Cuadrice - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/cuadrice.pdf · cu coe cient˘i numere reale...

Curs 13: Cuadrice

U.T. Cluj-Napoca

Definitie: S.n.

suprafata algebrica ın spatiu multimeapunctelor din spatiu de ecuatie implicita de forma

(S) : F (x , y , z) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x , y si z . Gradulpolinomului s.n. gradul suprafetei.

Exemple:a). x + y − z + 5 = 0 plan;b). x3 + y4 − z + 2xyz − 5 = 0;

Definitie: S.n. cuadrica o suprafata algebrica de gradul doi.Ecuatia generala a unei cuadrice este:

a11x2+a22y

2+a33z2+ 2a12xy+2a13xz+2a23yz+ b1x+b2y+

+b3z + c = 0

cu coeficienti numere reale, iar aij nu pot fi toti nuli.

Definitie: S.n. suprafata algebrica ın spatiu

multimeapunctelor din spatiu de ecuatie implicita de forma

(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0


Definitie: S.n. suprafata algebrica ın spatiu multimeapunctelor din spatiu

de ecuatie implicita de forma

(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0


Definitie: S.n. suprafata algebrica ın spatiu multimeapunctelor din spatiu de ecuatie implicita de forma

(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0

ın care functia

F este polinom ın variabilele x , y si z . Gradulpolinomului s.n. gradul suprafetei.



a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x , y si z .

Gradulpolinomului s.n. gradul suprafetei.



a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x , y si z . Gradulpolinomului s.n.

gradul suprafetei.



a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0


Exemple:

a). x + y − z + 5 = 0 plan;b). x3 + y4 − z + 2xyz − 5 = 0;


a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0


Exemple:a). x + y − z + 5 = 0 plan;

b). x3 + y4 − z + 2xyz − 5 = 0;


a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0



Definitie: S.n. cuadrica

o suprafata algebrica de gradul doi.Ecuatia generala a unei cuadrice este:

a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0



Definitie: S.n. cuadrica o suprafata algebrica de gradul doi.

Ecuatia generala a unei cuadrice este:

a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0



Definitie: S.n. cuadrica o suprafata algebrica de gradul doi.Ecuatia generala

a unei cuadrice este:

a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y

2+a33z2+

2a12xy+2a13xz+2a23yz+ b1x+b2y+

+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y

2+a33z2+ 2a12xy+2a13xz+2a23yz+

b1x+b2y+

+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0



(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0

cu coeficienti numere reale,

iar aij nu pot fi toti nuli.


(S) : F (x , y , z) = 0




a11x2+a22y


+b3z + c = 0


Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 + (z − 5)2 = 9

sfera;b). x2 − y2 + z2 = 0 con cu varf ın origine;

c). x2

4 + y2

1 − z2

9 − 1 = 0 hiperboloid cu o panza.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 + (z − 5)2 = 9 sfera;

b). x2 − y2 + z2 = 0 con cu varf ın origine;

c). x2

4 + y2

1 − z2


Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 + (z − 5)2 = 9 sfera;b). x2 − y2 + z2 = 0

con cu varf ın origine;

c). x2

4 + y2

1 − z2


Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 + (z − 5)2 = 9 sfera;b). x2 − y2 + z2 = 0 con cu varf ın origine;

c). x2

4 + y2

1 − z2



c). x2

4 + y2

1 − z2

9 − 1 = 0

hiperboloid cu o panza.


c). x2

4 + y2

1 − z2


Daca sistemul de coordonate Oxyz

este ales convenabil, ecuatiaoricarei cuadrice se reduce la o forma simpla numita formacanonica. Astfel cuadricele nedegenerate (date prin ecuatii reduse)sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxyz este ales convenabil,

ecuatiaoricarei cuadrice se reduce la o forma simpla numita formacanonica. Astfel cuadricele nedegenerate (date prin ecuatii reduse)sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2


Daca sistemul de coordonate Oxyz este ales convenabil, ecuatiaoricarei

cuadrice se reduce la o forma simpla numita formacanonica. Astfel cuadricele nedegenerate (date prin ecuatii reduse)sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2


Daca sistemul de coordonate Oxyz este ales convenabil, ecuatiaoricarei cuadrice se reduce la o

forma simpla numita formacanonica. Astfel cuadricele nedegenerate (date prin ecuatii reduse)sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2


Daca sistemul de coordonate Oxyz este ales convenabil, ecuatiaoricarei cuadrice se reduce la o forma simpla numita formacanonica.

Astfel cuadricele nedegenerate (date prin ecuatii reduse)sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2


Daca sistemul de coordonate Oxyz este ales convenabil, ecuatiaoricarei cuadrice se reduce la o forma simpla numita formacanonica. Astfel cuadricele nedegenerate

(date prin ecuatii reduse)sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2


Daca sistemul de coordonate Oxyz este ales convenabil, ecuatiaoricarei cuadrice se reduce la o forma simpla numita formacanonica. Astfel cuadricele nedegenerate (date prin ecuatii reduse)

sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2


Daca sistemul de coordonate Oxyz este ales convenabil, ecuatiaoricarei cuadrice se reduce la o forma simpla numita formacanonica. Astfel cuadricele nedegenerate (date prin ecuatii reduse)sunt:

1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2



1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0

ecuatia implicita;


1. Elipsoidul (E):

(E ) :x2

a2+

y2

b2+

z2


Observatii:

a) In cazul particular b = c

elipsoidul s.n. elipsoid de rotatie (deex. rotim o elipsa desenata ın sistemul xOz ın jurul axei Oz).Analog pt a = b sau a = c .

b) In cazul particular a = b = c = R elipsoidul devine sfera(S) : x2 + y2 + z2 = R2.

c) Daca centrul sferei este M0(x0, y0, z0) iar raza R, ecuatiasferei este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:

a) In cazul particular b = c elipsoidul s.n. elipsoid de rotatie

(deex. rotim o elipsa desenata ın sistemul xOz ın jurul axei Oz).Analog pt a = b sau a = c .



(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:

a) In cazul particular b = c elipsoidul s.n. elipsoid de rotatie (deex. rotim o elipsa desenata ın sistemul xOz

ın jurul axei Oz).Analog pt a = b sau a = c .



(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:

a) In cazul particular b = c elipsoidul s.n. elipsoid de rotatie (deex. rotim o elipsa desenata ın sistemul xOz ın jurul axei Oz).

Analog pt a = b sau a = c .



(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:

a) In cazul particular b = c elipsoidul s.n. elipsoid de rotatie (deex. rotim o elipsa desenata ın sistemul xOz ın jurul axei Oz).Analog pt a = b sau a = c .



(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:


b) In cazul particular a = b = c = R

elipsoidul devine sfera(S) : x2 + y2 + z2 = R2.


(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:


b) In cazul particular a = b = c = R elipsoidul devine sfera

(S) : x2 + y2 + z2 = R2.


(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:




(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:



c) Daca centrul sferei

este M0(x0, y0, z0) iar raza R, ecuatiasferei este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:



c) Daca centrul sferei este M0(x0, y0, z0)

iar raza R, ecuatiasferei este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:



c) Daca centrul sferei este M0(x0, y0, z0) iar raza R, ecuatiasferei

este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Observatii:




(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

2. Hiperboloidul cu o panza (H1P):

(H1P) :x2

a2+

y2

b2− z2

c2− 1 = 0 (de-a lungul axei Oz);

Observatii:

a) Daca sectionam( H1P) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse;

b) Daca sectionam (H1P) cu plane perpendiculare pe axa Oxsau Oy obtinem hiperbole sau drepte;

c) (H1P) desenat de-a lungul axei Oy are ecuatiax2

a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;

cel desenat de-a lungul axei Ox are ecuatia

− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:

a) Daca sectionam( H1P)

cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse;



a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:

a) Daca sectionam( H1P) cu plane perpendiculare

pe axa Ozobtinem elipse;



a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:




a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H1P)

cu plane perpendiculare pe axa Oxsau Oy obtinem hiperbole sau drepte;


a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H1P) cu plane perpendiculare pe axa Ox

sau Oy obtinem hiperbole sau drepte;


a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:




a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:



c) (H1P) desenat

de-a lungul axei Oy are ecuatiax2

a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:



c) (H1P) desenat de-a lungul axei Oy

are ecuatiax2

a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:



c) (H1P) desenat de-a lungul axei Oy are ecuatia

x2

a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:




a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:




a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;

cel desenat

de-a lungul axei Ox are ecuatia

− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:




a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;

cel desenat de-a lungul axei Ox

are ecuatia

− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

Observatii:




a2− y2

b2+ z2

c2− 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0.

3. Hiperboloidul cu 2 panze (H2P):

(H2P) :x2

a2+

y2

b2− z2

c2+ 1 = 0 (de-a lungul axei Oz);

Observatii:

a) Varfurile (H2P) sunt V (0, 0, c),V ′(0, 0,−c).

b) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare, iar cand sectionamcu planele z = ±c obtinem V , respectiv V ′;

c) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Oxsau Oy obtinem hiperbole;

d) (H2P) desenat de-a lungul axei Oy are ecuatia:x2

a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;

cel desenat de-a lungul axei Ox are ecuatia:

− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam

(H2P) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare, iar cand sectionamcu planele z = ±c obtinem V , respectiv V ′;



a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare

pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare, iar cand sectionamcu planele z = ±c obtinem V , respectiv V ′;



a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Oz

obtinem elipse reale sau elipse imaginare, iar cand sectionamcu planele z = ±c obtinem V , respectiv V ′;



a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau

elipse imaginare, iar cand sectionamcu planele z = ±c obtinem V , respectiv V ′;



a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare,

iar cand sectionamcu planele z = ±c obtinem V , respectiv V ′;



a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare, iar cand sectionamcu planele

z = ±c obtinem V , respectiv V ′;



a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:


b) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare, iar cand sectionamcu planele z = ±c obtinem

V , respectiv V ′;



a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:





a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:



c) Daca sectionam

(H2P) cu plane perpendiculare pe axa Oxsau Oy obtinem hiperbole;


a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:



c) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare

pe axa Oxsau Oy obtinem hiperbole;


a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:



c) Daca sectionam (H2P) cu plane perpendiculare pe axa Oxsau Oy

obtinem hiperbole;


a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:





a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:




d) (H2P) desenat

de-a lungul axei Oy are ecuatia:x2

a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:




d) (H2P) desenat de-a lungul axei Oy

are ecuatia:x2

a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:




d) (H2P) desenat de-a lungul axei Oy are ecuatia:

x2

a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

Observatii:





a2− y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0;


− x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+ 1 = 0.

4. Paraboloidul eliptic (PE):

(PE ) :x2

a2+

y2

b2= 2cz , c > 0 (de-a lungul axei Oz);

Observatii:

a) Varful (PE) este O(0, 0, 0).

b) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare; iar cand sectionamcu planul z = 0 obtinem varful O;

c) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare pe axa Ox sauOy obtinem parabole;

d) Daca a = b pause atunci (PE) este un paraboloid eliptic derotatie obtinut prin rotirea unei parabole ın jurul axei Oz .

e) (PE) desenat de-a lungul axei Oy are ecuatia:x2

a2+ z2

c2= 2by ;

(PE) desenat de-a lungul axei Ox are ecuatia:y2

b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:

a) Varful (PE)

este O(0, 0, 0).





a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam

(PE) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare; iar cand sectionamcu planul z = 0 obtinem varful O;




a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare

pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare; iar cand sectionamcu planul z = 0 obtinem varful O;




a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare pe axa Oz

obtinem elipse reale sau elipse imaginare; iar cand sectionamcu planul z = 0 obtinem varful O;




a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare;

iar cand sectionamcu planul z = 0 obtinem varful O;




a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare; iar cand sectionam

cu planul z = 0 obtinem varful O;




a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem elipse reale sau elipse imaginare; iar cand sectionamcu planul z = 0

obtinem varful O;




a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:



c) Daca sectionam

(PE) cu plane perpendiculare pe axa Ox sauOy obtinem parabole;



a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:



c) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare

pe axa Ox sauOy obtinem parabole;



a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:



c) Daca sectionam (PE) cu plane perpendiculare pe axa Ox sauOy

obtinem parabole;



a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:




d) Daca a = b pause atunci (PE) este un paraboloid eliptic derotatie

obtinut prin rotirea unei parabole ın jurul axei Oz .


a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:




d) Daca a = b pause atunci (PE) este un paraboloid eliptic derotatie obtinut prin

rotirea unei parabole ın jurul axei Oz .


a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:




d) Daca a = b pause atunci (PE) este un paraboloid eliptic derotatie obtinut prin rotirea unei parabole

ın jurul axei Oz .


a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:





e) (PE) desenat

de-a lungul axei Oy are ecuatia:x2

a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:





e) (PE) desenat de-a lungul axei

Oy are ecuatia:x2

a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:





e) (PE) desenat de-a lungul axei Oy are ecuatia:

x2

a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;

(PE) desenat de-a lungul axei Ox

are ecuatia:y2

b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;

(PE) desenat de-a lungul axei Ox are ecuatia:

y2

b2+ z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2+ z2

c2= 2by ;


b2+ z2

c2= 2ax .

5. Paraboloidul hiperbolic (PH):

(PH) :x2

a2− y2

b2= 2cz , c > 0 ( axa de simetrie Oz);

Observatii:

a) Varful (PH) este O(0, 0, 0) iar axa de simetrie este Oz .

b) Daca sectionam (PH) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem hiperbole;

c) Daca sectionam (PH) cu plane perpendiculare pe axa Ox sauOy obtinem parabole;

d) (PH) se mai numeste suprafata de tip ”sa”.

e) (PH) cu axa de simetrie Oy are ecuatia:x2

a2− z2

c2= 2by ;

(PH) cu axa de simetrie Ox are ecuatia:y2

b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam

(PH) cu plane perpendiculare pe axa Ozobtinem hiperbole;




a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam (PH) cu plane perpendiculare

pe axa Ozobtinem hiperbole;




a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:


b) Daca sectionam (PH) cu plane perpendiculare pe axa Oz

obtinem hiperbole;




a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:



c) Daca sectionam

(PH) cu plane perpendiculare pe axa Ox sauOy obtinem parabole;



a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:



c) Daca sectionam (PH) cu plane perpendiculare pe axa

Ox sauOy obtinem parabole;



a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:



c) Daca sectionam (PH) cu plane perpendiculare pe axa Ox sauOy

obtinem parabole;



a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:




d) (PH) se mai numeste

suprafata de tip ”sa”.


a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:





e) (PH) cu axa de simetrie

Oy are ecuatia:x2

a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:





e) (PH) cu axa de simetrie Oy are ecuatia:

x2

a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2− z2

c2= 2by ;

(PH) cu

axa de simetrie Ox are ecuatia:y2

b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2− z2

c2= 2by ;

(PH) cu axa de simetrie Ox

are ecuatia:y2

b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2− z2

c2= 2by ;

(PH) cu axa de simetrie Ox are ecuatia:

y2

b2− z2

c2= 2ax .

Observatii:






a2− z2

c2= 2by ;


b2− z2

c2= 2ax .

Recunoasteti cuadricele!

T. A: Completati desenele pentru (H2P) si (PH)!

Generatoarele rectilinii ale cuadricelor.

Cuadrice - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/cuadrice.pdf · cu coe cient˘i numere reale...

Documents

Transcript of Cuadrice - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/cuadrice.pdf · cu coe cient˘i numere reale...