Curs Mizerie TCN
description
Transcript of Curs Mizerie TCN
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 1
CAPITOLUL 3
DETERMINAREA VIBRAŢIILOR PROPRII VERTICALE ALE CORPULUI NAVEI VRACHIER
3.1. CONSIDERAŢII GENERALE Creşterea elasticităţii generale ale corpurilor navelor vrachiere datorită dimensiunilor principale mari, creşterea puterii instalaţiei de propulsie, situaţiile de încărcare diferite ale acestor tipuri de nave, conduc la amplificarea amplitudinilor vibraţiilor generale şi locale ale corpului navei.Totodată, răspunsul dinamic la vibraţiile generale ale corpului navei şi subansamblelor este necesar pentru studiul vibraţiilor locale ale diferitelor elemente de importanţă funcţională şi de rezistenţă (învelişul bordajului de la pupa navei, planşeele de punte sau din suprastructură, etc.). Determinarea frecvenţelor proprii ale corpului navei şi subansamblelor structurale – rezonatori de vibraţii (dublul fund din camera maşinii, maşina de propulsie, linia axială, suprastructura) permite, prin comparare cu valorile frecvenţelor de excitaţie existente la bordul navei şi externe acesteia, estimarea fenomenelor de rezonanţă. Studiul formelor proprii de vibraţie permite evidenţierea zonelor afectate de rezonanţă. Deoarece, de cele mai multe ori, pe lângă modurile proprii de vibraţii, substructurile de la bord şi chiar grinda navei pot fi afectate de interacţiunea vibraţiilor între moduri diferite de vibraţie ale aceluiaşi element sau între elemente diferite, este necesar să se cunoască formele periculoase de cuplare, ştiind că principalul efect al acestui fenomen este modificarea frecvenţelor naturale pentru fiecare subansamblu luat separat. Din literatura de specialitate [Lewis 88a], [Wereldsma 81] se cunosc unele forme de cuplare:
- vibraţia orizontală cu cea de torsiune a corpului; - vibraţia verticală a corpului cu vibraţia suprastructurii; - vibraţia picului pupa cu cea a dublului fund etc.
Din cele prezentate rezultă că un rol foarte important în dinamica navei îl are vibraţia generală a corpului. Pentru studiul acestui tip de vibraţie se adoptă următoarele ipoteze:
Se analizează vibraţiile verticale ale corpului navei, considerat o grindă cu secţiunea variabilă, rezemată pe mediul elastic, apa.
Corpul navei este împărţit în eN elemente ale căror caracteristici geometrice şi
mecanice se consideră constante pe lungimea lor.
Fiecare segment din corpul navei este modelat utilizând teoria grinzii Timoshenko, cu includerea inerţiei de rotaţie şi a deformaţiilor de forfecare.
Formele navei, masele de apă adiţionale şi coeficienţii de amortizare hidrodinamici se calculează folosind transformata conformă Lewis. Se neglijează variaţia masei adiţionale şi a coeficienţilor de amortizare hidrodinamici cu frecvenţa proprie de vibraţie;
Datorită simetriei faţă de planul diametral al navei, vibraţia verticală se consideră independentă faţă de celelalte tipuri de vibraţii generale ale corpului (orizontală, longitudinală şi de torsiune).
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 2
Calculul vibraţiilor verticale proprii şi forţate ale grinzii navă sub acţiunea forţelor armonice, se realizează utilizând metoda matricelor de transmitere. 3.2. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A SEGMENTULUI DE NAVĂ Modelul matematic al comportării dinamice a structurii corpului navei este realizat considerând unele ipoteze simplificatoare legate de rigiditatea şi distribuţia masei structurii, de cele mai multe ori neglijând amortizarea. Un model dinamic, dat de unsistem de ecuaţii diferenţiale, poate reprezenta cu mai multă sau mai puţinî fidelitate structura reală.În general se acceptă că erorile sunt date în special de: - aproximarea condiţiilor la limită şi a îmbinărilor (legăturilor) dintre
subcomponente; - estimarea proprietăţilor fizice ale materialelor; - dificultăţile de modelare a amortizărilor; - aproximaţiile introduse prin liniarizarea ecuaţiilor; - algoritmii numerici, în special în cazul modelelor de mari dimensiuni Se consideră segmentul de navă elementar (fig.3.1), care are următoarele
caracteristici geometrice şi mecanice: m -masa pe unitatea de lungime a corpului
navei şi apei adiţionale; j - momentul de inerţie masic pe unitatea de lungime a
corpului navei; I -momentul de inerţie geometric axial al secţiunii transversale; A -
aria secţiunii transversale; f zA -aria redusă a secţiunii transversale.
Fig. 3.1
Segmentul de navă cu amortizare histeretică b este supus acţiunii sarcinilor
exterioare t,xf , forţelor de amortizare hidrodinamică t,xfa , forţelor elastice
t,xfe , forţei de inerţie t,xf i , momentului forţelor de inerţie t,xmi , distribuite
uniform pe segmentul de navă, şi eforturilor secţionale. Se precizează că coeficientul de amortizare histeretică pentru corpul navei este
001,0b .
Intensităţile forţelor şi momentului forţelor de inerţie sunt date de expresiile:
.t
jm;t
wmf;
t
wcf;kwf
2
2
i2
2
iae
(3.1)
în care:
c - este coeficientul de amortizare hidrodinamică;
x
z
dx
af if ef
f
im
M
T
1 2
dxx
TT
dxx
MM
o
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 3
k - coeficientul de rigiditate al mediului elastic;
w - deplasarea pe direcţia axei z; - rotirea secţiunii transversale.
Relaţia dintre tensiune şi deformaţia specifică liniară este:
tbE x
xx (3.2)
Între momentul de încovoiere şi tensiunile normale, pentru elementul de grindă, există relaţia de echivalenţă :
A2
3
2
22
xtx
wb
x
wEI
txb
xEIzdAM . (3.3)
Din ecuaţiile de echilibru dinamic ale forţelor după axa z
0dxt
wckwdxt,xfdx
t
wmdx
x
T2
2
(3.4)
şi momentelor faţă de punctul 2
,02
dxdxt,xf
2
dxdxt,xf
2
dxdxt,xf
2
dxdxt,xfdx
x
M
tdxjTdx
a
ei2
2
(3.5)
în care s-au introdus notaţiile (3.1) şi se neglijează infiniţii mici de ordin superior, rezultă:
t,xfkwt
wc
t
wm
x
T2
2
, (3.6)
.t
jTx
M2
2
(3.7)
în care momentul M este dat de expresia (3.3). Dacă se ţine cont şi de efectul forţei tăietoare asupra deformatei barei elementare,
rezultă că rotirea totală a fibrei medii deformate este
x
w .
Rotaţia axei produsă de deformaţia forţei tăietoare este dată de relaţia:
fGA
T (3.8)
Expresia rotirii de încovoiere devine:
fGA
T
x
w
. (3.9)
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 4
Prin derivarea expresiei rotirii în raport cu x şi înlocuirea relaţiei (3.6) se obţine:
t,xfkw
t
wc
t
wm
GA
1
x
w
x 2
2
f2
2
. (3.10)
Se derivează relaţia (3.7) în raport cu x şi după introducerea relaţiilor (3.3), (3.6) şi (3.10) se obţine ecuaţia:
.
t
t,xf
GA
j
x
t,xf
GA
EI
xt
t,xfb
GA
EIt,xfkw
t
wc
t
w
GA
jkm
t
wcj
GA
1
t
wmj
GA
1
x
wk
GA
EI
tx
wbkc
GA
EI
tx
wj
tx
wbcm
GA
EI
tx
wmb
GA
EI
tx
wEIb
x
wEI
2
2
f2
2
f
2
3
f2
2
f
3
3
f4
4
f2
2
f2
3
f
22
4
22
4
f32
5
f4
5
4
4
(3.11) care reprezintă ecuaţia vibraţiilor verticale ale segmentului de navă, de secţiune şi masă constante, cu amortizare hidrodinamică şi structurală, aşezat pe mediu elastic, ţinând seama de deformaţiile de lunecare şi inerţia de rotaţie. 3.3. DETERMINAREA VIBRAŢIILOR PROPRII ALE GRINZII NAVĂ PRIN FOLOSIREA MATRICELOR DE TRANSMITERE Dintre metodele utilizate pentru determinarea frecvenţelor şi formelor proprii de vibraţie ale corpului navei se amintesc: -metode bazate pe formule semiempirice; -metoda matricelor dinamice de transmitere; -metoda elementului finit. Prima grupă de metode este utilizată pentru estimarea rapidă a primelor cinci frecvenţe proprii ale vibraţiilor verticale şi orizontale. Metoda elementului finit poate utiliza modelări uni-, bi- sau tridimensionale în funcţie de importanţa calculului, obţinându-se atât frecvenţele şi formele proprii cât şi interacţiunea dinamică dintre grinda navă şi principalele subansamble. În lucrare este prezentată metoda matricelor dinamice de transmitere [Posea 91], care se adaptează foarte bine corpului navei. Corpul navei este modelat utilizând teoria grinzii Timoshenko, cu includerea inerţiei de rotaţie şi a deformaţiilor de forfecare. 3.3.1. Calculul masei de apă adiţionale considerând formele navei aproximate prin transformata conformă Lewis Determinarea frecvenţelor proprii ale corpului navei se realizează ţinând cont de prezenţa fluidului, prin efectul energiei masei de apă din jurul corpului antrenată în mişcare şi care este echivalentă cu o masă adiţională hidrodinamică.
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 5
În aceste condiţii, energia cinetică a corpului navei aflată în mişcare verticală şi a masei adiţionale de apă, are expresia:
,wm2
1wm
2
1E 2
a2
c (3.12)
în care: m – reprezintă masa distribuită pe lungimea navei;
am -masa de apă adiţională distribuită pe lungimea navei;
w - acceleraţia navei pe direcţia verticală de mişcare.
Conform teoremei lui Lagrange se obţine:
dt
wdmtf
dt
wdm a
, (4.13)
unde f(t) reprezintă intensitatea forţei perturbatoare. Din aceste relaţii se poate interpreta efectul fluidului înconjurător:
fluidul generează o forţă în sens contrar mişcării;
fluidul conduce la o creştere virtuală a masei corpului navei. Metoda propusă de Lewis pentru calculul masei adiţionale de apă se bazează pe teoria potenţialului şi este valabilă domeniului vibraţiilor ( ), când acestea depind
foarte puţin de frecvenţa mişcării (fig.4.2). Pentru aplicarea acestei teorii se utilizează următoarele ipoteze:
- viteza fluidului este irotaţională ; - fluidul este ideal, incompresibil; - ipoteza suprafeţei libere; - efectul negravitaţional.
Fig. 4.2
Toate aceste ipoteze permit determinarea potenţialului câmpului de viteză z,y,x
al curentului neturbionar din lichid, generat de mişcarea vibratorie a corpului navei,
respectiv a vitezei v într-un punct al lichidului.
Din prima ipoteză rezultă viteza:
.z
v,y
v,x
vgradv zyx
(3.14)
A doua ipoteză permite să se scrie ecuaţia de continuitate (Laplace):
B
T2
33c
Domeniul vibraţiilor
Domeniul oscilaţiilor
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 6
,0zyx
0vdiv2
2
2
2
2
2
(3.15)
ceea ce presupune că funcţia potenţial de viteză este armonică.
Condiţia pe suprafaţa liberă a lichidului ( Dirichlet) se determină din ultimele două ipoteze:
0libera.sup . (3.16)
Ecuaţia de continuitate aplicată fluidului permite determinarea condiţiilor la limită a
potenţialului. Dacă se consideră n normala la suprafaţa corpului, se obţine:
- condiţia de staţionaritate a fluidului pe suprafaţa corpului ce oscilează,
viteza normală nulă (Neumann):
0n
nvvcorp
n
; (3.17)
- condiţia pe suprafaţa structurii elastice aflată în mişcare:
nvn
; (3.18)
- condiţia de radiaţie nulă la infinit:
.0zyx
0vn
(3.19)
Potenţialul de viteză al fluidului, funcţie de cele şase grade de libertate ale solidului, se descompune în:
6
1iiiv , (3.20)
în care 6,1ii este funcţia potenţial pentru gradul de libertate i (fig.3.3) al corpului
navei, iar 6,1ii
v
reprezintă viteza corespunzătoare.
0 1 4 x 2 5 y 6 3 z
Fig. 3.3
Masa de apă adiţională pentu corpul navei, corespunzătoare gradului de libertate j
din mişcarea pe gradul k de libertate se calculează cu relaţia:
,dxmM2
L
2L
jkajk
(3.21)
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 7
în care ;dln
m
c
jkjka
6,1k,j reprezintă masele adiţionale pe unitatea
de lungime a navei corespunzătoare secţiunii x. Pe baza transformării conforme punctele ale conturului unei secţiuni a navei sunt
transformate în puncte ale unui cerc de rază unitară 1r (Fig. 3.4).
Fig. 3.4
Transformata conformă multiparametrică are relaţia [Domnişoru 97b] :
n
0j
1j21j2aa . (3.22)
Pentru 1n se obţine tansformata Lewis:
;izyaaa 33
11
iei ; 2,0 . (3.23)
din care rezultă expresiile
3cosacosacosaz
3sinasinasinay
31
31 . (3.24)
Coeficienţii 21 a,a,a ai transformatei Lewis se determină din condiţiile geometrice
puse pe conturul secţiunii:
T
0
2
0
x dd
dzy2dzzy2A
0z;2
By2
Tz;0y0
23
21
2
x
31
31
a3a12
aBTC
aa1a2
B
aa1a
T
(3.25)
0
z
y
r =1
T
0
z
y
B
0
ziy ziy
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 8
unde xC,T,B , xA reprezintă lăţimea, pescajul, coeficientul de fineţe şi aria secţiunii
transversale x a corpului navei. Pentru mişcarea plană potenţială în planul 0yz, pentru gradele de libertate de mişcare
k=2,3,4 , potenţialul complex de viteză este definit de relaţia:
4,3,2k;WIm;WReiW kkkkkkk (3.26)
unde k este funcţia potenţial a vitezei şi k funcţia de curent.
Funcţiile kW integrabile în sens Riemann şi care satisfac relaţiile Cauchy-Riemann:
yz;
zy
kkkk
, (3.27)
sunt date de expresiile [Domnişoru 97b]:
.4sini4cosa2sini2cosa1aaiW
3sini3cosasinicosa1aW
3sini3cosasinicosa1aiW
3312
4
313
312
(3.28)
Din relaţiile (4.26) şi (4.28) funcţiile potenţial de viteză au expresiile:
,4sina2sina1aa
3cosacosa1a
3sinasina1a
331
2
4
313
312
, 2,0 (3.29)
şi respectiv funcţiile de curent:
.4cosa2cosa1aa
3sinasina1a
3cosacosa1a
331
2
4
313
312
, 2,0 (3.30)
Conform desenului din figura 3.5 normala într-un punct la contur este dată de relaţia:
kdl
dyj
dl
dzn (3.31)
Din relaţiile (3.18) şi (3.31) rezultă expresia vitezei normale:
Fig. 3.5
yn
zn
zn n
yn
dl dz
dy
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 9
dl
d
dl
dy
ydl
dz
zdl
dy
zdl
dz
yn
nvn
. (3.32)
Relaţia de calcul (4.21) a maselor adiţionale pe unitatea de lungime, devine:
C
2
0
jkjkjka d
d
d2dm . (3.33)
Pentru mişcările de vibraţie ale corpului navei pe direcţiile orizontală şi verticală j=k=2,3 au rezultat, în urma înlocuirii relaţiilor (3.29) şi (3.30) în (3.33), următoarele relaţii pentru calculul maselor adiţionale de apă:
.a3a1B
a4
2
Bcm
a3a1T
a
2
Tcm
23
212
22
3333
23
212
22
2222
(3.34)
unde s-a notat cu 3322 c,c coeficienţii adimensionali ai maselor adiţionale.
Pentru calculul maselor adiţionale se utilizeaza programul MASAD ce are la bază algoritmul din figura 3.6:
Fig. 3.6
Calculele se efectueaza pentru încărcarea cu marfă omogenă 100%, pentru balast şi100% rezerve şi pentru situaţia de încărcare cu balast şi rezerve10%.
DA
NU
START
DATE NAVĂ: L,B,T, XA , Xc , il ,i=1,n
CALCULUL COEFICIENŢILOR LEWIS
31 a,a,a
CALCULUL MASELOR ADIŢIONALE
STOP
ni
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 10
Coeficientul de amortizare hidrodinamică se poate determina într-un mod asemănător, pe baza teoriei potenţiale a curgerii în jurul corpului navei. Amortizarea hidrodinamică se datorează în principal valurilor de radiaţie de la suprafaţa apei generate de nava aflată în mişcare, reprezentând o disipare a unei părţi din energia cinetică a navei. În urma unor rezultate obţinute [Bishop 78], [Domnişoru 97a], se poate aprecia, că pentru domeniul vibraţiilor, coeficienţii hidrodinamici de amortizare tind la zero.
Deoarece corpul navei se consideră pe mediu elastic, se calculează rigiditatea k, ca fiind egală cu raportul dintre greutatea specifică a apei şi lăţimea navei corespunzătoare situaţiei de încărcare. In tabelele 3.1, 3.2, 3.3 sunt prezentate rezultatele pentru încărcarea cu marfă omogenă 100%, balast şi100% rezerve şi pentru situaţia de încărcare cu balast şi rezerve10%. Tabelul 3.1
Nr. trons.
Aria secţiunii transv. a
corpului etanş
xA [m2]
Pescajul navei
T [m]
Semilăţimea navei
2BX [m]
Masa de apă adiţională
am [ mt ]
Rigiditatea mediului elastic
k
2mkN
1 58,013 18,065 12,488 204,720 227,940
2 139.397 18,063 15,943 309,438 251,133
3 324,177 18,059 18,913 448,453 320,613
4 502,797 18,054 21,131 633,379 424,944
5 646,133 18,050 22,348 818,696 449,418
6 753,845 18,045 22,800 994,172 458,508
7 810,273 18,040 22,995 1115,827 462,429
8 825,622 18,035 23,000 1154,555 462,530
9 826,662 18,031 23,000 1157,697 462,530
10 826,443 18,025 23,000 1157,770 462,530
11 826,215 18,020 23,000 1157,712 462,530
12 825,987 18,015 23,000 1157,655 462,530
13 825,765 18,010 23,000 1157,623 462,530
14 825,540 18,006 23,000 1157,454 462,530
15 825,172 18,000 23,000 1157,136 462,530
16 818,309 17,996 22,975 1139,932 462,027
17 766,848 17,991 22,422 1017,584 450,906
18 601,992 17,986 18,791 660,115 377,887
19 306,755 17,982 10,135 182,537 203,814
20 81,500 17,979 0,315 139,540 6,334
Tabelul 3.2
Nr. trons.
Aria secţiunii transv. a
corpului etanş
xA [m2]
Pescajul navei
T [m]
Semilăţimea navei
2BX [m]
Masa de apă adiţională
am [ mt ]
Rigiditatea mediului elastic
k
2mkN
1 0,000 9,807 0,000 0,000 0
2 11,956 9,758 0,820 0,995 16,490
3 94,893 9,697 7,826 82,443 157,380
4 193,535 9,627 14,486 310,746 291,313
5 287,833 9,554 19,114 589,577 384,382
6 367,394 9,475 21,926 841,326 440,931
7 413,372 9,396 22,874 983,104 459,996
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 11
8 424,575 9,316 22,998 1023,060 462,489
9 422,183 9,237 23,000 1024,975 462,530
10 418,530 9,158 23,000 1023,530 462,530
11 414,882 9,079 23,000 1022,095 462,530
12 411,236 8,999 23,000 1020,764 462,530
13 407,583 8,920 23,000 1019,309 462,530
14 403,931 8,840 23,000 1017,956 462,530
15 400,138 8,761 23,000 1016,131 462,530
16 390,705 8,681 22,913 996,726 460,780
17 351,600 8,602 21,634 861,336 435,059
18 261,454 8,525 17,183 525,748 345,550
19 130,258 8,457 9,372 148,060 188,470
20 54,145 8,401 4,003 26,713 80,500
Tabelul 3.3
Nr. trons.
Aria secţiunii transv. a
corpului etanş
xA [m2]
Pescajul navei
T [m]
Semilăţimea navei
2BX [m]
Masa de apă adiţională
am [ mt ]
Rigiditatea mediului elastic
k
2mkN
1 0,000 8,919 0,000 0,000 0
2 10,850 8,913 0,671 1,001 13,493
3 83,210 8,906 7,024 68,759 141,252
4 172,970 8,899 13,711 282,078 275,728
5 262,861 8,891 18,675 564,386 375,554
6 341,505 8,882 21,776 825,904 437,915
7 389,481 8,873 22,354 954,496 449,538
8 403,789 8,864 22,998 1015,079 462,489
9 404,637 8,855 23,000 1018,265 462,530
10 404,236 8,847 23,000 1018,036 462,530
11 403,829 8,883 23,000 1013,345 462,530
12 403,429 8,829 23,000 1017,770 462,530
13 403,023 8,821 23,000 1017,528 462,530
14 402,620 8,812 23,000 1017,397 462,530
15 402,070 8,802 23,000 1016,983 462,530
16 395,866 8,794 22,911 998,604 460,740
17 359,521 8,785 21,660 865,261 435,582
18 270,072 8,777 17,231 529,959 346,515
19 136,085 8,770 9,357 149,228 188,169
20 57,070 8,763 3,909 26,905 78,610
3.3.2. Ecuaţia diferenţială, expresiile deplasărilor şi eforturilor Ecuaţia diferenţială a vibraţiilor verticale libere (3.11), luând în considerare şi amortizările structurale şi hidrodinamice, devine:
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 12
0kwt
wc
t
w
GA
jkm
t
wcj
GA
1
t
wmj
GA
1
x
wk
GA
EI
tx
wbkc
GA
EI
tx
wj
tx
wbcm
GA
EI
tx
wmb
GA
EI
tx
wEIb
x
wEI
2
2
f
3
3
f4
4
f2
2
f2
3
f
22
4
22
4
f32
5
f4
5
4
4
(3.35)
Soluţia de tip Fourier este:
iptexwRet,xw , (3.36)
unde p este pulsaţia vibraţiilor proprii.
Înlocuind soluţia (3.36) în (3.35) şi aducând variabilele la o formă adimensională, se
obţine ecuaţia în care necunoscutele sunt amplitudinile mişcării w :
0wLkEI
1icp
EI
1pm
EI
1pjk
EI
1
GA
1pjm
EI
1
GA
1pjic
EI
1
GA
1
d
wdLkibkpicppj
EI
GAcbppmpmib
GA
1
d
wdibp1
422
f
4
f
3
f
2
222f223
f
4
4
(3.37)
sau sub forma:
0wKd
wdA
d
wdpi21 4
2
22
4
4
ib
(3.38)
în care s-au notat:
2
ii
2
fbih
2
fi
i
2
fib
2 p1p4
pppi2A
;p
i2p
i2f
ri
2
i
r
fib
f
i
fih
(3.39)
.p
i2
ppppppi2K
2
i
r
ih
2
i
2
i
r
2
f
2
f
2
i
2
fih
4
(3.40)
În expresiile (3.39) şi (3.40) sunt introduse următoarele mărimi:
b - factor de amortizare structural
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 13
2
b ib
; (3.41)
h - factor de amortizare hidrodinamic
ih
m2
c
; (3.42)
i - factor de inerţie
j
Lm 2
i ; (3.43)
r - o caracteristică a frecvenţei corpului rigid
m
kr ; (3.44)
i - o caracteristică a frecvenţei corpului elastic
4iLm
EI ; (3.45)
f - o caracteristică a frecvenţei ce ţine seama de inerţia de rotaţie şi
deformaţiile de lunecare
j
GAff . (3.46)
Aceste expresii arată modul de dependenţă şi influenţă a unor mărimi asupra caracteristicilor de frecvenţă, cum ar fi: mărimile geometrice, de greutate, amortizare structurală şi hidrodinamică şi de material. Dacă se neglijează amortizările structurală şi hidrodinamică se obţine următoarea ecuaţie:
0kwt
w
GA
jkm
t
wmj
GA
1
x
wk
GA
EI
tx
wj
tx
wm
GA
EI
x
wEI
2
2
f
4
4
f2
2
f22
4
22
4
f4
4
(3.47)
sau dacă se înlocuieşte soluţia Fourier:
0wLkEI
1pm
EI
1pjk
EI
1
GA
1pmj
EI
1
GA
1
d
wdLkpjpm
GA
1
d
wd
422
f
4
f
2
2222
f4
4
(3.48)
Cu notaţiile de mai sus se obţine:
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 14
0wpppp
d
wdp1p
d
wd
2
i
r
2
i
2
f
2
i
r
2
f
2
i
2
2
f
ri
2
ii
2
f
i4
4
(3.49)
în care:
;p1p
Af
ri
2
ii
2
f
i
2
(3.50)
2
i
r
2
i
2
f
2
i
r
2
f
2
i
4 ppppK
, (3.51)
sau sub forma:
1
ppK
2
f
2
i
r
2
i
4
. (3.52)
Din ecuaţia caracteristică
,0KrAr 4224 (3.53)
pentru cazul în care 0K 4 , se obţin rădăcinile
2,1r şi ir 4,3 , (3.54)
unde:
2
1
2
14
AK411
2
A
(3.55)
Soluţia ecuaţiei (4.48) este:
shCchCsinCcosCt,xw 4321 (3.56)
şi conform relaţiei (4.36) expresia vibraţiilor proprii devine:
ptcosshCchCsinCcosCt,xw 4321 (3.57)
Expresia rotirii din încovoiere este de forma:
ptcos'Csh'Ccos'Csin'Ct,x 4321 . (4.58)
Dacă în relaţia (4.10) se introduc derivatele expresiilor rotirii (3.58) şi săgeţii (3.57), se
obţine corespondenţa dintre constantele 4321 'C,'C,'C,'C şi 4321 C,C,C,C , astfel:
,DC'C;DC'C;BC'C;BC'C 44332211 (3.59)
unde:
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 15
.;
2
2
2
2
L
p
DL
p
B
i
f
i
f
(3.60)
Se obţine astfel expresia rotirii:
ptcosDchCDshCcosBCsinBCt,x 4321 . (3.61)
Momentul de încovoiere este dat de relaţia:
ptcosDshCDchCsinBCcosBCL
EIt,xM 4321 . (3.62)
Pentru determinarea forţei tăietoare se introduc (3.61) şi (3.62) în relaţia (3.7), din care se obţine:
ptcosRchCRshCcosHCsinHCL
EIt,xT 43212
, (3.63)
în care:
i
2
i
2
i
2
i
2 1pR;
1pH
. (3.64)
Cu expresiile (3.57), (3.61), (3.62) şi (3.63) se determină valorile dinamice ale săgeţilor, rotirilor, momentelor încovoietoare şi forţelor tăietoare în timpul vibraţiilor, tinând seama de inerţia de rotaţie şi deformaţiile de forfecare. 3.3.3 Matricea dinamică de transmitere a unui segment din grinda navă
Se consideră segmentul de navă i-1, i, care are următoarele caracteristici geometrice si
mecanice: im -masa pe unitatea de lungime a corpului navei şi apei aderente; yj -
intensitatea inerţiei de rotaţie masică; iI -momentul de inerţie geometric al secţiunii
transversale; zf
A -aria redusă a secţiunii transversale; il -lungimea tronsonului de
navă.
Fig. 3.7
Fig.6
i i-1 il
1iw
iw
1iT
iM
i
iT
1iM
1i
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 16
Matricea dinamică de transmitere iA , luând în considerare deformaţiile de forfecare
şi inerţia de rotaţie, permite exprimarea parametrilor de la capătul din dreapta al
elementului de navă, iiii T,M,,w , în funcţie de parametrii din stânga
1i1i1i1i T,M,,w , (fig. 3.7 ) cu o relaţie de forma:
1iii zAz . (3.65)
Pentru precizarea elementelor matricei de transmitere se pune condiţia ca expresiile
(3.57), (3.61), (3.62) şi (3.63) să aibă în origine valorile 1i1i1i1i T,M,,w .
Constantele sunt date de expresiile:
;1
;1
1
2
12111
i
i
iii
i
ii T
EI
lDR
DHBRCM
IE
lDw
BDC
.1
;1
1
2
14113
i
i
i
ii
i
i TEI
lBH
DHBRCM
Ei
lBw
BDC
(3.66)
Dacă se consideră mărimile adimensionale :
000
0
00
0
0 l
x;
IE
lTT;
IE
lMM;;
l
ww , (3.67)
unde 000 I,E,l sunt arbitrare, expresia adimensională (3.65) dezvoltată, devine:
1
1
1
1
4444
3333
2222
1111
i
i
i
i
i
i
i
i
T
M
w
UTSR
UTSR
UTSR
UTSR
T
M
w
, (3.68)
în care :
;shsinBD
BDlR;BchcosD
BD
1R 021
;BRshsinDHBD
1
rs
lR;chcos
BD
BD
sr
lR
2
04
03
;DHchcosBR
DHBR
1S;HshsinR
DHBRl
1S 2
0
1
;chcosHRrs
1S;DHshsinBR
DHBR
1
sr
1S
243
(3.69)
;sin;cos1
2
0
1
DshBBD
srTch
BDl
srT
;RshsinHBDs
1T;DchcosB
BD
1T 43
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 17
;cos;sin1 2
2
0
2
1 chDHBR
rBDsUBshD
DHBRl
rsU
.BRchcosDHDHBR
1U;shsin
DHBR
BDsU 43
În expresiile (3.69) s-au mai notat:
0
i
l
ls şi .
0I
Ir i (3.70)
Matricea dinamică de transmitere, ce exprimă parametrii de la capătul din dreapta al unui tronson de navă în funcţie de parametrii din stînga, ţinând cont şi de deformaţiile de forfecare şi inerţia de rotaţie, este:
4444
3333
2222
1111
i
UTSR
UTSR
UTSR
UTSR
A . (3.71)
3.3.4 Algoritm de calcul al pulsaţiilor proprii bazat pe matricele dinamice de
transmitere Grinda navă cu secţiune variabilă continuă este transformată într-o bară cu secţiuni variabile în trepte, având 20 de tronsoane, pentru fiecare tronson de navă i-1, i, i=1, n calculându-se cacteristicile geometrice şi cele mecanice, pentru cele trei situaţii de încărcare.
Parametrii iiii T,M,,w ai fiecărei secţiuni de trecere de la un tronson la altul se
constitue în vectori coloane ,zi i=0,n ,de tipul celor arătate.
Calculul se realizează în două etape:
În prima etapă se aplică succesiv relaţiile de recurenţă (3.68) pentru toate nodurile grinzii şi se obţine relaţia matriceală:
n
1i
0in zAz . (3.72)
În cazul grinzii-navă componentele nule ale vectorilor 0z şi nz sunt eforturile
,M0 0T , nM , nT .
Dezvoltând relaţia (3.72) şi ţinând cont de condiţiile menţionate, se obţine sistemul:
0
0
w
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
0
0
w
0
0
44434241
34333231
24232221
14131211
n
n
, (3.73)
din care rezultă sistemul omogen
0w
AA
AA
0
o
4241
3231
. (3.74)
COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI
3. 18
Pentru a exista oscilaţiile, determinantul caracteristic trebuie să fie nul, ceea ce conduce la condiţia
04241
3231
AA
AAK , (3.75)
care este o ecuaţie transcendentă în parametrul K , denumită ecuaţia pulsaţiilor proprii. Rădăcinile acesteia, determinate prin metoda resturilor, conduc la valorile pulsaţiilor, respectiv frecvenţelor proprii.
În a doua etapă se determină formele proprii de vibraţie calculând mărimile
ii ,w cu relaţia matriceală (3.65), pentru fiecare dintre pulsaţiile proprii.
Formele proprii de vibraţie sunt dependente de un parametru, care de obicei se alege egal cu unitatea.
Calculele se efectueaza pentru trei situaţii de încărcare: 1. nava cu marfă omogenă şi rezerve 100%; 2. nava cu balast şi 100% rezerve; 3. nava cu balast şi 10%.
Frecvenţele proprii pentru cazurile de mai sus, corespunzătoare primelor zece moduri de vibraţii ale corpului în planul longitudinal-vertical, sunt prezentate în tabelul 3.4.
Tabelul 3.4
CAZ 3 B 10%R CAZ 2 B100%R CAZ 1 M100%R
DEPLASAMENT [t]
92963 95497 200462
Frecvente proprii [Hz]
Modul 1 0,558 0,555 0,414
Modul 2 1,190 1,202 0,912
Modul 3 1,880 1,915 1,449
Modul 4 2,588 2,648 1,999
Modul 5 3,294 3,366 2,573
Modul 6 4,054 4,123 3,148
Modul 7 4,840 4,891 3,738
Modul 8 5,645 5,670 4,345
Modul 9 6,497 6,498 4,984
Modul 10 7,384 7,375 5,651
Din rularea programului pentru mai multe situaţii de încărcare, cuprinse între situaţia navei în balast şi nava la plină încărcare, se observă că frecvenţele scad liniar odată cu creşterea deplasamentului. Din tabelul 3.4 se constată de asemenea că benzile de frecvenţe cresc odată cu ordinul modului de vibraţii. Ecuaţia vibraţiilor verticale ale corpului navei este obţinută astfel încât să se considere şi efectul mediului elastic al apei alături de inerţia de rotaţie şi deformaţiile de forfecare ale grinzii navă.
Prin introducerea amortizărilor structurale şi hidrodinamice şi aducerea ecuaţiei la o formă adimensională, se permite să se deducă aportul factorilor de amortizare
,, hb de inerţie i şi al caracteristicilor de frecvenţă fir ,, .