Ctalge 4s Ip
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J.E.C. “VICTOR RAÚL HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC
ÁLGEBRA
4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2015
I. TEORIA DE EXPONENTES1. DEFINICIÓN Es un conjunto de fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones algebraicas de un sólo término, cuando entre estas expresiones algebraicas se realizan operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.
2. LEYES
LEYES DE EXPONENTES:
1. xm xn = xm+n
2.
3. (xm)n = xmn
4. (xy)n = xnyn
5.
6.
7.
8.
9.
10.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Reduce:
Solución:
E =
E =
E = E = 5
2.- Resuelve :
Solución:
M =
M = =
M = = X-1
3.- Resuelve :
E =
Solución:
E =
E =
E =
E = 0
4.- Simplifica:
Solución:
= = -23
5.- Resuelve:
Solución:
Lic David Salzar C. 10
10
10
2
J.E.C. “VICTOR RAÚL HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC
ÁLGEBRA
4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2015
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01
1) Halla :
a) 12 b) 3 c) 21d) 19 e) 41
2).- Halla :
a)12 b) 7 c) 11d) 4 e) 8
3).- Efectúa:
E=
a) 1 b) x c) 0 d) 4 e) 5
4).- Efectúa: E=
a) 1 b) –17 c) 40d) –19 e) 15
5).- Efectúa:
E = 3 + +
a) 4 b) 171 c) 189d) 49 e) 50
6).- Calcular :
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
7).- Reducir :
a) 54 b) 63 c) 45d) 9 e) 7
8).- Reduce :
a) 2-2 b) 2-1 c) 20
d) 2 e) 22
9).- Si: 5x=2 Halla: E=5x-2
a) 2/25 b) 1/9 c) 2d) 0 e) 1/2
10).- Efectúa :
a) 22 b) 23 c) 48d) 32 e) 64
11).- Efectúa:
E =
a) 1 b) 13 c) 4d) 169 e) 0
12).- Efectúa:
E=
a) 0 b) 4 c) 5d) 7 e) 16
13).- Efectúa: E =
a) 7 b) 5 c) 7x
d) 21x+2 e) 7x+2
14).- Efectúa:
a) 6 b) 1/6 c) 1 d) 4 e) 5
15).- Efectúa:
a) x b) x-1 c) xx d) e) 1
16).- Efectúa: E=
a) 1 b) X c) 2X d) 0 e) 4x
17).- Efectúa : =
a) 19 b) 18 c) 1
d) e) 0
18). - Halla :
E = 641/6 + 2431/5 + 6251/4 + 491/2
a) 5 b) 11 c) 17d) 46 e)19
19).- Efectúa :
a) b) 1 c) 0
d) e)
20).- Efectúa :
a) 1 b) 0 c)
d) e)
21).- Efectúa :
a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 10
22).- Efectúa:
E=
a) x b) 3x c) –x d) 2x e) 0
23).- Reduce:
a) 8 b) 6 c) -8 d) -6 e) 5
24).- Reduce:
a) 25 b) 212 c) 210 d) 28 e) N.A.
25).- Reduce e indica el exponente final de "X" en:
a) x5 b) x4 c) 3 d) 5 e) 4
26).- Siendo:
Lic David Salzar C. 11
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ÁLGEBRA
4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2015
Calcula: A x B
a) 162 b) 324 c) 648 d) 1296 e) 2592
27).- Reduce :
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) N.A.
28).- Reduce:
a) 6 b) 1 c) 9 d) 27 e) 3
29).- Reduce :
a) 1 b) 5 c) 16d) 32 e) n+ 1
30).- Simplifica:
E =
a) 25 b) 26 c) 27
d) 28 e) 29
31).- Al efectuar :
Resulta :
a) 2n b) 7 c) 8d) 14 e) ½
32).- Reduce :
M =
a) a3 b) b/a c) a2bd) b4 e) a/b
33).- Si :
Halla :
a) 2 b) 4 c) 16d) 32 e) 64
34).- Halla el valor:
M =
a) 2 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
35).- Calcula :”x . y”
Si :
x =
y =
a) 5 b) 6 c) 10d) 30 e) 20
36).- Si : {a; b; x] R+ tal que : a/b= 4, calcula:
a) 4 b) c) d) 2 e) ½
37).- Si: 2x +2x+2 + 2x+3 = 208
Halla “x”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
38).- Reduce:
a) 1 b) a c) b d) x e) ab
39).- Halla “x”
a) 1 b) 4 c) 3d) ¼ e) ½
40).- Simplifica:
a) 3 b) 9 c) 27d) 81 e)
CLAVES DE RESPUESTAS1) c 2) a 3) c4) b 5) b 6) d7) b 8) d 9) a10) e 11) e 12) a
13) d 14) a 15) b16) d 17) a 18) c19) d 20) b 21) e22) e 23) c 24) c25) d 26) b 27) a28) e 29) d 30) d31) d 32) b 33) e34) c 35) d 36) c37) c 38) d 39) b40) b
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4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2015
II. POLINOMIOS
1. DEFINICIÓN:Son expresiones algebraicas racionales enteras de dos o más términos. Es decir, la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.Ejemplo :x4 – 2x2 + 3 ; x5 – 3x4 + x2 + ½ x
1.1. NOTACIÓN POLINÓMICA:
P(x, y) = 3abx5y6
3ab coeficiente (constantes). x; y variables.
Las variables se encierran entre paréntesis, así :
P(x)P(x, y)P(x, y, z)
2. GRADO:Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, relacionadas con los exponentes de sus variables.Hay de dos tipos:- Grado Relativo. -Grado Absoluto.
2.1. GRADO DE UN MONOMIO:Es siempre una cantidad entera positiva y son de dos clases :
a) Grado Absoluto :Se obtienen sumando los exponentes de sus variables.
b) Grado Relativo :
Es el exponente de una variable.
2.2.Grado de un Polinomio:
a) Grado Absoluto :Está dado por el término de mayor grado absoluto.
b) Grado Relativo :Es el mayor exponente de una variable.
3. POLINOMIOS ESPECIALES:
Polinomio Homogéneo:Todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, cuyo grado se llama grado de homogeneidad.
Polinomio Ordenado:Los exponentes de una de sus variables están aumentando o disminuyendo (variable ordenatriz)
Polinomio Completo:Si figuran todos los exponentes de una de sus variables, desde un valor máximo (mayor exponente) hasta cero (término independiente).
# Términos = Grado + 1
Polinomio Idéntico:Los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.
Polinomio Idénticamente Nulo:Todos sus coeficientes son nulos.
4. VALOR NUMÉRICO:Es el resultado que se obtiene luego de reemplazar el valor asignado a las variables y realizar las operaciones indicadas.
Valores Numéricos Notables:
Si P(x) es un polinomio, se cumple:
P(0) = Término independiente.
P(1) = Suma de coeficientes.
Polinomio Constante:
P(x) = m (m0)Su grado es cero.
5. OPERACIONES:
Adición:Se suman los términos semejantes.Sustracción:Se restan los coeficientes de términos semejantes. Multiplicación:Se multiplican los coeficientes de cada factor y se tiene en cuenta la teoría de exponentes.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).-Se sabe que el polinomio: P(x) = 4x3 + 3x2 + mx +x – n + 5; es tal que:
P(1) = 15y P(0) = 2. Halla P(-2)
Solución :
P(1) = 4(1)3 + 3(1)2 + m+1-n+5 = 15
4+3 + m+1-n+5=15
m-n = 2
P(0) =4(0)3 + 3(0)2 + m(0) + 0 – n + 5 = 2
n = 3
m - 3 = 2
m= 5
P(x) = 4x3 + 3x2 + 6x + 2
P(-2) = 4(-2)3 + 3(-2)2 + 6(-2) + 2
P(-2) = -32 + 12 – 12 + 2
P(-2) = -30
2).- Si el polinomio :
P(x, y) = 2xa+b + 3xby2a-3+4xay3b-10 + y3b-7
Es homogéneo. Calcula “ab”
Solución :
a + 3b – 10= 3b – 7a=3a+b = 3b – 73 + 7 = 2bb=5a.b = 3.5 = 15
3).- ¿Para qué valor de “m” la expresión es un trinomio cuadrado perfecto?
9x6 + 7mx3y4 + 2x3y4 + 25y8
Solución:
= 3x3 = 5y4
2(3x3) (5y4) 30x3y4
7m + 2 = 30
m = 4
4).- Dado el polinomio completo y ordenado.
Cuyo número de términos es (n + 1)
Determina : . Siendo PR.
Solución :
8m + 25 = 1 m = -3
(-3)2 – 3n – 4 (-3) = 0 n = 7
P2 + P + 1 = n = 7 P = -3 P = 2
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Luego :
5).- Si:
Es completo y ordenado ascendentemente. Calcula: abcdSolución:
a + b = 0 a = -b = 2b + c = 1 b = -2c + d = 2 c = 3d + 4 = 3 d = -1
a . b . c . d = 2 . –2 . 3 . -1 = 12
6).- Sea el monomio:
M(x; y)=2n2
Donde se cumple: GR(x) = GR(y).Halla el coeficiente del monomio.Solución:
GR(x) = GR(y)
n2 – n - 6= 0(n - 3) (n + 2) = 0
n = 3n =-2
Luego : 2(3)2 = 182n2 =
2(-2)2 = 8
7).- Si el polinomio:
P(x,y,z) = Ax2a+2b-c+By2b+2c-a+Cz2c+2ª-b
es homogéneo.
Halla:
Solución:Polinomio homogéneo, entonces todos los términos tienen el mismo grado.Igualamos los exponentes:
2a + 2b - c = 2b + 2c – a 3a = 3c a = c
2b + 2c – a = 2c + 2a – b 3b = 3a
a = b
a = b = cLuego :
F =
F = F = 2
8).- Calcula “a+b+c” si: P(x) Q(x) siendo:
Solución:Si P(x) Q(x), entonces sus coeficientes de términos semejantes son iguales:
4 a + b – 13 = b – c + 22 = c - a + 49 = 2b + 5
9 – 5 = 2b4 = 2b
2 = b
Luego :
4 = a + b - 1 4 = a + 2 – 1a = 3Tambien :
3 = b – c + 23 = 2 – c + 2c = 4 – 3 c = 1
Luego : a + b + c = 3 + 2 + 1 = 6
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02
NIVEL I:1).- Dado el polinomio:
P(x) = 2x2(1 + x4) – 3x6 – 5Calcula:
E =
a) 1,3 b) 1,4 c) 1,5d) 1,6 e) 2
2).- Si :
P(x) = 4x2 - - 8x
Calcula P(2) :
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
3).- Si : P(x) =mx2 – 3; además
P(x) + P(2x) + P(3x) = 28x2 – 9
Calcula el valor de “m” :
a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 14
4).- Si :F(x + 1) = F(x) + 2x + 4, x Z
Además: F(0) = 2
Calcula : F(1) + F(-1)
a) 6 b) 0 c) 2 d) –2 e) 4
5).- Si el polinomio:
P(x; y) x14+m yn-5 xn y2m+4 + 7y49
es homogéneo, el grado relativo respecto a “x” es :
a) 24 b) 25 c) 18d) 20 e) 26
6).- Si :
P(x; y; z)
es homogéneo, calcula m2n.
a) 18 b) 24 c) 16d) 8 e) 10
7).- Si el monomio:
es de tercer grado, entonces el valor de “m” es :
a) 12 b) 15 c) 22d) 20 e) 25
8).- Si :
Es de 4to grado. Halla “n”:
a) 6 b) –4 c) 4d) 3 e) 2
9).- Si :H(x –1) F(x) + G(x)F(x –2) 2x + 4G(x +2) 3x2 + 6x + 1
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4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2015
Calcula: H(5)
a) 62 b) 78 c) 87d) 93 e) 99
10).- Dado el polinomio:
P(x + 1) 4x2 + 8x – 7
Calcula la suma de coeficientes de P(x).
a) –5 b) –6 c) –7d) –8 e) -9
11).- Si el polinomio:
P(x, y) ax2yab + x2ay3 – b2x4
Es homogéneo, calcula: abab
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
12).- Si el polinomio:
F(x) x2n+1 + 2xp+3 – 3xm+2 + ….
está ordenado y completo de manera decreciente; además presenta “2m” términos, calcula el valor de “p”.
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
13).- Si :P(x, y) = xm-2 yn-1 (x7 + y2n –3)
es un polinomio homogéneo, de grado 16, los valores de “m” y “n” respectivamente son :
a) 4; 8 b) 8; 4 c) 5; 7d) 6; 8 e) 7; 5
14).- Si: F(x) =
Calcula: F(F(5)) + F(F(-2)) + F(F(1))
a) 5 b) 7 c) 6 d) 2 e) 4
15).- Dados los polinomios:
P(x; y)3xm+7yn-2 -6xm+4 yn-1 + xm+2 yn+1
Q(x;y) x3m+7yn+1+2x3m+5yn+4- x3m+1yn+5
Si : G.A(P) = 14 y el menor exponente de “x” en Q(x; y) es 10, ¿Cuál es el G.A (Q)?
a) 27 b) 26 c) 25d) 24 e) 23
16).- Dado el polinomio:
P(x) 5xn+1 – 3x5 + nx + n2;
Si : G.A (P) = 6 , calcula P(2) :
a) 235 b) 236 c) 237d) 238 e) 259
17).- Se define el polinomio:
R(x) P(x) + Q(x)
Donde: P(x)1+x–2x3Q(x)x2–x+1
Calcula “m + n”, si m es el grado de R(x) y n=R(-1).
a) 2 b) 8 c) 12d) 16 e) 0
18).- En el siguiente polinomio:
P(x, y) = mx3m + x3m-1 y5m+2 + y5m-6
Se cumple que : G.R. (y) = 2G.R. (x). Calcula el grado absoluto del polinomio.
a) 13 b) 17 c) 14d) 10 e) 8
19).- Dado el monomio:
M(x,y,z) = 5xaybzc
Calcula abc; si al sumar los G.R de 2 en 2 se obtiene 10,7 y 11 respectivamente.
a) 26 b) 52 c) 108d) 84 e) 100
20).- En el polinomio completo y ordenado en forma descendente:
P(x)=xa+b-6 + (a-b)x + 3xa-b
Calcula : “ab”.
a) 16 b) 8 c) 12d) 10 e) 4NIVEL II
1).- Si el polinomio:
Es homogéneo. Calcula:
a) b) 55 c) 14
d) 5 e) 8
2).- Si el polinomio:
P(x)=(a-2b+3)x5+(b-2c-1)x4+(c-2a+2)x7
Se anula para cualquier valor de sus variables. Calcula (a +b +c)2.
a) 4 b) 81 c) 16d) 121 e) 36
3).- Si los polinomios:
P(x, y) = xa yb+1 + xc yd-3
Q(x, y) = xa+1+ yb x4-ay3-b
Son idénticas, calcula (a+b+c+d)
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
4).- En el polinomio homogéneo:
P(x,y,z)=5xm+n-7xny2m-3+8xmy2nzn-10+11z3n-7
Calcula: (m-n)m
a) 16 b) –16 c) 9d) –8 e) -4
5).- Sabiendo que:P(x) = x2 + ax + bx + ab
Halla:
a) ab b) ab(a+b) c) 2ab(a+b)d) 2ab e) 2
6).- Si: P(x) =
Determina: P(P(x))a) x b) 2x c) -x
d) e) -
7).- De un polinomio P(x) se sabe que :
P(x) = P(x-1) + P(x-2)
Además: P(1) = 3; P(2) = 4
Calcula: P(P(P(0)))
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
8).- Halla “ab”, si :
P(x-1) =x2-1P(x+2) = x2 + ax + b
a) 24 b) 32 c) 36d) 45 e) 48
9).- Si el monomio es de grado 32, halla “x”.
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4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2015
a) 3 b) 2 c) 4d) 7 e) 5
10).- Calcula “n”, si el grado del producto :
P(x) = (x+1)(x4+4)(x9+9)...)
es 204a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
11).- En el polinomio completo y ordenado en forma creciente. Calcula la suma de coeficientes:
P(y) =mym+n + nym-1 - pyp-t + tyt
a) –2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7
12).- Halla (a + b)c
(aa+2)x5 +(bb-3)x3+c-6= x5+x3+4
a) ¼ b) 0 c) 1d) 2 e) 220
13).- Halla el grado de homogeneidad de :
P(x, y) = 8xa+byb + 3bxa+6yb+4
Si G.R.(x) es menor en 2 unidades que G.R.(y).a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26
14).- Dados los polinomios :
P(x) = 3x2 – x + 1Q(x) = x2 + 2x – 3R(x) = 2x2 – 3x + 2
¿Cuánto le falta al primero para ser igual al exceso del doble del tercero sobre el segundo?
a) 2x b) 7-8x c) 6-7x d) 5x-3 e) 7x-6
15).- Si: F(x) + G(x) = 3x + 5
F(x) – G(x) = 7x – 3
Calcula: G(-F(2))
a) 11 b) –18 c) 17d) 26 e) 24
16).- Si: F(x+3) =2x+5
Halla: F(x+5)
a) 2x+1 b) 2x+3 c) 2x+4d) 2x + 5 e) 2x + 9
17).- Conociendo que:ax2 + bx + c (mx + n)2
Halla el valor de :
E =
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
18).- Si el polinomio:
P(x)=a(x+2)2+b(x+3)2-(2x+3)2+c
Es idénticamente nulo. Halla el valor de:
L =
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
19).- Si el polinomio:
P(x,y,z) = Ax2a+2b-c+By2b+2c-a+Cz2c+2ª-b
es homogéneo.
Halla :
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
20).- Calcula “a + b + c” si: P(x) Q(x)
Siendo:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I1) d 2) a 3) a4) a 5) b 6) c7) c 8) d 9) d10)c 11)c 12)b13)e 14)e 15)d16)e 17)b 18)b19)d 20)a
NIVEL II1) d 2) c 3) c4) d 5) c 6) a7) d 8) e 9) b10)c 11)a 12)b13)c 14)c 15)b16)e 17)e 18)c19)b 20)c
Lic David Salzar C. 16