Física para Ciencias: Principio de Arquímedes, Ecuaciones de Continuidad y Bernoulli.

2015

Presión de un fluido

𝑭=𝑷𝑨

𝑷=𝝆 𝒉𝒈Presión depende de la profundidad

Fuerza es proporcional al área donde se aplica la presión

Flotabilidad y principio de Arquímedes

Empuje o fuerza de flotación es la fuerza que ejerce el fluido sobre el objeto hacia arriba

Su valor corresponde al peso del volumen del fluido desplazado por el objeto.

Flotabilidad y principio de Arquímedes

Flotabilidad y principio de Arquímedes

¿Por qué flota un objeto? Consideremos la fuerza neta actuando sobre un cilindro sumergido en un fluido de densidad .

Las fuerzas y se deben a la presión del agua. La fuerza neta es la suma de ambas fuerzas:

 

𝑭𝒏=𝑭𝟐−𝑭 𝟏

¿𝝆 𝒇 𝒈 (𝒉𝟐−𝒉𝟏 ) 𝑨¿𝝆 𝒇 𝒈𝑽

La fuerza de flotación sobre un cuerpo sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el objeto.

Arquímedes (287-212 aC)

Nota: si el objeto está parcialmente sumergido, lo que importa no es el volumen total del objeto sino el volumen sumergido.

Densidad del fluido

Volumen del objeto

Flotabilidad y principio de Arquímedes

𝑭 𝑩=𝝆 𝒇 𝒈𝑽

Flotabilidad: Fuerza Neta

∑ 𝑭=𝑭 𝑩−𝑭𝒈¿𝝆 𝒇 𝒈𝑽 𝒔−𝝆𝒐𝒈𝑽 𝒐

(𝝆 𝒇 −𝝆𝒐)𝑽 𝒐𝒈=𝑴𝒂Si el cuerpo está totalmente sumergido y no ha llegado a su posición de equilibrio

Con siendo el volumen sumergido, siendo el volumen del objeto, la densidad del fluido y la densidad del objeto.

Siel objeto tiene positiva (subirá).

Siel objeto tiene negativa (bajará).

Flotabilidad: Fuerza Neta

∑ 𝑭=𝑭 𝑩−𝑭𝒈¿𝝆 𝒇 𝒈𝑽 𝒔−𝝆𝒐𝒈𝑽 𝒐

Si el cuerpo NO está totalmente sumergido

𝑽 𝒔 ≠𝑽 𝒐

𝝆 𝒇𝑽 𝒔=𝝆𝒐𝑽 𝒐

Como el cuerpo flota

Ejemplo: cuerpo sumergidoSabiendo que la densidad del agua de mar es de determine cual debería ser el volumen mínimo de un pez que tiene una masa de .

Ejemplo: cuerpo semi-sumergidoDeterminar la fracción del volumen de un iceberg que se encuentra sumergida bajo el agua. Un iceberg tiene una densidad de y la densidad del mar es de

Fluidos en movimientoHasta ahora hemos considerado fluidos en reposo.

Ahora estudiamos fluidos en movimiento: hidrodinámica.

Hay dos tipos de flujo:flujo laminarflujo turbulento

Flujo LaminarFlujo Laminar: es el flujo uniforme, donde capas vecinas del fluido se deslizan entre sí suavemente. Todas las partículas de una capa siguen la misma trayectoria (línea de flujo). Las trayectorias de dos capas no se cruzan.

Flujo TurbulentoFlujo Turbulento: es el flujo donde no existen capas definidas y el material se mezcla continuamente. Las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos.

Fluido Ideal Fluido no viscoso: sin roce.

Flujo estable: laminar (cada punto tiene una velocidad definida).

Fluido incompresible: densidad constante.

Flujo irrotacional.

La Ecuación de Continuidad

Consideramos el flujo de un fluido por un tubo de diámetro variable: la cantidad de masa que entra en el tubo en un intervalo es:

La cantidad de masa que sale del tubo en un intervalo es:

Si el fluido es incompresible, , entonces,

𝒗𝟏

𝑨𝟏

∆ 𝒍𝟏

𝒗𝟐

𝑨𝟐

∆ 𝒍𝟐

𝒎𝟏=𝝆 𝑨𝟏∆ 𝒍𝟏=𝝆 𝑨𝟏𝒗𝟏∆ 𝒕

𝒎𝟐=𝝆 𝑨𝟐∆ 𝒍𝟐=𝝆 𝑨𝟐𝒗𝟐∆ 𝒕

𝑨𝟏𝒗𝟏=𝑨𝟐𝒗𝟐

Ecuación de Continuidad

Ejercicio: ContinuidadEn los seres humanos, la sangre fluye del corazón a la aorta que tiene un radio de . La sangre llega finalmente a miríadas de pequeños capilares que tienen radio de .

Si la velocidad de la sangre en la aorta es de y en los capilares es de, estime cuántos capilares hay en el cuerpo.

Ecuación de Bernoulli

1l 1l2l 2l

2y2A 2P

Flujo Laminar, fluido incompresible.

El fluido pasa por un tubo de sección transversal no uniforme, que varía de altura.

Consideramos la cantidad de fluido en el elemento de volumen (1) y calculamos el trabajo efectuado sobre el fluidopara que éste se mueva desde la posición (1) a la posición (2).

El fluido del punto (1) se mueve una distancia y empuja el fluido del punto (2)una distancia .

El fluido de la izquierda empuja y efectúa un trabajo de

En el punto (2),

Éste último es negativo porque estamos considerando el trabajo efectuado sobre la sección (1) de fluido.

1l 1l2l 2l

2y2A 2P

Flujo Laminar, fluido incompresible.

Ecuación de Bernoulli

𝑾 𝟏=𝑭𝟏∆ 𝒍𝟏=𝑷𝟏 𝑨𝟏∆ 𝒍𝟏𝑾 𝟐=−𝑭𝟐∆ 𝒍𝟐=−𝑷𝟐𝑨𝟐∆ 𝒍𝟐

También la fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre el fluido:

El efecto neto del proceso es mover una masa de volumen desde el punto (1) hasta el punto (2). El trabajo efectuado por la gravedad es:

1l 1l2l 2l

2y2A 2P

Flujo Laminar, fluido incompresible.

Ecuación de Bernoulli

𝑾 𝒈=−𝒎𝒈 (𝒚𝟐− 𝒚𝟏)

El trabajo neto es entonces,

De acuerdo con el teorema de trabajo-energía, esto es igual al cambio de su Energía Cinética:

Sustituyendo

Ecuación de Bernoulli

𝑾=𝑾 𝟏+𝑾 𝟐+𝑾 𝒈¿𝑷 𝟏𝑨𝟏∆ 𝒍𝟏−𝑷𝟐 𝑨𝟐∆ 𝒍𝟐−𝒎𝒈𝒚𝟐+𝒎𝒈𝒚𝟏

𝟏𝟐𝒎𝒗𝟐

𝟐−𝟏𝟐𝒎𝒗𝟏𝟐=𝑷𝟏𝑨𝟏∆ 𝒍𝟏−𝑷𝟐𝑨𝟐∆ 𝒍𝟐−𝒎𝒈𝒚𝟐+𝒎𝒈𝒚𝟏

 

𝟏𝟐 𝝆 𝒗𝟐

𝟐−𝟏𝟐 𝝆 𝒗𝟏𝟐=𝑷𝟏−𝑷𝟐−𝝆 𝒈𝒚𝟐+𝝆𝒈 𝒚𝟏

Finalmente, reordenando,

Ésta es la ecuación de Bernoulli y es una expresión de conservación de energía:

Observaciones:

Si no hay flujo

𝑷 𝟏+𝟏𝟐 𝝆 𝒗𝟏

𝟐+𝝆 𝒈𝒚𝟏=𝑷𝟐+𝟏𝟐 𝝆𝒗𝟏

𝟐+𝝆 𝒈𝒚𝟐

𝑷+𝟏𝟐 𝝆𝒗❑

𝟐+𝝆𝒈𝒚=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

∆ 𝑷=−𝝆𝒈∆ 𝒚=𝝆𝒈∆𝒉

Ecuación de Bernoulli

Ecuación de BernoulliEl avión

La trayectoria curva

El atomizador

Ejercicio: Bernoulli¿Cuál es la fuerza de levantamiento sobre el ala de un avión de área si el aire pasa sobre las superficies superior e inferior a y respectivamente? La densidad del aire es .

ResumenFlotabilidad y Principio de Arquímedes

Fluidos en movimiento (hidrodinámica)

Ecuación de Continuidad

Ecuación de Bernoulli𝑷+𝟏𝟐 𝝆𝒗❑

𝟐+𝝆𝒈𝒚=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

𝑨𝟏𝒗𝟏=𝑨𝟐𝒗𝟐

𝑭 𝑩=𝝆 𝒇 𝒈𝑽