cuaderno 5 ESTANDARES

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ASOCIACIN COLOMBIANA DE MATEMTICA EDUCATIVAASOCOLME

CUADERNOS DE MATEMTICA EDUCATIVA

Aportes para el anlisis x

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COLECCIN: CUADERNOS DE MATEMTICA EDUCATIVA CUADERNO No. 5 ESTNDARES CURRICULARES - REA MATEMTICAS: APORTES PARA EL ANLISISISBN COLECCIN: 958-96440-4-X ISBN LIBRO: 958-96440-6-8 ASOCIACIN COLOMBIANA DE MATEMTICA EDUCATIVA, ASOCOLME Primera edicin, 2002 1000 ejemplares COMPILADOR Pedro Javier Rojas Garzn DIRECCIN EDITORIAL, DISEO GRFICO E IMPRESIN Grupo Editorial Gaia Calle 74 No. 22-70 Bogot Tel. 3102668311 - [email protected] derechos de autor. Prohibida la reproduccin total o parcial de esta publicacin mediante cualquier proceso de reproduccin, digital, fotocopia u otro, sin permiso escrito del editor.

IMPRESO EN COLOMBIA. 2002

Profesores e investigadores que han participado en los encuentros sobre Estndares Curriculares para el rea de Matemticas. Convocados por ASOCOLME Carlos E. Vasco Olga Luca Len Corredor Universidad del Valle Gloria Garca Celly Serrano Alberto Donado Hernn Daz R. Leonor Camargo Uribe Universidad Pedaggica Nacional Myriam Acevedo Universidad Nacional de Colombia Jorge Castao G. Amparo Forero Pontificia Universidad Javeriana Pedro Javier Rojas G. Martha Bonilla Estvez Neila Snchez H. Orlando Lurduy Ortegn Universidad Distrital F. J. de Caldas Silvia Bonilla Jaramillo Universidad Externado de Colombia Edgar Guacaneme Una empresa docente-Universidad de los Andes Cristina Carulla Universidad de los Andes Marco Antonio Feria Anillo de Matemticas-SED Patricia Pedraza Daza Nidia Rodrguez C. ICFES Blanca Felisa Alarcn Teresa Len Pereira Rodolfo Vergel C Cecilia Barn Pez Virginia Cifuentes Hctor Bejarano Filena Jimnez Maria Cristina Prez Yuly Marcela Villegas

ContenidoPresentacin. .......................................................................... 6 Captulo 1 Reflexiones sobre los Estndares Curriculares para el rea de Matemticas ......................................... 9 Captulo 2 Pensamiento Numrico Anlisis de la propuesta de estndares ......................................................................... 16 Captulo 3 Pensamiento Mtrico y sistemas de Medidas. Una Revisin a la Propuesta de Estndares Curriculares ............................................... 25 Captulo 4 Pensamiento Espacial y Sistemas Geomtricos. Anlisis de la propuesta de estndares ..................... 34 Captulo 5 Pensamiento Variacional y Sistemas Algebricos y Analticos. Reflexin sobre los Estndares curriculares del rea de Matemticas ...................... 43 Captulo 6 Pensamiento aleatorio y estadsticas. Reflexiones sobre los estndares en la componente .................... 53 Captulo 7 Procesos Matemticos Estndares Curriculares de Matemticas del MEN ................................................. 65

PresentacinEl 19 de Mayo de 2002, el Ministerio de Educacin Nacional present en la ciudad de Santa Marta el Documento de Estudio Estndares para la excelencia en la educacin, en el cual plantea una propuesta de Estndares curriculares para las reas de matemticas, lengua castellana y ciencias naturales, y, educacin ambiental para la educacin preescolar, bsica y media. La Asociacin Colombiana de Matemtica Educativa ASOCOLME, convoc a profesores e investigadores vinculados a instituciones de Bogot, varios de ellos con reconocimiento entre la comunidad de educadores matemticos a nivel nacional, con quienes realiz dos encuentros iniciales en los cuales se estudi la propuesta del MEN y, en el ltimo de ellos, se le present al Doctor Bernardo Recamn S., quien en esa poca se desempeaba como Director de la Calidad de la Educacin Preescolar, Bsica y Media, una sntesis del anlisis realizado y de las debilidades encontradas en dicho documento, no slo respecto a su coherencia y pertinencia, sino tambin a nivel conceptual. Producto de estas primeras reuniones fue la conformacin de seis grupos interinstitucionales que abordaron un anlisis crtico de cada una de las seis componentes propuestas en el documento: pensamiento numrico y sistemas numricos, espacial y sistemas geomtricos, mtrico y sistemas de medidas, aleatorio y sistemas de datos, variacional y sistemas algebraicos y analticos, y, procesos matemticos; adems de un grupo de miembros de ASOCOLME que abord una reflexin de carcter general sobre dicha propuesta1.1

Dicho documento fue presentado a la Revista Educacin y Cultura para su publicacin.

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Teniendo en cuenta la importancia de dichos anlisis, en cuanto aportan elementos tericos en relacin con las diferentes componentes propuestas en el documento del MEN, nuestra Asociacin publica el libro nmero 5 de su coleccin Cuadernos de Matemtica Educativa, titulado Estndares Curricularesrea de Matemticas: Aportes para el Anlisis, cuyo lanzamiento se hizo en el marco del Cuarto Encuentro Colombiano de Matemtica Educativa, realizado en la Universidad de Caldas, en la ciudad de Manizales (Octubre de 2002). En este libro se presentan los siete documentos, producto del trabajo de los grupos mencionados y de las diversas discusiones realizadas, tanto en los dos eventos iniciales como en diversos encuentros posteriores de dichos grupos. Las ideas aqu expresadas son de responsabilidad de sus autores y no comprometen a ASOCOLME. Si bien para la construccin del Documento de Estudio que contiene la propuesta sobre estndares del MEN, no se convoc a la comunidad de educadores matemticos la cual se ha venido consolidando desde hace varios aos en el pas, y posiblemente se desconocieron algunos avances que sobre la reflexin terica y la investigacin se han venido desarrollando desde hace ya varias dcadas, la construccin del documento final debe estar precedida por un proceso de participacin y discusin de la Comunidad de Educadores Matemticos. En tal sentido, y como aporte para este proceso, ASOCOLME ofrece esta publicacin que recoge diversas perspectivas en relacin con la propuesta de estndares curriculares. La asociacin agradece a todos los profesores que participaron con sus ideas en los distintos encuentros y, de manera especial, a quienes dedicaron parte de su tiempo a elaborar los documentos que componen este nmero de la Coleccin Cuadernos de Matemtica Educativa.Pedro Javier Rojas GarznPresidente-ASOCOLME

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COMPONENTE

REFLEXIONES SOBRE LOS ESTNDARES CURRICULARES PARA EL REA DE MATEMTICAS

CAPTULO Pedro Javier Rojas G. Gloria Garca O. Myriam Acevedo Leonor Camargo [email protected]

ASOCIACIN COLOMBIANA DE MATEMTICA EDUCATIVA

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PresentacinLa publicacin por parte del Ministerio de Educacin Nacional (MEN) de una propuesta de Estndares Curriculares para las reas de Matemticas, Lengua Castellana y Ciencias, ha empezado a generar un debate en la comunidad de educadores que se inicia con la discusin en torno al significado que se le asigna al trmino estndares curriculares, y suscita inquietudes acerca de preguntas fundamentales como: cules son las razones para crear estndares nacionales?, cul es o debera ser el proceso para construir una propuesta de Estndares?, para qu se disea un sistema de estndares?. En el rea de matemticas un colectivo de profesores que ha venido estudiando e investigando los problemas de la educacin matemtica en la bsica y media respondi a la convocatoria de la Asociacin Colombiana de Matemtica Educativa1, para iniciar un debate acadmico alrededor de los interrogantes planteados y la propuesta presentada por el Ministerio. En este escrito presentamos unos primeros elementos para aportar y ampliar el debate, los cuales son resultado del trabajo que el colectivo ha desarrollado en reuniones generales y de comisiones2. En primer lugar damos un marco de referencia sobre el significado del trmino estndar en el contexto educativo, y en particular sobre el carcter de los llamados estndares curriculares; en segundo lugar, nos referimos al proceso de elaboracin de los estndares, asociado con posibles respuestas a las preguntas sobre el porqu y para qu se disean los estndares; mencionando adems algunas inconsistencias que presenta el documento de estudio propuesto por el MEN; para aprovechando estos primeros elementos de anlisis sugerir a la comunidad de educadores, posibles caminos y estrategias para participar y enriquecer el debate a nivel nacional.

El significado de la expresin estndar en EducacinDesde una revisin rpida en el contexto del discurso educativo, podramos afirmar, que el trmino estndar se inscribe en polticas educativas globales que buscan, por una parte, regular y ordenar los sistemas escolares a travs de los currculos y, por otra, asegurar calidad y generar cambios. El trmino se1

La Asociacin Colombiana de Matemtica Educativa -ASOCOLME- ha realizado desde el mes de abril tres reuniones en Bogot y programa un panel sobre los estndares curriculares, de carcter nacional, en el marco del Cuarto Encuentro Colombiano de Matemtica Educativa, que se realizar en la ciudad de Manizales, entre el 3 y 5 de octubre de 2002, organizado por la Asociacin, conjuntamente con la Universidad de Caldas. 2 En el marco de las discusiones han participado el profesor Carlos Eduardo Vasco y varios profesores de diversas instituciones de Bogot.

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ESTNDARES CURRICULARES REA MATEMTICAS: APORTES PARA EL ANLISIS

refiere a proposiciones que pueden ser utilizadas para juzgar la calidad de un currculo o de unos mtodos de evaluacin o de enseanza, es decir, proposiciones acerca de lo que se valora, las metas, entendidas no slo como lo que debera hacerse, sino tambin como una medida de progreso hacia ellas. Segn los propsitos podran definirse estndares en relacin con contenidos y currculos, as como estndares en relacin con desempeo escolar y evaluacin. Los primeros describen lo que los maestros deben ensear; los curriculares son principios expresados como juicios de valor, para conseguir los objetivos sociales y escolares del proceso educativo e incluyen propuestas para orientar cambios en las prcticas docentes. Por su parte, los estndares de desempeo definen grados de dominio o niveles de logro; los de evaluacin pretenden ayudar al profesor a tomar decisiones sobre la docencia y orientar propuestas sobre procesos y mtodos para valorar avances en los niveles de logro. Estos ltimos, son coherentes con los curriculares, en cuanto se considera a la docencia y al currculo como parte esencial del proceso evaluativo. Como se deduce de esta primera referencia no tendra sentido tener estndares de contenido o curriculares sin contar con estndares de desempeo o de evaluacin.

Por qu y para qu, Estndares Curriculares en Matemticas?La construccin de Estndares en el mbito nacional, no surge de manera aislada, se enmarca en el desarrollo de las polticas establecidas por el Proyecto de Educacin en Amrica Latina y el Caribe, para el perodo 19931996, donde se afirma al respecto: "tanto en el contexto externo vinculado a la Educacin como al interior de los sistemas educativos, se ha generado un conjunto de condiciones, posibilidades y necesidades que reclaman el establecimiento de polticas para la superacin del endmico desfase entre las caractersticas del sistema educacional y los requerimientos individuales y sociales". Con el propsito de superar los problemas existentes se formulan objetivos para alcanzar la calidad y eficiencia de los sistemas educativos; los cuales deben lograrse mediante la incorporacin de estndares nacionales y sistemas de medicin y evaluacin de los productos del proceso educativo; se asigna a los Ministerios de Educacin la responsabilidad de ejecutar esta gestin y se les insta a proponer estndares cada vez ms exigentes para cada grado, dirigidos al desarrollo de aprendizajes de nivel superior. Es de anotar que en mayo de 1997, en el Seminario Internacional sobre Medicin y Estndares reunido en Fortaleza (Brasil) organizado por la oficina regional de la UNESCO para Amrica Latina y el Caribe, se avanz en la discusin y se propuso un marco para la generacin de estndares en la regin, sobre el que nos interesa destacar algunos elementos para la reflexin: una propuesta de estndares, debe ser el resultado de un proceso de construccin de 11


conocimiento y de consensos, ser internamente coherente y externamente vlida, estar en consonancia con las polticas del sector e insertarse en planes de desarrollo, aplicable a subpoblaciones o grupos heterogneos, respetuosa de la cultura y condiciones locales as como de la cultura global; y adems debe transformarse en objeto de un proceso sistemtico de consulta y difusin. Si en nuestro pas pretendemos construir una propuesta de estndares que est en consonancia con las polticas derivadas de la Ley General de Educacin, no se pueden desconocer los avances en el pensamiento educativo, la elaboracin de proyectos institucionales, y los desarrollos curriculares logrados por la comunidad educativa, que se plasman en buena medida en los Lineamientos Curriculares; en este sentido no se ha justificado el retroceder hacia un diseo de estndares de contenido, cuando se esperaba la construccin de estndares curriculares que desarrollaran las orientaciones dadas en los lineamientos, con el propsito de relacionar objetivos sociales y escolares, en busca de revisar o redefinir los fines educativos. Esta construccin en el caso de la educacin matemtica, exigira reflexionar sobre: las funciones sociales, culturales y polticas de las matemticas en la sociedad colombiana; la necesidad de las matemticas en nuestra sociedad; las exigencias para el desempeo con racionalidad y conocimientos matemticos en la vida social, cultural y laboral; adems de las exigencias que impone una sociedad en la que se incorpora cada vez ms la tecnologa. Otra reflexin esencial para la elaboracin de Estndares se refiere al significado de la Educacin Bsica y la funcin que sta cumple en nuestro medio. La obligatoriedad de la bsica implica aceptar que la matemtica que se proponga para este ciclo debe ser adecuada y pertinente para todos, es decir, que las matemticas que se ofrecen deben constituirse en la base de una cultura general requerida por todo ciudadano y al mismo tiempo deben reflejar las matemticas que todos los estudiantes tienen la oportunidad de aprender. Este trasfondo de justificacin social que orienta la educacin obligatoria debe ser expresado en los Estndares; por tal razn ellos se convierten en expresiones de la equidad que se busca, y se constituyen en un medio no slo para alcanzar con eficiencia la calidad, sino fundamentalmente para conseguir igualdad de oportunidades con calidad. Con los argumentos anteriormente expuestos se reitera que la construccin de estndares requiere de la participacin, discusin y concertacin de diversos estamentos de nuestra sociedad.

Apuntes crticos a los Estndares para el rea de matemticasComo ilustracin y con l animo de motivar un anlisis detallado y juicioso de cada uno de los planteamientos presentados en la propuesta de estndares, haremos mencin de algunas inconsistencias y errores que hemos encontrado en el documento. 12


Acerca del proceso y los referentes. En primer lugar, y en contrava de procesos que se dieron para la construccin y discusin de los Lineamientos Curriculares, documento que fue fruto del trabajo colectivo de un grupo de investigadores y docentes de universidades y colegios que han colaborado con el equipo responsable de la Educacin Matemtica en el Ministerio de Educacin Nacional desde hace ya varios aos, la propuesta de estndares no es el fruto del trabajo de una comunidad acadmica. Para la construccin del documento no se convoc a la comunidad de educadores matemticos, ni a grupos de maestros innovadores, ni a grupos que han desarrollado investigaciones en esta rea desde hace ya varias dcadas. Tampoco participaron en esta discusin y construccin las entidades oficiales (ICFES, Secretaras de Educacin, Universidades) encargadas de la evaluacin de la calidad de la educacin matemtica para identificar necesidades, dificultades, demandas de formacin, etc. Un documento de estndares debe tener una slida fundamentacin; mostrar coherencia interna, no slo en la secuencialidad temtica desde el grado cero hasta el grado once, sino tambin respecto a los tiempos requeridos por los nios y jvenes para el desarrollo de comprensin en relacin con campos conceptuales; adems, coherencia externa con los documentos de poltica educativa del Estado, lo cual no aparece claramente en la propuesta sobre estndares curriculares presentada por el MEN para su estudio pues hacer referencia a los pensamientos y los procesos, y enunciar una lista de temas por pensamientos, no asegura que se involucre significativamente las orientaciones planteadas en los Lineamientos Curriculares. Tampoco se tuvo en cuenta que en el pas existen unos indicadores de logros curriculares (Resolucin 2343), que de una u otra forma han sido referentes para las instituciones y para los educadores matemticos del pas. Acerca de lo curricular. Una propuesta de estndares puede constituirse en apoyo para construir currculos de calidad y mejorar los sistemas de evaluacin, o puede restringir la autonoma escolar y la creatividad curricular, lo anterior significa que puede enviar seales positivas o inhibir la experimentacin y la innovacin. La propuesta de estndares presentada por el MEN, se aproxima realmente a una propuesta de estndares de contenido, restringiendo de esta manera la autonoma derivada de la Ley General de Educacin y reduciendo el problema curricular al diseo de un programa, que en coherencia intenta presentar una organizacin de contenidos centrada en la lgica de la disciplina. Por otra parte, en el documento se refleja ausencia de conexin entre las distintas componentes propuestas; por ejemplo, dado que los procesos de medida tienen una importancia capital en la construccin de los conjuntos numricos (particularmente, de los racionales e irracionales), resulta extrao que, en grado sexto, respecto del componente pensamiento numrico, se exija al estudiante distinguir y dar ejemplos de nmeros racionales e irracionales, mientras que en la componente pensamiento mtrico no se haga referencia a procesos de medicin que hacen necesario el surgimiento y uso de dominios numricos diferentes al de los naturales. 13


Respecto al pensamiento mtrico y sistemas de medidas, no se tiene en cuenta que resulta ineludible el uso de unidades informales, propias del contexto, a partir de experiencias de medicin directa con objetos concretos, ni que las unidades estandarizadas, tanto en el aula como en la historia de la humanidad, surgen como requerimiento para posibilitar la comunicacin sobre situaciones que involucran la medida. As, debe preguntarse acerca de la pertinencia de exigir a un nio de segundo grado (7 u 8 aos) que reconozca unidades tan pequeas como el gramo, ms an cuando su experiencia no est relacionada con mediciones en el laboratorio, sino con las libras o con los kilogramos, que en su contexto familiar son las medidas utilizadas para referirse al peso de los alimentos. Respecto al pensamiento numrico, no se presenta un trabajo a fondo en sistema de numeracin decimal, pues slo se hace una ligera mencin de los sistemas de base dos y se presentan desorganizadamente las operaciones y las representaciones en la recta numrica, pasando por alto el estudio de las propiedades de las operaciones; adems, se ignora la complejidad en la comprensin de los nmeros enteros, que son introducidos desde el grado cuarto, o las fracciones en el grado segundo. Acerca de la visin de las matemticas escolares, de la enseanza y el aprendizaje. Se percibe una visin del conocimiento matemtico, como producto, por lo que la enseanza se vuelve a concebir como transmisin de informacin, y en consecuencia el aprendizaje se centra en el dominio de destrezas, conocimiento de hechos y notaciones. Saber matemticas, al parecer, significa repetir definiciones, reconocer la sintaxis, nombrar las partes constitutivas, y aplicar frmulas para resolver ejercicios. En el documento se proponen estndares como:PensamientoNumrico Mtrico Espacial

Grado2 5 7

EstndarReconoce una fraccin como parte de un todo e identifica sus partes (numerador y denominador) Maneja con fluidez las unidades mtricas cuadradas (cm 2, m 2,etc.) Identifica y construye alturas, bisectrices, mediatrices y medianas de un tringulo dado e identifica catetos y la hipotenusa de un tringulo rectngulo Reconoce una expresin algebraica, las variables y trminos que la componen

Variacional

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Respecto al aprendizaje, no tiene en cuenta resultados de estudios de investigacin que dan cuenta de un desarrollo evolutivo en la apropiacin de los conceptos matemticos y desarrollo de procesos, pues se plantean exigencias de gran complejidad para el grado en el cual se proponen, como puede verse en las siguientes formulaciones: 14


Grado1 5 6 8

EstndarDescribe y argumenta matemticamente acerca de figuras, formas y patrones que pueden ser vistos o visualizados. Investiga y comprende los nmeros negativos. Utiliza el lenguaje de las matemticas para comprender y explicar situaciones complejas. Comprende el significado y las propiedades de la recta real.

Adicionalmente conviene discutir la pertinencia de formular estndares grado por grado, en lugar de plantearlos por grupos de grados3, pues se estara desconociendo que es imposible homogenizar los tiempos requeridos por los escolares para el desarrollo de procesos, y adems se limitara la autonoma de las instituciones para la construccin e implementacin de su proyecto educativo (PEI).

PropuestaA partir de estas primeras reflexiones, convocamos a la comunidad educativa, y en particular a la comunidad de educadores matemticos, a estudiar a fondo el documento y reflexionar crticamente frente a sus planteamientos, aportando desde las experiencias y los procesos de construccin de propuestas curriculares, que sabemos se estn generando en varias regiones del pas. Esta reflexin es urgente por las repercusiones que tiene la definicin de unos estndares nacionales en la formacin de los ciudadanos, en tanto unas orientaciones que desconocen los resultados de investigacin pedaggica en las ltimas dcadas alejara ms a nuestros nios y jvenes de alcanzar la cultura matemtica requerida para la participacin autnoma en la sociedad contempornea. Adems reforzara, por una parte, prcticas tradicionales que han conducido al fracaso escolar y, por otra, mantendra en vigencia textos escolares descontextualizados que obstaculizan los cambios curriculares requeridos. La Asociacin Colombiana de Matemtica Educativa ha iniciado el movimiento, creando grupos de estudio en torno a los Lineamientos Curriculares, solicitando el apoyo para que el Ministerio posibilite espacios de carcter regional y nacional, abiertos a la participacin de la comunidad de educadores matemticos.

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Como se hizo en los Indicadores de Logro (Resolucin 2343 de 1996) y en los Lineamientos Curriculares (1998 ) del MEN

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COMPONENTE

PENSAMIENTO NUMRICO

Anlisis de la propuesta de estndares

CAPTULO

Jorge Castao G. [email protected] Amparo Forero Senz. [email protected] UNIVERSIDAD JAVERIANA

Filena Jimnez de Rodrguez. SED, D.C. Marco Antonio Feria. [email protected] SED, D.C.- ASOCIACIN ANILLO MATEMTICO

2dos

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Este artculo tiene como funcin analizar los estndares relativos al pensamiento numrico. Para ello, como es obvio, en un primer momento, el grupo revis los estndares incluidos en el sistema numrico y, posteriormente, busc en otros sistemas y en las tres agrupaciones de procesos, otros estndares que estuvieran directamente ligados a lo numrico; de igual forma estudi las relaciones de los estndares incluidos en este sistema con los de otros. El procedimiento seguido consisti en agrupar los estndares de este sistema al conjunto numrico al que hacen referencia (naturales, fraccionaros, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos). Al interior de cada una de estas agrupaciones se definieron las siguientes categoras de anlisis: tratamiento de la naturaleza de los nmeros, construccin de diferentes significados del conjunto numrico, de sus operaciones y de sus relaciones; estudio de la estructura formal de los diferentes sistemas numricos, algoritmos de las operaciones, procesos de estimacin y relaciones con otros sistemas. Una vez realizado este anlisis y a partir de los datos obtenidos se hicieron inferencias sobre las ideas que subyacen a esta propuesta con relacin al mismo concepto de estndar, a la naturaleza de la matemtica, a su enseanza y a su relacin con los lineamientos curriculares. En este artculo el orden de exposicin es inverso al seguido para el anlisis: primero se presentan unas observaciones generales producto del ltimo momento del anlisis, y posteriormente, se presentan los anlisis especficos a los diferentes conjuntos numricos; con esto se busca cumplir una doble funcin, sustentar las afirmaciones generales, a la vez que ofrecer un anlisis ms local y detallado. Uno de los consensos ganado en la comunidad de didctica de la matemtica, en los niveles internacional y nacional, consiste en reconocer que la enseanza del nmero en la escuela debe desplazarse de la enseanza de hechos numricos aislados hacia el desarrollo del pensamiento numrico; este hecho se encuentra en la literatura especializada expresado de distintas formas. El MEN lo ha sealado desde varios aos atrs. El nfasis que ahora hacemos en el estudio de los sistemas numricos es el desarrollo del pensamiento numrico... En esta propuesta vamos hablar de pensamiento numrico como un concepto ms general que sentido numrico, el cual incluye no slo ste, sino el sentido operacional, las habilidades y las destrezas numricas, las comparaciones, las estimaciones, los ordenes de magnitud, etc. (MEN. Lineamientos Curriculares de Matemtica, 1998). Mcintosh (citado en el documento de Lineamientos) afirma que el pensamiento numrico se refiere a la comprensin general que tiene una 17


persona sobre los nmeros y las operaciones junto con la habilidad y la inclinacin a usar esta comprensin en forma flexible para hacer juicios matemticos y para desarrollar estrategias tiles al manejar nmeros y operaciones. Numerosos estudios, desde perspectivas diferentes, han mostrado que los nios se hacen a valiosos y variados significados del sistema numrico de los naturales (los nmeros, con sus operaciones y sus relaciones) cuando enfrentan situaciones de su vida cotidiana, significados que la escuela debe reconocer y comprometerse con ayudarlos a ampliar y profundizar. Autores como Kamii y Brissiaud, desde perspectivas distintas, coinciden que la comprensin del nmero por parte del nio, es mucho ms que el aprendizaje de la sucesin numrica y el aprendizaje de la lectura y escritura de los numerales, consideran que es ante todo el proceso de apropiarse de un sistema de signos como herramienta cultural en diferentes contextos, en los cuales los nios tengan que resolver problemas relativos a la comparacin de la extensin de las cantidades de varias colecciones. Trabajos de autores como Dickson, Lerner D., Kamii C., Orozco M. Brissiaud R. y Castao J. muestran lo complejo que resulta para un nio el apropiarse de la idea de unidad relativa y lograr manejar de forma apropiada un sistema basado en diferentes unidades de valores diferentes. De igual forma existen numerosos estudios descritos por Dickson, Vergnaud y Kamii en los que muestran como a los nios les resulta de gran dificultad hacerse a una comprensin y manejo adecuado de los algoritmos llamados formales o universales (las formas como los adultos hacemos las operaciones) de las operaciones bsicas de la aritmtica de los naturales y como conviene incentivar en un comienzo el aprendizaje de procedimiento no formales ms cercanos a las comprensiones ganadas por los nios. Kamii muestra, con sobrada razn, que los procedimientos formales pone a trabajar a los nios sobre cifras, dificultndoles la construccin de una apreciacin de la cantidad expresada por los numerales. Aunque existen diferencias entre distintos autores en explicar los mltiples caminos por los cuales el nio accede a significados distintos de las operaciones bsicas de las operaciones aritmticas, existe un acuerdo en la necesidad de que la escuela ofrezca en mltiples contextos, variadas oportunidades de modelar situaciones problemticas con estas operaciones. A nuestro parecer la propuesta de estndares desconoce estos estudios, pero es al lector con base en el anlisis que se ofrece en este artculo, juzgar si esta propuesta se soporta en un requisito mnimo que debe exigirse a cualquier planteamiento que pretenda constituirse en un referente para el mejoramiento de la calidad educativa en un campo disciplinar especfico de un pas, cual es el ser construida sobre las comprensiones que la comunidad de expertos en la educacin y didctica en este campo ha ganado, como fruto de las investigaciones y debates realizados a lo largo de muchos aos. 18


Observaciones de orden generalA partir del anlisis hecho sobre la propuesta de estndares relativos al pensamiento numrico es posible hacer algunas afirmaciones de orden general. Como hemos dicho estas afirmaciones sern sustentadas precisamente a partir del anlisis especfico. La propuesta de estndares presentada por el MEN es un listado de temas, que muestra vacos en trminos de su estructura. Este listado no es completo y tiene carencias de coherencia y de continuidad de un grado a otro. Aunque el documento, en su parte introductoria, expresa que la formulacin de estndares es un desarrollo de los lineamientos curriculares del rea propuesto por el MEN, el anlisis hecho obliga a afirmar que tal propuesta no logra la pretensin expresada, ya que no slo en algunos casos la propuesta de estndares desarrolla los lineamientos en forma incompleta, sino que en otros, le es contradictoria. Algunos estndares se formulan de manera imprecisa, con poco rigor y poca exactitud desde el punto de vista disciplinar. A juzgar por la organizacin y la secuencia de los estndares relativos a este pensamiento, se puede afirmar que se desconoce el carcter estructural del cuerpo disciplinar de la matemtica. En trminos curriculares la propuesta de estndares desconoce la idea de currculo en espiral, idea sta que es prcticamente consenso entre los estudiosos de la educacin en general y muy especialmente en la matemtica. Los estndares propuestos desconocen los procesos que siguen los nios en la construccin de los diferentes conceptos numricos. En algunos casos se propone ensear conceptos que desbordan por muchos las posibilidades cognitivas de los nios. Se puede afirmar que la propuesta de estndares mantiene la idea de un modelo pedaggico reproduccionista de la enseanza. Se reduce la educacin matemtica a la enseanza de definiciones, procedimientos y algoritmos.

Anlisis EspecficoEstndares vinculados con la comprensin del Sistema Decimal de Numeracin (SDN)1.La propuesta no aborda el estudio del Sistema Decimal de Numeracin como un sistema que demanda una comprensin lgica de parte del nio,1 Se encuentran los siguientes estndares ligados a este aspecto. En primero a) Representa conjuntos de hasta 999 objetos, utilizando materiales concretos, b) Lee, escribe y ordena nmeros hasta 999 y c) Reconoce los valores posicionales de los dgitos en un nmero de hasta tres dgitos. En segundo: a) Lee, escribe y ordena nmeros de hasta cinco o ms dgitos y b) Reconoce los valores posicionales de los dgitos de un nmero de hasta cinco (o ms) dgitos. En tercero: Lee, escribe y ordena nmeros de cualquier cantidad de dgitos.

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sino como el simple hacerse a unas reglas sintcticas dirigidas a la lectura y escritura de los numerales. El valor posicional se reduce a reconocer el valor posicional de los dgitos..., hecho que es relativamente fcil de lograr desde una lgica elemental (significado aditivo de los numerales) y que no garantiza la adquisicin de comprensiones ms profundas del SDN, necesarias para operar con los nmeros, para entender los algoritmos formales y para el manejo comprensivo de los sistemas de medicin. La propuesta de estndares vinculada con este aspecto especfico considera agotado el estudio del SDN en el grado tercero, desconociendo que los estudios existentes sobre la construccin del sistema de numeracin por parte de los nios, muestran que conviene hacer una mayor dosificacin en su enseanza, ya que una comprensin profunda demanda operaciones lgicas complejas a las que apenas empiezan a acceder los nios de los grados tercero y cuarto. No es que los nios no sean capaces desde temprana edad de aprender a leer y escribir nmeros, este aprendizaje es relativamente sencillo, lo que no es sencillo es acceder compresivamente a la lgica del sistema de numeracin. Al respecto es muy ilustrativo ver trabajos citados por Dickson L., as mismo, se recomienda consultar los trabajos de Lerner D., Kamii C., Orozco M., Brissiaud R., Castao J. y Poveda Mery.

Estndares relativos a la construccin de significado de las operaciones aditivas de los naturales (modelacin de situaciones problemticas)2Slo en el grado primero existen unos estndares que hacen referencia a la construccin de significado de la adicin y sustraccin. La adicin como la accin de reunir y la sustraccin como la accin de quitar. No existe, en ningn otro grado y en ningn otro campo estndares que exijan explcitamente ampliar y complejizar estos significados tan elementales, excepto porque en el campo de procesos (resolucin de problemas) se hace referencia a que se espera que el nio resuelva problema que impliquen las operaciones de adicin y sustraccin. Si bien las acciones de reunir y separar son los puntos de partida para la construccin de un pensamiento aditivo, es un grave error reducir estas operaciones a significados tan elementales3. En primero aparece un estndar que hace referencia a coordinar la adicin y la sustraccin Modela, discute, y resuelve problemas que involucran la adicin y sustraccin, tanto por separado como simultneamente. EsAgrupados en el sistema numrico se encuentran los siguientes estndares que exigen de una ampliacin del significado de las operaciones de adicin y sustraccin. En primero: a) Comprende el significado de la adicin, reuniendo dos conjuntos de objetos, b) Comprende el significado de la sustraccin, retirando uno o varios objetos de un conjunto de ellos, c) Comprende la relacin que hay entre la adicin y la sustraccin, d) Modela, discute y resuelve problemas que involucran la adicin y la sustraccin, tanto por separado como simultneamente. 3 Error que es muy frecuente en la enseanza primaria y que precisamente se refleja en la poca capacidad de los nios de poder modelar con la suma y la sustraccin problemas que se salen un poco de los estereotipos escolares.2

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necesario distinguir problemas aditivos compuestos que suponen la combinacin de las dos operaciones de suma y resta, que exigen una coordinacin muy elemental de estas dos operaciones, cuando se hace de forma sucesiva, de aquellos problemas que exigen una coordinacin ms estrecha, como es el caso por ejemplo de los problemas aditivos compuestos inversos. Las coordinaciones que exigen este tipo de problemas son muy difciles para los nios, por lo que resulta prematuro hacerlo en primero. Los estudios que se han realizados sobre el desarrollo del pensamiento aditivo muestran que este proceso es lento y se prolonga a lo largo de la primaria, que en especial los problemas aditivos compuestos inversos son muy complejos para los nios, que en el mejor de los casos, empiezan a ser comprendidos, en su versiones ms sencillas, en grado tercero. Se recomienda consultar trabajos de Lerner, Gadino y Hojas Pedaggicas Rev. Alegra de Ensear.

Estndares relativos a la construccin de significado de las operaciones Multiplicativas (modelacin de situaciones problemticas)4La propuesta de estndares propone iniciar la multiplicacin y la divisin en segundo, la primera, como suma abreviada y la segunda como reparticin. Aunque en este caso se guarda cierta diferencia con lo aditivo, ya que aparecen dos estndares en tercero y cuarto (uno en cada grado) que permite suponer que los autores de la propuesta pensaron en la necesidad de ampliar los significados elementales de la multiplicacin y divisin dados en grado segundo, sin embargo la propuesta en esta aspecto particular se queda corta; en tercero, se dice reconoce distintos usos de la multiplicacin y en cuarto plantea comprende diferentes significados de la multiplicacin y la divisin. Nos queda la pregunta: cuando se habla de distintos usos de la multiplicacin, se est pensando en significados distintos al de las agrupaciones y en el caso de la divisin, al de la reparticin? Este caso ilustra la falta de simetra de la que adolece la formulacin de los estndares: mientras que a propsito de lo aditivo en primero hay un estndar que explicita la resolucin de problemas aditivos compuestos (problemas que requieren combinar adicin y sustraccin), a propsito de lo multiplicativo no aparece un estndar semejante en los cinco grados de la primaria. Consultar Vergnaud, Dickson y Hojas Pedaggicas (revista Alegra de Ensear)Los estndares relativos a este aspecto son: En segundo Modela o describe grupos o conjuntos con el mismo nmero de elementos y reconoce la multiplicacin como la operacin adecuada para encontrar el nmero total de elementos en todos los grupos o conjuntos Reconoce la adicin de sumandos iguales como una multiplicacin y la representa con los smbolos apropiados. Identifica la divisin como la operacin aritmtica necesaria para repartir en partes iguales un nmero dado de objetos. En tercero: Reconoce distintos usos de la multiplicacin (para encontrar el rea de un rectngulo, por ejemplo). En Cuarto: Comprende diferentes significados de la multiplicacin y divisin de nmeros naturales y la relacin que hay entre estas operaciones.4

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Estndares relativos a los algoritmos de las operaciones aditivas y multiplicativas en los naturales5En primero se enuncia que los nios deben aprender a sumar y restar en el rango del 0-999. En segundo se habla de dividir nmeros menores de 100 por una cifra, no aparece contemplado el algoritmo de la multiplicacin. Se supone agotado el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones de aritmtica bsica de los naturales en cuarto. En relacin con lo multiplicativo en cuarto aparece el conocimiento de las tablas de multiplicar y sin embargo en tercero se hacen clculos de multiplicaciones. Algo que caracteriza la propuesta en este punto es la ausencia de promover en los nios lo que se ha llamado procedimientos espontneos de hacer cuentas, antes de acceder a los algoritmos universales, elemento fundamental para la compresin del sentido numrico en el que insiste el documento de lineamientos curriculares del MEN y el desarrollo de la capacidad de hacer matemtica.

Estndares relativos al estudio de la estructura de los conjuntos numricos6Se evidencia la ausencia de una intencin de estudiar la estructura de los sistemas numricos, en este sentido slo hay una aproximacin en tercero. No se encuentran estndares orientados a estudiar la estructura de los enteros, racionales y reales con las operaciones aditivas y multiplicativas. En los grados de secundaria slo se hace referencia al estudio de algunas propiedades para el caso de la potenciacin, sin que se alcance a tener una visin estructural. As mismo como no se estudia la estructura de los conjuntos numricos con relacin a las operaciones, se descuida el estudio de la estructura de orden de estos conjuntos numricos. El orden slo aparece vinculado al tema de las inecuaciones. Mientras no se estudian las propiedades de los sistemas numricos de los naturales, enteros, racionales, reales y complejos, se propone hacerlo con los irracionales, precisamente en un conjunto numrico que no tiene una de las estructuras matemtica bsica, por no ser cerrado con relacin a la adicin y multiplicacin. Revisar a Vasco.

5

Referidos a este campo especfico se identifican los siguientes estndares. En Primero: Lleva a cabo la operacin de la adicin (con o sin reagrupacin) de dos o ms nmeros de hasta tres dgitos, b) Lleva a cabo la operacin de la sustraccin (con o sin desagrupacin), utilizando nmeros de hasta tres dgitos c) En Segundo: a) Lleva a cabo la adicin o la sustraccin (con o sin agrupacin), utilizando, b) nmeros de hasta cinco (o ms) dgitos, c) Compone y descompone nmeros por medio de la adicin, d) Divide nmeros no mayores de 100 entre 2, 3, 4,... hasta 9 partes e indica el resultado y el residuo. En tercero: Hace cmputos con nmeros naturales y aplica las propiedades...En Cuarto: a) Conoce las tablas de multiplicar (12x12) y lleva a cabo clculos mentales sencillos, b) Suma, resta, multiplica y divide nmero enteros (naturales) con fluidez (con o sin calculadora. En quinto: a) Tiene habilidad para el clculo mental, b) Utiliza calculadora en forma creativa. 6 Con relacin a este campo en tercero: Hace cmputos con nmeros naturales y aplica las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para las operaciones bsicas y en octavo: Reconoce las propiedades de los nmeros irracionales.

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Estndares relativos a la estimacinNo se encuentra en el sistema de medidas una intencin clara de trabajar la estimacin como un eje que atraviese el currculo. Esto que es un consenso entre los educadores de matemtica se diluye en la propuesta En tercero y cuarto se hace referencia a la estimacin de los resultados de las operaciones, pero esto no aparece en ningn otro grado.

Estndares relativos a los nmeros fraccionarios y su representacin decimal7En este campo los estndares usan la expresin fraccin y no fraccionario, lo que muestra el enfoque que se da al estudio de estos nmeros. Es slo un sistema de signos que tienen una sintaxis, que basta ser dominada para dominar el concepto. Se propone iniciar el estudio en los fraccionarios en grado segundo y se extiende hasta sexto. En segundo se propone construir un significado como partidor y no existe ningn otro estndar en los siguientes grados, que tenga la intencin de ampliar su significado. El concepto de equivalencia se reduce a procedimientos para obtener fraccionarios equivalentes: reconoce y genera formas equivalentes de una fraccin. Este tpico desconoce, como ningn otro de lo numrico, los avances que en el pas se han hecho a partir del documento de Vasco El archipilago de los fraccionarios. En relacin con los nmeros decimales, no es clara la conexin con los fraccionarios. El estudio de las representaciones decimales de los nmeros racionales se inician en cuarto y se agotan en sexto. Cuando se revisan los sistemas de medida no hay estndares que explcitamente involucren representaciones decimales del valor de la medida de una magnitud.

Estndares ligados al sistema numrico pertenecientes a otros sistemasEn el grado noveno se encuentran estndares relacionados con el estudio de las progresiones aritmticas y geomtricas, en dcimo con las permutaciones y combinaciones y en undcimo con las sucesiones y series que nos parece hay ms razones para incluirlos en el sistema variacional y el sistema de datos que al numrico. Seguramente las progresiones, las sucesiones y las series no se entienden como parte del pensamiento7 Con relacin a este campo se encuentran los siguientes estndares. En Segundo: Reconoce una fraccin como parte de un todo e identifica sus partes (numerador y denominador). En Tercero: Identifica fracciones equivalentes. Compara y ordena fracciones comunes. Suma y resta fracciones con el mismo denominador. Comprende y halla el mnimo comn mltiplo y el mximo comn divisor de un conjunto de nmeros naturales. En Cuarto: Reconoce un decimal y puede expresarlo en forma expandida (ejemplo: 2, 31 = 2 + 3/10 + 1/100 ). Escribe nmeros como porcentajes, fracciones o decimales y realiza la conversin de unos a otros. Reconoce y genera formas equivalentes de una fraccin. Reconoce fracciones propias, impropias y mixtas, y hace conversiones entre ellas. Compara fracciones. Suma y resta fracciones. compara decimales. Suma y resta decimales. En quinto: comprende la recta numrica y puede ubicar en ella nmeros enteros, fracciones, decimales, negativos y porcentajes. Multiplica y divide fracciones. Multiplica y divide decimales. En sexto: Distingue entre nmeros racionales e irracionales y da ejemplos de ambos.

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variacional precisamente por las deficiencias que muestra el tratamiento de este sistema.

BibliografaACEVEDO M. y HUERTAS C (1999). Una Mirada a la Aritmtica de la Escuela. Bogot: Asociacin Colombiana de Matemtica Educativa. BRISSIAUD R (1989). El Aprendizaje del Clculo. Ms all de Piaget y de la Teora de Conjuntos. Madrid: Aprendizaje Visor. BONILLA M. Y OTROS. (1999). La Enseanza de la Matemtica Escolar y la Formacin de Profesores. Bogot: Asociacin Colombiana de Matemtica Educativa. CASTAO J.(1991). Construccin del Conocimiento Matemtico del Nio de Grado Cero. MEN. CASTAO J, NEGRET J.C, ROBLEDO A.M. (1990). Construccin de la Estructura Aditiva Numrica en el Nio. Universidad Javeriana. CASTAO J., NEGRET J.C., ROBLEDO A.M. (1991) y otros. Un Marco para la Compresin del Sistema Decimal de Numeracin en el Nio. Bogot: Universidad Javeriana. CASTAO J. (1997-1998). Hojas Pedaggicas. Serie lo Numrico. MEN-FRB. Bogot. CASTAO J. Serie Descubro la Matemtica. La Matemtica con Fotn (grado transicin), La Matemtica con Robotn (grado primero), La Matemtica con Dadina (grado segundo) y La Matemtica con Pitagorn (grado tercero) D AMORE B. Problemas (1997). Pedagoga y Psicologa de la Matemtica en la Actividad de Resolucin de Problemas. Madrid: Sntesis. DICKSON L y otros.(1991) El Aprendizaje de las Matemticas. Madrid: Labor. GADINO ALFREDO.(1996). Las Operaciones Aritmticas, los Nios y la Escuela. Ro de la Plata: Magisterio. KAMII C (1984) El Nmero en la Educacin PREESCOLAR. _______ (1985) El nio Reinventa la aritmtica. Madrid: Aprendizaje Visor. _______ (1994) Reinventando la aritmtica III. Madrid: Aprendizaje Visor. MAZA C. (1991) Multiplicar y Dividir. Madrid: Aprendizaje Visor. ________ (1995) Aritmtica y representacin. Paids. MEN (1998): Lineamientos Curriculares. Santa Fe de Bogot: Ministerio de Educacin Nacional. LERNER D. (1995) La Matemtica en la Escuela. Buenos Aires: Aique. POVEDA MERY (2001) Una Aritmtica a la Medida de los Nios. Bogot: IDEP. SEGOVIA ISIDORO (1989) Estimacin en Clculo y Medida. Editorial Sntesis. VASCO C. (1994) Un Nuevo Enfoque para la Didctica de las Matemticas. Serie Pedagoga y Currculo. MEN. VERGNAUD G (1985) El nio, las Matemticas y la Realidad. Mxico: Trillas.

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COMPONENTE

PENSAMIENTO MTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDASUna revisin a la propuesta de estndares curriculares

CAPTULO

Pedro Javier Rojas Garzn Cecilia Barn Pez Rodolfo Vergel Causado [email protected] UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALdas

3tres25

En este documento se realiza un anlisis crtico de la propuesta de Estndares Curriculares formulada por el Ministerio de Educacin Nacional para el rea de matemticas en relacin con la componente Pensamiento mtrico y sistemas de medidas. El anlisis est orientado a evidenciar, por una parte, la ausencia de vinculacin entre esta propuesta y resultados de investigacin reconocidos por la comunidad de educadores matemticos y, por otra, el desconocimiento de orientaciones planteadas explcitamente en los Lineamientos Curriculares para el rea de Matemticas, y su posible incidencia en el afianzamiento de prcticas de enseanza descontextualizadas.

Vinculacin con estudios desarrollados en Educacin MatemticaEn las ltimas dcadas se ha difundido una gran variedad de resultados de investigacin en el campo de la Educacin Matemtica, relativos a los procesos de enseanza y aprendizaje de conceptos matemticos, en los que se reconoce la necesidad de abordar formas alternativas para su tratamiento en el aula y de avanzar en un diseo curricular en matemticas que privilegie al currculo como proyecto de investigacin en oposicin a la idea de currculo prescriptivo. En estudios como el TIMSS1, se pone de manifiesto la diferencia entre el currculo propuesto (declarado), el desarrollado (tal y como lo interpretan los profesores y lo hacen accesible a sus alumnos) y el efectivamente logrado (referido al contenido en matemticas que han aprendido los estudiantes y sus actitudes hacia este campo del saber) y se concluye que si bien el currculo propuesto a nivel nacional coincide en gran medida con los propuestos a nivel internacional, el currculo efectivamente logrado difiere significativamente de aquellos. En particular, se concluye que Los puntajes mximos nacionales son inferiores a los puntajes promedio internacional y que, por ejemplo, los mejores puntajes nacionales son equiparables con los ms bajos de los pases de alto rendimiento (TIMSS, 1997, p. 34). Ahora bien, respecto a la construccin de conceptos asociados con la medida, estudios de investigacin, basados en los trabajos de Piaget2,Tercer Estudio Internacional de Matemticas y Ciencias, realizado entre 1991 y 1996 con estudiantes de grados 7 y 8, de ms de cuarenta pases, incluido Colombia. 2 Ver, por ejemplo, Chamorro y Belmonte, 1991; Dickson y Otros, 1991; Vasco, 1994.1

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reconocen un desarrollo evolutivo de la idea de medida que comprende: (1) Consideracin y percepcin de una magnitud, como propiedad de una coleccin de objetos, (2) Conservacin de una magnitud, reconocimiento que frente a determinados cambios de los objetos la magnitud puede conservarse, (3) Ordenacin respecto a una magnitud dada, incluyendo inicialmente relaciones de orden para llegar posteriormente a la equivalencia y (4) Relacin entre la magnitud y el nmero, que incluye la construccin de una unidad de medida, as como procesos de iteracin y aproximacin. Los estndares propuestos en relacin con el pensamiento mtrico y los sistemas de medidas, al parecer, estn orientados ms por las prcticas usuales de enseanza que por resultados de investigacin. En tal sentido, por ejemplo, no se hace explcita la necesidad de que los nios: perciban y discriminen atributos medibles, desarrollen operaciones de conservacin y transitividad, hagan uso de patrones y unidades informales, desarrollen una amplia experiencia que les facilite la constitucin de unidades de medida especficas para cada una de las diferentes magnitudes y avancen gradualmente hacia la comprensin de magnitudes de mayor complejidad. A continuacin se presentan elementos que ilustran estas aseveraciones. En los estndares formulados para los primeros grados de escolaridad no se reconoce la necesidad de construir el concepto de magnitud como abstraccin de magnitudes concretas distintas a la medida de conteo, por ejemplo, medidas de caracter continuo como las usadas para expresar relaciones con: longitud, superficie, volumen, capacidad o masa. Los problemas generados por esta ausencia se manifiestan en confusiones reflejadas en respuestas errneas, obtenidas en el trabajo con actividades que requieren discriminar longitud y rea3, tiempo y velocidad4 o longitud y volumen, entre otras. Por ejemplo, en el estudio TIMSS (p. 113), se presenta la siguiente tabla comparativa de respuestas a la pregunta formulada en el rea temtica Medicin, en la cual se observa dificultades para percibir la magnitud volumen, ms an, la decisin sobre cul de los cuerpos tiene diferente volumen se toma considerando la magnitud longitud, como se deduce de la preferencia mayoritaria por el distractor (c): Adicionalmente, en los estndares formulados para los primeros grados de escolaridad no se considera la importancia de desarrollar las operaciones relacionadas con la conservacin, como las compensaciones y las operaciones relacionadas con la transitividad, como las comparaciones con objetos intermedios para lograr una ordenacin lineal de varios objetos segn cierta magnitud. De igual manera, no se tiene en cuenta que resultaEsta dificultad se manifiesta, por ejemplo, cuando al presentar a los nios un cuadrado y un rectngulo (no cuadrado) de igual rea, sealan a este ltimo como el de mayor rea por el hecho de percibir uno de sus lados de mayor longitud que los lados del cuadrado. 4 Esta dificultad de discriminacin entre magnitudes se evidencia incluso en estudiantes de grados superiores (9 y 10), cuando se enfrentan con situaciones como la siguiente: Dos mviles parten simultneamente de puntos opuestos, con velocidades distintas, cada uno en direccin al otro. En el instante en que se encuentran, qu distancia ha recorrido cada uno de ellos?, respecto a la cual, en el proceso de buscar un modelo matemtico para representarla, existe la tendencia a considerar que en el momento del encuentro el mvil que se desplaza a mayor velocidad emplea menor tiempo.3

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C1. Todos los bloques pequeos son de igual tamao. Cul grupo

A.

B.

C.

D.

% Respuestas Colombia 7 Colombia 8 Internacional 7 Internacional 8

A 25.4 28.0 54.0 59.1

B 19.8 22.0 17.3 15.5

C 37.7 36.5 17.9 16.4

D 6.2 5.8 6.3 5.7

ineludible el uso de unidades informales, propias del contexto, a partir de experiencias de medicin directa con objetos concretos, ni que las unidades estandarizadas, tanto en el aula como en la historia de la humanidad, surgen como requerimiento para posibilitar la comunicacin sobre situaciones que involucran la medida. As, debe preguntarse acerca de la pertinencia de exigir a un nio de segundo grado (7 u 8 aos) que reconozca unidades tan pequeas como el gramo, ms an cuando su experiencia no est relacionada con mediciones en el laboratorio, sino con las libras o con los kilogramos o kilos y con sus mitades o cuartas partes, que en su contexto familiar son las medidas utilizadas para referirse al peso de los alimentos. Por otra parte, en la propuesta de estndares no se hace referencia a la necesidad de desarrollar una amplia gama de experiencias que posibilite a los nios la constitucin de unidades de medida especficas, para cada una de las magnitudes y su medicin directa a partir de tales unidades, como condicin indispensable para reconocer patrones generales en las relaciones entre las dimensiones lineales y la medida del rea o el volumen. Por tanto, existe cierta incoherencia al plantear para grado cuarto estndares como:Deduce, comprende y utiliza frmulas para encontrar el rea de rectngulos y de tringulos rectngulos y Comprende el concepto de rea de superficie y desarrolla estrategias para hallar reas de superficies de slidos rectangulares5 ,

mientras que para el grado siguiente (quinto) se proponen estndares que deberan ser previos, por referirse a procesos de medicin sin cuyo dominio carecera de sentido involucrar al estudiante en generalizaciones acerca del rea y el volumen:Maneja con fluidez las unidades mtricas cuadradas y Comprende el concepto de volumen y maneja las unidades mtricas cbicas .Esta expresin no es utilizada en nuestro medio y quizs corresponde a una traduccin poco apropiada de la expresin inglesa rectangular solids, que posiblemente hace referencia a prismas rectangulares.5

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De manera similar, en la formulacin de los estndares no se reconoce la necesidad de un avance gradual, desde el trabajo con magnitudes que pueden ser comprendidas hacia el inicio de la escolaridad (longitud, capacidad y masa), a otras de mayor complejidad (volumen y amplitud angular) cuya comprensin solo podra alcanzarse en secundaria 6. La aceptacin de este hecho exige discriminar qu aspectos, en relacin con una determinada magnitud, deberan ser abordados en el trabajo con nios de un cierto grado y no sealar los mismos aspectos para magnitudes dismiles, como se establece en el siguiente estndar para grado tercero7:Comprende atributos como longitud, rea, peso, temperatura, ngulo, y utiliza la unidad apropiada para medir cada uno de ellos.

Adems, dado que los procesos de medida tienen una impor-tancia capital en la construccin de los conjuntos numricos (particularmente, de los racionales e irracionales), resulta extrao que, en grado sexto, respecto del componente pensamiento numrico, se exija al estudiante distinguir y dar ejemplos de nmeros racionales e irracionales, mientras que en la componente pensamiento mtrico no se haga referencia a procesos de medicin que hacen necesario el surgimiento y uso de dominios numricos diferentes al de los naturales.

Coherencia con propuestas nacionales e internacionalesSi bien en la propuesta de Estndares Curriculares para el rea de matemticas se retoma la estructura curricular planteada en los Lineamientos Curriculares 8, es considerable el distanciamiento respecto de las orientaciones especficas sobre los conocimientos bsicos particularmente el Pensamiento Mtrico y los Sistemas de Medidas, as como los procesos generales all desarrolladas Razonamiento, Resolucin y planteamiento de problemas, Comunicacin, Modelacin y Elaboracin, comparacin y ejercitacin de procedimientos. En el documento de Lineamientos Curriculares para el rea de matemticas, la seccin Pensamiento Mtrico y Sistemas de Medidas comienza con un cuestionamiento a las prcticas tradicionales en la enseanza de la medicin en nuestro pas, al plantear que:

Segn se concluye de algunas investigaciones (ver, por ejemplo, Chamorro, 1991), la comprensin de las magnitudes longitud, capacidad y masa se ubicara entre los seis y los ocho aos, mientras que superficie y tiempo hacia los siete u ocho y volumen y amplitud angular hasta los diez o doce aos 7 Por ejemplo, en tanto en los primeros aos de escolaridad (grado 1 2) el estudiante puede reconocer la longitud y capacidad como atributos de un cuerpo y posteriormente, en relacin con stos, utilizar unidades de medida apropiadas (hacia grado 3), en ese periodo es posible que no conciba unidades de medida para el volumen o la amplitud angular, si an no los reconoce como atributos. 8 Propuestos en 1998 por el MEN, como producto de un proceso de reflexin y anlisis, que cont con la participacin de diversas instituciones educativas e investigadores de la comunidad de educadores matemticos del pas.

6

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El descuido de la geometra como materia de estudio en las aulas y el tratamiento de los sistemas mtricos desde concepciones epistemolgicas y didcticas sesgadas, descuidan por un lado el desarrollo histrico de la medicin y por otro reducen el proceso de medir a la mera asignacin numrica (1998, p. 62).

Ese documento, adems de presentar una amplia fundamentacin terica, en aspectos como los mencionados al comienzo de este escrito, desarrolla un anlisis detallado sobre los procesos y acciones que desde el trabajo de aula contribuiran al aprendizaje de conceptos y procedimientos asociados con la medida. El desconocimiento de estos aspectos en la propuesta de Estndares Curriculares se pone de manifiesto, por ejemplo, al no plantear exigencias diferenciadas para cada uno de los grados de escolaridad, asociadas tanto con los niveles de complejidad en la comprensin de las distintas magnitudes, como con la complejidad en el proceso de construccin de cada una de ellas. En la siguiente tabla se presenta un contraste entre procesos y conceptos, que en los Lineamientos Curriculares son considerados fundamentales para el aprendizaje de la medida, y la referencia que desde la propuesta de Estndares Curriculares se hace de cada uno de ellos, en los diferentes grados, acerca de las magnitudes longitud, rea, peso (masa?), volumen, temperatura, ngulo (amplitud angular?), capacidad y tiempo:Procesos y conceptosConstruccin de los conceptos de cada magnitud Comprensin de los procesos de conservacin de magnitudes Estimacin de magnitudes y proceso de capturar lo continuo con lo discreto Apreciacin del rango de las magnitudes Seleccin de unidades de medida, patrones e instrumentos Diferencia entre unidad y patrn de medicin Asignacin numrica Papel del trasfondo social de la medicinConvenciones: A: rea, P: peso, V: volumen, L: longitud, T: temperatura, a: amplitud angular, C: capacidad, t: tiempo Tabla 1. Procesos y conceptos en el aprendizaje de la medida: Contraste entre Lineamientos y Estndares

Propuesta para cada grado desde los EstndaresP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tamao P, t

L,A V,P,T

L.,A V,P T,a

C

L

L,A V,P T,t,a

t

P

L,A V,P T,a

A V P

C

L,A V,T,a

A

A

A V

A L

A V

Como puede observarse, algunos de los aspectos que en los Lineamientos son tomados como prioritarios, en la propuesta de Estndares no son considerados, o no se hacen explcitos. Por ejemplo, para los diferentes 30


grados de escolaridad no se plantean estndares referidos a los procesos de conservacin ni de apreciacin del rango de magnitudes; tampoco a la diferenciacin entre unidad y patrn de medida; adems, no se reconoce el papel del trasfondo social de la medicin9. Tambin se observa que en los grados de bsica secundaria, los estndares se centran casi exclusivamente en la deduccin y aplicacin de frmulas, y para la educacin media ni siquiera se formulan estndares relativos a la medida. Por otra parte, la propuesta colombiana de Estndares Curriculares retoma del documento del NCTM 10, de los Estados Unidos, prioritariamente formulaciones relacionadas con la asignacin numrica a las magnitudes aunque algunas de ellas parecen ser traducciones inapropiadas, sin embargo omite las relacionadas con aspectos como: constitucin de la unidad de medida, reconocimiento de unidades y sistemas informales, procesos de aproximacin y estimacin, y uso de instrumentos de medida.

Incidencia en la comunidad de profesores de matemticasEn Colombia, las prcticas usuales de enseanza enfatizan en la memorizacin de unidades, sus equivalencias y la conversin interna dentro un sistema de medidas; as como en la aplicacin de frmulas y la realizacin de clculos numricos11. Existe una escasa consideracin de los aspectos cualitativos requeridos para la construccin de diferentes magnitudes: Identificacin de atributos medibles, comparacin de objetos atendiendo a una cierta magnitud y construccin del concepto de unidad de medida. Adems, desde lo cuantitativo, no se adjudica la suficiente importancia a actividades de medicin directa y a uso de instrumentos de medida. Es conveniente analizar la vinculacin que puedan tener estos nfasis en la enseanza con el desempeo de los estudiantes colombianos en los procesos de medicin. Por ejemplo, estudios como el TIMSS (1997), ponen de manifiesto su bajo rendimiento en relacin con estos procesos de medicin y los conceptos asociados. Si bien en este estudio se reconoce que la medicin es de las temticas que presenta mayor dificultad a nivel internacional, en el caso colombiano dicha dificultad es significativamente mayor, como se evidencia, por ejemplo, en la dificultad para la escogencia de unidades de medida adecuadas o para la realizacin de estimaciones y aproximaciones; as como tambin, para diferenciar entre rea y permetro.La escogencia de las unidades, el tipo de instrumentos y la importancia de la precisin en la medicin estn supeditadas a las situaciones frente a las cuales debe actuar el sujeto; por ejemplo, mientras que determinar los metros requeridos para embaldosar un saln no requiere un alto grado de precisin en la medicin, dicha precisin resulta vital cuando se trata de la preparacin de medicamentos. 10 El NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), ha desarrollado en las ltimas dcadas dos propuestas de Estndares Curriculares y de Evaluacin para la Educacin Matemtica, las cuales han sido tomadas como referente en varios pases, la primera de ellas publicada en 1989 y la segunda slo hasta el 2000.9

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La propuesta colombiana de Estndares, en lugar de poner en conflicto y desestabilizar las ineficaces prcticas tradicionales de enseanza, las reafirma, pues al no hacer explcitos referentes tericos en relacin con enseanza y aprendizaje acerca de la medida, podra interpretarse como un listado de contenidos en los cuales se mantiene el privilegio de los aspectos numricos sobre los cualitativos y se acenta la tendencia a presentar aisladamente cada uno de los distintos dominios conceptuales en las matemticas que se trabajan en la escuela.

Algunas observaciones finalesEn tanto se espera que la propuesta de estndares contribuya a orientar el trabajo de los docentes, en relacin con los cambios propuestos desde los Lineamientos Curriculares, es necesario que a aquellos se les aporte elementos adicionales para interpretar dichos cambios; incluso, no es suficiente con la presentacin de formulaciones acordes con resultados de investigacin sobre el aprendizaje por parte de los estudiantes de los conceptos y procedimientos asociados con los conocimientos bsicos, se requiere adems de explicaciones anexas sobre el sentido de cada grupo de estndares acompaadas de actividades para el trabajo de aula, pues debe reconocerse que el conocimiento sobre el aprendizaje de conceptos matemticos no ha sido tematizado, con la profundidad necesaria, en los programas de formacin de docentes de matemticas. De igual manera, es pertinente que los estndares propuestos para cada grado correspondan a categoras coherentes a lo largo de los grados en cuanto a los aspectos seleccionados para cada grado; por ejemplo, para el grado primero uno de los estndares involucra cinco magnitudes, mientras que cada uno de los tres restantes abarca slo un aspecto especfico acerca del tiempo. Ms an, existen formulaciones que corresponderan ms a una tarea puntual que a un estndar, como el planteado para grado primero12:Conoce y nombra los das de la semana y los meses del ao.

Resulta prioritario que, desde el Ministerio de Educacin Nacional, se explicite los referentes tericos que fundamentaron la propuesta de estndares, lo cual posibilitara una mejor comprensin de su sentido y de su relacin con las orientaciones derivadas de la Ley General de Educacin; particularmente, con los Lineamientos Curriculares. En particular es conveniente discutir la pertinencia de formular estndares grado por grado,11 Esta afirmacin es producto de evaluaciones realizadas al interior de programas de formacin continuada de docentes (PFPD y posgrados), desarrollados por diversas instituciones universitarias, y ha sido discutida y aceptada en varios encuentros de carcter regional y nacional. 12 Los das de la semana y los meses del ao no son unidades de ninguna magnitud; aunque el da y el mes s son unidades de duracin.

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en lugar de plantearlos por grupos de grados13, pues se estara desconociendo que es imposible homogenizar los tiempos requeridos por los escolares para el desarrollo de procesos, y adems se limitara la autonoma de las instituciones para la construccin e implementacin de su proyecto educativo (PEI).

Referencias bibliogrficasCHAMORRO, C. y BELMONTE, J. (1991). El problema de la medida. Coleccin Matemticas: Cultura y Aprendizaje, N 11. Madrid: Sntesis. DICKSON, L. y Otros (1991). El aprendizaje de las matemticas. Barcelona: Labor. MEN (1997). Anlisis y resultado de las pruebas de matemticas TIMSSColombia. Serie: Publicaciones para maestros. Santa Fe de Bogot: Ministerio de Educacin Nacional. _____(1998). MATEMTICAS: Lineamientos Curriculares. Santa Fe de Bogot: Ministerio de Educacin Nacional. _____(2002). Estndares para la excelencia en educacin. Bogot: Ministerio de Educacin Nacional. VASCO, C. (1994). Un nuevo enfoque para la didctica de las matemticas. Vol. II. Santa Fe de Bogot: Ministerio de Educacin Nacional.

AgradecimientosLos autores agradecen al Dr. Carlos Eduardo Vasco por los comentarios y sugerencias ofrecidas.

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Como se hizo en los Indicadores de Logro (Resolucin 2343 de 1996) y en los Lineamientos Curriculares (1998 ) del MEN.

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COMPONENTE

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMTRICOS

Anlisis de la propuesta de estndares

CAPTULO

Silvia Bonilla UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA Leonor Camargo Uribe UNIVERSIDAD PEDAGGICA NACIONAL Ana Celia Castiblanco Paiba MINISTERIO DE EDUCACIN NACIONAL Yuly Marcela Vanegas UNIVERSIDAD DISTRITAL

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Aspectos generalesLa construccin de estndares para el desarrollo del conocimiento de los sistemas geomtricos y del pensamiento espacial en la matemtica escolar tendra que partir de una descripcin por lo menos en forma sucinta de dicho conocimiento, tanto en su caracterizacin como una herramienta necesaria para describir, comprender e interactuar con el espacio circundante, como en su identificacin como disciplina cientfica, que descansa sobre importantes procesos de formalizacin que son ejemplo de rigor, abstraccin y generalidad. Mammana y Villani (1998)1 han identificado las siguientes dimensiones propias del conocimiento geomtrico. La geometra puede verse como: una ciencia del espacio y la forma. Desde sus races como herramienta para describir y medir figuras, se han ido constituyendo teoras, ideas y mtodos mediante los cuales podemos construir y estudiar modelos idealizados del mundo fsico o de fenmenos que acontecen el el mundo real. un mtodo para representar visualmente conceptos y procesos de otras reas de las matemticas como la aritmtica, el lgebra o el clculo, o de otras ciencias naturales y sociales. un punto de encuentro entre la matemtica vista como una teora abstracta y la matemtica vista como un recurso de modelacin. una va para desarrollar pensamiento y comprensin, y, en un nivel avanzado, como una teora formal. un ejemplo paradigmtico para ensear razonamiento deductivo. una herramienta en aplicaciones, tanto en forma tradicional, como de manera innovativa. Ya sea vista como una ciencia que modela nuestra realidad espacial, como un excelente ejemplo de sistema formal o como un conjunto de teoras estrechamente conectadas, la geometra cambia y evoluciona permanentemente y no se puede identificar nicamente con las proposiciones formales referidas a definiciones, conceptos, o teoremas, tal como se asume en la propuesta de estndares del Ministerio de Educacin. En dicho documento el conocimiento geomtrico parece estar referido a la adquisicin de un cmulo de informacin desordenada, aislada y caprichosa tanto en contenido como en secuencia y por lo tanto poco productiva en trminos de la construccin de un conocimiento geomtrico sistemtico y profundo que lleve al desarrollo de la competencia geomtrica que se enuncia en la introduccin del documento.1

Mammana C; VILLANI V. Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. Kluwer Academic Publishers. p. 340 (1998).

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Para los autores del documento propuesto, el desarrollo del pensamiento espacial y el conocimiento de los sistemas geomtricos consiste en una acumulacin de acciones de reconocimiento de formas geomtricas y su descripcin en trminos de sus partes y sus propiedades. Por eso el mayor porcentaje de estndares est referido a reconocer y describir formas bi y tri dimensionales. El privilegiar la accin cognitiva de reconocimiento, pone en evidencia un desconocimiento de los avances tericos en el campo del razonamiento espacial, investigaciones que han identificado el reconocimiento como un primer nivel de razonamiento geomtrico necesario para comenzar el proceso de matematizacin pero insuficiente para lograr su pleno desarrollo. Por ejemplo, el modelo de razonamiento geomtrico de Van Hiele identifica una evolucin en el razonamiento en geometra a travs de los niveles de reconocimiento, anlisis, clasificacin, deduccin y rigor y describe las caractersticas de dichos procesos de pensamiento frente a tareas de construccin de definiciones, produccin de argumentos o demostraciones.2 Adems del trmino reconocer, los estndares mencionan en forma insistente la accin de clasificar formas geomtricas en trmino de ubicar las figuras geomtricas en clases segn sus partes, con el objeto de diferenciar unas de otras. Se asimila el proceso de clasificacin con una actividad de organizacin de figuras prototpicas y no como una actividad matemtica. De esta manera se trivializa el proceso de clasificacin y se ignora que ste implica una discriminacin de caractersticas relevantes e irrelevantes de un objeto geomtrico, clasificacin que permite obtener informacin nueva sobre las figuras y sobre la que descansa la inferencia geomtrica. Solo mediante un autntico proceso matemtico de clasificacin es posible dar sentido a las definiciones de conceptos y relaciones geomtricas pues se toma conciencia de la informacin que subyace a cada uno de los trminos que se usan en ellas.3 De la misma manera que sucede con los verbos reconocer y clasificar no hay un planteamiento explcito de lo que se est entendiendo por comprender o entender. Por tal razn, estndares como entiende los conceptos de congruencia y semejanza (grado 4) no aclaran qu es lo queAdems de caracterizar el razonamiento, describiendo los procesos de pensamiento sealados, el modelo de Van Hiele afirma que el progreso a travs de los diversos niveles depende de la instruccin recibida, ms que de la edad o la madurez de una persona. Por lo tanto, el mtodo, la organizacin de la enseanza, las temticas que se escogen y los materiales que se emplean deben ser aspectos de preocupacin permanente por parte de los educadores. Adems del modelo de razonamiento los esposos Van Hiele sugieren una secuencia de enseanza en 5 fases secuenciadas: informacin, orientacin dirigida, explicitacin del lenguaje, orientacin libre e integracin. Para mayor informacin, consltese: - GONZALEZ S. Una introduccin al modelo de razonamiento geomtrico de Van Hiele. Memorias del VII Encuentro de Geometra y sus Aplicaciones. UPN, junio 19 21, pp. 97 119. 1996 - CAMARGO L; SAMPER C. Desarrollo del Razonamiento a travs de la Geometra Euclidiana. Revista TEA de la Facultad de Ciencia y Tecnologa de la Universidad Pedaggica Nacional. No. 5, pp 59 71. Bogot, 1995. - GUTIERREZ A; JAIME A. Geometra y algunos aspectos generales de la Educacin Matemtica. Una Empresa Docente. Universidad de los andes. Bogot, 1998. - CROLEY M. Thee Van Hiele Model of the Development of Geometry Thought. En Learning and Teaching Geometry, K 12. Yearbook 1987. NCTN, Reston, Virginia.2

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realmente se espera de los alumnos sobre estas relaciones, mxime cuando no se espera de las figuras geomtricas sino un reconocimiento de las formas tpicas de representacin, el reconocimiento de las clases de figuras y su notacin. Es de suponer que dichos verbos se usen como sinnimos de reconocer, pues en cuarto de primaria no podra esperarse de los alumnos ms que una aproximacin intuitiva a las nociones de semejanza y congruencia. El verbo entender en matemticas es mucho ms que eso. Implica por un lado, un acercamiento a un nivel deductivo de razonamiento cuando los objetos geomtricos se integran a sistemas axiomticos y su conceptualizacin se basa en el papel que ocupan en cadenas deductivas, y, por otro lado, el uso de dichos conceptos como herramientas en la solucin de problemas, o en la modelacin de fenmenos de diversos campos.4 La falta de claridad sobre el conocimiento geomtrico y los procesos de pensamiento sobre los que este descansa, conduce a los autores a ignorar que el aprendizaje de la geometra resulta de una compleja red de interacciones entre procesos de visualizacin y procesos de elaboracin de enunciados acerca de las propiedades de las relaciones geomtricas de los objetos y sus elementos constitutivos y que los acercamientos espontneos, producto de hacer uso de dichas funciones cognitivas tal y como se usan en el conocimiento informal (no matemtico), produce un acercamiento trivial al conocimiento geomtrico, intil e improductivo tanto para la resolucin de problemas y la modelacin, como para el desarrollo del razonamiento deductivo. En ninguno de los estndares se evidencia, se lee o se infiere, la importancia de la resolucin de problemas en la construccin del conocimiento geomtrico y cmo dicho conocimiento posibilita generar herramientas para solucionar diversas situaciones, es decir, representar situaciones problema con modelos geomtricos, lo cual posibilitara construir una visin de la matemtica como una actividad humana, que nos permite configurar el mundo. Estas afirmaciones no son gratuitas. A lo largo de los estndares propuestos se observan tal cantidad de errores conceptuales, incoherencias,Sobre la construccin de definiciones conviene estudiar la teora de Vinner y Tall, sobre las imgenes conceptuales de los objetos geomtricos. Consltese por ejemplo: - GUTIERREZ A; JAIME A. Geometra y algunos aspectos generales de la Educacin Matemtica. Una Empresa Docente. Universidad de los Andes. Bogot, 1998. - HERSHKOWITZ R; VINNER S; BRUCKHEIMER M. Activities with Teachers Based on Cognitive Research. En Learning and Teaching Geometry, K 12. Yearbook 1987. NCTN, Reston, Virginia. - ALSINA C; FORTUNY J; PEREZ R. Por qu Geometra?. Propuestas Didcticas para la ESO. Editorial Sntesis. Coleccin Educacin Matemtica en Secundaria, 1997. - ACUA S Claudia (1996).Un modelo de tratamiento didctico para la enseanza de la geometra en el nivel medio superior. En ESPINOSA F (ed), Investigaciones en Matemtica Educativa; Grupo Editorial Iberoamrica; I Mxico, p 23 - 111. - VINNER, S (1989), The avoidance of visual considerations in calculus students. En HITT, F (1998). Visualizacin matemtica, representaciones, nuevas tecnologas y currculo. Revista Educacin Matemtica. Vol. 10, no. 1, abril. - FARRELL Margaret (1987). Geometry for Seciondary School Teachers. En NCTM, Yearbook; Learning and teaching geometry, k -12; Reston Virginia, p 236- 250. 4 Bibliografa sugerida: - MORRIS R. Estudios en Educacin Matemtica. Enseanza de la Geometra. Volumen 5. UNESCO, 1986. - BOLT B. Qu es la Geometra?. Revista SUMA 29, noviembre de 1998. pp. 5 16.3

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inconsistencias, falta de secuenciacin e imprecisiones del lenguaje que no queda ms que preguntarse cmo se presenta esta propuesta en ese estado de elaboracin? Veamos algunos aspectos que sustentan estas afirmaciones.

Anlisis especficoAcerca de los procesos cognitivos que subyacen a la actividad geomtricaVisualizacin Los procesos de visualizacin han cobrado importancia en el mbito de la matemtica escolar, no solo como consecuencia del advenimiento de programas informticos que posibilitan la representacin grfica de muchos aspectos de la matemtica, sino con los estudios acerca del funcionamiento cognitivo de la mente. El aceptar que muchas de las ideas centrales de la matemtica se construyen con base en percepciones visuales y que muchos estudiantes se apoyan ms en este tipo de representaciones que en los acercamientos puramente simblicos, ha llevado a retomar en el currculo objetivos tendientes a visualizar propiedades matemticas como un inicio fundamental al estudio de estas5. El potencial de los procesos de visualizacin estriba en la integracin de procesos por medio de los cuales se obtienen conclusiones, a partir de las representaciones mentales de los objetos bi o tridimensionales y de las relaciones o transformaciones observadas en construcciones y manipulaciones. Est en estrecha relacin con lo que Duval llama el proceso de visualizacin respecto a la representacin del espacio, la exploracin heurstica o la visin sinptica de una situacin compleja. Durante la visualizacin se liga la percepcin visual con caractersticas, propiedades o relaciones matemticas. Luria reconoce que el razonamiento visual surge como resultado de una compleja actividad mental analtico sinttica que destaca rasgos esenciales de lo que se est viendo y mantiene inhibidos otros que no lo son. Esto implica combinar dos procesos: de anlisis, en donde se desmembra al objeto en sus caractersticas, y de sntesis, mediante el cual se construye una nueva estructura que se compara con la percepcin anterior, para clasificarla dentro de ella o asignarle otra categora6. Desafortunadamente en la propuesta de estndares del MEN no se observa un trabajo secuencial en trminos de la produccin de diversasBibliografa sugerida: - CAMARGO L; SAMPER C; LEGUIZAMON C. Visualizacin y Razonamiento visual. XVIII Coloquio Distrital de Matemticas y Estadstica. Bogot, 2001. - PLACENCIA I et al (1998). Visualizacin y creatividad. En Revista Educacin Matemtica. Vol. 10, No. 1, p. 102 120. - HITT F (1998). Visualizacin matemtica, representaciones, nuevas tecnologas y currculo. Revista Educacin Matemtica. Vol. 10, no. 1, abril.5

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representaciones de las figuras y el estudio de las propiedades geomtricas que una o otra representacin explicitan. Solo hay dos estndares referidos a la visualizacin: en primer grado: describe, argumenta matemticamente acerca de figuras, formas y patrones que pueden ser vistos o visualizados y en grado 10:visualizar objetos geomtricos en tres dimensiones desde diferentes perspectivas... Desde grado 2 hasta 9 no se propone ningn trabajo al respecto. Representacin El inters en lograr que los estudiantes construyan de forma significativa el conocimiento matemtico conduce a pensar, entre otras cosas, en el problema de la comprensin en matemticas y en los elementos que la posibilitan. En este sentido algunas de las actividades del trabajo matemtico escolar deben estar encaminadas a reconocer y conocer caractersticas de los diversos objetos matemticos, a travs del estudio de los diferentes sistemas de representacin asociados a cada uno de stos. Al respecto, de la importancia del conocimiento y uso de los sistemas de representacin autores como Duval (1999) y Rico (1997) plantean respectivamente:no hay conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representacin. Hacer matemticas implica ms que la simple manipulacin de smbolos matemticos; implica interpretar situaciones matemticamente; implica matematizar (o sea, cuantificar, visualizar o coordinar) sistemas estructuralmente interesantes; implica utilizar un lenguaje especializado, smbolos, esquemas grficos, modelos concretos u otros sistemas de representacin para desarrollar descripciones matemticas o explicaciones, o construcciones que permitan plantear predicciones tiles de tales sistemas

El representar un mismo objeto de maneras distintas, posibilita establecer relaciones posibles entre elementos pertenecientes a cada uno de los sistemas de representacin, ya que cada uno de stos, junto con las reglas que los acompaan, propone una caracterizacin distinta de los conceptos. El estudio de los diferentes sistemas de representacin asociados a un concepto lleva a los estudiantes a construir y comunicar su conocimiento matemtico escolar, y a los docentes a observar evidencias de la comprensin lograda por ellos.6 Bibliografa sugerida: - HERSHKOWITZ, R (1998). About Reasoning in Geometry. En MAMMANA C; VILLANI V (eds). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st Century. Kluwer Academic Publishers, Netherlands. - DUVAL, R (1998). Geometry from a cognitive point of view. En MAMMANA C; VILLANI V (eds). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st Century. Kluwer Academic Publishers, Netherlands. - CLEMENS, DOUGLAS; BATTISTA, MICHAEL (1992). Geometry and Spatial Reasoning. En GROUWS, DOUGLAS (ed.). Handbook of Research on Mathematics teaching and Learning: a Project of the National Council of Teachers of Mathematics. NCTM, New York. - GRAVEMEIJER, K (1998). En About Reasoning in Geometry. En MAMMANA C; VILLANI V (eds). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st Century. Kluwer Academic Publishers, Netherlands.

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Infortunadamente en la propuesta de los estndares del MEN no se evidencia la posibilidad de mostrar y caracterizar los objetos geomtricos de diversas formas, y la importancia de la contrastacin de los mismos, en el sentido de la informacin y relaciones que se posibilita establecer desde cada uno de estos sistemas. La caracterizacin de los objetos matemticos se limita al reconocimiento de partes de los objetos, y a la enunciacin (verbalizacin) de las mismas. Por ejemplo, en sexto grado se plantea el siguiente estndar: identifica los poliedros, sus componentes y sus caractersticas, lo cual propone una mirada reduccionista sobre dichos objetos geomtricos. No se plantea la utilizacin de representaciones planas de cuerpos geomtricos espaciales, adecuadas obviamente a las diferentes edades de los estudiantes que les posibilite mejorar su comprensin acerca de esta clase de objetos, y desarrollar destrezas para dibujarlos o construirlos, atendiendo a sus atributos y realizar proyecciones de los mismos. Razonamiento Los procesos de razonamiento son considerados como todas las acciones que las personas realizan, para comunicar y explicar a otros y a ellos mismos lo que ven, lo que piensan y lo que concluyen. Al reconocer a la matemtica como construccin humana, en permanente cambio y evolucin, se evidencia que en el proceso de su desarrollo tienen lugar diferentes tipos de razonamiento, los cuales se asemejan, de algn modo con la comunicacin informal en la interaccin cotidiana. Por tanto, se reconocen como funciones del razonamiento explicar, comprender y convencer, adems de demostrar.7 Esta nueva forma de ver el razonamiento permite identificar lo que se considera razonar en geometra: poder establecer relaciones entre conceptos geomtricos o informacin geomtrica conocida, argumentar con razones fundadas acerca de una propiedad, relacin o situacin geomtrica, comprender los distintos elementos que conforman una teora geomtrica, dar significado a los conceptos y procedimientos geomtricos y comunicar, en forma convincente, los resultados de indagaciones en geometra.8 En la propuesta de estndares no se construyen redes conceptuales basadas en el establecimiento de asociaciones entre relaciones u operaciones geomtricas parecidas. Por eso se proponen temticas de manera aislada que se segmentan caprichosamente de grado a grado. Por ejemplo, el trabajo con transformaciones geomtricas solo aparece en 1 (reconoce y aplica traslaciones a objetos y figuras y los representa mediante objetos), 2 (reconoce y crea figuras simtricas; entiende y aplica rotaciones a objetos yBibliografa sugerida: - DUVAL R (1998). Geometry from a cognitive point of view. ?. En En MAMMANA C; VILLANI V (eds). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st Century. Kluwer Academic Publishers, Netherlands. - RICO, L (1995). Consideraciones sobre el currculo escolar de matemticas. Revista EMA, vol 1, No. 1, p. 4 24 - BISHOP A (1986). Cules son algunos de los obstculos para el aprendizaje de geometra. En MORRIS R (ed). Estudios en Educacin Matemtica: Enseanza de la geometra. UNESCO. 8 - SAMPER C; LEGUIZAMON C; CAMARGO L. Razonamiento en geometra . Revista EMA, vol. 6, no. 2, marzo de 2001.1

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figuras), 3(reconoce y ejecuta transformaciones de estiramiento (homotecia), traslacin, simetra, reflexin y rotacin) y 8(reconoce la simetra rotacional, sus componentes y propiedades), sin seguir un proceso metodolgico que permita diferenciarlos y comprenderlos apropiadamente. Igualmente la conceptualizacin propuesta sobre los objetos geomtricos y sus relaciones es tan trivial, que slo se basa en el reconocimiento y no a la identificacin de las propiedades geomtricas relevantes (necesarias y suficientes) como producto de la exploracin sobre las figuras y las relaciones entre sus elementos constitutivos, tarea que se traduce en la construccin de definiciones (que sintetizan relaciones de inferencia entre propiedades geomtricas), y no en su reconocimiento. Con relacin al papel que juega la geometra en la formacin del razonamiento deductivo, este potencial no se explota pues no se avanza en la construccin de un sistema axiomtico. Se introduce la demostracin sin una contextualizacin de para qu ni por qu, violando el contrato didctico existente hasta grado 7, en el que las proposiciones matemticas se ensean sin demostracin. Por lo tanto no se construye el sentido de la demostracin, a partir de una propuesta sistemtica de bsqueda de validez sobre conjeturas que lleve de la explicacin en primera instancia, a la prueba en segundo lugar y posteriormente a la demostracin propiamente dicha. Cuando se pide demostrar, no se sabe con base en qu afirmaciones o postulados elaborar una prueba o qu se asume como verdadero. Ejemplo de ello es el conjunto de estndares que introducen la demostracin en una org

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