Curs Probab

Teoria ProbabilitatilorAdrian Iasinschi 2004

2

Cuprins1 Cursul I 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Camp clasic de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprietati ale probabilitatii clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 9 9

Probabilitate conditionata pe camp clasic de probabilitate . . . . . . . . . . . . 11 Evenimente independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 15

2 Cursul II 2.1 2.2 2.3

Algebre de parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Probabilitate pe un - camp de evenimente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 23

3 Cursul III 3.1 3.2 3.3

Probabilitati conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Evenimente Independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Functia de repartitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 29

4 Cursul IV 4.1 4.2

Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Repartitia unei v.a. Functia de repartitie a unei v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . 33 35

5 Cursul V 5.1 5.2 5.3 5.4

Functia de repartitie a unei v.a. k- dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Variabile aleatoare de tip continuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Variabile aleatoare k-dimensionale de tip continuu . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Variabile aleatoare independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 43

6 Cursul VI

4 6.1

CUPRINS Caracteristici numerice ale v.a. reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 51

7 Cursul VIII 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 8 Cursul IX 8.1

Convergenta Stochastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Convergenta aproape sigura (a.s.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Convergenta in probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Convergenta in repartitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Convergenta in medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 59

Functia caracteristica a unei repartitii/v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 65 69

9 Cursul XI 10 Cursul XII

10.1 Teorema Limita Centrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Notatii - spatiul evenimentelor F - - algebra

6

CUPRINS

Capitolul 1 Cursul I1.1 Introducere

Teoria Probabilitatilor se ocupa cu studiul modelelor matematice care descriu fenomene aleatoare - supuse intamplarii. Exemple: 1. Studierea duratei de viata a unei masini; 2. Jocurile de noroc; 3. Experienta aruncarii unui zar si observarea numarului de puncte; 4. Extragerea unei bile dintr-o urna care contine bile albe si negre si obtinerea unei bile de o anumita culoare. In Teoria Probabilitatilor intalnim notiunile de proba, eveniment, probabilitate. Le vom explica pe rand pe ecare bazandu-ne pe experiente aleatoare concrete. Rezultatul unei experiente aleatoare se numeste proba (sau caz posibil). Exemplu 1. Consideram experienta aruncarii unui zar o data. = aparitia unei fete cu i puncte. i cazurile posibile . 1, 2, 3, 4, 5, 6, Legat de o experienta aleatoare putem sa ne punem mai multe probleme. De exemplu, privind experienta aruncarii unui zar o data putem sa ne punem problema aparitiei unei fete cu un numar par de puncte, sau aparitia unui numar de puncte < 4. Orice problema legata de o experienta aleatoare despre care nu putem spune ca se petrece sau nu decat dupa efectuarea experientei se numeste eveniment. Este un eveniment faptul ca la aruncarea unui zar o data apare fata cu un numar impar de puncte. Evenimentul care se produce printr-o singura proba se numeste eveniment elementar.

8

CAPITOLUL 1. CURSUL I

Exemplu 2. Aparitia unei fete cu un punct este un eveniment elementar: 1. Evenimentele elementare legate de aceasta experienta sunt: {1}, { { ... 2}, 3}, Evenimentul care se realizeaza prin cel putin doua probe se numeste eveniment compus. Astfel, in experienta aruncarii uni zar o data, evenimentul aparitiei unei fete cu un numar impar de puncte este un eveniment compus. El se produce cand apare una din probele 1, 3, 5. Evenimentele elementare care conduc la realizarea unui eveniment se numesc cazuri favorabile. Legat de o experienta aleatoare avem doua evenimente speciale: evenimentul care se produce la orice efectuare a experientei se numeste eveniment sigur, si se noteaza cu ; evenimentul care nu se produce la nici o efectuare a experientei se numneste eveniment imposibil si se noteaza cu . Astfel, in experienta aruncarii unui zar o data evenimentul sigur este = { } 1, 2, 3, 4, 5, 6, Aparitia fetei cu 7 puncte este evenimentul imposibil. Evenimentele legate de o experienta aleatoare se noteaza cu litere mari A, B, C, A1 , A2 . Din exemplele precedente se observa ca evenimentele legate de o experienta aleatoare pot privite ca submultimi de evenimente elementare alea evenimentului sigur . Exemplu 3. Aparitia unei fete cu un numar par de puncte se noteaza A = { 2, 4, 6} Legat de o experienta aleatoare apar urmatoarele doua situatii: 1. Toate evenimentele elementare au aceeasi sansa de aparitie. Ele sunt egal posibile . De exemplu, in experienta aruncarii unui zar o data toate cele 6 evenimente elementare sunt egal posibile. 2. Evenimentele elementare nu au sanse egale de aparitie - nu sunt egal posibile. De exemplu, intr-o urna se aa 10 bile numerotate 1,2,3,...,10, dintre care 1,2,3 sunt albe iar 4,5,6,...,10 sunt negre. Consideram experimentul extragerii unei bile din aceasta urna, si ne intereseaza culoarea obtinuta. Evenimente elementare: {a} - evenimentul aparitiei culorii albe; {n} - evenimentul aparitiei culorii negre. {a} si {n} nu sunt egal posibile. Daca A este un eveniment legat de o experienta aleatoare, lui ii asociem alt eveniment care se realizeaza daca si numai daca A nu se realizeaza. Acesta se noteaza cu A sau CA si se numeste contrarul evenimentului A.

1.2. CAMP CLASIC DE PROBABILITATE Astfel, in experienta aruncarii unui zar o data A = { 1, 3} A = { }. 2, 4, 5, 6,

9

Daca evenimentul A duce la realizarea evenimentului B, spunem ca A implica B, si scriem A B. Daca A B si B A spunem ca evenimentele A si B sunt echivalente A = B. Evenimentele A si B sunt incompatibile daca nu se pot realiza simultan. Exemplu 4. In experienta aruncarii unui zar o data A = { B = { sunt incompatibile. 1, 3}, 2, 4} Avand doua evenimente A si B vorbim de evenimentul A sau B care se produce atunci cand se produce cel putin unul din cele doua evenimente si notam A B. Asemanator, evenimentul A si B se produce cand se produc amandoua evenimentele A si B si se noteaza A B. Cu aceasta notatie A si B sunt incompatibile daca si numai daca A B = . Exemplu 5. A = { 1, 3} B = { 1, 2, 5} A B = { 1, 2, 3, 5} A B = {1} Denitie 1.1. Fie - evenimentul sigur. Presupunem - nit, si P() = {A|A }. Atunci (, P()) se numeste campul de evenimente asociat experientei aleatoare in studiu.

1.2

Camp clasic de probabilitate

Fie (, P()) un camp nit de evenimente cu evenimente egal posibile. = {1 , ..., n }, n IN Denitie 1.2. Numim probabilitate clasica pe functia P (A) = numarul cazurilor favorabile cardA = , A numarul cazurilor posibile card (1.1)

(, P(), P ) se numeste camp clasic de probabilitate. Exemplu 6. In exemplul aruncarii unui zar o data vrem sa calculam probabilitatea aparitiei unei fete cu un numar de puncte < 3. Avem = { ..., deci card = 6. Acum, daca A este evenimentul a carui probabilitate 1, 2, 6} si deci cardA = 2. Atunci: se cere, A = {1, 2} P (A) =2 6

= 1. 3

1.3

Proprietati ale probabilitatii clasice

Propozitie 1.1. In conditiile de mai sus, au loc urmatoarele relatii:

10 1. P () = 1 2. P () = 0 3. P (A B) = P (A) + P (B), A, B , A B =


4. A, B , A B P (B \ A) = P (B) P (A) si P (A) P (B) 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A, B 6. P (A) = 1 P (A), A 7. A1 , A2 , ..., An avemn n

Pi=1

Ai

=i=1

P (Ai ) 1i 0 avem P (Ai |A) = (Formula lui Bayes) Demonstratie. 1. Avem pe rand: P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 A2 ) . . . = P (A1 ) 1 A = P (A(A1 ) 2 ) P 1 A2 A = P (A(A1 A2 ) 3 ) PP (A1 A2 ...Ar ) P (A1 A2 ...Ar1 ) r i=1

P (Ai )P (A|Ai ) P (Aj )P (A|Aj )

(1.7)

P (Ar |A1 A2 A3 ... Ar1 ) = de unde, prin inmultire se obtine (1.5). 2. Avem P (A) = P (A ) = P Ai=1 r

r

Ai

=P

(A Ai )i=1

de unde, pe baza Propozitiei 1, punctul 3,r r

P (A) =i=1

P (A Ai ) =i=1

P (Ai )P (A|Ai )

3. Folosind (1.6) obtinem P (Ai |A) = P (Ai |A) = P (A)r i=1

P (Ai )P (A|Ai ) P (Aj )P (A|Aj )

1.5

Evenimente independente

Fie (, P(), P ) un camp clasic de probabilitate. Denitie 1.5. Evenimentele A, B se numesc independente daca si numai daca P (A B) = P (A) P (B) (1.8)

1.5. EVENIMENTE INDEPENDENTE

13

Observatie 1. Daca A, B sunt independente, atunci si perechile A si B, A si B, A si B sunt si B sunt independente. independente. Sa aratam ca A P (A B) = P (( \ A) B) = P (B \ (A B)) = P (B) P (A B) = = P (B) P (A)P (B) = (1 P (A))P (B) = P (A)P (B). de unde obtinem ca A si B sunt independente. Denitie 1.6. Spunem ca A1 , ..., Ar sunt independente s cate s (2 s r) daca si numai daca 1 i1 < i2 < ... < is ir are loc P (Ai1 ... Ais ) = P (Ai1 ) ... P (Ais ) Denitie 1.7. Spunem ca A1 , ..., Ar sunt independente in totalitate daca si numai daca sunt independente doua cate doua, trei cate trei,..., r cate r. Astfel, A, B, C sunt independente in totalitate daca si numai daca: P (A B) = P (A)P (B), P (A C) = P (A)P (C), P (B C) = P (B)P (C), P (A B C) = P (A)P (B)P (C) Exemplu 8. Consideram doua urne2a 1 3n 1a 2 5n

Extragem din ecare urna, la intamplare, cate o bila. Notam A - evenimentul ca din prima urma sa extragem o bila alba B - evenimentul ca din a doua urma sa extragem o bila neagra P (A) = 2 , P (B) = 5 5 6 25 2 5 P (A B) = = = P (A) P (B) 56 5 6

14


Capitolul 2 Cursul II2.1 Algebre de parti

Fie o multime arbitrara nevida. P() - clasa partilor lui . Denitie 2.1. O familie nevida A de parti ale lui se numeste algebra (corp) de parti ale lui daca 1. A A CA A 2. A, B A A B A Propozitie 2.1. Fie A o algebra de parti ale lui . Atunci 1. , A 2. n IN , A1 , ...An A 3. n IN , A1 , ...An A Demonstratie. n i=1 n i=1

Ai A Ai ADef.1.2)

1. Fie A A = CA A = ACA A A deci si C =

Def.1.1)

2. Inductie dupa n. 3. Avemn n

Ai = Ci=1 i=1

CAi

si se aplica punctul 2 si Denitia 1.

Propozitie 2.2. Orice intersectie de algebre de parti ale lui este o algebra de parti ale lui .

16

CAPITOLUL 2. CURSUL II

Demonstratie. Fie Ai , i I o familie de algebre de parti ale lui . Vericam pe rand propri etatile de algebra pentru intersectia algebrelor: B=iI

Ai

Fie A B A Ai , i I de unde, pe baza faptului ca ecare Ai e algebra se obtine ca CA Ai , i I deci CA B. Partea a doua a demonstratiei o lasam ca exercitiu. Fie M P(). Propozitie 2.3. Exista o unica algebra de parti ale lui notata cu (M) cu proprietatile 1. M (M) 2. A - algebra, M A (M) A. Demonstratie. Denim (M) := A- alg. MA Conform propozitiei anterioare, este clar ca (M) este o algebra, care contine pe M. in mod evident, (M) va inclusa in orice algebra care il contine pe M din denitie. Pentru unicitate presupunem ca ar exista o alta algebra A care indeplineste conditiile 1. si 2. si obtinem pe de o parte ca A (M) si apoi, din faptul ca si M satisface conditiile 1. si 2. se obtine ca (M) A adica in nal A = (M). Fie A - o algebra de parti ale lui . Denitie 2.2. A A se numeste atom daca B A, B = , B = A cu B A. Propozitie 2.4. A A este atom daca si numai daca B A, A B = sau A B = A. Demonstratie. Presupunem A - atom. Pentru orice B A avem A B A de unde rezulta ca A B = sau A B = A. Reciproc,daca A B = sau A B = A pentru orice B A, atunci, daca B A avem A B = B deci B = sau B = A. Fie A - algebra pe - multime nita. Propozitie 2.5. Orice algebra nita contine cel putin un atom. A

2.1. ALGEBRE DE PARTI

17

Demonstratie. Fie A A, care nu e atom. Atunci A2 A1 si A2 = , A2 = A1 . Daca A2 nu e atom, atunci A3 A2 , A3 = , A3 = A2 , et caetera. Astfel construim un sir de multimi diferite, care va trebui sa se opreasca la un atom, deoarece A e nita. Observatie 1. Din demonstratia precedenta retinem ca orice element compus al lui A contine cel putin un atom. Propozitie 2.6. Daca A este o algebra nita, A A compus (nu este atom) atunci A1 A atom, A2 A cu A1 A2 = a.i. A = A1 A2 . Demonstratie. Deoarece A nu e atom, A1 A, A1 = A, A1 = deci putem scrie A = A1 (A \ A1 ) si notam A2 = A \ A1 = , A1 A2 = . Propozitie 2.7. Orice element din A se scrie ca o reuniune de atomi din A. Demonstratie. Fie A A, si A nu este atom. Conform propozitiei precedente exista A1 A atom, B1 A, B1 = , A1 B1 = si A = A1 B1 . Daca B1 nu este atom, repetam procedeul pentru B1 si gasim atomul A2 B1 , B2 A nevida, B2 A2 = , B1 = B2 A2 . Astfel A = A1 A2 B2 si aplicand succesiv, dupa un numar nit de pasi avem A = A1 A2 A2 ... An , Aj atom j = 1, n. (2.1)

Observatie 2. Scrierea anterioara este unica. Presupunem ca mai avem o scriere A = A1 A2 A3 ... Ak , Ai atom pentru orice i Intersectand in (2.1) cu A1 obtinem A A1 = (A1 A1 ) (A1 A2 ) ... (A1 An ) = A1 ... = A1 Intersectand in (2.2) cu A1 avem A1 = A1 A = (A1 A1 ) (A1 A2 ) ... (A2 Ak ) Toate intersectiile sunt vide cu exceptia uneia, datorita faptului ca A1 este atom, si atunci putem presupune ca A1 = A1 si din (2.1) si (2.2) obtinem A2 ... An = A2 ... Ak . Repetam rationamentul pana obtinem unicitatea. Propozitie 2.8. Reuniunea tuturor atomilor lui A este . Demonstratie. Din propozitia anterioara stim ca exista atomii A1 , ..., An astfel incat = A1 ... An Presupunem ca exista un atom A care nu se aa in scrierea anterioara. Atunci A = A = (A A 1) ... (A A n) = ceea ce este o contradictie cu presupunerea ca A - atom. (2.2)

18

CAPITOLUL 2. CURSUL II

2.2

- Algebre

Fie , F P(), nevida. Denitie 2.3. Spunem ca F este o - algebra(corp borelian) de parti ale lui daca F este o algebra inchisa la reuniuni numarabile, adica daca au loc relatiile 1. A F CA F 2. (An )n1 F n=1

An F

Propozitie 2.9. Fie F o - algebra pe . Atunci 1. , F 2. (An )n1 F n=1

An F.

Propozitie 2.10. Orice intersectie de - algebre de parti ale lui este o - algebra de parti ale lui . Fie M P(). Propozitie 2.11. Exista o unica - algebra (M) astfel incat 1. M (M) 2. F - algebra, M F avem (M) F. Propozitie 2.12. Pentru orice M P() avem caracterizarea: (M) = F alg. MF Denitie 2.4. M se numeste algebra generata de M; elementele lui M se numesc gen eratori pentru aceasta algebra. (M) se numeste - algebra generata de M; elementele lui M se numesc generatori. Exemplu 1. Fie spatiul IR inzestrat cu topologia uzuala. Notam cu G familia multimilor deschise. (G) se numeste - algebra partilor boreliene ale lui IR si se noteaza cu BIR . Se arata ca daca I = {(a, b)| a, b IR, a < b}, atunci BIR = (I). Observatie 3. 1. (, a), (b, ) BIR . F

2. BIR coincide cu - algebra generata de multimile inchise ale lui IR deci {a} BIR a IR. 3. [a, b] B , [a, b) B a, b IR, a < b. De asemenea (a, b] = (a, b) {b} B

2.3. PROBABILITATE PE UN - CAMP DE EVENIMENTE. 4. {a1 , ..., an } BIR , a1 , ..., an IR.

19

Exemplu 2. Consideram de data aceasta IRk inzestrat cu topologia uzuala, G - familia deschiselor din IRk . Notam atunci cu BIRk = (G) algebra partilor lui IRk . Se arata ca BIRk = (I), I = {(a1 , b1 ) .. (ak , bk )|ai < bi , i = 1, k}

2.3

Probabilitate pe un - camp de evenimente.

Fie o multime nevida, F o - algebra pe . (, F) se numeste - camp de evenimente (camp borelian). Fie (, F) un camp de evenimente. Denitie 2.5. Functia P : F [0, ) se numeste probabilitate pe (, F) daca 1. P () = 1 2. (An )n1 F, Ai Aj = , i = j:

Pn=1

An

=n=1

P (An ).

(numarabil aditivitatea lui P ) Tripletul (, F, P ) se numeste spatiu de probabilitate. Propozitie 2.13. Intr-un spatiu de probabilitate (, F, P ) au loc urmatoarele relatii: 1. P () = 0 2. P (A B) = P (A) + P (B), A, B F, A B = 3. P (CA) = 1 P (A), A F 4. A, B F, A B P (B \ A) = P (B) P (A) si P (A) P (B) 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A, B F 6. A1 , A2 , ..., An F avemn n

Pi=1

Ai

=i=1

P (Ai ) 1i 0, este spatiu de probabilitate. Demonstratie. Vericam denitia probabilitatii: P (|A) = P ( A) P (A) = =1 P (A) P (A)

Fie (Bk )k1 F, Bk Bj = , k = j. Atunci P(k1

Bk |A) =

P ((

k1

P( Bk ) A) = P (A) =k1

k1 (Bk

A))

P (A) P (Bk |A)k1

=

k1

P (Bk A) = P (A)

P (Bk A) = P (A)

Propozitie 3.2. Fie (, F, P ) - spatiu de probabilitate, Ak F , k = 1, ..., n, P (A1 ... An1 ) > 0. Atunci P (A1 A2 ... An ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) ... P (An |A1 ... An1 ) (Formula lantului) (3.2)

24 Demonstratie. Vezi Capitolul I.

CAPITOLUL 3. CURSUL III

Propozitie 3.3. Fie (, F, P ) un spatiu de probabilitate, A1 , ..., An F , Aj Ak = , j = k, n k=1 Ak = , P (Ak ) > 0, k. Atunci avem 1. P (A) =k=1 n

P (Ak ) P (A|Ak )

(Formula probabilitatii totale) 2. P (Ai |A) = (Formula lui Bayes) Demonstratie. La fel ca in Capitolul I. P (Ai ) P (A|Ai ) P (Ak ) P (A|Ak )

n k=1

3.2

Evenimente Independente

Denitie 3.2. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, Ak F, k = 1..n, A1 ...An se numesc independente r cate r daca i1 , ..., ir {1, 2, ..., n} are loc P (Ai1 Ai2 ... Air ) = P (Ai1 ) P (Ai2 ) ... P (Air ) Denitie 3.3. A1 , A2 , ..., An sunt independente daca sunt independente r cate r, r {2, 3, ..., n}. De exemplu A, B, C sunt independente 2 cate 2 daca P (A B) = P (A)P (B), P (A C) = P (A)P (C), P (B C) = P (B)P (C) si sunt independente 3 cate 3 daca P (A B C) = P (A)P (B)P (C). Denitie 3.4. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, M1 , ..., Mn F se numesc independente daca A1 , ..., An sunt independente Ak Mk , k = 1, n. Denitie 3.5. (Mi )iI se numesc independente daca J I, J- nita, avem (Mi )iJ sunt independente. Observatie 1. (Fj )j=1,n sub - algebre ale lui F sunt independente daca P (A1 ... An ) = P (A1 ) ... P (An ), j = 1, n. Propozitie 3.4. Fie (, F, P ) - spatiu de probabilitate, A1 , ..., An F independente. Atunci daca inlocuim cu complementarul unul, doua sau toate evenimentele, obtinem tot eveminente independente.

3.2. EVENIMENTE INDEPENDENTE Demonstratie. E sucient sa aratam ca CA1 , A2 , .., An sunt independente.

25

P (CA1 A2 ... An ) = P (( \ A1 ) A2 ... An ) = P (( A2 ... An ) \ (A1 .. An )) = = P (A2 A3 ... An ) P (A1 ... An ) = P (A2 )P (A3 )...P (An ) P (A1 )P (A2 )...P (An ) = = P (A2 )P (A3 )...P (An )(1 P (A1 )) = P (CA1 )P (A2 )...P (An ).

Propozitie 3.5 (Asociativitatea independentei). Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, (Fi )iI sub -algebre independente, I=

I , G = (jI

Fj ).

Atunci (G ) sunt independente. Lem 3.1 (Borel - Cantelli). Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, (An )n1 F . Atunci a 1. Dacan1

P (An ) < atunci P (limn An ) = 0.n1

2. Daca A1 , ..., An independente si Demonstratie. 1.

P (An ) = atunci P (limn An ) = 1.

limn An =n1 kn

Ak

P (limn An ) = Pn1 kn

Ak limn

=P

limn kn

Ak

= lim Pn kn

Ak

P (Ak ) = 0kn

2. Pn1 kn

Ak

=1P

\n1 kn

Ak

=1Pn1 kn

CAk

=

= 1 lim Pn kn

CAk 1 limn

= 1 limn kn

P (CAk ) = 1 limnPkn

(1 P (Ak )) =1

eP (Ak ) = 1 lim en

P (Ak )

26


3.3

Functia de repartitie

Denitie 3.6. O masura probabilista pe (IRk , BIRk ) se numeste repartitie. Denitie 3.7. Fie (IRk , BIRk , P ) spatiu de probabilitate. Functia FP : IRk [0, 1] FP (x) = P ((, x)) (3.3)

se numeste functia de repartitie a lui P . Am folosit notatia (, x) = (, x1 ) ... (, xn ) unde x = (x1 , ..., xn ) . Propozitie 3.6. Pentru k = 1, in spatiul de probabilitate (IR, BIR , P ), FP satisface 1. FP - crescatoare pe IR 2. FP - continua la stanga in orice x IR 3. limx FP (x) = 0, limx FP (x) = 1. Demonstratie. 1. Pentru x y avem (, x) (, y) deci P ((, x)) P ((, y)) FP (x) < FP (y) FP crescatoare. 2. Fie xn = x 1 n 1 x, xn xn+1 . Avem FP (xn ) = P ((, x n )) si

n

lim FP (xn ) = lim P ((, xn )) = P ( lim (, xn )) =n n

=P 3. Fie xn = n, limn xn = .

(, xn )n1

= P ((, x)) = FP (x)

lim FP (xn ) = lim P ((, xn )) = P (lim(, n)) = P () = 0n n n

Acum luam yn = n, limn yn = si avem lim FP (yn ) = lim P ((, n)) = P (lim(, n)) = P (, ) = P () = 1.n n n

Denitie 3.8. O functie F : IR [0, 1] cu proprietatile 1. F - monoton crescatoare pe IR 2. F - continua la stanga pe IR 3. limx F (x) = 0, limx F (x) = 1 se numeste functie de repartitie pe IR.

3.3. FUNCTIA DE REPARTITIE

27

Observatie 2. Exista o corespondenta bijectiva intre repartitiile pe IR si functiile de repartitie. Propozitie 3.7. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, FP - functia de repartitie a lui P . Atunci 1. P ([a, b)) = FP (b) FP (a), 2. P ([a, b]) = FP (b + 0) FP (a), 3. P ((a, b]) = FP (b + 0) FP (a + 0), 4. P ((a, b)) = FP (b) FP (a + 0).

28


Capitolul 4 Cursul IV4.1 Variabile aleatoare

Exemplu 1. Intr-un depozit se gasesc piese bune si piese cu defecte in proportii egale. Extragem la intamplare 3 piese succesiv cate una prin revenire. Asociem ecarui eveniment eleentar un numar real egal cu numarul pieselor bune continute in el. = {(b, b, b), (b, d, b), (d, b, b), (b, b, d), (b, d, d), (d, b, d), (d, d, b), (d, d, d)} 1 2 3 4 5 6 7 8

f : IR, f (1 ) = 3, f (2 ) = 2, ..., f (7 ) = 1, f (8 ) = 0. Observam ca functia f isi ia valorile sub inuenta intamplarii. Exemplu 2. O persoana arunca un zar o data, si castiga 1$ daca apare o fata cu un numar par de puncte, pierzand 1$ daca apare un numar impar de puncte. g : IR, g() = si g isi ia valorile sub inuenta intamplarii. Exemplu 3. O persoana arunca un zar o data, si castiga 1 $ daca apare fata cu 1 punct si pierde 1$ daca apare o alta fata. h : IR, h() = si h isi ia valorile sub inuenta intamplarii. Observam ca, desi g si h iau aceleasi valori, cunoasterea valorilor unei astfel de functii este insucienta deoarece P (g = 1) = P ({ |g() = 1}) = P (g 1 (1)) = P ({2, 4, 6}) = 3 = 1 1, =1 1, {2, 3, 4, 5, 6} 1, {2, 4, 6} 1, {1, 3, 5}

30 P (g = 1) = P ({1, 3, 5}) = P (h = 1) = P ({1}) = 1 6 1 2

CAPITOLUL 4. CURSUL IV

P (h = 1) = P ({2, 3, 4, 5, 6}) =

5 6

Denitie 4.1. Fie (, F), (X, X ) spatii masurabile, f : X se numeste (F, X )- masurabila 1 daca f (B) F pentru orice B X . Denitie 4.2. Fie (, F, P ) camp de probabilitate, (X, X ) spatiu masurabil. O functie f : X se numeste variabila aleatoare daca este (F, X ) masurabila: B X , f 1 (B) F. In cele ce urmeaza vom utiliza urmatoarea notatie: (f B) = f 1 (B) = { |f () B} In exemplul de mai sus h1 ({1}) = {2, 3, 4, 5, 6} Denitie 4.3. Daca (X, X ) = (IR, BIR ), f se numeste variabila aleatoare reala. Daca (X, X ) = (IR, BIR ), f se numeste variabila aleatoare numerica. Daca (X, X ) = (IRk , BIRk ), f se numeste vector aleator k-dimensional. Daca (X, X ) = (C, BC ), f se numeste variabila aleatoare complexa. Fie f : IR, v.a. reala, a, b IR, a < b. Avem urmatoarele notatii: f 1 ((, a)) = { |f () (, a)} = (f < a) f 1 ([a, b]) = (a f b). Propozitie 4.1. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, (X, X ), (Y, Y) spatii masurabile, f : X variabiula aleatoare, g : X Y functie (X , Y)- masurabila. Atunci g f este o variabila aleatoare. Demonstratie. C Y, (g f )1 (C) = (f 1 g 1 )(C) = f 1 (g 1 (C)) F, deoarece g 1 (C) X .not not not

Denitie 4.4. O variabila aleatoare f pentru care f () este cel mult numarabila se numeste variabila aleatoare discreta. Daca f () este nita, f se numeste variabila aleatoare simpla.

4.1. VARIABILE ALEATOARE

31

Denitie 4.5. (, F, P ) un spatiu de probabilitate, f : IR variabila aleatoare. Spunem ca f este simpla sau etajata dacan n

n IN , a1 , ..., an IR, A1 , ..., An F, Ai Aj = , i = j,i=1

Ai = , f =i=1

ai 1Ai .

Observatie 1. In acest caz, avem Ai = (f = ai ), i = 1, n. Teorem 4.1. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f, g : IR variabile aleatoare simple. a Atunci a + f, af, f + g, f g, f , |f |, f 2 , max(f, g), min(f, g) sunt variabile aleatoare simple. g Demonstratie. Fie f - simpla, f = n n i=1

ai 1Ai cu proprietatile din denitie. Atuncin n n

a+f =a+i=1

ai 1Ai = ai=1

1Ai +i=1

ai 1Ai =i=1

(a + ai )1Ai

deoarece , !Ai astfel incat Ai . Fie acum g =m j=1 bj 1Bj n

functie simpla. Avemn n m m n

f +g =i=1 n

ai 1Ai +j=1 m

bj 1Bj =i=1 n m

ai 1Aij=1

1Bj +j=1 n m

bj 1Bji=1

1Ai =

=i=1 j=1

ai 1Ai Bj +i=1 j=1

bj 1Ai Bj =i=1 j=1

(ai + bj )1Ai Bj

si efectuand notatiile Cij = Ai Bj , cij = ai + bj si observand can m

(Ai Bj ) = si (Ai Bj ) (Ar Bs ) = , (i, j) = (r, s)i=1 j=1

obtinem ca f + g este simpla. Propozitie 4.2 (Criteriu). Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : IR. Atunci f este o variabila aleatoare daca si numai daca (f < a) F, a IR. Demonstratie. : Presupunem f - variabila aleatoare, si incercam sa aratam ca (f < a) F, a IR. Deoarece f - variabila aleatoare avem ca f 1 (B) F , B BIR , si alegand B = (, a) obtinem (f < a) = f 1 ((, a)) F . : Presupunem ca (f < a) F. Fie multimea F = {B IR|f 1 (B) F}. Aratam ca F este o - algebra: 1. Fie B F . f 1 (CB) = Cf 1 (B) F , deoarece f 1 (B) F, si deci CB F

32 2. Fie (Bn )n1 , Bn F .


f

1 n=1

Bn

=n=1

f 1 (Bn ) F , deoarece f 1 (Bn ) F.

In cazul nostru, stim ca (f < a) F , a IR adica f 1 ((, a)) F , a IR de unde (, a) F . Atunci {(, a)|a IR} F ({(, a)|a IR}) F deci BIR F de unde obtinem ca B BIR , B F adica f 1 (B) F . Teorem 4.2. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : IR. Atunci f - variabila aleatoare a daca si numai daca (fn )n1 sir de variabile aleatoare reale simple astfel incat limn fn = f punctual, adica lim fn () = f (), n

Teorem 4.3. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate. a 1. Daca a IR, f, g : IR sunt variabile aleatoare, atunci a + f, af, f + g, |f |, f g, f , g min(f, g), max(f, g) sunt variabile aleatoare 2. Daca fn : IR sunt variabile aleatoare pentru orice n IN atunci inf n fn , supn fn , limn fn , limn fn sunt variabile aleatoare. Demonstratie. 1. Fie f, g variabile aleatoare. Atunci (fn )n , (gn )n siruri de variabile aleatoare reale simple astfel incat fn f si gn g cand n . Avem atunci fn + gn f + g si fn + gn sunt variabile simple, de unde se obtine ca f + g - variabila aleatoare. 2. Sa observam ca inf n fn este variabila aleatoare daca si numai daca (inf n fn < a) F, a IR. (inf fn < a) = { | inf fn () < a} =n n

(fn < a) Fn=1

deoarece (fn < a) F. Analog se arata ca supn fn este variabila aleatoare deoarece

(sup fn < a) =n

(fn < a) F .n=1

Acum, pentru limite avem limn fn = sup inf fkn1 kn

care este evident variabila aleatoare luand in considerare cele discutate anterior. Observatie 2. Pentru o variabila aleatoare f : IR, f + , f sunt de asemenea variabile aleatoare deoarece f + = max(f, 0), f = max(f, 0). In plus, cum f = f + f si |f | = f + + f , obtinem ca |f | este variabila aleatoare, si ca f variabila aleatoare daca si numai daca f + si f sunt variabile aleatoare. Observatie 3. Pentru o functie f : IRk , avem f = (f1 , ..., fk ) - variabila aleatoare daca si numai daca fi - variabila aleatoare i = 1, k.

4.2. REPARTITIA UNEI V.A. FUNCTIA DE REPARTITIE A UNEI V.A.

33

4.2

Repartitia unei v.a. Functia de repartitie a unei v.a.

Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, (X, X ) spatiu masurabil, f : X o variabila aleatoare. Denitie 4.6. Functia Pf : X [0, 1] data de expresia Pf (B) = P (f 1 (B)), B X se numeste repartitia variabilei aleatoare f . Avem astfel Pf (B) = P (f 1 (B)) = P (f B). Propozitie 4.3. In conditiile denitiei anterioare (A, X , Pf ) este spatiu de probabilitate. Demonstratie. 1. Pf (X) = P (f 1 (X)) = P () = 1.

2. Fie (Bn )n1 X , Bi Bj = , i = j.

Pfn1

Bn

=P

f

1 n=1

Bn

=Pn=1

f 1 (Bn )

=

=n=1

P (f 1 (Bn )) =n=1 1

Pf (Bn ),

si am folosit faptul ca f

1

(Bi ) f

(Bj ) = .

Observatie 4. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : X variabila aleatoare discreta: f () = {ai X| i I}, I cel mult numarabila, Ai - evenimentul ca f = ai , i I, pi = P (Ai ) = P (f = ai ). Atunci Pf =iI

pi ai , unde 1, ai B , BB 0, ai B

ai : X {0, 1}, ai (B) =

Observatie 5. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, (X, X ) camp borelian, f : X o variabila aleatoare discreta care ia valorile {ai X|i I}, I - cel mult numarabila. Notam cu pi = P (f = ai ), i I. Se obisnuieste ca repartitia lui f sa se mai scrie si sub forma f: ai pi

iI

De exemplu, daca I este nita si egala cu {1, 2, ..., n} avem repartitia variabilei aleatoare f : f: a1 a2 ... an p1 p2 ... pn

34


Exemplu 4. Se arunca un zar o data. Fie f variabila aleatoare care da numarul de puncte obtinute. Sa determinam repartitia lui f . Avem = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 f : IR, f () = , P (f = ) = , . 6 1 2 3 4 5 6 f: 1 1 1 1 1 1 sau6 6 6 6 6 6 6

Pf =i=1

1 i 6

Consideram (X, X ) = (IRk , BIRk ), f = (f1 , f2 , ..., fk ) : IRk variabila aleatoare. Denitie 4.7. Functia de repartitie a repartitiei lui f se numeste functia de repartitie a lui f si se noteaza cu Ff . Avem astfel Ff : IRk [0, 1] si Ff (x) = Pf ((, x)) = P (f 1 (, x)) = P (f < x) unde (f < x) = (f1 < x1 , .., fk < xk ), x = (x1 , ..., xk ) IRk . Sa consideram acum (X, X ) = (IR, BIR ), f : IR variabila aleatoare. In aces caz avem Ff : IR [0, 1], Ff (x) = P (f < x), x IR Propozitie 4.4. In conditiile de mai sus au loc relatiile urmatoare 1. P (a f < b) = Ff (b) Ff (a) 2. P (a < f < b) = Ff (b) Ff (a + 0) 3. P (a f b) = Ff (b + 0) Ff (a) 4. P (a < f b) = Ff (b + 0) Ff (a + 0) Demonstratie. Exemplu 5. Sa determinam functia de repartitie a variabilei aleatoare care da numarul de puncte obtinute la aruncarea unui zar. Repartitia este, reamintim de la exemplul anterior: f: Acum avem urmatoarele cazuri: x 1 Ff (x) = P (f < x) = P () = 0 x (1, 2] Ff (x) = P (f < x) = P ({1}) =1 6 2 6

1 2 3 4 5 61 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

x (2, 3] Ff (x) = P (f < x) = P ({1, 2}) =

si asa mai departe. Ultima data vom obtine ca pentru x > 6, Ff (x) = P ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1.

Capitolul 5 Cursul V5.1 Functia de repartitie a unei v.a. k- dimensionale

Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f = (f1 , ..., fk ) : IRk variabila aleatoare, F(f1 ,..,fk ) : IRk [0, 1] F(f1 ,...,fk ) (x1 , .., xk ) = P (f1 < x1 , ..., fk < xk ), (x1 , ..., xk ) IRk Propozitie 5.1. Functia F(f1 ,..,fk ) are proprietatile urmatoare 1. Este monoton crescatoare in raport cu ecare argument 2. Este continua la stanga in raport cu ecare argument 3. limxi F(f1 ,...,fk ) (x1 , ..., xi , ..., xk ) = 0, i = 1, k 4.xi , i{1,...,k}

lim

F(f1 ,...,fk ) (x1 , ..., xk ) = 1

Demonstratie. Analog cu cazul 1 dimensional. Observatie 1. 1 i1 < ... < ir k: F(fi1 ,...,fir ) (xi1 , .., xir ) = Demonstratie - pentru k = 2.xi , i{i1 ,..,ir }

lim

F(f1 ,...,fk ) (x1 , ..., xk )

5.2

Variabile aleatoare de tip continuu

Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate.

36

CAPITOLUL 5. CURSUL V

Denitie 5.1. Spunem ca variabila aleatoare f : IR este de tip continuu daca f : IR [0, ) astfel incatx

Ff (x) = P (f < x) =

f (t)dt, x IR.

(5.1)

Functia f se numeste densitatea de repartitie a variabilei aleatoare f . Propozitie 5.2. Fie f : IR o variabila aleatoare de tip continuu. Atunci 1.

f (t)dt = 1

2. In orice punct x IR de continuitate a lui f are loc relatia Ff (x) = f (x) (5.2)

si, in plus, (5.2) are loc a.p.t.1 , f - unica a.p.t.. De asemenea Ff - continua pe IR 3. a, b IR, a < bb

P (a f < b) = P (a f b) = P (a < f < b) = P (a < f b) =a

f (t)dt.

(5.3)

4. B BIR P (f B) =B

f (t)dt.

(5.4)

5. P (f = a) = 0, a IR. Demonstratie. 1. In relatia (5.1) trecem lal imita cand x si obtinemx x

lim Ff (x) = lim

x

f (t)dt =

f (t)dt = 1

2. Rezultat clasic de analiza matematica. 3. Avem P (a f < b) = P (f < b) P (f < a) = Ff (b) Ff (a) =b a b

f (t)dt

f (t)dt =a

f (t)dt.

Acumb

P (a f b) = Ff (b + 0) Ff (a) = Ff (b) F f (a) =a

f (t)dt,

deoarece Ff e continua (vezi 2). 4. {[a, b)| a < b, a, b IR} sau {(, a)| a IR} constituie sisteme de generatori pentru BIR , si folosim Teorema de unicitate pentru masuri.1

Adica multimea punctelor in care nu are loc are masura 0

5.2. VARIABILE ALEATOARE DE TIP CONTINUU 5. Avem P (f = a) = P ((f a) \ (f < a)) = P (f a) P (f < a) = Ff (a + 0) Ff (a) = = Ff (a) Ff (a) = 0.

37

Denitie 5.2. Functia : IR [0, ) cu proprietatea

(t)dt = 1

(5.5)

se numeste densitate de repartitie pe IR. Exemplu 1. Fie m IR, > 0, (; m, 2 ) : IR [0, )(xm)2 1 (x; m, 2 ) = e 22 , x IR 2

(5.6)

Calculam

1 (t)dt = 2 tm

e

(tm)2 2 2

1 dt = 2

e 2 du

u2

cu schimbarea

= u, dt = du, si mai departe 1 (t; m, 2 )dt = 2 u2 1 e 2 du = 2 = 1. 2

Denitie 5.3. Despre o variabila aleatoare f care are densitatea (; m, 2 ) spunem ca are repartitia normala unidimensionala de parametri m si 2 , si scriem f N (m, 2 ). Propozitie 5.3. 1. Daca F este o functie de repartitie pe IR, atunci (, F, P ) si f : IR variabila aleatoare reala astfel incat Ff = F . 2. Daca este o densitate de repartitie pe IR, atunci (, F, P ) spatiu de probabilitate si f : IR variabila aleatoare astfel incat f = . Demonstratie. 1. Consideram spatiul masurabil (IR, BIR ). Atunci exista unica probabilitatea Q : BIR [0, 1] data de Q((, x)) = F (x), x IR. Consideram deci (, F, P ) = (IR, BIR , Q), f : IR, f () = , IR. Ff (x) = P (f < x) = P ((, x)) = Q((, x)) = F (x). 2. Fie - densitate de repartitie, F : IR IR,x

F (x) =inf ty

(t)dt, x IR.

(a) F - continua pe IR deci este continua la stanga

38 (b) x1 , x2 IR, x1 < x2 avemx2


F (x2 ) F (x1 ) =x1

(t)dt 0, deoarece (t) 0 t

deci F este monoton crescatoare. (c)x x

lim F (x) = lim

x

(t)dt =

(t)dt = 1

x

lim F (x) =

(t)dt = 0

Deci F este o functie de repartitie pe IR. Conform cu 1. exista atunci (, F, P ), f : IR variabila aleatoare astfel incat Ff = F . Astfel avemx

Ff (x) = F (x) =

(t)dt, x IR

deci, conform denitiei densitatii de repartitie a unei variabile aleatoare, f = .

Observatie 2. Functia de repartitie nu determina in mod unic variabila aleatoare adica pot exista cel putin doua variabile aleatoare distincte, care sa aiba aceeasi functie de repartitie. Teorem 5.1. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : IR variabila aleatoare de tip a continuu, f densitate de repartitie. Fie (a, b) IR (interval nit sau nu) astfel incat P (f (a, b)) = 1. Fie g : (a, b) IR o functie derivabila cu g (x) > 0, x (a, b), sau g (x) < 0, x (a, b). Atunci h = g f este de tip continuu si densitatea sa de repartitie este h (t) = f (g 1 (t)) 0,d 1 g (t) dt

, t (, ) in rest,

(5.7)

unde = inf(g(a), g(b)), = sup(g(b), g(a)). Demonstratie. Presupunem g (x) > 0, x IR. Atunci g este strict crescatoare deci injectiva, dar g : (a, b) (, ) (g- derivabila deci si continua), si obtinem atunci g - bijectiva. In plus, d g 1 este derivabila, dt g 1 (t) > 0, t (, ). Fh (t) = P (h < t) = P (g f < t) = P (f < g 1 (t)) = Ff (g 1 (t)), t (, ) si am folosit faptul ca g este crescatoare. Deoarece avem ca Ff derivabila, rezulta ca Fh este derivabila si d d h (t) = Fh (t) = Ff (g 1 (t)) g 1 (t) = f (g 1 (t)) g 1 (t). dt dt Dar densitatea de repartitie este unica a.p.t. deci in afara lui (, ) o putem deni arbitrar, si o vom deni ca ind 0.g

5.3. VARIABILE ALEATOARE K-DIMENSIONALE DE TIP CONTINUU

39

Presupunem acum g (x) < 0, si avem g - strict descrescatoare, deci g - injectiva. Cum g este si continua, avem ca g este si surjectiva adica bijectiva, de unde deducem ca exista g 1 derivabila d si dt g 1 (t) < 0, t (, ). Fh (t) = P (h < t) = P (g f < t) = P (f > g 1 (t)) = 1 P (f g 1 (t)) = 1 Ff (g 1 (t) + 0) = = 1 Ff (g 1 (t)), deci este derivabila. Atunci h (t) = Fh (t) = Ff (g 1 (t)) d 1 d 1 g (t) = f (g 1 (t)) g (t) , t (, ). dt dtg

5.3

Variabile aleatoare k-dimensionale de tip continuu

Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate. Denitie 5.4. Spunem ca variabila aleatoare f = (f1 , ..., fk )t : IRk este de tip continuu daca (f1 ,...,fk ) : IRk [0, ) astfel incatx1 xk

F(f1 ,...,fk ) (x1 , ..., xk ) = Observatie 3.

(f1 ,...,fk ) (t1 , .., tk )dt1 ...dtk , (x1 , .., xk )t IRk

(5.8)

(f1 ,...,fk ) (t1 , ..., tk )dt1 ...dtk = 1

Se trece la limita x1 , ...xk in (5.8) si se tine seama de faptul ca F(f1 ,...,fk ) este functie de repartitie. F(f1 ,...,fk ) (x1 , ..., xk ) = P (f1 < x1 , ..., fk < xk ) = P ((f1 , ..., fk ) (, x1 ) ... (, xk )) In general P ((f1 , ..., fk ) B) =B

((f1 , ..., fk ))(t1 , ..., tk )dt1 ...dtk

Denitie 5.5. Functia : IRk [0, ) cu proprietatea ca

(f1 ,...,fk ) (t1 , .., tk )dt1 ...dtk = 1

se numeste densitate de repartitie pe IRk . Observatie 4. Sa consideram k = 2, f = (f1 , f2 )t cu (f1 ,f2 ) . Atunci x1 x2

Ff1 (x1 ) = lim F(f1 ,f2 ) (x1 , x2 ) = lim

(f1 ,f2 ) dt2 dt1 =

40x1 x1

CAPITOLUL 5. CURSUL V =

(f1 ,f2 ) (t1 , t2 )dt2 dt1 =

(f1 ,f2 ) (t1 , t2 )dt2 dt1

Deci f1 (x1 ) = Analog f2 (x2 ) = Pentru k = 3 avem f1 (x1 ) =

(f1 ,f2 ) (x1 , t2 )dt2

(f1 ,f2 ) (t1 , x2 )dt1

(f1 ,f2 ,f3 ) (a1 , x2 , x3 )dx2 dx3 .

Teorem 5.2. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f = (f1 , ..., fk ) : IRk variabila a aleatoare de tip continuu, f = (f1 ,...,fk ) densitatea sa de repartitie si G1 IRk deschisa astfel incat P (f G1 ) = 1. Fie G2 IRk deschisa si g : G1 G2 difeomorsm (g - bijectiva si g, g 1 C 1 ). Atunci h = g f este o variabila aleatoare de tip continuu si h (t) = f (g 1 (t)) Jg1 (t) , t G2 0, in rest . (5.9)

5.4

Variabile aleatoare independente

Denitie 5.6. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f1 , ..., fn : IR variabile aleatoare. Atunci f1 , ..., fn sunt independente dacan n

Pi=1

fi1 (Bi )

=i=1

P (fi1 (Bi )), Bi BIR

(5.10)

sau, echivalent,n

P ((f1 B1 ) ... (fn Bn )) = P (f1 B1 , .., fn Bn ) =i=1

P (fi Bi )

Observatie 5. Daca f1 , ..., fn sunt independente atunci F(f1 ,..,fn ) (x1 , .., xn ) = Ff1 (x1 ) ... Ffn (xn ), (x1 , .., xn ) IRn Demonstratie. In (5.10), alegem Bi = (, xi ), xi IR. n

P (f1 < x1 , .., fn < xn ) =i=1

P (fi < xi ) F(f1 ,..,fn ) (x1 , .., xn ) = Ff1 (x1 ) ... Ffn (xn )

Tinand seama de Teorema de unicitate a masurilor se arata ca si reciproc este adevarat: Daca F(f1 ,..,fn ) (x1 , .., xn ) = Ff1 (x1 ) ... Ffn (xn ) atunci f , ..., f sunt independente. Am obtinut astfel urmatoriul criteriu:

5.4. VARIABILE ALEATOARE INDEPENDENTE Propozitie 5.4. Variabilele aleatoare f1 , ..., fn sunt independente daca si numai daca F(f1 ,..,fn ) (x1 , .., xn ) = Ff1 (x1 ) ... Ffn (xn ) (x1 , ..., xn ) IRn

41

(5.11)

Observatie 6. Din (5.11) obtinem mai departe ca daca (f1 , ..., fn ) este de tip continuu cu densitatea de repartitie (f1 ,...,fn ) atunci f1 , ..., fn sunt independente daca si numai daca (f1 ,...,fn ) (x1 , ..., xn ) = f1 (x1 ) ... fn (xn ) Pentru a obtine acest lucru e sucient sa aplicam . x1 ...xn

(5.12)

Teorem 5.3. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f1 , ..., fn : IR variabile aleatoare a independente si 1 , ..., n : IR IR functii masurabile. Atunci 1 f1 , ..., n fn sunt variabile aleatoare independente. Demonstratie. Fie B1 , ..., Bn BIR . n n n

P

(i fi )1 (Bi )i=1 n

=Pi=1

fi1 1 (Bi ) in

=Pi=1

fi1 1 (Bi ) i

=

=i=1

P fi1 1 (Bi ) i

=i=1

P (i fi )1 (Bi )

deoarece

1 (Bi ) i

BIR si f1 , ..., fn sunt independente

42


Capitolul 6 Cursul VI6.1 Caracteristici numerice ale v.a. reale

Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : IR o v.a. reala, Ff functia sa de repartitie. Denitie 6.1. Scalarul M r (f ) =def

|x|r dFf (x)

(6.1)

se numeste momentul absolut de ordin r > 0 al lui f . Daca M r (f ) < (integrala e absolut convergenta) atunci Mr (f ) =def

xr dFf (x)

(6.2)

se numeste momentul de ordin r al v.a. f . Momentul de ordinul 1 al lui f se numeste media variabilei aleatoare f si se noteaza cu M (f ): M (f ) = Daca M r (f ) < atuncic Mr (f ) = def def

xdFf (x)

(6.3)

(x M (f ))r dFf (x)

(6.4)

se numeste momentul centrat de ordin r al lui f.c Daca r = 2, M2 (f ) se mai noteaza cu D2 (f ) si se numeste dispersia lui f . Avem atunci

D (f ) =

2

(x M (f ))2 dFf (x)

(6.5)

Observatie 1. Daca f este variabila aleatoare de tip continuu cu densitatea f , relatiile de denitie (6.1)-(6.5) devin: M r (f ) =def

|x|r f (x)dx

(6.6)

44 Mr (f ) =def

CAPITOLUL 6. CURSUL VI xr f (x)dx xf (x)dx c Mr (f ) = def

(6.7) (6.8) (6.9) (6.10)

M (f ) =

def

(x M (f ))r f (x)dx

D2 (f ) =

(x M (f ))2 f (x)dx

Observatie 2. Daca f este o variabila aleatoare de tip discret, f () = {xi | i I xi IR}, I cel mult numarabila, pi = P (f = xi ), i I, relatiile din Denitia 1 devin M r (f ) =iI

|xi |r pi xr pi iiI

(6.11) (6.12) (6.13) (6.14) (6.15)

Mr (f ) = M (f ) =iI c Mr (f ) = iI

xi p i

(xi M (f ))r pi (xi M (f ))2 piiI

D2 (f ) =

Exemplu 1. Sa calculam media si dispersia unei variabile aleatoare f cu repartitia binomiala de parametri n si p (Bn,p ). Avemn

Pf =k=0

k Cn pk q nk k

f:

0 1 ... k ... n n n1 k k nk ... pn q npq ... Cn p q

, p + q = 1.

Evident I = {1, 2, ..., n} si in acest caz, utilizand (6.13) avemn

M (f ) =k=0

k k Cn pk q nk .

Considerand functia (x) = (px + q)n =

n k Cn pk xk q nk , x > 0 k=0

avem (x) = np(px + q)n1 =

n k Cn pk q nk kxk1 k=0

si M (f ) = (1) = np(p + q)

n1

= np.

6.1. CARACTERISTICI NUMERICE ALE V.A. REALE Pentru dispersie se procedeaza asemanator, utilizand si (x) si obtinemn

45

D2 (f ) =k=0

k (k np)2 Cn pk q nk = ... = npq

Exemplu 2. Sa calculam acum media si dispersia unei variabile aleatoare f N (m, 2 ). Stim ca (xm)2 1 f (x) = e 22 2 si acum, folosind (6.8), 1 M (f ) = xf (x)dx = 2 Facand schimbarea de variabila 1 M (f ) = 2 xm

xe

(xm)2 2 2

dx

= t, x = t + m, dx = dt obtinemt2 m te 2 dt + 2

t2 (t + m)e 2 dt = 2

e 2 dt

t2

si cum prima integrala este nula (deoarece este integrala unei functii imparepe un domeniu simetric), si a doua este dublul integralei de la 0 la (integrandu-se o functie para) obtinem 2 1 1 2 m m m m t2 y e dt = e y 2 ey dy = M (f ) = =m dy = 2 y 2 0 2 0 2 0 dupa aplicarea unei alte schimbari de variabila este functia Gamma a lui Euler. Dispersia lui f este D2 (f ) = t2 2

= y, t =

2y, dt =

2 dy. 2 y

Reamintim ca

(x m)2 f (x)dx = ... = 2

Propozitie 6.1. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f1 , ...fn : IR variabile aleatoare reale, : IRn IR astfel incat

|(x1 , ..., xn )|dF(f1 ,...,fn ) (x1 , .., xn ) <

Atunci M ( (f1 , .., fn )) =

|(x1 , ..., xn )|dF(f1 ,...,fn ) (x1 , .., xn )

(6.16)

Demonstratia se face folosind Teorema de transport sau Teorema de schimbare de variabila. Observatie 3. devine 1. Daca (f1 , .., fn ) sunt de tip continuu cu densitate (f1 ,..,fn ) atunci (6.16)

M ( (f1 , ..., fn )) =

(x1 , ..., xn )(f1 ,...,fn ) (x1 , ..., xn )dx1 ...dxn

46 2. Daca sunt de tip discret, adica

CAPITOLUL 6. CURSUL VI

(f1 , .., fn )() = {(xi1 , ..., xin ) IRn | ik Ik , Ik cel mult numarabila, k = 1, n} Pi1 ,..,in = P (f1 = xi1 , ..., fn = xin ) atunci (6.16) devine M ( (f1 , ..., fn )) =i1 I1

in In

(xi1 , ..., xin )Pi1 ,...,in

Observatie 4. Folosind (6.16) deducem ca: M r (f ) = M (|f |r )c Mr (f ) = M ((f M (f ))r )

Mr (f ) = M (f r ) D2 (f ) = M ((f M (f ))2 )

E sucient, de exemplu, pentru prima relatie, sa alegem : IR IR, (x) = |x|r Teorem 6.1. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, a, b IR, f, g : IR v.a de medii nite. a Atunci M (af + bg) = aM (f ) + bM (g) (6.17) Demonstratie. Luam (f, g) de tip continuu, cu densitatea (f,g) , (x, y) = ax + by. Atunci avem af + bg = (f, g) si mai departe

M (af + bg) = M ( (f, g)) =

(x, y)(f,g) (x, y)dxdy =

=

(ax + by)(f,g) (x, y)dxdy =

=a

x(f,g) (x, y)dxdy + b

y(f,g) (x, y)dxdy =

=a

x

(f,g) (x, y)dy dx + b

y

(f,g) (x, y)dx dy =

=a

xf (x)dx + b

yg (y)dy = aM (f ) + bM (g).

Observatie 5. Daca a IR xat si f : IR, f = a, atunci M (f ) = a, deoarece repartitia lui f este data astfel: a f: , de unde M (f ) = a 1 = a 1 Observatie 6. Dispersia se poate calcula dupa formula: D2 (f ) = M (f 2 ) M 2 (f ) Intr-adevar D2 (f ) = M ((f M (f ))2 ) = M (f 2 2M (f ) f + M 2 (f )) = M (f 2 ) 2M (f )M (f ) + M 2 (f ) = = M (f 2 ) M 2 (f ) (6.18)

6.1. CARACTERISTICI NUMERICE ALE V.A. REALE Exemplu 3. Revenind la Exemplul 1 in care f Bn,p avem D2 (f ) = M (f 2 ) M 2 (f ) = M (f 2 ) n2 p2 f2 : decin n

47

02 ... k2 ... n2 k q n ... Cn pk q nk ... pn

, P (f 2 = k 2 ) = P (f = k)

D (f ) =k=1

2

k

2

k Cn pk q nk

n p =k=1

2 2

k k(k 1 + 1)Cn pk q nk n2 p2 = (1) + (1) n2 p2

unde folosim functia denita la Exemplul 1, (x) = (px + q)n = np(px + q)n1 , (x) = n(n 1)p2 (px + q)n2 . Avem astfel

n k=0

k Cn xk pk q nk , (x) =

D2 (f ) = n(n 1)p2 + np n2 p2 = n2 p2 np2 + np n2 p2 = np(1 p) = npq Observatie 7. (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : IR variabila aleatoare de tip continuu, astfel incat P (f I) = 1, I IR interval, = inf xI x, = supxI x. Atunci f (x) > 0, x (, ) Presupunem x si atunci Ff (x) = P (f < x) = P () = 0 0 = Ff (x) = f (x). Daca x atunci Ff (x) = P (f < x) = P (f I) = 12 0 = Ff (x) = f (x). Propozitie 6.2. 1. (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : IR variabila aleatoare pozitiva, atunci M (f ) 0. 2. f, g : IR, variabile aleatoare de medii nite, f g, atunci M (f ) M (g). Demonstratie. 1. Daca f e de tip discret, f: atunci xi 0, i I deci M (f ) =iI

f (x) = 0, x (, )

xi pi

, I numarabilaiI

pi xi 0

Daca f e de tip continuu, cu densitatea f , avem, pe baza observatiei anterioare, f (x) > 0, x > 0 si f (x) = 0, x 0 de unde

M (f ) =

xf (x)dx =0

xf (x)dx 0

48 2. Avem


M (g f ) 0, deoarece g f 0 M (g) M (f ) 0 M (g) M (f ).

Teorem 6.2 (de multiplicare). Fie (, F, P ), f1 , ..., fn : IR variabile aleatoare reale a independente, de medii nite. Atunci f1 ... fn are media nita si M (f1 ... fn ) = M (f1 ) ... M (fn ) (6.19)

Demonstratie. E sucient sa demonstram pentru n = 2, deoarece pentru n oarecare se face prin inductie. Presupunem intai (f1 , f2 ) de tip discret: (f1 , f2 )() = {(xi , yj ) IR2 | i I, j J}, I, J cel mult numarabile. pij = P (f1 = xi , f2 = yj ),iI jJ

pij = 1

Notam pi = P (f1 = xi ) = P ((f1 = xi ) ) = P (f1 = xi ) jJ

(f2 = yj )

=

=PjJ

(f1 = xi , f2 = yj )def jJ

=jJ

P (f1 = xi , f2 = yj ) =jJ def iI

pij , i I

adica

Pi =

pij si analog p j =

pij

Acum, variabila aleatoare f1 f2 are repartitia f1 f2 : xi y j pij

iI, jJ

M (f1 f2 ) =iI jJ

xi yj pij

Acum, deoarece f1 si f2 sunt independente,1 1 pij = P (f1 = xi , f2 = yj ) = P ((f1 = xi ) (f2 = yj )) = P (f1 ({xi }) f2 ({yj })) = indep

= P (f1 = xi )P (f2 = yj ) = pi p j si, mai departe M (f1 f2 ) =iI

xi pijJ

yj p j = M (f1 ) M (f2 )

Acum presupunem ca (f1 , f2 ) este de tip continuu cu densitatea (f1 ,f2 ) . Deoarece f1 si f2 sunt independente (x , x ) = (x ) (x )

6.1. CARACTERISTICI NUMERICE ALE V.A. REALE Atunci M (f1 f2 ) = M ( (f1 , f2 )) =

49

(x, y)(f1 ,f2 ) (x, y)dxdy =

=

xyf1 (x)f2 (y)dxdy =

xf1 (x)dx

yf2 (y)dy = M (f1 ) M (f2 )

unde : IR2 IR, (x, y) = xy

Teorem 6.3 (Inegalitatea Markov). Fie (, F, P ), f : IR, M r (f ) < . Atunci a P (|f | ) M r (f ) , > 0. r (6.20)

Demonstratie. Consideram cazul continuu, f - densitatea de repartitie a lui f , si > 0 oare care.

M r (f ) =

|x|r f (x)dx ={xIR, |x|}

|x|r f (x)dx +{xIR, |x| 0. 2 Observatie 8. Inegalitatea lui Cebev poate rescrisa astfel: as P (|f M (f )| < ) 1 D2 (f ) , > 0. 2 (6.22) (6.21)

50


Capitolul 7 Cursul VIIIDenitie 7.1. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f, g : IR variabile aleatoare reale. Numarul real def cov(f, g) = M [(f M (f ))(g M (g))] (7.1) se numeste covarianta variabilelor aleatoare f si g. Avem cov(f, g) = M (f g f M (g) g M (f ) + M (f ) M (g)) = = M (f g) M (f M (g)) M (g M (f )) + M (M (f ) M (g)) = = M (f g) M (f ) M (g) M (f ) M (g) + M (f ) M (g) = M (f g) M (f ) M (g) Deci cov(f, g) = M (f g) M (f ) M (g) Denitie 7.2. Daca cov(f, g) = 0 atunci f, g se numesc variabile aleatoare necorelate . Observatie 1. Daca variabilele aleatoare f, g sunt independente atunci sunt necorelate. Re ciproc nu este adevarat. cov(f, g) = M (f g) M (f ) M (g) = M (f ) M (g) M (f ) M (g) = 0 f, g necorelate. Denitie 7.3. Fie f, g variabile aleatoare reale astfel incat 0 < D2 (f ), D2 (g) < . Numarul real cov(f, g) (f, g) = (7.3) D2 (f )D2 (g) se numeste coecientul de corelatie al variabilelor f si g. Propozitie 7.1. Coecientul de corelatie are urmatoarele proprietati: 1. (f, f ) = 1 2. (f, g) = (g, f ) 3. |(f, g)| 1 cu egalitate a, b IR astfel incat f = ag + b.indep.

(7.2)

52 Demonstratie. 1. Avem (f, f ) = 2. Este evident din denitie. 3. Avem cov 2 (f, g) = unde 2

CAPITOLUL 7. CURSUL VIII

cov(f, f ) D2 (f )D2 (f )

=

M (f 2 ) M 2 (f ) D2 (f ) = 2 =1 D2 (f ) D (f )

(x, y)(f,g) (x, y)dxdy

= (f M (f ))(g M (g)) = (f, g)

: IR2 IR, (x, y) = (x M (f ))(y M (g)). cov (f, g) = 2 2 2

(x M (f ))(y M (g))(f,g) (x, y)dxdy

(x M (f ))2 (f,g) (x, y)dxdy (f,g) (x, y)dydx

(y M (g))2 (f,g) (x, y)dxdy =2

=

(x M (f ))

(y M (g))

(f,g) (x, y)dxdy =

=

(x M (f ))2 f (x)dx

(y M (g))2 g (y)dy = D2 (f ) D2 (g).

Obtinem apoi, extragand radicalul, ca cov(f, g) D2 (f )D2 (g) 1 |(f, g)| 1.

Teorem 7.1. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, 1 , ..., n IR, f1 , .., fn : IR variabile a aleatoare necorelate doua cate doua, de dispersii nite. Atuncin n

D2i=1

i fi

=i=1

2 i D2 (fi ).

(7.4)

Demonstratie. n

=M

n

n

2

n

2

=

D2i=1

i fi

i fi Mi=1 i=1

i fi

=Mi=1

i (fi M (fi ))

n

=Mi=1 n

2 i (fi M (fi ))2 + 2 1i 0 2 2 si apoi, aplicand complementara (|fn + gn (f + g)| ) (|fn f | ) (|gn g| ) 2 2 Calculand probabilitatea ecarui eveniment din inegalitatea de mai sus, si folosind faptul cunoscut ca P (A B) P (A) + P (B), obtinem P (|fn + gn (f + g)| ) P (|fn f | ) + P (|gn g| ), > 0 2 2 si trecem la limita pentru n : 0 lim P (|fn + gn (f + g)| ) lim P (|fn f | ) + lim P (|gn g| ) = 0 n n n 2 2 deci fn + gn f + g. n P

3. Avem |f g| = |f fn (g fn )| |fn f | + |fn g|, de unde (|fn f | < ) (|fn g| < ) (|f g| < ) 2 2 (|f g| ) (|fn f | ) (|fn g| ) 2 2 si aplicand acelasi procedeu ca la punctul 1, 0 P (|f g| ) lim P (|fn f | ) + lim P (|fn g| ) = 0 n n 2 2 deci P (|f g| ) = 0, pentru orice > 0 deci P (|f g| < ) = 1 pentru orice > 0, de unde, trecand la limita dupa , P (|f g| = 0) = 1, adica P (f = g) = 1, ceea ce inseamna ca f = g, P a.s.

56


Teorem 7.4. Fie (, F, P ) - spatiu de probabilitate, fn , f : IR, variabile aleatoare, a P a.s. P n IN . Daca fn f atunci fn f . Reciproc nu este adevarat. n n

Demonstratie. Fie (An )n1 F .

P (limAn ) = Pn n=1 k=n

Ak

= lim Pn k=n

Ak

lim sup P (An )n kn

deoarece P

Akk=n

P (Ak ), k n.

Fie > 0 arbitrar, An = (|fn f | ). Atunci limAn , fn () f () limAn (fn f )n n

de unden n

P (limAn ) P (fn f ) = 0 limP (An ) = 0 fn f. n

P

7.1.3

Convergenta in repartitie

Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, fn , f : IR variabile aleatoare, n IN . Denitie 7.8. Spunem ca (fn )n1 converge in repartitie catre f , si scriem fn f daca n rep

Ffn (x) Ff (x), x punct de continuitate pentru Ff . n

(7.7)

Teorem 7.5. Daca fn f atunci fn f . a n n

rep

P

Demonstratie. Fie x IR punct de continuitate pentru Ff , si > 0. Avem (f < x ) = (f < x ) [(|fn f | ) (|fn f | < )] = = [(f < x ) (|fn f | )] [(f < x ) (f < fn < f + )] (|fn f | ) (f < x ) (fn < f + ) (|fn f | ) (fn < x + ) = deci (f < x ) (|fn f | ) (fn < x) de unde P (f < x ) P (|fn f | ) + P (fn < x) P (f < x ) limn P (|fn f | ) + limn Ffn (x) adica avem F (x ) lim F (x) (7.8)

7.1. CONVERGENTA STOCHASTICA Acum (fn < x) = (fn < x) [(|fn | ) (|fn f | < )] = = [(fm < x) (|fn f | )] [(fn < x) (|fn f | < )] (fn f | ) (f < x + ) deci

57

Ffn (x) = P (fn < x) P (|fn f | ) + P (f < x + ) = P (|fn f | ) + Ff (x), n IN, > 0 Trecand la limita superioara dupa n avem limFfn (x) limP (|fn f | ) + Ff (x + )n n

si obtinem limFfn (x) Ff (x + )n

(7.9)

Din (7.8) si (7.9) obtinem Ff (x ) limn Ffn (x) limn Ffn (x) Ffn (x) Ff (x + ) si, din continuitatea functiei de repartitie in x, pentru 0, Ff (x) limn Ffn (x) limn Ffn (x) Ff (x) de unde obtinem lim Ffn (x) = Ff (x), x punct de continuitate fn f n n rep

7.1.4

Convergenta in medie

Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, fn , f : IR variabile aleatoare, M (fn ), M r (fn ) si M r (f ) < . Denitie 7.9. Spunem ca (fn )n1 converge in medie de ordin r catre f , si scriem fn r f n daca lim M (|fn f |r ) = 0 (7.10)n m

Propozitie 7.3. Daca fn f atunci fn f . n n

mr

P

Demonstratie. Avem, cu inegalitatea Markov (6.20) P (|g| ) unde g = fn f . Atunci M r (fn f ) M (|fn f |r ) P (|fn f | ) = 0 n r r decin

Mr (g) , > 0 r

lim P (|fn f | ) = 0, > 0 fn f.n

P

58


Capitolul 8 Cursul IX8.1 Functia caracteristica a unei repartitii/v.a.

Fie F functie de repartitie pe IRk . Denitie 8.1. Aplicatia F : IRk C, F (t) = ei dF (x), t IRkIRk

(8.1)

se numeste functia caracteristica a functiei de repartitie F . Reamintim ca daca t = (t1 , ..., tk ) IRk , x = (x1 , ..., xk ) IRk , atuncik

< t, x >=i=1

ti xi , ||x|| =

k

< x, x > =i=1

x2 k

Denitie 8.2. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f = (f1 , ..., fn ) : IR variabila aleatoare, Ff functia sa de repartitie, numim functia caracteristica a v.a f functia caracteristica a repartitiei Ff , notata f : IRk C, data de relatia f (t) =IRk

ei dFf (x), t IRk

(8.2)

In baza Propozitiei 1 din Capitolul 6 avem f (t) = M ei Observatie 1. a) f - v.a. de tip continuu, cu densitatea f . Atunci f (t) =IRk

ei f (x)dx

(8.3)

b) f - v.a. discreta, f () = {(xi1 , yi2 , ..., zik ) IRk | i1 I1 , ..., ik Ik }, I1 , ..., Ik - cel mult numarabile, pi1 ...ik = P (f1 = xi1 , ..., fk = zik ). f (t) =i1 I1

ik Ik

ei(ti1 xi1 +...+tik zik ) pi1 ...ik , t = (t1 , ..., tk ) IRk

(8.4)

60

CAPITOLUL 8. CURSUL IX

k Exemplu 1. Fie variabila aleatoare binomiala f Bn,p . Atunci P (f = k) = Cn pk q nk , k = 0, ..., n. Pe baza relatiei de denitie (8.4) avem f : IR C, n n k n

f (t) =k=0

e

itk

k Cn pk q nk

=k=0

k Cn peit

q nk = peit + q

Exemplu 2. Fie variabila aleatoare f N (0, 1). Avem f : IR C, si cu relatia de denitie (8.3) avem x2 1 1 f (t) = eitx e 2 dx 2 2 Scriem acum, folosind dezvoltarea functiei ez in serie, 1 f (t) = 2 Acum, deoarece Mn (f ) = 0, n par, si Mn (f ) = (2n 1)!!, n impar,

n=0

(itx)n x2 1 e 2 dx = n! 2

n=0

(it)n n!

x e

n x 2

2

dx =n=0

(it)n Mn (f ) n!

f (t) =n=0

(it)2n 1 3 ... (2n 1) = (2n)!t2

n=0

(it)2n (2n)! = (2n)! 2n n!

n=0

t2 2

n

t2 1 = e 2 n!

Deci daca f N (0, 1), f (t) = e 2 . Exemplu 3. Fie f N (m, 2 ). Atunci f : IR C, si f (t) = 1 eitx f (x)dx = 2 xm

eitx e

(xm)2 2 2

dx

si efectuand schimbarea de variabila 1 f (t) = 2

= u, dx = du:

u2 1 eit(u+m) e 2 du = eitm 2

eitu e 2 du = eitm e

u2

Ex.2

(t)2 2

= eitm

t2 2 2

.

Propozitie 8.1. Fie F o functie de repartitie pe IRk , F functia sa caracteristica. Atunci 1. F (0) = 1 2. |F (t)| 1, t IRk 3. F (t) = F (t) 4. F este uniform continua 5. Daca (, F, P ) este spatiu de probabilitate, f, g : IRk variabile aleatoare independente, atunci f +g (t) = f (t) g (t), t IRk . (8.5)

8.1. FUNCTIA CARACTERISTICA A UNEI REPARTITII/V.A. Demonstratie. 1. F (0) = 2. |F (t)| = deoarece |ei | = 1. 3. F (t) = M ei = M (cos(< t, f >) + i sin(< t, f >)) = = M (cos(< t, f >)) iM (sin(< t, f >)) = M (cos(< t, f >)) + iM (sin(< t, f >)) = = M (cos(< t, f >) + i sin(i < t, f >)) = M (ei ) = F (t). 4. Fie t1 , t2 IRk . F (t1 ) F (t2 ) = =IRk

61

ei dF (x) =IRk IRk

dF (x) = 1

ei dF (x) IRk IRk

|ei |dF (x) = 1,

eidF (x) IRk IRk

ei dF (x) =

ei ei 1 dF (x)

Observatie: |ei 1| min(||, 2), IR. Intr-adevar, ei 1 |ei | + 1 = 1 + 1 = 2, si |ei 1| = | cos +i sin 1| = 2 sin2 = 2 sin Revenind, avem |F (t1 ) F (t2 )| IRk

+ 2 sin cos i = 2 sin i cos sin = 2 2 2 2 2 2 || 2 = || 2 2

ei ei 1 dF (x) IRk

min(| < t1 t2 , x > |, 2)dF (x)

Fie acum > 0, ||t1 t2 || . Atunci |F (t1 ) F (t2 )| min(| < t1 t2 , x > |, 2)dF (x) IRk

IRk

IRk

min(||t1 t2 || ||x||, 2)dF (x)

min(||x||, 2)dF (x) 0 0

62 5.

CAPITOLUL 8. CURSUL IX

f1 +f2 (t) = M ei = M ei+i = M ei ei = M ei M ei = f1 (t) f2 (t)

indep.

=

Propozitie 8.2. Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, f : IR variabila aleatoare, M n (f ) < . Atunci f este derivabila de n ori, si(n) f (t)

=i

n

xn eitx dFf (x), t IR

(8.6)

Demonstratie. Este sucient sa aratam pentru n = 1. f (t + h) f (t) 1 = h h

ei(t+h)x dFf (x)

R

eitx dFf (x)

=

eitx eihx 1 dFf (x) = h

=

eitx

eihx 1 |x|dFf (x) 0. Ff (x + h) Ff (x) (8.9) 1 = h 2 1 = 2 deci R

eitx eit(x+h) f (t)dt = ith

e

itx

1 1 eith |f (t)|dt 0. Aplicand Inegalitatea Cebev pentru g = P 1 nn 1 n n k=1

fk , obtinemn

(fk M (fk )) k=1

D2

1 n

n k=1

fk

2

=

1 D2 n2

( 2

n k=1

fk )

1 = 2 2 D2 n

fkk=1

care tinde la 0 cu (9.3), pentru orice > 0. Corolar 9.2. Fie (fn )n1 variabile aleatoare necorelate, astfel incat 1 lim 2 n n Atunci (fn )n este stabil in sens slab. Demonstratie. Variabilele ind necorelate, avem n n n

D2 (fk ) = 0.k=1

(9.4)

D

2 k=1

fk

=k=1

D2 (fk )

si, introducand in (9.3) obtinem imediat (9.4). Corolar 9.3. Fie (fn )n1 variabile aleatoare reale necorelate, astfel incat D2 (fn ) A < , n 1. Atunci (fn )n este stabil in sens slab. Demonstratie. Avem 1 lim n n2 1 D (fk ) 2 n k=12 n n

A = limk=1

n

A =0 n

deci, aplicand Corolarul anterior obtinem rezultatul cerut.

67 Teorem 9.4 (Hincin). Fie (fn )n1 variabile aleatoare reale, independente si identic repartia zate cu functia de repartitie F si media m < . Atunci sirul (fn )n este stabil in sens slab. Demonstratie. Fie > 0, n IN, oarecare. uk = Avem M (uk ) =n 2 2 def

fk , |fk | n , 0, |fk | > nn

vk =

def

0, |fk | n , fk , |fk | > n

fk = uk + vk , k 1

xdF (x) = mn n

xdF (x) = M (fk ) = m m2 nn

D (uk ) = M2 (uk ) M (uk ) = M2 (uk ) n n

M2 (uk ) =n

x2 dF (x) =

=n

|x| |x|dF (x) nn

|x|dF (x) n n

|x|dF (x) nb

M

1 n2

n

ukk=1 n

=

1 n

M (uk ) =k=1 n

1 nmn = mn n nb b = 2 n n uk b n2

D

1 nn

ukk=1

1 = 2 n

D2 (uk ) k=1

P

1 n

uk mn k=1

D2

1 n

n k=1 2

Observatie: Fie f, g - variabile aleatoare. Avem |f | < a, |g| < b |f + g| < |f | + |g| < a + b deci |f + g| a + b |f | asau|g| b adica, in termeni de evenimente, (|f + g| a + b) (|f | a) (|g| b) de unde P (|f + g| a + b) P (|f | a) + P (|g| b) Aplicam aceasta observatie pentru f = P dar P (|m m| ) = 0, n n 1 nn 1 n n k=1

uk mn , g = mn m, a = b = : uk m n + P (|mn m| )

uk m 2k=1

P

1 n

n

k=1

68 datorita convergentei lui mn la m. Atunci P Acum calculam P (vk = 0) =(|x|n)

CAPITOLUL 9. CURSUL XI

1 n

n

uk m 2k=1

b 1 0 n2 n n

n

uk m 0 k=1 n

P

(9.5)

dF (x) =

1 n

ndF (x) |x|n n

1 nn

|x|dF (x) (|x|n)

1 2 = n n (9.6)

P (vk = 0) k=1

P (vk = 0) k=1 1 n

= nn k=1

Acum aplicam din nou observatia anterioara pentru f = P 1 nn

uk m, g =n

1 n

n k=1

vk :

fk m 2k=1

=P

1 n

1 uk m + n k=1 +P 1 nn

n

vk 2k=1

P 1 nn

1 n

n

uk m k=1

vk k=1 (9.5),(9.6)

P

uk m k=1 1 n n k=1 P

+P

1 n

n

vk = 0k=1

b + , > 0 n2

Am aratat astfel ca

fk m, adica sirul (fn )n este stabil in sens slab. n

Teorem 9.5 (Kolmogorov). Fie (fn )n variabile aleatoare de dispersii nite, independente a astfel incat 1 2 D (fn ) < (9.7) n2 n=1 Atunci (fn )n este stabil in sens tare.

Capitolul 10 Cursul XIIFie Fn , F : IRn [0, 1], n IN . Denitie 10.1. Spunem ca (Fn )n1 converge in sens slab la F , Fn F daca n slab

Fn (x) F (x), x IRm . n

Observatie 3. Pentru fn , f : IRm variabile aleatoare, n IN , fn f daca Ffn n n Ff . Observatie 4. Fn F n si marginita. Teorem 10.1. a Atuncislab IRm

rep

slab

h(x)dFn (x) n

IRm

h(x)dF (x), h : IRm IR, continua

1. Fn , F functii de repartitie pe IRm , n IN , n , functii caracteristice. Fn F n (t) (t), t IRm n n slab

2. Daca (n )n1 sunt functii caracteristice, iar (Fn )n1 sunt functiile de repartitie corespunslab zatoare, cu n (t) (t), t IRm , - continua in t = 0, atunci Fn F , F n n functia de repartitie corespunzatoare lui . Demonstratie. 1. Fie t IRm , ht : IRm IR, gt : IRm IR, ht (x) = cos(tx), gt (x) = sin(tx), slab ht , gt continue si marginite. Dar, prin ipoteza avem Fn F . Conform cu Observatia n 4: cos < t, x > dFn (x) cos < t, x > dF (x)IRm IRm

IRm

sin < t, x > dFn (x)

sin < t, x > dF (x)IRm

deciIRm

cos < t, x > dFn (x) + i

IRm

sin < t, x > dFn (x) sin < t, x > dF (x)

cos < t, x > dF (x) + i

70 adicaIRm

CAPITOLUL 10. CURSUL XII

(cos < t, x > +i sin < t, x >)dFn (x)

(cos < t, x > +i sin < t, x >)dF (x)IRm

si, mai departe,IRm

ei dFn (x)

ei dF (x)IRm

Rezulta n (t) (t) n

10.1

Teorema Limita Centralax2 1 (x) = e 2 , x IR 2

Observatie 5. Densitatea de repartitie a repartitiei N (0, 1) este (10.1)

iar functia de repartitie a lui N (0, 1) este 1 : IR [0, 1], (x) = 2 se numeste functia lui Laplace. Avem (x) = 1 (x), x IR Intr-adevar, 1 (x) = 2x t2 1 e 2 dt = 1 2

x

e 2 dt

t2

(10.2)

(10.3)

x x

t2 1 t=u e 2 dt = 1 2 t2

x

e 2 (1)du =

u2

1 =1 2

e 2 dt = 1 (x)t2

Observatie 6. Daca g este o variabila aleatoare cu repartitia N (0, 1), atunci g (t) = e 2 . In plus, daca a, b IR, a = 0, atunci f = ag + b sin N (b, a2 ). Avem, intr-adevar: f (t) = M eitf = M eit(ag+b) = M ei(at)g eitb = eitb M ei(at)g = eitb g (at) = eitba2 t2 2

Deoarece functia caracteristica determina in mod unic repartitia obtinem ca f N (b, a2 ). Fie (, F, P ) spatiu de probabilitate, fn : IR variabile aleatoare, n IN . Presupunem ca f1 , ..., fn sunt independente, cu D2 (fn ) < , n 1.2 Notam mk = M (fk ), k = D2 (fk ), Fk - functia de repartitie a lui fk , k IN ,

f

def

= f + ... + f , n IN

(10.4)

10.1. TEOREMA LIMITA CENTRALA m(n) = M (f(n) ) = Mk=1 2 def (n) = n 2 2 k=1 def n n n

71 fk =k=1 n

M (fk ) =k=1 n 2

mk .2 k k=1

(10.5)

D (f(n) ) = D Sn =def

fk

=k=1

D (fk ) = f(n) m(n) (n)

(10.6)

1 (n)

n

(fk mk ) =k=1

(10.7)

Sn se numeste abaterea redusa a lui (fn )n1 . > 0, 1 n () = 2 (n)def n

(x mk )2 dFk (x)k=1 {xIR| |xmk |(n) }

(10.8)

Teorem 10.2 (Teorema Limita Centrala). Cu notatiile anterioare avem: a2 k Sn f N (0, 1), si lim max 2 = 0 lim n () = 0, > 0 n n n 1kn (n) rep

(10.9)

Demonstratie. Lipseste. Corolar 10.3. Fie (fn )n1 variabile aleatoare independente, identic repartizate, de dispersii nite. Atunci ref Sn f N (0, 1). n 2 Demonstratie. Aratam ca n () 0, > 0. Avem mk = M (fk ) = m, k = D2 (fk ) = 2 , n deci n n 2 (n) = k=1 2 k = k=1

2 = n 2

In plus, fk = f , k IN . Atunci n () = 1 n 2n (|xm| n) rep

(x m)2 dF (x) =

k=1

1 2

(|xm| n)

(x m)2 dF (x) 0, > 0 n

de unde, cu T.L.C. obtinem ca Sn f N (0, 1). n

Observatie 7. Sn f N (0, 1) implica n

rep

Fn (x) = P (Sn < x) (x), x IR n

unde Fn - functia de repartitie a lui Sn . Observatie 8. Pentru a, b IR, a < b avem P (a S b) = Fn (b) Fn (a) (b) (a) (10.10)

72

CAPITOLUL 10. CURSUL XII

Corolar 10.4 (Teorema Moivre - Laplace). Fie (fn )n1 un sir de variabile aleatoare reale independente, cu repartitia fn : Atunci 0 1 q p , p (0, 1), p + q = 1

f1 + ... + fn np rep f N (0, 1) n npq

(10.11)

Demonstratie. Avem mk = M (fk ) = p de unde obtinem n

m(n) =k=1 2 k 2

mk = np

= M2 (fk ) M (fk ) = p p2 = p(1 p) = pqn 2 (n) n 2 k k=1

=

=k=1

pq = npq

Sn =rep n

f1 + ... + fn np npq

Conform corolarului precedent Sn f N (0, 1). Observatie 9. Daca f este o variabila aleatoare cu repartitia Bn,p , atunci f np rep g N (0, 1) npq n Ne plasam in Th. Moivre Laplace.n n

(10.12)

f1 +...+fn (t) = M (en

it(f1 +...+fn )

)=Mj=1

e

itfj

=j=1

M (eitfj ) =

n

=j=1

fj (t) =j=1

(peit + q) = (peit + q)n

deci f1 + ... + fn Bn,p . Observatie 10. Daca f Bn,p , atunci putem considera ca f N (np, npq), pentru n sucient de mare: f np = g N (0, 1) f = npqg + np N (np, npq). npq Corolar 10.5. Fie (fn )n1 un sir de variabile aleatoare reale independente, > 0, astfel incat M (|fk mk |2+ ) < , k IN . Daca n () = atunci 1n

(10.13)

2+ (n) k=1 rep

M (|fk mk |2+ ) 0 n

(10.14)

Sn f N (0, 1). n

10.1. TEOREMA LIMITA CENTRALA Demonstratie. 1 n () = 2 (n) 1 = 2+ (n) 1 2+ (n) 1 = 2+ (n)n n (|xmk |(n) ) (x mk )2 (n) dFk (x)

73

n

(x mk )2 dFk (x) =k=1 (|xmk |>(n) )

k=1 n

(x mk )2 |x mk | dFk (s) =k=1 (|xmk |(n) ) 2+

|x mk |k=1 (|xmk |(n) )

1 1 dFk (x) 2+ (n)

n

|x mk |2+ dFk (x) =

k=1

=

1 1 (n)

n

M (|fk mk |2+ ) =k=1

1 n () 0 n

Acum, aplicand T.L.C. obtinem concluzia. Corolar 10.6 (Criteriul Leapunov). Fie (fn )n1 un sir de variabile aleatoare reale independente astfel incat 3 = M (|fk mk |3 ) < , k IN . Daca k (n) lim = 0, 3 = (n) n (n) atuncirep n

3 , kk=1

(10.15)

Sn f N (0, 1). n

Demonstratie. Se ia = 1 in Corolarul anterior.

Curs Probab

Documents

Transcript of Curs Probab