MTODO DE CROSS Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 2 1-INTRODUO OMtododeCrosstambmconhecidopeloMtododeDistribuiodeMomentos,ummtodode anlise estrutural aplicado a estruturas reticuladas continuas desenvolvido por Hardy Cross (1936). um mtodo relativamente simples para o clculo de momentos flectores em vigas continuas, prticos planos, grelhas e at em prticos espaciais. baseadono Mtododos Deslocamentos es se aplica a estruturas comdeslocamentosdotiporotaoeapesar destalimitaoummtodoaindautilizadopara oclculo de estruturas. OmtododeCross,teveumimpactoinicialmuitograndepoispossibilitouaresoluomanualde estruturashiperstticasnumaalturaemqueasestruturasembetoarmadoestavamatorna-semuito comuns.Comodecorrerdosanoseosavanosdosprogramasdeclculoinformticos,geralmente utilizando por base o mtodo dos deslocamentos, a utilizao do Mtodo de Cross tem vindo a diminuir. O seu estudo acadmico continua a ser efectuado pois trata-se um mtodo bastante intuitivo e serve para uma melhor compreenso do comportamento flexo de estruturas reticuladas. 2-CONVENO DE SINAIS No Mtodo de Cross a conveno positiva de sinais utilizada apresentada na Figura 1: Figura 1 3-RIGIDEZ DE UMA BARRA Define-serigidezdeumabarra,emcertaextremidadesupostasimplesmenteapoiada,omomentoque necessrioaplicarparaproduzirumarotaounitria,conservandoaoutraextremidadeperfeitamente encastrada. Na Figura 2 apresenta-se o esquema que conduz determinao da rigidez Kee na extremidade esquerda.Ocorrespondentemomentodeencastramentonaextremidadeoposta(direita)designa-sepor momento transmitido, Kde e o cociente entre o momento transmitido e a rigidez designa-se por coeficiente de transmisso da extremidade esquerda e. Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 3 Figura 2 Nas barras de seco constante de momento de inrcia I e comprimento L a rigidez da barra vale: Kcc= 4EII e o momento transmitido vale: Kdc= 2EII assim o coeficiente de transmisso vale: uc = KdcKcc= 12 Para a extremidade direita procedemos de modo anlogo e obtemos as seguintes caractersticas Rigidez da barra na extremidade direita: Kdd= 4EII o momento transmitido vale: Kcd= 2EII o coeficiente de transmisso vale: ud = KcdKdd = 12 4-COEFICIENTE DE DISTRIBUIO Ao fazer a distribuio dos momentos desequilibrados, os valores correspondentes s barras concorrentes numn,obtm-sedistribuindoomomentodesequilibrado,proporcionalmentesrespectivasrigidezes nessasextremidades.Parafacilitarasoperaesdevemoscalcularoscoeficientesdedistribuionon, ouseja,determinarococienteentrearigidezdabarra,emcausa,pelasomadasrigidezesdetodasas barras que confluem no n, como se ilustra no esquema da Figura 3. Figura 3 keekde=1 rad1 324d1d3d4d2 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 4 Assim,numnemqueconcorremasbarras1,2,3e4,derigidezrespectivamente,K1,K2,K3 eK4,os coeficientes de distribuio dos momentos so: J1 =K1 41J2 =K2 41JS =K3 41J4 =K4 41 Sendo d1+d2+d3+d4 =1 O Mtodo de Cross pode sintetizar-se nos seguintes passos: 1.Clculo dos coeficientes de rigidez das barras, dos coeficientes de distribuio e dos coeficientes de transmisso; 2.Fixar ou bloquear as rotaes; 3.Clculo dos momentos iniciais ou momentos de encastramento perfeito; 4.Faseinteractiva,numdeterminadon,calcula-seomomentonoequilibrado,distribuindo-seo seusimtricopelasextremidadesdasbarrasqueconvergemnessenetransmitindo-seos momentos distribudos pelas outras extremidades das barras. 5-EXEMPLOSDEAPLICAODOMTODODECROSSAESTRUTURASDENS FIXOS Exemplo 1 ConsidereaestruturareticuladacontnuarepresentadanaFigura4,solicitadacomoaseindica.Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalequeomomentodeinrciavalemEI=constante.Utilizandoo mtodo de Cross, desenhe o diagrama de momentos flectores MM e de esforo transverso TT. Figura 4 Resoluo Coeficientes de rigidez K =IL KAB =I6KBC =I4

Coeficientes de transmisso 12 12 KN/mCAB6.0 m 4.0 m Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 5 Coeficientes de distribuio `11111111uAB = 1.uuBA = KABKAB + KBC =I6I6+ I4= u.4uBC = KBCKAB + KBC =I4I6+ I4= u.6uCB = 1.u

Momentos iniciais ou de encastramento perfeito Figura 5 A determinao dos momentos iniciais feita segundo o esquema da figura 5 e com base no mtodo dos deslocamentos, tendo em ateno a conveno de sinais do mtodo de cross, assim temos: `11111111HAB = -pl212= -12 6212= -S6 kN. mHBA = pl212= 12 6212= S6 kN. mHBC= -pl212= -12 4212= -16 kN. mHAB= pl212= 12 4212= 16 kN. m

Resoluo do Mtodo de Cross OmtodointeractivodomtododeCrossapresentadonaFigura6.Depoisdedeterminadosos momentos iniciais, temos deequilibrar osns,neste exemplo como apenas temosumn para equilibrar (nB)bastaumaiterao.Somamososmomentosaesquerdaedireitadon(36-16=20),omomento desequilibrando no n B de 20 kN.m ser necessrio subtrair -20 kN.m. Para isso temos de multiplicar o momento de 20 kN.m pelos coeficientes1\ de distribuio e fica: | -2u u.4 = -8 kN. m-2u u.6 = -12 kN. m

Depoisdeequilibradoonnecessriotransmitirmetadedovalordomomentodeterminadoparacada um dos ns correspondentes. CABMCBMABMBAMBC Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 6 Figura 6 OdiagramademomentosflectoresfinaledeesforotransversosoapresentadosnasFiguras7e8 respectivamente. Figura 7 Figura 8 Exemplo 2 ConsidereaestruturareticuladacontnuarepresentadanaFigura9,solicitadacomoaseindica.Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalequeomomentodeinrciavalemEI=constante.Utilizandoo mtodo de Cross, desenhe o diagrama de momentos flectores MM e de esforo transverso TT. Figura 9 Resoluo Coeficientes de rigidez K =IL 0.4 0.6-36 36 -16 16-8 -4 -12 -6-40 +28 -28 +10-40-28-1038-3428.519.520 KN/mDAC6.0 m 4.0 mB25 KN2.0 m 3.0 m Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 7 `1111KAB =ISKBC =I6KCD =I4

Coeficientes de transmisso 12 Coeficientes de distribuio `1111111111111111uAB = 1.uuBA = KABKAB + KBC =ISIS+ I6= u.SSuBC = KBCKAB + KBC =I6IS+ I6= u.4SuCB = KBCKBC + KCD =I6I6+ I4= u.4uuCD = KCDKBC + KCD =I4I6+ I4= u.6uuDC = 1.u

Momentos iniciais ou de encastramento perfeito Figura 10 A determinao dos momentos iniciais feita segundo o esquema da figura 10, assim temos: `1111111111HAB = -pob2l2= -2S 2 S2S2= -18 kN. mHBA = po2bl2= 12 22 SS2= 12 kN. mHBC= -pl212= -2u 6212= -6u kN. mHCB = pl212= 2u 6212= 6u kN. mHC= u kN. mHC = u kN. m

DACMDCMABMCBMCDBMBAMBC Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 8 Resoluo do Mtodo de Cross OmtodointeractivodomtododeCrossapresentadonaFigura11.Depoisdedeterminadosos momentosiniciais,temosdeequilibrarosnsBeC.Convmcomearoprocessopelonmais desequilibrado, neste caso pelo n C. O processo termina quando atingimos um grau de preciso de 0.01. Figura 11 OdiagramademomentosflectoresfinaledeesforotransversosoapresentadosnasFiguras12e13 respectivamente. Figura 12 Figura 13 6-SIMPLIFICAO DE CROSS - FACTOR 1C possvelaplicarasimplificaodecrossabarrasemqueaprioriseconheaarelaoentreos momentosfinaisnasextremidades.ocasodebarrascomumapoioarticuladanumdosseusextremos ou de barras colocadas em posies de simetria estrutural e solicitadas simtrica ou anti-simetricamente. 0.55 0.45 0.40 0.60-18 12 -60 60 0 0-24 -36 -18 -12+27 +33 +16.5 +13.5-5.4 -8.1 -4.05 -2.71.21 1.49 0.75 0.61-0.24 -0.37 -0.19 -0.120.05 0.07 0.04 0.03-0.01 -0.02 -0.01 -0.010.01 0.0-0.7146.57-46.5744.49 -44.49-22.25-0.71-46.57-44.4922.255.8360.3516.69-59.65-19.17 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 9 Vejamos qual o momento a aplicar numa extremidade suposta simplesmente apoiada, para produzir uma rotao unitria (1 radiano), quando a outra extremidade est tambm simplesmente apoiada, Figura 14. Figura 14 A solicitao correspondente a rotao , (ver Figura 15): Figura 15 Aplicando o Teorema dos Trabalho Virtuais (T.T.V) vem: 0m

m = 1 = ]MM

EIus =ML223 =ML3EI

De onde vem N =3EILquando =1 vem N =3EIL Isto N = SEIL= S44EIL= S4K Nota: Numabarradesecoconstante,omomentoaplicadonumaextremidade,capazdefazerrodardeuma unidade, quando a outra extremidade est simplesmente apoiada, vale 34 da rigidez K da barra, definindo-se por factor de cross1c 1c = 34 MLMLML=1M=M2L1L1L1L1L13L13 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 10 Exemplo 3 Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 16, solicitada como a se indica. O mdulo deelasticidadelongitudinaleomomentodeinrciasoapresentadosnaFigura.Utilizandoomtodode Cross,paraumaprecisode0.01eaplicandoasimplificaodos 34,desenheodiagramademomentos flectores MM e de esforo transverso TT: Figura 16 Coeficientes de distribuio `1111111111111111uAB = 1.uuBA = S4 KABS4 KAB + KBC=S4 ISS4 IS+ I6 = u.47uBC = KBCS4 KAB + KBC=I6S4 IS+ I6= u.SSuCB = KBCKBC + KCD =I6I6+ I4= u.4uuCD = KCDKBC + KCD =I4I6+ I4= u.6uuDC = 1.u

NaFigura17apresentam-seosmomentosiniciais,apartirdosmomentosdeencastramentoperfeito.A nica particularidade a destacar anulao domomento emA.Como o apoio articulado e o momento inicialmenteobtidoodeencastramentoperfeito(-18kN.m),alibertaodoncorrespondea acrescentar-lhe o momento de + 18 kN.m, transmitindo-se outra extremidade 9 kN.m Figura 17 Na Figura 18 apresenta-se a resoluo do mtodo de Cross 20 KN/mDAC6.0 m 4.0 mB25 KN2.0 m 3.0 mI6I4I50.47 0.53 0.40 0.60-1812 -60 60 0 0+18 +90 +21 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 11 Figura 18 OdiagramademomentosflectoresfinaledeesforotransversosoapresentadosnasFiguras19e20 respectivamente. Figura 19 Figura 20 Exemplo 4 Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 21, solicitada como a se indica. O mdulo de elasticidade longitudinal e que o momento de inrcia so apresentados na Figura. Utilizando o mtodo de Cross, para uma preciso de 0.01 e aplicando a simplificao dos 34 determine o valor dos momentos finais. Figura 21 0.47 0.53 0.40 0.60021 -60 60 0 0-24 -36 -18 -12+27.03+23.97 +13.52-5.41 -8.11 -4.06 -2.701.43 1.27 0.72-0.29 -0.43 -0.21 -0.140.08 0.06 0.04-0.02 -0.02 -0.01 -0.010.0146.30-46.3044.56 -44.56-22.28-46.73-44.4222.225.8360.2916.71-59.71-19.2620 KN/mEAC6.0 mB20 KN2.0 mI66.0 mD I6I6I26.0 m Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 12 Momentos iniciais ou de encastramento perfeito Figura 21 A determinao dos momentos iniciais feita segundo o esquema da figura 21, assim temos: `11111111HAB= u kN. mHBA = pl = 2u 2 = 4ukN. mHC = -pl212= -2u 6212= -6u kN. mHC = pl212= 2u 6212= 6u kN. mHL = u kN. mHL = u kN. m

Coeficientes de distribuio `11111111111111uCB = S4 KCBS4 KCB + KCD=S4 I6S4 I6+ I6 = u.4SuCD = KCDS4 KBC + KCD=I6S4 I6+ I6= u.S7uDC = KDCKDC + KDE =I6I6+ I6= u.SuuDE = KDEKDC +KDE =I6I6+ I6= u.Su

Na Figura 22 apresentam-se os momentos iniciais Figura 22 Resoluo do Mtodo de Cross OmtodointeractivodomtododeCrossapresentadonaFigura23.Depoisdedeterminadosos momentosiniciais,temosdeequilibrarosnsCeD.Convmcomearoprocessopelonmais desequilibrado, neste caso pelo n C.Nesteexemploexisteumtramo(AB)emconsolaqueconvmtratarprimeiroantesdeiniciarmoso mtodoiterativodecross.Omomentodeencastramentodaconsolade20x2=40kN.m.Oprimeiro passoserequilibraronB.Comosetratadeumnemqueconhecemosomomento,podemos equilibra-lo e fechar esse n. Se esquerda de B existe um momento de 40 kN.m, a direita ter de existir um momento de -40 kN.m e transmitimos a extremidade oposta o momento de 20 kN.m. Assim o n est EAC B DMCBMBCMDCMCD MBAAC B D0.43 0.57 0.50 0.50 1.0 1.040 -60 60 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 13 em equilbrio e umavez queconhecemos o valor domomento non B podemos aplicara simplificao dos 34 ao tramo BC. O processo termina quando atingimos um grau de preciso de 0.01. Na Figura 23 apresenta-se o processo iterativo de Cross. Figura 23 7 MTODO INDIRECTO DE CROSS AsestruturasdensmveisoutodasasestruturasemquenopossvelaplicaroMtododeCross, aplicamos o Mtodo Indirecto de Cross, que consiste num artificio que a seguir se apresenta. Considereporexemplo,oprticorepresentadonaFigura24easuarespectivadeformada,numaescala exagerada.EnquantoosnsAeBestocompletamentefixos,osnsCeDsolivresdepoderemter movimentos rotacionais e translacionais. Por outro lado, desprezando a deformabilidade axial das barras e considerando-seapenaspequenasdeformaes,osnsCeDdeslocam-seamesmaquantidade,,na direco horizontal apenas, como se mostra Figura 24. EAC B D0.43 0.57 0.50 0.50 1.0 1.040.00 -60.0060.00-40.00 -20.0034.40 45.60 22.80-41.40 -41.40 -20.70 -20.70 11.80 8.905.90-2.95 -2.95 -1.48 -1.480.84 0.63 0.42-0.21 -0.21 -0.11 -0.110.06 0.050.03-0.02 -0.01 -0.00 -0.01 0.01 0.0040.00 -40.00 23.98 -23.98 44.57 -44.57 -22.29 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 14 Figura 24 A aplicao do Mtodo de Cross a uma estrutura de ns mveis consiste em duas partes: 1parte:atranslaohorizontaldoprticoimpedidapelacolocaodeumapoiofictcioestrutura como mostra a figura 24 b). O prtico resultante agora de ns fixos pelo que se pode resolver utilizando o Mtodo directo de Cross. Conhecidos os momentos nas extremidades das barras, a reaco F0 no apoio fictcio pode ser calculada aplicando as equaes de equilbrio ou Principio dos Trabalhos Virtuais. 2parte:oprticosubmetidoaumaforaconcentradaF0aplicadaesentidocontrrioreacodo apoiofictcio,comomostraaFigura24c),queproduzirummomentoN

noprtico.Os momentos correspondentes a N

devem ser calculados e somados aos momentos M0 calculados na 1 parte domtodo para assim se obter osmomentosMda estrutura inicial.Assim, se M1, M0 e N

representarem respectivamente os momentos na estrutura inicial, em estruturas com as translaes impedidas e no prtico sujeito fora F0, podemos escrever (ver Figura 24). N = N0 +N

P kNp KN/mDACBMa)P kNp KN/mDACBMb)0=DACBMc)DACBMd)1++X1* Fo F1 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 15 Surgeno entanto um problema na determinao dosmomentosN

que se desenvolvem quando o prtico sofre translaes quando sujeito carga horizontal F0 (Figura 24 c)). Como o Mtodo de Cross no pode seraplicadoparadeterminarmomentosdevidoscargalateral,F0,utilizadooMtodoIndirectode Cross,noqualoprticosujeitoaumatranslaoarbitrriaconhecidas,,devidaaumafora desconhecidas F1 actuando na mesma posio e direco da carga F0, como mostra a Figura 24 d). Comatranslaoconhecidas, determinam-seosmomentosdeencastramentoperfeito,osquaisso depoisdistribudasdamaneirahabitualpeloMtodoDirectodeCross,obtm-seosmomentosM1 provocados pela fora desconhecida F1. Uma vez determinados os momentos M1, o valor de F1, pode ser calculado por utilizao das equaes de equilbrio ou atravs do Principio dos Trabalhos Virtuais. Por outro lado, dada a equivalncia mostrada na Figura 24, pode escrever-se que: x1 = F0F1 Do mesmo modo podemos escrever N = N0 +N

em queN

= x1 N1 ento N = N0 +x1 N1 Exemplo 5 Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 25, solicitada como a se indica. Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalequeomomentodeinrciavalemEI=constante.Resolvera estrutura pelo Mtodo de Cross. Grau de preciso de 0.1. Figura 25 Resoluo Estruturansmveis.AresoluodoexercciofeitaporaplicaodoMtodoIndirectodeCross,ver Figura 26. 40 KNDACB4.0 m 3.0 m7.0 m5.0 m Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 16 Figura 26 Coeficientes de rigidez K =IL `1111KAC =I7KCD =I7KBD =IS

Coeficientes de transmisso 12 b)=DACBMc)Md)1++X1*40 KNDACBMa)DACB40 KNM0FoFoDACBF1 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 17 Coeficientes de distribuio `1111111111111111uAC = 1.uuCA = KACKAC + KCD =I7I7+ I7= u.SuuCD = KCDKCD +KAC =I7I7+ I7= u.SuuDC = KDCKDC +KDA =I7I7+ IS= u.41uDA = KDAKDC +KDA =ISI7+ IS= u.S9uAD = 1.u

Momentos Iniciais Determinao dos momentos iniciais: `11111111HAC= u kN. mHCA = u kN. mHC = -pob2l2= -4u S 4272= -S9.2 kN. mHA = po2bl2= 4u S2 472= 29.4 kN. mHA = u kN. mHA= u kN. m

1 parte: calcula-se o prtico com o apoio fictcio em C (estamos perante uma estrutura de ns fixos). NaFigura27apresenta-seoesquemapararesoluodoMtododeCross,ondeestoindicadosos coeficientes de distribuio e os momentos iniciais. Figura 27 0.50 0.430.500.59-39.2 29.40.00.00.00.0 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 18 Na Figura 28 apresenta-se a resoluo do Mtodo de Cross. Figura 28 Determinao do F0 Precisamos de determinar os esforos transversos ao nvel dos apoios, ver Figura 29 e 30. RA = -2S.9 -12.u7 RA = -5.13 kN Figura 29 RB = 24.2 + 12.uS RB = 7.26 kN Figura 30 0.50 0.430.500.59-39.2 29.4 0.00.00.00.019.6 19.69.8-16.3 -22.9 9.8-11.5-0.6-12.1 2.1 0.1 12.0 -8.2 4.1 4.1 2.1-0.9 -1.2 -0.5-0.3 -0.2 -0.2-0.1 -0.1 23.9-23.924.2-24.2 -23.9 12.0RA 24.2 -12.1RB Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 19 Determinao do F0 atravs do: a)Equilbrio das foras horizontais que actuam em todo o prtico `Fx = u =F0 + S.1S - 7.26 = u =F0 = 2.1SkN b) Principio dos Trabalhos Virtuais, ver Figura 31 Figura 31 F0 1 + 12 17+ 2S.9 17- 12.1 1S- 24.2 1S = u F0 =2.13 kN 2 parte: Uma vez que no prtico original no existe o apoio em C, devemos anular o efeito da Fora de fixao no apoio aplicando uma fora lateral F0 =2.13 kN na direco oposta, como mostra a Figura 32. Figura 32 Como j tivemos oportunidade de referir, dado que o Mtodo de Cross, no pode ser usado directamente para calcular os momentos N

devidos a fora lateral de F0 =2.13 kN, usa-se o Mtodo Indirecto de Cross no qual o prtico sujeito a uma translao arbitrria conhecida provocada por uma fora desconhecida F1 que actua na posio e na direco de F0 como mostra a Figura 33. =Fo23.9 12.0 12.1 24.217=15Fo=2.13 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 20 Figura 33 ConsiderandoqueosnsCeDestobloqueadoscomosemostranaFigura34,osmomentosde encastramento perfeito devidos translao so dados por: HAC0= HCA0= 6EI72A= 6EI49A HB0= HB0= 6EIS2A= 6EI2SA HC0= HC0= u Figura 34 Em vez de escolher um valor numrico arbitrrio para usual e mais conveniente considerar um valor numricoparaumdosmomentosdoencastramentoperfeitoeobter apartirdessemomentoecomo valorde obterosrestantesvaloresdosmomentosdeencastramentoperfeito.Assimvamosconsiderar por exemplo que o momento de encastramento perfeito M0AC vale 50 kN.m, isto : HAC0= HCA0= 6EI72A= 6EI49A= Su kN. m F1 DACB DACBMACMBDMDB MCA Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 21 de onde se obtm A= 24Su6EI os outros momentos valem HB0= HB0= 6EIS2A= 6EI2SA 24Su6EI= 98 kN. m Estes momentos so ento distribudos da maneira habitual, ver Figura 35 Figura 35 Para calcular o valor de F1 que corresponde a estes momentos calcula-se o esforo transverso ao nvel dos apoios A e B, ver Figura 36 e 37. RA = -S4.S -42.27 RA = -10.96 kN Figura 36 RB = -4S.4 - 71.7S RB = -23.43 kN Figura 37 0.50 0.430.500.590.0 0.0 50.050.098.098.0-20.5 -40.9-7.4 -7.4-28.62.271.7 -0.4 42.2 -14.8 3.1 34.5 -34.5-45.445.4-57.1 -14.7 4.3 1.6 -0.8 -0.8-0.4 0.20.2 0.1 -0.10.1 -34.5 42.2RA -45.4 71.7RB Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 22 O equilbrio das forces horizontais que actuam no prtico`Fx = u =-F1 + 1u.96 + 2S.4S = u =F1 = S4.S8kN Dado que os momentos so directamente proporcionais carga, os momentos desejados N

devido carga lateralF0=2.13kNdevemseriguaisaosmomentosM1multiplicadospelarelao x1 =F0F1, ou seja, os momentos finais valem ento: N = N0 +x1 N1 Assimx1 = F0F1 =2.1SS4.S8 = u.u62 NAC = 12 +2.1SS4.S8 42.2 =NAC = 14.6 kN. mNCA = 2S.9 +2.1SS4.S8 S4.S =NCA = 26.u kN. mNCD = -2S.9 +2.1SS4.S8 (-S4.S) =NCD = -26.ukN. mNDC = 24.2 +2.1SS4.S8 (-4S.4) =NDC = 21.4 kN. mNDB = -24.2 +2.1SS4.S8 4S.4 =NDB = -21.4 kN. mNBD = -12.1 +2.1SS4.S8 71.4 =NAC = -7.7 kN. m Na Figura 38 apresenta-se o diagrama de momentos flectores finais. Figura 38 DACB 14.6 -26.0 -26.0 -21.4 -21.4 -7.7 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 23 REFERENCIAS Cross,Hardy.AnalysisofContinuousFramesbyDistributingFixed-EndMoments,ASCE,vol.96,n 1793, 1936. Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 24 MTODO DE CROSS estruturas ns fixos Exercicio n1 Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 39, solicitada como a se indica. Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalvaleE=2x107kN/m2equeomomentodeinrciavale I=0.005m4. Utilizando o mtodo de Cross, desenhe o diagrama de momentos flectores MM. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura 39 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 25 MTODO DE CROSS estruturas ns fixos

Exerccio n 2: Considere a viga contnua representadana Figura 40, solicitada como ase indica. Considere que omdulo de elasticidade longitudinal vale E e que o momento de inrcia vale I em todas as barras. Utilizando o mtodo de Cross, desenhe o diagrama de momentos flectores MM: a) No considerando a simplificao de Cross; b) Considerando a simplificao de Cross. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura 40 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 26 MTODO DE CROSS estruturas ns fixos

Exerccio n 3: Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 41, solicitada como a se indica. Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalvaleE=2x107kN/m2equeomomentodeinrciavale I=0.005m4,emtodasasbarras.UtilizandoomtododeCross,desenheodiagramademomentosflectores MM. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura41 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 27 MTODO DE CROSS estruturas ns fixos Exerccio n 4: ConsidereaestruturareticuladacontnuarepresentadanaFigura42,solicitadacomoaseindicaeainda sujeita a um assentamento do apoio D de = 0.002 m e a uma variao uniforme de temperatura de to = 10 C igual em todas as barras. Considere que o mdulo de elasticidade longitudinal vale E = 2 x 107 kN/m2, que o momento de inrcia vale I=0.005m4 em todas as barras e que o coeficiente de dilatao trmica linear vale =105/C.CalculeosseusesforosatravsdomtododeCrossedesenheosdiagramasdeesforos transversos TT e dos momentos flectores MM. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura 42 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 28 MTODO DE CROSS estruturas ns fixos Exerccio 5: ConsidereaestruturareticuladacontnuarepresentadanaFigura43,solicitadacomoaseindicaesujeitaa umassentamentodeapoio.ConsideretambmqueomdulodeelasticidadelongitudinalvaleE=2x108 kN/m2, as barras possuem a seco indicada e o coeficiente de dilatao trmica vale =10-5/C. Desprezando adeformabilidadeaxialdasbarraseutilizandoomtododecross,desenheosdiagramasdeesforo transverso TT e momentos flectores MM. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura 43 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 29 MTODO DE CROSS estruturas ns fixos Exerccio 6: ConsidereaestruturareticuladacontnuarepresentadanaFigura44,solicitadacomoaseindicaesujeitaa umassentamentodeapoio.ConsideretambmqueomdulodeelasticidadelongitudinalvaleE=2x108 kN/m2,omomentodeinrciavaleI=0.005m4eocoeficientededilataotrmicavale=10-5/C. Desprezandoadeformabilidadeaxialdasbarraseutilizandoomtododecross,desenheosdiagramasde esforo transverso TT e momentos flectores MM. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura 44 2.0 m3.0 m4.0 m 3.0 m2.0 m2.0 m20 KN5 KN/m10 KN/m10 KN/m10 KNT0 = 10 CABCDE FG Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 30 MTODO DE CROSS estruturas ns mveis Exerccio 7: Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 45, solicitada como a se indica. Considere que omdulo de elasticidade longitudinalvale E=2x107 kN/m2 e que omomento de inrcia vale I=0.005m4 em todas as barras. Desprezando a deformabilidade axial das barras e utilizando o mtodo de Cross desenhe os diagramas de esforos transversos TT e dos momentos flectores MM. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura 45 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 31 MTODO DE CROSS estruturas ns mveis Exerccio 8: Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 46, solicitada como a se indica. Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalvaleE=2x107 kN/m2,queomomentodeinrciavaleI=0.005m4 emtodasasbarras,queocoeficientededilataotrmicalinearvale=105/Cealturadasbarrasvale h=0.5m.DesprezandoadeformabilidadeaxialdasbarraseutilizandoomtododeCrossdesenheos diagramas de esforos transversos TT e dos momentos flectores MM. Nota: Se possvel, aplicar a simplificao de cross. Figura 46 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 32 Resoluo do exerccio n6 A estrutura a resolver pelo Mtodo de Cross apresentada na Figura 47. Figura 47 1 Passo - Identificao do tipo de estrutura Aestruturatemumgraudemobilidadecorrespondentetranslaoverticaldaextremidadedaconsola. Como se trata de uma consola podemos aplicar o Mtodo de Cross directo. 2 Passo Clculo dos coeficientes de rigidez Ki K =IL `1111111111 K1 = u.uuS4=K1 = u.uu12SK2 = u.uuS4=K2 = u.uu12SK4 = u.uuSSS4=K4 = u.uu12SK5 = u.uuS4=K5 = u.uu12SK6 = u.uuSSS4=K6 = u.uu12S

3 Passo- Coeficientes de transmisso 12 2.0 m 3.0 m 4.0 m 3.0 m2.0 m2.0 m20 KN5 KN/m10 KN/m10 KN/m10 KNT0 = 10 CABCDE FG1 23 4 5 6 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 33 4 Passo - Coeficientes de distribuio `111111111111uEA = KEAKEA +KED + KEF =u.uu12Su.uu12S + u.uu12S + u.uu12S = u.S4uED = KEDKEA +KED + KEF =u.uu12Su.uu12S + u.uu12S + u.uu12S = u.SSuEF = KEFKEA + KED + KEF =u.uu12Su.uu12S + u.uu12S + u.uu12S = u.SSuFE = KFEKFB + KFG + KFE =u.uu12Su.uu12S + u.uu12S + u.uu12S = u.SSuFG = KFGKFB + KFG +KFE =u.uu12Su.uu12S +u.uu12S + u.uu12S = u.SSuFB = KFBKFB +KFG +KFE =u.uu12Su.uu12S + u.uu12S +u.uu12S = u.S4

5 Passo - Momentos Iniciais Determinao dos momentos iniciais devido aos carregamentos, ver Figura 48: Figura 48 HC = pl = 2u 2 = 4ukN. mHAL= pl212= 1u 4212= 1S.SS kN. mHLA = pl212= 1u 4212= 1S.SS kN. mHBP = pl8= 2u 48= 1u kN. mHLB= pl8= 2u 48= 1u kN. mHLP = u kN. mHPL= u kN. mHPu= Sp1 + 2p26u l2 = S.2S kN. mHPu = 2p1 + Sp26u l2 = 6.u kN. m 20 KN5 KN/m10 KN/m10 KN/m10 KNABCDEFG1 23 4 5 6 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 34 Determinao da variao uniforme de temperatura, ver Figura 49: Al = olt0 =`11111111AlAL= 1u-5 4.u 1u =AlAL= u.uuu4mAlBP= 1u-5 4.u 1u =AlBP= u.uuu4mAlC = 1u-5 2.u 1u =AlC = u.uuu2mAlL = 1u-5 S.u 1u =AlL = u.uuuSmAlLP = 1u-5 4.u 1u =AlLP= u.uuu4mAlPu= 1u-5 4.u 1u =AlPu= u.uuu4m

Figura 49 HC = 6EIl2(AlAL) = 266.67 kN. mHC= 6EIl2(AlAL) = 266.67 kN. mHAL= 6EIl2(AlLP + AlPu) = 262.Su kN. mHAL= 6EIl2(AlLP + AlPu) = 262.Su kN. mHBP= 6EIl2(AlPu) = 112.Su kN. mHPB = 6EIl2(AlPu) = 112.Su kN. mHPu= 6EIl2(AlBP) = 266.67 kN. mHuP = 6EIl2(AlBP) = 266.67 kN. m Na Figura 49 esto representados os momentos iniciais totais. LBFLFGLBFLFG LFGLFG LFG LFG Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 35 Figura 50 Na resoluo do Mtodo de Cross, a primeira coisa a fazer e uma vez que aplicamos a simplificao de Cross devemos tratar os apoios correspondentes as barras onde aplicamos a referida simplificao, ou seja, no n do apoioGenondoapoioD.OapoioGcomoarticulado,omomentofinalzeroentotemosdeanularo momento de -260.67 kN.m, ou seja temos de somar 260.67 kN.m, (ver Figura 51). O tratamento do apoio D, umpoucodiferenteumavezquesetratadeumaconsola.Omomentonaconsolade20kN.m,temosde anularomomentode266.7kN.meequilibraroncomummomentoadireitadonde-20kN.mNo esquecer que a soma dos momentos nos ns zero, (ver Figura 51). Figura 51 momentos inicias devido s cargamomentos inicias devido temperaturamomentos inicias totais2013.3310.05.2513.3310.06.0266.67266.67262.50262.50112.5112.5266.67266.6720266.67266.67249.17275.83 122.5102.5271.92260.670.33 0.330.340.33 0.33 20275.83266.67249.17266.670.340.0 0.0122.5-260.67271.92102.5260.670.0130.34 -266.67-20.0-20.0-133.34-10.0 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 36 O passo seguinte fazer as interaces necessrias para equilibrar os nsE e F. Devemos iniciar o Cross pelo nmais desfavorvel.Neste caso ser o n E. Devemos somar osmomentos todos do n E (266.67+275.83-133.34-10=399.16) significa que o n esta desequilibrado em 399.16 kN.m necessrio subtrair -399.16 kN.m edistribuirpelasbarras.Ouseja,omomentode-399.16deversermultiplicadopeloscoeficientesde distribuio: {-S99.16 u.SS = -1S1.72 kN. m-S99.16 u.SS = -1S1.72 kN. m-S99.16 u.S4 = -1SS.71 kN. m

O n passa a estar equilibrado e metade deste valor dever ir para o n correspondente na extremidade oposta da barra.Aseguirfaz-seomesmoparaonF.Oprocessoterminaquandoograudeprecisode0.01.A resoluo apresentada na Figura 52. Figura 52 Nasfigurasseguintessoapresentadososdiagramasdemomentosflectoresedeesforotransverso, respectivamente. 0.330.330.340.330.3320275.83266.67249.17266.670.340.0 0.0122.5-260.67-271.92102.5260.670.0130.34 -266.67-20.0-20.0-133.34-10.0-131.72 -131.72-135.71-65.86-67.86-2.38-0.06814.440.3928.03 28.0328.8714.02-4.62 -4.62-4.76-2.310.77 0.770.790.38-0.13 -0.12-0.13-0.070.02 0.020.030.01-13.13-122.06 -39.42 -112.76152.16135.22178.86117.33 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 37 Figura 53 Figura 54 -20.0178.86117.3339.42152.16 13.14112.77135.22-101140.5-92.5-58.5 -57.0-77.024.547.0