CUADRADO DE OPOSICION
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CUADRADO DE OPOSICION
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CUANTIFICADORES
• UNIVERSALES:• Afirmativos:• Toda(o). Todas(os). • Negativos:• Ningún, ninguna.
• PARTICULARES:
• Algún, alguna.
• Algunas (os).
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Ejemplos de proposiciones categóricas
• sAp: Todas la mujeres son filósofas. (universal afirmativa)
• sEp: Ningún filósofo es boxeador. (universal negativa)
• sIp: Algunos mamíferos son bellos. (particular afirmativa)
• sOp: Algunas rolas no son buenas. (particular negativa)
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Ejercicio 1
• Reformular con cuantificadores:• 2. Cualquier persona que pague puede pasar.• 4. Vinieron pocos invitados.• 6. Nada me parece bello.• 7. La mayor parte de la gente se abstuvo de
votar.
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EL CUADRADO
sAp sEp
sIp sOp
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PROPOSICIONES CATEGORICAS
• sAp Todos los S son P
• sEp Ningún S es P
• sIp Algunos S son P
• sOp Algunos S no son P
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QUE SE PUEDE ENSEÑAR• Destreza en dobles negativos• Negación interna y externa. Elementos de metodología de la ciencia.• Relación con varias lógicas.• Más allá del cuadrado: cubo de oposición.
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INFERENCIAS
• INMEDIATAS:
• OBVERSIÓN.
• CONVERSIÓN SIMPLE.
• SUBALTERNACIÓN.
• MEDIATAS:
• CONVERSIÓN POR ACCIDENTE.
• CONTRAPOSICIÓN.
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LA OBVERSION
• sAp = sE~p
• sEp = sA~p
• sIp = sO~p
• sOp = sI~p
• REGLA
• (1) pasar a la letra (sub)contraria
• (2) negar la letra del predicado
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CONVERSIÓN SIMPLE
• CON sEp:
• sEp = pEs.
• Ej.: ningún terrícola es marciano = ningún marciano es terrícola.
• CON sIp:
• sIp = pIs.
• Ej.: algunos cantantes son mexicanos = algunos mexicanos son cantantes.
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EQUIVALENCIAS
• sAp = sE~p = ~pEs = ~pA~s
• sEp = sA~p = pEs = pA~s
• sIp = sO~p = pIs = pO~s
• sOp = sI~p = ~pIs = ~pO~s
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CUADRADO CON EQUIVALENCIAS
sAp sE~p sEp sA~p
~pA~s ~pEs pEs pA~s
sIp sO~p sOp sI~p
pIs pO~s ~pO~s ~pIs
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NEGACION DE LA CONTRADICTORIA
• ~(sAp) = sOp
• ~(sEp) = sIp
• ~(sIp) = sEp
• ~(sOp) =sAp
• No todos* = Algunos no• No es cierto que
ninguno = Algunos• No es cierto que
algunos = Ninguno• No es cierto que
algunos no = Todos
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DOBLES NEGATIVOS 1
• ~(sA~p) (no todos los hombres son infieles) = sO~p (algunos hombres no son infieles) = sIp (algunos hombres son fieles).
• ~(sE~p) (no es cierto que ningún hijo es ingrato) = sI~p (algunos hijos son ingratos) = sOp.
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DOBLES NEGATIVOS 2
• ~(sI~p) (no es cierto que algunos gobernantes no roban) = sE~p (*ningún gobernante no roba) = sAp (todos los gobernantes roban).
• ~(sO~p) (No es cierto que algunos torturadores no son inclementes) = sA~p (todos los torturadores son inclementes) = sEp (ningún torturador es clemente).
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NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 1
• ~(sAp) ≠ sA~p. No todos ≠ todos no• ~(sEp) ≠ sE~p. No ning. ≠ ning. no• ~(sIp) ≠ sI~p. No alg. ≠ alg. no• ~(sOp)≠sO~p. No alg. no ≠ alg. No
• No todos = algunos no.• No ninguno = algunos.• No algunos = ninguno.• No algunos no = Todos.
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NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 2
• No todos los que se adelanten serán registrados = algunos que se adelanten no serán registrados.
• O sea, ~(sAp) = sOp.
• Todos los que se adelanten no serán registrados = Ninguno que se adelante será registrado.
• O sea, sA~p = sEp.*
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NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 3
• No es cierto que ningún soldado sea inteligente = algunos soldados son inteligentes.
• O sea, ~(sEp) = sIp.
• *Ningún soldado es no inteligente = todos los soldados son inteligentes.
• O sea, sE~p = sAp.
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NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 4
• No es cierto que algunos astronautas sean alcohólicos = ningún astronauta es alcohólico.
• O sea, ~(sIp) = sEp.
• Algunos astronautas son no alcohólicos = Algunos astronautas no son alcohólicos.
• O sea, sI~p = sOp.*
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NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 5
• No es cierto que algunos líderes no son valientes = todos los líderes son valientes.
• O sea, ~(sOp) = sAp.
• *Algunos líderes no son no valientes = algunos líderes son valientes.
• O sea, sO~p = sIp.*
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RESUMIENDO• AL NEGAR EXTERNAMENTE,
SE OBTIENE LA CONTRADICTORIA
• AL NEGAR INTERNAMENTE, SE OBTIENE LA (SUB)CONTRARIA
• A no es no B = A es B• No(A es B)≠A no es B• A no es B =A es no B*
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Ejercicio 2
• Usa los cuantificadores para escribir la contradictoria y la contraria de:
• 4. No es cierto que nadie quiere sufrir.• 6. No es cierto que alguien robó el banco.• 7. Algunos prestamistas son desinteresados.• 10. No hay mal que por bien no venga.
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Ejercicio 3
• Di si son: contradictorias, (sub)contrarias, equivalentes, inversas, compatibles, y dónde hay implicación.
• 1. No todos los tenores son cantantes excepcionales / El tenor Plácido Domingo es un cantante excepcional.
• 4. Todos los perros son canes / Todos los canes son perros.
• 5. Algunos pacifistas son militares / Ningún militar es pacifista.
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Ejercicio 3 (cont.)
• 10. Ninguna persona es totalmente virtuosa / Algunas personas no son totalmente virtuosas.
Ejercicio 4:• 3. Todas las ballenas son mamíferos / Ningún pez es
mamífero.• 7. Todos los torturadores son inmorales / No es
cierto que algunos torturadores son inmorales.• 8. Níngún felino tiene plumas /El gato que adoptaré
no tiene plumas.
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Ejercicio 5: relaciones en el cuadrado de oposición
• Si las siguientes oraciones son verdaderas, ¿qué se sigue de cada una de ellas?
• 1. Toda la música me gusta. (a) ninguna música me gusta, (b) alguna música me gusta, (c) cualquier música me gusta.
• 4. Algunos poetas no son buenos. (a) algunos poetas son buenos, (b) ningún poeta es bueno, (c) no se siguen ni (a) ni (b), y (d) No todos los poetas son buenos.
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Ejercicio 5 (cont.)
• Si las siguientes oraciones son falsas, ¿qué se sigue de cada una de ellas?
• 6. Todos los ríos son caudalosos. (a) ningún río es caudaloso, (b) algunos ríos son caudalosos, (c) algunos ríos no son caudalosos.
• 8. Algunas personas son clonadas. (a) Ninguna persona es clonada, (b) Todas las personas son clonadas, (c) Algunas personas no son clonadas.
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Ejercicio 6: relaciones veritativas en el cuadrado de oposición
• 2. Si ningún condenado a muerte es feliz es V, ¿qué valores V ó F ó i tienen?:
• (a) todos los condenados a muerte son felices, (b) algunos condenados a muerte son felices.
• 3. Si algunos hombres son valientes es V, ¿qué valores V ó F ó i tienen?:
• (a) algunos hombres no son valientes, (b) ningún hombre es valiente.
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Ejercicio 6 (cont.)
• 6. Si algunos funcionarios no son corruptos es F, ¿qué valores V ó F ó i tienen?: (a) todos los funcionarios son corruptos, (b) algunos funcionarios son corruptos.
• Si todas las mujeres son miedosas es F, ¿qué valores V ó F ó i tienen?: (a) ninguna mujer es miedosa, (b) algunas mujeres no son miedosas.
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METODOLOGIA DE LA CIENCIA CONFIRMACIONES
• Para probar que todos los A son B, hay que probar que cada miembro de A es B.
• Para probar que ningún A es B, hay que probar que cada miembro de A no es B.
• Para probar que algún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B.
• Para probar qe algún A no es B, basta probar que un caso de A no es B.
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METODOLOGIA DE LA CIENCIAREFUTACIONES
• Para refutar que todos los A son B, basta encontrar un caso de A que no sea B.
• Para refutar que ningún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B.
• Para refutar que algunos A son B, hay que probar que ningún A es B.
• Para refutar que algunos A no son B, hay que probar que todos los A son B.
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PRUEBAS Y REFUTACIONES
• Para probar las universales, hay que ir caso por caso.
• Para probar las particulares, basta un caso.• Para refutar las universales, basta un caso.• Para refutar las particulares, hay que ir caso
por caso.
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RESUMIENDO• Es más fácil probar las
particulares.• Es más fácil refutar las
universales.
• Es más difícil refutar las particulares.
• Es más difícil probar las universales.
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RELACION CON VARIAS LOGICAS
• Aristotélica. T , A• Cuantificacional. (X), E• Modal. □ , ◊• Deóntica. O , P• Temporal. S , V• Probabilística. C , P• Epistémica. K , B
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CUADRADOS ISOMORFICOSArist. Cuan
tif. Mod. Deónt Temp Prob. Epist.
sAp (x) □p Op Sp Cp aKp
sEp (x)~ □~p O~p S~p C~p aK~p
sIp Ex ◊p Pp Vp Pp aBp
sOp Ex~ ◊~p P~p V~p P~p aB~p
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REGLA DE EQUIVALENCIA DE OPERADORES
• Sustitúyase el operador por su par.
• Niéguese a la izquierda.
• Niéguese a la derecha.
• Aplique doble negación, cuando sea el caso.
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EQUIVALENCIAS ISOMORFICAS DE OPERADORES
T=~A~
(x)=~E~
□=~◊~
O=~P~
S=~V~
C=~P~
K=~B~
A=~T~
E=~(x)~
◊=~□~
P=~O~
V=~S~
P=~C~
B=~K~
~A=T~
~(x)=E~
~□=◊~
~O=P~
~S=V~
~P=C~
~K=B~
~T=A~
~E=(x)~
~◊=□~
~P=O~
~V=S~
~C=P~
~B=K~
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UNIVERSAL NEGATIVA E ISOMORFICOS
• T~ , todos no , ninguno, nadie, nada
• □~ , necesario que no, imposible
• O~ , obligatorio que no, prohibido
• Pero: K~, saber que no ≠ ignorar, pues ignorar es no saber: ~K.
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SOBRE EL CUADRADO DEONTICO
• “LO QUE NO ESTÁ PROHIBIDO ESTÁ PERMITIDO”
Prohibido = Obligatorio que no = O~
No prohibido = ~O~ = P = ¡permitido!
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REDUCCION A UN OPERADOR POR CUADRADO
• Sea O cualquier operador isomórfico.
O O~
~O~ ~O
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DEL CUADRADO AL CUBO DE OPOSICION
CUADRADO COMPLEMENTARIO ~sA~p ~sE~p
~sI~p ~sO~p
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EQUIVALENCIAS
• ~sA~p = ~sEp = pE~s = pAs
• ~sE~p = ~sAp = ~pE~s = ~pAs
• ~sI~p = ~sOp = ~pI~s = ~pOs
• ~sO~p = ~sIp = pI~s = pOs
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EL CUBO DE OPOSICION
~sA~p ~sE~p
sAp sEp
~sI~p ~sO~p
sIp sOp