CURS facultativ

ELEMENTE DE TEORIA DISTRIBUŢIILOR

1. Noţiunea de distribuţie

Fie ϕ : R → C o funcţie; definim suportul prin ı̂nchiderea mulţimii pentru care ϕ nu seanulează, adică

supp ϕ = {t ∈ R|ϕ(t) , 0}.

Se poate demonstra că suportul este complementara celei mai mari mulţimi deschise pecare ϕ se anulează.Dacă funcţia ϕ admite derivate de orice ordin, vom spune că este indefinit derivabilă şivom nota ϕ ∈ C∞(R). Introducem următoarea clasă de funcţii:

D = {ϕ ∈ C∞(R)|supp ϕ mărginit} .

Prin definiţie suportul este o mulţime ı̂nchisă, deci mărginirea suportului este echivalentăcu faptul că suportul este o mulţime compactă şi clasa D se mai numeşte clasa funcţiilorindefinit derivabile cu suport compact.Elementele din D se numesc funcţii test. Se constată uşor că D este spaţiu vectorialpeste corpul numerelor complexe C; ı̂ntr-adevăr dacă ϕ, ϕ1, ϕ2 ∈ D şi α ∈ C, atunciαϕ ∈ C∞(R), ϕ1 + ϕ2 ∈ C∞(R), iar supp αϕ = α supp ϕ, iar supp( ϕ1 + ϕ2) ⊂supp ϕ1 ∪ supp ϕ2.

Exemplul 1.1. Funcţia definită prin

ωε(t) =

cεeε2

t2−ε2 , |t| < ε0, |t| ≥ ε,

unde cε este astfel ales ı̂ncât ∫Rωε(t)dt = 1.

este funcţie test şi este cunoscută sub numele de scufiţă.

Lema 1.1. Pentru orice interval (a, b) ⊂ R şi ∀ε > 0 există η ∈ C∞(R), cu următoareleproprietăţi:

1. 0 ≤ η ≤ 12. η(t) = 1 pentru t ∈ (a− ε, b+ ε)3. η(t) = 0, pentru t < (a− 3ε, b+ 3ε) .

1

2 Daniela Roşu

Definiţia 1.1. Fie ϕn, ϕ ∈ D, n ∈ N , şirul ϕn converge ı̂n D la ϕ şi notăm

D

ϕn −→ ϕdacă există A > 0, astfel ca supp ϕn, supp ϕ ⊂ S(0, A) şi

uniformϕ(k)n −→ ϕ(k)

∀k ∈ N, n→ +∞ ( convergenţa este uniformă). Vom mai nota ϕn → ϕ ı̂n D.

Indicăm câteva operaţii cu funcţii, care au ca rezultat tot funcţii test. Dacă f este ofuncţie oarecare de clasă C∞(R) şi ϕ o funcţie test, atunci prin ı̂nmulţirea lor, se obţinetot o funcţie test. Dacă ϕ, funcţie test este compusă cu at+b, rezultatul este tot o funcţietest. De asemenea, dacă derivăm o funcţie test, rezultatul este tot o funcţie test.

Definiţia 1.2. Funcţionala T : D→ C se numeşte distribuţie dacă1. T este liniară, adică T (α1ϕ1 + α2ϕ2) = α1T (ϕ1) + α2T (ϕ2),∀α1, α2 ∈ C, ∀ϕ1, ϕ2 ∈ D.

2. T este continuă (prin şiruri), adică ∀ϕn ∈ D, ϕn → ϕ ı̂n D rezultă

T (ϕn)→ T (ϕ).

Notăm cu D′, mulţimea tuturor distribuţiilor, care se mai numeşte dualul lui D. Vomfolosi diferite notaţii

T (ϕ) = (T, ϕ) = (T (x), ϕ(x))ultima pentru a indica explicit variabila independentă a funcţiei test; nu se poate definivaloarea unei distribuţii ı̂ntr-un punct, totuşi vom folosi notaţia pentru a pune ı̂n evidenţăasupra cărei variabile se aplică distribuţia.

Definiţia 1.3. Două distribuţii T1, T2 se numesc egale şi notăm T1 = T2, dacă (T1, ϕ) =(T2, ϕ), ∀ϕ ∈ D.

Definiţia 1.4. Şirul Tn ∈ D′ converge slab la T ∈ D′ dacă pentru orice ϕ ∈ D, are loc

(Tn, ϕ)→ (T, ϕ)

Teorema 1.1. Dacă Tn este un şir din D′ cu proprietatea că pentru orice ϕ ∈ D şirulnumeric (Tn, ϕ) este convergent, atunci funcţionala T definită prin

(T, ϕ) = limn→+∞

(Tn, ϕ)

este din D′.

Elemente de teoria distribuţiilor 3

Definiţia 1.5. Dacă Tn ∈ D′, n ∈ N atunci spunem că seria+∞∑n=1

Tn este slab convergentă

la T ı̂n D′, dacă şirul sumelor parţiale Sn = T1 + . . . Tn este slab convergent la T şi notăm+∞∑n=1

Tn = T.

Exemple de distribuţii

Distribuţii de tip funcţie (regulate) Fie f o funcţie integrabilă pe orice interval [a, b] ⊂R. Notăm mulţimea acestor funcţii L1loc(R) şi funcţiile vor fi numite local integrabile.Evident că dacă f este integrabilă pe R, atunci ea este din L1loc(R), dar există funcţiilocal integrabile pe R, care nu sunt integrabile: de exemplu funcţia constantă 1 estelocal integrabilă, şi nu este integrabilă pe R. Pentru o funcţie local integrabilă, definimdistribuţia generată prin formula:

Tf : D→ C, (Tf , ϕ) =∫Rf(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D. (1)

Dacă de exemplu f = u, funcţia unitate, obţinem distribuţia Heaviside:

(Tu, ϕ) =∫ +∞

0f(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D. (2)

Lema 1.2. (du Bois-Raymond)Fie f o funcţie local integrabilă pe R. Atunci Tf = 0 dacăşi numai dacă f = 0 aproape peste tot.

Spunem că o proprietate are loc aproape peste tot dacă pentru orice ε > 0, mulţimeapentru care acea proprietate nu are loc poate fi acoperită cu intervale a căror lungimetotală este mai mică decât ε.

Distribuţii singulare.

O distribuţie este singulară dacă nu există nici o funcţie local integrabilă care să o generezeı̂n sensul formulei (1). Definim distribuţiile Dirac prin:

δ : D→ C (δ, ϕ) = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D (3)

δa : D→ C (δa, ϕ) = ϕ(a), a ∈ R, ∀ϕ ∈ D. (4)

Teorema 1.2. Distribuţia Dirac este singulară.

O distribuţie poate fi generată de funcţii care nu sunt local integrabile, astfel se obţindistribuţii valori principale.

4 Daniela Roşu

Exemplul 1.2. Funcţionala notată Vp1t

şi definită prin

(V p1t, ϕ) = vp

∫ +∞−∞

ϕ(t)tdt = lim

ε↘0

(∫ −ε−∞

ϕ(t)tdt+

∫ +∞ε

ϕ(t)tdt

)(5)

este o distribuţie.

Soluţie. Funcţia 1t

nu este integrabilă pe nici un interval care conţine originea. Sădemonstrăm că formula (5) defineşte o distribuţie. Pentru aceasta arătăm mai ı̂ntâi căexistă limita din membrul al doilea. Deoarece ϕ este nulă ı̂n afara unui interval [−A,A]şi

limε↘0

(∫ −ε−A

ϕ(0)tdt+

∫ Aε

ϕ(0)tdt

)= 0,

limita din definiţie (5) există simultan cu următoarea

limε↘0

(∫ −ε−∞

ϕ(t)− ϕ(0)t

dt+∫ +∞ε

ϕ(t)− ϕ(0)t

dt

).

Ultima integrală există deoarece

|ϕ(t)− ϕ(0)t

| ≤ supt∈[−A,A]

|ϕ′(t)| < +∞.

Evident corespondenţa ϕ → (V p1t, ϕ) este C-liniară. Să mai arătăm că este şi continuă

prin şiruri. Fie ϕn → 0 ı̂n D; atunci există A > 0, astfel ca suppϕn ⊂ [−A,A], ∀n ≥ 1.Ca mai ı̂nainte

(V p1t, ϕn) = vp

∫ A−A

ϕn(t)− ϕn(0)t

dt.

Dar|ϕn(t)− ϕn(0)

t| ≤ sup

t∈[−A,A]|ϕ′n(t)| → 0 pentru n→ +∞.

Deci |(V p1t, ϕn)| → 0, dacă n→ +∞.

Exemplul 1.3. Următoarele egalităţi sunt adevărate:

1t+ j0 = −jπδ(t) + V p

1t

1t− j0 = jπδ(t) + V p

1t

(6)

numite formulele lui Sohotski.

Soluţie. Au loc relaţiile:

limε→0

∫ +∞−∞

ϕ(t)t+ jεdt = −jπϕ(0) + V p

∫ +∞−∞

ϕ(t)tdt

Elemente de teoria distribuţiilor 5

limε→0

∫ +∞−∞

ϕ(t)t− jε

dt = jπϕ(0) + V p∫ +∞−∞

ϕ(t)tdt

Demonstrăm prima egalitate. Dacă ϕ = 0 pentru |x| > A, atunci

limε→0

∫ +∞−∞

ϕ(t)t+ jεdt = limε→0

∫ A−A

t− jεt2 + ε2ϕ(t)dt =

= ϕ(0) limε→0

∫ A−A

t− jεt2 + ε2dt+ limε→0

∫ A−A

(t− jε)(ϕ(t)− ϕ(0))t2 + ε2 dt =

= −2jϕ(0) limε→0

arctan Aε

+∫ A−A

ϕ(t)− ϕ(0)t

dt =

= −jπϕ(0) + V p∫ +∞−∞

ϕ(t)tdt.

Relaţia de mai sus exprimă convergenţa ı̂n D′ a şirului 1t+jε , dacă ε→ 0; notăm valoarea

limitei cu 1t+ j0. Analog se obţine şi cea de a doua relaţie.

Distribuţii ı̂n Rn

Introducem următoarea clasă de funcţii indefinit derivabile cu suport compact. Pentruaceasta să precizăm unele notaţii. Considerăm α un multiindice, adicăα = (α1, · · · , αn), αi ∈ N şi notăm cu |α| = α1 + · · ·+ αn. Fie operatorul de derivare

Dαf(x) = ∂|α|f(x1, · · · , xn)∂α1x1 · · · ∂αnxn

, D0f(x) = f(x), x = (x1, x2, · · ·xn).

Pentru orice deschis D ∈ Rn, considerăm clasa

C∞(D) = {f : D → C,Dαf continuă ∀α}

şi vom defini funcţiile test, ca elemente ale următoarei mulţimi:

D(Rn) = {ϕ ∈ C∞(Rn)|supp ϕ mărginit} .Putem defini şi ı̂n acest caz scufiţa prin

ωε(x) =

cεeε2

|x|2 − ε2 , |x| < ε0 |x| ≥ ε

,

unde cε este astfel ales ı̂ncât∫Rnωε(x)dx = 1.

Să precizăm că ı̂n relaţiile de mai sus, |x| =√x21 + · · ·x2n, iar pentru simplificare

dx = dx1dx2 · · · dxn,

iar integrala este multiplă (pe Rn). Se poate arăta că

6 Daniela Roşu

ωε(x) =1εnω1

(x

ε

).

În mod analog se defineşte converegnţa ı̂n D(Rn) şi noţiunea de distribuţie, iar la distribuţiilede tip funcţie integralele sunt luate pe Rn.

Suportul unei distribuţii

Definiţia 1.6. Fie T ∈ D′; spunem că T se anulează pe mulţimea deschisă D ⊂ R, dacă∀ϕ ∈ D, cu supp ϕ ⊂ D, are loc (T, ϕ) = 0.

Definiţia 1.7. Fie T ∈ D′; numim suportul distribuţiei T complementara celei mai marimulţimi deschise pe care T se anulează. Notăm supp T .

Exemplul 1.4. Să determinăm suportul distribuţiilor Dirac şi Heaviside.

Soluţie. 1 supp δa = a, deoarece δa se anulează pe R \ {a}2. supp Tu = [0,+∞), unde reamintim că Tu este distribuţia Heaviside.

Distribuţii cu suport compact

Dacă notăm cuE = {f : R→ C, f ∈ C∞(R)}

definim următoarea convergenţă a şirurilor: ϕn → ϕ ı̂n E, dacă ϕ(k)n → ϕ(k)

∀k ∈ N , uniform pe orice compact K ⊂ R.Notăm cu E′ mulţimea tuturor funcţionalelor T : E→ C, C−liniare şi continue, relativ laconvergenţa de mai sus. Se poate demonstra că mulţimea distribuţiilor cu suport compactcoincide cu E′.

Operaţii cu distribuţii

Definiţia 1.8. Dacă T1, T2 ∈ D′, definim suma T1 + T2, ca distribuţia dată de

(T1 + T2, ϕ) = (T1, ϕ) + (T2, ϕ), ∀ϕ ∈ D. (7)

Dacă λ ∈ C, T ∈ D′, definim ı̂nmulţirea unei distribuţii cu scalar prin

(λT, ϕ) = λ(T, ϕ), ∀ϕ ∈ D. (8)Dacă f ∈ C∞ şi T ∈ D′ definim ı̂nmulţirea unei distribuţii cu funcţii indefinit derivabileprin

(f T, ϕ) = (T, f ϕ), ∀ϕ ∈ D. (9)

Elemente de teoria distribuţiilor 7

Exemplul 1.5. Arătaţi că au loc:1. (fδa, ϕ) = f(a)(δa, ϕ), unde f ∈ C∞(R)2. tnδ = 0.

Soluţie. Pentru ambele afirmaţii folosim (9) şi definiţia distribuţiei Dirac. Avem

(fδa, ϕ) = (δa, fϕ) = f(a)ϕ(a) = f(a)(δa, ϕ).A doua se deduce din prima, pentru a = 0 şi f(t) = tn.

Exemplul 1.6. Dacă T ∈ D′ şi η ∈ C∞(R) este egală cu 1 pe o vecinătate a mulţimiisupp T , atunci are loc T = ηT .

Soluţie. Într-adevăr, are loc

(T − ηT, ϕ) = (T, (1− η)ϕ) = 0,

deoarece supp (1− η)ϕ ∩ supp T = ∅.

Definiţia 1.9. Dacă T ∈ D′, iar u = at+ b, a , 0, formula

(T (at+ b), ϕ(t)) = 1|a|

((T (u), ϕ

(u− ba

))(10)

se numeşte distribuţia obţinută prin schimbarea variabilei independente.

Se poate arăta că T (at+b) este o distribuţie. Dacă f ∈ L1loc, atunci formula (10) reprezintăschimbarea de variabilă ı̂ntr-o integrală.

Exemplul 1.7. Să demonstrăm că distribuţia Dirac are proprietăţile:

(δ(at+ b), ϕ(t)) = 1|a|ϕ(− b

a) (11)

(δ(at), ϕ(t)) = 1|a|ϕ(0) = 1

|a|(δ, ϕ) (12)

δ(−t) = δ(t) (13)

δ(t− a) = δa. (14)

Soluţie. Dacă aplicăm formula (10) pentru δ obţinem (11). Pentru b = 0, a , 0 avem(12). Din egalitatea precedentă deducem ”paritatea” distribuţiei Dirac, adică (13). Dacăa = 1, b = −a, atunci

(δ(t− a), ϕ(t)) = (δ(u), ϕ(u+ a)) = ϕ(a) = (δa, ϕ),

de unde se obţine (14).

8 Daniela Roşu

1.1. Probleme propuse.1.1 Care din următoarele funcţii sunt funcţii test?

a. u(t) ={

1, t ≥ 00, t < 0

b. hε(t) =

12ε, t ∈ [−ε,+ε]0, t < [−ε,+ε]

c. ϕ(t) ={

sin t, t ∈ [0.π]0, t < [0, π]

d. f(t)={

1, x ∈ Q0, t ∈ R \Q

e. ϕ(t) = et, t ∈ R

f. ϕ(t) ={e

1t2−a2 , |t| ≤ a

0, |t| > a

g. ϕ(t) ={

sin( t−ab−aπ), t ∈ [a, b]

0, t < [a, b].1.2 Dacă ı̂n exemplul (1.1) luăm ε = 1

n, arătaţi că

limn→∞

cn = +∞.

1.3 Să se arate că şirul ϕn(t) = 1n

{e

1t2−a2 , |t| < a

0, |t| > aeste convergent ı̂n D la funcţia

identic nulă.1.4 Pentru orice interval (a, b) ⊂ R şi ε > 0 există η ∈ C∞(R), cu următoarele

proprietăţi:1. 0 ≤ η ≤ 12. η(t) = 1 pentru t ∈ (a− ε, b+ ε)3. η(t) = 0, pentru t < (a− 3ε, b+ 3ε).

1.5 Să se arate că orice funcţie ϕ ∈ D poate fi reprezentată sub forma

ϕ(t) = ψ′(t) + ϕ0(t)∫Rϕ(t)dt

unde ϕ0, ψ ∈ D şi∫Rϕ0(t)dt = 1.

1.6 Să arate că o funcţie ϕ ∈ D este derivata unei funcţii dacă şi numai dacă∫Rϕ(t)dt = 0.

1.7 Fie funcţiile ϕ, η ∈ D cu proprietatea că există o vecinătate V a lui 0, astfel caη(t) = 1, ∀t ∈ V . Atunci pentru orice m ∈ N∗ funcţia ψm ∈ D, unde

ψm(t) =

1tm

(ϕ(t)− η(t)

m−1∑k=0

ϕ(k)(0)k! t

m

), t , 0

limt→0

1tm

(ϕ(t)− η(t)

m−1∑k=0

ϕ(k)(0)k! t

m

), t = 0.

În particular, pentru m = 1, ψ1 ∈ D

Elemente de teoria distribuţiilor 9

ψ1(t) =

ϕ(t)− η(t)ϕ(0)

t, t , 0

limt→0

ϕ(t)− η(t)ϕ(0)t

, t = 0,

unde η, ϕ ∈ D şi η ≡ 1 pe V .1.8 Arătaţi că dacă f ∈ L1loc(R), formula (1) defineşte o distribuţie. Definiţi

distribuţia Heaviside generată de funcţia unitate. Arătaţi că funcţiile u1(t) ={1, t > 00, t ≤ 0 şi u2(t) =

1, t > 012 , t =

12

0, t ≤ 0generează tot distribuţia Heaviside.

1.9 Arătaţi că ı̂n următoarele cazuria. f este o funcţie continuă pe Rb. f = u · g, unde g este continuă, iar u este funcţia unitate

are loc supp Tf = supp f .1.10 Arătaţi că dacă f1, f2, f ∈ L1loc(R), atunci Tf1+f2 = Tf1 +Tf2 şi Tαf = αTf ,∀α ∈ C.1.11 Să se demonstreze că distribuţia Dirac este singulară.1.12 Arătaţi că şirul distribuţiilor generate de ω 1

nconverge slab la distribuţia Dirac, δ

1.13 Arătaţi că seria+∞∑n=1

δn este slab convergentă.

1.14 Să se demonstreze că următoarele funcţionale sunt distribuţii.a. V p 1

t2: D→ C, (V p 1

t2, ϕ) = vp

∫ +∞−∞

ϕ(t)− ϕ(0)t2

dt, ∀ϕ ∈ D

b. V p 1t3

: D→ C, (V p 1t3, ϕ) = vp

∫R

ϕ(t)− tϕ′(0)t3

dt, ∀ϕ ∈ D

c. V p ln |t| : D→ C, (vp ln |t|, ϕ) = vp∫R

ln |t|ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D.1.15 Să se determine soluţiile generalizate ı̂n D′ pentru ecuaţiile:

a. t · T = 0b. t · T = δ.

1.16 Să se demonstreze egalităţile:a. (cos t)δ = δb. (sin t)δπ

2= δπ

2

c. t · vp1t

= T1d. tn · vp1

t= Ttn−1 .

1.2. Soluţii.

1.1 a. supp u = [0,∞), u < Db. supp hε = [ε,+ε], hε < Dc. suppϕ = [0, π], ϕ ∈ C(R), ϕ′ < C(R)d. supp ϕ = Q̄ = R, nu e compact, ϕ nu e continuă ı̂n nici un punct.

10 Daniela Roşu

e. ϕ ∈ C∞(R), dar supp ϕ = R, ϕ < Df. supp ϕ = [−a, a], ϕ ∈ C∞(R); deci ϕ ∈ Dg. suppϕ = [a, b], ϕ ∈ C(R) dar nu e derivabilă ı̂n a şi b.

1.2 1 =∫Rω 1n(t)dt = cn

∫ 1n

− 1n

e1

n2t2−1dt ≤∫ 1

n

− 1n

e−1dt = 2cnne

. de unde rezultă afirmaţia.

1.3 supp ϕn = [−a, a], ϕ(k)n → 0 uniform pe [−a, a], ∀k = 0, 1, 2 · · ·1.4 Exerciţiul indică un procedeu general de a construi funcţii test cu suportul pe un

deschis oarecare (a, b). Considerăm funcţia caracteristică χ a mulţimii [a− 2ε, b+2ε], adică

χ(t) ={

1 t ∈ [a− 2ε, b+ 2ε]0 t < [a− 2ε, b+ 2ε]

şi funcţia

η(t) =∫Rχ(y)ωε(t− y)dy =

∫ b+2εa−2ε

ωε(t− y)dy =∫ t−a+2εt−b−2ε

ωε(x)dx.

Din proprietăţile integralelor cu parametru, rezultă că η ∈ C∞(R) şi

0 ≤ η(t) ≤∫Rωε(t− y)dy =

∫Rωε(x)dx = 1,

deci prima afirmaţie este adevărată. Dacă t ∈ (a− ε, b+ ε), rezultă incluziunea

[−ε, ε] ⊂ [t− b− 2ε, t− a+ 2ε],

iar integrala este ∫ t−a+2εt−b−2ε

ωε(x)dx =∫ ε−εωε(x)dx = 1

şi a doua afirmaţie este adevărată. Pentru cea de a treia putem dovedi că

[t− b− 2ε, t− a+ 2ε] ∩ [−ε, ε] = ∅

şi rezultă că dacă t < (a− 3ε, b+ 3ε) avem η(t) = 0.1.5 Fie ϕ0 ∈ D cu

∫R ϕ0(x)dx = 1 şi fie

ψ(x) =∫ x−∞

(ϕ(t)− ϕ0(t)

∫Rϕ(x)dx

)dt.

Atunci avem reprezentarea din enunt. Rămâne de verificat că ψ ∈ C∞(R) şisupp ψ este compact. Cum ψ este construită cu ϕ, ϕ0 ∈ D deci infinit diferenţiabilărezultă că ψ ∈ C∞(R). Să arătăm că supp ψ este compact. Fie [a, b] = supp ϕ şi[c, d] = supp ϕ0, α = min{a, c}, β = max{b, d}; demonstrăm că supp ψ ⊂ [α, β],adică ψ(x) = 0 pentru orice x < α, x > β. Dacă x < α avem ψ(x) = 0, iar dacăx > β putem lua x = β + h, h > 0 şi avem

Elemente de teoria distribuţiilor 11

ψ(x) =∫ β+h−∞

ϕ(t)dt−∫ ∞−∞

ϕ(x)dx ·∫ β+h−∞

ϕ0(t)dt;

folosind faptul că supp ϕ = [a, b], supp ϕ0 = [c, d], continuăm egalităţile

∫ baϕ(t)dt+

∫ β+hb

ϕ(t)dt−∫ baϕ(x)dx ·

(∫ dcϕ0(t)dt+

∫ β+hα

ϕ0(t)dt)

=

=∫ baϕ(t)dt−

∫ baϕ(x)dx = 0

Urmează ψ(x) = 0, x > β.1.6 ⇒ Fie ϕ = ψ′ atunci

∫R ϕ(x)dx =

∫R ψ

′(x)dx = ψ(+∞)− ψ(−∞) = 0; deoareceϕ ∈ C∞(R) rezultă ψ ∈ C∞(R); avem supp ϕ = supp ψ′ care este compact.⇐ Dacă ψ(x) =

∫ x−∞ ϕ(t)dt rezultă că ψ ∈ D, ψ′ = ϕ ∈ C∞(R) şi supp ψ ⊂

supp ϕ.Dacă x < a, ψ(x) = 0; dacă x > b,

ψ(x) =∫ baϕ(t)dt+

∫ xbϕ(t)dt =

∫Rϕ(t)dt = 0.

1.7 Fie V = (ε, ε) cu proprietatea η(x) = 1,∀x ∈ (−ε, ε); notăm

f(x) = ϕ(x)− η(x)m−1∑k=0

ϕ(k)(0)k! x

m,

( suma reprezintă polinomul Taylor al lui ϕ ı̂n jurul originii). Are loc

ψm(0) = limx→0

f(x)xm

= f(m)(0)m! ,

dacă aplicăm regula lui l’Hospital de m ori.

limx→0

ψm(x) = limx→0

f(x)xm

= f(m)(0)m! ,

deci ψm este continuă ı̂n x = 0. Avem evident că ψm este indefinit derivabilă peR \ {0} şi supp ψm este compact; să studiem derivabilitatea ı̂n 0.

ψ′m(o) = limx→0ψm(x)− ψm(0)

x= lim

x→

f(x)xm− f

(m)(0)m!

x=

= limx→0

f(x)− xmf (m)(0)m!

xm+1= f

(m+1)(0)(m+ 1)! ,

dacă aplicăm l’Hospital de m+ 1 ori.

ψ′m(x) =f ′(x)x−mf(x)

xm+1

şi calculăm

limx→0

ψ′m(x) = limx→0f ′(x)x−mf(x)

xm+1= lim

x→0

f ′(x) + xf ′′(x)−mf ′(x)(m+ 1)xm

12 Daniela Roşu

= limx→0

(1−m)f ′(x) + xf ′′(x)(m+ 1)xm = limx→0

(2−m)f ′′(x) + xf ′′′(x)(m+ 1)mxm−1 = · · ·

= limx→0

(m+ 1−m)f (m+1)(x) + xf (m+2)(m+ 1)! =

f (m+1)(0)(m+ 1)! = ψ

′m(0),

deci ψm ∈ C1(R); ı̂n şirul de egalităţi precedente s-a folosit regula lui l’Hospital.Analog rezultă pentru derivatele de ordin superior.

1.8(Tf , α1ϕ1 + α2ϕ2) =

∫Rf(t)(α1ϕ1(t) + α2ϕ2(t))dt =

= α1∫Rf(t)ϕ1(t)dt+ α2

∫Rf(t)ϕ2(t)dt = α1(Tf , ϕ1) + α2(Tf , ϕ2),

pentru orice ϕ1, ϕ2 ∈ D şi orice α1, α2 ∈ C. Dacă ϕn → ϕ, ı̂n D, atunci prin trecerela limită sub semnul integralei, (situaţie posibilă datorită convergenţei uniforme),rezultă

(Tf , ϕn) =∫Rf(t)ϕn(t)dx→

∫Rf(t)ϕ(t)dt = (Tf , ϕ).

Dacă f = u, funcţia unitate, obţinem distribuţia Heaviside.

(Tu, ϕ) =∫ +∞

0f(t)ϕ(t)dt,∀ϕ ∈ D

Deoarece funcţiile de mai sus diferă pe o mulţime finită, din Lema du Bois Ray-mond, generează aceeaşi distribuţie.

1.9 Folosim lema du Bois Raymond.1.10 Aplicăm definiţia operaţiilor şi lema du Bois Raymond.1.11 Presupunem că există o funcţie local integrabilă, f astfel ca pentru orice ϕ ∈ D∫

Rf(t)ϕ(t)dt = ϕ(0).

Fie ϕn(t) = ω 1n(t) = cne

1n2t2−1 . Din proprietăţile scufiţei, rezultă

1 =∫Rω 1n(t)dt = cn

∫ 1n

− 1n

e1

n2t2−1dt ≤∫ 1

n

− 1n

e−1dt = 2cnne

.

De aici rezultă că cn > ne2 şi cn → +∞. Din ipoteză

ϕn(0) =cne

=∫Rf(t)ϕn(t)dt.

Fie M = sup |f(t)|, t ∈ [−1, 1] , care există, deoarece f este local integrabilă;atunci avem

cne

=∫Rf(t)ϕn(t)dt ≤M

∫Rϕn(t)dt = M.

de aici rezultă că cn este mărginit, deci ar contrazice la cn →∞.

Elemente de teoria distribuţiilor 13

1.12 Să arătăm călim

n→+∞

∫Rω 1nϕ(t)dt = ϕ(0),

pentru orice ϕ ∈ D. Din continuitatea funcţiei test, pentru orice η > 0, există ε0astfel ca dacă |t| < ε0, rezultă |ϕ(t)− ϕ(o)| < η. Avem atunci

|∫Rω 1n(t)ϕ(t)dt− ϕ(0)| = |

∫Rω 1n(t)(ϕ(t)− ϕ(0))dt| ≤

≤∫Rω 1n(t)|ϕ(t)− ϕ(0)|dt < η

∫Rω 1n(t)dt = η,

de unde rezultă afirmaţia.

1.13 Acesta rezultă, deoarece pentru orice ϕ ∈ D, suma+∞∑n=1

(δn, ϕ) este o sumă finită.

1.14 a. V p∫ +∞−∞

ϕ(t)− ϕ(0)t2

dt = V p∫R

ϕ(t)− tϕ′(0)− ϕ(0)t2

dt şi ϕ(t) = ϕ(0)+tϕ′(0)+t2

2 ϕ′′(θt), θ ∈ (0, 1); atunci avem

|ϕ(t)− tϕ′(0)− ϕ(0)t2

| = 12 |ϕ′′(θt)| ≤ sup

t∈[−A,A]|ϕ′′(t)|

14 Daniela Roşu

(T, ϕ) = ϕ′(0) + cϕ(0) = (δ, ϕ′) + c(δ, ϕ) = −(δ′, ϕ) + (cδ, ϕ) =

= (cδ − δ′, ϕ), ∀ϕ ∈ D.Rezultă T = cδ − δ′.

1.16c.

(t · vp1t, ϕ) = (vp1

t, tϕ) = vp

∫R

tϕ(t)t

dt =∫supp ϕ

ϕ(t)dt = (T1, ϕ),

∀ϕ ∈ D şi rezultă t · vp1t

= T1.

2. Derivarea distribuţiilor

Definiţia 2.1. Dacă T ∈ D′, atunci definim derivata sa de ordin α = (α1, · · ·αn) prin

(DαT, ϕ) = (−1)|α|(T,Dαϕ),∀ϕ ∈ D(Rn), (15)unde |α| = α1 + · · ·αn.

Cazul n = 1. Dacă T este o distribuţie pe R, atunci derivata ei de ordin n este definităde formula de mai jos

(T (n), ϕ) = (−1)n(T, ϕ(n)) ∀ϕ ∈ D. (16)

Exemplul 2.1. Să calculăm densitatea de sarcină corespunzătoare unui dipol punctual demoment dipolar +1 aflat pe dreaptă ı̂n punctul t = 0.

Soluţie. Aceasta revine la a arăta că

limε→0

δ(t− ε)− δ(t)ε

= −δ′(t)unde limita este luată ı̂n sens slab; adică, pentru orice ϕ ∈ D

limε→0

(δ(t− ε)− δ(t)ε

, ϕ) = limε→0

ϕ(ε)− ϕ(0)ε

= ϕ′(0) = (δ, ϕ′) = −(δ′, ϕ).

Sarcina totală este (−δ′, 1) = (δ, 1′) = (δ, 0) = 0, iar momentul dipolar este (−δ′, t) =(δ, t′) = (δ, 1) = 1.

Exemplul 2.2. Să calculăm derivatele distribuţiei Dirac.

Soluţie. Folosind definiţia avem:

(δ(n), ϕ) = (−1)nϕ(n)(0).

Elemente de teoria distribuţiilor 15

Exemplul 2.3. Să calculăm derivata distribuţiei Heaviside.

Soluţie. Să arătăm că

Tu = δ.

Într-adevăr(T ′u, ϕ) = −

∫ +∞0

ϕ′(t)dt = ϕ(0) = (δ, ϕ),

∀ϕ ∈ D.

Teorema 2.1. Dacă f admite derivata de ordin n din L1loc(R) şi derivatelef ′, f ′′, · · · f (n) au ı̂n t = 0 punct de discontinuitate de prima speţă atunci

T(n)f = Tf (n) + σn−1δ + · · ·σ0δ(n−1), k = 0, . . . , n− 1. (17)

unde σk = f (k)(0+)− f (k)(0−) este saltul derivatei de ordin k ı̂n t = 0.

Exemplul 2.4. Să calculăm derivatele funcţiei f(t) = u(t) cos t.

Calculăm primele derivate, observând pentru ı̂nceput că ı̂n t = 0, funcţia nu este deriv-abilă. Avem

f ′(t) = −u(t) sin t σ1 = 0f ′′(t) = u(t) cos t σ2 = −1f ′′′(t) = u(t) sin t σ3 = 0.

Urmează

T(n)f = Tu(t) cos(n) t +

[n+12 ]∑k=1

σ2(k−1)δn−(2k−1),

unde σ2(k−1) = (−1)k−1.

Generalizare. Dacă punctul de discontinuitate este t = a , atunci salturile funcţiei şiale derivatelor sale se consideră ı̂n t = a, iar distribuţiile se ı̂nlocuiesc cu δa

T(n)f = Tf (n) + σn−1δa + · · ·σ0δ(n−1)a , (18)

unde σk = f (k)(a+ 0)− f (k)(a− 0), k = 0, . . . , n− 1.

Teorema 2.2. Dacă f ∈ D∞ şi T ∈ D′, atunci are loc:

(f T )(n) =n∑k=0

Cknf(n−k)T (k). (19)

16 Daniela Roşu

Teorema 2.3. Dacă f funcţie local integrabilă are pe orice interval mărginit un numărfinit de puncte tk, k ∈ Z de discontinuitate de prima speţă, iar f este derivabilă peR \ {tk}, atunci are loc

T ′f = Tf ′ +∑k∈Z

(f(tk + 0)− f(tk − 0))δtk . (20)

Exemplul 2.5. Să determinăm derivata distribuţiei generate de prelungirea prin period-icitate a funcţiei f0 : [−1, 1)→ R, f0(t) = t pe R.

Soluţie. Prelungim prin periodicitate funcţia f0 : [−1, 1)→ R, f0(t) = t pe R şi notăm cuf prelungirea; atunci ea generează o distribuţie a cărei derivată după formula precedentăeste

T ′f = Tf ′ +∑k∈Z

(f((2k − 1) + 0)− f((2k − 1)− 0)))δ2k−1

şi cum f ′ = 1 pe R \ {2k − 1}, avem

T ′f = T1 − 2∑k∈Z

δ2k−1.

Teorema 2.4. Fie seria∞∑n=1

fn, fn : R → C, fn ∈ L1loc, uniform convergentă pe orice

interval mărginit din R, cu suma f . Atunci f ∈ L1loc,∞∑n=1

fn = f , iar seria poate fi

derivată termen cu termen ı̂n sensul distribuţiilor, ori de câte ori.

Aplicaţie Dacă ak satisface|ak| ≤ A|k|m +B,

atunci seria trigonometrică+∞∑

k=−∞ake

jkt

converge ı̂n sensul distribuţiilor.Într-adevăr considerăm seria

a0tm+2

(m+ 2)! ++∞∑

k=−∞,k,0

akejkt

(jk)m+2 .

Deoarece ak(jk)m+2 =|ak||k|m+2

≤ A|k|2

+ B|k|m+2

, seria este uniform convergentă pe R, decidin teorema precedentă poate fi derivată termen cu termen de m+ 2 ori, după care găsimrezultatul.

Exemplul 2.6. Formula lui Poisson de ı̂nsumare. Pentru orice ϕ ∈ D are loc

+∞∑n=−∞

ϕ(n) =+∞∑

n=−∞

∫ +∞−∞

ϕ(ω)ejn2πωdω. (21)

Elemente de teoria distribuţiilor 17

Soluţie. Fie h : [0, 2π)→ R funcţia definită prin:

h(t) = t2 −t2

4π .Ea admite dezvoltare ı̂n serie Fourier sub forma complexă

h(t) =+∞∑

n=−∞cne

jnt, cn =1

2π

∫ 2π0

h(t)e−jntdt.

Dacă efectuăm calculele, obţinem

h(t) = π6 −1

2π

+∞∑n=−∞,n,0

1n2ejnt.

Seria din membrul al doilea poate fi derivată ı̂n sensul teoriei distribuţiilor, deoarece, din

|ejnt

n2| = 1

n2, rezultă uniform convergentă. Vom deriva această serie de două ori; folosind

formula (20) şi faptul că prelungirea prin periodicitate a lui h este continuă, iar prelungireaprin periodicitate a lui h′ = 12 −

t

2π , t ∈ (0, 2π) este discontinuă pe R \ {2nπ} are loc

T ′′h = −1

2πT1 ++∞∑

n=−∞δ2nπ(

12 +

12).

Egalând această serie cu derivata de două ori a seriei anterioare, avem

− 12πT1 ++∞∑

n=−∞δ2nπ =

12π

+∞∑n=−∞,n,0

Tejnt .

Alegem t = 2πωω0

şi folosim asemănarea (13) şi (14) distribuţiei Dirac, avem

+∞∑n=−∞

δ(ω − nω0) =1ω0

+∞∑n=−∞

Tejn 2πωω0

.

Dacă particularizăm ω0 = 1, pentru orice ϕ ∈ D are loc numita formulă căutată.

Exemplul 2.7. Să arătăm că soluţia ecuaţiei

tmT = 0este de forma

T =m−1∑k=0

ckδ(k)(t), ck ∈ C.

Soluţie. Mai ı̂ntâi arătăm că T de forma precedentă satisface ecuaţia. Fie ϕ ∈ D;∀k = 0, . . .m− 1 are loc

(tmδ(k), ϕ) = (δ(k), tmϕ) = (−1)k(δ, (tmϕ)(k)) = (−1)k(tmϕ)(k)|t=0 = 0.

18 Daniela Roşu

Dacă η ∈ D este 0 ı̂ntr-o vecinătate a lui t = 0, atunci are loc

ϕ(t) = η(t)m−1∑k=0

ϕ(k)(0)k! t

k + tmψ(t),

unde

ψ(t) = t−m(ϕ(t)− η(t)m−1∑k=0

ϕ(k)(0)k! t

k).

Deoarece ψ ∈ D, i se poate aplica formula lui Taylor

ψ(t) =N∑

k=m

ϕ(k)(0)k! t

k−m + O(|t|N+1), N ≥ m

adevărată pe vecinătatea lui t = 0 aleasă.Fie T o soluţie a ecuaţiei considerate; avem

(T, ϕ) = (T, η(t)m−1∑k=0

ϕ(k)(0)k! t

k) + (T, tmψ(t)) =

=m−1∑k=0

ϕ(k)(0)k! (T, η(t)t

k) + (tmT, ψ) =

=m−1∑k=0

(−1)kckϕ(k)(0) =m−1∑k=0

ck(δ(k), ϕ),

unde ck = (−1)k

k! (T, ηtk).

2.1. Probleme propuse.

3.1 Să se calculeze derivatele distribuţiilor generate de funcţiile:

a. u(−t) e. |t|b. u(t− t0) f. vp ln |t|c. u(t0 − t) g. vp1td. sgn t h. u(t)(t+ 1).

3.2 Determinaţi derivatele de ordin 1, 2 şi 3 pentru distribuţiile generate dea. f = |t| sin t, b. g = |t| cos t.

3.3 Aflaţi derivatele de ordin n ale distribuţiilor generate de funcţiile

a. u(t) e. [t]b. sgn t f. u(a− |t|)c. |t| g. t2u(t+ 1)u(1− t)d. u(t)eat h. u(t) sin t.

Elemente de teoria distribuţiilor 19

3.4 Să se demonstreze relaţiile:a. δ + tδ′ = 0b. 2δ + 4tδ′ + t2δ′′ = 0c. tδ(n) = −nδ(n−1)

d. tnδ(n) = (−1)nn!δ.3.5 Dacă f este prelungirea prin periodicitate a funcţiei f0 : [−1, 1)→ R,

f0(t) = sgn t pe R; arătaţi că are loc

T ′f = −2∑k∈Z

δ2k−1 + 2∑k∈Z

δ2k.

3.6 Determinaţi soluţiile ecuaţiilora. T ′ = 0b. T (n) = 0, n = 2, 3, . . .

2.2. Soluţii.3.1 a. T ′u(−t) = −δ

b. u(t− t0) ={

1, t ≥ t00, t < t0

T ′u(t−t0) = δt0

c. u(t0 − t) ={

1, t ≤ t00, t > t0

T ′u(t−t0) = −δt0d. T ′sgn t = 2δe. T ′|t| = Tsgn tf.

(vp ln |t|)′, ϕ) = −(vp ln |t|, ϕ′) = −vp∫R

ln |t|ϕ′(t)dt =

= − limε→0

(∫ −ε−∞

+∫ ∞ε

) ln |t|ϕ′(t)dt) =

− limε→0

((ln |t|ϕ(t)|−ε−∞ −

∫ −ε−∞

−1−t

ϕ(t)dt) + (ln tϕ(t)|∞ε −∫ ∞ε

ϕ(t)tdt))

= limε→0

(∫ −ε−∞

ϕ(t)tdt+

∫ ∞ε

ϕ(t)tdt

)+ lim

ε→0(−ϕ(−ε) ln(ε) + ϕ(ε) ln(ε)) =

= (vp1t, ϕ) + lim

ε→0(ln(ε))(ϕ(ε)− ϕ(−ε)).

Folosind teorema lui Lagrange, egalitatea devine

(vp1t, ϕ) + lim

ε→02ε ln(ε)ϕ′(ξε) = (vp

1t, ϕ), ∀ϕ ∈ D.

g. vp1t

′ = −vp 1t2

20 Daniela Roşu

h. Funcţia este{

0, t < 0t+ 1, t ≥ 0 şi are derivata Tu + δ.

3.2 a. T ′f = cos tT|t| + sin tT ′|t| = cosT|t| + sin tTsgn t, T ′′f = 2Tsgn t cos t −|t| sin t, T ′′′f = 4δ − 3Tsgn t sin t− |t| cos t

b. T ′g = Tsgn t cos t − |t| sin t, T ′′g = 2δ − 2Tsgn t sin t − |t| cos t, T ′′′g =2δ′ − 3Tsgn t cos t+ |t| sin t.

3.3 a. T ′u = δ, T (n)u = δ(n−1)

b. T (n)sgn t = 2δ(n−1)

c. T (n)|t| = 2δ(n−2)

d. T (n)u(t)eat = Tuaneat + an−1δ + · · · δ(n−1)

e. Funcţia are salturi de valoare 1 ı̂n orice număr ı̂ntreg, iar derivata este 0 pe

R\Z; deci T ′[t] =+∞∑

k=−∞δ(t− k), iar derivata de ordin n este de forma

+∞∑k=−∞

δ(n−1)(t− k).

f. Prima derivata este δ(t + a) − δ(t − a), iar de ordin n este de formaδ(n−1)(t+ a)− δn−1)(t− a).

g. Prima derivată este 2Tu(1−|t|)t + δ(t− 1)− δ(t+ 1), a doua esteT2u(1−|t|) − 2δ(t+ 1)− 2δ(t− 1) + δ′(t+ 1)− δ′(t− 1), iar cea de ordinul

n,3∑

k=1

2(3− k)!((−1)

k−1δ(m−k)(t+ 1)− δ(m−k)(t− 1)),m = 3, 4 · · ·

h. T (n)u sin t = Tu sin t(n) +[n2 ]∑k=1

(−1)k−1δ(n−2k).

3.4 a. din tδ = 0, prin derivare avem δ + tδ′ = 0b. din t2δ = 0, prin derivare, 2tδ + t2δ′ = 0 şi dacă mai derivăm o dată, avem

b.c.

(tδ(n), ϕ) = (δ(n), tϕ) = (−1)n(δ, (tϕ)(n)) =

= (−1)n(δ′′, tϕ(n) + nϕ(n−1)) = (−1)n(tδ, ϕ(n)) + (−1)nn(δ, ϕ(n−1)) =

= −n(−1)n−1(δ, ϕ(n−1)) = −n(δ(n−1), ϕ), ∀ϕ ∈ D.

d. din (tδ)(n) = tδ(n) + nδ(n−1), avem

tδ(n) + nδ(n−1) = 0,

iar dacă ı̂nmulţim cu t şi folosind c.,

t2δ(n) = −+ ntδ(n−1) = n(n− 1)δ(n−2)

Repetând raţionamentul, afirmaţia rezultă prin inducţie.

Elemente de teoria distribuţiilor 21

3.5 Are locT ′f = Tf ′ +

∑k∈Z

(f(k + 0)− f(k − 0))δk

şi cum f ′ = 0 pe R\{Z}, iar salturile funcţiei sunt 2 ı̂n numerele 2k şi -2 ı̂n 2k−1,rezultă formula.

3.6 a. Din T ′ = 0 deducem ((T ′, ϕ) = −(T, ϕ′) = 0, pentru orice ϕ ∈ D. Dinexerciţiul 1.5 are loc scrierea ϕ(x) = ϕ0(x)

∫ +∞−∞

ϕ(x)dx + ϕ′1(x) cu ϕ1, ϕ0 ∈ D şi∫ +∞−∞

ϕ0(x)dx = 1. Au loc

(T, ϕ) = (T, ϕ0∫ +∞−∞

ϕ(x)dx+ ϕ′1) = (T, ϕ0)∫ +∞−∞

ϕ(x)dx+ (T, ϕ′1).

Dar (T, ϕ′1) = 0, iar (T, ϕ0) = c, deci rezultă (T, ϕ) = c∫+∞−∞ ϕ(x)dx = (c, ϕ).

Aşadar T = c.b. T = c0 + c1x+ . . . cn−1xn−1.

3. Convoluţia distribuţiilor

Produsul direct al distribuţiilor

Vom considera clasa funcţiilor test pe R2, adică

D(R2) = {ϕ : R2 → R,ϕ ∈ C∞(R2), supp ϕ compact}Fie două distribuţii (de o variabilă), definite pe D(R); pentru orice ϕ ∈ D(R2) definimfuncţionala

(S(s) · T (t), ϕ(s, t)) = (S(s), (T (t), ϕ(s, t))) (22)Această relaţie defineşte o distribuţie, care se va numi produsul direct al distribuţiilor S,T .

Lema 3.1. Fie T ∈ D′ şi ϕ ∈ D(R2) atunci funcţia

ψ(s) = (T (t), ϕ(s, t))este din D(R) şi

ψ(n)(s) = (T (t), ∂n

∂snϕ(s, t)). (23)

Teorema 3.1. (Comutativitatea produsului direct). Dacă S, T ∈ D′(R) are loc

S(s) · T (t) = T (t) · S(s).

22 Daniela Roşu

Teorema 3.2. (Derivarea produsului direct) Dacă S, T sunt două distribuţii, atunci areloc

( ∂∂s

(S(s) · T (t)) = S ′(t) · T (t) = S(s) · T ′(t) (24)

Produsul de convoluţie al distribuţiilor

Reamintim noţiunea de produs de convoluţie al funcţiilor şi suntem interesaţi ı̂n ce condiţiiacesta rezultă o funcţie local integrabilă. Dacă f, g : R → C, atunci integrala impropriecu parametru

(f ? g)(t) =∫Rf(s)g(t− s)ds, (25)

se numeşte produs de convoluţie.

Definiţia 3.1. Şirul ηk ∈ D(R2) tinde la 1 ı̂n R2, dacăa. pentru orice compact K ⊂ R2 există n0, astfel ca ηk(s, t) = 1 pentru (s, t) ∈ K şik ≥ n0b. funcţiile ηk şi toate derivatele lor parţiale sunt uniform mărginite pe R2, adică pentruorice α = (α1, α2) există cα astfel ca

|Dαηk(s, t)| = |∂|α1+α2|ηk(s, t)∂α1s∂α2t

| ≤ cα, k = 1, 2, · · ·

Definiţia 3.2. Fie S, T ∈ D′ astfel ca pentru orice ηk ∈ D(R2) care tinde la 1 ı̂n R2,există limita şirului numeric

limk→+∞

(S(s) · T (t), ηk(s, t)ϕ(s+ t)), ∀ϕ ∈ D(R) (26)

Valoarea acestei limite o numim produs de convoluţie şi o notăm (S ? T, ϕ).

Teorema 3.3. Fie T ∈ D′, atunci există T ? δ şi δ ? T şi are loc

T ? δ = δ ? T = T.

Teorema 3.4. Dacă T, S ∈ D′ şi T are suport compact, atunci convoluţia T ? S există şieste

(S ? T, ϕ) = (S(s) · T (t), η(t)ϕ(s+ t)), ∀ϕ ∈ D,unde η ∈ D şi este 1 ı̂ntr-o vecinătate a lui supp T .Dacă Tn → T ı̂n D′ atunci Tn ? S → T ? S.

Elemente de teoria distribuţiilor 23

Dacă Sn → S ı̂n D′ şi Sn, S au suporturile incluse ı̂ntr-o mulţime mărginită, atunciT ? Sn → R ? S.

Exemplul 3.1. Pentru orice a, b ∈ R are loc

δa ? δb = δa+b.

Soluţie. Într-adevăr, din teorema precedentă pentru o funcţie η egală cu 1 pe o vecinătatea lui {b}, are loc

(δa ? δb, ϕ) = (δa(s) · ϕ(b), η(t)ϕ(s+ t)) =

(δa(s), (δb(t), η(t)ϕ(s+ t)) = (δa(s), ϕ(s+ b)) = ϕ(a+ b) = (δa+b, ϕ).unde η este o funcţie test egală cu 1 pe o vecinătate a suportului lui δa

Teorema 3.5. ( Liniaritatea produsului de convoluţie) Dacă T1, T2, T3 ∈ D′ astfel caT1 ? T2, T2 ? T3 să fie definite, atunci pentru orice λ1, λ2 ∈ R are loc

(λ1T1 + λ2T2) ? T3 = λ1T1 ? T2 + λ2T2 ? T3.

Observaţia. În general convoluţia nu este o operaţie continuă de la D′ la D′, după cumrezultă din exemplul următor.

δ(t− k)→ 0, k →∞ı̂n D′, deoarece ∀ϕ ∈ D are loc (δ(t− k), ϕ) = ϕ(k)→ 0, k →∞; pe de altă parte

1 ? δ(t− k) = 1,

care nu tinde la 0.

Teorema 3.6. ( Comutativitatea produsului de convoluţie) Dacă există T ? S, atunciexistă şi S ? T şi sunt egale.

Teorema 3.7. ( Derivarea produsului de convoluţie) Dacă există T ? S, atunci existăT (n) ? S şi T ? S(n) şi are loc

(S ? T )(n) = S(n) ? T = S ? T (n).

Consecinţă. Dacă T ∈ D′, atunci are loc

T (n) = δ ? T (n) = δ(n) ? T. (27)

Observaţie. Din existenţa convoluţiilor T (n)?S, T ?S(n), nu rezultă existenţa convoluţieiT ? S, după cum deducem din exemplul de mai jos.

24 Daniela Roşu

T ′u ? T1 = δ ? T1 = T1Tu ? T

′1 = Tu ? 0 = 0.

Teorema 3.8. (Translaţia convoluţiei) Dacă există S ?T , atunci există şi S(s+h)?T (s)şi are loc

S(s+ h) ? T (s) = S ? T (s+ h), ∀h ∈ R.

Introducem o clasă de distribuţii utilă pentru aplicaţii ale acestei teorii la rezolvarea unorclase de ecuaţii diferenţiale. Notăm

D′+ = {T ∈ D′ | supp T ⊂ [0,∞)}.

Teorema 3.9. Dacă S, T ∈ D′+ atunci există S ? T , aparţine lui D′+ şi are loc

(S ? T, ϕ) = (S(s) · T (t), η1(s)η2(t)ϕ(s+ t)), ϕ ∈ D,unde η1, η2 ∈ C∞(R) şi sunt egale cu 1 ı̂ntr-o vecinătate a semiaxei [0,+∞) şi nule pentrut < 0, suficient de mare ı̂n valoare absolută.Dacă Sk ∈ D′+, Sk → S, ı̂n D′, atunci are loc

Sk ? T → S ? T, k →∞,

ı̂n D′.

Teorema 3.10. Convoluţia distribuţiilor din D′+ este o operaţie asociativă, adică

T1 ? (T2 ? T3) = (T1 ? T2) ? T3.

Exemplul 3.2. Fie S, T ∈ D′+ două distribuţii cunoscute; să determinăm U ∈ D′+astfelca

S ? U = T.

Soluţie. Dacă T = δ, soluţia U dacă există o vom nota S−1 şi o vom numi inversa. Dacăexistă inversa S−1, atunci ecuaţia admite soluţie unică de forma

U = S−1 ? T.Într-adevăr S−1 ? T este soluţie, deoarece

S ? (S−1 ? T ) = (S ? S−1) ? T = δ ? T = T.Dacă ar exista două soluţii, U1, U2, atunci din S?U1 = T, S?U2 = T rezultă S?(U1−U2) =0, de unde S−1 ? (S ? (U1 − U2)) = (S−1 ? S) ? (U1 − U2) = U1 − U2 = 0 şi deci U1 = U2

Elemente de teoria distribuţiilor 25

Distribuţii temperate

Reamintim clasa funcţiilor rapid descrescătoare

S = {f : R→ R|f ∈ C∞(R),∃Ck,q, |xkf (q)(x)| ≤ Ck,q},

Are locD ⊂ S

şi ı̂n sens topologic, adică din convergenţa şirurilor ı̂n D, rezultă şi convergenţa ı̂n S.

Definiţia 3.3. Numim distribuţie temperată funcţionala liniară şi continuă pe S

Notăm mulţimea distribuţiilor temperate cu S′ şi observăm că S′ ⊂ D′.

Exemplul 3.3. Dacă o funcţie are o creştere polinomială, adică există două constantea > 0, A > 0 astfel ca

|f(t)| ≤ A|t|a

atunci generează o distribuţie temperată prin formula

(Tf , ϕ) =∫ +∞−∞

f(t)ϕ(t)dt

26 Daniela Roşu

Teorema 3.12. Dacă S′+ = D′+∩S′ şi S, T ∈ S′+, atunci S ?T ∈ S′+ şi poate fi reprezentatsub forma

(S ? T, ϕ) = (S(s) · T (t), η1(s)η2(t)ϕ(s+ t)), ϕ ∈ S(R),unde η1, η2 sunt funcţii de clasă C∞(R) egale cu 1 ı̂ntr-o vecinătate a semidreptei pozitive[0,+∞) şi nule pentru t < 0, suficient de mare ı̂n valoare absolută.

Transformata Fourier a unei distribuţii temperate

Definiţia 3.4. Dacă T este o distribuţie temperată, numim transformata Fourier, distribuţianotată F[T ] şi definită prin

(F[T ], ϕ) = (T,F[ϕ]),∀ϕ ∈ S. (28)

Formula de mai sus corespunde următoarei situaţii clasice; dacă f ∈ S, atunci transfor-mata sa Fourier fiind din L1loc generează o distribuţie, dată de

(TF , ϕ) =∫ +∞−∞

F (ω)ϕ(ω)dω =∫ ∫

R2f(t)e−jtωdtϕ(ω)dω =

=∫ +∞−∞

f(t)dt∫ +∞−∞

ϕ(ω)e−jtωdω =∫ +∞∞

f(t)F[ϕ](t)dt = (Tf ,F[ϕ]).

Teorema 3.13. Transformarea Fourier F : S′ → S′ este un izomorfism bicontinuu.

Exemplul 3.5. Să arătăm că au loc următoarele formule:

F[δa] = Te−jaω . (29)

F[δ] = T1 (30)

2πδ = F[T1] (31)

Soluţie. Într-adevăr

(F[δa], ϕ] = (δa,F[ϕ]) = (δa,∫ +∞−∞

ϕ(t)e−jtωdt) =

=∫ +∞−∞

ϕ(t)e−jtadt = (Te−jta , ϕ), ∀ϕ ∈ S

şi prima formulă este dovedită.Pentru a = 0 ı̂n (29), deducem a doua formulă.

Elemente de teoria distribuţiilor 27

Folosind formula de inversare deducem din (30):

δ = F−1[T1] =1

2πF[T1].

Astfel rezultă şi ultima afirmaţie.

Observăm că funcţia identic 1 nu are transformata Fourier, ı̂n timp ce distribuţia generată,T1 admite transformată Fourier.

Teorema 3.14. (Derivarea transformatei Fourier) Pentru orice T ∈ S′ are loc

F(n)[T ] = F[(−jω)nT ]. (32)

Observaţie. Toate polinoamele admit transformată Fourier ı̂n sensul distribuţiilor.

Teorema 3.15. (Transformarea derivatei) Pentru orice distribuţie temperată are loc

F[T (n)] = (jt)nF[T ]. (33)

Caz particular. Dacă T = δ, are loc

F[δ(n)] = T(jt)n . (34)

Teorema 3.16. (Transformarea translaţiei) Pentru orice distribuţie temperată are loc

F[T (t− t0)] = e−jt0F[T ]. (35)

Teorema 3.17. (Translaţia transformatei). Pentru orice distribuţie temperată are loc

F[T ](ω + ω0) = F[e−jω0tT ](ω). (36)

Teorema 3.18. (Transformarea asemănării). Pentru orice distribuţie temperată are loc

F[T (at)](ω) = 1|a|

F[T ](ωa

), a , 0. (37)

Teorema 3.19. (Transformarea convoluţiei). Pentru orice distribuţie temperată T şi So distribuţie cu suport compact are loc

F[T ? S] = F[T ] · F[S]. (38)

Un tabel al unor transformate Fourier uzuale este dat ı̂n anexa.

Exemplul 3.6. Să determinăm transformata Fourier a următoareleor distribuţii:1. Tejx22. Tu.

28 Daniela Roşu

Soluţie. Pentru prima distribuţie avem, dacă ϕ ∈ S cu supp ϕ ⊂ [−A,A]

(F[Tejx2 ], ϕ) = (Tejx2 ,F[ϕ]) =∫ +∞−∞

ejx2F[ϕ](x)dx =

= lima,b→∞

∫ b−aejx

2∫ A−A

ϕ(ω)e−jxωdωdx = lima,b→∞

∫ A−A

ϕ(ω)∫ b−aejx

2−jxωdxdω =

=∫ A−A

ϕ(ω) lima,b→∞

∫ b−aejx

2−jxωdxdω =√π∫ +∞−∞

ϕ(ω)e−jω2−π

4 dω.

Deci transformata Fourier este distribuţia

√πe−

j(ω2−π)4 .

2. Reamintim transformata Fourier pentru funcţia u(t)e−at

F[u(t)e−at] = 1a+ jω =

1−j(−ω + ja) .

Dacă trecem la limită pentru a → 0, atunci ue−at → u ı̂n S′, iar operatorul F fiindcontinuu deducem ı̂n primul membru F[u(t)], iar al doilea membru tinde la 1

−j(−ω + j0)care din formulele lui Sohotski (6) este

−1j

(−jπδ − V p 1ω

) = πδ − jV p 1ω

4. Soluţii fundamentale ale operatorilordiferenţiali

Considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul n ∈ N cu forma generală

an(t)U (n) + an−1(t)U (n−1) + . . .+ a0(t)U = T, (39)unde ai ∈ C∞(R), iar T ∈ D′. Notăm

L = and(n)

dtn+ . . .+ a0I

şi atunci ecuaţia (39) devineL(U) = T.

Definiţia 4.1. Numim soluţie generalizată (̂ın sensul teoriei distribuţiilor) pe intervalul(a, b), orice distribuţie S ∈ D′ care satisface

(an(t)S(n) + an−1(t)S(n−1) + . . .+ a0(t)S, ϕ) = (T, ϕ), ∀ϕ ∈ D(a, b).

Elemente de teoria distribuţiilor 29

Este evident că orice soluţie clasică este soluţie şi ı̂n sensul distribuţiilor. Reciproca estedată de umătoarea lemă.

Lema 4.1. Dacă T = Tf cu f ∈ C(a, b) şi soluţia generalizată este de forma S = Tyunde y ∈ Cm(a, b), atunci y este şi soluţie clasică a ecuaţiei diferenţiale asociate.

Considerăm ecuaţia cu coeficienţi constanţi

anS(n) + . . .+ a0S = T, a0, . . . , an ∈ C. (40)

Definiţia 4.2. Numim soluţie fundamentală a ecuaţiei (40) distribuţia U care satisface

L(U) = δ. (41)

Soluţia fundamentală nu este unică, ci este determinată până la o soluţie arbitrară aecuaţiei L(V ) = 0.

Lema 4.2. U este o soluţie fundamentală pentru L dacă şi numai dacă transformataFourier satisface

n∑k=0

ak(jω)kF[U ] = 1. (42)

Această lemă reduce rezolvarea ecuaţiei liniare cu coeficienţi constanţi la rezolvarea unorecuaţii algebrice de forma

P (ω)X = 1unde P (ω) este un polinom oarecare.Construcţia unei soluţii fundamentale este dată de următoarea teoremă.

Teorema 4.1. Fie y = y(x) soluţia problemei Cauchyany

(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a0y = 0y(0) = . . . = y(n−2)(0) = 0y(n−1)(0) = 1.

(43)

Atunci distribuţia generată de u(x)y(x) este soluţie fundamentală.

Teorema 4.2. Fie U soluţie fundamentală a operatorului L şi T ∈ D′ astfel că existăconvoluţia U ? T . Atunci soluţia ecuaţiei (40) este

S = U ? Tşi este unică ı̂n clasa de distribuţii din D′ pentru care există convoluţia.

Exemplul 4.1. Să rezolvăm ecuaţia

T ′′ + 2T ′ + T = 2δ + δ′.

30 Daniela Roşu

Soluţie. Pentru soluţia fundamentală asociem problema Cauchy

y′′(x) + 2y′ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1,cu soluţia y(x) = c1e−x + c2xe−x. După folosirea condiţiilor iniţiale avem y(x) = e−x, iarsoluţia fundamentală este U = Tu(x)y(x), iar a problemei este

T = U ? (2δ + δ′) = 2U + U ′ = Tu(x)(x+ 1)e−x .

Problema Cauchy Considerăm ecuaţia diferenţială cu coeficienţi constanţi

any(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a0y = f(t), t ≥ 0

cu condiţiile iniţialey(k)(0) = yk, k = 0, n− 1.

Funcţia f este presupusă continuă pe [0,+∞).Prelungim pe y şi pe f cu 0, pe intervalul (−∞, 0), ceea ce revine la ı̂nmulţirea lor cufuncţia unitate. Notăm cu ỹ şi f̃ prelungirile funcţiilor y şi f . Atunci au loc, dacă folosim(17) relaţiile:

T(k)ỹ = Tỹ(k) +

k∑j=1

ykδ(k−j), k = 1, . . . n.

Transformând ecuaţia, obţinem

L(Tỹ) = Tf̃ +n−1∑k=0

ckδ(k),

unde

c0 = an−1y0 + . . .+ a1yn−2 + yn−1cn−2 = a1y0 + y1cn−1 = y0.

Astfel problema Cauchy se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de tipul (40).

4.1. Probleme propuse.4.1 Arătaţi că dacă f, g : R → C astfel ca |f |, |g| ∈ L1loc(R), atunci f ? g există şi

este o funcţie absolut integrabilă pe R.4.2 Dacă f, g : R → C, |f |, |g| ∈ L1loc(R) şi f(t) = g(t) = 0, t < 0, atunci

f ? g ∈ L1loc(R).4.3 Dacă f, g : R → C astfel ca |f |, |g| ∈ L1loc(R) şi una dintre funcţii are suport

compact, atunci f ? g ∈ L1loc.4.4 Pentru orice distribuţie T au loc

a. δ(t− a) ? T (t) = T (t− a).b. δ(n)(t− a) ? T = T (n)(t− a).

Elemente de teoria distribuţiilor 31

4.5 Dacă distribuţiile S şi T admit produs de convoluţie, atunci are loc

(T ? S)(m+n) = T (m) ? S(n).

4.6 Arătaţi că pentru orice a ∈ R are loc:

δa ? δ−a ? T = T.

4.7 Să se calculeze următoarele produse de convoluţie:a) Tu ? Tub) Tu ? Tu · t2c) Tu · cos t ? Tu · t3d) Tu · sin t ? Tu · sh t

4.8 Arătaţi că dacă f, g ∈ L1loc este adevărată afirmaţia

eatTf ? eatTg = eatTf ? g.

4.9 Să se rezolve ı̂n clasa D′+ ecuaţiilea. T ′′ + 4T = δb. T ′′ − 4T = 2δ + δ′

c. T ′′ − 3T ′ + 2T = 2δ′

4.10 Să considerăm un circuit electric RLC (̂ın serie) conectat la momentul t = 0 lao sursă de tensiune constantă E0. Intensitatea i(t) verifică ecuaţia

Li′(t) +Ri(t) + 1C

∫ t0i(s)ds = u(t)E0

Deduceţi (prin derivare) că intensitatea verifică ı̂n sens distribuţional ecuaţia

LT ′′i +RT ′i +1CTi = E0δ.

4.11 Arătaţi că operatorul L = ddt

+a are ca soluţie fundamentală distribuţia Tu · e−at .

4.12 Arătaţi că operatorul L = d2

dt2+ a2 are ca soluţie fundamentală distribuţia

Tu · sin at

a

.

4.13 Rezolvaţi problema Cauchy

y′(t) + ay(t) = f(t), t ≥ 0y(0) = y0.

4.14 Rezolvaţi problema Cauchy

y′′(t) + a2y(t) = f(t), t ≥ 0y(0) = y0y′(0) = y1.

32 Daniela Roşu

4.15 Folosind trecerea la distribuţii să se rezolve problemele Cauchy:

a.{y′ + 3y = e−2ty(0) = 0 , t ≥ 0

b.

y′′ + 5y′ + 6y = 12y(0) = 2y′(0) = 0

, t ≥ 0

c.

y′′′ − 3y′ − 2y = t cos ty(0) = 1y′(0) = −1y′′(0) = 2

, t ≥ 0

d.

y′′′ + y′ = f(t), t ≥ 0y(0) = ay′(0) = y′′(0) = 0

, cu f(t) =

2 cos t, t ∈ [0, π]2 sin t, t ∈ (π, 2π]0, ı̂n rest

e.

y′′′ − y′′ − y′ + y = tety(0) = −1y′(0) = 2y′′(0) = 1

, t ≥ 0

f.

y′′ + y = f(t)y(0) = 0y′(0) = 1

unde f(t) =

t, t ∈ [0, 1]−2t+ 1, t ∈ (1, 2]0, ı̂n rest

4.16 Arătaţi că următoarele distribuţii au inversele specificate alăturat.

a. T = δ′ − λδ, λ ∈ R T−1 = Tu(t)eλtb. T = Tu(t) cos t T−1 = δ′ + Tu

4.17 Rezolvaţi ecuaţia T ′′ + 2T ′ + T = 2δ + δ′ folosind transformata Fourier.4.18 Rezolvaţi ecuaţia tnT = 0 folosind transformata Fourier.

4.2. Soluţii.4.1 Într-adevăr,

∫R|f ? g(t)|dt =

∫R|∫Rf(s)g(t− s)ds|dt ≤

∫R

∫R|f(s)||g(t− s)|dsdt =

=∫R|f(s)|ds

∫R|g(t− s)|dt =

∫R|f(s)|ds

∫R|g(u)|du 0 şi să calculăm

|∫ A−A

f ? g(t)dt| = |∫ A

0f ? g(t)dt| ≤

∫ A0

∫ t0|f(s)||g(t− s)|dsdt =

Elemente de teoria distribuţiilor 33

=∫ A

0|f(s)|ds

∫ As|g(t− s)|dt =

∫ A0|f(s)|ds

∫ A−s0|g(u)|du < +∞,

deci f ? g este local integrabilă.4.3 Într-adevăr, presupunem că supp f ⊂ [−A1, A1]; atunci

∫Rf(s)g(s− t)ds =

∫ A1−A1

f(s)g(t− s)ds

există şi deci produsul este bine definit; fie acum A > 0; să arătăm că produsuleste integrabil pe [−A,A].

|∫ A−A

∫ A1−A1

f(s)g(t− s)dt| ≤∫ A−A

∫ A1−A1|f(s)||g(t− s)dsdt =

=∫ A1−A1|f(s)|ds

∫ A−A|g(t− s)|dt =

∫ A1−A1|f(s)|ds

∫ A−s−A−s

|g(x)|dx ≤

≤∫ A1−A1|f(s)|ds

∫ A+A1−A−A1

|g(x)|dx ≤ ∞,

de unde afirmaţia.4.4 a. Rezultă prin particularizarea teoremei de translare a convoluţiei, iar b. din

teorema de derivare a convoluţiei.4.5 Au loc relaţiile

(T ? S)(m+n) = ((T ? S)(m))(n) = (T ? S(m))(n) = T (n) ? S(m).

4.6 Doarece δa ? δ−a = δ, afirmaţia rezultă imediat.4.7 a. Tu · t

b. Tu · t

3

3c. Tu · (3t2 + 6 cos t− 6)d. Tu

2 (sh t− sin t).

4.8 Prin efectuarea produsului de convoluţie obţinem∫ +∞−∞

eayf(y)ea(x−y)g(x− y)dy = eax∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)dy = eaxf ? g(x).

4.9 a. Se obţine soluţia fundamentală. Soluţia problemei Cauchy{y′′ + 4y = 0y(0) = 1 este y(t) =

sin 2t2 , iar soluţia problemei iniţale este

distribuţia Tu · sin 2t2

.

34 Daniela Roşu

b. Soluţia problemei Cauchy{y′′ − 4y = 0y(0) = 1, y′(0) = 1 este y(t) =

e2t

4 , iar soluţia problemei este

distribuţia Tu · e

2t

4

.

c. Soluţia problemei Cauchy{y′′3y′ + y = 0y(0) = 1, y′(0) = 1 este y(t) = e

2t − et, iar soluţia problemei este

distribuţia Tu · (e2t − et).4.10 Prin derivarea ı̂n sens distribuţional şi ţinând cont de faptul că derivata distribuţiei

Heaviside este Dirac rezultă afirmaţia.4.11 Are loc

T ′u · e−at + aTu · e−at = T−u · ae−at + δ + aTu · e−at = δ.

4.12 AvemT ′′

u · sin ata

+ a2Tu · sin at

a

= δ.

4.13 Transformăm ecuaţia folosind T ′y = Ty′ + y0δ. Problema revine la rezolvareaecuaţiei:

T ′y + aTy = Tf + y0δcu soluţia fundamentală U = Tu·e−at şi soluţia

U ? (Tf + y0δ) = T∫ t0 e−asf(t−s)ds + y0Tu·e−at .

4.14 După transformări, ecuaţia devine

T ′′y + a2Ty = Tf + y1δ + y0δ′

care, dacă ţinem seama de exerciţiul 4.12 are soluţia

Tu· sin ata? (Tf + y1δ + y0δ′) =

T1a

∫ a0f(s) sin(t− s)ads

+ y1Tu · sin at

a

+ y0Tu · cos at.

4.15 a. Fie distribuţia Ty; avem T ′y = Ty′ şi ecuaţia devine T ′y + 3Ty = Tu(t)e−2t ,pentru care soluţia este Ty = U ? Tu(t)e−2t . Soluţia fundamentală este U = Tu(t)e−3tşi obţinem Ty = Tu(t)(e−2t−e−3t).

b. Pentru Ty derivatele sunt T ′y = Ty′ + 2δ şi T ′′y = Ty′′ + 2δ′; ecuaţia devine

T ′′y + 5T ′y + 6Ty = 12Tu(t) + 2δ′ + 10δ.Soluţia fundamentală este U = Tu(t)(e−2t−e−3t) şi soluţia este Ty = T2u(t).

c. Ecuaţia transformată este

Elemente de teoria distribuţiilor 35

T ′′′y − 3T ′y − 2Ty = Tu(t)t cos t − δ − δ′ + δ′′

cu soluţia fundamentală U = T 19 (e2t−(3t+1)e−t)

. Efectuând produsul de convoluţieobţinem soluţia Ty = Tu(t)f(t), unde

f(t) = (− t10 +74225) cos t− (

t

5 +121450) sin t+ (

t

3 +59)e

−t + 78225e2t.

d. Ecuaţia devine

T ′′′y + T ′y = Tf(t) + δ + δ′′

şi are soluţia fundamentală U = Tu(t)(1−cos t). Avem Tu(t)(1−cos t) ? Tf(t) = Tg(t) unde

g(t) =

0, t ∈ (−∞, 0)sin t− t cos t, t ∈ [0, π]−(π + 2) cos t+ (π − t) sin t− 2, t ∈ (π, 2π]−π cos t− π sin t− 4, t ∈ (2π,+∞)

sau ı̂ncă

g(t) = (sin t− t cos t)u(t) + ((π − t− 1) sin t− (π − t+ 2) cos t)u(t− π)+

+(2 cos t− (2π − t) sin t− 2)u(t− 2π).

Apoi avem U ?(δ+δ′′) = U+U ′′ = Tu(t)(1−cos t) +Tu(t) cos t = Tu(t). Soluţia problemeieste Tu(t)+g(t).

e. După transformări avem

T ′′′y − T ′′y − T ′y + Ty = Tu(t)tet + 3δ′ − δ′′,

pentru care soluţia fundamentală este

U = 14Tu(t)((2t−1)et+e−t)

iar Ty = Tu(t)f(t) cu f(t) = et(t3

12 −t2

8 + t−116) + e

−t( t8 −516).

f. Ecuaţia T ′′y + Ty = Tf(t) + δ are soluţia

Ty = Tu(t) sin t ? Tf(t) + Tu(t) sin t.

După calcule obţinem T = Tg(t) unde

g(t) = tu(t) + (1− 2t+ cos(t− 1) + 2 sin(t− 1))u(t− 1)+

+(t− 1)− cos(t− 2)− sin(t− 2))u(t− 2).

36 Daniela Roşu

4.16 a. Are loc

(δ′ − λδ) ? Tu(t)eλt = T ′u(t)eλt − λTu(t)eλt = δ

b. Avem de verificat egalitatea

Tu(t) cos t ? (δ′ + Tu) = T ′u(t) cos t + Tu(t) cos t ? Tu =

= T−u(t) sin t + δ + Tu(t) sin t = δ.4.17 Aplicăm transformata Fourier. Obţinem

(jω)2F + 2jωF + F = 2 + jω,

unde F = F[T ] este transformata lui T . Deducem

F = 2 + jω(1 + jω)2 =1

(1 + jω)2 +1

1 + jω .

Dar, din cazul clasic1

1 + jω = F[u(t)e−t],

iar1

(1 + jω)2 = −1j

( 11 + jω )′ = jF[−(jt)u(t)e−t] = F[tu(t)e−t].

Deducem căF = F[u(t)(1 + t)e−t],

iar prin inversareT = u(t)(1 + t)e−t.

4.18 Aplicăm transformata Fourier şi obţinem F(n)[T ] = 0. Din exerctţiul 3.6 deducemcă transformata este de forma c0 + c1 + . . . cn−1xn−1, de unde prin inversare găsimt = c0δ + c1δ′ + . . . cn−1δ(n−1).