Cuadernillo Teórico de Matemática -...

Escuela Bernardino Rivadavia

Cuadernillo Teórico de

Matemática

Sexto Grado

2018

Docentes: Alida Fernández

Cristina Ontiveros

Luis Tejada

Cuadernillo Teórico de Matemática 2017

1 Escuela Bernardino Rivadavia

Índice

Sistema de Numeración Decimal………………………………………….. 3

Lectura y escritura………………………………………………………. 3

Valor absoluto (V. A.) valor relativo (V. R.)…………………………... 3

Sistema de Numeración Romano………………………………………….. 4

Símbolos del sistema romano………………………………………….. 4

Reglas básicas del sistema de numeración romano………………… 4

Propiedades de las operaciones……………………………………………. 5

Potenciación…………………………………………………………………... 7

Potencias especiales……………………………………………………. 7

Radicación…………………………………………………………………….. 7

Ejercicios Combinados………………………………………………………. 8

Reglas…………………………………………………………………….. 8

Lenguaje Coloquial y Simbólico…………………………………………….. 9

Ecuaciones……………………………………………………………………. 10

Múltiplos y Divisores…………………………………………………………. 11

Números primos y compuestos………………………………………... 11

Criterios de divisibilidad………………………………………………… 11

Diagrama de árbol, factorización………………………………………. 12

MCM………………………………………………………………………. 13

DCM……………………………………………………………………….. 13

Fracción………………………………………………………………………… 15

Partes, clasificación………………………………………………………. 15

Fracción en la recta numérica…………………………………………… 15

Fracción decimal………………………………………………………….. 17

Número mixto………………………………………………………………17

Fracción equivalente………………………………………………………18

Operaciones con fracción………………………………………………… 20

Porcentaje……………………………………………………………………… 22

Números Decimales…………………………………………………………… 23

Lectura, escritura, operaciones…………………………………………. 25

Proporcionalidad Directa e Inversa………………………………………….. 29

Constante y gráfica……………………………………………………….. 30

Proporcionalidad inversa…………………………………………………. 30



Regla de tres simple……………………………………………………… 30

Entes geométricos……………………………………………………………... 31

Punto, recta, semirrecta, plano, semiplano……………………………... 31

Ángulos…………………………………………………………………………. 33

Clasificación……………………………………………………………….. 33

Cóncavo y convexo……………………………………………………….. 34

Clasificación de pares de ángulos………………………………………. 35

Mediatriz……………………………………………………………………….....35

Bisectriz………………………...………………………………………………. 36

Sistema sexagesimal………………………………………………………….. 36

Operaciones……………………………………………………………........ 37

Polígonos……………………………………………………………………….. 37

Clasificación y propiedades……………………………………………… 38

Triángulos: clasificación y propiedades……………………………………… 39

Altura y mediana…………………………………………………………… 40

Construcción……………………………………………………………….. 42

Cuadriláteros……………………………………………………………………. 42

Clasificación y propiedades………………………………………………. 43

Construcción…………………………………………………………………44

Círculo y circunferencia: elementos…………………………………………... 45

Perímetro y área……………………………………………………………....... 46

SIMELA………………………………………………………………………….. 47

Longitud…………………………………………………………………….. 47

Capacidad………………………………………………………………….. 48

Peso y masa……………………………………………………………….. 48

Superficie…………………………………………………………………… 49

Unidades agrarias…………………………………………………………. 49

Unidades de tiempo……………………………………………………….. 50

Estadística………………………………………………………………………. 51

Elementos de estadística…………………………………………………. 51

Tablas estadísticas………………………………………………………… 51

Ejes cartesianos…………………………………………………………… 52

Gráficos: circulares, de barras…………………………………………… 52

Bibliografía………………………………………………………………….. 55



Sistema de Numeración Decimal:

El sistema de numeración que nosotros utilizamos, recibe el nombre de decimal, ya que a

partir de diez dígitos se puede formar cualquier número.

Cada dígito tiene su valor de acuerdo al lugar que ocupa en el numeral, por esta razón con

solo esos diez dígitos se pueden obtener diferentes numerales.

Nuestro sistema de numeración es decimal porque utiliza diez símbolos, llamados cifras o

dígitos, con los que se pueden escribir todos los números; también porque las unidades se

agrupan de diez, es decir, diez unidades forman una decena, diez decenas equivalen a una

centena, etc.

1 U

1 D = 10 U

1 C = 10 D = 100 U

1 U mil = 10 C = 1.000 U

1 D m = 10 U m = 10.000 U

1 C m = 10 d m = 100.000 U

1 U Millón = 10 c m = 1.000.000 U

1 D M = 10 U M = 10.000.000 U

1 C M = 10 D M = 100.000.000 U

1 U m M = 10 C M = 1.000.000.000 U

1 D m M = 10 U m M = 10.000.000.000 U

1 C m M = 10 D m M = 100.000.000.000 U

1 U Billón = 10 C m M = 1.000.000.000.000 U

1 D B = 10 U B = 10.000.000.000.000 U

1 C B = 10 D B = 100.000.000.000.000 U

Otra de las características es que este sistema es posicional, ya que cada cifra tiene un

valor según la posición que ocupa en el número.

C D U C D U C D U C D U C D U

9 1 7 6 2 3 1 7 8 9 0 4 5 8 0

Millones Miles UnidadesMiles de MillonesBillones

917 623 178 904 580

Novecientos diecisiete Seiscientos veintitrés Ciento setenta y ocho Novecientos cuatro Quinientos ochenta Billones Mil Millones Mil

Cada cifra tiene un valor absoluto (VA) y un valor relativo (VR):

28.586

VA = 8

VR = 8 U m

8.000 U

8 x 1.000



Sistema de Numeración Romano:

Este sistema es no posicional, por lo cual no utiliza el

cero. Cada símbolo tiene siempre el mismo valor,

independientemente del lugar que ocupen. Este sistema

emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para

representar ciertos números, la mayor parte de números se

escriben como combinaciones de letras.

Símbolos:

Reglas básicas del sistema de numeración romano:

Reglas de la adición:

Si un símbolo de menor valor se encuentra a la derecha, se suman.

Ejemplo: XI = 10 + 1 = 11

Reglas de la sustracción:

Si un símbolo de menor valor se encuentra a la izquierda, se resta.

Ejemplo: IX = 10 – 1 = 9

Sólo pueden restarse los símbolos I, X, C.

El símbolo I se resta sólo a V y X

Ejemplo: IV = 5 – 1 = 4

IX = 10 – 1 = 9

El símbolo X se resta sólo a L y C

Ejemplo: XL = 50 – 10 = 40

XC = 100 – 10 = 90

El símbolo C solo se resta a D y M.

Ejemplo: CD = 500 – 100 = 400

CM = 1.000 – 100 = 900

Reglas de la repetición:

Sólo se pueden repetir los símbolos I, X, C.

Se pueden repetir hasta tres veces seguidas.

Si un número romano tiene una raya sobre él, entonces su valor se multiplica por

mil.

Ejemplo: V = 5.000

Es importante que frente a algunos problemas además de organizar la información (incógnita, datos) y estimar la solución, realicen un planteo

para resolverlo.

Sólo el que intenta ser organizado podrá aprender matemática.



Si un número romano tiene dos rayas sobre él, entonces su valor se multiplica por

un millón.

Ejemplo: V = 5.000.000

Propiedades de las operaciones:

Las cuatros operaciones básicas que utilizamos son: suma, resta, multiplicación y división.

Recordemos sus elementos y propiedades:

Operación Notación Ejemplo

Adición a + b 12 + 15 = 27 sumandos suma

Sustracción a – b

sustraendo 75 – 19 = 57 minuendo diferencia

Cada número de una suma o resta se llama término.

Operación Comportamiento

del 0 Conmutativa Asociativa Disociativa

Adición

4 + 0 = 4

0 + 4 = 4

5 + 4 + 6 = 15

6 + 4 + 5 = 15

4 + 6 + 5 = 15

5 + 6 + 4 = 15

5 + (4 + 6) = 5 + 10 = 15

(5 + 4) + 6 = 9 + 6 = 15

5 + 10 = 15 (3 + 2) + (6 + 4) = 15

Sustracción 8 – 0 = 8 8 – 3 = 3 – 8

En la suma se verifican las propiedades conmutativa y asociativa. En la resta no se verifica ninguna propiedad.

Propiedades de la suma y la resta:



Op

era

ció

n

Comportamiento del 0 y del 1 Conmutativa Asociativa Distributiva Disociativa

Multip

licació

n

3 . 0 = 0

0 . 3 = 0

3 . 1 = 3

1 . 3 = 3

5 . 3 . 2 = 30

2 . 3 . 5 = 30

3 . 2 . 5 = 30

3 . 5 . 2 = 30

(5 . 3) 2 = 15 . 2 = 30

5 (3 . 2) = 5 . 6 = 30

a) Con respecto a la adición:

(8 + 5) . 2 = 2 . 8 + 5 . 2 = 16 + 10 = 26

b) Con respecto a la resta:

(7 – 2) . 5 = 7 . 5 – 2 . 5 = 35 – 10 = 25

6 x 9 = 54 (2 x 3) x (3 x 3) = 54

Div

isió

n 0 : 3 = 0

3 : 0 no tiene solución

3 : 1 = 3

8 : 2 = 2 : 8

a) Con respecto a la adición:

(10 + 6) : 2 = 10 : 2 + 6 : 2 = 5 + 3 = 8

b) Con respecto a la resta:

(9 – 6) : 3 = 9 : 3 – 6 : 3 = 3 – 2 = 1

48 : 12 = 4 48 : 3 : 4 = 4 16 : 4 = 4

En la multiplicación se verifican las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

La multiplicación distribuye doblemente a la adición y a la sustracción.

En la división sólo se verifica la propiedad distributiva.

La división distribuye a la adición y a la sustracción solamente a la izquierda.

Operación Notación Ejemplo

Multiplicación a x b a . b a b

37 x 6 = 222 factores producto

División

a : b a / b

a b

divisor 126 : 3 = 42 dividendo cociente

Propiedades de la multiplicación y de la división:



Potenciación:

La potenciación es un producto de factores iguales.

73

73 = 7 x 7 x 7 = 343

Potencias Especiales:

Toda potencia de exponente cero y base distinta de cero, es igual a 1:

Ejemplo: 120 = 1

Toda potencia de exponente 1, es igual a la base:

Ejemplo: 31 = 3

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el

exponente. Ejemplo: 103 = 1.000

Toda potencia de base uno, es igual a uno, cualquiera sea su exponente:

Ejemplo: 17 = 1

Radicación:

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Se llama exponente, indica

la cantidad de veces que se

repite la base.

Se llama base, es el factor

que se repite.

En las raíces

cuadradas el

índice no se

escribe.

Radicando:



Ejercicios Combinados:

Los ejercicios combinados son una combinación de operaciones, que necesitan seguir un

orden para poder resolverlas:

1º. Separa en términos teniendo en cuenta los signos + y -.

2º. Calcula las operaciones que hay dentro de los paréntesis.

3º. Calcula raíces y potencias.

4º. Calcula las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

5º. Calcula sumas y restas en el orden que aparecen.

Por ejemplo:

5 + 6 : (7 – 4) 36 : 4 – 3 x 2 + 8

5 + 6 : 3 9 – 3 x 2 + 8

5 + 2 9 – 6 + 8

7 3 + 8

11

Al hacer operaciones combinadas, primero calculamos los paréntesis, después las raíces y

potencias, luego las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y resta.

Se lee: Raíz

√16 raíz cuadrada de 16 4

3√8 raíz cúbica de 8 2

4√81 raíz cuarta de 81 3

Con paréntesis.

Sin paréntesis.



Lenguaje Coloquial y Simbólico:

El lenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se llama lenguaje coloquial. En

matemática se utiliza un lenguaje simbólico.

Ejemplo:

Gabriel, Luis y Juan están ahorrando dinero para las vacaciones. Luis tiene el doble que

Gabriel más $700, y Juan tiene la mitad que Gabriel. Si Gabriel tiene $5.600, ¿quién tiene más

dinero?

Para calcular lo que tiene Luis, se hace: 2 . $5.600 + $700 = $11.900

Para calcular lo que tiene Juan, se hace: $5.600 : 2 = $2.800

Luis es el que tiene más dinero.

Para escribir en lenguaje simbólico un número cualquiera se utilizan las letras de

nuestro abecedario.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

El triple de un número. 3 . x

El anterior de un número. a – 1

El producto entre un número y diez. b . 10

El siguiente de un número. x + 1

El doble de un número. 2 . x

La mitad de un número. x : 2

La tercera parte de un número. x : 3

La quinta parte de un número. x : 5

El cociente entre treinta y cuatro y un número. 34 : c

La diferencia entre el doble de un número y diecinueve. 2 . d – 19

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

El doble de ocho. 2 . 8

El siguiente de veintidós. 22 + 1

La tercera parte de seis. 6 : 3

La diferencia entre treinta y veinte. 30 – 20

El doble del anterior de doce. 2 . (12 – 1)

El anterior de veinticinco. 25 – 1

La mitad de dieciséis. 16 : 2

La mitad del anterior de siete. (7 – 1) : 2

El anterior del doble de doce. 2 . 12 – 1

¿



Ecuaciones:

Se llama ecuaciones a las igualdades que tienen un dato desconocido o incógnita.

El signo igual separa una ecuación en dos partes; cada una de ellas se llama miembro.

x + 5 = 30

1º miembro 2º miembro

2 . x + 10 = 14

1º miembro 2º miembro

Para resolver la siguiente ecuación, pueden ayudarse con el diagrama de la derecha:

8 . x + 30 = 70 multiplicado por 8 más 30

x = (70 – 30) : 8 x 70

x = 5 dividido 8 menos 30

Ejemplo:

Belén y su familia fueron al zoológico. En total eran 3 adultos y 4 menores. Si la entrada

para cada adulto cuesta $150 y en total pagaron $850, ¿cuánto cuesta la entrada para cada

menor?

x representa el valor de la entrada de los menores.

3 . 150 + 4 x = 850

450 + 4 x = 850

x = (850 – 450) : 4

x = 400 : 4

x = 100

La entrada de los menores cuesta $100 a cada uno.

Resolver una ecuación

significa hallar el valor de la

incógnita.



Múltiplos y Divisores:

Múltiplos:

Se llama múltiplo de un número al producto de éste número por

cualquier número natural. Por ejemplo: los múltiplos de 4 son 0, 4, 8,

12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…

Es decir que un número es múltiplo de otro si se lo puede

expresar como un producto donde ese número es uno de los factores.

También podemos formar una secuencia sumando el mismo número al término anterior.

Por ejemplo:

+ 3 + 3 + 3 +3 + 3 + 3 + 3

3 6 9 12 15 18 21 24

Divisores:

Los divisores de un número, son los números naturales que dividen a ese número (división

exacta).

Un número b es divisor de otro a si la división a / b es exacta, es decir con resto cero. Si b

es divisor de a, a es múltiplo de b, y si a es múltiplo de b, b es divisor de a.

Ejemplo:

Mónica va a pegar 21 fotografías en su álbum. Quiere poner en cada hoja el mismo número

de fotos y que no le sobre ninguna.

¿Puede poner 3 fotos en cada hoja? ¿Y 4 fotos?

Si pone 3 fotos en cada hoja:

21 3 No le sobra ninguna foto.

0 7 La división es exacta.

Si pone 4 fotos en cada hoja:

21 4 Le sobra 1 foto.

1 5 La división

Si puede poner 3 fotos en cada hoja.

El número 3 es divisor de 21.

No puede poner 4 fotos en cada hoja.

El número 4 no es divisor de 21.

Los números que sólo tienen dos divisores, el

1 y sí mismo, son llamados primos.

Los números con más de 2 divisores se llaman

compuestos.

El 0 y el 1 no son primos ni compuestos.



Criterios de Divisibilidad:

Un número es divisible por

Cuando... Completar

con ejemplos

2 …termina en 0 o en un número par.

3 …la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

4 …sus dos últimas cifras forman múltiplo de 4 o sus dos últimas cifras son ceros.

5 …termina en 0 o en 5.

6 …es divisible por 2 y por 3.

8 …sus tres últimas cifras forman u múltiplo de 8 o sus tres últimas cifras son ceros.

9 …la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

10 …la cifra de la unidad es 0.

Para tener en cuenta:

El cero es múltiplo de todos los números.

El uno es divisor de todos los números.

Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo.

Los múltiplos son infinitos.

El cero no es divisor de ningún número.

Si un número es múltiplo de otro, éste es divisor del primero.

Factorización:

Todo número natural puede expresarse como producto de factores primos. Una forma

de descomponer un número en sus factores primos es la siguiente:

1º. Dividir el número natural por el menor número primo posible.

2º. El resultado obtenido, volver a dividirlo por el mismo número primo en caso que sea

posible, sino por otro número primo.

3º. Seguir éste proceso hasta que se obtenga cociente 1.

Por ejemplo:

En una tabla Diagrama de árbol

45 3 45

15 3 15 3

5 5 5 3

1

Entonces 45 = 3 . 3 . 5 = 32 . 5



MCM y DCM:

Tomás compra siempre los jugos en pack de 2 y los batidos en pack de 3. Hoy ha

comprado el mismo número de jugos que de batidos y el menor número posible de ellos.

¿Cuántos jugos y cuántos batidos ha comprado hoy?

Compra pack de jugos de 2 y de 3 batidos. 1º. Calcula los primeros múltiplos de cada número.

Compra tantos jugos como batidos. 2º. Busca los múltiplos comunes de ambos números.

Compra el menor número posible de jugos y batidos. 3º. Busca el menor múltiplo común, distinto de cero.

Tomas ha comprado hoy 6 jugos y 6 batidos.

Este número se llama mínimo común múltiplo de 2 y 3, y se escribe m.c.m. (2 y 3).

El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6:

m.c.m. (2 y 3) = 6

֎ Una forma más práctica de calcular el MCM:

Para calcular el MCM de dos o más números realizamos el factoreo de los mismos.

6 8 2

3 4 2 MCM (6-8) = 2 x 2 x 2 x 3

3 2 2 MCM (6-8) = 23 x 3

3 1 3 MCM (6-8) = 24

1

MCM

El MCM entre varios números es el menor número

que es múltiplo de todos ellos. Es decir, entre todos

los múltiplos que tienen en común, el menor.

Sirve para sumar o restar fracciones de distintos

denominadores.

DCM

El DCM entre varios números es el mayor número que divide a todos

esos números. Es decir, entre todos los divisores que tienen en

común, el mayor. El mayor número que divide a todos ellos.

Sirve para ubicar fracciones de diferentes denominadores en una

misma recta.

Múltiplos de 2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12… Múltiplos de 3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15…

Múltiplos comunes = 0, 6, 12…

El menor distinto de cero es 6



A la librería de don Julián llegó un pedido de 48 cajas de pomos de pintura blanca,

36 de pintura roja y 24 de pintura azul. Don Julián dio las siguientes instrucciones a su

empleada; acomódelas en grupos iguales del mayor número posible y no mezcle las

de un color con otro. ¿Cómo las acomodará la empleada?

Don Julián compro pintura blanca, roja y azul. 1º. Calcular los divisores de cada número.

Quiere acomodarlas en grupos iguales del mayor Nº posible. 2º. Busca los divisores comunes de los números.

Quiere que no se mezclen las de un color con otro. 3º. Busca el divisor común mayor.

Acomodará 12 pomos de pintura por cada color.

El divisor común mayor de 48, 36 y 24 es 12:

d.c.m. (48, 36 y 24) = 12

֎ Una forma más práctica de calcular el DCM:

Otra manera de calcular el DCM de dos o más números es realizando el factoreo de los

mismos:

48 36 24 2

24 18 12 2

12 9 6 2

6 9 3 2

3 9 3 3

1 3 1 3

1

DCM (48, 36 y 24) = 22 . 3 = 12

Pasos:

1º. Factorizamos los números.

2º. Marcamos los factores comunes.

3º. Extraemos los factores comunes.

4º. Calculamos el DCM de los números.

Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

El divisor común mayor (DCM) es 12.



Fracciones

Si dividimos una unidad en varias partes iguales, a cada

una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina

fracción. Las fracciones están compuestas por:

Numerador (cantidad de partes que nos interesan)

Denominador (cantidad de partes iguales en que fue dividido

el entero)

Clasificación de fracciones:

Fracción en la recta numérica:

Como sabemos que representamos fracciones mediante gráficos utilizando diversas figuras

geométricas para ello, también se puede ubicar fracciones en la recta, utilizando el mismo

principio y además teniendo en cuenta lo siguiente:

Numerador

Denominado

r



Dada una fracción cualquiera donde a y b son números naturales cualesquiera; a,

representa el numerador y b, el denominador el número b, me indica en cuantas partes divido

la primera unidad de la recta (siempre se parte desde la primera unidad), es decir del cero al

uno; y el número a, me indica cuantas partes voy a tomar de ellas. Cuando el numerador es

mayor que el denominador, en el cual las partes de la primera unidad no me alcanzan para

tomar las que me indica dicho numerador; debo continuar dividiendo en partes iguales la

siguiente unidad en la recta y así sucesivamente hasta obtener el número de partes que se

deben tomar.

Si la fracción es impropia:

En este caso, las fracciones pueden ser transformadas a número mixto, antes de ubicarlas

en la recta numérica. Ejemplo

Si queremos ubicar en la recta numérica la fracción 𝟓

𝟑 , primero la convertimos en número

mixto:

El entero 1 nos indica que la fracción está entre el 1 y el 2. Por eso, ubicaremos la fracción

original en ese segmento de la recta (del 1 al 2).

Luego se dividirá la recta en 3 partes, como indica el denominador y marcaremos donde se

ubica la fracción 𝟐

𝟑 , ese punto equivale a la fracción original que se nos presentó

𝟓

𝟑 .



Fracciones decimales

Una fracción decimal es una fracción en la cual el denominador (el número de abajo) es

una potencia de diez (como 10, 100, 1000, etc.).

Podemos escribir fracciones decimales como número decimal. Esto puede facilitar

mucho los cálculos de operaciones como suma, multiplicación en fracciones.

Ejemplos:

Forma decimal

Tres décimas:

0,3

Tres centésimas:

0,03

Cincuenta y seis centésimas:

0,56

Cuatro milésimas:

0,004

Doce diezmilésimas:

0,0012

Forma de fracción

3

10

3

100

56

100

4

1000

12

10000

Números mixtos:

El número mixto o fracción mixta está compuesto de una

parte entera y otra fraccionaria.

Todas las fracciones mayores que la unidad (fracciones

impropias) se pueden expresar en forma de un número mixto.

Equivalencias entre número mixto y fracción impropia

Conversión de fracciones

Fracción impropia a número mixto Número mixto a fracción impropia



Fracciones equivalentes:

Las fracciones equivalentes representan la

misma cantidad, o parte de la unidad.

Si dos fracciones son equivalentes los

productos de sus términos en cruz son iguales,

esto se llama PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE

LAS FRACCIONES EQUIVALENTES.

Existen dos procedimientos para obtener una fracción equivalente a una dada

Comparación de fracciones:

Fracciones con igual denominador:

La fracción mayor es la fracción que tiene el numerador mayor.



Fracciones con igual numerador:

La fracción mayor es la fracción que tiene el denominador menor.

La propiedad fundamental de las fracciones equivalentes nos sirve para comparar

fracciones:

Comparamos las fracciones:

5

2 y

9

4

Multiplicamos y comparamos los productos:

5, 2 2, 9

Entonces decimos que:

5

2 >

9

4

Porque 5, 4 > 2, 9


5

4 y

3

2


5, 2 4, 3 Entonces decimos que:

5

4 <

3

2

Porque 5,2 < 4,3


3

4 y

6

8


3, 8 4, 6 Entonces decimos que:

3

4 =

6

8

Porque 3, 8 < 4,6



Operaciones con fracciones:

Multiplicación de fracciones:

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores.

El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los

numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.



División de fracciones:

Fracción de una fracción:

Para calcular la fracción de una fracción, se debe multiplicar. No olvides simplificar hasta

obtener la fracción irreducible.

Ejemplo: 1

6 de

3

4 =

162

x 134 =

𝟏

𝟖

Fracción de un entero:



Porcentaje:

Porcentaje (o por ciento) significa un centésimo. El símbolo para por ciento es %. Por eso, 1% significa 1/100 o un centésimo y 7% significa 7/100 o siete centésimos. Las palabras “por ciento” significa “por cien” en latín.

Ya que los porcentajes sólo son centésimas partes, podemos escribirlos muy fácilmente como fracciones y como decimales.

63% = 63

100 = 0,63 9% =

9

100 = 0,09

Ejemplos:

El 8% de 50 100 % → 50 8 % → x x = (8 · 50) ⁄ 100 x = 4



¿Qué % es 50 de 200? 200 → 100% 50 → x% x = (50 · 100) ⁄ 200 x = 25

De qué número 50 es el 20%

20 % → 50 100 % → x x = (50 · 100) ⁄ 20 x = 250

¿El 70% del 50% de 300 es?

100 % → 300 50 % → x x = (300 · 50) ⁄ 100 x = 150 → 50% de 300 100 % → 150 70 % → x x = (70 · 150) ⁄ 100 x = 105

Números Decimales:

Lectura de fracciones decimales:



Conversión de números y fracciones decimales:



Para escribir un número decimal en forma de fracción decimal, se escribe en el numerador el

número decimal sin coma, y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras

decimales tiene el número decimal.

Comparación de números decimales:

Para saberlo, se comparan los números de dos maneras.

Comparando las cifras que ocupan la misma posición.

a) Se compara la parte entera de cada número.

b) Como la parte entera coincide, se comparan los décimos y después los

centésimos.



Operaciones con números decimales:

Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar números decimales debes ordenarlos de manera que coincidan las

partes enteras y decimales de cada número. Para ello te servirá de guía la coma decimal.

Multiplicación de decimales por la unidad seguida de ceros:

División de decimales por la unidad seguida de ceros:

Multiplicación de números decimales:

Para multiplicar dos números decimales:

Primero, realizamos la operación como si fueran números enteros.



Después, separamos en el producto tantas cifras decimales como tengan entre los dos

factores.

División. Casos.



Primer caso:

Segundo caso:

Tercer caso:



Cuarto caso:

Quinto caso:

Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y desplaza la coma del

dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario,

se agregan ceros.

Ejemplo:



Proporcionalidad:

Magnitud es toda propiedad física que puede medirse. En general son magnitudes la

longitud, el área, el volumen, la temperatura y la velocidad.

Proporcionalidad directa:

Constante de proporcionalidad:

Cuando las cantidades son directamente proporcionales, el cociente entre cualquier par

de valores correspondientes es igual.

A ese cociente se lo denomina constante de proporcionalidad (k).



Regla de tres simple directa: La regla de tres simple, permite encontrar el valor desconocido (x) en situaciones de

proporcionalidad.

Ejemplo:

Si 14 lápices cuestan $42, ¿cuánto costarán 25 lápices?

Magnitudes inversamente proporcionales:

Constante de proporcionalidad:

Cuando las cantidades son inversamente proporcionales, el producto entre cualquier par de

valores correspondientes es igual.

A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k).



Regla de tres simple inversa:

Ejemplo:

Si 3 hombres tardan 10 días en pintar una casa, ¿cuánto tardarán en pintar la

misma casa, 5 hombres?

Geometría: Entes geométricos fundamentales:

Recordamos los elementos principales de la geometría: los entes geométricos fundamentales.

Elemento Representación Notación simbólica

Punto x a Se simboliza con letra minúscula imprenta

Recta R Se simboliza con letra mayúscula imprenta

Plano

Se simboliza con letra griega.

Alfabeto griego:

β



A partir de estos entes geométricos fundamentales se determinan:

Semiplano Semirrecta Segmento Ángulo Figura

Una recta que divide al plano determina dos

semiplanos

M

Un punto en la recta determina dos

semirrectas

n b bn

Dos puntos de una recta determinan un

segmento

r v rv

Dos semirrectas de origen común

trazadas en un plano determinan

un ángulo.

δ

Región limitada de un plano.

abc b a c

Se lee: semiplano de borde M al que

pertenece e.

Se lee: semirrecta de origen b a la que

pertenece n.

Se lee: segmento rv.

Notación: con letra griega, con tres

letras minúsculas o con número.

Se lee triángulo

abc.

Posiciones de una recta:

Vertical

Horizontal

Inclinada

. e



Ángulos:

LADO

AMPLITUD O

ABERTURA

LADO

VÉRTICE

¿Cómo se dibuja un ángulo utilizando regla y transportador?

Clasificación de los ángulos:

Ángulo Representación Descripción

Nulo Sus lados son dos semirrectas coincidentes. Mide 0°

Agudo

Mide más de 0° pero menos de 90°

.



Recto

Sus lados son semirrectas perpendiculares. Mide 90°.

Obtuso

Mide más de 90° pero menos de 180°.

Llano

Sus lados son semirrectas

opuestas. Mide 180°.

De un giro

Sus lados son semirrectas coincidentes. Mide 360°.

Cóncavo y convexo:

Lo nombramos así: aob – convexo aob – cóncavo.

En todo plano un ángulo convexo determina otro ángulo que es cóncavo.

Ángulo Representación Descripción

Convexos

Miden menos de 180°.

Cóncavos

Miden más de 180° y menos de 360°.

˄ ˅



Clasificación de pares de ángulos:

Mediatriz de un segmento:

La recta perpendicular a un segmento, que lo divide en dos partes iguales, es la

mediatriz del segmento.

M es la mediatriz del segmento ab:

ab M y am = mb

Para trazar la mediatriz de un segmento,

se clava el compás en uno de sus extremos,

con una abertura mayor que la mitad

del segmento, y se trazan dos arcos,

uno a cada lado del segmento.

Se hace lo mismo desde el otro extremo del segmento y luego se traza una

recta que pase por los puntos

donde se cortaron los arcos trazados.



Bisectriz de un ángulo:

Se denomina bisectriz a la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Sistema sexagesimal:

El sistema sexagesimal se utiliza para escribir

medidas de ángulos.

En el sistema sexagesimal, si un giro completo

se divide en 360 partes iguales, cada una de esas

partes se denomina grado.

Para medir ángulos menores que un grado, se

utiliza el minuto o el segundo.

Si se divide 1 grado en 60 partes iguales, cada una de esas partes se denomina minuto.

Si se divide 1 minuto en 60 partes iguales, cada una de esas partes se denomina segundo.



Operaciones en el sistema sexagesimal:

Adición de ángulos Sustracción de ángulos

82´

32° 38´ 45´´ 60´ 90´´

+ 51° 22´ 60´´

21° 26´ 31´´ 52° 23´ 30´´

53° 64´ 76´´ 45° 32´ 45´´

1´ 60´´

65´ 16´´ 6° 50´ 45´´

1° 60´

54° 5´ 16´´

Multiplicación de un ángulo División de un ángulo

por un número natural por un número natural

115° 40’ 37’’ 64° 2’ 30’’ 3

x 2 04° 60’ 120’ 21° 20’ 50’’

230° 80’ 74’’ 1° 62’ 150’’

1° 1’ 60’’ 02’ 00

231° 81’ 14’’

60’

21’

Polígonos

Figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados,

llamados lados.

Elementos de un polígono:

+ –

–

–

–

–

+ +

+ +



Los polígonos se clasifican en:

Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y sus ángulos iguales.

Un polígono es irregular cuando no tiene todos sus lados iguales.

Según la cantidad de lados que tienen los polígonos, reciben distintos nombres:

3 lados Triángulo

4 lados Cuadrilátero

5 lados Pentágono

6 lados Hexágono

7 lados Heptágono

8 lados Octógono

9 lados Eneágono

10 lados Decágono



Suma de los ángulos interiores de un polígono:

Para calcular la suma de los ángulos interiores de un

polígono, por ejemplo de un hexágono, se deben seguir estos

pasos:

Se dibujan todas las diagonales que salen de un vértice.

Se multiplica por 180° la cantidad de triángulos que quedaron formados. En este caso 180° . 4 = 720°, es decir, la suma de todos los ángulos interiores de un hexágono es igual a 720°.

Triángulo:

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Elementos del abc:

Vértices: a, b, c.

Lados: ab, bc, ca.

Ángulos interiores: , , .

Ángulos exteriores: ´, ´, ´.

Clasificación de los triángulos:

Lado

Vértice

b

c a

Ángulo Exterior



Triángulos Acutángulo

(tres ángulos agudos) Rectángulo

(un ángulo recto) Obtusángulo

(un ángulo obtuso)

Escaleno (tres lados distintos)

Isósceles (dos lados

iguales)

Equilátero (tres lados

iguales)

No existe. No existe.

Propiedades de los triángulos:

En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º.

Como consecuencia de esta propiedad se cumple que:

֎ Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto.

֎ Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no

adyacentes.

En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

En todo triángulo con lados iguales se oponen ángulos iguales. Si los tres lados de un triángulo

son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular, y se denomina equilátero.

Alturas de un triángulo:

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto

(o su prolongación).

+ + = 180º

b a

c

60º 60º

60º



El trazado de las alturas se reduce a trazar la

perpendicular a un lado o su prolongación desde el

vértice opuesto.

Medianas de un triángulo:

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama

mediana.



¿Sabías qué…

Construcción de un triángulo:

Cuadriláteros

Elementos de un cuadrilátero:

4 vértices y 4 lados.

2 diagonales.

4 ángulos interiores.

4 ángulos exteriores.

Clasificación y propiedades de cuadriláteros:

La altura correspondiente a la base

(lado desigual) de un triángulo

isósceles es también la mediana y la

mediatriz de dicha base, además de

ser la bisectriz del ángulo opuesto

Altura

Mediana

Mediatriz

Bisectriz



Suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros:

α + β + δ + = 360°



Paralelogramo:

Circunferencia y círculo:

Se llama circunferencia al conjunto de todos los puntos que están a la misma

distancia de un punto llamado centro.

El círculo está formado por los puntos de la circunferencia y los interiores a

ella.

El diámetro es el segmento que tiene como extremos dos puntos de la circunferencia y pasa

por el centro.

El radio es el segmento que

tiene como extremos el centro de

la circunferencia y un punto de la

misma.

El diámetro es dos veces el

radio. (d = 2 . r)

π es igual a 3,14

aproximadamente y representa el

cociente entre la longitud de la

circunferencia (perímetro) y la

longitud de su diámetro.



Perímetro y áreas de figuras planas:

Romboide



SIMELA (SISTEMA MÉTRICO LEGAL):

Antes del Sistema Métrico, existían una variedad de

unidades de longitud, volumen o masa que eran arbitrarias

en tamaño, y variaban de una ciudad a otra, lo que

suponía con frecuencia conflictos entre mercaderes,

ciudadanos y los funcionarios del fisco.

Era común utilizar partes del cuerpo humano como

unidades para medir por ejemplo las longitudes de los

antebrazos, pies, manos o pulgadas.

El objetivo del Sistema Métrico fue la unificación y

racionalización de las unidades de medición, y de sus

múltiplos y submúltiplos.

En 1863 nuestro país adoptó por ley N° 52 el Sistema

Métrico Decimal. La ley N° 845 del año 1877 la declara de

uso obligatorio a partir del 1 de enero de 1878 y prohíbe el

uso de otros sistemas. A partir de 1960, el Sistema Métrico

pasa a llamarse Sistema Internacional de Unidades (conocido como S.I.). Argentina lo adopta

con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino (SI.ME.LA).

UNIDADES DE LONGITUD

Medir significa expresar cuántas veces está contenida la unidad

de medida en el objeto que se mide. Para medir longitudes, la

unidad de medida es el metro (m).



UNIDADES DE CAPACIDAD

Para medir capacidades, la unidad de medida es el litro (l).

UNIDADES DE PESO

Para medir pesos, la unidad de medida es el gramo (g).



UNIDADES DE SUPERFICIE

Para medir una superficie debe elegirse una unidad de medida y

determinar la cantidad de veces que esta unidad entra en esa superficie.

Se llama área a la cantidad de veces que entra en la superficie la unidad de medida elegida.

El m2 (metro cuadrado) es una unidad que se utiliza para medir superficies. Un cuadrado

de 1 m de lado tiene un área de 1 m2. Para medir superficies más pequeñas o más grandes se

pueden utilizar otras unidades.

UNIDADES AGRARIAS

Para medir las extensiones de los campos se utilizan otras unidades de superficie, llamadas

unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el área (a), la hectárea (ha) y la centiárea (ca).



UNIDADES DE TIEMPO

Para medir el tiempo se utiliza el sistema sexagesimal. El sistema

se llama sexagesimal porque cada unidad equivale a 60 unidades más

pequeñas.

Operaciones con unidades de tiempo:

ADICIÓN SUSTRACCIÓN

80 min

14 h 60 min

12 h 15 min 45 seg. 15 h 20 min

+ 10 h 30 min 22 seg. - 9 h 31 min

22 h 45 min 67 seg. 5 h 49 min

+ 1 min 60 seg.

46 min 7 seg.



MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

7 h 10 min 25 seg 61 h 36 min 3

X 3 01h 60 min 20 h 32 min

21 h 30 min 75 seg 96 min

+ 1 min - 60 seg 06

31 min 15 seg 0

Estadística

La estadística se ocupa de la recolección, organización y

análisis de datos para obtener determinada información.

Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de

encuestas y se pueden organizar en tablas y gráficos.

Las tablas tienen como finalidad organizar los datos de una

determinada situación.

En una tabla simple, la cantidad de veces que aparece un dato se llama frecuencia.

Ejemplo:

Color del libro Cantidad

Verde 7

Azul 5

Rojo 8

Amarillo 3

La tabla de doble entrada, relaciona más de dos datos y permite

tener más información de una situación.

Ejemplo:

Lectura Estudio Diccionario Total

Verde 4 3 0 7

Azul 2 2 1 5

Rojo 6 0 2 8

Amarillo 1 1 1 1

Algunas formas de representar la información son el gráfico de barras y gráfico circular o de

torta.



Ejes cartesianos:

Para ubicar puntos en un plano, se utiliza un sistema de ejes cartesianos que son dos

rectas numéricas perpendiculares.

La recta horizontal se denomina eje x o eje de abscisas, y la recta vertical, eje y o eje de ordenadas.

Un punto queda representado según sus coordenadas (la abscisa y la ordenada).

Gráfico de barras: se representan los datos en un eje (eje x) y la altura de las barras muestra

el valor obtenido (eje y).



Gráfico circular o de torta: se divide un círculo en sectores de diferentes colores, que

corresponden a las frecuencias de los distintos datos.

El gráfico circular se utiliza para mostrar los porcentajes que corresponden a cada dato

respecto del total. Un círculo abarca un ángulo de 360° y representa el 100%.

Ejemplo 1:

Durante el último mes el 25% de los días fueron nublados, el 50%

hubo sol y el resto de los días llovió.

Días nublados: 25% = 25/100 = 1/4

Días con sol: 50% = 50/100 = 1/2

Días de lluvia: 25% = 25/100 = 1/4

Ejemplo 2:

De las 60 personas que viajaban en una excursión: 10 eran niños, 20 eran adolescentes y 30

eran adultos.

Niños: 10 = 1

60 6

Adolescentes: 20 = 2 = 1

60 6 3

Adultos: 30 = 3 = 1

60 6 2

Ejemplo 3:

De la encuesta que se realizó para saber cuántas

veces practican algún deporte, se obtuvo que el

20% practica una vez a la semana, el 30% dos

veces por semana y el 50% tres veces por

semana.



Para poder resolverlo, utilizaremos regla de tres.

100% _________ 360°

20% _________ x = 20% . 360° = 108°

100%

100% ______ 360°

30% ______ x = 30% . 360° = 72°

100%

100% _______ 360°

50% _______ x = 50% . 360° = 180° (mitad del círculo)

100%



Bibliografía

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2003.

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Palos, enero 2004.

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Frías Barea, Mónica, “Matemática 6” 1º Ed., Editorial Zigzag S.A., Santiago de

Chile 2002.

Google Chrome: consulta diversa información.

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Liliana Ferraris y Marcela Tasso, “Aprendemos Matemática 7”, 2º Ed.,

Córdoba, Editorial: Comunic-arte, 2006.

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Rodríguez, Juan, “Matemática 6”, Colección “Entre Todos”, Editorial EDB,

Buenos Aires 2003.

Ruibal, Luisa; Segovia, Tula y otros, “El Nuevo Puente 6 Matemática”, 1º Ed.,

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