Critérios de paralelismo e perpendicularidade
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Escola dos 2ºe 3ºciclos D. João I da Baixa da Banheira
Critérios de Paralelismo e
Perpendicularidade entre rectas e planos e entre
planos
Trabalho realizado por: Inês Gonçalves nº13, Joana Ferreira nº15, Pedro Ribeiro nº23, Sara Candeias nº24
Ano/Turma: 9ºA
Professor: Francisco Louro
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Ano Lectivo: 2010/2011
Disciplina: Matemática
Índice
Introdução …………………………………………………………….. Página 2
O que é uma recta? ……………………………………………………. Página 3
O que é um plano? ...…………………………………………. ………. Página 5
O que significa paralelismo? ………………………………………….. Página 6
O que significa perpendicularidade? ………….……………………… Página 7
Critérios de paralelismo:
- Entre rectas e planos ….………...…………………………….. Página 8
- Entre planos ……...……………………………………………. Página 9
Critérios de perpendicularidade:
- Entre rectas e planos ..………………………………...……... Página 10
- Entre planos ……..……………………………………………. Página 11
Conclusão ……………………………………………………………... Página 12
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Bibliografia ……………………………………………………………. Página 13
IntroduçãoEste trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de
Matemática, a pedido, do professor Francisco Louro.
Ao realizarmos este trabalho pretendemos enriquecer os nossos conhecimentos matemáticos para que num futuro próximo nos possa vir a ser útil.
A nossa intuição leva-nos, muitas vezes, a afirmar que dois planos são paralelos ou que uma recta é perpendicular a um plano.
Como garantir que a nossa intuição está correcta?
Utilizando critérios de paralelismo e perpendicularidade.
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Rectas
Paralelas(Quando não têm nenhum ponto em
comum, tendo sempre a mesma distância
entre si)
Concorrentes(Quando têm um só ponto em comum)
Complanares(Quando pertencem ao
mesmo plano)
Não Complanares
(Quando não pertencem ao mesmo
plano)
O que é uma recta?Uma recta é um conjunto de pontos todos na mesma
direcção, ou uma linha, que não tem princípio ou fim. É representada ou por uma letra minúscula (neste caso, r), ou por dois dos seus pontos (AB).
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Exemplos:
São paralelas as rectas m e n; perpendiculares as rectas l e m. ->
Podemos observar rectas em praticamente todas as situações do quotidiano:
Em qualquer um dos degraus destas escadas podemos observar rectas, como também o podemos fazer no chão ou até mesmo no corrimão.
Na cozinha, tanto nos armários, como nas
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bancadas, e até nas prateleiras.
No parque infantil, tanto no escorrega, nos baloiços, no caixote do lixo… em tudo, praticamente.
O que é um plano?Um plano é um objecto geométrico infinito a duas
dimensões. Representa-se normalmente por um paralelogramo e identifica-se por uma letra grega ou por três dos seus pontos não colineares.
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Exemplos de planos na vida real:
Numa baliza simples de futebol, podemos observar três planos, onde dois são paralelos.
O que significa paralelismo?Paralelismo é uma noção que indica se dois objectos
(rectas ou planos) estão na mesma direcção, com a mesma distância entre si (em qualquer ponto dos seus pontos), sem nunca se tocarem.
Exemplos de paralelismo na vida real:
- Estes lápis de cor estão colocado de forma a ficarem paralelos uns aos outros (representa rectas paralelas);
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- Nesta vedação, por exemplo, verificamos que todos os barrotes verticais estão paralelos uns aos outros, e que ambas as tábuas horizontais também o estão. (de novo, representa rectas);
- Neste quarto podemos verificar que as paredes são paralelas duas a duas,
estando, neste caso, representadas por cores;
O que significa perpendicularidade?Perpendicularidade é uma noção que indica se dois
objectos (rectas ou planos) fazem um ângulo de 90º entre si.
Duas rectas podem ser perpendiculares, tal como dois planos o podem ser, mas pode uma recta ser perpendicular a um plano? Sim, pode.
Neste caso são duas rectas (s e r) perpendiculares, ou no caso da janela, várias (10 rectas) perpendiculares.
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Dois planos (α e β) perpendiculares; dois livros perpendiculares.
Uma recta perpendicular a um plano; uma vara perpendicular à água.
Critérios de paralelismo
É fácil observar e verificar que duas rectas ou dois planos são paralelos, mas para o justificar é necessário enunciar teoremas a que se chamam critérios de paralelismo (entre rectas e planos, obviamente).
- Entre rectas e planos
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Se existir num plano uma recta paralela a uma recta dada complanar (ou seja, que não está contida nesse plano), a recta e o plano são paralelos.
No caso de uma baliza, acontece isso mesmo, tendo em atenção a recta a, e a recta b que está contida no plano α, o que torna a recta a paralela ao plano α.
- Entre planos
Se duas rectas concorrentes (a e b) de um plano (α) são paralelas a outro plano (β), então os planos são paralelos.
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b
a
bα
A a
b
No caso de uma simples sala de aula podemos verificar que o tecto e o chão (dois planos, portanto, α e β) são paralelos.
Critérios de perpendicularidade
É igualmente fácil observar que duas rectas ou dois planos são perpendiculares, mas, mais uma vez, para o justificar é necessário enunciar os critérios de perpendicularidade (de novo entre rectas e planos, obviamente).
- Entre rectas e planos
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a
b
β
α
t
Se uma recta (r) é perpendicular a duas rectas concorrentes (a e b) de um plano (α), então a recta (r) é perpendicular ao plano.
Considerando a árvore a recta perpendicular (r) às duas rectas concorrentes, esta acaba por ser perpendicular ao plano (chão, representado por α).
- Entre planos
Se num plano (α) existe um recta perpendicular (t) a outro plano (β), então os planos são perpendiculares.
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r
r
abα
Denominando a parede lateral da casa como plano α e a parede frontal como plano β, temos assim dois planos perpendiculares.
Conclusão
Através da realização deste trabalho pudemos compreender uma das bases mais importantes para construção da geometria.
Um critério é uma afirmação que necessita de demonstração para ser considerada verdadeira e, com estes simples conhecimentos aqui explícitos, conseguimos confirmar e provar o paralelismo e a perpendicularidade de objectos, com uma certa facilidade.
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α βα
β
Bibliografia
Para a realização destes trabalhos recorremos às seguintes fontes:
I – Manuais:
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- Neves, Maria Augusta Ferreira; Guerreiro, Luís; Neves, Armando “Matemática”, 2ª Parte 9ºano, 1ª edição, Porto Editora, 2009.
II – Internet:
- http://geomdesc.no.sapo.pt/pag6.htm
- http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm22/representa.htm
- http://www.google.pt
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