Curbe in plan si calculul lungimii lor

Curbele in plan pot fi definite implicit, explicit sau parametric

Fie f : @a, bD�R o functie derivabila, cu derivata f' continuape Ha, bL. Graficul lui f defineste o curba in intervalul @a, bD,avand ecuatia explicita

y = f HxL, x Î @a, bD

Exemple :

1. Ecuatia unui segment de dreapta

y = Αx + Β, x Î @a, bDPlot@-x � 3 + 1, 8x, -3, 4<, PlotRange ® 88-5, 5<, 8-1, 3<<D

-4 -2 2 4

-1

1

2

3

2. Ecuatia parabolei

y = Αx2

+ Βx + Γ, x Î @a, bD

Plot@x^2 + 2 * x + 3, 8x, -4, 4<D

-4 -2 2 4

5

10

15

20

25

3. Ecuatia semicercului de raza r si centrul in origine

y = r2

- x2

, x Î @-r, rDPlot@Sqrt@1 - x^2D, 8x, -1, 1<, AspectRatio ® AutomaticD

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2 aplicatie07.nb

O curba poate fi definita si prin ecuatii parametrice

x = u HtLy = v HtL, t Î @Α, ΒDunde u, v : @Α, ΒD�R sunt functii derivabile,

cu derivatele u' si v' continue pe HΑ, ΒL

Exemple :

1. Ecuatia cercului de raza r si centrul in origine

x = r × cos HtLy = r × sin HtL, t Î @0, 2 ΠDParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticD

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

aplicatie07.nb 3

2. Ecuatia elipsei de semiaxe Α, Β si centrul in origine

x = Α × cos HtLy = Β × sin HtL, t Î @0, 2 ΠDParametricPlot@82 * Cos@tD, 1 * Sin@tD<, 8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticD

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

3. Ecuatia spiralei lui Arhimede cu centrul in origine

x = tΑ

× cos HtLy = t

Α× sin HtL, t Î @0, 2 kΠD, k Î N, Α Î R

4 aplicatie07.nb

ParametricPlot@8t * Cos@tD, t * Sin@tD<, 8t, 0, 8 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticDParametricPlot@8Sqrt@tD * Cos@tD, Sqrt@tD * Sin@tD<,

8t, 0, 8 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticD

-20 -10 10 20

-20

-10

10

20

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

aplicatie07.nb 5

4. Ecuatia cardioidei

x = 2 cos HtL - cos H2 tLy = 2 sin HtL - sin H2 tL, t Î @0, 2 ΠDParametricPlot@82 Cos@tD - Cos@2 tD, 2 Sin@tD - Sin@2 tD<,

8t, 0, 2 Pi<, PlotRange ® 88-3, 3<, 8-3, 3<<, AspectRatio ® AutomaticD

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

6 aplicatie07.nb

Cum putem calcula lungimea curbelor plane?

Interpretarea geometrica a integralei Riemann

Plot@8-Hx - 1L^5 + x + 2<, 8x, 0.2, 2.2<, Filling ® Bottom,

Ticks ® None, PlotRange ® 88-0.5, 2.5<, 80, 3.8<<D

àa

b

f HxL â x

Plot@8-Hx - 1L^5 + x + 2<, 8x, 0.2, 2.2<, Filling ® None,

Ticks ® None, PlotRange ® 88-0.5, 2.5<, 8-0.5, 3.8<<D

aplicatie07.nb 7

Consideram o curba definita prin ecuatia explicita

y = f HxL, x Î @a, bDLungimea L a acesteia este

L = àa

b

1 + Hf' HxLL2âx

Daca curba este definita prin ecuatiile parametrice

x = u HtLy = v HtL, t Î @Α, ΒDatunci

L = àΑ

Β Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2

ât

Demonstratie

Fie D = Hx0, x1, …, xnL o diviziune a intervalului @a, bD

Notam lk = Hxk - xk-1L2+ Hf HxkL - f Hxk-1LL2

, k = 1, n

� L » l1 + l2 + … + ln

x0 x1xk-1 xk xn

f Hxk-1Lf HxkL

lk

8 aplicatie07.nb

Din teorema de medie a lui Lagrange

$ ck Î Hxk-1, xkL a.i. f' HckL =f HxkL - f Hxk-1L

xk - xk-1

Ξ = Hc1, c2, …, cnL este s.p.i. pentru diviziunea D

L = lim°D´®0

âk=1

n

lk = lim°D´®0

âk=1

n

1 +f HxkL - f Hxk-1L

xk - xk-1

2

× Hxk - xk-1L

= lim°D´®0

âk=1

n

1 + Hf' HckLL2× Hxk - xk-1L = lim°D´®0

Σg HD, ΞL

= àa

b

g HxL âx

unde g HxL = 1 + Hf' HxLL2

si astfel L = àa

b

1 + Hf' HxLL2âx

Din legatura ecuatiilor parametrice cu ecuatia explicita

y = f HxL, x Î @a, bDx = u HtL, y = v HtL, t Î @Α, ΒDv HtL = f Hu HtLL, t Î @Α, ΒDv' HtL = f' Hu HtLL × u' HtL

facand substitutia x = u HtL, a = u HΑL, b = u HΒL obtinem

L = àa

b

1 + Hf' HxLL2âx = à

Α

Β

1 + Hf' Hu HtLLL2u' HtL ât

= àΑ

Β Hu' HtLL2+ Hf' Hu HtLL × u' HtLL2

ât

= àΑ

Β Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2

ât

aplicatie07.nb 9

Exemple :

1. Lungimea unui segment de dreapta

f HxL = 1 - x, x Î @0, 1Df' HxL = -1

1 + Hf' HxLL2= 2

L = à0

1

2 âx = 2

2. Lungimea semicercului de raza r

f HxL = r2- x2 , x Î @-r, rD

f' HxL = -x

r2 - x2

1 + Hf' HxLL2=

r

r2 - x2

L = à-r

r r

r2 - x2

âx = Πr

10 aplicatie07.nb

3. Lungimea unui arc de parabola

f HxL = x2, x Î @0, 1D

f' HxL = 2 x

1 + Hf' HxLL2= 1 + 4 x2

L = à0

1

1 + 4 x2

âx =5

2+

ln J2 + 5 N4

4. Lungimea unui arc din spirala lui Arhimede

u HtL = t × cos HtLv HtL = t × sin HtL, t Î @0, 2 ΠDu' HtL = cos HtL - t × sin HtLv' HtL = sin HtL + t × cos HtL

Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2

= 1 + t2

L = à0

2 Π

1 + t2

ât = Π 1 + 4 Π2

+

Ln 2 Π + 1 + 4 Π2

2

aplicatie07.nb 11

5. Lungimea cardioidei

u HtL = 2 cos HtL - cos H2 tLv HtL = 2 sin HtL - sin H2 tL, t Î @0, 2 ΠDu' HtL = -2 sin HtL + 2 sin H2 tLv' HtL = 2 cos HtL - 2 cos H2 tL

Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2

= 8 - 8 cos HtL = 4 sint

2

L = à0

2 Π

4 sint

2ât = 16

12 aplicatie07.nb