CUANTILES
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CUANTILES Constituyen una generalización del concepto de mediana. Así como la mediana divide a la serie estudiada en dos partes con el mismo número de elementos cada una, si la división se hace en cuatro partes, o en diez partes, o en cien partes, llegamos al concepto de cuantil. Hay, principalmente, tres cuantiles importantes: cuartiles, deciles y percentiles. CUARTILES Son tres valores con las siguientes características: Q 1 : Primer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual queda 1/4 de los elementos de la serie estudiada. Q 3 : Tercer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual quedan los 3/4 de los elementos que constituyen la serie. Evidentemente el segundo cuartil coincide con la mediana. Como puede comprobarse, no tendría ninguna utilidad definir el cuarto cuartil. El cálculo de los cuartiles se realiza por el mismo procedimiento que el cálculo de la mediana, pues hay únicamente una diferencia cuantitativa entre ambas medidas, pero tienen significados paralelos. Así, el primer cuartil se hallará aplicando la siguiente fórmula: y el tercer cuartil: donde: l: límite inferior de la clase a la que pertenece el cuartil, que es la clase que deja por debajo de ella el 25% de las observaciones (o el 75% en el caso de Q 3 ) I: amplitud del intervalo. f: frecuencia de la clase cuartílica. N: total de elementos de la muestra. f i : frecuencia acumulada de todos los valores inferiores a la clase que contiene el cuartil.
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CUANTILES
Constituyen una generalización del concepto de mediana. Así como la mediana divide a la serie estudiada en dos partes con el mismo número de elementos cada una, si la división se hace en cuatro partes, o en diez partes, o en cien partes, llegamos al concepto de cuantil.
Hay, principalmente, tres cuantiles importantes: cuartiles, deciles y percentiles.
CUARTILESSon tres valores con las siguientes características:Q1: Primer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual queda 1/4 de los elementos de la serie estudiada.Q3: Tercer cuartil, que es el valor de la variable por debajo del cual quedan los 3/4 de los elementos que constituyen la serie.Evidentemente el segundo cuartil coincide con la mediana. Como puede comprobarse, no tendría ninguna utilidad definir el cuarto cuartil. El cálculo de los cuartiles se realiza por el mismo procedimiento que el cálculo de la mediana, pues hay únicamente una diferencia cuantitativa entre ambas medidas, pero tienen significados paralelos.
Así, el primer cuartil se hallará aplicando la siguiente fórmula:
y el tercer cuartil:
donde:l: límite inferior de la clase a la que pertenece el cuartil, que es la clase que deja por debajo de ella el 25% de las observaciones (o el 75% en el caso de Q3)I: amplitud del intervalo.f: frecuencia de la clase cuartílica.N: total de elementos de la muestra.fi: frecuencia acumulada de todos los valores inferiores a la clase que contiene el cuartil.
DECILESEs la segunda clase de cuantiles. Si se divide toda la serie en diez partes iguales tendremos los deciles.
D1, el decil 1, deja el 10% de los valores de la serie por debajo de él.Análogamente ocurre con los deciles D2, D3,.......D9. El decil 8, por ejemplo, deja el 80% de la masa de datos investigada por debajo de él.
Las fórmulas para calcularlos son también análogas a las de la mediana.
Por ejemplo:
PERCENTILESHay 99 percentiles que se denotan: P1, P2, P3,.......,P98, P99. Así P90, por ejemplo, deja por debajo de él el 90% de los elementos.
La fórmula para realizar el cálculo del percentil 45, por ejemplo sería:
Ejercicio: De la siguiente serie hallar el primero y el tercer cuartil, el segundo y el séptimo decil y los percentiles 8 y 73.
Resp: Q1 = 34,82; Q3 = 47,36; D2 = 32,85; D7 = 45,83; P8 = 26,94; P73 = 46,75.
Obsérvese que entre los 6 cuantiles calculados, aparecen valores muy parecidos. En particular se dan las siguientes coincidencias:
El segundo cuartil equivale a la mediana El quinto decil y el quincuagésimo percentil se corresponden también con la mediana. Los percentiles P25 y P75 se corresponden con el primer y tercer cuartil, respectivamente.
MEDIA GEOMÉTRICALa media geométrica (MG) de un conjunto de números
estrictamente positivos (X1, X2,…,XN) es la raíz N-ésima del
producto de los N elementos.
Todos los elementos del conjunto tienen que ser mayores
que cero. Si algún elemento fuese cero (X i=0), entonces la MG
sería 0 aunque todos los demás valores estuviesen alejados del
cero.
La media geométrica es útil para calcular medias de
porcentajes, tantos por uno, puntuaciones o índices. Tiene la
ventaja de que no
es tan sensible
como la media a
los valores
extremos.
EjemploEn una empresa quieren saber la proporción media de
mujeres en los diferentes departamentos. Para ello, se recoge el
porcentaje de mujeres en los cinco principales departamentos.
Como es la media de porcentajes, calculamos la media
geométrica que es más representativa.
MEDIA ARMÓNICALa media armónica (H) de un conjunto de elementos no
nulos (X1, X2,…,XN) es el recíproco de la suma de los recíprocos
(donde 1/Xi es el recíproco de Xi)) multiplicado por el número de
elementos del conjunto (N).
La media armónica es la recíproca de la media aritmética.
Los elementos del conjunto deben ser necesariamente no
nulos. Esta media es poco sensible a los valores grandes, pero
muy sensible a los valores próximos a cero, ya que los
recíprocos 1/Xi son muy altos.
EjemploUn tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en mal estado que
no permitían correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los
siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los terceros a
100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Para calcular el promedio de
velocidades, calculamos la media armónica.
La media armónica es de H=52,61km/h.
