_1295072928.bin

_1295072948.unknown

_1295072858.unknown

_1295072685.unknown

_1295072693.unknown

_1295072672.unknown

_1295072541.unknown

_1295072588.unknown

_1295072620.unknown

_1295072579.unknown

_1295072456.unknown

_1295072466.unknown

_1295072443.unknown

_1295072199.unknown

_1295072388.unknown

_1295072408.unknown

_1295072423.unknown

_1295072398.unknown

_1295072369.unknown

_1295072378.unknown

_1295072213.unknown

_1295072156.unknown

_1295072176.unknown

_1295072185.unknown

_1295072166.unknown

_1295072137.unknown

_1295072146.unknown

_1295072128.unknown

_1294826599.unknown

_1294827167.unknown

_1295071866.unknown

_1295072038.unknown

_1295072056.unknown

_1295072070.unknown

_1295072048.unknown

_1295071936.bin

_1295072027.unknown

_1295071875.unknown

_1295071801.unknown

_1295071834.unknown

_1295071847.unknown

_1295071810.unknown

_1294827219.unknown

_1295071792.unknown

_1294827190.unknown

_1294826807.unknown

_1294827125.unknown

_1294827148.unknown

_1294827157.unknown

_1294827136.unknown

_1294826961.unknown

_1294827115.unknown

_1294826951.unknown

_1294826767.unknown

_1294826784.unknown

_1294826795.unknown

_1294826774.unknown

_1294826748.unknown

_1294826758.unknown

_1294826738.unknown

_1294825301.unknown

_1294826162.unknown

_1294826538.unknown

_1294826571.unknown

_1294826587.unknown

_1294826559.unknown

_1294826242.unknown

_1294826252.unknown

_1294826172.unknown

_1294826104.unknown

_1294826144.unknown

_1294826154.unknown

_1294826117.unknown

_1294825514.unknown

_1294825528.unknown

_1294825318.unknown

_1294825165.unknown

_1294825205.unknown

_1294825256.unknown

_1294825285.unknown

_1294825218.unknown

_1294825185.unknown

_1294825196.unknown

_1294825175.unknown

_1294825124.unknown

_1294825143.unknown

_1294825153.unknown

_1294825134.unknown

_1294825107.unknown

_1294825114.unknown

_1294825099.unknown

_1294821319.unknown

_1294823695.unknown

_1294824105.unknown

_1294824364.unknown

_1294825044.unknown

_1294825066.unknown

_1294825077.unknown

_1294825056.unknown

_1294824381.unknown

_1294825018.unknown

_1294824373.unknown

_1294824157.unknown

_1294824305.unknown

_1294824354.unknown

_1294824242.unknown

_1294824136.unknown

_1294824147.unknown

_1294824113.unknown

_1294824010.unknown

_1294824065.unknown

_1294824084.unknown

_1294824095.unknown

_1294824076.unknown

_1294824038.unknown

_1294824056.unknown

_1294824028.unknown

_1294823785.unknown

_1294823975.unknown

_1294823985.unknown

_1294823895.bin

_1294823766.unknown

_1294823776.unknown

_1294823706.unknown

_1294821832.unknown

_1294823567.unknown

_1294823614.unknown

_1294823640.unknown

_1294823663.unknown

_1294823629.unknown

_1294823586.unknown

_1294823597.unknown

_1294823578.unknown

_1294822911.unknown

_1294823528.unknown

_1294823540.unknown

_1294822923.unknown

_1294822065.unknown

_1294822075.unknown

_1294822018.unknown

_1294821649.unknown

_1294821785.unknown

_1294821804.unknown

_1294821815.unknown

_1294821795.unknown

_1294821765.unknown

_1294821775.unknown

_1294821730.unknown

_1294821365.unknown

_1294821407.unknown

_1294821512.unknown

_1294821522.unknown

_1294821418.unknown

_1294821375.unknown

_1294821346.unknown

_1294821356.unknown

_1294821337.unknown

_1294820280.unknown

_1294820969.unknown

_1294821062.unknown

_1294821164.unknown

_1294821191.unknown

_1294821217.unknown

_1294821120.unknown

_1294821154.unknown

_1294821155.unknown

_1294821130.unknown

_1294821071.unknown

_1294821010.unknown

_1294821028.unknown

_1294821055.unknown

_1294821019.unknown

_1294820990.unknown

_1294821000.unknown

_1294820979.unknown

_1294820774.unknown

_1294820848.unknown

_1294820867.unknown

_1294820917.unknown

_1294820858.unknown

_1294820797.unknown

_1294820831.unknown

_1294820784.unknown

_1294820409.unknown

_1294820640.unknown

_1294820761.unknown

_1294820608.unknown

_1294820359.unknown

_1294820371.unknown

_1294820293.unknown

_1294819650.unknown

_1294819863.unknown

_1294819912.unknown

_1294820086.unknown

_1294820254.unknown

_1294820096.unknown

_1294820072.unknown

_1294819885.unknown

_1294819896.unknown

_1294819874.unknown

_1294819779.unknown

_1294819802.unknown

_1294819814.unknown

_1294819790.unknown

_1294819737.unknown

_1294819756.unknown

_1294819715.unknown

_1294818992.unknown

_1294819537.unknown

_1294819609.unknown

_1294819638.unknown

_1294819598.unknown

_1294819470.unknown

_1294819516.unknown

_1294819455.unknown

_1288778017.bin

_1294818269.unknown

_1294818548.unknown

_1294818702.unknown

_1294818363.unknown

_1294734513.unknown

_1294818148.unknown

_1294818201.unknown

_1294818022.unknown

_1288778971.bin

_1288779521.bin

_1294654774.unknown

_1288779444.bin

_1288778786.bin

_1287220142.unknown

_1287481942.unknown

_1287482320.unknown

_1287482423.unknown

_1288680567.unknown

_1288680612.unknown

_1288680661.unknown

_1288680536.unknown

_1287482396.unknown

_1287482412.unknown

_1287482382.unknown

_1287482146.unknown

_1287482288.unknown

_1287481963.unknown

_1287481916.unknown

_1287481929.unknown

_1287220231.unknown

_1287219820.unknown

_1287219950.unknown

_1287220047.unknown

_1287219849.unknown

_1287218514.unknown

_1287218515.unknown

_1287218320.unknown

_1287218289.unknown