Course Website: http://faculty.iitr.ac.in/~sudiproy.fcs/csn221_2015.htmlPiazza Site: https://piazza.com/iitr.ac.in/fall2015/csn221 

Dr. Sudip Roy

CSN‐221: COMPUTER ARCHITECTURE AND MICROPROCESSORS

Computer Arithmetic

(Lecture - 10)

Dr. Sudip Roy 2

Real Numbers:

Dr. Sudip Roy 3

Floating‐Point Number Formats:The term floating point number refers to representation of real binary numbers in computers

IEEE 754 standard defines standards for floating point representations

General format±1.bbbbbtwo×2eeee

or (‐1)S × (1+F) × 2E

Where S   =  sign, 0 for positive, 1 for negative F   =  fraction (or mantissa) as a binary integer, 1+F is called 

significand E   =  exponent as a binary integer, positive or negative (two’s 

complement)

Dr. Sudip Roy 4

MIPS Single Precision:

‐127 ≤ E ≤ 128, Max |E| ~ 128 Overflow: Exponent requiring more than 8 bits. Number can be positive or negative.

Underflow: Fraction requiring more than 23 bits. Number can be positive or negative.

S    E: 8‐bit Exponent                F:  23‐bit Fraction          

bits 0‐22bits 23‐30bit 31

MIPS: Microprocessor without Interlocked Pipeline Stages

Dr. Sudip Roy 5

MIPS Double Precision:

‐1023 ≤ E ≤ 1024, Max |E| ~ 1024 Overflow: Exponent requiring more than 11 bits. Number can be positive or negative.

Underflow: Fraction requiring more than 52 bits. Number can be positive or negative.

S   E: 11‐bit Exponent                F:  52‐bit Fraction +     

bits 32‐51bits 52‐62bit 63

Continuation of 52‐bit Fraction                     

bits 0‐31

Alternative Representation of 4‐bit Integers:

Dr. Sudip Roy 6

Dr. Sudip Roy 7

IEEE 754 Floating Point Standard:

Biased exponent: true exponent range [‐127,128] is changed to [0, 255]: Biased exponent is an 8‐bit positive binary integer. True exponent obtained by subtracting 127ten or 01111111two

First bit of significand is always 1:± 1.bbbb . . . b × 2E

1 before the binary point is implicitly assumed. Bias = 2(k‐1) – 1, in general

Significand field represents 23 bit fraction after the binary point. Significand range is [1, 2), to be exact [1, 2 – 2‐23] True exponent = biased exponent – 127, for 32‐bit representation

Dr. Sudip Roy 8

IEEE 754 Floating Point Standard:

Dr. Sudip Roy 9

Conversion to Decimal:

Sign bit is 1, number is negative Biased exponent is 27+20 = 129 The number is

1 10000001 01000000000000000000000

Sign bit S bits 23-30 bits 0-22normalized E F

(-1)S × (1 + F) × 2(exponent – bias) = (-1)1 × (1 + F) × 2(129 – 127)

= - 1 × 1.25 × 22

= - 1.25 × 4= - 5.0

Dr. Sudip Roy 10

Positive Zero in IEEE 754:

+ 1.0 × 2‐127 

Smallest positive number in single‐precision IEEE 754 standard. Interpreted as positive zero True exponent less than ‐126 is positive underflow; can be regarded as 

zero.

0  00000000        00000000000000000000000

Biasedexponent

Fraction

Dr. Sudip Roy 11

Negative Zero in IEEE 754:

‐ 1.0 × 2‐127

Smallest negative number in single‐precision IEEE 754 standard. Interpreted as negative zero. True exponent less than ‐126 is negative underflow; may be regarded as 0.

1  00000000            00000000000000000000000

Biasedexponent

Fraction

Dr. Sudip Roy 12

Positive Infinity in IEEE 754:

+ 1.0 × 2128 Largest positive number in single‐precision IEEE 754 standard. Interpreted as  +∞ If true exponent = 128 and frac on ≠ 0, then the number is greater than ∞. It is called “not a number” or NaN and may be interpreted as ∞

0   11111111 00000000000000000000000Biasedexponent

Fraction

Dr. Sudip Roy 13

Negative Infinity in IEEE 754:

‐1.0 × 2128 Smallest negative number in single‐precision IEEE 754 standard. Interpreted as  ‐∞ If true exponent = 128 and frac on ≠ 0, then the number is less than ‐ ∞. It is called “not a number” or NaN and may be interpreted as ‐ ∞

1  11111111       00000000000000000000000Biasedexponent

Fraction

Dr. Sudip Roy 14

IEEE 754 Floating Point Standard:

NegativeOverflow

PositiveOverflow

Expressible negativenumbers 

Expressible positivenumbers

0‐2‐126 2‐126

Positive underflowNegative underflow

(2 – 2‐23)×2127‐ (2 – 2‐23)×2127

+ ∞–∞

Dr. Sudip Roy 15

Floating Point Arithmetic:

Dr. Sudip Roy 16

Floating Point Addition and Subtraction:

0. Zero check‐ Change the sign of subtrahend, i.e., convert to 

summation‐ If either operand is 0, the other is the result

1. Significand alignment: right shift significand of smaller exponent until two exponents match.

2. Addition: add significands and report exception if overflow occurs. If significand = 0, return result as 0.

3. Normalization‐ Shift significand bits to normalize.‐ report overflow or underflow if exponent goes out of 

range.4. Rounding

Dr. Sudip Roy 17

Example (4 Significant Fraction Bits):

Subtraction: 0.5ten  – 0.4375ten Step 0: Floating point numbers to be added

1.000two× 2 –1 and –1.110two× 2 –2

Step 1:  Significand of lesser exponent is shifted right until exponents match

–1.110two× 2 –2   → – 0.111two× 2 –1

Step 2:  Add significands, 1.000two + ( – 0.111two)Result is 0.001two × 2 –1

01000+1100100001

2’s complement addition, one bit added for sign

Dr. Sudip Roy 18

Example (Continued):

Step 3:  Normalize, 1.000two× 2 – 4 

No overflow/underflow since127 ≥ exponent ≥ –126

Step 4:  Rounding, no change since the sum fits in 4 bits.1.000two × 2 – 4 = (1+0)/16 = 0.0625ten

Dr. Sudip Roy 19

Floating Point Multiplication (Basic Idea):

1. Separate sign2. Add exponents3. Multiply significands4. Normalize, round, check overflow/underflow5. Replace sign

Dr. Sudip Roy 20

Floating Point Multiplication (Example):

Multiply 0.5ten and – 0.4375ten(answer = – 0.21875ten) or

Multiply 1.000two×2 –1 and –1.110two×2 –2 Step 1: Add exponents

–1 + (–2) = – 3 Step 2: Multiply significands

1.000×1.11000001000100010001110000 Product is 1.110000

Dr. Sudip Roy 21

Floating Point Multiplication (Example):

Step 3: Normalization: If necessary, shift significand right and increment exponent.

Normalized product is 1.110000 × 2 –3

Check overflow/underflow: 127 ≥ exponent ≥ –126 Step 4: Rounding: 1.110 × 2 –3

Step 5: Sign: Operands have opposite signs,Product is –1.110 × 2 –3

(Decimal value = – (1+0.5+0.25)/8 = – 0.21875ten)

Dr. Sudip Roy 22

Floating Point Addition and Subtraction Flowchart:

Dr. Sudip Roy 23

Floating Point Multiplication Flowchart:

That’s all from Computer Arithmetic !

Dr. Sudip Roy 24