Cuadernillo de Teoria Aritmetica

Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco

a e i o u

V

r y g u w

C m d h

CONJUNTOS

CONJUNTO.- Intuitivamente, se entiende como una agrupación, colección, equipo o familia de entes reales o abstractos, dichos entes se conocen como ELEMENTOS. Los conjuntos se suelen nombrar con letras mayúsculas del alfabeto: A , B , C , D , E ,… La teoría de conjuntos parte de algunos conceptos primitivos que son: conjunto, pertenencia y elemento. Ejm

V= x / x es una vocal

V= a,e,i,o,u

B silla , nuve , sueño , juan , 8 , , luna , -4

2 4A amor , 3 , CEPRU , A , ,carpeta, 2x +7y =-10

RELACIÓN DE PERTENENCIA.- Es una relación entre elemento y conjunto, se suele anotar por: de manera que si “c” es un elemento del

conjunto A se escribirá como: c A , por el contrario, si

b no es miembro de A se escribirá como b A

OBSERVACIONES :

a) “a” Z se lee: a pertenece a Z, a es elemento

de Z, a es miembro de Z, a es un punto de Z b) Sea “a” el elemento del conjunto A y B otro

conjunto, puede cumplirse sólo una de las

siguientes posibilidades: a B ó a B

c) Siempre se cumple que: a a

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.- Si se enumera o nombra cada uno de los elementos de un conjunto, se dice que dicho conjunto ha sido determinado por extensión. Esta forma también se conoce como FORMA TABULAR de un conjunto. Ejm:

H Lun,Ma,Mi,Jue,Vie,Sab,Dom

L a , e , o

Un conjunto se determina por comprensión, cuando se da una o más características o propiedades que cumplan toda i cada uno de los elementos del conjunto. Esta forma también se llama FORMA CONSTRUCTIVA de un conjunto. Ejm:

3W x/ x A

F x/ x 2 , 46< x 93

OBSERVACION :

Cuando un conjunto está dado por comprensión, es posible expresarlo por extensión; pero cuando un

conjunto está dado por extensión, no siempre es posible expresarlo por comprensión. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.- El cardinal de A viene a ser la cantidad de elementos diferentes dos a dos que posee. Se anota como n(A)

A a , n , o , j , l n(A) 5

REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER.- Una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones y las operaciones entre conjuntos, es el uso de los diagramas de Venn-Euler. Un conjunto se representa por medio de regiones cerradas. Ejm

F a , e , i , o , u

OBSERVACIONES :

a) Dos conjuntos A y B se pueden representar, a priori, de cinco maneras diferentes y sólo uno de ellos le corresponde, si se conocen sus elementos.

b) Lo curioso en estas representaciones está en que la primera genera a las demás, por lo que se ha hecho común su uso. Algo similar ocurre para el caso de tres conjuntos.

DIAGRAMAS LINEALES.-

Esta dado para conjuntos comparables y consiste en segmentos de recta que ilustran la relación de comparación entre conjuntos. DIAGRAMAS DE LEWIS CARROL.- Esta dado para representar a los conjuntos y sus complementos. Para un conjunto:

A B BA A

B A B A B

A B

A

A

B C

D

E UA

B

A

UA

C

D

E

F

a e i o u

A A´

Si H a , n

se cumple que: a H, n H

asi como tambien: w H, c H


Para dos conjuntos:

Para tres conjuntos:

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS.

RELACIÓN DE INCLUSIÓN.- Es una relación entre dos conjuntos i se suele anotar como: Sean los conjuntos A y B, se dice que A es

subconjunto de B, y se representa como A B

si todo Elemento de A es también elemento de B.

A B x A implica que x B, x A

OBSERVACIONES :

a) A B se dice que:

A es subconjunto de B, A está incluido en B,

A está contenido en B, A es parte de B, B contiene a A, B es superconjunto de A, B incluye a A

b) A Bse escribe también como B A

c) Si a H entonces a H

d) Si m , n , t A entonces

m A n A t A

e) Se dice que M no está incluido en N, se anota

como M N Si existe por lo menos un

elemento de M que no pertenece a N

M a , e , b , o , N a , e , i , o , u luego M N

PROPIEDADES :

Prop. reflexiva: A A para todo conjunto A

Prop. Antisimétrica: Si A Bno necesariamente

B A

Prop. transitiva: Si

A B y B D A D

El conjunto que no tiene elementos está contenido en cualquier conjunto.

a a a

SUBCONJUNTOS PROPIOS.-

Si el conjunto A está contenido en B, y si existe por lo menos un elemento de B que no pertenece a A, se dice que A es subconjunto propio de B.

Si A B y A B entonces A es subconjunto propio

de B Ejm:

A 2 , 3 , 4 , 5

B 2 , 3 , 4 , 5 , u

RELACIÓN DE IGUALDAD.- Si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y todos los elementos del conjunto B pertenecen también al conjunto A, entonces se dice que estos dos conjuntos son iguales i se anota como A=B

A B y B A A B

OBSERVACIONES :

Si por lo menos un elemento del conjunto A no es

elemento del conjunto B, se tiene que: A B

PROPIEDADES :

a) Prop. reflexiva: A A para todo conjunto A

b) Prop. Simétrica: Si A Bentonces B A c) Prop. Transitiva: Si

A B y B C entonces A C

d) Dados los conjuntos A y B, sólo se cumple una de las siguientes posibilidades: A = B ó

A B

e) A B A B o A B

Por la igualdad de conjuntos se convendrá, que en un conjunto:

no se repetirán sus elementos

H 8,8,8,3,5,5 8,3,5

no importará el orden en que se presenten sus elementos

G 8,3,5,9 3,9,5,8

CONJUNTOS DISJUNTOS.- Dos conjuntos son disjuntos (que se excluyen mutuamente) cuando no poseen elementos comunes. Ejm:

A x/x es una consonante

CONJUNTOS COMPARABLES.- Dos conjuntos A y B son comparables, si A es subconjunto de B ó B es subconjunto de A Ejm

A x/x es una letra del alfabeto

y

B a , e , i , o , u

CONJUNTOS COORDINABLES (CONJUNTOS EQUIPOTENTES).-

A

B

B´

A´

A´ A

B

B´

C

B A

3

4 5

2 u

A

B

A

B

A B


B

Dos conjuntos son coordinables, cuando se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos. (si tienen el mismo número de elementos)

CLASES DE CONJUNTOS

CONJUNTO FINITO.- Es aquel que consta de cierto número de elementos distintos, que al contarlos de uno en uno, este proceso tiene fin. Ejm:

G x / 2 < x < 8

A a , n , o , j , l n(A) 5

CONJUNTO INFINITO.- Se conoce como conjunto infinito a aquel conjunto sobre el cual, al efectuar el proceso de conteo de sus elementos este no tiene fin o que sus elementos son imposibles de contarlos. Ejm:

G x / 2 < x < 8

3 4 5 6 7T 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,.....

CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO VACIO.- Llamado también como conjunto nulo, es aquel conjunto que no tiene elementos, se suele anotar como

y algunas veces en la forma

Ejm: 2x/x , x 2 x 5 0

x/ x x

El conjunto de personas vivas mayores que 250 años El conjunto de números que sean pares e impares

PROPIEDADES : , ,

A , para todo conjunto A

CONJUNTO UNITARIO.- Conocido también como conjunto singular ó singletón, es aquel conjunto que tiene sólo un elemento. Ejm:

2x/x , x 2 x 5 0

9 , 9 , 9 , 9 9 , 9 , 9 9

El conjunto formado por la palabra: aritmética. El conjunto formado por los números enteros mayores que 12 y menores que 14

Si B a , e , i , o , u entonces

C a , e , i , o , u es un singletón.

CONJUNTO UNIVERSAL.- Un conjunto anotado por U, se llama conjunto universal del conjunto A (conocido también como conjunto referencial) si U es superconjunto de A. Un conjunto puede tener varios conjuntos universales por lo que no existe un conjunto referencial absoluto, sin embargo, las situaciones matemáticas referido a conjunto universal la plantean como único. Se conviene en representar al conjunto universal por medio de una región rectangular.

Ejm: En geometría plana, el conjunto universal es el conjunto de todos los puntos del plano En el estudio de triángulos, cuadriláteros, hexágonos, pentágonos, etc. el conjunto universal es el conjunto de polígonos.

Para A 2 , 3 , 4 , 5 el conjunto universal puede ser

A , , , ,

CONJUNTO POTENCIA.- Sea el conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, se llama conjunto de partes de A ó conjunto potencia de A, se anota como P(A) ó

A2

P(A) = A2 = x/x A

OBSERVACIONES

a) El número de subconjuntos que se pueden formar con los n - elementos del conjunto A es

n(A)2 b) El número de subconjuntos con 1 elemento que

se pueden formar con los n - elementos del

conjunto A es n A

1C

c) El número de subconjuntos con 2 elemento que se pueden formar con los n- elementos del

conjunto A es n A

2C

d) El número de subconjuntos con 3 elemento que se pueden formar con los n- elementos del

conjunto A es n A

3C así sucesivamente.

e) El número de subconjuntos propios de A es n(A)2 -1 ya que el conjunto A no es subconjunto

propio de A. f) El número de subconjuntos propios no vacios

de A es n(A)2 -2

1 5 79

A

2 45 6

A

U


PROPIEDADES :

1) P A

2) A P A

3) P

4) Si A B P A P B

5) A B P A P B

6) A n(A)n P A n 2 2

7) A y P A son disjuntos

CONJUNTO DE CONJUNTOS.- Es aquel conjunto cuyos elementos son también conjuntos.

9 , 9 , 9 , 3,4

, , , , ,

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS.- Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que el conjuntos formado por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza:

A B, y se lee “A unión B”.

NNoottaacciióónn:

A B = {x/x A ó x B}

PPRROOPPIIEEDDAADDEESS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS DDEE LLAA RREEUUNNIIÓÓNN: 1) Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe

y es única la reunión de ellos.

2) Conmutativa: A B = B A

3) Asociativa: (A B) C = A (B C)

4) Reflexiva: A A = A

5) De la inclusión: Si: A B, entonces: A B = B (ver gráfico)

6) Del elemento neutro: A = A A U = U

RREEPPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA:

IINNTTEERRSSEECCCCIIÓÓNN..-- La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El

conjunto formado por estos elementos, se escribe: AB y se lee: “A intersección B”.

NNoottaacciióónn:

A B = {x/x A y x B}

PPrrooppiieeddaaddeess ffuunnddaammeennttaalleess ddee llaa iinntteerrsseecccciióónn:

11)) Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la intersección de ellos.

22)) Reflexiva: A A = A

33)) Conmutativa: A B = B A

44)) Asociativa: (A B) C = A (B C)

55)) De la inclusión: Si: A B, entonces: A B = A (ver gráfico)

66)) De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos

entonces: A B = (ver gráfico)

7) Del elemento neutro: A = A U = A


Propiedad Distributiva:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C) Propiedad Absorción:

A (A B) = A, puesto que: (A B) A

A (A B) = A, puesto que: A (A B) DIFERENCIA.- La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee: “A menos B”, ó también “A diferencia B”.

A B

x x x

A B

Conjuntos no disjuntos

x x

A B

Conjuntos disjuntos

B

Conjuntos comparables

x

x

A

x

A B


no hay x

A B

Conjuntos disjuntos

B


x

A

A B


Así por ejemplo, sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A” pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de “A” con “B”.

NNoottaacciióónn:

A – B = {x/x A y x B}


COMPLEMENTO.- Sean los conjuntos A={a, b, c, d, e} y el conjunto B={a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B’ Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A - B” se llama complemento de “B” respecto a “A”

NNoottaacciióónn: B’ = {x/x A y x B}

B’ = {x/x B}

OObbsseerrvvaacciióónn: Si el complemento es respecto al

conjunto universal U donde se cumple que: B U, entonces:

B’ = B = CB = {x/x U y x B} = U – B

PPrrooppiieeddaaddeess eenn llaa ddiiffeerreenncciiaa ddee ccoonnjjuunnttooss:

1) Reflexiva: A A = A

2) Conmutativa: A B = B A

3) Asociativa: (A B) C = A (B C)

4) De la inclusión: Si: A B, entonces:

A - B = (ver gráfico)

A B = B – A 5) De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos,

entonces: A – B = A

A B = A B 6) Del complemento:

(A’)’ = A

A A’ = U

A A’ =

’ = U

U’ =

7) De la diferencia:

A – B = A B’ A – B = B’ – A’

8) Leyes de Morgan:

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’ 9) De Absorción:

A (A’ B) = A B

A (A’ B) = A B


DIFERENCIA SIMÉTRICA.- Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama

diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A B.

NNoottaacciióónn:

A B = {x/x (A - B) (B - A)}


x

A B


A B

Conjuntos disjuntos

x

A B

B


A B

A


B


x

A

x

A B


x

x

A B

Conjuntos disjuntos

x

Complemento de “B” respecto a

“A”

A B

Complemento de “B” respecto a

U

U

B

x


SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES Se llama sistema de los números naturales al conjunto:

= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ..... }

el cual está provisto de dos operaciones binarias llamadas ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN y además está dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación menor que. ADICIÓN

sumasumandos

A + B = S

PROPIEDADES

a) Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural.

a,b se cumple: a b c ; c

b) Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los

sumandos no altera la suma.

a ; b ; c se cumple:

a (b c) (a b) c

c) Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

! 0 tal que: a a a0 0 , a

d) Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple.

e) Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma.

a,b se cumple: a b b a

f) Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad.

a ; b ; c Si a b a c b c

g) Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad.

a ; b ; c Si a c b c a b

MULTIPLICACIÓN

PROPIEDADES a) Propiedad de clausura: El producto de dos

números naturales es otro número natural

a,b se cumple a b c , c

b) Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto.

a , b , c se cumple:

a (b c) (a b) c

c) Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

!1 tal que: a a a1 1 , a

d) Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple.

e) Propiedad conmutativa: El orden de los factores

no altera el producto. a,b se cumple:

a b b a

f) Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición.

a , b , c se cumple:

a×(b+c)= a×b + a×c

(b+c)×a b×a + c×a

g) Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser

el cero y es tal que: a se cumple:

a×0=0×a=0

RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = .....

PROPIEDADES

a) a,b a b ó a b Propiedad de

dicotomía.

b) a a , a Propiedad reflexiva.

c) Si a b b a Propiedad simétrica.

d) Si a=b b=c a=c Propiedad transitiva.

e) Si a=b a×c=b×c , c 0

f) f) a b = a x b

RELACIÓN MENOR QUE

Sean a,b ,

a b n , n /a n b0

Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado PROPIEDADES

a) a b b a

b) 2) a b a b o a b

c) a b o a b o a b Propiedad de tricotomía

d) Si a b b c a c Propiedad

transitiva

e) Si a b a c b c si c o

f) Si a c b c a b

g) Si a c b c a b si c 0

SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se llama sistema de los números enteros al conjunto:

= {….;-4;-3;-2;-1;0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … }

0

el cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y

A x B = P FACTORES PRODUCTO

A: multiplicando B: multiplicador P: producto


SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación menor que. ADICIÓN

sumasumandos

A + B = S

Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo:

Para cada a , ! a tal que:

a ( a) a a 0

SUSTRACCIÓN

Se verifica que:

MULTIPLICACIÓN

Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales.

RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE

Sean a,b a b c tal que a c b

a b si b a

Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales. Ejemplos: 2<5 , ya que existe el entero positivo 3, tal que 2+3=5 8 no es menor que 6, ya que no existe un entero positivo de manera que sumado a 8 se obtenga 6 6 no es menor que 6, ya que no existe un número positivo que sumado a 6 resulte 6 PROPIEDADES

1) Si a b a c b c si c o

Si a b a c b c si c o

2) Si a c b c a b

Si a c b c a b si c 0

Si a c b c a b si c 0

3) a b o a o b o a o b o

4) a b o a o b o a o b o

5) a b a b

DIVISIÓN ENTERA

Si se tiene que:

A) División Exacta ( r = 0 )

B) División Inexacta ( r 0 ) División por Defecto. (“r” es el residuo por

defecto)

Ejemplo:

61 = 8 x 7 + 5 (5 es el residuo por defecto)

División por Exceso.

(“ re“es el resto por

exceso) Ejemplo:

61 = 8 x 8 – 3 (3 es el residuo por exceso) exceso

PROPIEDADES A) r + re = d B) 0 < r < d Luego, para una división por defecto se

cumple: residuo mínimo es: 1

residuo máximo es: d - 1

C) sí: se cumple:

D) eq q 1 eq : es el cociente por exceso

q : es el cociente por defecto

Dados dos números enteros, sumándolos se obtiene un resultado entero que es la suma, restándolos se halla un resultado que es la diferencia y multiplicándolos se obtiene un resultado que es el producto. En cambio, cuando se los divide (el mayor entre el menor) se obtiene dos resultados enteros que son el cociente y el residuo, todos los cuales están relacionados por una expresión llamado algoritmo de la división y es este que lo caracteriza, a saber D = d . q + r ó D = d . (q+1) – re

Todo ello hace que sea interesante plantear diversas situaciones matemáticas. Es de notar que el citado algoritmo es la aplicación de tres propiedades fundamentales, la propiedad de cerradura de la adición, sustracción y multiplicación. No implica este hecho que la división esté definida en los enteros.

COMFORMACIÓN DE NÚMEROS

A x B = P FACTORES PRODUCTO

A: multiplicando B: multiplicador P: producto

D

d

r

q

D = d . q + r

D

d

re

q +1

D = d . (q+1) – re

D: dividendo d: divisor q: cociente r: residuo

D

d

r

q

D

d

0

q

D = d x q ó D

qd

61 8

5 7

61 8

64 8

3

K

M L

D d

r q

K

M L

d

M: Minuendo S: Sustraendo D: Diferencia

M-S= D

M=S+D

Si M -S=D M -D=S

2M=M+S+D


) a5b3c8 numerodeseiscifrasdonde :a,b,c sondigitos

cona "a" es la cifra significativa.

1

0

) abc abc abc abc2

) (a )(b )(c ) abc3 2 5 8 258

) a5b3c8 a0b0c0

) aaaa a( )

) ( a)( b)( c) abc

4 50308

5 1111

6 2 2 2 2

7) En todo número de dos cifras: ab donde a>b ;

se cumple:

si ab ba xy entonces x + y = 9

8) En todo número de tres cifras: abc , donde

a>c; se cumple: si abc cba xyz

entonces y = 9; x + z = 9

9) En todo número de cuatro cifras: abcd ; donde

a>d; se cumple:

abcd dcba pqrs donde: p + q + r + s = 18

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número. Para un número de una cifra: CA(a) = 10 – a Para un número de dos cifras:

CA( ab ) = 100 – ab = ( a)( b)9 10

Para un número de “n” cifras: nCA(ab ... dc) ab ... dc

(9-a)(9-b) ... (9-d)(10-c)

10

SUMAS NOTABLES

n(n ). ... n

. ... n n(n )

. ... ( n ) n

n(n )( n ). ... n

n(n ). ... n

. ... n

n(n )( n )( n

2

2 2 2 2 2 2

2

3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4

2

101 1 2 3 4 5

2

02 2 4 6 8 2 1

03 1 3 5 7 2 1

1 2 104 1 2 3 4 5

6

105 1 2 3 4 5

2

06 1 2 3 4 5

1 2 1 3 n )3 1

30

n(n )( n ). ... ( n)

n( n )( n ). ... ( n )

n(n )(n ). ... n(n )

. ... n(n )(n )

n(n )(n )(n )

. a a a

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 3

2 1 2 107 2 4 6 8 2

3

2 1 2 108 1 3 5 7 2 1

3

1 209 1 2 2 3 3 4 4 5 1

3

10 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 1 2

1 2 3

4

11 1n

n

n

n n

n

n

n

n

aa ... a

a

. Progresiónaritmética:

términogeneral: a a (n )r

nsumadelosprimerosn-términos: s (a a )

. Progresióngeométrica:

términogeneral: a a r

rsumadelosprimerosn-términos: s a

14

1

1

1

1

1

1

1

12

1

2

13

1

1 r


SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Se conoce como sistema de los números racionales al siguiente conjunto infinito de números:

aa Z b Z b 0

b

el cual está provista de las operaciones de Adición, Sustracción, Multiplicación y “División” y, además está dotado de la relación de igualdad y relación menor que. PROPIEDADES

1. DE LA ADICIÓN.- Se cumplen todas las

propiedades estudiadas en los sistemas de los números naturales y enteros.

2. DE LA MULTIPLICACIÓN.- Además de cumplir

todas las propiedades estudiadas en los sistemas de los números naturales y enteros, se cumplen también las siguientes propiedades:

1c 0 ! c 0 , el cual viene

1 1 1a ser 0 tal que c c 1

c c c a b a b b a

- 0 , ! - 0 / 1b a b a a b

3. DE LA RELACIÓN MENOR QUE.- Además de

cumplir todas las propiedades estudiadas en los sistemas de los números naturales y enteros, se cumple también la propiedad:

a ca d b c donde : b>0 y d>0

b d

4. PROPIEDAD DE DENSIDAD.- Esta propiedad dice

que: “Entre dos números racionales distintos, existe por lo menos un número racional”

a c p a p c, , /

b d q b q d

p 1 a cdonde por ejemplo

q 2 b d

5. El sistema de los números racionales es ordenado, infinito y denso, pero no es continuo. En la recta real, dado que entre dos números racionales existen infinitos números racionales, sin embargo, dejan algunos vacios que serán ocupados por los números irracionales.

NÚMERO FRACCIONARIO

Un número fraccionario, conocido comúnmente como “fracción”, expresa una o varias partes de la unidad y tiene la siguiente forma:

adonde : a , b 0

b

a se llama numerador y

b denominador

CLASIFICACIÓN:

A) Por la naturaleza del denominador.-

1. Fracción decimal.

naes fraccion decimal b 10

b

2. Fracción común.

naes fraccion ordinaria o comun b 10

b

B) Por la relación de sus términos.-

1. Fracción propia.

aes fraccion propia a<B

B

2. Fracción impropia.

Aes fraccion impropia A >b

b

3. Fracción mixta. Dado una fracción impropia, viene a ser aquella que expresa la adición de un entero y una fracción propia. Así por ejemplo:

15 3 33 3

4 4 4

C) Por grupos de fracciones.-

1. Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que presentan el mismo denominador.

a c e, y son fracciones homogeneas

b b b

Propiedad:

a cSí : k; k Z entonces,

b d

a cy son fracciones homogeneas

b d

2. Fracciones heterogéneas. Son aquellas

fracciones que presentan denominadores diferentes.

Son fracciones heterogéneas:

9 11 21 13 , , ,

7 5 4 10

D) Por divisores comunes entre sus términos.-

1. Fracción reductible.- Son aquellas fracciones que tienen tanto en el numerador como en el denominador algún divisor en común diferente de la unidad, el cual puede ser simplificada. Ejemplo:

15 15 3 5 3es fraccion reductible ya que :

35 35 7 5 7

2. Fracción irreductible.- Son aquellas fracciones en los cuales sus términos son primos entre sí. Ejemplo: 4/7


3. Fracciones equivalentes.- Son fracciones que

expresan la misma parte de un todo, aún cuando sus términos sean diferentes. Ejemplo: 3/5 y 6/10

OPERACIONES CON FRACCIONES

a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Fracciones homogéneas

3 7 3 7 10 5

4 4 4 4 2

9 5 9 5 4 2

6 6 6 6 3

Fracciones heterogéneas.

3 5 3x7 4x5 41

4 7 4x7 28

11 9 11x4 2x9 26 13

2 4 2x4 8 4

b) MULTIPLICACIÓN

3 5 3 x 5 15x

4 2 4 x 2 8

c) DIVISIÓN

3 5 3 2 6 3

4 2 4 5 20 10

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES

1. +

1 2 1 2

a a+mSi f = <1 y f = f <f , m

b b+m

2. +

1 2 1 2

a a+mSi f = >1 y f = f >f , m

b b+m

NÚMERO DECIMAL

1.- NÚMERO DECIMAL EXACTO Es aquella que presenta una cantidad limitada de cifras decimales. ORIGEN.- Una fracción irreductible genera un número decimal exacto cuando al descomponer su denominador en sus factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5 Ejemplo:

3

17 170.425

40 2 5

2 2

71 71 71 710.71

100 20 5 4 5 5 2 5

FRACCIÓN GENERATRIZ.- Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se ponen las cifras decimales como un número y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo:

391 567420.391 0.56742

1000 100000

En general, se tiene:

n cifras

n cifras

abcd...z0.abcd...z

1000...0

2.- NÚMERO DECIMAL INEXACTO Son aquellos números que tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales. Entre estos tenemos: a) PERIÓDICO PURO

2

5 5 50.0505050505...... 0.05

99 9 11 3 11 Origen.- Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico puro, cuando al descomponer su denominador en sus factores primos, se obtienen factores que no son potencias de 2 ni de 5 Ejemplo:

20.66666... 0.6

3 Fracción Generatriz: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone las cifras de la parte periódica como un número y en el denominador tantos nueves como cifras tenga la parte periódica.

Ejemplo:

37 483

0.37 0.48399 999

En general:

n cifras

n cifras

abcd...z0. abcd...z

999....9

b) PERIÓDICO MIXTO ORIGEN: Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico mixto, cuando al descomponer el denominador en factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5 y otro factor necesariamente diferente. Ejemplo:

2

7 70.15909090..... 0.1590

44 2 11 FRACCIÓN GENERATRIZ: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone el número formado por la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica y en el denominador se colocan tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplos:

. .37 3 483 4

0 37 0 48390 990

En forma general:

n cifras m cifras

m cifras n cifras

abcd...zαβδ...υ abcd....z0. abcd...z αβδ.....υ

999....9000....0

n: número de cifras decimales exactas


m: número de cifras decimales inexactas (periódicas) SISTEMA DE NUMERACIÓN

NUMERACIÓN.- Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números

NÚMERO.- Es la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza

. NUMERAL.- Es la representación simbólica o figurativa del número.

CIFRA O DÍGITO.- Símbolos que convencionalmente se utilizará en la representación de los numerales. SISTEMA DE NUMERACIÓN .- Es el conjunto de símbolos, reglas, principios, normas y convenios que permiten representar correctamente los números. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES.

A. Del orden.

Toda cifra que forma parte de un numeral posee un orden determinado de derecha a izquierda.

Cinco

Cuatro

Tres

Dos

Uno

ORDEN

NUMERAL

9 6 5 7 4

Lugar

1 2 3 4 5

B. De la base.

Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

NOTA.- En forma práctica la base nos indica de cuantos en cuanto estamos agrupando las unidades PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Base Nombre

del sistema Cifras

2 binario 0,1

3 ternario 0,1,2

4 cuaternario 0,1,2,3

5 quinario 0,1,2,3,4

6 senario 0,1,2,3,4,5

7 heptanario 0,1,2,3,………6

8 octanario 0,1,2,3,………7

9 nonario 0,1,2,3,………8

10 decimal 0,1,2,3,………9

11 undecimal 0,1,2,3,………9,(10)

12 duodecimal 0,1,2,3,………9,(10),(11)

n enecimal 0,1,2,3,………, n 1

Nota 1. En los sistemas de numeración mayores de 9 se

utilizan convencionalismos.

(10)<> <> A

(11)<> <> B

(12)<> <> C 2. En todo sistema de numeración de base n la

máxima cifra es la base menos 1, n 1

3. Toda cifra que forma parte de un numeral es un

número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son:

0, 1,2,3, ........, n 1

Cifras significativas

4. A mayor numeral aparente le corresponde menor base.

8 7 4 3

32 40 44 200 1012

es decir, si kn120 45

como: 120 > 45. Afirmamos: n < k

5. Ningún numeral entero positivo de cualquier sistema podrá empezar en cifra cero.

ESCRITURA Y LECTURA DE UN NÚMERO EN

CUALQUIER SISTEMA:

Base (10): 624 : Seiscientos veinticuatro

Base ( 2) : (2)1010 : Uno, cero, uno, cero en base dos.

Base ( 9) : (9)357 : Tres, cinco, siete, en base nueve.

VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (V.A): Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura. VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (V.R): Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa el número

REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:

Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.

La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.

Letras diferentes no necesariamente representan cifras diferentes, salvo lo indiquen.

8 5 9 6 5

Valor Absoluto = 8

Valor Absoluto = 9

Valor Relativo = 900

Valor Relativo = 80000

Cifra máxima

Cifra no Significativa


Ejemplo:

ab : cualquier numeral de dos cifras

NÚMEROS CAPICÚAS.- Llamados también

Polindrómicos. Es aquél cuyas cifras equidistantes de los

extremos son iguales, es decir se leen igual de izquierda a

derecha o viceversa.

aa : 11 ; 22 ; 33 ; .........

aba : 101 ; 323 ; 585 ; .......

abba : 1001 ; 4664; 6776 ; .........0

CONVERSIÓN DE SISTEMAS

CASO 1: “De base n a base 10”

Ejemplo: convertir 123 en base 5 a base 10

1ER

MÉTODO DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA 2

5123 1 5 2 5 3 38

2DO

MÉTODO HORNER

5123 1 2 3

5 5 35

1 7 38

3ER

MÉTODO FLECHAS

CASO 2 :“De base 10 a base “n” “ (n 0)

METODO DE DIVISIONES SUCESIVAS:

Ejemplo: Exprese 196, en base 6.

6196 524

CASO 3 “De base n a base m” Ejemplo:

Exprese 5

214 en base 3.

- se lleva a base 10

5214 59

5 3214 2012

CAMBIO DE BASE ESPECIAL DE BASE N A BASE n

k

se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden.

cada grupo así formado se descompone

polinómicamente, dicho resultado es la cifra en la nueva

base (nk)

Ejemplo: Representar 10202112(3) a base 9 Resolución 10

20

21

12

1x3+0

2x3+0

2x3+1

1x3+2

3 6 7 5

(

9

)

10202112 = 3675(9)

De base n

k a base n

cada cifra del numeral genera un bloque de k-cifras

Las cifras de cada bloque se obtienen mediante las

divisiones sucesivas.

Si algún bloque no obtiene las cifras requeridas se

completará con cero a la izquierda.

Ejemplo :Exprese 5207(9) en base 3 Resolución : 9 = 3

2 (cada fila de base 9 origina 2

cifras en base 3) 5 2 0 7

(

9

) 5 3 2 1 1 2

2 3 2 0 0 2

0 3 0 0 0 0

7 3 2 1 2 1

5207(9) = 12020021(3)

PROPIEDADES

A. Numeral de cifras máximas

8

2 2

8

3 3

8

9 10 1 7 8 1

99 10 1 77 8 1

999 10 1 777 8 1

EN GENERAL:

kn 1 n 1 .... n 1 n 1n

"K"Cifras

B. Numeral de bases sucesivas

n

n

1c

1b1cn

1c n c

1b n c b

1a n c b a

r e c o n o c e r

196 6

6 4 32

2 5

59 3

3 2 19

1 6 3

2 0

5123 38


EN GENERAL

1c1d

1xn

1b1a n x... d c b a


Divisor

Está contenido

Contiene

Múltiplo

DIVISIBILIDAD

CONCEPTO.- La divisibilidad es la parte de la teoría de números que estudia las condiciones que deben reunir los números para ser divisible por otro. MULTIPLO.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “A es múltiplo de B ” cuando al dividir A entre B se obtiene un cociente K entero y un resto cero(0).

A B A B K

0 K

A,K y B

DIVISOR.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “B es divisor de A” cuando A contiene B un número exacto de veces. Nota:

- B es divisor de A - A es múltiplo de B - B es divisible entre B - B es factor de A

Ejemplo: -24 6 0 -4 MULTIPLICIDAD DE NUMEROS Se dice que un número entero A es múltiplo de otro numero entero positivo B cuando el valor de A es igual al valor de B multiplicado por un número entero K. Es

decir A,K y B se tiene A B K

Nota: Si A es múltiplo B y A B K . Entonces podemos abreviar de la siguiente manera:

A B Ejemplo:

15 5 3 15 5

Donde 15 es el múltiplo y 5 es el divisor. 5 15 OBSERVACIONES:

Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes; la divisibilidad se le estudia a partir de la división mientras que la multiplicidad se le estudia desde el punto de vista de la multiplicación.

Un número negativo puede ser múltiplo de otro entero positivo.

El cero es múltiplo de todo número entero positivo. El cero no es divisor de ningún número.

EQUIMULTIPLOS

Son números que contienen pero como queremos hallar el mínimo valor de x entonces tomemos el mínimo valor de los múltiplos de 8 de donde:

628 xx .

TEORIA DE CONGRUENCIAS

NUMEROS CONGRUENTES.- Dos números A y B son congruentes con respecto a un módulo m denotado por BA (modulo m) cuando al dividir A y B entre el módulo m se obtienen el mismo resto, en caso contrario se dicen que son incongruentes. Ejemplo:

1419 Módulo (5) es decir:

451945319

451445214

Ambos tienen un resto de 4.

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

a.- ,

k

kn r n r k

b.- ,

k

kn r n r k

, k par

c.- ,

k

kn r n r k

, k impar

Ejemplo: Hallar el resto de dividir 337

543 entre 7.

Solución:

337 se puede expresar como 1748 que resulta de

dividir 337 entre 7 y da como cociente 48 y como resto 1.

543543543 )17(1748337

1717337 543543

1 r

REGLAS DE DIVISIVILIDAD

Para saber si un número es divisible por otros o para descomponerlo en factores primos existen criterios de divisibilidad, que son reglas sencillas a utilizar para resolver este tipo de ejercicios. Éstas son: Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2, cuando de dicho número su última cifra es par o cero.

2abcd Cuando 84,2,0: úd .

Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3, cuando la suma de los valores absolutos de dicho número es múltiplo de tres.

3abcd cuando

3 dcba

Divisibilidad por 4. Un número es divisible por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número divisible por 4 o también si el doble de la penúltima más la ultima cifras es múltiplo de 4.

4abcd Cuando 00cd ó

42 dc ó

4cd .


Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5, cuando de dicho número su última cifra es 5 o cero.

5abcd Cuando 50: úd .

Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6, es divisible por 2 y por 3 a la vez.

6abcd Cuando d par y

3 dcba

Divisibilidad por 7. Un número es divisible por 7 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores 1;3;2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;… esto es:

7abcdefgh Cuando

3 2 3 2 3 7.... h g f e d c b a

Divisibilidad por 8. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número divisible por ocho o también cuando la suma del cuádruplo de la antepenúltima cifra, doble de la penúltima cifra y la última cifra es múltiplo de 8.

8abcd Cuando 000bcd ó

8bcd

ó 824 dcb .

Divisibilidad por 9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras que lo forman es múltiplo de 9.

9abcdefgh Cuando

9........ hgfedcba

9275765319135675

Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 cuando acaba en cero.

0 10abcdefg

Divisibilidad por 11. Un número es divisible por 11 cuando la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes impares menos la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes pares es igual a cero o un número divisible por 11.

11abcdefgh Cuando

110)()( óacegbdfh

Divisibilidad por 13. Un número es divisible por 13 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores1;-3;-4; -1; 3; 4; 1; -3; -4;… esto es:

13abcdefgh Cuando

13.....)3(

)43()43(

a

bcdefgh.

Divisibilidad por 25. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 25.

25abcd Cuando 7550,25,00 ócd

Divisibilidad por 33. Un número es divisible por 33 cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 33.

33abcdef Cuando

33 abcdef .

Divisibilidad por 45. Un número es divisible por 45 cuando se divisible por 5 y por 9 a la vez. Divisibilidad por 99. Un número es divisible por 99 cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 99.

99abcdef Cuando

99 abcdef .

Divisibilidad por 125. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 125.

25abcd Cuando

125,000 óbcd .

Divisibilidad por 2

n ó 5

n. Un número es divisible por

2n ó 5

n cuando sus últimas “n” cifras son ceros o

forman un número múltiplo de 2n ó 5

n respectivamente.

Divisibilidad por en base Un numeral en base será divisible por , si y solo si la suma de sus

cifras resulte un múltiplo de . Divisibilidad por en base . Un numeral en base será divisible por si y solamente si, la suma de

sus cifras de orden impar menos la suma de sus cifras de orden par es cero o múltiplo de


NUMEROS PRIMOS

Sea el numeral “N” que pertenece a

, , , , ,...1 2 3 4 5

DIVISORES DE N: ND

Son valores que dividen exactamente a N

Si id es divisor de N entonces i( d N)0

DIVISORES DE 12:D , , , , ,12 12 6 4 3 21

DIVISORES PROPIOS DE N: P

ND

Son los divisores de N, excepto el mismo PD , , , ,12 6 4 3 21

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS: 1) NUMEROS PRIMOS (Nros primos absolutos).- Son los números que admiten solo dos divisores, el mismo y la unidad

*D ,7 71 *D ,83 831

SON PRIMOS: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 71 73 79 83 89 97 101… Pues tienen solo dos divisores OBSERVACIONES:

a) El conjunto de los números primos es infinito

b) EL 2 es el único número primo par

c) Los números 2 y 3 son los únicos números consecutivos primos

d) Los números 3, 5 y 7 son los únicos impares consecutivos i PESI a la vez

e) Todo numero primo impar mayor que 3 es de la forma:

( ) o ( )4 1 4 1

13 4 1

19 4 1

Lo contrario no siempre ocurre NOTA: La unidad admite un solo divisor, por tanto no es primo ni compuesto. f) Todo numero primo mayor que 3 es de la forma:

( ) o ( )6 1 6 1

17 6 1

31 6 1

Sin embargo lo contrario no siempre se cumple. 2) NUMEROS COMPUESTOS (o no primos).-Son los números que admiten tres o más divisores

*D , , , , ,20 2010 5 4 21

El Nro 20 consta de 6 divisores 3) NUMEROS SIMPLES Son los números primos asociados a la unidad.

* , , , ,97 5319 31

4)NUMEROS PESI ( primos relativos o coprimos) Son cuando dos o más números, admiten un único divisor común que es la unidad

D , , ,

D ,

8

5

8 4 2 1

5 1

Los.Nros : y8 5son PESI, pues tienen un divisor en

común a la unidad. NUMEROS PESI 2 a 2 Son aquellos NROS que al ser tomados de 2 en 2 resultan ser PESI

A D : , , ,

B D : , ,

C D : , ,

6

25

49

6 6 3 2 1

25 25 5 1

49 49 7 1

OBSERVANDO: A ES PESI CON B A ES PESI CON C B ES PESI CON C (1º Forma) CANTIDAD DE DIVISORES DE LOS

NUMEROS COMPUESTOS: N#D

N P C#D #D #D 1

D , , , , , #D12 1212 6 4 3 21 6

Aplicando la formula se tiene:

PD : ,3 2 P#D 2

CD : , ,12 6 4 C#D 3

#D12 2 3 1 6

N S C#D #D #D

S P#D #D 1

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (o Teorema de Gauss) Es la descomposición de los números compuestos en los factores de las potencias de sus números primos, denominada descomposición canoníca o sistema de factores primos por ser única.

N

N 3 2

360

2 3 5

Siendo: 2,3 y 5 NROS PESI Luego en general

N a b cα β γ

cona,b y c son PESI TABLA DE LOS DIVISORES DE “N” *Elaborar la tabla de divisores del Nro 360 1º) Descomponemos N

N

N 3 2

360

2 3 5

2º) Construimos la tabla:

02 12

22 32

1 1 2 4 8

3 3 6 12 24

9 9 18 36 72

5 5 10 20 40

15 30 60 120

45 90 180 360


NOTA De la tabla se tiene:

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO ENTERO POSITIVO 1) (2º Forma) CANTIDAD DE DIVISORES DE LOS

NUMEROS COMPUESTOS: N#D

N#D ( )( )( )α 1 β 1 γ 1

*Calcular : #D360

N

N

N

i)N

ii)#D ( ).( ).( )

#D ( ).( ).( )

#D

3 2

360

360

2 3 5

3 1 2 1 1 1

4 3 2

24

2) SUMA DE DIVISORES DE UN NRO N: NS

N

a b cS . .

a b c

α 1 β 1 γ 11 1 1

1 1 1

*Calcular: S360

i)N 3 2360 2 3 5

Nii)S . .

S ...

4 3 2

360

2 1 3 1 5 1

2 1 3 1 5 1

1170 1 2 4 90 180 360

3) SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE

N: NS 1

NN

sS

N

1

*Hallar : S 1

360

i)N

ii)S

iii)S

S , ...

360

1

360

1

360

360

1170

1170

360

1 1 1 1 13 325 1

2 4 90 180 360

4) PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N:

N#D

NP N 2

*P ?360

i)#D360 24

Nii)P

P ...

24

2

12

360

360

360 1 2 4 90 180 360

5) CANTIDAD DE FORMAS DE EXPRESAR UN NRO

COMO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES: NF

NN

#Da)F

2N#D : PAR

*F24 4

NN

#Db)F

1

2N#D : IMPAR

*F100 5

6) INDICADOR DE UN NUMERO O FORMULA DE GAUSS Indica la cantidad de números PESI con el número N; pero menores que N.

1) -(cc1) - (1). -(bb

1) - (1). -(aa1) - (=(N)


MCD Y MCM

MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD) El MCD de dos o más números , es aquel número, que cumple lassiguientes condiciones: - Es un divisor común de los números - Es el mayor de los divisores comunes Ejemplo:

Nº DIVISORES

8 1 , 2 , 4 , 8

12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

20 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20

Divisores comunes: 1; 2; 4 MCD (8, 12, 20) = 4

OBSERVACIÓN

de divisores comunes = de divisores del MCD MÍNIMO COMUN MÚLTIPLO (MCM) El MCM de dos o más números, es aquel número que cumple dos condiciones:

Debe ser un múltiplo común a los números Debe ser el menor de estos múltiplos comunes

Ejemplos: Calcular el MCM (4; 6)

Solución: o

o

, , , , , , ,...

, , , , ,...

4 4 8 12 16 20 24 28

6 6 12 18 24 30

Múltiplos comunes: 12; 24; 36;….. Entonces: MCM(4; 6) = 12

OBSERVACIÓN Los Múltiplos comunes son también múltiplos del MCM FORMA PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD Y MCM.

1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA. 20 15 5 MCD PESI 4 3 4 1 1 3

MCD (20; 15) = 5yMCM (20; 15) = 5x4x3

2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

I) MCD: “Se toman los factores primos comunes elevadas a sus menores exponentes.”

II) MCM: “Se toman los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes.”

3. DIVISIONES SUCESIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES)

Algoritmo de Euclides D d R q D = dq + R

q1 q2 Cociente

DIVIDENDO D d r1 Divisor

r1 0 Resto

MCD (D; d) = r1

PROPIEDADES:

1. El MCD nunca es mayor que uno de los números. 2. El MCM nunca es menor que alguno de los números.

3. Si: o

A B BK ( A B)

MCD (A; B) = By

MCM (A, B) = A 4. Si A y B son PESI:

MCD (A; B) = 1

MCM (A, B) = A x B 5. Si MCD (A; B; C) = d

Donde A, B y C son o

d p, q y r son PESI.

6. Si MCM (A; B; C) = m

m m mp ; q ; r

A B C p, q y r son PESI.

7. Si MCD (A, B, C) = d Se cumple:

MCD (An ; Bn ; Cn) = d n

8. MCD(A; B; E; F) =MCD [A;MCD(B, E, F)] 9. MCM (n A, n B, n C) = n x MCM (A; B; C)

10.

11. Para Dos números A y B. Se cumple: A B MCD PESI p q

y

12. Dados los números:

A = p.d

B = q.d

C = r.d


RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón. RAZÓN ARITMÉTICA Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades de la otra. Ejemplo: Los automóviles A y B se desplazan con velocidades de 24 m/s y 20 m/s respectivamente, comparemos sus velocidades: Valor de

Razón Aritmética la razón

24m/s – 20m/s = 4m/s

Antecedente Consecuente INTERPRETACIÓN: La velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil “B” RAZÓN GEOMÉTRICA Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia. Ejemplo: Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36 m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden):

Razón Geométrica

Antecedente 48m 4

Consecuente 36m 3

Valor de la razón INTERPRETACIÓN:

Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3 porque:

Altura de M: 4(12m) Donde: 12m es la unidad de referencia.

Altura de N: 3(12m)

Por cada 4 unidades de 48 m hay 3 unidades de 36 m

Las alturas de los edificios M y N están en la relación de 4 a 3

En general

Magnitud Cantidades x a y b

Términos a : antecedente b : consecuente R y K: valores de las razones NOTA Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas. Ejemplo: Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/.15, S/.13, S/.9, S/.7. Los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15–S/.13 = S/.2 S/.15 - S/.13 = S/.9 - S/.7 S/. 9 –S/.7 = S/.2

Términos Médios

INTERPRETACIÓN: El precio S/. 15 excede a precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de S/.7. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años.

T. Extremos i) 18 años - 15 años = 17 años - 14 años T. Medios

Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente:

Extremos Medios * 18 años+14 años = 17años+15 años

32 años = 32 años De donde podemos concluir que en toda proporción aritmética: [Suma de extremos] = [suma de medios] Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas presentan dos tipos. A.Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes.

Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50, S/.34 y S/.29 S/. 50 - S/.34 = S/.29 - S/ d cuarta diferencial

RAZON

Aritmética Geométrica

a – b = R

Kb

a


luego: d = 13 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto

ominTér

to4

ominTér

er3

ominTér

do2

ominTér

er1

B. Continua. Cuando los valores de los términos medio son iguales. Ejemplo: Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son: 19 cm

3, 15 cm

3 y

11cm3.

Ejercicios: 1. Calcule la media diferencial de las temperaturas 35º y 17º 2. Halle la tercera diferencial de los pesos 41 kg. y 35 kg. Resumiendo

PROPORCION ARITMÉTICA

Discreta Continua

Extremos

a – b = c - d Medios d: Cuarta diferencial de a, b y c

Extremos

a – b = b - c Medios b: media diferencial de a y c c: Tercera diferencial de a y b

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. Ejemplo: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L 7L; 15L y 9L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo:

3L5

L15

3L7

L21

L5

L15

L7

L21

15Ly 7L

5Ly 21L

INTERPRETACIÓN: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L. Ejemplo: Forme una proporción geométrica con las velocidades de 4 automóviles y que son: 15m/s; 20m/s; 9m/s y 12m/s. Resolución:

a)4

3

s/m12

s/m9

s/m20

s/m15

Extremo: 15 m/s y 12 m/s Medios: 20 m/s y 9m/s

Valor de cada razón geométrica: 4

3

b)3

4

s/m9

s/m12

s/m15

s/m20

Extremo: 20 m/s y 9 m/s Medios: 15 m/s y 12m/s

Valor de cada razón geométrica: 3

4

* Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente

Extremos Medios

(15 m/s)(12 m/s) = (9m/s)(20 m/s) 180 =180

Extremos Medios (20 m/s)(9 m/s) = (12m/s)(15 m/s)

180 =180 De donde podemos concluir que en toda proporción geométrica: [Producto de Extremos]=[Producto de Medios] * Dependiendo del valor que asumen los términos medios, las proporciones geométricas presentan dos tipos: A.Discreta. Cuando los valores de los términos medios son

diferentes. Ejemplo: Formar una proporción geométrica discreta con las notas de 4 estudiantes y que son: 20; 16; 15 y 12 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presentan en el texto.

)ominTér.to4(

)ominTér.er3(

)ominTér.da2(

)ominTér.er1(

Ejercicio: Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m. B.Continúa. Cuando los valores de los términos medios son

iguales Ejemplo. Forme una proporción geométrica continua con las medidas de tres ángulos y que son: 12º, 18º y 27. Ejercicios:

1) Halle la media proporcional de las obras realizadas por dos obreros y que fueron: 20m

2 y 45m

2.

2) Calcule la tercera proporcional de la longitud de dos pizarras y que son: 1,6m y 2,4m.

.


Resumiendo:

PROPORCION GEOMÉTRICA

Discreta Continua

d

c

b

a

d: Cuarta proporcional de a, b y c

c

b

b

a

b: Media proporcional de a y c. c: Tercera proporcional de a y b.

PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN

Para la proporción:

a c

b d se cumple:

PARA RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES:

31 2 n

1 2 3 n

aa a ak razon

b b b b

I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes No hace variar la razón:

1 2 3 n

1 2 3 n

a a a ak

b b b b

No cambia

razonsuma de antecedentes

suma de consecuentes

II.- El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes hace variara la razón:

n1 2 3 n

1 2 3 n

nn n n

31 2 n

1 2 3 n

a a a ak

b b b b

aa a a

b b b b

Si cambia

=

n(razon)producto de antecedentes

producto de consecuentes

III) Serie de razones geométricas equivalentes continúas.

a b

kb c se verifica:

2a ck b ck

2ck ckk

ck c

a b c d

kb c d e

Se verifica que:

2

3

4

d ek

c dk ek

b ck ek

a bk ek

Remplazando tendremos:

4 3 2

3 2

ek ek ek ekk

ek ek ek e

PROMEDIO (P) Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un valor

referencial (que represente a dichos datos) cuyo valor se

encuentra comprendido entre los valores extremos (mínimo

y máximo dato) o es igual a uno de los extremos y se le

denomina promedio.

Dado: 1 2 3 nA a ;a ;a ;...;a

Donde: 1 2 3 na a a ... a

Para que “P” sea promedio se debe cumplir.

1 na P a

1.-Promedio Aritmético o Media Aritmética (PA )

1 2 3 na a a ... a

P.A.n

Ejemplo : Calcule el promedio aritmético de las temperaturas de 5 ciudades y que son: 14º,13º,11º,12º y 15º Resolución

º º º º º º MA= º

14 13 12 11 15 6513

5 5

NOTA

Para determinar la variación que experimenta el promedio aritmético de un conjunto de datos sólo es necesario considerar el incremento o disminución en la suma de los datos.

datos de Cantidad

datos los de suma laen

ndisminució ó incremento

promedio

del Variación

a b c d

b d

a b c d

b d

a c

b a d c

a c

b a d c

a c a c

b d b d


Cuando de un Conjunto de datos se conoce su promedio implícitamente ya se tiene la suma de los datos.

* MA (n datos)=ksuma (n datos)= n(k) 2.-PROMEDIO GEOMÉTRICO O MEDIA GEOMÉTRICA

(PG )

Es un promedio que permite promediar índices y tasas de crecimientos y el procedimiento para calcularlo es

n1 2 3 nP.G. a a a ... a

Ejemplo : En una comunidad campesina se ha observado el crecimiento poblacional de los 3 últimos años y los datos son: Año : 1 998 1999 2000 Crecimiento :125 343 512 Solución

3P.G. 125 343 512

P.G. 280

PROMEDIO ARMÓNICO O MEDIA ARMÓNICA (PH )

Es la inversa del promedio aritmético de los recíprocos de los datos.

1 2 3 n

nP.H.

1 1 1 1...

a a a a

PROPIEDADES DE LOS PROMEDIOS

1.- Para cantidad limitada de números diferentes entre si, se cumple:

P.H. P.G. P.A.

2.- Solo para dos números reales se cumple:

2(PG) PA PH

Para dos números “a” y “b”, se verifica:

2 2 2(a b) 4 (PA) PG)


MAGNITUDES Y REPARTO PROPORCIONAL MAGNITUD: Se llama magnitud a todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución); el cual se puede medir directa o inversamente. CANTIDAD: Es valor particular de una magnitud. Ejemplo:

MAGNITUD CANTIDAD

Longitud 2120 km.

Velocidad 30km/h

Peso 300 kg.

I) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

(DP) Dos magnitudes son D.P. si cuando uno de ellos aumenta

o disminuye, entonces la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción.

MAG. VALORES

CORRESPONDIENTES

A … B …

CONDICION:

A (D.P.) B ↔

Es decir:

REPRESENTACION GRÁFICA:

A (DP) B (Recta)

II) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

(IP) Dos magnitudes son I.P. si cuando uno de ellos aumenta

o disminuye, entonces la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción.

MAG. VALORES

CORRESPONDIENTES

A … B …

CONDICION:

A (I.P.) B ↔ .

Es decir:

REPRESENTACION GRÁFICA:

A (I.P.) B

(Rama de la (hipérbola)

B

PROPIEDADES Sean las magnitudes A, B, C, D y E: 1. A DP B ↔ B DP A A IP B ↔ B IP A

2. A IP B ↔ A DP

3. A DP B ↔ ↔

A IP B ↔ ↔

4. Si:

5. Si:

REPARTO PROPORCIONAL: Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en dividir una cantidad en varias partes, las cuales deben ser DP o IP a ciertos valores llamados índices de reparto o indicadores. 1. REPARTO SIMPLE Es simple si el reparto, si el reparto se realiza en varias partes proporcionalmente a un grupo de indicadores.

1.1. REPARTO SIMPLE DIRECTO. Es cuando el reparto se realiza en forma DP a los

indicadores.

Ejemplo. Dividir 600 nuevos soles en tres partes que sean DP a 7, 4

y 9. PARTES DP

2.1REPARTOSIMPLE INVERSO:

Es cuando el reparto se realiza en forma IP a los

índices.

RECORDAR:

A

B

b1 b2 b3 bn


Ejemplo. Repartir 780 en 3 partes que sean IP a los números 6; 9

y 12

PARTES IP DP

k =

MCM (6, 9 y 12) = 36

2. REPARTO COMPUESTO

Es cuando el reparto se realiza a dos o más grupos

de índices.

Ejemplo Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3; 5

y 8 e IP a los números 4; 6 y 9

PARTES DP


REGLA DE TRES Y POCENTAJES

La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes proporcionales. De acuerdo a la cantidad de magnitudes que intervienen, la regla de tres puede ser simple o compuesta. 1. REGLA DE TRES SIMPLE.- La regla de tres es simple cuando intervienen solo dos magnitudes. Al relacionar las magnitudes la regla de tres simple puede ser a su vez directa o inversa. 1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA (R3SD) La regla de tres simple es directa cuando las dos magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (DP). Ejemplo: Si 40 obreros trabajan 100 metros de carretera por día, ¿cuántos metros por día harán 70 obreros? Solución: Analizando el problema se tiene, entonces dos magnitudes D.P. Luego aplicando método práctico (multiplicación en aspa) se tiene: 40 obreros 100 m

70 obreros x m

40 x 70 100

70 100x 175 m

40

1.2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (R3SI)

La regla de tres simple es inversa, cuando las dos magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (IP). Ejemplo: Si 45 obreros pueden hacer un edificio en 20 días; en cuántos días harán 60 obreros la misma obra. Solución: Analizando el problema se tiene que las dos magnitudes son I.P. Luego aplicando método práctico (multiplicación en paralela) se tiene: 45 obreros 20 días 60 obreros x días

60 45.20

45.20; 15

60

x

x x

2. REGLA DE TRES COMPUESTA Resulta de comparar más de dos magnitudes D.P. Ó I.P.

Método de las Rayas.- Mediante este método las magnitudes que participan se clasifican en tres grupos:

1. CAUSA.- Es todo aquello que realiza la obra o acción, así como las condiciones que tienen para realizarla. Ejemplos: Hombres, animales, máquinas, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc.

2. CIRCUNSTANCIA.- son las condiciones en el tiempo para realizar la obra. Ejemplos: Horas diarias, días, meses, años, raciones diarias, etc.

3. EFECTO.- Es todo lo realizado (la obra en sí) y los inconvenientes o condiciones que posee el medio para la realización, de la obra. Ejemplos: Las medidas de la obra (largo, ancho, alto, profundidad, área, volumen, etc.), dificultad de la obra, resistencia al medio, etc. NOTA: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma raya. Aplicación: Para hacer una zanja de 30 m de largo por 10 m de ancho, 15 obreros han trabajado 6 días a razón de 12 horas diarias. ¿Cuántos días trabajarán 18 obreros a 9 horas diarias en hacer una zanja de 45 m de largo por 20 m de ancho? Solución: Se clasifican las magnitudes de acuerdo al esquema; en causa, circunstancia y efecto, colocando sus valores correspondientes: CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO Obreros Días h/d Obra

15 6 12 30 10

18 x 9 45 20

Se multiplican los valores que se encuentran en una misma raya, igualándose. (18)(x)(9)(30)(10) = (15)(6)(12)(45)(20) Despejando: x = 20 3. REGLA DE TANTO POR CIENTO El tanto por ciento de una cantidad es el número de partes que se toma de ella considerándola equivalente a 100. Se puede mencionar también como una o varias centésimas partes de una unidad.

PORCENTAJES.- Es la aplicación del tanto por ciento respecto a una cierta cantidad. NOTACIÓN

“ por ciento de ”

1/100 1/100 …... 1/100


OBSERVACIONES

1.

2.

3.

4. del del de =

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO APLICACIONES COMERCIALES.- En la actividad comercial es usual expresar las ganancias, las pérdidas y los descuentos como tanto por ciento de los precios. PRECIO DE VENTA (PV) Y PRECIO DE COSTO (PC).- Todo producto que se transfiere comercialmente tiene un precio. Para el vendedor se llama precio de venta y para el comprador precio de costo (compra). El vendedor, puede vender en un precio mayor al que le costó, entonces tiene una ganancia (G), de modo que:

PV = PC + G

El vendedor, puede vender en un precio menor al que le costó, entonces hay una pérdida (P).

PV = PC – P

Los compradores, sobre todo los minoristas y mayoristas, compran a los distribuidores con descuentos sobre el precio de lista o precio fijado (PL), que generalmente es el precio al público. Entonces: Para los vendedores:

PV = PL – descuento

Para los compradores:

PC = PL – descuento

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS AUMENTO SUCESIVO consiste en determinar el aumento único equivalente de varios aumentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los aumentos sucesivos del a%, b%, c% de N

100 a 100 b 100 cAU 100 100 %

100 100 100

DESCUENTO SUCESIVO consiste en determinar el descuento único equivalente a varios descuentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los descuentos sucesivos de a%, b%, c% de N.

100 a 100 b 100 cDU 100 100 %

100 100 100


INTERES Y DESCUENTO INTERES: Es la ganancia, beneficio, o utilidad que genera

un capital prestado, durante un cierto periodo de tiempo y según una tasa fijada en porcentaje. CLASES DE INTERES INTERES SIMPLE: (El interés no se capitaliza) El interés

no se acumula al capital en cada intervalo de tiempo, retirándose el interés tan pronto como se produce, permaneciendo el capital constante durante el tiempo de préstamo.

100

rtCI

1200

rtCI

36000

rtCI

ELEMENTOS

El capital (C); Suma de dinero que su poseedor la impone

o la presta a determinadas condiciones para obtener

ganancia o rédito.

El interés (I); Ganancia o beneficio o utilidad que produce

el capital prestado durante cierto tiempo a una tasa

porcentual fijada.

La tasa de interés (r%); Es la ganancia que produce cada

100 unidades de capital (expresada en porcentaje).

El tiempo (t); Período que dura el préstamo, el cual puede

estar en años, meses o días.

El monto (M); Es la suma del capital con el interés.

M =C + I

OBSERVACIONES:

1) En el comercio se considera: 1 año = 360 días.

1 año común = 365 días

1 mes= 30 días

2) La tasa (r%) porcentual que interviene en la formula siempre debe ser anual, si no es así, se considera una tasa anual equivalente considerando que 1 año tiene: 2% mensual = 2%(12) anual = 24%anual 4% trimestres = 4%(4) anual = 16%anual 3%quincenal = 3%(24) anual = 72%anual 0.5% diarios = 0.5%(360) anual = 180%a

6% bianual = 6%

2

1 anual = 3%anual

0.2%semanal = 0.2%

7

360 anual = 10.3%a

INTERES COMPUESTO: (El interés se capitaliza) Es

cuando el capital prestado se incrementa periódicamente con los intereses que produce, se dice entonces que los intereses se capitalizan.

ni rCM %1

Donde:

iC : Capital inicial

%r : Tasa de interés

n : Nro. de periodos de capitalización

REGLA DEL DESCUENTO

DESCUENTO: Es la rebaja que sufre el valor nominal de una letra de cambio, por ser hecha efectiva antes de la fecha de vencimiento. Matemáticamente el descuento es un interés simple. ELEMENTOS a) EFECTO DE COMERCIO: Este documento tiene la

función de representar una suma de dinero a través de: LETRA DE CAMBIO, PAGARE, VALE, GIRO, FACTURAS.

LETRA DE CAMBIO: Es un documento legalmente expedido donde una persona llamada deudora o aceptante se compromete a pagar una cierta cantidad de dinero a otra persona llamada acreedor o girador durante un plazo establecido y a una taza porcentual. b) VALOR NOMINAL ( Vn ) : Es la cantidad de dinero que está impresa en un efecto de comercio. c) VALOR ACTUAL ( VA ): Es la cantidad de dinero en efectivo que se paga o se hace efectivo un efecto de comercio, antes de la fecha de vencimiento.

AnA DVV

. d) DESCUENTO (D): Es la disminución que se hace al Valor nominal de un efecto de comercio, por haber sido cancelada antes de la fecha de vencimiento.

An VVD

e) TIEMPO DE VENCIMIENTO (t): El tiempo se considera desde la fecha en que se negocia la letra a la fecha de vencimiento.

CLASES DE DESCUENTOS: 1.- DESCUENTO COMERCIAL DC (Bancario abusivo o externo): Es el interés simple que genera el valor nominal durante el tiempo de vencimiento

tr

rtVrtVD An

C

100100

2.- DESCUENTO RACIONAL Dr (Matemático o Interno): Es el interés simple que genera el valor actual durante el tiempo de vencimiento .

tr

rtVrtVD nA

r

100100

PROPIEDADES: Se cumple con respecto a una misma letra a tasas y tiempos iguales 1)

rc DD

2) arac VV

3) 100

rtDDD r

rc

4)

rc

rcn

DD

DDV

5)

rcacrar DDVV

6)

ar

n

r

c

V

V

D

D

7) rt

VnVA

100

100


ESTADÍSTICA SUMATORIA.- Se llama asi a la representación abreviada de una suma..

1 2 3

1

....n

i n

i

x x x x x

Donde: xI representa a un número real

i: contador que varía de 1 en 1.

1: índice inferior de la sumatoria

n: índice superior de la sumatoria.

∑: Letra griega sigma y sirve para representar a una sumatoria. PROPIEDADES.

1. 1

n

i

K nk

, k fijo o constante.

2. 1 1

n n

i i

i i

kX k X

; k constante.

3.

2

2

1 1

n n

i i

i i

X X

; etc

POBLACION.- Conjunto de personas, animales o cosas

que tienen una característica común, la cual se desea estudiar. Hay poblaciones finitas e infinitas.

Ejemplo:

- Conjunto de empresas cuzqueñas. - Conjunto de estrellas en el universo.

MUESTRA.- Es todo subconjunto de una población.

DATO.- Es el resultado de medir una característica de un elemento de una población. También son los valores que asume una característica de naturaleza cualitativa o cuantitativa..

ESTADISTICA

DEFINICION.- Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos, técnicas para recopilar, organizar( clasificar) presentar y analizar datos con la finalidad de describir o hacer conclusiones válidas o tomar decisiones, sobre alguna característica de una población.

CLASES DE ESTADISTICA. 1.- ESTADISTICA DESCRIPTIVA.- Conjunto de métodos

estadísticos que resume, describe datos mediante tablas, graficas y operaciones matemáticas.

2.- ESTADISTICA INFERENCIAL.- En base a una muestra se encarga de deducir resultados o probar hipótesis sobre una población.

VARIABLES ESTADISTICAS.- Es una característica común

en una población, puede tomar diferentes valores cualitativos o cuantitativos.

NOTACIÓN: X, Y etc.

VARIABLE CUALITATIVAS. NOMINALES.- No tienen un orden definido. Ejemplo:

- Color de ojos de las quillabambinas. ORDINALES.- Cuando existe un orden determinado. Ejemplo:

- Grado de instrucción de los que trabajan en Electro Sur.

VARIABLES CUANTITATIVAS.- Se expresan en forma numérica su valor. DISCRETA.- Surgen por el proceso de conteo; son números enteros. Ejemplo:

- Número de hijos por familia. CONTINUAS.- Cuando la variable asume un valor dentro de un intervalo real. Ejemplo:

- Estatura de las personas. -

TABULACION DE DATOS DISCRETOS. Ejemplo.- Los siguientes datos se refieren a una encuesta realizada a 10 estudiantes sobre el número de celulares que poseen. 0 2 1 1 3 1 1 2 1 2 a) Agrupar estos datos en una tabla de frecuencias. b) Grafique el pastel. c) Trace el diagrama de barras y de lineas. MARCA DE CLASE.- Son los distintos valores que asume la variable.

X1 Xmin = 0; X2 = 1; X3 = 2; X4 = Xmax = 3

FRECUENCIA ABSOLUTA.- fi

Es el número de veces que se repite una determinada marca de clase. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.-

F1 = f1; F2 = f1 + f2; F3 = f1 + f2 + f3; etc.

FRECUENCIA RELATIVA: hI = n

f i

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.

H1 = h1; H2 = h1 + h2; H3 = h1 + h2 + h3; etc.

FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL hI x 100%

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PORCENTUAL. HI X 100

Xi fi Fi hi Hi C

0 1 1 0.1 0.1 36

1 5 6 0.5 0.6 180

2 3 9 0.3 0.9 108

3 1 10 0.1 1 36

PROPIEDADES. 1.- 0≤ hi ≤ 1; 0≤ fi ≤ n; f1 = F1; Fk = n.


REPRESENTACION DE DATOS CUALITATIVOS y DISCRETOS.

DIAGRAMA DE BARRAS Y GRAFICO DE LINESAS-

Xi: número de celulares perdidos. Fi : número de personas.

DIAGRAMA CIRCULAR.-

REPRESENTACION DE DATOS CUANTITATIVOS.

TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.

[Li - Ls > xi fi Fi

[ 10 , 14 >

12 20 20

[ 14 , 18 >

16 40 60

[ 18 , 22 >

20 30 90

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS.

40 30 20 ESTADISTICOS O ESTADIGRAFOS.- Es una medida que describe una característica de una muestra, mediante un valor numérico. Ejemplos:

- La media muestral; la mediana; la moda. - La varianza muestral etc.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.- Son valores que de manera condensada representan en un

solo valor a un conjunto de datos, lo describen. Las más usuales son:

1. Media aritmética. 2. Mediana 3. Moda.

LA MEDIA ARITMETICA.- Para datos no agrupados:

1

N

i

i

X

N

; media poblacional

1

n

i

i

X

Xn

; media muestral.

Y para datos agrupados en tablas:

1

.n

i i

i

X f

Xn

; Xi es la marca de clase.

MEDIA ARITMETICA PONDERADA.- La media aritmética de los valores x1, x2 , … , xk ponderada por los pesos w1 , w2 , … , wk esta dado por:

1 1 2 2

1 2

...

...

k k

k

w x w x w xX

w w w

LA MEDIANA.- De un conjunto de datos ordenados creciente o decrecientemente, es el dato que ocupa la posición central; supera al 50% de los datos y es superado por el otro 50%. CALCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS.-

- Se ordena en forma creciente o decreciente.

- Si el número de datos es impar, la mediana será el

dato central. e n+1

2

M X

- Si el número de datos es par, la mediana será la semisuma de los dos datos que se

encuentren en el centro. 1

2 2

eM2

n nX X

PARA DATOS CLASIFICADOS. En tablas sin intervalos:

Hallar n/2

Hallar Fj, frecuencia acumulada inmediato superior a n/2

Se tendra: Fi–1 <= n/2 < Fj–1

Si : Fi–1 = n/2, Me =1

2

j jY Y

Si Fi–1 < n/2 , Me = Yj Se aplica la fórmula:

i - 1

e i

i

F2M L

n

wf

Li : Límite inferior de la clase mediana. w: Amplitud de clase. n: número de datos.


Fi : frecuencia absoluta acumulada, inmediato superior a n/2 ó frecuencia absoluta acumulada de la clase mediana. Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a Fi. Primero determine n/2 y luego Fi (inmediato superior a n/2). LA MODA.- Es el dato que más veces se repite. La moda puede no existir (amodal), a veces hay dos modas (bimodal) ó más.

CALCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS.

1d i

1 2

M L w

Primero determinar la frecuencia absoluta de mayor valor fj Li: Límite inferior de la clase modal. w: Amplitud de la clase modal. f i : Frecuencia absoluta de mayor valor. f i-1 : Frecuencia absoluta anterior a fi

f i+1 : Frecuencia absoluta posterior a fi

∆1 = f i – f i-1 ∆2 = f i – f i+1

MEDIDAS DE DISPERSION.- Son estadísticos o estadígrafos que miden el grado de dispersión o variabilidad de los datos respecto a un promedio. Estudiaremos solo la varianza y la desviación estándar.

El RANGO O RECORRIDO.

R = XMÁX – X MIN

LA VARIANZA.- Es una medida muy utilizada, mide el grado de dispersión. Existen dos clases. σ2 : varianza poblacional. S2 : varianza muestral.

2

2 1

( )N

i

i

X

N

; varianza poblacional

N: tamaño de la población.

2

2 21

n

i i

i

x

s Xn

; varianza muestral.

n: tamaño muestral (para datos sueltos). PARA DATOS CLASIFICADOS EN TABLAS.-

2

2

2 1 1

k k

i i i i

i i

f X f X

sn n

ó

Xi : Marca de clase de la clase i-ésima.

X : Media aritmética muestral. fi : frecuencia absoluta de la clase i-ésima. k: número de clases o marcas de clase.

DESVIACION ESTANDAR.- Viene a ser al raíz cuadrada de la varianza. Existe

desviación estándar poblacional (σ) y desviación estándar muestral (S).

DISTRIBUCION SIMETRICA.

Es cuando su gráfico es simétrico. La media, mediana y moda coinciden; también cuando su primera frecuencia absoluta es igual a la última frecuencia absoluta etc.

PRINCIPIO DE UNIFORMIDAD.-

En la mitad de todo intervalo de clase se encuentra la mitad de los datos que hay en dicho intervalo y así sucesivamente. NOTA: En estadística por lo general se trabaja con

muestras. - La media mediana, moda y desviación estándar,

se encuentran en las mismas unidadades de los datos. La varianza en unidades de los datos al cuadrado.


PROBABILIDADES

DEFINICIONES PREVIAS EXPERIMENTO ALEATORIO (E).- Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir antes de realizar el experimento por que consta con más de un resultado posible. Ejemplos: E1: Lanzar una moneda normal sobre una superficie

plana y observar la cara superior. Puede ocurrir cara o sello.

E2: Lanzar un dado sobre una superficie plana y observar la parte superior. Puede ocurrir que aparezca uno de los siguientes números: 1, 2,3 4, 5, 6.

E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas de diferentes colores.

ESPACIO MUESTRAL (Ω o S).- Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A su vez éste se comporta como el conjunto universal. Ejemplos: Para el experimento E1 su espacio muestral es: S1 = {C, S} Para el experimento E2 su espacio muestral es: S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. EVENTO O SUCESO. Es cualquier subconjunto de un determinado espacio muestral. Se denota por una letra mayúscula: A ,B, etc. Los eventos son subconjuntos, por tanto se cumple la teoría de conjuntos, luego se habla de complemento de un evento, reunión de eventos, intersección de eventos. TIPOS DE EVENTOS: EVENTO IMPOSIBLE

Se llama así al evento ∅ (el conjunto vacío) el cual es subconjunto de todo evento. EVENTO SEGURO. Se llama así al espacio muestral Ω. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Sean los eventos A y B en un espacio muestral Ω. Si no

tienen elementos en común, es decir: A∩B=∅ EVENTOS INDEPENDIENTES. Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no está influenciada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro suceso. EVENTOS COMPLEMENTARIOS Dos eventos A y A

c son complementarios si:

PRINCIPIO DE ADICION. Si un evento designado por A ocurre de n maneras diferentes y otro evento B ocurre de m maneras diferentes, entonces A o B (en sentido excluyente) ocurren de m + n formas diferentes. En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien ocurre el otro caso, más nunca pueden ocurrir simultáneamente. El principio de adición sólo será aplicado para eventos mutuamente excluyentes, es decir aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION. Si un primer evento puede ocurrir de m formas diferentes y otro segundo evento puede ocurrir de n formas diferentes, entonces los dos eventos juntos pueden ocurrir de (m.n) formas diferentes. Este principio se puede extender para más de dos eventos, por ejemplo para tres eventos sería: (m.n.r) donde r es el número de formas diferentes de ocurrir un tercer evento. ANALISIS COMBINATORIO. Es el arte de saber contar perfectamente. FACTORIAL DE UN NÚMERO. El símbolo factorial (!) denota el producto de números enteros positivos. 0! = 1, por definición. n!=n(n –1) (n –2)×…×3×2×1; Si n≥1. Ejemplo. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 VARIACIONES. Son ordenaciones, arreglos, Interesa el orden. Quien ocupa el primer lugar, segundo etc. Fórmula del número de variaciones de n elementos diferentes tomados de k en k sin repetición:

!

( )!

n

k

nV

n k

Fórmula del número de variaciones de n elementos diferentes tomados de k en k con repetición

:

PERMUTACIONES Si n = k, entonces la variación se llama permutación, y se escribe.

COMBINACIONES. (No interesa el orden) En muchos casos interesa el número de formas de seleccionar (tomar, coger) r objetos de un total de n que consta un conjunto, sin importar el orden. Estas selecciones se llaman combinaciones. El número de combinaciones de n elementos distintos, tomados de k en k (con k ≤ n) está dado por:

!

!( )!

n

k

n nC

k k n k

DEFINICION DE PROBABILIDAD..- Sea A un evento en el espacio muestral (S o Ω), entonces:

Ó

Donde: n(A): Casos a favor de A o número de elementos de A. n: Número total de casos o número de elementos de Ω. P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A


PROPIEDADES: 1) O ≤ P(A) ≤ 1

0% ≤ P(A) ≤ 100%

2) P(∅) = 0 3) P(S=Ω) = 1.

4) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Cuando A y B no son mutuamente excluyentes.

5) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Cuando A y B son mutuamente excluyentes,

6) PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES. P(A ∩ B) = P(A).P(B)

7)

PROBABILIDAD CONDICIONAL. La probabilidad de ocurrencia de un evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se denota por P(A / B) y se define como:

,

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES. Llamado también regla de la multiplicación o probabilidad de la intersección. Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicional.

TEOREMA DE BAYES Y PROBABILIDAD TOTAL PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL. Se dice que los eventos B1, B2,…,BK no nulos, representan una partición de un espacio muestral Ω, si se cumplen las siguientes condiciones:

1) B1 ∪ B2 ∪…∪ BK = Ω, colectivamente exhaustivos. 2) Bi ∩ Bj = ∅ ; ∀ i ≠ j; i=1, 2,…,k; j = 1,2,… ,k

Se comporta exactamente como un rompecabezas. TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL. Sean los eventos B1, B2,…,BK una partición de un espacio muestral S; entonces para cualquier evento A en S, se cumple:

1 1 2 2( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )k kP A P B P A B P B P A B P B P A B

Esta propiedad tiene su diagrama del árbol, que también vale para el teorema de Bayes que estudiaremos en seguida

TEOREMA DE BAYES Si los eventos B1, B2,…,BK constituyen una partición de un espacio muestral S; entonces para cualquier evento A en S, se cumple:

Cuadernillo de Teoria Aritmetica

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