culegere-fise-rec-bac.pdf
-
Upload
serban-elena -
Category
Documents
-
view
365 -
download
1
Transcript of culegere-fise-rec-bac.pdf
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
1/47
1
Prof. CORNELIA MESTECAN
Prof. RRODICA TRIC
CLUJ-NAPOCA
2009
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
2/47
2
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
3/47
3
CUPRINS
1. FIA NR. 1 NUMERE REALE Pag. 6
2. FIA NR. 2 ECUAII Pag. 8
3. FIA NR. 3 FUNCII TEORIE Pag. 10
4. FIA NR. 4 FUNCII EXERCIII Pag. 13
5. FIA NR. 5 ECUAII IRAIONALE, ECUAIIEXPONENIALE Pag. 16
6. FIA NR. 6 ECUAII LOGARITMICE Pag. 19
7. FIA NR. 7 PROGRESII Pag. 21
8. FIA NR. 8 ELEMENTE DE COMBINATORIC Pag. 24
9. FIA NR. 9 ELEMENTE DE GEOMETRIEVECTORI Pag. 29
10. FIA NR. 10 ELEMENTE DE GEOMETRIEANALITIC Pag. 32
11. FIA NR. 11 ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE Pag. 39
12. BIBLIOGRAFIE Pag. 45
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
4/47
4
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
5/47
5
RGUMENT
Culegerea se adreseaz elevilor din clasele XI-XII liceu, ruta
direct, respectiv XII-XIII liceu, ruta progresiv i constitue un sprijin
important n pregtirea de baz n domeniul matematicii, n
pregtirea pentru examenul de Bacalaureat.
Fiele conin att cunotinele teoretice necesare ct i modele
de exerciii rezolvate i explicate. Temele propuse n fiecare fi, sunt
concepute pentru fixarea cunotinelor dar i pentru a uura demersul
elevilor n pregtirea proprie pentru susinerea examenului naional.
Materialul poate fi utilizat att la clas ct i n pregtirea
individual a elevilor, acesta urmrindrecuperarea cunotinelor
lacunare dar i o pregtire temeinic, din timp, care s corespund
cerinelor programei de Bacalaureat.
Mult succes n pregtirea matematic,
Prof. Cornelia Mestecan
Prof. Rodica Tric
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
6/47
6
FIA NR. 1 -NUMERE REALEpropuntor: prof. CorneliaMestecan
BREVIAR TEORETIC
N=
,...,...,2,1,0 n ;Z=
,...,...2,1,0,1,2,...,..., nn ; Q=
1),(,,/
*
baNbZab
a,
RQZN .Puteri cu exponent raional
;;
;11;1;;;:,,, 0*
p
pp
ppp
ppqqpqp
q
pqpqp
b
a
b
aaaab
aaaaa
aaaaQqpRba
.1
p
p
aa
Proprietile radicalilor,,,, NknRba impare sau NknRba ,;, pare :
0;; bb
a
b
abaabaa
n
n
nnnnn n ; nkn k
nk kn aaaa ; .
Media aritmetica numerelor reale naaa ,...,, 21 esten
aaam na
...21
Media armonica numerelor reale pozitive nunule naaa ,...,, 21 este
n
arm
aaa
nm
1
...
11
21
Media geometrica numerelor reale pozitive naaa ,...,, 21 este n ng aaam ...21
Modulul( valoarea absolut ) a numrului real a, este
0,
0,
aa
aaa
Probleme rezolvate
1. S se calculeze probabilitatea ca , alegnd un numr din mulimea{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta s fie raional.
Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raionale
posibilecaznr
favorabilecaznrP
..
.. ,
numrul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulime = 10,
numrul de cazuri favorabile = nr. raionale = 2, deci5
1
10
2P
2. S se calculeze probabilitatea ca , alegnd un numr din mulimea{ 3333333333 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 }, acesta s fie iraional.
Rezolvare: 28,11 33 , 1, 2Q, restul numerelor nu sunt raionale
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
7/47
7
posibilecaznr
favorabilecaznrP
..
.. ,
numrul cazurilor posibile = nr. total de elemente din mulime = 10,
numrul de cazuri favorabile = nr. iraionale = 8, deci5
4
10
8P
3. S se ordoneze cresctor numerele :2
4
1
, 64 , 3 8 .
Rezolvare:
2
4
1
=
2
4
1
1
=
16
1
1= 16 = 42 ; 64 = 62 ; 3 8 = 2
2 < 42 < 62 3 8 0, deci soluiile sunt reale
i distincte2
2
73
2 111
xx
a
bx ; 5
2
73
2 222
xx
a
bx
Tabelul de semn este:
x - -5 2 +1032 xx + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + +
Din tabel rezult c 01032 xx pentru ;25; x 4. S se determine numrul real mpentru care numrulx= -1 este soluie a ecuaiei
213 22 mmxx .Rezolvare: x= - 1 soluie, nseamn c nlocuind pe x cu -1 n ecuaie, obinem o
identitate:
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
9/47
9
21131 22 mm 02131 2 mm 023132 mm 032 mm ; ecuaia de gradul II are soluiile reale
3;0 21 mm .
5. S se determine valorile reale ale lui mpentru care soluiile 1x i 2x ale ecuaiei
01 22 mxmx , verific relaia: 52 2121 xxxx Rezolvare: 01 22 mxmx cu soluiile 1x i 2x
Scriem relaiile lui Vite: 11
121
m
m
a
bxx ; 2
2
211
mm
a
cxx
nlocuim n relaia 52 2121 xxxx ecuaia 0322 mm care are soluiile
reale 11 m i 32 m .
6. tiind c1
x i 2x sunt soluiile ecuaiei 0542 xx , calculai 3
1
2
2
1 x
x
x
x.
Rezolvare:1x i 2x sunt soluiile ecuaiei 054
2 xx
Scriem relaiile lui Vite: 41
421
a
bxx ; 5
1
521
a
cxx
31
2
2
1 x
x
x
x= 3
21
2
2
2
1
xx
xx=
3
2
21
21
2
21
xx
xxxx= 3
5
1016
=
5
15
5
6 =
5
9
Am folosit relaia 212
2
2
1
2
21 2 xxxxxx 212
21
2
2
2
1 2 xxxxxx
7. S se arate c mulimea { Rx / 02)1(2 22 mxmx } are dou elemente,
oricare ar fi
;
2
3m .
Rezolvare: ecuaia 02)1(2 22
mxmx are dou soluii reale dac 0 , 128844842412 2222 mmmmmm
0
;
2
30128 mm
Tem1. S se determine mulimea valorilor luixpentru care -5 < 2x+3 < 5.2. S se determine mulimea valorilor luixpentru care -2 < -2x- 9 < 1.3. S se determine valorile reale ale luixpentru care 112 xxx .4. S se determine numrul real mpentru care numrulx= 3 este soluie a ecuaiei
21 22 mmxx .
5. S se determine valorile reale ale lui mpentru care soluiile 1x i 2x ale ecuaiei01222 mxmmx , verific relaia: 12121 xxxx .
6. tiind c 1x i 2x sunt soluiile ecuaiei 0372 xx , calculai 1
1
2
2
1 x
x
x
x;
333 2121 xxxx .
7. S se arate c mulimea { Rx / 01132 2 mxmmx } are dou elemente,oricare ar fi 1Rm .8. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de
bacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
10/47
10
FIA NR. 3FUNCII- TEORIEpropuntor: prof. Cornelia MestecanBREVIAR TEORETIC
Fie mulimile RBA , i o funcie BAf : .
f se numete funcie strict cresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult)()( 21 xfxf
f se numete funcie cresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult )()( 21 xfxf f se numete funcie strict descresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult
)()( 21 xfxf
f se numete funcie descresctoare dac ,, 21 Axx din 21 xx rezult)()( 21 xfxf
f este cresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem 0)()(
21
21
xx
xfxf
f este strict cresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem
0)()(
21
21
xx
xfxf
f este descresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem
0)()(
21
21
xx
xfxf
f este strict descresctoare dac i numai dac, ,, 21 Axx 21 xx , avem
0)()(
21
21
xx
xfxf
f este injectiv dac ,, 21 Axx 21 xx avem )()( 21 xfxf f este injectiv dac ,, 21 Axx cu 2121 )()( xxxfxf f este surjectiv dac AxBy , astfel nct y = f(x) f este bijectiv dac f este injectiv i surjectiv f este inversabil dac exist funcia ABg : cu Afg 1 i Bgf 1 (vezi
definiia compusei a dou funcii) f este inversabil dac i numai dac f este bijectiv
Operaii cu funciiFie RDgf :, , RD
,: RDgf (f+g)(x) = f(x) + g(x) se numetefuncia suma lui f i g ,: RDgf fg(x) = f(x)g(x) se numetefuncia produsa lui f i g
,,0)(,: DxxgRDg
f
)(
)())((
xg
xfx
g
f se numetefuncie ct
Fie CBgBAf :,: . Funcia CAfg : definit prin ))(())(( xfgxfg senumete compusa lui g cu f. Fie funcia BAf : , y = f(x). Funcia ABg : cu
proprietatea Axxxfg ,))(( i Byyygf ,))(( , se numete inversa funciei fise noteaz cu 1f .
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
11/47
11
Funcia afinFuncia RbabaxxfRRf ,,)(,: , se numetefuncie afin. Funcia f este constantdac 0a . Funcia f estestrict cresctoaredac 0a istrict descresctoaredac 0a .Funcia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , se numetefuncie de gradul nti.Funcia RbabaxxfRRf ,,)(,: , 0a , este bijectiv deci inversabil.
Semnul funciei de gradul nti:x
a
b
f(x) Semnul opus lui a 0 Semnul lui a
Funcia de gradul IIFuncia 0,,,,)(,: 2 aRcbacbxaxxfRRf se numetefuncie de gradul II.
)
4
;
2
(
aa
bV
este vrful parabolei(= reprezentarea geometric a graficului funciei de
gradul II) i acesta reprezintpunct de maximal funciei f dac a0.
Valoareaaa
bf
4)
2(
este valoarea maxima funciei dac a0.Forma canonica funciei de gradul II este:aa
bxaxf
42)(
2
.
Monotonia funciei de gradul IICazul a>0
x a
b2
f(x)f strict descresctoare
a4
f strict cresctoare
min
Cazul a
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
12/47
12
Cazul 042 acb , Rxx 21 , ( 21 ,xx sunt soluiile ecuaiei f(x)=0 )x
f(x) semnul lui a
Funcia exponenialeste f : ;0R , f (x) = ax, a >0 , a 1.-Funcia exponenial este strict cresctoare pentru a>1i strict descresctoare pentru
01i strict descresctoare pentru
0
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
13/47
13
FIA NR. 4FUNCII- EXERCIIIpropuntor: prof. Cornelia Mestecan
Probleme rezolvate
1. Fie funciile 12)(,: xxfRRf i 5)(,: xxgRRg . Determinai
soluiile reale ale ecuaiei .4)(3)(2 xgxf Rezolvare: 4)(3)(2 xgxf
nlocuim )(xf i )(xg cu expresiile lor: 4)5(3)12(2 xx
415324 xx ; 15247 x ; 97 x / : 7 7
9x R
2. Fie funciile 12)(,: xxfRRf i 5)(,: xxgRRg . Determinai))2(())0(( fggf .
Rezolvare: I. 5)0(,50)0( gg ; 152)5())0(( fgf ; 9))0(( gf
5)2(,1)2(2)2( ff ; ;55))2(( fg 10))2(( fg ;1109))2(())0(( fggf II. 921)5(21)(2))(())((,: xxxgxgfxgfRRgf
9902))0(( gf ;625125)())(())((,: xxxfxfgxfgRRfg
106)2(2))2(( fg ; 1109))2(())0(( fggf .
3. Fie funcia 12)(,2;1: xxfRf . Determinai mulimea valorilor funcieif.Rezolvare: Funciaf este strict descresctoare avnd a=-2 3122)2( f , deci 3;3)( xf =Im f
4. Fie funcia 20)(,: 2 xxxfRRf . Calculai distana dintre punctele deintersecie ale reprezentrii grafice a funciei cu axa Ox.
Rezolvare: 0200)(: 2 xxxfOxGf ; acb 42 , 81)20(41
42
91
21
a
bx , 5
2
91
22
a
bx
)0;5();0;4( BAOxGf
9810)45()()();( 222 ABAB yyxxBAd .
5. Fie funcia 3)1()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinai valorile reale ale lui m
pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este2
3 .
Rezolvare: fG admite un punct de maxim dac 0a , deci 0;0 mm
Punctul de maxim este
aa
bV
4;
2, abscisa este
m
m
m
m
a
bx
2
1
2
)1(
2
Din ipotez2
3x
2
3
2
1
m
m 0
4
1m .
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
14/47
14
6. Fie funcia 3)1()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinai valorile reale ale lui m
pentru care valoarea maxim a funcieif este8
25.
Rezolvare: fG admite un punct de maxim dac 0a , deci 0;0 mm
Punctul de maxim este
aabV
4;
2iar valoarea maxim a funcieifeste
a4
m
mm
m
mm
a 4
110
4
34))1((
4
22
. Din ipotez
8
25
4
adeci
8
25
4
1102
m
mm 0252
2 mm care are soluiile reale2
11
m i 22 m ,
ambele negative, deci soluii ale problemei.
7. Fie funcia 3)1()(,: 22 xmxmxfRRf .S se arate c Rmf ,0)1( .
Rezolvare: I. 2)1( 2
mmf , dac folosim forma canonicRmmf
,0
4
7
2
1)1(
2
;
II. putem folosi i semnul funciei de gradul II:02
2 mm , Rmm 21,07
m 2)1( 2 mmf + + + + + + + + + + + + + + + + +
( semnul lui a )
Din tabel observm c Rmf ,0)1( .
8. Fie funcia 20)(,: 2 xxxfRRf .Calculai )5()4()3()2()1()0( ffffff
Rezolvare: )5)(4()( xxxf , 4i -5sunt soluiile ecuaieif(x)=0 0)4(f 0)5()4()3()2()1()0( ffffff
9. S se determine punctele de intersecie ale graficelor funciilor RRgf :, ,43)( 2 xxxf , 1)( xxg .
Rezolvare: I. 143)()( 2 xxxxgxf 0342 xx
41216 , 12 241
x , 32
242
x
4)3(,2)1( gg , deci )4;3(),2;1( BAGG gf
II.
)(
)(
xgy
xfy
1
432
xy
xxy
431
1
2xxx
xy
2
1
1
1
y
x i
4
3
2
2
y
x deci )4;3(),2;1( BAGG gf .
10.
S se determine domeniul maxim de definiie al funciei RDf : ,)53(log)( 3 xxf .
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
15/47
15
Rezolvare: C:
;
3
5
3
553053 xxxx deci
;
3
5D
11. Fie funcia Rf ;0: , xxf x 2log5)( . S se calculeze )2()1(5 ff .Rezolvare: 5051log5)1( 2 f , 241252log5)2( 2
2 f
12425)2()1(5 ff .
12. Calculai 15log5log3log 777 .Rezolvare: folosim proprietile logaritmului yxxy aaa logloglog ,
yxy
xaaa logloglog , 01log a ; 01log
15
53log15log5log3log 77777
.
Tem
1.Fie funciile 23)(,: xxfRRf i 32)(,: xxgRRg . Determinaisoluiile reale ale ecuaiei 2)(4)(3 xgxf .2. Fie funciile 3)(,: xxfRRf i 52)(,: xxgRRg . Determinai
))3(())1(( fggf .
3. Fie funcia 3)(,1;2: xxfRf . Determinai mulimea valorilor funcieif.4. Fie funcia 273)(,: 2 xxxfRRf . Calculai distana dintre punctele deintersecie ale reprezentrii grafice a funciei cu axa Ox.5. Fie funcia 2)3()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinai valorile reale ale lui m
pentru care abscisa punctului de maxim al graficului este (-2).
6. Fie funcia 5)2()(,: 2 xmmxxfRRf .Determinai valorile reale ale lui m
pentru care valoarea maxim a funciei este4
29.
7. Fie funcia 5)3()(,: 22 xmxmxfRRf .S se arate c Rmf ,0)1( .8. Fie funcia 295)(,: 2 xxxfRRf .
Calculai )2()1()0()1()2()3( ffffff .9. S se determine punctele de intersecie ale graficelor funciilor RRgf :, ,
52)( 2 xxxf , 26)( xxg .
10. S se determine domeniul maxim de definiie al funciei RDf : ,)3(log)(
21
xxf .
11. Fie funcia Rf ;0: , xxf x 4log3)( . S se calculeze )4()1(7 ff .12. Calculai 27log2log6log
3
2
3
2
3
2 .
13. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni nvariantele debacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
16/47
16
FIA NR. 5ECUAII IRAIONALE; ECUAII EXPONENIALEpropuntor: prof. Cornelia Mestecan
NDRUMAR PENTRU REZOLVAREECUAII IRAIONALE
-Se numesc ecuaii iraionale, ecuaiile care conin necunoscuta sub semnul radical.
-Metoda obinuit de rezolvare a ecuaiilor iraionale const n eliminarea radicalilorprin diferite transformri, reducndu-le la ecuaii raionale echivalente; acest lucru se faceprin ridicri la putere asfel nct s dispar radicalii. nainte de a trece la rezolvareaefectiv a ecuaiei, se pun condiii de existen a radicalilor pentru a obine D mulimea /domeniul de existen a ecuaiei, respectiv a soluiilor; radicalii de ordin par au sens numai
pentru numere pozitive. Se izoleaz radicalii (dac este posibil) pentru a se putea ridica laputere i a se obine o ecuaie mai simpl. Se ine cont de faptul c cei doi membrii ai uneiecuaii trebuie s aib acelai semn ( la ecuaiile cu radicali de ordin par).Se rezolv ecuaia obunut, se verific dac numrul / numerele gsite aparin domeniuluide existen a soluiilor D, dup care se scrie S- soluia ecuaiei.ECUAII EXPONENIALE
-Se numesc ecuaii exponeniale, ecuaiile care conin necunoscuta la exponent.-Metode de rezolvare: n rezolvarea ecuaiilor exponeniale se utilizeaz proprietatea
de injectivitate a funciei exponeniale : , 1x ya a x y a - ecuaia de forma ( ) , 0, 1f xa b a a
-dac 0b , ecuaia nu are soluii-dac ( )0, ( )r f x r b b a a a f x r S -dac ( )0, ( ) logr f x ab b a a b f x b S
- ecuaia de forma ( ) ( ) , 0, 1f x g xa a a a - se utilizeaz proprietatea de injectivitate a funciei exponeniale :
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x S - ecuaia de forma 2 ( ) ( ) 0, 0, 1f x f xa a a a
-se noteaz ( )f xa t i se ine seama de faptul c t > 0.
Probleme rezolvate
1) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 153 xx .
Rezolvare: Condiii:
01
053
x
x
1
3
5
x
x
;1
;3
5
x
x Dx
;
3
5
153 xx / 2 2153 xx 0652 xx 3,2 21 xx 3;23;2 SD .
2) S se determine soluiile reale ale ecuaiei xxx 3 3 52 .
Rezolvare: xxx 3 3 52 / 3 33 52 xxx 2
5052 xx
3) S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2191 xx .
Rezolvare: Condiii:
019
01
x
x
19
1
x
x
;19
1;
x
x Dx 1;19
2191 xx /2
41919121 xxxx 2041912 xx
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
17/47
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
18/47
18
052252 22 xxxx / : 22x 012
5
2
52
2
xx
012
5
2
52
2
xx
, notm tx
2
5
012 2 tt ; 1,1,2 cba , 942 acb
14
3111
tt ,2
1
4
3122
tt
02
5
2
51
2
51 1
0
1
xt
xx
2
1
2
5
2
12
x
t nu are soluie
Deci 0S . Am folosit pqqp
aa i
p
p
p
b
a
b
a
i proprietatea de injectivitate afunciei exponeniale.
Tem
1. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor xx 53 ; 342 xxx .
2. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor xxx 3 3 82 ; 113 x .
3.
S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 031 xx ; 471 xx ;1310 xx .
4.
S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 93
1
x
; 19555 12 xxx ;
03343 122 xx ; xxx 673225 22 ; 0915345 12 xxx ;
403333 112 xxxx ; 23153 xx .5. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de
bacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
19/47
19
FIA NR. 6ECUAII LOGARITMICEpropuntor: prof. Cornelia Mestecan
NDRUMAR PENTRU REZOLVARE-Se numesc ecuaii logaritmice, ecuaiile care conin necunoscuta la baza sauargumentul unor logaritmi.
-Metode de rezolvare: se utilizeaz proprietatea de injectivitate a funciei logaritmicelog loga ax y x y
-ecuaii de forma log ( ) , 0, 1a f x b a a -se pune condiia de existen a logaritmului ( ) 0f x , pe care o
rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : log ( ) ( ) ba f x b f x a ( conform definiiei
logaritmului )
-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-se astfel soluia ecuaiei S.
-ecuaii de forma log ( ) log ( ), 0, 1a af x g x a a
-se pun condiiile de existen a logaritmilor( ) 0
( ) 0
f x
g x
, sistem pe care
l rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x ( conform
proprietii de injectivitate a funciei logaritmice)-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-
se astfel soluia ecuaiei S.-ecuaii de forma 2log ( ) log ( ) 0, 0, 1a af x f x a a
-se pun condiiile de existen a logaritmilor ( ) 0f x , pe care o
rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : 2log ( ) log ( ) 0a af x f x utiliznd
substituia log ( )a f x t ( se obine o ecuaie de gradul II, care va avea soluiile 1 2,t t dac 0 i nu va avea soluii reale dac 0 ; n cazul cnd exist soluiile 1 2,t t ,mergem mai departe astfel:
1 2
1 2log ( ) ( ) ;log ( ) ( )t t
a af x t f x a x f x t f x a x
-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-se astfel soluia ecuaiei S.
-ecuaii de forma ( )log ( ) , 0, 1g x f x b a a
-se pun condiiile de existen a logaritmului( ) 0
( ) 0
( ) 1
f x
g x
g x
, sistem pe care
l rezolvm i obinemDdomeniul n care ecuaia poate avea soluii-se rezolv ecuaia : ( )log ( ) ( ) ( )
b
g x f x b f x g x ( conform
definiiei logaritmului )-se verific dac numrul / numerele obinute aparin luiD,obinndu-
se astfel soluia ecuaiei S.
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
20/47
20
Probleme rezolvate
1. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 3log1log 22 x Rezolvare : 3log1log 22 x Condiie: ;1101 xxx D
3log1log 22 x 431 xx 4 SD Am aplicat proprietatea de injectivitate a funciei logaritmice(funcia logaritmic este injectiv deci ,, 21 Dxx cu 2121 )log()log( xxxx )
2. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 03log8log3 3
2
3 xx
Rezolvare : 03log8log3 32
3 xx
Condiie: Dxx ;00 Notm tx3log 0383
2 tt ecuaie de gradul II
,3,8,3 cba 100366442
acb
36
108
2 111
tt
a
bt ;
3
1
6
108
2 222
tt
a
bt
2733loglog3log3 13
1
3
3331 xxxxt
323
1
23
1
33323
133loglog
3
1log
3
1
xxxxt
27;3
127,
3
133
SD
3.
S se determine soluiile reale ale ecuaiei 11loglog 22 xx Rezolvare : 11loglog 22 xx
Condiii:
01
0
x
x
1
0
x
x
;1
;0
x
x Dx ;1
11loglog 22 xx 2)1(2log)1(log11log 222 xxxxxx 02
2 xx acbcba 4,2,1,1 2 9
22
3111
xx ; 1
2
3122
xx
D2 deci este soluie a ecuaieiD1 deci nu este soluie a ecuaiei 2S .
Am folosit : xyyx aaa logloglog i proprietatea de injectivitate a funcieilogaritmice.
4. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 12log2 x Rezolvare : 12log 2 x Condiie: Dxxx ;2202
12log
2 x
2
3
2
12222log2log 11
22 xxxx D
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
21/47
21
Deci
2
3S . Am folosit proprietatea de injectivitate a funciei logaritmice.
5. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 05lg6lg2 xx
Rezolvare : 05lg6lg2
xx Condiie: Dxx ;00 Notm txlg 0562 tt
16,5,6,1 cba 52
4611
tt , 1
2
4622
tt
Dxxxt 515
1 1010lglg5lg5
Dxxxt 1010lglg1lg1 22
Deci 510;10S Am folosit proprietatea de injectivitate a funciei logaritmice.
Tem
1. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 332log2 x ; 21log 2
3 x .
2. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor xx 4log32log 55 ;
52log245log 525 xxx .
3.
S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 01log21log 2
2
22
2 xx ;
173log2log 33 xx ; xxx 3lg2lg2lg .
4. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 11log4 x ; 3log2log 2323 xxx .
5. S se determine soluiile reale ale ecuaiilor 02ln3ln2 xx ;01lg5lg6 2 xx
6. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de
bacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
22/47
22
FIA NR. 7- PROGRESIIpropuntor: prof. Cornelia MestecanBREVIAR TEORETIC
Progresii aritmetice Progresii geometrice
irul 1nna se numete progresie
aritmeticde raie r, dac.1,1 nraa nn
Formula termenului general
1aan + (n-1)r, n 1 .
Suma primilor n termeni
2
... 121naa
aaaS nnn
Proprietate
1nna progresie aritmetic
.2,2
11
naa
a nnn
irul 1nnb se numeteprogresie geometric
de raie q 0 , dac .1,1 nqbb nn
Formula termenului general1
1
nn qbb , 1n .
Suma primilor n termeni
1,
1,1
1
...
1
1
21
qnb
qq
qb
bbbS
n
nn
Proprietate
1nnb progresie geometric 2
1 1, 2
n n nb b b n
Probleme rezolvate
1) S se determine al optulea termen al irului 1, 5, 9, 13, ... .Rezolvare : se observ c irul este o progresie aritmetic pentru c
,1349,945,541 etc. Deci 11a ( primul termen) i raia 4r . tim formulatermenului general : rnaan )1(1 4)18(18 a , 298 a .
2) S se caluleze suma primilor 7 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna n care 31a i2r .
Rezolvare: tim c
2... 121
naaaaaS nnn
i rnaan )1(1
n cazul nostru 7n , 31a i 2r , nlocuim n formule i obinem:
)2(637 a 97 a , 7(3 ( 9)) 7
2
S
7 21S .
3) S se demonstreze c pentru orice Rx , numerele 52 x , 12 x i 523 x sunttermenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Rezolvare: tim c 1nna progresie aritmetic 2,
2
11
naa
a nnn
Prin urmare, cele trei numere fiind n progresie aritmetic, se afl n relaia
xxx
xxx
x 22222
2422
2
523522 1
(A)
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
23/47
23
4) S se determine al zecelea termen al unei progresii geometrice n care raia este5
1i
primul termen este 3125.
Rezolvare: ntr-o progresie geometric 11 nn qbb , 1n
tim c 31251 b i raia este51q , prin urmare
9110 qbb
9
10513125
b ,
4109
5
105
1
5
15 bb , deci
625
110 b .
5) S se calculeze suma : 44...852 .Rezolvare: observm c termenii sumei se afl n progresie aritmetic n care 21a i raia
3r . Pentru suma termenilor progresiei aritmetice tim
2... 121
naaaaaS nnn
iar
pentru termenul general rnaan )1(1
n exerciiul nostru tim c 44na , deci 31244 n 15 n , acum putem calcula
suma termenilor : 34515232
15)442(151515
SSS .
6) S se calculeze suma732 7
1...
7
1
7
1
7
11 .
Rezolvare: observm c termenii sumei se afl n progresie geometric n care 11b i raia
este7
1; pentru suma termenilor progresiei geometrice tim
1,
1,1
1
...
1
1
21
qnb
qq
qb
bbbS
n
nn iar pentru termenul general 11
nn qbb , 1n
n cazul nostru1
7 7
11
7
1
n
17
7
1
7
1
n
deci 71 n rezult c 8n
atunci
1
7
1
17
1
1
8
8
S
8
87
11
6
7S .
7) n progresia aritmetic 1nna se cunosc: 206 a , 12026 a s se gaseasc 10a .
Rezolvare: tim c 206 a , 12026 a , ceea ce se poate scrie i
12025
205
120
20
1
1
26
6
ra
ra
a
a
10020
2051
r
raam nmulit prima ecuaie cu (-1) i am
adunat la a doua ecuaie;
5
5
1a
r; 405959 1010110 aaraa .
Am folosit formula termenului general : rnaan )1(1
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
24/47
24
8)n progresia geometric 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 21b i 544 b . S se
calculeze6b .
Rezolvare: tim c 11 nn qbb , 1n ,
atunci 314 qbb 3254 q 3327 333 qqq
aplicnd iar formula termenului general, avem 516 qbb , deci 48632 656 bb
Tem
1. S se determine al noulea termen al irului -1, 5, 11, 17, ... .
2. S se caluleze suma primilor 8 termeni ai progresiei aritmetice1)( nna n care 21a i
5r .3. S se demonstreze c pentru orice Rx , numerele 15 x , 15 x i 159 x sunt termeniiconsecutivi ai unei progresii aritmetice.
4. S se determine al optuleatermen al unei progresii geometrice n care raia este7
1i
primul termen este 16807.
5. S se calculeze suma : 41...951 .
6. S se calculeze suma832 5
1...
5
1
5
1
5
11
7. n progresia aritmetic 1nna se cunosc: 175 a , 9721a s se gaseasc 15a .
8.
n progresia geometric 1nnb cu termeni pozitivi, se cunosc 3
1
b i
123
b. S secalculeze 7b .
9. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele debacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti?Notai-le i discutai-le la ora dematematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
25/47
25
FIA NR. 8 - ELEMENTE DE COMBINATORICpropuntor: prof. Cornelia Mestecan
BREVIAR TEORETIC
Fie E i F dou mulimi nevide. Dac card E = ki card F = n, (card E = numrul deelemente ale mulimii E), atunci numrul de funcii definite pe E cu valori n F este kn .Fie E o mulime nevid cu nelemente.Mulimea finit E se numete mulime ordonat, dac elementele sale sunt aezate
ntr-o ordine bine determinat. Se numete permutarea mulimii neordonate E, orice mulime ordonat de nelemente
din E.
Numrul permutrilor de nelemente din E estePn = n!,unde n! = ...321 n,n 1,0!=1(prin convenie).
Se numesc aranjamente de n elemente luate cte k, 0
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
26/47
26
Deci 263
55 ACP =120-10-30=80
Obs. Am folosit faptul c un factorial mai mare se poate exprima n funcie de un factorialmai mic
Exemplu: 65!4654321!6 sau 6!5!6 sau 654!3!6 etc.
2.
S se compare numerele 4515 CCa i
44
34
24
14
04 CCCCCb .
Rezolvare: tim formula de calcul pentru combinri:)!(!
!
knk
nC
k
n
i formula pentru
combinri complementare : knnk
n CC
5!41
5!4
!4!1
!5 15
1
5
1
5
CCC , 545
1
5
4
5
45
5
4
5
CCCCC
Avem de calculat 451
5 CCa rezult c 10a 4
4
3
4
2
4
1
4
0
4 CCCCCb , tim cnn
n
k
nnnn CCCCC 2......210
rezult c 1624
bb ; comparnd acu bobservm c ba .
3. S se rezolve ecuaia: 202 nA .
Rezolvare: tim formula de calcul pentru aranjamente:)!(
!
kn
nA
k
n , 0 k n,pe care o
aplicm n cazul nostru
!21!2
!2
! 22
n
nnnA
n
nA nn dup simplificare avem nnAn 1
2 ,
Nnn ,2
Ecuaia noastr 202 nA devine: 020201
2 nnnn ecuaie de gradul IIcare are soluiile 51n i 42 n ; cum Nnn ,2 , rezult c soluia ecuaiei este
n=5.
4. S se determine numrul tuturor submulimilor de 3 elemente ce se pot forma cuelemente din mulimea {1,2,3,4,5,6,7}.
Rezolvare: Cunoatem definiia combinrilor:se numesccombinri de n elemente luatecte k,0
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
27/47
27
Cum avem de calculat numrul total de submulimi avnd un numr par de elemente,adunm rezultatele obinute: 15+15+1=31.
6. Se consider 8 puncte, oricare 3 necoliniare. Cte drepte trec prin cel puin 2 punctedin cele 8 ?
Rezolvare : trebuie s aflm cte submulimi de cte 2 puncte se pot forma din cele 8existente, deci utilizm formula combinrilor
)!(!
!
knk
nCkn
, 0 k n, i obinem
2828 C drepte.
7. S se rezolve ecuaia:
210!6
!4
n
n.
Rezolvare : condiii: NnnNnn
Nnn
,6
,6
,4
Apoi folosim faptul c un factorial mai mare se poate exprima n funcie de un factorial
mai micDe exmplu
,1!2123!4123...321! nnnnnnnnnnnnn
etc. ; prin urmare 45!6!4 nnnn , nlocuind n ecuaie obinem:
210!6
!4
n
n
0190921045210!6
45!6 2
nnnn
n
nnn, ecuaie de
gradul II, care are soluiile19
1n
i10
2 n , dar Nnn ,6
, deci soluia ecuaieieste 191n .
8. S se determine cte numere de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulimii{1,2,3,4,5}.
Rezolvare: n numere conteaz i ordinea cifrelor, aste nseamn c vom formasubmulimi ordonate de cte 3 cifre, folosind elementele mulimii {1,2,3,4,5}; tim c :senumescaranjamente de n elemente luate cte k, 0
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
28/47
28
posibilecaznr
favorabilecaznrP
..
.. , nr. cazuri posibile = 6, nr. cazuri favorabile = 3, rezult c
2
1
6
3P .
10.S se calculeze 200620093
2009 CC .
Rezolvare: cunotem formula combinrilor complementare: knnk
n CC i observm c
2006
2009
3
2009
32009
2009
3
2009 CCCC , prin urmare 20062009
3
2009 CC =0
11.S se calculeze 419775
1977
5
1978 CCC .
Rezolvare: tim formula de descompunere a combinrilor: 111
k
n
k
n
k
n CCC ,
aplicnd-o n cazul nostru : 419775
1977
5
1978 CCC deci4
1977
5
1977
5
1978 CCC =0
12.
S se rezolve inecuaia 183 nAn , 3, nNn .
Rezolvare: tim)!(
!
kn
nA
k
n ,0 kn, aplicnd n cazul nostru, avem
18!3
12!318
!3
!
n
n
nnnnn
n
n; simplificm cu !3n
respectiv cu 1n , putem face asta deoarece 3, nNn . Rezult inecuaia 08282 2 nnnn Atam ecuaia de gradul II : 0822 nn care are soluiile 41 n i 22 n ; pentru aafla soluia inecuaiei, realizm tabelul de semn:
n -2 4
822 nn + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + + + + ++ +
Din tabel, rezult c 0822 nn , 3, nNn , pentru 4;2;3 Nn 4;3 n .
13.S se rezolve inecuaia 21515 xx CC , 2, xNx .
Rezolvare: condiii
Nxxx
x
,2152
15
Dx 15;...;4;3;2
2
1515
xx CC xxxxxxxx 1716!15!2!15!21 Simplificnd, inecuaia devine : xxxx 17161
22 33272 xxxx 27232 x 5,8x ;5,8x , prin urmare soluia problemei este
15;14;13;12;11;10;9;5,8 D .
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
29/47
29
Tem1. S se calculeze 35
5
74 ACP .
2. S se compare numerele 462
6 CCa i5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5 CCCCCCb .
3. S se rezolve ecuaia: 22 nCn .
4.
S se determine numrul tuturor submulimilor de 4 elemente ce se pot forma cuelemente din mulimea {1,2,3,4,5,6,7}.5. Se consider 11puncte, oricare 3 necoliniare. Cte drepte trec prin celpuin 2
puncte din cele 11 ?
6. S se rezolve ecuaia:
.6
!2
!
n
n
7. S se determine cte cuvinte din 4 litere distincte se pot forma cu un alfabet de 8litere.
8. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii {1,2,3,4,5},
acesta s verifice inegalitatea !32 nnn .
9.
S se calculeze 12001
2005
4
2005 CC .10.S se calculeze 51989
6
1989
6
1990 CCC .
11.S se rezolve inecuaia 23 nCn , 3, nNn .
12.S se rezolve inecuaia 21111 xx CC , 2, xNx .
13.Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele debacalaureat irezolvai-le. Ai ntmpinat greuti? Notai-le i discutai-le la ora de matematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
30/47
30
FIA NR. 9ELEMENTE DE GEOMETRIE- VECTORIpropuntor prof. Rodica TricBREVIAR TEORETIC
Regula paralelogramului
Regula triunghiului
Vectori coliniari
Fie u un vector nenul i v un vector oarecare.1. Dac u i v sunt coliniari, atunci exist un numr real , unic, astfel nct v = u .2.
Dac exist R astfel nct v = u , atunci u i v sunt coliniari.
Probleme rezolvate
1. Se consider triunghiul echilateralABC,Meste mijlocul laturiiBC, Oeste centrultriunghiului. S se determine areal , astfel nct AOaAM .
2. S se demonstreze c n hexagonul regulatABCDEF,are loc relaia ADAFAB 21 .
ADACABvu
vACuAB
;
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
31/47
31
3. Se consider patrulaterulABCDn care BDADCD .S se demonstreze c ABCDesteparalelogram.
4.Se consider rombulABCD. S se calculeze ODOCOBOA .
5. n dreptunghiulABCDs se calculeze CBAD .
ADAFAB
ADAFAB
DABAFAADAFAB
DACBEF
FADC
BADE
EFDEADAF
CBDCADAB
2
1
2
2
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
32/47
32
6. S se demonstreze c n hexagonul regulatABCDEF, COCDCB .Rezolvare: O este intersecia diagonalelor, respectiv centrul cercului circumscris hexagonuluiregulat;BCDO este paralelogram pentru c toate cele patru laturi au lungimi egale ( laturahexagonului este egal cu raza cercului circumscris); prin urmare, conform regulii
paralelogramului COCDCB .
7.Se considerpuncteleA,B,C,D nu toate coliniare. Dac 0 CBAD , s se demonstreze cpatrulaterulABCDeste paralelogram.Rezolvare: dacA,B,C,D sunt puncte, nu toate coliniare, atunci din 0 CBAD rezult cAD i CB sunt vectori opui ( au aceeai direcie- dreptele suport sunt paralele , au lungimiegale i sensuri opuse);deci ADBCiAD=BC, adicABCDeste paralelogram.
8. Dac 03 CBAB , s se calculeze raportulBC
AB.
Rezolvare: 03 CBAB adic CBAB 3 , dar CBBC deci BCAB 3
3
3
BC
BC
BC
AB
9. Fie triunghiul echilateralABC nscris ntr-un cerc de centru O ; s se calculezeBOBABC 3 .
Rezolvare:
Tem1.Gsii probleme de acelai tip n variante, rezolvai-le i discutai-le n clas cu profesorul icolegii dvs.
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
33/47
33
FIA NR. 10ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITIC IX-X-XIpropuntor prof. Rodica TricBREVIAR TEORETIC
1. Un reper cartezian XOY determin n plan o mprire a planului n patru cadrane:
I = {M(x,y)/ x>0, y>0}, II = {M(x,y)/ x0},III = {M(x,y)/ x
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
34/47
34
-aria triunghiuluiABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2
1unde
1
1
1
C
B
A
C
B
A
y
y
y
x
x
x
.
Probleme rezolvate
1. Fie punctele 2;3 A i 3;5B . S se determine numerele reale ai bastfel nct
jbiaAB .
Rezolvare: tim c dacM1 11;yx ,M2 22 ;yx sunt puncte nsistemul XOY atunci
121221 ; yyxxMM , deci 5;823;35 ABAB
Mai tim c dac yxv ; atunci jyixv , deci jiAB 58 , dar jbiaAB , rezult5,8 ba .
2. n reperul cartezian xOy se consider punctele 0;1A i 4;5B . S se determine
coordonatele vectorului ABOBOA .Rezolvare: tim c dacM1 11;yx ,M2 22 ;yx sunt puncte nsistemul XOY atunci
121221 ; yyxxMM , iar 0;0O ; prin urmare: 0;1OA , 4;5OB , 4;6AB
Mai tim c dac ,;,; 222111 yxvyxv atunci ;; 212121 yyxxvv deci
ABOBOA 440;651 , adic ABOBOA 0;2
3. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele 3;4A i 3;2B .Rezolvare: cunoatem c ecuaia dreptei care trece prin punctele M1(x1; y1) i M2(x2; y2) este
M1M2: 212112
1
12
1 ,, yyxxyy
yyxx
xx
, deci 33
3424:
yxAB
6
3
6
4:
yxAB
3646: yxAB , simplificm ecuaia cu 6 i 34: yxAB ,1: xyAB
sau 01: yxAB .
4. n reperul cartezian (O, i , j ) se consider vectorii jiu 25 i jiv 4 . S se
determine coordonatele vectorului vu 26 .Rezolvare: tim c dac ,;,; 222111 yxvyxv R , atunci
;;;; 212121111 yyxxvvyxv
i dac v ( x;y) v x i + y j ;
prin urmare vu 26 = (6 ji 25 ) + 2( ji 4 ) jijiji 1438281230 .
5. n reperul cartezian(O, i , j ) se consider vectorii jiu 25 i jiav 43 . S sedetermine numrul real apentru care cei doi vectori sunt coliniari.
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
35/47
35
Rezolvare: tim c 1v coliniar cu Rav 2 a.. 21 vav sau ay
y
x
x
2
1
2
1 cu alte cuvinte
cei doi vectori sunt coliniari dac coordonatele lor sunt proporionale.
Deci u i v sunt coliniari dac
4
2
3
5
a
a2620 ( am folosit : produsul
extremilor=produsul mezilor ); 13 a .
6. S se determine numrul real a pentru care dreptele 063 yx i 022 ayx suntparalele.
Rezolvare: cunoatem c2
1
2
1
2
121
c
c
b
b
a
add deci
a
1
2
3
ceea ce nseamn c
3
223 aa .
7. S se determine distana dintre punctele )5;4(A i )1;2( B .Rezolvare: cunoatem c dacM1 11;yx ,M2 22 ;yx distana dintre cele dou puncte este
2122
1221 );( yyxxMMd , deci 22
5142);( BAd
26);(3636);( BAdBAd .
8. S se determine ecuaia dreptei care trece prinA(-5;4) i este paralel cu dreapta de ecuaie2x-3y+6=0.
Rezolvare: tim c 2121 mmdd i 21 nn unde 1m i 2m sunt pantele celor dou
drepte. Mai tim cecuaia dreptei de pant m care trece prin punctulMo(xo; yo) este d: y-yo= m(x-xo), mR;ecuaia dreptei cerute este AdA xxmyyd : adic 54: xmyd d . Dreapta d este
paralel cu dreapta
0632: yxd 23
2:623: xydxyd
3
2 dm . Cum
dd mmdd
rezult c3
2dm , prin urmare ecuaia dreptei dcerute este 5
3
24: xyd
3
22
3
2:43
10
3
2: xydxyd sau 02232: yxd .
9. S se determine coordonatele punctului C simetricul punctuluiA(1;5) fa de punctulB(-3;0).
Rezolvare: punctul C este simetricul punctuluiA(1;5) fa de punctulB(-3;0), ceea censeamn cAB=BC,adic d(A;B)=d(B;C)i A,B,C coliniare,deci B este mijlocul segmentului AC .Cunoatem :
MM yxM ; mijlocul segmentului AB ,
;
2
,
2
;,; BAMBA
MBBAA
yyy
xxxyxByxA
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
36/47
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
37/47
37
Rezolvare: cunoatem : coordonatele punctului de intersecie al dreptelor0: 1111 cybxad ; 0: 2222 cybxad se determin ca soluie a sistemului
0
0
222
111
cybxa
cybxa.
Fie 0543:1 yxd i 032:2 yxd
Add 21 , coordonatele luiAse afl rezolvnd sistemul
0
0
222
111
cybxa
cybxaadic
2 83 4 5 0 3 5
3 4 5 0 3 4 5 0 3 4 5 0 5 5
2 3 0 3 6 9 0 10 4 0 24 2
510 5
33
15
2
5
x xx y x y x y
x y x y yyy
x
y
deci
5
2;
15
33A . Distana de la OlaAeste
59
45
225
1125
25
4
225
1089
5
2
15
33);(
22
22
OAOA yyxxAOd
13. S sedetermine numrul real mpentru care punctul )1;5(
A se afl pe dreapta02 myx .Rezolvare: un punct aparine unei drepte dac coordonatele sale verific ecuaia dreptei:
7070)1(25 mmm .
14. S se determine numrul real mpentru care punctele )7;(),5;2(),2;1( mCBA suntcoliniare.
Rezolvare: punctele A, B, C sunt coliniare dac se afl pe aceeai dreapt, deci ABC Folosind problema anterioar, rezult : coordonatele lui Ctrebuie s verifice ecuaia dreptei
AB
03:3
23
1:252
121::
yxAByxAByxAB
yyyy
xxxxAB
AB
A
AB
A
ABC 4037 mm .
15. S se determine ecuaia dreptei ce trece prin punctulA(2;-3) i are panta m=2.Rezolvare: ecuaia dreptei de pant mcare trece prin punctul Mo(xo; yo) este d: y-yo= m(x-
xo).
Deci AA xxmyyd : 223: xyd 0423: xyd 072: yxd
16. n reperul cartezian xOy se consider punctele );5(),1;2(),4;3( mCBA . S se determinenumrul real mpentru care triunghiulABCeste dreptunghic nA.
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
38/47
38
Rezolvare: conform teoremei lui Pitagora, dac ABC este dreptunghic nAatunci222
BCACAB
Adic 2
222
222
22 134835
mm
22
19464925 mm ;1051281216889 22 mmmmmm
3
52
6
1041046
mm
17. S se determine numerele reale a, bpentru care puncteleA(a;b) iB(3;b-2) aparin dreptei0252 yx .
Rezolvare: un punct aparine unei drepte dac coordonatele sale verific ecuaia dreptei,dA i dB
5
18
8
5
18
162
518
518
025
1852
0185
0252
022532
0252
b
a
b
a
b
a
b
ba
b
ba
18. S se calculeze aria triunghiuluiABCunde )1;5(),4;0(),2;3( CBA .Rezolvare:
aria triunghiuluiABC, unde CCBBAA yxCyxByxA ;,;,; , este = 2
1unde
1
1
1
C
B
A
C
B
A
y
y
y
x
x
x
n cazul nostru 453020100121
1
1
1
4
2
5
0
3
, aria = 21 =
245 .
19. n reperul cartezian xOy se consider punctulA(4;1) i puncteleB,Csimetricele punctuluiAfa de axa Ox respectiv Oy. S se calculeze distana dintre puncteleBi C.Rezolvare:Bsimetricul luiAfa de Ox, atunciB(4;-1); Ceste simetricul luiAfa de Oy,atunci C(-4;1)
172684641144);( 2222 BCBC yyxxCBd .
Tem
1.Fie punctele 4;5A i 3;2B . S se determine numerele reale ai bastfel nct
jbiaAB .
2.n reperul cartezian xOy se consider punctele 1;2A i 4;0B . S se determine
coordonatele vectorului ABOBOA 2 .3. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele 3;5 A i 4;3B .
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
39/47
39
4. n reperul cartezian (O, i , j ) se consider vectorii jiu 34 i jiv 25 . S se
determine coordonatele vectorului vu 43 .
5. n reperul cartezian(O, i , j ) se consider vectorii jiu 35 i jaiv )2(6 . S sedetermine numrul real apentru care cei doi vectori sunt coliniari.6. S se determine numrul real a pentru care dreptele 0732 yx i 0114 ayx sunt paralele.
7. S se determine distana dintre punctele )5;6( A i )1;2( B .8. S se determine ecuaia dreptei care trece prinA(-4;2) i esteparalel cu dreapta de ecuaie-3x+2y+6=0.
9. S se determine coordonatele punctului C simetricul punctuluiA(-2;4) fa de punctulB(2;3).10. n sistemul cartezian xOy se consider puncteleA(-1;2),B(-5;-4), C(0;6). Se cer:a) ecuaia medianei duse din C;
b) perimetrul triunghiuluiABC.
11. S se determine punctulDastfel nct patrulaterulABCDs fie paralelogram. Se cunoscA(-2;0),B(4;3) i C(6;1).12. S se calculeze distana de laB(2;0) la punctul de intersecie al dreptelor 0352 yx i 034 yx .13. S se determine numrul real mpentru care punctul )2;4( A se afl pe dreapta
023 myx .
14. S se determine numrul real mpentru care punctele )4;3(),1;2(),2;( CBmA suntcoliniare.
15. S se determine ecuaia dreptei ce trece prin punctulA(-4;1) i are panta m=-3.16. n reperul cartezian xOy se consider punctele )0;5(),;3(),4;1( CmBA . S se determine
numrul real mpentru care triunghiulABCeste dreptunghic nA.17. S se determine numerele reale a, bpentru care puncteleA(a;b) iB(a+1;-2) aparindreptei 023 yx .
18. S se calculeze aria triunghiuluiABCunde )1;3(),4;5(),2;0( CBA .19. n reperul cartezian xOy se consider punctulA(-3;2) i puncteleB,Csimetricele punctului
Afa de axa Ox respectiv Oy. S se calculeze distana dintre puncteleBi C.20. Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele de
bacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti? Notai-le i discutai-le la ora dematematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
40/47
40
FIA NR. 11ELEMENTE DE TRIGONOMETRIEpropuntor prof. Rodica TricBREVIAR TEORETIC
-relaia dintre msura n radiani, t, i msura n grade a unghiurior, , este
180
t.
-dac este msura n grade a unui unghi atunci2 2
sin cos 1, R - identitatea fundamental a trigonometriei sin)180sin( , cos)180cos(
sin 90 cos , cos 90 sin
cos
sintg ,
sin
cosctg
0=0rad
30=6
rad
45=4
rad
60=3
rad
90=2
rad
180= rad
sin 0
2
1
2
2
2
3
1 0
cos 1
2
3
2
2
2
1
0 -1
tg 0
3
3
1 3 / 0
ctg / 3 1
3
3
0 /
Relaii metrice n plan:Fie ABC cu laturileBC=a, AC=b, AB=ci nlimea ah cobort din vrful A pe laturaa, A, B, Cmsurile unghiurilor triunghiului, R raza cercului circumscris triunghiului, r
raza cercului nscris triunghiului.
-teorema sinusurilor: RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
-teorema cosinusului: Abccba cos2222 -aria triunghiului:
))()(( cpbpappS unde2
cbap ;
rpR
abcCabahS a
42
sin
2
-dac ABC este dreptunghic cuA=90, b,c- catete, aipotenuz
Ca
bB cossin , C
a
cB sincos , ctgC
c
btgB , tgC
b
cctgB
22
bcahS a ,
a
bcha ,
222acb (teorema lui Pitagora)
-dac ABC este echilateral a=b=c,p=3a,2
3aha ,4
32
aS
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
41/47
41
Exerciii rezolvate
1. Se consider triunghiulABC cu 5, 2 2, 3AB AC BC . S se calculeze cosB .Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222 care mai poate fi scris i
2 2 2 2 cosb a c ac B ; noi cunoatem 5 , 2 2 , 3AB c AC b BC a
deci 2
2 2 26 132 2 3 5 2 3 5 cos 8 9 25 30cos cos cos30 15
B B B B
2. S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 3, 5, 30AB AC m A
Rezolvare: cunoatem c aria triunghiului este rpR
abcCabahS a
42
sin
2, n problema
noastr alegemsin sin sin
2 2 2
ac B ab C bc AS . tim c
3 , 5 , 30AB c AC b m A
prin urmare
1153 5 sin 30 152
2 2 4S
.
3. S se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, tiind c
5, 60AC m B .
Rezolvare: cunoatem teorema sinusurilor: RC
cB
bA
a 2sinsinsin
, n problema noastr
putem folosi
5 5 5 5 5 32 2
sin sin 60 2 sin 60 33 32
2
bR R R R R R
B
.
4. Fie triunghiul dreptunghicABC iDmijlocul cateteiAC. S se calculeze lungimeaipotenuzeiBC, tiind c 6, 5AD AB .
Rezolvare: cunoatem 222 acb (teorema lui Pitagora), n problema noastr2 2 6 12AC AD AC AC
iAB=5
5. Se consider triunghiulABC cu aria egal cu 7, cu 5AC i 6BC . S secalculeze sin C.
Rezolvare: cunoatem c aria triunghiului estesin sin sin
2 2 2
ac B ab C bc AS
n cazul nostru, tim 5AC b i 6BC a , decisin
2
ab CS
5 6 sin 2 7 77 sin sin
2 5 6 15
CC C
6.
S se calculeze perimetrul triunghiuluiABC,tiind c 4, 7, 60AB AC m A
.
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
42/47
42
Rezolvare: folosim teorema cosinusului: Abccba cos2222
2 2 2
2 2 2
4, 7, 60 2 cos
116 49 56cos 60 65 56 37 37
2
11 37ABC ABC
c AB b AC m A BC AB AC AB AC A
BC BC BC BC
Perimetrul AB AC BC Perimetrul
7. S se calculeze lungimea nlimii din A n triunghiuluiABC,tiind c12, 5, 13AB AC BC .
Rezolvare: 2 2 2144, 25, 169AB AC BC . Observm c 2 2 2BC AC AB , atunciconform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiuluiABCeste dreptunghic nA. Prin urmare
, cuma
bcha
5 12 60
13 13a a a
AC ABh h h
BC
8.
S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 10, 13, 150AB BC m B .
Rezolvare: cunoatem c aria triunghiului estesin
2
ac BS , 13, 10a BC c AB
1
sin sin150 sin 180 30 sin 302
B , rezult c
113 10
13 5 652
2 2 2S
.
9. S se demonstreze c n orice triunghi dreptunghicABCde arie Si ipotenuz delungime aeste adevrat identitatea 2 cos cos 2a B C S .
Rezolvare: -
dac ABC este dreptunghic cuA=
90,b,c- catete, a
ipotenuz
Ca
bB cossin , C
a
cB sincos i
2
bcS . nlocuim n identitate i obinem:
2 22
c b b ca cb bc A
a a
.
10.S se calculeze sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 .Rezolvare: tim c sin 0 0 deci sin 15 sin 14 ... sin 14 sin 15 0
11.
S se calculeze cos 70 cos110
.Rezolvare: cos110 cos 180 70 cos 70 , decicos 70 cos110 cos 70 cos 70 0
12.S se calculeze sin 45 cos60 sin30 .
Rezolvare:2 1 1 2
sin 45 cos60 sin302 2 2 2
13.S se calculeze 2 2sin 75 sin 15 .
Rezolvare: sin 90 cos
, deci sin15 sin 90 75 cos 75
,
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
43/47
43
2 2 2 2sin 75 sin 15 sin 75 cos 75 1 ( conform identitii fundamentale atrigonometriei).
14.S se calculeze cos1 cos11 ... cos169 cos179 .
Rezolvare: tim c cos)180cos( , adic cos 180 cos 0
cos1 cos11 ... cos169 cos179 cos1 cos179 cos11 cos169 .... 0
15.S se calculeze sinx , tiind c4
cos5
x i 0 ; 90x .
Rezolvare: tim identitii fundamentale a trigonometriei2 2sin cos 1,x x x R , 2 2
16 16 9 3sin 1 sin 1 sin
25 25 25 5x x x
Cum 0 ; 90x
, rezult c
3
sin 5x (pozitiv).
16.S se calculeze aria triunghiului echilateralABCtiind c are lungimea nlimii egalcu 5 3 .
Rezolvare: timc2
3aha i
4
32
aS , deci
35 3 10
2
aa i
210 3 100 3
25 34 4
S
17.
S se calculeze lungimea laturiiABa triunghiuluiABCtiind c 3, 45 , 60BC m BCA m BAC
Rezolvare: putem folosi teorema sinusurilor:sin sin
a c
A C
unde 3, 45 , 60a BC C m BCA A m BAC , deci2
33 3 2 22 2
sin 60 sin 45 23 3
2
cc
18.TriunghiulABCeste dreptunghic nB, iar raza cercului circumscris triunghiului esteR=5. S se calculeze lungimea laturiiAC.
Rezolvare: triunghiulABCeste dreptunghic nBdeciACeste ipotenuza, raza cerculuicircumscris este jumtate din ipotenuz, rezult c 2 2 5 10AC R .
19.S se determine sin BCD n hexagonul regulatABCDEF.Rezolvare: dac Oeste centrul cercului circumscris hexagonului, respectiv punctul deintersecie al diagonalelor, atunci OBCeste echilateral, 60m OCB , analog OCD-
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
44/47
44
echilateral i 60m OCD rezult c 120m BCD i
3sin sin120 sin 180 60 sin 602
BCD
20.S se calculeze
lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54tg tg tg tg tg .
Rezolvare: 45 1 lg 45 lg1 0tg tg rezult
lg 44 lg 45 lg 46 lg 47 ...lg 54 0tg tg tg tg tg
21.S se calculeze cos10 cos20 cos11 cos19 ... cos20 cos10 .Rezolvare: printre paranteze se afl i cos15 cos15 0 rezult c
cos10 cos 20 cos11 cos19 ... cos 20 cos10 0 22.tiind c sin 40 cos40 a , s se calculeze sin140 sin140 a .
Rezolvare: sin140 sin 180 40 sin 40 ; cos140 cos 180 40 cos 40 sin140 sin140 sin 40 cos 40 0a a a a
Tem
1. Se consider triunghiulABC cu 5, 5 2, 4AB AC BC . S se calculezecosC.
2. S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 3, 5, 60BC AC m C .3. S se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, tiind c
4, 45AB m C .4. Fie triunghiul dreptunghicABC iDmijlocul cateteiAB. S se calculeze
lungimea ipotenuzeiBC, tiind c 3, 8AD AC .5. Se consider triunghiulABC cu aria egal cu 9, cu 5AB i 6BC . S se
calculeze sinB .
6. S se calculeze perimetrul triunghiuluiABC,tiind c
5, 8, 60AB BC m B .7. S se calculeze lungimea nlimii din A n triunghiuluiABC,tiind c
8, 6, 10AB AC BC .8. S se calculeze aria triunghiuluiABCtiind c 10 2, 12, 135AB BC m B .9. S se demonstreze c n orice triunghi dreptunghicABCde arie Si ipotenuz de
lungime aeste
adevrat identitatea2
a
Sh tgB tgC
a .
10.S se calculeze sin 11 sin 10 ... sin 10 sin 11 .11.S se calculeze cos50 cos130 .12.S se calculeze cos 45 sin 60 30tg .13.
S se calculeze 2 2sin 65 sin 25 .
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
45/47
45
14.S se calculeze cos2 cos12 ... cos168 cos178 .
15.S se calculeze cosx , tiind c4
sin5
x i 90 ;180x .
16.S se calculeze aria triunghiului echilateralABCtiind c are lungimea nlimii
egal cu7 3 .
17.
S se calculeze lungimea laturiiABa triunghiuluiABCtiind c
6, 60 , 45BC m BCA m BAC 18.TriunghiulABCeste dreptunghic n C, iar raza cercului circumscris triunghiului
esteR=7. S se calculeze lungimea laturiiAB.19.S se determine sin CDE n hexagonul regulatABCDEF.
20.S se calculeze ln 40 ln 41 ln 42 ln 43 ...ln 60tg tg tg tg tg .21.S se calculeze cos5 cos15 cos6 cos14 ... cos15 cos5 .22.
tiind csin 60 cos60 a
, s se calculeze
sin120 sin120 a .
23.Gsii probleme asemntoare sau care folosesc aceleai noiuni n variantele debacalaureat i rezolvai-le. Ai ntmpinat greuti? Notai-le i discutai-le la ora dematematic!
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
46/47
46
BIBLIOGR FIE
Alexandru Blaga, Gheorghe Miclu, Mircea Farca, Ovidiu T. Pop- Matematic-clasa a X-a ( TC + CD)Editura DACIA, 2005;
Marius Burtea, Georgeta Burtea Matematic manual clasa a IX-a (TC + CD) Editura CARMINIS, 2004;
Mircea Ganga Matematic manual clasa a X-a ( algebr M1) EdituraMATHPRESS, 2001
C. Nstsescu, M. Brandiburu, C. Ni, D. Joi Exerciii i probleme de algebr-pentru clasele IX-XIIEditura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1981
Variantele pentru examenul de Bacalaureat, propuse de SNEE, 2007, 2008
Grup de autori Ghid de pregtire pentru examenul de bacalaureat la matematic2007Editura SIGMA, 2006
-
8/10/2019 culegere-fise-rec-bac.pdf
47/47