cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

155
: ' " ' 1 ............... .... ................ .. ...... .................................. ........... ....................... 3 ' 2 .. . ................. . .. .. ......................................... ........................................ ..... 6 ' 3 ................ ........................................................ ...................................... . 9 ' 4 . ........................ ...... .. ............... .......................... ................. .................. 12 ' 5 ........................................ .. ................ ................................... .... ............ 16 ' 6 ............................... .............. .................................................. . ............. 20 ' 7 .............. .... ................................................ ......... ......................... ......... 23 ' 8 .......................... ........... ......................... ......... ............................ .......... 26 ' 9 .......................... .................................... ....... ............................ ............ 29 ' " ' 4 ) . ( .. ........................ .. .................... .................... 32 ' 5 ) ............ ( ................. .... .. .... .... ........ .... .... .............. 38 ' 6 ) , ...... ( .......... .... ..... . ... ............. 44 ' 7 ) ....... ( ....... .. ...................................... .................... 48 ' 8 ) ...................... ( ........................ ...... ..................... ................... 54 ' 9 ) ( .......... . ......................................................... . .... 57 ' 10 ) ............ ( ... ... ...... ............. .................... ............... 60 ' 11 ) , ............ ( ... ................ .. ....... .................. ............... 63 1 http://cs.haifa.ac.il/students/ הסטודנטים אתר המחשב למדעי החוג, חיפה אוניברסיטת

Transcript of cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

Page 1: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

– :

'"

'1........................................................................................ .......................3

'2.......................................................................................................... .....6

'3.............................................................................................................. .9

'4........................................................................................... ..................12

'5................................................................................................. ............16

'6................................................................................................ .............20

'7.................................................................................................... .........23

'8................................................................................................... ..........26

'9................................................................................................. ............29

'"

'4). (................................................ ....................32

'5)............ (............................................... ..............38

'6) ,...... (....................... .............44

'7)....... (............................................... ....................48

'8)...................... (................................................... ...................54

'9)(..................................................................... ....57

'10)............ (............................................. ...............60

'11) ,............ (.............................................. ...............63

1

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 2: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'"

'1) ,............... (....................................... .......................66

'2) ,.. (................................................................ .....72

'3) , , (...................................................... .81

'4). (............................................................................. ......96

'5) ,....................... (..................................... ............104

'6) ,............... (............................... .............108

'7).... (............................................................. ..................111

'8).......................... (.................................. ...................116

'"

'1) ,............ (............................................. ..................121

'2) ,.. (.............................................................. .....124

'3) ,... (....................................................................... .129

'4) , ,. (..................................... .................135

'5)............................. (....................................... ..............139

'6) ,................... (........................... .............147

'7).............. (................................................... ..................151

2

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 3: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

,-14.11.200512:00. :)( ,-) ( .

.

1) (20 (:

* :(

({x | x = 2k, k Z, 0 < k < 10 } ({8,6,2,4} (}x , {x | x < 10 ({4,8,6,4,4,8,6,3,8} ({4,6,2,6,2,4,8,4,2,6,6,4,2} ({x | x = 2k, k N, k < 10} (}k ,k < 10 ,x | x = k+1{

2) (40 (:

* :"- ":

a b a b T T T T F F F T T F F T

(((a b) a) aT(T (a (a b)) b(a b ~b ~a((a b) c a (b c)

3) (40 (:(a (b (~c)) (a b) (~ (a c))(a (~ (b (~c))) (a (~b)) (a c)

) :)( ,)( ,-()33(

3

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 4: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1:

,'- ' .,'- ,' ,- ,'- ' , . ').(

2:

.((a b) a) a(a b) aa bba

TTTTTTTFFTTFTTFTFTFF

.(a (a b)) ba (a b)a bba

TTTTTTFFFTTFTTFTFTFF

.~b ~a~b~aa bba

TFFTTTFTFFFTTFTTTFTTTTFF

.a (b c)b c(a b) ca bcba

TTTTTTTFFFTFTTTTTFTFTTTTFFFTTTTFTTFTFTFFTFTTTFTFFTTTFFFF

4

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 5: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3. .") :(a (b (~c)) (a b) (~ (a c))

(a b) (~ (a c)) = - ~ (A B)

= (a b) (~a ~c) = (A B) C

= a (b (~a ~c) = A ( B C )

= a ((b ~a) (b ~c)) = A ( B C )

= (a (b ~a)) (a (b ~c)) = A B

= (a (~a b)) (a (b ~c)) = A ( B C)

= ((a ~a) b) (a (b ~c)) = (a ~a) -

= (F b) (a (b ~c)) = " "

= F (a (b ~c)) = " "

= a (b ~c) ).. (.

." :a (~ (b (~c))) (a (~b)) (a c)

a (~ (b (~c))) = - ~ (A B )

= a (~b ~(~c)) = " "

= a (~b c)) = A ( B C)

= (a (~b)) (a c) .. .

5

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 6: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-21.11.2005 ,12:00.

1) (40 ( ,:.a, a c b c.~a, a b c b.a c, c b, a c b.a, c a, ~b ~a c ~b

2) (20 (:i.a, a b b

ii.a b aiii.a (b c) (a b) (a c)iv.(~a ~b) (~a b) a

:.b a, b (a c) b c.~b, ~a b a

3) (30 ( ,:... { }. { }.{ } { }.{ } { }.{1, } {1,{1, }}.{1, } {1,{1, }}. {1,{ }, 2}.{{ }} {1,{ }, 2}

4) (10 (:P(A) = P(B) A = B

6

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 7: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2-

1.

(a a c) (b c)b ca a ca ccbaTTTTTTTTFFFFTTTTTTTFTTTFFFFTTTFTTTFTFFTFTFTTFTTFFTTFTFFF

.(~a (a b)) (c b)c b~a (a b) a b~acbaTTFTFTTTTTFTFFTTTFFTFTFTTTFTFFFTTTTTTTTFTTTTTFTFTFFFTTFFTTFFTFFF

.(a (a c) (c b)) c bc ba (a c) (c b) (a c) (c b)c ba ccbaTTTTTTTTTTFFFTFFTTTFFFFTTFTTFFFTFFFTTTFTTTTTFTFFTTTFTFTFFFFTTFFTFFTTTFFF

7

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 8: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

.

(a (c a) ~b ~a) (c ~b)c ~ba (c a) (~b ~a)a (c a)~b ~ac a~b~a cba

TTTTTTFFTTTFFTTTTFFFTTTTFTFTTFTFTTTFTFTTFFFTTTFFTFFTTTFTFFFTTFTFTFTTFFTFTTTFFTTFFTTTTFFF

2.

3, b->(a->c) => (b->a)->(b->c)(b->a), (b->a)->(b->c), 1 => (b->c)

.2, ~b => ~a->~b

~a->~b, 4=> (~a->b)->a1, (~a->b)->a, ~a->b =>a

3. .)" ".(. ... .-}{.. . ,.. .} {-}{.. .} {) (}{.. .1}1, {-}},1,{1{.. .},1 {}},1,{1{.. .} {.. .}} {{)} { (}2},{,1{.

4a A .)(

{a} A) ({a} P(A))P(A)=P(B)({a} P(B))(

{a} B)(a B

8

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 9: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-3

)5.12.2005 (12:00.

)10 (1. :A={1,2}, B={2,3} C={3,4} .:

.Ax(BxC) = ?

.AxBxC = ?.Ax((BxA)xC) = ?

)90 (2.:

.A B= P(A) P(B) =

.A B = { } P(A) P(B)={ ,{ }}.A (BxC) = (A B)x(A C).(R S)-1 = R-1 S-1

.RR..R,SA .RSRS=SR.RR R2..R,S,T .R(S T) = RS RT.R,S,T .R(S T) = RS RT)(

9

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 10: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

–3

1. .BxC = {(2,3), (2,4), (3,3), (3,4)} ,

Ax(BxC)={(1,(2,3)), (1,(2,4)), (1,(3,3)), (1,(3,4)), (2,(2,3)), (2,(2,4)), (2,(3,3)), (2,(3,4))} .AxBxC = {(1,2,3), (1,2,4), (1,3,3), (1,3,4), (2,2,3), (2,2,4), (2,3,3), (2,3,4)} .BxA = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}

(BxA)xC = {((2,1),3), ((2,1),4), ((2,2),3), ((2,2),4), ((3,1),3), ((3,1),4), ((3,2),3), ((3,2),4)}Ax((BxA)xC) = {(1, ((2,1), 3) ), (1, ((2,1), 4) ), (1, ((2,2), 3) ), (1, ((2,2), 4) ),

(1, ((3,1), 3) ), (1, ((3,1), 4) ), (1, ((3,2), 3) ), (1, ((3,2), 4) ), (2, ((2,1), 3) ), (2, ((2,1), 4) ), (2, ((2,2), 3) ), (2, ((2,2), 4) ), (2, ((3,1), 3) ), (2, ((3,1), 4) ), (2, ((3,2), 3) ), (2, ((3,2), 4) )}

2. ..

, ,{ } P(A) P(B) ,P(A) P(B) .

. . :A,B-A B = { }.

P(A) P(B) = { , { }}.X P(A) P(B) .

(X P(A)) (X P(B))(X A) (X B)

X=( A) ( B) , P(A) P(B).Xx X. x A x B .

x A BA B = { }x=X={ })X(

{ } P(A) P(B)..

. . :A=B=C={1}A (BxC) = {1} {(1,1)} =

(A B)x(A C) = ({1} {1}) x ({1} {1}) = {1} x {1} = {(1,1)}

. : (x,y) (R S)-1

(y,x) (R S) ((y,x) R) ((y,x) S) ((x,y) R-1) ((x,y) S-1) (x,y) R-1 S-1

10

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 11: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

.. : ,.

. .RS=SR= <RS. (x,y) RS .RS=SR (x,y) SRR,SA .(R=R-1, S=S-1) (x,y) S-1R-1

a A. (x,a) S-1 (a,y)eR-1

a A. (a,x) S (y,a)eR (y,x) RS...

:RSRS=SR. (x,y) RS .-RS (y,x) RS a A. (a,x) S (y,a)eR a A. (x,a) S-1 (a,y)eR-1

(x,y) S-1R-1R, S A. (x,y) SR...

.45.

."":" :R(S T) RS RT

(a,b) R(S T)x. (a,x) R (x,b) (S T)

x. (a,x) R ( (x,b) S) ( (x,b) T)x. ((a,x) R (x,b) S) ((a,x) R (x,b) T)

( x. (a,x) R (x,b) S)) ( x. (a,x) R (x,b) T))((a,b) RS) ((a,b) RT)

(a,b) RS RT...

:RS RT R(S T)(a,b) RS RT

(a,b) RS (a,b) RT( x. (a,x) R (x,b) S)) ( y. (a,y) R (y,b) T))T,S S T

( x. (a,x) R (x,b) S T)) ( y. (a,y) R (y,b) S T))((a,b) R(S T)) ((a,b) R(S T))a a = a

(a,b) R(S T)...

. :R={(1,2), (1,3)}, S={(2,4)}, T={(3,4)} :RS={(1,4)}, RT={(1,4)} ,RS RT={(1,4)} ,

S T= ,R(S T)=.

11

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 12: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-4

)12.12.2005 (12:00.

)20 (1.)A ( , .

,. ,B A ,-RB.

.A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,1),(4,4)}

.A=Z, R={(x,y)| (x-y) mod 5=0}.A=P({1,2}), R={(X,Y)| X Y}.A=Z, R={(x,y)| k Z. (x-y)=5k}

)20+10 (2.)-A-B (". '" ,-A-B ,

'".

.A={5,...,100}, B={1,...,105}, R={(x,y)| x=y-5} .A=N, B=Z, R={(x,y)| y=5} .A=Z, B=N, R={(x,y)| y=x2} . A={x| (2x) N}, B=N, R={(x,y)| (y+3x+0.5) N}

)10 (3.R,SA .S R ,- S R?

)50+5 (4.f:A B, g:B C.

.f,g '" ,fg"? .f,g ' ,fg? .fg")f"g"( ? .-A=C ,-fg=IA .g=f-1?

12

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 13: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

–4

1) .20(. (1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

(1,2) R (2,1) R ,(1,3) R (3,1) R,(1,4) R (4,1) R,(3,2) R (3,2) R,(4,2) R (2,4) R ,(4,3) R (3,4) R ..(1,1) R, (1,4) R(1,4) R(4,1) R, (1,1) R(4,1) R(1,4) R, (4,4) R(1,4) R(4,4) R, (4,1) R(4,1) R2,3 ,.

:A/R = { {1,4}, {2,3} }. :x Z.(x,x) R .x Z .(x-x)mod5=0 mod 5 = 0

. :x,y Z.(x,y) R (y,x) R .

x,y(x,y) R .)((x-y)mod5=0)x-y-5 ,-(x-y)-5((y-x)mod5=0)(

(y,x) R .... :x,y,z Z.(x,y) R (y,z) R (x,z) Rx,y,z Z :.(x,y) R (y,z) R)(

(x-y)mod5=0 (y-z)mod5=0((x-y)/5) Z ((y-z)/5) Z)(

[(x-y)/5 - (y-z)/5] Z ) (x-z)/5=[(x-y)-(y-z)]/5 = [(x-y)/5 - (y-z)/5]((x-z)/5 Z(x,z)mod5 = 0)(

(x,z) R :A/R={[0],[1],[2],[3],[4]} ,

[0]={0, 5, 10,...}, [1]={...,-9,-4,1,6,...}, [2]={...,-8,-3,2,7,...}[3]={...,-7,-2,3,8,...}, [4]={...,-6,-1,4,9,...}

.({1},{1,2}) R ,({1,2},{1}) R.A={ ,{1},{2},{1,2}} .

B A|B|=1) .(B={{1},{2}} ,({1},{2}), ({2},{1}) R.

. :x Z .(x-x)=0=0*5) .0-k( ,.

:x,y Z.(x,y) R (y,x) R .x,y(x,y) R .)(

k(x-y)=5k) :1-(k (y-x)=5(-k))z=-k(z(y-x)=5z)(

(y,x) R ....

13

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 14: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

:x,y,z Z.(x,y) R (y,z) R (x,z) R

x,y,z Z :.(x,y) R (y,z) R)(k1,k2 :(x-y)=5k1 (y-z)=5k2)2(k1,k2 :(x-z)=(x-y)+(y-z)=5*(k1+k2))k3= k1+k2(

k3 :(x-z)=5k3)((x,z) R

'.2) .20 +10(

.x Ay By-5=x ,y=x+5. :x A .5 x 100 ,)x (10 x+5 105 ,)x (

y=x+510 y 105 ,)y (y B. :x A ,) (y1 y2 B ,-

(x,y1),(x,y2) R) (x=y1-5, x=y2-5y1-5=y2-5y1=y2 ,- y1 y2.

" :x1 x2 A .y1,y2 B ,(x1,y1) R ,(x2,y2) R.) (y1=x1-5, y2=x2-5 .y1=y2 ,

-x1-5=x2-5x1=x2 , ,y1 y2. :-B-1-9.

19-B)-A.(. ,x A)B5( ,(x,5) R ,

-x).( '")5.( 'y B ,5.

-B{5}A.. ,-0 .-0 ,x Z-x2 N ,

-x2) .x-x2.(0-A ,)0B (.")0 :(y Ny=x2 ,

y=(-x)2 , ,).() ( ,y)3,5,6,7,8 (.

-0)( ,) ,x( ,

).(.x=k+0.5 ,k ,y Ny+3x+0.5 N ,

xy Ny+3x+0.5 N .-x) (-x).(

,-x)k+0.5k)( ,0.5( ,

-xy+3x+0.5 N ,1.

"?

14

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 15: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

y Nx ,x , ,.

"-x)1()0.5 ,-x(

,")0.5 ,.(

-{1.5, 2} 0.5, 1} ,{".

3)10(-S R .

:S-RIA S, IA R= <IA S R ,S R. :(a,b) S R)(

(a,b) S (a,b) R)-R,S((b,a) S (b,a) R)(

(b,a) S R :(a,b), (b,c) S R .)(

[(a,b) S (a,b) R] [(b,c) S (b,c) R])([(a,b) S (b,c) S] [(a,b) R (b,c) R])R,S(

(a,c) S (a,c) R)((a,c) S R

S R , , .:A={1,2,3}, S={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}, R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}

:S R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(3,2),(2,1)} ,(1,3),(3,1) S R.

4)50- +5(.a1 a2 A .-f"f(a1) f(a2).

-f(a1) f(a2) B-g"g(f(a1)) g(f(a2)) .....c C .-g ,b B ,-g(b)=c.

b ,-f ,a A ,-f(a)=b.c Ca A ,g(f(a))=g(b)=c.

.)5:("fg"f ,g".

b1 b2 B .-f ,a1,a2 A ,-f(a1)=b1 ,f(a2)=b2 .-f ')-" ("a1 a2.-fg"g(f(a1)) g(f(a2)) ,g(b1) g(b2) ....

)(- :A={1}, B=C={1,2},

f={(1,1)}, g={(1,1),(2,2)}, fg={(1,1)} .g ,fg" ,f)-2-A.(

.:A=C={1}, B={1,2}, f={(1,1)}, g={(1,1),(2,1)}, fg={(1,1)}=IA

15

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 16: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-5

)26.12.2005 (12:00.

1.A

,> ,<) .=223=223, 34>54, 34<54(A:

S={(a,b)| (a b) = True}W={(a,b)| (a b) = True}

R={(a,b)| (a ~b) (~a b)}."?." ??

2. ,.

, ,)(.R={ ((a,b), (c,d)) | a+b c+d}A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | a c, d b }A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | a 5c, b 5d}A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | ab cd, a+b c+d}A={1,2,3}x{6,9,18}

3..

, ,).()(

.

.

.

5

1

3

4

2

5

1

3

4

2

5

1

3

4

2

16

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 17: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4..- ,

, ..)-(?

17

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 18: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

–5

1) .30(.S , . :a

False ,bTrue .(a,b) S, (b,a) S ,a b = True, b a = False.

W . :aFalse ,a a = False ,(a,a) W.

R) . :})ab ()ba(|)b,a({=R :R={(a,b)| (a b)} ,(.

:a(a ~a) (~a a) :(a,b) R)(

(a ~b) (~a b))((b ~a) (~b a))(

(b,a) R :(a,b), (b,c) R)(

((a ~b) (~a b)) ((b ~c) (~b c)))(((~a b) (~b c)) ((a ~b) (b ~c))

):(x y) ~y = x(((~a c) (a ~c)))]''[(

(a,c) R.S)( ,-.

:a,bTrue ,(a,b) S ,(b,a) S ,a b = True ,b a = True)a-b.(

W)(R ,-)S(

2) .30(.- :((5,6),(6,5)),

((6,5),(5,6)) R ,5+6=6+5 ,((5,6),(6,5))((6,5),(5,6))..

:(a,b) NxN :a a, b b((a,b),(a,b)) R.- :

(a,b),(c,d) NxN ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(a,b)) R .) ((a c d b) (c a b d))(

(a c c a) (d b b d)(a=c) (b=d)(a,b)=(c,d). :

(a,b),(c,d),(e,f) NxN ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(e,f)) R .) ((a c d b) (c e f d))(

(a c c e) (f d d b)(a e) (f b))R (((a,b),(e,f)) R.

. :(1,1),(2,2) . :(1 2 2 1) (2 1 1 2) .((1,1),(2,2)) R ,((2,2),(1,1)) R

-(a,b) NxN :((a,b+1),(a,b)) R.)"(" , :((a,b),(a+1,b)) R

18

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 19: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

.- : .5<5*6, 6<5*5 ,((5,6),(6,5)), ((6,5),(5,6)) R ,

(5,6) (6,5)...

:(a,b) A :ab ab, a+b a+b((a,b),(a,b)) R.- :

(a,b),(c,d) A ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(a,b)) R .) ((ab cd a+b c+d) (cd ab c+d a+b)) ((ab cd cd ab) (a+b c+d c+d a+b)

(ab=cd) (a+b=c+d) .a+b=c+d)(a,b),(c,d) A (

(a,b)=(c,d) ,-{6,9,18}3 ,-{1,2,3}2 .-.:

(a,b),(c,d),(e,f) A ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(e,f)) R .) ((ab cd a+b c+d) (cd ef c+d e+f)) ((ab cd cd ef) (a+b c+d c+d e+f)

(ab ef) (a+b e+f))R (((a,b),(e,f)) R. : :((1,9),(3,6)) R ,((3,6),(1,9)) R ,:

(1*9 3*6) (3+6 1+9).(1,6)" " ,(3,18) ," "

" ".

3) .15(. .-2,3 .-.. .-3.. ,-

:(2,1),(1,4) ,(2,4)

4) .10 ,'15'(./ . ,

/..2.

-5 ,2 ,2 .

2-42 , 2.2 .3 .2-42.

2 .5" ."2-42.

19

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 20: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-6

)2.1.2006 (12:00.

1.:

G=(V,E) .-G.

2.:

) (.

3.:K--K ,

. :2-.

20

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 21: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

–6

1 .] :[ :-G) .(

x . ,x.

x.-x ,

, . , ,

.-x , ,

, ,. :.

: : .- ,

) .(1 , ,

. ,) ..(

:m ,. : ,m+1.

- ,) .(x-c.

,c , ,

.c , .c

) .(c .c . ,

,-c ,c.

-c , . , .

c ..

2. :) (.

1 ,. :)n > 2 ( , ,) (.

) :n( :n=3 .3

.. :N) (.

21

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 22: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

) : (z- .) , ,( ,x

) ( .z .z-x , ,x .z-x ,x)

.(zyx ,y-x-z .zy ,-x.

3. :2-.

x) .(. , .

) ..( :""" ,". : ,y ,

)y .(" " , .

.

22

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 23: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-7

)9.1.2006 (12:00.

1 . /:n ,n ,

.

2 . /:dG .G"d+1"-.

3 . /:.--3..-3-.

23

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 24: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-7

1..

x,y .{x,y} .-|A|x ,-By.

x,yn ,|A|+|B| n.x,y-A-B)( ,

|A B| n-2 .|A B| = |A|+|B|-|A B| ,|A B|>0 ,z A B ,z Az B .zxy ,

-x-yz) ...(. :0 ,n-1

)( ,-n.

) ."(v .1 , .-v

, . , .

,)-.(

.x1 ,xm.

x1- xm , . .-Ax ,-B

xm .-C- xm.x1-C .- x1- xm

-C .|C|=|B| ,-B ,-C

)xm ,- xm-B.(n ,-|A|+|B| n ,

|A|+|C| n .x1-A-C ,|A C| n-1 . :|A C| = |A|+|C|-|A C| ,|A C|>0 ,xi-A-C ,xix1 ,-xi-1

xm .(x1, xi, xi+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., x1) ,.

, ,. .) (z

" " xk .k<i , :(z, xk, xk-1,..., x1, xi, xi+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., xk+1),

:(z, xk, xk+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., x1, xi, xi+1,..., xk-1)..

..

24

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 25: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2:dG .G"d+1"-.

"") "( , .

.d ,-d+1 ..

3 . /:.--3..-3-.

:G=((U,V),E).

-3 .-U-V , ." "

)-U ()V .(--V ,

....

: :5-(a,b,c,d,e,a) .a,b .b,cca .c,ddb .ed

,a , ...c.

25

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 26: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-8

)16.1.2006 (12:00.

1 .4-14 ,.

."?

."?)(."?."?)(."2?)(."2?."(1,2,4)?."-?."-3-?)(."?

2 .4-14 ,-.

."5?

."5?)(."5?." ,5 ,?)(

3.)(4 ,.

."?)(

."?)(."?)(."5?)(."4?)(

:10)(?

-2) (10?-102.

:10-2)( ? :22*...*2)10 ( ,210.

26

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 27: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

–8

1-3 ,/.1.

.4 ,4)- ,

.(4 ,3"3*4=12) .(

, .2"4212.

.

.4-2) (4) .(2

424 ,6. ,2- ,"26.

.

.

.2 , .

' :3."4)(

.23 ,.

3 ,32)23( ,"4*4.

' :2 .a,b-c,d ,-c,d ,-a,b) .

(24 ,-2)

( ,42 ,3. ,3.

' '-"16+3=19.

.(1,2,4){1,2},{2,4} .- '46 .2"4

,24.

.--2 , . ,3)

-.(333

) =43 = (4.4 ,3 .

4 ,)3 ()31 ( ."4*3=12.

27

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 28: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

523 .56 ,6.23.

"3 ,4+12+6+1=23 ."62-23=39.

.

.- : .0-n-1 ,

,02 .v2 ,-2 ,1 ,-2 .2

)0 ()2.(

) :1 (2) .2 (320) .3 (0.

1)32 (-1.2)43 (2 ,4.3-.

3+4+1 = 8.

2..4) (1+2+3+4) .

4)( ,3 .(...-6 .4.

510" " .-" ") .(

)2"(" ,"" ,. , :5-10

) .5-10 .())10-1+(5 (5.

..

.12 .4) (16 .

) .05( ,'.) :16-1+00) + ... + (16-1+55.(

..

3) .() . ( : . :n-1 .n=4 .

43? ," " , .36 .2-3

)1( ,2 , .".

28

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 29: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

-9

)26.1.2006 (16:00. :.

1 .12100 .4

25?

2.- :x1+x2+x3+x4<5.

3.77-777-7 ,-11?

: .5.

4.80 :-4

19 . ,3 ,6 ,)9 ( .?

..

.,).(

5. . , ,

. ,n? ..

6. :n ,{0,1,2,3}

0-.

7. , :f(n)=2n-1.

f(1) = 1, f(n+1) = 2*f(n)+1 .

29

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 30: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

–9

1.12-34 .

-25 ,75 ,1275 ,12100.

2.-x1+x2+x3+x4<5 ,

:x1+x2+x3+x4=4 ,x1+x2+x3+x4=3 ,x1+x2+x3+x4=2 ,x1+x2+x3+x4=1 ,x1+x2+x3+x4=0 ,:

}]4)+4-1 [(4 { +}]3)+4-1 [(3 { +}]2)+4-1 [(2 { +}]1)+4-1 [({1+}]0)+4-1 [(0{.

3. :.

-A77-777-7.-B77-777-11.

:|Ac Bc| = ? :|Ac Bc| = |U|-|A|-|B|+|A B| .

77-777777+1-77 = 701.77-777-7700 / 7 + 1 = 101 .-77-777-777-11700/11 + 1 = 63 .-77-11.

-7-11-77 .77-777-77700 / 77 + 1 = 10.

:|Ac Bc| = 701-101-64+10 = 546.

4. . ,.

) :8019)*(6119)*(4219)*(2319*(4)]199)*(106)*(43.[()-.

,( . . ,

..) :41)*(7818)*(6119)*(4219)*(2319*(

4)]199)*(106)*(43.[(

5.n ,-.

,n-1. ,n-2.

,n-3.-f(n)n .:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)3.

]f(0)– :[ ,- .f(1)=1

30

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 31: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

22 :- .- .f(2)=2.

3 , :-3 .-2" .- .

-- ."f(3)=4.

6.-f(n)n.

4 :0-3.-1,2 ,3 ,n-1 , '-.-0 ,n-1 '.

=-.

:f(n)=3*f(n-1)+[4n-1 - f(n-1)] = 2f(n-1)+ 4n-1.

7..

:f(1)=2-1=1 ..n ,-n+1.

:f(n+1)=2*f(n)+1 :2*[f(n)]+1= 2*[2n-1]+1.

2*[2n-1]+1 = [2n+1-2]+1 = 2n+1-1 ....

31

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 32: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

22.11.2004 '–"7.11.2004

– '4:

1( -Z-Z . . .

.11, gfgf

.1100, gfOrgfgf

.Zxallforxgxfgf 1,

.ZxallforZCsomeforCxgxfgf ,

.0110, gfandgfgf

2(PA A ,A R :

),(),( 22112211 yxPyxyxyxA = {0, 1, 2, 1/2, 1/4} ,A A-P .

A = R..

3(nRS ,n.

nn w

ww

w

v

vv

v 2

1

2

1

,P:

Pwv,ni1 :)00( ii wv

P.?

4 (21,0 , SSS2N:

22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 220112121 yxSyxyyxx

22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 221112121 yxSyxyyxx

22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 22211

22

22

21

21 yxSyxyxyx

:??

32

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 33: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

- ? - ?

5 (RA . 1AA .1R1A":

111 AARR)1RR1AA . ( :

.R1R.

.R1R .

!

33

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 34: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"6.12.2004

– '4:

1( . .. . ,. .. . .

2(P:

:2),( Ryxyxyx),(),( yxPyx.

:),(),( wzPyxwzyxyxwz.),(),( yxPwz

:),(),(),(),( lkPwzwzPyxlkwzyx:

lkyx,),(),( lkPyxP.

A = {0, 1, 2, 1/2, 1/4} ,:

A/P = { {pairs that their sum is 0} , {pairs that their sum is 1/4},{ pairs that their sum is 1/2} , { pairs that their sum is 3/4} ,

{ pairs that their sum is 1 } , { pairs that their sum is 5/4} ,{ pairs that their sum is 6/4} , { pairs that their sum is 2},

{ pairs that their sum is 9/4 } , { pairs that their sum is 10/4} ,{ pairs that their sum is 3} , { pairs that their sum is 4} }

A = R::

,

.2R.2

00 , Ryxbyx 00yx,-2Rbyxbxyb.

(-1) 'yb .

–(-1) , b .

:b-xy,|,, 200 linestaighttheonisyxpionttheRyxyx

34

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 35: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

: ,P1 - .

. ,

- . ,

. :

RbbyxyxRbbPR ||,}|)],0{[(/2 .:

Y. :.

3(

P:

:nPvni1ii vv00 ii vv .

vRv.

:vPwni100 ii wv00 ii vwwPv.

:vPwwPz)0000(1 iiii zwwvni :00 ii zvvPz.

P.

:

}00(1|{][ iin wvniRwv

,.

: ,

. ,"ni1

.)

.( :}|]{[/ vectorbinaryisvvPR n.

n2.

35

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 36: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

4(

.22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 220112121 yxSyxyyxx

.

3,21,4 .

0,0).("

:x .

y-) . :(

.22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 221112121 yxSyxyyxx.

3,25,4.

.

. . .

5(:

." :R1R

:1,, Acba .

:11 ,, RcbRba.

RR1 :RcbRba ,,R:Rca,[*]

1, Aca11, AAca[**]

[*] [**]1, Rca..

.1R .

:1Aa.

AA1:Aa.

R :Raa,[*]

36

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 37: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4

:11, AAaa[**]

[*] [**]1, Raa..

:1, Aba.

:11 ,, RabRba.

RR1 :RabRba ,,R :ba

..

37

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 38: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

2.12.2004 '–"23.11.2004)28.11.2004(

– '5:

1((5

?) :5

2( .

(" .

2(105 ,3" ,2 .:

( ," ,.

(.("

.

3((62,3,7?

(?(?(?

4(7. .23? .3 .

? .3?

5((n2 .

?

(n-n?(n-kn 2 ,

?) :(

6 (59?

38

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 39: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

7(

.104

?

.710?

8 (254321 xxxx . :

(?(?

(4321 8,0,3,0 xxxx?

(106,32,80,61 4321 xxxx?)

.(

9( ,10 .4 -6)

( .?

10 (ABAAAPB .

TB :SdomRdomSRT ,.

)T( .

.10,..2,1A2,1R)BR (R ?

.TA?)TB /(

.? .A?

!

39

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 40: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"12.12.2004

–'5:

1 ( .

52 .2)".(

:30225

.53 . .

--303)"30–.(

-- .3 .

:333035

2 ( .!5 ,!3

"!2 . :1440!2!3!5

.' , !3" " .!3 .

8640)!2!3!5(!3

. , -" ."!5 .

,"!2!5!5 . "

,)' . ( :8640!2!5!5 .

3 (. :63.

.2 . :53.

40

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 41: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

.7 :26

.""

3 :24

."

2 .

, :22

24

26

.

. ,2 . :

22

24

15

4(

.54 927

937

."710 ." " . :7103

.449 ."3

. :35

94

5 (.!2 n .!n2

) (n2 . :

nnn

2!!2

.) ( .n :!n

.n

kn 2 ."

!n .k2kkk2!

!2

) .( :

kkkn

nkn

2!!2!

2

41

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 42: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

6 (

-59

. .

,52 .

:5259

.

7(

. . .74

:710

.

. .710.

8( .

:2528

251425

.

4321 ,,, yyyy14,3,2,1 ii yxi :251111 4321 yyyy

:214321 yyyy

"2124

211421

.

4321 ,,, yyyy

11 yx322 yx

33 yx

42

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 43: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4

844 yx :2583 4321 yyyy

:144321 yyyy

"1417

141414

9(

2

.210

.8

,448

."6

– .24 .

,24

48

210

10(

.R1 .

10,1,....,2,1,1,11 A ,

.R :/1 APR T .

1210.

. .

.

A ,102 , )TB /(.

. .1)

R. ( .

AA .) :AA(.

43

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 44: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

9.12.2004 '–"29.11.2004

–6: ,

1(Xn .YXm .

XY?

2(.1,2,3,4,5,6,7247?

.1,2,3,4,5,6,724

2747?

3(59-12 ..

( ?).(

(

3 ?

( , .

?

4 (40 ,

10 ,20–30?

5 (},,,,,,,{ ddccbbaa

?

6 ( A10-B .. '-AB -BA?

. 'ABBA?

!

44

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 45: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"20.12.2004

–'6:

1 (" "Y .

XYmnYXYXP 22|)\(| |\| .XY ,Y .mnn 22.

2 (

.1,247,3,5,6 .!5.

.A=24

B=27

C=47

,

!5!6300!50!6!6!6|||||||||||||||| CBACBCABACBACBA

3 (. *-

954321 xxxxx , 913

9,5D.

* -

1254321 xxxxx , 1216

12,5D.

,1216

913

. * -

5954321 xxxxx , 48

4,5D.

45

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 46: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

*3

-31254321 xxxxx ,

913

9,5D.

,913

48

.n=5:

44!

1!5!055

!145

!235

!325

!415

!55

0k

k

k

4 (

40" ,

-40321 xxx ,242

40,3D.

4011231

)29,3(D.

4021221

)19,3(D.

4031211

)9,3(D.

401121

210

)8,3(D.

. ,4010

,2030

176210

211

221

231

242

5 (

42!8

iA},,,,,,,{ ddccbbaaii . :32!7|| iA

)ii .(

46

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 47: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

!4||2!5||

2!6|| 2

dcba

kji

ji

AAAA

AAA

AA

:

864!42!54

2!66

2!74

2!8

!444

2!5

34

2!6

24

2!7

14

2!8||

234

234''''dcba AAAA

6( .BAf : : A"fB .105.

ABf : :B"fB .510.

.ABf : ,|||| AB.

BAf ::

" 'AB105 'AB4104 ,5

.

'AB3103 ,35

.

'AB2102 ,

25

.

'AB1 ,5.

'ABi ' , .

:

5225

335

455 10101010

47

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 48: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

16.12.2004 '–"5.12.2004

– '7:

1(

.nnin

i in

430

.2

22 aaa

.2x82 )1( x?

2(n :nin

i in

320

..

3(nn

k kn

20

4 ()( :

123

32

2 nnnn

nnn

n

:n"},1,0{ aa.

5(

:

.n

k

k

kn

k0

3

.n

K

k

kn

05

6 ( .:

nkk

kkin

inn

i

i 111

0

48

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 49: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

:k- n.

!

49

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 50: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"26.12.2004

–'7:

, :

Rba,Nn . :n

k

knkn bakn

ba0

1 (

.1;3 ba:n

k

kn

k

knknn

kn

kn

00313134

. :

2111!2!2

!22

2 aaaaaaa

aaa

a

.

8

0

8

2

8

0

8

28

2

81

8)1(

i

ix

i

ixix

ii

2x4

2x

48

.

2224

2 835

1670

1648

48

xxxx .2x835

.

2 (

"n :nin

i in

320

.1,2 ba .

. :n"

2,1,0 .)n3 .(

1-2.

50

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 51: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

3 (n

n

k kn

20

n.

:

0n:02100

1n:12211

01

2n:2212122

12

02

:n1n.

1

00

1

0

1

0

1

0

1

0

222

200211

...1011

...10

11

1

n

n

nnn

i

n

i

n

k

n

k

n

k

n

k

inn

nn

in

nnnnn

nn

nnnn

kn

kn

kn

kn

kn

..

4 ("n"},1,0{ aa .

:

:an ,01 .

11 221

nn nn

.

:n-a ,2

2n

2n ,1

a ,3

3n

3n ,2a ,kn

k

kn ,1ka)k ,

51

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 52: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

a (…n0 ,n-1a

. ,nn

nnn

n3

32

2.

5 (

.:

ninin

iaxax

in

0 .

x:

11

0)( nini

n

iaxnaxi

in

:1,3 ax:

111

04)13(3 nni

n

inni

in

.

3 :

1

0433 ni

n

ini

in

.1;5 ba:

nnknkn

k kn

415150

6(

nkk

kkin

inn

i

i 111

0

k- n.

:

nkxxx n...21 . :nk

knknkn 11)(

52

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 53: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4

:k- nk- n) (

k- n .:

S–k- n).(

iA-–k- n-i.

:

kkn

S1

ni1k

knAi

11

nji1k

knAA ji

12

...

...

...

k- nn

i

i

kkin

in

0

11

..

53

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 54: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

23.12.2004 '–"13.12.2004

–8:)(

1 (':

F(0)=1

F(1)=1

F(n)=F(n-1)+F(n-2)n>1 .10.

.':

F(n+4)=3F(n+2)-F(n)n 0

2(

,50000 . ,.

.-n. .1350000?

3 (:

n ,) ,

( .) .( .

4("10-5 ,

..

n ,.)

i-i(.

.45?

!

54

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 55: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"02.01.2005

–'8)(:

1 (

.1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 . :n=0,n=1

n=0F(4)=3F(2)-F(0)5=3*2-1

n=1F(5)=3F(3)-F(1)8=3*3-1n k 1:

F(k+4)=3F(k+2)-F(k)n +1 . ":

F(n+4+1)=3F(n+2+1)-F(n+1)F(n+5)=3F(n+3)-F(n+1)

':F(n+5)=F(n+4)+F(n+3)=3F(n+2)-F(n)+3F(n+1)-F(n-1)=

3(F(n+2)+F(n+1))-(F(n)+F(n-1))=3F(n+3)-F(n+1)

2 (

.A(1)=50000A(n)=3A(n-1)

n-1- n.

.1350000=33*500001350000.

3 (.nan ,

.

) (

.1na

,

) .(

2na.:

55

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 56: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

110

21

aaaaa nnn

.

4 (

{5,10}n5 , ,{1,2}n.

. .n , :

a(n-11

b(-2n2

,:

21 nnn aaa.)nan(

:0) -0( ,1–“1” .

.9545

12.55 .

55...789 aaa

1,1 10

21

aaaaa nnn

56

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 57: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

30.12.2004 '–"20.12.2004

– '9:

1(101 , '

) :abba.(

2(.

3(Gnvvv ...,, 21 ) 3n ( .2

}{\,},{\},{\ 21 nvGvGvG ,G.

4(ndddD ,,, 21.

.GDn

iid

1

.

.DGD .

:

1,3,3,4,5,6,62,3,3,4,5,6,7

5(Gn2/1nG.

6 (G4- ,

E(G)".

7 (G=(V,E) ,50.

.G50.

.G50.

!

57

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 58: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"10.01.2005

–'9-:

1(

.v-u"vu .101. .

101 - . ,-

:Vv

Evree 2deg

2(

G . , . ,

) .( ,)

( ..

3 (

}{\},{\ 21 vGvG ,G .

}{\ 1vG ,nji2Gji vv , .}{\ 2vG ,

jinji 21Gji vv , .

G21 , vv .}2,1{\Vw .

}1{\Vw1wv ,2.

}2{\Vw2wv ,1.

21 ,G21 , vv.

G.

4 ( : ,n

ii Evd

1

||2)(.

:},,{ 21 ndddDn

iid

1 ,

GnD .G :ni121 ii kd)id (2ii kd)id .(id ,ikiv

.n

iid

1 ,id .

ivid , .G)

(n

ii

n

ii dvd

11)(.

:

58

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 59: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

(2,3,3,4,5,6,7 :7 , 7 .6.

1,3,3,4,5,6,6 :7 ,6 ,1.

5 (G . .

H .n/2)

<n .(Hn/2 -1)n/2 -1 ( (n-1)/2 ..

6(.

4321 ,,, xxxx4- .),(),,( 432211 xxexxe .

21 eeGG .C . , ,C

G.4-.

P ,"PG.

7( .

50" . .50 , 50 .

50 .49 . ,

-i ,150 i-1i . -50-51

.50 .

..

.

-50 .– . .50

50– . , , ,

. , ,50

.50.

..

59

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 60: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

6.1.2005 '–"28.12.2004

– '10:

1(}},...,1{},,...,1{|),{( mlnklknm,

.),(),,( lklk

llkk.

.nm,?

.nm,?

2(4|| 2

|| VE.

3 (

.1G) (n . ,3 , ,.

.2Gn ,1 G . ,3 , ,.

4 (n,..n?.3?

!

60

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 61: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"16.1.2005

–'10)-:(

1(

.Gnm,,),(),,( lklk"llkk ,

),(),,(),,( lklklk),( lk.

.-Gnm , -Gnm)nm,nm, .(

2;1 nm1;2 nmnm .

2 (G|||||| 21 VVE

21 'VVK .|||| 21 VV|||| 21 VV)

( ,2

|||||| 21VVV .

4||

2||

2||||

2

21VVVVVE.

|||| 21 VV|||| 21 VV .

a .acb 2cb, .

iiaciab , . :222))(( aiaiaiacb0i ,acb .

3(

.3 ."4n

:!4

!n

n

.

326 nn3 .

3G2326!4

! nnn

n

61

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 62: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

4(.

n,.

3n)2 (

) (3n ,3n-.

.

nk3n

.

--n.

--4nn.

:

43

nnnn

62

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 63: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

13.1.2005 '–"05.01.2005

– '11:+

1(:G) (.

GwVE |||| ,wG.

2(

(G = (V, E) .-E -G .G.

(G = (V, E) .-EG .G.

3(

G = (V, E) .r1rG)

(

4 ( , ,n ,2?

!

63

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 64: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"10.01.2005

–'11) +:(

1(::

G . G),( iii VEG .

."1|||| ii VE .

GG ,

wVVVVEEEE ww ||1111|||||||||||||| 2121

:GwVE ||||G.

||V:

1||V : 011|| EG.

nwnwVE |||| ,

n+1 wnwVE 1||||. :

01 :2 ,

||2

||2|| VVE .".

0 ,n ,|| E)

( ,1w) . (wnwVE )1(1||||

.0 ,.

1 ,n ,1|| E ,

w .wVE 1||1|| ,wnE || . ,

n+1.

2(

.G = (V, E) .-E-G

.G.

: .G .

-E -G.

u,vV .v-u(v, u)-G) .(*

G ....

W

64

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 65: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

.G = (V, E) .-EG .

G.

: .G .

-EG.

-G .u-v .

(u, v)-G .u-v) .(*....

(*) :Gv-u-v-u) .(

3 (x .

.r1r ..

4 (

21 , VVK:

21nV ,

22nV).. . (

22nnE

2)- (

2221 nnnn

.

2nn -n

2=

65

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 66: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

– "31.10.2002 '21/10/2002

– '1

1 ( , .

qpqp .;qpqrprqp .];)[()](

)()]() qppqqp

[

2 ( , , .[(

)()]()[( rprqqp(

(

3 ( :

.rqqp . ,rqp . ,

nkn 2

.

4 ()(:..k

)])()([)]()()([ xBxAxBxAx

..

+

5 ( , ,:

(((( )],(),()[)( xyPyxPyx(( )],()()()[ yxQyxPx

6 (

11...

1210

aaaaaa

nn1a

1n0n17 (:

. a a

66

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 67: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

" ":

: , a n101 0a0,1,2,…n-1 - ., :

1111

2

11

n

nnn

aaaa

0n.

n 8 (n(n-1)/2.

!

67

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 68: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

– '"6.11.2002

1 –

)12 ( 1(p=F , q=F . .

.

.: .

qpTqprrqprqprqpqrprqpqrprqpqrprqp

2()12 (

:.)()]()[( qppqqp

qppqqp

TTTFFTTFFTFTFFTFFTFTTTFTFTFTTTTTFTFFFTTTTTFTFFTFTFTFTFFFFTTF

.

.)()]()[( rprqqp

rprqqp

TTTTTTTTTTTFFTTFFTFTTTTTTTTTFFFFTFFTTFTFFFFTTTFTTTTTTTFFTFTFFTFTTFTTFTTTFTFTFFTFTFTFTFTF

.

baba ,-

1

68

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 69: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

" ": –

: .:

)()]()[( qppqqpF

T F T

T TF T

F T F T T T T T F F p=F ,q=T , .

,. F

:[( )()]() qppqqp

)()]()[( rprqqp

TF

FF T

F FF T F T F

T FF

,. T p=F , q=F

: .

F T F

T FT T T F

T F.

, . F

2

69

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 70: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

)12 ( 3(

. rqqprqqprqqp

:rqp

.rqprqqrqprqp ][

)()]( yQx

4()8 (

.[ xP)(])([ yQxPx

),( knkPn

:.

.),( knPknn

)(xP

- nkk2.

.)(xP)(xP

)(xxP)(xPx

)2()(),0()( 2xxBxxxA)0()(),0()(

, . ,-.

." "" " .–.

5()15 (- Z.

.: xxBxxA

))()()(( xBxAx

)(),( yxyxP .: )(),( yxyxP

.: )0(),(),0()( yxyxQxxP

)2(),(),0()(xyyxQxxP

baba qpqp

baba -

3

70

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 71: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

6( )14 (

" :1

1...1

210

aaaaaa

nn1a

:n

:n=0 :11

1100

aaa . .

.n n-1 ,n>0 :

:1

1...11

1210

aaaaaa

nn1a.

:

11

11

11

11

11...

111210

aa

aaaa

aaa

aaa

aaaaaaa

nnnnn

nn

nnn

12

..

7) (14 (

(n=0 "" ) .n=1

" "n-2) .( ,n=1 , , n

01an=0 . -1 .

, .

8) (13 ( ):( nn=0 :0 ,

) . :02/)10(

n=1 :.(

: , n 01n-1

221 nn.n

n-1 n .

" .2

21 nn

n-1 .

, :

21

222211

221 nnnnnnnn

..

4

71

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 72: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

:–" 14.11.2002 '

– '2: ,

1(},,{},2,1{ cbaBA.

ABAA , ABA

ABABBABA B A 2(,,,

}2,1},3,2{{},2,1{

) .(:

.BA}4},3,2,1{{},3,2,1{ .BA

})2,1({, PBA .

.)(},2{ NPBA.}}2,1{,1,{, BA

)\()\()(\ CABACBA

3(":

.

)(\)()\()\( DBCADCBA .

)( DBCADCBA .

)( DBCADCBA .

nA,...,nAAA ...21

1n

n

ii AA

1

AA , 21 4( :

1

AAn

ii , .

i,...,1iiAi , .1000,...,3,2,1i100

1iiA

)\()\( ABBABA

.

: , 100

1iiA.

A,B 5( :

BAAB

.:

. AA .

B CACA B. .

6()(\)( APAAP .

BABPAP .)()(BABPAP )()( .

72

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 73: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

– ” 7( .

. – :

.

.{ }}{, a

.{ }},{},{, aa

.}},{},{},{,{ baba

P(X) S 8(},,{ cbaX"

BAXPBABAS ,,,

RN "

.S ? ?

9( .R ,

,- , ?.

abNbabaR mod0,,,

NN" dcRba ,,

cbda

R 10( .R

.

.

11( .S

. . . xxxS

.S S. .SS.

73

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 74: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"19.11.2002

–2

1(},,{},2,1{ cbaBA

2,2,1,2,2,1,1,12,,1,,2,,1,,2,,1,

AAccbbaaAB

:2,,1,,2,,1,,2,,1,,2,1 ccbbaaABA

2,,1,,2,,1,,2,,1,,2,2,1,2,2,1,1,1 ccbbaaABAA2 (

.BAB2,1

.BAB..BA) {1,2}( ,

.BA. .BAN2N}2{)(}2{ NP .BAB .

BA.

3(

.:

)(\)()()()()\()\(

CBACBACBACABACABACABA

c

cccccc

. :

)(\)()()()\()\()\()\(

DBCAxDBxCAxDxBxCxAxDxCxBxAxDCxBAxDCBAx

.")( DBCADCBA:

DBCAyxDByxCAyxDyBxCyAxDyCyBxAx

DCyBAxDCBAyx

,,,

,

74

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 75: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

.)( DBCADCBA

. :5;4;3;2,1 DCBA

5,43,2,1

DCBA

:5,3,4,3,5,2,4,2,5,1,4,1DCBA

5,33,2,3,1

DBCA

:5,3,3,2,3,1)( DBCA

:)( DBCADCBA

4( .nAAA ,...,, 21nAAA ...21

I(n

n

ii AA

1

".

" :"np

nppp ...21. ,

nAxnAxAxAx ...21" :n

iiAx

1

.

n

n

ii AA

1

.

n

iiAx

1

:nAxAxAx ...21 .iA

x) .(ni AA ,nAx .

.

II (11

AAn

ii" .

:XYXYXYX ,.

,n=1 :11 AA.

75

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 76: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

:1

1

1

AAn

ii1

1

AAn

ii.

:n

n

ii

n

ii AAA

1

11

.

n

n

ii AAA 1

1

:nAA1

1

1

1

AAn

ii.

.iiiAi ,...,1,1000,...,3,2,1i . :}1,0,1{1A

}2,1,0,1,2{2A.........

}1000,999,...,999,1000{1000A

nAAA ...21100

11

ii AA , 100

100

1

AAi

i

5 (.) .( .

:

ABBAABABBABA \\\\

.:

AAAAA \\

76

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 77: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4

.

:CACBC.

A=B . ,BA .BAxABx .

,BAx .:

.Cx .CAx ,-CBx ,.

.Cx .CAx ,-CBx ,.

A=B.

6 (

.)(\)( APAAP . :

.BABPAP )()( .)(APB)()( BPAP

BA .:

xAxAP ,)(

xB ,xxBP ,,,,)(

:xx ,,,,x,

xx ,.

.BABPAP )()(:

:)()( BPAP ,X :)()( BPXAPX.

X :BXAX.

:BA

BaBPaAPaAa

7 (

. ,0||Nn02n.

. .})({}}{,{ aPa

AxxxAAPxxxxAP

xxA

,,,\,,,,

,

77

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 78: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

5

. ,3|},{},{,{| aaNn32n.

. .}),({}},{},{},{,{ baPbaba

8 ( :},,{ cbaX

cbacbcabacbaXP ,,,,,,,,,,,,)(

S:

8X.cbaa ,,,...}{,,, .

"8.

{a}-4X :{a} , {a,b} , {a,c}, {a,b,c}

{b}-{c}4"."12

.

{a,b} : {a,b,c}-{a,b}.

{a,c}-{b,c} ."6.

{a,b,c}–.

,S :2716128

.

9("x) (-ymx-ym

.)(mod myx.abNbabaR mod0,,,

"ab :"baNbabaR |,,,.

:

:.

:).( :R8,2-2

8 .82R2,8.

:- ,ab-ba .

ba-ab .a=b.

:ab , bc:

Nk11kab

78

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 79: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

6

Nk22kbc

,Nkk 21 ,21 kkac.ac.

10(R:

:NNba,abba ,

baRba ,,.

:dcRba ,,cbda .

adbc ." :baRdc ,,.

:dcRba ,,feRdc ,,:

I(cbda

II (edfc

fedc

fedbda

:ebfafeRba ,, .

R , ,.

11( . S .xxxS.

.SSSS , ,SS .

SS.

.SSS-S

.SS .SS.

" / " ,:

.

,. , ,'...

, , , .

79

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 80: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

7

: , ?

, . ,..

80

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 81: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

: '–"3.12.2002

– '3: ,,

1( , ,

RRS),(),( 22112211 yxPyxyxyx

2(nRS .

nn w

ww

w

v

vv

v 2

1

2

1

,P:

Pwv,ni1 :)00( ii wv

P , ,.

3(" .- .!

.1,: 2nnfNZf .nnfRQf 2,:

.NNf :"1nnfn- ,-1nnfn.

.A)()(: APAPfBABf \APB.

4(hgf ,,ZZ:

12)( xxf2)( 2xxg

0;0;

)(xx

xxxh

.".

. :2,,,,),( fgffghgghfgh

5(CBgBAf :,:" . :111 gffg.

6(BA, ,ABgBAf :,: ,

AIfg ."":

81

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 82: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

.1fg.f.g.f.g

7(X, YYXf : .

)()(: YPXPF"AaafAF )(XPA.

.F?

.YXF?

.f"F".

.fF.

8(A1r)0,0( ,-B

2r(0,1) .BA ~ .!

9(A,B,C . :

.BABA.

.CBACA

10( .ABBA.}|10{~}|10{ RxxRxx. :1.}|53{ Rxx

2.}Zxx |53{.N) ( ?

!

11(BA,AB .

|||,||,\| BABABA?

12(X .-xF -X1,0xFP(X) -.

13():(."0 ""1".(x,y,z).

.-0.

.-R{0,1}.

82

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 83: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"6.12.2002

–3

1(P:

:2),( Ryxyxyx),(),( yxPyx. :),(),( wzPyxwzyxyxwz ,.

),(),( yxPwz:),(),(),(),( lkPwzwzPyxlkwzyx:

lkyx,),(),( lkPyxP.

: , .

2R.2

00 , Ryxbyx 00yx,-2Rbyxbxyb.

(-1) 'yb .–(-1) ,b

.

:b-xy,|,, 200 linestaighttheonisyxpionttheRyxyx

,P-1 ,:

83

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 84: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

) :(:.

,- .

, . :}|)],0{[(/2 RbbPR .:

Y. :.

2(P:

:nPvni1ii vv00 ii vv .vRv.

:vPwni100 ii wv00 ii vwwPv.

:vPwwPz)0000(1 iiii zwwvni:00 ii zvvPz.

P.

:

" " . :}00(1|{][ ii

n wvniRwv,

.

:n)-n( .

.

:

,"ni1 .)

.( :}|]{[/ vectorbinaricisvvRRn.

84

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 85: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

3(.

". :552655 ff . :7x712x

.f".ay,xyx aayx.yfxf

x = y.."

.

.f" :21 nn.

21 nfnf11 21 nn .

21 nfnf11 21 nn...1n-2n-111 nnf-122 nnf ,

:21 nfnf.

f :Ny .yNn-1ny .y-Nn1ny .NyNn

:ynf.

:f.

NNf :1

evenismwhenmoddismwhenm

mf;1;1

)(1

Nmn, :mmff 1 , nnff 1.

nnff 1 :nn-.

*n1nnf- ,:nnnfnff 11111

*n-1nnf ,:nnnfnff 11111

:nnff 1 .mmff 1.

. ,3,2,1A.

f" :

:21 BfBf :21 \\ BABA

85

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 86: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4

,21 BxAxBxAx ,21 BxBx

:21 BB .

f:APSAS .AS .ACSAC \ .

*APC-S"f.

**X,YYXYXX \\ .ASSSASAA \\.

*- ** :SSAASAfCf \\\..

:f :)()(:1 APAPf .

SASf \1APS.

:f-1f **:SSASAASAfSffSff \\\11

BBABAABAfBffBff \\\111

4(.f". :121222 212121 xxxxxx g" .:729)3()3( ff33.h" . :3)3()3( ff33.

.

f . :8x128 x.g. :3x23 2x.h.h.

.---<

86

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 87: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

5

0144;1440144;144

)144()(

2)0;2

0;2)(()

0;0;

())(()(

11;211;2

02;202;2

2))(()(

321)2(2)2())(()(

1442)12()12())(()(

341)12(2)12())(()(

22

222

22

2

2

2

22

222

222

22

2

xxxxxxxx

xxhfgh

xxx

xxg

xxxx

gxhgxhg

xxxxx

xxxx

xhxghxgh

xxxfxgfxgf

xxxxgxfgxfg

xxxfxffxffxf

5(ACh : :11 gfh .hfg.

:AIfghcIhfg.

Aaaafgh )(

h , Cc :cgfch 11 . afggfafgh 11)(

g)"(:afafgg 1

:affafggf 111

f)" ( :aaff 1

:aafggfafgh 11)( .

AIfgh .

cIhfghfg.

h111 gffg.

87

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 88: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

6

6 (.

:

)}3,3(),2,2(),1,1{()}2,(),3,(),2,(),1,{(

)},3(),,2(),,1{(},,,{},3,2,1{

gfdcbag

cbafdcbaBA

AIfg , 1fg.

. :f"Axx 21)()( 21 xfxf ,

2211 ))(())(( xxfgxfgx .f".

.:' .)()( dgbgdb

.:' .df.

.:Aa ,Baf )())(( afga ,

)(af ,Ba.

7(.AaafAF )( .

XA .)(AFA .A-A .F.

..:XAAxxfyYyA ;ImAf.

AaafAF )(AfY.XAYAF )(XA.

:YXF )(.

.XPAA 21,11 AA .Xw)..( :21 AwAw.

f"wfafAa :2F:*2AFwf.

88

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 89: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

7

1AwF** :1AFwf .fYwf

*- ** -YP-1AF-2AF ,":21 AFAF .

..

.YPSY . XPSXSYSXF.

fSYyXxyxf . SXSYxfXxSX . FSYSXF.

8(BA ~ . :B

(0,0)) . ("A .B ."AB .

B .A '"BA .AB.

9(")34/(YX"X-Y .

X-YYX..

YX"A-B . :YXf : ,xxf.

.

A

B

F '"ABG '"BA

89

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 90: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

8

:CBA

":CA

""AB"B-C ."-A-C.:*CA.

) (AC.AC.

,CA .:CBA , A

C .ABA :)()( ABBA .

** :CA .

- * - ** CA...

10 (.

'"BAAf :aaf )( .|||| BAA .BA.

.:A–B-A .ABA.

:"-A-BA.

.,..., 21 ssS-AS .

..-Bm . :mbbbB ,...,, 21

BAAf ::Aa.

1-Saaaf.

2-Saisa :mis

mibsf

mi

ii ;

1;)(

" :ABA . ..

) :B(

.

90

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 91: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

9

}|10{ Rxx . ,1,0 . :

|}|10{|1,0}|10{||}|10{| RxxRxxRxx

..

.1.:

|}|53{||3}|53{||}|53{| RxxRxxRxx

..

2 . , :2|}4,3{||}|53{| Zxx

. . ,A|)(||| APA .:|)(|||0 NPN.

11(|\| BAA" ,

,.

|| BA0 , ,B.

|| BA ..

12(:

I (mnmn . XX2 . xF-X1,0

X2 .XX2 . xFP(X) - ...

(II

"

"

91

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 92: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

10

"-XP-XF . XFXPg :"AfAg) .AfA ,24 /.(

g":XPAA 21,11 AA .Xw).. :(21 AwAw.

11

wf A02

wf A .1A

2A ."g :21 AgAg .

g:hX}0,1{ .XPAh

hAf h":1xhXxAh .ghAg h.

13(.

n , :01 .nn2 .

Nn

n2 . ,

. ,

"0,1 "N" ,.

.|| R ."

|||||||| RRRR.

.N ,:

'1N0. '2NN0.

n00|| nnN.

0

00. ,N ,

N.

.12 . :

|||| 2|}1,0{||}1,0{| RRR.

92

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 93: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

:–" 18.12.2002 '

– '4:

k n 1( .

(?(?(?(?

n,k( ) .

2( ,' ,' ,' '3 . . 3 .

(?("?( '?

3( ,10 .4 - 6)

( .?

4(3 : ,' ,' ' .8 .

(?(4 '4? '(3 ? '( ' , ' , - '? ) :

(

5 (

105 ,3" ,2 .:

( ," ,.

(.("

.

6 (59?

m n 7(

?

1

93

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 94: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

8(

.4 10

?

.710?

m X Y n X 9( . .

Y X ?

10(8 ,3 . 5

.?

: .:

, .

...

PAPAPAPADAS 11( 11 .11

":

.

S .

PPPP .

.A

12 (5 .114)7 (:

(.(.(.

: ,.

13 (n ? .

n? .

2

94

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 95: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

},,,,{}10,2,1{ edcbaBA

254321

14 (

A B B A .? '

A B B A .? '"

A B B A .?) :( '

15 (xxxx

4321 8,0,3,0 xxxx

. :

(?(?

(?

(106,32,80,6 43211 xxxx

000,100

?

n1 7? 16 (

3

95

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 96: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

– '"16.12.2002

–4

1( 120. :

.5120 116*117*118*119*

.5)

( = !115

!5120

5

5412

511205

6443

242*3*4

!*5120

. :.

.

.120.

.5 ) (! . .

:

2( . .3

.4 ,3 2 ,

23

323

. " ." 3

") " ,"" , . (" "

1

96

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 97: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3 (2 .

210

48

24

48

210

8

7048

38

52

38

828282

. 8 ,4

." 6– .

2 4 .

,

4 ( . :3 .

' .4 ,

. '

. ' .

' ' . . 52

." )' ('''.

.

')' - '(')' - '(')' - '(

' - ')"("' - ')"("' - ')"("

, :3233 88

!2

1440!2!3!5

38640)!2!3!5(!3

5( . 5 ,3

" . :!

!

.' , 3" " . .

!!

2

97

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 98: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

. ,-" ." 5 .

," . " ,

)' . ( :

!

!2!5!5

8640!2!5!5

59

5252

59

nm 1

01

nm

710

7

mnYXYXP 22|)\(| |\|

mnn 22

6 (

- . .

, . :

.

7(m) .(

, . , m+1 n

..

. m+1<n

8(.

. .

.

. . . 10

9(

X . Y " "X . Y

. . Y ,Y

10(

5 : 1(

3

98

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 99: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

78 3+2 ')(

3+1+1 '27

27

37

8

58

58

37

827

827

878

!

AP 5,4

8),

(

8 2+2+1 '

2+1+1+1 '

1+1+1+1+1 '

,.

11( 11 .

)!5!!

411. . (

.S' . !5!4!10

!8

.

PPPP 3 ( P ) 4 . .

A . !5!8

.A . !4!4!10

511

37

24

37

24

47

14

57

.

12(

. . :

. .3 .

:

. " " : , , . ,

. :

4

99

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 100: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

13 (

. n ' 2n),( aa

nn2

2

),( ba),( ab}|),(),, baabba

. .

" . n .nn2

'.

. 1 , ,

."{() ( . , 2

2 nn

,(a )a)" .("2

)1(2 2

2

2nnn n

BAf :10

ABf :5

BAf :|||| AB

n

14 ( . . B f " B : .5

. . B f " B : 10. " , .

ABf :

!5510

ABf :|| AB

A " : 5 ,"

." : f " B ,B .

)510(. , .||

BAf :105

104

10335

10225

5225

335

455 10101010

:B A " '

4 B A ' , 5 .

, 3 B A '

.

, 2 B A '

.B A ' 1 , 5

.i B A ' '

, .:

5

100

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 101: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

15 (

.

2528

251425

:

.4321 ,,, yyyy14,3,2,1 ii yxi

:251111 4321 yyyy214321 :yyyy

2124

211421

"

.4321 ,,, yyyy

11 yx322 yx33 yx844 yx

:2583 4321 yyyy144321 :yyyy

1417

141414

"

. : 4321 ,,, yyyy

111 yx50 1 === <y

22 yx80 2 === <y233 yx50 3 === <y644 yx40 4 === <y

254321 :xxxx :25621 4321 yyyy

204321 :yyyy

2023

201420

:

.

,. y -

6

101

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 102: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

)- y , (

.2023

: -

:1A204321 yyyy

61y

2A204321 - :

yyyy92y

3A204321 - :

yyyy63y

4A204321 - :

yyyy54y

, :43212023

AAAA

1A:

- . 206 431 2 zzz z

:1417

141414

1A

2A- . 9 204321 zzzz

:1114

111411

2A

3A- . 206 421 3 zzz z

:1417

141414

3A

:1518

151415

4A

21 AA204321

:

- : - .

-

. ,

yyyy692y 1y

96 321 204zzzz58

5145

21 AA

7

102

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 103: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

,811

8148

31 AA

,912

41 AA

58

32 AA

69

42 AA

912

43 AA

:0321 AAA

1421 AAA

36

431 AAA

1432 AAA

04321 AAAA

:

17610136

1912

69

58

912

811

58

1518

1417

1114

1417

4321 AAAA

:10176117712023

4321 AAAA

754321

16 (100,000 , ,

. ," .82 :00082 . :

- . xxxxx

711

7157

8

103

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 104: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

:–" 25.12.2002 '

– '5: +

1( :123

32

2 nnnn

nnn

},1,0{ a

2x

n

n" :

a .

2(82 )1( x

nin

i in

320

knm

ikn

imm

i 0

nnm

in

imm

i 0

},,,,,,, ddccbbaa

?

n 3( :

..

4(:

.

.

5(

.1,2,3,4,5,6,7247?

.1,2,3,4,5,6,724

2747?

b a {a,b,c,d} n. 6 (

7( 40 ,10 ,20–30?

{ 8 (?

1

104

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 105: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"5.1.2003

–5

1 (

"n"},1,0{ aa .:

:an ,01 .

11 221

nn nn

.

:n-a ,2

2n

2n ,1

a ,3

3n

3n ,2a ,kn

k

kn ,1ka)k ,

a (…n0 ,n-1a . ,

nn

nnn

n3

32

2.

2 (8

0

8

2

8

0

8

28

2

81

8)1(

i

ix

i

ixix

ii

2x4

2x

48

.

2224

2 835

1670

1648

48

xxxx .2x835

.

3 (

"n :nin

i in

320

.1,2 ba .

. :n"

2,1,0 .)n3 .(

105

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 106: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

1-2.

4 (

.kn

-m .

.

nk

5(

.1,247,3,5,6 .!5.

.A=24

B=27

C=47

,

!5!6300!50!6!6!6|||||||||||||||| CBACBCABACBACBA

6(

, :ab . c,d ."

n2 . nn 24.

7 (40" ,

-40321 xxx ,242

40,3D.

4011231

)29,3(D.

4021221

)19,3(D.

4031211

)9,3(D.

401121

210

)8,3(D.

106

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 107: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

. ,4010

,2030

176210

211

221

231

242

8 (

42!8

iA},,,,,,,{ ddccbbaaii . :32!7|| iA

)ii .(

!4||2!5||

2!6|| 2

dcba

kji

ji

AAAA

AAA

AA

:

864!42!54

2!66

2!74

2!8

!444

2!5

34

2!6

24

2!7

14

2!8||

234

234''''dcba AAAA

107

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 108: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

:–" 2.1.2003 '

– '6:

n 1( :

}5,4,3,2,1,0{

31

6116

210

321

?

2( :

aaa

aaaa nnnn

12,5

96

10

21

3( :

aa

aaa nnn

3021 aaa

4(.

j 451 ia 5( .i,

ji a

521 aaa

14a

j 6(9ia1 .i,

ji aa 10.

108

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 109: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

– '"9.1.2003

6 , ,

na11a)0(

1

. n 1( . ,

: n ") " (n}5,4,3,2,1

15.{ .

nana1n

.) ( .0 .

1n16n

14665

1

11

11

1

aaaaa n

nn

nnn

1na.

' '

nn a321 6116 nnnn. 2(

3n

321

0)3)(2)(1(06116

6116

321

23

23

nnnn CBAa 321

:

nnn

nnnn

a

a

ACB

CACB

CBAnCBAn

CBAn

322

312212

21

23

20

94323211

10

1

1

109

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 110: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3(

2,12,5

96

10

21

naa

aaa nnn

nn a21 96 nnn.

2n

30)3)(3(

096

21

2

nnn BnAa 33. ,

:

nnnn nna

B

BAnAn

3)5(3351

3312150

)()(, vdvfVv}1,,2,1,0{

: G . n G 4 ( .fn

1n1

.G . G f “0”

.0n1

f .fn

)( 21 vvff . ,, " .

() f 21 ,vvG – . .

}14,14,14,,{ ,3021,3021 aaaaaaAA . 5 ()591415( iai )451( iai 60 . A ,

A 1 59 .60 A , ,, j 3021 ,, aaa , A .i,

i 14

521 aaa

jaa.

j ia 6 (91 .i,

ia. 10ja

i j ia . 5 :i

}10,10,,, 51521 aaaa ,{aA

521 aaa

A .10 ,1 9 .

" . A

5ia

,

ji,. , i10ji aa ji aa10

2

110

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 111: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

:–"10.1.2003 '

, '7 –

G R2 R1 G 1(: - .

v u (v, u) R1 ". -

(v, u) R2u -v "w -u -v

.

2(101 , '

) :a b b a.(

3(

G E G = (V, E) - .- (

.G .

G E G = (V, E) .- (

.G .

G 4() (. :

GwVE ||||w , :

G.

5(4|| 2

|| VE

nvvv ,,, 213n

}{},{\ 1 nvGvG

},,,{ 21 ndddD

.

6(.

G 7( . ) ( 2

G \,},{\ 2 Gv . ,

8(.

n

iid

1

D G .

.

D G .D .

:

1,3,3,4,5,6,62,3,3,4,5,6,7

111

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 112: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"14.1.2003

– '7

1(.

1R:- :- :G ,.

- :s-t" ,-s-t-G .(v, u) R1-(u, w) R1 .v-u

u -w .-G ,v-uu -w . -v-w ."v-w".

2R:

wv

u

v-u"s-v-u.u-w"t-u-w.

v-w"u.

2(101 , ') :abba.(

: .v-u"vu .101. .

101- . ,-

:Vv

Evree 2deg

3(

.G = (V, E) .-E-G

.G.

: .G .

-E -G.

u,vV .v-u(v, u)-G) .(*

G ....

.G = (V, E) .-EG .

G.

112

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 113: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

: .G .

-EG.

-G .u-v .

(u, v)-G .u-v) .(*....

(*) :Gv-u-v-u) .(

4(::

G . G),( iii VEG .

."1|||| ii VE .

GG ,

wVVVVEEEE ww ||1111|||||||||||||| 2121

:GwVE ||||G.

||V:

1||V : 011|| EG.

nwnwVE |||| ,

n+1 wnwVE 1||||. :

01 :2 ,

||2

||2|| VVE .".

0 ,n ,|| E)

( ,1w) . (wnwVE )1(1||||

.0 ,.

1 ,n ,1|| E ,

w .wVE 1||1|| ,wnE || . ,

n+1.

5 (G|||||| 21 VVE

21 'VVK .|||| 21 VV|||| 21 VV)

( ,2

|||||| 21VVV .

4||

2||

2||||

2

21VVVVVE.

|||| 21 VV|||| 21 VV .

W

113

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 114: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

a .acb 2cb, .

iiaciab , . :222))(( aiaiaiacb0i ,acb .

6 (CG .C , . ,)C

.(C ,C) ( .

-C.

7 (}{\},{\ 21 vGvG ,G .

}{\ 1vG ,nji2Gji vv , .}{\ 2vG ,

jinji 21Gji vv , .

G21 , vv .}2,1{\Vw .

}1{\Vw1wv ,2.

}2{\Vw2wv ,1.

21 ,G21 , vv.

G

8 ( : ,n

ii Evd

1

||2)(.

:},,{ 21 ndddDn

iid

1

,

GnD .G :nnvvv ,...,, 21.ni121 ii kd)id (2ii kd

)id .(id ,ikiv .n

iid

1

,

id .ivid ,

.G) (n

ii

n

ii dvd

11)(.

:5,1,2,1,3,4,6D:

114

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 115: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4

(2,3,3,4,5,6,7 :7 , 7 .6.

1,3,3,4,5,6,6 :7 ,6 ,1.

115

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 116: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

:–"15.1.2003 '

, '8 –

1(

G=(V,E) .),( EVG

G },),(|) VyxGyxy,{(xGG ) , ,

G (.

G .G

G .G

n2n

n3

n3

n

mn

nk

?)(

2(

-) ,

():(

. , -

. , -

. , -

3(

A ,

.– –: .

.

. , ,

. , ,

. , ,

4(

– D. 1 ( , ) 0

.?

– . 1?

.- 1?

k .? .

1

116

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 117: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

5(

6 ,

.2

.

!

2

117

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 118: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

1

'–"10.1.2003

– '8

1(

. :G ,–G .Vyx, .

xyG .:

x–yG :x-yG ,

x–yG ,G ,–x–y-

G.

x–yG ,zG

) ,G .(x-zG ,

x–zG ,G ,

y–zG .yzxx–yG.

G

.GG :

2(

. , .

)!2()!3(

nn

.2n ,

. :nnnn

)3(23

.n–) .( , .

nnn

n1

12

GG

118

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 119: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

2

3(

. ,)}1,2(),2,1{(},3,2,1{ RA ,R

)(, bRaaRbAba .RRR )1,2()2,1(R)1,1(.

. .RAcba ,,

RcaRcbRba ),(),(),( .cbba

!–RRab ),( ,

Ra=b . ,

".

. , :)}2,2(),1,1(),1,2(),2,1{(},3,2,1{ RA .R

.)(, bRaaRbAbaRRR )2,2(),1,1()1,2(),2,1(

) .(R

R)3,3(.

. ,)}3,1(),3,2(),2,2(),1,1(),1,2(),2,1{(},3,2,1{ RAR

R)3,2(R)2,3( .RRR )1,2()2,1(

21 .R

RRRRRRRRR

RRR

)3,2()3,1()1,2()3,1()3,2()2,1()2,2()2,1()1,2(

)1,1()1,2()2,1(

4(

.01nm2.

.1nm , . ,

. ,0 .

1 .12 nm

..–m .m-1

.12m .n)1(2 mn.

. k kn

.

1 ." "m

119

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 120: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

3

112m) . (" " .kn

,"knm

kn

)12.(

5(

N ,

.1–5)1––1 ,

–5 .( ,",

.

120

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 121: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'10/4/02

– '1

1.)20 ' (103 " : . .

"."?

2.)20 ' (..))(( .))((.)(.)(

)()(, ygxfyx3.)20 '(.

.

.32, yxxy)]0()0[(, .xyyyx

. .

4).20 ' (.

2222222 )1()2(

)1(12.....

325

213

nnn

nnn

12nyxn 73

5).20 ' (. x,y

.n=12,13,14 :-

121

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 122: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'

– '1

. D , G , B 1. :)))(())(()((: DBGGDBDB

.GDB )D)( BG)(DBGDB

1 1 1 0 1 011 0 1 1 0 010 1 1 1 1 110 0 1 1 1 111 1 1 1 0 001 0 1 1 0 000 1 0 1 1 000 0 0 1 1 00

3,4DB ..

2..))((

)( .

111101010000

0)(,1)( II . .)(1))(( II , .)(

. . )(

)()(, ygxfyx3.

.

.32, yxxy)0()0[( .xyyyx

. .

122

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 123: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

4. : n=1 43

412

n-1 :

2222222 )()1)(1(

)()1(1)1(2.....

325

213

nnn

nnn

n

22

2

22

22

22

34

22

34

2222

2234

2222

22

2222

22

222

22222222

)1()2(

)1(2

)1()2(

)1(2

)1(12122

)1(12

)1()122(

)1(12

)1()12)(1(

)1(12

)1()1)(1(

)1(12)1)(1(

)1(12

)()1(1)1(2.....

325

213

nnn

nnn

nnnnn

nnnn

nnnnnn

nnn

nnnnnnn

nnn

nnnnn

nnn

nnnn

nnn

nnn

nnn

nnn

1

12=3*4 +7*0 n=12 5 . : 13=3*2+7*1 n=13

n=1414=3*0+7*2

12 nk

yxyxnn 7)1(337333

. :n

123

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 124: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'6/5/0213:00

– '2

1..)()( BPAPBA

)()( BPAPBA ..)()( BPAPBA.)()( BPAPBA

)()()( BAPBPAP2A,B,C .

.

.)()()( 2APAPAP)(\)()\( CABACBA .)\()\()(\)( CABACBAA .

.)()()()( CABACBAA3 ..

.}5,4,3,2{)4{

.

.}{ .

}}4{{)4{}}4{{)4{

AB

..

AC C B - .ABA B .

: A - P . A 4 . }0{\RAPyxxy ),(0

T

. P ..?P

.A- . A- R,T 5 . R

6 . RRAAb a .AaRbR . R

124

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 125: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

125

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 126: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

126

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 127: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

127

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 128: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

128

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 129: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'12/5/0216:00

– '3

1.NNNf : " )12(2 nmNnm,YZYg :fgh

BAfABg :,:

AIfg :1fg

}108,42|),

),( nmf ". , ". g " Y f 2.Xf :

. , B A 3..:

. ..f "..g ".. f..g .

13)( xxf||)( xxg

xxxx

xh0,

0,)(

2

2

.Z Z f,g,h 4.

"". .". .

: .h(f(x)), f(h(x)) ,f(g(h(x))), h(g(x))

5.) ( .

, 6.{( yxyx(|),{( xyx }4)5()1 22 y

..

7.

129

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 130: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

130

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 131: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

131

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 132: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

132

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 133: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

133

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 134: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

134

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 135: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'19/5/0216:00

– '4x1+x2+x3+x4=70 1.

= <0. xi ..0<=x4 ,10<=x3 , -5<=x2 .15<=x1

.0<=x2,x3,x4 .<=x1<=200 , B={a,b,c,d,e} A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 2.

? A B ?B A .?B A , - A B '" .

? B A ? A B ' .X . - M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 3.

- ? X 1 Xn A 4.

? .? .

4 .7 . 5.. .

. .6.8 ,3 .5

.?

135

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 136: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

136

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 137: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

137

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 138: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

138

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 139: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'4/6/0216:00

– '51.

.kn

kn

k

k

03

ik

in k

i

in

i

i

00)5()2(

1

02n

n

kk k

n

1

02 n

n

kn

kn

k

2x

.

2.

.

.

". 3.

? 8)2

1( x 4.

n. 5.!2)!2(n

nn0

.

.|A|=r |B|=n 6.).

.(}1000...1 {2,3,5,7. 7.

8.a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p.

?bad,deaf,ape .?leading – , .

9.4 ,3 -5?

139

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 140: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

140

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 141: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

141

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 142: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

142

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 143: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

143

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 144: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

144

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 145: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

145

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 146: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

146

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 147: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'13/6/0216:00

– '6ABCDE 1.) .

.1,2,3…,2n } n - n 2. {

.:t- 2 ,t. k,r N)12(2 rk

na

na

-'. n - 3.a,b 1,2,3,4, n - 4.

)1/2/3/4 ( ) .(.5.k - n ,

.

147

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 148: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

148

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 149: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

149

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 150: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

150

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 151: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

'16:00 19/6/02

– '7

.v u u,v 1.. n-k k - n 2.

. G " , G 3.. 4.

G : G-v1,…G-v4 v1,..,v4 G 5..

6.G 3 . ).(

G-v1…G-vn - V( G {) = v1,v2,..,vn} n>=3 7. . G

151

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 152: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

152

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 153: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

153

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 154: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

154

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

Page 155: cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢ ±³

155

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים