V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

LecŃia 12

SuprafeŃe

Moduri de definire a suprafeŃelor

Am vǎzut cǎ o curbǎ este o mulŃime în nR care se poate descrie cu ajutorul unui parametru:

( ){ }trr|Rrcurba n =∈= , unde ( )trt → este o funcŃie diferenŃiabilǎ definitǎ pe un interval cu

valori în nR . In mod analog o suprafaŃǎ este o mulŃime din nR care poate fi descrisǎ cu doi

parametri suprafata= ( ){ }v,urr|Rr n =∈ , unde ( ) ( )v,urv,u → este o funcŃie definitǎ pe un

domeniu v,uD din plan cu valori în nR . In cele ce urmeazǎ funcŃia ( ) ( )v,urv,u → va fi de clasǎ

∞C deşi în toate consideraŃiile pe care le vom face va fi suficient sǎ fie derivabilǎ doar de un

numǎr finit de ori. Mai este o condiŃie pe care trebuie sǎ o avem în vedere, anume ca ( )v,ur sǎ

varieze independent în raport cu parametrii u şi v în sensul cǎ variaŃia lui u sǎ sǎ ducǎ la o variaŃie

a lui ( )v,ur pe o direcŃie, iar variaŃia lui v sǎ ducǎ la o variaŃie a lui ( )v,ur pe altǎ direcŃie. Acest

lucru se exprimǎ prin faptul cǎ vectorii ( )u

v,urr '

u ∂∂

= şi ( )

v

v,urr '

v ∂∂

= din nR sunt independenŃi.

Dacǎ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )v,ux,...,v,ux,v,ux,v,uxv,ur n321= atunci independenŃa vectorilor '

ur şi '

vr este

echivalentǎ cu faptul cǎ rangul matricei

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v

v,ux

v

v,ux

v

v,ux

v

v,uxu

v,ux

u

v,ux

u

v,ux

u

v,ux

n321

n321

⋯

⋯

(1)

este 2. In cele ce urmeazǎ ne vom ocupa de suprafete în 3R descrise prin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )v,uz,v,uy,v,uxkv,uzjv,uyiv,uxv,urv,u =++=→

IndependenŃa vectorilor '

ur şi '

vr se poate exprima în acest caz prin 0rr '

v

'

u ≠× , adicǎ

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

v

v,uz

v

v,uy

v

v,uxu

v,uz

u

v,uy

u

v,uxkji

≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2)

ceea ce revine tot la condiŃia de independenŃǎ de pe nR particularizatǎ la n=3.

Aceastǎ reprezentare a suprafeŃelor se numeşte reprezentarea parametricǎ. MulŃimea punctelor

( ) ( ){ }v,urr,Dv,u|Rr v,u

n =∈∃∈ se numeşte suprafaŃa geometricǎ şi în general poate fi

parametrizatǎ în mai multe moduri.

Adoptǎm la suprafeŃe o convenŃie analoagǎ cu cea de la curbe: ( )z,y,xr = este un vector de

poziŃie pentru un punct din spaŃiu, x, y, z sunt coordonatele punctului, pe când

( ) ( ) ( ) ( )v,uz,v,uy,v,ux,v,ur sunt funcŃiile prin care este parametrizatǎ suprafaŃa.

Din reprezentarea parametricǎ se poate obŃine reprezentarea explicitǎ. De exemplu dacǎ

( ) ( )

( ) ( ) 0

v

v,uy

v

v,uxu

v,uy

u

v,ux

≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

atunci din teorema funcŃiilor implicite sistemul

( )( )

=−

=−

0v,uyy

0v,uxx

poate fi rezolvat local în raport cu ( )v,u ca necunoscute şi obŃinem cǎ pe suprafaŃa geometricǎ

avem ( ) ( )y,xvv,y,xuu == . De aici rezultǎ cǎ avem pe suprafaŃǎ

( ) ( ) ( )( ) ( )y,xz:y,xv,y,xuzv,uzz === . Aceastǎ relaŃie ( )y,xzz = între punctele de pe suprafaŃǎ

se numeşte reprezentarea explicitǎ. Aceastǎ reprezentare explicitǎ este o formǎ particularǎ de

reprezentare parametricǎ, anume ecuaŃia z=z(x,y) este echivalentǎ cu

=

=

=

)t,s(zz

ty

sx

Dacǎ alŃi minori din (2) sunt diferiŃi de zero obŃinem în mod analog reprezentǎri explicite

( )z,yxx = sau ( )z,xyy = .

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Reprezentarea z=z(x,y) poate fi scrisǎ sub forma z-z(x,y)=0 care este un caz particular de

reprezentare implicitǎ, F(x,y,z)=0. In reprezentarea implicitǎ este nevoie ca una din derivatele

z

F,

y

F,

x

F

∂∂

∂∂

∂∂

sǎ fie nenulǎ. In aceste condiŃii din teorema funcŃiilor implicite se poate explicita pe

suprafaŃǎ o coordonatǎ ca funcŃie de celelalte douǎ. De exemplu dacǎ 0z

F≠

∂∂

, atunci în jurul unui

punct ( )000 z,y,x cu ( ) 0z,y,xF 000 = ecuaŃia F(x,y,z)=0 este echivalentǎ cu z=z(x,y), unde

z(x,y) este unica soluŃie a ecuaŃiei F(x,y,z(x,y))=0 cu z(x,y) în apropierea lui 0z când (x,y) este în

apropierea lui ( )00 y,x . Pentru F(x,y,z) indefinit derivabilǎ funcŃia z(x,y) este la rândul ei

indefinit derivabilǎ.

Exemplu. SuprafaŃa datǎ implicit prin 0Rzyx 2222 =−++ este o sferǎ cu centrul în (0,0,0) şi

raza R. In punctele ( )000 z,y,x de pe sferǎ cu 0z0 ≠ avem ( ) 0z2z,y,xz

F0000 ≠=

∂∂

deci putem

explicita ecuaŃia sub forma 222 yxRsz −−= unde s=1 dacǎ 0z 0 > şi s=-1 dacǎ 0z 0 < . O

reprezentare parametricǎ a sferei, valabilǎ pe porŃiuni unde 0z 0 > este

−−=

=

=

222 vuRz

vy

ux

Altǎ reprezentare parametricǎ obŃinem dacǎ în spaŃiu utilizǎm coordonate polare ( )θϕρ ,, . Avem

conform figurii de mai jos ϕθρ= cossinx , ϕθρ= sinsiny , θρ= cosz .

Fig.1

φ

θ ρ

(x,y,z)

y

z

x

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Pe sferǎ avem R=ρ şi obŃinem reprezentarea parametricǎ

θ=

ϕθ=

ϕθ=

cosRz

sinsinRy

cossinRx

SuprafeŃe conice, cilindrice, de rotaŃie

Fie curba C datǎ implicit prin ecuaŃiile F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0. Fie punctul fix

( )000 z,y,xV . Reuniunea dreptelor ce trec prin V şi se intersecteazǎ cu curba C formeazǎ o

mulŃime numitǎ suprafaŃa conicǎ ce are ca vârf pe V şi ca directoare curba C. O dreaptǎ ce trece

prin V şi este situatǎ pe suprfaŃǎ se numeşte generatoare. Pentru a determina ecuaŃia ei procedǎm

astfel :

1. Scriem ecuaŃiile tuturor dreptelor ce trec prin ( )000 z,y,xV şi anume

n

zz

m

yyxx 000 −=

−=

−

ℓ. Parametrii ℓ ,m,n nu sunt unic determinaŃi şi exceptând cazul n=0

putem lua ca parametri directori independenŃi pe n

pℓ

= , n

mq = şi 1. EcuaŃiile dreptelor scrise cu

parametri independenŃi sunt 1

zz

q

yy

p

xx 000 −=

−=

−.

2. Cerem ca dreapta de parametri p, q sǎ intersecteze curba C, adicǎ sistemul

( )( )

( )( )

=

=

=−−−

=−−−

0z,y,xG

0z,y,xF

0zzqyy

0zzpxx

00

00

sǎ fie compatibil. In principiu condiŃia de compatibilitate se obŃine înlocuind valorile x,y,z scoase

din trei ecuaŃii, în ecuaŃia a patra. Rezultǎ o condiŃie de forma ( ) .0z,y,x,q,pH 000 = Putem face

acest lucru atât timp cât sistemul format din trei din cele patru ecuaŃii de mai sus îndeplineşte

cerinŃele din teorema funcŃiilor implicite în raport cu variabilele x,y,z.

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

3. Pentru orice punct (x,y,z) de pe suprafaŃa conicǎ avem 0

0

zz

xxp

−

−= şi

0

0

zz

yyq

−

−= .

Legǎtura H între p şi q se scrie ca o relaŃie între coordonatele (x,y,z) ale unui punct oarecare de pe

suprafaŃa conicǎ, .0z,y,x,zz

yy,

zz

xxH 000

0

0

0

0 =

−

−

−

−

SuprafeŃele cilindrice se definesc asemǎnǎtor. Se dǎ o direcŃie prin parametrii ( ℓ ,m,n) şi

curba C de ecuaŃii F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0. Reuniunea dreptelor ce trec prin curba C şi sunt

paralele cu vectorul ( ℓ ,m,n) formeazǎ o suprafaŃǎ numitǎ cilindricǎ. Curba C se numeşte

directoarea suprafeŃei iar o dreaptǎ de pe suprafaŃǎ, paralelǎ cu ( ℓ ,m,n) se numeşte generatoare.

Pentru a obŃine ecuaŃiile suprfeŃei cilindrice procedǎm astfel:

1. Scriem ecuaŃiile tuturor dreptelor paralele cu ( ℓ ,m,n). Cu excepŃia dreptelor paralele cu

xOy ele sunt de forma n

z

m

qypx=

−=

−ℓ

, unde (p,q,0) este intersecŃia dreptei cu planul xOy.

2. Cerem ca o dreaptǎ determinatǎ de p şi q de mai sus sǎ intersecteze directoarea.

Aceasta înseamnǎ cǎ sistemul format din ecuaŃiile familiei de drepte şi ale curbei

( )( )

=

=

µ=−

λ=−

0z,y,xG

0z,y,xF

mzny

znx ℓ

unde pn=λ şi qn=µ ’ sǎ fie compatibil. Prin urmare soluŃiile (x,y,z) a trei din ecuaŃiile

sistemului trebuie sǎ verifice şi ecuaŃia a patra ceea ce ne dǎ o relaŃie de forma

( ) 0n,m,,,H =µλ ℓ . Ca şi în cazul suprafeŃelor conice putem aplica procedeul cât sistemul format

din trei din cele patru ecuaŃii de mai sus îndeplineşte cerinŃele din teorema funcŃiilor implicite în

raport cu variabilele x,y,z.

3. Pentru orice punct (x,y,z) de pe generatoarea unei suprafeŃe cilindrice avem

λ=− znx ℓ şi µ=− mzny deci are loc relaŃia ( ) 0n,m,,mzny,ynxH =−− ℓℓ . Aceasta este

ecuaŃia suprafeŃei cilindrice.

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

SuprafeŃele de rotaŃie se obŃin prin rotirea unei curbe C în jurul unei drepte d. Fie

F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0 ecuaŃiile curbei C şi fie n

zz

m

yyxx 000 −=

−=

−

ℓ ecuaŃiile dreptei d.

EcuaŃia suprafeŃei de rotaŃie o obŃinem astfel :

1. Scriem ecuaŃiile tuturor cercurilor cu centrul pe d şi care sunt situate în plane

perpendiculare pe d. SuprafaŃa de rotaŃie este formată din astfel de cercuri care intersectează

curba C.Un astfel de cerc se poate scrie ca intersecŃia unei sfere cu centrul în ( )000 z,y,x şi a

unui plan perpendicular pe d, adică : ( ) ( ) ( ) λ=−+−+− 2

0

2

0

2

0 zzyyxx , µ=++ nzmyxℓ , λ

şi µ parametri reali.

2. Cerem ca cercul să intersecteze curba C, deci ca sistemul

( ) ( ) ( )

( )( )

=

=

µ=++

λ=−+−+−

0z,y,xG

0z,y,xF

nzmyx

zzyyxx2

0

2

0

2

0

ℓ

să fie compatibil. Pentru a fi compatibil trebuie ca soluŃia a trei ecuaŃii să fie soluŃie şi pentru a

patra ecuaŃie. ObŃinem ca şi în cazul suprafeŃelor conice sau cilindrice o condiŃie de

compatibilitate de forma ( ) 0,H =µλ (nu am mai menŃionat ℓ ,m,n, 000 z,y,x care mai apar în H)

3. Pentru un punct oarecare (x,y,z) de pe suprafaŃa de rotaŃie valorile parametrilor λ şi µ

sunt fixate de ecuaŃiile ( ) ( ) ( ) λ=−+−+− 2

0

2

0

2

0 zzyyxx şi µ=++ nzmyxℓ .

CondiŃia de compatibilitate ( ) 0,H =µλ devine o relaŃie

( ) ( ) ( )( ) 0nzmyx,zzyyxxH2

0

2

0

2

0 =++−+−+− ℓ între coordonatele punctelor de pe suprafaŃa

sferică. Aceasta este ecuaŃia suprafeŃei sferice determinate de C şi d.

Exemplu. Să se scrie ecuaŃia suprafeŃei conice care trece prin vârful (2,3,4) şi are directoarea dată

de ecuaŃiile 0zyx =++ , 1zyx 222 =++ . Conform teoriei scriem sistemul format din cele 4

ecuaŃii ale curbei şi ale dreptelor ce trec pri (2,3,4). Sistemul este

=−++

=++

−=

−=

−

01zyx

0zyx

1

4z

q

3y

p

2x

222

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Din primele trei ecuaŃii rezultă ( ) ( )1qp/2q2p7x ++++−= , ( ) ( )1qp/3q6p3y +++−= ,

( ) ( )1qp/5q4p4z ++−+= . Inlocuind aceste valori în a patra ecuaŃie obŃinem condiŃia de

compatibilitate

( ) ( ) ( ) ( ) 01qp5q4p43q6p31q2p72222 =++−−+++−+++−

Dacă în această condiŃie de compatibilitate înlocuim pe p şi q prin ( ) ( )4z/2xp −−= ,

( ) ( )4z/3yq −−= , obŃinem ecuaŃia suprafeŃei conice sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) 09zyxz5y4x4z3y6x34zy2x72222 =−++−−+++−++++−

In figura următoare putem vedea această suprafaŃă.

Fig. 1

Exemplu. Să se scrie ecuaŃia suprafeŃei cilindrice care are directoarea dată de ecuaŃiile

01zy2x,0yx 222 =−++=+ şi generatoarea paralelă cu ( )1,1,1 . Pentru a scrie ecuaŃia cerută

începem prin a determina condiŃia de compatibilitate a sistemului format din ecuaŃiile dreptelor

paralele cu (1,1,1) şi ecuaŃiile directoarei

=−++

=+

µ=−

λ=−

01zy2x

0yx

zy

zx

222

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Din primele ecuaŃii rezultă ( ) 2/x µ−λ= , ( ) 2/y λ−µ= , ( ) 2/z µ+λ−= , care introduse în a

patra ecuaŃie ne dă condiŃia de compatibilitate ( ) 0425 22 =−λµ−µ+λ . Pentru punctele de pe

suprafaŃa cilindrică λ=− zx , µ=− zy şi condiŃia de compatibilitate devine

( ) ( )( ) ( )( ) 04zyzx2zyzx522 =−−−−−+− . Acesta este ecuaŃia suprfeŃei cilindrice date.

Graficul ei se vede în figura următoare.

Fig. 2

Exemplu. Să determinăm suprafaŃa generată prin rotaŃia curbei 01zy2x,0yx 222 =−++=+

din exemplul precedent în jurul dreptei 1

3z

1

2y

1

x −=

−= . Sistemul format din ecuaŃiile cercului

de pe suprafaŃa de rotaŃie şi ale curbei date este :

( ) ( )

=−++

=+

µ=++

λ=−+−+

01zy2x

0yx

zyx

3z2yx

222

222

Nu avem trei ecuaŃii de gradul întâi din care să scoatem uşor x,y,z în funcŃie de λ şi µ şi prin

înlocuire în a patra ecuaŃie să obŃinem condiŃia de compatibilitate. Din ecuaŃiile doi şi trei rezultă

yx,z −=µ= care înlocuite în ecuaŃiile unu şi patru ne dau ( ) y434y222 =−µ+λ−+ ,

22 1y3 µ−= . Dacă în aceste ultime două ecuaŃii o ridicăm la pătrat pe prima şi înlocuim pe 2y

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

cu valoarea din a doua, obŃinem 3

116

3

416

3

22

2 µ−=

+λ−µ−

µ. Aceasta este condiŃia de

compatibilitate a sistemului. Inlocuind în această condiŃie pe λ şi µ prin

( ) ( ) λ=−+−+ 222 3z2yx respectiv µ=++ zyx obŃinem ecuaŃia suprefeŃei de rotaŃie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

2

222

2

zyx13

16

3

413z2yxzyx6

3

zyx++−=

+−−−−−++−

++

Graficul suprafeŃei este în figura urmoare :

Fig. 3

Cuadrice pe ecuaŃia redusǎ

SuprafeŃele definite implicit prin ecuaŃii de gradul doi în x,y,z se numesc cuadrice. In cele

ce urmează studiem aceste suprafeŃe când ecuaŃiile care le definesc au anumite forme

simplificate, numite forme canonice. Anume vom studia suprefeŃele date de ecuaŃii de forma

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

±=±±± . Putem presupune că în membrul drept semnul este întotdeauna +.

Cazul în care în membrul stâng toŃi termenii sunt cu semnul +. EcuaŃia devine: 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=++

SuprafaŃa se numeşte elipsoid şi are forma din figura următoare:

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Fig. 4

IntersecŃiile suprfeŃei cu planele 0zz = sunt elipse de forma 2

2

0

2

2

2

2

c

z1

b

y

a

x−=+ , de semiaxe

2

2

0

c

z1a − respectiv

2

2

0

c

z1b − . Prin urmare doar pentru czc 0 ≤≤− aceste intersecŃii sunt

nevide. Analog, intersecŃiile cu planele 0xx = sau 0yy = sunt elipse. Intreaga suprafaŃă este

cuprinsă în paralelipipedul [ ] [ ] [ ]c,cb,ba,a −×−×− . Dacă a=b=c, elipsoidul devine sferă.

Cazul în care în membrul stâng un termen are semnul -. EcuaŃia este 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=−+ sau o

variantă asemănoare. SuprafaŃa se numeşte hiperboloid cu o pânză iar graficul este în figura

următoare.

Fig. 5

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

IntersecŃiile suprafeŃei cu planele 0zz = sunt elipse de forma 2

2

0

2

2

2

2

c

z1

b

y

a

x+=+ cu centrul pe

axa Oz, de semiaxe 2

2

0

c

z1a + respectiv

2

2

0

c

z1b + . Se vede că semiaxele elipselor cresc atunci

când creşte 0z . IntersecŃia suprafeŃei cu planul yOz, adică x=0 este hiperbola 1c

z

b

y2

2

2

2

=− iar

intersecŃia cu planul xOz, adică y=0 este hiperbola 1c

z

a

x2

2

2

2

=− . Hiperboloidul cu o pânză poate

fi privit ca suprafaŃa obŃinută din mişcarea unei elipse de semiaxe variabile care are centrul pe

axa Oz şi se sprijină pe hiperbolele 1c

z

b

y2

2

2

2

=− şi 1c

z

a

x2

2

2

2

=− , planul ei rămânând paralel cu

xOy. Hiperboloidul cu o pânză are calitatea că prin fiecare punct al lui trec două drepte, complet

conŃinute în suprafaŃă, drepte care se numesc generatoare rectilinii. Dreptele

+λ

=+

−λ=−

b

y1

1

c

z

a

x

b

y1

c

z

a

x

−µ

=+

+µ=−

b

y1

1

c

z

a

x

b

y1

c

z

a

x

unde .const=λ , .const=µ sunt conŃinute în hiperboloid, pentru că orice punct care satisface

ecuaŃiile uneia din drepte vedem prin înmulŃirea celor două ecuaŃii că satisface ecuaŃia

2

2

2

2

2

2

b

y1

c

z

a

x−=− care este ecuaŃia hiperboloidului. Cazul 0=λ se interpretează 0

c

z

a

x=− ,

0b

y1 =

+ iar cazul ∞=λ se interpretează 0b

y1 =− , 0

c

z

a

x=+ . Analog se procedează pentru

0=µ sau ∞=µ . Putem evita utilizarea simbolului ∞ scriind ecuaŃiile generatoarelor rectilinii

sub forma

+α=

+β

−β=

−α

b

y1

c

z

a

x

b

y1

c

z

a

x

−γ=

+δ

+δ=

−γ

b

y1

c

z

a

x

b

y1

c

z

a

x

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Dat punctul ( )000 z,y,x de pe hiperboloid determinăm λ din prima familie de generatoare astfel

ca

−λ=−

b

y1

c

z

a

x 000 . Cealaltă ecuaŃie va fi automat satisfăcută deoarece ( )000 z,y,x satisface

ecuaŃia hiperboloidului. Analog determinăm µ din a doua familie de generatoare.

Cazul în care în membrul stâng doi termeni au semnul -. Putem alege ca semnele – să fie a

termenilor cu x şi y, deci ecuaŃia suprafeŃei să fie 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=+−− . SuprafaŃa se numeşte

hiperboloid cu două pânze şi are forma din figura următoare:

Fig. 6

IntersecŃiie suprafeŃei cu plane paralele cu xOy, 0zz = , au ecuaŃii de forma 1c

z

b

y

a

x2

2

0

2

2

2

2

−=+ .

Deci pentru czc 0 <<− intersecŃia este vidă, pentru cz 0 ±= intersecŃia se reduce la un punct,

iar pentru cz0 > intersecŃia este o elipsă de semiaxe 1c

za

2

2

0 − respectiv 1c

zb

2

2

0 − . IntersecŃia

cu planul xOz este hiperbola 1c

z

a

x2

2

2

2

=+− iar intersecŃia cu planul yOz este hiperbola

1c

z

b

y2

2

2

2

=+− . Hiperboloidul cu două pânze este generat de o elipsă ce are planul paralel cu xOy

şi care se mişcă de la cz0 = spre ∞=0z , cu centrul pe axa Oz şi ale cărei semiaxe cresc după

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

formulele 1c

za

2

2

0 − respectiv 1c

zb

2

2

0 − , sprijinindu-se pe hiperbolele 1c

z

a

x2

2

2

2

=+− şi

1c

z

b

y2

2

2

2

=+− .

Revenind la tipul de cuadrice considerate, 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=±±± , când în membrul stâng sunt trei

termeni cu semnul -, suprafaŃa este mulŃimea vidă.

Vom lua în considerare şi suprafeŃe ale căror ecuaŃii conŃin pe lângă termeni de gradul doi şi

termeni de gradul unu.

Paraboloidul eliptic este suprafaŃa de ecuaŃie z2b

y

a

x2

2

2

2

=+ . IntersecŃiile cu planele 0zz = sunt

vide pentru 0z 0 < şi sunt elipsele 02

2

2

2

z2b

y

a

x=+ de semiaxe 0z2a şi 0z2b pentru 0z 0 > .

IntersecŃia cu planul x=0 este parabola z2b

y2

2

= iar intersecŃia cu planul y=0 este parabola

z2a

x2

2

= . SuprafaŃa este generată de o elipsă într-un plan paralel cu xOy,cu centrul pe axa Oz

care se mişcă sprijinindu-se de cele două parabole z2b

y2

2

= şi z2a

x2

2

= . Graficul suprafeŃei este

în figura următoare:

Fig. 7

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Paraboloidul hiperbolic este cuadrica de ecuaŃie z2b

y

a

x2

2

2

2

=− . Graficul acestei suprafeŃe are o

formă de şa (vezi figura următoare).

Fig. 8

IntersecŃiile cu planele 0zz = sunt hiperbole de ecuaŃie 02

2

2

2

z2b

y

a

x=− cu semiaxele 0z2a

respectiv 0z2b , iar intersecŃiile cu plane paralele cu xOz sau yOz sunt parabole. De exemplu,

intersecŃia cu planul 0yy = , paralel cu xOz, este parabola z2b

y

a

x2

2

0

2

2

=− . Paraboloidul

hiperbolic poate fi generat prin mişcarea parabolei z2b

y2

2

=− astfel ca vârful să rămână agăŃat de

parabola z2a

x2

2

= iar planul ei să rămână paralel cu xOz. Paraboloidul hiperbolic are calitatea că

prin fiecare punct al lui trec două drepte incluse în suprafaŃă, numite generatoare rectilinii.

EcuaŃiile lor sunt:

λ=+

λ=−

z1

b

y

a

x

2b

y

a

x

µ=+

µ=−

21

b

y

a

x

zb

y

a

x

cu λ şi µ constante. Se vede uşor că dacă un punct verifică ecuaŃiile unei generatoare atunci

verifică şi ecuaŃia paraboloidului, deci dreptele de mai sus sunt incluse în paraboloid.

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

Conul este o variantă de cuadrică, numită cuadrică degenerată. EcuaŃia lui este

0c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=−+ . Graficul lui este în figura 9. Cuadrica de tip con este un caz particular de

suprafaŃă conică, şi anume cazul în care curba directoare este o conică. Există suprafeŃe conice

mai generale decât cuadricele de tip con.

Fig. 9

Cilindrul este suprafaŃa cilindrică ce are curba directoare o conică. Există suprafeŃe cilindrice

care nu sunt de tip cuadrică. Intr-un sistem de coordonate potrivit ales, cuadricele de tip cilindru

au ecuaŃia depinzând doar de două din cele trei coordonate. De exemplu ecuaŃia 3yxyx 22 =++

reprezintă ecuaŃia unui cilindru cu generatoarea paralelă cu axa Oz şi curba directoare o

elipsă(Fig.10).

Fig. 10

Este adevărat că mulŃimea punctelor (x,y,z) din spaŃiu care verifică o ecuaŃie generală de gradul

doi în x, y, z, şi anume

0aza2ya2xa2yza2xza2xya2zayaxa 4,44,34,24,13,23,12,1

2

3,3

2

2,2

2

1,1 =+++++++++

V. P. – LecŃii pentru anul anul I, UTCB

este fie o cuadrică nedegenerată din tipurile de mai sus (elipsoid, hiperboloid cu o pânză,

hiperboloid cu două pânze, paraboloid eliptic, paraboloid hiperbolic), fie un con sau cilindru cu

directoarea o conică, fie două plane fie un punct fie mulŃimea vidă. Pentru cuadricele

nedegenerate prin alegerea potrivită a sistemului de coordonate, ecuaŃia cuadricei devine una din

cele cinci forme canonice studiate mai sus.

Planul tangent la o suprafaŃă. Dreapta normală la o suprafaŃă.