Cuadernillo de actividades

Actividades para la semana del 23-27 nov

6y2-12x=0

2 y2=-7x

15x2=-42y

y2=8x

x2=8y

y2=12x

y2 + 8x=0

x2 + 2y =0

Actividades para la semana del 30 nov - 4 dic

PARÁBOLAS HORIZONTALES Y VERTICALES CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN. OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS A PARTIR DE LA ECUACIÓN.

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma: Siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha; si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el vértice es el punto (h,k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma:

Si p>0, la parábola se abre hacia arriba; si p<0 la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3, 2) y foco en (5, 2).

Desarrollo

Al analizar las coordenadas de vértice (3, 2) y foco (5, 2), vemos que su ordenada es común (y = 2), por lo

que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la derecha del vértice.

Según ya vimos, en este caso la ecuación que resulte tiene la forma

(y – k)2 = 4p(x – h)

Siendo las coordenadas del vértice (h, k), se sustituyen en la ecuación y resulta:

(y – 2)2 = 4p(x – 3)

En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, que podemos calcular por diferencia de

las abscisas correspondientes:

p = 5 – 3

p = 2

Sustituyendo:

(y – 2)2 = 4(2)(x – 3)

Queda

(y – 2)2 = 8(x – 3),

ecuación escrita en la forma ordinaria o canónica.

Ejemplo 2

Determine las coordenadas del vértice (V), del foco (F), la longitud del lado recto (LR) y la ecuación de

la directriz (D), en una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es (x + 6)2 = –24(y – 2)

Desarrollo

Estando la x al cuadrado en  (x + 6)2  y siendo negativo el término –24 sabemos de inmediato que la parábola

representada en la ecuación es vertical y se abre hacia abajo (sentido negativo de las ordenadas).

Por lo tanto, la forma de dicha ecuación será:  (x – h)2 = –4p(y – k)

Ahora, si las coordenadas del vértice corresponden con los valores deh y k (+6, –2), y los reemplazamos en la

ecuación dada

                                                

Tendremos

                                           

Que nos entrega las coordenadas del vértice

V = (–6, 2)

Además, los datos nos indican que

– 4p = –24

Lo cual significa que la longitud del lado recto (LR) es –24 y por lo tanto

                                                             

Entonces la distancia focal es 6 (igual a p).

Las coordenadas del foco se obtienen por la abscisa del vértice (–6) y por la diferencia (la resta) entre la

ordenada del vértice (2) y la distancia focal (6):

F = (–6, 2 – 6)

F = (–6, –4)

Para determinar ecuación de la directriz se sustituyen los datos conocidos p y k en:

y – k – p = 0

y – 2 – 6 = 0

Resolviendo la ecuación queda:

y – 8 = 0

y = 8

Ejercicios

Hallar la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto (3,2) y directriz la recta y+3=0

Una parábola tiene por directriz la recta x+8 = 0, y su foco es el punto (3, -2), determine su ecuación.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto de coordenadas (3,5) y su foco es el punto (3,4), realiza también la grafica.

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:

1

2

3

Actividades para la semana del 7 - 11 dic

Dada la ecuación de la parábola x2 + 8y − 2x = 7. Hallar el vértice, eje, foco y directriz

Obtener la ecuación de la parábola con foco en F=(2,3) y cuya ecuación de la directriz

es x=-6.

Actividades para la semana del 14 - 18 dic

Elipse

Una elipse es el conjunto de todos los puntos P en un plano tal que la suma de las distancias desde P a dos puntos fijos es una constante dada. Cada uno de los puntos fijos es llamado un foco. (El plural es focos.)

Los segmentos   y   son los radios focales de P.

El centro de la elipse es el punto medio del segmento de línea que une sus focos. El eje mayor de la elipse es la cuerda que pasa a través de sus focos y tiene sus puntos finales en la elipse. El eje menor de la elipse es la cuerda que contiene el centro de la elipse, tiene sus puntos finales en la elipse y es perpendicular al eje mayor.

 Una elipse tiene una ecuación cuadrática con dos variables. 

         Dada una elipse con su centro en (0, 0), sus focos en el eje de las x en (c, 0) y (–c, 0), las intercepciones enx (±a, 0) y las intercepciones en   y  en (0, ±b). La suma de sus radios focales es 2a y su ecuación es

El eje mayor está en el eje de las x.

Si los focos en la elipse están en el eje de las y, entonces los puntos focales son (0, ±c), y la fórmula es

El eje mayor está en el eje de las y. Las intercepciones en x son (±b, 0) y las intercepciones en y son (0, ±a).

Dese cuenta que el eje mayor es horizontal si el término x2 tiene el denominador más grande y vertical si el término y2 tiene el denominador más grande. Ya que el más grande de

los dos denominadores es a2, la longitud del eje mayor siempre es 2a y la longitud del eje menor siempre es 2b. La distancia del centro a cualquier foco es |c|.

Ya que el centro de cada una de estas elipses tienen su centro en el origen, son llamadas elipses centrales.

Ejemplo:

Dada la elipse con la ecuación  , encuentre susintercepciones en x y y y sus focos.

          Sus intercepciones en x son (3, 0) y (–3, 0).

          Sus intercepciones en y son (0, 2) y (0, –2).

                   b2 = a2– c2 así c2 = a2– b2

                   c2 = 9 – 4 = 5

                     .  Ya que el eje mayor es el eje horizontal, los focos están ubicados

en  .

La gráfica de una elipse puede trasladarse para que su centro esté en el punto (h, k). Esto significa que la gráfica ha sido trasladada a h unidades en el eje horizontal y a k unidades en el eje vertical.

Eje horizontal mayor                                                 Eje vertical mayor

                                               

Focos en (h – c, k) y (h + c, k)                                     Focos en (h, k – c) y (h, k + c)

Ejemplo:

Encuentre una ecuación de la elipse con focos en (–3, 4) y (9, 4) y la suma de sus radios focales de 14.

          La suma de los radios focales es 14, así 2a = 14 y a = 7.

          El centro está a la mitad entre los focos en (3, 4). 

          La distancia del centro a cada foco es 6, así c = 6.

                    b2 = a2– c2 so b2 = 72 – 62 = 49 – 36 = 13.

          Por lo tanto, la ecuación de la elipse es 

Una elipse también puede ser definida como una sección cónica obtenida por la intersección de un cono con un plano que no es perpendicular al eje de simetríay no intersecta a la base del cono.

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los

focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

1  

2  

3  

4  

2  Representa gráficamente y determina las coordenadas de los

focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

1  

2  

3  

4  

3  Halla la ecuación de la elipse conociendo:

1  

2  

3  

4