Curs electrotehnica
-
Upload
stanculeanu -
Category
Documents
-
view
664 -
download
29
description
Transcript of Curs electrotehnica
1
INTRODUCERE
Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in
calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. Un circuit fizic este
format prin interconectarea mai multor dispozitive electrice: rezistoare, bobine, condensatoare,
diode, tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice,
generatoare electrice si altele.
Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportarea electrica a acestor
circuite fizice. Unui circuit fizic format din dispozitive electrice i se asociaza un circuit electric
alcatuit din modele idealizate care se numesc elemente (ideale) de circuit. Un element de circuit
modeleaza un singur fenomen fizic descris de o relatie matematica simpla intre tensiunile si
curentii bornelor. Daca elementul are doua borne, este parcurs de curentul i(t) si are tensiunea u(t)
intre borne atunci:
- rezistorul ideal caracterizat de relatia u(t)=Ri(t) modeleaza efectul rezistiv,
- bobina ideala caracterizata de relatia u(t)=Ldi(t)/dt modeleaza efectul inductiv,
- condesatorul ideal caracterizat de relatia i(t)=Cdu(t)/dt modeleaza efectul capacitiv,
unde u si i sunt functii de timpul t iar R, L si C sunt constante in raport cu u(t) si i(t).
Orice model (circuit electric), este o aproximatie a circuitului fizic. De exemplu o bobina
realizata pe un tor de ferita (la care efectul inductiv predomina in raport cu cel rezistiv si cu cel
capacitiv) se poate modela printr-o bobina ideala. Daca rezultatele teoretice obtinute in urma
analizei circuitului electric corespund cu rezultatele practice obtinute in urma masuratorilor facute
asupra circuitului fizic inseamna ca modelul este corect. Comportarea unui dispozitiv electric poate
fi aproximata prin mai multe modele (scheme echivalente) in functie de conditiile de lucru
(semnale mari sau semnale mici, gama de frecvente a semnalelor utilizate, gama temperaturilor de
functionare etc.). De exemplu un tranzistor bipolar are modele diferite pentru semnale mari sau
semnale mici si pentru frecvente de ordinul kilohertzilor sau megahertzilor.
Fenomenele electromagnetice se propaga cu o viteza aproximativ egala cu viteza luminii in
vid c=3 108 m/s. Fie un semnal sinusoidal s(t,x)=Asin2πf(t-x/c) de frecventa f care se propaga cu
viteza c dupa directia x. Propagarea dupa directia celei mai mari dimensiuni dmax a circuitului fizic
introduce o intarziere ∆t=dmax/c. Daca ∆t este neglijabil fata de cea mai mica perioada Tmin=1/fmax
(fmax -frecventa maxima) a unui semnal de interes practic, este evident ca efectul de propagare
poate fi neglijat. In acest caz se poate considera ca semnalele se propaga instantaneu (cu viteza
infinita) si un astfel de model se numeste circuit electric cu parametri concentrati. Conditia
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
2
∆t<<1/fmax este echivalenta cu dmax<<λmin unde λmin=c/fmax este lungimea de unda corespunzatoare
frecventei maxime de interes practic. Daca efectul de propagare nu se poate neglija (dmax nu se
poate neglija fata de λmin) circuitul fizic se modeleaza cu un circuit electric cu parametri
distribuiti. Intr-un circuit cu parametri distribuiti curentii si tensiunile sunt functii de timp si de
variabile spatiale; comportarea circuitului este influentata de pozitia relativa a dispozitivelor
electrice. Intr-un circuit cu parametri concentrati, admitand ca propagarea se face instantaneu,
curentii si tensiunile sunt functii numai de timp nu si de variabile spatiale; un astfel de model nu
tine seama de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. Fiind mai simplu, modelul de circuit cu
parametri concentrati este de preferat atunci cand poate fi utilizat.
Fie, de exemplu, un cablu cu lungimea L=1Km format din doua conductoare. Daca prin
cablu trece un curent i cu f=250KHz rezulta λ =1,2Km≈L si se adopta un model cu parametri
distribuiti. In acest caz, daca x este distanta masurata de la un capat al cablului, i(t,x)=Isin2πf(t-
x/c)=Isin(2πft-2πx/λ) si la acelasi moment t i are valori diferite in functie de x (de exemplu
i(t,0)=Isint2πft si i(t,λ/2)=Isin(2πft-π)). Daca prin cablu trece un curent de frecventa industriala
f1=50Hz rezulta λ =6000Km>>L si i(t,x)=Isin2πf1 t nu depinde de x.
Teoria prezentata in continuare se refera numai la circuitele cu parametri concentrati.
Teoria circuitelor include analiza calitativa si cantitativa a comportarii circuitelor. In consecinta,
instrumentele acestei teorii sunt matematice si conceptele si rezultatele utilizate sunt exprimate
prin variabile de circuit si ecuatii de circuit care leaga intre ele aceste variabile. Teoria circuitelor
nu se ocupa de fenomenele fizice care au loc in interiorul unui element de circuit.
Capitolul 1 trateaza axiomele teoriei circuitelor (teoremele lui Kirchhoff si teorema
transferului de putere pe la bornele unui multipol), consecinte ale acestora valabile in orice regim
de functionare si elemente de topologie a circuitelor. Capitolul 2 se ocupa de circuitele rezistive
incluzand elementele de circuit, ecuatiile circuitelor, teoreme si metode de analiza ale circuitelor
rezistive. Capitolul 3 contine o prezentare a elementelor dinamice de circuit, proprietatile acestora,
studiul circuitelor de ordinul intai si doi, ecuatiile si metodele de rezolvare a circuitelor dinamice
in domeniul timpului; se definesc regimurile de functionare ale circuitelor. Capitolul 4, dedicat se
ocupa de regimul sinusoidal al circuitelor liniare (circuitele de curent alternativ monofazat). In
capitolul 5 se trateaza circuitele de current alternativ trifazat, iar capitolul 6 se ocupa de regimul
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
3
nesinusoidal. Capitolul 7 abordeaza, cu ajutorul transformatei Laplace, regimul variabil ca timp al
circuitelor liniare.
Cursul este conceput avand in vedere specificul facultatii de automatica si calculatoare. Se
utilizeaza concepte din teoria sistemelor (ecuatii de stare, planul fazelor, excitabilitate si
observabilitate a modurilor circuitului, etc.) si se prezinta aplicatii specifice (circuite cu
amplificatoare operationale, oscilatoare, circuite cu comportare haotica, etc.).
CAPITOLUL 1
TEOREMELE LUI KIRCHHOFF
1.1. Elementele de circuit
Comportarea unui element de circuit este descrisa de relatiile intre curentii bornelor
(terminalelor) si tensiunile intre aceste borne. Conditiile in care se pot defini bornele unui
dispozitiv electromagnetic astfel incat comportarea acestuia sa fie descrisa de aceste relatii se
formuleaza in teoria campului electromagnetic. Elementele de circuit se simbolizeaza astfel:
Daca elementul de circuit are n borne (terminale), el se numeste n-pol (cu 2 borne - dipol, cu 3
borne - tripol, cu 4 borne - cuadripol). Un curent al unui terminal are un sens de referinta
simbolizat printr-o sageata; o tensiune intre doua borne are un sens de referinta simbolizat prin alta
sageata. De exemplu la elementul dipolar curentul i intra in borna 1 si iese din borna 2 iar
tensiunea u intre bornele 1 si 2 este u=v1-v2 unde v1 si v2 sunt potentialele bornelor 1 si 2. La n-
poli tensiunile se considera fata de o referinta arbitrara (de regula borna n). Atunci cand sagetile
curentului si tensiunii “ ies din aceeasi borna” u si i sunt asociate dupa regula de la receptoare. Daca
sagetile curentului si tensiunii nu “ ies din aceeasi borna” , u si i sunt asociate dupa regula de la
generatoare.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
4
Orice element de circuit este caracterizat de ecuatia de functionare Fk(i1,i2,. . .,in-1,u1,u2 , . . .
,un-1)=0, k=1, . . . ,n-1 care reprezinta dependenta dintre marimile la borne (curenti si tensiuni).
Ecuatiile Fk(•)=0 pot fi algebrice sau diferentiale in functie de fenomenul fizic modelat.
Elementele rezistive de circuit sunt caracterizate de ecuatii algebrice, iar elementele dinamice de
circuit sunt caracterizate de ecuatii diferentiale. Daca orice Fk (.) este functie liniara in raport cu
toate variabilele i1,i2,. . .,in-1,u1,u2 , . . . ,un-1 spunem ca elementul de circuit este liniar; daca
aceasta conditie nu este satisfacuta spunem ca elementul de circuit este neliniar .
Exista multipoli la care bornele pot fi grupate in perechi astfel incat o pereche de borne
(care formeaza o poarta) este parcursa de acelasi curent. Daca toate bornele sunt grupate in porti
multipolul este un multiport. Ecuatia de functionare a multiportului este de forma
Fk(i1,i2,. . . .,in,u1,u2 , . . . . ,un)=0 , k=1 , . . . . ,n.
Daca ecuatiile Fk(•)=0 sunt algebrice multiportul este rezistiv, iar daca cel putin o ecuatie este
diferentiala multiportul este dinamic. Multiportii pot fi liniari sau neliniari.
Intr-un circuit fizic bornele dispozitivelor sunt conectate intre ele prin conductoare de
legatura. Un circuit electric este format dintr-o multime de elemente de circuit ale caror borne
sunt conectate direct intre ele. Desi de regula acest model nu tine seama de caracteristicile
conductoarelor de legatura, atunci cand este necesar si aceste conductoare pot fi modelate prin
elemente de circuit. Locul in care sunt conectate cel putin doua borne este un nod; orice borna
izolata este considerata nod.
Teoria circuitelor se ocupa de analiza circuitelor electrice admitand ca sunt valabile
teoremele lui Kirchhoff, teorema transferului de putere pe la bornele elementelor de circuit si
relatiile intre tensiunile si curentii unui element de circuit. Aceste teoreme si relatii, considerate ca
axiome in teoria circuitelor electrice, pot fi demonstrate in teoria campului electromagnetic.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
5
1.2.Teoremele lui K irchhoff
Teorema lui Kirchhoff referitoare la tensiuni (Teorema II)
Intr-un circuit cu n noduri se alege in mod arbitrar un nod de referinta al carui potential se
considera nul (vn=0). Potentialele vk ale nodurilor 1,...,n-1 sunt functii de timp. Tensiunile intre
nodurile 1, ..., n-1 si nodul n sunt u V u V u Vn n n n n1 1 2 2 1 1= = =− −, ,..., .Circuitul se conside ra conex
(plecand dintr-un nod arbitrar se poate ajunge la oricare alt nod parcurgand o cale care trece numai
prin elemente de circuit).
Conform primei forme a teoremei lui Kirchhoff referitoare la tensiuni, tensiunea ukj(t) dintre nodul
k si nodul j este diferenta tensiunilor u t si u tkn jn( ) ( )
ukj (t) = ukn (t) -u jn (t) (1)
Rezulta imediat ca ujk (t) = ujn (t) - ukn (t)= - ukj (t).
Fie o multime de noduri care incepe si se sfarseste cu acelasi nod. Parcurgand aceasta
multime prin treceri succesive de la un nod la vecinul acestuia se poate defini o cale inchisa care
contine toate nodurile multimii. Aceasta multime se numeste multime de tip B.
De exemplu in multimea de tip B 1,2,3,..., k, 1 calea inchisa care pleaca din nodul 2 este
2,3,...,k,1,2 . Conform Teoremei a II-a a lui Kirchhoff se poate scrie:
u12 = u1n - u2n , u23 = u2n - u3n , ..., uk-1, k = uk-1n - u kn , u k 1 = ukn - u1n
Daca adunam aceste relatii se obtine: u1 2 + u2 3 + ... + uk - 1,k + uk1 ≡0
Generalizand se obtine o alta forma a teoremei a II-a a lui Kirchhoff:
Suma algebrica a tuturor tensiunilor care corespund caii inchise care contine toate nodurile unei
multimi de tip B este nula, pentru orice t.
ukk Bt
∈∈∈∈ ====( ) 0 (2)
In aceasta suma se iau cu + tensiunile orientate in sensul de parcurgere a buclei si cu -
tensiunile orientate in sens contrar acestuia.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
6
De exemplu, pentru multimea de tip B 1,2,3,4,1 din figura de mai jos avem: u12 + u23 -
u43 -u14 = 0
Am aratat mai inainte ca forma (1) implica forma (2). Se poate arata ca si forma (2) implica forma
(1). Fie multimea de noduri de tip B p,q,r,p pentru care upq +uqr+urp=0. Daca se alege vr=0 ,
tinand seama ca urp=-upr ,rezulta upq=upr- uqr. Deci formele (1) si (2) ale teoremei a II-a a lui
Kirchoff sunt echivalente.
Teorema lui Kirchhoff referitoare la curenti (Teorema I)
Suma algebrica a curentilor care intra si ies dintr-o suprafata inchisa S este nula, pentru
orice t.
i kk St
∈∈∈∈ ====( ) 0
In aceasta suma se iau cu + curentii care ies din S si cu - curentii care intra in S.
O suprafata inchisa S poate contine in interior unul sau mai multe noduri. De exemplu:
Cele doua teoreme ale lui Kirchhoff conduc la ecuatii algebrice liniare si omogene cu
coieficienti de valorile 0, 1, -1.
1.3.Elemente de topologie a circuitelor Topologia circuitelor se refera la modul de conectare a elementelor de circuit. Unui circuit
electric i se ataseaza un graf constituit dintr-o multime de noduri (1,2,...,N) legate intre ele prin
laturi (l1 , l2 ,...,lL). Daca laturile sunt orientate (au sens de referinta), graful este orientat. Graful
circuitului contine toate informatiile despre interconectarea elementelor de circuit, dar nu contine
informatii asupra dependentelor dintre uk (t) si ik (t).
Orice element de circuit poate fi reprezentat printr-un element al grafului:
-un dipol se reprezinta printr-o latura a grafului conectata intre cele doua noduri,
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
7
-un tripol si, generalizand, un n-pol se reprezinta astfel
Graful radial cu n noduri si n-1 laturi care reprezinta un n-pol contine numai laturi ale caror
tensiuni si curenti sunt marimi liniar independente intre ele. De exemplu, pentru tripol u12 = u13 -
u23 si i3 = -i1 -i2 iar tensiunea u12 si curentul i3 nu sunt asociate nici unei laturi din graf.
Modul de conectare a unui element multiport cu celelalte elemente de circuit este descris
exclusiv cu ajutorul variabilelor uk(t), ik(t), k=1,...,n deci graful multiportului este multiplu conex
(vezi figura). Un circuit care contine astfel de elemente poate avea un graf multiplu conex.
Asa cum se va vedea in continuare scrierea sistematica a ecuatiilor date de teoremele lui
Kirchhoff este formulata pentru circuite cu grafuri conexe. Este deci utila transformarea unui graf
multiplu conex intr-un graf conex pastrand aceleasi expresii pentru ecuatiile date de teoremele lui
Kirchhoff. Modul in care se face aceasta transformare este ilustrat printr-un exemplu. In figura de
mai jos
graful transformatorului (care este un diport) este desenat cu linie ingrosata. Tensiunile si curentii
raman aceiasi daca in graful circuitului se adauga latura 1’2’ (desenata cu linie punctata); in acest
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
8
fel graful circuitului devine conex. Curentul prin aceasta latura fiind nul, nodurile 1’ si 2’ se pot
suprapune.
Graful circuitului se obtine reprezentand toate elementele de circuit prin grafuri
interconectate intre ele la fel ca elementele carora le corespund. Acesta descrie proprietatile de
interconexiune ale circuitului si, daca este orientat, arata si sensurile curentilor si tensiunilor.
Exemplu Circuitului din figura ii corespunde graful alaturat. Sagetile de pe laturi indica sensurile
de
referinta ale curentilor si tensiunilor, uk si ik fiind asociate dupa regula de la receptoare. Graful are
N=5 noduri si L = 7 laturi.
Intr-un graf G cu N noduri si L laturi se definesc urmatoarele multimi de laturi:
1. O bucla este o multime de laturi care formeaza o cale inchisa; fiecare latura intra o singura data
in aceasta cale. In exemplul precedent B1= 1,5,4 si B2= 5,6,7 sunt bucle. Nodurile buclei
formeaza o multime de tip B. Scrisa pe o bucla, teorema a doua a lui Kirchhoff este
ukk buclat
∈∈∈∈ ====( ) 0.
2. Un arbore A este o multime de laturi care conecteaza intre ele toate nodurile din G fara sa
formeze bucle. In exemplul precedent A = 1, 3, 5, 6 este un arbore. Un graf poate avea mai
multi arbori. O latura a arborelui se numeste ramura. Se poate arata usor ca un arbore are N-1
laturi (prima latura uneste primele doua noduri iar pentru fiecare nod incepand cu al treilea se
introduce o noua latura in arbore ).
3. Un coarbore C este format din multimea laturilor grafului care nu sunt continute in arborele
corespunzator A. În exemplul precedent coarborele C = 2, 4, 7 corespunde arborelui A = 1,
3, 5, 6 . Numarul coarborilor este acelasi cu al arborilor. Un coarbore contine L-N+1 laturi
(L-(N-1)). O latura a coarborelui se numeste coarda.
4. Sistemul fundamental de bucle este multimea buclelor obtinute atasand la o coarda calea din
arbore care uneste nodurile coardei respective. Deci numarul buclelor fundamentale este L-N+1
(acelasi cu numarul coardelor).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
9
5. Sectiunea este o multime de laturi intersectate de o suprafata inchisa care are in interior cel
putin un nod. 1= 1,3,5,7 sau 2= 7,6 sunt doua sectiuni in exemplul precedent. Teorema
intai a lui Kirchhoff se scrie: i k tk tiune
( )sec∈∈∈∈ ==== 0
6. Sistemul fundamental de sectiuni este multimea sectiunilor pentru care fiecare suprafata k
intersecteaza cate o singura latura a arborelui . Deci numarul sectiunilor fundamentale dintr-un
graf este N-1 (acelasi cu numarul ramurilor) .
In exemplul precedent sistemul fundamental de bucle in raport cu arborele 1,3,5,6 este format
din L-N+1=3 bucle ( 1,4,3 , 3,2,5 , 5,6,7 ) si sistemul fundamental de sectiuni este format din
N-1=4 sectiuni ( 1,4 , 2,3,4 , 2,5,7 , 6,7 ).
Teorema a II-a a lui Kirchhoff se poate scrie pentru orice bucla ca de exemplu 1,5,2,4
( 04251 =+−− uuuu ). Aceasta ecuatie este diferenta celor corespunzatoare buclelor 1,4,3 si
3,2,5 ( 0,0 352341 =++=++ uuuuuu ), deci intre aceste trei ecuatii exista o dependenta
liniara. Asa cum se va arata in capitolul 2, o problema este corect formulata numai daca ecuatiile
sunt liniar independente intre ele. Intereseaza deci numarul maxim al ecuatiilor liniar independente
care se pot obtine din teorema a II-a a lui Kirchhoff si algoritmul de scriere al acestora.
Fiecare ecuatie scrisa pe o bucla fundamentala exprima tensiunea coardei in functie de
tensiunile unor ramuri. Rezulta ca dintre cele L tensiuni asociate laturilor grafului L-N+1 pot fi
exprimate in functie de celelalte N-1 care pot fi considerate independente (pot fi alese arbitrar daca
se iau in considerare numai ecuatiile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff). Numarul de tensiuni
independente nu poate fi mai mare de N-1 deoarece orice tensiune a unei coarde este o suma
algebrica de tensiuni ale ramurilor. Numarul de tensiuni independente nu poate fi mai mic de N-1
deaorece laturile arborelui nu formeaza bucle. Numarul de tensiuni independente fiind N-1 rezulta
ca numarul de tensiuni dependente este L-(N-1) deci numarul maxim de ecuatii liniar independente
este L-N+1. Aceste ecuatii se scriu pe buclele fundamentale. In exemplul precedent (L= 7, N= 5)
am ales arborele A= 1,3,5,6 si sistemul de bucle fundamentale este format din L-N+1=3 bucle si
anume: B1= 1,3,4 , B2= 3,5,2 , B3= 5,6,7 . Ecuatiile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff
(alegand drept sens de parcurgere al buclei sensul corzii din bucla) sunt: u4 +u1+u3=0, u2+u5+u3=0
si u5 + u6+u7=0.
Pentru grafurile simple sistemul de bucle independente se poate determina si pe o cale mult mai
simpla, fara a utiliza arborele. De exmplu, graful din figura cu L=6 si N=4 are L-N+1=3 bucle
independente.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
10
Acestea se pot determina considerand “ ferestrele” 1,2,3 , 6,3,4 si 2,6,5 si avand grija ca
fiecare bucla “noua” sa contina cel putin o latura “noua”. Pentru acelasi graf se poate considera si
sistemul 1,2,3 , 1,4,5 , 2,5,6 in care am subliniat laturile “noi” .
Problema numarului maxim de ecuatii liniar independente date de teorema I a lui Kirchhoff se
trateaza similar. Fiecare ecuatie scrisa pe o sectiune fundamentala exprima curentul ramurii in
functie de curentii unor coarde. Rezulta ca dintre cei L curenti asociati laturilor grafului N-1 pot fi
exprimati in functie de ceilalti L-N+1 care pot fi considerati independenti. Numarul de curenti
independenti nu poate fi mai mare de L-N+1 deoarece orice current al unei ramuri este o suma
algebrica a unor curenti ai coardelor. Numarul de curenti independenti nu poate fi mai mic de L-
N+1 deoarece laturile coarborelui nu formeaza sectiuni (orice suprafata Σ care defineste o sectiune
contine cel putin un nod in interior deci taie o ramura deoarece ramurile unesc toate nodurile).
Numarul de curenti independenti fiind L-N+1 rezulta ca numarul de curenti dependenti este N-1
deci numarul maxim de ecuatii liniar independente este N-1. Aceste ecuatii se scriu pe sectiunile
fundamentale.
Exemplu: pentru graful din figura (L=7, N=5) si pentru A = 1,3,5,6 sistemul de sectiuni
fundamentale este: 1= 1,4 , 2 = 4,3,2 , 3 = 2,5,7 , 4= 7,6 . Ecuatiile date de teorema I
a lui Kirchhoff sunt (considerand sens pozitiv pentru latura care iese din suprafata inchisa k si
sens negativ pentru
latura care intra in k): i1 -i4 =0 , -i2 -i3 +i4 =0 , i2+i5-i7 =0 , i7-i6=0.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
11
Asa cum se va arata in capitolul 2, in anumite probleme se impun restrictii cu privire la
apartenenta unor laturi la arbore sau coarbore. Daca nu exista astfel de restrictii sectiunile
independente pot fi determinate mult mai simplu ca N-1 “sectiuni de incidenta” ale caror suprafete
kΣ contin in interior un singur nod.
1.4. Scr ierea matr iceala a teoremelor lui Kirchhoff
Pentru scrierea matriceala a ecuatiilor date de teoremele lui Kirchhoff se defineste matricea
A de incidenta a laturilor la noduri care este o matrice cu L coloane si N-1 linii. Un element din
linia i si coloana j poate avea valoarea:
0 - daca latura j nu este conectata la nodul i,
+1 - daca latura j iese din nodul i,
-1 - daca latura j intra in nodul i.
Teorema I a lui Kirchhoff se scrie matriceal A ⋅I = 0 unde I este vectorul curentilor laturilor grafului It =[I1 , I 2 , . . . ,IL ]. Pentru exemplul precedent:
A =
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
+ −− − ++ + −
− +
Considerand vectorul U al tensiunilor laturilor grafului ( [ ,..., ])U U UtL= 1 in care
tensiunea Uk este asociata dupa regula de la receptoare cu curentul Ik, teorema a II-a a lui Kirchhoff
in forma (1) se scrie U=At ⋅ V unde V este vectorul potentialelor primelor N-1 noduri
(Vt=[V1,...,VN-1]) si VN=0.
Pentru exemplul considerat cu 05 =V rezulta:
−−
−−−
=
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
1100
1000
0100
0011
0010
0110
0001
V
V
V
V
U
U
U
U
U
U
U
1.5. Teorema lui Tellegen
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
12
Fie doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf orientat G cu N noduri si L laturi (sensurile
tensiunii si curentului se asociaza dupa regula de la receptoare pentru toate laturile). Daca [ I] (1) =
[ i1,i2,...,i l]t este vectorul curentilor din laturile circuitului 1 care satisfac teorema I a lui
Kirchhoff si [U] (2) = [u1,u2,...,ul]t este vectorul tensiunilor laturilor circuitului 2 care satisfac
teorema a II-a a lui Kirchhoff, atunci:
uk
t ik
tk
L ( ) ( ) ( ) ( )2 1 01
========
Demonstratie: Teorema lui Tellegen este o consecinta a teoremelor lui Kirchhoff. Trebuie sa
aratam ca [ U ] (2)T [ I ] (1) = 0. Daca [ I] (1) si [U] (2) satisfac teoremele lui Kirchhoff, atunci avem:
AI (1) = 0 si U (2) = At ⋅ V (2)
Rezulta: [U(2)]T[I(1)] = [At ⋅ V (2)] t ⋅ I (1)= V (2) t ⋅ A ⋅ I(1). Dar AI (1) = 0 deci U (2) t⋅ I(1) =0. Q.E.D.
Am demonstrat ca existenta celor doua teoreme ale lui Kirchhoff implica teorema lui
Tellegen. Se poate demonstra ca oricare dintre teoremele lui Kirchhoff impreuna cu teorema lui
Tellegen implica cealalta teorema a lui Kirchhoff si anume:
- daca tensiunile satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff ([C b l ] [U] = 0 ) si este satisfacuta
teorema lui Tellegen ([U] T[ I] = 0), atunci curentii I satisfac teorema I-a a lui Kirchhoff;
- daca curentii satisfac teorema I a lui Kirchhoff ([C l ] [ I] = 0) si este satisfacuta teorema
lui Tellegen ([U] T [ I] = 0), atunci tensiunile U satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff.
Demonstratiile acestor doua teoreme sunt similare cu demonstratia teoremei lui Tellegen.
1.6. Transferul de putere pe la bornle unui multipol
Fie un n-pol cu marimile la borne: potentialele vk(t) (k=1,2,...,n-1), vn(t)=0, curentii ik(t) si
tensiunile uk(t) considerate ca in figura. Se observa ca uk(t) si ik(t) (k=1,2,...,n-1) sunt asociate dupa
regula de la receptoare. Puterea instantanee absorbita de n-pol la momentul t este
p t uk t ik t
k
n( ) ( ) ( )====
====
−−−−
1
1
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
13
In cazul unui dipol puterea absorbita este pa(t)=u(t)i(t) u si i fiind asociate dupa regula de la
receptoare. Evident puterea debitata de acelasi dipol va fi pd(t)= -pa(t)=-u(t)i(t)=u’ (t)i(t), unde
u’ (t)= - u(t) este tensiunea asociata cu i(t) dupa regula de la generatoare.
Puterea absorbita de un n-port cu bornele 1,1’ ,2,2’ ,...,n,n’ se poate exprima numai in
functie de uk si ik. Intr-adevar daca vn’=0, pa(t)=v1(t)i1(t) + v1’(t)[-i1(t)]+ ... +vn(t)in(t)=
uk t ik tk
n( ) ( )
====
1
Intr-un circuit care contine elemente dipolare, multipolare si multiport produsul uk(t) ik(t)
reprezinta puterea p(t) absorbita sau debitata de latura k a grafului la momentul t. Separand puterile
debitate de laturile grafului care corespund unor surse (cu uk si ik asociate dupa regula de la
generatoare) de cele absorbite de laturile grafului care corespund unor consumatori (cu uk si ik
asociate dupa regula de la receptoare), teorerma lui Tellegen se poate scrie
pd t pa ttoti
consumatorii
toate
sursele
( ) ( )====
Aceasta relatie se numeste bilantul puterilor instantanee si reprezinta principiul conservarii
puterilor (principiul I al termodinamicii).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
15
CAPITOLUL 2
CIRCUITE REZISTIVE
2.1. Elemente de circuit
2.1.1. Elementele dipolare
Fie un element dipolar de circuit (EDC) pentru care definim multimea perechilor
admisibile tensiune-curent ca perechile de numere reale u (t), i(t) la momentul t de timp.
Rezistorul ideal este EDC pentru care multimea perechilor admisibile tensiune-curent
poate fi reprezentata printr-o curba in planul u-i. Daca curba este o dreapta care trece prin origine
rezistorul este liniar; in celelalte cazuri rezistorul este neliniar.
Ecuatia f(u,i)=0 a acestei curbe se numeste ecuatia constitutiva a rezistorului. Aceasta curba se
numeste caracteristica rezistorului. Daca rezistorul este invariabil in timp caracteristica se
pastreaza aceeasi pentru orice t. Daca rezistorul este variabil in timp caracteristica se modifica in
functie de t. Un rezistor liniar satisface legea lui Ohm: u (t ) = R•i(t) pentru orice t, unde u(t) este
tensiunea la borne, i(t) este intensitatea curentului si R este rezistenta. Daca u se masoara in
V(volt) si i in A
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
16
(amper) atunci R se masoara in Ω (ohm). Inversul rezistentei se numeste conductanta G = 1/R si
se masoara in S (siemens) (1 S=1Ω- 1).
Pentru un rezistor liniar cu R∈(0,+∞], valorile extreme ale lui R reprezinta urmatoarele situatii:
-rezistorul corespunzator mersului in gol la care curentul i este nul pentru orice valoare a
tensiunii (R=∞, G = 0)
- rezistorul corespunzator mersului in scurtcircuit la care tensiunea u este nula pentru orice
valoare a curentului (R = 0, G = ∞ )
Daca valoarea lui R este o functie de un parametru p , (u(t)=R(p)i(t)) rezistorul liniar este
parametric; de exemplu un contactor inchis-deschis se modeleaza printr-un rezistor parametric
avand R(p)= =∞=
deschispdaca
inchispdaca0
Modelarea unui dispozitiv printr-un rezistor liniar este de obicei o aproximatie a fenomenului real,
dispozitivele fiind de regula neliniare. Sunt multe exemple in care neliniaritatea joaca un rol
esential in functionarea dispozitivului:
- tubul cu neon
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
17
- jonctiunea pn (dioda semiconductoare ) cu caracteristica id Is eud uT==== −−−−(
/)1 unde Is si
uT sunt constante în raport cu ud si id
Daca se aproximeaza caracteristica neliniara cu segmente de dreapta, se obtine un rezistor cu
caracteristica liniara pe portiuni. De exemplu dioda ideala care este un model simplificat al diodei
semiconductoare .
-dioda Zener este o dioda care are pentru u<0 o zona in care se poate considera u≅const. si
este utilizata la stabilizarea tensiunii; in figura este data caracteristica si modelul ei liniarizat pe
portiuni
Daca rezistorul are o ecuatie constitutiva de forma i=î(u) se numeste rezistor controlat in
tensiune, iar daca aceasta ecuatie are forma u = û(i) rezistorul este controlat in curent
O alta clasificare a rezistoarelor se face tinand seama de semnul puterii absorbite:
-un rezistor este pasiv daca caracteristica sa se afla in cadranele I si III ( R ≥ 0 pentru un
rezistor liniar); puterea absorbita de rezistor la momentul de timp t este: p(t) = u(t) i(t) ≥0 (pentru
rezistorul liniar p(t)= R i2(t) = G u2(t) ), adica rezistorul pasiv absoarbe pentru orice t o putere
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
18
rezistoare pasive rezistoare active
pozitiva .
-un rezistor este activ daca caracteristica sa trece si prin cadranele II si/sau IV ( R < 0
pentru un rezistor liniar); puterea absorbita de un rezistor activ poate fi negativa (daca p<0
rezistorul activ cedeaza putere circuitului in care este conectat); rezistoarele active se utilizeaza in
schemele echivalente ale unor circuite electronice cum sunt oscilatoarele.
Sursele independente sunt elemente de circuit care modeleaza baterii si generatoare de
semnal.
Sursa ideala de tensiune este caracterizata de ecuatia constitutiva u(t) = eS(t), pentru -∞<
i(t)< ∞, unde eS(t) se numeste tensiunea electromotoare a sursei. Spunem ca sursa este ideala
deoarece tensiunea la borne nu depinde de intensitatea curentului prin sursa. Daca eS(t) nu depinde
de nici o marime (tensiune sau curent) a circuitului in care este conectata sursa, spunem ca avem o
sursa independenta.
Formele uzuale ale lui eS (t) sunt:
eS(t) = E = const. (sursa de tensiune continua)
eS(t) = E sinωt (sursa sinusoidala)
eS(t) =
E t T
O T t T
E T t T
0
2
2 3
≤≤≤≤ <<<<≤≤≤≤ <<<<≤≤≤≤ <<<<
:
.
(sursa de impulsuri)
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
19
Observatii:
(i) datorita alurii caracteristicii u - i se poate considera sursa independenta de tensiune
continua ca un rezistor neliniar (u(i) nu trece prin origine decat daca eS(t)= 0) controlat in curent
(caracteristica este o dreapta paralela cu axa curentilor);
(ii) o sursa reala de tensiune (baterie) contine o sursa ideala de tensiune in serie cu o
rezistenta interna Ri de valoare nenula; la sursa ideala se poate considera Ri = 0;
(iii) daca eS(t)=0, sursa ideala independenta de tensiune devine un rezistor cu R = 0
(scurtcircuit ); spunem in acest caz ca sursa este pasivizata.
Sursa ideala de curent este caracterizata de ecuatia constitutiva i(t) = iS(t) pentru -∞ < u(t)
< ∞ unde iS(t) se numeste curentul electromotor al sursei. Spunem ca sursa este ideala deoarece
intensitatea curentului prin sursa nu depinde de tensiunea la borne. Daca iS(t) nu depinde de nici o
marime (tensiune sau curent) a circuitului in care este conectata sursa, spunem ca avem o sursa
independenta.
Observatii:
(i) sursa ideala independenta de curent continuu poate fi considerata rezistor neliniar
controlat in tensiune;
(ii) o sursa reala de curent contine o sursa ideala de curent in paralel cu o rezistenta interna
Ri de valoare finita; la sursa ideala se poate considera Ri = ∞;
(iii) daca iS(t)=0 sursa independenta de curent devine un rezistor cu Ri= ∞ (gol); spunem in
acest caz ca sursa este pasivizata.
Puterea debitata de o sursa este p(t) = u(t)i(t) unde u (t) si i(t) sunt asociate dupa regula de
la generatoare. Daca sursa cedeaza putere circuitului in care este conectata avem p(t)>0, iar daca
sursa primeste putere de la acest circuit avem p(t)<0.
2.1.2. Elementele multipolare
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
20
Aceste elemente se utilizeaza pentru modelarea dispozitivelor cu mai multe borne de
acces.De exemplu tranzistorul bipolar sau tranzistorul MOS se modeleaza cu un element tripolar
(cu 3 borne), amplificatorul operational sau transformatorul se modeleaza cu un element
cuadripolar (cu 4 borne).
Tranzistorul bipolar (fabricat in tehnologia “bipolara” , care nu are nici o legatura cu
numarul de borne sau poli) poate fi modelat, pentru semnale lent variabile in timp, printr-un
rezistor tripolar cu bornele denumite baza (B), emitor (E) si colector (C). Tripolul poate fi
considerat ca diport deoarece intotdeauna se pot evidentia doua porti ca in figura (fiecare poarta
avand doua terminale parcurse de acelasi curent). In figura s-a reprezentat tranzistorul in
conexiunea emitor
comun (EC) pentru care poarta de intrare (B-E) si poarta de iesire (C-E) au borna de emitor
comuna. Un diport rezistiv poate fi caracterizat prin doua familii de curbe: caracteristicile de
intrare si caracteristicile de iesire. In conexiunea EC caracteristicile de intrare sunt iB=f1 (uBE, uCE)
iar cele de iesire sunt iC=f2 (uCE, iB). Desi ambele caracteristici sunt familii de curbe depinzand de
un parametru (parametrul este o marime asociata celeilate porti si anume pentru f1 este tensiunea
de iesire uCE, iar pentru f2 este curentul de intrare iB), caracteristicile de intrare nu depind practic
de uCE . Reprezentarea liniara pe portiuni a acestor caracteristici poate fi utila in multe situatii.
Si celelalte tipuri de tranzistoare pot fi modelate, in conditii asemanatoare, prin cuadripoli
diporti rezistivi.
Similar cu tripolul, pentru n-pol se pot determina n-1 porti care au borna n comuna.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
21
Pentru fiecare poarta se poate scrie o ecuatie de tipul yk=fk(x1,...,xn-1) unde yk este variabila de
iesire a portii k (uk sau ik) iar xk este variabila de intrare a aceleiasi porti (ik sau uk) pentru k=1,...,n-
1. Laturii k din graful radial al n-polului i se asociaza ecuatia yk=fk(x1,...,xn-1) deci pentru fiecare
latura din graf avem o ecuatie constitutiva.
Sursele comandate (dependente) sunt surse la care tensiunea sau curentul electromotor
depind de marimi ale circuitului in care este conectata sursa. O sursa comandata este un element
cuadripolar cu doua laturi: latura de comanda careia ii este asociata marimea de comanda si latura
comandata care contine sursa. Cele doua laturi trebuie sa faca parte din acelasi circuit. Exista patru
tipuri de surse comandate: sursa de tensiune comandata în tensiune (STCT), sursa de tensiune
comandata în curent (STCC), sursa de curent comandata în tensiune (SCCT) si sursa de curent
comandata în curent (SCCC). In figura au fost reprezentate surse comandate liniar pentru care
relatia intre tensiunea sau curentul electromotor si parametrul de comanda este liniara. Daca
aceasta relatie nu este liniara avem o sursa comandata neliniar (de exemplu in schema echivalenta
a unui tranzistor intervine o sursa de curent comandata neliniar in curent ic=f(iB)).
Amplificatorul operational este un circuit integrat care functioneaza ca o sursa de tensiune
comandata neliniar in tensiune. Acest circuit are doua borne de intrare care sunt notate cu + si –
intre
care se considera tensiunea 1u . Amplificatorul operational functioneaza fiind alimentat de catre
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
22
doua surse independente de tensiune continua conectate intre bornele +E, -E si masa. Curentii +i si
−i iau intotdeauna valori foarte mici si se poate considera 0=+i si 0=−i .
Tensiunea 2u intre borna de iesire si masa depinde neliniar de tensiunea 1u . Dependenta
intre 2u si 1u este desenata ca o caracteristica cu trei portiuni liniare. Pe portiunea I dependenta
intre 2u si 1u este liniara, panta acestei portiuni fiind foarte mare ≈ 6
1
2 10u
u. Deoarece
EuE +≤≤−2
si VE 153÷= rezulta ca pe aceasta portiune 1u este de ordinul microvoltilor deci
putem considera 01 =u . Pe portiunea II Eu +=2 si 01 >u ceea ce corespunde functionarii cu
iesirea “ in saturatie” . Pe portiunea III Eu −=2 si 01 <u (tot functionare cu iesirea “ in saturatie” ).
Amplificatorul operational este foarte des utilizat in proiectarea circuitelor electronice.
2.2. Ecuatiile circuitelor rezistive
Un circuit care contine rezistoare dipolare si multipolare, surse independente de tensiune si
surse independente de curent este un circuit rezistiv. Un circuit rezistiv este liniar daca dupa
pasivizarea tuturor surselor independente din circuit (se considera eSk= 0 si iSk=0) raman numai
elemente liniare de circuit; daca numai un singur element de circuit este neliniar, circuitul este
neliniar.
Ecuatiile unui circuit rezistiv al carui graf are L laturi si N noduri (vezi capitolul 1) sunt:
• N-1 ecuatii liniar independente intre ele date de teorema I a lui Kirchhoff,
• L-N+1 ecuatii liniar independente intre ele date de teorema a II-a a lui Kirchhoff,
• L ecuatii constitutive asociate fiecarei laturi din graful circuitului.
In total, rezulta 2L ecuatii, dintre care L (reprezentand teoremele lui Kirchhoff) sunt intotdeauna
liniare. Daca exista cel putin un element neliniar de circuit, atunci cel putin o ecuatie constitutiva
este neliniara. Pentru un circuit liniar toate ecuatiile sunt liniare.
Problema analizei unui circuit al carui graf are N noduri si L laturi se formuleaza astfel:
• se dau elementele de circuit si modul lor de interconectare
• se cer tensiunile si curentii corespunzatori fiecarei laturi din graful circuitului.
Elementele de circuit fiind date, inseamna ca se cunosc ecuatiile lor constitutive. Stiind cum sunt
interconectate elementele putem scrie teoremele lui Kirchhoff. Rezulta ca solutia acestei probleme
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
23
se determina prin rezolvarea sistemului celor 2L ecuatii ale circuitului in raport cu cele 2L
necunoscute uk, ik (k=1,...,L).
Numarul necunoscutelor (si al ecuatiilor) se poate reduce daca se considera numai curentii
prin rezistoare si sursele de tensiune si tensiunile surselor de curent. Se considera un circuit cu
elemente dipolare in care o latura completa are urmatoarea structura:
Putem scrie pentru fiecare latura completa: Rk ik - ek - uk = 0, uk = usk.
Ecuatiile circuitului sunt:
Din teorema I a lui Kirchhoff rezulta: i kk Nk∈∈∈∈
= iskk Nk∈∈∈∈
Din teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta: Rkk Bk
ik∈∈∈∈
- uskk Bk∈∈∈∈
= ekK Bk∈
Notand cu US vectorul tensiunilor surselor de curent, cu I1 vectorul curentilor rezistoarelor si
surselor de tensiune si cu S vectorul surselor (membrul drept al ecuatiilor de mai sus) rezulta
ecuatia matriceala:
1 1
1 1
10 0
0 1 1
L L
RK USS
I
L L
. , , . .
. .
. .
.± ±
=±
Daca circuitul contine si surse comandate liniar sistemul ecuatiilor circuitului se poate scrie intr-o
forma asemanatoare.
Pe baza ecuatiilor unui circuit rezistiv se pot formula si alte probleme. In probemele de
sinteza se dau anumite marimi de intrare si de iesire (tensiuni si/sau curenti) si se cer structura si
parametrii circuitului care are marimile de intrare si de iesire date. In problemele de localizare a
defectelor se dau anumite marimi (tensiuni si curenti) masurate la bornele de testare atat pentru
circuitul care functioneaza corect cat si pentru circuitul cu defecte si se cer care sunt elementele de
circuit defecte si cum s-au modificat parametrii acestor elemente. Aceste doua tipuri de probleme
nu se studiaza in acest curs.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
24
2.3. Analiza unor circuite simple
2.3.1. Circuite ser ie-paralel
2.3.1.1. Circuite liniare
a) Se considera un circuit cu doua borne de acces A si B format din n rezistoare si n surse
de tensiune legate in serie.
Se urmareste obtinerea unui circuit echivalent (care sa aiba la bornele A-B aceeasi tensiune UAB si
care sa absoarba acelasi curent I).
UAB = IRes - Ees ( A )
Din teorema I a lui Kirchhoff rezulta:
I1 = I2 = ... = In = I
Din teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta:
UAB = U1+U2 + ... + Un = R1 I1 - E1 + R2 I2 - E2 + ... + Rn In - En
UAB = I ( R1 + R2 + ... + Rn ) - ( E1 + E2 + ... + En ) ( B )
Din (A) si (B), prin identificare, se obtine:
Res = Rkk
n
====
1
Ees = Ekk
n
====
1
Daca toate tensiunile electromotoare sunt nule avem n rezistoare conectate in serie cu rezistenta
echivalenta Res data de suma rezistentelor tuturor rezistoarelor.
b) Se considera un circuit format din n rezistoare si n surse de tensiune legate in paralel. Se
urmareste determinarea unui circuit mai simplu echivalent cu acesta intre bornele A si B. Pentru
ambele circuite marimile la borne sunt UAB
si I.
Din teoremele lui Kirchhoff rezulta:
I = I1+ I2 + ... + In
UAB =U1 - E1 =U2 - E2 = ... = Un - En
Ι ==== ++++ ++++ ++++ ====
++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++U
R
U
R
U nRn
U A B R R Rn
E
R
E
R
EnRn
1
1
2
2
1
1
1
2
1 1
1
2
2
(A)
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
25
Dar I = UAB
Rep
Eep
Rep++++ (B)
Identificind coeficientii din (A) si (B) se obtine:
1 1
1Rep Rkk
n====
====
Ee p =
EkRkk
n
Rkk
n====
==== 1
1
1
Daca toate tensiunile electromotoare sunt nule avem n rezistoare conectate in paralel cu
conductanta echivalenta G ep =1/Rep data de suma conductantelor tuturor rezistoarelor.
c) Divizorul de tensiune imparte tensiunea U în doua parti U1 si U2 (U=U1+U2).
Calculand IU
R R====
++++1 2
, rezultaU UR
R R11
1 2
====++++
si U UR
R R22
1 2
====++++
.
d) Divizorul de curent imparte curentul I în doua parti I1 si I2 (I=I1+I2). Daca se scrie
U R I R I==== ====1 1 2 2 rezulta :
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
26
I2=IR
R R1
1 2+ si I1 = I
R
R R2
1 2+.
2.3.1.2. Circuite cu rezistoare neliniare
2.3.1.2.1. Caracter istici de intrare si de transfer
Fie doua rezistoare neliniare conectate in serie. Se cunosc caracteristicile fiecarui rezistor
f1(u1, i1)=0 si f2(u2, i2)=0 si se cere sa se determine caracteristica de intrare intre bornele A si B
f(u, i)=0. Ecuatiile care descriu conexiunea serie sunt i= i1=i2 si u=u1+u2. Cunoscand graficele
f1(u1, i1)=0 si f2(u2, i2)=0, curba f(u,i)=0 se poate determina prin puncte adunand tensiunile
corespunzatoare aceluiasi curent. Evident aceasta operatiune este posibila numai pentru multimea
curentilor admisibili pentru ambele rezistoare. Daca i1∈[I1m, I1M] si i2∈[I2m, I2M] (unde cu m
s-au notat curentii minimi si cu M s-au notat curentii maximi) atunci i∈[I1m, I1M]∩[I2m, I2M].
Pentru doua rezistoare conectate in paralel se procedeaza asemanator, adica ecuatiile
conexiunii paralel fiind u=u1=u2 si i=i1+i2, se aduna curentii corespunzatori aceleiasi tensiuni.
Aceasta operatiune se face pentru u∈[U1m, U1M]∩[U2m, U2M] semnificatiile marimilor fiind
similare cu conexiunea serie.
Exemplu: Se cere caracteristica de intrare f(u, i)=0 pentru circuitul din figura unde dioda Zener are
caracteristica alaturata. Se determina intai caracteristica de intrare f(i,u2)=0 a grupului paralel
dioda Zener - R2. Se deseneaza pe acelasi grafic caracteristicile diodei si rezistorului liniar R2.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
27
Domeniul tensiunilor admisibile pentru rezistor este (-∞, +∞) iar pentru dioda [0, 4V]. Deci u∈(-∞,
+∞)∩[0, 4]=[0, 4]. Pentru fiecare tensiune din acest interval se aduna curentii; i=iz+iR2. Pentru
u=0 iR2=0 si iz∈(-∞, 0] deci caracteristica grupului paralel se confunda cu caracteristica diodei
Zener. Pentru u∈(0, 4) iz=0 si i=iR2, deci caracteristica grupului urmareste caracteristica
rezistorului. Pentru u=4 iR2=2mA si iz∈[4, +∞) deci caracteristica grupului este identica cu
caracteristica diodei. Caracteristica grupului este desenata hasurat. Pentru a determina pe f(u, i)=0
se considera conexiunea serie intre R1 si grupul Dz-R2. Se deseneaza pe acelasi grafic
caracteristicile grupului Dz-R2 si R1
Domeniul curentilor admisibili pentru R1 este (-∞, +∞) iar pentru grupul Dz -R2 este tot (-∞, +∞)
deci i∈[-∞, +∞]. Pentru fiecare curent din acest interval se aduna tensiunile u=uR1+u2. Pentru i∈
(-∞, 0] u2=0 si u=uR1 deci caracteristica de intrare urmareste caracteristica lui R1 . Pentru i∈[0,
2mA] cele doua tensiuni variaza liniar cu i deci si u va avea o variatie liniara in raport cu i.
Cunoscand ce se intampla intr-un capat al intervalului (u=0, i=0) este suficient sa calculam pe u
intr-un singur punct din interval. De exemplu, pentru i=2mA uR1=2V si u2=4V deci u=2+4=6V.
Pentru i∈[2, +∞) u2=4V deci u=4+uR1. Si pentru acest interval este suficient sa calculam pe u
intr-un punct, de exemplu, pentru i=4mA u=4+4=8V. Caracteristica de intrare f(u,i)=0 este
desenata hasurat.
In multe aplicatii practice este nevoie de dependenta intre o marime de iesire si o marime
de intrare in circuit. Aceasta dependenta este o caracteristica de transfer. Sa determinam
caracteristica de transfer f( u2,u)=0 in circuitul din exemplul precedent. Folosind caracteristicile
determinate mai inainte, se observa ca f(u2,u)=0 se poate obtine eliminand pe i din caracteristicile
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
28
f(u2,i)=0 si f(u,i)=0. Eliminarea lui i se va face considerand intervalele de curent in care ambele
caracteristici se mentin pe o singura portiune liniara.
Pentru i∈(-∞, 0] u2=0 si u1∈(-∞, 0]. Desenam aceasta portiune a caracteristicii de transfer pe
graficul cu axele u2 si u1. Pentru i∈[ 0, 2mA] ambele tensiuni sunt proportionale cu i, deci sunt
proportionale intre ele. Este deci suficient sa le calculam pentru i=2mA : u2=4V , u=6V. Unim
acest punct cu originea, obtinand o noua portiune a caracteristicii de transfer. Pentru i∈[2, +∞)
u2=4V si u∈[6, +∞) deci portiunea corespunzatoare a caracteristicii de transfer este orizontala.
Caracteristica de transfer exprima foarte bine functia de stabilizator de tensiune a acestui circuit.
Intr-adevar pentru u1>6V u2 se mentine la valoarea de 4V.
2.3.1.2.2.Determinarea solutiei pr in metoda dreptei de sarcina
Fie circuitul din figura care contine un singur rezistor neliniar cu caracteristica din figurade mai
jos. Marimile u si i trebuie sa satisfaca teorema a doua a lui Kirchhoff si relatia constitutiva a
rezistorului neliniar. Teorema a doua a lui Kirchhoff se scrie Ri+u=E si poate fi reprezentata in
planul u-i printr-o
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
29
dreapta numita dreapta de sarcina. Pentru a desena dreapta de sarcina consideram punctele i=0
u=E si u=0 i=E/R. Valorile u si i se gasesc la intersectia caracteristicii rezistorului cu dreapta de
sarcina.
Observatii
i) similar se pot determina u si i in circuitul din figura in care se cunoaste caracteristica
rezistorului neliniar; in acest caz ecuatia dreptei de sarcina rezulta din prima teorema a lui
Kirchhoff.
ii) daca circuitul contine un singur rezistor neliniar atunci se construieste generatorul
echivalent al partii liniare (vezi paragraful 2.4.3.) si problema se reduce la rezolvarea unuia dintre
cele doua circuite prezentate in acest paragraf.
Metoda dreptei de sarcina se poate utiliza si pentru circuite cu elemente tripolare. Fie circuitul
din figura cu un tranzistor ale carui caracteristici sunt date alaturat.
Teorema a doua a lui Kirchhoff pe bucla I (uBE+RBiB=EB) este ecuatia dreptei de sarcina
la intrare. Trasarea acesteia permite determinarea valorilor iB0 si uBE0 (punctul static de
functionare la intrare).
Teorema a doua a lui Kirchhoff pa bucla II (uCE+RCiC=EC) este ecuatia dreptei de sarcina la
iesire. La intersectia acestei drepte cu caracteristica de iesire corespunzatoare lui iB0 se determina
iC0 si uCE0 (punctul static de functionare la iesire).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
30
2.3.2. Reprezentarea dipor tilor
2.3.2.1. Diporti liniar i
Ecuatiile unui diport liniar fara surse independente sunt ecuatii liniare
ik uk uk Rkik ek Rkjik ek kuk isk Gkuk isk Bkji j==== ==== ==== ==== ==== ==== ==== !" #$&%
0 0, , , , , ,α
Daca din sistemul format de aceste ecuatii se elimina toate necunoscutele, cu exceptia marimilor
u1, u2, i1, i2, rezulta doua ecuatii liniare care leaga intre ele marimile neeliminate. Daca din aceste
ecuatii se pot explicita u1 si u2 se obtine:
' (') *
+=
+=
2221212
2121111iriru
iriru
Spunem ca aceste ecuatii constituie reprezentarea controlata in curent a diportului deoarece
tensiunile sunt explicitate ca functii de curenti. Aceasta reprezentare nu exista intotdeauna (vezi
paragraful 2.4.3.3.). In forma matriceala reprezentarea controlata in curent se scrie u=R⋅i unde
uu
uR
r r
r ri
i
i====
+,-
./10 ====
+,-
./10 ====
+,-
./101
2
11 12
21 22
1
2.
Marimile r11, r12, r21, r22, pot fi interpretate astfel:
ru
ii
ui i11
1
12 0
12
01
1====
========
==== ====,
adica 11r este rezistenta de intrare in poarta 1 cu poarta 2 in gol.
ru
i i u i
i
121
2 1 0 1 1 0
2 1
==== ==== ==== ====
====
adica 12r este rezistenta de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 in gol.
ru
i i u i
i
212
1 2 0 2 2 0
1 1
==== ==== ==== ====
====
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
31
adica 21
r este rezistenta de transfer de la poarta 1 la poarta 2 cu poarta 2 in gol.
ru
i i u i
i
222
2 1 0 2 1 0
2 1
==== ==== ==== ====
====
adica 22
r este rezistenta de intrare in poarta 2 cu poarta 1 in gol.
Daca se expliciteaza curentii ca functii de tensiuni se obtine reprezentarea controlata in tensiune:
i g u g u
i g u g u1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
==== ++++
==== ++++
23 4 54
sau i=G⋅u unde
Gg g
g g====
678
9:1;11 12
21 22
Marimile g11, g12, g21, g22, se pot interpreta astfel:
gi
u u111
1 2 0==== ====
este conductanta de intrare in poarta 1 cu poarta 2 in scurtcircuit.
gi
u u121
2 1 0==== ====
este conductanta de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 in scurtcircuit.
gi
u u212
1 2 0==== ====
este conductanta de transfer de la poarta 1 la poarta 2 cu poarta 2 in scurtcircuit.
gi
u u222
2 1 0==== ====
este conductanta de intrare in poarta 2 cu poarta 1 in scurtcircuit.
Exista si reprezentari hibride in care se expliciteaza perechi tensiune curent
i
uH
u
isi
u
iH
i
u1
2
1
2
1
2
1
2
<=>
?@1A ====
<=>
?@1A
<=>
?@1A ====
<=>
?@1A'
Elementelor matricelor H si H' se pot interpreta similar cu cele ale matricelor R si G. Existenta
matricelor G, H, H' este studiata in paragraful 2.4.3.3.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
32
In studiul lanturilor de cuadripoli se folosesc reprezentarile de transmisie care utilizeaza in loc de
i2 marimea - i2.
u
iT
u
isi
u
iT
u
i2
2
1
1
1
1
2
2−−−−
BCD
EF1G ====
BCD
EF1G
BCD
EF1G ==== −−−−
BCD
EF1G'
In aceste reprezentari se expliciteaza ambele marimi da la aceeasi poarta. Interpretarea elementelor
matricelor T si T' este similara.
2.3.2.2.Dipor ti neliniar i
Reprezentarile diportilor neliniari sunt aceleasi cu ale diportilor liniari. In functie de
marimile explicitate exista:
- reprezentarea controlata in curent u1=û1(i1, i2), u2=û2(i1, i2)
- reprezentarea controlata in tensiune i1=î1(u1, u2), i2=î2(u1, u2)
- reprezentarile hibride: i1=î1(u1, i2), u2=û2(u1, i2) si u1=û1(i1, u2), i2=î2(i1, u2)
- reprezentarile de transmisie: u2=û2(u1, i1), -i2=-î2(u1, i1) si u1=û1(u2, -i2), i1=î1(u2, -
i2)
Existenta unei reprezentari este legata de existenta unei solutii unice a circuitului alimentat la porti
cu anumite tipuri de surse (vezi paragraful 2.4.3.3.).
2.4 Teoreme ale circuitelor rezistive
2.4.1. Existenta si unicitatea solutiilor
2.4.1.1. Circuite liniare
Se spune ca un circuit rezistiv are solutie unica daca ecuatiile acestuia sunt satisfacute
simultan de o multime unica de tensiuni si curenti. Exista circuite simple care nu au soluie sau au
un numar infinit de solutii. Circuitul din figura a are o solutie unica IE E
R=
−1 2 daca R≠0. Daca
R=0
se pot distinge doua situatii:
i) daca E1-E2=0 rezulta 0•I=0 si circuitul are o infinitate de solutii (orice I∈R )
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
33
ii) daca E1-E2≠0 rezulta 0•I≠0 si circuitul nu are solutie.
Circuitul din figura b are o solutie unica UIs Is
G====
++++1 2 daca G≠0. Daca G=0 se pot distinge doua
situatii:
i) daca Is1+Is2=0 rezulta 0•U=0 si circuitul are o infinitate de solutii (orice U∈R )
ii) daca Is1+Is2≠0 rezulta 0•U≠0 si circuitul nu are solutie.
Conditia de existenta si unicitate a solutiei unui sistem liniar de n ecuatii algebrice Ax=B
este detA≠0. Aceasta conditie exprima faptul ca ecuatiile sistemului sunt liniar independente intre
ele. Daca detA=0 exista doua situatii de interes practic:
i) rangul lui A este n-1 si determinantul minorului principal bordat cu coloana termenilor
liberi este nul; in acest caz una dintre ecuatii este liniar dependenta de celelalte si sistemul are o
infinitate de solutii
ii) rangul lui A este n-1 si determinantul minorului principal bordat cu coloana termenilor
liberi este nenul; in acest caz sistemul nu are solutie.
In circuitele simple prezentate mai inainte se observa:
i) in figura a, pentru R=0 avem detA=0 si exista o bucla formata numai din surse de
tensiune
ii) in figura b, pentru G=0 avem detA=0 si exista o sectiune formata numai din surse de
curent.
Aceste observatii pot fi generalizate pentru orice circuit format din rezistoare dipolare cu R>0 si
surse independente, conditiile de existenta si unicitate fiind exprimate in functie de parametrii
circuitului.
Teorema Un circuit liniar format din rezistoare dipolare liniare cu R>0 si surse
independente are o solutie unica pentru orice valori ale tensiunilor electromotoare si ale curentilor
electromotori daca si numai daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:
- nu exista nici o bucla formata numai din surse de tensiune
- nu exista nici o sectiune formata numai din surse de curent
Demonstratie: Necesitatea se demonstreaza prin reducere la absurd. Intr-o bucla de surse de
tensiune teorema a II-a a lui Kirchhoff da H Ek = 0. Daca Ek sunt astfel incat H Ek ≠ 0 circuitul nu
are solutie. Daca Ek sunt astfel incat H Ek = 0, atunci prin aceasta bucla poate circula un curent de
valoare arbitrara Ι care satisface ecuatia 0⋅I = 0 si circuitul are o infinitate de solutii. Un
rationament similar se poate face pentru o sectiune formata numai din surse de curent.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
34
Suficienta se demonstreaza considerand ca exista doua solutii (care corespund acelorasi valori ale
tensiunilor si curentilor electromotori) si aratand ca ele coincid. Fie ( )11,iu si ( )22 ,iu cele doua
solutii si fie 21 uuud −= si 21 iiid −= solutia diferenta care, datorita liniaritatii, satisface ecuatiile
circuitului pentru valori nule ale tensiunilor si curentilor electromotori
( )00 =−==−= skskdskkkdk IIIsiEEE . Conform teoremei lui Tellegen ∑ =laturiletoate
dkdkiu 0, dar
deoarece pentru surse dku sau dki sunt nuli, rezulta 02 =∑lerezistoare
toatedkk iR deci 0=dki prin toate
rezistoarele si sursele de curent. Inlocuind laturile cu 0=di cu rezistoare cu R=∞ raman numai
laturile scurtcircuit corespunzatoare surselor de tensiune cu 0=dE . Daca o astfel de sursa de
tensiune nu face parte dintr-o bucla de scurtcircuite atunci curentul prin sursa este nul. Deci
existenta lui 0≠d
i implica existenta buclei de surse de tensiune, si in consecinta 0=di si prin
sursele de tensiune. Similar se demonstreaza ca existenta tensiunilor 0≠d
u la bornele surselor de
current implica existenta sectiunilor formate numai din surse de current, deci 0=d
u si la bornele
surselor de current. In consecinta cele doua solutii ( )11,iu si ( )22 ,iu coincid deci suficienta este
demonstrata. Q.E.D.
Observatii:
i) doua surse de tensiune nu se pot conecta in paralel deoarece formeaza astfel impreuna o
bucla;
ii) doua surse de curent nu se pot conecta in serie deoarece formeaza astfel impreuna o
sectiune;
iii) conditiile exprimate in functie de parametrii circuitului se pot testa mult mai usor decat
conditia generala detA=0;
iv) in cazul unui circuit cu surse comandate se poate ca detA sa se anuleze pentru anumite
valori ale parametrilor de comanda, aceste valori fiind radacinile ecuatiei detA=0 cu parametrii
surselor comandate considerati drept necunoscute; determinarea unor conditii simple, exprimate in
functie de parametrii circuitului, pentru existenta si unicitatea solutiei unui astfel de circuit nu este
posibila;
v) un circuit liniar are sau o singura solutie, sau nici o solutie, sau o infinitate de solutii.
2.4.1.2. Circuite neliniare
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
35
Buclele de surse de tensiune, sectiunile de surse de curent si prezenta surselor comandate
influienteaza existenta si unicitatea solutiei unui circuit rezistiv neliniar in mod similar cu a unui
circuit liniar. In plus intervin conditii legate de forma caracteristicii rezistorului. Iata cateva
exemple.
Circuitul din fig. 1.a. in care dioda Zener are caracteristica din fig. 1.b. nu are solutie asa
cum rezulta din fig. 1.c. (caracteristica diodei Zener si cea a sursei de tensiune nu se intersecteaza).
Daca se introduce rezistorul de 1KΩ (fig. 1.d.) circuitul are o solutie determinata grafic in fig. 1.e.
fig.1
Circuitul din fig. 2.a. in care dioda de curent constant are caracteristica din fig. 2.b. nu are
solutie asa cum rezulta din fig. 2.c. (caracteristica diodei de curent constant si cea a sursei de
curent nu se intersecteaza). Daca se introduce rezistorul de 1KΩ (fig. 2.d.) circuitul are o solutie
determinata grafic in fig. 2.e.
fig.2
Circuitul din fig. 3.a. in care dioda tunel are caracteristica din fig. 3.b. are trei solutii
fig.3
determinate grafic in fig.3.c.
Din aceste exemple se remarca trei aspecte:
• existenta unei bucle formate numai din rezistoare controlate in curent care nu sunt controlate si
in tensiune (ca in fig.1.a.) poate conduce la inexistenta solutiei; solutia exista daca in acest tip
de bucla se introduce un rezistor pentru care u=±∞⇔i=±∞ (fig1.d.)
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
36
• existenta unei sectiuni formate numai din rezistoare controlate in tensiune care nu sunt
controlate si in curent (ca in fig.2.a.) poate conduce la inexistenta solutiei; solutia exista daca in
acest tip de sectiune se introduce un rezistor pentru care u=±∞⇔i=±∞ (fig.2.d.)
• rezistoarele cu caracteristici nemonotone favorizeaza aparitia solutiilor multiple (fig.3.a.)
Inainte de a formula conditiile de existenta si unicitate a solutiei vom defini anumite tipuri
de rezistoare importante in acest context.
Rezistorul crescator are o caracteristica “crescatoare” adica pentru orice doua puncte (u1,
i1), (u2, i2) de pe caracteristica avem ∆u•∆i =(u2 -u1)(i2 -i1)≥0. Rezistorul strict crescator are
∆u•∆i>0.
Rezistorul de tip U (de la “unbounded” - nemarginit) are o caracteristica cu proprietatile:
-daca este controlat in curent atunci lim ( )i
u i→→→→±∞±∞±∞±∞
==== ±∞±∞±∞±∞
-daca este controlat in tensiune atunci lim ( )u
i u→→→→±∞±∞±∞±∞
==== ±∞±∞±∞±∞
Rezistorul de tip H (de la “half-unbounded” - semi-nemarginit) are o caracteristica cu
proprietatea rezistorului de tip U numai pentru una dintre extremitati (spre +∞ sau spre -∞).
Vom enunta in continuare, fara a le demonstra, o teorema de existenta, o teorema de
unicitate si o teorema de unicitate.
Teorema 1(de existenta)
Fie un circuit format din surse independente si rezistoare dipolare pasive controlate in tensiune sau
in curent astfel incat variabila de control poate lua orice valoare intre -∞ si +∞. Acest circuit are un
numar impar de solutii daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:
i) orice bucla formata din rezistoare controlate in curent care nu sunt controlate si in
tensiune contine cel putin un rezistor de tip U sau doua rezistoare de tip H orientate diferit in raport
cu sensul de parcurgere al buclei,
ii) orice sectiune formata din rezistoare controlate in tensiune care nu sunt controlate si in
curent contine cel putin un rezistor de tip U sau doua rezistoare de tip H orientate diferit in raport
cu sensul de parcurgere al sectiunii.
Observatii:
i) avand un numar impar de solutii circuitul are cel putin o solutie; de exemplu dioda tunel
din circuitul din figura 3 este un resistor pasiv iar circuitul are trei solutii.
ii) restrictia cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune din teorema pentru
circuitele liniare este un caz particular al conditiei i (sursele de tensiune pot fi considerate
rezistoare neliniare controlate in curent care nu sunt controlate si in tensiune)
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
37
iii) restrictia cu privire la sectiunea formata numai din surse de curent din teorema pentru
circuitele liniare este un caz particular al conditiei ii (sursele de curent pot fi considerate rezistoare
neliniare controlate in tensiune care nu sunt controlate si in curent).
Conditiile de existenta si unicitate a solutiei unui circuit neliniar cu rezistoare crescatoare pot fi
formulate cu referire la existenta si unicitatea unor circuite liniare.
Teorema 2 (de existenta si unicitate).
Fie un circuit N format din surse independente si rezistoare crescatoare controlate in tensiune sau
in current astfel incat variabila de control poate lua orice valoare intre ∞− si ∞+ . Consideram
circuitul N’ obtinut prin inlocuirea rezistoarelor neliniare cu rezistoare liniare cu rezistentele
0>kR . Daca N’ are o solutie si numai una pentru orice valori kR si in N’ exista o pereche arbore-
coarbore astfel incat rezistoarelor controlate in current din N le corespund rezistoare din arbore in
N’ si rezistoarelor controlate in tensiune din N le corespund rezistoare din coarbore in N’ , atunci N
are o solutie si numai una.
Observatii
i) conditiile de existenta si unicitate a solutiei privitoare la sursele independente sunt
aceleasi ca la un circuit liniar;
ii) spre deosebire de teorema precedenta, conditiile sunt strict topologice (nu exista conditii
legate de forma caracteristicilor rezistoarelor neliniare); ca urmare observam ca un circuit cu
rezistoare crescatoare se comporta similar cu un circuit cu rezistoare liniare din punct de vedere al
existentei si unicitatii solutiei.
Teorema 3 (de unicitate)
Fie un circuit format din rezistoare dipolare crescatoare controlate in tensiune sau in curent astfel
incat variabila de control poate lua orice valoare intre -∞ si +∞. Daca exista, solutia acestui circuit
este unica daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:
i) orice bucla formata din rezistoare controlate in curent contine cel putin un resistor controlat
in tensiune
ii) orice sectiune formata din rezistoare controlate in tensiune contine cel putin un rezistor
controlat in current
Observatii:
i) restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si la sectiunea formata
numai din surse de curent sunt cazuri particulare ale conditiilor i) si ii),
ii) teorema nu asigura existenta solutiei, de exemplu circuitele din fig.1.a. si fig.2.a. satisfac
condiriile teoremei dar nu au solutie,
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
38
iii) un rezistor strict crescator poate fi considerat controlat atat in tensiune cat si in current;
un circuit format din surse independente si rezistoare strict crescatoare satisface conditiile
teoremelor 1, 2 si 3 daca sunt satisfacute restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de
tensiune si sectiunea formata numai din surse de current, deci are o solutie si numai una.
2.4.2. Propr ietati ale circuitelor neliniare si liniare
2.4.2.1. Teorema substitutiei
Se observa usor ca daca se substituie rezistorul sR din circuitul I cu o sursa de tensiune cu
tensiunea la borne egala cu tensiunea rezistorului (circuitul II) celelalte marimi din curent nu se
modifica. Acealsi efect se obtine daca se substituie rezistorul sR cu o sursa independenta de curent
cu curentul egal cu curentul rezistorului (circuitul III).
Aceasta proprietate poate fi generalizata imediat pentru orice circuit rezistiv liniar cu solutie unica
format din rezistoare dipolare si surse independente. In continuare se formuleaza o teorema pentru
circuite resistive neliniare care se poate extinde si la circuitele dinamice.
Teorema Fie un dipol rezistiv RN conectat cu un dipol SN , care poate fi un circuit dinamic
(Circuitul A). Se pot face urmatoarele substitutii fara a se modifica nici o tensiune si nici un curent
in circuitul RN :
1. SN poate fi substituit cu o sursa de tensiune cu tensinea electromotoare )(ˆ tu ( )(ˆ tuu = este
solutia circuitului A) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:
i) circuitul A are o solutie unica )(ˆ tuu =
ii) circuitul B are solutie unica
2. SN poate fi substituit cu o sursa de curent cu curentul electromotor )(ˆ ti ( )(ˆ tii = este solutia
circuitului A) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
39
iii) circuitul A are o solutie unica )(ˆ tii =
iv) circuitul C are solutie unica.
Demonstratie Considerand SN ca un element de circuit, ecuatiile circuitului A si B sunt aceleasi
cu exceptia ecuatiei constitutive a subcircuitului conectat la bornele RN . Deci inlocuind in
ecuatiile circuitului A 0),,( =tiuf cu )(ˆ tuu = obtinem ecuatiile circuitului B. Evident o solutie a
circuitului B este solutia circuitului A. Cum prin ipoteza circuitul B are o solutie unica rezulta ca
prin substitutia facuta nu se modifica nici o tensiune si nici un current din RN . O demonstratie
similara se poate face pentru substituirea lui SN cu o sursa de curent Q.E.D.
Observatii:
i) Chiar daca circuitul A are solutie unica, daca B nu are solutie unica teorema nu este
valabila. Fie, de exemplu, RN un resistor neliniar controlat in curent si SN un circuit liniar activ.
Caracteristica lui RN si dreapta de sarcina corespunzatoare lui SN se intersecteaza intr-un singur
punct deci circuitul A are solutie unica. Inlocuind pe SN cu sursa de tensiune electromotoare E
circuitul B are trei solutii deci teorema nu este valabila.
ii) Teorema se poate extinde pentru un multiport rezistiv RN la portile caruia sunt conectati
dipoli (eventual dinamici si/sau neliniari).
In conditii similare cu cele din enuntul teoremei nSS NN ,...,
1 se pot inlocui fiecare cu cate o sursa
de tensiune sau de curent. Prin aceste substitutii se poate simplifica analiza unui circuit de acest
tip.
iii) Teorema se poate extinde si pentru circuitele dinamice cu completarea ca solutia unica
corespunde in plus si unei stari initiale date.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
40
2.4.2.2. Teorema reciprocitatii
Teorema Fie un circuit rezistiv liniar N (fig.1) format din rezistoare dipolare cu R>0 si o
singura sursa independenta de tensiune in latura k si fie curentul i(1)j prin latura j. Daca sursa de
tensiune electromotoare E se conecteaza in latura j (fig.2) atunci i(1)j = i(2)
k
Demonstratie: Se scrie teorema lui Tellegen pentru cele doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf.
Daca curentii ik(1) satisfac teorema I a lui Kirchhoff in 1 si tensiunile uk
(2) satisfac teorema a II-a a
lui Kirchhoff in 2 atunci ikk
Luk
( ) ( )1
1
2 0====I
⋅⋅⋅⋅ ==== si similar ikk
Luk
( ) ( )2
1
1 0====J
⋅⋅⋅⋅ ==== sau
0)2()1()2(0)2( =⋅K
+⋅+⋅q
iqq
uj
ik
iE (1)
0)1()2()1()1(0 =⋅L
+⋅+⋅q
iqq
uj
iEk
i (2)
dar qiqRqu )1()1( = si u q Rqi q( ) ( )2 2= si deci u qi q Rqi qi q u qi q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1= = Daca se
scade relatia (1) din relatia (2) se obtine ij
ik
( ) ( )1 2==== Q.E.D.
Observatii:
i) se pot demonstra proprietati similare considerand in loc de sursa de tensiune o sursa de
curent si in loc de curentul printr-o latura cu R=0 tensiunea la bornele unei laturi cu R=∞
ii) considerand E=1 rezulta simetria conductantelor de transfer (gjk=gkj)
iii) considerand in loc de 11 == SIE rezulta simetria rezistentelor de transfer
2.4.2.3. Teorema conservar ii puter ilor
In paragraful 1.6 s-a aratat ca pentru orice circuit suma puterilor debitate de toate sursele
este egala cu suma puterilor absorbite de toti consumatorii. Cum intr-un circuit rezistiv
consumatorii de putere sunt rezistoare rezulta
Teorema Intr-un circuit rezistiv pentru orice moment de timp puterile se conserva:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
41
pd t pa ttoate
rezistoarele
toate
sursele
( ) ( )==== MM .
Puterea absorbita de un rezistor este pR=u(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la
receptoare. Puterea debitata de o sursa de tensiune este pE(t)=u(t) i(t)=es(t) i(t) unde u(t) si i(t)
sunt asociate dupa regula de la generatoare. Puterea debitata de o sursa de curent este pI(t)=u(t). i(t)
=u(t) Is(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare.
Observatii:
i) demonstratia fiind facuta pe baza teoremei lui Tellegen, puterile se conserva atat in
circuitele liniare cat si in cele neliniare
ii) orice solutie a unui circuit rezistiv satisface teorema conservarii puterilor (bilantul
puterilor); in consecinta bilantul puterilor este un instrument de verificare a solutiei problemei
analizei unui circuit.
2.4.2.4 Teorema superpozitiei
In orice sistem a carui functionare este descrisa de ecuatii liniare se poate formula o
teorema de superpozitie.
Teorema Intr-un circuit liniar cu mai multe surse independente care are o solutie si numai
una orice curent sau tensiune xi asociat laturii i a grafului circuitului se poate calcula ca fiind suma
algebrica a curentilor sau tensiunilor ikx( ) produse de fiecare sursa independenta luata separat,
atunci cand celelalte surse independente sunt pasivizate:
xi i
kxk
= N ( )
Demonstratie: Circuitul liniar avand un graf cu L laturi este caracterizat de un sistem de 2L ecuatii
liniare AX = B, unde: X= [ U1,...,UL, I1,....,IL] t este vectorul necunoscutelor si B este vectorul
surselor. Un element al lui B este o suma de Ek sau o suma de Isk. Vectorul B poate fi scris ca o
suma de vectori care corespund cate unei surse independente conectate in circuit, celelalte surse
independente fiind pasivizate: B=B1 + B2 + ... + Bn. Daca A este nesingulara, X = A-1 B.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
42
Fie X1,X2,....,Xn solutiile corespunzatoare vectorilor B1, B2,....,Bn: X1 = A-1 B1, X2 = A-1 B2, ...,
Xn= A-1 Bn. Rezulta: X = X1 + X2 + ... + Xn = A-1 (B1 + B2 + ... + Bn ) = A-1 B Q.E.D.
Observatii:
i) sursa de tensiune se pasivizeaza prin inlocuirea cu un rezistor avand R=0 (scurtcircuit),
ii) sursa de curent se pasivizeaza prin inlocuirea cu un rezistor avand R=∞ (gol),
iii) din X=A-1 B rezulta ca raspunsul circuitului in momentul de timp t depinde numai de
valorile parametrilor surselor independente in acelasi moment t (ek(t) si isk(t) ), deci un circuit
rezistiv nu are memorie,
iv) desi in general nu este eficient sa se calculeze raspunsul unui circuit considerand pe
rand raspunsul corespunzator fiecarei surse independente, exista situatii in care teorema
superpozitiei poate usura efortul de calcul. De exemplu se cere sa se calculeze tensiunea intre
nodurile 1 si 2 produsa de sursa de 1A conectata intr-o retea bidimensionala infinita de rezistoare
de 1Ω:
Se inlocuieste sursa de 1A cu doua surse conectate ca in figura cu nodul de potential nul de la
infinit. Fiecare astfel de sursa produce un curent de 1/4 A in latura 12 (din motive de simetrie
ambii curenti se impart in patru parti egale). Ca urmare curentul din latura 12 este 1/4+1/4=1/2 A.
2.4.2.5 Teorema transferului maxim de putere
Se considera o sursa de tensiune cu tensiunea electromotoare E si rezistenta interna Ri, care
debiteaza pe un rezistor cu rezistenta R. Se cere valoarea lui R astfel incat rezistorul sa absoarba
puterea maxima.
Curentul prin circuit este: IE
R Ri
=+
. Puterea debitata de sursa este: P EIE
R Rdebi
= =+
2
Puterea absorbita de rezistor este ( )
P RIRE
R RR
i
= =+
22
2
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
43
Ecuatia ( )
( ) ( )[ ] ( )∂∂P
R
E
R RR R R R R
E
R RR RR
i
i i
i
i=+
+ − + =+
− =2
2
22
2 0( ) are solutia pozitiva R=Ri.
R=Ri este un punct de maxim deoarece pentru R<Ri ∂∂P
RR >0 si pentru R>Ri
∂∂P
RR <0. Am
demonstrat deci urmatoarea
Teorema O sursa de tensiune cu parametri E si Ri transfera o putere maxima unui rezistor
cu rezistenta R conectat la bornele ei daca R=Ri. In acest caz: PE
Rdeb =2
22 si P
E
RR =2
4 iar
randamentul transferului de putere este η ==== ====P
PR
deb
0 5, .
Observatii:
i) daca R→∞, atunci η→1 dar PR→0,
ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Ri, rezistorul
absoarbe puterea maxima tot daca R=Ri.
2.4.3. Teoreme de echivalenta ale circuitelor liniare
2.4.3.1. Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol
Un dipol rezistiv liniar contine rezistoare liniare, surse independente si surse comandate
liniar si are bornele (polii) A si B. Se considera ca doi dipoli rezistivi sunt echivalenti daca au
aceeasi comportare la borne descrisa de relatia intre uAB si iAB. Teoremele generatoarelor
echivalente determina dipolii cu structura cea mai simpla echivalenti unui dipol dat.
Teorema (Thevenin) Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol rezistiv liniar este
format dintr-o sursa cu tensiunea electromotoare egala cu tensiunea UAB0 intre bornele dipolului
la mersul in gol in serie cu rezistenta interna egala cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele
dipolului pasivizat.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
44
Demonstratie: Din sistemul de ecuatii algebrice liniare ale circuitului se elimina toate
necunoscutele cu exceptia UA B si IA B. Se obtin astfel ecuatiile liniare:
UAB = RABIAB , aUAB + bIAB = c (A)
unde a, b, c sunt constante in raport cu UAB si IAB . Daca a≠0 rezulta: UAB + b
aIAB
c
a==== .
Daca IAB = 0 (mersul in gol la bornele AB) atunci UAB = UAB0 = c
a (tensiunea intre A si B la
mersul in gol). Ecuatia devine: UAB + b
aIAB = UAB0
Daca circuitul este pasivizat (fiecare sursa independenta de tensiune se inlocuieste cu un rezistor
cu R=0 si fiecare sursa de curent se inlocuieste cu un rezistor cu R=∞, iar sursele comandate
raman nemodificate), atunci UAB0=0 si U
IRAB
ABAB−−−−
==== 0 = b
a unde RAB0 este rezistenta echivalenta
intre bornele A si B a circuitului pasivizat (rezistenta de intrare intre bornele A si B). Rezulta
UAB+ RAB0IAB =UAB0, care este ecuatia de functionare a circuitului echivalent din enuntul teoremei.
Q.E.D.
Daca circuitul pasivizat este format din rezistoare conectate in serie si in parallel, RAB0 se
determina foarte simplu aplicand formulele din paragraful 2.3.1.1. Daca acest circuit nu este serie-
paralel si/sau contine surse comandate, pentru calculul lui RAB0 se aplica intre A si B o tensiune de
1V, se calculeaza curentul corespunzator I cu o metoda oarecare si RIAB01==== , sau se aplica un
curent de 1 A si se calculeaza tensiunea corespunzatoare U si RU
AB0 1====
Observatii:
i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza a≠0 deci generatorul echivalent de tensiune exista
daca RAB0 are o valoare finita; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta unei solutii unice
pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de curent cu valoare Is
arbitrara, intr-adevar daca ∞<0ABR acest circuit are o solutie unica SII = pentru orice SI si
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
45
reciproc ca acest circuit sa aiba o solutie unica pentru orice 0≠= SII trebuie ca ∞<0ABR .
ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta
intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un
rezistor liniar cu rezistenta RAB ); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de tensiune raman
aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar,
iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se
poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de tensiune al partii
liniare.
2.4.3.2. Generatorul echivalent de curent al unui dipol
Teorema (Norton) Generatorul echivalent de curent al unui dipol rezistiv liniar este format
dintr-o sursa cu curentul electromotor egal cu curentul IABsc de scurtcircuit al dipolului in parallel
cu rezistenta interna egala cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele dipolului pasivizat.
Demonstratia este similara cu cea a teoremei generatorului echivalent de tensiune.
Observatii:
i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza b≠0 (din ecuatia A) deci generatorul echivalent de
current exista daca RAB0 are o valoare nenula; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta unei
solutii unice pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de tensiune cu
valoare E
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
46
arbitrara; intr-adevar daca 00 >ABR acest circuit are o solutie unica Eu = pentru orice E si
reciproc ca acest circuit sa aiba o solutie unica pentru orice 0≠E trebuie ca 00 >ABR .
ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta
intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un
rezistor liniar cu rezistenta RAB); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de curent raman
aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar,
iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se
poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de curent al partii liniare.
Aplicatie: echivalenta intre o sursa reala de tensiune si o sursa reala de curent.
Sursele reale de tensiune si curent sunt formate din surse ideale si rezistente interne Ri, R’i pozitive
si de valoare finita. Aplicand teorema generatorului echivalent de curent sursei reale de tensiune
rezulta R’i=Ri si IS =
E
Ri
. Daca Ri=0 sursa de tensiune nu se poate transforma in sursa de curent
(rezulta Is=∞), iar daca R’ i= ∞ sursa de curent nu se poate transforma in sursa de tensiune (rezulta
E=∞).
Generatoarele echivalente nu exista pentru orice circuit. Iata cateva exemple.
-circuitul
are la borne U=0 si I=0 deci are RAB0=0/0 si nu admite nici unul dintre generatoarele echivalente;
acest circuit admite ca pereche tesiune curent numai U=0, I=0 si se numeste nulator.
-daca RAB0=0 exista numai generatorul echivalent de tensiune format din sursa ideala de
tensiune UAB0 si care nu poate fi transformata intr-un generator de curent.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
47
-daca RAB0=∞ exista numai generatorul echivalent de curent, format din sursa ideala de
curent IABSC si care nu poate fi transformata intr-un generator de tensiune.
Pentru a evita calculul inutil al UAB0 sau IABSC este preferabil sa se calculeze mai intai RAB0. Daca
RAB0=0 se calculeaza apoi UAB0 iar daca RAB0=∞ se calculeaza IABSC. Daca 0<RAB0<∞ se poate
calcula UAB0 sau IABSC.
Exemplu: sa se calculeze elementele unui generator echivalent pentru circuitul din figura în raport
cu
bornele A si B (RAB=2Ω). RAB0 se calculeaza pentr circuitul pasivizat. RAB0=1/I, rezulta I1 =-1A,
I2=7/2A, I=9/2A si RAB0 =2/9Ω. Calculul lui UAB0 se face in circuitul:
rezulta 3I1=5-6I1, I1=5/9 si UAB0=5 -5/9=40/9V.
Deci generatorul echivalent este:
si curentul prin rezistorul de 2Ω se poate calcula astfel: I AAB ====++++
====40 9
2 9 22
/
/
2.4.3.3. Schemele echivalente ale diportilor
Fie diportul liniar N la portile caruia sunt conectati uniportii N' si N", in general neliniari.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
48
Presupumen ca sunt satisfacute conditiile de valabilitate a teoremei substitutiei adica circuitul
format din N, N’ si N” are solutie unica si circuitul
are o solutie si numai una pentru orice valori is1, is2 ale parametrilor surselor independente
conectate la porti. Aceasta solutie contine si pe u1 si u2. Rezulta ca u1 si u2 pot fi explicitate ca
functii de is1, is2, sursele independente din N si ceilalti parametri ai circuitului N.
Din paragraful 2.3.2.1. se stie ca daca sursele independente din N sunt pasivizate atunci
u1=r11i1+r12i2 si u2=r21i1+r22 i2 unde i1=is1, i2=is2. Daca se considera si sursele independente
din N, N fiind liniar, conform teoremei superpozitiei avem: u1=r11i1+r12i2+e1,
u2=r21i1+r22i2+e2 unde e1 si e2 reprezinta contributiile surselor independente din N. Aceste
relatii corespund urmatoarei scheme echivalente:
Similar se poate arata ca daca circuitul liniar N are o solutie si numai una pentru orice e1 si
e2
atunci exista urmatoarea schema echivalenta a lui N.
care corespunde relatiilor i1=g11u1+g12u2+is1, i2=g21u1+g22u2+is2
Daca circuitul liniar N are o solutie si numai una
pentru orice valori e1 si is2 atunci exista schema echivalenta
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
49
corespunzatoare relatiilor i1=h11u1+h12i2+is1, u2=h21u1+h22i2+e2.
Observatii:
i) un circuit oarecare poate avea toate aceste scheme echivalente sau numai unele dintre ele,
ii) schemele echivalente ale aceluiasi circuit sunt echivalente intre ele,
iii) aceste scheme au un numar minim de elemente si se utilizeaza cand este nevoie de un
circuit echivalent cat mai simplu.
2.5. Analiza circuitelor rezistive
2.5.1. Introducere
Cu notatiile din paragraful 1.4 ecuatiile unui circuit rezistiv al carui graf are N noduri si L
laturi sunt:
∑∈
=lafundamentabuclak
ku 0 (L-N+1ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff)
∑∈
=lafundamentatiunek
kisec
0 (N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff)
fk uk ik( , ) ,==== 0 (L ecuatii constitutive ale rezistoarelor si surselor independente)
deci in total 2L ecuatii.
Problema analizei unui circuit rezistiv (formulata in paragraful 2.2) se rezolva cu urmatorul
algoritm:
1. Se aleg sensuri arbitrare pentru curentii din laturi
2. Se determina sensul tensiunii la bornele fiecarei laturi prin asociere cu sensul curentului dupa
regula de la generatoare (pentru surse) sau dupa regula de la receptoare (pentru rezistoare)
3. Se scriu ecuatiile circuitului
4. Se rezolva ecuatiile circuitului
5. Se face verificarea solutiei cu bilantul puterilor
Exemplu Sa se faca analiza circuitului din figura si sa se verifice solutia cu bilantul puterilor
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
50
Necunoscutele sunt I I I I U1 2 3 4, , , , . N=3 si se scrie teorema I a lui Kirchhoff in nodurile 1 si 2:
I I I I I I1 2 3 1 2 40 6 0+ − = − + =, .
L=5, deci numarul buclelor independente este L-N+1=3. Se scrie teorema a doua a lui Kirchhoff pe
buclele I, II, III cu sensurile de parcurgere din figura:
.04
1,04
13
22
1,53
21
1 =⋅+=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ IUIIIII
Rezolvand sistemul de cinci ecuatii cu cinci necunoscute rezulta:
I A I A I A I A U V1 2 3 41 1 2 5 5= = = = − =, , , , .
P W
P W
deb
abs
= ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑
∑
5 1 5 6 35
1 1 2 2 1 1 1 5 352 2 2 2 .
Daca circuitul este rezolvat de un operator uman este evident ca scrierea de la inceput a
unui numar mai mic de ecuatii usureaza foarte mult calculul. Exista doua procedee care realizeaza
acest deziderat: metoda potentialelor nodurilor si metoda curentilor ciclici. Considerand drept
necunoscute potentialele a N-1 noduri (VN=0) se pot scrie ecuatiile prezentate in paragraful 2.5.2.
Considerand drept necunoscute curentii fictivi care circula prin L-N+1 bucle fundamentale
(curentii ciclici) se pot scrie ecuatiile prezentate in paragraful 2.5.3. Ecuatiile potentialelor
nodurilor se pot scrie pentru circuite liniare si pentru circuite cu elemente neliniare controlate in
tensiune. Ecuatiile curentilor ciclici se pot scrie numai pentru circuite liniare. Tinand seama si de
faptul ca daca gradul de complexitate al circuitului trece de o anumita limita (numarul mediu de
laturi conectate la un nod este mai mare decat patru) avem N-1 < L-N+1 rezulta ca metoda
potentialelor nodurilor este mai utila decat metoda curentilor ciclici.
Chiar daca circuitul este liniar, daca numarul necunoscutelor creste peste o anumita limita
analiza nu se poate face decat cu un program de calcul numeric. Daca circuitul este neliniar de
regula nu exista solutie analitica deci calculul numeric este indispensabil. Metodele numerice de
rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice liniare (eliminarea Gauss, descompunerea LU, metoda
iterativa Gauss-Seidel etc.) nu se preteaza la interpretari utile in termenii parametrilor circuitului.
Spre deosebire de acestea, utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
51
neliniare poate fi inteleasa mult mai usor facand apel la circuitul caruia ii corespund ecuatiile;
acesta este subiectul paragrafului 2.5.4.
La prima vedere reducerea numarului de necunoscute (prin metoda potentialelor nodurilor
sau prin metoda curentilor ciclici) ar fi un avantaj si pentru calculele numerice. Matricea
sistemului de ecuatii ale unui circuit liniar este rara (are putine elemente diferite de zero). Aplicand
procedee de rezolvare specifice matricelor rare s-a constatat ca timpul de calcul este aproximativ
acelasi daca se folosesc ecuatiile lui Kirchhoff sau ecuatiile potentialelor nodurilor. Matricea
ecuatiilor lui Kirchoff fiind de dimensiuni mai mari dar mai rara decat matricea conductantelor
nodurilor, iar metoda de matrice rare lucrand numai cu elementele nenule ale matricei, numarul de
operatii este aproxiamtiv acelasi pentru cele doua metode.
2.5.2. Scr ierea ecuatiilor potentialelor nodur ilor
2.5.2.1. Circuite liniare
Fie un circuit care contine rezistoare liniare dipolare, rezistoare liniare multipolare avand o
reprezentare controlata in tensiune si surse independente de curent.
Pentru inceput se considera circuitul pasivizat. Fie i vectorul curentilor si fie u vectorul
tensiunilor laturilor grafului acestui circuit. Toate elementele au o reprezentare controlata in
tensiune, deci se poate scrie i l = Gl ⋅u unde Gl este matricea conductantelor laturilor. Daca A este
matricea de incidenta laturi-noduri teorema I a lui Kirchhoff se scrie A⋅ i = 0 sau AGl⋅u=0.
In circuitul initial, care contine si sursele independente de curent, teorema I a lui Kirchhoff
se scrie Ai = is unde is este un vector ale carui componente sunt sume ale curentilor surselor
independente conectate la fiecare nod. Rezulta A⋅Gl⋅u=is si deoarece u=At⋅V (V fiind vectorul
potentialelor primelor n-1 noduri iar Vn=0) rezulta A⋅Gl⋅At⋅V =is sau notand matricea
conductantelor nodurilor cu Gn-1=AGl At rezulta
Gn-1⋅V=is
care este ecuatia potentialelor nodurilor.
Aceasta forma matriceala a ecuatiei potentialelor nodurilor este utila in demonstrarea unor
proprietati. De exemplu, sa aratam ca pentru un circuit in care toate rezistoarele sunt dipolare si
liniare Gn-1 este simetrica, adica gij = gji. Avem gij =<(ai1...aiL), (b1j ... bLj)> unde ai1 ... aiL sunt
elementele liniei i a matricei A (L - numarul laturilor rezistive din circuit), b1j ... bLj sunt elementele
coloanei j din matricea Gl⋅At iar <(a),(b)> este produsul scalar intre vectorii a si b. Gl fiind
diagonala (b1j ... bLj)=(G1 aj1... GLa jL). Similar gji = <(aj1 ...ajL), (b1i ... bLi)> si deoarece (b1i ... bLi) =
(G1ai1 ... GLaiL) rezulta gij = gji.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
52
Atat pentru scrierea ecuatiilor de catre un operator uman, cat si pentru construirea matricei
Gn-1 intr-un program de calcul, se pot stabili reguli mult mai simple decat utilizarea formei
matriceale prezentate anterior. Sa consideram un exemplu simplu pentru care vom scrie teorema I
a lui Kirchhoff. Alegem V3=0.
In nodul de potential V1: ( ) ( ) ( ) ( )V V G V V G V V G G V V1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 2− + − + − = −
In nodul de potential V2: 1)()( 312212 +=−+− GVVGVV . Sau
O POQR
=
+=+++−=−+−−++
03
1)32(2)32(1
0)21(2)321(1
V
GGVGGV
GGGVGGGGV
Trecand in membrul drept termenul produs de sursa comandata ecuatiile devin:
S TSUV
=+=+++−
−=+−++
03
1)32(2)32(1
)21()21(2)321(1
V
GGVGGV
VVGGGVGGGV
Se poate imediat deduce o regula simpla de scriere prin inspectie (de catre un operator
uman) a ecuatiilor potentialelor nodurilor. Ecuatia in nodul j este de forma:
Vj Gk Vi Gk I skk jk i jk j− =
∈
W∈
W∈
W,
unde prima suma contine toate conductantele conectate in nodul j, a doua suma contine toate
produsele V i Gk unde Gk este conectata intre nodurile j si i iar suma din membrul drept contine toti
curentii surselor (independente sau comandate) conectate la nodul j (luati cu semnul + daca intra in
nodul j si cu semnul - daca ies din acesta).
Se observa ca o conductanta G conectata intre nodurile i si j apare in matricea Gn-1 in patru
pozitii cu semnele:
coloanalinie
i
j
i j
+−
−+
Similar se poate observa ca o conductanta de transfer a unei surse comandate ca in figura apare in
Gn-1 tot in patru pozitii cu semnele din tabel.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
53
coloanalinie
i
j
k l
+−
−+
Pentru un program de calcul este mult mai simplu sa introduca fiecare conductanta proprie sau de
transfer in cele patru pozitii precizate de aceste reguli decat sa construiasca matricele A si Gl si sa
opereze cu acestea.
Pana acum am considerat ca circuitul nu contine surse ideale de tensiune (sau daca le-a
avut ele au fost transformate in surse ideale de curent). Exista insa si surse de tensiune care nu se
pot transforma in surse de curent. Daca circuitul contine doar o singura sursa de acest tip atunci se
alege V1 =0 si rezulta V2 =E (nu se mai scrie teorema I a lui Kirchhoff in nodul de potential V2).
Evident, daca exista mai multe surse de acest tip care au un nod comun sau care formeaza un
“mini-arbore” [8] nodul de potential nul va apartine acestei structuri iar potentialele celorlalte
noduri ale structurii respective se pot exprima ca sume de tensiuni electromotoare. Daca circuitul
contine doua astfel de surse care nu au un nod comun se alege V1=0, rezulta V2=E si se introduce o
necunoscuta suplimentara I. Cand se scriu ecuatiile in nodurile de potentiale V3 si V4 latura cu E2
se considera parcursa de curentul I. Acestei necunoscute suplimentare ii corespunde ecuatia
suplimentara
V4-V3=E2.
Pana acum am considerat ca avem doar surse comandate in tensiune. Comanda in curent se
poate transforma in comanda in tensiune:
Daca aceasta transformare nu este posibila (ca in figura de mai jos) se considera o sursa cu E=0 in
latura de comanda si se procedeaza ca in cazul sursei ideale de tensiune (in ecuatiile nodurilor de
potentiale V1 si V2 latura de comanda apare prin -i si +i si se adauga ecuatia V1=V2).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
54
Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor este:
• se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale comenzilor
in curent in comenzi in tensiune
• se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor sa poata fi
exprimate ca sume de tensiuni electromotoare
• considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte
noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii:
Vj Gk Vi Gk I skk jk i jk j− =
∈X
∈X
∈X
,
la care se adauga ecuatiile suplimentare de forma Vl Vm E−−−− ==== α
Exemplu:
V
V E
VR R
VR
I
VR R
VR
I
V VV V
R
4 0
1 1
21
1
1
31
1
1
31
2
1
41
1
2
2 3 2 1 2
1
========
++++
YZ[[
\]&^^ −−−− ====
++++
YZ[[
\]&^^ −−−− ==== −−−−
−−−− ====−−−−
_
`
aaaaa
b
aaaaa
Dupa ce s-au determinat potentialele nodurilor se pot calcula tensiunile ca diferente ale
potentialelor si apoi curentii.
2.5.2.2. Circuite neliniare
Fie un circuit cu rezistoare controlate in tensiune si surse independente de curent. Scriind
ecuatiile rezistoarelor i=g(u), teorema I a lui Kirchhoff A⋅i=0 si teorema a II-a a lui Kirchhoff
u=AtV rezulta ecuatiile potentialelor nodurilor A⋅g(AtV)=is. Sursele de tensiune care nu se pot
transforma in surse de curent si comenzile in curent se trateaza similar cu circuitele liniare.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
55
2.5.3. Scr ierea ecuatiilor curentilor ciclici
Fie un circuit liniar format din rezistoare dipolare, rezistoare multipolare avand o
reprezentare controlata in curent si surse ideale de tensiune. In aceasta metoda se considera ca
necunoscute curentii coardelor. O bucla fundamentala este formata dintr-o coarda si ramurile care
inchid calea intre nodurile coardei; numarul acestor bucle este L-N+1. Scriem teorema I a lui
Kirchhoff pe Σ . Σ taie ramura 1r si coardele ,..., 21 cc in ale caror bucle fundamentale este 1r .
Rezulta ca curentul din 1r este o suma algebrica a curentilor din ,..., 21 cc . Consideram ca curentul
fiecarei coarde parcurge toate laturile buclei fundamentale respective (este un current ciclic).
Rezulta ca orice current este sau un current ciclic (daca este curentul unei coarde) sau o suma
algebrica de curenti ciclici (daca este curentul unei ramuri).
Plecand de la un exemplu simplu se poate deduce o regula de scriere prin inspectie a
ecuatiilor curentilor ciclici. Fie circuitul din figura in care curentii ciclici sunt I’ 1, I’ 2 si I’ 3.
Scriem teorema a doua a lui Kirchhoff pentru ochiurile parcurse de curentii ciclici:
pentru ochiul parcurs de I’ 1: 1(I’ 1)+3(I’ 1+I’ 2)=9
pentru ochiul parcurs de I’ 2: 5(I’ 2)+3(I’ 2+I’ 1)=1
pentru ochiul parcurs de I’ 3: 1I’ 3= -9+1
sau I’ 1 (1+3)+I’ 2 3 =9, I’ 2 (5+3)+I’ 1 3=1, I’ 3 (1)= -8.
Este usor de observat ca ecuatia corespunzatoare buclei Bi parcurse de curentul ciclic I’ i este de
forma:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
56
Ii
Rkk BiI
jRkk Bi
k Bj
' '∈c
+ =∈∈
cEkk Bi∈
d
unde produsul I’ j Rk se ia cu semnul (+) daca I’i si I’
j au acelasi sens prin Rk si cu semnul (-) daca
I’i si I’
j au sensuri diferite prin Rk.
Daca circuitul contine si surse de curent acestea pot fi transformate in surse de tensiune
daca au cate un rezistor in paralel. Presupunem ca toate laturile care contin surse de curent care nu
se pot transforma in surse de tensiune sunt plasate in coarbore. In acest caz curentul ciclic al buclei
fundamentale care contine sursa de curent este chiar curentul acestei surse deci ecuatia
corespunzatoare este simpla: Ibk Isk==== .
Pentru a avea mai putine necunoscute este preferabil sa se transforme comenzile in
tensiune in comenzi in curent. Daca tensiunea de comanda uc este la bornele unui rezistor de
rezistenta R atunci transformarea comenzii se face simplu ic=uc./R. Evident ic se exprima usor ca o
suma de curenti ciclici. Daca tensiunea de comanda uc este la bornele unui rezistor corespunzator
mersului in gol
atunci bucla se sparge in doua bucle care au latura comuna cu R=∞; necunoscuta suplimentara u
apare in ecuatiile corespunzatoare celor doua bucle si se introduce o ecuatie in plus si anume
I’ 1+I’ 2=0.
Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este:
• se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor
in tensiune in comenzi in curent
• se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie
plasate in coarbore
• considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi ′′′′ ′′′′ ′′′′I I I B1 2, ,...., (curentii ciclici),
se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:
Ii
Rkk BiI
jRkk Bi
k Bj
' '∈c
+ =∈∈
cEkk Bi∈
dsau I i I si' ====
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
57
la care se adauga ecuatiile suplimentare.
Exemplu: Fie circuitul din figura a. Dupa transformarea sursei de curent in sursa de
tensiune se obtine circuitul din figura b. Curentii ciclici sunt: I’ 1, I’ 2 si I’ 3. Ecuatiile sunt:
I’ 1 (1+2)+I’ 2 2 – I’ 3 1= 3, I’ 2 (1+2+1) + I’ 1 2+ I’ 3 1=8, I’ 3 =2A
Rezulta I’ 1=1A, I’ 2 =1A, I’ 3 =2A si I1=I1’ – I’ 3 =-1A si I2 =I’ 2 + I’ 3=3A, I3=I’ 1+I’ 2 =2A
a b
I4 =8+2-I2=7A, U3 =I21 – I11=4V, I5 =I1 +2 = 1A, U2 =1 I4 = 7V
2.5.4. Rezolvarea circuitelor neliniare
2.5.4.1. Determinarea unei solutii prin metoda Newton-Raphson
Fie un sistem de ecuatii algebrice neliniare f(x)=0 unde x este vectorul necunoscutelor.
Relatia care defineste metoda iterativa Newton-Raphson se obtine dezvoltand pe f in serie Taylor
in jurul lui x(j) (x la iteratia j):
...)()1()()()1( +efghij
−+efghij+
efghij=
efghij + jxjxjxJjxfjxf
unde matricea J(x(j))=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
f
x
fnx
f
xn
fnxn
x x j
1
1 1
1
...
. . .
...( )
k
l
mmmmmm
n
o
pppppp====
se numeste Jacobianul sistemului si se calculeaza in punctul x(j). Impunand conditia ca x(j+1) sa fie
solutie a ecuatiei f(x)=0 si neglijand termenii de ordin superior din dezvoltarea in serie Taylor se
obtine relatia de recurenta a metodei iterative Newton-Raphson:
x j x j J x j f x j( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ).++++ ==== −−−− −−−−1 1
Algoritmul pleaca de la o aproximatie initiala x(0) si efectueaza un numar fix de iteratii N0. Daca
eroarea intre doua iteratii succesive x N x N( ) ( )−−−− −−−−1 este mai mica decat o eroare impusa ε se
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
58
considera ca metoda este convergenta iar solutia este x(N) ( q=
=n
k kxx
1
2). Daca dupa N0 iteratii
eroarea nu scade sub valoarea ε se considera ca metoda este divergenta.
Daca f(x)=0 are mai multe solutii, prin aceasta metoda se determina numai una dintre ele si
anume cea care este mai “apropiata” de aproximatia initiala x(0).
Daca x are o singura componenta metoda Newton-Raphson are o interpretare geometrica
simpla. Fie f(x) avand reprezentarea grafica din figura de mai jos si fie x(0) aproximatia initiala.
Valoarea x(1) se obtine prin ))0(
())0(
(1')0()1(
xfxfxx ⋅−−= adica, deoarece
)1()0()
)0((
))0(
('xx
xfxftg
−==α , x(1) se poate determina intersectand tangenta la f(x) in x(0) cu axa
Ox. In continuare se obtin x(2), x(3) si solutia numerica tinde catre solutia exacta x* .
Metoda Newton-Raphson nu este convergenta pentru orice aproximatie initiala. De
exemplu, fie f(x) din figura de mai jos si aproximatia initiala x(0). Aplicand aceasta metoda solutia
numerica va oscila intre valorile x(1) si x(2) si nu se va apropia de solutia exacta x* .
Se observa ca daca se scrie relatia de recurenta sub forma
J x x J x x f xj j j j j( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅⋅⋅⋅ ==== −−−−++++1 este evident ca la fiecarer iteratie se rezolva un sistem de
ecuatii liniare a carui matrice J(x(j)) si termen liber )()( )()()( jjj xfxxJ − trebuie recalculate.
Calculul Jacobianului implica determinarea a n2 valori ale derivatelor in x(j) ceea ce nu este deloc
simplu. Pentru un circuit rezistiv liniar exista, insa, o procedura mult mai simpla de efectuare a
iteratiilor. Consideram la inceput un exemplu:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
59
La fiecare iteratie rezistorul neliniar poate fi inlocuit cu un circuit echivalent serie format dintr-o
sursa de tensiune in serie cu un rezistor. La prima iteratie sursa are tensiunea electromotoare E(0) si
rezistorul are rezistenta R(0)=tg α(0). Pentru a doua iteratie avem E(1) si R(1)=tg α(1) etc. Acest circuit
se numeste circuitul echivalent discret. La fiecare iteratie se calculeaza parametrii circuitului
echivalent discret si se rezolva un circuit liniar.
Aceasta procedura se poate aplica unui circuit rezistiv neliniar oricat de complicat ar fi
acesta. Circuitul echivalent discret la iteratia k+1 al unui rezistor controlat in curent cu
caracteristica u=û(i) contine rezistorul cu rezistenta Ru
ik
i k( )
( )=∂∂
in serie cu sursa de tensiune
E(k) obtinuta ca in exemplul precedent. Pentru un rezistor controlat in tensiune cu caracteristica
i=î(u) circuitul echivalent discret are parametrii Gi
uk
u k( )
( )=∂∂
si Is(k). Daca rezistorul are
caracteristici liniare pe portiuni, parametrii circuitului echivalent discret se determina ca in figura:
Prin utilizarea circuitului echivalent discret aplicarea metodei Newton-Raphson se
simplifica considerabil.
2.5.4.2. Determinarea tuturor solutiilor
Consideram un circuit cu rezistoare dipolare avand caracteristici liniare pe portiuni. Fiecare
solutie a circuitului corespunde unei combinatii de portiuni liniare ale rezistoarelor. Se face analiza
circuitelor echivalente discrete corespunzand tuturor combinatiilor posibile de portiuni liniare.
Fiecare circuit echivalent discret are o solutie. Daca exista cel putin un rezistor neliniar pentru care
solutia
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
60
circuitului echivalent discret corespunde unui punct de pe prelungirea portiunii liniare a
caracteristicii, atunci aceasta solutie nu este solutie a circuitului neliniar. Solutia unui circuit
echivalent discret este solutie a circuitului neliniar daca toate punctele care ii corespund se afla in
intervalele de tensiuni si curenti de pe caracteristicile rezistoarelor neliniare.
2.5.4.3. Circuite care functioneaza la semnale mici
Fie circuitul redresor monoalternanta fara filtru din figura a unde caracteristica diodei este
data in figura b si caracteristica de transfer in tensiune, determinata ca in paragraful 2.3.1.2.1, este
desenata in figura c. Daca u t t1( ) sin==== ω (fig. d) atunci u2(t) va avea forma din figura e.
In acest caz semnalul de iesire are o forma diferita fata de cel de intrare datorita neliniaritatii
caracteristicii de transfer. Daca u t t1 1( ) sin= + ω (fig. f) atunci semnalul de iesire este sinusoidal
(fig. g) ca si cel de intrare. Spunem ca un circuit rezistiv neliniar cu o singura sursa de semnal (cu
e sau is variabil in timp) functioneaza la semnale mici daca orice raspuns are forma semnalului de
intrare. In cazul in care un singur raspuns nu are aceeasi forma cu semnalul de intrare spunem ca
circuitul functioneaza la semnale mari. Pentru un circuit dat functionarea la semnale mari sau mici
depinde de parametrii semnalului de intrare.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
61
Un rezistor neliniar dipolar functioneaza la semnale mici daca putem aproxima deplasarea
punctului de functionare pe caracteristica cu deplasarea pe tangenta in punctul static de
functionare. Rezistorul controlat in tensiune din figura de mai jos cu caracteristica i=g(u) se
comporta din punct
de vedere al semnalului (variatiile de tensiune si curent in jurul punctului static de functionare) ca
un rezistor liniar cu conductanta Gdg u
du p s ftg==== ====
( )
. . .α care se numeste conductanta echivalenta
de semnal mic si depinde de punctul static de functionare. Pentru un rezistor controlat in curent cu
caracteristica u=f(i) se defineste rezistenta echivalenta de semnal mic Rd f i
di p s f=( )
. . . .
Fie un tranzistor modelat ca rezistor multipolar cu caracteristicile:
),(ˆ),,(ˆCEBCCCEBBEBE
uiiiuiuu == . Pentru a determina parametrii circuitului echivalent de semnal
mic se dezvolta BE
u si C
i in serie Taylor in jurul p.s.f. (determinat de 0000
,,,CECBBE
uiiu ). Fiecare
tensiune si curent are o componenta constanta (corespunzatoare p.s.f. si notata cu indicele 0) si o
componenta variabila in timp (de semnal), adica:
ceCECEcCCbBBbeBEBEuuuiiiiiiuuu +=+=+=+=
0000,,, . Rezulta:
ce
CE
C
b
B
C
CC
ce
CE
BE
b
B
BE
BEBE
ufspu
ii
fspi
iii
ufspu
ui
fspi
uuu
...
ˆ
...
ˆ
...
ˆ
...
ˆ
0
0
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
++=
+⋅+=
...
ˆ1
,...
ˆ,
...
ˆ,
...
ˆ
,
fspu
ir
fspi
i
fspu
u
fspi
ur
under
uiiuirusau
CE
C
c
B
C
CE
BE
B
BE
b
c
ce
bccebbbe
∂∂∂
∂β
∂∂
α∂
∂
βα
====
+⋅=+=
Rezulta circuitul echivalent de semnal mic:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare
62
Acest circuit poate fi utilizat daca punctul de functionare se deplaseaza intr-o zona din
planul fiecarei caracteristici pentru care parametrii r rb c, , ,α β pot fi considerati constanti. In
aceeasi maniera se poate determina un circuit echivalent de semnal mic pentru orice rezistor
neliniar.
Analiza unui circuit care functioneaza la semnale mici se poate face pe un circuit echivalent
liniar conform algoritmului:
1. Se determina punctul static de functionare considerand circuitul excitat de sursele de curent
continuu (surse independente cu parametrii constanti in timp), sursele de semnal fiind
pasivizate.
2. Se determina circuitul echivalent de semnal mic asociat p.s.f. determinat la punctul 1 pentru
fiecare rezistor neliniar.
3. Se face analiza circuitului echivalent de semnal mic obtinut prin interconectarea circuitelor
echivalente de semnal mic si a rezistoarelor liniare. Acest circuit este excitat numai de sursele
de semnal, sursele de curent continuu fiind pasivizate. Solutia obtinuta este componenta
variabila in timp a raspunsului circuitului.
4. Se verifica daca conditiile de functionare la semnal mic sunt satisfacute pentru toate
rezistoarele neliniare. Daca exista un singur rezistor neliniar pentru care aceste conditii nu sunt
indeplinite rezultatul analizei de la punctul 3 este incorect.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
59
CAPITOLUL 3
CIRCUITE DINAMICE
3.1. Introducere.
Comportarea circuitelor rezistive, formate din surse independente si rezistoare multipolare este
descrisa, asa cum s-a aratat în Capitolul 2, de un sistem de ecuatii algebrice. În acest capitol se va
introduce o clasa noua de elemente de circuit a caror comportare este descrisa de ecuatii diferentiale.
Aceste elemente de circuit se numesc elemente dinamice. Cele mai simple elemente din aceasta clasa
sunt doua elemente dipolare: condensatorul liniar si bobina liniara. Ecuatia de functionare a
condensatorului liniar este i t C du tdt
( ) ( )==== unde u(t) este tensiunea la bornele condensatorului, i(t) este
curentul prin condensator si C este o constanta numita capacitatea condensatorului. Ecuatia de
functionare a bobinei liniare este u t L di tdt
( ) ( )==== unde L este o constanta numita inductivitatea bobinei.
Un circuit care contine cel putin un element dinamic se numeste circuit dinamic. Elementele
dinamice ideale sunt, spre deosebire de rezistoare, elemente fara pierderi adica ele nu disipa energia ci
o acumuleaza. Energia acumulata la un moment dat de un astfel de element poate fi ulterior cedata
circuitului în care este conectat elementul respectiv.
3.2. Elementele dinamice de circuit
3.2.1. Condensatorul ideal.
Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre sarcina q a unui corp si curentul
absorbit de acesta este dtdqi = . Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi caracterizat, pe langa
perechea u(t), i(t), si de sarcina electrica q(t) definita de relatia. q t q t i dt
t( ) ( ) ( )= + ∫0
0τ τ în care
q t i dt
( ) ( )00
=−∞∫ τ τ este sarcina in momentul t0.
Condensatorul ideal este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor
admisibile q(t), u(t) poate fi reprezentata în planul q-u printr-o curba de ecuatie f(q,u)=0. Aceasta
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
60
curba este caracteristica q-u a condensatorului si ecuatia f(q,u)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca
f(q,u)=0 este aceeasi pentru orice moment de timp, condensatorul este invariant în timp.
Marimea Cddqdu u
tg u= =
00
α se numeste capacitatea dinamica a condensatorului la tensiunea u0.
Daca caracteristica condensatorului este o dreapta care trece prin origine condensatorul este liniar iar
marimea Cd este constanta în raport cu q si u si se numeste capacitatea condensatorului liniar
C qu= .
Unitatea de masura a capacitatii este faradul ( 1 11F CV==== ), în practica folosindu-se submultiplii sai
microfaradul (1µF = 10-6 F) , nanofaradul (1nF = 10-9 F) si picofaradul (1pF = 10-12F).
Daca caracteristica condensatorului nu este o dreapta care trece prin origine atunci
condensatorul este neliniar. Un condensator este controlat în tensiune daca ecuatia sa constitutiva
poate fi scrisa ca o functie q q u= ( ) si este controlat în sarcina daca exista functia u u q= ( ) .
Comportarea acestui element de circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f(q,u)=0 la care se adauga
ecutia i dqdt= . În unele cazuri se poate explicita dependenta dintre curent si derivata tensiunii în raport
cu timpul; aceasta dependenta este ecuatia de functionare a condensatorului. De exemplu:
-pentru un condensator liniar invariant în timp : q Cu==== si i dqdt C du
dt= =
-pentru un condensator neliniar controlat în tensiune : i dqdt
dqdu
dudt Cd
dudt= = =
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
61
Condensatorul ideal modeleaza un efect capacitiv. În continuare sunt date doua exemple:
Condensatorul cu armaturi plane si paralele este format din doua placi conductoare dreptunghiulare
separate de un dielectric. Daca aria fiecarei placi este A , distanta dintre placi este d si permitivitatea
dielectrica a izolantului este ε, se stie din teoria campului electromagnetic ca daca placa superioara se
încarca cu sarcina q, atunci cea inferioara se incarca cu sarcina -q, iar capacitatea condensatorului este
C qu A
d= = ε . Acest condensator este invariant în timp si liniar.
Daca una dintre placi se misca ramanand paralela cu cealalta, atunci condensatorul este variabil în
timp si liniar avand capacitatea C t Ad t( ) ( )= ε . Derivand pe q t( ) in raport cu timpul rezulta
i t dq tdt( ) ( )= adica expresia legii conservarii sarcinii electrice pentru o suprafata inchisa Σ care contine
o armatura a condensatorului.
Dioda varactoare este o jonctiune p-n alimentata în conductie inversa la care apare efectul capacitiv
de bariera. În jurul suprafetei de separatie intre semiconductorul de tip p si cel de tip n se formeaza în
conductie inversa (i<0) o zona de largime variabila în functie de u, numita zona de bariera care
actioneaza ca un izolant plasat intre cele doua zone conductoare de tip p si de tip n.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
62
Dependenta dintre sarcina q acumulata în zona p si tensiunea aplicata este neliniara, condensatorul
fiind controlat în tensiune numai pentru u<U0. Capacitatea dinamica nu este definita decat pentru
u<U0 . Pentru u>U0 dispozitivul se comporta rezistiv. Dioda varactoare are multe aplicatii practice ca
de exemplu reglajul frecventei în receptoarele de radio si TV.
3.2.2. Bobina ideala
Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre fluxul magnetic ϕ(t) al unei bobine
si tensiunea u(t) la bornele acesteia este dt
tdtu )()( ϕ= . Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi
caracterizat, pe langa perechea u(t), i(t), si de fluxul magnetic ϕ(t) definit de relatia.
ϕ ϕ τ τ( ) ( ) ( )t t u dt
t= + ∫0
0 în care ϕ τ τ( ) ( )t u d
t
00
=−∞∫ unde )( 0tϕ este fluxul magnetic in momentul t0.
O bobina este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile ϕ(t),
i(t) poate fi reprezentata în planul ϕ-i printr-o curba de ecuatie f(ϕ,i)=0. Aceasta curba este caracte-
ristica ϕ-i a bobinei si ecuatia f(ϕ,i)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca f(ϕ,i)=0 este aceeasi pentru
orice moment de timp, bobina este invarianta în timp.
Marimea Ldddt i
tg i= =ϕ
α
00
se numeste inductivitatea dinamica a bobinei la curentul i0. Daca
caracteristica bobinei este o dreapta care trece prin origine bobina este liniara si marimea Ld devine
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
63
constanta în raport cu ϕ si i si se numeste inductivitatea bobinei liniare L i= ϕ . Unitatea de masura a
inductivitatii este 1 henry (1H= 1Wb/1A); în practica se folosesc submultiplii milihenry (mH) si
microhenry (µH).
Daca caracteristica bobinei nu este o dreapta care trece prin origine atunci bobina este
neliniara. O bobina este controlata în curent daca ecuatia sa constitutiva poate fi scrisa in forma
ϕ ϕ= < ( )i si este controlata în flux daca exista functia i i= ( )ϕ . Comportarea acestui element de circuit
este descrisa de ecuatia constitutiva f(ϕ ,i)=0 la care se adauga ecutia u ddt= ϕ . În unele cazuri se poate
explicita dependenta dintre tensiune si derivata curentului în raport cu timpul; aceasta dependenta este
ecuatia de functionare a bobinei. De exemplu:
-pentru o bobina liniara invarianta în timp : ϕ = Li si u ddt L di
dt= =ϕ
-pentru o bobina neliniara controlata în curent : u ddt
ddi
didt Ld
didt= = =ϕ ϕ
Bobina ideala modeleaza un efect inductiv. În continuare se prezinta trei exemple.
Bobina toroidala liniara este formata dintr-un conductor bobinat pe un tor izolant. Aria transversala a
torului este A, circumferinta medie a torului este l, µ0 = 4π 10-7 H/m este permeabilitatea magnetica a
torului si bobina are N spire. Se stie din teoria campului electromagnetic ca fluxul magnetic ΦSΓ prin
orice suprafata SΓ care se sprijina pe un contur Γ inchis care urmareste conturul conductorului si linia
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
64
tensiunii la borne este legat de curentul i prin relatia ΦSΓ =Li unde L N Al
==== µ 0
2 este inductivitatea
bobinei. L este o constanta în raport cu ΦSΓ si deci aceasta bobina este invarianta în timp si liniara.
Daca una dintre bornele bobinei este legata la un contact mobil, astfel incat numarul de spire variaza
cu
pozitia contactului, atunci bobina este variabila în timp si liniara avand inductivitatea
L t N t Al t
( ) ( )( )
= µ 0
2
.
Derivand pe ϕ(t)= ΦSΓ(t) in raport cu timpul rezulta u ddt= ϕ adica expresia legii inductiei
electromagnetice pentru curba inchisa Γ.
Bobina toroidala neliniara. Daca miezul bobinei din exemplul precedent este construit din fier moale
atunci caracteristica ΦSΓ (i) este neliniara, bobina fiind controlata în curent.
Jonctiunea Josephson este formata din doua supraconductoare separate de un strat izolant (oxid de
beriliu). În fizica supraconductoarelor se arata ca dependenta dintre i si Φ este sinusoidala i=I0 sinkΦ
unde k este o constanta în raport cu i si Φ. Acest dispozitiv se comporta ca o bobina invarianta în timp
neliniara si controlata în flux.
3.2.3. Proprietati ale condensatoarelor si bobinelor.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
65
3.2.3.1. Memoria.
La un rezistor dipolar controlat în tensiune curentul i(t) depinde numai de tensiunea din acelasi
moment (i(t) = f1 (u(t)) ) iar la un rezistor controlat în curent u(t)=f2 (i(t)) ceeace insemna ca
rezistoarele nu au memorie.
La orice condensator sarcina q(t) depinde de valorile curentului intr-un interval de timp [t0,t] si
de sarcina q(t0) [q(t)=q(t0)+ i dt
t( )τ τ
0∫ ]. Similar, fluxul magnetic prin bobina ϕ (t) depinde de ϕ(t0 ) si
de valorile tensiunii bobinei în intervalul [t0,t] [ϕ(t)= ϕ (t0 ) + u dt
t( )τ τ
0∫ ]. Aceasta inseamna ca bobina
si condensatorul sunt elemente de circuit cu memorie, spre deosebire de rezistor.
3.2.3.2. Continuitatea lui uC si iL
Fie condensatorul din figura de mai jos prin care trece curentul iS(t) care are discontinuitati
finite. Rezulta ca daca uC (0)=0 atunci uC (t)= 10C i dt
( )τ τ∫ si uC (t) este o functie continua. Pe baza
proprietatii de continuitate a integralei unei functii cu discontinuitati finite rezulta:
a)daca curentul iC(t) printr-un condensator liniar invariant în timp este marginit si are un numar finit
de discontinuitati în intervalul [t0, tp] atunci tensiunea condensatorului uC(t) este continua în acest
interval;
b)daca tensiunea uL(t) pe o bobina liniara invarianta în timp este marginita si are un numar finit de
discontinuitati în intervalul [t0, tp] atunci curentul prin bobina iL(t) este continuu în acest interval.
Daca iC(t), respectiv uL(t), nu sunt marginite atunci uC(t), respectiv iL(t) nu sunt marimi
continue. De exemplu daca condensatorul din figura de mai jos este alimentat cu tensiunea e(t) (e(t)
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
66
este o functie continua de timp), atunci iC(t) va avea discontinuitati finite. Daca ∆→0 atunci e(t)
devine
functia treapta unitate care are o discontinuitate în t=0 si iC(t) nu mai este marginit. Cand ∆→0
dreptunghiul isi mentine aria unitara latimea sa tinzand catre zero si inaltimea sa spre infinit. Semnalul
obtinut astfel se numeste impuls unitar sau impuls Dirac si se noteaza δ(t).
Functia δ(t) are o singularitate în t=0 si este nula pentru t≠0. Se poate arata usor ca δε
ε( )t dt =
−
+∫ 11
2
pentru orice ε1 si ε2 strict pozitivi.
3.2.3.3. Caracterul nedisipativ (fara pierderi)
Energia pe care o primeste un rezistor liniar cu R>0 în intervalul de timp [t1, t2 ] este:
WR t tt
tp t dt u t i t dt Ri dt
t
t
t
t[ , ] ( ) ( ) ( )1 2
1
2 2
1
2
1
2= ∫ = = ∫∫ . Evident W[t1, t2] ≥0 indiferent de semnul lui i(t).
Daca rezistorul este neliniar si pasiv [u(t)i(t)≥0] rezultatul este acelasi: rezistorul pasiv primeste
energie din circuitul în care este conectat si aceasta energie se transforma în mod ireversibil în caldura
(se disipa). Spunem ca rezistorul pasiv este un element de circuit disipativ (cu pierderi).
Energia absorbita de un condensator liniar în intervalul de timp [t1, t2 ]este
WC t t u t i t C du tdt u t dt Cudu
u t
u tC
t
t
t
tu t u t[ , ] ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )[ ( ) ( )]1 2
1
22
1
2
1
2 22
21= = = ∫ =∫∫ −
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
67
Daca u(t) este periodica de perioada T si t2=t1+T, atunci WC[t1, t2]=0 si energia medie absorbita de
condensator intr-o perioada este nula. Aceasta inseamna ca puterea absorbita este pozitiva numai pe
anumite subintervale din perioada T, în celelalte subintervale puterea absorbita fiind negativa. Deci
condensatorul nu disipa energia ci o acumuleaza si apoi o reda circuitului în care este conectat. Un
astfel de element de circuit este nedisipativ (fara pierderi).
Pentru un condensator controlat în sarcina [u=u(q)] rezultatul este similar:
WC t tt
tu t i t u q t dq t
dtdt u q dq
q t
q t
t
t[ , ] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )
( )
( )
1 21
212
1
2
1
2= ∫ = = =∫∫ Α , unde A12 este aria din figura.
Daca q(t2) =q(t1 + T ) atunci A12 = 0 si WC [t1, t2] = 0.
Similar se poate arata ca o bobina liniara si o bobina neliniara controlata în flux sunt
nedisipative. Pentru bobina liniara
WL t t u t i t dt L di tdt
i t dt Lidi L i t i ti t
i t
t
t
t
t[ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]
( )
( )
1 2 22
22
11
2
1
2
1
2= = = = −∫∫∫
si pentru bobina neliniara controlata în flux cu caracteristica i=i(φ)
WL t t u t i t dt i td t
dtdt i d L i t i t
t
t
t
t
t
t[ , ] ( ) ( ) [ ( )]
( )( ) [ ( ) ( )]
( )
( )
1 2 22
22
11
2
1
212
1
2= = = = −∫∫ =∫ φ
φφ φ
φ
φΑ
Din aceaste relatii rezulta ca în regim periodic (u(t) si i(t) sunt functii periodice de perioada T)
la un element de circuit fara pierderi tensiunea si curentul trec prin valoarea zero la momente de timp
diferite. Altfel produsul u(t)i(t) ar fi tot timpul pozitiv sau negativ si W[t1, t2] ar fi nenula pe o
perioada. De exemplu, în regim sinusoidal tensiunea unui condensator liniar este u(t)=U sinωt si
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
68
curentul este i(t)=Cω cosωt=Cω sin(ωt +π/2) deci u(t) si i(t) trec prin zero la momente de timp
distantate cu ∆t = π/2ω.
Fie un condensator liniar cu capacitatea C>0 care in momentul t1 este conectat la un circuit .
Stiind ca u(t1)=U, energia absorbita de condensator este WC=[t1,t2]= C u t U2
22
2[ ( ) ]−−−− . Daca
u t U( )2 <<<< , atunci WC [t1, t2 ] < 0 si condensatorul cedeaza energie circuitului la care este conectat.
Daca u(t2) = 0 condensatorul va ceda valoarea maxima a energiei WCmax [t1, t2 ]= CU 2
2. Deoarece
aceasta este valoarea maxima a energiei ce se poate extrage din condensator este normal sa spunem ca
energia acumulata intr-un condensator liniar de capacitate C incarcat la tensiunea U este EC =
CU QC
2 2
2 2==== . Similar se poate arata ca energia acumulata intr-o bobina liniara de inductivitate L prin
care trece curentul I este E LLI
L= =
2
2
2
2φ
.
Pentru un condensator neliniar controlat în sarcina a carui caracteristica u=u(q) trece prin origine
energia acumulata este E u q dqC
Q
==== ====∫∫∫∫ ( )0
Α
Pentru o bobina neliniara controlata în flux a carei caracteristica i = i(Φ) trece prin origine energia
acumulata este E L i d( ) ( )ϕ ϕ ϕφ
= =∫ Α0
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
69
3.2.4 Bobinele cuplate
Bobinele cuplate se utilizeaza in circuitele de comunicatii si in echipamentele de masura.
Transformatoarele electrice construite cu bobine cuplate au o importanta deosebita in transmiterea
energiei electrice intre generatoare si utilizatori. Motoarele si generatoarele electrice se modeleaza prin
bobine cuplate cu parametri variabili in timp.
Se considera un tor din material feromagnetic (ferita sau tole dintr-un otel special). Pe acest tor
exista doua infasurari obtinandu-se astfel un diport. Daca la bornele de intrare 1,1' se conecteaza un
generator si bornele de iesire 2,2' sunt in gol (i2=0), in infasurarea 1 apare curentul i1(t) care
determina un camp magnetic in tor (variabil in timp daca tensiunea aplicata este variabila in timp),
respectiv un flux magnetic variabil in timp. Conform legii inductiei electromagnetice, acest flux va
determina aparitia unei tensiuni u2(t) intre bornele 2 si 2’. Doua bobine cuplate magnetic se reprezinta
astfel:
Un model liniar al acestui dispozitiv este dat de un sistem de ecuatii liniare care leaga curentii
i1, i2 si fluxurile φ1, φ2 prin bobinele 1 si 2. Acest sistem reprezinta ecuatia constitutiva a bobinelor
liniare cuplate:
φ1 = L11 i1 ± Mi2
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
70
φ2 = L22i2 ± Mi1. unde L11 si L22 sunt inductivitatile proprii ale celor doua infasurari si M este inductivitatea mutuala
dintre infasurari. Termenii L11 i1 si L22i2 reprezinta fluxurile proprii ale bobinelor 1 si 2 iar termenii
Mi2 si Mi1 reprezinta fluxurile mutuale. In teoria campului electromagnetic se arata ca fluxul propriu
si fluxul mutual sau se aduna in ambele bobine, sau se scad in ambele bobine. Ca urmare semnele
atasate
lui M sunt sau amandoua + sau amandoua -. De exemplu pentru bobina 1 din figura, cu sensurile date
pentru i1 si i2 fluxul propriu L11 i1 si fluxul mutual M i2 sunt orientate în acelasi sens si deci M se
considera cu semnul +. Daca i2 are sensul invers celui din figura, atunci fluxul mutual este orientat
invers fata de cel propriu si M se considera cu semnul -.
Pentru a preciza semnul lui M se foloseste reprezentarea bobinelor cu borne polarizate: daca
cei doi curenti i1 si i2 “ataca” la fel bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies din aceste borne),
atunci in ecuatii se considera +M, iar daca i1 si i2 “ataca” in mod diferit aceste borne (un curent intra
prin borna polarizata si celalalt curent iese prin borna polarizata) atunci in ecuatii se considera -M.
Ecuatia constitutiva a bobinelor cuplate se scrie matriceal [Φ] = [L]•[I]
unde LL MM L
=±
±
11
22
este matricea inductivitatilor.
Tensiunile u1 si u2 sunt date de u ddt1
1====φ si u d
dt22====
φ aceste relatii reprezentand ecuatia de
functionare a bobinelor cuplate. Utilizand ecuatia constitutiva a bobinelor liniare rezulta:
u t Ldi
dtM
di
dt1 111 2( ) = ±
u t Ldi
dtM
di
dt2 222 1( ) = ±
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
71
sau, matriceal, [ ] [ ][ ]U L I=
Daca nodurile 1' si 2' sunt legate intre ele atunci se poate obtine un diport echivalent cu trei
bobine necuplate. Deoarece i=i1+i2, calculand u1(t) în diportul echivalent rezulta:
u t L didt
M didt
M didt
didt
L dildt
M didt1 11
1 1 1 211
21( ) ( )==== −−−− ++++ ++++ ==== ++++ . Similar rezulta u t Ldi
dtM
di
dt2 222 1( ) = + .
Similar cu elementele dipolare, pentru a calcula energia acumulata se considera conditii initiale
nule (i1(0)=0 si i2(0)=0, respectiv φ1(0)=0 si φ2(0)=0). Se calculeaza energia absorbita de bobine intr-
un interval de timp T:
WM u t i t u t i t dt Ldi
dti M
di
dti L
di
dti M
di
dti dt
TT
L i T L i T Mi T i T
= + = + + +∫∫
= + +
[ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ]
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
1 1 2 2 111
12
1 222
21
20012 11 1
222 2
2 2 1 2
Energia acumulata în bobine la momentul T poate fi calculata ca energia cedata de bobine în
transformarea de la starea initiala la starea finala i1(T)=I1, i2(T)=I2.
WM I I L I L I MI I( , ) [ ]1 212 11 1
222
22
21 2= + +
Din considerente fizice energia magnetica acumulata WM(I1, I2) este pozitiva pentru orice I1, I2≠0.
Rezulta ca L este pozitiv definita, deci minorii principali ai matricei L sunt pozitivi adica L11≥0,
L11L22 -M2 ≥0.
Inductivitatea mutuala se poate defini in functie de coeficientul de cuplaj k ML L
====11 22
. Din
L11L22 ≥ M2 rezulta ca k <1. Valoarea k=0 corespunde bobinelor necuplate, iar valoarea k=1
corespunde cuplajului perfect.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
72
În cazul mai multor bobine cuplate se obtin ecuatii similare. De exemplu trei bobine liniare
cuplate au ecuatia de functionare
u tu tu t
L M MM L MM M L
di t dtdi t dtdi t dt
1
2
3
11 12 13
12 22 23
13 23 33
1
2
3
( )(( )
.( ) /( ) /( ) /
=
In teoria campului electromagnetic se demonstreaza relatia Mjk=Mkj (proprietatea de simetrie a
matricei inductivitatilor).
Ecuatia de functionare a unui sistem de bobine neliniare cuplate se obtine din relatiile
ukd k
dt=
ϕsi ecuatiile constitutive. De exemplu pentru doua bobine neliniare controlate în curent cu
ecuatiile constitutive Φ Φ Φ Φ1 1 1 2 2 2 1 2= = ( , ), ( , )i i i i rezulta: u ddt i
didt i
didt1
1 1
1
1 1
2
2= = +φ ∂φ∂
∂φ∂
si
u ddt i
didt i
didt2
2 2
1
1 2
2
2= = +φ ∂φ∂
∂φ∂
.
3.3 Circuite de ordinul intai 3.3.1. Introducere Un circuit de ordinul intai contine un singur element dinamic. Ca urmare un astfel de circuit este format dintr-un dipol rezistiv N conectat cu elementul dinamic.
Un circuit liniar de ordinul intai contine elemente liniare de circuit (rezistoare, surse comandate liniar, elementul dinamic) si surse independente. Dipolul rezistiv liniar N are un generator echivalent de tensiune si/sau un generator echivalent de curent în raport cu bornele elementului dinamic. Daca acest circuit echivalent contine numai sursa (Rech=0 în cazul generatorului echivalent de tensiune si Rech=∞ în cazul generatorului echivalent de curent) atunci tensiunea sau curentul elementului dinamic sunt cunoscute si raspunsul
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
73
circuitului poate fi calculat foarte simplu. De exemplu daca uc e t==== ( ) atunci ic C dedt
==== sau daca
ic is t==== ( ) atunci υ χ Χιστ
τδτ υ χ τ= ∫ +1
00( ) ( )τ
În cazul general 0<Rech<∞ , N are atat un generator echivalent de tensiune cat si unul de curent. Rezulta ca este suficient sa consideram numai urmatoarele doua tipuri de circuite liniare de ordinul I.
Ecuatiile acestor circuite sunt: Ric uc e t++++ ==== ( ) GuL iL is t++++ ==== ( )
ic C ducdt
==== uL LdiLdt
====
ducdt
ucRC
e tRC
==== −−−− ++++( )
diLdt
iLGL
is tGL
==== −−−− ++++( )
Daca uc x ducdt
x RC e t s t==== ==== ==== ====, , , ( ) ( )τ Daca iL xdiLdt
x GL is t s t==== ==== ==== ====, , , ( ) ( )τ
atunci ( )x x s t==== −−−− ++++
τ τ atunci
( )x x s t==== −−−− ++++τ τ
Deci toate circitele liniare de ordinul intai satisfac ecuatia
( )x x s t= − +
τ τ
unde x este variabila de stare a circuitului, τ este constanta de timp a circuitului si s(t) parametrul sursei independente echivalente. 3.3.2.Circuite liniare cu surse independente de curent continuu Aceste circuite contin numai surse independente de curent continuu deci e(t)=E=ct sau is(t)=Is=ct.
Daca dxdt
==== 0 atunci x ia valoarea x(t∞)=E sau x(t∞)=Is numita si stare de echilibru. Ecuatia circuitului
devine C( )
x x x t==== −−−− ++++ ∞∞∞∞
τ τ.
Determinam solutia acestei ecuatii pentru t∈[t0 ,+∞) cunoscand conditia initiala x(t0). Solutia este formata din
doi termeni: solutia ecuatiei omogene xv si o solutie particulara xp : x=xv +xp , xx
νντ
++++ ==== 0. Stiind ca xv
este de forma xv Aet t
====−−−−α ( )0 , rezulta:
A et t Ae
t tα
α α
τ( ) ( )−−−−
++++−−−−
====0 00 deci α
τ==== −−−−
1 si xv Ae
t t====
−−−−−−−− 0τ
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
74
Solutia particulara este constanta (de forma termenului liber) xp x t==== ∞∞∞∞( ) , deci. x Aet t
x t====−−−−
−−−−++++ ∞∞∞∞
0τ ( ) .
Solutia este determinata numai daca se cunoaste conditia initiala x(t0 ). x t A x t( ) ( )0 ==== ++++ ∞∞∞∞ deci A x x t==== −−−− ∞∞∞∞( ) ( )0 si
x t x t x t x t et t
( ) ( ) [ ( ) ( )]==== ∞∞∞∞ ++++ −−−− ∞∞∞∞−−−−
−−−−
00
τ
Aceasta relatie se mai poate scrie:
τ 0)]()0([)()(
ttetxtxtxtx
−−
∞−=
∞−
Se observa ca daca starea initiala este chiar starea de echilibru [x(t0 )=x(t∞)] atunci solutia ramane în aceasta stare. Se disting doua cazuri în care comportarea solutiei este diferita: τ >0 si τ <0. 10 τ >0 In acest caz diferenta intre x(t0 ) si x(t∞) scade exponential în timp si pentru t→∞ x(t)→x(t∞) deci starea de echilibru se obtine pentru t→∞
Tangenta în t=t0 la x(t) tre00ce prin punctul (t0+τ,x(t∞)).
Intr-adevar ′′′′ ==== −−−− ==== −−−−−−−− ∞∞∞∞x t tg x t x t( ) ( ) ( )
00α
τ asa cum rezulta atat din calculul derivatei cat si din
figura. Dupa trecerea a cinci constante de timp se atinge practic valoarea x(t∞). 20 τ <0 În acest caz diferenta intre x(t0 ) si x(t∞) creste exponential în timp. Se observa ca pentru t→ -∞ se atinge starea de echilibru. Cand t→ ∞ solutia tinde spre o valoare infinita. Similar cu cazul τ >0 se poate arata ca tangenta la x(t) în t0 trece prin punctul [t0 -τ, x(t∞)].
Se poate arata ca orice tensiune sau curent din circuitul liniar de ordinul intai are o variatie similara în timp cu x(t). Fie circuitul cu condensator în care x(t)=uc (t).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
75
În circuitul rezistiv liniar N se aplica teorema superpozitiei considerand condensatorul inlocuit cu o
sursa ideala de tensiune uc (t)= uc (t∞)+[ uc (t0 )- uc (t∞)] et t
−−−−−−−− 0
τ . O tensiune oarecare din circuit uk (t) se poate scrie ca: uk t H uc t HmEm KnIsn( ) ( )==== ++++ ∑∑∑∑ ++++ ∑∑∑∑0 (1) toate sursele toate sursele de tensiune de curent Pentru t=t0 uk t H uc t HmEm KnIsn( ) ( )0 0 0==== ++++ ∑∑∑∑ ++++ ∑∑∑∑ (2) toate sursele toate sursele de tensiune de curent Pentru t=t∞ uk t H uc t HmEm KnIsn( ) ( )∞∞∞∞ ==== ∞∞∞∞ ++++ ∑∑∑∑ ++++ ∑∑∑∑0 (3) toate sursele toate sursele de tensiune de curent Scazand relatiile (3) si (2) obtinem uk t uk t H uc t uc t( ) ( ) [ ( ) ( )]∞∞∞∞ −−−− ==== ∞∞∞∞ −−−−0 0 0 (4)
Scazand relatiile (1) si (3) si tinand seama de (4) rezulta:
uk t uk t H uc t uc t uc t uc t et t
uk t uk t et t
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]−−−− ∞∞∞∞ ==== ∞∞∞∞ −−−− ∞∞∞∞ ++++ ∞∞∞∞ −−−−−−−−
−−−−
==== ∞∞∞∞ −−−−
−−−−−−−−
0 00
00
τ τ
adica orice tensiune din circuit variaza similar cu uc (t). Similar se poate arata ca si orice curent are acelasi tip de variatie în timp. În acest tip de circuite comportarea la t=t∞ este o comportare în curent continuu. Daca marimile sunt
invariabile în timp atunci o bobina cu ecuatia de functionare uL LdiLdt
= = 0 este echivalenta cu un rezistor
cu R=0; un condensator cu ecuatia de functiune iC CduC
dt= = 0 este echivalent cu un rezistor cu R=∞.
Din cele aratate pana acum rezulta o metoda simpla de determinare a unui raspuns r(t) al unui circuit de ordinul intai. Aceasta metoda are urmatoarele etape: 1. Se inlocuieste elementul dinamic cu o sursa independenta (condensatorul se inlocuieste cu o sursa de tensiune uc (t0 ) si bobina se inlocuieste cu o sursa de curent iL (t0 )) si se calculeaza r(t0 ). 2. Se inlocuieste condensatorul cu un rezistor cu R=∞ sau bobina cu un rezistor cu R=0 si se calculeaza r(t∞). 3. Se determina rezistenta echivalenta R intre bornele elementului dinamic a circuitului N pasivizat si
se calculeaza τ =RC sau τ ====LR
.
4. Se determina r(t) cu relatia r t r t r t r t et t
( ) ( ) [ ( ) ( )]==== ∞∞∞∞ ++++ ∞∞∞∞ −−−−−−−−
−−−−
00
τ
3.3.3. Circuite liniare cu surse cu parametri constanti pe intervale de timp
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
76
Analiza acestor circuite se face ca in paragraful precedent pe fiecare interval de timp in care sursele independente au parametri constanti. Se incepe cu intervalul [t0, t1], apoi valoarea x(t1) se considera ca stare initiala pentru analiza pe intervalul [t1, t2] s.a.m.d. Starea initiala si starea de echilibru se schimba pentru fiecare interval. In momentul tj , comun intervalelor [tj-1, tj] si [tj, tj+1] cel putin o sursa independenta are un salt. Desi unele marimi din circuit vor avea un salt in tj, daca presupunem ca curentul prin condensator (tensiunea la bornele bobinei) este marginit, atunci conform proprietatii de continuitate
[ ].)()(()()( εεεε +=−+=− jLjLjcjc tititutu Aceasta proprietate permite determinarea starii initiale x t j( )+ ε ca fiind egala cu valoarea x t j( )− ε determinata in analiza pe intervalul [ , ].t tj j−1 Exemplu: Fie circuitul din figura a cu e(t) ca in figura b.
Daca ∆ → 0 atunci e t t( ) ( )→ δ (impulsul Dirac unitar). Calculand raspunsul uc t
∆( ) la excitatia e t∆ ( ) vom obtine pentru ∆ → 0 raspunsul la δ ( )t . Presupunand
starea initiala nula uc ( )0 0− = , rezulta uc ( )0 0+ = .
Pentru intervalul [ , ] ( ) ( ) ( )0 0 0 1 1∆∆ ∆ ∆ ∆
uc t uc t si uc t et
= ∞ = +∞ ∞ = = −
−δ
. Deci
uce
∆∆
∆
∆( ) = −
−1 2
.
Pentru intervalul [ , ]∆ +∞ starea initiala este 0)()( =∞∆∆∆ tcusicu . Rezulta uc t e et
∆
∆
∆
∆( ) = −
− − −1 δ δ .
Daca ∆ → 0 obtinem raspunsul la impulsul Dirac unitar
ττ
τττττ
δ
te
tet
et
eetcu−
=
−
→∆−
=∆−−
∆
∆−−
→∆= 1
1
1
0lim1
0lim)(
Pentru intervalul [ , ]∆ +∞ starea initiala este uc si uc t( ) ( )∆ ∞ = 0 . Rezulta:
uc t e et
∆
∆
∆
∆( ) ====
−−−−−−−− −−−− −−−−1 τ τ . Daca ∆ → 0 obtinem raspunsul la impulsul Dirac unitar:
uc t e et
et e
et
δτ τ τ τ
τ
ττ( ) lim lim=
→−
− − −=
−→
−
=−
∆
∆
∆
∆
∆01
0
1 4
11 unde am folosit regula lui l’Hospital.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
77
Excitatia si raspunsul sunt date in figurile a si b. Excitatia δ ( )t joaca un rol important in analiza
circuitelor (vezi capitolul 7).
O alta forma remarcabila a excitatiei este treapta unitate 1(t)
Raspunsul acestui circuit la treapta unitate se obitne considerand uc t
∆( )pe intervalul [ , ]0 ∆ pentru
∆ = 1adica uc t et
1 1( ) = −−τ . Se observa ca uc t uc tδ ( ) ( ( ))'= 1 , deci raspunsul la impuls Dirac unitar
se obtine prin derivarea in raport cu timpul a raspunsului la treapta unitate. Se poate demonstra (vezi
capitolul 7) ca aceasta proprietate este valabila pentru orice circuit liniar cu stare initiala nula.
3.3.4. Circuite liniare cu surse variabile in timp
Un circuit liniar de ordinul intai cu surse independente variabile in timp are un generator
echivalent de tensiune si/sau de curent cu e(t) sau )(tis
de forma arbitrara. Variabila de stare satisface
ecuatia C( ) ( ) ( )x t x t s t= − +τ τ
unde s(t) este e(t) sau )(tis
. Fiind data o stare initiala x t( )0 solutia
ecuatiei este: x t x t et t
et t
t
ts t dt( ) ( )
'( ' ) '=
−−
+− −
∫00 1
0
ττ
τ .
Daca t=t0 rezulta x(t)=x(t0). Daca t>t0 se poate arata ca solutia verifica ecuatia circuitului. Intr-
adevar:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
78
C ( )( ) '
( ' ) '
'( ) '
( ' ) ' ( ).x tx t
et t
et
et
t
ts t dt
x te
t te
t
et
t
ts t dt e
te
t
s t==== −−−−−−−−
−−−−++++
−−−−∫∫∫∫
==== −−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ ++++
−−−−⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅0 0
0
0 02
0ττ τ
ττ
ττ τ
ττ τ τ
τ
(Am folosit relatia ddt
f t dt f tt
t( ' ) ' ( )=∫
0). Evident C( ) ( ) ( ) .x t x t s t= − +
τ τ
Raspunsul circuitului contine doi termeni:
x t et t
( )00−
−τ care se obtine pentru s(t)=0 si se numeste raspunsul la excitatie nula.
1
0 ττe
t t
t
ts t dt
− −∫
'( ' ) ' care se obtine pentru x t( )0 0= si se numeste raspunsul la stare initiala nula.
Observatii
i) raspunsul complet poate fi considerat ca superpozitia a doua raspunsuri: raspunsul la
excitatie nula care depinde numai de starea initiala si raspunsul la stare initiala nula care depinde
numai de excitatie
ii) in cazul unui circuit cu τ > 0 pentru valori ale lui t’ astfel incat t t− >>' τ factorul et t− − 'τ
este foarte mic; rezulta ca valorile excitatiei la momente anterioare lui t cu mai mult de 5τ nu
influienteaza raspunsul la momentul t adica circuitul memoreaza practic numai ultimele 5 constante de
timp din evolutia sa
iii) in cazul unui circuit cu τ < 0 influenta valorilor excitatiei s(t’) este cu atat mai mare cu cat
momentul t’ este mai indepartat de momentul t in care se calculeaza raspunsul
iv) deoarece raspunsul la impuls Dirac unitar este h t et
( ) =−1
ττ (vezi paragraful 3.3.3.) rezulta
ca raspunsul la stare initiala nula se poate scrie h t t s t dtt
t( ' ) ( ' ) '−∫
0
.
3.3.5. Circuite liniare cu comutatoare
Presupunem ca circuitul rezistiv contine comutatoare a caror stare [inchis (R=0) sau deschis
(R=∞)] este specificata pentru orice t ≥ t0. Considerand fiecare interval de timp in care starea tuturor
comutatoarelor ramane neschimbata, analiza unui astfel de circuit se poate face ca in paragraful 3.3.3.,
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
79
eventual utilizand pe fiecare interval rezultatul obtinut in paragraful 3.3.4. Evident, prin modificarea
starii comutatoarelor se modifica si constanta de timp a circuitului.
3.3.6. Circuite cu rezistoare liniare pe portiuni
Fie un circuit cu elemente invariante in timp care contine rezistoare liniare pe portiuni. Ca
urmare, caracteristica tensiune-curent a partii rezistive (conectate la bornele elementului dinamic)
va fi liniara pe portiuni. De exemplu, in circuitul din figura a, N are carcteristica din figura b. u(t) si
i(t) iau valori astfel incat punctul de coordonate [u(t), i(t)] se deplaseaza pe caracteristica din figura b
plecand din uc ( )0 astfel incat sa fie satisfacuta ecuatia − =i t C du tdt
( ) ( ) . Avand in vedere ca
deplasarea se face pe portiunile liniare ale caracteristicii lui N, pentru fiecare portiune se pot folosi
metodele prezentate anterior. Din ecuatia de functionare a condensatorului rezulta u iC
= − deci daca
i u> <0 0 deci valorile lui u scad, iar daca i u< >0 0 deci valorile lui u cresc. Aceasta inseamna
ca deplasarea punctului de functionare pe caracteristica din figura b se poate face numai in sensul
sagetilor. Pentru o conditie initiala data punctul de functionare se deplaseaza pe o anumita portiune a
caracteristicii lui N pana in punctul de echilibru care este, in acest caz, originea ( , )u u i= ⇒ = =0 0 0 .
Aceasta portiune a caracteristicii parcursa de punctul de functionare se numeste parcurs dinamic.
Analiza acestui circuit se face initial pentru portiunea liniara III a caracteristicii (intre
uc uc si uc uc==== ====( ) ( )0 1 ), apoi pentru portiunea II (intre uc uc si uc uc==== ====( ) ( )1 2 ), si in
final pe portiunea I cu starea initiala uc( )2 . Pe fiecare portiune liniara circuitul neliniar are cate un
circuit echivalent liniar. Se remarca faptul ca pentru portiunea II circuitul echivalent liniar are un
rezistor cu R<0 deci τ < 0 , in timp ce pe portiunile III si I τ > 0 .
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
80
Similar se poate analiza un circuit cu bobina si rezistor liniar pe portiuni controlat in curent.
Parcursul dinamic se poate determina din ecuatia ( ) ( )i tL
u t= − 1 deci daca u>0, i creste iar daca u<0, i
scade. Punctul de echilibru P0 se gaseste pe axa u=0 (di/dt =0 ⇒ u=0), spre deosebire de
circuitul cu condensator unde acesta va fi plasat obligatoriu pe axa i=0.
Observatii:
i) un circuit format dintr-un condensator si un rezistor liniar pe portiuni care nu este controlat
in tensiune poate avea o comportare speciala; fie circuitul din figura a al carui parcurs dinamic este dat
in figura b.
Daca circuitul pleaca din starea initiala u(0) si punctul de functionare ajunge in Q1 circuitul nu mai
poate evolua in continuare. Un astfel de punct (cum este si Q2) se numeste punct de impas.
ii) observatii similare se pot face si pentru circuitele cu bobina liniara si rezistor care nu este
controlat in curent.
iii) circuitele de ordinul intai cu rezistoare liniare pe portiuni folosesc la realizarea
oscilatoarelor de relaxare, multivibratoarelor, bazelor de timp, etc.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
81
3.4. Circuite de ordinul doi
3.4.1. Introducere
Circuitele care contin doua elemente dinamice ( doua condensatoare, doua bobine sau un
condensator si o bobina) se numesc circuite de ordinul doi. Un circuit liniar de ordinul doi contine
rezistoare liniare, elemente dinamice liniare, surse comandate liniar si surse independente.
Un astfel de circuit poate fi caracterizat prin ecuatia de stare ( )x Ax u t= + cu
xxx vectorul iabilelor de stare uC pentru condensatoare si i L pentru bobine====
12
var ( )
u tu tu t vectorul marimilor de rare( )
( )( ) int====
−−−−1
2 A
a aa a matricea de stare====
−−−−11 12
21 22 Ecuatiei de stare ( )x Ax u t= + ii corespund ecuatii diferentiale scalare de ordinul doi pentru x1si
x2:
021)(2.22
..012)(11
.1
..
≠+∆−=
≠+∆−=
aconditiacutbuxxTx
aconditiacutauxxTx
unde: T=a11+a22 se numeste urma matricei A, ∆=a11a22-a12a21 este determinantul matricei A si
ua t a u t a u t u t
ub t a u t a u t u t
( ) ( ) ( ).
( )
( ) ( ) ( ).
( )
= − + +
= − +
22 1 12 2 1
22 1 11 2 2 Daca a12=a21=0 ecuatia de stare se reduce la doua ecuatii diferentiale de ordinul intai. Pentru a
deduce ecuatiile de ordinul II se considera a12≠0, a21≠0 si se deriveaza in raport cu timpul ecuatia
de stare
)(1
.2
.121
.111
..tuxaxax ++=
Se inlocuiesc x.1 si x
.2 cu expresiile date de ecuatia de stare si rezulta:
x a a x a x u t a a x a x u t u t
x a a a x a a a a x a u t a u t u t
dar a x x a x u t
..( ( )) ( ( ))
.( )
..( ) ( ) ( ) ( )
.( )
( )
1 11 11 1 12 2 1 12 21 1 22 2 2 1
1 112
12 21 1 11 12 12 22 2 11 1 12 2 11
12 2 1 11 1 1
= + + + + + +
= + + + + + +
= − −
x a a a x a a x a x u t a u t a u t u t
x a a x a a a a x a u t a u t u t
..( ) ( )(
.( )) ( ) ( )
.( )
..( )
.( ) ( ) ( )
.( )
1 112
12 21 1 11 22 1 11 1 1 11 1 12 2 1
1 11 22 1 11 22 12 21 1 22 1 12 2 1
= + + + − − + + +
= + − − − + +
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
82
In mod similar se obtine si ecuatia de ordinul doi pentru x2.
3.4.2. Scrierea ecuatiilor de stare ale circuitelor liniare
Orice circuit liniar invariant in timp de ordinul doi poate fi considerat ca un cuadripol
diport rezistiv liniar N (care contine rezistoare liniare si surse independente) cu elementele
dinamice conectate la porti. Se urmareste scrierea unui sistem de doua ecuatii diferentiale de
ordinul intai avand ca necunoscute variabilele de stare (tensiunile condensatoarelor si curentii prin
bobine).
Circuitul cu doua condensatoare
Pentru fiecare condensator se poate scrie
u
i
Cu
i
C
. .1
1
1 22
2=
−= −
Daca N are o solutie unica pentru orice u1, u2
atunci N are o reprezentare controlata in tensiune (vezi paragraful 2.4.3.3.):
ii
g gg g
uu
is tis t
12
11 1221 22
12
12
====
++++
( )( )
Se exprima i1 si i2 in functie de 1u , C1 si , 2u , C2 si se obtine:
u
u
gC
gC
gC
gC
uu
is t
Cis t
C
12
111
121
212
222
12
11
22
.
.
( )
( )
====
−−−− −−−−
−−−− −−−−
++++
−−−−
−−−−
ceeace reprezinta ecuatiile de stare pentru acest circuit.
Circuitul cu doua bobine
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
83
Pentru fiecare bobina se scrie: u Ldi
dtu L
di
dt1 11
2 22= − = −,
Daca N are o solutie unica pentru orice i1, i2 , atunci N are o reprezentare controlata in curent
(vezi
paragraful 2.4.3.3.) si ecuatia de stare este:
i
i
r
L
r
LrL
rL
ii
us t
Lus t
L
1
2
11
1
12
121
2
22
2
12
1
1
2
2
.
.
( )
( )
=
− −
− −
+
−
−
Circuitul cu o bobina si un condensator
Tensiunea la bornele bobinei este u Li2 2= −.
si curentul prin condensator este i C u1 1= −.
.
Daca N are o solutie unica pentru orice u1 si i2 atunci N are o reprezentare hibrida corespunzatoare
(vezi capitolul 2) si ecuatia de stare este:
u
i
h
C
h
ChL
hL
ui
is t
Cus t
L
.
.
( )
( )1
2
11
1
12
121
2
22
2
12
1
1
2
2
=
− −
− −
+
−
−
3.4.3. Raspunsul unui circuit liniar la excitatie nula
In cazul excitatiei nule u(t)=0 ecuatia de stare devine
x Ax saux
x
a aa a
xx
..
.=
=
1
2
11 1221 22
12
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
84
Primul pas pentru rezolvarea ecuatiei de mai sus este determinarea valorilor proprii λ1 si λ2 ale
matricei A. λ1 si λ2 sunt solutiile ecuatiei.
det ( ) ( )
a aa a a a a a a a T11 12
21 222
11 22 11 22 12 212 0
−−−−−−−−
==== −−−− ++++ ++++ −−−− ==== −−−− ++++ ====
λλ λ λ λ λ ∆
∆−±=
4
2
22,1TT
s
s1 si s2 sunt frecventele naturale ale circuitului (vezi capitolul 7). Daca ∆ ≠≠≠≠14
2T atunci s1≠s2
sunt sau numere reale sau numere complex conjugate. Pasul urmator in rezolvarea ecuatiei de stare
este determinarea unor vectori proprii η1 si η2 unde
η
ηη η
ηη1
1112 2
2122
====
====
si
Prin definitie η1 si η2 sunt doi vectori nenuli care satisfac relatiile: A s si A sη η η η1 1 1 2 2 2==== ==== .
Daca se cunosc valorile proprii s1≠s2 si vectorii asociati lor η1 si η2 solutia ecuatiei de stare poate
fi scrisa x t k es t
k es t
( ) ( ) ( )==== ++++11
1 22
2η η unde k1 si k2 sunt constante arbitrare determinate de
conditiile initiale x(0). Intr-adevar
x t k e
s ts k e
s ts k e
s tA k e
s tA Ax
.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .==== ++++ ==== ++++ ====1
11 1 2
22 2 1
11 2
22η η η η
3.4.4. Comportarea calitativa a unui circuit liniar cu excitatie nula
Solutia x(t) are doua componente: x1(t) si x2(t). Evolutia circuitului plecand de la o stare
initiala (x1(0), x2(0)) poate fi reprezentata printr-o curba in planul de coordonate x1, x2 (planul
fazelor). Aceasta curba se numeste traiectorie si se obtine eliminand timpul din expresiile lui x1(t)
si x2(t).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
85
Evolutia circuitului corespunzatoare mai multor stari initiale poate fi reprezentata printr-o
multime de traiectorii in planul fazelor. Aceste traiectorii formeaza un portret de faza.
Starea de echilibru este o stare initiala care ramane nemodificata in cursul evolutiei
circuitului. Aceasta stare corespunde unui punct de echilibru x1Q, x2Q din planul fazelor astfel
incat daca x1(0)=x1Q si x2(0)=x2Q atunci x1(t)=x1Q si x2(t)=x2Q. In consecinta, in punctul de
echilibru avem .x si x1 20 0= =
Punctele de echilibru se pot determina rezolvand sistemul de ecuatii Ax=0 adica
a aa a
xx
Q
Q
11 12
21 22
1
20
=
Daca ∆≠0 acest sistem admite numai solutia banala si originea este singurul punct de echilibru
adica x1Q = x2Q =0. Daca ∆=0 atunci avem o infinitate de puncte de echilibru care satisfac ecuatia
a11 x1Q +a12 x2Q =0.
In continuare vom arata ca doua traiectorii nu se pot intersecta intre ele intr-un punct care
nu este punct de echilibru. Fie un circuit neliniar de ordinul doi avand ecuatiile de stare
C ( , ) C ( , )x f x x si x f x x1 1 1 2 2 2 1 2= = . Panta tangentei la traiectorie
dxdx
2
1 poate fi calculata ca
( , )( , )
xx
f x xf x x
2
1
2 1 2
1 1 2= ceea ce reprezinta o valoare unica intr-un punct dat.
Intr-un punct de intersectie a doua traiectorii ar exista, in mod evident, doua pante, deci
traiectoriile nu se pot intersecta. De la aceasta regula fac exceptie punctele de echilibru in care
f x x si f x x1 1 2 2 1 20 0( , ) ( , )= = deci dxdx
2
1
00
= (nedeterminat) si deci pot exista mai multe pante.
Asa cum se va vedea in continuare portretul de faza, in care este reprezentata evolutia circuitului
pornind din orice stare initiala, constituie o imagine sintetica a comportarii calitative a circuitului.
Fie x t k es t
k es t
( ) = +11
1 22
2η η solutia ecuatiei de stare Cx Ax= cu valorile proprii s1 si s2
si vectorii proprii η1 si η2. Valorile proprii determina comportarea calitativa a circuitului. In
continuare se discuta toate cazurile posibile pentru s1 si s2.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
86
Cazul 1. Matricea A are valori proprii reale si distincte respectiv T si2
40> ≠∆ ∆ si
s T T si s T T1 2
2
4 2 2
2
4= + − = − −∆ ∆ . Exista trei posibilitati:
a) s2<s1<0 Din expresia lui x t k es t
k es t
( ) = +11
1 22
2η η se observa ca daca t → +∞
componenta k es t
22
2η dispare rapid, iar k es t
11
1η dispare mai lent si traiectoriile devin paralele
cu η 1 si tind spre origine.
Daca t → −∞ atunci k es t
22
2η domina si k es t
11
1η dispare rapid si traiectoriile sunt paralele cu
η 2 . In acest caz se spune despre origine ca este un nod stabil.
b) s s1 2 0> > Cu un rationament asemanator rezulta ca daca t k es t
→ +∞, 11
1η devine
dominant si traiectoriile tind catre ∞ si sunt paralele cu η 1 si daca t k es t
→ −∞, 22
2η devine
dominant si traiectoriile pleaca din origine tangente la η 2 . In acest caz se spune despre origine ca
este un nod instabil.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
87
c) s2<0<s1 Daca t → ∞ , componenta k es t
11
1η este dominanta si traiectoriile tind catre ∞
paralele cu η 1 . Daca t → −∞ , componenta k es t
22
2η este dominanta si traiectoriile vin de la -∞.
paralel cu η 2 . In acest caz se spune despre origine ca este un punct sa
Cazul 2 ∆ > T 2
4 si deci matricea A are valori proprii complex conjugate s s1 2= * .
Deoarece A este o matrice cu elemente reale si vectorii η η1 2si rezulta din relatiile
A s si A sη η η η1 1 1 2 2 2= = avem η η1 2= *.
Deoarece x(0) este un numar real rezulta x k k( ) *0 1 1 2 2= + ∈η η R si deci k k1 2= * .
Notam k ke j si k ke j
r j i si r j is j si s j s1 2 1 2 1
1 2 1
= = − = + = = −
= + = − =
ϕ ϕ η η η η η η η
α ω α ω
, * ,
*
Rezulta:
[ ]
x t k e j e j tr j i k e j e j t
r j i
k e tr e j t e j t j i e j t e j t
k e tr t i t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
cos( ) sin( )
= + + + − − − =
= + + − + + + − − +
=
= + − +
ϕ α ω η η ϕ α ω η ηα η ϕ ω ϕ ω η ϕ ω ϕ ω
α η ϕ ω η ϕ ω2
Comportarea calitativa a circuitului in cazul valorilor proprii complex conjugate depinde de
valoarea lui α care se numeste constanta de atenuare. Exista trei posibilitati:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
88
a) pentru α=0 solutia ecuatiei de stare devine
x t k t t cu sir i rr
ri
i
i
( ) ( cos( ) sin( )= + − + =
=
2 1
2
1
2
η ϕ ω η ϕ ω ηηη
ηηη
si portretul de faza este o elipsa care are pe η ηi si r drept directii conjugate. In acest caz
starea de echilibru x=0 se numeste centru si corespunde raspunsului fara pierderi. Cele doua
variabile de stare vor fi: x t A t1 1 1( ) cos( )= +ω θ , x t A t2 2 2( ) cos( )= +ω θ , unde A A1 2 1 2, , ,θ θ
sunt constante.
b)daca α<0 atunci solutia ecuatiei de stare este
[ ]x t k e tr t i t( ) cos ( ) sin( )= − + − +2 α η ϕ ω η ϕ ω si se observa ca la t e t→ ∞ −, α tinde
exponential la zero si toate traiectoriile vor fi spirale logaritmice care tind spre origine cand
t → ∞ .
Starea de echilibru x=0 se numeste, in acest caz, focar stabil si corespunde raspunsului periodic
amortizat. Cele doua variabile de stare vor fi de forma x t A e t t1 1 1( ) cos( )= − +α ω θ ,
x t A e t t2 2 2( ) cos( )= − +α ω θ , unde A A1 2 1 2, , ,θ θ sunt constante.
c) daca α > 0 x(t) are aceeasi expresie ca la punctul b iar portretul de faza contine spirale
logaritmice care tind spre infinit cand t → ∞ .
In acest caz, starea de echilibru x=0 este un focar instabil.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
89
3.4.5. Ecuatiile de stare ale circuitelor neliniare
Ecuatiile de stare pentru un circuit neliniar de ordinul doi scrise sub forma
==
=),,(),,(
),(2122
2111
txxfxtxxfx
sautxfx
se numesc ecuatii de stare in forma normala.
Scrierea ecuatiilor de stare in forma normala rezulta pentru orice circuit neliniar corect modelat.
Multe metode numerice de rezolvare a ecuatiilor diferentiale neliniare sunt formulate pentru forma
normala a ecuatiilor.
In cazul in care circuitul contine numai elemente invariante in timp si surse independente
de curent continuu, variabila timp nu mai apare explicit in ecuatii si acestea sunt de forma
==
=),(),(
)(2122
2111
xxfxxxfx
sauxfx
si se numesc ecuatii de stare autonome, iar circuitul se numeste
circuit autonom. Un circuit in care parametrii surselor independente sunt functii neconstante de
timp se numeste circuit neautonom.
Pentru scrierea ecuatiilor de stare se iau in considerare cele trei configuratii posibile:
Alegerea variabilelor de stare se face in functie de tipurile condensatoarelor si bobinelor
neliniare:
- pentru condensatoare controlate in tensiune, variabila de stare este tensiunea;
- pentru condensatoare controlate in sarcina, variabila de stare este sarcina;
- pentru bobinele controlate in curent, variabila de stare este curentul;
- pentru bobinele controlate in flux, fluxul magnetic este variabila de stare.
In continuare se procedeaza la fel ca in cazul circuitelor liniare. Daca presupunem ca diportul
rezistiv N are o solutie unica pentru orice valori ale parametrilor surselor independente de la porti
alese corespunzator, atunci exista urmatoarele reprezentari ale lui N:
- reprezentarea controlata in tensiune (circuitul cu doua condensatoare)
i i u u ti i u u t1 1 1 2
2 2 1 2
==
( , , ) ( , , )
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
90
- reprezentarea controlata in curent (circuitul cu doua bobine)
u u i i tu u i i t
1 1 1 2
2 2 1 2
== ( , , ) ( , , )
- o reprezentare hibrida (circuitul cu condensator si bobina)
i i u i tu u u i t1 1 1 2
2 2 1 2
==
( , , ) ( , , )
care se utilizeaza la scrierea ecuatiilor de stare. Iata cateva exemple:
i) Fie un circuit autonom cu doua condensatoare controlate in tensiune avand ecuatiile
constitutive q q u si q q u1 2 1 2 2 2= =< ( ) < ( ) . Exprimam pe i si i1 2 in functie de variabilele de stare
u si u1 2 :
i
dqdt
dqdu
u C u u cu C udq u
du
i dqdt
dqdu
u C u u cu C u dq udu
11 1
11 1 1 1 1 1
1 1
1
22 2
22 2 2 2 2 2
2 2
2
= − = − = − =
= − = − = − =
C ( ) C ( )( )
C ( ) C ( )( )
si ecuatiile de stare sunt: C( )
< ( , ), C( )
< ( , )uC u
i u u uC u
i u u11
1 11 1 2 2
1
2 22 1 2==== −−−− ==== −−−−
ii) Fie un circuit autonom cu doua condensatoare controlate in sarcina avand ecuatiile
constitutive u u q si u u q1 1 1 2 2 2= =< ( ) < ( ) . Variabilele de stare fiind q1 si q2 rezulta
i q i q1 1 2 2==== −−−− ==== −−−− , si ecuatiile de stare sunt:
C < ( ( ), ( )) C~( , ) C
~ ( , ).q i u q u q sau q i q q si q i q q1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2= − = − = −
iii) Fie un circuit autonom cu o bobina controlata in curent de ecuatie constitutiva
φ φ1 1 1= < ( )i si o bobina controlata in flux de ecuatie constitutiva i i2 2 2= ( ).φ Exprimam pe
u si u1 2 in functie de variabilele de stare i si1 2φ tinand seama ca tensiunea asociata dupa
regula de la receptoare cu curentul din bobina este u ddt
= φ .
C
( )< ( , < ( ))
( )~ ( , )
C < ( , ( )) ~ ( , )
iL i
u i iL i
u i
u i i u i
11 1
1 1 2 21 1
1 1 2
2 2 1 2 2 2 1 2
1 1= − = −
= − = −
φ φ
φ φ φ
Celelalte cazuri se trateaza similar.
3.4.6. Comportarea calitativa a unui circuit neliniar in jurul unui punct de echilibru
Starea de echilibru este data de solutiile ecuatiilor f x x si f x x1 1 2 2 1 20 0( , ) ( , ) .= =
Pentru circuite autonome neliniare curbele corespunzatoare celor doua ecuatii se pot intersecta in
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
91
mai multe puncte (puncte de echilibru) si deci exista mai multe stari de echilibru. In continuare se
studiaza com-
portarea unui circuit neliniar autonom in jurul unui punct de echilibru Q x Q x Q( , ).1 2
Conceptele de traiectorie si portret de faza introduse la studiul circuitelor liniare de ordinul
doi pot fi utilizate si pentru circuitele neliniare. Traiectoria este curba care se obtine in planul
x x1 2− eliminand pe t din expresiile x t si x t1 2( ) ( ) . Acesata curba se poate vizualiza aplicand
semnalele x t si x t1 2( ) ( ) pe placile de deflexie pe verticala si pe orizontala ale unui osciloscop.
Portretul de faza ofera informatii despre comportarea calitativa a circuitului; de exemplu, o
traiectorie inchisa inseamna ca circuitul oscileaza si o spirala care converge spre punctul de
echilibru inseamna ca oscilatiile sunt amortizate.
Ecuatiile de stare ale circuitului sunt: ( ) ( , ) ( , )
x f x saux f x xx f x x
===
1 1 1 2
2 1 2
Se dezvolta f si f1 2 in serie Taylor in jurul punctului de echilibru Q x xQ Q( , )1 2 .
( , ) ( ) ( ) ...
( , ) ( ) ( ) ...
x f x xfx
x xfx
x x
x f x xfx
x xfx
x x
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
1 1 1 21
11 1
1
22 2
2 2 1 22
11 1
2
22 2
= + − + − +
= + − + − +
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Deoarece Q este punctul de echilibru f x x si f x xQ Q Q Q1 1 2 2 1 20 0( , ) ( , ) .= = Notam
x x x Q x x x Q1 1 1 2 2 2==== −−−− ==== −−−−, si
xfasi
xfa
xfasi
xfa
2
222
1
221
2
112
1
111
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==
==
Daca se pot neglija termenii de ordin superior din dezvoltarea Taylor ecuatiile de stare se pot scrie:
x a x a xx a x a x
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
= += +
Astfel s-a aproximat ecuatia de stare neliniara cu o ecuatie liniara in jurul punctului de echilibru.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
92
In jurul punctului Q, portretul de faza al circuitului neliniar autonom este similar cu
portretul de faza asociat acestei ecuatii liniare. Deci comportarea calitativa a circuitului neliniar in
jurul unui punct de echilibru se poate studia cu ajutorul circuitului liniar asociat ecuatiei de stare de
mai sus. Daca, de exemplu, pentru circuitul liniar originea este nod stabil sau instabil acelasi lucru
se poate spune si despre punctul de echilibru al circuitului neliniar.Aceeasi afirmatie se poate face
si pentru focare. Atunci cand originea este centru in ecuatiile neliniare intervin termenii de ordin
superior care nu mai pot fi neglijati si nu se mai poate face interpretarea comportarii calitative a
circuitului neliniar in functie de modelul liniarizat.
3.4.7. Oscilatii in circuitele neliniare Orice raspuns al unui circuit autonom neliniar este determinat atat de starea initiala cat si de
excitatii (sursele independente de curent continuu). Daca intr-un astfel de circuit exista cel putin un
raspuns (tensiune sau curent) care este functie periodica de timp spunem ca circuitul oscileaza (este
un oscilator).
Un oscilator simplu utilizat in multe aplicatii este circuitul RLC serie in care elementele
dinamice sunt liniare cu parametri pozitivi (L>0, C>0) si rezistorul este neliniar. Starea initiala
(uC(0) si I2(0)) determina o energie totala W C u L iC L( ) ( ) ( )02
02
0 02 2= + ≥ acumulata in elementele
dinamice la t=0. Daca rezistorul neliniar este strict pasiv (u ⋅I>0) acesta va absorbi o putere
pozitiva care se va transforma ireversibil in caldura. Energia disipata de rezistor provine din W(0)
deci daca rezistorul este strict pasiv lim ( )t
W t→∞
= 0 si u t i tC t L t( ) , ( )
→∞ →∞ → →0 0 deci nu
poate exista nici un raspuns periodic. Rezulta ca rezistorul trebuie sa fie activ.
Se poate arata ca daca un rezistor controlat in curent cu ecuatia constitutiva u u i= ( )
satisface conditiile
i uii uiii
iu i
ivi
u i
) <( )) <' ( )) lim <( )
) lim <( )
0 00 0
=<
→∞= +∞
→−∞= −∞
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
93
atunci circuitul RLC serie oscileaza. De exemplu caracteristica
se poate obtine cu un circuit cu un amplificator operational (vezi paragraful 2), iar caracteristica
u i i= −3
3 are o alura similara.
Ecuatiile de stare ale circuitului RLC serie sunt
C ( , )
C<( )
( , )
uiC
f u i
iu u i
Lf u i
CL
C L
LC L
C L
= − =
=−
=
1
2
Starea de echilibru se obtine pentru CuC = 0 si CiL = 0 . Rezulta i uL C= =0 0, . Comportarea
calitativa a circuitului in jurul originii se determina calculand elementele matricei de stare a
circuitului liniar asociat
a fu
a fi C
a fu L
a fi
uCC L C L
111
121
212
2220 1 1 0= = = = − = = = = −∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
' ( ) .
Valorile proprii ale matricei A se calculeaza ca radacini ale ecuatiei λ λ2 0− + =T ∆ unde
Τ ∆= + = − > = − =a a uL
a a a aLC11 22 11 22 21 12
0 0 1' ( ) , . Deoarece T>0 rezulta ca λ1 2, sunt sau
numere reale pozitive sau numere complexe cu partea reala pozitiva. Daca λ λ1 2 0> > atunci
originea este nod instabil si traiectoriile pornesc toate din origine
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
94
indepartandu-se de zona din jurul acesteia. Daca λ λ1 2, ∈C originea este focar instabil si
traiectoriile se indeparteaza de zona din jurul originii cand t → ∞ . Pe masura ce punctul de
functionare( de coordinate uC(t) si iL(t)) se indeparteaza de origine valorile lui iL cresc si punctul de
functionare pe caracteristica <( )u iL a rezistorului intra in cadranul I sau III. In acest caz in locul
unui rezistor local activ caracterizat de ' ( )u 0 0< avem un rezistor pasiv care absoarbe o putere
pozitiva u i⋅ > 0 care este si local pasiv ( <' ( ) )u i > 0 . Acestui rezistor ii corespund valori proprii cu
partea reala negativa. Ca urmare intr-o zona care nu este in jurul originii traiectoriile nu tind spre
infinit. Deoarece circuitul are un singur punct de echilibru in origine traiectoriile nu pot sa
convearga decat spre acest punct. Rezulta ca, deoarece traiectoriile nu se pot intersecta intre ele
decat in punctul de echilibru, trebuie sa existe o curba limita spre care tind aceste traiectorii.
Aceasta curba este inchisa astfel incat parcurgand-o se obtin forme de unda periodice pentru
i si uL C . Acest rationament este doar o justificare din considerente fizice fara a fi o demonstratie a
existentei si unicitatii ciclului limita. Aparitia oscilatiilor este ilustrata in continuare prin cateva
exemple.
Exemplul 1 - Oscilatorul liniar este circuitul RLC serie in care rezistorul are R = 0.
Daca ( )u i = 0 ecuatiile de stare sunt , u iC
i uCC
LL
C= − = si cu notatiile ω 02 1=
LC solutia are
forma i t A t u t LA tL C( ) sin( ), ( ) cos( )= − = −ω θ ω ω θ0 0 0 unde A si θ depind de conditiile
initiale. Eliminand timpul, din expresiile i t si u tL C( ) ( ) rezulta ecuatia traiectoriei
i uL
ALC2
2
20
22+ =
ω care este o elipsa.
Portretul de faza contine o multime de elipse. In toate punctele unei elipse energia totala este
aceeasi W t C u t L i t LAC L( ) ( ) ( )= + =2 2
12
2 2 2 deci oscilatia consta intr-un transfer al energiei
acumulate intre condensator si bobina. Aceste traiectorii de nivel energetic constant se numesc
orbite.
Observatii
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
95
i) oscilatorul liniar este un model idealizat care nu tine seama nici de pierderile din
condensatoarele si bobinele reale si nici de rezistentele firelor de legatura
ii) spre deosebire de ciclul limita, in orice vecinatate a unei orbite exista traiectorii inchise (orbitele
foarte apropiate).
Exemplul 2 Oscilatorul Van der Pol este un ciruit RLC serie in care ( )u i i i= −3
3. Ecuatiile de
stare sunt , ( / )u iC
i u i iLC
LL
C L L= − = − −3 3 . Facem schimbarea de variabila τ = tLC
si rezulta:
dudt
dud LC
didt
did LC
C C L L= ⋅ = ⋅τ τ
1 1, si notand ε = CL
ecuatiile de stare devin:
dud
i did
u i iC L LC
LLτ ε τ
ε= − = − −
,3
3.
Aceste ecuatii nu au solutie analitica. Pentru anumite valori ale lui ε se pot determina solutii
analitice aproximative.
Daca ε → 0 se pot face urmatoarele aproximatii:
in ecuatia de ordinul 2 pentru iL d id
i i did
LL L
L2
22 1
τε
τ= − − −( )
se poate considera ca ετ
εdid
u i iLC
LL= − −
≈23
30 si rezulta d i
diLL
2
2τ= − .
Aceasta ecuatie are o solutie de forma i AL = −cos( )τ θ din care rezulta
uC
i dt AC L= − = − −∫
1ε
τ θsin( ) deci traiectoria este o elipsa.
In solutia ecuatiei simplificate A depinde de conditiile initiale. Se poate arata (de exemplu prin
integrare numerica) ca pentru ε < 0 1, solutia ecuatiilor de stare nesimplificate are un ciclu limita
eliptic corespunzator valorii A=2. Pentru valori 0 3 0 7, ,< <ε ciclul limita este o elipsa deformata.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
96
Daca ε → ∞ rezulta dud
deci u ctCCτ
≈ =0 . In acest caz, daca
u u i didC L
L− ≠ → ∞( ) .0τ
Deci daca u u iC L− ≠( ) 0 traiectoriile vor fi paralele cu axa iL. Sensul
parcursului dinamic pe aceste traiectorii este:
daca u u i didC L
L> → +∞( ),τ
si iL creste
daca u u i didC L
L< → −∞( ),τ
si iL scade.
Pentru u u i valoarea didC L
L≈ → ∞ ⋅( )τ
0 nu se poate determina.
Se poate insa considera ca u u i didC L
L− = →( ) 1 0ε τ
deci si caracteristica ( )u iL este traiectorie.
Deci pentru ε → ∞ portretul de faza este:
Acest portret de faza justifica regula de salt de la oscilatorul de relaxare realizat cu un
circuit de ordinul I cu condensator liniar si rezistor cu caracteristica ( )u i (vezi paragraful 3.3.6.).
Intr-adevar daca L → 0 in oscilatorul Van der Pol rezulta ε → ∞ iar circuitul devine de ordinul I.
Saltul lui I se face conform portretului de faza al circuitului de ordinul II. Timpul de salt este
practic nul deoarece variatia in timp a lui iL este foarte rapida didt
L → ∞
. Modelul de ordinul I
care are puncte de impas este un model incorect. Modelul corect este cel de ordinul II in care
intervine si inductivitatea L. In realitate aceasta inductivitate exista fiind un element parazit de
circuit asociat firelor de legatura dintre condensator si rezistorul neliniar.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
92
3.5. Circuite de ordin mai mare decat doi
3.5.1. Scrierea ecuatiilor metodei tabloului
Un circuit dinamic de ordin n >2 are n >2 elemente dinamice (condensatoare si/sau
bobine). Circuitele care contin doua bobine liniare sau neliniare cuplate intre ele sunt un exemplu
de astfel de circuite (functionarea acestor bobine este studiata in paragraful 3.2.4.).
In cazul in care circuitul contine n bobine cuplate intre ele se definesc urmatoarele matrice:
- vectorul fluxurilor [ ]φ φ φ φ= 1 2, ,..., nt
- vectorul curentilor [ ]i i i int
= 1 2, ,...,
- vectorul tensiunilor [ ]u u u unt
= 1 2, ,...,
- matricea inductantelor LL L L n
Ln Ln Lnn
=
11 12 1
1 2
Aceste matrice sunt legate intre ele prin ecuatiile φ φ= = =Li si u Li . Ecuatii asemanatoare se
pot scrie si pentru circuitele care contin n condensatoare: q Cu= si i q Cu= = cu semnificatiile
cunoscute pentru u si i, q fiind vectorul sarcinilor si C- matricea capacitatilor condensatoarelor.
Observatie Circuitul cu doua bobine (liniare sau neliniare) cuplate este de ordinul doi.
Deoarece cand bobinele sunt cuplate scrierea ecuatiilor de stare in forma normala presupune
calcule mai laborioase decat in cazul bobinelor necuplate, acest circuit se studiaza in cadrul acestui
paragraf. De exemplu un diport rezistiv linar cu reprezentarea controlata in curent u=Ri+e are
conectate la porti doua bobine liniare cuplate cu ecuatia de functionare u Li= = φ ; in acest caz
forma normala a ecuatiei de stare este i L Ri L e= − − + −1 1 deci determinarea elementelor matricei
de stare A=L-1 R presupune inversarea unei matrice si inmultirea a doua matrice.
In metoda teoremelor lui Kirchhoff (tabloului) pentru un circuit cu n noduri si l laturi se
considera urmatorii vectori de curenti, tensiuni si potentiale ale nodurilor
ii
il
uu
ul
si vv
vn
cu vn=
=
=
−
=1 1 1
1
0 ,
si matricea A de incidenta laturi-noduri.
Teoremele lui Kirchhoff dau urmatoarele ecuatii: Ai si u A vT= =0 .
Ecuatiile de legatura dintre u si i pentru fiecare element de circuit separat se pot scrie
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
93
( ) ( )M M u N N i us0 1 0 1∆ ∆+ + + = unde:
- ∆ este operatorul de derivare d/dt
- us e isl
t=
1 este vectorul parametrilor surselor independente
- matricele M M N N0 1 0 1, , , sunt matrice l l× care se construiesc in functie de elementele
circuitului.
Fie un circuit liniar cu elemente invariante in timp in care fiecare latura contine un singur
element dipolar de circuit sau corespunde unei porti a unui multiport:
- pentru un rezistor: 0)1(,1)1,1(1,0)1,1(0,1)1,1(1,0)1,1(0 =−==== sURNNMM si
ecuatia este 0111 =− iRu
- pentru un condensator:
02220)2(,1)2,2(1,0)2,2(0,0)2,2(1,)2,2(0 =−=−==== iuCsisUNNMCM
- pentru o bobina:
03330)3(,0)2,2(1,)3,3(0,1)3,3(1,0)3,3(0 =−==−=== iLusisUNLNMM
etc.
Toate cele trei tipuri de ecuatii (teorema 1, teorema 2 Kirchhoff si ecuatiile de functionare) se pot
scrie matriceal:
0 0
1 00 0 1 0 1
00
AAt
M M N N
vui us
−+ +
=
∆ ∆
ceea ce reprezinta ecuatiile metodei tabloului.
Metoda tabloului pentru circuite neliniare presupune scrierea urmatoarelor ecuatii
isiurelegaturadeecuatiiletqqiiuuhKirchhoffluiaaIIateoremavAu
KirchhoffluiaIteoremaiAt
int0),,,,,,,,(
0
=φφ−=
=⋅
In cazul unui condensator neliniar controlat in tensiune ecuatia de legatura este ic Cuc= unde
cducuqd
C)(ˆ
= atunci cand q q uc= ( ) . Pentru un condensator controlat in sarcina ecuatiile de
legatura sunt ic qc= si uc uc qc= ( ) . In cazul unei bobine neliniare controlata in curent ecuatia de
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
94
legatura este uL LiL unde Ld iL
diL= =
( )φ, iar pentru o bobina conrolata in flux ecuatiile de
legatura sunt uL L si iL iL= = ( ).φ φ
Deci pentru un circuit al carui graf are L laturi si N noduri metoda tabloului conduce la un sistem
de 2L+N-1 ecuatii scalare cu 2L+N-1 necunoscute (L curenti, L tensiuni si N-1 potentiale ale
nodurilor). Ecuatiile metodei tabloului sunt ecuatii algebrice liniare (care provin din teoremele lui
Kirchhoff si ecuatiile constitutive ale elementelor liniare de circuit), ecuatii diferentiale (care
contin Cu introdus de condensatoare si Ci introdus de bobine) liniare si ecuatii algebrice neliniare
(ecuatiile constitutive ale elementelor nelinare de circuit). Functia h depinde explicit de timp
atunci cand anumite surse independente sunt variabile in timp sau anumiti parametri ai circuitului
nu sunt invarianti in timp.
3.5.2. Scrierea ecuatiilor metodei nodale
Scrierea ecuatiilor metodei nodale (metoda potentialelor nodurilor) pentru un circuit
neliniar consta in:
-scrierea teoremei I a lui Kirchhoff in n-1 noduri cu exceptia nodului de referinta pentru
care Vn=0 avand drept necunoscute potentialele nodurilor si curentii din laturile cu elemente ale
caror caracteristici nu sunt controlate in tensiune
-scrierea ecuatiilor de legatura dintre tensiune si curent pentru fiecare latura care contine
elemente care nu sunt controlate in tensiune; fiecare element de acest tip introduce cel putin o
variabila suplimentara (un curent) si o ecuatie suplimentara:
-sursa ideala de tensiune introduce necunoscuta suplimentara i (curentul prin
sursa) si ecuatia suplimentara V j Vk e t− = ( )
-rezistorul controlat in curent introduce variabila suplimentara iR prin ecuatia
u u iR R R= < ( )
- bobina liniara introduce in plus variabila iL variabila si ecuatia uL Li L= C
-bobina neliniara controlata in flux introduce doua variabile suplimentare
i siL φ prin ecuatiile i i si uL L L= = ( ) φ φ
-condensatorul controlat in sarcina introduce variabilele suplimentare iC si qC prin
ecuatiile ic q si qc qc uc= =C < ( )
Exemplu
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
95
,23102,cos21,04 iVtVV C−===
( ) / ( ) / , ( C C ) ( ) ,V V V V i V V V V i V i i2 1 2 2 3 1 2 0 10 61 3 1 2 3 3 3 3 3
23− + − + = − − + − = = −
Ecuatia 1316
21 )(1021)( iVVVV =−−− nu este necesara deoarece una dintre bornele sursei ideale
de tensiune este conectata la nodul de potential nul.
Metoda nodala are mai putine ecuatii decat metoda tabloului ceea ce estei un avantaj in special
pentru calculul manual. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de catre un operator uman este insa
eficienta numai pentru circuitele de ordinul I, unde exista o singura ecuatie. Incepand cu ordinul II
fie se determina (acolo unde exista) o solutie analitica utilizand un manipulator simbolic (de
exemplu MAPLE V) sau, chiar pentru circuitele liniare, se foloseste o metoda numerica (vezi
paragrafele 3.5.6 si 3.5.7).
3.5.3. Scrierea ecuatiilor de stare
3.5.3.1. Circuite liniare
Se urmareste scrierea ecuatiilor de stare in forma normala ),( txfx = . Aducerea ecuatiilor
la aceasta forma are doua avantaje:
-se pot studia mai usor proprietatile calitative ale circuitului
-se pot aplica anumite metode numerice pentru analiza circuitului, formulate pentru
rezolvarea unui sistem de ecuatii diferentiale scris in aceasta forma.
Din punct de vedere al scrierii ecuatiilor de stare se disting doua cazuri:
I. Circuitul satisface urmatoarele restrictii:
- nu exista nici o bucla formata numai din surse de tensiune independente sau comandate
si/sau condensatoare
- nu exista nici o sectiune formata numai din surse de curent independente sau comandate
si/sau bobine.
II. Restrictiile din cazul I nu sunt satisfacute. In acest caz variabilele de stare nu sunt independente
intre ele. De exemplu, pentru o bucla formata din condensatoare liniare si surse ideale de tensiune,
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
96
teorema a II-a a lui Kirchhoff da uck ek t+∑ =∑ ( ) 0 ; pentru o sectiune formata numai din bobine
liniare si surse de curent, teorema I a lui Kirchhoff da iLk iSk t+ =∑∑ ( ) .0 In cazul I marimile de
stare ( Cu si Li ) sunt liniar independente intre ele. In cazul II unele marimi de stare (marimile in
exces) pot fi explicitate ca o functie afina de celelalte marimi de stare (marimi independente).
Scrierea ecuatiilor de stare se trateaza separat pentru cazurile I si II.
Circuite fara marimi de stare in exces
In acest caz, nu exista nici o bucla formata numai din condensatoare si surse de tensiune si
nici o sectiune formata numai din bobine si surse de curent. Rezulta ca se poate construi un arbore,
numit arborele normal, care contine toate sursele de tensiune si toate condensatoarele, iar toate
sursele de curent si toate bobinele apartin coarborelui corespunzator. Circuitul poate fi reprezentat
ca un multiport care contine rezistoare dipolare si multipolare si surse independente la portile
caruia sunt conectate elementele dinamice.
Conform teoremei substitutiei se inlocuieste fiecare condensator cu o sursa de tensiune si fiecare
bobina cu o sursa de curent.
Se fac urmatoarele notatii
x
u
upip
in
y
i
ipup
un
si s
e
eis
is
vectorul surselor independente====++++
====++++
====++++
−−−−
1
1
1
1
1
1
, ( )µ αα
µ
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
97
Daca acest multiport are o solutie unica pentru orice valori ale parametrilor surselor conectate la
porti, atunci conform teoremei superpozitiei skxky µ+= 10 unde 0k si 1k sunt matrice cu
elemente constante.
Notand ),...,,,...,( 11 npp LLCCdiag +=∆ rezulta xy ∆−= si yx 1−∆−= deci
( )skxkx µ+∆−= −10
1 . Aceasta relatie se poate scrie sub forma sBAxx µ+= unde A se
numeste matricea de stare a circuitului.
Exemplu. Sa se scrie ecuatiile de stare in forma normala pentru circuitul
Arborele normal este format din laturile in care se afla elementele: 521 ,,, RRCE . Coarborele
normal este format din laturile in care se afla siLL ,, 43 . Multiportul rezistiv la bornele caruia
sunt conectate sursa de tensiune care substituie pe 1C si sursele de current care substituie pe
3L si 4L este:
Notam
=
=
4
3
1
4
3
1
,uui
yiiu
x
Pentru a determina elementele matricei 0k , sursele independente din interiorul mutiportului
rezistiv se pasivizeaza. Pentru a determina prima coloana a matricei 0k se pasivizeaza si
sursele de curent 3i si 4i . Rezulta:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
98
010 431 === uui
Pentru a determina a doua coloana a matricei 0k se pasivizeaza sursa de tensiune 1u si sursa de
curent 4i . Rezulta:
121 431 −==−= uui
Pentru a determina a treia coloana a matricei 0k se pasivizeaza sursa de tensiune 1u si sursa de
curent 3i . Rezulta:
100 431 === uui
Elementele matricei 1k rezulta pasivizand toate sursele de la porti. Pentru prima coloana din 1k se
pasivizeaza sursa si iar pentru a doua se pasivizeaza sursa E.
010 431 === uui
011 431 =−== uui
Deci
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
99
−+
−
−=
11
0011
10
110021010
4
3
1
4
3
1
iiu
uui
Dar ( )336 10210,10 −−− −=∆ diag si xy ∆−= deci
−−
⋅⋅−⋅
−−=
1
1
001010
100
10210200102100100
33
6
4
3
1
33
33
6
4
3
1
BA
iiu
uiu
Observatii
i) Scrierea ecuatiilor de stare de catre un operator uman implica de regula calcule
laborioase chiar pentru un circuit de ordinul II. Din acest motiv, aceste operatii sunt
efectuate cu programe de calcul.
Circuite cu marimi de stare in exces
In acest caz exista cel putin o bucla formata numai din condensatoare si surse de tensiune
sau o sectiune formata numai din bobine si surse de curent. Rezulta ca vom avea cel putin un
condensator care nu poate fi plasat in arbore sau o bobina care nu poate fi plasata in coarbore.
Arborele normal contine deci toate sursele de tensiune si un numar cat se poate de mare de
condensatoare ale caror tensiuni sunt marimi de stare independente. Celelalte condensatoare vor fi
continute in coarborele normal si tensiunile acestora sunt marimi de stare in exces. Coarborele
normal contine toate sursele de curent si un numar cat mai mare de bobine ai caror curenti sunt
marimi de stare independente. Celelalte bobine sunt continute in arbore si curentii acestora sunt
marimi de stare in exces.
Consideram circuitul ca un multiport rezistiv cu elementele dinamice conectate la porti.
Conform teoremei substitutiei se inlocuiesc condensatoarele si bobinele din arbore cu surse de
tensiune si condensatoarele si bobinele si condensatoarele din coarbore cu surse de curent. Rezulta
circuitul
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
100
in care pentru simplitate s-a reprezentat numai cate o singura sursa pentru fiecare categorie de
element (condensatoare din arbore, bobine din arbore, bobine din coarbore, condensatoare din
coarbore). Al doilea indice al marimilor reprezinta arborele (a) sau coarborele (c).
Se noteaza
=
=
=
=
La
Cc
Lc
Ca
La
Cc
Lc
Ca
ui
yui
yiu
xiu
x *,,*, .
Circuitul rezistiv fiind liniar, conform teoremei superpozitiei rezulta:
*210 ykkxky s +µ+= unde 10 , kk si 2k sunt matrice cu parametri constanti.
Ecuatiile de functionare ale elementelor dinamice se pot scrie:
xy ∆−= unde ∆ = diag [toate capacitatile din arbore, toate inductivitatile din coarbore]
*** xy C∆−= unde *∆ = diag [toate capacitatile din coarbore, toate inductivitatile din arbore]
Marimile de stare in exces se pot exprima, cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff, in functie de
marimile de stare independente si parametrii unor surse independente: skxkx µ+= 43* .
Rezulta skxky µ∆−∆−= 43 ***
Dar ( )[ ]sus kxkkkxkyx µ∆+∆−µ+∆−=∆−= −− ** 3210
11
Ultima relatie se poate scrie sub forma:
ss BBAxx µ+µ+= * unde A este matricea de stare a circuitului.
Exemplu Fie circuitul din figura pentru care exista bucla formata din 41,CC si E . Se considera
4u marime de stare in exces.
Multiportul rezistiv in care 1C se substituie cu o sursa de tensiune, 4C se substituie cu o sursa de
curent si 3L se substituie cu o sursa de curent este:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
101
Notam
[ ] [ ]443
1
3
1 ** iyuxui
yiu
x ==
=
=
Pentru a calcula matricea 0k se pasivizeaza sursele independente si sursa 4i . Apoi pasivizam pe
rand sursele 3i si 1u . Rezulta
10 31 == ui
21 31 =−= ui
−=
2110
0k
Pentru a determina pe 2k se pasivizeaza sursele independente, sursa 1u si sursa 3i . Rezulta:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
102
01 31 == ui
=
01
2k
1k se determina pasivizand sursele 31, iu si 4i si apoi pe rand sursa 5i si sursa E. Rezulta:
10 31 == ui
11 31 −== ui
−=
1110
1k
Ecuatiile de functionare ale 1C si 3L sunt:
−=
−
−
3
13
6
3
1
100010
iu
ui
iar ecuatia de functionare a 4C este 46
4 102 ui −⋅−= .
Din teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta
tuu 2sin214 −−=
si utilizand 46
4 102 ui −⋅−= rezulta tui 2cos108102 6
16
4−− ⋅+⋅= .
Rezulta
( )tut
iu
iu
2cos1081021
2sin21010
10010210100 6
16
66
6
3
133
6
3
1 −− ⋅+⋅+
−+
⋅−−=
sau cu notatia 999998,0=γ
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
103
⋅+
−γ−
⋅γ
−−=
−
02cos108
12sin2
1010
100
10210
100 6
66
6
3
1
33
6
3
1 ttiu
iu
BA
Observatii
i) spre deosebire de cazul I, in ecuatia de stare in forma normala apar si derivatele in
raport cu timpul sµ ale parametrilor surselor independente;
ii) s-a presupus, pentru simplitate, ca sursele comandate liniar nu intra in buclele de
condensatoare si in sectiunile de bobine; daca avem totusi o astfel de sursa, marimea de
comanda a acesteia se poate exprima ca o combinatie liniara a tensiunilor ramurilor sau
a curentilor coardelor si in final se ajunge la aceeasi forma a ecuatiei de stare;
iii) Pentru scrierea ecuatiilor de stare in forma normala se poate utiliza o matrice hibrida H
a multiportului rezistiv pasivizat, unde
[ ] skxx
Hyy
µ+
=
**
si pasivizatesuntkportile
toatelaeexcitatiilsiNdinteindependensurselejk kpoartalaexcitatiajpoartalaraspunsulh
≠=
Determinarea elementelor matricei H implica eliminarea unor variabile din ecuatiile
multiportului rezistiv si explicitarea marimilor y si y*. Aceste operatiuni includ
rezolvarea unor sisteme de ecuatii liniare ale caror solutii pot fi afectate de erori.
3.5.3.2. Circuite neliniare
Circuite fara marimi de stare in exces
Se utilizeaza teorema substitutiei similar cu cazul circuitelor liniare.
Daca multiportul rezistiv are o solutie si numai una pentru orice valori ale parametrilor surselor
conectate la porti atunci exista functiile:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
104
),...,,,...,(
),...,,,...,(
),...,,,...,(
),...,,,...,(
1
1
1
1
1
111
1
111
np
np
np
np
sspnn
ssppp
ssppp
ssp
iiuufu
iiuufu
iiuufi
iiuufi
+
+
+
+
=
=
=
=
++
Vom considera doua cazuri:
10 -toate condensatoarele sunt controlate in tensiune avand ecuatiile de functionare
ik Ck uk cu Ckdqkduk
= = ≠C
<
0 in orice punct al caracteristicii,
-toate bobinele sunt controlate in curent avand ecuatiile de functionare
0ˆ
≠ϕ
==kdikd
kLcukikLku C in orice punct al caracteristicii.
In acest caz se noteaza: ∆ = +
diag C Cp Lp Ln1 1,..., , ,..., si deci yxsixy 1−∆−=∆−= si
ecuatiile de stare sunt date de ),(1sxfx µ∆−= −
C .
20 -toate condensatoarele sunt controlate in sarcina
-toate bobinele sunt controlate in flux
Cu notatia: [ ]nppqqx ϕ+ϕ= ,...,1,,...,1 caracteristicile elementelor dinamice sunt date de
x g x= ( ) si deci xy = respectiv C ( ( ), )x f g x s= µ . Ecuatiile de stare sunt in acest caz
( , )x h x s= µ .
Circuite cu marimi de stare in exces
Arborele normal se considera la fel ca in cazul circuitelor liniare cu marimi de stare in
exces. Aplicand teorema substitutiei similar cu cazul circuitelor liniare cu marimi de stare in exces
rezulta circuitul
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
105
Daca acest circuit are o solutie si numai una pentru orice valori ale parametrilor surselor
independente de la porti atunci se poate scrie )*,,( syxgy µ= .
10 In continuare vom trata cazul in care toate condensatoarele sunt controlate in tensiune si toate
bobinle sunt controlate in curent. Se poate scrie xy ∆−= si *** xy ∆−= unde ∆ = diag [
capacitatile dinamice ale condensatoarelor din arbore, inductivitatile dinamice ale bobinelor din
coarbore] si *∆ = diag [ capacitatile dinamice ale condensatoarelor din coarbore, inductivitatile
dinamice ale bobinelor din arbore].
.
Cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se exprima marimile de stare in exces in functie de cele
independente si parametrii unor surse independente skxkx µ+= 43* si
skxky µ∆−∆−= 43 ***
Rezulta: [ ] ),()*,,( 111ss xfyxgyx µ∆=µ∆−=∆−= −−−
.
20 Cazul in care toate condensatoarele sunt controlate in sarcina si toate bobinele sunt controlate in
flux se trateaza la fel ca in pentru circuitele fara marimi de stare in exces.
Observatii
i) Scrierea ecuatiilor de stare implica eliminarea unor variabile din ecuatiile multiportului
rezistiv si explicitarea marimilor y si y*. Aceste operatiuni includ rezolvarea unor sisteme de
ecuatii algebrice neliniare ale caror solutii pot fi afectate de erori
3.5.4. Existenta si unicitatea solutiilor
3.5.4.1. Introducere
Existenta si unicitatea solutiei unui circuit dinamic este legata de existenta ecuatiei de stare
in forma normala. Daca ecuatia ( , )x f x t= exista atunci in literatura matematica se arata ca: daca
f este Lipschitzana (pentru orice x1 si x2 si orice t f x t f x t k x x( , ) ( , )1 2 1 2− ≤ − unde k>0 si
• este norma euclidiana) si daca functia f(0,t) este uniform marginita, atunci ecuatia de stare are
o solutie unica pentru orice stare initiala x x t0 0= ( ). Din paragraful 3.5.3 rezulta ca existenta
formei normale a ecuatiei de stare este legata de :
• existenta si unicitatea soluteie multiportului rezistiv pentru orice valori ale parametrilor
surselor (care inlocuiesc elementele dinamice) conectate la porti,
• existenta matricelor 1−∆ si 1*−
∆ deci existenta unor capacitate si inductivitati dinamice
nenule pentru orice valori ale parametrilor de control ai acestor elemente.
Caracterul Lipschitzian al functiei f nu poate fi dedus din caracterul Lipschitzian al ecuatiilor
constitutive ale elementelor de circuit. Din acest motiv in teoria circuitelor intereseaza conditii de
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
106
existenta si unicitate exprimate in functie de ecuatiile constitutive ale elementelor de circuit si de
modul de interconectare a acestor elemente.
3.5.4.1. Circuite liniare
In acest caz elementele dinamice sunt liniare deci exista 1−∆ si 1*−∆ . Daca multiportul
rezistiv din capitolul 3.5.3. are o solutie si numai una pentru orice valori ale parametrilor surselor
independente conectate la porti, atunci exista ecuatia de stare in forma normala
ss BBAxx µµ *++= sau ),( txfx = .
Se poate arata ca in acest caz ),( txf este Lipschitziana:
)()(),( 2121 xxAtxftxf −=− deoarece exista intotdeauna o constanta k astfel incat
2121 )( xxkxxA −≤− .
Daca ),0( tf este uniform marginita atunci circuitul are o solutie unica pentru orice stare
initiala )( 0tx .
3.5.4.3. Circuite neliniare
Se considera numai cazul circuitelor fara marimi de stare in exces. Atunci cand avem
marimi de stare in exces problema se trateaza similar.
Daca caracteristicile elementelor dinamice sunt strict crescatoare si derivabile atunci
acestea au un parametru dinamic ( dC sau dL ) nenul in orice punct de functionare, deci exista 1−∆ .
Daca rezistoarele sunt strict crescatoare si multiportul rezistiv nu are bucle formate numai din
surse de tensiune si sectiuni formate numai din surse de curent, atunci acest multiport rezistiv are o
solutie unica. Rezulta ca exista ecuatiile de stare in forma normala ),( txfx = . Pentru ca circuitul
dinamic sa aiba o solutie unica pentru orice stare initiala )( 0tx este sufficient ca f sa fie
Lipschitziana.
Am justificat deci:
Teorema I Un circuit fara marimi de stare in exces avand:
• elemente dinamice cu caracteristici strict crescatoare si derivabile
• elemente resistive cu caracteristici strict crescatoare astfel incat ),( txfx =C unde f este
Lipschitziana
are o solutie si numai una pentru orice stare initiala )( 0tx .
Caracterul Lipschitzian este insa destul de restrictiv. De exemplu daca
)(),( 2 tsxtxf += atunci 22
2121 ),(),( xxtxftxf −=− sin nu exista un k astfel incat
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
107
2122
21 xxkxx −≤− pentru orice 1x si 2x . Rezulta ca rezistoarele cu neliniaritati polinomiale pot
conduce la functii f care nu sunt Lipschitziene.
Se poate demonstra ca un circuit cu elemente dinamice si rezistive cu caracteristici strict
crescatoare are o solutie unica desi f poate sa nu fie Lipschitziana.
Teorema II Fie un ciruit cu elemente dinamice cu caracteristici strict crescatoare si derivabile.
Daca toate rezistoarele sunt strict crescatoare si multiportul rezistiv are o solutie si numai una,
atunci circuitul dinamic are o solutie si numai una pentru orice stare initiala )( 0tx .
Stim din paragraful 2.4.1. ca rezistoarele cu caracteristici nemonotone favorizeaza aparitia
unor solutii multiple ale circuitului rezistiv. Prezenta acestor rezistoare poate conduce la
inexistenta ecuatiei de stare in forma normala.
Fie circuitul de ordinul intai din figura a unde rezistorul neliniar are caracteristica i=g(u)
din figura b. Deoarece u Li= − rezulta ca pentru u>0 i scade iar pentru u<0 i creste deci
a b
parcursurile dinamice posibile sunt cele indicate in figura b. Acest circuit nu are solutie deoarece
plecand din orice stare initiala se ajunge intr-un punct de impas (vezi paragraful 3.4.6.) Q1 sau Q2
din care solutia nu mai poate evolua. Acest circuit nu are ecuatie de stare in forma normala
deoarece functia ))(( 11 iguundeg −− = nu exista, deci ecuatia sub forma ( )i g iL
= −−1
nu se poate
scrie. Intr-adevar daca se inlocuieste bobina cu o sursa de curent “multiportul rezistiv” nu are
solutie unica pentru orice Li deoarece rezistorul neliniar nu este controlat in current cu
),( +∞−∞∈i .
Se considera un circuit RLC in care partea rezistiva formeaza un multiport la portile caruia
sunt conectate elementele dinamice. Cu notatiile din paragraful 3.5.3. cazul 20 se poate formula
urmatoarea teorema.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
108
Teorema III Daca intr-un circuit RLC sunt indeplinite conditiile:
i) nu exista bucle (sectiuni) formate din condensatoare (bobine) si/sau surse independente
de tensiune (curent)
ii) orice rezistor controlat in tensiune care nu este controlat si in curent este conectat in
paralel cu un condensator
iii) orice rezistor controlat in curent care nu este controlat si in tensiune este conectat in
serie cu o bobina
iv) orice rezistor care nu satisface conditiile ii) si iii) este strict crescator si are panta
caracteristicii incadrata astfel 0 1 2< < < < ∞µ µdudi
v) orice condensator are o caracteristica controlata in sarcina
vi) orice bobina are o caracteristica controlata in flux
atunci exista ecuatiile de stare ale circuitului ( ( ), )x f g x= − µ iar circuitul are cel putin o solutie.
Observatii
i) In exemplul precedent daca se introduce un condensator in paralel cu rezistorul neliniar, atunci
“multiportul rezistiv” are o solutie si numai una pentru orice Li si Cu .
ii) Asemanator se trateaza cazul unui circuit format dintr-un condensator in parallel cu un resistor
neliniar care nu este controlat in tensiune.
In acest caz se adauga bobina in serie cu rezistorul si “multiportul rezistiv” are o solutie si numai
una pentru orice Cu si Li .
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
109
3.5.5. Rezolvarea numerica
Se urmareste rezolvarea unui sistem de ecuatii de stare scrise in forma normala
( , )x f x t= . Chiar si pentru circuitele liniare ale caror ecuatii au solutie analitica, se prefera
utilizarea metodelor numerice. Aceasta preferinta este motivata astfel:
i) chiar pentru un circuit de ordinul doi calculele analitice sunt destul de complicate pentru
a fi efectuate eficient de un operator uman.
ii) determinarea automata a solutiilor analitice necesita un efort de cacul considerabil,
calculatoarele fiind proiectate pentru a opera cu cifre si nu cu simboluri; in acest scop se pot folosi
programe specializate (manipulatoarele simbolice ca MAPLE V) care efectueaza calcule analitice
Orice metoda numerica porneste de la conditia initiala x t( )0 si determina pe rand
x t h x t h( ), ( ), ...,0 0 2+ + unde h este pasul de timp.
Notam x tk xk( ) = . Cele mai simple metode de integrare numerica sunt definite de
relatiile:
xk xk h f xk+ = + ⋅1 ( ) - metoda Euler explicita(I)
xk xk h f xk+ = + ⋅ +1 1( ) - metoda Euler implicita(II)
xk xkh f xk f xk+ = + + +1 2 1[ ( ) ( )] - metoda trapezului (III)
Considerand ca xk xk h x+ = + ⋅1 cele trei metode difera prin modul de calcul al derivatei:
x tk x tk hx tk I
x tk x tk hx tk II
x tk x tkh x tk x tk III
( ) ( ) C( ) ( )
( ) ( ) C( ) ( )
( ) ( ) ( C( ) C( )) ( )
+ = +
+ = + +
+ = + + +
1
1 1
1 2 1
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
110
Se observa usor ca metoda I, in care x tk( )+1 se determina in functie de x tk( ) , este o metoda
explicita, in timp ,ce metodele II si III sunt metode implicite.
Solutiile obtinute prin integrare numerica fiind aproximative se calculeaza erorile introduse
la fiecare pas (eroarea locala si eroarea globala a metodei). De exemplu, pentru ecuatia x x= −λ
a carei solutie analitica este x t x e t( ) ( )= −0 λ se calculeaza:
- eroarea locala la t tn n xexact tn xaprox tn xne h xn= + = + − + = − − +1 1 1 1ε λ( ) ( ) ( )
(unde xexact tn( )+1 a fost calculat plecand de la x tn( ) calculat aproximativ)
- eroarea totala la t tn este t x etn xn= + = + − +1 0
11ε
λ( ) (unde xexact tn( )+1 a fost
calculat plecand de la x( )0 dat initial).
In figura se prezinta solutiile exacta si aproximativa pentru ecuatia .x x= −λ
O metoda numerica de integrare pentru care eroarea totala descreste o data cu cresterea
timpului este o metoda stabila. O metoda care nu are aceasta proprietate este numeric instabila,
chiar daca eroarea locala este mica si descreste in timp.
In exemplul de mai sus pentru metoda Euler explicita in care
x h x
x h x h x
x h xnn
1 0
2 12
0
0
1
1 1
1
= −
= − = −
= −
( )
( ) ( )
( )
λ
λ λ
λ
este clar ca daca 1 1− >λ h atunci xn → ∞ pentru n → ∞ si deci pentru pasi mari de timp
metoda este instabila. Pentru ca metoda sa fie stabila trebuie ca 1 1− <λ h si deci h < 2λ
.
Pentru metoda Euler implicita cu xn h n x=+
11 0( )λ
si metoda trapezului cu
xn
h
h
n
x=−
+
12
12
0
λ
λ
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
111
se vede ca pentru n → ∞ avem xn → 0 si deci metodele sunt stabile, indiferent de marimea h a
pasului de timp.
La o metoda stabila marimea pasului de timp este limitata numai de eroarea locala impusa
care depinde de problema studiata. La metoda Euler explicita ε e k h= 12 . ε e k h= 2
2 pentru
metoda Euler implicita, ε e k h= 33 pentru metoda trapezului. Pasul fiind limitat si de 2
λ max se
poate intampla ca lucrand cu valori foarte mici ale lui h numarul mare de pasi necesari pentru
determinarea solutiei sa duca la un timp de calcul nejustificat de mare.
In cazul unei metode explicite, dupa alegerea pasului de timp, se porneste de la conditia
initiala x t( )0 si se calculeaza x t h x t h( ), ( ), ...0 0 2+ + acoperind tot intervalul de timp care
prezinta interes. In cazul unei metode implicite la fiecare pas se fac mai multe iteratii. La prima
iteratie se foloseste o metoda explicita si se obtine predictorul xk xk hf xk+ = +10( ) ( ) . Valoarea
obtinuta pentru predictor se introduce in membrul drept al ecuatiei metodei implicite obtinandu-se
o noua valoare a lui xk+11( ) (in membrul stang) care la iteratia urmatoare se introduce din nou in
membrul drept si se obtine xk+12( ) s.a.m.d. pana ce xk
N xkN
+− − + <1
11
( ) ( ) ε impus. Valorile
,...)2(1,)1(
1 ++ kxkx se numesc corectori.
Pentru circuite cu valori proprii care difera intre ele cu cateva ordine de marime ( “stiff”)
metodele numerice prezentate mai inainte nu dau rezultate corecte. In acest caz se folosesc metode
speciale de tip Gear . Relatiile care definesc metodele Gear de ordinul 2 -6 sunt:
)]1,1(32
[131
34
1 +++−−=+ ktkxfhkxkxkx - metoda Gear de ordinul 2
)]1,1(116
[2112
1119
1118
1 +++−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkx - metoda Gear de ordinul 3
)]1,1(2512
[3253
22516
12536
2548
1 +++−−−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkxkx - metoda Gear de ordinul
4 ])1,1(13760
[413712
313775
2137200
1137300
137300
1 +++−+−−−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkxkxkx
metoda Gear de ordinul 5
)]1,1(14760
[514710
414772
3147225
2147400
1147450
1147360
1 +++−−−+−−−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkxkxkxkx
metoda Gear de ordinul 6.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
112
3.5.6. Modelele companion
Metodele numerice descrise in paragraful anterior necesita scrierea ecuatiilor de stare in
forma normala ),( txfx = . Scrierea ecuatiilor circuitului in aceasta forma necesita eliminarea unor
variabile si explicitarea altora plecand de la ecuatiile circuitului. Aceste operatiuni implica
rezolvarea numerica a unor sisteme de ecuatii algebrice liniare sau neliniare, operatie al carui
rezultat poate fi afectat de erori semnificative si implica un anumit efort de calcul. Acest procedeu
de a integra ecuatiile circuitului se simplifica prin inlocuirea elementelor dinamice cu modele
resistive numite modele companion. Procedand astfel se determina raspunsul rezolvand un circuit
rezistiv liniar sau neliniar la fiecare pas de timp.
Modelele companion pentru un condensator sau o bobina liniara deriva din metoda
numerica de integrare utilizata in paragraful 3.5.6.
Metoda Euler implicita foloseste relatia hnnn xxx 11 ++ += unde x este variabila de stare.
Deci pentru condensator si bobina se pot scrie relatiile din tabelul de mai jos. Acestor relatii le
corespund schemele echivalente care reprezinta modelele companion ale condensatorului si
bobinei prezentate in acelasi tabel.
Condensator Bobina
111
++ = nn iC
u
111
++ = nn uL
i
11 ++ += nnn uhuu
nnn uhCu
hCi −= ++ 11
nnn iuLhi += ++ 11
nnn iuLhi += ++ 11
Aceste modele contin:
• un resistor liniar cu rezistenta depinzand de parametrul elementului dynamic di de pasul de
timp
• o sursa independenta al carui parametru depinde de valoarea variabilei de stare la
momentul anterior
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
113
Metoda trapezului foloseste relatia [ ]11 2 ++ ++= nnnn xxhxx CC
Condensator
+−=
++=
==
++
++
++
nnnn
nnnn
nnnn
iuhCu
hCi
uhuhuu
iC
uiC
u
2222
1,1
11
11
11
CC
CC
Bobina
++=
++=
==
++
++
++
nnnn
nnnn
nnnn
iuLhu
Lhi
ihihii
uL
iuL
i
22
22
1,1
11
11
11
CC
CC
Metoda Gear de ordinal doi foloseste relatia 11 32
31
43
1 +− +−=+ nn xhxxx nn C . Utilizand aceasta relatie
pentru condensator si bobina impreuna cu ecuatiile de functionare la momentele de timp n-1, n si
n+1 rezulta:
−−= −++ 111 22
23
nnnn uh
CuhCu
hCi si
−+= −++ 111 31
34
32
nnnn iiuLhi
Modelele companion associate cu metoda Gear de ordinal doi sunt:
Condensator Bobi
na
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
114
Toate modelele companion prezentate contin cate o rezistenta constanta pentru un pas de
timp h ales, in paralel cu cate o sursa de curent comandata de tensiunea condensatorului sau
curentul bobinei la momentul de timp anterior.
Pentru un pas de timp h dat, plecand de la starea initiala data a elementelor dinamice, se
calculeaza raspunsul circuitului la momentul ht +0 utilizand o metoda de integrare numerica de
ordinul I. In acest fel analiza unui circuit dinamic liniar poate fi facuta prin rezolvarea unui circuit
rezistiv liniar la fiecare pas de timp. Acest circuit contine modelele companion ale elementelor
dinamice, rezistoare liniare dipolare si multipolare si surse independente. Incepand cu momentul
20+t h se poate utiliza o metoda de ordinul II (ca metoda trapezului sau metoda Gear de ordinul II).
Daca pasul de timp nu se modifica, in circuitul rezistiv se modifica numai sursele independente,
valorile rezistentelor ramanand aceleasi. Daca pasul de timp se modifica valorile rezistentelor
trebuie recalculate.
Modelele companion pentru elementele dinamice neliniare se construiesc asemanator cu
modelele elementelor liniare. In continuare vom determina parametrii acestor modele pentru
condensatorul neliniar si bobina neliniara in cazul utilizarii metodei Euler implicite. Modelele
corespunzatoare celorlalte metode de integrare numerica se determina in mod asemanator.
Condensator Bobina
( )
1
11
1
11
11
1
11
11
ˆ
ˆˆ
)(ˆ
+
++
+
++
++
+
++
++
⋅+=
⋅==
+===
nif
nn
nn
nn
nn
n
nnn
nn
idqudhuu
idqudq
dqudu
uhuuqiquu
( )
1
11
1
11
11
1
11
11
ˆ
ˆˆ
)(ˆ
+
++
+
++
++
+
++
++
⋅ϕ
+=
⋅ϕ
=ϕϕ
=
+=ϕ=ϕ=
nuf
nn
nn
nn
nn
n
nnn
nn
ud
idhii
id
idd
idi
ihiiuii
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
115
( )( )
( )n
uf
nn
nnn
nn
uqh
uqh
i
qhqqqiuqq
n
ˆ11
)(ˆ
1
11
11
11
−=
+===
+
++
++
++
( )( )
( )n
if
nnn
n
nnn
nn
ih
iqhhh
u
hui
n
ϕ−=ϕ
−ϕ
=
ϕ+ϕ=ϕϕ=ϕ=ϕ
+
++
+
++
++
ˆ1ˆ1
)(ˆ
1
11
1
11
11
Circuitul rezistiv care se rezolva la fiecare pas de timp este in acest caz neliniar, chiar daca
rezistoarele din circuit sunt liniare. Acest circuit se rezolva printr-o metoda iterativa, de obicei
metoda Newton-Raphson.
Observatii
i) Modelele companion ale elementelor dinamice liniare pot fi construite si cu surse de
tensiune (se poate transforma sursa reala de curent in sursa de tensiune). S-au preferat
cele cu sursa de curent care sunt adecvate metodei potentialelor nodurilor (vezi
paragraful 2.5.2.).
ii) Modelele companion ale elementelor neliniare au fost construite astfel incat sursa sa
reprezinte exclusiv influenta valorilor de la momentul anterior. O eventuala
transformare a sursei ar face-o sa devina din sursa independenta o sursa comandata
neliniar lucru care complica analiza circuitului rezistiv.
iii) Integrarea ecuatiilor circuitului se face de regula cu pasul h variabil (vezi paragraful
3.5.5.). Pe masura ce h scade, rezistenta CR din modelul condensatorului scade iar
rezistenta LR din modelul bobinei creste. (LCh
RR
L
C2
= la metoda Euler implicita). Fie un
circuit LC derivatie cu HL µ1= si pFC 1= , avand frecventa de rezonanta de
Hz8106,1 ⋅ corespunzatoare unei perioade de ns3,6 . Considerand o forma de unda cu
schimbari abrupte presupunem ca initial se ia sTh 11
0 103,6100
−⋅== iar aceasta valoare
ar putea scadea de 100 de ori la sh 13
1 103,6 −⋅= . In ultimul caz 7104 −⋅=L
C
RR
deci
circuitul are in paralel doua rezistoare ale caror rezistente sunt diferite cu sapte ordine
de marime. Un astfel de circuit nu poate fi rezolvat corect calculand cu precizie simpla
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
116
(6 cifre semnificative). In anumite cazuri chiar calculele in precizie dubla (15 cifre
semnificative) pot sa conduca la rezultate incorecte.
3.5.7. Circuite care functioneaza la semnale mici
Un element neliniar de circuit functioneaza la semnale mici atunci cand “excursia”
punctului de functionare este echivalenta cu deplasarea lui pe tangenta la caracteristica in punctul
static de functionare. Un element neliniar cu caracteristica liniara pe portiuni, functioneaza la
semnale mici atunci cand punctul de functionare se deplaseaza pe o singura portiune liniara. Daca
toate elementele unui circuit neliniar indeplinesc aceasta conditie se spune ca circuitul
functioneaza la semnale mici.
Fie ecuatiile metodei tabloului pentru un circuit neliniar:
Ai
U A Vh u u i i q q t
T
=
==
0
0( , , , , , , , , )φ φ
Presupunem ca circuitul contine surse cu parametri constanti in timp (de curent continuu)
si surse cu parametri variabili in timp. In aceasta situatie solutia acestui sistem se poate scrie ca
suma a doi termeni:
i Iq i t u U q u t v Vq v t q Qq q t q t= + = + = + = + = +~( ), ~( ), ~( ), ~( ), ~( )φ ϕΦ
Primul termen ( , , , , )Iq Uq Vq Qq qΦ are o valoare constanta si corespunde punctului static de
functionare (p.s.f.) care este solutia sistemului de ecuatii al circuitului in care sursele cu parametri
variabili in timp sunt pasivizate, bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule si condensatoarele sunt
inlocuite cu rezistente infinite. Al doilea termen (~, ~, ~, ~, ~ )i u v q φ este variabil in timp si verifica
ecuatiile Ai si U A VT~ ~ ~;= =0 aceste marimi reprezinta de fapt deviatii mici in jurul p.s.f.
Iq Uq Vq Qq q, , , , .Φ
Dezvoltand in serie Taylor in jurul p.s.f. ecuatia constitutiva a fiecarui element neliniar si
retinand numai termenul de ordinul I rezulta ca ϕ~,~,~,~,~ qvui verifica niste ecuatii liniare care
inlocuiesc ecuatia h( ) .⋅ = 0
Ecuatia constitutiva i f u= ( ) a unui rezistor controlat in tensiune devine:
i t Iq f U q f U Uqu( ) ( ) ' ( ) ~ ...+ = + +
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
117
Notand conductanta dinamica in p.s.f. cu qUufdqG )('= si deoarece Iq f Uq= ( ) rezulta o
dependenta liniara intre ~( ) ~( ): ~( ) ~( ).i t si u t i t Gdq u t= Deci modelul de semnal mic al
rezistorului neliniar controlat in tensiune este un resistor liniar cu conductanta dqG . Pentru un
rezistor controlat in curent rezulta ~( ) ~( )u t Rdq i t= ⋅ unde Rdq este rezistenta dinamica in p.s.f.
Printr-un rationament similar rezulta ecuatiile liniare pentru:
- sursele comandate neliniar
i f u i Gdq u
i f i i dq i
u f u u dq u
u f i u Rdq i
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1
= → =
= → =
= → =
= → =
( ) ~ ~
( ) ~ ~
( ) ~ ~
( ) ~ ~
β
α
- bobina controlata in curent
φ φ= → = = =f i Ldq i cu Ldqdfdi q si u( ) ~ ~ ~ ~Φ
- bobina controlata in flux
i f i dq cu dqdfd q= → = =( ) ~ ~φ φφ
Γ Γ
- condensatorul controlat in tensiune
q f u q Cdq u cu Cdqdfdu q si q Cdq u= → = = =( ) ~ ~ ~ ~
- condensatorul controlat in sarcina
u f q u SdQq cu SdQdfdq Q= → = =( ) ~ ~
Prin inlocuirea fiecarui element neliniar de circuit cu modelul corespunzator de semnal mic se
obtine circuitul echivalent la semnale mici care este un circuit liniar.
Algoritmul de analiza al unui circuit care functioneaza la semnale mici este:
1) Se determina punctul static de functionare prin analiza circuitului in care toate sursele cu
parametri variabili in timp sunt pasivizate, bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule si
condensatoarele sunt inlocuite cu rezistente infinite
2) Se calculeaza parametrii circuitului echivalent de semnal mic
( , , , , , , , )RdQ GdQ LdQ dQ CdQ SdQ dQ dQΓ α β pentru fiecare element neliniar
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
118
3) Se face analiza circuitului echivalent de semnal mic care contine numai sursele
independente variabile in timp (sursele de curent continuu fiind pasivizate)
4) Se face verificarea rezultatelor testand in ce masura aproximarea de semnal mic este
corecta pentru fiecare element neliniar de circuit (daca “excursia” punctului de functionare pe
caracteristica neliniara poate fi aproximata cu “excursia” pe tangenta in p.s.f.). Daca pentru un
singur element de circuit aceasta aproximare nu este valabila, rezultatul analizei pe modelul de
semnale mici este incorect.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
104
CAPITOLUL 4
CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV
4.1. Introducere
Un circuit functioneaza in regim sinusoidal daca toate tensiunile si toti curentii sunt marimi
sinusoidale de aceeasi pulsatie. Un astfel de circuit se numeste circuit de curent alternativ (c.a.).
Fie un circuit liniar cu rezistoare cu rezistentele pozitive, bobine cu inductivitatile pozitive,
condensatoare cu capacitatile pozitive si in care toate sursele independente sunt sinusoidale de
aceeasi pulsatie ω. Se poate arata (vezi paragraful 7.4.3) ca un astfel de circuit functioneaza in
regim sinusoidal atunci cand timpul care trece de la cuplarea surselor tinde catre infinit. Spunem
ca regimul permanent (care se obtine pentru pentru t→∞) al acestui circuit este sinusoidal. In
paragraful 6.5.1 se arata ca daca intr-un astfel de circuit avem un singur element neliniar, regimul
permanent, daca exista, este unul nesinusoidal (deformant) in care raspunsul contine componente
de pulsatiile 2ω, 3ω,... Regimul sinusoidal este deci regimul permanent al unei clase de circuite
liniare.
Importanta studiului acestui regim este legata de faptul ca energia electrica se produce cu
generatoare sinusoidale si se distribuie eficient prin circuite de curent alternativ; in plus foarte
multe circuite electronice functioneaza in acest regim.
4.2.Reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale
O marime sinusoidala este o functie de timp de forma: y(t) = 2 Y sin(ωt +ϕ)
unde: Y este valoarea efectiva, 2 Y este valoarea maxima, ω este pulsatia si ω=2πf unde f = 1/T
este frecventa si T este perioada,iar ϕ este faza initiala.
Reprezentarea in complex a marimii sinusoidale y(t) = 2 Y sin(ωt + ϕ) este numarul complex
Υ = Ye jϕ unde Y este modulul numarului complex, ϕ este argumentul numarului complex, iar
j = −1 . Evident Y=Ycosϕ + jYsinϕ, unde Ycosϕ este partea reala a lui Y si Ysinϕ este partea sa
imaginara.
Reprezentarea grafica a lui Y in planul complex se numeste fazor.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
105
Proprietati:
a) liniaritatea: ay1 (t) + by
2 (t) ⇔ aY1+ bY 2 cu a,b∈R
Demonstratie: Este evident ca ay1 (t) ↔ aY1. Ramane de aratat ca y1 + y2 ↔ Y1 + Y2
Fie y t Y t1 1 12( ) sin( )= +ω ϕ si y t Y t2 2 22( ) sin( )= +ω ϕ . Atunci
y t Y t Y t Y t Y t
Y Y t Y Y t
( ) ( sin cos cos sin sin cos cos sin )
[ cos cos ) sin ( sin sin ) cos ]
==== ++++ ++++ ++++ ====
==== ++++ ++++ ++++
2
21 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕϕ ϕ ω ϕ ϕ ω
Notam:
A Y Y Y Y si tg BA
deci AA B
si
BA B
zulta y t A B AA B
t BA B
t
A B t t A B t
==== ++++ ==== ++++ ==== ====++++
====++++
==== ++++++++
++++++++
====
++++ ++++ ==== ++++ ++++
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
cos cos , sin sin cos
sin . Re ( ) ( sin cos )
( ) (cos sin sin cos ) ( ) sin( ).
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ω ω
ϕ ω ϕ ω ω ϕ
B
Reprezentarea in complex a lui y(t) va fi:
Y A B j A jB Y jY Y jY Y Y==== ++++ ++++ ==== ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ==== ++++2 21 1 1 1 2 1 2 1 1 2(cos sin ) cos sin cos sinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
b) derivarea marimii sinusoidale in raport cu timpul: dydt ⇔ jω Y
dydt ==== ω Y 2 cos (ωt + α) = ω Y 2 sin (ωt + α + π
2 ) ⇔ ω Y ej(α + π2 ) = jω Y
Exemple:a) Fie marimea sinusoidala y(t) = 120 2 sin (ωt + π/2). Numarul complex corespunzator
este Y = Yejϕ cu Y = 120 si ϕ = π/2, respectiv Y = 120ejπ/2 = 120 ( cos π/2 +jsin π/2) = 120j.
Daca y(t) = 100 sin (ωt + π/4), atunci Y = 1002
ejπ/4 = 1002
( cosπ/4 +jsinπ/4 ) ⇔ 50 ( 1+j ).
b) Fie numarul complex Y = 3+4j. Marimea sinusoidala corespunzatoare este y(t) = Y 2 sin(ωt
+ ϕ) cu Y = 3 42 2++++ = 5 si ϕ = arctg 4/3 = 580 si deci y(t) = 5 2 sin (ωt +580 )
4.3. Caracterizarea in complex a elementelor de circuit
4.3.1. Elementele dipolare
Se considera un element dipolar de circuit (EDC) avand tensiunea la borne u(t)=
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
106
U 2 sin(ωt+ϕu) si curentul i(t)=I 2 sin (ωt+ϕi) respectiv in complex U=Uejϕu si I = Iejϕi unde ϕ
= ϕu - ϕi este defazajul intre tensiune si curent.
Considerand u(t) si i(t) asociati dupa regula de la receptoare (ca si marimile complexe
corespunzatoare U si I) se defineste impedanta complexa a EDC ca raportul dintre tensiunea U si
curentul I: Z = UI
= UI
e j Ze jϕ ϕ==== unde raportul Z = UI
este impedanta EDC. Z si Z se masoara
in Ω. Se noteaza Z= R + jX unde ReZ=R este rezistenta de curent alternativ si ImZ=X este
reactanta si deci Z=R + jX = R X e j arctgX R Ze j2 2+ =/ ϕ
Se defineste admitanta complexa Y a unui element de circuit ca raportul dintre curentul I si
tensiunea U: Y IU Z
Ye j G jB==== ==== ==== −−−− ==== −−−−1 ϕ unde Y este admitanta EDC, G=ReY este
conductanta EDC si B=ImY este susceptanta EDC. Y si Y se masoara in Siemens (Ω- 1 ).
In continuare sunt prezentate elementele dipolare de circuit in c.a. si schemele lor
echivalente in complex. Pentru surse u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la generatoare.
Pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la receptoare.
Sursa ideala de tensiune are tensiunea electromotoare sinusoidala e(t) = 2 E sin(ωt + α).
e(t)⇔E=Eejα. In figura sunt desenate sursa si schema ei echivalenta in complex.
Sursa ideala de curent are curentul electromotor is(t) = 2 Is sin(ωt + ß) cu reprezentarea in
complex Is= Eejß si schema echivalenta din figura.
Rezistorul ideal Daca u(t) = 2 U sinωt atunci i(t) = u tR( ) = 2 U
R sinωt, U=RI si deci ZR =R si
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
107
rezistorul are schema echivalenta in complex din figura. In schemele echivalente in complex
impedantele complexe se simbolizeaza ca niste rezistoare.
Defazajul intre tensiune si curent este ϕ = ϕu - ϕi = 0 si reprezentarea fazoriala a lui U si I este:
Bobina ideala Daca i(t) = 2 Isinωt atunci din ecuatia de functionare u(t) = L di tdt( ) =
2 ILωsin(ωt+π/2) rezulta in complex U= jωLI si deci ZL = jωL = jXL ,unde XL=ωL este
reactanta inductiva a bobinei.
Deoarece ϕ= ϕu - ϕi= π / 2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este
deci spunem ca bobina ideala defazeaza cu π / 2 tensiunea inaintea curentului (sau curentul in
urma tensiunii).
Condensatorul ideal Daca u(t) = 2 Usinωt atunci din ecuatia de functionare i(t) = C du tdt( ) =
2 UCωsin(ωt+π/2) rezulta I= jωC U sau U = 1j Cω
I si deci ZC= -j 1ωC
= jXC, unde XC= -
1ωC
este reactanta capacitiva a condensatorului.
Deoarece ϕ = ϕu-ϕi=-π/2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
108
deci condensatorul ideal defazeaza cu π / 2 tensiunea in urma curentului (sau curentul inaintea
tensiunii).
Observatii
i) reprezentarea in complex a unei marimi sinusoidale (tensiune sau curent) are numai 2 parametri
(Y, ϕ ,). Doi dintre cei trei parametric (Y, ϕ , ω ) ai marimii sinusoidale corespunzatoare.
Parametrul ω intervine in expresiile impedantelor complexe
ii) Sistemul de ecuatii diferential algebric care caracterizeaza un circuit liniar dinamic in regim
sinusoidal corespunde unui sistem de ecuatii algebrice in complex; aceasta proprietate constituie
principalul avantaj al utilizarii reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale deoarece
manipularea (inclusive rezolvarea) unor ecuatii algebrice este considerabil mai simpla decat a unor
ecuatii diferentiale.
4.3.2. Elementele multipolare
Un circuit de curent alternativ poate contine orice element liniar de circuit. Dintre
elementele rezistive multipolare liniare reamintim sursele comandate liniar (prezentate in
paragraful 2.1.2) si circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului (prezentat in
paragraful 2.5.3.3). Prin analogie cu rezistorul liniar, este evident ca o sursa comandata liniar are
ca schema echivalenta in complex tot o sursa comandata liniar; de exemplu o SCCC cu ecuatia de
functionare is(t)= ßi1(t) are ca schema echivalenta in complex o SCCC cu ecuatia de functionare
Is= ßI1. In consecinta circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului are schema
echivalenta in complex:
Dintre elementele dinamice multipolare liniare cel mai des utilizat este perechea de bobine
cuplate magnetic. Ecuatiile de functionare a doua bobine liniare cuplate magnetic sunt:
u1(t) = L1 di t
dt1( )
± M di t
dt2 ( )
, u2(t) = L2 di t
dt2 ( )
± M di t
dt1( )
In complex aceste ecuatii devin: U1=jωL1I1±jωMI2 , U2=jωL2I2±jωMI1
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
109
Schema echivalenta in complex contine doua impedante inductive cuplate intre ele. La bornele
unei astfel de impedante avem o cadere de tensiune proprie si o cadere de tensiune mutuala. De
exemplu
U1 este formata din caderea de tensiune proprie jωL1I1 si caderea de tensiune mutuala jωMI2;
semnul caderii de tensiune mutuale este + daca curentii I1 si I2 ataca la fel bornele polarizate
(ambii intra sau ambii ies din aceste borne) sau - daca curentii I1 si I2 ataca diferit bornele
polarizate (unul intra si celalalt iese din borna polarizata) (vezi paragraful 3.2.4.). Deci de fiecare
data cand se scriu ecuatiile circuitului trebuie determinate semnele caderilor de tensiune mutuala.
Aceleasi ecuatii in complex corespund si urmatorului circuit echivalent cu surse de tensiune
comandate in curent:
Intr-adevar calculand U1 ca suma intre caderea de tensiune la bornele impedantei jωL1 si
tensiunea la bornele sursei comandate rezulta U1=jωL1I1±jωMI2. O verificare similara se poate
face si pentru U2. In expresiile E1 si E2 se considera semnul + daca curentii I1 si I2 ataca la fel
bornele polarizate si semnul - daca le ataca diferit. Se prefera utilizarea acestui circuit in locul
schemei cu bornele polarizate. Aceasta deoarece semnele E1 si E2 se stabilesc atunci cand se
construieste circuitul echivalent, aceasta operatiune fiind facuta separat de cele implicate de
scrierea ecuatiilor. Se diminueaza astfel posibilitatea de a gresi, fata de utilizarea schemei cu borne
polarizate in care semnele caderilor de tensiune mutuale se stabilesc in timpul scrierii ecuatiei.
Daca cele doua bobine cuplate au un nod comun exista un circuit echivalent mai simplu
fara surse comandate. Ecuatiile de functionare ale celor doua bobine cuplate sunt: U1=jωL1I1 + jωMI2 si U2=jωL2I2 + jωMI1. Daca in prima ecuatie se aduna si se scade jωMI1 si in a doua
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
110
ecuatie se aduna si se scade jωMI2 se obtin ecuatiile: U1=(jωL1 - jωM)I1 + jωM (I1 + I2), U2=
(jωL2 - jωM)I2 + jωM(I1 + I2) carora le corespunde schema echivalenta din figura b .
Acest procedeu se numeste spargerea cuplajului. Daca bornele polarizate sunt atacate diferit de
curenti atunci M se inlocuieste cu -M si circuitul echivalent fara cuplaje este:
Daca sunt mai mult de doua bobine cuplate intre ele, circuitul echivalent in complex este
asemanator. Iata un grup de trei bobine cuplate intre ele si circuitul echivalent in complex al
acestora. Se observa ca I1 si I3 intra in bornele polarizate in timp ce I2 iese din borna polarizata.
Ca urmare impedantelor de comanda Z12 si Z23 li se va atasa semnul - iar impedantei de comanda
Z31 i se va atasa semnul +.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
115
4.4. Teoremele lui Kirchhoff in complex
Teorema I a lui Kirchhoff este : ik ( )k Ni
t∈∈∈∈∑∑∑∑ ==== 0 si datorita liniaritatii reprezentarii in
complex se obtine: 0=∑∈Sk kI (suma algebrica a curentilor in complex corespunzator tuturor
laturilor unei sectiuni S este nula).
Teorema a II-a a lui Kirchhoff este: 0)( =∑∈
tBk ku si similar rezulta 0=∑
∈Bk kU (suma
algebrica a caderilor de tensiune complexe la bornele tuturor elementelor de circuit care apartin
aceleiasi bucle este nula).
4.5. Puteri in circuitele de curent alternativ
Se considera un EDC cu tensiunea si curentul la borne: u(t) = U 2 sinωt si i(t) =
I 2 sin(ωt - ϕ). Pentru generatoare (surse) de orice tip u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la
generatoare; pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la
receptoare. Se definesc urmatoarele puteri:
Puterea instantanee p(t), absorbita de receptor sau cedata de generator este:
p(t)= u(t) i(t) =2UI sinωt sin(ωt - ϕ) = UIcosϕ - UIcos(2ωt - ϕ)
Valoarea medie pe o perioada a puterii instantanei care se numeste putere activa P este:
PT
p t dt UIT
= =∫1
0( ) cosϕ
Puterea activa depinde de valorile efective ale tensiunii si curentului si de factorul de putere
cosϕ si se consuma efectiv si ireversibil in rezistoare. Unitatea de masura a puterii active este
Wattul, [P] = 1W.
Din definitia puterii active rezulta interpretarea fizica a valorii efective a curentului si a
tensiunii. Daca se considera un rezistor cu rezistenta R prin care trece curentul i(t) = I 2 sinωt
rezulta u(t) = Ri(t) = RI 2 sinωt si Pabs Tu t i t dt RI
T==== ====∫∫∫∫
1 20
( ) ( ) . Deci valoarea efectiva a unui
curent sinusoidal este numeric egala cu valoarea unui curent continuu care, trecand prin aceeasi
rezistenta ca si curentul sinusoidal produce aceeasi putere prin efect Joule.
Puterea reactiva Q, este Q = UI sinϕ avand unitatea de masura [Q]=1VAR (volt-amper
reactiv).
Puterea aparenta S, este S = UI si are unitatea de masura [S] = 1VA. Evident
S P Q= +2 2 .
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
116
Puterea aparenta complexa (puterea complexa) este S = U I*=UIej ϕ =Uicosϕ
+jUIsinϕ=P+jQ.
Puterile absorbite sau debitate de elementele ideale de circuit sunt:
- rezistorul ideal absoarbe puterea activa P=RI2 si, deoarece ϕ=0, puterea reactiva
absorbita este Q=UIsinϕ=0 deci puterea complexa absorbita este Sa =RI2 +j0.
- bobina ideala parcursa de curentul i(t)= 2 Isinωt are tensiunea la borne u(t)=
2 ωLIsin(ωt + π/2) deci ϕ=π/2 si rezulta Q=UIsinπ/2=ωLI²=U2/ωL > 0, P = UI cosπ/2 = 0, deci
bobina absoarbe puterea complexa Sa=0+jωLI². Media pe o perioda a energiei acumulate in bobina
este ~ ( )Wm TLi t dt LI
T= =∫
1 2 20
.
- condensatorul ideal cu tensiunea la borne u(t) = U 2 sinωt este parcurs de curentul i(t)=
2 ωCUsin(ωt + π/2), deci ϕ = -π/2 si rezulta Q = UIsin(-π/2)= − 1 2ωC
I = - U²ωC < 0, P = UI
cos(-π/2) = 0, deci condensatorul absoarbe puterea complexa Sa=0-jωCU². Media pe o perioda a
energiei acumulate in condensator este ~ ( )We TCu t dt CU
T= =∫
1 2 20
.
Deoarece elementele dinamice condensator si bobina schimba cu circuitul in care sunt conectate o
putere reactiva nenula, ele se numesc si elemente reactive.
- sursa ideala de tensiune cu tensiunea electromotoare e(t)= 2 Esinωt parcursa de curentul
i(t)= 2 I sin(ωt+ϕ) debiteaza o putere complexa Sd=E I* = EIe-jϕ = EIcosϕ-jEIsinϕ (U si I sunt
asociate dupa regula de la generatoare sau I parcurge sursa in sensul sagetii lui E)
- sursa ideala de curent cu curentul electromotor is(t)= 2 Is sin(ωt+ϕ) cu tensiunea la
borne u(t)= 2 U sinωt debiteaza o putere complexa Sd = U I* = UIse-jϕ = UIscosϕ-jUIssinϕ (U si Is
sunt asociate dupa regula de la generatoare)
Observatii
i)puterea activa este absorbita numai de rezistoarele ideale
ii)puterea reactiva este absorbita numai de bobinele si condensatoarele ideale
iii)impedanta complexa Z=R+jX absoarbe puterea aparenta complexa Sa =U I*= Z I I*=
ZI2=(R+jX) I2 =RI² + jXI² deci Pa=RI2 si Qa =XI2.
iv)sursele debiteaza atat putere activa cat si putere reactiva
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
117
4.6. Teorema conservarii puterilor complexe
Plecand de la teorema a II-a a lui Kirchhoff in complex (vezi paragraful 4.4) si de la faptul
evident ca curentii conjugati Ik* verifica teorema I alui Kirchhoff in complex
0* =∑∈Sk kI ) teorema lui Tellegen in complex este: Uk Ik
toatelaturile* ====∑∑∑∑ 0 ; in aceasta expresie
Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la receptoare. Separand intr-un membru puterile complexe
debitate de surse (pentru care Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la generatoare) si in celalat
membru puterile complexe absorbite de consumatori (impedante complexe) rezulta:
Teorema conservarii puterilor complexe Suma puterilor complexe debitate de toate sursele dintr-
un circuit este egala cu suma puterilor complexe absorbite de toate impedantele din acelasi circuit:
S kd S katoate sursele toate impedantele
∑ = ∑
Tinand seama ca :Sd = Pd + jQd si Sa = Pa + jQa rezulta:
Pkd Pkatoate sursele toate rezistoarele∑ = ∑ si
Qkd Qkatoate sursele toate elementele reactive∑ = ∑
adica puterile active si puterile reactive se conserva.
Observatii:
i)puterile aparente Sk nu se conserva
ii)conservarea puterilor complexe poate fi folosita, similar cu consevarea puterilor in
circuitele de c.c., la verificarea rezultatelor obtinute prin rezolvarea problemelor de
analiza a circuitelor de c.a.
iii)tinand seama ca pentru o bobina Qa=ω ~Wm si pentru un condensator Qa=-ω ~We rezulta
ca Qa Wm We= −∑∑ ω ( ~ ~ ) deci un dipol RLC are caracter inductiv daca QatoateZ∑ >0,
are caracter capacitiv daca QatoateZ∑ <0 si are caracter rezistiv sau este la rezonanta
(vezi paragraful 4.9) daca QatoateZ∑ =0
iv)condensatorul nu genereaza putere reactiva chiar daca absoarbe o putere reactiva
negativa; asa cum rezulta din teorema conservarii puterilor complexe, puterea reactiva
(pozitiva sau negativa) este generata de surse
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
118
v)defazajul ϕ intre curent si tensiunea la bornele unui dipol RLC format din elemente de
circuit cu R,L,C>0 este cuprins intre -π/2 si +π/2 deoarece UIcosϕ= Rk I ktoate R2 0>∑
deci cosϕ>0.
4.7. Analiza circuitelor de curent alternativ
4.7.1. Introducere
Prin utilizarea reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale, intr-un circuit de c.a. al
carui graf are L laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecuatii liniar independente intre ele:
• N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)
• L-N+1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)
• L ecuatii date de legaturile intre Uk si Ik pentru fiecare latura a grafului (vezi paragrafele 2.2 si
4.3)
Ecuatiile unui circuit de c.a. sunt ecuatii algebrice de aceeasi forma cu ecuatiile unui circuit liniar
de c.c. deoarece:
- teoremele lui Kirchhoff au aceeasi forma
- in ecuatiile de legatura intre Uk si Ik, Zk ia locul lui Rk, Yk ia locul lui Gk, etc.
La circuitele liniare de c.c. Ik si Uk sunt marimi reale iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk
avand coeficienti reali. La circuitele de c.a. Ik si Uk sunt marimi complexe iar ecuatiile sunt liniare
in Ik si Uk avand coeficienti complecsi. Ca urmare metodele de analiza a circuitelor de c.a. sunt
aceleasi cu cele pentru circuitele liniare de c.c.. Metodele de analiza vor fi reluate pe scurt in
continuare insistandu-se asupra particularitatilor circuitelor de c.a..
4.7.2. Formularea problemei si metoda de rezolvare
Problema analizei unui circui de c. a. se formuleaza astfel:
• se cunosc: valorile parametrilor elementelor (Rk, Lk, Ck, Mk, ek(t), isk(t)) si modul de
interconectare a elementelor de circuit,
• se cere sa se determine toate tensiunile si toti curentii.
Rezolvarea acestei probleme consta in scrierea sistemului de 2L ecuatii ale circuitului si
determinarea solutiei acestuia (Uk , Ik ,k=1,...,L).
Algoritmul de analiza a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape:
1) Se construieste circuitul echivalent cu surse si impedante complexe utilizand schemele
echivalente in complex ale elementelor de circuit
2) Se scriu ecuatiile acestui circuit
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
119
3) Se rezolva sistemul de ecuatii si se determina valorile complexe ale curentilor si
tensiunilor, (Uk, Ik, k = 1, ... , L) de forma Uk = Ukejϕk
4) Se verifica rezultatele obtinute prin bilantul puterilor complexe
5) Se determina valorile instantanee de forma uk(t) = Uk 2 sin(ωt +ϕk).
Exemplu Fie circuitul din figura a cu e(t) = 30 2 sin ωt si is (t) = 2 sin (ωt+π/4) unde ω=100π s-1.
Circuitul echivalent cu surse si impedante complexe este dat in figura b.
Se scrie sistemul de ecuatii dat de teoremele lui Kirchhoff:
I1 + I2 = 1+j , 10 I1 -20j I2 = 30, 20j I2 - 20j (1+j) - U = 0
Solutiile acestui sistem sunt: I1 = 1 , I2 = j si U = - 20j.
Verificarea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe:
S kdtoate sursele
∑ = E I1* + U Is
* = 30⋅1 + (-20j) (1-j) = 10 -20j
S katoate impedantele
∑ = R⋅I12 + ωLj⋅I2
2 - 1ωC
j⋅Is2 = 10⋅1 + 20j⋅1- 20j⋅2 = 10 - 20j
Valorile instantanee sunt: i1 (t) = 2 sin ωt, i2 = 2 sin( ωt+π/2) si u(t) = 20 2 sin( ωt-π/2)
4.7.2. Scrierea ecuatiilor potentialelor nodurilor si curentilor ciclici
4.7.2.1. Metoda potentialelor nodurilor
Asa cum s-a aratat in paragraful 2.5.1 se prefera comanda in tensiune deoarece marimea de
comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale. Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de
tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate (vezi paragraful 4.3) nu este potrivit pentru
scrierea ecuatiilor metodei nodale. Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu
surse de curent comandate in tensiune. In acest scop se rezolva ecuatiile de functionare ale
bobinelor cuplate: U1=jωL1I1±jωMI2 , U2=jωL2I2±jωMI1 in raport cu necunoscutele I1 si I2 .
Exemplu. Fie bobinele cuplate cu ecuatiile de
functionare U jI jI si U jI jI1 2 1 2 2 1 2 2==== ++++ ==== ++++
Rezolvand acest sistem de ecuatii in raport cu I1 si I2 rezulta:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
117
IU
j
jU si I
U
j
jU1
132
3 2 2232
3 1==== ++++ ==== ++++
adica ecuatiile urmatorului circuit echivalent:
Aplicatie .Sa se scrie ecuatiile potentialelor nodurilor pentru circuitul:
e t t
is t t
( ) cos
( ) sin( )
====
==== ++++
2 2
2 24π
Deoarece cuplajul nu se poate sparge construim circuitul echivalent cu surse de curent comandate
in tensiune al celor doua bobine cuplate. Cu notatiile din figura ecuatiile de functionare ale acestor
doua bobine sunt: U jI jI U jI jI1 2 1 2 2 2 2 1==== ++++ ==== ++++, deci circuitul echivalent este cel prezentat
in exemplul precedent. Schema echivalenta in complex este:
Se observa ca avem un circuit rezonant RLC serie cu Ze = j-j+3 =3 si doua surse ideale de tensiune
care nu se pot transforma in surse de curent. Alegem ca potential de referinta o borna a uneia
dintre aceste surse iar pentru cealalta introducem necunoscuta suplimentara I4 . Rezulta ecuatiile
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
116
VV j
Vj
Vj
V I j U
U VV V I
IV V
j
Vj j
Vj
Vj j U
U V V
V j I
5 0
1
223
13 1
23 3
13 4 3 2
2 32 4 3 3
31 31
31
113
23
11
23
13 1
1 1 2
412
1 4
========
++++
−−−− −−−− ==== ++++
==== −−−−−−−− ====
====−−−−−−−−
−−−−++++ ++++
−−−−
−−−−−−−− ==== ++++ ++++
==== −−−−
==== −−−− −−−− −−−−
adica un sistem de 9 ecuatii cu necunoscutele V V U U I I1 5 1 2 3 4, ... , , , , , .
Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor este:
• se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale comenzilor
in curent in comenzi in tensiune
• se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor sa poata fi
exprimate ca sume de tensiuni electromotoare
• considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte
noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii:
V j Y k V i Y k I skk jk i jk j
− =∈∑
∈∑
∈∑
,
si ecuatiile suplimentare
4.7.2.2. Metoda curentilor ciclici
Aplicatie. Sa se scrie ecuatiile metodei curentilor ciclici pentru circuitul:
e t t
e t t1
2
2 2
2
( ) cos
( ) sin
====
====
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
119
Schema echivalenta in complex se construieste considerand pentru bobine circuitul echivalent cu
surse de tensiune comandate in curent (vezi paragraful 4.3.2).
Rezulta ecuatiile
++−−=++++−
−−=
=
=
++−−=+++++
21131)21('1)21('2
'2'13
'22
'11
21232)21('2)121('1
IjIjIjIjjIjjjI
III
II
II
IjIjjIIjjjIjjI
deci 5 ecuatii cu necunoscutele I I I I I1 2 1 2 3' , ' , , , .
Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este:
• se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor
in tensiune in comenzi in curent
• se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie
plasate in coarbore
• considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi ′ ′ ′I I I B1 2, ,...., (curentii ciclici),
se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:
I i Rkk BiI j Rkk Bi
k Bj
' '∈∑ + =
∈∈
∑ Ekk Bi∈∑
si ecuatiile suplimentare
4.8. Teoreme ale circuitelor de curent aternativ
Ecuatiile circuitului echivalent cu surse si impedante complexe sunt similare ecuatiilor unui
circuit liniar de curent continuu (vezi paragraful 4.7.1). Din acest motiv enunturile teoremelor sunt
asemanatoare cu cele din paragraful 2.4 si demonstratiile nu vor fi reluate.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
120
4.8.1. Teoremele impedantelor echivalente
Legarea in serie a impedantelor: Zes Zk
n
k====
====∑∑∑∑
1. Deoarece Zes = Res + jXes si Zk = Rk + jXk rezulta
Res Rkk
n====
====∑∑∑∑
1 si Xes Xkk
n====
====∑∑∑∑
1
Legarea in paralel a impedantelor: Yep Ykk
n====
====∑∑∑∑
1, deci Gep Gkk
n====
====∑∑∑∑
1 si Bep Bkk
n====
====∑∑∑∑
1
4.8.2. Teorema superpozitiei
Fie un circuit de c.a. cu mai multe surse: E1, ... , El, Is,l+1,...,Ism. Orice curent (sau tensiune)
din circuit se poate scrie ca o suma a curentilor (tensiunilor) din aceeasi latura produsi de fiecare
sursa independenta separat, celelalte surse independente fiind pasivizate.
De exemplu I I kk
m1 1
1====
====∑∑∑∑ unde I1k este curentul produs in latura 1 de sursa independenta
din latura k, celelalte surse independente fiind pasivizate.
Teorema este o consecinta a caracterului liniar al ecuatiilor circuitului. Sursele comandate
nu se pasivizeaza.
4.8.3. Teoremele generatoarelor echivalente
Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B.
Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de
tensiune UAB0 in serie cu o impedanta ZAB0 unde UAB0 este tensiunea de mers in gol masurata la
bornele A si B (impedanta Z fiind scoasa din circuit) si ZAB0 este impedanta echivalenta intre
bornele A si B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza).
Daca circuitul pasivizat este o combinatie serie - paralel de impedante atunci determinarea
lui ZAB0 se poate face cu regulile din paragraful 4.8.1. Daca circuitul contine surse comandate sau
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
121
nu este un circuit serie - paralel, atunci se conecteaza intre A si B o sursa independenta de tensiune
de valoare 1V ( sau o sursa independenta de curent de valoare 1A) si ZAB0 rezulta in urma
determinarii lui I sau U.
Aplicatie. Sa se calculeze Z ZAB AB0 1( )= Ω
e t t
e t t
is t t
1 2 2 2
2 2 24
2 24
( ) cos
( ) sin( )
( ) cos( )
====
==== −−−−
==== −−−−
π
π
Bobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul. Prin pasivizare si calculand
impedantele echivalente j j j jj j
−−−− ====−−−− ⋅⋅⋅⋅
−−−−==== ∞∞∞∞
0 2 2
2 2, circuitul capata o forma mai simpla. Se conec-
teaza intre A si B o sursa de tensiune cu E V= 1 si rezulta
Ij
jj
ZAB Ij
jj==== ++++ ====
++++ ==== ====++++
====++++1
612
1 36 0
1 61 3
1 610
Generatorul echivalent de curent al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
109
Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de
curent IABsc in paralel cu o impedanta ZAB0 unde curentul IABsc corespunde scurtcircuitului intre
bornele A si B.
Daca in schemele echivalente ale diportilor rezistivi liniari (vezi paragraful 2.4.3.3.) se inlocuiesc
rezistentele cu impedante si conductantele cu admitante se obtin schemele echivalente ale
diportilor de c.a...
4.8.4. Teorema transferului maxim de putere activa
Se considera o sursa de tensiune electromotoare E si de impedanta interna Zi, la bornele
careia se leaga o impedanta Z. Se pune problema urmatoare: ce relatie trebuie sa existe intre Zi si
Z astfel incat pentru un E dat puterea activa absorbita de Z sa fie maxima.
Fie Zi = Ri + jXi si Z = R + jX . Curentul din circuit este I ER Ri j X Xi
=+ + +( )
si deci puterea
activa absorbita de Z este P RI RER Ri X Xi
= =+ + +
2 2
2 2( ) ( )
Se observa ca functia P(R,X) are un maxim in raport cu X pentru X= -Xi . Valoarea acestui maxim
este P R Xi PM R RE
R Ri( , ) ( )
( )−−−− ==== ====
++++
2
2 . Maximul functiei PM R( ) are loc pentru R=Ri (vezi
teorema transferului de putere in curent continuu). Rezulta ca puterea activa absorbita de sarcina
este maxima daca Z = Zi* (teorema transferului maxim de putere activa).
Daca Z = Zi*
puterea activa Pd cedata de sursa este consumata in cantitati egale de R si Ri
deci randamentul circuitului este η=P/ Pd=0,5.
Observatii
i) daca R→∞ si/sau X→∞ atunci η→1 dar P→0
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
110
ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Zi, impedanta
de sarcina Z absoarbe puterea activa maxima tot daca Z = Zi*
iii) daca generatorul de curent alternativ are o impedanta interna inductiva, rezulta ca
pentru a absorbi o putere activa maxima sarcina trebuie sa aiba un caracter capacitiv.
4.9. Rezonanta dipolilor
4.9.1. Definitii si exemple
Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se
utilizeaza la circuitele electronice.
Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula,
adica Qabs=UI sinϕ = 0.
Deci la rezonanta defazajul ϕ dintre U si I este nul (sinϕ = 0 ⇒ ϕ = 0). Daca impedanta
echivalenta la bornele dipolului este Z=R+jX, Q=XI² =0 ⇒X = 0 deci la rezonanta reactanta
echivalenta este nula si dipolul are o comportare rezistiva la borne.
Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare
efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I(ω) are maxime si minime.
Exemplu
- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω1 , ω2 , ω3 , ω4, ω5
- in cazul maximelor de curent (ω1 , ω3 , ω5 ) avem rezonanta de tensiune,
- in cazul minimelor de curent (ω2 , ω4) avem rezonanta de curent.
Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y (ω) are aceeasi alura cu I (ω).
b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare
efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U(ω) are maxime si minime.
Exemplu
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
111
- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω‘1 , ω‘2 , ω‘3 , ω‘4, ω‘5
- in cazul minimelor de tensiune (ω‘1 , ω‘3 , ω‘5) avem rezonanta de tensiune,
- in cazul maximelor de tensiune (ω‘2 , ω‘4) avem rezonanta de curent.
Deoarece U = Z I si I = ct, curba Z(ω) are aceeasi alura cu U(ω).
Observatii
i) cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta
ii) rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are maxime locale si deci
Z(ω)=1/ Y(ω) are minime locale
iii) rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are minime locale si deci
Z(ω)=1/ Y(ω) are maxime locale.
Exemple. a)
( )I I I UR j L
j CU U
R LR j C R L L= + =
++ =
++ + −
1 2 2 2 2
2 2 2ω
ωω
ω ω ω
Se calculeaza puterea aparenta complexa S = UI* si se anuleaza puterea reactiva
obtinandu-se pulsatiile de rezonanta dupa definitia 1: L
CRLC
21
12,1 −±=ω ; se observa ca
daca R→0
atunci ω2→ 1LC
. Se calculeaza minimele si maximele lui I(ω) respectiv ale lui Z(ω)
ZC
R L
R LC
2 12 2
2 2 2
2 1 2( )ω
ω
ω
ωω
= +
+ −
si δδωZ 2
0= are solutiile ω 21 222
1 2 2
, = − ±+
RL
CL
R
LC
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
112
(daca R→0 atunci ω2→ 1LC
). Pulsatiile de rezonanta obtinute dupa cele doua definitii nu sunt
aceleasi.
b) Impedanta complexa a circuitului RLC serie este Z R jX R j LC
= + = + −( )ωω1 .
Rezulta
Z R LC
2 2 1 2( ) ( )ω ωω
= + − . Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci
ω 01====LC
. Dupa a doua definitie, se calculeaza δ ωδω
Z 20( ) = si se obtine aceeasi valoare pentru
ω0 . Daca U=ct in raport cu ω, la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima
Z(ω0)=R.. Pentru acest circuit Uc(ω0)=|Xc|I= UL(ω0)=|XL|I si Uc(ω0)= -UL(ω0) deci U(ω0)=UR(ω0)
+UC(ω0) + UL(ω0)=UR(ω0). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta UC si UL
sa aiba valori mai mari decat tensiunea U a sursei de alimentare. Se noteaza cu
QU LU R
U CU R R
LC0
1= = = factorul de calitate al circuitului unde UL, UC, UR se considera la
rezonanta. Daca Q0 >1 ( LC
R≥ ), la rezonanta, tensiunea bobinei si cea a condensatorului
depasesc tensiunea sursei de alimentare.
c) Circuitul RLC paralel are propietati selective in frecventa duale celui RLC serie.
Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit ω 01====LC
. La
rezonanta YR
j CL R
( ) ( )ω ωω0
10
1
0
1= + − = deci Y are valoarea minima. Daca U=ct in raport cu
ω, la rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit Ic(ω0)=U/|Xc|=
IL(ω0)=U/|XL| si Ic(ω0)= -IL(ω0) deci I(ω0)=IR(ω0) +IC(ω0) + IL(ω0)=IR(ω0). Este posibil ca la
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
113
rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta IC si IL sa aiba valori mai mari decat curentul I prin
sursa de alimentare. Se noteaza cu Q0 factorul de calitate QI LI R
ICI R
R CL0 = = = unde IL, IC, IR
se considera la rezonanta. Daca Q0 >1 ( CL R
≥ 1 ),curentul bobinei si al condensatorului depasesc
curentul total.
4.9.2. Aplicatii tehnice ale rezonantei
a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice
la capatul careia este conectat consumatorul inductiv (asa cum sunt majoritatea consumatorilor
energetici) din figura a..
Curentul absorbit de consumator este : I UR
Uj L
==== ++++ω
deci I UR L
= +12
12 2ω
si cosϕ
= PUI
U
RUR L
L
R L=
+=
+
2
2 12
12 2
2 2 2
ω
ω
ω.
Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul astfel incat ωω
LC
= 1 (circuitul
b). In acest caz avem un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R
si curentul absorbit de receptor este I UR
I' = ⟨ . Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv
in paralel cu condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de
rezistenta r ) vor fi minime : ∆P’linie = rI’2 < ∆Plinie= rI2. In acest caz factorul de putere cosϕ‘=1 si
avem o compensare totala a factorului de putere.
Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in
anumite zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care
produce efecte nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se
face o compensare partiala a factorului de putere (de exemplu cosϕ‘=0,92). In acest caz calculul
capacitatii condensatorului care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel:
diferenta intre puterea reactiva absorbita de consumatorul necompensat Q=UIsinϕ si cea absorbita
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
114
de consumatorul compensat partial Q’=UIsinϕ‘ este absorbita de condensator (QC=ωCU2).
Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P absorbita de consumator (Q=Ptgϕ,
Q’=Ptgϕ‘) rezulta C Ptg PtgU
====−−−−ϕ ϕ
ω'
2 . In acest calcul se considera ca U nu se modifica prin
conectarea condensatorului.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
1
4.10. Circuite trifazate
4.10.1. Sisteme trifazate - caracterizare si proprietati
Un sistem trifazat este un ansamblu de trei marimi sinusoidale de aceeasi pulsatie ω.
y t Y t1 1 2 1( ) sin( )= +ω α , y t Y t2 2 2 2( ) sin( )= +ω α , y t Y t3 3 3 3( ) sin( )= +ω α
avand reprezentarea in complex:
Y Y e j1 1
1= α
Y Y e j2 2
2= α
Y Y e j3 3
3= α
Daca modulele sunt egale intre ele (Y1 =Y2 =Y3 =Y) si marimile sunt defazate intre ele cu
23πavem un sistem trifazat simetric. Acesta este de succesiune directa daca secventa Y1, Y2, Y3 se
obtine prin parcurgere in sens orar,
Sistem simetric de succesiune directa:
y t Y t1 2( ) sin= ω
y t Y t2 2 23
( ) sin( )= −ω π
y t Y t3 2 23
( ) sin( )= +ω π
Y Y1 =
Y Yej
a Y a Y223 2
12=
−= =
π
Y Yej
aY323= =π
In relatiile de mai sus s-au folosit notatiile:
a ej
j= = − +23 1
23
2
π si a e
jj2
23 1
23
2=
−= − −
π.
Se observa usor ca 1, a si a2 sunt solutiile ecuatiei x3 -1=0 si satisfac urmatoarele relatii:
1+a+a2=0, a*=a2, (a2)*=a, a3=1, a4=a, a5=a2...
4.10.2. Marimi trifazate
In centralele electrice se produce energie cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate care
furnizeaza tensiuni ce formeaza un sistem trifazat simetric de succesiune directa:
e t E t1 2( ) sin= ω
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
2
e t E t2 2 23
( ) sin( )==== −−−−ω π
e t E t3 2 23
( ) sin( )==== ++++ω π
Producerea energiei electrice cu generatoarele trifazate este foarte eficienta. Transmisia
energiei electrice la receptor se face prin intermediul liniilor electrice. Fiecare faza a generatorului
trifazat ar putea alimenta un receptor separat si deci linia ar putea avea sase conductoare. Acest
sistem de transmisie nu este insa economic. Prin conexiuni speciale (in stea sau in triunghi) ale
receptoarelor, numarul de conductoare se poate reduce la trei sau patru.
Avantajele distributiei trifazate a energiei electrice sunt:
- transmisie de energie mai economica (economie de material - Cu sau Al), puterea maxima
pe conductor fiind mai mare;
- posibilitatea de a avea doua valori pentru tensiuni la utilizator : Uf si Ul ; - posibilitatea producerii campurilor magnetice invartitoare pe care se bazeaza functionarea
motoarelor asincrone.
Un circuit trifazat contine cel putin un generator si un receptor conectate intre ele prin
conductoarele liniei de transport al energiei. Elementele de circuit din schema generatorului care
sunt parcurse de acelasi curent formeaza o faza a generatorului. Faza receptorului este formata
asemanator din elemente de circuit parcurse de acelasi curent. Un generator trifazat, ca si un
receptor trifazat, are trei faze. Pentru a utiliza cat mai putine conductoare de legatura atat
generatoarele cat si receptoarele trifazate se conecteaza in stea sau in triunghi. Fie, de exemplu, un
generator conectat in stea legat cu un receptor conectat in stea.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
3
Fazele generatorului formate din E1 , Z1g (faza 1), E2 , Z2g (faza 2) si E3 , Z 3g (faza 3) sunt legate
impreuna in punctul 0 (neutrul generatorului). Fazele receptorului (Z1 , Z2 si Z3) sunt legate
impreuna la neutrul receptorului N. Conexiunea stea se caracterizeaza prin legarea tuturor fazelor
la un punct neutru. Generatorul este conectat cu receptorul prin linia de transport al energiei care
are patru conductoare: cele trei faze (conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’) si conductorul neutru (0-N)
care, in general, are o impedanta ZN. In tehnica, tensiunea la bornele unei faze a generatorului sau a
receptorului se numeste tensiune de faza (de exemplu U1g sau U2N ) si curentul printr-o faza a
generatorului sau a receptorului se numeste curent de faza. Tensiunea intre o faza a liniei si
conductorul de nul se numeste tot tensiune de faza desi, in general, are alta valoare decat tensiunea
de faza a generatorului sau a receptorului; de exemplu U10, U20, U30 sunt tensiuni de faza dar, in
acest caz, U10 = U1g si U10 ≠ U1N. Curentii care trec prin conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se
numesc curenti de linie (I1 , I2 , I3) si curentul prin conductorul neutru se numeste curent de nul
(IN). Tensiunile intre conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se numesc tensiuni de linie (U12, U23 , U31).
La conexiunea stea curentul de linie este egal cu cel de faza (I1 =I1g = I1r, I2 = I2g= I2r, I3 = I3g =
I3r).
Daca tensiunile de faza U10, U20, U30 formeaza un sistem simetric de succesiune directa,
atunci si tensiunile de linie U12, U23 , U31 formeaza un sistem simetric de succesiune directa cu
valori efective de 3 ori mai mari (U l U f= 3 ). Intr-adevar U12 = U10 - U20 , U23 = U20 - U30 ,
U31 = U30 - U10 si reprezentand fazorii corespunzatori rezulta:
Se obtine un triunghi echilateral cu latura Ul si cu 23
din inaltime Uf. Cum intre inaltime si latura
exista relatia h a= 32
rezulta 32
32
⋅ =U f U l si U l U f= 3 . Un receptor trifazat se poate
considera ca fiind alimentat fie cu sistemul tensiunilor U10, U20, U30 , fie cu sistemul tensiunilor
U12, U23 , U31.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
4
La conexiunea triunghi a unui generator sau a unui receptor, sfarsitul unei faze este legat la
inceputul fazei urmatoare. Fie un receptor in triunghi cu fazele Z 12 , Z 23 si Z 31 alimentat printr-o
linie cu trei conductoare de legatura. Se observa ca tensiunea de linie U12 este si tensiunea la
bornele fazei Z 12 a receptorului s. a. m. d. Deci, la conexiunea triunghi, tensiunea de linie este
egala cu cea de faza. In acest caz, curentii de linie sunt I1 , I2 si I3 iar curentii de faza sunt I12, I23 ,
I31 .
4.10.3. Analiza circuitelor trifazate
Analiza circuitelor trifazate consta in determinarea curentilor de faza si de linie cand se
cunosc tensiunile de alimentare si impedantele fazelor. Se pot aplica toate metodele de analiza a
coircuitelor de curent alternativ monofazat. Exista si algoritmi specifici circuitelor trifazate care
vor fi prezentati in paragrafele urmatoare.
4.10.3.1. Analiza unor receptoare trifazate simple
4.10.3.1.1 Receptorul in stea fara cuplaje mutuale
Se considera cazul unui receptor in stea cu fir neutru. Se noteaza cu N nulul receptorului si
cu 0 nulul de la generator.
Se cunosc:
- tensiunile de faza care alimenteaza receptorul U10, U20, U30
- impedantele fazelor Z 1 , Z 2 , Z 3 si impedanta conductorului neutru ZN Marimile care trebuie determinate sunt:
- curentii din fazele receptorului I1 , I2 si I3
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
5
- curentul din conductorul neutru IN
- tensiunile de faza ale receptorului U1N, U2N, U3N
- tensiunea UN0
Se scriu urmatoarele ecuatii date de teoremele lui Kirchhoff si legea lui Ohm aplicate in circuitul
dat:
U1N + UN0 = U10
U2N + UN0 = U20
U3N + UN0 = U30
I1 = U1N Y1
I2 = U2N Y2
I3 = U3N Y3
IN = UN0YN
IN = I1 + I2 + I3
unde YZ
YZ
YZ
Y N Z N1
1
12
1
23
1
3
1= = = =, , ,
Prin operatii elementare asupra acestor ecuatii rezulta:
U NU Y U Y U Y
Y Y Y Y N0
10 1 20 2 30 31 2 3
=+ ++ + +
Expresia de mai sus este cunoscuta sub numele de formula lui Millman sau formula de calcul a
deplasarii punctului neutru.
Deci algoritmul de analiza a acestui circuit este foarte simplu:
1. Cunoscand tensiunile de faza de alimentare si admitantele receptorului se calculeaza UN0
2. Se calculeaza tensiunile de faza la receptor U1N, U2N, U3N
3. Se calculeaza I1, I2, I3 si IN.
Daca tensiunile de alimentare formeaza un sistem simetric (U U f10 = , U a Uf202==== ,
U aUf30 ==== ) si receptorul este echilibrat ( 1Z
Y Ye j==== ==== −−−− ϕ ), atunci
UNYUf a a
Y YN0
1 2
30====
++++ ++++
++++====
( )
( ) si tensiunile de faza si curentii de faza formeaza sisteme simetrice:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
6
U N U U f1 10= = I U N YUfY
e j I f e j1 1==== ==== −−−− ==== −−−−ϕ ϕ
U N U a U f2 202= = I U N Y a
U fY
e j a I f e j2 2
2 2= = − = −ϕ ϕ
U N U aU f3 30= = I U N Y aU f
Ye j aI f e j
3 3= = − = −ϕ ϕ
si I N I I I= + + =1 2 3 0 . Se observa ca la receptorul echilibrat in stea alimentat cu tensiuni
simetrice U l U f I l I f= =3 , .
4.10.3.1.2. Receptorul in triunghi fara cuplaje mutuale
Sunt cunoscute tensiunile de linie U12, U23 , U31 si impedantele receptorului Z 12, Z 23, Z 31
Se cer curentii de linie: I1 , I2 , I3 si curentii din fazele receptorului: I12, I23 , I31 .
In total sunt sase necunoscute de determinat. Din aplicarea legii lui Ohm si a teoremei I a lui
Kirchhoff rezulta: IUZ12
1212
= , IUZ23
2323
= , IUZ31
3131
= , I I I1 12 31= − , I I I2 23 12= − ,
I I I3 31 23= − .
O alta metoda de a obtine curentii de linie I1 , I2 , I3 este prin transfigurarea triunghi-stea si
aplicarea algoritmului din paragraful precedent. Daca receptorul in triunghi este echilibrat
( Z Z Z Ze j12 23 31= = = ϕ ) si este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
7
( U U U Uej
U Uej
12 2323 31
23==== ====
−−−−====, ,
π π) atunci curentii din fazele receptorului sunt:
I UZ
e j12 = − ⋅ϕ I U
Ze
j23
23=
− ⋅ +( )ϕ π si I U
Ze
j31
23=
− ⋅ −( )ϕ π
si formeaza un sistem trifazat simetric defazat cu ϕ fata de tensiunile U12, U23 , U31 . Curentii de
linie sunt:
I UZ
e j j
I f e j ej
I l ej
I I l ej
I I l ej
1 1 12
32
3 6 6
2 623
3 623
= − − − + =
= − =− +
=− − +
=− + +
ϕ
ϕπ ϕ π
ϕ π π
ϕ π π
[ ( )]
( )
( )
( )
si formeaza tot un sistem simetric. Se observa ca in cazul receptorului echilibrat in triunghi
alimentat cu tensiuni simetrice: fIlIsilUfU 3== .
Deci pentru receptoarele echilibrate in stea sau triunghi alimentate cu tensiuni simetrice
este suficient sa se faca analiza pentru o faza, marimile celorlalte faze rezultand din proprietatile
de simetrie.
4.10.4. Puteri. Compensarea factorului de putere
4.10.4.1. Puteri
Conform teoremei transferului de putere la bornele unui multipol (vezi paragraful 1.6),
pentru un receptor cu patru borne de acces se obtine:
Sb U I U I U I Pb jQb= + + = +10 1 20 2 30 3* * * unde Sb este puterea complexa absorbita de
receptorul in stea. Aplicand teorema conservarii puterilor complexe (puterea complexa primita pe
la borne de receptor este egala cu puterea aparenta complexa consumata in impedante) rezulta:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
8
Sb S c Z I I Z I I Z I I Z N I N I N= = + + +1 1 1 2 2 2 3 3 3* * * *
unde Z1, Z2, Z3, ZN sunt impedantele receptorului in stea.
In cazul unui receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice s-a aratat ca:
U U f
U a UU aU
10
202
1030 10
=
==
si
I I f e j
I a II aI
1
22
13 1
= −
==
ϕ
deci:
Sbstea U I U I U I U f I f e j U f I f e j a a
U f I f e j a a U f I f e j
= + + = + ⋅ +
+ ⋅ =
10 1 20 2 30 32 2
3
* * * ( ) *
*
ϕ ϕ
ϕ ϕ
Pbstea U l I l si Qbstea U l I l= =3 3cos sinϕ ϕ
si conform teoremei lui Tellegen
Pbstea Pcstea R f I f si Qbstea Qcstea X f I f= = = =3 2 3 2
In cazul unui receptor cu trei borne de acces:
*332*112 IUIUbS −=
Daca receptorul este in triunghi:
I I I I I I I I I1 12 31 2 23 12 3 31 23= − = − = − si U U U12 23 31 0+ + = si
Sb U I U I U I U I U I U I U I= − + − = + +12 12 12 31 32 31 32 23 12 12 23 23 31 31* * * * * * *
Expresia obtinuta reprezinta, de fapt, tot suma puterilor complexe absorbite de faze.
Din bilantul puterilor aparente complexe rezulta: Sb S c Z I Z I Z I= = + +12 122
23 232
31 312
Pentru receptorul echilibrat in triunghi alimentat cu tensiuni simetrice cu I12=Ife-jϕ s.a.m.d.
rezulta:
Sb U f I f e j∆ = 3 ϕ respectiv
Pb U l I l Pc R f I f si Qb U l I l Qc X f I f∆ ∆ ∆ ∆= = = = = =3 3 2 3 3 2cos sinϕ ϕ
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
9
4.10.4.2. Compensarea factorului de putere
Receptoarele industriale fiind inductive, imbunatatirea factorului de putere se poate efectua
cu baterii de condensatoare conectate in stea sau triunghi.
In cazul unor receptoare echilibrate notam :
Q - puterea reactiva a receptorului inductiv
Qc - puterea reactiva a condensatorului
Q’ =Q+Qc - puterea reactiva a ansamblului receptor inductiv-baterie de condensatoare (o
valoare pozitiva foarte mica care corespunde unei medii statistice in timp pentru consumatorul
respectiv).
Evident: QC C U l∆ ∆= −3 2ω si Qcstea Cstea U f= −3 2ω .
Rezulta capacitatea pe faza pentru fiecare dintre cele doua scheme de compensare:
CsteaQ Q
U f= − '
3 2ω sau C Q Q
Ul
Cstea∆ ====
−−−− ===='
3 2 3ω
4.10.5. Analiza circuitelor trifazate complexe
4.10.5.1. Introducere
Circuitele trifazate complexe sunt formate din mai multe generatoare si receptoare cu
conexiune in stea sau in triunghi conectate intre ele prin linii electrice. Analiza automata a unui
astfel de circuit se poate face cu ajutorul unor programe generale de analiza a circuitelor care
folosesc ecuatiile date de teoremele lui Kirchhoff in complex si ecuatiile de functionare ale
elementelor de circuit; sistemul de ecuatii liniare se rezolva cu eficienta maxima utilizand metode
numerice pentru matrice rare. Pentru rezolvarea unor probleme de proiectare si in scop didactic se
pot face si calcule manuale. Aceste calcule se simplifica considerabil daca se utilizeaza:
transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea si analiza pe o singura faza a circuitului.
4.10.5.2. Transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
10
Stea-triunghi Se dau Z1, Z2, Z3 si se cer impedantele Z12, Z23, Z31 ale triunghiului echivalent.
Se scurtcircuiteaza bornele 2 si 3 in ambele circuite si se calculeaza impedanta echivalenta intre
bornele 1 si 2 (Ze12) care trebuie sa fie aceeasi:
3232
112 ZZZZZeZ
++=
231
121
12
1ZZeZ
+= deci 1
12
1
312 3
1 2 2 3 1 3Z ZZ Z
Z Z Z Z Z Z+ =
++ +
In mod asemanator se obtin relatiile:
1
12
1
231 3
1 2 2 3 1 3Z ZZ Z
Z Z Z Z Z Z+ =
++ +
1
23
1
311 2
1 2 2 3 1 3Z ZZ Z
Z Z Z Z Z Z+ =
++ +
Se aduna cele trei ecuatii si se simplifica prin 2:
1
12
1
23
1
311 2 3
1 2 2 3 1 3Z Z ZZ Z Z
Z Z Z Z Z Z+ + =
+ ++ +
Din relatia de mai sus se scade pe rand fiecare din ecuatiile initiale si se obtin:
ZZ Z Z Z Z Z
Z121 2 2 3 1 3
3=
+ +Z
Z Z Z Z Z ZZ23
1 2 2 3 1 31
=+ +
ZZ Z Z Z Z Z
Z311 2 2 3 1 3
2=
+ +
Daca steaua este echilibrata de impedanta ZY pe fiecare faza, atunci triunghiul echivalent este si el
echilibrat de impedanta Z∆ = 3ZY.
Triunghi-stea. Pentru transfigurarea triunghi-stea se procedeaza similar, considerand pe rand cate o
borna in gol.
Z egol
Z Z ZZ Z Z123
12 23 3112 23 31
∆=
++ +( )
Z egol
YZ Z123
1 2= + s.a.m.d.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
11
Se obtine: ZZ Z
Z Z Z112 31
12 23 31=
+ +, Z
Z ZZ Z Z2
23 1212 23 31
=+ +
, ZZ Z
Z Z Z331 23
12 23 31=
+ +
Un triunghi echilibrat de impedanta Z∆ are o stea echivalenta echilibrata de impedanta ZY= Z∆3
4.10.5.3. Analiza circuitelor trifazate formate din receptoare echilibrate alimentate cu
tensiuni simetrice
Un circuit trifazat in care tensiunile electromotoare ale fiecarui generator formeaza un
sistem simetric, impedantele fazelor fiecarui generator sunt egale intre ele si toate receptoarele sunt
echilibrate functioneaza in regim simetric. In acest regim tensiunile si curentii formeaza sisteme
simetrice si deci este suficient sa se determine marimile corespunzatoare unei singure faze a
fiecarui receptor, marimile celorlalte doua faze deducandu-se din proprietatile de simetrie.
Pentru a obtine o structura echivalenta mai simpla se inlocuiesc elementele terminale cu
conexiune in triunghi cu elemente echivalente conectate in stea. Dupa efectuarea acestor
transformari toate elementele terminale trifazate vor avea punct neutru. Toate punctele neutre vor
avea acelasi potential (pentru un receptor echilibrat in regim simetric avem UN0 = 0) si deci pot fi
unite printr-un fir neutru “fictiv” de impedanta nula.
Mersul calculului este exemplificat in continuare pentru circuitul din figura .
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
12
Acest circuit poate fi analizat doar pentru o singura faza cu urmatorul circuit echivalent:
Marimile asociate celorlalte doua faze se determina prin defazare cu 2π/3.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
154
5. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL (DEFORMANT)
5.1. Introducere
Un circuit functioneaza in regim periodic daca toate tensiunile si toti curentii sunt functii
periodice de aceeasi perioada. Daca cel putin o tensiune sau un curent nu este sinusoidal, se spune
ca regimul este nesinusoidal sau deformant. Acest regim apare ca un regim permanent
(comportarea asimptotica cand t→ ∞ ) intr-un circuit dinamic cu comportare obisnuita in care
toate excitatiile sunt periodice de aceeasi perioada si sunt conectate la t= 0. Regimul periodic
nesinusoidal este foarte important in circuitele lectronice si in electroenergetica.
5.2. Dezvoltarea in serie Fourier a functiilor periodice. Proprietati
O functie y(t) este periodica de perioada T daca y(t)=y(t+nT), n∈ N.
O functie y(t), de perioada T, care indeplineste conditiile Dirichlet:
(1) este absolut integrabila pe [0,T] ( y t dtO
T( ) ⟨⟨⟨⟨∞∞∞∞∫∫∫∫ )
(2) are pe [0,T] un numar finit de puncte de discontinuitatede prima speta (finite)
(3) intervalul [0,T] se poate descompune intr-un numar finit de intervale pe care y(t) este
monotona
admite o dezvoltare in serie Fourier (trigonometrica) de forma:
y(t) = )1
sincos(20
∑∞
=++
ntnnBtnnA
Aωω
unde: A0
2 este componenta continua;
A1 cosωt si B1 sinωt sunt componentele fundamentale in cosinus si sinus;
An cosnωt si Bn sinnωt sunt armonicele de ordinul n in cos sau sin.
Marimile A0
2, An si Bn se numesc coeficienti Fourier si sunt date de:
A T y t dtT
01
0= ∫ ( ) , An T y t n tdt
T==== ∫∫∫∫
20
( ) cos ω si Bn T y t n tdtT
==== ∫∫∫∫2
0( ) sin ω pentru n=1,2,3,...
In studiul circuitelor electrice in regim periodic nesinusoidal se utilizeaza si urmatoarea
forma a dezvoltarii in serie Fourier
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
155
y t Yn
Yn n t n( ) sin( )==== ++++====
∞∞∞∞∑∑∑∑ ++++0 2
1ω ψ cu Y
AYn
A n Bnn arctg
BnA n0
02
2 2
2==== ====
++++
====, , ψ
Proprietati ale functiilor periodice
i) Daca functia este simetrica in raport cu punctul situat la mijlocul perioadei ( y(t)=y(t+T/2)) ,
atunci dezvoltarea in serie Fourier contine numai armonice pare si functia se numeste "functie
para". Intr-adevar, armonicele impare in sinus si cosinus sunt antisimetrice in raport cu mijlocul
perioadei deoarece
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) sin ( )
cos ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) .
2 12
2 1 2 1 2 1
2 12
2 1 2 1 2 1
k t T k t k k t si
k t T k t k k t
++++ ++++ ++++
==== ++++ ++++ ++++ ++++ ==== −−−− ++++ ++++
++++ ++++ ++++
==== ++++ ++++ ++++ ++++ ==== −−−− ++++ ++++
ω ϕ ω ϕ π ω ϕ
ω ϕ ω ϕ π ω ϕ
Armonicele pare in sinus si cosinus sunt simetrice in raport cu mijlocul perioadei deoarece
in loc de (2k+1) π apare 2kπ si cos 2kπ=1. Rezulta
A k B k si Y k k si
y tA
A k k t B k k t Y Y k k t kkkk
2 1 2 1 0 2 1 0 1 2
02 2 2 2 2 0 2 2 2 2111
++++ ==== ++++ ==== ++++ ==== ====
==== ++++ ++++ ==== ++++ ++++====
∞∞∞∞∑∑∑∑
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
( , ,...)
( ) cos sin sin( )ω ω ω Ψ
ii) daca functia este antisimetrica in raport cu punctul situat la mijlocul perioadei ( y(t)= -y(t+T/2))
atunci dezvoltarea are numai armonice de ordin impar si functia se numeste "functie impara”.
A Y A k B k Y k k0 0 0 2 2 2 0 1 2==== ==== ==== ==== ==== ====, :, , ...
(((( ))))[[[[ ]]]]y t A k k t B k k t Y k k t k( ) cos( ) sin( ) sin==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ++++∞∞∞∞∑∑∑∑
∞∞∞∞∑∑∑∑
∞∞∞∞∑∑∑∑ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1000
ω ω ω Ψ
iii)daca functia y(t) verifica relatia: y(t) = y(T-t) atunci functia contine numai armonice in cosinus.
(Bn=0 pentru n=1,2,...): tktkTT
ktkTT
ktTk ωωπωπω sinsin2coscos2sin)](sin[ −=−=−
iv) daca functia y(t) verifica relatia:y(t) = -y(T-t) atunci ea contine numai armonice in sinus (An=0
pentru n=1,2,3,...) : tktTk ωω cos)](cos[ =−
Aplicatie: Dezvoltarea in serie Fourier a unei functii trapezoidale.
y t
YM t pt t
YM pt t( )
..............................
====
≤≤≤≤ ≤≤≤≤
≤≤≤≤ ≤≤≤≤
αω α
ωαω
πω
0
2
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
156
Se observa ca y(t) este antisimetrica in raport cu T/2=π si )()( tTyty −−= deci exista numai
armonicele pare in sinus.
Daca notam ωt = x, atunci
B nYM x n x dx YM n x dx
YMn
nn
n
YMn
nYM
nn
2 14
0 2 1 4 2 1
42 1
2 1 12 1
2 1
42 1
2 1 4 1
2 1 2 2 1
2++++ ==== ++++ ++++ ++++ ====
++++−−−− ++++ ++++
++++++++
++++
++++++++
++++ ====++++
++++
π αα
π α
π αα α α
πα
π αα
πsin[( ) ] sin[( ) ]
( )cos( ) sin( )
cos( )( )
sin( ) .
Deci
...])12sin()12sin(2)12(
1...
5sin5sin25
13sin3sin23
1sin[sin0
4)12sin(12)(
++++
+
+++∞
=++=
tnnn
tttMYtnnBty
ωα
ωαωαωαπα
ω
Daca α π= 2 se obtine unda triunghiulara cu urmatoarea dezvoltare in serie Fourier:
...))12sin(2)12(
)1(...3sin23
1(sin28
)( +++
−++−= tnn
nttMY
ty ωωωπ
Daca α = 0 se obtine unda dreptunghiulara cu urmatoarea dezvoltare in serie Fourier:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
157
...))12sin(12
1...3sin31(sin
4)( ++
++++= tn
nttMY
ty ωωωπ
Daca α = π/3 se obtine o unda "aproape sinusoidala" (deoarece armonicele superioare au
amplitudinile foarte mici in raport cu armonica fundamentala).
y tYM t t t YM t t( ) (sin sin sin sin
sinsin ... ) , (sin sin ... )==== ++++ ++++ ==== ++++
122 3 32 3
53
52 5 1 05 125
5π
π ω π ω
π
ω ω ω
v) valoarea medie a produsului a doua armonice
Fie
u t U un t U
nnUn n t n
i t I in tn
In
In n t n
( ) ( ) sin( )
( ) ( ) sin( )
= + = +=
∞∑
=
∞∑ +
= +=
∞∑ = +
=
∞∑ +
0 0 211
0 1 0 21
ω α
ω β
Valoarea medie pe o perioada a produsului a doua armonice este: umi n Tumindt
T==== ∫∫∫∫
10
. Rezulta:
umin Tumindt
T
TUmI n m t m n t n dt
T==== ====∫∫∫∫ ++++ ++++∫∫∫∫ ====
10
20
sin( ) sin( )ω α ω β
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]==== −−−− ++++ −−−− −−−− ++++ ++++ ++++∫∫∫∫
UmInT
m n t m n m n t m n dtT cos ( ) cos ( )ω α β ω α β0
Deci: uni n UnI n n n==== −−−−cos( )α β pentru m = n si umin ==== 0 pentru m ≠ n
vi) valoarea efectiva a unei marimi periodice este YT
y t dtT==== ∫∫∫∫
1 2
0 ( ) . Rezulta:
[[[[ ]]]]
YT
Y yn tn
TY yn t
ndt
TY Y yn t
nT
nyn t
kyk t dt
2 10 10 0 1
10
2 2 0 10 1 1
==== ++++====
∞∞∞∞∑∑∑∑
∫∫∫∫ ++++
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
====
==== ++++====
∞∞∞∞∑∑∑∑ ++++∫∫∫∫
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Conform proprietatii anterioare suma dubla are termeni nenuli numai pentru m = n si:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
158
YT
Y dtT
Y
Y
T nyn t dtT
Tyn tT yn t
Yn
dtnn
2 10
20
02
0 21 0
0
10
21
11==== ∫∫∫∫ ++++
====
∞∞∞∞∑∑∑∑ ∫∫∫∫
====++++ ∫∫∫∫
====∞∞∞∞∑∑∑∑
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
L MO NOL MO NO L MOO NOO
( ) ( ) ( ) .
si deci valoarea efectiva are expresia: Y Y Y Y Yn==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++02
12
22 2... ...
unde Yd Y Y Yn==== ++++ ++++ ++++( ... )22
32 2 este reziduul deformant
Se defineste coeficientul de distorsiune: KdYd
Y Y====
−−−−( )02
unde 0≤ Kd ≤1
S-a convenit ca pentru Kd ⟨⟨⟨⟨5% tensiunile si curentii sa se considere marimi sinusoidale.
5.3. Puteri in regim periodic nesinusoidal
Puterea instantanee p(t) absorbita de un dipol care functioneaza in regim periodic nesinusoidal
este: p t u t i t( ) ( ) ( )==== ⋅⋅⋅⋅
unde u t U un t U Un n t n
i t I in t I In n t n
( ) ( ) sin( )
( ) ( ) sin( )
==== ++++ ==== ++++ ++++∞∞∞∞∑∑∑∑
∞∞∞∞∑∑∑∑
==== ++++ ==== ++++ ++++∞∞∞∞∑∑∑∑
∞∞∞∞∑∑∑∑
0 0 211
0 0 211
ω α
ω β
Puterea activa P este media pe o perioada a puterii instantanee p(t): Deci
P p ui U I UnI n nn==== ==== ==== ++++
====
∞∞∞∞∑∑∑∑0 0 1
cosϕ cu unitatea de masura W(watt), unde
ϕ α βn n n==== −−−− este defazajul dintre armonica n de tensiune si armonica n de curent.
Demonstratia acestei relatii se bazeaza pe relatia unin UnI n n n==== −−−−cos( ).α β
Deci in regim periodic nesinusoidal puterea activa este egala cu o suma ai carei termeni
sunt puterea de curent continuu U0I0 si puterile active corespunzatoare fiecarei armonice.
Puterea reactiva Q se defineste ca suma puterilor reactive corespunzatoare tuturor armonicelor
Q UnIn n====∞∞∞∞∑∑∑∑ sinϕ1
cu unitatea de masura VAR (volt - amper reactiv).
Puterea aparenta S este egala cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii si curentului
S UI U U U I I I==== ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++( ...) ( ...)02
12
22
02
12
22 cu unitatea de masura VA (
volt-amper). Se poate observa ca in regim nesinusoidal S P Q2 2 2≠≠≠≠ ++++
Puterea deformanta D este definita astfel:
D S P Q==== −−−− ++++2 2 2( ) cu unitatea de masura VAD (volt - amper deformant).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
159
Daca se inlocuiesc S, P si Q cu expresiile lor in functie de armonicele de tensiune si de curent
rezulta:
D Um I n UnI n n UmI m mmnnm
Um I n Un I m UmUnI mI n m nm nm n
2 2 2 2 21000
2 2 2 2 20
==== −−−− −−−−====
∞∞∞∞∑∑∑∑ ====
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
==== ++++ −−−− −−−−====
≠≠≠≠
∞∞∞∞∑∑∑∑
( cos ) ( sin )
[ cos( )],
ϕ ϕ
ϕ ϕ
De exemplu, daca u(t) si i(t) au componenta fundamentala si armonicele 3 si 5
)53cos(53532)51cos(51512
)31cos(3131221
25
23
25
25
23
21
23
25
21
23
21
2
ϕϕϕϕ
ϕϕ
−−−−
−−−+++++=
IIUUIIUU
IIUUIUIUIUIUIUIUD
Se observa, din expresia de mai sus, ca puterea deformanta se anuleaza daca sunt indeplinite
conditiile: tconsnInU
I
U
I
U
I
Utan
2
2
1
1
0
0 ===== si ϕ ϕ ϕ1 2==== ==== ==== ==== n cons ttan . Singurul
element de circuit care satisface aceste conditii este rezistorul liniar ( ).ϕ ==== ====0 siUnI n
R
Factorul de putere in regim nesinusoidal se defineste astfel: K PS
P
P Q D==== ====
++++ ++++2 2 2
Se observa imediat ca anularea puterii reactive nu aduce factorul de putere la valoarea 1 ca
in regim sinusoidal; este posibil ca anuland pe Q (deci introducand condensatoare in circuit) sa
creasca D (puterea deformanta). In regim nesinusoidal. puterea complementara Qc Q D==== ++++2 2
este cea care trebuie compensata (anulata).
Conservarea puterilor
Conform teoremei lui Tellegen (cap.1), intr-un circuit neliniar puterile instantanee se
conserva adica pk ttoate laturile
( )∑ = 0 sau pkd t pka ttoate sursele toti consumatorii
∑ = ∑( ) ( ) unde puterile
cu indicele d sunt debitate iar puterile cu indicele a sunt absorbite. Considerand media pe o
perioada a ultimei relatii rezulta conservarea puterilor active adica
PkdtPkaoate sursele toti consumatorii
∑ = ∑
Intr-un circuit neliniar se conserva numai puterile instantanee si puterile active. Se observa ca are
loc numai o conservare globala, nu si pe componente armonice. De exemplu un redresor consuma
putere activa pe fundamentala si debiteaza putere activa in curent continuu, pe fundamentala si pe
armonicele superioare.
Daca circuitul este liniar, atunci solutia se poate obtine prin superpozitia solutiilor de
curent continuu, armonica fundamentala si armonicele superioare (vezi paragraful 4.3.4). Asa cum
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
160
s-a aratat in capitolele 2 si 4 aceasta inseamna ca exista o conservare pe componente armonice
adica puterea in curent continuu si puterile active si reactive pentru fiecare armonica se conserva:
∑=∑iiconsumatortotisurseletoate
IUIU 0000
,...)2,1;(coscos =∑=∑ kkarmonicapentrut kkIkU
t kkIkUiiconsumatorotisurseleoate
ϕϕ
,...)2,1;(sinsin =∑=∑ kkarmonicapentrukkIkUt kkIkU
iiconsumatortotiisurseleoateϕϕ
Puterea aparenta si puterea deformanta nu se conserva. Din conservarea pe componente a puterii
active si puterii reactive rezulta conservarea pe componente a puterii complexe. Relatiile de
conservare a puterilor pot fi utilizate la verificarea corectitudinii rezultatelor analizei circuitului.
5.4. Analiza circuitelor in regim permanent nesinusoidal
5.4.1. Introducere
Determinarea solutiei de regim permanent intr-un circuit cu excitatii periodice de aceeasi
perioada se poate face numeric, integrand ecuatiile circuitului pana la disparitia componentelor
tranzitorii ale raspunsurilor. Metodele utilizate in acest scop au fost prezentate in capitolul 3. Daca
circuitul are o solutie periodica unica, aceasta se obtine plecand de la orice conditii initiale uck(o)
si iLk(0). Prin integrarea ecuatiilor circuitului se poate determina solutia de regim permanent a
oricarui circuit neliniar.
Daca circuitul este liniar se poate utiliza teorema superpozitiei (asa cum se va arata in
paragraful care urmeaza) calculand separat solutiile pentru componenta de curent continuu,
armonica fundamentala si fiecare armonica superioara. Acest tip de analiza se numeste analiza in
domeniul frecventei spre deosebire de integrarea ecuatiilor circuitului (vezi capitolul 3) care face
obiectul analizei in domeniul timpului. Desi pentru functiile periodice utilizate in tehnica
amplitudinile armonicelor de ordin n mai mare decat un anumit prag n0 devin neglijabile,
neglijarea acestor armonice poate avea o influenta vizibila asupra formei semnalelor din circuit.
Tinand seama de acest efect, precum si de faptul ca analiza repetata a aceluiasi circuit la mai multe
pulsatii (ω=0, ω, 2ω, 3ω, ...) necesita un efort de calcul considerabil, in cele mai multe cazuri se
prefera analiza in domeniul timpului (integrarea ecuatiilor circuitului pana la disparitia
componentelor tranzitorii) pentru determinarea raspunsului periodic al circuitelor liniare.
Metoda analizei in domeniul frecventei (analiza pe componente armonice) este utila atunci
cand numarul acestor componente este relativ mic. Pentru astfel de circuite, chiar daca sunt
neliniare, se face analiza pe componente armonice numai pentru subcircuitele liniare. Aceasta
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
161
tehnica se combina cu un procedeu de corectare iterativa a raspunsurilor subcircuitelor liniare in
functie de raspunsurile subcircuitelor neliniare (calculate prin integrare in domeniul timpului).
Analiza in domeniul frecventei este utila, in afara cazurilor enumerate pana acum, si din
punct de vedere didactic deoarece evidentiaza clar unele proprietati ale circuitelor in regim
permanent nesinusoidal. In continuare se prezinta analiza circuitelor liniare si neliniare in
domeniul frecventei.
5.4.2. Circuite liniare
Fie un circuit liniar cu excitatiile nesinusoidale de tipul:
)
1sin(20)( ntnnUUtu αω +∑
∞+=
Analiza in regim permanent a acestui circuit se face pe fiecare armonica in parte utilizand
calculul in complex. Armonica de ordinul n a tensiunii determina aparitia armonicei de ordinul n a
curentului. Impedanta complexa a fiecarui element ideal de circuit corespunzatoare armonicei n
este
−−−− ====
−−−− ====
−−−− ==== −−−−
rezistor ZRn R
bobina ZLn jn L
condensator ZCn j
n C
( )
( )
( )
ω
ω1
Deoarece pentru bobina ideala Ln
nUnI
ω= se observa usor ca coeficientul de distorsiune kdi pentru
curent este mai mic decat coeficientul de distorsiune kdu al tensiunii aplicate. La condensatorul
ideal, deoarece In≡UnnωC, kdi > kdu. In baza teoremei superpozitiei curentul din fiecare latura este egal cu suma tuturor
curentilor de armonica n calculati: i t I In n t nn( ) sin( )= + +
=
∞∑0 2
1ω β
Regimul componentelor continue de curent si tensiune se determina pe o retea separata a carei
structura difera de cea pe care se studiaza regimul armonicelor de ordinul 1,2,.... Deoarece in
curent continuu uc=ct rezulta ic=CduC/dt = 0 si condensatorul se inlocuieste cu un rezistor cu R
= ∞. Similar, deoarece uL=ct rezulta uL=LdiL/dt = 0 si bobina se inlocuieste cu un rezistor de
rezistenta R=0.
Exemplu Sa se determine valoarea efectiva a tensiunii u(t) din circuitul din figura.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
162
unde is t t t( ) sin cos= + +2 2 2 2 2
Circuitul echivalent pentru componenta de curent continuu este
Evident componenta de curent continuu a lui u(t) este u V0 2 1 2= ⋅ = .
Circuitul echivalent in complex pentru armonica intai (ω=1) este
sau, datorita rezonantei serie pentru ω=1.
Rezulta U j= ⋅1 si componenta de pulsatie ω=1 a lui u(t) este u t t t1 22
2( ) sin( ) cos .= + =π
Circuitul echivalent in complex pentru armonica a doua (ω=2) este:
Pentru a calcula pe U se determina impedanta echivalenta ZAB intre bornele A si B.
Z j jj
jj
j j jAB = + ⋅
+= − +
+= − + − = +2 1 3
1 36 5
1 36 5 1 3
109 23
10( )( )
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
163
Rezulta U Z j j j jAB= ⋅ = + = − +2 9 23 2
1046 18
10( )
si componenta de pulsatie 2ω a lui u(t) este: u t t arctg2 2 211610
2 1846
( ) sin( ).= + −π
Valoarea efectiva a lui u(t) este U V= + + =2 1 2116100
5 1152 2 , .
Intr-un circuit in regim permanent nesinusoidal rezonanta poate sa apara pe fundamentala
sau pe o armonica superioara.
5.4.3. Circuite neliniare
5.4.3.1. Transformarea Fourier discret`
Un semnal periodic de perioad` T poate fi dezvoltat [n seria Fourier complex`
∑+∞
−∞==
k
tjkkeCtx ω)( unde
Tπω 2= ]I dtetx
TC
Ttjk
k ∫−=
0)(1 ω
Se observ` c` *kk CC =−
Contribu\ia termenului tjkkeC ω + tjk
keC ω− la x(t), consider@nd kkk jBAC += , este :
( ) ( ) tkBtkAejBAejBA kktjk
kktjk
kk ωωωω sin2cos2 −=−++ −
De obicei se consider` un num`r finit de componente spectrale kC :
∑−=
=K
Kk
tjkk eCtx ω)(
Componentele spectrale se pot calcula consider@nd, in loc de functia )(tx , numai N e]antioane ale
acesteia ))1((),...,(),0( tnxtxx ∆−∆ unde NTt =∆ . Ca urmare, integrala care d` pe kC devine o
sum`. Rezult` ∑∑−
=
−−
=
∆− ∆=∆∆=1
0
21
0)(1)(1 N
n
nN
jkN
n
tnjkk etnx
Ntetnx
TC
πω .
Valorile 1,...,1,0,)(1
0
2
−=∆= ∑−
=
−NketnxX
N
n
nN
jkk
π
formeaz` transformata Fourier discret` a
mul\imii de e]antioane ))1((),...,(),0( tnxtxx ∆−∆ .
Trecerea invers` de la valorile kX la mul\imea e]antioanelor este transformata Fourier discret`
invers` :
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
164
)1,...,1,0(1)(1
0
2
−==∆ ∑−
=NneX
Ntnx
N
k
nN
jkk
π
Conform teoremei e]antion`rii 2NK < , deci num`rul componentelor spectrale nenule (2K+1)
este limitat de num`rul e]antioanelor (N).
5.4.3.2. Analiza pe componente armonice
Fie un circuit [n care elementele neliniare sunt numai rezistoare controlate in tensiune ]i
condensatoare controlate [n tensiune. Pentru un astfel de circuit se pot scrie ecuatiile metodei
nodale avand ca necunoscute numai potentialele nodurilor (vezi capitolul 3). Se presupune c`
fiecare potential are c@te 12 +hN componente armonice ale c`ror amplitudini complexe kX
trebuie determinate. Circuitul poate fi descompus [ntr-un subcircuit liniar care con\ine ]i sursele
independente ]i un subcircuit neliniar. Cele dou` subcircuite sunt conectate prin n+1 noduri.
Presupunem c` subcircuitul liniar are o reprezentare controlat` [n tensiune la por\ile (1,
n+1), (2, n+1)…(n, n+1) descris` de I=YV+J unde I ]i V sunt vectorii curen\ilor ]i tensiunilor
por\ilor ]i J este vectorul surselor independente de curent echivalente. Dimensiunea vectorilor este
n ]i dimensiunile matricei Y sunt nn × . Pentru fiecare component` armonic` k, curen\ii care intr`
[n primele n borne ale multipolului liniar sunt kkkk JVYI += unde Jk ]i Vk sunt m`rimi
complexe ]i Yk este matricea admitan\elor complexe ale por\ilor calculat` pentru componenta
armonic` k.
Fie x(t) vectorul potentialelor nodurilor subcircuitului neliniar. Aceste potentiale sunt
reprezentate de vectorul X care are )12( +hx NN componente (amplitudini complexe), unde Nx+1
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
165
este numarul nodurilor din subcircuitul neliniar. Se pleac` de la o estimare initiala a lui X ceeace
permite calculul lui x(t) in anumite momente de timp kh (k=1,...,2Nh) folosind transformarea
Fourier discret` invers`. Cunoscand ecuatiile constitutive ale elementelor neliniare (i=i(u) pentru
rezistoare si q=q(u) pentru condensatoare) se pot calcula valorile curentilor in aceleasi momente de
timp. Cu transformarea Fourier discreta se determina amplitudinile complexe ale curentilor prin
rezistoarele neliniare si ale sarcinilor condensatoarelor neliniare. Amplitudinile complexe ale
curentilor prin condensatoarele neliniare se determina din i=dq/dt derivand in raport cu
timpul,termen cu termen, seria Fourier a fiecarei sarcini. Cunoscand amplitudinile complexe ale
tuturor curentilor din subcircuitul neliniar se pot determina, utiliz@nd teorema I a lui Kirchhoff,
amplitudinile complexe kI . Se considera c` amplitudinile complexe kI ]i kV depind de X.
n regim periodic curen\ii care intr` [n bornele subcircuitului liniar trebuie s` fie egali cu
cei care ies din bornele corespunz`toare ale subcircuitului neliniar. At@t datorit` erorilor [n
estimarea lui X, c@t ]i faptului c` se consider` un num`r finit de componente armonice, exist` o
eroare cu care este satisf`cut` egalitatea acestor curen\i. Pentru componenta armonic` k aceasta
eroare este:
)()()( XIJXVYXE kkkkk ++=
Se urm`re]te minimizarea acestei erori p@n` la o limit` impus`. Se utilizeaz` metoda
Newton-Raphson pentru a rezolva ecua\ia E(X)=0.
Rezult` )()( )()()1()()1( nnnn XEXJXX −+ −= unde J este Jacobianul ecua\iei E(x)=0
Algoritmul acestei metode, cunoscut` ]i sub numele de metoda balan\ei armonice,este urm`torul:
1. Se ini\ializeaz` X
2. Se analizeaz` subcircuitul neliniar [n domeniul timpului ]i rezult` )(),( XIXV kk .
3. Cunosc@nd kY pentru fiecare component` armonic` se calculeaz` )(XEk .
4. Dac` ε≤E se ob\ine solu\ia, dac` ε>E se calculeaz` noul X cu metoda Newton-
Raphson ]i se reia calculul [ncep@nd cu pasul 2.
Observa\ii
i) Calculele devin foarte laborioase chiar pentru circuite simple; de exemplu dac` se consider`
4Nh = ]i avem 10N x = noduri [n circuitul neliniar atunci dimensiunea lui E este 10(2x4+1)=90
componente iar J are 90x90 componente.
ii) Convergen\a itera\iilor Newton-Raphson nu este garantat`. Pentru a [nl`tura aceast` dificultate
se folose]te subrelaxarea )()( )()(1)()1( nnnn XEXJXX −+ −= α unde 1<α .
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
166
iii) n general excita\iile sunt sinusoidale. n practic` putem avea excita\ii de o singur` pulsa\ie,
dou` sau trei (un ton, dou` tonuri, trei tonuri). n cazul unui ton cu pulsa\ia 0ω ]i 5Nh =
componentele armonice sunt 00000000 4,3,2,,0,,2,3,4 ωωωωωωωω −−−− . Dac` avem dou` tonuri
1ω ]i 2ω componentele armonice au pulsa\iile 21 qp ω+ω unde Mqp ≤+ ; de exemplu pentru
M=2 componentele armonice sunt:
212121211111 ,,,,2,,0,2 ωωωωωωωωωωωω +−−−−+−−
O importan\` practic` deosebit` o au componentele cu pulsa\ii rezultate prin diferen\` (produsele
de intermodula\ie). De exemplu [n orice receptor de radio sau televiziune aparitia semnalului cu
pulsatie diferen\` intre pulsa\ia semnalului captat de anten` ]i pulsa\ia oscilatorului local (ca
rezultat al func\ion`rii circuitului neliniar numit mixer) permite recep\ionarea unui singur post din
mul\imea celor existente.
5.5. Regimul deformant in sistemul electroenergetic
5.5.1. Functionarea in regim deformant
Asa cum s-a aratat in paragraful 4.1 sistemul electroenergetic este format din generatoare
cu tensiuni electromotoare sinusoidale de aceeasi pulsatie ω si receptoare. Daca toate elementele
de circuit sunt liniare, in regim permanent toti curentii si toate tensiunile sunt functii sinusoidale de
pulsatie ω. Daca in acest sistem cel putin un element de circuit este neliniar, regimul permanent al
circuitului, daca exista, este un regim deformant. Iata cateva exemple:
Rezistorul neliniar alimentat cu tensiune sinusoidala Fie un rezistor cu caracteristica i =
au + bu3.
Daca u U t rezulta i aU t bU t si tinand seama
ca x x x avem i aU bU t bU t
==== ==== ++++
==== −−−− ==== ++++ −−−−
2 2 2 2 3 3
3 34
14
3 2 32
3 22
3 3
sin sin sin
sin sin sin ( ) sin sin .
ω ω ω
ω ω
Se observa aparitia armonicei a treia de curent care provine din termenul bu3 din ecuatia
constitutiva a rezistorului neliniar.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
167
Bobina cu miez de fier alimentata cu tensiune sinusoidala Bobina cu miez de fier este un
element neliniar de circuit caracterizat de ecuatia constitutiva neliniara ϕ = ϕ(i) corespunzatoare
curbei de magnetizare a fierului. Ecuatia de functionare a bobinei este u Nddt
====ϕ
unde N este
numarul de spire si ϕ este fluxul magnetic fascicular (printr-o spira).
Daca u U t rezulta UN
t deci este defazat cu in urma tensiunii==== ==== −−−−2 22 2
sin sin( ) .ω ϕω
ω π ϕ π
Pe portiunea liniara OA a curbei de magnetizare curentul i va avea o variatie sinusoidala
fiind defazat cu π/2 in urma tensiunii. Pe portiunea neliniara AB a caracteristicei de magnetizare se
poate determina forma undei de curent pe cale grafica.
Se construieste curba i(t) punct cu punct utilizand caracteristica ϕ(i) . Curba i(t) este bisimetrica in
sinus, deci contine numai armonice impare, cu armonica a 3-a in opozitie cu fundamentala.
i I t I t n I n n tn
==== −−−− ++++ −−−− ++++++++ ++++
====
∞∞∞∞∑∑∑∑1 2 3 2 3 1 2 1
2 1 2 2 12
sin sin ( ) sin( )ω ω ω
Curentul este "in faza" cu fluxul (adica are extremele la aceleasi momente de timp si se
anuleaza la aceleasi momente de timp).
Puterea activa absorbita de bobina este nula: P UnI n n U I==== ==== ====∞∞∞∞∑∑∑∑ cos cosϕ π
1 1 20
1
In cazul in care ciclul de histerezis al materialului din care este facut miezul bobinei nu
poate fi neglijat, curba i(t) se construieste in acelasi mod. Se obtine o curba i(t) care nu este
simetrica si nici "in faza" cu fluxul magnetic dar are maximul in acelasi timp cu ϕ.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
168
Curentul este defazat inaintea fluxului cu un unghi α numit unghi de avans histerezis si
deci defazajul dintre tensiune si curent este (π/2-α). In aceste conditii puterea activa absorbita de
bobina nu mai este nula P=U1I1cos (π/2-α) = U1I1cos α≠0 si corespunde pierderilor in fier prin
histerezis.
Redresorul Functionarea celui mai simplu redresor (redresorul monoalternanta fara
filtru) a fost studiata in capitolul 2. Generatorul ideal de tensiune are e=E√2sin ωt.
Asa cum s-a aratat in capitolul 2, forma de unda a curentului este:
i t
ER
t pt k t k
pt k t k( )
sin , ( )
( ) ( )====
≤≤≤≤ <<<<++++
++++ ≤≤≤≤ <<<<++++
2 2 2 1
0 2 1 2 2
ω πω
πω
πω
πω
Dezvoltand in serie Fourier rezulta:
i t E
RE
Rt
R nn t
n( ) sin sin( )==== ++++ ++++
−−−−−−−−
====
∞∞∞∞∑∑∑∑
2 22
2 2 1
4 2 12
21πω
πω π
5.5.2. Efectele regimului deformant si compensarea acestora
Functionarea in regim deformant produce in sistemul electroenergetic efecte defavorabile.
Acestea pot fi puse in evidenta pe un exemplu simplu. Fie un receptor liniar inductiv pentru care se
considera o schema echivalenta RL serie. Acest receptor functioneaza in regim sinusoidal la o
tensiune U1 si absoarbe un curent I1, factorul de putere fiind
11
11
21
URI
IU
RI
SPK ===
Daca acelasi receptor este conectat intr-o retea in care apare si o componenta de armonica a treia a
tensiunii de alimentare de valoare efectiva U3 prin el va circula si armonica a treia de curent de
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
169
valoare efectiva I3 . Ca urmare, valoarea efectiva a curentului absorbit creste de la I1 la 23
21 II +
ceea ce produce pierderi suplimentare pe linia de alimentare si in rezistenta echivalenta a
receptorului.
Factorul de putere in regim deformant este:
K PS
R I I
U U I I
RIU
I
I
U
U
K
I
I
U
U
' ''
( )
( )( )==== ====
++++
++++ ++++====
++++
++++
====
++++
++++
12
32
12
32
12
32
11
1 32
12
1 32
12
1 32
12
1 32
12
Deoarece receptorul este inductiv 21
23
21
23
I
I
U
U> si K'<K deci in regim deformant scade factorul de
putere.
In paragraful 5.3. am aratat ca pentru ca factorul de putere sa tinda catre valoarea 1 trebuie
compensata puterea complementara. Acest deziderat este foarte dificil de realizat de oarece, de
exemplu, compensarea puterii reactive poate conduce la cresterea puterii deformante. Solutia
practica pentru imbunatatirea factorului de putere in retelele energetice in regim deformant este
filtrarea armonicelor asociata cu compensarea puterii reactive pe fundamentala.
Pentru reducerea anumitor armonice de tensiune sau de curent se folosesc circuite auxiliare
formate din bobine si condensatoare legate in serie sau paralel care indeplinesc conditia de
rezonanta si care se numesc filtre de armonice. Aceste filtre se plaseaza de obicei la bornele
receptoarelor neliniare care, fiind alimentate cu tensiune sinusoidala, produc componente ale
curentului pe armonicele a 3-a si a 5-a. Evident filtrele se pot plasa si pentru a proteja receptoarele
liniare de efectele armonicelor superioare de tensiune .
In continuare sunt prezentate doua exemple:
a)Filtrul LC paralel Pentru ca intr-un receptor curentul sa nu contina armonica de ordinul K
trebuie ca impedanta echivalenta pe armonica K a filtrului sa fie infinita. Aceasta se realizeaza
daca L si C indeplinesc conditia de rezonanta pe armonica K.
K L
K Cω
ω= 1
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
170
b)Filtrul LC serie Pentru ca tensiunea la bornele unui receptor sa nu apara armonica K trebuie ca
impedanta echivalenta a filtrului pe armonica K sa fie nula. Aceasta se realizeaza daca L si C
indeplinesc conditia de rezonantaCK
LKω
ω 1= .
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
175
CAPITOLUL 7
CALCULUL OPERATIONAL CU TRANSFORMATA LAPLACE
7.1. Transformata Laplace
Fie o ecuatie diferentiala liniara cu coeficienti constanti in functia de timp x(t). Cu ajutorul
transformatei Laplace se poate construi o ecuatie algebrica in functia de variabila complexa X(s)
care corespunde ecuatiei diferentiale. Utilizarea ecuatiilor algebrice in locul celor diferentiale
prezinta avantaje evidente in studiul circuitelor electrice.
Fie o functie reala de timp f(t) care indeplineste urmatoarele conditii:
(((( ))))
i) ( ) ( , )) ( ) arg int ( , ),
int ( )
) ( )
f t pentru orice t undef t este m inita pe ervalul are discontinuitati finite si este absolut
egrabila in origine f t dt
pentru t t f t Aet
==== ∈∈∈∈ −∞−∞−∞−∞ −−−− >>>>−−−− ∞∞∞∞
<<<< ∞∞∞∞−−−−++++
∫∫∫∫
>>>> >>>> <<<<
0 0 00
00
0 0 0
ε εε
εε
σ
ii
iii
Orice functie f(t) care indeplineste aceste conditii se numeste functie original si are o
imagine Laplace F(s) definita de transformata Laplace.
(((( ))))F s f t e stdt==== −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ( )0
unde s = σ+jω.este variabila complexa.
F(s) exista pentru orice Re s>σ0 unde σ0 este valoarea minima pentru care are loc proprietatea iii).
In expresia de definitie a lui F(s) limita inferioara a integralei este 0- in sensul ca:
F sT
f t e stdtT
( ) lim ( )====→→→→∞∞∞∞→→→→
−−−−
−−−−∫∫∫∫
ε ε0 0 Limita 0- se ia pentru ca F(s) sa contina informatii asupra unui eventual salt al lui f(t) in origine.
Se folosesc urmatoarele notatii:
F(s) = L f(t)- functia F(s) este transformata Laplace a functiei original f(t)
f(t) = L -1F(s) - functia original f(t) este transformata Laplace inversa a functiei imagine
Exemple:
a) imaginea functiei treapta unitate. f(t) = A1(t).
Aplicand definitia lui F(s) rezulta:
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
176
∫∞ε− =−−=
−− ∞
=−= 0 sA)10(s
AssteA
0dtste)t(1A)s(F
b) imaginea functiei treapta unitate intarziata cu τ f(t)=A1(t-τ)
F s A e stdt As
e st As
e s( ) ==== −−−− ====∞∞∞∞
−−−−−−−−
∞∞∞∞∫∫∫∫ ==== −−−−
ττ
τ
c) imaginea functiei impuls (Dirac) δ(t)
Se considera ca in capitolul 3 [[[[ ]]]]δ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )t P t unde P t t t====→→→→
==== −−−− −−−−∆ ∆ ∆ ∆
∆0
1 1 1
Re ( ) ( ) lim ( ) ( )zulta F ss
e s
se s
sdeci F s F s si t∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆==== −−−−−−−−
====
−−−− −−−−====
→→→→==== ====
1 1 10
1 1L δ
d) imaginea functiei exponentiale f t Ae t( ) ==== −−−−λ
∫∞ε− >λ
λ+=
∞
λ+
λ+−=+λ−= 0 0pt
sA
0s
t)s(eAdtt)s(eA)s(F
7.2. Teoremele transformatei Laplace
1) Liniaritatea: pentru orice constante, reale sau complexe c1 si c2
L L L ( ) ( ) ( ) ( )c f t c f t c f t c f t1 1 2 2 1 1 2 2⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅
Demonstratia acestei teoreme se bazeaza pe liniaritatea transformatei Laplace in raport cu f(t)
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]L
L L
c f t c f t c f t c f t e s tdt
c f t e s tdt
f t
c f t e s tdt
f t
1 1 2 2 1 1 2 20
1 10
1
2 20
2
⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ====−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫
==== ⋅⋅⋅⋅ −−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅
−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2) Teorema derivatei functiei original: Daca F(s) = L f(t), atunci L df tdt
sF s f 0( ) ( ) ( )
==== −−−− −−−− ,
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
177
L d2f t
dt2 s2F s sf 0 f ' 0( ) ( ) ( ) ( )
==== −−−− −−−− −−−− −−−−
si derivata de ordinul n a functiei original are
transformata Laplace L d nf t
dtsn F s snf sn f f n( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( )
==== ++++ −−−− −−−− −−−− −−−−
−−−− −−−− −−−−−−−−
1 0 1 1 0 1 0
Demonstratie: se utilizeaza integrarea prin parti.
f t e st dt f t e st f t se st dt f s f t e s t dt
s F s f
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
−
−
∞∫ = −
−∞ − − −
−∞∫ ⋅ = − − + ⋅ ⋅ − ⋅ =−
∞∫
= ⋅ − −0
0 0 0 0
0ε
Transformata Laplace pentru derivata de ordinul doi pana la ordinul n se obtine aplicand aceeasi
regula.
Exemplu: aplicand aceasta teorema pentru functia treapta unitate rezulta ca derivata acesteia este
functia impuls. Am aratat ca 1)t(casis1)t(1 =δ= LL . Aplicand teorema derivarii:
L d t
dts
sde unde rezulta t d t
dt1 1 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )==== −−−− −−−− ==== ====δ
3) Teorema integrarii functiei original: daca f t F s atunci f dts
F sL L ( ) ( ), ( ) ( )==== ====−−−−∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅τ τ01
Pentru demonstratie se utilizeaza integrarea prin parti:
[[[[ ]]]]f t dtt
e stdt f t dtt e s t
sf t e s t
sdt
sf t e stdt
sF s
t
n orif t dt
n
sn F s
( ) ( ) ( )
( ) ( )
... ( ) ( )
00 0 0 0
0 10
1
01
−−−−∫∫∫∫
−−−−
∞∞∞∞∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== −−−−∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅
−−−− ⋅⋅⋅⋅
−−−−∞∞∞∞ −−−− ⋅⋅⋅⋅
−−−− ⋅⋅⋅⋅
−−−−====−−−−
∞∞∞∞∫∫∫∫
==== ++++ ⋅⋅⋅⋅ −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ==== ⋅⋅⋅⋅
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
====Similar se arata ca L
4) Teorema translatiei variabilei complexe Daca F(s)=Lf(t), atunci )t(feL)s(F tλ−=λ+
)s(Fdtedte)t(fe0
t)s(
0
stt λ+==∫∫∞
−
λ+−∞
−
−λ−
5) Teorema convolutiei in domeniul timpului Fie doua functii f1(t) si f2(t) definite pe (0,∞) si nule
pentru t<0. Se defineste produsul de convolutie al celor doua functii
( * ) ( ) ( )f f f t f dt1 2 1 20==== −−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−∫∫∫∫ τ τ τ . Conform teoremei convolutiei:
L ( * ) ( ) ( )f f F s F s1 2 1 2==== ⋅⋅⋅⋅
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
178
deci operatia de convolutie in domeniul timpului este echivalenta cu operatia de inmultire in
domeniul frecventei.
Pentru demonstratie se porneste de la definitia transformatei Laplace
[[[[ ]]]]L ( * ) ( ) ( )f f f t f dt e stdt1 2 1 200==== −−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−∫∫∫∫−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ −−−−τ τ τ . Deoarece f1 este ofunctie original f1(t-τ)=0
pentru τ>t deci a doua integrala se poate extide pana la τ=∞. Iversand ordinea integrarii in raport
cu τ si t rezulta f f t e stdt d20 10( )[ ( ) ]τ τ τ−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−−
−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ si cu schimbarea de variabila t’=t-τ (dt’=dt)
f d f t e s t dt F s F s20 10 2 1( ) ( ' ) ( ' ) ' ( ) ( )τ τ τ−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫
−−−− ++++−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ==== ⋅⋅⋅⋅
6) Teorema intarzierii Fie Lf(t)=F(s). Pentru orice valoare T>0 exista L f(t-T)=F(s)e-sT
Demonstratia se bazeaza pe definitia transformatei Laplace: L f t T f t T e stdt( ) ( )−−−− ==== −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫
−−−−0 . Cu
schimbarea de variabila t'=t-T (dt'=dt) rezulta f t e sT e st dtT
( ' ) ' '−−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ .
f fiind o functie original, f(t’)=0 pentru t’<0 si rezulta e sT f t e st dt e sT F s−−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ( ' ) ' ' ( )0 .
7) Teorema valorii finale Daca F(s) = L f(t) atunci lim ( ) ( )s
sF s f→→→→
==== ∞∞∞∞0
Demonstratia se bazeaza pe teorema de derivare si pe definitia transformatei Laplace:
L df tdt
sF s f sis
dfdt
e stdt dfdt
dt f f
si deci rezultas
sF s f
( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
==== −−−− −−−− →→→→
−−−− ==== ==== ∞∞∞∞ −−−− −−−−∞∞∞∞∫∫∫∫−−−−
∞∞∞∞∫∫∫∫
→→→→==== ∞∞∞∞
00
000
0 8) Teorema valorii initiale Daca F(s)=Lf(t) atunci lim ( ) ( )s sF s f→→→→∞∞∞∞ ==== ++++0
Demonstratie:
lim lim ( ) ( )s
dfdt s sF s f din teorema derivatei→→→→∞∞∞∞
==== →→→→∞∞∞∞ −−−− −−−−L 0
Din definitia transformatei Laplace rezulta: lim ( ) lims L dfdt s
dfdt
e stdt→→→→∞∞∞∞ ==== →→→→∞∞∞∞−−−−
−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫0
Functia f(t) avand o discontinuitate in origine cu limite la stanga f(0_) si la dreapta f(0+) se poate
scrie: f t f t f f t( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )==== ++++ ++++ −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅1 0 0 1 unde f1(t) este o functie continua si cu derivata
marginita in origine. [[[[ ]]]]Atunci dfdt
df
dtf f t==== ++++ ++++ −−−−1 0 0( ) ( ) ( )δ si
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
179
] [
)0(f)s(sFslimdecisi
)0(f)0(f
10 dtste)t()0(f)0(f
0
0 dtstedt
1dfslim
dtdf
slim
+=→∞
−−+=
=∫∞−
−δ−−++
=
∫∞−
−→∞=
→∞
L
Teoremele 6 si 7 leaga comportarea asimptotica a lui sF(s) de cea a lui f(t).
9) Teoremele dezvoltarii (Heaviside)
Asa cum vom arata in acest capitol, in majoritatea problemelor de interes practic raspunsul
F(s) al unui circuit cu constante concentrate este raportul a doua polinoame in s
F s P s
Q s( ) ( )
( )====
Teoremele lui Heaviside arata cum se calculeaza functia original f(t)=L-1
F(s).
Prima teorema a dezvoltarii Presupunem ca F(s) are polii simpli s1, s2, ...sm (solutiile lui
Q(s)=0) adica
F s P s
s s s s s sm( ) ( )
( ) ( ) ... ( )====
−−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−−1 2 Presupunem ca gradul lui P(s) ≤ decat gradul lui Q(s). Atunci F(s) se descompune in fractii
simple:
F s
Cs s
Cs s
Cms sm
( ) ...====−−−−
++++−−−−
++++ ++++−−−−
11
22
unde C1, C2,..., Cm sunt niste constante. Pentru a determina Ck, se scrie:
kssm
k ksQksP
sFDeciksQksRdarksRksP
kC
rezultaundedei kss
issiC
ksskC
sQsRkss
sPkss
i issiC
ksskCsFkss
−⋅∑
====
∑ =−−+=
−−
∑−
−+=⋅−
11 )('
)()().(')(
)(
)(
)(
)()()(
)()(
)()()(
Am aratat ca transformata Laplace a functiei exponentiale este
∑=
−=
−=
m
k
tkseksQksP
tfatuncisikss
tkseL1 )('
)()(1
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
180
Aceasta relatie reprezinta prima teorema a dezvoltarii. In cazul in care exista un pol in origine deci
)()()(ssQsPsF = , aplicand aceeasi metoda se obtine functia original f t P
Q
P skskQ sk
eskt
( ) ( )( )
( )
' ( )==== ++++
∞∞∞∞∑∑∑∑
00 1
unde sk sunt solutiile lui Q(s)=0.
In formulele prezentate termenii corespunzatori unei perechi de poli complecsi
ω±α= js 2,1 au coeficientii complecsi )s('Q)s(P
(1
1 si )*)s('Q*)s(P
1
1 . Suma termenilor corespunzatori
perechii 2,1s este o marime reala; in continuare vom deduce o expresie a acestei sume care contine
numai termeni reali. Din fomulele precedente est eevident ca daca reziduul lui s1 este k1 atunci
reziduul lui s1* este k1*. Fie k1=a+jb. Rezulta :
)s(f)s(s(a2
)s(b2)s(a2
*ss*h
ssk
2,122221
1
1
1 =ω+α+α+
=ω+α+
ω+α+=
−+
−
Tinand deama ca 22stsinL
ω+ω=ω si 22s
stcosLω+
=ω conform teoremei translatiei
variabilei complexe rezulta tsinbe2tcosae2)s(fL tt2,1
1 ω+ω= α−α−− .
A doua teorema a dezvoltarii Fie F s P sQ s
( ) ( )( )
==== unde Q(s) are gradul mai mare sau egal decat P(s).
Presupunem ca Q(s) are radacini multiple astfel incat Q s s sm
s srmr( ) ( ) ... ( )==== −−−− −−−−1
1
Atunci descompunerea in fractii simple este:
F sC
s s
C
s s
C m
s sm
Cr
s sr
Cr mr
s srmr( )
( )...
( )...
( )...
( )=
−+
−+ +
−+ +
−+ +
−11
1
12
12
11
11
1
Se inmulteste relatia de mai sus cu (s-s1)m1 si rezulta:
( )s sm
F s C s sm
C m s sm
− = −−
+ + + −11
11 11 1
1 1 11( ) ( ) ... ( ) [...] deci
1
1
1 ssm
1m,1 )s(F)ss(C =−=
Pentru a determina coeficientul C11 se deriveaza de m1 - 1 ori si se face limita pentru s→s1.
Rezulta [ ] )qm(
ssm
111k
k
1 )s(Fss)!1m(
1C−
=−−
= . In general coeficientul Ckr este
Ckq mk qs sk
mk F ss sk
mk q=
−−
=
−1( )!
( ) ( )( )
si functia original va fi f t Ckqt q eskt
r
k
r( )
( )!= −
−=∑
=∑
1 1111
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
181
10) Transformata Laplace inversa Daca transformata Laplace nu este o functie rationala de tipul
F s P sQ s
( ) ( )( )
==== si formulele lui Heaviside nu se pot aplica, atunci pentru calculul functiei original se
utilizeaza integrala Riemann-Mellin integrala efectuandu-se in lungul dreptei Re(s)=σ0,
f tj
F s e stdsjj( ) ( )==== −−−−
−−−−++++
∫∫∫∫1
2 00
π σ ωσ ω
toate singularitatile lui F(s) ramanand in stanga acestei drepte.
Observatii :
i) unei ecuatii diferentiale liniare in x(t) ii corespunde o ecuatie algebrica in X(s)=Lx(t) cu
coeficientii care depin de s, x(0-), x’(0-),…
ii) multe proprietati ale circuitelor liniare se pot evidentia mai bine cu ajutorul relatiilor
algebrice intre transformatele Laplace decat cu ajutorul ecuatiilor diferentiale ale circuitului
iii) determinarea solutiei analitice a ecuatiei algebrice si transformata Laplace inversa se fac mai
comod decat calculul solutiei analitice a ecuatiei diferentiale liniare
iv) daca circuitul are mai mult de patru elemente dinamice determinarea raspunsului circuitului
prin metode analitice cere efort substantial pentru un operator uman ; in acest caz se poate apela
la un produs software ca MATHEMATICA sau MAPLE5 capabil sa efectueze calcule analitice.
7.3. Analiza circuitelor cu transformata Laplace
7.3.1. Introducere
Se considera un circuit in care se cunosc conditiile initiale (fluxurile Φk din bobine si
sarcinile qk din condensatoare) la t=0-. In acest circuit sursele independente se conecteaza la t=0-.
In acest caz toate tensiunile si toti curentii sunt functii original. De exemplu, o sursa de curent
continuu avand E=ct sau Is = ct, fiind conectat la t=0- are e(t)=E⋅1(t) sau is (t)=Is⋅1(t) (marimile e(t)
si is(t) devin functii original datorita prezentei factorului 1(t). Pentru un astfel de circuit exista
imaginile Laplace ale tensiunilor si curentilor: Ik (s)= Lik(t) si Uk (s) = Luk (t). Calculul cu
imagini Laplace se numeste calcul operational. Aplicand proprietatea de liniaritate a transformatei
Laplace, teoremele lui Kirchhoff ik tN
si uk tB
( ) ( )∑ = ∑0 pot fi scrise in domeniul variabilei
complexe s: Ik s si Uk sBN
( ) ( )==== ====∑∑∑∑∑∑∑∑ 0 0 .
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
182
Din teoremele de liniaritate si derivare a functiei original rezulta ca ecuatiilor diferentiale
care exprima legaturile intre u(t) si i(t) pentru elementele de circuit le corespund ecuatii algebrice
care exprima legaturile intre U(s)= L u(t) si I(s)= L i(t). In continuare se prezinta aceste ecuatii
si circuitele echivalente care le corespund (schemele echivalente operationale) pentru fiecare
element de circuit.
7.3.2. Schemele echivalente operationale
Rezistorul ideal are ecuatia de functionare u(t)=R⋅i(t) si daca U(s)=L u(t), I(s)=Li(t)
atunci U(s)=RI(s). Factorul care inmulteste pe I(s) pentru a obtine pe U(s) se numeste impedanta
operationala Z s U sI s
( ) ( )( )
= . La rezistorul ideal ZR(s)=R. Acestei relatii ii corespunde schema
echivalenta operationala
Pentru bobina ideala, ecuatiei u t L di tdt
( ) ( )==== ii corespunde ecuatia in transformate Laplace
U(s)=L[sI(s)-i(0-)] sau U(s)=sLI(s)-ϕ(0-) unde i(0-) sau ϕ(0-) reprezinta conditia initiala la
momentul t=0- pentru curent sau flux magnetic. Pentru i(0-)=0 se defineste impedanta operationala
a bobinei Z s U sI s
sLL ( ) ( )( )
.= = .Schema echivalenta operationala este:
Pentru condensatorul ideal relatiei i t C du tdt
( ) ( )==== ii corespunde legatura intre
transformatele Laplace I(s)=C[sU(s)-u(0-)] sau I(s)=sCU(s)-q(0-) unde u(0-) sau q(0-) este conditia
initiala la t=0- pentru tensiunea sau sarcina condensatorului. Pentru u(0-) =0 se defineste
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
183
impedanta operationala a condensatorului Z s U sI s sCC ( ) ( )( )
.= = 1 Schema echivalenta operationala a
condensatorului este data in figura de mai sus.
Pentru doua bobine ideale cuplate:
u t Ldidt
Mdidt
u t Ldi
dtM
di
dt
1 11 2
2 22 1
( )
( )
= +
= +
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
184
Aplicand transformata Laplace se obtine
−−+=−+−=−−+=−+−−=
)0(2)(1)(22_))0(1)(1(_))0(2)(2(2)(2
)0(1)(2)(11_))0(2)(2())0(1)(1(1)(1ϕ
ϕ
ssMIsIsLissIMissILsU
ssMIsIsLissIMissILsU
unde _)0(_)0(_)0(_)0(_)0()0( 12222111 MiiLsiMiiL +=+=− ϕϕ sunt fluxurile magnetice ale
bobinelor 1 si 2 la t=0- Rezulta imediat schemele echivalente operationale.
Daca curentii nu ataca la fel bornele polarizate atunci in toate ecuatiile de mai sus M se inlocuieste
cu -M.
Se observa usor ca in cazul circuitelor cu conditii initiale nule schemele echivalente operationale
se obtin direct din schemele in complex inlocuind pe jω cu s.
7.3.3. Ecuatiile operationale ale circuitului
Ecuatiile unui circuit liniar in domeniul timpului se pot scrie cu metoda tabloului (vezi
capitolul 3)
0 01 0
0 0 1 0 1
00
00
AAT
M D M N D N
v tu ti t us t
sau T D W tus t
−−−−++++ ++++
====
⋅⋅⋅⋅ ====
( )( )( ) ( )
( ) ( )( )
.
unde:
- W(t) este vectorul necunoscutelor care cuprinde: potentialele nodurilor v(t), tensiunile si
curentii laturilor grafului u(t) si i(t),
- A este matricea de incidenta a laturilor la noduri iar AT transpusa acesteia,
- D=d/dt este operatorul de derivare,
- M0, M1, N0, N1 sunt matrice cu elemente constante in care apar parametri circuitului (R,
L, C, ...),
- us(t) este vectorul surselor independente din circuit (functii original).
Se aplica transformata Laplace acestui sistem de ecuatii si se obtin ecuatiile circuitului in
domeniul frecventei complexe s.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
185
0 01 0
0 0 1 0 1
00
00
00
00
AAT
M s M N s N
V sU sI s Us s Ui s
sau T s W sUs s Ui s
−−−−++++ ++++
====
++++
⋅⋅⋅⋅ ====
++++
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
unde Us(s) = Lus(t) si Ui(s) se refera la conditiile initiale.
Se observa usor ca toate aceste ecuatii sunt similare cu cele ale unui circuit liniar de curent
continuu sau de curent alternativ. Deci toate teoremele si metodele de analiza studiate in capitolele
respective sunt valabile si pentru schemele echivalente operationale: teoremele generatoarelor
echivalente, teorema superpozitiei, teoremele de reprezentare a diportului, metoda potentialelor
nodurilor, metoda curentilor ciclici, etc. In membrul drept al sistemului de ecuatii apare in plus
vectorul Ui(s) al conditiilor initiale.
7.3.4. Calculul raspunsului circuitului
7.3.4.1. Introducere
Algoritmul de analiza cu transformata Laplace a unui circuit liniar in regim variabil in timp
consta in :
- determinarea conditiilor initiale pentru bobinele si condensatoarele din circuit (φL(0_) sau
iL(0_) si qC(0_) sau uC(0_)).
- construirea circuitului cu surse si impedante operationale format din schemele echivalente
operationale ale elementelor de circuit
- scrierea ecuatiilor pentru una dintre metodele cunoscute de la circuitele de curent continuu
sau de curent alternativ si calculul necunoscutelor Uk(s) si Ik(s).
- determinarea functiilor original uk(t) si ik(t) cu teoremele lui Heaviside.
Exemplul 1. In circuitul din fig.a la t=0 se inchide comutatorul K . Se da e(t) =2sint, uC (0- )=1 V.
Se cere sa se calculeze i(t) pentru t>0. Evident iL(0- )= 0 si schema echivalenta operationala este
data in Fig. b.
a
b
1
2sin2,1
11,
2 +==
====
stZ
ssCZssLZ
R
CL
LLLL
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
186
Rezulta )s(e0I)s(s0I)s1
12s
2()s(Z
1)s(I +=−+
= unde I0s(s) corespunde raspunsului dat de
excitatie (la stare initiala nula) si I0e(s) corespunde raspunsului dat de starea initiala (la excitatie
nula) si Z(s)=s+1/s+1= s ss
2 1++++ ++++ . Descompunem in fractii simple prin identificarea coeficientilor:
121212122)(0 ++
+++
+=++
⋅+
=ss
DCs
s
BAs
ss
s
sssI sau 2 2 1 2 1s As B s s Cs D s==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++( )( ) ( )( )
DBs
CBAsDBAs
CAs
+=
++=++=
+=
0:)0(
2:)(0:)2(
0:)3(
deci A=0, C=0, B=2, D= -2 si 2)
23(2)
21(
2
122
122
122)(0
++−
+=
++−
+=
sssssssI
Conform primei teoreme a dezvoltarii (poli complecsi) rezulta i s t t et
t0 2 43
2 32
( ) sin sin==== −−−−−−−−
.
Raspunsul la stare initiala nula are o componenta sinusoidala de pulsatia excitatiei si o componenta
sinusoidala amortizata de pulsatia 32
(pulsatie proprie a circuitului). Similar
2)23(2)
21s(
1
1s2s
ss1)s(e0I
++=
++⋅−= si t
23sin2
te
32)t(e0i
−−=
Raspunsul la excitatie nula are o componenta sinusoidala amortizata de pulsatia proprie a
circuitului. Raspunsul complet este
t23sin2
te
36tsin2)t(oei)t(s0i)t(i
−−=+=
Termenul 2sint este componenta de regim permanent (care ramane cand t→∞) iar termenul
- t23sin2
te
36 −
este componenta de regim tranzitoriu care practic dispare pentru t>5τ=10s.
Se observa ca daca uc(0-)=-2V atunci raspunsul complet contine numai componenta de
regim permanent, cele doua componente de pulsatie proprie a circuitului reducandu-se intre ele.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
187
Rezulta ca daca conditiile initiale corespund regimului permanent (care in acest caz este
sinusoidal) raspunsul contine numai aceasta componenta. Aceasta proprietate este valabila
indiferent de metoda prin care se determina raspunsul. Presupunem ca se urmareste determinarea
raspunsului in regim periodic (permanent) printr-o metoda numerica. Daca se porneste de la
conditii initiale oarecare trebuie sa se parcurga mai multe perioade ale excitatiei pana la disparitia
componentelor tranzitorii, iar daca se porneste de la conditiile initiale corespunzatoare regimului
permanent este suficient sa se parcurga o singura perioada a excitatiei. Deci cunoscand conditiile
initiale corespunzatoare regimului permanent se poate reduce foarte mult efortul de calcul.
Exemplul 2 In circuitul din figura la t=0 se inchide comutatorul k. Se da uC2 0 2( )− =ε V. Pentru
t<0 se considera regimul permanent. Se cere:
10 Sa se calculeze U(s) = Lu(t)
20 Sa se calculeze u(∞) cu teorema valorii finale si sa se explice rezultatul obtinut.
10. Regimul permanent pentru t<0 este un regim de curent continuu. Pentru determinarea
conditiilor initiale la t=0_ se analizeaza circuitul in care bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule
si condensatoarele sunt inlocuite cu rezistente infinite.
Vu
WbWbAiAi
C 1_)0(21111_)0(21111_)0(1_)0(1_)0(
1
2
1
21
==⋅+⋅==⋅+⋅===
ϕϕ
Schema echivalenta operationala este :
Se determina generatorul echivalent de tensiune al subcircuitului din dreapta bornelor AB
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
188
ss
sABZ
ss
sIsABU+
=+
⋅=
+=
+=⋅=
11
11
11
012
11
2
1)(0
Circuitul devine
Scriem ecuatiile curentilor ciclici: I
s
Is
ss s s s s
11
22 1
11 2 1 2 2
1
====
++++ ++++++++
−−−− ⋅⋅⋅⋅ ==== −−−− ++++ −−−−++++
( )
Rezulta I s s s
s s s ssi U s
sI
ss s s s
s s s s s22 3 2 2
3 2 3 2
11 2
21
2 4 4 3 5 2 5 2
1 3 2 3 2====
−−−− ++++ ++++
++++ ++++ ++++====
++++++++
++++====
++++ ++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++( )( )
( )( )
Circuitul are patru elemente dinamice. Se vede clar ca determinarea unei formule analitice pentru
u(t) presupune calcule complicate incluzand rezolvarea exacta a ecuatiei s s s3 2 3 2++++ ++++ ++++ =0.
20. u(∞)=s
sU s V→→→→
====0
1lim ( ) . u(∞) este solutia de regim permanent (curent continuu) si se poate
calcula in circutul echivalent
Rezulta u(∞)=1.1=1 V
Din sistemul de ecuatii in domeniul frecventei complexe s rezulta vectorul necunoscutelor
W s T sUs s
T sUi s
( ) ( )( )
( )( )
= −
+ −
100 1
00
si in domeniul timp w t w t w t( ) ( ) ( )= +1 2 unde w1(t) este solutia corespunzatoare conditiilor
initiale nule, w2(t) este solutia corespunzatoare surselor independente pasivizate, iar w(t) este
raspunsul complet. Deci raspunsul complet se poate scrie ca suma dintre raspunsul la stare initiala
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
189
nula si raspunsul la excitatie nula. La acelasi rezultat se ajunge si daca se aplica teorema
superpozitiei.
7.3.4.2.Raspunsul la excitatie nula. Frecventele naturale
Fie un circuit liniar cu solutie unica cu sursele independente pasivizate (us(t)=0) deci toate
tensiunile si toti curentii se datoreaza conditiilor initiale, respectiv energiei inmagazinate la t=0- in
condensatoarele si bobinele circuitului. Sistemul omogen de ecuatii algebrice si diferentiale asociat
circuitului in care us(t)=0.este T D W t( ) ( )∗ = 0 . Se cauta solutii ale acestui sistem de forma
w t W e t( ) = 0λ unde W0 este o constanta reala si λ este un numar complex.. Inlocuind W0eλt in
sistemul de ecuatii si deoarece eλt ≠ 0 pentru orice t≥0 se obtine T W( )λ 0 0= . Acest sistem liniar
de ecuatii algebrice are o solutie nenula W0 daca si numai daca [ ]det ( )T λ = 0
Polinomul P(λ )=det[T(λ)] se numeste polinomul caracteristic al circuitului si radacinile
lui se numesc frecventele naturale sau valorile proprii ale circuitului. Deoarece P(λ) are
coeficientii reali, λk sunt reale sau perechi complex conjugate.
Calculul frecventelor naturale se face cel mai comod determinand radacinile ecuatiei
det[T(s)]= 0 (daca s-au scris ecuatiile metodei tabloului), sau ale lui det[Y(s)] = 0 (daca s-au scris
ecuatiile potentialelor nodurilor). Se pot obtine valori nule pentru frecventele naturale (λ =0, eλt
=1 pentru orice t) care sunt asociate unui curent si/sau unei tensiuni constante.
Deoarece frecventele naturale sunt proprietati ale intregului circuit, orice schimbare a unui
parametru atrage dupa sine schimbarea tuturor frecventelor naturale. Pot exista cazuri particulare
(datorate unor simetrii topologice sau unor anumite valori numerice ale parametrilor) in care unii
parametri nu influenteaza anumite valori ale frecventelor naturale.
Un circuit liniar cu solutie unica, fara surse independente are o solutie de tipul
w t W e tvui
e t( ) ==== ====
⋅⋅⋅⋅0
000
λ λ
daca si numai daca λ este o frecventa naturala a circuitului respectiv. Intr-adevar daca exista o
solutie w(t) de aceasta forma, atunci det[T(λ)]=0 si rezulta ca W0≠0 si λ este o frecventa naturala.
Mai inainte am aratat ca orice solutie a acestui circuit are forma Woeλt unde λ este o frecventa
naturala. Daca circuitul are un raspuns de forma W0eλ1t se spune ca acesta opereaza in modul
corespunzator frecventei naturale λ1
Ecuatiile metodei tabloului cu Us(s)=0, sunt
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
190
T s W sUi s
( ) ( )( )
⋅⋅⋅⋅ ====
00
unde T(s)=T0+sT1 si matricele T0, T1, sunt constante.
Daca λ1, λ2,..., λν sunt frecventele naturale ale circuitului (radacinile simple ale ecuatiei
det[T(s)]=0) atunci aplicand regula lui Cramer sistemului de ecuatii al circuitului si descompunand
in fractii simple se obtine pentru o componenta Wk(s) a lui W(s) expresia:
Wk s
ks
ks
kvs v
si respectiv wk t k jejt
j
v( ) ... ( )=
−+
−+ +
−=
=∑
11
22 1λ λ λ
λ
Unei radacini λ1 de ordin de multiplicitate m1 ii corespunde, conform teoremei a doua a
dezvoltarii, termenul P m t et
1 1 11
, ( )−−−− ⋅⋅⋅⋅λ
unde P m t1 1 1, ( )−−−− este un polinom de timp de gradul m1-1.
Deci, in general wk t Pj mj t e jt
j
v( ) , ( )= − ⋅
=∑ 11
λ
Se spune despre un circuit liniar ca este exponential stabil daca toate frecventele lui
naturale au partea reala strict negativa. Modurile corespunzatoare acestor frecvente naturale sunt
moduri stabile. Un circuit de acest tip are proprietatea ca raspunsul la excitatie nula w(t)→0 cand
t→∞ pentru orice valori ale conditiilor initiale (toate variabilele circuitului tind catre zero cand
t→∞).
7.3.4.3. Raspunsul la stare initiala nula
Fie un circuit liniar cu parametri invariabili in timp si cu solutie unica. Presupunem ca
avem o singura sursa independenta de curent si conditii initiale nule. Dorim sa exprimam
raspunsul ij(t) in functie de excitatia ii(t).
Ecuatiile operationale ale circuitului sunt
T(s W sUs s
unde Us sIi s
) ( )( )
( )( )
⋅⋅⋅⋅ ====
====
00
00
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
191
si I j s cofactor[d T sT s
I i s ji s I i s( ) et ( )]det ( )
( ) ( ) ( )==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅β
unde βji(s) este o functie de circuit si anume castigul ( factorul de transfer sau amplificarea) in
curent.
Similar se pot defini si alte functii de circuit :
- castigul (factorul de transfer sau amplificarea ) in tensiune :α ji sU j s
Ui s( )
( )
( )=
- impedanta de transfer : Z ji sU j s
Ii s( )
( )
( )= si impedanta de intrare Z jj s
U j s
I j s( )
( )
( )=
- admitanta de transfer : Y ji sI j s
Ui s( )
( )
( )= si admitanta de intrare Y jj s
I j s
Uj s( )
( )
( )=
In general o functie de circuit (functie de transfer) este
H s raspunsul la conditii initiale nule
excitatieP sQ s
( ) ( )( )
( )( )
= =LL
Deoarece elementele lui T(s) sunt polinoame de gradul intai in s cu coeficienti reali rezulta
ca H(s) este o fractie rationala cu coeficienti reali.
Radacinile lui Q(s)=0 se numesc poli ai lui H(s) si radacinile lui P(s)=0 se numesc zerouri
ale lui H(s). Polii lui H(s) sunt frecvente naturale ale circuitului. Nu toate frecventele naturale sunt
poli ai oricarei functii a circuitului respectiv pentru ca anumiti factori comuni care apar in Q(s) si
P(s) pot sa dispara prin simplificare.
Daca marimea de intrare este functia impuls unitar δ(t) pentru care Lδ(t)=1 atunci:
H ji s
x j s
xi sx j s xi s( )
( )
( )( ) ( )==== ==== ====1
Descompunand in fractii simple pe Hji(s) si efectuand transformata Laplace inversa conform
teoremei a doua a dezvoltarii rezulta, similar cu paragraful precedent, ca
h t Pk mk t e
skt
k
p( ) , ( )==== −−−− ⋅⋅⋅⋅
====∑∑∑∑ 11
unde sk este polul k de ordin de multiplicitate mk al lui Hji(s) si numarul polilor este p.
Deoarece un circuit exponential stabil are toate frecventele naturale in semiplanul stang (toti polii
au Re sk<0), pentru un astfel de circuit h(t)→0 cand t→∞.
7.5. Aplicatii ale teoremei convolutiei
7.5.1. Calculul raspunsului unui circuit cu stare initiala nula
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
192
Asa cum s-a aratat in paragraful 7.2. produsul de convolutie in domeniul timpului este
definit astfel f f f t f dt1 2 1 20∗ = −∫ ( ) ( )τ τ τ si are transformata Laplace L f f F s F s1 2 1 2∗∗∗∗ ==== ⋅⋅⋅⋅( ) ( )
cu F s f t si F s f t1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )==== ====L L .
Se considera ca la intrarea circuitului se aplica marimea xi(t) si se urmareste calculul
marimii de iesire xj(t). S-a aratat ca functia de transfer este H ji sx j s
xi sh t( )
( )
( )( )==== ==== L unde h(t)
este raspunsul circuitului in stare initiala nula la impuls Dirac unitar. Deci utilizand integrala de
convolutie rezulta x j t h t xi d h t xi tt( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = ∗∫ τ τ τ0 adica raspunsul la stare initiala nula
este convolutia dintre h(t) si marimea de intrare.
7.5.2.Memoria circuitului
Raspunsul unui circuit liniar exponential stabil este format din raspunsul la conditiile
initiale (la excitatie nula) xjo(t) si raspunsul la excitatie (la stare initiala nula) xje(t). xjo(t) este de
forma Pmkt e
skt
k( )∑ unde sk sunt frecventele naturale, mk este ordinul de multiplicitate al lui sk
si Pmkt( ) este un polinom de timp de gradul mk-1. Deoarece σ k sk==== <<<<Re( ) 0 am aratat ca
x jo t cand t( ) →→→→ →→→→ ∞∞∞∞0 deci dupa un timp mai mare decat 5τmax ( minmin
1max σ
στ si=
este valoarea minima a lui σ k ) se poate considera x jo t( ) ==== 0 . Pe de alta parte
)t(ix)t(h)t(jex ∗= ==== −−−−∫∫∫∫ h t xi dt ( ) ( )τ τ τ0 unde h(t-τ) este o functie original. In consecinta h(t-
τ)=0 pentru t-τ<0 si h (t-τ) scade exponential cand (t-τ)→∞. Deci, exista o valoare τm astfel incat
in afara intervalului [t-τm, t] produsul h(t-τ)xi(τ) este neglijabil, deci valorile lui xi(τ) dinainte de
momentul t-τm nu influenteaza pe xje(t).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
193
In concluzie raspunsul circuitului la momentul t este influentat numai de ceea ce se
intampla in intervalul (t-tm, t) unde tm=max(τm, 5τmax) si deci memoria circuitului este practic
limitata la acest interval de timp.
7.5.3. Raspunsul in regim permanent la excitatie sinusoidala
Fie un circuit liniar invariant in timp si exponential stabil excitat cu o singura sursa
independenta sinusoidala xi(t) conectata in circuit la t=0. Raspunsul in regim permanent se
defineste ca limita raspunsului cand t→∝ . Se considera ca xi(t)=Xicosωt=ReXiejωt . Raspunsul
complet este suma dintre raspunsul la excitatie nula xjo(t) si raspunsul la stare initiala nula xje(t).
Raspunsul la excitatie nula este, asa cum s-a aratat
x jo t Pmk t e
skt
ksi deoarece sk t
x jo t( ) ( ) , Re( ) lim ( )==== ∑∑∑∑ <<<< →→→→∞∞∞∞====0 0
Calculam xji(t) cu teorema convolutiei
x ji t h xi t d h Xie j ttt d( ) ( ) ( ) ( ) Re ( )==== −−−− ==== −−−−
∫∫∫∫∫∫∫∫ τ τ τ τ ω τ τ00
Integrala pe [0, t] se descompune intr-o suma de integrale pe [0, ∞) si [t, ∞].
x ji t h Xie
j d e j t h Xie j d e j tt
( ) Re[ ( ) ( ) ] ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞∫∫∫∫
∞∞∞∞∫∫∫∫ τ ωτ τ ω τ ωτ τ ω0
Primul termen al acestei sume se poate scrie Re ( ) Re ( )e j t XiH s s j Xie j t H jωω
ω ω====
====
. Daca
[[[[ ]]]]H j a jb rezulta ca Xi t j t a jb A t( ) Re (cos sin )( ) cos( )ω ω ω ω ϕ==== ++++ ++++ ++++ ==== ++++ deci acest termen
corespunde unui raspuns sinusoidal.
Deoarece rezultastabilonentialfiindcircuitulhsitjeje )exp(0)(lim1 =∞→== ττωωτ
lim ( ) .t
Xih e j d e j tt→→→→∞∞∞∞
−−−− ⋅⋅⋅⋅ ====∞∞∞∞∫∫∫∫ τ ωτ τ ω 0
Deci, cand t→∞ raspunsul circuitului tinde catre o functie sinusoidala de pulsatie ω.
Observatii:
i) Daca sunt mai multe surse sinusoidale de aceeasi pulsatie se poate aplica teorema
superpozitiei (circuitul fiind liniar) si rezulta ca raspunsul complet pentru t→∞ este sinusoidal.
Acest raspuns in regim permanent (pentru t→∞) nu depinde de starea initiala a circuitului. In acest
fel se justifica calculul in complex (vezi capitolul 4) care are drept rezultat numai raspunsul in
regim permanent.
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
194
ii) Daca circuitul are o singura frecventa naturala cu Re sk>0 demonstratia nu este valabila
si nu se obtine regimul permanent sinusoidal.
iii) Nu s-a facut nici o presupunere asupra formei lui h(t), rezultatul fiind valabil pentru
clasa mai larga a circuitelor cu frecvente naturale numai in semiplanul stang (incluzand, de
exemplu, circuitele cu parametri distribuiti).
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
! "#!#$% '&()*,+-*.0/'1(243"/65708749:35;8;<=7 8.1.1.>@?BACED"CGF6C6CHICJKIL-JKMCN?PO'QPF'CR DTSBCGKSVU"CEOD?-WPUOXL-D"L-YZS4L-DF6CGD"?[SB?-\JUFXCGD]L]^UK^IQ[CGD"_?VJ"?PD"_?(DO6Q`W4\aSbQ(KU"C J"WPKIWVY?PO6KcU=d?bd'O'e^WPU=C,fdXO6ee?-^O6?@LAXUD"SPFXC,?gD?bSBL-D^O6WVDOXQ@_?hO'CEYiJj>@WbSBQ@S(CEKISPU"CkONU"\DUS-L4DF'ClD"?gD"CGS4CLW-^OXA'?-\_?^UKI^Qm^JUD"?PYnSBQoWbSV?-^O6Wo?4^MO6?oWPUOL4D"L-YTjqp[?rJUO6?VYsW-HO6?VJOXWSBWtKMQ:^MJUD^U"\uUDU"C@SBCGKMS(U"ClOD"?BW(UO'L-DL-Yv\NW@Li?(w%SbCEOWxFCG?uJ"?PKICNL_CNSbQy^IQ@_?Vz"CED"QuJ?VKICNL_CNS@WPO6UD"SbCSBPD"_yOCEYiJU"\SBW|KI?@W0O6KM?BS(UO_?T\6W=SbL:D"?BSVO6WVKI?BW^MUK^I?(\NL-K~CGD_?(J"?VD_?VD%O?=_?(z"CED"?^U"ACNSBC,?(DO0_?YW(KM?jCGKISPU%CEO?V\6?TSbWPKM?]W(UWBSb?BW-^O6QuJKIL-JC6?POWxO?@^?g_L-z"?B_?4HO'?@SVQ@WVUHCWB\kO'?g_L-U"QhJKML-JKICN?POQPF'C$KM?(YWVKMS4WP%C6\N?:SVL-D^I?(Kz"WPKI?bW^J"?BSVONKU\lU"CHICWPO'?PDU"WPKI?BW?BwJ"L4D"?VDFCNWb\GQ0WSBL-YiJ"L-D"?(DO6?-\GL-KONKIWPD%bCEOXL-KIC,C'jJUD"?VYSVQ0WbSV?-^OX?ONKM?BCJKIL4JKIC,?(O6QBFXCS4WPKMWbSxO?PKICk-?BWP:QUDiSBCGKSVU"ClOSPUiB:-PEP0:l|N,%>@?BACGDCGKI?BWKMCN-UKLW-^QWSBL-YiJ"L-KO6QBKMCNC]LbCXHDU"CEOX?^?AWBSB?UO6C6\GCE:VD_KMQ^JUD^U"\# ,D¡KI?BCGYJ"?PKYWVD?VDOMj¢ CN?~UD=S4CEKMSVUCGOc£ ,D=SbWVBU\¤?PD"?PKIW(\ D"?B\6CED"CGWVKI£?VwS4CkO6W(OqSPU^UKI^?[CGD"_?VJ"?PD"_?PDOX?`_?~J"?PKICNLWB_Q`¥q£SPU`z"?BS(OL4KU"\_?@^O'W(Kc? ( )LC qqz ,= UD"_? Cq ?^O6?z"?bSPO'L4KU"\ ^IWVKSbCED"CN\6L-K¦SBL-D"_?PD^IW(OLWPKM?B\6L-K¦HC
Lϕ ?4^MOX?z"?(SPOXL-KU"\A\EU%wUKICN\NL-K "L-CGD"?4\GL-Kxj4§$KM?4^UJUD?BY¨S4Q©SbCEKISPU"CkONU"\W(KM?0?BSVU"WxFCNC,\N?©_?u^OXWPKM? ,DAL-KYQªDL-KYWb\NQ ( )tzfz ,=
« j0¬¦N::B®¯G°Px±G²¦(h"(W4\W4SB?-^ONU"C#S(CEKISPU"CkO]?-^O'?∞→
=t
p tztz )(lim)( j³ z"C6_?VDO_?VOX?PKYCED"WPKI?BWh\GU"C )(tz ^?0J"LWPO'?@AWBSB?uDUYW(C´SVUDL^SbPD"_^O'WPKI?BWCED"CGF6C6WB\,Q[W[SbCEKcSBUCGOGU"\GUC )0(z j"©?b\ JUF6CGD#OX?BL-KI?|OXCNS`?VwCX^OXQ~JL^Ck"CG\6ClOWPO'?BW[SbWhJ"\6?4SVVD"__CGD]_L-U"Q^O'Q(KMC=CGD"ClFCNW(\N?µ_:C6A?PKICkOX? )0(1z HC )0(2z ^Q^I?µWc¶IUD"Qµ\NW_L4U"QKQ-^JUD^UKIC# ,D·KI?BCEYJ"?PKYWVD?VDO )(1 tz p HIC )(2 tz p SBWVK?]^UDO_C6A?PKIClO'?# ,DOGKI?]?V\6?jq"?J"L:O0SBL-D^O6KcU"C?Bw?PYJ\,?]_?SBCGKISPU"ClO?©SVU`WbSB?BWb^O'QJKML4JKICN?VOXW|OX?jJUD?VY¸S4Q]UD¹S4ClKISVUCGOgW(KM?º|»¼6½V¾¿NÀ½:Á¿NÂbÃÅÄ,ÁÇÆxÀVÈ¿,ÉʦÀ(ÆxÉhËÁ%À(ÁÌ0_WBS4QL-KICNSb?]J"?(KM?4SVÍ?t_?^L\lUFCNC )(1 tz HIC )(2 tz ^WVOXCX^IAWBSKI?(\NW|FXC,W
0)()(lim 21 =−∞→
tztzt
UD"_? ⋅ ?-^O6?D"L4KYW]³ U"Sb\NCN_C,WPD"QTC,WPK 1z HIC 2z ^UDO@^IL\EUFXC6CSBW(Kc?SBL-KI?4^JUD"_hUDL-K¤^OQPKICCED"CEF'CNW(\N?0_C6A?PKICEO'? GDONKM?0?b\N?:j§$KIL-JKMC6?POWPO'?4W=Î jJUD"?PYÏSBQgUD=SbCEKISPU"CGO¤WVKM?gÐxÑÒGÓÔ:ÕÒÓ¦Ö(Ðx×NØ:Ù×NÚyÔ:Õ×NÚ@Ù%Ö¤ÓÖVÐP×,Ø:Û%ÙÛ#ÖÜÚB×NÝ,Û(ÞM×,ÖB×_WBS4QyWBS(?4^O'W4£AC,CED"_?(w%SbCEO'WPOqSPUT^UK^I?yCED"_?(J"?PD"_?PDOX?ySPUJ"WVKWVY?|ONKIC$J?BKMCNL_CNS(Ca_?gJ?VKICNLWB_Qy¥q£WPKI?UDyKIQ4^JUD^UD"CNS )(tz p ND~KI?BCkY¡J"?PKYW(D%?VDOaHIC )(tz p ?4^O'?J"?PKIC6L_C,S0_?J%?PKIC6LWb_Q0¥jp@UYCEY Ú4Ø:ßÓØ-ÕÖ(Õ%Ý,Ñ ÝkÐxÛÕbàB×NÝ6Ø:ÐP×kÖ Û ÐÑÒNÓÔ-ÕÒ|Ôá6Ô× UDU"C SBCGKSVU"CEO YQ(KMCGY?BW
)()()( tztztz pt −= jq³z"CN_?PDO0J"?(DO,KUÅUDSBCGKMS(U"ClO~SbWPKM?WBKM?JKML-JKICN?VOXWPO?VWâÎ(£ 0)(lim =∞→tt tz j
§$KIL-JKMC6?POWPO'?4WUKYQPO'LW(KM?h^I?©K?bA?PKIQ©\6WYL_-U"\" ,DiSBWVKM?O'CED"_? )(tzt SbQxO6KI?4?VKIL"j§$KIL-JKMC6?POWPO'?4Wgã j R DTS(CEKISPU"CEOÛÝNÖ(Õ%ÔÖ(ÛBà(Ñ#ÖxÜIÓØ:ÕÖVÕbÞM×,Û%á Ú4Ø:ßÓØ:ÕÖVÕÝNÖbáNÖyÝGÐÛÕbà4×NÝ,Ø:Ðx×N× _WBSbQ~?(w%CX^O'QDUY?PKI?B\6?KM?bWB\,?JL::CGONCEz"? maxminmaxmin ,,, kkττ W-^OXA?b\¦ ND"SB|Oåä_CX^O'W(DF6W-ä~ ,DO,K?#_L-U"QT^IL\GUFCNC
)(1 tz HIC )(2 tz S4L-KM?:^JUD%4QVOXLW(KM?©S-L4D"_CEF'CNC,\NL-KqCED"CkF6C,W4\E? )0(1z HæC )0(2z ^æWPOXCX^IAWBS-?KI?B\,WPF'CNC,\G? maxmin )0()0()()()0()0( 21max2121min
k
t
k
t
ezzktztzezzk−−
−<−<−ç \EOA?B\^MJU^x£-J"?PDONKUyUD`S4CkKISPU"CEOSPUyJKL-JKCN?PO'WPO'?BWã"£äx_CN^OWPDF'W:ä_:CEDONKI?h^L\kUF'CNC?Pz"L\lU"?bWB4Q0AC6CED"_ ,D"SbWB_-KIWPO'Qg_?yäx_:C'^OWPD:FW4äè GDONKI?y^O'Q(KcCN\,?@CED%CkFXC6WV\6?JL-D"_?PKIWPOQhSPU mink
t
e− HICSVU maxk
t
e− UD"_? minτ
HC maxτ ^UDOäxSBL-D^OW(DO,?-\G?h_?O'CEYiJä¤YCED"CkYQyHICYW(wCEYQ0Wb\G?hS(CEKISVUCGONU%\GUCcjbé?PYWPKISBQ|YåSBQDU?VwCX^O6QyW4\NL-KMCEO,YCaJ?VDONKUT_?PO'?PKYCED"WVKM?BWydcAQBKMQ[W[SbWB\,S(U%\NW@ ,D#JKI?BW(\NWVC,\ KIQ-^JUD^U"\S4ClKISVUCkONU"\GUC,e
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
z"WB\6L4KIC6\NL-K maxminmaxmin ,,, kkττ J"?VDO6KU~UDiSBCEKMSBUCkO"D"?b\NCkDC,W(KSPU^O6KcU"SVONUKMQ0WPK"CGONKIWPKMQj WUDU"CèS-ClKISPU"CGOWb\NCEYi?(DOXW|ODUY#WBCSPUÇ^UKI^?]_?#S(UKM?VDOhSBL-DOXCGDUUÇHC^CkDU^LCN_Wb\N?0_?JU"\'^W|FXC6C ,...)2,1( =kkω ?-^O,?YU\ FCEY?bWJU"\N^WVFXC,CN\NL-K =
kkkn ωω
UD"_? ^UDO´L-KICNSB?©DUY?VKM?© ,D:O6KI?BCj§$KIL-JKMC6?POWPO'?4W j R DÇSBCEKISVUCkO !!"#%$&!'( ) _WVS-Q=SbL4YCGD"WPF'CGW^MJ?bSPO6KMWB\,Q
zpS SbL-K?-^JUD%-QPOXLWVK?^IL:\EUFCG?bC_?hKI?bCGYåJ"?PKY#WPD"?(DO¤?-^OX?yCED"Sb\EU^MQy ,D=SBL-Yi"CGDWVFXC,Wi^J%?bS(O,KW(\NQsS S4L-KM?4^JUD%4QVOXLWPKM?h^UK^I?b\NL-KCED"_?PJ"?PD"_?PDOX?j
>@?@?Vw?(YiJ"\kU_WBSbQUD#SBCEKISVUCkO´?:^MO6?@W(\NCEY?PDOXWVOaSPU_L-U"Qy^UKI^?y^CEDU^LC6_WB\N?h_?uJU"\N^IWBF6C,C 1ω HC2ω SBL-Yi"CGDWVF6C6W^J"?BSVOGKIWb\GQ sS SBL-KI?4^JUD-QPOLWVKI?WBS(?4^OXL-Kh^UK^?[?:^cOX? Innnn ∈+ 212211 ,,ωω
WB_C6SBQ ,...22 2121212121 ωωωωωωωωωω −++−−+ j>@WBS-Q·HCKQ-^JUD^U"\ GDvKI?BCEY J"?(KYW|D"?(DOÇ?4^OX?J"?(KMC6L_C,S HICoWPKI?DU%YW4CS(L-YiJ"L4D"?(DO'?WPKYL-D"CNSb?iSBWVKM?iAWBSyJ"WVKcON?i_CGD sS £ WPO6UD"S(Cq^JUD"?PY SBQWBSB?-^O¦S-ClKISPU%CGOèSBL-D^I?(Kz"QiSbL-Y["CED"W(F'CGW^J"?BSVONKMWB\6Q:j* j'ÎBj ã$j L-D"_CEFCNC^MUAC6SVC6?PDO6?©J?BDO6KU`LySBL-Y`JL-KOXWVKI?0L-CXHDU"CEOXQ +,.-/102-3!/54768/,(/19(0;:%<>=?,:#,@/96BAC49(D/86E9(02:F?G-?!HI=?!0249(02:F?D/JC,3/14K
j%L-D^CN_?PKMQVYUD=W4^OA'?4\_?#SBCEKISVUCGOWPz%(D"_L^OXWVKI?CGD"ClFCGWb\NQD"?PDU%\NQ]HICACGCGD"_?VwSBCkOXW|O©SPUrL?VwS4CkOXWVF6C,?J?VKICGL_CNSbQ:jMLXDONKONWB_?(z"QVKKQ-^JU%D^U"\¤WBSB?-^OGUCSBCEKISVU%CEOè^æ?@J"LWPOX?^IS(KcC6?[SbW )()()( 0 tztztz e+= UD"_? )(0 tz ?-^O'?KIQ4^JUD^U"\\NWh?VwSbCEOXW|FXC,?DU"\NQhSBWVKI?h_?VJ"CED%_?@_?@^MOXWPKI?bWhCED"ClFCNW(\NQ )0(z HIC )(tze ?^OX?KIQ4^MJUD^U\\NWg^O6WBKM?0ClD"CkFXC,WB\,QDU\,Q0SbWPKI?©_?PJ"CGD_?0_?0?PwSBCGOXW|FXC,?:j"?HO'CN?]S4Q P= ts
kketPtz )()(0 UD"_? ks ^UDOhAXK?bSPz"?PD:F?4\E?#D"WPO6UKWb\N?WV\6?=S4CkKISPU"CkONU"\EU"CSPU
0<kesR HIC )(tPk ^MUDO©J"L\NCGD"LWVY?= NDoOg_?T-KIWB_o?BWB\S(UÅL-K_CGDU"\_?=YiU"\lOCEJ"\,CNS(CEOXW|OX?]W4\AXKM?4SPz"?VDF?VCD"W(O,UKIWB\,? ks NxÎBj>@?BSBC 0)(lim 0 =
∞→tz
td'§$KIL:JKMCN?VOXWVO6?bWãeHC )(lim)( tztz e
tp →∞
= j>@WBS-Q^?S(W4\ES(U"\N?(WV4Q )(tze SPUmONKIWVD^AL-KYWVOXW Q¦WPJ"\NWbSB?o^I?L-FXCGD? )()()( tztztz epete +=UD"_? )(tzet ?4^O'?0LySBL-YiJ"L-D?VDOXQO6KMWPD%4CkOXL-KICG?hS|U 0)(lim =
→∞tzet
tHIC )(tzep ?-^O6?KIQ-^JUD^U"\" kD
KI?BCEY¡J"?VKcYW(D"?PDO$\,W0?(wSBCEO'WPF'CN?J"?(KMCNL_CNS(QjR DWBSb?:^OiSVW( )(tzep ^?rJ"LWVO6? SVWb\GSVU"\NWm^?PJ"WPKIW|O~J"?VDO6KUAcC6?VSbWPKI?oS4L-YiJ"L-D?VDOXQoWPKYL-D"CNSbQrW?VwS4CkO'W(FNCN?BC_?4SBC )(tz p ?-^OX?J"?(KMC6L_C6S0_?J"?(KMCNLW(_Wh?VwSBCGO6WVF6C6?BCd§KIL-JKC6?PO'WPO?VWiÎxe¦HICWVK?uWBSB?b\N?(W4HCSBL-YiJ"L-D"?PDOX?hWVKYL-D"CNSB?uSVW0?(wSBCkO6W(FNC6Whd'§$KML4JKMC6?POXWBO,?-WS:e j³wCX^OXQUTV!WXY[Z\Y1YF]C^5_Y5T"Y5`"Wa1`bT"c(d`eX`f_!YW`"]CTUTg1c]C`eX`UTYdT^Y1a8`hWi`gY1WYc(d2`eT^jT#V!kmlV!da1cdC`V!nYfoCW^(Y8a1pj=§ ?VDONKU W·\G? AL-KcY`U\,W·?4^O'?°D?-SV?-^WPK^IQ·_?BACGDCGY S4WPKMWbSxO?PKIC'^cOXC,SBW°J"W4^CkzQ HICSBWVKIWBSPO'?(KcCX^O6C6SBW@^O6KICGSVOa\NLSBW(\$JW-^ICEz"QhWuUDU"C?b\G?(Y?(D:Oa_?~S(CEKMSBUCkOj ç SB?bW4^OQ@SBWPKIWbSxO?PKMC6^OXC6SVQuJ"LWPO'?AC 0),( =iuf J"?(DONKUUDTKI?V:C6^OXL-KI£ 0),( =if ϕ J?VDONKUrL=L-ClD"Q#^WPU 0),( =uqf J"?PDONKUUD`SbL-D_?(D^IWVOXL-KxjW(KMWBSVOX?PKMC6^O'CNS(W¹J"W-^Clz"Q 0),( =yxf ?4^O'?L SPUK"Qâ ,DJ\6W(DU"\iw!q°J?VDONKU¨S(WPKI? 0≥⋅ yxdSPUK"WONKM?4S(?DUYWBC%JKCGD`SbWB_-KIWPD"?(\N? R HIC RrRsR e jW(KMWBSVOX?PKMC6^O'CNS(W#^ONKIC,SPOè\6L:SBW4\J"W-^ICEz"Q 0),( =yxf WVK?`JKIL-JKMCN?POWPO?BWiS4Q[J?BDO,KUtL-KMCNS-WPKc?_L-U"QJUDSVOX? ( ) ( )1100 ,,, yxyx _?]J"?=S4WVKMW4SPO?PKMC6^O6C6SBQb£¤YQ(KMCGYC,\N? 01 xxx −=∆ HIC 01 yyy −=∆^WPOCN^AWbSKI?V\6WxFCGW 0>∆⋅∆ yx j ç SB?BW-^O'W© ,D^?(WPYiD"Q0S(Q0LySBWPKIWbSxO?PKIC'^cOXC,SBQh^O6KMCNSVO$\NLSbWB\J"W4^CEz"Q0W(KM? ,DOL4O_?BWPUD"W0LgJ"W(D:OXQ
x
y
∆∆ ^ONKMCNSVO"J"L::CkO6CGzQu_?(SBC?4^ON?@^O6KMCNS|O´SPKM?-^ISBQVOXLWPKM?j
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
¢ CN?©UDyYiU"\kOXCkJLKOKI?P4C'^MO6CGzy\6CED"C,WPKqAcQVKMQh^UK^I?0CGD_?VJ?VD_?VDO?©SVU~J"L-KFXC"_?O'?PD^CkUD?hdXWBe¤HC"_?SPUKI?PDO´dX%eæj
ç SB?:^cOYiU"\kOXCkJLKO´WVKM?KI?PJKI?|-?PDOXWVKM?BWÍ%CEKMC6_Qy
=
b
a
bbba
abaa
b
a
i
u
HH
HH
u
i
JUD?VY SbQ WbSB?:^OKM?-^C'^OL-K©YiU"\EOCEJ"L\NWVK?-^OX?`KI?BSbClJKMLS _WBSBQHC ^UDO©^xCEY?VONKcC6SV?]HC N j ç SB?bW:^O'Q_?bACED"ClF'CN?]^?iJ"LWPO'??PD"?(KMW4\EC,:WyJ"?(DOGKUUDYiU"\EO'CEJ"L-KcOKI?(BCX^O6CGzD"?B\,CED"CNWVKAQPKIQ ^UKæ^?oCGD_?VJ?VD"_?BDO'?Å_:?m?(S(U"WPF'CNCiC Í dXU £lC enU Í dXU £lC enS-L4D^IC6_?PKIPD"_ YWVONKICGSb?VWCED"SVK?VY?PDO'WB\,Q0dxWBSbL-C6WPDU"\Gex
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
bbba
abaa
b
b
a
b
b
a
a
a
HH
HH
i
h
u
h
i
h
u
h
R DyK?(4CX^OXL-K_CEJ"L\NWPKq?4^MO6?© GDO6L-OX_?bWPUD"WKI?VSbCEJKILSjé?4SVCGJKMLS-ClO'W(O'?BW^I?ªJ"LWVOX?_?BACkD%C=HC`J"?VDO6KU YiU"\EOCEJ"L-KFXC6CSBWPJ"WbSBCkOXCkzC#^IWVU¨CED"_-U"SPOCEz"C'j R DYiU"\EOCEJ"L-KOèSBWVJ"WBSBCkO'CEz]D?b\GCGD"CNWPK©S4L-DONKML\6WxOq ,D]O6?(D^ICGUD?SPU?BSPU"W|FXC6W[SBL-D^OXCGOGU:OCEz"Q )(ˆ uqq = ?-^O'?KI?BSbCEJKILS#_WBS(QYW|ONKMCNSb?BWSbWPJ"WVSbCEO'QPF'CN\6L4K0_CED"WPY#CNS(?dxW-SBL-"CGWVDU"\\GUC:e
u
q
∂∂ ˆ ?4^O'?]^ICEYi?(O6KMCGSbQj
R DiYiU"\GOXCEJ"L-KOCED"_-U"SPO'CEzSbL4DO6KL\,WPO$ NDSPUKI?PDOSPU?BS(U"W|FXC6WhSBL-D^OXCkONUO'CEz"Q )(ˆ iϕϕ = ?4^O?KM?4S(CEJKMLS_WBS4Q Y#WPONKMC6SB?(W ClD"_-U"S(O6CGz"ClOQxFCG\6L4K¡_CED"WPYC6SB? dPW(SBL-"CNWPDU"\â\EU"C ϕ e ?4^MOX? ^ICEY?PO,KICNSBQj R DSBL-D"_?(D^IWPOL-K¤_CEJ"L\NWVKq^WPUiLh"L-"CED"Q0_CEJ"L:\NWVKIQh^UDO" ,DOL4O_?VW(UD"WKM?bSBCEJKMLS4?jCEKISPU"CkOX?SVU ?b\G?VY?PDO'?_CGD"WPYC6SB?\,CED"C,WPKM? j R D¹SBCEKISVU%CEOgSVU ?b\N?|Y?PDO'?_CGD"WPYC,SB?\NCED"C6WPKM?W(KM?SBL-YiJ"L-KOXWVK?uL4"CXHDUCGOXQ_WbSBQh^MUDO ,D"_?PJ"\GCGD"CEOX?UKcY#QPOXLWVKM?B\N?SBL-D"_CEF'CNCÎbjVp@Ui?VwCX^O6QD"C,SBCLgU"SV\6Q0AL4KYWPOXQ©DUYWBC_CED[SbL4D"_?PD^WVOXLWPKI?4£b"L-"CED"?hHICc^WVU^U:K^I?h_?OX?VD^ClUD?:jã$jVp@Ui?VwCX^O6QD"C,SBCL`^M?bSPFCEUD"?0AL-KcY#WxOQD:UYWBC_CGDySbL-D_?PD^IWVOXLWPKI?-£B"L-"CED"?hHC^MUKI^æ?h_?SPUKI?PDOjj-¥¤LWPOX?©K?P4CX^OLWBKM?B\,?h^UDO^ONKIC6SxO\NLSBW(\J%W4^CGz"? j´§W(KMWBY?PO6KMCNC^UK^I?(\NL-KuCGD_?(J"?VD_?VDO? ( ))(),( tite skk ^UDOAXUD"SPOCNC¤J"?(KMCNL_CNS(?#_?S(\NW-^IQ!CEKISPU"CkOX?hé©d'é Qe j R DS4CGKMSPU"CEOédXé QeWPKM?yS4L-Y[JL4KOWPKI?yL4"CXHDUCGOXQy_WVS4Q`^UDOa ,D"_?PJ"\NCGDCkO'?SBL-D"_CEFCNC,\N?:Îbj%p@U?VwCX^OXQyD"C,SBCqLU"SB\,Qid^I?4S|FXCGUD"?(eAL-KYWBOXQ@DUYW4C¤_:CEDSBL-D"_?PD^WPOLWVKI?[dX"L4"CGD?(e0HæCc^W(U
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
^UKI^?0_?O'?PD^ClUD"?0dS(UKM?PDONejã$jbé?V-C'^cOXLWPKI?B\,?h^UDO$\,CED%C6WPKI?4£bJ"W:^ICGz?uHCKc?bS4CEJKMLSB?j j-L-D"_?BD^æWPOXLWVK?(\N?ud'"L-"CED"?B\,?Ve¤WPU[SbW(KMWBSVOX?PKMC6^O'CNSBC$^ONKMC6SPOSPKI?4^S4QxOLWPKI?0_?©S(\NW-^IQ0 ! j jb§ WVKIWPY?|ONKIC,C^UK^I?B\6L4KCGD_?VJ?VD"_?VDOX? ( ))(),( tite skk ^UDO´A6UDSPFXC,CJ"?(KMC6L_C6SB?_?uSB\,W4^IQ0 ! jCEKISPU"CkOX?é QqÇD"?B\,CED"CGWVKI?©S4WVKM?0A6UDSBFXC,L4D"?bWV4Q\NWuä|^æ?PYiD"WB\,?YC,SBCXä¢ CN?TUDâSBCGKMS(U"C OhD"?b\NCED%C6WPK[é Q¦åSVU^UK^I?CED"_?PJ"?VD_?VDO?WPz"PD"_ SBL-YiJ"L-D?VDOX?SbL4D^OWPDOX? GDOXCGYiJTHCS4L-YiJ"L4D"?VDO?@z"WPKIC,W("CG\,?~ ND#OXCEYJS4WPKM?^UDO¤J"?PKMCNL_CNSb?[_?@J"?VKC6LWB_W[¥èj R D=W:^MOXA?B\_?SBCGKISPU"ClOqWPKI?uJKML-JKIC6?POXQ|FXC6\G?]Î@HIC `J"?PDONKU=L-KICNSb?hz"Wb\NL-KICW4\G?ySBL-YiJ"L-D"?PDOX?(\NL-KèS-L4D^OWxDO?g NDiOXCGY[JWB\6?0^UK^I?B\6L-K¤CGD_?VJ?VD"_?VDO6?0_W4S(Qh^UDO ND"_?BJ\,CED"CGO6?0SbL-D_CkF6C6CG\6?-Îbj:p@U=?VwC'^MOXQgDC6SVCL`U"SB\NQyd^I?BSVF6CGUD?beAL-KYWPOQhDUYWBC_CED=SbL4D"_?PD^WVOXLWPKI?b£L-"CED"?`HIC¤^UKæ^æ?_?OX?VD^ICEUD"?0dSPUKKM?PDO6e jã$jb³¦\N?VY?PDO'?B\N?_CED"WPYCNSB?W(U[SBWVKW(SPO?PKMCX^O6C,SBC´^ONKMC6SxO\NLSBWb\J"W:^MCGz"?:jjbé?V-C'^cOXLWPKI?B\,?©WBU`SbWPKMWBS|OX?VKIC'^OCGSbC^O,KICGSVO$\,LSbWB\J"W-^ICEz"?0_?©Sb\GW^IQ©!Gj jaé©?b\GWVF6C6CG\6?#SBL-D^OXCGONUO6CGz"?Wb\G?#SbL4D"_?(D^IWVOXLWPKI?B\6L-K ( ) ))(ˆ(ˆ quusauuqq == HC¦"L4"CGD?b\NL-K( ) ))(ˆ(ˆ ϕϕϕ iisaui == ^UDO$_?hS(\NW4^Q0 ! j j ç YiJ"\6CEONU"_CED"CE\N?hS-L4YJL-D"?PDO?V\6L4KJ"?(KMCNL_CNSb?hWB\6?@^UKæ^æ?V\6L4KCED"_?PJ"?PD"_?(DO'?~^MUDOäx^U"AC6SBCN?VDOa_?YC6SBCXäxj>@?4HCDU#^ONWh_?VYL-D^ONKIW|OHMCD"?BSb?4^ICkOXW|OX?bW0WBSb?4^OL4KqS4L-D"_ClFCGCJ"?PDO6KcUSVWhS(CEKISVUCkOX?b\G?KI?b^J"?BSPOCEz%?@^IQWBCG"Q[L#SBL-YiJ"L-KOXWPKM?`L-CXHDUCGO6Q-£^?@J"L-O¤SbL-D^MONKU"Ca?Bw?VYiJ"\N?@ ,DTSVWBKM?@DUYWBCaUD"W`_CkDONKM?`W4SB?b^OX?SBL-D"_CEFCNCD"?bAcC6ClD"_@ ED"_?(J"\NCkD"ClOQ©S4CkKISPU%CGONU"\"WVKM?0L~SbL-YiJ"L4KOWPKI?D"?BL-"C'HDU"CkOXQ:jL4YJL-KOXWVKI?BW`D"?BL-"C'HDU"CEO'QWiSbCEKISPU%CGOX?(\NLbKD?bW(UO6L-D"L-Y?SPU?VwSBCkOXW|FXC,C¤J"?PKICNL_C,SB?i_?yJ"?(KMC6LWb_Q¥^I?©JLW(O'?0SbWPKIWVSVO6?VKICGbWJKCGD´NKMQ:^MJUD^UKIC$ NDiKM?BCGYåJ"?PKYWVD?VDOSbWPKI?@SBL-DFXCGD=^U"W(KYL-D"CNSB?@dSBL-YiJ"L-D"?PDOX?@_?@AKI?bSPz"?PDFX?(\N?
...,4
,3
,2
fff UD"_?T
f1= eæ£
NKMQ:^JUD^UKIC ND¡KM?BCEY J"?PKYWPD"?VDOTS(W(KM?DUå^UDO#J"?(KcCNL_CNSb?dc_??Vw?PY`J"\EU¡KIQ4^JUD^UKCÍ"WBL-OXC6SB?(e£N´KMQ:^JUD^UKMCJ"?VKC6L_C6SB?YU\kOXCGJ"\G?0d GD`AXUD%SPFCG?u_?g^OXWVKM?BW©CGD"CEF'CNW(\NQVe\6W©WBS(?4?(W4HIC?BwSBCkOXW|FXC6?4j SBCEKISVUCkONU"\.Q£iéu£_C,L%_QSPUåSBWVJ"WBS(CEO'WPOX?D"?B\,CED%CNWVKIQµdXz"?VbC QaUSBKMW(KM?BWD%Kj * _CED ,D"_-KUYWPKU"\_?h\,W("L4KMWVOXL-KMe j* j'ÎBj j4é©?4CkY[UKICN\6?©_?0AXUDSVF6C6L-DWVKI?R D KM?bCEY _?vAXUD"S|FXC6L4D"WVK? ?:^O'?Ï_?BACkDCGO_?vWPDUYCkOX? JKML-JKICN?POQxFC¹^?VYiD"CNACES4WPO'CEz"? WB\,?KIQ4^JUD^U"\EU"CaS-ClKISPU"CGONU"\EU"CXj ç Sb?4^O?hJKIL-JKC6?POQxFCq^UDOè^I?VYiD%CNAC6SVWVO6CGz?`WPO'PO_CGDJUD"S(O_?@z"?b_?BKM?OX?bL-K?VO6C6S0£:SBVO´HC_CGD~JUD"SPO´_?z"?b_:?PKI?0WB\W(J"\NC,SBWVF6C6CG\,L-KaO?PÍD"CGSb?j§$KI?4^UJUD"?PY SBQ\GWªO O^I?S4L-D"?BS|OX?(W|:Qâ ND°SBCGKMS(U"ClOOLWxO?^UK^I?(\N?âCGD_?VJ?BD_?VDO?:jg>gWBSBQKIQ4^JUD^UKC,\N?@^æ?0SBL-D^CN_?PKIQJ"?VDO6KU`L-KMCNSb? 0tt ≥ ^JUD?BY¨S4Q0SbCEKISPU"CkONU"\"AXUD"SPFXC6L-D?(WB-Q ,D jÅ>@W(S4Q KIQ4^MJUD^UKMCN\6? ^I? S4L-D^æCN_?PKIQ J"?VDO6KU ∞→t ^JUD?VY S4Q SBCEKISVU%CEONU"\AXUDSVFXC6L4D"?bWV4Q ,D !"# j$ CGY[J"L-KcOWPDFXQ]_?BL^?P%CGOXQ#LWVUÇSBCEKMSVU"ClO?B\,?=SVUÇ?VwSBCGO6WVF6C6C¦J?BKcCNL_CNSb?:j´é?4CkYiU"\J"?|KcY#WPD"?PDO©WB\UDUCSbCEKISPU"CGO=SPU°SbL-YiJ"L4KO'W(KM?L-C6HDU"CEO'Q¹ ,D°SbWPKI? J"WPKIWPY?PO6KC,C^UK^I?B\6L-KtCED"_?PJ"?VD_?VDO?âW(USBL-YiJ"L-D"?PDOX?S4L-D^OWPDOX?HICS4L-YiJ"L-D"?PDOX?ªJ"?PKIC6L_C,SB?_?WBSB?b?BW-HMCJ"?PKICNLWB_Q?:^cOX?% &!' )( * ( + ( ,-* . ^IW(UD?-^CEDU^ILCN_WB\cj´>@CEDJWVKIWB-KIWBAXU"\/"j j jKI?V(U"\GOXQ#SBQ`UDSBCGKISPU"ClOÅ\6CED%CNWVK?BwJ"L-D?VDFXCNW(\m^OXWVC,\oWV\6ClY#?PDOXW|O SVU W4^OA?V\o_?å^UKI^?¨z"W¨WBz?bW¡ EDÏKI?BCGYJ"?PKYWVD?VDOhOXLW(ON?tKQ-^JUD^UKMC6\N?tJ"?PKMCNL_C,S4?_?J?BKMCNLWB_Wo?VwSBCkOXW|FXC,?BCX£©_?VSbCz"WrA6UD"SPFCNL-D"W ,DWBSb?:^O0S4WPT GDoK?bCEY J"?VKMCNL_CNS]_?=J"?PKICNL:Wb_W?VwSBCkOXW|FXC,?BCcj10 WVCèYiU"\lO£L4KMC6SV?=KIQ4^JUD^@z"WTWPz"?bW
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
DUYWBCiSbL-YiJ"L4D"?VDO?4\,?¹WPKYL-D"CNS-?ÅWB\,?Å?(wS4ClO'W(F'CGC,\NL-K£@_?bSVC[DU¡^UDO?PD"?PKIWPO?ÅS(L-YiJ"L4D"?(DO'?WPKYL-D"CNSb?[SbWPKM?@DU^UDOqJKM?B4?VDOX?~ NDT?VwSBCGO6WVF6C6Cj%>@WBSbQ[S(CEKISPU"CGONU%\?4^O'?@D"?B\6CED"CGWVK©^?@J"L-O¤?VD?BKMWSBL-YiJ"L-D"?PDOX?WPKYL-D"CNSb?=SbWPKM?DUÅ?(w%CX^O'Q NDÇ?VwSBCGO6WVFXC,C_WPK~WVJ%W(KFXCGDÇSBL-Yi"CED"WVF6C6?BC^J"?BSVONKIWV\6?#WWBSb?:^OL-KWj`é?bCGYiU"\]J"?PKMC6L_C,S _?J"?PKIC,LWb_W ?VwS4CkO6WBF,C6?BCWPKI? L CEY[J"L-KOXWVDF'Q _?BL^?VCGO6Q ,D^C6^OX?|YiU"\"?B\6?VSVONKIL?PD"?PKI?|OXCNSuHC% GD[S4ClKISVUCkOX?(\N?u_?uSBL-YiUD"CNSBW|FXC,Cjé?4ClYiU"\rJ%?PKYWVD?VDOmWb\tUDU"CmSBCEKS(U"ClOÅSPU SbL-YiJ"L4KOW(KM?¨D?bL-CXHDUCkOXQ·?(w%S-C OWPOÇSVU ^UKæ^æ?CED"_?PJ"?VD_?(DO?0WPz"PD"_gJ"WPKIWxY#?PONKMC6CJ%?PKIC6L_C,S4C"_?0W(SB?(?4W-HMCJ"?PKIC6LWb_:QJ"LW(OX?ACX
N´UD~KM?-CGY J"?(KMCNL_CNS_?J?VKMCNLWB_W©?(wSVCGO6W|FXC6?VCNgUDÅKI?BCGY ,DªSbWPKI?]KIQ4^MJ%UD^UKICN\,?o^UDOhJ"?VKMCNL_CNSB?_WVK`_?J"?PKICNLWb_?t?BW4\N?tSPUmU%D
YiU"\EOCEJ"\kU`Wb\yJ"?PKMCNLW4_?(C"?(w%SbClOWxFCN?(CdXKM?4ClY`U"\^UWVKYL-DC,SBeN´UD~KM?-CGY° ,D[S4WVKM?KcQ:^JUD^UKICN\N?©DU^UDO"J"?(KMCNL_CNS(?hd6KI?BCEYU%\Í"WBL-O6C6SVe
é?4ClYiU"\ ^U"WPKYL-D"CNSgHCKM?4ClY`U\Í"WbL4OCGSDU#^?UOCN\,Ck-?BWP4Q0 ND?PD"?(KcW-\% ,D`OX?VÍD"C6SVQj!LXD[U"\EOClY#CNCWPD"CmWPU²AL^OoJKL-JU^I?SbCEKISPU"CGO6?·_?S(L-YiUD"CNSBWBF6C,CÅHæCÇ_?°JKLSb?:^IWPKI?·W·CEYWb:CED"CN\6L-KSBW(KM?AXUDSVFXC6L4D"?bWV4Q ,DyKM?B:CEY¡Í"WbL4O'CNS-j 8.2.1.>@?BACED"CGF6C6CHICJKIL-JKMCN?PO'QPF'C¢ CN? )(xhy = KI?B\NW|FXC6W¹SBLD^OXCkONUO'Clz"QWmUDU"C?B\,?PY?VDO=_CGJ"L\6WPKd6K?P4CX^OXL-KI£ySBLD_?VD^æWPOXL-Ko^IWPU"L-CGD"QVe j´³q\6?PY?VDONU"\_?]S(CEKISPU"CkOS-L4KM?^J:UD-QPOL4K~WbSB?-^O6?bC¦K?(\NWVF6C6C^I?]^JUD"?]SBQ#?4^cOX? , "* * ! _WBSBQ]?VwCX^O6Q]SBL-D^O'W(DO6?b\G? 0>> γγ W:^OAc?b\ ,D"SVVOJ"?VDO6KUrL-KC6SB?#w#"HICw$#WVz?bY
( ) ( )[ ] 22 "')"()'(""' xxxhxhxxxx −≤−−≤− γγ jç SB?-W4^OQ0_?4ACED"CkFXC,?0?VwJKICEYQuAcWVJONU"\"SbQJ"WPDOXW0SbW(KMWBSVO6?VKICN^O'CNS(CNC?(\N?VY?VDO6U"\EU"C?4^cOX?0SBU:JKMCGD^Q© ,DONKM?γ HIC γ j>@?BACED"CGF6C6WgS(WPKIWbSxO?PKU"\EU"C$JUON?(KD"CNSh\6LSBW4\J"W:^CEz=^I?uJ"LW(ON?~?(wO6CGD_?uJ"?PDONKUUD#?B\N?VY?(D:OYiU"\EOClO'?(KYCED"WB\]dXKM?V4CX^OL4K£y"L-"CED"Qµ^æWPU¨SbL4D"_?(D^IWVOXL-KMeS(U¨?4SVU"WxFCGWSBL-D^O6CkONUO'CEz"Q )(xhy =WB_C6SBQ ^Q ?(w%CX^O? 0>> γγ W-^OXA?B\ ,D"S(PO J?VD:ONKU L-KICNSB? w#" HC w$
22"')"()'(""' xxxhxhxxxx −≤−−≤− γγ j
>@WBS-Q~WbSV?-^OS-WPKMWBSVO6?VKJUO?(KD"CNSy\NLS(WB\ J"W-^ICEz=?BwC6^O6Q~DUY#WVCaJ?VDONKU 0' kx ≥ HIC 0" kx ≥ UD"_?00 >k ^JUD"?PY SBQ ?b\N?PY?PDONU"\SBL-KI?4^JUD-QxO'L-Kå?4^O?&%(')%(*+-,./102,+-% 34*5-67/86(./109.:;5<'j
"?PYDC6ACGSbWPF'CNW#WBSb?4^O'?BC_?BACED"CGF6C,C?4^O'?=SbQ#?B\N?VY?VDO6U"\?-^OX?JUOX?PKD"C,S\6LSBWB\¦J"W4^æCEzrS|UÇ?VwSB?BJF'CNWUD"?BC"-L4D"?h_CkD¶UKcU"\L-KICNCkD"CNC"d\6WUD`?b\G?|Y?VDO _CGJ"L\6WPKSPUi?VwSb?PJFXC,W-L4D"?bC 00 kxk ≤≤− e j* j ãj ã`L-D"_CEFCNC^MUAC6SVC6?PDO6?u_?@^cOXWVC,\NCkOXW|OX? R D¹SBCEKMSBUCkOgWVU:OXL-D"L4Y \NCED"C6WPK[?VwJ"L-D?VD%F'C,WB\h^O'WP"C6\W(KM?TJKIL-JKMCN?VOXWPO'?4W]SBQ]OLWxO?]KMQ4^JUD^KICN\6?T\NW?VwS4CkO'W(FNCN?gDU"\6QhOCED"_SBQVONKM?>=S4PD"_ ∞→t ? $ KIC,ClD"?4W`_CkD^J%WPFCEU%\¤^OXQVKC,\,L4K©?-^O6?@ ,D=WbSB?-^O¤SbW|UD~JUD"SPO´_?0?-SPÍ"CG\6ClKU^O6WVC6\'jR DSBCGKISPU"CEO]D"?V\6CED"CGWVKrWPKI?UD¡DUYQVKÇClY`JWVKr_?âJUD"S(O'?_?µ?bSPÍ"C,\NCEKUdXz"?V-CiJ"WVKWb-KWbAXU\ã$j j'Îbj ãej § ?PDONKUrS4CkKISPU"CEO'?B\,?]SPUYWbC¤YiU"\EOX?JUDSVO6?#_?]?BSPÍ"C,\NCGKUÇ^?#_?4ACGD?-HOX?@:A+<.B5/-5<+C.+%D.6D8EF02/-%G+CH°S4WPKM?¹ ND^æ?BW|YiD"QSbQâL-KC,SB?^L\EUFXC6?âW¹?4SPU"W|FXC,CN\6L4K_?^OXWVK?âd6J"?(DO6KUL-KICNSb?^O6WVKM?CED"CGF6C6WB\,QVeONCED"_?SBQVONKM?ªUD JUD"SVO]_?â?bSxÍ"CN\6CEKU°S4VD"_ ∞→t j0p@U¨?VwCX^OXQâLµO6?bL4KI?VYQâ_?^O'W("CG\,CEO'WPO'?âSBL-YiJ"\,?(O6Q J"?VD:ONKUµUD°SbCEKMS(U%CkOé Q SVU¨^UK^I?âSbL4Y#WPD"_WPO'?âWPz%(D"_Y#WBCyY`U\kO6?JUDSVOX?0_?h?(SPÍ"CN\,CEKUj
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
>@WBS-QgSbCEKMS(U%CGOGU"\ WPKI?gUDT^ICED"-UKJUD"SPOq_?@?BSPÍ"C6\GCGKUTHCOLW(ON?[^L\EUF'CNCE\N?uOCED"_SVQVONKI?@WVSb?:^O'W~S((D"_∞→t ^?i^JUD?SBQiSbCEKISPU"CEO6U"\WPKM?>:;+!.B5-/<5-+<.+<%>.:;5<EF0 +8+-5<6(H /8B./ Ha³wCX^OXQi_L-U"Q^I?VONUKIC_?
SBL-D"_CEFCNC^MUAC6SVC6?PDOX?J?BDO,KU`W-^OXA?-\%_?0SbCEKcS(U"CGO6?èKCGO6?VKICEU"\ R _?h^OWP"CG\6CEO'WPO'?©W-^ClYiJOL4O'CNS(Q0\,L4"W4\,Q
• p@U?VwC'^MOXQyD"CNS(CLU"Sb\NQid^I?bSxFCEUD"?VeAcL-KYWVOXQ@DUYW4C¤_CEDtSbL-D_?VD^WVOXLWPKM?-£"L-"CED"?#HC^UKI^?0_?O'?PD^CkU%D"?0dSBUKM?VD%ONe j
• ¥¤LWPOX?©K?(BCX^OXLWVK?(\N?g^UDO$JUO?PKD"CGS0\6LSVWb\:J"W4^CGz"?:j• ¥¤LWPOX?u?B\,?PY?VD:OX?4\E?0CGD_-U"SPOCEz"?hHC"SBWBJW(SBCkOXCkz"?h^UDOKI?BS(CEJKILSB?hHIC"JUO?PKD"CNS0\,LSBWb\J"W4^ICkz"?j
èKCGO6?VKICEU"\ RrR _?u^O'W("CG\,CEO'WPO'?0W:^CEYiJOXL-O'CNS(Q0:\NL-"WB\6Q• p@U?VwC'^MOXQyD"CNS(CLU"Sb\NQid^I?bSxFCEUD"?VeAcL-KYWVOXQ@DUYW4C¤_CEDtSbL-D_?VD^WVOXLWPKM?-£"L-"CED"?#HC
^UKI^?0_?O'?PD^CkU%D"?0dSBUKM?VD%ONe j•
$ KIC6SB?`U"SB\,Qd^?VSVF6CGUD"?(e0SBWVKM?SBL-DF6CGD"?iLT^UKI^Q_?yO'?(D^ICEUD"?dS(UKM?(DONe©SbL4DFCED"?#HMCUDSbL-D_?(D^IWVOXL-KqdLh"L-"CED"QBeæj
• ¥¤LWPOX?©K?(BCX^OXLWVK?(\N?g^UDO^ONKMC6SxOJ"W-^IClz"?j• ¥¤LWPOX??b\G?BY?(D:O?B\,?CED"_-U"SPOXCGz"?oHIC0SBWBJW(SBCkOXCGz"?o^UDO0KI?bSVCGJKILSB?oHæCh?Pz"?PD:O6UWb\uJUO'?PKD"CNS
\6LSBWB\%J"W4^CEz"?-j"?TL-^I?VKcz"QSVQ#\NW]SPKICkOX?VKCkU"\ RrR CGDOGKIL_-USb?(KM?BW]SBL-D"_CEOCG?bCW#_L-UWAWBSB?YW(CJUF'CEDoKM?4^O6KMCGS(ONCGz?SBL-D"_CEFCNC,\N?©WONKI?BC,WhHICWJ"WPO6KcWj %(EF02/-,SbCEKMSVUCGONU"\"\GU"C%ÍU"W
mSG
mSGmSG
c
ba
5455,4
,40909,0,7575,0
=−=−=
¥?VD^ICEUD"CN\6?U©d~dr:eeHCU @d~d(Î eeiJ?BDO,KU é Î(£ / J"W(KiWrACX£èWVD"WB\,CGbWPOX?m^?PJWPKMWPO£
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
YWVKCGYCyJ"?(KMC6L_C6SV?jh©L-YiJ"L-KOXWVKI?VWªÍWBLbOXC6SVQ^?L-^I?PKz"Q_CED¨-KMW4AC,SPU"\#_?PJ"?PD"_?PDFX?bCi ,DONK?WBSb?:^O?O?PD^ICEUD"Cj
R DU"C@KIQ4^JUD^#Í"WBL-OXC6SÇW4\~UDU"CySBCGKMS(U"C OiW(UOXL-D"L-Y 6C[^UDO^J"?4S(CNAC,SB?6 .3A.6)+!%)3 ,/ ./-% .+-83 %02%D* %(* . 02,+%(3 *56(H % 68* 5 5<5-/<%5!*5 5<./-%hHCUD :-02%D6)+!3 , % B.* H /!.3 H>y?0?Bw?VYiJ"\lU£J"?PDONKUµé Î(£ * Î * Î * HC[Cd =:e Î(£ * Î|Y ç £uU d=:e j ããã [£0U d =:e Nã"£ ã * U dXO'eTWVKM?AL-KYWh_ClDiACN-UKWu_?©YWBC(¶xL^£C,WPK^IS(Í"CGY~PD"_gU d=-e j ããã= Î ^?uL:FXCGD"?U dXO6e_CEDiACN-UKMWUKYQPOLWVKI?:j
W(KMWBSVOX?PKU"\WB\N?(WPOL-KyWb\KMQ4^MJUD^UKMCN\6L4K[?-^OX?TC,\EU^O6KIWxOh_?tAcL-KY?b\N?_?sUD"_Q]JKM?V:?VDOXWPO'?:j R D^?PYDWb\J"?(KMC6L_C,S[WVKI?@UD^J"?BS(O,KU]_CX^ISPKM?|O¦AL-KYWPO_CEDTSBL-YiJ"L-D"?PDOX?b\N?yWPKYL-D"CNSB?y_CEDONKM?`SBW(KM?_?L-"CNSb?BCrDUYW4CoSB?b\G? _?L-KI_ClDÏKI?B\XWPOXCGzvKI?B_-U^dWPKYL-D"C,S4?B\6?²Î(£T㣠£ £,jkjEjl£ D%e^UDO^?PYDC,ACNS(WPO'CEz"?4£#^J"?(SPONKU"\]ACNCED"_°D"?PDU"\ GDONKONL°WVD"_QKM?4\,WPOXCkz ,D"-U^O6Q_?A6KI?BS|z?BDF'?j R D^?PYDWb\Í"WBL-OCGS0dXD"?PJ"?VKC6L_C6SVe W(KM?©U%D^J"?VSVONKUiSBL-DOXCEDUUi_?©WVD"_QhALW(KO'?©\6WPKIQ:jLcD \NCEO'?PKMWBOGUKMW _? ^MJ?bSBC,WB\6ClOWxO?ÏDUn^UDO¡AL-KcYU\6WPO? SbL:D"_ClF'CNC^U"ACNSbCG?(DO'? ND OX?PKY?PD"CNCJ"WPKIWPY#?PONKMC6\NL-KSBCGKMSPU"CEO6U\GU%CJ"?PDONKUiSBWUDiSVCGKISPU"CEOWPUOXL-D"L-Yå^IQ0W4Ck"QUD~KMQ:^MJUD^L^ISBC6\NWPDO´_WVK¦^IQDU`WbCE"QUDyKQ-^JUD^Í"WBL-OCNS-j
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
* j ãj j4é©?4CkY[UKICN\6?©_?0AXUDSVF6C6L-DWVKI?QqWgUD=SBCGKMSPU"CEOWPUOL4D"L-YZ_CX^O6CGD"?VY NDO6Kc?yL?Pz"L\EUFXC,?@SBQ(O,KM?hUDJUD"SPOq_?y?(SPÍ"CN\,CE:KU=SBWVKI?~?b^OX?SBL-D^CN_?VKWVOXQyLS4L-Y[J"L-KOXWPKI?`L4"CXHDUCGO6Q`dVSVUY#CEDOX? $VeHIC¤LiW4\kO6A?B\_?[?VzL\GUF'CN?ySBWVKM?hJKI?4^MUJUD"?UD~KIQ-^JUD^L^IS4C,\NWVD%O ^IWPUyÍ"WBL-O6C6S:jCEKISPU"CkOX?(\N? WPUOXL-D"L-Y?sSBWPKM? ^UDO \,L-Wb\W-^MCGYiJOXL-OXC,S ^cOXWVC,\N?s^WVU SBL-YiJ%\N?VOv^O6WBC,\,?AXUDSVFXC6L4D"?bWV4QuCEDOGKONXUD 3;% 5!E :(+<.B5/'jCEKISPU"CkOX?(\N? W(UOXL-D"L-Y? S(WPKI? W(U OLWVO6?ZKIQ4^JUD^UKICN\N?²J"?PKICNL_CNS(? _? WBSb?V?-W4HMCªJ"?(KMC6LWb_QAXUDSVFXC6L4D"?bWV4QuCEDOGKONXUD 3;% 5!E 8G:(6D5</!.+8G3;5-,@dXz?(4CJ%WVKIWB-KIWBAXU"\Ej j /:eæjCEKISPU"CkOX?(\N?]WPUOXL-D"L-Y?=S-WPKM?]WPUÇSB?b\JUFXCkDUDKIQ4^JUD^~ÍWbL-OXCNS]AXUDSVFXC6L4D"?bWV4Q]CED:O,KONXUD 3;% 5CE .8+5-6
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
! #"$% &' &")(*#+-,./02143/576-698;:%8-6=<>6-698;?@%891A<4B/6
CDFEHGJIKE2LMGONE2LQPSRTI#RTUWVN;IXGYEHZ/DME[VTD.N;I\RT]^GVH_`N7VLDQUaZbMV2cEdRTI\V*Ve_!N7VfEHZ/DS_!N;I7LMGONPI\VH_7LPLDSgTDMbQE[hi G^V2E[RTI\VV i V2EjN$klI\V2meG;_!N`GJnSoAE[RTPSRpEHGON`GJnSoAGJDMb/LME N!GJnMqVH_!NrVc-ZE.R2c9G-m[RN$k!EHZ/DME[VjD.NlI\RN`qts-D.N;I\u!ZWRTDLUvGONrhmHZ/DShE[RjIjVEHZ/I\Ve_KPLDMbMVwLDLMGV2c;VjUWVTD.NG9bMVHR2cbMVQEHG=IXE2LMGONfk;I\V2mHG^_!N!ZIG-bMVHRpc;oxEeZ/DMbMVTDS_RN`Z/IG-bMVHR2c^oyMZ/yMG=DShzG9bMVHR2c^h2q|Yc;VTUVTD.N7V2c^VG-bMVeR2c;V_7LD.Ntc^V2~MRN7Vs-D.NlI#VV2c^V&PIXGJDWEeZ/DMb/LAEjN`ZMRTI\V&PSVjI i V2EjNrVk!bMV&I#V2mHG;_`N!G=nMGON7R\N7V&DLMc^h2qEdVH_!NN!G=PbMV*UaZbMV2cDLVH_!NrVvs9D.N!Z[N!bMVeRTLDSRaEHZ/D i Z/I7UE2LFI\VHRpc-GONrRN7VeRVwVTSVjU*PMcJLSoYZyMZ/yMGJDShI#VHR2c;hWRTI\V*PSVc;gjDM~Mh*V i VpEjNlLMcYGJDMb/LMEjN`GJnSoE[RjI\V*VH_`N7VfE[V2cUWR2GYGJUPMZ/I`N7RjD.N7o#GLDV i V2EjNI\V2mHG^_!N!G=nk!EHZ/DMb/LME N!Z/I7LMcYbGJDFEdRTI\VVH_`N7V i h2E2L.Nrhs-D i hH7LI\RTI\VeR*RTI\VZaI\V2mHG^_!NrVTD]`hDSVTDLMc;hpqPI#V2E2LU#GLDzV i VpEjNxEdRTPSR2EHGN!GJnzkls9D.NlI\VbZ/LShf_KPMG=IjVZMRTI\VpE[RTI\VVTMG^_!Nrh%ZEdRTPSR2EHGN7RNrV2qMAVPMZMRNrV%EHZ/DS_!N;I7LMGAZf_XE2SVTUWhVpE2MGJnSR2c^VTD.N7h%EdRTI\V_hx]^GJDSh_\VHRTUWR%bMVN`ZMRN7VR2E[VH_`N7VfV i VpEjN7VE[VH_`NUaZbSV2c>DLVH_!NrVs9DS_h&nSRpc;R2yMG-c>PSVTD.NlI7LWZ/IKG-E[Vi I\V2E2nSVjD]`hbMV2ZMRTI\V2EdVE[RTPSR2EeGON7R\N7VHRVH_`N7VZUWhTIKGJUWV'~c-Z/ySR2c^hXGs-DI#VHR2c-GN7R\N7VRTnSVTU E[RjPSRdEeGON7hj];G-c^VbGJD.NlI#V i G;V2E[RjI\V_KPMGJI h#GEdV2c`V2c;RpcON7VeoI#V2mHG;_`N7VjD]`RVe_!NXVXGV[RbG;_!N;IXGJyLMGN7hHoVjMG;_!NrhZI#V2mHG`_!NrVTD]`h i GJDMGN7hRURN7VjIXG;RpcJLMcJLMGSG-mHZc^RTD.Ns-D)E[RTI\VVH_`N7VxPMc^RH_RNrhs-D i hHKLI\RjI\VHRHoMVN!E.CDEeGJIXE2LMGN%E2LFPSRTI\RjUWVN;IXGI#VTPSRTI`N`G-m[Rj];GVH_`N7VLDFUaZbMVpcs9DEdRTI\VaV i VpEjN7V2c^Va_KLD.N%bG^_!N;IXGJyLMGN7VHoDLEHZ/DME[VjD.NlI\RNrVE[VH_`NUvZbMV2cVH_!NrVEdRTI\R2E N7VTIXG9m[RNbMVWV2E2LSRT]^G-GE2LbMVjIXGJnSRNrVvPSRjI!]^G;R2c^Vwk!EdRTI\VWRTPSRTIbMRN`Z/IXGONrhE[RTI#R2EjN7VjI7LMcJLMG>bG;_`NlIXG=yLMGONYR2cAPSRTI\RjUWVN;IXG-c9ZIXqYE[RTI#V&c^VHR2~Mh%sJD.N;I\VV2c;V%UWhTIKGJUaG>~c9Z/ySR2c;Vk-N7VjDS_#GJLDMG4XGEpLI\VTD];G9q#E[VH_!NN!G=PbMVUvZbMV2cVH_`N7VQGJD.NrVTI7UWVpbG;RTIs-D.NlI#VwEHGJIKE2LMGON!LMcE2LPSRTI\RTUVNlIKG%EHZ/DME.VTD.N;I\RT];GE[RTI\RpEjN7VTIKG-m[RNbMVV2E2LSRj];G-GSbG i VTI#VTD];G^R2c;V%Z/IXbG=DSRTI\V%E[RjI\V%c;VeR2~Mhxs-D.N;I\VV2c;VxUh2IXGJUvGA~c-Z/ySR2c^Vk-N7VjDS_#GJLDMG#GAE2LI#VTD];G9qY#GUvZbMV2cJLMcbMVQE[gTUPE.RTI\RpEjN7VTIKG-m[RNbMVV2E2LSRT]^G-GEpLbMVTIXG=nSRN7VwPSRTI7]^G`R2c;VQE[RjI\VQc;VHR2~Shws-D.N;I\VFV2c;VQUWhTIXG=UaGc9ZE[R2c;VFk!bMVE[gTUPMqZ/DS_#G9bMVTI\hTUZ'c-G=DMG;VwyMG i G-c^RTI\h i ZIrUWRNrhQbGJD'bZ/LShQEHZDMb/LME N!ZMRTI\VwPSRTI#R2c;V2c^VY RFR2EdVHRH_!NrhQc-GJDMG^VF_VwPMZ[NPLDSVxs-DvVTnMG9bMVTD]`hxPSR\NlI7LV i V2EjNrV/¡uV i VpEjNlLMcI\V2mHG^_!N`GJnc-Z/DM~GNlLMbGJDSRpcEHZ/I#VH_KPLDMmdhN!Z/II\VpmHG;_`N7VTD]lV2GaEHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\V2c9Z/IuV i VpEjNlLMcAG=DMb/LMEjN!G=nfc-Z/DM~GNlLMbG=DSR2cEeZ/I\VH_7PLDMm[hN!Z/IYG=DMb/LMEN`GJnMGN7hT]^G-GLDLMG.NlIXZ/DS_XZ/DbMVxc-G=DMG;VuV i VpEjNlLMcI\V2mHG^_!N`GJnNlI\RjDS_KnSVTI\_\R2cAEHZ/I#VH_KPLDMmdhN!Z/IYE2LI#VTD];G9cJZ/IPIKGJDfG9mHZc;RT]^G;R%bG=D.N^I#V%EHZ/DMb/LMEjN!ZMRjI\VuV i VpEjNlLMcAEdRTPSR2EHGN!GJnN-I\RTDS_7nSVTI\_\R2cAEHZ/I#VH_KPLDMm[h\N!Z/IYE[RTPSRpEHGONrhT];G9GAbGJD.N;I\VxEHZ/DMb/LME N!ZMRTI\V[¢>G;V2EdhTI7LMG>V i V2EjNGS_VRH_XZEHG;Rpm[hxLDfPSRTI\RTUVNlIrL*c9GJDSV2G9EuI\V2mHG^_!N7VjD]`Rc-G=DSV2G-E[h
[ ]Rx
R
xml =
→lim /
∆∆∆
Ω0
LDMbMV∆R
VH_`N7V%I\V2mHG`_`N7VTD]lREHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\Vpc-Z/IYbMV%cJLDM~G=UWV
∆x
uGJDMb/LME N!G=nMGON7R\N7VHR%c9GJDSV2G9E[h[ ]L
x
L
xH ml =
→lim /
∆∆∆0
LDMbMV∆L
VH_`N7VGJDMb/LME N!GJnMGN7RNrVHRxs-D.N;I\V i GJI\V%E[Rpc-E2LMc^RN7hxPSVcJLDM~G=UWVHR
∆xuxEeZ/DMb/LMEjN7RTD]lRc9GJDSV2G9E[h[ ]G
x
G
xS ml =
→lim /
∆∆∆0
LDMbMV∆G
VH_`N7VEeZ/DMb/LMEjN7RTD]lR£s9D.NlI\V i GJI#VEHZ/DS_XG-bMVTI\R\N7VbMV%cJLDM~G=UWVHR
∆xuE[RTPSR2EHGN7RNrVHRac-GJDSVpG-E.h[ ]C
x
C
xF ml =
→lim /
∆∆∆0
LDMbMV∆C
VH_!NrVE[RjP>R2EeGON7R\N7VHR*s-D.N;I\VwEHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\V2c^VbMVcJLDM~G=UWV
∆x
h2bMVTI\VeR%bMVN7VTDS_XGJLDSVxPSVxLDLMcAbG=D.NlI\VEHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\VHo/PSVxc=LDM~GJUWVeR%b/aVe_!N7Vidx
Rdu l
f 2=
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
¢>cJLLMcwUR2~/DSVN`G-Edφ
RH_#ZEeG;RNQN;IXZ/DS_#Z/DLMc=LMGQbMVcJLDM~G-UVb/£VH_!NrVidxLd l=φ
SRTIXEHG=DSRE2L¤EdRTI\V_\V¥s9DME[RTIXEdhLD¤EHZ/DMb/LSEjN!Z/IFbMV'cJLDM~GJUVb/¦VH_`NXVdxuCdq l=tLI\VTD.NlLMcE[RTI#V _jV s9DME2MG-bMV s9D.NlI\V E[V2c^V bZLSh
EHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\VxPSV%c=LDM~GJUVHR%b/vVH_!NrVdxuGdi lG =
Z/DS_#G9bMVTI\gTDMbFbMV2m2nMZcN7hTIKG-c;Vs9D§_VTIXG^V*¨$RT©Mc-Z/IR2c^V*cJLMG),( tdxxu +XG
),( tdxxi +XGtI\VT]^GJDSgTDMbQDLUR2G
PIXG=UaG-GSbZG/NrVTI7UWVjDMGARTnSVjUF¡dx
x
utxutdxxu
∂∂+≅+ ),(),(
dxx
itxitdxxi
∂∂+≅+ ),(),(
¨IXZ/DS_#Z/DLMcFbMVc-GJDMG^VªbMVcJLDM~.GJUVªb/«RTI\VHo*];G=DSgTDMb_VHRjUWRbMVªE[Vpc;VPSRNlI7L«V i V2E N7VEHZ/DS_#G9bMVTI\RNrVHoLI7UhN!ZMRTI#VHR_#E2SVjUWhV2E2MG=nSR2c;VjD.N7h/¡
GJDN7V2Z/I#VTUWRR%bZ/LSRR%cJLMGM¬G=IXE2MZ i`i I\V2m2LMcN7h/¡i
Rdx
Ldx
i
t
Ldx
i
t
Rdx i u
u
xdx ul l l l
2 2 2 20+ + + + + − =∂
∂∂∂
∂∂
kls9D R2E[VHRH_`N7h I#V2c;RT]^G;V _\u7RTL DSV2~c9G RNN7VjI7UWVTDMG9Gs-Dk
dx2 q7q\GJDN7V2Z/I#VTUWRxs9D.N7g2GSR%cJLMGM¬G=IXE2MZ i`i I\V2mpLMcON7h.¡− + + + + =i di di i
i
xdxG C
∂∂
0LDMbMV
di C dxu
tC l= ∂
∂#G
di G u dxG l=#GI#V2m2LMcONrh/¡
− = +
− = +
®¯ °°±°°
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
u
xR i L
i
t
i
xG u C
u
t
l l
l l
²t³p´SµT¶;·9·J¸^¹%ºM¹%»/¼Xº/·=½´M¸¾Yµp¸;¹%¸-·=½·9·-¸-»/¼¿¸J´½MÀ·Á ½vÂl´½M³2¶^·;¹ºM¹%³H»»/¼Xº»/½SµÃrµxÄ>Å-Æ>¸;Ç;ÄÈ!¸9Æw¸=´½MÀ·JÉW¹eµx¸-·=½M·;¹2·=ʼ\¹pË2´M¸OÃrÌ/Í
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
u
xR i L
i
t
i
xG u C
u
t
l l
l l
'
'
= +
= +
ÎÏ ÐÐÑÐвY¸-·JÉv·J½SÒT½Mº´½Sµº·J½.Ãl¼#¹x½S¹2³2´½M»MÓ#³p´.Ã7¹2¸^¹
),( txu Ô · ),( txiÓ\¹%»/Õ¶;·J½S¹%»)¹2³2´SµT¶^·;¹%ºM¹%»/¼Xº·=½´M¸¾`¾jÍ
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
u
xR
i
xL
i
x tR
i
xL
i
x t
u
xR G u R C
u
tL G
u
tL C
u
tsau
u
xR G u R C L G
u
tL C
u
t
l l l l
l l l l l l l l
l l l l l l l l
= − − = − −
= + + +
= + + +( )
ÖM·JÉv·-¸;µj¼¼\¹2Ëp´M¸OÃ7Ì.Í∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2i
xR G i R C L G
i
tL C
i
tl l l l l l l l= + + +( )
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
²Y³2´SµT¶;·9·-¸^¹%ºM¹%»/¼Xº/·=½´M¸¾7¾×S¹j½.Ã^¼r´´ Ô ·A·Ó¹x½´ÉW¹eÓ#³¹2³2´Sµj¶;·-·9¸;¹Ãr¹2¸;¹2À/¼#µHÂ!· Ô Ã!·9¸-»/¼\ØÁ ½F³e»/½.Ã!·J½´Sµj¼\¹*Ó\¹)ÙM»/¼µT½Sµ2¸9·-Ë[µÓ#»¸J´Ã!·-·9¸;¹¹2³2´SµT¶^·-·-¸9»/¼¸-·J½Ú·-·9¸-»/¼¸=´½MÀ· Ô ·×¼X»/×/¼K·;¹ÃrÌT¶;·9¸;¹*µp³[¹HÓ!Ã`»/¼ÓX»¸J´¶;·9·t·=½³[µ2Ëp´M¸¼\¹2À·=É*´M¸J´M·vµT¼7Év»/½M·-³%×S¹T¼`ÉWµT½¹T½.ÃÈ7ÓX·J½´SÓ#»·9ºMµ2¸-Ê Ô ·ÜÛ9½³[µ2Ë2´M¸¼#¹2À·OÉ*´M¸J´M·MÙSµT¼X·;µjÕM·-¸Û-½Ã`·JÉ*×>Ø
ÝÞOßMÞ/àá-â>á-áAã9äAâ4å/á/æ`âQçeèHå/á;éêçHéQë/â>á;ìí4èHçHéQê/â4è2â>îÝÞOßMÞ-ï[Þð%ìpäê/ñrá-á-ã^è%òXá>óë/ã9äñrá-á-ã^èxã^ëç
ô!õö\÷2øùJú ûTörúaü/õMù-ýÿþS÷Tö7úûTõS÷Tõr÷Tõ#ùõS÷û),( txu ùýö\÷Tõ ),( txi
õ õMý^ù-ù#ù=õ#üùMû;÷M÷û2ýd÷H÷Hû ùþû^ù;÷
[ ] [ ])()(sin)(2),(,)(sin)(2),( xxtxItxixtxUtxu ϕψωψω −+=+= û2ý \÷ ýeü/õ#ùM÷jö újöXùJúvù^÷ ýHü/ú*þ`÷! S÷),()()( )( txuexUxU xj ⇔= ψ ù
[ ] ),()()( )()( txiexIxI xxj ⇔= −ϕψûõMýHù"
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ω ∂∂
ωu
x
U
x
dU
d x
i
x
d I
d x
u
tj U
i
tj I⇔ = ⇔ ⇔ ⇔
# ýSû;ù9ù9ü/ö$M÷xü/ö%ù=õ'&(;÷%ýHü/ö\÷)Kþõ÷2ýSû!;ù-ù;÷UCjUG
xd
IdILjIR
xd
Udllll ωω +=−+=−
* ü+Túý,lll LjRZ ω+= - ùJúþS÷MûTõlû-ù=õS÷2ù-ý9ü/õMøù.ùJõSû/
ù llt CjGY ω+= - û/úaù07ûTõlû-ù=õS÷2ù-ý1-ö\ûjõ2S÷Tö\û,/ ÷2ýHù
IZxd
Udl=− ù UY
xd
Idt=−
÷TöXù324jõ65-õö\ûTþMü/ö7ý8 ù%÷,-ùJúvùJõ4jõ6õSû9ùJõlö#÷õS÷2ýõMü#ý,7÷:\÷ü;^ùJõS÷ !ü/ö7úWû<5-õ§ýHü/ú*þ^÷ 'û÷2ýSû!;ù-ù-ü/ö(r÷;÷2ø/ö#û !ù !ù-ü/ö,( )( ) ( )( )ICjGLjR
dx
IdUCjGLjR
dx
Udllllllll ωωωω ++=++=
2
2
2
2
,
û!IYZ
dx
IdUYZ
dx
Udtltl ==
2
2
2
2
,* ü+Tú
γ α β= = +Z Y jl t ùMö\÷=0+I
dx
IdU
dx
Ud 2
2
2
2, γγ ==
ùJõv÷2ýSû^ù;ûxþS÷Tõ;ö+?> ö\÷,=." x
i
x
d eAeAxUγγ += −
)(õM÷
dA ù iAõ4ýHü/õ@rûeõr÷%ý[ûTö\÷A\÷xþMü
M÷Br÷Tö7úaù=õSû%ýõMü#ýC4Tõ1U ù 1I ( )),0()(),,0()( 1111 titiItutuU =⇔=⇔ D
ô!õ9üýMùJõþS÷)(xU59õv÷2ýSû^ù;û
dx
Ud
ZI
l
1−=ü;^ùJõS÷TúE [ ]x
i
x
dl
eAeAZ
xIγγγ
−= −)(
* ü+Túý,ll
lllc CjG
LjRZZ
ωω
γ ++
== F ùJúþS÷MûTõ`û%ýdûTö\û2ý!r÷TöXù@!ù9ý%ýHü/úþ;÷ ûG-ùOõMù;÷2ù
ù [ ]xi
xd
c
eAeAZ
xIγγ −= −1
)(
* ü+Túý,U xd ( )
þöXù=ú<7÷Tö7ú÷TõHùJõ÷ þö\÷Xù;û3MùU x( )
xjj
d
x
dd eeUeAxU d )(0
0)( βαψγ +−− ==
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
I ý[÷@Mù;ûJ5^ùAýHü/ö\÷7þõM÷J2Sû-üMûjö\÷Hû [ ]00 sin2),( dx
dd xteUtxu ψβωα +−= − DI ú*þ-ù0ù=õS÷HûKMù xdd eUtxu α−
02),,(#ý[û,M÷÷ þMü/õS÷Tõ^ù;ûWýLù@rûTõ`ûM - ÷77÷ úû MùJúNK^û;Mü/ö7õS÷^÷M÷%ùJõ;ö\û ö#÷J5-õ?9ùJõMù;÷xþS÷jõlö+O QPSR ùúùJõMùJúN;ûT;Mü/ö7õS÷^÷M÷%ù;÷ ùJö\÷xþS÷jõlö+O PU/ DV ÷Tõlö" [ ]00 sin2),(0 ddd xtUtxu ψβωα +−==
I ý[÷Hû7+W õMý;ù^÷÷@r÷zþS÷TöXù9üù-ýQþS÷Tõ;ö+MõM AûBû24Tõ'þS÷TöXù-üMû,Mûωπ2=T D û2ý λ+= xx' XþS÷Tõ;ö+Y F MûB ),'(),( txutxu =
õM÷λ÷77÷<2Sû-üMûTö#÷û*úaù=õMùJúNvþS÷Tõ;ö%ý[ûTö#÷wûTö#÷N9üýF÷2øMû9ù.7û7÷Hû D
Z ÷=0+ [ ] ( )[ ]dd xtxt ψλβωψβω ++−−+− sinsin 0
M÷2ýHùπβλ 2=
û!βπλ 2= - λ ÷
õúW÷ 7÷õMøùJú÷HûM÷Jõ/ D[\K]^+_`!^\a@b"\dcb@eb:f\gb^+]ihjSklnm\Bb+\^"_9o3gp!^\pKqo0b7\r\o:s,]tsCp^\Mb^u\v]o\dw`dwB\xm\fypwB\rC\K]gevwB\!^+qpBb@e^zgny3]g|]yGyogo\o1f\gb^+]p~_N`w]^p<_\!^\]ps\)\pauo$b+\gw%o3]g\cqo.b"\rp9m\<f^%efp|p!^\~f\yogo\l 1egmoop \w@b"\ sp
),(),( txudttdxxu dd =++pmos`
00 )()( dd dxxdttxt ψβωψβω ++−+=+−m\so
Vdt
dxsidtdx ===+−
βωωβ 0
qo.b"\rp9m\~f^efp|p^\p~]gm\,ow%o3g]w%eompy\wp]Wqo0b+\rpm\A+prC`\r]y0b+`:s`f\gb^"]AU"@~7+:EC YB¡ %¡¢::£¤ +,£::¥3 u Y¡ ¤ +£¥¦%¥3 ,¨§©¥."ªA«+ªCJ§¬U+@®J¯)¦@+J¥ !"1+%¥3¬°( "
α > 0 ±² i@¥3¯H¡³´¡© %¡¢ ± µ¥ !"¶)@+LB"B"³·¡¸¹¥£ ² º£¡ %¡¢! %¥¥"» x
dd eUxU α−= )0()(
α)@+A7+"¼½+ u¬
β¾¯¦7+A@"+A
«+ªC¬¿À+¯L,
)(xU i
,£¥£1+ "¯Á¥3~·¡ %¥)(xU¬
')'()0()(
x
i
xl
i
x
ii eUeAeAxUγγγ −− ===
0)0()0( iji
l
ii eUeAU ψγ ==Â¥3¯~¥£! ,ª£ + ¥ ,ª£." ) ¯N %¥¯9¥¥)(xU i ² ¥ ) ¡
[ ]0'
0 'sin2),'( ix
ii xteUtxu ψβωγ +−= − ¬),'( txu i
á ¡¢:ħ¥0+ªCV = ω
βE£¤ +£::¥)¦u¥3 uE)B ¤ +£::¥3 Y¦%¥B
¯)¦@+J¥§ 1+%¥3¬ÅT £ [ ] )()()()(
1)( xIxIxUxU
ZxI idid
C
+=−= u¨)¯<¡"¥Æ u!+A¦%¥'¥3§! B»
C
ii
C
dd
Z
xUxI
Z
xUxI
)()(
)()( ==
¬AÇÀ7@ $¯H¡+£ +¡H«¹¥¥£i x td ( , )
¦u¥i x ti ( , )
¬
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
ÈÉ.ÊÉ.ÊÉË1ÌÍÌÎ:ÏÐ%Í,ÑÑUÒÏÓÔUÕ(Ö×ÌÍ,ÑÌÑØÑÕUÑÏÑØÔÕ(ÙÑÚ(ÛÜÛÝNÞBßÜàà'áÜ%à3ÝNÛÜ%àâ©ãäHåæäçèàÞéÞGçÛÜÞAêÞAêuçÜà3æ~ÞçæÛèààëÞëà3äàÞàâ?êæäßìíGî ïðñî ïSòî ïUó$îõôö(÷ø÷ùNúBûøüüAýúþÿ÷øüüû"úøü ú øuúýuü÷6ý3ÿüúüúNøuúü3ù ÷ø+ùüþ úø+ùN÷úû%ô$üAý+ÿûOþúüþ÷øuúúBû+úø"ù9ü÷ø%üú
CZ ü γ üU÷ÿùNú"! βαϕ ,,, CCZô
ll
lljCC CjG
LjReZZ C
ωωϕ
++
==úþü
#$%&'(
−=++
=l
l
l
lC
ll
llC G
Carctg
R
Larctg
CG
LRZ
ωωϕωω
2
1222
222
( )( ) βαωωγ jCjGLjR llll +=++=
( )( )222222222llll CGLR ωωβαγ ++=+=
( ) llll CLGR 2222Re ωβαγ −=−=)+*,-.0/12( )( )[ 0
2
1 2222222 ≥+++−= llllllll CGLRCLGR ωωωα
( )( )[ 02
1 2222222 ≥+++−= llllllll CGLRGRCL ωωωβ
3546/*,87 9* :7,81( )( )[ 2222222
2
1llllllll CGLRGRCL
V
ωωω
ωβω
+++−==
9*<;4=9* 9*:?>@*AB*=CD18EFG-=H4IJ*K79*-=91
βπλ 2=
9*;4=9*9*+:?>@*AB*=CD1LEM5*AN4O97AP1.Q74=R/Q>@7>@*K7-=*4S.4=44OT@*7;.4A81-=UTV*IW=7.A-X-=7<=-I46/YTZ;*A</Q>-X9*:>@*AB*<=CD*N[.Q74Q*N\4>@*]>^*,-.6/_1]-=`TV*<Ia=7.bA--=`7.6/cTZ;*Ad/?>-J9*:?>@*AB*<=CD*LEfe;-=*I AP1gTV*IW=7.-.h9*i4Q*K\^4>^**NTj/_*k94QTD/jl>@T4l=7V/+:7C?1k9*WT<*Ia=7.-.9*X4=R/Q>@7>@*m .4=4Q7n94oTj/Dl>@T^4l=*N7,81pTV*IW=7.-.qVEXrs49*.46/7@/*N7-=*4O/Q>@7=TZIU4QT4-=4t;*ul.4=4o*v.-=H1=-`*LTD/*]w=H*=*>@7.x;*>@:*A</1LEzyu=7.4,8=9 B7V>4Q7<CQ4Q7 w=>@7;l>D/|A-W:?>@*AB*=CD77;7>^7IJ*V/>4.l>TV*A-=97<>474O.4=4o*4sTV*;-=5w=U*B49*<=CD1A8V/_*B7A87,->4S;7V>D/j4A-.Q7<>*4Ia;l>D/_7=R/*9*~.4=44jE8VzcN@N< 7<>@*
Rl\^4
Gl=*H.4 <74.Q*x:j7<CD19*>@*N7A</_7=CD*.Q*ANl>@*NT;-=,81V/Dl7>@*2
,, llll CGLR ωω <<<<
M5*AN400 ≈≈ ll GR\4
llCl
lC CLZ
C
LZ ωβαϕ ===== 000
3546/*,879*:7,1ll CL
V1==
βω *NTD/*x7A8*K*N78\^4n;*<=R/?>-/Dl7V/*x:?>@*AB*=CD*.Q*LElIa;l=*=R/_*.Q*
),(),,(),,(),,( tvitxitxutxu idid
TV*;>l;7H1u:1>^1v7u:j4b7V/*<=-7V/*LE>@7<=TZI4oT^4o7vT@*Ia=7.o*N.l>TV*u:7A8*u:1>@194QTD/jl>@T4-=4DE
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
OsL@k6 ¡¢^ £¤u¥j¦N§¨©ª«QªQ¬+"®N¬<¯ªQ°^ª©®±² ¦³ªo®´gµ® β °Z¶·U¸j§³D´J¬R¹ºº»¼ ½½¾
¿ÀÀÁ +½½¾¿ÀÀÁ ++−=
22
2
22
2
2111
2
1
l
l
l
l
ll
llll
C
G
L
R
CL
GRCL
ωωωωβ
à ¬¦8Ä22
2
22
2
11l
l
l
l
C
G
L
R
ωω+=+ °@¬¶
l
l
l
l
C
G
L
R= ¥D¦N§¨©ª«oªQ¬z"®N¬<¯ªD°^ª©®±g¬VÅQ¶¨¦Nª
llCLωβ = Æ ª
llCLV
1= ©®¦Nª¨¶¬<¯®´Ç©ªo°jÅD§³@°^ª¶¨ªjÈà ®É§·ª¦8®ªGÊo¬5¶¨`¦8¬·Ê¶Å_®ÊQ®K¸j§¨ª¦8Ës¦8¬µ¬¦Nª6Å_¬VÅ®N¬"ʪ¨®ªQ¦RÄX®N°jÅ_®v³@®ÊQ¬@Åjª¯J´J¬<³@®"ªQ¬³+ª¨©¶¦dÅjª¯ª0ŬVÅ_®N¬"ʪ¨®ª¦8Ä®N°DÅ®³@®Êo¬VÅjª¯X´ª¦PÄ Æ ª
l
l
l
l
C
G
L
R> È
Ì §¨©ª«oªQ¬"®N¬<¯ªD°^ª©®5°V®µ§¬VÅ®]³^®N¬ÊªÍ8¬]µ³Zª¨a´Îijª³@®N¬u¬K³?ÅjªQ¸Dª¦Nªo¬ÊQÄu¬]ª¨©¶¦<Åjª¯ª6Å_Ä«Qªªtʪ¨®ª¦8®LÈÏÐijª³@®N¬lL°V®µ§¬@Å®³@®N¬ÊªÍP¬µ³ª¨b¹Ñ|ª¨RÅQ³§©¶¦8®³^®N¬µ®Êª¨ªQ®¬¶¨§³G·§·ª¨®©®ª¨©¶¦<ÅDª¯ª6Å_¬VÅ®
0L ÊQ¬ª¨RÅ®³_¯¬ÊQ®ÒOÓÔÕÖQÓ×Ø|ÙÚÛjØÜKØQÓÝRÞß ÓàØÜNØsÛÕ<áDâ ß Ó λ ÕNÙjÞ_ÛÓÖSãÝÜ8äVÞl
l
l
l
C
G
LlL
lR=
+ 0
åQæçè Ü8Ó ß ÓÚéÖOêOÚ æ ØÝëì ãÝÛ_âN×ZÚ ç Õ ç ÓNÕíÜ8ÕîÖÚÖÚØÜÚ è îÕÝ ß âhÛÓ çè àÎÕÔÝÓVÞDØÜ8âfÕ8ÙjÞ_ÛÓÖãÝÜPäVÞaÙ@âïÙ@Ó è îáoØÝâ Ll
Ü8Õ ç ÓÙVÕ@ÞjØQÙ@ÛÕÜ8ÓÜ è Ý ß ØáQØoÕð"ÓKÕñØQÙØ ß Ó å?æçZè Ü8Ó ß ÓÚÖOò ç Õ ç Ú æ ëVóôõ6öõ6÷õøùú|ûü_ýýþoÿþýsýýþþúýNû Zû ÿþoûÉý NûKÿ
è à Ó æç ØàÎÕ )(xU ×Ø )(xI ãÝÎÛ?ÚÝÜáoØQÓ ß Ó11 , IU×ØsóÓ+×jÞjØoÓÜ8â x
i
x
d eAeAxUγγ += −
)(
id AAUU +== 1)0(
( )xi
xd
C
lAlAZ
xIγγ −= −1
)(
C
id
Z
AAII
−== 1)0( [ ] [ ]1111 2
1,
2
1IZUAIZUA CiCd +=+=
! xshIZxchUxU
eeIZ
eeUxU
C
xx
C
xx
γγ
γγγγ
11
11
)(22
)(
−+=
−−+⋅+=−−
! xsh
Z
UxchIxI
eeIZ
eeU
ZxI
C
xx
C
xx
C
γγ
γγγγ
11
11
)(
22
1)(
−=
""#$
%%&' ++−⋅−=−−
(*),+-/. lshIZlchUU C γγ 112 −=
lshZ
UlchII
C
γγ 112 −=
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
013241351687:9;< ==>@?A>B=C==B>DEA>B9CF=E;GDEHI;H?A>@;J=@?KL=@E?x
i
x
d eAeAxUγγ += −
)(
( )xi
xd
C
eAeAZ
xIγγ −= −1
)(
MNOQPRTSUVXW li
ld eAeAU
γγ += −2
( )li
ld
C
eAeAZ
Iγγ −= −1
2
Y NZS4[\PT] [ ] [ ] lCi
lCd eIZUAeIZUA
γγ −+=+= 2222 2
1,
2
1 ^`_ N:a4bRcNd*N Ufe VXWgU'xlx
eeeγγγ ⋅= −− hi 'xll
eeeγγγ −⋅= hi [ ] [ ] '
22
'2 2
1
2
1)(
xC
xCC eIZUeIZUxU
γγ −−++= j bS'')( 22 xshIZxchUxU C γγ += ^
k imlni [boR [ ] [ ] pqrstu −−+= − '22
'22 2
1
2
11)(
xC
xC
C
eIZUeIZUZ
xIγγ vw '')( 2
2 xshZ
UxchIxI
C
γγ +=
xyz*|f~ /
+
+=
shchI=I 221
221
lZ
Ul
lshIZlchUU
C
C
γγ
γγ
343oABIB@AB ¡I¢¡8£2Z
¤Q¥¦m§©¨*ªlshIZlchUU C γγ 221 +=
lshZ
UlchII
C
γγ 221 +=
«§¬®¯4°±²³°8¯4®8¦m±Q¥´c°µ´L®A¶±·B¦m±4¦®X®¹¸º¥T®Q»1
11
I
UZ = ¼ «º§¬®¯4°o±²°
¯4®X¸½°o´¨¦m±ªX®¹¸º¥T®2
22 I
UZ = ¼Q¾ ®¿À4·\¥Tª»
lthZ
Z
lthZZ
lshZ
UlchI
lshIZlchUZ
C
C
C
C
γ
γ
γγ
γγ
2
2
22
22
1
1+
+=
+
+=
Á°¨*ª8·¦±4¦°X®¸¥T®XÂTªo´cªA¬4¦®´I¯4®´T¦)0( == αβγ j
´c®:¿À4·3¥ ª»
CCljCj
Cjlj
ZC
LZltgj
ee
j
eej
ljthlth ===+
⋅−⋅
== −
−
ββγ ββ
ββ
2
2
¯4®¨¦ltg
Z
Zj
ltgjZZZ
C
C
β
β2
21
1+
+= ¼
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
Á°´β π
λ= 2 ¯4®¨¦
ltgZjZ
ltgjZZZZ
C
C
C
λπλπ
2
2
2
2
1
+
+= ¼
Á®¨¦¶±Ã³À±4¨²¦@®Ä¯4®Å±À§¢ªo´TÀ4·¯4®Ä·À±4Ʀm§n¦Ç¯4®ÅÀ±4¯4ªÅ¬ÀQ¥T®§ ®È4¦B¯4®±²¦@°ÉÀ´T§Êª½¥ºË4°o´c®·®¨*°¿:À´¦§¢°¦¦m±Q¥ ®´c®¸c°±Q¥T®Q»°Ì
2102
2)(
2ZZ
ktgNkkl =Í=⋅Í∈= λ
λπλ Î
ÏÐÑ4ÐÒÓÑ2
λ Ô Õ ÒÖ2
λk ×,ØcÙÚÙ½Û ÜÝ ÒÐÑ Û³Ø Ò ØLÙ ÐmÞ ÚÙß ÒÑàÒ ß4ÙÕ Ò ØIá ÐmÑ Ü Î
â ×2
2
104
)12(2
4)12(
Z
ZZktgNkkl C=ã±=+∈+= λ
λπλ
äæå Ù Þ Ú4Ý@Ùç è Ý ÐmÑ4Ð ÙÅá Ö Ý ÖÑ4éÐmÞ Ù Ò λ / 4 ÛTÙoØ Þ£ÐÑÒ ÛTÜÅá Öëêâ ê â ÐmÑ Ü Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙß ÒÑàÒ ß4Ù ÐmÑ ÛØ Ò ØcÙ8á Ò Ú Ò á Ð Û Ðmì Ü Î
è Ý ÐmÑ4Ð Ùá Ö Ý ÖÑ4éÐmÞ Ù Ò λ / 4 ÛTÙØ Þ£ÐmÑÒ ÛTÜá ÖÖÑá êÑ ß4Ù Ñ Õ Ò Û ê Ø Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙ:ß ÒÑà³Ò ß4Ù ÐÑ Û³Ø Ò ØLÙÐmÑ ß Ö áµÛ Ðmì Ü Î
ZZ
ZC
1
2
20= =è Ý ÐÑ4Ð Ù ÓBÑ
λ / 4ÓBÑíéê Ý Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙ:ß ÒÑà ÜîßÙ ÐÑ Û³Ø Ò ØLÙÑÖ Ý@Ü Î
ZZ
ZC
1
2
2= = ∞è Ý ÐmÑ4Ð Ù ÓBÑ
λ / 4ÓBÑ Õ á Ö ØÛºá Ð Øá Ö4Ð Û Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙß ÒÑà Üïß4ÙÐÑ Û³Ø Ò ØLÙ ÐmÑðÐmÑ4Ð Û Ü Î
á× ÏñÐmÑ4Ð@Ò8Ò ß Ò ÚQÛ Ò ÛTÜòÙ Õ ÛTÙ,Û ÙØ Þ£ÐÑÒ ÛTÜ,ÚÙ CZZ =2ó Ùô Ö Ý\ÛTÜ C
C
C
CCZZ
lhZ
Z
lhZZZ ==
++
++= 21
1 γ
γ ÐÑ ß Ðð ÙoØcÙ Ñ Ûß4ÙfÝ ÖÑ4éÐmÞ Ù Ò Ý ÐÑ4Ð Ù Ð Î
õö3÷4öøöùAúIûüýûþ@ûAÿ û ý
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
! "#
+=
+=
lZ
UjlII
lIjZlUU
C
C
ββ
ββ
sincos
sincos
221
221
$&%(') *+% ),.- / 01 1 2I 2 0= 3 %456
UU
l21=
cos β%(')
( )lk
λπ= +2 14
( )cos cosβ πλ
π λl k= + =22 1
40 7 U 2 = ∞ 8 $9(':;5<-=> ?@AB+C/
λ / 4-5,D*=15:%E%
7 *DF/G01 1H45IJ %.-?6K%L')MG,AI%'NI%O<-P%O Q-R5,D=15O %D(')%1U2JSUTVSW)XYZ
[ S\A\]1^X_a`1SbXS^cd_Y1^1SJe1f<gahi(jk.ljmk.niAkopql*rllp+otsvu1r<kwjduBxylohvzohlj)o:oij)opl|@lkoi(~N5i(pnihDoip*ulU 2
f
&i(j)02 =U
lII βcos21 = ll
II
βcos1
2 =
l*|lpihzi(j) ( ) ∞→+= 2,4
12 Iatuncikl λλ
JUV)VmA11t1A fo(jkRo(poHohRhir<kJlxn)kix5iho lx5o9ihR|@nrljNo9i(po&Pho(j5or1Po(lCPu1rzi|Kor<kRi(poVf9J1 ¡b¢ λ
4= £ 1 1
¤1¥§¦ ¨©5ªH¨ ¥@«¬® Hb¯1° λ4
=1 1 ¤1¥?±1² ª ¬<³ ¨´Kbªµ ¶³ H·´1©1¨ ³ ª ¬ · ´ ¬¸ ªb·´¹·v´1©1¨ ® ´1¨ª ¬1ºq¦ ª ³. ©
»ª¨¨ ¬<³JC¬ ´L·ª ®«¬ ª ®¼³ ª(¢N½ ¬®:«1¦ ³ ½ «?¸q*¬ ª ¦ ª ³ ¨ ¬ ·v© « ¨ ³ ¸ ª ¬ ª¨¾ ª ;® ¨ªEª:· ³ ª ³ ª¨ ¥E¬ ³ ½9¿ ¬ ¾ «1¸·A´@· ® ´1¨ ³.® ¨ ® ´ ¶³D± À1Á¶ÂÁÃmÄÅÄÄÆqÇÅÈÄÉ.Å?Ê:ËÈÄÌÎÍ5Ï1Ê(ÄÏÐÄqÆVÉRÅ@ÑÄÌÓÒÀ1Á¶ÂÁÔ)Á1ÃÄqÅÄÏHÕÖ1Ê:Ö×Ò5ÄËÊØËÊdÄÙJÚtÛ ÜÞÝVß5à×á ÜCÝVâ
t
uC
x
i
t
iL
x
ull ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ =−=−
ãDä2
2
2
2
2
2
2
2
,t
uCL
x
i
t
uCL
x
ullll ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ == å)æ9ç)èRéê
LCV
1= åëì(í5îï äqäð+ñòñ çó òäô í ðaõõwö5ñô è+ó íE÷×øDùú5ûvü1ý<þÿ
( )2
2
2
2
Vt
z
x
z
∂∂
∂∂ = (ü+ùü1ýÿ
*ü+ùýdüùqù ü1ýÿ 0)()(),( CVtxzVtxztxz id +++−=!(üù"ü1ýÿ #Jùùýÿ$ùýùtû%'&)þ)(ù"Jù*tû&þ
)( Vtxzd −øDù
)( Vtxz i + +( ) dd ZVt
zdZ
x
zd""
2
2
2
2
==∂∂
∂∂ øùûDù,@ù-&ý<þü
)( Vtxzi + +./* ü1ý0 15û%(þ Gû% ÿ&û*2*3(ü4(ùþ2*35 6ý ûý5ûvü7øJþ8ùqù-*üù:9;AþPü1ý:ù
Vtxx += 0
øù00 xVtVtxVtx =−+=− +</*û.þ= 15û%(þ >(?@)ûvü þ)þ þJù,A&1üB(CD
z xd ( )0 +E 2dü¶þ8FGz x Vtd ( )−
û.þH@ü1ýÿBÿ1ù,þ8JI* û%$&K &L6ý
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
ûý5ûvüM)ø.þvùù)üùN9O +*P ù*ýù"Pùqù*ýÿQ%'&ùCÿù )( Vtxzd −û
&K &8tû%tû'R1ÿ1ù"Jù* IJùSAþý1üþtû%üRT øDùûKUùVQ1 O + 1ù,@ù"û%CAþW)( Vtxz i +ûJþ8×ü1ýÿùý(û*tû'& K &7(üJ(ù¶þ72*'5=6ý ûý5ûvüûK*(ÿùqù)*üùN9 +.bù*ýX(ü+ùùÿ ÿ1ùý1ü)YTYû%ÿþ8@ù*ý
),( txu
oid UVtxuVtxutxu +++−= )()(),( +Z ý(üù*ýÿ$6ýXdüù"ÿ' ÿ1ùý1üNY[2(üþ t
uC
t
uC
x
i
x
i il
dl
id
∂∂
+∂
∂=
∂∂
−∂∂
−
\ù*ý]ýÿ û%^@*i
ii
x
id
dd
d Vit
ii
iVi
t
ii
x
i'''' ==−==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
øDùi
ii
x
id
dd
d Vut
uu
uVu
t
uu
x
u'''' ==−==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ 2(üþ
0
11)''(''
Z
C
LCL
CVCuuVCii
l
lll
llidlid ===−=+
Z0 ù_Q&(ÿý`*¼þù+ûJþ.ù*qù*ýù"(ù)8'&ùCÿvùa)ù*ý ùý<þ* 1+ù*ý;[ ] 0
0
)()(1
),( IVtxuVtxuZ
txi id ++−−=bc A&ýý<þ8Qdce-fgh%e[ij@klnmo*p-ql%plCrsRg,ituqg,i@lvjStw"ggx"luqlo rKqg,ijxzyfg[yy| $vWlDkp8luvDo sQmo iliGplk%lqlplrsXgVi~qg,iAv^o iqgVwggx"l'gVig,wg"txlt7xlmro xlslg| D-V gloxgVig"l?~r~mglrqlrKgqlxVjigVslxg,sAmlqtiwT~v*tCrtvCp8lrKgkTpgv*~
Z0gp8l*~qlm ro mttrlA|:lCiGp`rTj
0)(0 =< xutfg
0)( =xi|L l7jxp~
0,0 00 == IU|
t0=tklFiv7 gqlH¡[|-¢lHv*lCrlAkC~QkClHql%p8lrsRg,ilH£)¤T¥ ¦@§K¨© ¤T¥ ¦ª«¬G®¯/T°:±²
³C´0 < <t
l
V
²Gµ¬Q¶7·*«D¸¹¨V¬G«C®º¶»N¬¯H¶º«¼?¯¬½«¨,¬º«¾®¸«D¿¶º«¼?¬¯G¼@¶¨N¯¬½«½¨,®«·C8«².00
0
==== iidd iuZ
EiEu
À «ª®«Á*«¬G8¶®«D¶'¯¬½«¨½¨V®«·¾«½«c«C¬¸¨V¯¬«
 ´t
l
V= à ¬½¶@½¨V®«·¾ÄŽ«A8«¬¸K¨V¯¬«¶ÆK¯¬Ç«Å»¶@·*¶ªÄ%¯»»¨,¬¨«¨n§¨n¶ª¶®«Åȯ¬½Ä@¨V¬º«®¸ÄŽ«
«C¬¸¨V¯¬«·W¶'¯®¼@¶®«¶®«DÉT»«Ê¨"«¨²*Ë·¯¶Ì"¨¨»«'»"¶V
lt =
§¨lx =¸¯¬G%Í
RiuuuZ
iEuuuu iddid =−==+= )(1
0Î϶»·7¯»Ä¼?º¶7»È¶®«^¶Ð ÑÒRZ
RZEuuE
Z
RuE iii +
−−=−=+
0
0
0
)(
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04
Ó/ÔÕ*ÖZ R0 = ×TØÙVÚÙ"Û ÔÜÔCÝGÞÔ%Þ8Öß
0=iu àÙBáÛâÙ,ãAäØ Ü ÛæåäÚ Õç ÙèÚ Ô áÛ?Úäêé%Û?ãRè Ü Ù"åÙ Õ*Ö*ëÓ/ÔÕ*Ö00 >> iuRZ àÙ ÜÔ7Õ*Ö 00 << iuRZ
ëGì Ú Õ è Ú Þ ÙVÚä Ô áÛ'íè ã Ý áÛDéä Ý äÚÛ Z R0 >ë
î ï l
Vt
l
V< < 2 ðòñLóôõöô÷,øùúCû8üöôùýû8ùóþ÷,ÿóù øü óù u Ei = ðõCøù÷3ÿóôü ÷,ó ùøþü ôù
ûùCóþ÷Vÿóùui > 0
ð
ï
V
lt
2= ð/úÿ þ%ù ô÷÷ú*üÏÿóôõô÷_øùúCûü*ð
RZ
RZEuuuEu iid +
−=+==
0
0
ùÿ ûüRZ
REud +
=0
2
ïV
lt
V
l 32 << ðóQõú*ù^þû:÷,óGûùøNõRZ
REud +
=0
2 ÷RZ
RZEu i +
−=
0
0 ð
óQú óGûT÷Vóÿõøùõ õùDõúFó ÿü'øù!ù"÷"ùõþ# ø#K÷ûÿ $÷Vó÷ù7÷%ùóGûøÿ
tl
V= 3 ð õð ð ô)ð
This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.
FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04