Criterios de Divisibilidad - Vorobiov

5/7/2018 Criterios de Divisibilidad - Vorobiov - slidepdf.com

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l a c c t o n e s p o p u l a r e s ;~

d e m a t e m a t l c a s :•.--------: . .. .

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C R I T E R I O S

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U.11. BOPOBlJEB

l1I)r,f3HARJf , l (EJ1HMOCTH

H3.n:A 1'},1JlI>CTBQ «RAYRAj}

~[OCHBJI



LECCIONES POPULARES. DE MATE!o.L~.rL ' lCAS

N. N. VonOBIOV

CR1TElIUOS D :E DIV IS1BILIDA D

SEGTINDA EDIGION AMpLTADA Y MOOII'[l,;ADA

EDI';[:OlllAL .MIH

MOS~U



Traer uetdo del rusopor al Ingell loroJ. JUlio

Pl'imera ediel6n 1915Segunda ,ed.ieifjn 198& ,

Impreso en Ia..!)RSS

© R3Aft ' renl>CTDO tHayPIaa. i980

(C) Tradllcci6nalespafiol. Edltorial Mir. 1984



INDlCE

Prefaeio

10

26

§ ;;. Crltertos de residues equivalentes y divlsibilidad 32·

§ 4. Criterios geneealss

dcresiduos eguivalentes y .de divisihifidnd 49

§ 5. Divlslbtltdad (Je potencies 53.

Demostraciones de Ios teoremas 61

Hesoluc.ionos de los problemas 72

§ 1. Divisibilidad de los nfimeros

§ 2. Divisibilid'ad de sumas y productos



PREFACIO

QUE EL AUTOR ACONSEIA LEER CON SUMA ATENCION

La ac Lu III ensefia nza escolar a e las matem Hi cas sa orienta

fundamentalmentea desarrollar en E l l alumno el pensamien-

to Iuncional, y capacitarlo para operar con objetos matema-

ticos continuos. Los cambios quo se planean en los programasoscolares do esta materia estan encausados en 10. rnisma

direcci6n. AI mismo tiempo, ultimamonte, sa tnvesttgnnnuevos campos de aplicacion do las matematicas: Ia compo-sicion de prograrnns para computadoras, algunos aspectos

do In cibernetica y el ostudto de operaciones, economia

mntematica, lingiiistioa matomatica, etc. El dominic de

estas rarnas do In oiencia, junto can el perfeccionamtentodel aparato elasico, exige 01 desarrollo de Ill. tecnica cornhi-

natorra, el analisis de 1 0 discreto y Ia creaclon de nuevas

abstracciouos fructiferas. Los aspectos enumerados de lasmatemdticas tambien deberan itustrarso en la literatura

de dlvu 19aci6n ci en tifica.

Desde la Iinde a Ill. esposura de un bosque conducen rnu

chos sendsros. Sonsinuosos, se juntan, se separan de nuevoy se cruzan. Pasoando podemos notar su gran cantidad ,

recorrer algunos de e110s y ver como se internan en las

frond as. Si se quiere estudiar seriamente un bosque es nece-sarin seguir sus senderos mientras se puedan distinguir ontre

Ia pinocha seca y las pequefias matas de araadauo, Para

podsr aprovechar los dones del bosque bay que abandonarpOI' complete ]05 caminos trillados y abrirse paso a travefldol enteolazamtento do ramas esptnosas.

El presente Iol leto puede conslderarse como descri pcionde uno de 108 posibles paseos por In linde de las maternattcos

contempnninens. La exposicion de los datos ha8ico~, rofo-rentes a los critcrios de divisihilidad, nos obliga a inc-lui I'

en este foIleto fjlgunas cuestioncs hastan te abstractns 4 ] o lns

rnaterruiticns discretns. A e~<;I.aR pertonoceu, nuto todo, Insafil'marloncs (1(\ In I.em'in elemental do los mimoros, ngru-

pndas en torno H I tcoroma Iundamontal de In ari.tIlIl)l:ir.1l ' : ? :11analisis de 1" dcsc.omposici611 canonica do un mimoro n,lLIHc'lL

en Iactores simples. Luego, la propia divistbilldad de lOA

mimeros se examina como una relacion definida en e1 coniun-



7

to de 1 0 mimeros enteros, es decir, como ln realtzacion dc-U110 Hoc,ibn bastunte general y ahstr8Gtl1. "Pot ultimo, 105eriterios de divisibihdad sa tratan aqul cumo algoritmoa quoLi'ansfnntin II cadu ~,rfrilOil respuesta n la. jnLel"t.ogaeJon ~sodivide 0 no PIlI' ~I: Jrumer9 dado? El autor considerd litHdestacar enLre los \;rH~rios 4e divi:::;iWJf,lail los «critenios

de cquirresldl1aJiilad 0. residnoa equl'Vnlcnlel1i) .quo transfur-

irian los mirneros en re~iduof\. a l tlividirlus poi' un nltmcTOdado. .

Con objeto de acontuan Ias variadas relaciones mutuasentre hachos matematisos sueltos y las postbitldades de di-

Ierontos enfoques de 'Ill misrno tema, algunas alirruaciouesS o . estahlecen de dos maneras diferentes.'

El libro i!sta destinado a los escolares de los gra.do:isuperiores afioion ados .a las maternatlcas y (a oxoepcion de

algunas menclones de 13 io-rmula del hinomlo) no exige nin-

gun conocimien to previo, excepto capacidad ],)ilr1ieJc(',1.1Jsrsencilfas transfnrrnaciones iden1..icos. POtu 13 estructuea16.gica del matorial .~. bastante compleja, pol' Jo que 18asimilacion del TrU.smo en todos susdetaljos exige muchnatencion y paciencia.

Recomendamos al lector el siguiente plan do estud iodel Iihro,

En 18 primcra lect.UTIl puedo Ji mitarse solarnen to n1

tsxto b'asic'o §§ 1-4sin resolver los problemas ( 1 1 oxcepcionde los N'sJ\:'2 3'1, 34, 36, 45, 47, 119 "y f lO), ESlo da. 'a U.II

conoeimiento descrlp tivo genornl de 1 0 J~I·'t[c.riil. Como 1 1 1m ayorl a do In gen toe sin cxperienc ta en mi.11.emtd.icaS CSt.{,

cunveacida de In exactitud del toorerna de de:.s:r.oUlposi'Cionun ivoca de 'un numero nntural en Jaetorcs primes (consi-

l~eI'undo1() PQr 10 visto , como 11n :UiOIIH~), ('Hil puede entun-

del' Tns teoremas 9-13 como sus consecucncias.

En la segilpd", lsctnra es neoesnrfn tl'alar de demostrarpvr sl rnismo tdflo.~ Ins teorem as ell ol Ql'den en que. t'e fH'(\C

sentan. Para que ol Iector no ceda al\m~F\i(ldo Irer.uontcmcnte< I Ia tCl1LI:l(". iOn (l~lIti liz<IL' Ins UCHllJstrnciOl1('s 1'H lW fb :.:-; de1 (IS teorenms, \(HI fifo 1.\lns fueron inscrtall"a~ PI1 lUI i J pHr l u r l 0

ospeeral. Una ox.et'.pci6n :'v 'lem a tI~.oI' 11l <It'TI1n~ll'l'Icl{)n d.d~eo:rGnl£l. 7 t l1aIllll~li\a suevir i i C ; ' . IlhljJ,3S61J quo pr9pUfc. 1l1(!.t,Lol'ya, desde 18 ·Vrimcrf.l lecturu, 81 nlvel necesarto de rigurosi-

(hH~T



8,

En lasagunda Iecturaconviene estudiar e1 § 5 y resolver

tambten los problemas dei texto hasieo.P or AI 'Uma, en la tOrcera. Iectura S8 estudhl; 10 q-ue ,est ti.

on gaHul'n.o. y los problemas que contiene,Et'que desco profnndizl'i.l' susconoedmientosen et campo

de )H t'eor:fa. de I,os nfimeros' deheri.'i recurrir al curse ciasicodalacademtco 1. 'M. Viilogradov «Fl1ndamentosde la l.eor!a

de los nUl):lerOEl:l> (Elli torfal Mil'.', 19.77) . .Se recomianda 8st1l(1111.r la teozia abstracja de las r~la-

eiones en un conjnnto y las sueosfvas cuestiones ':';'fuculadasael por el Iibro ~_LecCiQnesd-eaJgebl'a general» de A. G. Ku ..rosh (Ea. Natika, Hl73} 0 Ia «Teorfa d o e , las estrueturas» deG. Birkhoh (IL, 1951).

Pot fin, e1 fo lleto «Alg.orrtmo$ Y l'eso,lucio-nesde proD-

blemas con cemputadorasa.de B. A" 'l\~Bjt~ri-hrot (Fism,atguiz,196-0) contrene una eXl!/fcllci6nma~ detaUad:a ' Y s-isternatfcado In. n oc,i .6na1.go:ri tm.iga. , y en r < I . . monograff a -b .a __ sieaToo ria

de 108 algonitmos» (Trabajo.s matsmatreos del TnstitutoSteklov do la Ac.adcmi,a. .de Cienclas de Ip: URSS1 t. 42,19!)4) ,de A, A. Markoy lral lamos una Bxpnsici6n rigtlrosa

del tem<;l.La segun dJ1Gld fei6n se d ifetnnc is de laprim(>xa sola-

.mente pot algunos mejoramiontcs d e redaeclon. E n autertlgrad~ce al pro"feqor Grolla (RDA) por Ia ayuda prestada eneste , H 1 3 I J J 1 · t < J ' . _

N . N. Vdrobi01J



i)REFAC1Q A LA PRESBWl'E EDTCIQN

Enesta edicion -se ~xplic~ con mas detallo que eli I n

arrterior Ia escncia a)goritmiea de los critorios. a E l oqui-

rresid unIidud y.d ivisibilidud y se Incluye, ademas, uri examende eIlos en sis:tnnUl1:l n umedcosar1Ji trarios,

Vyri~L1ailo 10'19

N.N. VOTot l l : ( ) ,U



§ 1. l>lVISIBILlDAD DE LOS NOMEROS

1. La suma, d iferencta r producto do dos mimeros enternsl'esnHan siemprc cntoros. Es 10 que se SLlt,I{l Hamata vo.('e!'\

('onjulItQccrrl1.do· de nUt)lor:()~ en teres, refid6ud.ose a lascperac ionss de adicion rosta y muJ l.ip.lioacion.

Pero referldo n In op()rtll~i6n de division, eete conjuutodeja de ser cerrado: hahlando en general. 01 cociento dll h\IIiYisi6I1 de UT) ell Lora por 0 Ll'O puede 110 ser en tel'O,

POI eso , a J . estud iar JII.~ -pnt-l.icu laridades de Ia di. ~8i6nde los cntcros una de IQ.t\prirneras cuesf.iouos que se pre-

serlta tra ta de : : ; 1 . cs flle,Lillie 0 110 esta nperuciou para dog

numeros dndns, as decir , de 511 dtcisibilidad, AI oxatninarlas utras oporaclones IlrjLmCLkafi con mnneros 1,mI,OI'O$, ovt-den temen to, ta I prohlema no surge.

En ad elan 1.0 ('on~iael'(l rernos couocl das las Pl'O p ted ad ssfllnda men l',a lc i':\ tic la s opernc iouos mi Lmeticfls con Ilumoros

("nieTO.'!, 3:,s'l como In~ cleruon ta les dt> las igualu ados y des-ignaldades. Al oxpresar «rnimero» vamns a entender siempre,

iii no se dice ]0 contrazio , quo es entero .Como es linhitual , lo~ rnimeros enteros 110 nega t. j V08:

Uf1, 2, ' , , $e l lamaran naturales. RQfiri{ind.ollos a tndos

ell os em j) Isa ramos C 1 torm ill 0 ooniuni« de todos los niimeros

naturales.1JE1~)NIlON, It.I IHlrn.eroo, es d iv ls ib t e por el b (0 10 qlle

OS lo mlsmo , /) dtvide n a) si (>xi~te 1111 numoro c tal. quea : =bc .

l~f\le hecho !'.e citmomiull dilJisibilld(ui. del mimero a. pOl'cl b y so anot.a asi u; b,

De i> I .n camos qne 11 \ e~"eritllra a : b n.o ~ignifi(',.a nn a ope-

rucio« concrctu qlll' :'ill tldll'.nl (lred,lIar "Oil a y b; aino deter-rniuadu (//trmacion quo s~ roficro II cllos, Scglm los valuresnu m ericos que L01Den I~ y b , Ia o.H1'Jlwc.!on a; b puedc SCl:

( 'IIW IIl 0 110 , AflL POI' ej(~mp.lo! II; 2 10 ' E~::>y 4 ! i: l no,Parll dilucldar si In nfinnaci6n a : b es ciertao nn,

C~ dC('·[I'. f}llN\ ilclilr:nr I I I aivif'.ibilinJ1~ ilnI numoro a flor 'el

h , (~\i, ..Ieu muchos y vari ados proced imien Los. Uno do el lns

ronsi-rto (~II II ivid ii' d i1'('C1al.Ilt-llte IL 1)1)1'h. Pert! a men IItlo ('~"'.l()

rf""mll}1 ril'II,J:i.'ti:,do lilrgn y faLig;usn 'Y , lI:iI'II rnl mun l.(', surge

(;\1deseo de cosnprobat 1 < 1 autenticirfud de (a divlsihllid •.d quenos in Lere$(\ iiin er~(:.~'iO:t ]1\ 1 I iv i~i6n m iSrI18, Tam poco est~



de m6s la siguiento considerscton: p6r ahora nos interesaunicarnente ei hecho en si de la aivisibiltdatl dol numero apar e1 b ; al efectuur Ia division, sabrcmos Lnmhien su co-dante y cesiduo (S I la division no .resulta ex acta ) rutn quecarentes de todo valor para nosotros, yu que (lit cl mnmsnto

dado s610 nos in.tarasa saber si el resid tI() It0 la di\~sioil

va a setiguaI O.JlO a cero. Par cousiguion to. hay mo ti.vospara suponer quo efecfuaudo Is di visiou nosotros 11tHn()1S

malgastado una parte de rnresbro trabajo (v, por 10 visto,no pequefiaj en obtener «desperdicios de produoeicn». Es doesperar procedtmieutos de aclaraclonde In di'lisibilidail m asdlrectos y sconomtcos quo Ia «burdar d ivisicn , capaces doestablecer e1 heoho de la divisibi.hdad por una via maii 'ccrta, sin dejal' desechos tan ahnndanues. Estas ~.!irerIUlzas

efecti vaments se justifica n, yfl quo tales procedimicntosexistan. Ellos se Ilarnan critertos dedivisibiUdad.

Indud ablemente, ol lector conoce algunos de ellos, La.

finalidad de este Ilbro es examiner los difet'entes cr iteriosde divisihilirlarl Iun damen ta lmcnte on el aspocto basico.

La esencia de cualquier criteria de divfsibiliilnd pOl'

un ntimero dado b es quo, por medio de 81, la cuestion de 1<1divisfbf lidad de ella lquter ruirnero a -par b Be Tedllce 1\ In

dlvlsihilidud pOl' / J do cierto nurnero rnenur de a. (No osd i f i c i l Vel' que I a c o m p r o b a c i o n de \ a , d t v l s l b i h d n d , a p l l -

cando 1 0 . divisi6n cormin, tnmbien so basn on osts compren-

sion.)De tal modo, el c.riterio do d ivislb ilid ad es un objE"t'o

ma tern a lteo de cal',k~cc mil y d r f i Inc H do, aun qlto no Silltoa 18 vista. Esto no OS'I t i f6rmula, ni t f loremA, ni definic,Ioll,sino cierto proceso abs{)lnl;imento dol ru.ismo lipo como 01de .la rnu ltiphcacion «en co lumna» 0, digfnnU!1\, (\1 de ca leu-lar uno tras otro los ll:hminos do alg\lHIt pJ'Ogretlion ~'I'litm(.-tloa,

La nocnin de criterio do di visi bll'idad Rera rl'm~iSllflilen el parrafo siguiente.2. En la rlefl.llici Oil d o Ja d Lvi:-.i hiltdnd d c los n (ITTIerOS

ItO so (lice n atln so lIro 105 di forcn l.I'~ vu Iorcs qll~} plli.'cio teuor

01 cocien te nl ilivirlir {t pnr b . AdDJ:l'1Il0:'l l'l'tll l 'II~:-;l.iO!l

has ta , 01 fin IH .Luf, plU :1l q 11(1 ell n (1o 11111f.! .110 l . ( , 1'I1.![l mo,,: ; q u C '

rogresar a ella.Sea

a =e (1.1)



12

y, al mismo tiempo,

a m:::: bc1•

De ul:I'L a'Stgua lda des oh tenemo s que

be =s belt

o que

b (c - Cl) = .

Si para 13:;1;0 G<l,SO b = 1 = 0, entonces c - c.. =0, 0 sea, C ==], Pf;\!'O si b =, entonces, svidentemente, tambiena =0 y In Igualdad (1.1) se cumpls para cualquier c,

De tal modo, por cera as divisible solamente cero, siendo0 1 cociento de tal division indeterminado. Procisamen toso H(me preson te ,esto 81 hahlar sohre Ia Imposibflidad de

diviilir por cero , Pero siel dlvisru; difiere de ceno y Ia divi-sion 'L"ieJ1eIugar, ontonees 01 cocien te ttene un 8610 valnr

completamente det.erminado,Hahlando de Ja division, siempre supondremos que el

divisor os distinto de cero.Fijemos algunas propledadea elernontales de 1 1 1 divisibi-

lidad.

'fEonEM,A 1. a; a.

Esta propiedad sa Ilnma rejlexiua;

TEORBMA a, Si a: b y b !c, entorrces a: c.

Esta propiedad S6 Ilama tra nsiti ua ,TEOREMIr. 8. St a ; b y b : a.1 entonces, 0 b ten. a =, a bien

a see -b (propiedad asimetrlea do la divisihilido.d),TF..oRF"MA ,. St a; by, b I> I a. I. entonces a,=O.Corolario . St a, } j y a'* 0, entonces ! a I > - I b I .."j.EOUEMAI/.Pa.ra que a I b es necesario y 'sufictcnie que

I a P 1b I .Basandosc en este toorcmu, basta Ilm itarse OIl adelanto

R examiner el C < l l . S O cuando el dhrisor as un mimero posittvo.Do igunJ modo, ]8 dtvlsihilldad de mimeros enteros cuales-quieru S E > . reduce a Ladivi::;ihilidud de nfimeros 1 1 0 negatives.

TEOnl?,MA o, Se u,! h, a2: b , ••. ] a.; : b entonces I

( t l l + 1 2 2 + ... + an) , h.

Coralarto . Si Ia suma de dos .nfimeros y uno de los suman-dog son divisibles por un n6.mero b, entonces, el otro suman-

do tam:bi6n 10 sera.



.i3.

No sa debe considarar que todos ostos teorernas son evi-

dentes Y AO hall meuester de nlnguna demostraciou purti-cular. La cuestion Incluso no astriba aqul en que en lasmatematicas cualquisr aflrmacioa doba ser demestrada, conexclusion del axtorna y las dofinic:iones. Las demoatracionesde estos hachos (par ejemplo, que cualquisa mimero es divi-sible pOl' sl mismo) son imprescindibles por prrncipto, dadoque ellas no pueden ser obteaidas unicamen te de 10. defini-cion de Ia MVisibilidad sino que se van en Ia necesidad

de smplear Ias propiedades de los mismos numeros.EI aigulenle ejomplo 1l0B ayudatil. u comprender este mas circun-

stancia dam en to .Eviden.temente, Ia suma, Ia diferencia y el produoto de numeros

pares son alempre pares. Al mismo tlempo, la 1livislon deun numeropar ]lor otro .no slsmpre es Iaotlble " ! I , de serlo, el coclonte no result aain falta parvPor eso lntrOdllc~mos Ia nocion de divisihili.dad de mime-roil pares.

DEFINIClON. El mimero par a es ,Uvuible de ItIl modo par POl' el

n6.mero par b sl exi ate tal mimero par c que a = 'be, .Bvidentemente .• ol teorema i no as clerto rpara Ia divisihil idadpar, dado que, por ejemplo, no existe un numero 'par e tal, que a = €te.

A Iaa cuestlonea relaoionadas con Ia dlvisibilidad par de numerospates volveremos arinvarlas -vecee. EI ejemplo anterior rnuestra quese pueden Grear diferentes teorias de d~visibiHdad con distintas pro-piedad!?!! y que les. teorelllil:s,. eorrectos' pura algnnas ile pst-as tecrias.pueden, resulta-r Incorrectos para otms.

Problemas. Demostran las siguientes afirmaCoiones:

1.0: a.2. a: 1.S. Si 1 : a , ontoncesa .= 1.4. Cualquiera que sea a 7 '= 0 existe un mimoro b , disrlnto

de a, tal que b: a .5. Cualquiera que sea a, existe un mimero b tal I que

de b : eye: a se. deduce que 0 bien c = b , 0 bien C " =.

6. Dem ostflll: los teorem as an:filogos a los tsoremes 2, 3. 4 Y 5 para

Ia divIsibllid.ad par.7. CODstruir tal teoda de divlsibilidad en In que los teoremas 1,S114 . resulten correctos '! lOB 2 - y 6, no.

S. Ya despues de tenet conocimiento superficial acercade los hechos concreto!'! de Ia d.ivialbiltdad , salta n Ia vistaIn slgulente circunstancia. practicamente, Ia di visibilidadde los numeroa no esta Iigada a su magnitud, POI' un lado ,hay pequeiiascUras que' son divlslbles por una can.tidadrelnttvamente grande de .nfimeros, POI' ejempLo. 12 es divi-



14

slble 1)(/1'1, 2, 3, 4, o y 12; 60 tiona 12 divisores. A tales

cifras. ricas 011 d ivixores, se ]05 pucdon oponer numeroa Inti}"gl'{lIH]OS C()l1 unn cantidud mluimu de dtvlsores, 2 (do acuerdoII J l(!t)J'illllll ' 1 Y a l probloma 2, cad a .Dumero distinto d e Ialin idad es div isi.blc s1.([\1era pOI: d os numeros dife1'8ntes).Aunquo en roalidad se conooan algunas Ioyes quo vinculanlas propiedades de J i ' 1 ' d ivisibi lidad de los mimaros con SUs

valores. de \.0005 modos, ellas tianon un c.aracter tan intrin-cado 'l confuse que liquf no Ias vamos a tratar.

4.T:tllto mas Interesante resulta ol hecho de que laII I isma divfsibifidnd permrte estahlecer e n tra los mirnerostill delta orden , distinto del -usua] segUn Ia magnitud, peroque t~iene con el ultimo mueho de comtin,

En efecto, retlexionamos, que sentido exacto se exponeon las palabras sobre Ia posibilidad de orclenar los nfune:rosnaturales por sus magnitudes. Como no as dHien veri bajol'stN posi bilid ad se en tiel'lde quepa1'8 alguuas parejAs do

numeros a y b tiene lugar la relaci6n «mayor 0 igual»:a>b,

10 que :;igniflca que 1 1 1 diferencia a - b no es negative (esdecir, deheru oxist ir lin numero natural c tal, que a == b + c). IPero si tamhien el fenomeno do I I I divisibi lldadcunslste on que cierras parejas de Du:rpero~a y b rcspondenIt alguna condlclen complstamente determinada (precise-

men to, a Ia exiateucia de un entero c, tal que a =e) IAsl , las relaclones do d ivisi bll idad y «mayor 0 Igual» sonnociones de una misma naturaleza y es P0i: eso que podemoshahlnr do sus propied ades comunes 0, a] reves, contraponer-

las una a . otra.Ell particular, 10. relacien de «mayor 0 igual» entre dos

mimeros naturales, Jo mlsmo que Ia de diVisibilidad, esc.iOl'tll. enunctacien sobre estos nlimeros y puede ser Justa

(por ejemplo, 5:;> 3) 0 no (par ej.emplo,a >5).Sefitll'anlos en segllidSl quecon la Telaei6n de divisibi1i-dod tiene mas propiedades ccmunes Ia relacion de «mayoro igual» quo Ia de emayor». Esto esta Iigado a quo la relacionde «mayor 0 igual», semejante a la de di visi hihdad , es re-Jlexiva (ell efec.lo, In c.orrelad6n (1 :;? a es cierta p1lE3. .cual-quiet lL ) Y 13 rclecicn de «mayor», :00 ( 1 : 1 desigualdad a >aIIlJpc,a Liano lugar). Justamente por eso., Como relaci6n decrden entre los numnros naturales, aqui se examlna Ia



15

de «mnyoro iguab> yuo In <unHyfll')) lI\1e IlHflWf'I':ia nuls shnplc

y natural.

S,. La l'I',hIC,ioli ~ L1l.'ni' his Si!;ll ii;IILei; 1)l'upil'dutiC5, fad lcs de: corn-limbnr';

1" a ; ; p . (l (es 1'(' r J r . ' x IVII) ,

2 '" Si a ;;;:;,; y b ~ D, entcncos a = ( e e Mim(,Lr iof l ) .: : 1 0 Si a. ~ b ~r II ~ c ; cntonces a;;;t ; I; (c 5 t.rllJl~il.ivlll,It " En wlln sucesirin de n(nllilrO!i naturales

a1 ;;;. (til ~ a ,1 ~ , "':;;.- all ;;;. - • '.

\ :,uoY$ terminus di£'it'rlHl uno de etr», l'xisLirii (,I {IUnli'fO rIlUQIo. Estu:PI'Ol)iNlad de la reluclon .'so lImll;) I!}glm~l~ '(eel'S ile u_rdeJlac.ioll U ordena-mlento compleio del 'NIDJ.llnl<'I de ll\IIDl!'rOg naturales.

La propiedadrde 'ordcnucion complete tien{' unu fonnulueiollbastante cemplicada y un tanto artificial. . N , Q obstante ... evela rllsg()Sde extraordlnarin importancla en 1<1ccnstruccicn del conjunto tit.'numeros naturales urdenndos por 10.l'o'lo.ci6n~, D . ( ' aqneili. 5 1 ; ! deducenmucbas otras proptedadcs til! esta ro'lacion , A clenuls, segi"m veremos,precisamen t ( > en aqmHl f l ' <,,,w in b asa dos lo s l ' : lzt)nA.m it'n I.,)S « induc tl v os~tan empleados en dlstlntos problemas xn~ltemiilkos.

Para el ompleo pmveehoso de esta propledad sefialnmos 10 slgui'-ente: existo tal numero ff, quo de u;;;;' I, se dorlnco que a = (aquf

a y b son nUmeros naturales).En efecto , si tal.numero no existleru, entoneos, nosntros.podrjamos

oncontrar para cada un tal an+-t qllea" -:;;;,:11,,+1 Y an ~'«,,+I' Comenzando con eel arhih'ario 1 i1 11ht.end.ria rno~ una sllc( 'sion

at ;;,:.t!! :;;:: dR';;;' , .• :;;;;,-Un ;;,: tl" +l~.. "

de nunca aeabar. Perc su exlstenclu rorrtruria III "fopieda(\ dr! orde-namieato complejo del eonfnnto de ntlmoros naturales.

Par consiguleute, el u'limero a se iia la .do re almen tc exlste y 51) luunnprimero 0 mfnimo (ovldentemcnte es el cero}, Sefialernos aqu] mismoqua no hemos establecldo la nnicirlad d . l , 1 n u l J l C T O m.lnirno. L!) llilrNno.~luego en forma lndirecta. _

5° Cualquicra que sea e],numeroe existo un.ntimero b ilislinto dl' a,para e1 cual b :;;;;.4.

Rsta propiedad del conjunto de losnUnlc1'!,s naturales 5 1 : ' llama detl im-itacion, en ~I sentldo de III rolncioll :; ;; '.

60 cup;lquiel'<I ( lue sea 0 1 num ere a, n ~xcopci6rL Ill? m i nimn, uxis t( 'uno b, que a ~ b. ,a = F b ,y para cualquler -ntuuero 1:, dl.' a ;;;': c ~ b

~f! ues-prclHle que 0 hteu C= 4, 0 bil'lI C = , Esta urh:macitm f O l ' l n a IlIe\'lIda 1 1 un leT Jgull.jl' substanclal signifiea quo elida m irnero natural,a ~x:ce,pci6ntid cera, tll'neolro natural Inmodlato anteelur. (Eslo lam,hionpuede SCI' Iormulado asf: ent.r() Lullos los mimoros menores qHl'I'1

dndo CKistc uno que es 1 ) \ , mas grande.)7° 0 bien a ;;;. b. 0 hten b;;':'-·u. I~sla proptcdad de Ja .re lncinn 5('

'llama su dlcc/amra_ En lTL'ltcmaLic.a, ton este terminI"! comunmeute 51'

c~presliia reali?:acion obligada de una ( l I : las dos posihilidades. Est<lpalabra I.'S de origen griego y signiIica oivisi6n ( 111 (}.)S partes.

Destaquernos que 1Q-7" son proptsdadoe de In.prapla relncMn ell

eleonjunto de to dos los m im eros natt1rales y no las propip.dadf. 's do I1n05



16

u ()~J:(HI au meros lmlm:nu( ls por esta l'elaci6n. ,1;>01' t'SO llll(ldl1resul t llr quo

para (l\.rn l'eillcibn I,'ualqlliera, quo una numoros on par('jas no pOl' elvalor sino por algon moti vo distinto, algunus de las afu-rnaclonestQ ~ T' pueden no resultae ciertaa,

Problema 8. Basdndoae tinicameute en las propledades 1"_7" deIa rulaci6n ~ yde ntnguna manera en 13.6 de los misrnos mimeros y las(' P(!I'llCiOD(>S COIl ('U().'):

a) domostrar la unicidad del numero minimo ,b) dernostrar In unicidad del mimorc inmadinto antorrer,c) formulae .la ,111finiciondel numero Inmcdiato posterior al uu-

mero dado a (es decir, del mimero a + i) y demoatrar 5 11 cxistoncia y

unicidadProblema O. Vel'Hicut (\uBIl.'s do las afirmncioQl.ls l.g-7° siguen I'D

vigor para la relncioll de ~mayor» (».o . La [usteza de las pro precludes de Ia relaci6n;a. (como tambien,

por otra parte, de oualquler otra relacion) puede ser estahlecida de dosmaneras. En primer lugar, pcdemos aprovechar lus cual id ades de unos

U otros numeros 0 las part.icularldades conocidas de La eatruotura delconiunto de todos los mimeroa naturales. Asi Iueron verlficadaa pornosotrna, preclsamente, Ias propiedades 1°_7°. En segundo Iugar, yaconvencldos de Ia.jusl.ez« de 1"-7", podemos dejar ilc lade que la rala-cion;;;:. uno numerus en parejas y deducir Ias siguientes propiudades do

eata eelackin unica mente de SUs propledudos 1"-7°. Asi fueron demostra-dus por nose tros In existencia del numero minimo y las afirmacionestid problema 8.

EI segundo eil£()qllC. do III cll('sLi6n es muy empleudo en las rna tema-ucas contemporaneas y Ileva 01nombre de aatomdtteo: Con el se deter-minan varies asiianuu: (en nuostro caso, las aflrmsciones 1"_7°) que

reflejan las prinoipales propledudes de los 0bjetos estudlarlns y no estansuietos a demostracian, y de eUos, por medio de Is logica pura. sin reoL',urrir pOl' sogunda vez a las propiedades do los obJeto.s estudladoa, 80deducen to das las restantes aJirmll clenes Ilamadaszecremas.

Puede ser que a algunos de los lectures 1"1examen de las propiedadesde Ins relacioues sin los objetos enlnzades por ollas (por cjernplo , losnumeres) las parezca alcenzar alturas de In abstraccton matermiticncompletamcnte inneccsartas en Is practica. Por ('ate mottvo es neco-serto hacer doe ubscrveclcnes.

Enprjml'r lugur , desde el punta de vista de Ias matemaucas OOD-

ternporaneas todos los raznnamientos efectuados aqui no son en abso-lute «particularmcnte ahstractose. Es m a s . en nuestroa dins Ias mate-maticas se ven ohllgadas a exarn inar slmultancameute rnuchas re'la-

ctones, e tnoluso unir (~ parelas de relaclones distintas COil relaclones

nuevas (por dedd!> asi, do «segundo grado»).EI material oxpuosto basta ahora permito Ilustrar Ia necrdn derelaci6n entre relaclones con un ejemplo.

Sea o:.~, ... un determinudo conjunto de relacicnes que vinculannumeros naturales. ESlo signnicu. que para cualquier paroja de numerosa y b y una l'c!aci6n arbitrarla ' Y de nuestro conjunto, sabemes ai la parejaa, b (1sta onlazada 0 no por ]8 r~}(Ici6n y. De estarlo esueiblrernos ~ 'V~ .

Vamos a decir q-ue In reiaclOn c t os Ittfis [uerte que la ~, y ascrtbira : = > ~si cual quier 'pareja de nfimeros, Iigada por la relacion ~. resultaJigada tamhi6n por la ct, ('8decir, sl de ctflb sigue'aa:b.



17

A,,-l,po e o jt'ffillio dt,,,lgllu DUO, la rei hC16" (J o lu iii v lsi bihdu rl pa r: ' , ' 1

por niediu de p; P Qt!-l'UW S C 'SIT 10 ir :, ~ p, Luego, (!~ l'v h l{ " lltc qU !!~ :=;

:::;>,;;"">. £\1 HIisruo th"lIl~l(l', eu ills' e(mjuD'ws' 1( ' uijltfl't'(IBU1j,ltlTn le s ~islep-

r-elaciolil's tllml>l~n 'lH11,ur,lit::" con TeSpl'ct~ \1 Ins c , l l a i ! ! , ' ! ; no sc l")\lt'!le ,aEir-mw :'q~ t\e nna es 1 1 1 0 , S Jill'l'j:(' '0 J'nasde,l)U q,ll{' ( ,lira , J ..:[ lI,O [ \e "lS i si para dos

l lu-meros a . : t b triltur(lli.'.'!I. por ejemplo, SUllO!ll'IO()S I}Ut' II /~ , l ! y qlle. \a,HUIl la clfra, en In Hol.,.rciOn decunnl ~U- a . , ell Ulay(:'r (jill' 1 . 1 . . 1 1 . H l D i a deb, entonces III /'" --::;,~. Ili;;;a : ;:::l >~.

Olaro qlle PW= I ) l'jlel'lll' libr~~mlmtG IJf.Jl 1I0l'·loW.!S \1m COlli p}CJ<u>comolas ruhiclories CIHl'i!' rell.lt '·ioncs I.'S inlli)'lQI'us!lhll ' una J,IJ'liclka esp()ciai.

Eel segundo lUg;IC, lull'S ·l 'lI7.0numj{'l l tos 'C In·lilBllutm mns abstrue-tos, so eornlcuzan a I?IlCQII\.r'.jf ~~ildil vez I .,'c.nmus y .nne h'()e\l,~riMl' l euIasapliclI!liom's dl' J ' 1 1 ' t llul\Nnalic!1.s· b . i n . l ·r ,·(Hl<im\<l . bio!uli1a, J1l1gii~slkay al arte ll)i1itHT pl,'f!gra~iadilmp.ntl:', l'~plli'adones m:J,~ de I :alla rlus$0 bre 1.'51.0 nos, a\(tj'll'iall ,lwnasiad(l do nlte~;;;tr0 lema I'Ti noipul,

7. La posibi litlod t 1 0 emplear 01 m eLqclo .d.e fnducd6ncompleta (llemudn tamhien de tnduccion perjecta 0 mate-ntiiti,.t;a) esta est re:c .11[ IllW:U ( ,0 Jig:.on.ll a In otdenac.iOn de! con-

[unto do nurnoros naturales pur rnedio de Ia relacidu : ; > .

H a h itua lm en La esto .m6t od o sa em plea dol af4igH [ i3n- tomancra .Sea A ( 1 2 ) \UlllIl'f1l'mnci6n concern ion to a l uu m ere n.n1lmalo.rbitl'l.uio n. Esl. ( ) :;lglJlllcaquol de heche, (fJJGlXfl.D~OS <',,<>11 10.secie iufiLlitn de nfirmaciones

A (0), il (!l), .•. ,A (~1), ...

sobre c u d a uno dUolos J1UIDerOS 11:1 LW'l11os. S(lp.(jlt_g·<.ltn9S gnua) lit afirmacf6u A :0) ~S~{)t'l'Qcla <(lbUSt~ de in indue-

ci6]J}~));b) do ja co#,}'crci6ri de in a~iJ.'m'UC.i6n A (II) se d£'S[lnmuu

' 1 < 1 dcJa afirmaclon A (n + i) «(trDllsic.i611 ·in!lllte~l,;a.»·l.EI princlpio a·e induce ion matematicn ufirDla qua en las

h~p6tasIs a) y 1)), .4 ( f~) es cortee,La pam Qua lquter IlIlml\fO

nntural n.Esh) prlnc:ilJio 00 es lITl11uJirJl'u.Hliull HI 1 0 1 '( l l I 1 1 1 " l I l , · • . slill! !jUI' pUN!1

Sl'l' deduej(lc) ( 1 £ , las llt()llil'<lailes '1°_7" ,J.J (;(lI)jllnli, lie' runncrns nutu-

1'~1{>s:rdeDil l los pm' [ ,a ri>ltldtin ~.

En efe-no, supougnmos q\lQ lascondivionoe ; n Y1» dd f'rll~~,il,io Ill'iniluet>ioll..pam .l u (lfjrmlu'lon A (Ii) se CJ1Hl1li1l:!1, ]}('l'O I" ~'()J;id(lSi6~ rle~sk .pt.iriciP:io lit} ll(-!l(> [ugar, L() ( t ' I ( i .mo. ~ign;tic;H 1\11(, dcbcn oxistirI.(llcs rrumeros nt , paril Ios cuales 1,1",fi~m'H;Wl't 'A { I I < I Ill' e.s j\J~lil, - t5P<1trlluno. (Ie ellos, ::it pnra lodns los n <:: tn1II ilfil'Olat,JI)H·A ( 1 1 - 1 C''; JII81~Len"tonces, m] us 01 tnl"n.,r c\() In'S ninnnros r~ll'V jo s niall'S A ( I I " ' un tien!!

lj li ' tecul'ul.emCnl( ' . l \c.m·Q lmsQ U( ' una imlucci6n: salorna lu nl 'irmutiiin It (1). F:\'iilCJl!A!l11('nl(" 1"St.Udirol 'Pni' il~o es. esen-cia!. La impo.:r~a.nn.'( :5 que. di,,·It<'1hnse c"n~·l;:rUe al pdnu:tl" d4'los, no.-me l'O ::; e xam ina llt .." . j1 o~ r noso tr os,

2-0131\'1



t S

Lugar. PercSl DO

10 es, entonces d(!beracrist..il'

unma

<mltal,

queA (mil) sea inclort«.Ell c() .n() . lusion, uosotros Ilegnmoe n 10 , !lucesio!\ de Tlumeroe Ilife-

rentes

rUt ?m~:;;;:..-•• ;;,:..lI'r ~ ••• " (1,2,

para cada uno de los euales A (In) no ij<lDo.]ugar: Por la 4° condicicn

d!? ordeumuienlo 'il,.l.ll.pleio ('1 Ultimo term:ino. doIa suceslen (1 .2) de-b e r a ser T i t , ' , EvidI!II'Lcm~nte, 11~res 01 menor de f.o;do~ lus.numerqspara108 cualcs A (ri) no es cierta,

PO tcuanto

A (0),us ctorta

PU1 'condiclon,

rr!r

* ' 0;Yexiste e1 nu-mere 1 1 1 . . .. .inmediato anterior a ~ (en realtdad es e1 m ;.. - 1). Como

m~ '~~I~f, Ia !l.fitin~ciQ.n.A (m~) dobed S f ! . r ci(,l't~.,. Pere ent.?nc~5, por.1~condl«16n h) del prmC:~l:IQ d,e luJucdoo. ma.tcrnA~ICf~ ta:rol,lIen 10 debel'aser la.lIfirlDllcton.l1 (mr + 1r , es declr A (mr), Ucgando a una contra-dicci6n. -Ella indrea que no tw y mhneros m paru los CTH.lW3.A (m ) not IlV l( !rll h lg 111: (e s 'rL e.c ir, n o fUel'n t1icrta)

Hacemos 1 0 . s iguiall too bsar¥aCi6n. Los l'n~onall"!jentos cru.e aca-bamos de eiectullr no BC dehon eonsldecar ni aemostraci6n, .nirunda-mento uelpl'illcipio da Jnducclon. Enos solamente indican que unaafinIlaeiQn.lI1..8teni~Uca (del melo!Io dl;l induceton) puede set" ddlucida

de otra'~ (de las prcpredndes de L a :rel&~i6n;;i)" Estl;l8 ruismas m,QPlcdtl-des han side empleadas por nosotros .cOmo axicmas, pOt 10 eual no fne-tort demostrades sino !!olanuml;o·'Ye'rifkudas. Cualquier Intento ]lara. de-mostrarla~ en Iorma matematica tropezazia Inevitahlcmenle can .Ianecesfdad d e Introductrcondlctones nuevas en cafidad de axiomas.

E n -Part.icular, Iasdeincstmctones de Ia pToJlledad de ordenaci6ncompleta debsTRnomplear lOB mlsmos razonamientos inductfvos (elIector puede c~rcionlrl!c de ella por 51misme).

AI mstodo de indu.cci6n mateora.tica en SIlS dif9ron.tes

varlantes ls fuaron dedlcados 108 foUetosde 1. S. Sominski-4Metodo do ind uccien ma~em.6.tjcM (Editorial «Nat i lce»,1974) y de L. 1. Golov[na. e .T.M, Yaglom <I-Inducci6n CI_ l lageometrfas (Editorial «Nauku», 1956) que contienen grancantidad do ojem.plos de su aplfcacion. A 10 largo do nuestroIHlro tambien vamos a emp.lear este .metodo freeuentoman ta.

Prof/lema 10. Supongamca.que pares de oh[etoa de cualquiernatu-ruleza (uumecros,ptmtoS:, ftlildones> teoremas,et.c:~5e hnllan vmons

Iados lll?l una deter;nJim,lda relaci6n ~, con -propiedrides analogas ala:1°_7°. UClUristtal'.queen este caso cstos.obietos (elementos) puedenser ,num.erad,os (c~ decir. escritos en un eierto arden): A.It .42, A 8, _ ••

de modo que A J . c - A f,unica y exclustvamente ouand» t ~ [ ;

De heche, lc dtcbo significn crus 1a eelaclon, POSCQdOf.1 de ll\~ i

propiedades 1°_7°, Ql'ocna a1 eonhintc e m una cadena Ilneal do ele-mentos!

At ~ Ag -3 As . : . a . • -

8, N { ) obstante, volvamos 1 1 la :relaci6n de divisibiWlud. Para e)

ease de numerus p<lsll,ivos los teoron1.8s 1, 2 y 3 y J08 problemas 3, 4 .



19

y 5mu()s t run que en Iasalirmaciones 1"-:-6<' podemos 5u,~tltufr la rv ld-ci6n.> por Ia ;. En 10 que H In aftrmacion 7W concierno, l'efl>f1d~1 a iiI

aplicacton de la dlY1sihilld,Hl, ella ai'irma.. Hle nos numerus )IH') pur 10jl1QnQS es divisible por cl ntro».

Pero es,tp noes cicrto , Asi" b i'ehcj<Sn de rl iviHhflld<H1 rlell<' lus.mismas propiodades que la de crden, 11excepcipn de Hila. nl'hido a ('stij

Ia, relacicn de divisibilidad no ordcna 1(l,6 BUliI('f(J$ naturales cn.fQrm~lde cadena lineal' sino .11<,un lli!lilo uuis cornplejo. (vease ' 1 - . ( Iigura),Sofialamos que Ins niunerosvoclnos p!1r. sus valores puedon rosulturhnstante «alejados» uno 'flo,otro crt e1 sent.ide 'de , J " Iirvisibil.idud , Losnumerus 4 ) , 5 ( , ) ' 8 ·In deruucstrun rlurument ('

Probemospusar tie 1;1divj~ibiliaad de nnrnerus L'uLeros positives '1

Ia de naturales, e.s dccir, iucluyumos cern ene l l'XiHHl'n_ Entonccs 1'1esquem a de II I f.i'gur;'( Sp enriqucce eon una casillu uhkada nuis arrlhu'~e. las demas, ya qlll' cero cs divisihl~ pili cualquier numero Y l1h,gunodistinto de cero p~ divisible pore].

Qejari10s que el lector "pur-S11cU~>ht.n viJ!·lvl\ n fhrlllllhir y Yorifkatlai\ ilfII'lIl3.C.iOlll'S 1°~7" para esie "l~I!~O- .

9. DEF1Nll.:lON Clw lq,ilier rclaoum ~,~1l1\(irl\jJl;ld.iI n las eoutliokmes:1 .0 de -Pl'Opil'dad tellexlvn (a:>- a)~

2° de propkd'ld nsimdtrien (de a s- b Y i> & ' fl, S!' d('sp\"(1lld(' 'Ill!'

a =);30 de' propietlnd translj.ivs (do at- Iiyb ,f- c ,~ () desprende que

a e - c), 8{ ~ llama Te lae ion d e d rd en acio r!' palCial.. 1.111'\ reluciones de. orde-nacion par6ial jllPgall .1lITgnm"]Ja pe 1 afliIlomle 'Ju. ordr-nacion lineal"nul-urlli» nu til'm' lng-ar; lJOr l'kmlllo, (In'nde cada ohjetn (so describeo a pr0 cill POl" varios! ndii.·ps d i ft~reit tel", e.1J :dj'Ii! h va m en h , .1!lel'!)J para hIe",Nilre'sL. CdlHo('.jempln se IHlt'!il' citur iu <lpreciM'i<Jj) de Ius rcsultndos rk

las cornpctictoncs deportrvas parn V1Iri08 .tipOS\ltn'n'Il(I',~ de rleportes,

Si uno de los equipos OCll'P<l puestos mas altos ({lH' otro en todos los

ti.po~ depwgmn\ll dl' comp('tkhmes, entonccs, ".~ natural. considerarque c1 pr imer- rqllipo . loWn mayor('s exit.o~_ Pr-ro ~j p~f,(iS pncs.i.os Iuernn

2·



20

ocupados on. Ll.du~ los tipos de programa, a excepcion, dtgamos, doljuego de croquottclcual, por algun motdvo , esta vez fue iucluido ell tUb

compeuciouesj, (\(IllJe 'el segundo equipo resulto mejor, entouces, lucuesuon sobrc J;j dlslrtbuc.lon delInlttva de-los puestos entrenueslros('quipoS~'l\ IlO vs tan.claru., Los cntusiastas delcroquet pueden oxigtr,Inc.lusn,. un PtH'HLoniiis'uilu para su equipo, DtJ todOS'Iiiodo,s, cualquierdistribuc ion tot.aliiante ile IHlestos estarn, Iigada a determinadcsro-cuentos convencionales de.los J ) 1111 tos (porejemplo, a] registro de enos).

iO,Lns condic lones {'-0", cuyoeurnpl.imlento .hace que Ia rcla-cion & - se'a do ordcruuntcnto parcial, sun hastante ltherales. Pur. eso

con procedunieutos muy varlados, pueden ser ordenados parctalmentelos ohjelos nuis distintos, en virtud de 10 cual se puede dedi' hastantepoco 'sohrl' La rehwi(>I} de ordenacion ,parcial arhitraria, Iuera de queella. es de ·ohlel'lwfidll0' parcial. En. particular, 11los cbjetos para los(males '~U detcnniuo Ia l'ldu~'iGn de ordenackm parcial. es imposible,hablund« es -Iorina. geueral, uplioar el rnetodo de Induccioa matema-ttca.

Complotemos, SII) emilllrg"(!, las condiciones j"_if'" con 1~8 siguien-tcs.

4 " urilellud'u,li curuple.t.r;[J 0 Illm ltaciou:( \0 cada objelO que 110 seu ul mtnimo posee un Inmcdiato anterior:8° ca da o'bjetf' no . tiono mas quo un numoro Iinito de anteriori'S;90 cualosquiorn que sC'an.a y b& - ,U '(b .pal, existe une , Inmediato

anterior d e , / ; , tal 4 1 1 ( ' C &- a." '.

Itesulte que a base 'dc Ia ordenacldnparclal. d-elconjuntu de uurne-: r08 naturales COil . In relacion que sarisiaca la s condlclcnes 1° .....6° ; _ B 0

Y g o sapuodeconstruir dcterminada variante del metodo de inducclon,co nsistente en 1 0 ' que .sigu«. .

Sea nuevameutezt (n) (1.U1I

afinnarfon·conc.p.rnientc III ruimero arb.i-trarlo n: Supongamos quealia operaeicn A Jill es cierta allt donde, en 0 1 sentido de la orde-

nacion &-, u es el mrmero minimo;b) si n esun riumero y.Ia.lusteza de -cada una de las afirmaciones

del tlpo A (m ) ha sido establecida para todos los m.. tales qUen,t- m :

y n * ' m" entonces, A ,(,,) t f \ .mbien (> 8 ciortu.La nueva forma del principio de' Induccion "afirrna que cumplieu-

dose IMcO'ndicioncs a) y b). A (n) es cierta pnra cualquier n.Problema 11 Deducir ric la «forma vjdn,~del prlnclpio de indue-

cion t ina ,<nueva», . " . . .. 'Como la relacion de divisibtlrdad sutlsfHc.e las condicinnes 1°_6°,8° y 90 (formulsnse y vertiiquense para dicha relaci6n las 8° y9

Q

),

este prineipio de Iuduccion es aplicable 'a la rclucion de dtvislbiltdad.EI nuevo prtncipio do imiu.cci6nil]?liead?, a , la divisibifidnd puedo

ser Iormulado detal .manerarst una allrmacion A (n) es correcra para.n = 1 Y de 811 jnstezH para todos los divlsores de n, distintos uoel,SI' concluye que tambiGn 'pHra n . es cierta, entonccs, dIn t:l('ue lwgarpar{l ~j(~lfJ1tiQr numero, .

t1. La d ivi sion do llumef.O$ en teros, como Jmmos v is to,110 slcJT ipfe l'i.e puorl r hacer . POt' eso , paralelamento a 10 .misma, os - u t H examiuar tamhien otra operacion mas geno-



2 '1

ral, slernpre fact'ihle y que, si In dlvision T('i:'!l1lta viaMe.,d'ehecho coincide Con ella. Drcha opcrac+on es [a divisi6n con

'residua.DEPiNIC10N. Dividi.r con re siduo el nurnero a por (H b (b 2-:>

>0.) sigrrifien presentar '0 1 primero en ] : ; 1 forma. a ~ :bql." T,

don de 0 «; r . < b.

En r-sto taso, 01 mimero g se donomina eociente incom-

pleta y eJ numern r, resi-duo qe la division de a flor b. Ef:.Mclare que T = 0 ,\inf(;,a y exclusivamante clH.tuili:) a : b. Ental cirClmstancia q es Igunl al coclcntede tlividit It porb~

.M ostrom os que .la division C9n residua Bicmpre es fac:._-trble y queeste y 01 cociente incomplotn quedan entera-men t . e determ i~Hiflo.'! 110r aldiv irlcndo -y e~ d ivisor, 11~~d eclr.scm unicos.

Sea. .a1 principln a.;;> O. Escrthamos -IllS rduller'oS unb

,delras de otro

a, a - b,a - 2l', ... (1 3)

hast,a que apare:zc,a_ un J lumcro nega:l.i "9 (t.aTtle 0 LOmpriH}O

evidentamento teROra que apareeel"l'». Aceptornos que 01ultima fle log termi noS 110 llegut~:vos de 1 1 1 '>IICeSiOJI {f.::1}.

as dooir , el mn::;; pequeiio de, torlos, os In niimbr:o(f. - b q .Des ign iiiH l 0 10 I' tend remus

a ' = b q + r. ( ' 1 . 4 )

Indud ab'[emcn te r < b (do otro modo r -b, l't' r1('til' a -

- (q + 1) b, serfn 110 J)eg::ltiyo~ cosa lrnpos: hle sinntlo r elmenor de los DumefoR no }legativos de In ,5 1 { ' . e . < ; ; i(Hl (1.;1}).De~a.l modo , (1.4) apa,Tere prec;jtmmc-riLe como 13 representa-

cion husoada del mimero a.- $.ca ahOTl1Q.< (l~Baz:Quani[o ignhl <jill) urrtos, escribaruosIn sucesion de Ius nurnoros

at a . -+ b, a +2li.has_\i~ que a parez ca 01 primer 'u-{mrero n-o ll(}g<l lL \10 t' (os Yar.ilcornprohar que r <: b.). Dejemos

r ,= (L + bq",

I_) ITu.bh1nilo '~'Oll ina>; eXi1ddlftl, (\81.\ SI_' ill','>l'rI'lll,I,'de, 1 , 1 ordcnac.lon ( ' Q . T i J p l e L - a Ilel conjunto d ! 1 Ti) ;merv~ n;lj,lll·al(\~ pe cIarelaci6n ;;'.. . -



22-

Entonces, designnndo -q' per q, cbtenemos

a =q + r

y esto es 10 que [ustamsnte sa pedia.La poslbtltdad de ai:visitJu .residual fue -ptohada en todos

los IOHsm:;.

Demostreuios 1 1horn que esta d ivision cs univoca , esdecir, si -

(J, =bq + 1 " (1.5)

y adonuis

l~I'ltorH'-O;·rt - - = ! I J Y r =1'

Tal d (HI'fOl:'I,rm:i6n de In uuicidad IIO so [mer le 191mplo-mente cludir rlie.lorrdo qno, siendo unj vuoa la oporncton desustrnccidn. r a Sll(',l~s;iou (j.3) puedcecn C(lOstru,i!];, por un

solo proced imlento: S"11Utimo termino .no uegativn l.amhien

es corrrpletamente dctermtn ado; sen, puos, tiste nuestro

r ... , etc, Tal rnzouamionto aunuo nos, libra do la posihi-Iidad de ohuonor otcos valores de q y r pox cualqutera ntravia nhso 1u l.amente distill ta,

Oomparando las relaciones (1 .5) y (L6), .noso tros vemos

quo

d0

iloJJ(I(~r -. r1=; (ru - ?),

es decir, J' _ - Ij__ lis Ili V Isi.hlo por b, l?(L_FO I r - r.l I< b

y por 01 teoroma 4 est o puede :;;,ersolarnen Lncuundo r - h =

= ().P sea, .,i r =- "1 Pore en toucos

b (1]1. - q) =()

:y. -corrsid ernudo q ll'!c\

01mrmero b difiere,iloc-ero, tll -

q=O~

es deoir, q1 - fl. Queda probada l3 Itnic.i-tilH l de la diviSlQtJ

rosid lla] _

De tid modo. Iiemos dsmostrado ol siglJien'l,e teorsma.TIJbm!.\" '\ '7 ' (s()b;re 1ft division residual}. Para lo ... m imeros

arb! CI'a.l 'iOB a Y / ' ( /1 :>0) existen. iI son Llnico .'1 tales 1;II I1Wros

i' y q. ljne, It -bq \" 1, siendo 0 .~~r < b .llill'eJluJs Ijolal' que en part ioulnr, para b --"1, teudremos

r -- li,lie rloudo a

=g. Est_o .responde a 11\ af[rmadon 001



23

j:Jrohlema"2. Junto con el'lo quedrc.clam que r > : t IJ:> 1, ontnn-

ces, a .>q.

Problema 12. Fotnll,lbI' y dClIlostrllr'l'\ teCJrl'It\il r1cIa division :r¢s:i-1!r1.1I1 pnrn _ 1 ~ drvi$illt_lj,r1ntl }JAr. - ..

f.'2- URfJ~T{;:J(,iY Un m'ini'(lI'O j:L"d ij,firito Ile L a unidad . seTlama primo 0simp!« pi e:;,dlvisihJe. ;(_olam~I'I'le- por si rnismoy por UJ10~ .

_ Primo's son, -POl; ejemplo, IQSJl:u meros 2, 3, ! 1 , 7. 1__.,13. etc, _. . , - .

Un m 1 . t n e I : O dist.irrto de: Ia unidad 'I qua n o . u s simple sedcuommn compuesio . '

'rEOIlE!'.f A~: Las tuimeros primos son infil'li~(Ulu'!lJe nume-rosos, $

. Cualqulcr vmimero que divid'asi.muHanciiment.e it 10sn\jmeros a Y ' b$p. llarna div.i..mr C.olT/,!i,f1, i T o ' eslnsninneros. El

rnavor d ' C ' Ioad ivtsores cornunes de los rnimeros ay b so

r let{~miD:a n u i ' : c L l n Q comlln (li~isor de ~~lL08y ~mJjit\HSmell~ese indicn pOI' mcd io de C a , b).Sl el rnaxirno cornun divisor de a - y b 1'-5 ignal a In unfdad ~

C'.h:iOH(',e8 se_dic.1l que estes n(un.mfQs son primos entre sf.

Con, otras palabrgs, a y b son pnlmos antro. si ,f)i ellosnun tiempo [10 son ilivisible,',n:lOT niTigtin, niimero, excluyendo1 i\ nnidad. .

TEOEEMA 9 ss a I } _ P son ruuneros naturalee, stendo p prtmo,entonces, 0 tnen a ; ' p 0 bien. ombos son. primos entre sL

Cualquter TIl)mero divisi hIe sim 1 1 1 tall enmen La por q. Y b

sa llamamulttplo comlin'de el'les, At menon m ii.IL iplo G Om uupo¥;itivo 'de a y .b se le denorrrinu minima -comii'n rmiltiplod.cesto's tn·lmeto'l.

TEOREMA tt) S) M es mu~Uplo conuin y in ftf,f,ninto cemiin.7(lUUiplo C k - a y b, enionces, M 1m:. .

T}!:O;RFJNi'A u. El minima eomifn mtWi:pkide tias ruimerosprimos e.i1.ti'esl es iifila-l a sa p'roducto: .

p c CCroliirtQ.P-ar:a- que a sea ·ffjvi,"liblcp6r Ios uumerosbye primos. entre si., es necesarlo 'Y ' snIt(;ier1Je qilO ]o:t:eaJ)Of ~1 prod It(,lfl deellof}_.

'T'FOEJ\:MA £2 Si au: c, siendo lo-s niimeros b y t: pr l11LO};

entre sL . a . ' c.' ~.'I'E(il1'!~:)q_ j;; Sf el p{o ducto . d e varin,s j (Jc[Vre_<i r : s divisible

iJOT el nsimero primo p, entonces, al. meno« 1 ! - ! 1 . ( ) de los [oc to re«t«mbten ee .divisible por. cl.



24

Corolarw. S i l' es prirno yO < k < n, ontonces ol n'um()ro

Cl~-c: j.1! ..• (p-J)p/1 ::!.-. (11-1)k·{·2 ... ('p - k-1)'(p-}r)

es { Ii vi sjlJ! e po!, p

'l"I';ORE,\I',\ I, (J'I'Qnunh fil'lldam811 L,aI do 1a Ilri:tIhe:tita.).Cualqnie» numero entero pOs{tWD. excepto la unidad; puede

serf ' r epl 'eS (J tZ laav en.jorm« d(l. producu: de fuctarr:s primos; $tel1Q.Q

eZ,illico moiJo (los rl'odllc tos que s61'O tie d ifqrel1r.i an p~m el

ordon de: los f,)C.tore'l 1 11.) '> 6 consnlerun djsl.intos)l.n l.euremn tnrldltlllOrltHJ O E : ' 1,1 aritanel.iea sl)rml/{ 1<1posi-

bili(hui, ~(l priucipio. d'l rlsseomponcr .ualqulcr numero CIl

fnel;Qre!! priraos Sin cmbucgo, lu relllizncion ) 1 1 · a c t i c . a deta l d escomposrc ten 'pl'flSont a 1.I\n serias d iflc lIHA q os q IJ& lasrn a LBm IH iC -H I'; f'1) n I.om por6JlQfI~ toda v ln , a veco s. L ln puedensupurar. I]n lancLuHlidarl ]0,8 numeros gnandes so doscompo-non on flldoTCS _0 SH estnlil.ece quo son primosper 1:11d io d e

comprrlut lnrn» 0 1 e,c·lrOnic", 'J~ Asi, ha t-e so lam ents muy pOC0.RO d~st>ul)['i{) tpW rsl TlI'l,I11em 211)9$7 - 1 es pr-irno. . .

Sell quo r lerto nll]]W-fo, a 10. t.enemos a esconrpuestn ell unpro.dllc-lo do fa{'l,ores pcirnos. Agrupaudo los file,tores 19w1lesobtenemos una f6rimlJa 11'(\1tipn

a=: p r - ' j J '; 2 . • • pa.~._ ~ r

donds Pl! P 2 1 , . , P r son disrintos rrumeros primos y

Gt.1' ( % .2 , > • • 'j ctr varios numsros oureros nositiv/)s. El pro-dncto uhicado E 'U ol segundo miernbro a e Ia f6-rtn1l1n (L7)

so nama d<MCQ/11;p_( ) :~fc i .6nc( tn6n ica del ruirnero. a.'rr;:Ollh;MA fQ Para que los niimeros a . Y ' b eean prime»

entre . ' i f es nocesario II sujiricnte que ninguru» de los [aetoresprimos que integran: la. descomposici/ia c(uu}nica del ruimero ainlegre Ia del ruimero b.

'_rI~OJn;;M 0 \ rG S~a (1-7),: la. (lescOtnFDsici6fl ca~u51lica iJdtuimero u, En toll ces; para 'ta div1sibilldadb; a es necesario. ! I snfi('ienJe que

(1 .7)

t - : 1')0\1 h: p-(1)\l b': pfLrfl. ,I" 1...' s , 2 '\ .. " * . . ' . r .

Do Joe;tooramas :15 y 16 sa desprende que ' I n dtvislhilldadVOl' 0 1 produoto do ,{1\T'in:-; nLlmOTI)S primos en tre ,~ i as sqni-valento fI 'Ill d i \ ' f i ! H l ) i l t d - I l c l sinlult'»nea p o e ('lulo UI)O do ellos

Problema 13, EstJmfl'r. desdo 1l1·tibn 0 1 minlmo divisor

primo dol mimoro compuesto a.



2 5

a._.'. t.rl .rz,~ pr;(,. ·--P 1 p ; ? ; { • • • . "

fa tlrc stO f f~ P o$iG i6 n caruinicasdel -n iim ero a: Enionce« j.lo i"a fad ivtsib iU dud : {i,b , fK necesar!o ,ysuficihrte (pa:1'1; ( ; l rsco7nPQsi-

ci'6nc(in6IliCl,J;. d e X i len ga Z i t [ormo

!j= pr.lptl2 P ~"1 . 2 • ~ I .....'

..J 0 . d · e Q «: · I l <'" rI' ( ' ) . , . . - i " R C .~ ( J . , - " A .,~'.U , J l . . . . .~ . Jl ._"":.~v.r~1" .. '~"'~::.:::.o ' ~ ~,0!.~~ t I. " ~ ' : : i ' : ' : " P·r ~ .;.:: "Ct'r·

Para 10.s. f i l l os do ,est.:(l Ii1 , 1 ' 0 rosu I ta nillY j lIi() 'ol'LI~n 1 . 0 . lo

siguien t e o .

TEOR'E"{A )8: Sean: m. . I I : t u.l irne)'os !tutu(aJe,\\ J~' I'I Itm ce .s·m .

puede sar ( J / , Y : s e n t a : d p como Ii,n pfoau4o tn.=Ill m2,(ioncic

( f I 1 : 1 ' ~ ) = , 1 y se }w.Tle till ,k pam, a cua] t " ~ I n 2 ,

Eslo: heclro, poses anaIfnriasalgeilrll'icasdli! largo IiJc ane'Cl ,que. aq Iii 11'0 tocaremos,

Problema: . 1 4r. lndi~i1r 01 J)l 'Oc.(~,rlirninn1',o quo IH )S,peI'm i tecQn~t:mliJ', pOT Ia s gCf'lc,ompo.~jd'onol! C~1l6:.uil;:[tsd(> dos Jlilme-ros, Ia d(!ls(' .omposic.ion cII116nkn del mlnimo conuin Ll'ul1tipln

de ellos Y su m axilllo cnrm in divisor'.Problema l;rj ])esignemospor 't (a) I'll ( 'IJ t) t ,iOad de 10::;

distintos di\fisol'cs (lc1 ltltmero n (iu'c]nido:!i' Tn lndillld y. el

'Pf.opio. d ). l\'[osil.T,ax qHl~ JHi l 'U 1 1 " cu !{ arl (N~mUp,f')~1Vi{Hl call 6llici\.C'''. /Iu'r/;oo r J " k rrt 1 .~. •. 7 r . T

Problema ta, Entontnlr ,1 sabiondc quo If; d, i t : - 4 .

Y ' t (a } =1 4 . ,

Prolilema 1'7 ~ La d'~~(9mpo~ici{in l'/ln6nka' fl(~l Hurn.OW,a

ttonola fOllma p~lp~~yT (all) =.8L lA qllt; C8 igllal r (dl)?,Problema, 1/8, (',A quc'cs igllal , 1 : 1 , sia, "_ 2 1 : (aV

Problema 1Y,n{~l11 t)Bi.'1"I1

r que.t';'i

p(lsihl(l Hal ! t i l 'IJ 11.JI ([iii t'1'O

lJatural : 7 s tal, que para nrnJrndl>" K ~,:>(l v \ ',ul!li"piifW. niil1Jj_'r\J

. a : poseedor . ! I e k IIH::.tQn;~,primos

T(l (2f

' t " ( a » K .

Problema. 2() , rrSOlllel)]Tet',Lf)~, los l,u()l't'Ojilf:'i .•..lltdogor.;· a Ius.:l1-1·t 'par:a iii d.ivisihilldud par,?



2 6

§ 2. DIVlSlBILIDAD DE S:UMAS Y PRODUCTOS

i. Much'lfs vecos eil una di:v.:isi6n res,idual nos ~uteresahallar preeisatnente el .residuo de 10. divi-siptl del nfunero a ;

pOl' el b, m,i:ep.tM~quo Ia magnifud d el oociento .incomjtletolie < . > 1 1 a no juega n i n g u n papel,

Supongamos, pOl' cejenlplo, que queremos saber q u e ala

de Ia somaua sImi el io deenero del afio 2000 (naturalmsnte,de conservarse Iraeta eso epQcA 01 calcndaeio que se emplealIOY). Es #i,f..il euJernrf:9, POl' ~ J almanaque, quo c] 110 rIeenoro de 1980, «cae» ell mattes. Los veinLe afios que nosseparan do ast.a Ieoha estan Iormados -pCI' 20·365 + 4 (01Ult imo sumandc I::lS Ifl cnntidad do afios blsiestos en et cursode este lapso),(), sen, 7305 dfas, los que 'cornponen 101.13se-manas cornnletas, y 4 . dial'. Al cabo de !1043 semanas sera·

nuevamonto mnr.tf}S Y con los cuatro {Has mas, el 1.1~Odeenero del afio 2000 va asersiirrado. Evi'dfIlltemente, parareso}ve£ el problema recien plantoado no tiene ningunn

Jmportanclasnher proclsamente cnrintas :semanas completastmnscurcieron en ;20 alios y solo nos .interesa 1" cant.idad de

diafl< nestantes dospues do estas semanas,. Con problemas de tal genero se eucuentran a voces los

histoniadores. sohre todo los orientelistos, al conlrontar

las fechas indioadae en distintos calendarios.Pareciera que, para hallar el residuo de, la divjsioJl denn mimero por otro 10 :mas simple es· efecf.uar diractamsntela dIvision con reaiduo , Sin embargo, ella no es tan factiEm 1a prox:.tic·a, sobre todo sl al djvidcndb (;P1l.1Invcsttgamosno ~!':lta escrito enel-sistema decimal de calculo 3 que esta-moa ncosbcmbradcs. sino en forma de expreslon complejadel tipo, digamos, 21000 + 31000• Al mismo ·tiempo, la mnyorparte del t:rahajo

setainvertido'Ten hallac e1 cociento in-

complete que, por sf rnismo , no noses neeesarlo. Pot 10tanto se haec ina lspensable encotrtrar 1U} pnoced imiento queues llerm~~a l);tI1RJ' sl residue clirectamenlesin calculard icho cociente

P.rCSGn thmo.~, uno Be tales proccdrmion tOE a bass delproblema quo ncabnmos de resolver para 01 t= de enero delano 2000. Podcmos .razouar asi. Cad D . afio simple (no hi~;'iosto)se cornpons de 365dias que forman 52 semanas completas



27

y un dia. El uno bisissto cornpronda la misma ( ';9;n·t i<lao de

semanas y dos dia,s. QUi{lre decir quo todo cl lapso desde el11'0 .de eneto de 198D a] iTO de enoro del afin 20.00 e:'i~,nra com-_p.ucsto jtor lin Jlu:m,(lW (no Impnnl.a ~Ilal)de -".('manas comple--tas m a , . 5 l~ canbidad de g l a l > igual IIlade u i i . o " ! , {rail-scn:&idbs

durante esta tiempo , adem-is, cada billHlsto Csey'\\l)nta pox

dos. T a l eanl.idad c le dlas- es .Igual a 2D + F = 25 . &xclu-yendo de ella 3 semanascompletas rosnltun /f dia.s, a coutard es-d e n uestro maries. Ocnrre que ta l ustltucion «afio por '

dial) ea . 1 0 : mmd£es_ tac i6n iI'e un :rO("UT<lO rrwy comfin cuvoestudio comenznremos do inmcd iato,

2. Otro ejemplo, en que 01 obj(>Jo d£>Ia divi~I6n residnafes uhtcner preclsanrcnte 1111 .residuo, y el cocionte Jncompletos6to so considera CQ.!TI9 material fl.c' partida para 111"lJ,;[glljen~

te~ .opl.'!l'acj<IJH:'!;, (l(j~ sumirristra In Ilsta de I l u m e ' i 1 o . o S e l l unountro sistema num/rtco de base 0 posicianal; Rocordemos que01 rnimero A so deuominn Iiunwto insctjp l.o en ol sistema

numerico posie L O I H \ I eon hase to, mejordteho en el t 1 1 , ' r msistema numerico ('!londo t . . ( ) ~ un 1)(I1[ICI'Q cnterojioslttvo,mayor q~J~ La I l n L U E l I l ) , si va presenterlo en Ia forma

,A -_ a)1 til I - l L n J t ' I - - J - 1 • . • + ILrt· 1 - all'

t11,1

Los n i 1 . 1 1 f e J~ O S Q .o1

at, .~ an ~e d ell0

III LII il

n c iflrH8 I

j ~ 1 1 rL:!.,

del nnmero . < 1 1 ) .

Cunndo t = to nlrtonernos un ' ,><i' l lQrnn nnlnerr( ' ( l dedmal.

Es<;r.il)jr ell Q.~to sistemil cualquior cifra pfll'n nosotros (IS

tan -WHHI I , ,qUL' Iiahlando d C nu n limer!), hnbitua 1men to 10

Iruagtnarnos 561!) d(lI.'sLn iOI'JJlH. TIu realidad • .sill ombnrgo. ~iIa s conslderao ion es ecrrlen tes IIejan d c d esernpeflnr algtinpaper, como snced'o, p9T ejemplo, 81 nlgigLI'n)'" lor:;mimeroson lasoornputadorns oloctrontcas, t.ambtell' puerlen resu ltar:mas convert ien tes 0 tros sistemas. do tom pulo (01 hinario .oetoneo 11 octnna rio. e tc.),

Dado q-,re en est.e libro no homos do axaminar sistomnsnnmcrlcos que 118 sean ile bnlm (pOl' ejomp lo , In lioLHc,i6n do

. I) UOIIl'x po sic io llllll'rrllIlIWl, 1 "'1 '1 /1 11Ill.iSIIIII i.ii'llJ'j!('

pro(l.tlldo, de lus cuestlones ligudas 1\ los sistemasrle calcuto. !It' ! . I i i 'encd f<JlLl:l.(l de i s V E'om lo "Sisll:'Ulna \J\J dtlcu)u~ (Ell { \NnUKa ", 10 0 .8) .



2 8

orfras en mimeros (ir.omaiIOSlJ). Ia indlcat:f6n de que [0 SOl!

~era omitidri,E'sta cl aro que. de (2,'1) resulta

A -= (a,jtn-.I +a,,_,t'HI.+ ' .. +a,l~t;+ ao.1 ._-

gs, d~dr. la ultima citra tllQ't-i.~, dol riumero A .es· el testade tlividiJ.· {,·OJl l'(>~iduo A lICIt' t, Aqui, 01 cocrente tncompletodo tnl division so h n1 1'1 l errtre pal'erltesis. DiviiHend )10 resi-dualmento por l ohtenemos

(a .ntn'~2 1 - an_.ltll-Lf-;.••• +az) t -l- a 'J .

La pe.inHLinia .<.dun i'Jllri(l del niimero A res'l1L~ el l'(lsi-a uo , P roslguterrdo as.l.e 'procoso de rettorada ai:Yi~i6Jl residualpOI: t, eonsegulremos sucoslvazncrrte tod as las ttdt1"i.1- t clfrasdol rnim ero A, conta rulo do ilel'eeha a izquierda (e8 d(1(1·i:l·,de i.nn;> rlorG S 11 suporicres). Evidentemonte. ' (mojo.! . ' drcho,cern u-rreg10 a lord en U'Dlin to COlD 11lc to del con] unto doll(imeros naturalasssgun la magnitud), esto proceso do dlvj-~i6n residual sucesiva, tarde 0 templ'lll10 ha de Interrumptrse,Como res u ltado J ogl'·acern os todas J a s f!\Jfti"l cifra s den\nn~r0 A ! 0 sea , su noL ;tC :i6n en el sistema [ulIRel'ko ~Il<m" •

A sL eu partIclllar,es com o seefec tiu:l .el paso do un n u -m orr: de. W'I sistema Uti m cd cq n otro . F or c jem p If) e

10 000 =6,·1666 + 4

:1666 = 0.277 + ; 1

277 -= 6·46 + . I .

46 =6.7 + 4

7=6.1+1

1=(j·O+1

1~0l' Q:iO, '10 0.0(.1, en el sistemll u umerieo CU III P IUlsln I' 0I'iJ gflill:I'smo$, se ascribe como 114144.

3. DEFINICION, Llamaremds equirrestduales a los llumeto8

a - y b si, dividtdos POt m; sus' tesiduo!;lt:irestos resultan

Igun les.l~iJG.rnn~ a')g!lOH;:' propredades de hales rlllnrm~(;::;.

TF..ol\i';M~'< III /J:(~.m.que Ios iuimeeos a y b; a l ser l l i ,(H(1id:Os

jsor m, l~ealf, eljuil·i·csiauiJ.les, es necesa1:iuy su/.idieute q u . t :(a - b) , In. '



29

C(JToldl'lo. Si 10 .$ ' rilimeros a y b s o n eqnirrmiitJ unles 0 1di'v iclJrlos: por m y m ,! d; tam hiOn In ~()l'a 1 1 <11 tJiv:Uiirlofjpor d ...

'i'EOHI;':i\IA Zil. SL III dwi(ifr por m; 10.1"ruimeros nl~ a2' ' , ,

•"., iln son equirresoduatee; reepectivament«; c o n los n r t m :c r : o . ic ;

/j1.' b.2• • , ,.,. bn , eniances; tambter; lo ,w,'l'ifn los tuimeros.

at,+ a .~+ .,. -+ a" y 'bi + < > 2 + '.. - t b," , (~sr:como lo»~ : « 2 ., , q ; ' 1 Y £ 1 / ',2 . " , ,_ , b i> ,

00r-o .14r70 • . s: al di v id i _ r - llOf' In 1(:)$ [lilmel'OS n y b SOl!

eq ulrrestdnales, on tonees ,to inhilln 10 sot/ill li" y bn pru:<I

cualquier mirnero nat'um lfl.

El t .eorema 20 y su eom lnrte 1l0~ hrindu_1t ,ya pOl:;i.hilic1nde.':lIDuy T-l!?,tlS para.ha.l la~ Ids ) . 'osiil nil :'\ : de In di,vision. E'\':J:)1JUgil-

mosalguIl os ojem pi 0 S.f)m~IPL\l 'I .HiJ Ita) ' ol regid-Ilrr de In d ivhon po r 3 (_I\1

numere

A . = . : . . 1314 - 2"[',51& ,

Evldent'emen te,al il ividir PQr 3113 'rosl:LHa equirresidual

eon 1,~2.coti. -'l_y5 :talilbien con :-1. -Qtiiere decirque.a base

de 10 d.emos,t l·ado-, al ssr dividido. put 3" . .1 es equirresidualCOD cln:umero

116 - (_-1) .26 (-1 )15 -= 1 --"-1 =' _ O . •

o sea, eIres·idUQbu§'cado es iglwl It ~;~r:oy A , e . s divisilile

por 3 ;-:EJE~I'LQ2_ null;1:r e l ]'es.ia uo d·c In d.l vi5100 d f i . l misl'M

num ex:O , A ,por 37 .Para as-to prssentamos A en Ia siguiente forma:

A = = (132)8 - (2~)L GjS)~ .

.Dado que-al.ser divid ido por37. 1 . : 1 2 =. G 9 esequirresidrmlCOIl -1.6.,2n- =2 con -5 y 51 1 = 125 con +14, elllm1C~~S('1nl),ffiNo A !'(]tegrn 1 0 QS _COU

(-Hi)r8 - (-5)~.C+f!ij~

0, 10 que 0 , £ 1 ' I I ) mismn, con

(Hi2J 4 + 70'.

Pero .1(\2, OR . . le d r 2 5 0 . e s 'e q'l. I ir.re sifl ni l I t:'.lJH - ...~ IT 71 ) ('OU _ I .E'' 'lo 'lignH ica f ' l 1 1 . ( ' /1 os ecru i-rro:;;id ua I c tUI:

( " " - ' - - : 3 J 4 + {-,i)o



30

0, 10 quo es 10 mismo, con81 ~ (25}2,

Y 1 por 16 tillito, con

81 - (_5)0 =j - 25 = 5G.

POI' fin, 56, ai set' d.ividido por 37, resulta equirresidualcon '19, ~1cual, a] .no ser negative y,resuHnr .menor de 31.

se considera como el residue huscado.

Problema 2 . 1 . Hnllar el residuo de la divtston de':a) A = (116 -I 1 7 . 1 7 rU por 8;h) A. =4 : ll66 por: 17 ,Problema 22. Demostrar que para cualquler 7 : / . :

1 1 ) ( I i : ! + Un): 6; _b) (~n+ 1fm -1)i 9;c , ) (wall - 1) : :1 n+l l ;

d . ) para cualqrrier a .

[al!.n+! + (a.-1)'ft2] :,(a2-a. - - - I 1);

0 ) para cualquter k,

(nib - 1); (n - .1.);

f) para cualquier - k impar,

(nh + 1): (n + 1.).

~, Los nl'urreros a-y b (rue en la (Uvi~i6n por ilLson equiITcsjf3uale~.'tamhien Sf) Ilsmun co .n .g rt~ ente-sr esp eeto o l mod 41 tl ~ . Illsto sa indic~ as;-'

a = b (mod . m),

y 1 1 1 .propia f 6 r m u l a s e llama rorogn.ellc_ la • .1 , ( 1 , congruoncla d f : . dOB nume'r~s respecto ·3 'c:ierto modulo Jijo ,n

0,.10 que DB10 mismo, sn pro'pi£ldadclc.tesldu<l!i-equiV'alcmtcsenJa divi-silin'P9:nl. tamhlenes una ~e)acipnque onlaza ~~_mel"oserr(.e:ros entre sl.

Seflalemos VIU"l8. .S . propl(!,flades de In; ~laClOn do eongruenera res-pee. to a~un m.6<lulo.

i" Pmpledarl rf.>flexivu: a ~ a (mou. TIl).

En cfecto. 'a - a={)1If.

2c Prcpledarl simstrh'I\:' si a , , . . . . 1((m611. rnJ. entonccs b -= u . (111(')1i.

!II) .

]j(> hocho , si.(a - b} om. cntonecs (aunque sea .~6Io por ol ti:'(\l'(~'mil. 5), tilmblJn 01 - al ; m·

3"Propirdflr l t·r:;insitiYIl: 51 a.;=: b (mOf l . m ) y b ~ c (m6I .1 . nt),-eulonces, II""" c (mod. IU ) _ . '

Para ~a demostrscldn cs suliclonto B(liilllar que Illlr. el lecirc-mu 6,t 1 . l ' (a - b) : i n . y (0 -~) : rn se (l.euucQ que (a - ,:).: in.

·S i u n a re ln c.ii5n ( Ill. d O I1 i. g D a m o s P O l " T U C I 1 iO de~) P O S ! ! £ ' propiorlades

Tt,flexlvD.. sim6tric.n y transltlva, sa llama rel{lr-i6p. tb euui.l-'lzle'~oi(L (0



3t

equiMlentli). EJ ejcmplQ rmis simple de felaci6n equrvalenjesobra -un

conjunto de nllmer'Qs 1 '5 In 1 '1 '1 ac i6 n. d e igualdud,P'ro6/i:ma.23., La Tclaciun de equivalcncla ......suhre un tmiji.lllto dC'

mimeros divide (.IOstD en tales clasos Q tipo~ {llllllliH lu!;; de cquivalencra),que. dosnumerosclli;IllJsquiera de una misrnn -cluscson unldos Jlor Inre.la .c i6n d.e ¢ qw ,v aJ etlc ~ -y dos c.ulilesquiera de clasps diferentes, no,(DQIh ostra rl& ) .

Este pro l:ll'om n trnta . soh ro In relac16u de equlvalencia que enla zalos numoroe. Sin cmbllrgo, csto no es sustanclal y In ilJitnl!\Ci6n de Lii-ehoproblcnnr cs correcta para l'emcJOJIE'S d~ equ i"alC'uela que une objc-lOB deIa.mas arbitrari« naturaleza.

Dado que la reluduu_de .coagrnencia respecto al mOdulo m es rela-c#i:n.- d¢ equlvalencln, tamhien divide uu conjuaro de IU~II;ncrogeatcrosen clases, Ias.cnales se llaman !!lase:rde .restos respccto .ul Il1od\ll!J ni,

40 La' canfidnd de clases de.restos respcctc al, mddulo m esigual.a . m.

De hccbo, des numeros a -y b pertenecen a una misma clase. de res-t o ' S resIleclo III modulo I n iinica y cxclusivumen~e euando . a l ser div:idi-·dos·llor m nUll cl mismo l'()IDllncntc, Perc e] residue de la division por r n :puede tener exactamonte m vnloros; 0, i 2, . ", In - 1. Por 'const-g111enle, Lambien 1 f t cantidad de elasos ea Igunl, a . m·

\3oiinlnmoB UU1'l circunstancla ('.'{(.raordinariaJTlelit,l'- interesuntc,qUe haec li~aB prcc tso c l corolerto del teorema ' '1.9.. Para que entia clasu de 1"f'81,IISresper,t~ almodulo 'm~ es\ecollt~-rridaun nlg1lIlli clase lie restos respecto ~lmJJdulo l)l\l cs nccesarro Y$UIl-

etente que ml lTnll,Efec.tivamentc, examinemos Ia clase de restos K l rCspccto al100-

-dulo ml que conuene el namerc O. Evidcntenlcntc.la clase 1 < 1 estacornpuesta, pa r todos los num erus que a l Bel' divfdidos P9D m~ dan 0com o restduo es dec ir, son divisihles pOI' mJ' En particula r, ella con-L ie n!! el n tn nero Inl' L a clase de restos-respeeto I I I modulo m J! que con-

,ti~ne Xl ta:mb'ien contiena 0 ' Y :por eso csl.a compuesta de todos.los nu"meroa.dlvistbloa POI" 1'l2' Dado que en ella entra el ntirnero ·mI. debcni,ser mI.: 1 1 1 " . 2 ' CO!!.esto queda demos1;r 'ada la necesidnd, all 8tilidcncia '('sevidente,

De t:~1 morlr», In rela:c.ion de d:ivisibilidadplwde detcrminarBc porlIwdio d e ]IIS ecrrelaelones entre las clases ( \1) restos, Eslc prneedimlen-to_permitI' estahlccer L a liiv isih iU da d P 8'r1 l oi)jetos dJ!Dat,ll'nlcz(l muehomas general y compleia que Los llum.E'rOS natumles, El suoostvo Be-~ l. I lT ono de esta"s ldcns conduce t' I 1t '11.t 'or)a de gl 'upos, nnn ram a jmpor -tante del A l g e b l l { l contcmpora:nea qut> til.'ne Ilplicllcm'in en III rfs ioll It!o-

dca y la cristnlogrnfia.P rosigamns lit enurneracien de las propiedadcs de 1<1cougruenci«de los 11urneros , Por t'l teorerna 20 SI! deducou inmedlatnmentc:

5 Q Si a ""'" b (rood. m ) y c .... (I (mod Ill), entouces

Jl + C zza b + d (mUl l In)"

Corolar:io,. Si a ==:l. II (mor1:m), 'entontes

a + r ..,.:b + r 1 1 1 1 6 . 1 - rn)

para cualquier cntero r,



G O & a= I) (lnlIlL m) " I f I'__d (moil , . m ), !)[\lOIlC,~9

(I~ = b (i (m6,11l. ).

Las J!~l,Ipi~Uudl'~ ii'~')' (i- iuuestran -(!.lW las u!lrgnll'Ht:ilU!, 10 miSIIlO

1111(" Ius 19uuhLujJe,~, S{!' puerlon Jl,umar . y uu,lh ipIiC llt· por mieinbros.['rob l~ma 2{, Hl I'll UH l~( luj unto ( 1 ( . , n(mlcros en teres ~e rla L a rela-

C*~ll do cq 'l\ v( jl« n~_lI( " '. que to ~lilUIJ t'll In cluses, (ll. tuJ modo qlle de

a "'" b Y tr, - d 5 1! d.l,d_"u,a 11+ C ~ b + , d , ontenccs, ia relilr.i6n '""'I:::erfi una c(mgrtlf'nc.l>ll'esp(,C-l:fJ ai modulu 'II (es III/ell', a --- b ,'juicay

exclusivamenlr, cunudo " , =- b (mud _ fIl)).

Pr()/)l'!fIIQ 25 .FOl'lllUI'lI'Y Ik'lIlo,stnll' Ja,~ ,rl,!t!:las (1l) siru_pliFicacion, I C ! Ias !C,(I!JgI'lwucitl,;.

PrvI>IN'JlJ. 26_ 81 ('1 Wllllerli l' Ill> prim.! I ' : ! il imllvisillk l'()T el, euton-~I!S entre a, 211, 3il,. ., fl' - 1) fl. nuucu hubra i , ! u ; ! _ Illin1\'TOS ('_(1[1-

gl'lI['lltc-~ entre SI resped.!. illmod_lI!(' p p"r l'I'.", ill d 1vldir 'lOB nUUll'110S

tI, 2a, 3a" • , " (p - 11a ptH' p, obtencuios una sola Yl'7. cada rositluo ,II ('xc,epdol, del lCn.

j'r,t,bit'llw 27 (l(~t . lI ' (!1l111 i I( ' Wl~I)\ll. Para q~111 i'I. 'l«fll~i"1 p tea f'rirllQes Ilt'l'eSar!u . 1 / .~J,(jtr 'I"1J I" lfJl,'" (/1 ... 1). + 1 ,,' 12 . . . ([I-! + isea. dki~n/Jk rm r I):

ljro1JllflJw-iX. F()1"II\ld;H' S Ut'Ill').~I.rru· I1n l[,(,)l'f'IIIH all;l\o~() ul Ui paralos j·c:;.i(hl(ls ()(Iuival('nk:!.-

§ : : I , emTEn1QS J)E lHt.sfDUOS I'~Q(ifVA['ENT"~S Y TIlVlSlBfLIDAD

1. 81-procerlim iento n1ny gunorn l de hallar el ref'iduo de

La dJ vi!:li( >n de UTt numeco a.nnturnl :ubitrOl'lO, aunqus £1jo,por nnu natm:al dado ~, conaistc on 1 0 _ - l i ' . i g U L O r lLe: VII mos

a eonstruir Jaslr{'~si6n de uumercs n~o.tm:aJcs

( 8 , 1 )

equirrosidun les pnra In divisicn pOI' m, El proced imientode construccion de 1 0 sucesion hade ser tal que a: cualquierude sus t01'm.i.no~, mayor 0 igua l a rlt, 10 sucQ.dera POT lomonos uno rmis. 1 1 : n tnnces, ovldoutemen te, cualquler t6rm j node ]0 slIC{ll 'l6n (3d) .mennr de m ( si desdo lucgo est a existe) ,se'r'lJ 19Hal a I residunrlu III rl iVlsionrle a porm. Dicho tet'mi-

no puodesor. p O T f1j(~Hlplo, 4 ~ 1 {ilUmo de l i l sur-osidn (rr"iruhmo

fi t ella exlste).UJIO (10 h ) · " 1 ,ejrmllll)~ mil'" ~0n('illn~ r i o . ul f;IICCI: :,i6n OR

1 '1 ( 1,;1 ), l -IH Tlildl\ del ji. U,,§ 1:

a, a. -lit. a - 2m.,



33

J ) e , heclro , los. P " I'( J ,b1;em as de .hllilaig{)dQre5i)il,loen los'

sjcmplos 1 }': '2 deLp;j: .r -ca,fo precedlm1;fil ~e·:1'~4U{'efl:a 1;1 c:oqStl ' \ )5~~ciuit do sueoslencs deusee kipu.'. Cnalquier ·procedhnjei1to. de coustruccron d e e H I sucesion

G t 1.) que couW,n.ga e1.u1timo termiJIQ, :;erii 1 1 a : 1 1 1 < 1 . ( 1 0 cfitetiode re$ id !,la lid .(J ,ilode r ( lS iaUQs equuialente» par«. Ul dipfsiottpor m.

Hel ajernplu .que aeabamos de- prestmlar se despro:uq:e·que uno desstos cTirorios as elproceso de ir restando sucesi-

\: 'nm:OJJt'f l el mnnero in, hast~ obte.nor o j pd.mer mlrrietomeuorgu~· 6 : 1 .

2 . E vicl! ;lu teUlen to, .pat'a: gaJ'uutizlll' unc.rlteri9:;leguro.deequirrssiduaUdad .0 de.residuos -equtvalentes es n e c e s a r i oque' e l sn:tisfa::ga las Ires condiciones siguientes:

1) EI crj·tel"io de residuoeequlvaloutes debe-seer aplieahlea clJatq~i~r nurnero natura] a. COIl' otras jralabras, cIHlI~quteea que sea e1 numero a, la sqce~i6n (;t1),,(.',onsLruLda.

por 61, realmen to dabeeD . tene" ! In propiedad an ttl~ ind icada:despues de eada termin.o· suyo no iriiaxiol' antI do]jora seg.uii 'siquiera UllO. .mas. EsCn es la _p.ropicdlld del cl'iledf'l, H amad amasiuuiad ... 2) E.l.c.raorlo de equll'J'eslduahJncl ha dp son peeciso

en sumo grade, Es de-cu.e1 fLlunetua ill~,be determinercom p letamen te tedos: los termino!: ; du Jl ls i. IC· l\SW n (3 . L) ,sin dtlja.r Lugar a, ntnguna aebitraciedad .

3) POI', l'in, debemos estar seglltOS do que al menos uu.Le:l:mirlQ de La Sllcos[on (3 .1) es menor que m: Esl.eI'equisiLopddr'a:;;er C'urnp1ido si. construimos la sucesion (8.1) de himod 0 : quo sin f .ai t il . pesea 8610 una C.l.UlUaltu Iinitn de t6l'rni~.nos, as d·ec,ir; que el procsso de su eonstruccion no PUIlUll

.'ppJ!'ongarse till .Liempo In(lcHnido, y ta:rqJ:l 0 l.u(uj)ranQ~er.-mine. con la. aparlcren del residuo tie la division de a por In,

La propiedad del criterl.Q de residuos eq uivnlontos enuueiad a

:68. Llama S:U e.ji.cilmcl(l. .3~ Los pl ' :QSesos dotado-s d.e propiedades d.;-,rnaflivtd,ad.

:{Jf~cisi6n y oficiencia" se denpm.iJl .31l .(tlgontnpos Y L\Il' In s

mHtem~ ticas :ac.e,l.utles desempef an 11n J)il Pie'! ella l " l ' !!(:lZ H I. aS'irnportan te. . ..

So :s·o-.brel'il Lielfdeq ue lti rofe.rillu oura.CiLe1'lz:acic)J1 i : J ; e l

i l1gor. . i t ;molOomo proesso dotad.o de Ill:'" t re s llwni oil < : H l e : s :enumeradas, (10. 05 su .dofiniciOil ~.xa::Cli\, A P9SiH' de hHhe.c

sido creada .pot J / , I ~ matematicas rnodernus ea relal.ivurneul.e



3 4

compl olay IHI

ui no ! )ued ( '. s cr formn Iada , 'N0

pbs t an eo,]05

requtsttos CllU1Ot'r';lIJoS refit-jan ,de mnnera hasLaJLLo completnras condiciouos quo doberan sut.isfacer lol'l procesos n:iaLcmo.-tieos Ilamados algoritmos. E1 papal do estos l iLtimos queande~ermllwdo,por cll1ocho de que son proccdrmlentos unifor-

tnes Je :rcsolucion a c toda una serie de p rob lemas dol misrnolipo. Ai'll! cada Crltci'io ae oqnlrresrdualidad perrnito haUai'

los rosiduos a t , la o diviRi(Hl ue uu rn'imero a: vartuhlo (jGr

llno I n . fijo , .

Hahla~jdo algo Il hcemente, se l·cduc.en a algoritmos' louoslos prohlemns rnutematrcos c:uyaf.i teSolU010116li pueden Set

automariaadas, 1 .101' e80, 110 escasual que e1 C!C1lfll'rOUll de luteoria rIe los algoritmos coinotdio historicamente con illaparicion y difmli6n d e , las computerloras elecl;rollicas.

A algorttmos 58 reducsn no SOlD los prcblemas de eompu-Lo', on 01 senfid o (lstrictQ de in palnbra, 0 sea, aquallos para

los cuales, basandose OU los tl.atos irriclales, por reglns m a s

o rnenos ccmplejas se puodo obtener una respuesta numerica,Tarhbi{in podernos planrearnos III lama de hal lar un algo-rifmo que uos permit-a resolver .eualquier problema en

a lguna rama (por supuesto. estrict amente delinrrtada) de Iasmatemriticas. Este algl)ritrnQ deb,era. 5,81' capaz de t:ran:sforrna.clas Iormulaciones de los teoremas en SU8 demostraclones,A pes~lr do lo Jan LasU co quo nO$ puod a par-seer, tales ItlgorlL-I1\US extston, aan cuando se empleen en esreras .no lHUY

nmpltas de las matematicas.A su vsz , en ch~.dm; esferas deestlls (por ejemplo, las quo abaccan todn 1 3 0 al'itmeti(',n),dLchoslllgoritmos no-puodca existtr 011 pcincipio.

4. Preoiaemos, con arreglo (1 los ccHGrlos de roslduoseq:.uiv:iIQI 'I 1 .0 .8 , el con tonido y las consecuencias de f)bservarlOR tres requtsitos plantoados a los algorit moa.

De 1a masividad del ('.riLedo d.e equirresid ualidad so

il osprend e qua 6sto debet<i transforrn ar d iversos ,n(imo rosy que los J;~.~u·1f .Hlo_sdo tales tzansfcrmncionas, hn.hlando en

genera I, tambien deberan ser distuitos (ya que a1 diviail'por cuulquiar m ";» 1, no wd os los :nurnerut) red undan oqul-rresid Ira los EWh:e si). Esro Sigrtuica que (;·0010 parte IIlLo-graute includihle de 0 ; ' : 1 1 . 0 pmoeeo bieue que figu..r<lr la disttn-cion (por ~UI' magnltudes) de los numeros .

La prepiedad do preoislon dol c.ritexio do cquleeesidualr-dad sigllif'ic.a.c[ue los numoros ya anousd os ...lo, Al, •• " A llde 111 sucesion (:1.1) deheu ser (ti(:1entific.Hble.'w a tal punto



que n lr!):::e ~lo,e'lll)~"~(' pueda 0 : : ; ' ( \ 1 ' 1 hi r o I n (WH 'l'o:o;(g;n iento rledlelia .'! lJcosien ; A.I.,.J ~ror .fin, 1A [{top:if!d ~\fl de nfiCielll'ia. adorlHl,::; rlo torlo W~I) ,

l~lIhbteri.llevIl tras d l\ ill una.necesldad de po~l [)il i(hides ilimi-(nell i/ ;\ , pura compnrar (pOT , 1 1 1 11ll.lgu i1.nd-). 011 t:atln '{lil:';O' rlonll(}R:[:rIJ PI'OCClSf). c 1 111rnsro (Ih~e!lid 1 . 1 A It r (HI C1 ~Ii isnr In.

A,~rTH1es, La obsorvanciu de C-:1QIl uno ric lo s Crl'.~ l'tiq1d-W:(1~ ,£ I1go l'H m i'c os, po r ( \1 crfteeio de eql1iIl'c.-'idlln lidnd soIlpoyu, 'ante Lono, en 1 : 1 , illdeiC{'.I:il,)le neeesidnd dcradEll '

<i0!JlPfll'al' (p,or sus ml-lgn itu de< ;:) lo s rnlm(.lrn~ que 8flll,,'lllfl n(In1;rl" Is p n . ) ' e . \ \ 8'rlli t.rHl' JOB, e . in ~kill" eu e] c afiO de ( :{M

UeJ;,'.:nena ser tlistintos, cual d e cl1f)~ (tS mnyor - y eual tru]nllr."5. La «n",(',e~iaildde podercomperar» .. mCIr(,juDMln haM

: 1 . 1 1 1 momento, t.ill1 1 1 ien ns, evid en temen to, , e t c 'lH_'U t r < l 1 . e z , 1 - I

algmlLrnh,-I!;, rIo.';;, rr(mwros naturales fl.lfll~squiorl\ ,gStIll'';lll

,slt jetQs -f( B:el 'COTIlpa J ' , m ; l o s ( m ll) ;i v iti I ! d )Y ':\lI I,tl:o) .uh.fl d o ha r l Qser una g'Ula -respuesta: mayor, menot (J igual (precision)Yl'jJ-a8ei'i ' i obtenid asiempru (Ofici'entia) _ Q_uicro dedI' quee S l o _ : flu:f\ da fil('l!]L.i)d. para huhlar (In algo6tlllHf' (ll' r()nHjT\ra~

rTllft (:P0,l' Jv rnagnitud) de d()slIumeros- S lJ cqilslru(W'iVI\

Jill ei:i'fllgy muy ov illen lCl. como ]lodrLfl pn " ( ' . c r . - r l o aprimcruvieS-la, 1"01 ' , e j ' e n q : J l G , J'8st)'1 vet f'! prohlornn i1 (j « i tot; nlLm'Ol'OS

2211 _ :3 . ~)211.31 Ji'!!!_ ,all} - 2. ; 'l-U 'I ' '7 .17 {-::\.2 )

snn igllqJes IT r l.Hcren-I-( '~<; Y_,CH 01 'ul t-im9 (',ISO,. c uid de 6Jlo~

es 'f't Jnn:yrir,- rcql1j nru consuhidos o . s f u C r 7 . 0 5 , aunque HI'). real i-d a d , i H p,ririioro dB It'ltos n(im@l'<)fjes so lnmon IJi UII 0 T v tilMg\;nllo ;{ , " .

Esevidentequo In comparacion de los l\'I]m~\r'C)sd(! (il.Z),:~cgun F I l l nm .gl1lt!ld.( '~ MU cH dob idol 1 . \ r r~ l'm n do-sn c:~\,'ritu-1':11. Flnr 10 tUI1 t Q. pilTA consuul r 1m : ('.(·fLnrin,'1 do (\(PIirnsidnn-] ida d .os m u~' 'j rnpor+a 11 t.e ]1N"s(m I,ll rIm. 11 Umoros de L a ' I

rnanera que, 'hi rfl1 ib lemen te, pu odau ser cnm nn r /Hlos' .cnn

rl:l 'r(~gJo II $ .11 mngnitnd. D lchas formns do a..'lCI''i.l,m'lI cxj;~l(lt1.P i)l' ejemplo .• : '(1\11 h\1 ') Qu9 se hacon '11 unes 1\ otl'l")<1 s.i~tC',-

! ; I , I I _ < . ; nunuiriecs C d , ! ' hw;e) (vensf!§.2 p.2).EI fdgoi'itrno ( H H ' f 1

COril;pnrl1I' ilo,," ruimoros, eseritos en lUI Iftl;4rnosisl,DIn';,1 11lL'-

rrj.e# .c ,(l \ :ost. r,i ba nnl 0 q~le sigue:1 : ) AI "pt .fncJ piPNI cildn IIl1m(lro<;,e til(: hMI las,d 1'1'~lSlftil

por linn (comenznntlo, dig:lIl\of\, dl'!"lhda d".!·!'I',lm); sl , dO:'lrrn6s:que UTIO de, ellos re::llilltl:cOmpl(ltnmeuto Lal'lI.H!]Oj ill (ilro

aun le {pfcd;jll~ntll:'ismos, en j,OJ1(',es ,('I ~(>g'l!lldo ~er;l ntftyQF

:i"



que 01 pr imero ; pero si en ambos nfimeros .las reservas doc.ifIas Iucrou vugotedas al mismo Hemp(l, entonces, P H i - aconrpararlos B;(' ejll-cltLil el siguionte ])rocedhrrio"nto:

2) Las' mscrtpcioues de los numeros que se verificansa rsstableeen comparsndo S)lS prtmeres (desde ta izquierda)guarismos, En este -caso, cuanto mayor sea la ciira, mayorsera 0-1 numero; .\'\1 las cifras rosultan igualea , an ton cospasamos 11 compar ..u· Ius segundas, etc .• hasta que apnrezoa18 primera d-iferonda deestas, Ademas, cuanto mayor sen alguarismo , mayorsera el mimetc. Si todas Ias ciira,s :l'espec-'ti V 3_$ de los uiimeros r~~u1tan identicas, todos los m'imcrosseran iguales.

Al efectuar el segundo d o e los procedlmrentos indicados,sa supono que sabemos como eomparar La magnuud de Iosnumeros ulll: V 'OC(}S,0 sea , m enores que 1.8.base del sistemauumerico, Es~o sIgnllico. qne en cada aistema numetrco lOB

sign 0s-cdtra s imcinlea de antemano son presentados encierto orden fijado; por ejemplo, en 10 numeracion decuualcorriente, el signa «2» antecede al « 3 » , err 1 3 1 sentldo de quecl primero describe una cantidad menor quo el segundo,

Desd e el punto de v ista de tal 'c.otojo tilgorHm ico, todoslos sistemas unmericos sou equivalentes te6ricamante. Eneste sen Lido, I I I comperacion misma de lQI'\"sistemas numeri-cos puede servtr, $ElgUn au comodtdad pracLica, de ejeroplode planteamionto 110 algoritmico de. J8 cuestidn (no se cumplo

In COiloid6JI de pr-ecision), J)ero en esta no .nos datendrernos.8610 prestemos atencion al hecho de que en dicha cuestion111 Iuerza de la costumlrro de trahajar ('011 'el sistema de

mimeros decrmales no 110s brind a n ingu [Ia von taja p8'rLi-

culan.

6. Ad\11l1'US.do los <~JgOl'u.mus dccomparacron de numerus,escn ito s on un mlsmo ! ' \ l~LQm[_l uumerico. exifoll.eTl tamhienaqua llos con 10$ quo se ejecuta:n ope.Ntcionesarilmet:ic8f.l.

Son los procedimiantos till udicion, sustraccion y multipltca-ciO n, do numaros « e n columna» y In division esexagesimal»de eJ1os, uni versnlrnento conocidos (y que, evidentemeute,

dependen poco de In base del sistema iuunertco). Claro l~Liiqire (Jll (il uiLimo peocedimrenro 10 mas adocuado quiZ[iS

sed" J IO hu h III r f;l III IJ lemeu te dedi Vi:-;jOJISlnO de, d ivisionresidual.

A I ll,jSCUlJll' Jo-IS operactones. IIOS proporctoua lin gran

IIi\' i f ) hlpl'kll~'1Ide:>manejo dol ::.istelllu de numoros docim a-



les. !:lo r' e jeJ l.Jpl.(), 1< 1ojC(\u,Cl'on de In oporarl(,n1 . . 3 . 'UQ 1 2 2 . . 4' 1 2 3 2 3"1

2 4 " 0

2 '~ :411

en 01 sistema qulnanod C numera ci6n req tIll' J:() {{ c:tQl'iI1 innd os

esKuerzo_s ment ales,De IL t. nJgo.rtLmiza.ci6n de Jud't vj~i:6n tQJliti'uul ,~c tles-ptflnde ta rn-b ien, sfigun (0 dicho enel p. 2 § 2, In idgoritmi-

zaciou ,d,e! paso de Ia -eserttuea de los numeros de lin SIstemad-e. nornru:ii,e:iQ:n a otro. Porconaiguiente, porlenros ha bJar

tam bien l;1eJo o5 ,a lgo tH m o o5 de compa ra cic n de 116meI 'o" 't d~ejeCollC16nlo'operacioaes em] enos) .srea que sa hallanesccitoson illi>tinlos sistemas fim I1Il' l'icoB.G om odediu::cw iI ulterior.

deaqui resultaque todas las doses do c,omp,utos, utibizandof6~'iiliJ1asRritm6ticllsen In}! quoen Ingar de 'h~ tJ :as _P\ i.! lnmo.scoloear unos uotros ntimeros, Sol) algoritmos,

It por fin, prestemos utencion ,£\1heche de que aqui nohablamos dnl 'algorit.niO del pl'opio proceso (le 'f..~eritllriJ. flo'IosIl u m e r o s .n a t urales, arbi trariarnen t o presenladcsen UIlO

II 0:1:1:0 sistema numerico, YQqut'l uadio sa,be, .:,~t'.i1puud e serel p.ooblelPa Inicial,

' 1 . . Como 'c.jomplo jlustru.doruxammcmos in si6''lW'ntc t611~tru(;-don., Componcmoa para cada. mimero .nacural fI. III StI()e~i6n til! numl!'f;)(ciYraJ!) ~ S " ) ' . a i l \ ) , ! 1 - 1 " \ . . " quo son \U ~ ci[ras de un~ dC5M.mpvOl[cilm

~ll!t \im31i:!lfi"nilu del nfuneroVn ( si eL'll(Lm'Cl'!> /, 1 no es ( _ ' x a c , b a m i ? ' u L c uucadrade, oviden temonte, estu sucesion resultn aperiud r C a ) , adm Hlen,]o'q u e rlrlr, r a : n I, ' ., Bon 195 n( l ff iQfl J ,s· ,de las cirl';l~'gtudc51l.cr.ru:a~~' (Ii) =

=0 (f =1. 2 ; .•. ) . S i ah ( fta In _NlO lhlad t i E ' g ll> l ris11lo 's ~ I!Ua ]M I ' C!.tri)C8 f,in tL fI . (~on el ultimo de CU05, un mimero T~'~ 'tal, qU(~IJSI),,'i;"n pura

'I>rItRI,) ponemos que

.m fro 'mf (II) =0'1. + fO " + ....+ 1O '1~ .~I I.

pe,i:Q 81 1 1 1 " (:,111 tidu d tIll 011Vj> (>8 inf ini tn, etrtnnccs ndmi:tir~ lII,jH ,<11,/;11-

mns, que l (N i= O. Cu iln 111)0 de 105 llJlmel'<11l . t (.'l ~~ naturul. .,COll Lilli"

se ff1riia dudu~() IHiLlatde un algoriLm(~ Capll% (1l' I.rilnsfiil'mal' f! i nltm:en.II ( '11la escrltura rlel n{ l111ero. f ( n . j , de,lJ'tro d:el ti,j:Slema nmneric'o' di:o~,imi~I,

~u ,w b cf'uuti" ,lllieq!lC ! 111.ff() IligotHn1lJIlidnd !It' os LI'IJ',l;')l~ lr ur r il'wconsist!! en 1 1 1 '('Xigl'lWltI , d e l . l i ' l , . c . e r n j r si rn 1a dt'scumposlc.16.1l n p C ' u n a l

'v"ilreSilhilra un niim ero finit< l (l ~[lfiriit() de ceres, A :prupoSlti), Nlc"i~tlo ,~entido(precisamente en emil, no hemos aqui de 'trai.tlr), elirauura l p(:11811r qua para cualqutor l1(lD\OrO natural ~,' nn). =·0"



38

!). UIIO d.; 11." hub Imp~rtliflll('S ldg'(I,i1.IJ1')$ (,'1\ lils m'llcmaliC.<J<l,

'I,ll' 1I1'\'3 (,j Jlil,nlm: de l!:'ldidl':3. ratllca en Io .:>igllient,l';:-;(~IIII a. L dll$ u!lIr\er<,os "JlI,lll·nl~.~ y Illll'lIIuS / . J :> I) Hc'alic(!1nlls In

t!lviilJ()1I l'('slillliJi ! l p a rnr / J ~ i~=.IJo ' . I - r I (illmle ( _ i ' ; ; ; ; ; r1 _ ..:..:~(! t : : . irj TU, J!O?I!IT'IO'; "!'J!lh'Hl' La Illv,is·!{1l1_1:p.lii:dl1at ,Ie l ' po r 1·1:·/J ' rig, - I -f' '1'2' .dum](! O.::!'( 1'2 "":: I ' t Prul:ligulcmla t'st;!!; ~nce~ivilS clivisip!ieSl'c·sidu_ules p(!l'elr_efil\!IJ,j J{~ '/ 1 II!'Vi8i0!l·pr~c:e{kn!.t· obl('neHl(\~ las siguicnu:«igl1ldll;Tilf~s; r , ' r~':I:I-I- 1'~ r~ =" i z j + r,11 etc.'. MUl\I,r('"l1)~ Ijllt' l'lrn'l'I:I'sr. Ih15(!rlPI.o C,BV('rdl1d.l~~I!mrIlL(~rur a\g~!-

l'J.(,mo, t'~ dl'l'U , IpH ) rlll"en II!!! Propil.·rllltl(·S d" Pl'i.'Cli,1WII. masa y ('h-';·!('JU; ill ,

::;;,'U,.il!:mll:> que d prncL'~() exutninarlu POL' IlV!l9.tn),:; l'ildl~a en ~fec-hlllr ,~uei's[:va~ dlY1SIOlH'S r'iSidu,Lles.

POl ' 1\~lJ. lil~ JII·!.'p[ ('da .i1t!-~ ·(~ (' ,p.recisiou.:l niHSll, , d ( ~ f'sle pl'(/(~l'si' S')!l

l'!:,~11H11~OS lk Ia,JI!I!lIJ.,lua 11()SllHh!ln:d de reah~,\CI<-l1l )' uuicidad do laIIiv isi<:m f(!sldu1I1. Lil ('ficj('lIcia de nuestro proceso W {ltftel'mina ~IIUI-])iCIlIIlIl,' ftidlnwnll\ El, niiIlWI'\1 b "los resitluos (1( , las.divlsloucs in!,('-r,,".'!llllf.'.~ ; 1 1 . ' 11I1t'!>ll'(. pt'V('i!Sti r('I'Il1i,IU~, l',vL,lculI'IIwntn. slln~slolll's d e e r e -; . 'u;rrl l '" < I t ' h flnlt']'(lS 11(1 !J('g:~Li·vus

Pcro 1 < 1 c,u,llitl,ld ,It, 1,.,.1(,.., 10:>uumuros uo uegat.iv!)s, 11(' mart,rl'S , I i _ . b.,

t:'13 i g t l u I II b + J . Por I~S()_ tllmpoc-o 1 1 1 !:Iltc.{'si·on ( U n puodo ~ ~'JIl:ta r cou

iliai' Ill! b tel 'm:iu(!s A~L nlw.~I-l'lI proeeso no Vod,':\ csl. i l1' Iormado POI 'mas de b ( \h Y i s l (J I I I'O I n~:;i(\uul('sl). De tal manora, l'll)ri)CI!!S() examtuadoes, efe,el.iv[im~'nl('. lilt nlgorilrml) - y jusJWca. con t oH l a plenitud 311 deno-mtnaoion .

.....larcmoa .lus r onrlictones en glh) HnaJizil ('1 proceso. Evi'de!lr~-mente , In ( IH- ima ! ii v i; s: ion .d ( l'il cv{1 Sl'1' tal que hilg'u Imposilrlc seguir dlvl-dicndo' por 811 residuo. Pero csto ncurr '!i(IJlIlnente euaudo 61 . ' r ; ; igunlII 'co'o, II S lill, .C,UIlIlUO IniHlifllt\ ,division rj!~IiHn exacta,

Problcsn« 29. a) E I ult inlo rosiduo 'p rli£p.rentt! (it' cero, en h t' apH -eacjliJI dIll 11lglid!.mo do Eucltrlos a los numerus a y b ._e s (a , b),

b) GilUrl'sqILi£>J', ' 1l[J '( '! l_(!<Jn IOS'nattlTales a y b , exislv n' ta les enterns

A - y B que /lA. + JiB ~. (0, b). .

Probleuva: af!, Derlucrr Ios teoremna 9. 1.2, 1,~y 14 del resultade I I Idel problema 2vL (;)llhrayalnos que nuestros razounmleutos, liglUlosTIl uhwl'itm:o (1~ -g"c.lities, ffletoll basados solnmento ell' laposlbilidndde (dhcluDl' div isR ,nes residua les. Nosotrus no empleamcs ou llllo~ nilOB Lt'J;li'(~maS f! ~i4 Iii 'c ':o alesq uk'ra otra s c.on.sidC1~ad(Jnf's basadcs-eu oltcorema Iuudamontnl, de ill aritmulicu.-\

9. r . m apU('Arj6n dl,) 101'1 algocit mos (pm: deciclo asi ,

«511 1,mbajo») pUI}('10 resultar bastante vol.umiriosa. Examlne-mos, com o ejem plo •. stproceso para obtener au descompost-ci611canonica pOI: c l mimoron (0 sea, el a lgorH m o que trans-

1\ Dehocho, el nlnnero ~Ie('stils divifliolles I1n t.ieneq_\JC sohrepasar ;) 1(1~' b, 10 cual Be dosprendeal examlnnr los numerusde Fibonacci '(vease,VtJJ; l'j~J}lplo. el Iibro del auto!' «Num¢r:os lie Fi-

bonaccb, Editorial < iNa i! lt a 'b j 1978 , pags. 82-83).



.3 9

forma un mrmaro nntural ell su de,'3c-oIllPQsi:cii'ill('il)fo.nica),

Para dQsl'll:car In osencia ~lgOl:hmic"1 do ~5Le proceso induya-moslo, como etnpa, dcnku del PWC:OflO d(l IlIllJazgo sucesivodo IIlI' dasconrpostclunss cancntcas do todns los . luim'ero'snaturales, uno tras otro, Esto uvnln 1os ~iguian:teS 1'0Zan n'-rnien tos hochos «por lnducclon» (vease p, 7" § 1). Suponga-

mos que para todos los mimaros mouoros de u; Ias rloscompc--sidonc", canorrious )'3 han .sitlo e~el'itas. Par tnl Iista es

pos ibl e sa her (en forrn 11 WID rileta men to: nigo rItnrica) emIl es

de lo s numeros inferiorcs a n: Son primos: Enumenindolosde menor a mayor, csdn uno de olios sera dividirlo por n.S f n e~ (U . . .-lsiblo por (',ie:rto p, entonces n = = nIP Y nl < n,

pero In descom posicr6n canentca den, pOI' 10 supuesto 1

fig-urn en. nuestrn Iista (vlsto el .resultadu .delproblema 13

es suficlonte dividir solo por aquel los p que .son mcnores

de. - j / - - 1 i , ) y 80 obriene la de~G,ornposir,i611can6nien por Ia

oescumpo"i("jOll canonica de fill numentadu en e U a el expo-

nanto p on In tmidud.10. Vol vsmos, no obsta nL~. 1 1 los cri'terioa de equirrc-

sidua Ild ad, J..a (,OUR1T1H :,Cl6u algfU-ltmic,1:I. de 1 . 1 1 . . , I l c ; e s i o l l ( 3. I.)puede ser ofectuada ]101 : muy dlvorsas vias, La IOU'S nntura]es Ia sign icn te.

Prncuremos ho.llar Ia funcion f (;t) sujetnn las <'[)Jtd--idoTl(>s

q~\)e siguen:

a) para. .. ::;.:-,ot el valor de t (. t) os \1]1 nunroro natural;

b) 'Para 3; < 1n el valor (le f (;l') (:I$. indcterrnlnudn (os do-I : : , r ~ , no H Eme sontido): "-

(no M una a asorn broso q U P , . IIlIU U otrn Iuncion pierd a susenrido para clertos valores del nrgumento, PO I' c jern p 10 . no

10 bienael valor de 1<1funoi'on 1 1paNI 'T= flo :1 ' -t--e. 11~z (x - J

c) si x. >, n t " entonces f (;r) '< z:

d) si x > - m, ontoncos los mirneros a : y f (.:r)-$()Jl CIf\liTI'(I,-

.slduales pa:rR 1a division poe m,Tal es Iunc lonos oxis lo 11, POI ' ujemp 10, . f l O ( ; ) : ) :

III (;~)= {. r : ~ tn. "" x > - lit.

indctorrninnda, para J "';- m

Justamen te G n t a . 0:') In tu lld611 ton ht. ItII\) <;(' cOlIstnq"eIa sncesion (1.3) en § L

Cada fnncidn f ( x ) que satlsfaga las condtcionosIl)-d)



40

responde a dodo proced'imiento de construccion do 18Sucesi o n (:~.1)I eH decii, a datarmirr ad 0<'-1'1 tori 0 de resid uosequivalentes psra Ia diVision por m,

I~fec tiya m en Le, tomemes e l n Umow 11R lura I a r bHrarj 0 ay conetrnyamos la f? lJ cesi.6n de mlmeros

0 4 0, .A]. A : ; l , "j (3.4)

donde A 0 =ca y AHl =1A,,) p,ara k : - , O. L .. . (a~5)Si 1 1 k ;> nt, el valor de fa Iunciou f (II 1 1 ) esd eterminado.

pOI' 10 que a A h Ie sigue al menos un. tel'mino mas. Pero si

A II<m, f (A,.) es indeterminado y A I, resulta 81 Ultimo

termino de In. -sucesion (9).Asi, nosotros tensmos verdaderamento ctorro crrtorio do

residues equivalentes.1'1. Mcsteemos que el criterin de eq'lrinesiu ualtdad ha-

Ilado poses las tres peopiedades del algoribmo.La condicion de maaividad aqui es observada, - y 'U que

cualquisr .ntimero da cnmienzo a cierta sucesion (3.4) dntadade 18 propiedsd (3_.5).

La condicion de precisionee ve cumpltda, dado-que paracalculan los valoros de f (x) de la i.unei6n fe.s suliclentc

saber compararpor 1 1 1 magru tud los numeros x y m y efectuar

la operation de sustraccion (restando m de 'x). Ccmo rueexpllcado, ambos proeedimlentos (de traturse .de. utimerosescritos on ciarto sistema" unmerico) son algoritmQs y por

10 tan to poseen proplsd ad de precision.Dirijamonos a Ia condlcton a . e eficiencta. La IUfICi6n ius

elegida tal que, por supropia"'constnleci6n, los termitlosde 1ft sucesion (3.4) .son posifivos y decrecientes. Per eso enella podemes ancorrtrnr I'll -termino minimo no' negati vo.(Su. .rnrmero , como es tacH de comprobar, no supera almimaro a-). Pero si &:Itetermino (Ilamemoslc e x - ) fuera mayoro siquieraigual a m, entonces existiria, como an-tes.. un

valor de f ( ( X ) .no negativo, pero menor de (t. Esto slgnitl-caria que entre 10's termino$' no negatives de la sucesion(3.4), a no seria oj Ultimo .. Por consigulente, 0 1 Ultimotermino no negativ:o ·d-e (3.4) debera ser menor que, m, Peroentonces el valor de tea) p-ier.de todo sentido y, 'hablandoen genera 1, a rasu It a e1 '(iltiino tt'ir:mino de rruestra s.u('.e·si6 n,'Do tal modo, sl procoso de construction de Ia sncesionconcluve y su ultimo teunino es el residua de Ia divisi6n

de a por m.



En conclusieu, hemos constatado que ef criterio de resi-

d (lOS oqui valen tes, , desert pto per noso tros, verdnd eramontojiosee Ias propiedades de precision, mnsividad y eficienciurequenidas, 0 sea,ss nn algoritme,

12. Empleando el procedimlento expuesto .sn oj p. 9para formal! los criterios de eqnirresidualldad, hallamosalgunos de el105. Coincidie.ndo can 10 dlcho antenormente,conslderaremos que los numeros cnyos residuos de 81' 'divi-sloti es p reci so. halla», es~611.escritos en un sistema posicional

numerico de, cierta Iiase t. El critario de equirresidualidadpaen la division pOl' cierto In, al divid ir por dichc m. trans-forma, de hsc'hot en residue rio e1 proptonumero, sino a, Btl

escritnra, en concordancia COD el slstemanumerice. J>-Of.€lSU,

.hahlando en general, el criterto de .residuos equivalentespara fa division pot un nfunero COJICreto iijo, depended deIa basa del .sistema numerico. Sirnultanea:rnenLs, la Iormula-oion textual del criterlc de eqnirrestdualldad lJa'fa Iadtvl-

si6n por un 'm dado. en un tl1uH(t sistema de nurneracion,pnede valor- plenamente 'para e1 criterio de equirresidualidad1 1 1 dividh~ par otro m' en un sistema numerico con otrahaser'. Los. ejemplos respectivos seran tornados del conte-nido do los teoremas 19, 20 y21.

Para svitar posibles malentendidos convengnrnos que,Oil adelan te, vamos a eseribln (<<0enorni rU !fi») t811 to e1 dl visorm. como Ia base t, del sistema numerico, en 01 sistema do

numeracidn decimal. Ast, al hahlar del critordo de residuesequlvalen tes para 13 diviaion por 12 en cl sistema septe-

nario de numeracion, hemos de entender que 12 prectsa-manto os e] mimero 3,4 y no oJ 3·3 (US! resultaria ·si.j2 f.neraexamtnado como un numern cscrito {!O 01 sistema septenartoa e numeration}.

Como primer eiemplo hallamos 0 1 criterio de residuesequlvalentes para [3 divir-si6n poe 5 en al sistem a decimaldo numeracicn.

Sea A un 1115mero natura 1. Presen temoslo eon In Iucma10 a.+ b (11 es Ia ull:imll cifra del mimero A) \1 adll11LflIDOS.

que

s! A:~31(l,

si 5:::;;;A<10,

si A<5.



42 ,

El lector 1 1 1 1 0 ( 1 ( ' 1 verlficar por a i mismo que urra fuT lc.i611dC~(,J.'rninHdn do este mod.tlSflti.f>fllce las cor tdiciorros a)-a)fled p. 10.

Do I.n] modo, para hallnr ol roslduo de Ia .H,visioF deei iJ.rt() nfimero por 5 Of; sofic:itmte tnrnar su Ultima cifra.Si ella es menor que 5, entonoos, prccisamente, sel'6. e1rli'~iduo bnscarlo: en case contrario debemo,s qTlit:irJe 5-Sefialnmos que para ounlquier mimero 01 empleo 'do ester ritotio de rosiduos equivalentes conduce :Jconstr.\li'r 1 ) . . 0 3 .

l 'Hlc(' .<;iOlIdl1I Opo (3.4), cornpuesta pot no m as de tres termi-no".

Desde luego , 610 bjet'o (Ie todos los razonamien ~05 efec-luados 110 os descubrir {lei criterlo de divj8ibilidad»p0J:(1 (IUQ con ocomnstodos. sino 0btenerl o por el proced imian touniforme dsscripto en ~ 1 1 p, 10.

Problemo; 3.1. SeJinInr y aualisar .los 'c,ritedos analeg:o.,~de residues oqujvalentes para Ia division pur 2, 4, 8, 10,

H i, 20 y 2;) en ~I f\if'temn rleoimal de numeraci on.Problema 32. Sefialar; y ana lizur ]O~ c;ritBr'i'Os analogos

de eqn irresid nalidad para las divisiones POl':1l)9 y27' on Cisil'ltcma:ternario ae '~numerrici6'n;b) 8, Q, Hi, 18, 211, ;36. 48y72 en'-al sistema duodeci-

mal. do numeracion, -Problema!1H.Prescnternoso1.rluD1el.(.1t:JLural A en Ia

forma

tOIl(L

+ b (0 ~ b < 10h )

y admltnmos que

1(Ll)=

{

b,

- = al residue d'c ln division de

Indete rrn inada ,

, A '""> 10 "1 ';::-'.,

A pOT m, si m~,A< 1 ' Q k ,

si A<m.

lCuilles SOI! los numerus In COli los que tal nlgrrritano,para cierto II'. es cr.iterlo de residuos equivalentes?

I . l 'EtH:lI ' ! .~ 'U,21 Preseniemos el mimero arbitraria natural Aen la. [orma atl! + b, dondeO ~ b < tit, y pongamos q7J,C·

{

b , si A; : ; ; , . , til,

1(i-f)..._. b-m, sim<A<tb,

indeterminada, 8 £ A<m.



'!l [in: de \l!lt' ei (~l"{i)ritm(l de. construccuin. de ill, sucest/m:(:-:A) par 'in regia (0,5) g'm criteria de equ:""jjsld,.trllidad para

la ait'isiOn pot In con una . !1.i.lII:i.f/// ditdU t, (! s ncceear io !I sufl-'cienle que t " : IIJ.,

13. Como' !') cg llJ 'lr l ( ) l"lj 'oll1p1o ex amillenlu:';o HJ l',d teciu de

residues equivalcntcs parn I" divi"" ' i{lI t pnr a en t'l siSI.£'mu.iJedrnll1 rlc lLl1UlOr:u:i(lIl_ -

La e s e . r H _ l I l ' t \ I1d l l t ' i l n oT . ' ( ) nntur.i! /1 en cl sIK,~elnndecimalde 1I!Iffierad6n "t,i,I~)I(\ I I I IIWHI

donde

o ~ rtj -i: lI_l pura t --= (II Ii. .; n,

Arlmitames 1 1 l l ( !

1"1.:I;;;';dO,

"j ;.'l~ "< 10,

l ' ) i ,il <;1.

Problem« 34 " V orifica r (l lie la Iu nnD ) ,! 12 (x) sat islacolas eoudiciorrcs a)~.cl)Y dcte£m:iHfl COli CLlOUJl critoeiode resid uos eq u iva l ell tes en la d i i,~i6l\ pOT :1 .

Problema .'15. ilpllcar 01 criterio eOfl!"'lrlli!lo de residno2

oquivalentes para 11) d ivision -por3:

a). a Los nurneros 858 773 - y 789 988;h) <~] nurne:ro, CU}'fl nntacicn dJ)c,in:)[il L\St[l C-(llllpue.sLlj

do 4444 cuatros.Problema 36. Scfialar yaltul izar l o r : ' ! orl t o r i o s amUQgos

de residues oqulvalentes para In division pOl' 7, 9, 11,13'i 37 ell el sistema decimal de nurnera clo n ..

Problema 37 . Sena la r y analizar )0(> rd_L ( lc ios de oqui-rresidualidad para Iadi ~isj6n POl': .

a) Z, 'i Y 8 on ul sistema de .numeracifiu ternario;b} 2, 4 y 8.en el sistema. de uum urncinn scV tC lH lriu_TEQl{.E~U_22 Preseniemos ei raunero arbiirario natural A

en la forma

a thn_j_ a til!n-j) - 1 - I a til, - I 'I'.n -I, n--]" . -r 'L 1'0,

dimde

o ~ a1 < til. para i =0, 1, ..'!

n,



1 1 adlliil:amns que

{

ao I al + ... I 0,71-1 - I - a".

t (A)= A.-m.,

t ndet er Intnada >

S~ A ?r.'th,

8 ;' m~A<th,

si A <In.

Entoncee, para que el algoritmo engendrado 1107' la ju,neiun Jde construocion: de" la sucesuin. (3.4), por la regla. (3.5)" sea

ori terfQ de egu.ir,.estdu.alidad para la dIt,< it6n po r 11), as' nece-sario y su.flclente que ( t h - 1}: m:Problema 38. In,diear: JOB criteries de residuos eqniva-

lim tes quo « ca em. bajo In ft'il'uJa. de este teorsma para. losf)UIDCt'OS escrltos en los sistemas numericos' do base 7; 9 y 13Q compuestos de 6.• 7> g y "i3 guarismos. .

'Ir:OHEMA 2.1L S{!U A nn ruimero natural preseniado en la

to/rna

a tim ..I_ a·. th(1I-1) _L + a-t: h + a,~. -, 11,-1 '1' • • ~~ 01,

< Z o n d e

O~ai < til- para i = 0, 1, . _ ,. n,

Adn: it{jJJl.Qs que.

{

ao-,aJ - + - a : r - • - . ±a , ; "

f (A) = al residua de d.ioidir i1 -por In,

indetermtnada ,

s~ A ~i~,,,

st v n . ~A<·tn,

st A<m.Entonces, pa/'a que el algorilmo de construaeidri de la

sucestor: (3.4) par la . regla (3.5). engendrado par la tlincMn

I, sea crtierio de equtrresidualidad pard la aivisf.on por rn,

es necesaria y suftoierue que (t" +1) i m:Problema 39. Safialar 0 1 criteric de oquirrcsidualidad

que il'cael)bajo la ferllla de esta teorarna, para los numeros

eseritos en Ios-sfstemas numsrlcos Lernllrio, qulnario, octcnooIJ ectonarlo y declmal.14. En muchos pcoblemas LJenc'poca unportaucia no sfJlo

La magnttud dol cociente mcomjileto de In rlivisi6n de Ull

numoro pi)!' oL1"o, .sino tlimbien, Ia ,de su rostduo , y {mica-.

rnenta il l ta resa 0 1 heche de quo ss t e . . uJtIIJI'O so D (Ill In 0 rio,es deciI', sea 0 no 1;)1primer numero d ivlsihle pur el 'segundo.Despues de 1() clicho on al p _ 1 queda clare c omo enfocarlos problemas' de tal tipo.



Llamaremos equidunsible« 8J,1 In division p o r m e J O f l - 1 1 6 m e ~

[OS ( f Y 1 ) '5 i a rn lJo~l5o ll divisihles 'P ormo!"! H r;'hos no Io son.Problema 40. Cualesquiera quo sean los nurneros de l'B~i-

duos equivalentes para fa division por In, Iuera cual Iuesees te ult.im o. son eCJ.1Hdiv isihl es 1 )01" IH.M ostrar ell un ejom'p 1 0

llue' 10 in verso JHi 88 cierto.Problema 41. tiliW1 cualos m que dividan dos muneros,

de Ia equidivtsi hilulud de e~tog so deducen sus equirresidun-

Iidndes en tal ili..viflion?

Problema 42. Demeerrar qneIa teJar'ion de equld.lviaihl-. I i dad, para, Ia (Jivisi6Jl [lor un nfirnero undo l/t, as oqui va I_(:'n-

~e,'y dJvfr1e eL cnujunto de' nfimeros enteros erl dos closes,Problema 43. lSon correctos el teorerua 20 y BU corolario

para los rnuneros equid ivigiblos?" 15, .Adrn+tamos Ia neccsldad (to Ii(lIHll' rn clare 1 1 1 d Iviai-hi lidad do ,jnor ui. V am os a const.ruir 1(1 ~,\'Lcef!i611 do m une-ros en r.«ro~ , 1 ecrcc iontes:

" ( a . o )

oquillivj"dble!'{ COil 11 para In division residual pur In• .Elegi-rnns HII proceso do (;,(Jn~l.rlJ(·c-i6J1 do Ia sucosion (3 ,O) lotque ?1(',l'llil ('[II IN' teimillo de ell a, mny ur o jgual·~m VlI lounbso luto a m, le : < ; 1 l ( ) N l n pOl ' 1 0 monos rmo m i l s . As;J, c : .UMH!O

01 t'tlLimo' ienl:l.LHfl 110 . {3.6} es igllill a (~l\('j), A cs divif'ibll!

por m: y euando 110, no 1 0 os.

Cua lquior procodimionto do COh~lrucl2i6[) do In !l!tCPf;ii1n(3 .6) se~{i n i l .mad~j ariterto de dfdsibHi,fi(l(l POtl IlL

Problem;a. 44. Demostrar que nraiqliie.r 'crtter,iu rir r()~i~

duos equi valcntes TNITa L a (hvisibn por m . (}ti, fTite-ri() el.e.rllvi-

~i bl lidad pOl' m,Evideritemeute, lns critoriosde dillis'il.lflfdn(l tienen 'Iii!!

snr algoritrnos, es d(>cil'. sa t.isfacer las rnismas C.OIl(liC,IfI'IH.'S

do precision, masividad y ofic.icllcia q lie los criterius deequirrcsidnnlidad.

Es faell compro har (so 10 dejarnos al ]cetor) quo emploan-

do cualquisr Iuncidn f (,x). que satisf<lga JUlfconuicioliOSa)-c) del p. 10 y In coud icion d*},'( I (x) tiOIlQ scntld» ,los num eros :& y f ( . 1 : son eq uld 1 .visthlcs por m, Be pued ~constmir el C l " I : eri 0 dedi I I isib j litt,nd I)O r m a x a c : , 1 . 1 1men to do]mlsmo modo como se construyo 0,1 critcrio do residuoseqni Va] en tes para l!l di vlslon r)()r rn . II base de wd (I rund{Utque satisfag-a Ins condidouesl\)-d).



4 6

r-r,\llcrilO~ algunos c . 1 ' i t:crios do d ivisi))ilidl!(l,

8egu II e I Leorerna 1 ( ) (IS suJi c jen to po d or d oturm inar If'div isilJ ilillnd ( It! Ius Illlrnew,<;> po.! ' 1 l .HO del tipo pa (olevadoa 1a potencia tie un rulmero J)flmo). -

16.Critol'io dedfv lsihlkidad por 7 en r-lsistema d¢cimalilc .,llu.IllCrH l·ion. Sf''' A un nllm-eru nil turn 1. Presentern 0;0.10,

como y ~ , gO 11IZ(! IIl1l.(fJ'i.otOl(;\IlI:o. I!B IIi [ormn r o n - I - b, dondo(J ~~;; { J '< H I, m lm il iondo que

. r ~ (IJ)=-

{

ja- 2bl, ~i A : ; ; ; < ; 1 0 ,

= ~lll.c"l!,ln~:lo la dlvi,'1ion do: A I_}llr 'j, P!l~<l7"; ; ; i l" ,< 19.

1I1Ill't{,IJhll\,Hla, para it .<I"

Problema 4if Vcrilkar 01 cump I[mien to (k his cnudiein-H OS ·11) -( ') y d*J parn Iv f-unci'l>H h (A).

L<\ I'Ilo ci611 hVI) 1"105th \ UII c .rite,rio conocidn de d ivisi-

biJidiul 1) (11'7 : 0 1 guarismo W(t + b (0 ~ u < 10) cs divi-sihle pOI' 7 , tiulc a y sxclusl vum en 1.0 c ! lO tH1 0 lo ~ ::; (I, - 2b;

0 1 niiruero nb tonido so vorH ka nuovam onte a It\ divisibilidmlpo L ' 7 COil esro prooed Im.ien to 1 etc,

Problema. 4()' O (\mOSh ~lH ' q ue 0 1 crt terin obtenldo de dtv]-

;:lihWdad P91~ 7nn es 01 ~~·ritetin de l 'e~<:ithHJ" oqu ivu lon tes

llhnl In . cJivitiii)n rea irlua L POI' 7 .1.7. C.rite,rio do divisibiUdad ]lor 13. l'l'escnl.oInos (It

m im l'ro na tnra l A en lit fnnmn iOn - + b , ;\(1n)i lie.nil.FI qll e

fdAJ=

{

a+4b,- al roalduo < i l ' la

indc t . (HHI Inurln ,

8 , A~40,divil;;i6n dl:'A pOI' 1.3, st 13~ A<.40,

si A< 13.

Problema 47. V!mIlcur ol c u m p l . im icuto de Ins c c n d i c l o -

nos a)--c-) y d") paraI« Illneton II (;If) y Iormulnr el critcrioohtenido do l]ivisihili r la(l por t:t

Pr·ub lem. f l 4,~ ,:QUl-c"fe{'ll}::; tendrri la snsl"ilucioll d l ' - tmuncro 40 pot' 11110 tiiem.) I' en In del'<:'fTIljll.neiun do In {lIU-

don 14?j)roblelJl.f/,4[). J ' : " Iorrua ~imillir ' n las constru '1:·iGJle~ dl~

IOf: ; cl'Hori(li-\ de d iv iF li1 r1 id flU pOT 7 Y HI CnmpOI\CI" los cri-torios a IJfa logo." l dt ' clivisibilidtHI IH ) t 17 . H I, 2 a, :W y 3'1.



4 7

Problenu: 50'. COMLrll i r dos criterlos dH dWisd>ilidad

por 49.18. 'rhmlicn IHu'u los nuineros oscritos 011 ntros :::;L~toma$

dcnumeraclon, li(1 declmales, hay critorius de dtvisibiltdad

de, esc mismo t J I10 ,

lEI oriterio de dt visibi.lidad por 11 en el sistema tieJ:wmerat,ioo a e base Go cornpuesto de U gua.nsmos, Presen LO"-

mos el mimero natural Iiall 10 fOl'TTUl o a + b"don-do 0 ~

~ b <6 (en concerdancla con 10 autcnonnente dleho,

todos los ra zonam lentos- sa . efec tuD .n empleando los sigrlosy donnminaciones de los ntirneros en 01 'sistem a ~ll:1c i._m a ldomuneracten) y pong!llilOS que

sl A~;;ci1,

si. "A - 11,

S~ .4.< 11.

Problema; 51, Verificnr 01 cumplimtento de las condiclo-nes 0)- .) y d *)p~u'a In fUllciiJn t y Iormul ir 0 1 critc1'io

de divisibilldnd obtenido,Ptoblema52. I\.n{ilogo Ilt crtter io de div-LsibiliuMl tH'.a-

bado do conslruin, coustruyamos los' c.riteJ'lo'l de. di \'tsihifi-d'3.u pot:

a) 5, en el sistema de' lIumer;l(;io,ltseptnnanioj

b) 7, en olsistcrrfa' de .numeraciou de J;asel1 0 com-PlICSto de 11 guarismos:

c) 17, en 01 sistema de nnmemcion duodeoimal.

19. Ell. los puntos anteriores u e este parrafo nosotros

h.OlIlOS vlsto gean canrtdad de los m a : - ! diloren L . e s (',l·i.too'ios

de residuos equivaleu tes y div isib ilidad . L o.' f:illo .lidnd prll:c-

tica de la corrstruccion de todos estos C,CltCI'iOS ()~ obteuer

algorttmos facilmeIltomao,0jables que. <1eLcrmi.ncn los resl-

duos en Ia division por algunos .numeros dotcrminados (cri-terins de resid \lOS equ:ivaIentes) 0 nos revelen .si tales resi-duos SOil Igua les a coro 0 no (el'i'teri(lS de tf(vtsibiliIJad).

lHasta quo punta homos C.UillI)lido,pu6s, ol oLjet.iyo pro-

puestoi'. Alg\UlOS crtterlos de cqulrresiduulldad. talos como Insde La dlvlslon pox 2, 3, 5 y 10 011 el sistema decimal donumoracldn ( y eu genera l, por 0 1 divisor U e . L grad:o do Inbase dal )\Ii15hmw do. numcrsclon), realmente ccsultacon muy



4 8

pnic ~ ic :o .< ;y COn-VOIl io n tes, El empleo.td (J otros esta Iigadoa operacion as de c.ftlr,nlo mas 9 monos voluminosas,

Es natural eutoncos, ' ] )USCo.J, : y uptlcae los criterios ded ivtslbflidad y residues equivalentss, cuyo smpleo Ilevaal objetivo poe las vi8smas senctllas posibles.

UnQ de Ins dlfi<'ultade~ con las quo se troptezu 'en 'taltipude pruebas es valuar lit sencillee ( 0 . a t revds, la comple-iidad) del empleo de tal 0 cual criteria con un mimero.'I'al ("arac.tcrfs~iea Iiumerica puede s6r1por: ejemplo , Ia

oantidad de operacionss arltmetlcas con numecos digitosnecesanas durante €II Pl"{lC,DSO de apltcacicn del criteria dadoa uno n otro mimero,

POl ' dosgractu, todn cneacterlst lca del volum en (le 1~)F icalculos depende en gran .med ida .de las propisdades lndivi-.duales del rrumero cuya dlvistbiltdad eusayamos.

Per cjemplo , pOQnIDOS eomprobar con mucha fhc.ilitllld,

que e1 residno Qe '1~division de 31 025 'por 8 es 1, Para cllo

basta con hallar 01 residuu do III it ivision de 25 'por '8. Peropara hnllar cldo la divisiou do 30 525 por 8 hny que realt-~-lir 1 1 ' 1d[vi.si6n rsstduat do 52,5 poe este u l t i m o , 10 cnal ynrequiem uu mayor mimoro de computes (siendo ludistinto.que vse efeetuen mentalrnonta 0 PDf esccito).

O,tio ejerupto es el eritorio de residues equivn 1(:11Le~ J.1;1 raIa divisiorl por 37 (va'ase 01 _pm,ble:ma36). E] residue de

dividir 10014023 par 37" se haUa d.iwid Iendo -pOl' 61 In

suma 10 + 1 4 .+ 23. Como as racHdever, rasulta Igual a 10De todos modes, pecos son los quo puedsn aplicar mental-menlo este crtterto de reslduos equi vnlon tes 61 rnnnero782639485.

Por Cl'O, H I tra tar sohre Ja conveniencia del ornpleo delos criterios de dIvisthilidad y residuos equiva l e o n tes, no-sotros teuemos q" IH l ilejar de.Iado Iacomp.lejidnd do Ins pnw,-bas tndfviduales de divtslhilidad de los numeros y va lorar

las posiblltdades de cada criterio com€? «termino medic»,Cnn till snfoque os de ssperar una Icrrnulaofon _l).red,cHl de lamedlda de. cornplejldad del criterio de dilisi ldlidad 0 Of!residues oquivalentos 0 .incluso hallar e1 que en este sentido~ea TIllis econcmico. POI desgracia a-qui no leneolOS posihi-Iidad de desarrnl lar esto aspacto de Ia (lIf''If,i n en Eornr: .m5 fi dc tnllnda .



§ 4., CR l1 'ER1O.8 (i.b :NERALES

DR llESIDUDS EQUIYA-LENfES Y DE DlVlSlBlLIDAD

t. Todos JoS, criterios de residues equivalentes, ~sicomo los do divisibihdad coustruidos anteriormeuto, so Vim

un tnnto artificiales y a primers vista pareco que allos,

o al menos algunos de ellos, Iueron hallados decasualidad,o bien son el resultado de -pruebas y ensayos. En realidadssto no as asi, Ocurrs que existen procedimien Los de cons--truccion de criterios de dfvisibilidad y residuoscqulvalen-tes para eualquier mimero 'dado de ant'em-ano. Ellos se Ha-man, respecti vamente, crtterios generales de d'ivisibiWl'aao crtterias g(!nerales de residuos equiJ)alente.s.

Los criterios generales de divi·.!?ibWdad son pmcedimien-

t05 de ohtencidn de ceiterios concretes de divisibilidad, Pereso a astos Ultfmos se los puede considarar como los resulta-dos a los que llevan los criterios generales. Can tal punto devista los czitanios generales de divislhilldad son a los concre-tos absolutamente aS1, como e1 concreto es al resultado de suaplfcacion a cierto numero, es decir, al, residue de Ia divisiondel numero dado a por el numero dado nt,

Los criterios generales .de divistlnlidad y residues equi ..

valantas semejan algoritmos, por 10demas, hastanteuniginu-Jes-sus conelusiones }' resultados tierren que volver a .sornuevamente algoritmos, preclsamente, criterios concretesde divisihilii:l ad 0 ,resid DOS equi va l entes.

Pero, para tratar estos criterios generales como algorit-mos, debemos estaz seguros de que e110s poseen las eondi-clones necesarias de 'Precision, mssividad y eficieu.cia .

Para hahlar en detalle, sefialando el criterio generalde diviaibilidad (10 mismo que 01 ccitetio general de

resi-duos equivalentes) nosotros tenemos queveeificar e1 cumpli-miento deIas siguieates condiciones. En ptimer Iugar, paracualquiar mimero m, til debe dar roalrnente un criterio dedtvisibthdad (de residues equivalerrtes) POt este niimero.Dsbera, dtgamos asi, stransfermar» cada mimero natural fit

en criteria caspecblvo. Precisamenta en esto reside su eitcien»cta, En segundo lu'gar, e1 criiei'iogelleral tiene que sertietermtnado, es decir, apllcado a1 mimero dado m, e I debe

.-013111



50

11i vH I' 1 ) < 1 1 "1111 proced lmien tu 1) ion den II i d o !l u u crl t e r i o com-

jrletumontc ('Ollc,rclo de diviaihi.lidad (de reslduos aquivulen-Ll\~) por oste nuuiero. 1'M till, en loreer Ingar, el crlterio debeser- in,ii,,~iva es a ocir, verd ad eraman te ganerai, y dar crile! iusdr:d'ivisibilidud 0, u s .eosiduoe equivalentes parD.cualq~liel'ruimoro uatural vconcebido deantemano.

E'u oste -sentid.g, el proceduntento de ccnstruccibn del

erif,erio de residnoa equivalentes, descripto en el p. 6 § 3,as! C01110 el procedlmiento para haHllr Ioscnrterios de dlvi-

slhilidad doscri-pl:Q ell et p.·9 § 3, J1Q son critsrios generales.En efecto, la -lndicac.i6n de las funciones que observan Iascoudiciones necesarias es un proceso quo no satisfacs, por£ I hora , n inguno ( J e los requisl tos de precisidn, masiv ldady elicienoia.EI.l realidad , estos peocedlmlontos no, nos dan nlnguna

garnn ira (10 q lie 1 a J uncion n ecesarla sorsi hill ad a; quiere

rlucir que 01105 catecen de eficienr.in. Luogo, si la: Iuncidn

requerida prscisamon te existe, a ella se puede Ilegar pill'diferentes via!;, siu hablar ya de que tales funciones puedenser vanias, 0 ::'lca, estosprccedtmientos no tienen :precision.Finalrrlen te, allos tam-pow son suficientes, y podria ser quepara lLnOS u oleo!', valores concretes de m tarnpoco hallemosIas fnnciones requeridas. En todo caso, por 5 1 rnisrno elproced.irmeu'to no iuforma sobre esto. ASL, para que el procoso

descrtpto llegue a : sec un algonltmo debora ser completado

nun con Jnstrucciones preclsas que garanl.lcen 18 construcciende una fllnci6n 1 m , absolutamonte doterminada para cadsmimero concreto m,

Es L a _ l) ro 1,10mn do ealgo'dtmisar» Ia cons Lrucci 6n de 1 - 0 9

critorlos de d.ivisibilidad puede ser resuelto incl.uso Call

J)a.~tante f{lciIldad, pues los criterlos generales de .divisi-bilidad SOIl conocidos desde hace mucho.

De hocho, uno de tales criterios generales dB residues

equivalentes Iue construido por nosotros an el p. 'it § ' 1 altratar sobre Ia cuestion de Ta divisi6n rasidual , So rpuedoIermulae asi: a cada mnneroeutero positi \'0m se Ie conforma1111(HOi,eSO de n;U:: : ; t l 'RCeiol l sucesiva de este numoro m hasta

olrtener uno menor que ~l ()lease Ia uHitna Irasa dalp. 1

§ 3). 'rnJ conlormacica, osta claro, posee todas las j)'fOp L O U fl-dell requerldas: de pr~('.isi6n (nosctros sahsmos oxactamente

10 q IIC conformamnsal mimero m : el proceso de sustraeclonesSU{;OSiVRR lie "~), de maaividad (dtcho pmceso de sustracciu-



51

110::1 IH I ,t ·( tU scr con rl'out(ldll c;on ("lI;1 L q u iN ' m) )" d I) cfi..eit1rl('.ia(l:l.l intcnto siempnc cs exil,().,,(!)~ N'() oh~l,ll1le, cl vnlo l' pr.io l.i-

co, del r:Hl.erio gOIl'end de residues oquivnluntes dcscniptoes m~y pequcfio:

Cierto perfeccionamien to riot criterio gtlJWr'lll de residuoscq ni vn'lentes, basado en Ia sU -,'iI ,nH :c lo n 8 I 1 c('$ i va, conduceIII conocido prnceso de dlvisron «sexngesimal» do llumerosontoros. Este proceso tamhien pucdo S{lr examinado como

crtterin geJlel'al de- residues equivalentes, No 0 $ 1 . . 1 \ do masrccordat que Ia aplastante mayorin. de genic ]0 omplea, pre-eisamente, para encontrnr 108 residues de Ia drvision. Eneste case se razona slguiendo el esquema que transcrlhlmosen dos variantes: en el Innguaje connm de Lodos los aia,s y

en la Ienguaalgoritmica.

En Ia.Lengua !'I)IDun En]n lcngua.olgorltndca

i) Yo debo .IiaIla r nl residuudo In division de u . por0 1 m dado;

2 ) _pa ra csto le-nlo t \l-que d iv i:-nil' 'PJ)I" /II;

il ) eneste momentn cnmten-zn a efectu8,r la iHv.rsionde a por In'".

4) '" divide y obteIlgn (11reaiduo ,

El criteri.) gonoral de restduos uqut-valentos comtonza n transformar1 ) 1 numero m ;

al cf,lW,rio genord :·',h)s {111"e! resul-tadh de ]a tr-ansforma6i'iil 001 1111 'men) m; un critC!rio concreto a ' eresld U"S equi V I) Ientes pa rn la d t-vi§i6n por /l'I, eonststsnte en llivi-

dirpor. m a ir~c tam(1l \Wiel criterto concreto obtonido comlon-

za . a tl'~" Bform l:l_r elnJIU\oro 't;I: Iadivi.sion COD restduu por 7 1 1 , ;

0 , 1 critel'in concreto nos 1 1 0 " 1 1 ! I I o b -[et ivo; al reslduo dl) 111 Jlivi._~16nde a, POl' m,

En este raznnamlente los tres primarns 1111508 sun mil,),

senctllos y pol' eso no puede asombrnrnos que el cuaeto paso,la ejeo lJ .( ;',i6 .n do Ia division en si, resulte tan v olum inosn,La Iina.lldad daIos cribari.Q!,goneT~te& de residues equivelea-b e , " 1 y divisibilic!ad, precisamenta, es aljgsrar 0 1 cunrto pasoa cuanta de que '88 porfeccioIie el segundo. Justamonto estoes 1 0 que se sobrsenttende habitualmente al hablar de tales'c..ri torios.

2. EJ primer criterioigenerul de divisibrlidad (eJ))}mas

exactitud , incluso el de- rssiduos equ ivalen [,os), lLi,st6rkn-



manto Iue propue ....otodavfn a mediados del sigl() XVJI

VOl'

t l J famoso. m a teril a tico fl'an c.os Pascal, Su csencin es 18 51,..guiente.

Sea tn. Ull numero natural. Compongamos Ia sucesion den6meros

(4.1)

suponiendo quo

r.l es iguala al rssiduo de Ia division de ~O IJor 'm;

'2 » » ~ ) 1 Q 7'1 por m,

18 »)} if 10 rz pot m,etc.

Presentemos ahora el mimero natural arbitrarin Aen laforma

lO"an + - tOn.-'1.all_.l + ... + 10 a1+ ao.,y determinemos la fnnoiun

fm(a) =

{

4o+ria, .l-raa2+, ..+r"an,= al resid uo de la divisidn de A

. indeterminada,

s1 10n~m.

pOI ' m sllO~< mZ;;; :A,

si A<m.

Problema 53, Verifiear que In funcioh Fm eatisfaee las

condiciones a)-d) del p , 10 § 3 para cualquier m;As}, hemos conatmido un criterlo de -residllos equ ivalontc,

para Ia division por: e1 mimero arbitrario m; 0 sea" un crlte-,rio general.

Problema 54. Formulae los criterios do residuos squiva-lentes obtenidos dol criterio jfeneral de Pascal en Ia di'Visi6n

POl';

a) '2, 5 y to;lJ) 4, 20'1' 25;c) 3 y 9;

d} 11;e) 7.Problema 55_ Sean ell Ia sucesion (4.i)

rJ , ' 0 . 1 residue de dlvidtr 1'00 pox m 1

» ») 100 r1 pot m,

100 T:a por tn,

el.e.,



53

Deducir de aqui un criterto general de residuos equiva-

leutes, similar al de I:'McaJ.Problema s o . Deducir al ceitcrio general de equlrresi-

~Jlalid}lo en un sistema tnar1" de n umernc ion , analogI) alcniterio de Pascal. - -

3~En el p. 19 § 3 homos habladosobre )al:'propisdades

comparatives de los crlterios de di i , . r isihihdad (0 do .residuoscquivalentes} por un mimero determinado. Como el criteriogeneral de divisihihdad tieno que peoporcionamos el crlterio

de divisfbiltded pOI' cnalquier mimero n ritu.ra 1, en toncaa,nada tiona de partic.Illal' que para distmtos (lumeros puede.oonducirnos a crrtertoa de divislhilidad c3.oIa mlis dtversacalidad.

A~i. por ejemplo C l1oriterio genera l de Pascal junto COIl

los c.dterios de residues eqnivalentes, completamente admi-sibles para la division. por 3 y 11i nos da un criteria ds

reslduos equlvslentes :para la divisi6n poi' 7, muy volumino-

so y de di.ficil aplieacj6n (vease el problema 54, e}).Con relacion a esto, a propdslto de los criterios generalesde dlvtsibflidad y residuos equivalantes, se pueden anunctarconsideraciones semeja.ntes a las que se expusieron en ell), 19 § 3 durante e] examcn de Ia calidad de los crit.eri(5)concretes de. divisihlltdad. En ests sentldo se considecard{)r;timo el crttorio gerleral do d IvIslbil! dad (de (,Bsid uosequivalentes) que, aplicado a cunlquier entero positivo

undo de antemano m,]\08

de e1 major criterlo de dtvlsihllldad(de residues squtvalontes) pOI ' ests m. EI .Iector comprenderaque hallau 0 1 cri terio gon.eral de divisihilidad mas acertadoes una cuesti611 que esta lejos Jill solQ de ser resu olts , si 11 0Inuluso de Ill) plan teo rign:roso. .

§ ~. DIV1S11HLIDAD DR l'O'fENOIAH

f. Comeuccmos pOI' In descripcion de un proceso al quI.'so pod ria larnar «cr!tor,io muy genera] do resirluos equiva-

lentes».Sua k l" j cl'tortll.rncril IH1[.Urnl y r 61 resirlno de [11dh~isi{lI.!

do t ;" \_)or-m:



54

POI' al corolario del teoroma 20 (vea.so e1 1'. 3 § ,2), pnrucualquier n, los numeros rn y e», al SCI' divididos. per III

tambiendeheran ser equirreslduales. -Fracciouemoe ahora el njimero arhltrario A lit} derecha

a h;,quierda. Son<sgrupos» ktl<lJ+,', 0 l ieu, r,ra;'!il~Jl_6mosloen Iaforma

, . 1 = a t}Ul +" .tli.("~t) __l_ + a th, + a -n : \'''~, "cl" • • • 1 0'

o ~ a, < th

para. i =0, 1, ... ,n ,y pengamos que

{

a_nrTl+an~!l'n-Lr ... +ajr+ao,si A~,t'\

f (A)=~l rosldu_~de dividir Apor m, 's~ m~A <v,Hldetermmarla,$l A<m,

E,<l cvtdento que en casosaimtlaces, como antes, 01 pro-ceso de construcciou do los mimeros '

Ao =A , Al =I (Au). ' A'), = (A i) , .•

as UII crltsrio de residuoa equlvalontss.Problema 51. Cel'ciorars(l, no obstante, que osto real-

mente es asl.Problema 58. Supoutendo que t = 10 y . k =, banal' ol

rosiduo do In divlsion del mimcro 1 . 048 57B por 7.Problema -59,. Cerclocarso de quo til criteria de residuos

cquivalentes que acabamos de escrihlr so lo es una form·a,masclarn d~ , aquella gene:raU7,aqi6n del critetio de Pascal men-don arlo en 1"1prcbl ema 50.

2. Hahlando Iormalmeute, III cornponer en IlUpl.1 eleritor io general de equineestdualldad , aphcamos las pro-ptedados de Jas poton etas at.wcllles a su (Iivisibilidad. Sillembargo. la cucstlon re'lativa a dicha divisihilidad es, enesencia, aJgo que trata so bra Ia di visiou dc.ctortos productos,1101' esoven pl'irl('.ipi.o, tamliHin sologro resolver esto I:omandocornobrrse .los resultados i1_u§ 2. Simultsiueamcrrte. Ia .reali-zaci.6n practica del criLerin de cqurrresid.ua lidad obteniuopa ra uuas u oJras combinaciones a e JQ;: ' , valores de Ins.mime-ros t - y m puerlc cmniucirn grandee va lores do k y r, tales,q II!: cl I:u le. 1I 10 r l ( , 10::1 valorss de. Ia Iunc i,OIl f requiem l levnrtl rubo linn considernhlo cuntidnd do computes, que Incluscpodrla superar, on volumon, las opcraclones do In divisiondirecta POI' In,



55

Esta claro que el caicnlo de los valores de In func_i6n Jre5uJ tST<l : t anto mas-sencflln, euanto m snnres ~ea.plos valoresde los nurneros k y r. So S1Jbr.eeJl.ti~il(le que los m a s C . O I l -venlentes, en este sentldo, son cuando T =. Entonces, elvalor de f se obtlene como. resultado de la"ejeC"lICi6n de UII3

operacion mas f6.cil: la adicien.

Segt'in e1 taorema 22, oste casu (r = 1) Hene lugar, unioaye:x.dushamente:cuando- (t'l - 1) : m. 0, con otras palahras,cuando th, divididn por m, deja como .residuo - 1 . Surge e1.

interroganta: thallarcmos para los datos t y m tal k fIU8

(t'l -1):m?Todo 10 dicho induce a estudiar la diyi~I61] de las poton-

cias con maadetalle.

:l. Ampliemos un tanto nuestros conocimientos en e1campo de In teoTi-a de los nfimeros.

TEOREMA 21, (de Fermat). Si el ntimero p es prima, t«

diferencia aT' - a es dtvisible par el.

NQ sa debe confundlr- 0 1 danom lnado « pequefio tooremasde Fermat consu ~gran tsorema», Este ultimo afirma quepara un entero n> 2 no existen enteros a, bye tlilesquo an + bf'l= on, A despecho d's num erosas tenta t tv a s,hasra ahora e1 gran teorema DO fne n idomostrado ni re-!Il-

tado.Corolaria. Si p os primn y a. indlvlsihlo pOl' el, entonces

ap-1- 1 as divisible por p. .

Problema 60. Presen tar un ejeOlpl0 donde tie manlficste

quo tanto el taorem a 24 com o su cotola rlo para un p com-puesto, hablando en ganeral, no son correctos.

Problema 61. Demostrar e1 teorsma (1(:1F('rmnt bttSiintlos~en el resultado del problema 26.

Supongamos que el mimero naturnt m Lione Ii! dosoompo-sicion canenica: .

flO llga m os que

<p (m ) = p'fl-I (PI-i) p~2-1 (P2-1.) ... p~k 1(p!,~1). (5.2)

Las f6ruuilaR (5.}) y (5.2) COlt fo rr il ( Ill pnra .rad a m : natura I

1111 numero completamente doteeminado (II (m). Esto ql1ie~1'

decir qne podemos Iiablar de fnnciou tp dol nrgum onto na tu-ral,



56

TIm"INIClONLa flinu·fon ( f J determinada antes se llama

junrion de' Euler, .La tuncton' de Euler [uega un }lapel extraordinatiarnente

importante en muchas cuestiones de Ia teoria de los mimeroe,Incluso en este Iihro Indtearemos vartas apllcaotones ded1n.

'l'l;l(llt'MMJI 25 Para ml Y 'ittJl! primos enire-si, tiene lugarla . siguiente igualdad:

Problema c z . Calcu lur (P (12), I I ' (120) ': I c P (1000).Problema 03. Determinar todos los mimeros m para los

cuales:a) < p (rn) =' 10,b) q > (ril) =8,

Problema 64. Dernostrne que no exisbo talm, parn 01que Q ) (m) = 14.Problema 65. Demoetrar que q > (m) as i.gual a In eantidad

de mimeros naturales primos entre sf ('.011 my menoros que m.Eata propiedad de Ia Iuncidn de Euler tiena extraordlnarlaimportancra, Frecuenternente ella es coufundldacon In de.fi-

.nicien de Ia funci6n.

1'.EOREMA 26 (teorema de Euler). Silos niimeros a!1 m :

son primos entre sf, a,lwn) - 1 es divisible por m.Los residues do Ia division de un mismo dividend 0 ]lOI'

diferentos divisores, sa hallan Iigados entre si de un modobastente complefo. Del teorema de Euler se puode o.btenerII I depcndencla , de principal imporf.ancla para nosetros, que

tienen los r~siduos de Ia division por Iactures primos entresi, CQn Ia diyisioil por 01 produeto do eflos,

Prob tema -B« . Sean (,nl, m 2) =1, a 1 Y Ib,rnimeros equl-rresiduclos COli A para Jus divisiones por ml Y Ina. respocti-

vnrnen te. En toncos, en 11\ di v tilion por mIm.j. cl mimero

(a m. +a· m ) (m +m )Q)(m.1'''''2)-11221'1:2

sot6:eqttirresid un I con A.4 , A base de [08 hechos estahlecidus podemos Ioruralm- el

criterio general do 105 residues eqntvalentes para un divisor

arbitrario tn, en 1lll sistema t.ilmhien erbitrario do numera-



57

cion t;e)1 aquella forma data y snftelentemente mnnejabla,de Ia que sa ha bI6 en e1 p. 1.. .

Les "rOc()rdllmos. nuevarnents quoeuI11quier criterlo deequirresidualidad .es' un algorttmo, 0 sea, un (letel'TlJ-inadoprcceso y, por eso , e1 carlicter de cualquier dcscripei'6n de 61debera set una narracien en. desarrollo.

Asi, tenemos los numeros m y t. Presentomos men 18forma de un producto m =~m2 tal que (m·lt) = y paraciectapotencia It tenga Iugar la divisibiltdad f' , m 2' Begun01 teorema 18.• tal pr~sent,acf6n es posible. En vigor. del

problema 66, el asunto que brata sohre laequirresidualidad

paraIa division POT;npn, . 'Pued.oser .redncida a una ouestionamiloga en Ia division POT m~Ym2• Pero el criterlo de equi-rrssldualidad 'Para. m o z )0 contiene 0 1 teo;rema 21, y el deequirresidualidad para m}. el teorema 22, Despues de apltcaras to~.crit6ri os de rasiduos equl VR.l an tes c l ebemos 'Utilizarel resullado del problema 66.

Por ejemplo, en el caso do hallar r e l criterio de eq1:1L-rrssidualidad -panda dfvision.por 12 en un sistema de nume-raclon decimal, evidentamente, m;l = 3, m 'l =, y I i : - 2.

El process descripto es crlterio genecal de-reslduos.equiva-lentes, on a1 ssntido de que iiI" para cualq;uicr In, hrind aciertn (,riterio concreto de equirresidua Il dad. Esto se des-prende de Ja algorttmisabilidad de In eonstmccioude Indesoomposlclon canonica del mimero (vease et p. 9 , § 3).

Nos queda f:ormlrlarconclaridad nl crtterio de squirre-sldualidad sefialado para Ia di~jsi6n por mI, valiendol1osde Ia posibilidad de d~t6rminM el indice It, bassndonos on01 teorema de Euler.

5. Aplicando los teommns damostnados construyamosvarias ceiterios generales de divisibilid ad ' Y resid uos equ iva-Ientes.

P,ijemos 01 numecu .r, l Id;urn 1 Tn Y preson l.ornos 0 1 n u I1 leco .A

( > . 1 1 In forma

donde

o sea, 'los numeros a t (l = 0, 1, ... , k) SOIl ( P (rn)-narios.



58

La func.i611F(A)=

{

. a o + til 1- •• ,+U ' H s!A'~ 1O'l'(m) ,_

= ~l rCsidll(~ de lHdivfi;i(m de)lpor m, si.tn~'A<10(jl(ttil.

,. Indetermlnada, 5~ A<m"

establece.icomo BS Moil do comprobar, clerto crlterio genoraldo .residuos oqnivalentes,

P r ob l ema 67. Vcdfic.al; esta circunstanoiu..'J'1::om~MA 27 Si los ruimeros a y In son primos entre. ;~r

. I I lo s k]y k2 ' equirr estd lla lr es, en' la dWlsi6rt, por ' I V (m ) , lo «ntimeros a ir] y (lh~ Bon equirreslduales en ladivistQn por m.

Problema (; '8, Formular 108 criterlos concretes de equi-

rresid'unlidad para Ia divisiCin por 7" 11 ,y 13:, nbtenidos ahase. ds este criterio general de reaiduos oquivrrlerrtes,

P rob lem a B9.· Formula r e1 ceitsrio aruilogo general de

equlrresidualidad para i,1I) sistema t1""r';~'a.rbItrffro,) de Tlume-

racion, Cerciorarse Be que el(',riterio general do residues.

equivalentes, asl chtenido , por. au formulaoidu It O tlependG

do In base t d el sistem an ame l'ic o.Problema 70, Dem ostrnr que (nL 3 - - n) , 273f ) ,

G. En muchos oases 01 criterio genera! de residuos equi-vnlentesno os, flOJ' decirlo asi, «suficientcmente economico»vaque, hablando en general, 01 mimero q i (m ) puederesulbar

dcmasiado grande, De 101hiqU~1 al ornplear este eritetio nosvomo s c bllga do s, por un lado, a sum ar enorm es guarfsmos y . ,por el otro, en 'eate Ct\SO, 'R di vidir los mimeros c p (m)-nax'iosd'lrectamentc :pur m (0 ompl'eara-lg{m criteriQ distinto 'd'e

di'11)i biJidnd y Te;;id uos oqui 'fltlentos):. Por eso, en Iugar deI ii (m ) es deseable probar otrn exponenea manor , J1:n 1 , 1 1 1 1 l

serio de casoaesto se conslgue hacer. Por ejeroplo, param =,37. R 9 puede 'toma r 3 .enl ugar de (jl (7n) = 36; ya qUtI

ItJQD . Qn In <1idsion por 37 deJa un nno com o residua ; param. =f.1 su puede tourar 2 en Iugar dfirp ( T n ) =10; 'yLc,

Il!Wl ~lCWN E 111urilflro.8 .min imo, para d. cual :a1 d iVi-fli e( J / porm qucda com o 1'(!:~jQ1I9 1, 1'0 J lama esponente, al qw :le pertcncc« el "~,i'illwro :(I., I)(U'11 Jond iV i.~Ujll res iIi\1<l1 llnl ' m.

Con rnnyol' r.J:PCUClltri:1 osto liumer() e F l l lnmailn e. ' tpOl ' lenU.a,l qu» perlcaeee a con: el :m 6 rlu,lo . m ,

Evidenternento, cualesquiera que sean los nu:meros pri-tncs outrusl c i Y ml 01 expnuente' 6, al que p,erltme"Ce, q en



It t div [Siall [lot m, no suporn ql(m). Iilste cxponente se puedetomar, precisanrento, en hlgar ilq ~ (m ) , a1 lnnmular al cri-teno generalde divisihthdadrlel p. 5.

Problema 7.1.Modfficar e1 cnltorio generlll de divlsilrilidadconstruldn, ernploandc en lugar do {fl (m ) 01 oxponente alque 1e pertonoco 1"0 en Ia diviaiou residual POTm.

Problema 72. Lo rnismo parn un.slstema tlWrlO Qe numera-

don.

7 . E l (!xpmrente, 1 1 1 que 1,-"pertcncce el num oro a en la divisionll.or·m,llablando en general, tarnbieu puede set' i J _ , ' 1 m l a fjI (m). " P O I " ejem--plo, Ia 8 1 w e s l o u de lo s rcslduos de,.J I·v .id1 ' las potenclas del miinero dugpOI" H, S(lr3

2, 4, 8, ; J , . f a . 9, 7, 3, 6, 1i

tal. que. al divldlr POI' t1, c'l niunero 2 pertcnezca ul, oxponento 'lO-Esto sigllifiea que pam emplear e.l critcrio 'de ('lJuil'residualilhl<t del

p. 5; en este- caso, nos vemos IIIHigatios a Lomllt " = 10 =. \ p (H).NQ ()h~~fWte; en muchns cases JJastlr j,1 exponent» L/~'ji, ( r 7 1 ) - 'Sl'n 1 l 1 ' ,

por ejernplu, ex:ppnenk d . . 1111 numer(f jirlrnu: 11 ~ =i ; t . Y-I ' 0 ; & = ~ . Entoucesq > (m ) =f).,-l (71 - 1), Y ('I tenrema dc : Eulcra(lqllii.'l"t, III Iorma:(011a- f (p':'I)_ 1) ip(l!-Pllrll (a., p) "- L Dndo (JU~el nrnnoro pIX-j ([.' - 1)

es par, c . l { 1 1ttmndlvideudo r c s u l t n 11M ,(\jrL'I'encia.dl!.~lJlldn!d()~, ''1 Jl()SO·I T O ! ! ronom os. que

(a1h1,O:-1Cl'-1) +·1) (alhIP,-! (P-0_1): [P .

GUIIlO P * ' 2, utnbos t1.('tures no ~Hle.IlNI .simult,-"irll',Ulll'nll' scr drvisi-b les P Ol' p, .. Esto sj~jfica que 111es, i l . 'h i L'J.lJJ;1!2'f(m) + - i, I! I ,.I t'll a1•21j (m)_

-1. En eJ Brimer easo nos vernos. (,HI IllS cnmlic:i()nes ,h)1 .ll~(jl"('ma 23,

donde f , : = - t ~ q > (nt). y en el segundo. nil las (l t t l tco1'( 'ml) 22, con ~Imtsruo k = 1/2< " ! l (m) .

8. E l ernpleo de In. fuuciou y 01 teorema d e Euler 110

queda Iimltado n Ios ('.:ritOI'jns de d ivisibiltd ad. 1'01' su inter-rnedin se pueden resolver. pot ejoiTl-JIlo. ocuacluues-con uiime-res onteres.

TJi'A)RE1\LA 28. St los ruimeros a it b sot: primos cutr« si;la. ecuacidn.

.~ t.(m tlm : pu.ede ser l'e.~iU:ltfLen. m lmeros ertlerO /I !f iotia« lo « 'l(u"Ci(!.~

de mimeros ( : 1 : 1 · , !II) donde

x(=n1;<li{h)-1 1 - o . t ;

1=a'I;U'fY t =c b. -at

(l es ciu ilqu iernumero

ente l'o ) se rtu ; SUS so luctones Com'lJ le ta s.



60

Problema 7$:. Demostrnr un teoremanntilogo .nl 28 sinsuponen que los IIUtn()rof; It y P son primos en tie f:\L

Problema 74. Hallae 01 pfoC:odimionto, de resoluciou, on

mimeros enteros, de lad ecuaclones del tipo (5.3), bllsandosesn el rosultado del problema 29, h). '

Problema 75, Resolver en rnrmeros euteros ins ecuaciouesf1 ) ',5 ;1 '+7y=9" '

b) 25x - I - i 3 y = = = .8.

9.TI~mmll[A 211 Sean

m :ij

:toprimos entre sf.

y Ifequirre-

sidual con to(f(m)-1 Cit la divisiOn por m, Entanc.es ios.mimeros

,fOa + b y a - I ' Trb serap, equid~v i.sib le ,~ po.r m.BAsnndoso en este teorema, S& puede constnuir e1 aiguicn-

to criterio general de d ivisibllidad. Designemos call l c alresidue de hl division residual de 1.0'l'(m)-1 [lor In, presente-rnos el mrmero .arhitrarlo A ell In form" 10a + b (0 ~ b«:< 10 ) Y pougamos que:

F(A)=

{

.a I leb pal'IlA>a'1 kb,

: ... ~llrcsidIIO.do 1; \d iv isi611 deA por /tI, para rn<,A <(J, I - l e b ,

iudctcrrn inadn, parnA < 'm;

Si k resulta d'emasiedo 1;1'l\lI(fo (prb#mo f~ tn), OIl su lugar('~ eonven lonte co.locar I en 1II form \1 Iaci on dal .respee tiYO(.1'1 terio, Ii; - Tn.

Problema 76'. Vodfic lH '; pura la fuucion F, el crunpll-mlcnto de las condiciones 0)-(',) del p 10 §3 y d*) delp. i5 § 3.

F ro b lem a 71. A base dol criterio gen eraJ dudlviailnlr-dad quo acabarnos de ccnstruir, dedllcil' el criL.erio de divi-sjh~Uaail pot .loanumeros 17, 19; 2'1, 31,y6.9.

Problema 78. Coustruie un crttenio general de, qivisivi Ii-dlld Illiulo go , representando al mimero natura', arhltrario en

]., Iorma 100a + b (0 ~ b «: 1(0)1 y deducir de 61 ln~ 'J'i~()-

rlos de d ivisfbilidnd par 17 , 4 ::1, 49. 67 , 101 y '199.Problema 7.9. Constuuir llllcriterio(\nalogo de drvisihll i-

dad 1 : ' : 1 1 un sistema l)!"rJo do nruneracinn.PrOhlem(L S(1~ .A bIL';(I d nl cciLql'io g:CJwra,)do dh-i :,;ibiH -

dud (,Ollf;, lpuidn, derlur ir rrit.el'io~ cm H 'rei:os' dft (lhiisibi'lid:rd

p'.Jt-a Ia div ision pur: .a) 21. CD 01 sistem a oct6rlo!) II Oc.lOllU10 d'e DuuJ('rnc.I6ni

b) 31, 011 t11 ;,-; i ): \ lcrnl t duodecim al de numecec ion ,



DEMo~'rRACIONES DE tOSTBOREMAS

L Es suf1c',iont-e I:\Qiin~<.).rt i t le (t =·1.2. Por condicien, sa . 1 H d l a l ' u n dl Y 4 2 LnJcs, que a = Ulit

y 1 : 1 =cd'!.. Pero entoncos, a =d1 'J,' es decir, a; c.

'3·. Nosotros tenernos qua a = b C 1 y b =, U C ' . l . , ' de donderesulbn que a =c1e?,. es decir C;}C'l =. Como los numerosC.i , y Cjt son enteros por condlelon, en Ionces 0 bien, £ :, =2 == 1, 0 bien £:1 = C2 = -1. En el imer caso.c =by ell

01 segundo (i. =-b.

4. Sea a =be. Si I c 1>- 1, entonces, pOI' cuauto I b r>> I a \.. tambien I be I> laj, 10 quaeoatradlce Ia hi.pqt.esis.Qui ere decir quo Ie 1< 1, y como 91 nnmero c ssentero par

condieion, c = 0 , por lo que tarnbien a =.5. Evldentemente, du a =e se deduce que 1 a I =

=,b 1 I e l y de I a , = b I I C I . que a =e 0 a =(-c),adernas, losnumerosc, -0 y I c I son enteros 0 no, simulha-neamsnte.

6. En efecto, soana 1 =bell

'a" = bC2,

dondo todos los n6meros cl' cz, ..• , en. son en torn,s. SfI-

mando pOl' mtombros ostas iguuldades obtanernos

a1+Uz +... + i ' £ T i = li (c1 +cz +...+en').

Lo que se bulla entre paeentesis es un numero entero ,qusdando dernostrado con elto [ustamante 10 que 5() pedia.

S. La damcstraoicn se efectua pot el ahsurdo. Supcnga-mos que Ia cantidad de numeros primos os finita, de modoque todos ella'S puedan ser escrims:

(Demosr. 1)

Designamcs por P alproducto de todos estos rnimeros y exa-minamos la difere.ncia P - L Esta supers. a cada UD.O de losmimeros primos enumerados en lu notacicn (Demost. 1)par 10 que no puede ser numero lJrImo. De talmotlo, alla esdivisible como mininro por un mimero pnimo Ph. Poro

incluso P Io eII por Ph- VOl' consig)lioIlto, a base dol corolario



62

del teorcm n li, l n l l l . i J i e n 1 ; P ' t > 1 . 1 0 dondc P I. = 1! I I I cual('.011 t r l l d ic{! v i heche d e q IC o f I1U~lCI'O pit seil 1 ) 1 :i111 II ( v " C 3 ~ ( )In llug. 24). .

La domostmclon axpuesta u e Ia inlinidad del conjantode uwneros J J rtrnos Jno Irailada pol' E uchi1 es (ell e t sigl 0IV a.n.e.). .

9, S110s mimeros a 'J p son nri:mo,~entre sl. entoncosel teorerna q ueda dewo:;;Lrlluc), Encaso GO!I trario ambos f;{ml'U

divisihlos por un mlsmo IlUIJI'ero, distinto de la unidad, Como

p es primo, taJ nfirnsro puede S81' solamente r. Quiore decirque ell este case a; p y esto es precisaments loque se pedis.

10. Drvidiendo con 'rosiduo 1 1 1 por Tn obtenemos .

M =mq+r,

donde. 0 ~~ r < In. Como M y m son divisibles por a. y h,.81'l.t0IlCCS;, s , o g u : n el corclazio del teQ~ema6, "llnri.bhln 01 mime-

1'0 r 10 deber.a ser, eon 10 cual uesultn midLiplocomull de

estes numerus ..Pero r < m : yIn es el minirno cennm m.(d~ipl0posisivo de a y b. Qriiere dedi .que r no puede ser positivo,de tal modo, r =. POT esoM : m.

11. Aceptemos que los n(unero~ a y b son primos entre siy m es su miuimo eorrnin multiplo. Como ab , a y ab ; b,entonces, pOl' 8 1 tco:rema anterior, ab; m; Seq ab =mk,Pongamos quo 1 1 1 . = ac. En tonces ab =de, as dedi', b =k,asi que b: k, Exactamente de igual mancra podemos per-

suadirnos de que ~(1mbhhl a ; k. Dado que a y b son primosen tee si pOY con d ioion, I e =1, "y asto qui erc decir ,preciaa.-mente, que In = a b o

12. Llamemos 111. almiuimo COm.LW miLtiplo do Iosnnmo-ros b y C. Por el, tcorema precedento In =e. Proslguleudo,pot, cond icidn ab t a, ademas, evidentemente, ob; b, Quiaredeclr, segtin til teorema 10, que abo: be,cs decir, que ab == bek 0, dospues de simplifloar por b, que a = ck; y esto

as justamente 10 que f : . e - pedia,

13, La demostracicn se efectua -pot induccion segun e1tlUDHH'O de Iactores. Habioudo una ~o10, autonces e1 teorema91) l.rivi al. Sup ongaroo 8 que el teorema fue domostrado paracualquior producto de n Iactores. Sea a1.a ,~• • . a.(lall+1 ; p.

Dss tgnemoa 111(12' ... (.tr!pOI' . . 4 . E li este ca so AaT 1 +1 ip ..Si a . ; . +'l : p; el teorema C[U eda demos trad 0, .en CI'lSO con Lral ' io r

nil I J 'Y p, sogun cl teorema 9, sen primos ent:C9 si ; 1'01'01;i111 ,( lI le ['~ ,OT Jo an te rio r, A : p. Dildo que A as un producto



6 3

de - n JHt'I:OfO$, IIUO de olios, pvr eousideraciones do.iuduccieu,

tieuj:: que ser divisible poe p. El Iuorernu queda dumostrado ,Corolaria. Todo 01 quebrado representa UII numero entero,

es declr, su uumerndor es divisible por el denominador.Conslderemos al numerador producto de Jos facboras; p 'Y

1-2 _.. (p ~ 1) =p - 1)1

Ntnguno de los faetoree del donominador delquobradn.ss

divisible por p. De ahi que, segun eLteorerna anterior, tam-poco 1 0 - sea todo e1 denorninador. Pero eirtoneas, deacusrdo

a l teorem a n, eI y p son prim os- en tra si. POI ' aso, d eheI ;li .s erdtvisible por el denommador el segundo factor del numera-doz. Llamando q al cociente de ests division, C~ = pqy 10 exigtdo queda demostrado ..

14....Probarnos at principio que cualquier numoro diferea tede ]0 unidad puede sar descopuesto on Iactores simples.Supongamos que todos lo s mimeros rnenores de N puedenser descornpuestos asi, Si N es prime, entonees, e J se des-

com pone -autnmatlcamen La.en "prod ueto de primos (cornpuestoptec.isamente,de un, solofactor, de) propio numero N) y

81teorema queda demostrado. Sean ahora N compuesto, NJ

undjvisor 'suyo, diferente tanto de el como de fa unldad,y N z el cociente de dlvidir N por N1•Isntonces, N =JN'I.;y ademas, como es facilcoro_probar,. 1<N2 <N. Dadoque IV] y Nt :500 menores de N, entonces, por hJp6te_SJ~,eILospued.cn ser dcseempueetesea productos de ractoresprimos, Sean estas deseomposiciones N1= PrP? .. ; P I < Y

N'l =t(j2 • - • q I: EntonuS;P'1P2 - . - hfbfJz ... 9 . I as ]adosoemposieion buscada ael numerc N _ De tal modo , Iaposihilidad de deseomponer quads. demostrada,

Pasamos a demostrar 10,unicidtui de Ia descomposicion.Aeeptenros que. se nos hayan dado dos descomposiclones del

uumero 1 '1 en Iactores primos: P 1P 'I, ... P h Y ( l1g",· - . g '[.Evtdsntemente, .

(Demost. 2)Como r J : i .q z . , • ql es divisible par PI' entonces, de JICUDl'do

II I tsorema anterior, al menos uno de lQS mimeros. de 'qt,

92' - . -, q l sera divisible pOl' P I - Acaptemos que q1. : pj(01 hecho d o e que consideremos divisible por P J precisarnente~I(pctrner factor dol segundo micmbro de (Demost. 2) no asninguna htpotesis complementaeia, ya que teuemos derechoa cnmhiar do (u-ga.c Ips factores ': I design nr por 9] preci sn-



t ' l 4

mente It .aquel que J~5divislble por PI)' Dado quo 1 3 1 numero

1 ]1 os prime, OUtUJJC6S" oslo us facti hlcsnlarnente para p~ =-:- q1. Slmpfificando })O1' p}la igualdad (Damost. 2), obtone-mos

(Oemos,t.3)

g O I i forma analoga a I I I ante-rior nos convcncomos do q u e u n odo los numeros de ['!> {fa • • • • , q t (per ejemplo, q.J es d ivi-sible por P? Y. poor -eso, P '! =e«•.:Siu~plificando Ia igQaldad

(Demose. 3) por Pi dlsminuimos Ia cantidad (Ie factores desus miembres atilt en una unidad , Tal proceso de simplifies-cien, evidentements, (;a' puede prolongar hast-a que uno delos praductes quede completamante simplW.cado. Sea elprimero ell simplificarse el producto ublcado en el primermiembro de (Delnost.2_). Et producto uhicado en el.segundomiembro rla (Damost. 2) tatnbUin quedani Integramentosimpllfieado, de locontrurio obtendriarnos una igualdud

del tipo1="+l ••. gt,

cosa im posihle, ya C Ine 11) 'unidad no es divisible por ningfinuumero priTtio. Gon 10 cual nosotros obtonomos t:uubiell que

PI =1t P2 =2 , •• ~ . Ph =ll ·

.ILl teocema queda enteramente demostrndo,

1 .5 . -Sean p~tp~t ... p ~ " y qP1Qf2 .•. q r t . respectiva-manto, descompcsielcnes can6nicas de los n6.meros a ~r b;y d, un divisor counin de ellos. Si d *- 1, sera divisible por1 I J ' 1 .aumero 'Primo p. Eatonces, de acuerdo al teorama 3,

a !p Yt :p, de rnanera que p se halla tanto en tre .Ios .nume-108,Pl. P2, ... , p,,, como ('JILreIos·qi. "h•.. 'J q,. POr eso,en tre IGS rnimeros prtmos que integran Ia descom pO!-licioD

cllIluni.ca a habra uno que integra La canrinlca b.

A la tnversn, si a y bson primos entre si y p int.egl'a larlescomposlclon canerrlca Ib, entonces, b no s e r a d ivisi blepoe p y p no lntegrara Ill. descomposlcton canenica b.

16. Necesidad.,ColDO a ? pft (i =, 2•... ! k), de b ; a

ohtenemos Io requerido mediante I a simple referenda I I I

lanrema 2.: 1 . 8 sufieleneta sa demuestra por inducci6n. La divisibilt-

dad ' I > : p l f J esuua de llil'!eondiciones. Supongamos astable-



cide ya por nosotros que

b :p~l ... p~l- '(1i:.; i«; k).

Ademas, dtsponemos de In divisfhihdnd b ~ Pfitl. Comolos nurneros p~l ••• p11 y E,#,~1 segun e1 teorerna anterior,son primos eul.re SI, nosotros podemes omploar 01 coro1ariodel toorema H, por el que

b:p«l pl'.J.lpC(./i-1

- • L .,. I 1.+1 •

AS1, el paso Inductlvo queda fundamentado.

'17. Necesidad. Pongarnos que a . ; b. Del teorema 13 se

deduce que cada divisor prime b as UII di'V'isol' primo de a.De tal modo, b posee Is forma

P'hplh pPht 2 ... I J _ !

donde 0 ~~1

0 ~ Il~.' , " 0 ~~11"

.Supongamos que'~l

>>a1, Como

P'h-ct'p!h ptl'~1 Il ,.,. ,,"

as. un mhnero entero, eJ .numero del 4ltimo quelirado debora-ser div,isible por el denominarlor y con roa' ! ; razon por p~l-«1.

Psro entonces, sog-un 61 tooremn 13, a] menus uno de los mi-

meros p < } " • • " P 'u debera ser divisible po;r PI' lo que nopuede 991:'. Qulere decile que ~l ~ al. Como para nosotroses) indiferente Ia 1I.u.mera_ci¢n..de los dlvisorcs primos de ul

hemosprobado con eUo que tambHin~2 ~ C(-2 •• ,•• , ~,,~ ah

La uecesidad quodo establecida.-

Para damostrat la suficieneias_efullnmos q}IO si b tien~la forma in-die-ada, entonces

a=bp~t-litp}J-f>2 ... p:,,-Ilh•

18. Esert hamos In descom posicton cauonica de los Ill]-meres m y t:

_ "'-1 an t_ III 1 \ 1rll-.-P ,··Pn' -ql ··'''t·

Escojamos entre los pdmos Pl •... , Pn aquallos quedivtdan t, ° 803, que se hall en entre qh .•. , q l. Para ser

precisns, aceptemos que PI' .•. , P r s e a n respeotivnmante&-Il13tD



I f] r :

J'Ollglllh()~

entQUCOi'l q

ue

! I !_ " _ , I t I. •p ' Y . r (I fltl~: p t : ' G r.'1 • _. , / 1 . "• r' J-r+,l r ' 1 , 1 . •

S~'g_(111 el l0orbll[\ l.;j, (m .1, t) =- L l\dCII1i'i.::;, tOIO()rTl(lS (,I

Jdi I[ll'l'() nutu J'ifl I.. q lit) no StU'11I infCl,jor 11I iugnrul de JM:;lvla-ri ()I){~~

tXJ. C lT

" K " . . . . , fj;"'

EM V SlgllificH quo r> ~l1'lr i =1.1 . 1 ) que, do ucuculu con cl tooi'tima 17, tit

HJ. Kcct'sidad. Seuu

(L =q l_ + 1'1 (0 ~: r1 <m),

l) = my ' ! . + r2 (0 ~ 7:2 <. Jli.) ,

pOI'

(Domos t . fl,)

(Demnsl , f )

Cornu j1 Y / ) NUl ( lC j ll il 'r c t'iduaJes, 1'1 =r~. Esto siJ tnil'icn que

(l - b =m ( 'J ) ~ q~).

0 1 ' 1 d ec ir , (fl' ,,-- b) m.S uffciencia. S O H (a - b) i In. D ivid Iell d o (I Y b por In

ollle,IIemo:-\ (Domost. 4) y(Demofll. ;J), }\dernii$,

( 1 , - £ 1 c=o m (q l - q2) + r1 - " 2 '

{IJ, - , 1 / ) - In (qj - f J ' J ) = rL - r i J ,

SegLIll ( l J teorem;l ()j (r[ - ;-2) ~ tn, P eru I rl - f''l I<m,o sea, que pill' M teDl'emH 4, r1 - r2 '= 0 6 "I =1'2' N esto(\E-I pl'l'd::;anWlIlt> 10 que se psd la.

20. n o 1 1 1 condicldu a h a l 3 " e dl~1 I.UOI'(HlHI H i teuomos

al -=:C/)1+ m q,{ )

a2 -h~+mQ2.'

(Dcmost.( 1 )

an =,b, ( +mq " .

Sum nndo rnicm bro :\ mtemhrn estns Igua lda des. rlospuesde A i 1 1 1 P les 1.'r111lF.fc)rnHiciones, obtunemus

~(ai+ G.!!,+..-+ Iln) - (h1 + Q : / . +. . ,+ /)11) ='"

=- In (rh + ( 1 2 - - ; - . . . + q'i)'



61

qU(1 ),01' t~1 '1,()Ol'BnW

Hl'l.5igllificuI]UO 1)I'O('l"'HUWII~I)

la!<SII ina ,

~0I1 ,Ct) nirrosid ua les,Pltl 'a derl lO,,"LrItT que J ( )~pTod 1 ,1 c l.n s Siltl cq uirresrduales

: ;;eilalaml)l;!- la sigljieule Identidad:

( I e + hf)'t):{p- + qm) = kp + (pq + lp " I lqln) m,

De ella se doduce quo 01 prod ucto de dos .1 l{UUOI ' ( ) ! l del gel! ema+ bm. "H snltll nuova rnente un mirnero (loJ mismo gellcro.

POI' eso , raznnand o tnductivamonta, nos con vencemos de

que ol prod ucl.o dl' cualquiee cnntidad de lII'imeros tipoa . + - bm . es til! ntimero de Igua], tipc.

111l1tiplio.nnd.o LOm ll!l'O p o r r.cl'miJ\O L l l t J n o ; ; I!lf;; igunlallOO.(D em ost. 6) y apllcando aJ seg1mf io, m iem ln-o los ra zona-rni entos etectuad os ffbton nmos

a j , a , . z ' . - « - n , = b l _ b 2 ..• b" + tni,

donde t es UJl l1fw H !£ 'oento !'O. De tnl m odo, 0 .1 heche de que10$ pra il uc tos sun cqUirrosidunles queda pro bado,

21. Neccsidad. ~;j cl n lgorHmn dcscripto es tin c.riteriode resrduos equivaleutes pHl'll, 1(1d ivtsifin por m; entoucos,para ella, tllmbi6il lus.numeroszl y I) dbbcJ'iill ser equirresi-

dU Slle8,. En particular, osto 5erli II.:-!l si A =' t + b, Peroosto signiflca que A - b =k

; m,Sufieieneia, El'1l nuestras d()sigllll(~lOn(lS A - 1J= at",

os de('ir', los lllJmerbS A y b 3011. eq.l1ino"iid uules (HI la dlvi-~6n ]_lor m,Si: t" !. m, eutonces pllrac'sl;::t, pOI' ('1 C-OI'OIarjl)

del tenrerna 17,· cll.os lambie'" ~O]\ cquirresiduales. Por eso,

on esto 'ca so , In 5uccsIon 1101 A l' • , ., cons tru lda COil Q InlgM im 0, es til I;0m P uesta pn r {I um eros q II(! so n cq UirI'I'Si-duales en Ia divisiiin POt m, ,As! PIW~i 01 peoce-o de constnrc-c'ion de dichasu cesion es criterio de equi i . ;w"id nnlidad paraht division _POT nt.

22. Ncccstdad, St elalgoritmo descripto esroalmeutc lilt

czitecio de equirre-Idunlidad FUJ'H In di.'dSi6u por m, C:!l

mismo, en. parl.il."uIllt, tamblen deuer(i SBJ' nplica bl0 al n ume-TO A =li + ao. Aqiri, f (A) =lit> + 1 ' Y 1 < 1 . oquirrosi--d.mUtlad de 1ns:_nLl:UI,t~l'o:;A y f (A), en In tlh'isibll porm,sign iIica q 11& (til' - 1 . ) : rn.

Su.ficiencia. 'cell A :p t/,. b;11 LOJIC~()I:I, do 11) defi Hi-<.'.jtIH tl 0In fUfi('.ion t sadesprenda que

A- f{A)=a" (tii"-1) f--a,l--j (ll«II'-Ji-l).

_ , . . . +(1;, (t'l - 1).



Aqui, cnda sumand« (vease, por ejem'pJo, 91 problema 22,p;~}) es divisible POl'. tk - 1. Esto significil, que si

(til - 1) ; J m; tamhieu A - f (A) ' i in. La equirrestdualidad

de 108 restantes tlkminos de In sucasion (3.4) y t~mb~en dfilsus terminos, 5 i ella comlensa por e1 nlimero A <tJ 1

, se

dssprende de 5U conatruccidn ,23. Necesidad. En el caso de A =il + an. In oqui-

rreaidualidad de los ndmeros 11 y t (A) =~ :_ t en 18

diVisionpor Tn, nos da (til + 1): m.SlIficiencia. Ell nU815f;rO ' caso t.enemO's que p8r~. A ~ til.

A-J (A)"," an (tl,,'"±1)+ a,l-.! w , { n -1)= r 1,)+ .•... . + a l (til. + 1) (Demost, 7)

[aqui, el Sig)10 «n;18.51)se 'balta eli- eJ tarmioo que correspondoal cceficien to imp8 e con k como exponente, y el emenosa, alcoeficiente par). Segun los p. e) y f} del problema 22, la

expresi6n th~ + 1 para un r impar es divisible por L " + 1,y Ia tkr - i, para un r pat, tambi tin es di v iS fb Ie por tl' + 1,.EsGsignificn qua si (til + 1) ; m1 en (Demost. 7) cada termj~nQ as divisible par m. coatando desde la derecha, 'j, por10 'tanto, tambien 10 as toda la difsrencia A -/ (A). Asi

pues, los ntimeros A y f (A) , en Ia division por m, resultanequirresiduales, La eqnirrssidualidad de los terminos restan-tes de Ia suoeston (3.4). ast como de los proptos termino!; de

esta ultima, si ell!l comienza por e1 mimsro A < ~/l, sedesprende dtrectsmente de su construccieu,24. La demostracfcn se efectua an Iorma tnduetiva -pOi" u,

Para a =t

(11' - a = 1 - 1 = = 0,} ' U i p.

Supongamos que a P - a as divialhla ptl., P.y demostremosque (a + 1}P - (a + 1) tamhlen as divisible por p. En efae-

Lo. d~sco:mponieJldo (a + 1)P'por fa formula del birromio daNewton tenemos .

(a + i) P -·(0, +1)= a P+ G'i.~P-1 + C ; a 1 1 - ' 2 + . . ~. . . +Cf,- I a--\'1--1=" - a + C;aP-o, +C;a P -1I-t- , ••

P '1'" +Cp- a. (Demost, 8).

i i , P - a os d tvisrb!e cutrep por I!Ipoteais, De scuerdo co-nel



6 9

corolano del teorema 13, C~ (1 ~ k ~ P - 1) lgualmente

es divisible por p. Por consiguiente, entre p es divisiblecarla snmando del segundo miembro de la telacion (De~most, 8) de ahi que (teorsma 6) tambien 10 sea loda 10suma ,

Hemos hmdamentedo ,9] paso inducttvo y demostradotodo el teorema.

Corolorio, P O T e1 'toorema de Ferrnaf

a- - a =a (pp-2 - 1) ; p.

Si a; .eneste caso, no es divisible -por Pi s~g(inel teoroma 13,por p debera d ivid irse aP-l - 1. .

~5. So-an ~ =f l , , . p~h Y l 1 l : 2 = q r ' • . • qf" l- Par elteorema 15cadn uno de los nfimeros Pt. . .•' p,._es dlferentede cad a uno de los ruimoros (b •..• , q I' Quiqt~ doc.i'r que 111desconrposlclon cerronica m1m .2 sera p~l ... p ~ 'r q 7 ' , , . q-IV.POl:', eso

(fl(m1m2)=pf1-1 (1?t-1 ) . . . p~h-l"X

X(Pit-i) .q~(-1 (qt-1) ... q~l-t (Ill-i),

es decir,

I f . ' (17h~) =f > (m.) If' (m'l)'2fL Demostremos al principto en forma d(Jdllcti~(1 segun

a; que .apa,- Ip{-I)_1 as diviaihle por pu.. Para a =1 In

l\firm~ci6n demostrada, avidentomente. as corofario del teore-rna de Fermat, cuyacerteza yafue estalileclda. Dc tal modo,la b~t~e de In induceifin queda dernostrada.

Suprmgamns ahora que (apa-'I'fP-l) - n"p r J . . Y exami-

nemos .la expresion aJl4(P401)_ 1. Nosotros 'deberemos dc-mostran que ella es divif\ible ]lOr pa.T'L, Pam

aPG.(p-H-1. =aPU.-1r-P-tl)P_1.

Dado que aPa.-I(rI'-l) - 1, scgun hip'otesif), es divisible

por pri. 01 mimero aPu.-l(l'-l)ltieno 1 < 1 forma Np« + 1, Esto

sign jfica quo

aPl(p-I)_1=Np«+ 1)'P -1.

as de-dr, [lOt la f6rmula del hinomio

aPrl.(l' II-1 =Nilrt.p +C~NP-t n'1.(p- 1) . + . " . ., .. +C~-INpa.+l-~.



7 0

m pr im or suruanrio dtl . I l l {iJLima suma ~I:I div i.c (ib lo [ lor p'J.+1

yll ql1() lo es pOI' pi:t.)< V ' Y . p > - a -', 'I, Rn cuda uno do los.AIg'l1ielll.l',';i i\11l"illllJ('I~ ]I - 1 de est,n adl'.i6n eutra p COIl unax ponento no illfcrior < I 0:-, Y adomas, oj coefieionto bino-

mial que, on vigor-del CJIL'ol:u:io del teororna 13, os divisi1Jlopor p . Ql1iJ'!'c d C ( ' ir QW3 t;',:dl'll uno de estos ~lIIRIl'IlClo;'l tambi en

es J.vi,"ihIH por prx+l. Por liJtimo, 1 .1 dlferenc.ia 1. - ~ =

III !e-flP - set supri m id a Pm : eso , flJ)gUII el I.enrcrna 6.

(al/IZ(i'-ll_l) - I,o;~l. De rill modo quedu anu lizrulo eLt;u!'i()

I!JJ quo f}1 nlIUWC() In P(I:;;f\J}. soJaJl lenl iH 1J1J diyi,I()T pruno811pnn gn rnos ~tlO J ; < 1 q lie c I t oo rema do E ~II()!' rH O dernos tea-

do pa rn ) 1 , , ) 1 ' . IlidirC!:i Tnl ' : t ' m~, siendo ollo,4 primos on 1;1'0 sfD omo s Lrun ll 'I~ ~ 1 ,'o 'tC(J rom 1 \ fill ra el id ico n~~ mLm~. S iInogo adrni tunos quo 1it, =p·fl .. 'P~}I y m 2 , = ~~t ' ,tHltOIH'~!'\, cou l( da c vi deHl'i", IlOSlltJ:OF; 0 btencmos, p rec isn-urcnte, el p:l:O(ni.IHlllel.l'V'() indispensab le pa ra da r [in n la.1CTI 'L08 truci (Il l de 1 teoreiun. As I. d t) 'moi: ' t rcrnos (~l ~IIi rmuci 6 n

emrucindn.Seau 198 utnncros I , a Y In primos nlltl'O ~1. EIltoJ1(\{}~ 10

::.t\r{UI,IHhyrnii.s. It -'{m~. QUt{W(l decir q 1It"!.'(I.'f('''-£1 y·irlL tn. inbi(>nsou primfls ell tre _ 8 . 1 , P br eso, segun h i 110LOSj5"

((t'II('h.~))<"1;1'''1_1=a....'!flI''+'(r''~)-i=a'W\'');.1-''.'21_1·_ a'ttmJ_i

t'.-I di vtstble por m~. E : : < c . \ ( \ t - n m e _ n L t H ] o iglllli mauora 1I!),':1 con-vencemos (10 qu o a li,H lll - 1 ei\'>divisible t .mnhien nor (nz ·

Pcro como 1 0 . , IIlIIIloroHlnj

y m,:! so n prim os EmLl'OS1, a(~(1I1,}- 1 t~~ ( j ivisl bI0 udorruis por su 1 J roduc to, n :l()11, 1101' In. RIl u o r e m u do J 1 } u . i f ) 1 ' ql.ltJfln c h : 1 - J I ' I ' f ) , o : ; L I ' R d o .

27. SC;Ul

k1 -' ij (m ) q l_ + r \

k '1 = I P (rn) q? I· r.

a i " _ (ll.11II:f'1t+ T-;- ( a JH n > · J ) " '_ a . r - •

.A l:lit~md e 1 0 : - . I ,('(Jl'cmn~ d t<E ulor y 20, (1.'1"'' ' ') '1 i a T t',~e(] II i-

I'I'C'''iI1 11;1 I C\IIJ nr en 1< 1d Lv-i~i6n J)O; rit. De mod 0 Hlill logo 1> U

t'!'it:llhl(~('(\ que 011C'i"-tll dh""I(HI son O<lll'il','e'>idllill('~lm; nump,.-"OR lJ,/I'~ Y (lr J i ; : - . I l . J :-;igllifi!:'~ 1 l[ lIC 1 tlIIY.lbi~J') los n(I l1HH'<)1: ! (till

\'a)' ~ "O t I Ofp !ll'rf;'; I t l \1111p , , < : j t!nlll II I v i F \ ['tin por In.

28. Hn l lern.» III pl'llldpiH pOL'Io moun- IHIIl " ( ' - " ' I . r i l l c . i 6 n

\..t:'1 1/) do estu ecnaciou Eviden temonte, para esto e~ suli-



71

c icn to H JH"fH Ilr.:aJ ' till numern :r.' que (a j" , - c ) : lr. P or ~J

l.enrernn de. Epler (alr'lil) - i) ; ~, QUWI't! tit'd)' (IHI>.

{ca'j;{f)) - c ): b r que ef IIUmt'l'O ca(P(!I'F ..J so P"tlfJt) IIOJTlflr

como Xl

Sean ahora '(.e", , / I , " ) cualquior 0(.1'11 rosolllc,jou do i i iecuaci{inax -I by',- c. .Mustremos quo I()~ JJ(il1l1~('HS ,r ' yx-"

SOJl equirresid IIOJCc1't'1l ladhrjgj{m por ILEll (_>fp~~o, lWe-pl.cIUOf'

( IU O

ax' + f ly ' = c,

tu:" - - I - u g N

=, c.

1 : \ t ! ~ L l l l l d n I ,O I 'IH l l I q por tth'millo 1 1 1 ~oglllldll l~ll<"dlltl i l e I I I

p rim ern o h t 0 11 ('. T Tl liS '

a(x' - .1:" ) - b(y ' - J I " ) , _ = 0,

d I) rlrmd e - a { X ' -x"')i 'b. Como por C O ' 1 l d idim rl y b ISOll

:pri 1110.0; entre ! ' - 1 , segul'l 0 1 teorcma 1 2 . tx ' - x") : b. l'nos

~[1l('.,dll citnr 01 teoromn 19.De tal modo, todos Ioavaloros conocidns d o x se ha-

ilan entre ios uumeros

'Xi =a(JI(b)-1.+ bt,

POl'O (a.,t't - c) ~ b, nE Il que, supouiondo

-lJ.Xt,+ c 1- fl,!i (tIl

l/(= /) , =c b <ul ,

obtenernos que I;otlaR las parejns rle muneros at e If l ~(JD

r6sohJC.l()Jle~ d C ' . nuostra ecnacion.

·29.' COI.;slflercnqlo que m. y - 10 son primes outre sf. 10$

numoros i0u + h y (lOa + b) 10qfr'' ',-j. I Seg,all el toorema'1G , resultnn eq \.l id iv isih les por m, Pern

(jOa + lJ ) 1t)qJltflJ-1~.; 1 0 q · , m l q ., + , 1Q'flm .. - 1 b ,

asl , rlo aeucedn II los teorcmas .10 1~lIler y ~O, 1U a + - b es

eguidivLsiblt , POt m e(Hl cl miruoro u, -I' kll.



IIEsOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS

i.0 =a·O para cualquisr a.2. a =. 1·a, quiere decir que a i : 1.3, Sea t; a. Esto significa quo para daterminado onte-

roc', i=c; do rlonde sededuce q_UB lal ,< 1. Y como a =fo 0,

li= 1.4. Es .'Iuficisntet!lmnr eualqnier c>1 . Y 'poner b - = M.

5. En calidad d'e,tal b sa puade tomar, pOl' ejemplo, 2a.Sua en esto caso que par-a d~ferminado c tamhien 2a ' c .yc : a. Asl, hallaremos tales dt - y d2 qu e 2a =le y c = d2f£.De nqtll se cleJllCO que 2'a = (l)d.14 O. despues (10 sirrrpltfi-car por a, que

2 =ld~.

Pero para los ell teros dj Y d 2 tal Igualdarl 50,1 am ente esrac~ibJeCtlando uno do estes mimeros es lgual a 1 y el ctroa 2. Si d , 1 = 1, entonces c =2a =i pero si iJ,2 ~ 1.; OIl-

tonces c =a.

6. Las rlmuostracioncs nose diferendnn I'll nadn fie {as que s~

hacon Dll cl, caso de divillibilidad cormin,1. Sea ,n un nilTu(!In fijo mayor que la nurdad. ::,snp\Hlgi\IUOI:i .que

a: b 81 buy un.entero C ti),l,l'que 1 1 - =e ' Y C ~ n. La justcza de los leo-- n

remas anrilogos a los 1, "I y" se ccmprueba sin dtficultad, No obstante,ai'aflrn.it ' imoB ql\(' II· -= lIb Y II =' nc,' (,nt()nc<',,; It : b y b ~ e En esto (!dso

r~ 1 1 ,

a=,a li y, dado qm ' ri~ > II, Ju div isi I> ilidad a: c no ' t tono j ngar. A~i,~(i

lam puc{J 10 t!t> nc (a +a) : b.'r .

8. a ) Scan ~ ' J a~.doe ourner05 mlnimos, Pur In dtcotonua, o bienII,~ Us, 0 bien liz - ~ aI• Si al ~ am. entonces, d(,_bitlll a hi pequefiezde a.1 t!):Ilet:n9S III=all' Si Il-z;;;;' a ll entonces, dobide a La pequefiez doilK. tomamos al = u)l'

b} Sean a 1111H tim ero d('wrmimrdo.b1 >~b'i!.105 dos lrunodlntos antl~riores, Pon la dicotomia, 0 bien lit ;;;;..,_ z , -0 hien b 2 #b l ' l'llril. to'ncI'ctar

ac.ep_temos quo b1.? b2 •• Noso troa .tcnem os qu~ a ;,. 01 ;,. b~,.y -eomual DUIDI!'l':Ob~ ea 01 inrnedinto al!tQ~lor de a, 0 bien bl = ti 0 bien bJ == b~ Pero pur rcquisi:tn bl iF a; quiere de-cit' que lh """b2 Y Ia uritci-dad le.xigida qur-da demostrada,

c -) Se Ilnrnanumero imnediato posterior> lie fl--;\ UUO h. tRl que b -;;;'a

y b':F a, y de b;;;" (' ~a se deduce que (I Lien c =- b, (f bien c = II.

SUp().lll'lImv~ 'tUi,' (ljerl-o a no tieno un U(lIt;tt.'fO tnrncdlato PO!!tc~iOf.

li:slu signlfulH que para cualquler an ~ II Y rliferenlo de a, sellllJlrrrl1 u nUn+l djver,~ ( l t auto dean como , de a, till que an ;;;. till,+l ;;;..a. ThmUlIlOSahora IIU Ul ~ a aruitrario y distinto de a (en vigor de '20 csto so pucde



7 3

hacer) Y pllrtit'ndo ill' 61 ccnstruyamns Ia SlIc,l 'si6n. infinit.a dl' n(iml'r(lsrli .v(!l ' '$Q$

Il:l :;;;;'a2:;;;",· •• ~(Jn:;;;" a,,+l'.' : ; ;; ; "O ! .

La propia eiisten~ill Of 'es ta Sllresion, contradioe 114 °_ POI' consig'uil'nte,('1n{nnl'm lnmediato p(l .~t"r ior existe. ApHI.'III1do I i i . rlin~t(l.m~f1se-esta-blecosu flnicioAIi, com o st:' hl'lO en los pun los a ) y t il "

9. UII pl'ople:dad l.raositivu (3D), In iUTIlitRdo del eonjlln to de m im e-ro s ( 50 ) . I i i propicdad 4 ° y Ia exi$tenci l i del l1\ lmCI'O inmolilnt.o anterior(HO) l ligUt'D en. v lsror La I'lico tom ia se 8\1stit llye po r tri:cotomfa (0 bien,; :> b, (Ihien b > a, n hten a =).

TA l propledad refIexivll (fOl ro~ I'lt fl lncorrec ta . ya que a > a -

mmea es c.iel't.o. 'POI' fin, 10 que conr-ierne 11 III llfirmaeiO,o 2° fomnilmpDte sigw' env igor (pu.nq :ue. l'mtfl'ra 31'1'" qu(> t ambi~n nos-parozea un tanto para-rro·jfco). '

En efeeto, rigul'osaml'fltt' hablando, esta afinnaei6n. en TIl1Pstr.oCflSO so loT'mula tls{! p:nl'a los mimeroa nntueales eualesqnlera a y b,

( 1 ( . ' a> b y b :> a lie d ed 11 ce'q t1 o a = b.SUl !On~amoB quo i'stll enunciactdn 110 es cterta, F.ntonc--cs hnlloro-

moe ta les m im eros naruea les a y b que a l.m tsm o tiem po a> b, b > f1 ,

y Il #> b. COila. imposible. t l l 'Mntrai l ic(d6n ohtonida iI~m\lt>stra Qlll'

nuestTll Afirmacion es cerrecta,10...Admitamos un coniunto ordenado ]lor In 1 ' 1 > . 1 a e . i 6 n &- ~ poseerlornde. III:! prOpiedadps 1"_1". Como ya IIlt'r!l.l'stableeid,o. el cnnjnntn ti~ncnn elemento mlnirno. Llamcm.oSlo Un' DI' los-resultadoa del problema 851' deduc-e quecada ( 'Jem ento H e .ne suinrnedlato poate-rior Desi~n['mo,~'pOI' al 01 I 'Tl)mcntn qIll' l'R Inmediato p!ist!1.rior i l f 1 f7q. pO'l' «2 el flllD I'S rn-meoiat,o 'Pn~tcr ln.r de' al;, etc. C om o l'i;> su]t;a_no ob tenemos Ia sllcesion

00, (1;1, il!). • • • (R, n

oOl1de paracealquler n,•. ~n+l ~ an ' D('1 hccho '1IlQ la rl'Inc16n f- e~rcf1exiva y I:1;tlTi$litivlI !I~ tl(l~pr(lnaC qm! Ilj ~ IlJ ?!lit-n Y

l ' : ' (e·hlsivamentecuando I :;;;;.. Nos qneda mostrar que III SIICNllOD (R.n abarca lonoslos obietos exam inados POl'llosot-ro.s_. Esto S {1 lO,!!J'a por Induccien conlin razonamienf» muvsut'il.

SUl!on~8:mos.quI_. finn o J){~rt~n(lr,(l ;\ I:r sUC-f'si6n (R.n. Consldcrnre,mos como primer' paso illl nuestro rasonamiertto por inrlute.ion Ia 00-t .tm c ilin d e este b o o Ac e-ptemo s h ab er ( ,'fllc tuA c ln 1 1 - do SIIS P l lS0S , [t,re.o,uTtasrle 10! ; ! euales hemos ohtenido nc-tp.rmlnlHto element. . , "'!I-f'

'Si bn-1 =n. eonsidetaremos termlnndo nuestro Pl'OcC'soi'Vurrosi 0n-I o F an ontoneos, p .l elemento " '11-1 t i( 'ne un inm l!dinto anterior.qU I! p. arn noso t:roa 8I'1 'iL p l'l,,~ l~amonte" )TJ. En can( ," .lt1sil1n, obtenemos Ill.S1l'CNli(it1 de elem entos diversos .

b (l &- ", f- b~ & - ..• • ~ l i n &- • • •

A bllSl' tlt' 40 c.<;tJl ! \ u ( " ; ( ' : s i o n (1('1l(~rliI,l'n!'l' un tlirmino ultimo. Pero

porel mismo prinf'-iflio n c > · .SIl ~onl'-triwrllin Ml t ,e rmi J lf) pupa ! ' !WI' .•~oll1~ml'ntf'ao' Sen; -para IlPT preclsos, b T l : ~'/!o·

No ,r:'!<lific:il comllToBal' qlJe sf rletcrm ina a n · ft t 'Re I in fflP i lln tt ) lin t e-rter de b. ontonces b PS ell nm edinto po~torinr d e It QuieTI.' dedr q11P

"n-f =,a. " 1 1 - _ " . . . " 0 = a)' l"



Lu (d[{m n slgilifii'~i q\(e:h~ T ) I i " ; r k ' n e c . 1 , ' < l In Sl ' :n!~( 's ' jon fiLl\;. [J 'N'O (1st!)

.(4H1W"I.,Ii't!.' I' In Idl~{)l.j,~sis_PIJI' ,:.rJllsiJ:!uil'nte,. itt l!"ln'sion (II-. 1) coufienel,,,h,s h\~ I' I lk tnl '<I'XIi l ll lu,nl, ,: ,; I'Wf Illol'i,yl.nm,

I l , ,s!!:;} I, d{,l'lu Iii;' rneru , Qrrlil!l1:ti(!l" ,,~n~:('!~i6:nit · uium'!'!.'!;; Hiv\H'sI)!I

Ito - 'I, ~1' II a -: "an.' 'Par~ 10~ c U 3 . 1 e S

(H,2)

Ili,lUIII(1 '. tIS tit lltimil, (!U d~'mHcI(J!It~iu ord'mmd{m ~,SCl'u. IIaninda(;ukii rI, 1 n , . ~i1·1'~I'.i,"l"e3t l t ! a ~ : d tt(1moro n se j111mp illl~li lHI il(~(!,~tll eu , I G c m .

, 'j\'l,OSl ]"( '1111;> :1 II I vr Il}('i IIill q lit! {wm J a : s . COlldit,[CHICS qL1C n e s o tros II'Im[HI~JHlI)~ 11III <Il'!lC'Il!\cdm .4 - i c'adn numero c·onc.I'cl.\y nu puude ((mN'

j 'Ua i tl l1i .' r (cUll ('.il.lllll ·M , !'Jt(II'rII'~ lurgas r h " al'ltl:,r(ofl'S.Eu {'.fI~I:',1.(),'stw a, ,!1d(\l'rl'liuu(!o mlll1,l'l'r, y I"l' b~., , . b ) " sirs ,inHlt'-

diillus' hn.t,Ninc'!.'lI .-

Si(.!_t n.n.1"~inlll.I'IIi.;l\,() iwl,lrri(ll' de l!I" .1 base.de 0" pO([N[[tlS co loca reu la tJli1('Jlii (Il.Z.\ 1'111nillil'i'I"(i'(iIJr.' sl!uirt)Tw.(jiattnlnt<!r-ior fie a.. Pilr' <!s'u, ~ihny cilll (~!lil:~rlt; 1111,oorii)rr 'f! ' ( 1 ; : , 0 . t IHI'la11-!~S r . , \ r \ h i seqUiC'l',fI, d~)t>ral1' ·('J(isl.jrI . .wruh ;J1 . [,:I'le; (~llilt.'l1il'~ lit'. lHll.{'fio,tcs till I .br,ga S (:0rno se q UIeta que COc

!I1WIWI'Jl d('~de IUIi !lr'mll'tli~ inmed iii ~vs illlll~;rlQ res de. 11.. En adelun ll.\V'it)l'lut> li l\X,IHI(fiar ,;<\,I:UUl'Il-tc tales <.~fiikl,lU.i:\' ' '

Co'dil niffi)il~irl,':;mh\ri~jl'(~~,il' a es ri:Hi~'~lrgaexat:1uml'lit'l(!l) una

IIll-illall JIIlI' l,h'('l~JGlukuu ( · 1 1 'nn t~'rij)rl'S' d r ' uno Ill'. los-numoros imn(1,ilil!-lj,:o; ;lllh~i-i()ws'; Si ('ndll Uno; d( ' ellos tllvhrran()a<ieuus dl" anterioues c i t ,hmgUud Iinii I'itllu, l'!IL()nce~ el f1rnp~{\ .0 ~n()p'Htr[a -~l'nl'r-T(I(!ena;l de,iJll.l'l'ii)rl'S' ran lMglii; 'Comil ::\\' fill i(or~l..

Q,l,:iirn'c ,H~drqUi" -P llf.ii tillcstnl hip-(,les.is, p.Hr tu nl(;DOS, uno, (ll' losu(ullews IHlLeri(l'l"es iJlined,lato~ tie a'g 'po;;(>('clldeJlu!i (\1' anterlnres t!tn

l aTg /H; 0.1)f[10 lie qu [e ra :, O~'Signe[lJ(lsIo'po!, a jY repuamos, aplkandu.lliH,1.{H}i1Sl\lS ta~,()u'tmje'nlf!~ que aeabam os (\_d bii~;(>l', Bt'tn j\i,,~ dil cjer["

ri(li~\i'!'ll1,2' ankri'>riJJIlll'il i,\ll),di! alq,u~ -tiC-Ilt'ICUft('U!!.s'ill' ,riit,(>f,iJJr'estanlIirgHscnmo ,Sl"!]Uil'nI, llppH.iI.'Il.ill) esw pro('('BH HeglITl1.os-.a 111 SHCl'si6n

(In' ~ ! . I t ' E : - - ,12. &- •• "i/

III <,uat (On v igor til' ,r,", tnrtl!' {) b(lmprallO deh!!l '/I 'rnrt.. 'U's( '· , J~sLn Slglli-fii:'\1 11'1(' J i, ,91~ r ~ SII ) n V i! ,j INI (' i: " 1u Iter II I I n u , , d C' 1 1 1 1 n u p . < i t ; r oI> i'tt e o n a •m ientos vn :on 'S('I'I'" 'Iil] irahlcs. P ero 1<1aplic.;dlHir l iHl tie l<:lsr~\zQna-mi(!TI1.u~ n 'cadi,' !.r l . 'minl1 511hsil[l:ri(mton~ In sHr<;s;i6n ya fue l's tab l( '( '.id aPOl. ' nosn !:rC'j;_ La c 0 II LTlHlic c ihn oht1'!nhlu rm H>l\j.rn 11 1111n l'ng(m n (mICro

11{ lS1~e ,r.ndt 'na~d,', l1nt(!riOfCS ,1 .11 .111argns c< )mo BC ql1j{' :rn.Po r c iQ 'r is fgh il·n t,( '., rlll'l;i (~IHI{l. n(lmeroasc }HltHle c i < . ' l l ' i I : entre Slit!

Cilll(~nns t I t' n n t l'tilll'l~S I I I lnlj S Inrgu, 1}l> sigm 'm os 811 !(,ngitu d por 11,(<<),

R~ cl nntcrkrr irun;,dil1L(I d,., II' es 0 ' 1 , ontoncos, I'videnU'lnent(l" II. ( i l l =•...J "IdaI-'I" Y 1'IH"ll Hlfl0,~ ]o:-'!a minimos n (II) =.

l S f : > 1 I , ~ r/I). poc nr.l, 1111'(,lj 'lrlcilld() Ilr, 'pc>nd/cntc ' I . ~ 1'1. D!)sll!nNr~(\S rl()r11 {ill ('I L'Il!I.Mi;rd." ~A (lr) ",~ dc.rl:1 lltll'll. j,(Hln,<. los. 'n(lIIwl'l'1s G, pari! I.h;,t

.'nllll'~!I (a ) " n~ gUl[jlWI"~, t'OJUO 1'* awil de Vt'I', III forundnd6n (lillllrimil'h) d ~ , [Ulillcrjiin ('II I I ! rllu~vn (Or.lll(1 j)11.fal a s .lIfir.filllfioTlc,'s A (il)',<) 111i'idl! ("(I'h~U forlfl i1liir i'm I!li In f!!l'tn~v1.l'jil pbl'H lal:! ilf t r 'J " f l l l c . fU '] 1 1 1 ln (i/\.

12. i , l 1 $c,l.n ("itlJ,I',~ I'lit'I'DJl I i > . . .ufuueros pan'.~ a y 1 1 , existeu Lal~!l

PIIl"l'S(I'Y 1 " ; (fill'



7 5

(l 0: IIIJ + r ( 0 ~ r <, :U/I.

]:!:ILo$, tlllll1l'I'I!Si'tl y , . :.IlIl {III u' (,!t.

lJeInOst.l·ijtil"in. Ihvll l i lUllS £t'sidIWlrU"llit' 1(.J ' (11 ' 2/" iI" Iii IIWI'('ll!

habitual

(lUll

J~1l l\·st(~vaSI) '1 Y r .\>(11) 11c:I,t~I'lIlill,ulos· unlvocnmeutc. Ill' Il' pilrI<lud de Il

~' ;!liq so !!t·spl·lm .de l"p,ll'id"c1 de 1a dH el'l!lll:.ia (Ie l'lhHi, ( :11 .lcctr, (lei

}]ilrn(!I~1r. ?\t'~ qucda, L '" Lp c. ,J .l'ld () ( P I(' " '',! - q", VIJlvt'T II I'~(~l'!lljc (1\ ,,:;1,{'II 1a l'ot'JIlI'

n . =q'l;

+r (0 ~ r ,<2M

y'O))Sln'vnT q Ill' HlII lWIJ )l(lI)l!jros I(l'r sorr llilt'l:'~ y Ii.t' dt't .c rH l .1]1H 1 l Ik un

~()t.o IIlul!(/.

18. Sea /) el rninimo divisor: prlm o del IIJilllOro a. Do~c:{~ : : ; p deduce (l'U~ a = pl», flll a lq uior 11ivisor priulo (/ \h~Jnumero b C~ LHlllbi6n. al mi8nlQ tiempo , d iv isor de a, POI.sso, q?3 p, 0 sen, Vnillhici' b ~ p. asi, a . ; : ? - I'~'v : por fin.

p~ t'u.

14 , 8M 1':1' Pal .... ; p " III t 'eJ lIc .i6n com plo ta do todos lof\,Humcros pTiHWS q no eutrn 11 , a l m onos, en una 119 las ,I.cs-composiciunos c.m611ic,a,~ dll a y b. I?<mgaillos qne

a. _ p~J p z ' . • . p < 'J . [ , .I.

~ ~ . 1 ', fl. III() ,_ - P I P 2 .,. P I,"·

(Si 4 noos di-.v"l.')ihll)' pur Pi. ('rd\()JICL~ <x, - 0: SL b 110 es rl IYl-Slhlo·por f?l,('rLl.OIl'ecs. ~'; .-= 0,) SO<l ' V I 'rl mayo r' do los muuc-

ros de a Y [ii para t, -~ 1 . 2 , .... k, y 6, 0 1 rnonor do oltox.EnL()J1C8s.. 1 l baso del teo rema 17 . o j r.nnxilllO co rnu n rliv l-

HM lin a y - b es ( I t ' P~.. " . ( J Z " , Y SII mlu lmo CQllI(m rnul-

tiplo ,V·', Y

P , 1 . P22 ···rlll"·f .J . Como ~e d~'chl('(' tlHI l.eort'ma 7. civliT fliVII;fll' deJ n'''IH!l'(> ill,

cnn ;h !~ ( t{ ) .n lll ps [( \ion ~Dnonit:n (,r-If'~~' "'~I!, Ill'b(!.rf1 '1.(\{lpLlir I , . 1'/)1'-

m ;i lir', . _ ,p ~II,clOlllh, til l{ ) ln{ l los va lnrcs a + 1' fl 1. 2;. , I j , , :~2' ln ~ v .,1 [1 F r> srj~.+ t , r,JS ' 'fa filii:; sorqwsll1k> !.'II.llE·/'!lllll('l'1I cotnluna-tl(,n(~~ til? ostns VHI{II-"~iteUi).i! nos dai'l t~!dO;;i I(I'~ djVIS(ll·I.'~ , 1 / : G,lllliH',1-cit'IlIII> cadI! '1111<)Hlln S(ll" \7('7. (si I~ualqllil'r dj'vi~ur l - r , ri'l'il.icl'ii v~lriil~',it'C"I'Ii, ~ll:niri,-ul'jil 11"" ~I lWIIl' VII.ril!s dlJ~l'nrnflH.~iliIHU,'~ ( ' ,111(,11[1 '01 '1) ,

i:1 lll"ii"lle,rU Ill" [..lle!' (hVI;'()['l'1' 11. ('~ Iglln I II

('1'1 + 1) (rIg + 1:) ••• ( ' : 1 . / . + t).

,,[6. A,hnJtumnsquL·la,.d.l.ls!mmp()siclon ran{mlua Ile.a StHl'l'f'p~·2 ; ,



76

- r : - f i Evrdentemente, pndemns poner.quo PI= 2. ttl ;;;;.2 Y p~=,0;2 ;;;;. L Prosipuiendo, obtonemos!

(at + 1) (a2 + t) ..• (a;, +1) = -14,

de dpnd", k =2,,0:1 + { = Tya,+ i=2. De talmodo, Q, =6'9 =

=19217 NOSOtro5 tenemos:

,,(all) =~p f a ' p ~ ( l 2 ) =(cxt+ 1) (2cxll + t)=t ,

Mil qlll' _ (2 'X t+ 1 ) (27.1 + 1 ) CS 'II deecomposlctdn dal mimero 8 1en ~98r<ln(lTN! Com o la nut '( lc r1!c i611 de! lOB, di'visorC!s simples de a cJo-{!"llcl(' de nosotros, Iim lL em onos nl'o.lw meu Ik~las SI'~Uleutos posi hilitlu-des: •

20:'t+ 1 = f . 2a~+ f = 81;20hj +{= 3, .2a-z + 1 =27';:0:1+ 1 = n , 2a; +1~ 9_

~:1I clll,dmt'IQ Itt' estes NI!:jOSat = 0., 10 que contradico a la sl~.pn-

sic:, ion ,Ic que ('I ,num i> F ci ~ l O~ posltlv(I.En 108 restantes,

otl= 1,

a1 =4,Quiett> dectr que, 0 bien

'T (a·)= 't" (p~C1.1p!~~) =T (p f p~9)....., (1\+ 'l). < s n +.t) -= 160.

a~=f3;

a~= 4.

o bleu,

'to (,-j.)=T- (p~(t]p~a~=t (p12pf)== 1_1\·13=j69.

1$. &I'~ p~1 jl~ll •• , , ' t I l In descourpostcion caruiulca del uumero {I.

La pOlJclkilj-n c ld problema nos cia

Ill' 07.2 .«~ 2f +') ( . 11) t, '1)P - l ' l l Z , . , P I I '"-= aJ • 0;2-' ••• ~Ct.h' i

p~l P~Z p : h___ .••__ =2~.at ·1-1 Ct .2+ t k+i

S e fin lames qUit

21' 22 4 . 28 2'"

1-H =1 <'2+1'=3 <3+1-2 <12+1 (a:;;' 4),

1 '" 31 -c: < 3'" (N ,_ ")

" < t+i <., - a+t -'"O·;_ . .. .. .

pa2-< ._- (p:;;O 51 a ;..~,1),

cx+1

Pur eso, 1')1 ol primer mlcmbro i 1 J l (B ,5) cada qnebrado no as [r i f . . .ri(IT a uno Y. naturuiIuent.e. nlnguno mayor qUI! dos. 0 sea, ep 01 pl ' lmeJ;,

(R.5)



7 1

mlembro de (H.5) umcilmNlle puetleu haber quebrados dol siguienLeI;onjunto:

lJ 2z~ 2 " ' ; £ I I

1+1' :!+I'3+1' 1+1'<lUeTIn,s,su yroduito,es2 .. Peru esto s6Jo. OCUUE' en-des ~:ircunst!lncw:cuando 'en e 'primer miernbro de (R .5) se .ha IIa, solnrnenteun quebrade,23 2~' 31

3 + l' 0 dos, 2T1Y i+ t' Ambos ~asos correspondeu a las i109

respueatas del problema: 8 y , 12,.

19. "EscribaIJIos hI dcscomposicien cun6nica del ntimero a:a =Tl ••. p~~.

Entonces.a!l=2al p2ah-~ ••. , k

Y de acuerdocou (R.4) (problema 15)

-r (0 :1 .)_ (2c c ~+i) .. ,(2CtIr-j--,1),

1(0)' - (a.l+i) .. "(ct4+1) •

E.8 rti.cil vet que cada quebrada (2ut + 1)/('2; + l)ctl~ce (apl'oxilJlIill~dose a 2) COil el aumanto de 0:i, de modo que el minlmo valor de (lateque,brndo sImi alcanzado cuando Ct., = iY cl>nstituira 8/2. Esto quieredecte que

t' (a~) ~ (~)II't (a ) P"2 •

EslA clare que siendo' k suficienLemelll~ grande, (3/2)k >K. Paraesto basta eon tmnar

10gK

k >log 3/2"

POI: ejemplo, cuundo K = JOO. (IS sulicil'nto l,hnar- 1.; >2/0.18 =

- H,if; como k Li,en:equa.see cnroroj podemns tomar k = f2 .20. Para Ia division par, los teoremas analogos » los 1.1-i4 dejan

de seT ciertos. En aiecro, los Ilinneros 30 y 42 son ptimos en. psrldad.El :minimo 'Par mu[tiplo ea 420, 1 1 el producto, 1260~

Prosiguiendo, 60=.10 es diVISible en paridadpor el numerG 30prime en pazidad: 6 y 30 'son. primos en. p.aridaa entre sl, y 10 00 usdivisible en paridad _por 30. .

Por filtimo, 60=6·iO =30·2 son dos ~escomposicionea (listin--tas del n'iulwro 60 en Jactores prlmos en parldad.

21. a) U6 as equirresidual con 4, y t7co.n 1 . . en Ia divi-sion. per 8. Qulere deoir que A 10 as con 5!!1.= (52)10 ". 5.Pero f l D esta division, .52 =25 es equirrssidual con 1 8 nni-

dad. Poe eonsigutente, en III,divisiorrpor 8. A, nos dael

residue 5.

b) 14 &S equirresHlual con -3 en la cliv'isi6n por 17.POl" GSO A e!$ equirrosid ual con (_:~)$I~8 =- 32&6=3S)S6.3.



7 8

Pero ; - ? 10 !,w llt ,tnol'; ~U8Ull1lJ' I,HII'ill. iU~!'·;i = - = - c (HI2)-l.2 x :-'. i:I()~ Luego, J.llil c::, equirreairlun! Nll e,] lJumtn'i; -2. y 2"

( ' , O J 1 -,j! ( ,111t! . (I I" i~ l 611 porJ.7. Qutere dccir q U I l .A o s e q u i -

I;nl~illlLl11cou l-2).t!·3fl-= 242.30 -= (2 }1(]·4·H0-,~ t-1)1·o)(x Il·;.lu ..::.120 . L'el'o (It (ul.irno llum~ro.d fWI' d iv ld ido por 17IIit como 1'00: irl (1.0 L

,22. il) Sou, III ( > I rcsiduu de di\'idir' n : pOl' H . EIlI.OlfC-CS lit

puede IOHHU· los vnlores 0, 1. 2, :l. 4. : y :J, mientras ni'"i1 · - 'I Ln1 mi equiuresidual ('011 II!! 1 - 1 1 1 1 , en la d ivlsion p_lH' IJ ,

u sea. d'chlHllO.~ probar III d[visib ilidad puc ( i LIe los numerosfl, ·I~.:IO, (jU, ' lO8, 1/ )1) ,. Tudes olios SOlI dtv isi h los )01: 6.

PIlI'Il()bl.OIWf Ot mismo rcsultado L i l t r l b ' i c i l eli poslhlo uti-li:tar' cousidor, dOJl(!~ mils particularos. El numero n ; S -i Hnl\S e.qlli[~re~ldtln' COli ('I n3+ jjn - 12n =n3 - n == (n. -1) n . 'In T 1) Oil In di';]siou pOI" G, Poro de lOR

tros numoros ~'II"NOS su(':e~·jv()l'o n. -1, n y J/ . -1-1.. uno nlrnenoxos pal' ("StlL\ ttccil'r os' d.ivisihle pOI' ~) Y 1I11() I:lS divi-

sible pot;) «1111l'XlictiL!lll. Esto significa (~E!gUl) el corolaniodel toororna 11) quo 0 1 prod lIciocle estes l " C S numcl'os 6 [ 0 $

dh,i~i 'b[o 1 ; 1 ( . 1 1 ' Il, A propuxito , h acom os uutnr que

- f r (n - 1) It (n,+ 1 ) =i:+I.

h) l'ill'il It > ~ . (cmplealldo lu fO rrnuladdl. 1)11I01 I \1u) :

4" + l~m -1 .-; (:1+ 1 . ) ' 1 + '1;m - 1 -

. . _ · I ! I . - 'l'l-'el + _)..!2r.1l.-~ ~ ~lCIl.-1I 1 I... ' n '; '"' 1 . - , ''If n T

+ l[ ) / '/ -- I - { ~ (3'"-2 + - :J I1-: tC~ -l - I C n -2 ) +H : in ,

y umbos ~un'lillllios evirlenf.emente, sun divisihles !Jot 9.

Para 1 .1 . , I n1Il'f'lm oxprosion es IgHidn Il+ J 5·1[ - : IH ,

c) T J u dellJ o ~ t·r'n ci6 11 so dC ,lt-lull 110 1' iTultll;,ciUIJ,

L ' , l I I ' l I n = I)

10:1(1- 1 =Ot - l = ' : i ; 1 1 l + l ! . = !),•

.$i01l qne ahorn l.iene Ingar la diVL!"!iililirlnct

(jefF' _ 1) l ~n+2.

r. I I.to II cos,



7 9

P or lfip6Lesl'Ii de inducc ion 81 V a :im er raCl.O[ ' r l r - l segulldt)rn i OltdirQ QS div iBt b to , po r i{"+2 _ I '(,d,e!l1 ~j;f Sjl "fr LII j I' lo s rf i i)c:t)S:

del segundo fucto:.,r por las unidades quo on I,\. dFvts i611 uor ~iso II cq ulrro- id 1 1 111('S, con ellos: C o I IIjm OJ:q ;.) o.b \011 id o muost rnqua sl segundo inc tor tll'\ divisible por ' . 3 , 1.'0 1' ~nll sigu (llille,

todoe 1 prod uC'.f,oo'!j d iisib Io poe ' : , \ , ! + , l ~ ; : W ' ' ' ' 1 ) ~ 2, 'slondo'

'E 'sLo_pmei s a r n 0 " n t . ( ! , ' 10 'f} ue AI' pcd in.d) a2:{);\;iden tcmouto eli ~q uiTl:e,<id wd nUl ()

div i"i()11 por a : - - ll+ 1. Q uiere.ilec ur.quc il~l1'l-j

es' equirrcsidual con

- 1 en iii((.1.-J)"i:9

a2'\+I+ (li2)nT2'= a~'H'1 + (,t;~"+1= d~''''+I'n-j- a~l)~

=a 2 ' 1 ! + ' i (1 + u) (1-,(1, 1 11,2) .

s'ion( ] o [ustamontc 10: quo BO ex ig ill,

0 ) (n!' - '1 ) .. . . . ; . ,n - 1) (nL I · n)-~t - I , n -I - 1).

o (n~I+1+ 1) =r~l- J}{n2L _n2L1+ . , , ' - n-i-'l'j.

23' ; eea ....... unu relaclon Ill! uivale,JlI1. eu C1 cIHtJLlllto (k If(l!U\;·l'()~,

Tomamos cl nCj~IlI.'l'(f urhltrurio a y ()xu,mliw 1Il0S, tudos lOR Y)(lInl'I'olHIUl~

l e SOIL. eq \J i'"l lomes. ,CO Ill(> I n -rdull.iiill..... C'~ t t'a t l 1 l : , i 1 , 1v u l()d(),~, lillo~ s o ncqulvaleiucs cutrc sJ. Dusignemos 1 ) ( , > 1 " . 1 < J > l dn.,~l'Iii: tcdos ('.';;IH.~IlUlht'-

res.Es(,ut\iCH\<);;.ah()l"iI 01 nurneru arhil.rariu b nu Jler.IN1C(~:;j!nl(' it /,,"

,SJ flll~l'll b ,.,._,. (I01;1d(' e l'~Ci{'rtn l llnll l' l" ( ) " ie K, cnumeos til ru hi'l>lL bFi'lllb ,.._,' , . 10 que, Cf' imposihk' per Ja,l'!I:n'j/in delj., QJI It're doctr qil" niu-g-,lno til)' In'; I1~Ull'I'()i; 'J hie(v]ml iller" d(' K sonvqu i:vl\ luntes 'a ,nilJgIllH'

lIc' h!5111l0 c,:,tall (>11 «. Por ~'!>Il~ig\'lit'nl'(" k' ~'S lncluso (IP eq(ljv('I~:II('i,)q ue contiene a,

1),1dt) quo (' I nuracro a. (1$' t o r n a d o [101 ' uoso tros H,hsnlnliJll.lcntc arlu-

t1'!.ltil), los 1'!ftollarnien.tos(!Jec.tlladol;, mllr-~ll'lni (jIll) ('urln Il'(mwro I){'~'tencce a dIH'la, claso de f!quivult'lH:.in. !. ' :~(.(los.!o 1111(~_1)r(.\cis'illJj'h\(\, st;

pedifl,'24~ No e,lbc.du,d,\,quJ) entre los: [lI'H!lI'r(+~ 0, L ._ , Irll!;lhn"ln tinslu'rl.cllec,i(!nt'cs: auna mismac lusq, 1'\('a.u cllos Is vi. Ii '""'-', H ,lhJa:J,rdo.ell gonoral, 1" lh:08 l)ar('ja,s dl' riu:iJIef(1~ de 11M. 11l1~1)1:1l',lil5(1 plwlipu in -

.cluso resultur vnrias. B-1ijames uqltdla 111l1';1 [fLour! Ii! I)laglii t,lld I li~' '/ I

.sea rn/lxima. Dadoquo-I....,

-7, por< 'f),nd rc I("HI outl'!!I.'tOOS

k ~ I -- l - I,:,.,I_

Lllego, nosotros hnllamns que tml1hien vanl tun lquror 11mll·('r!l

11 (If ~ D - - O.

Por Iiu, ,para cu:alquter f'

Ir { r , . . - II+ r""" ' r,

(~ ~,.drdr, d( ) (1- ; ; : ;= . . 1 ' ( mO ll, k. --" O , S ( l dl'di1(;,c qll($J ,... Ii, D(! lat mnneraina ti pos de rc Iuc jOil-t'f 'Ill icuen tn L!',grWlllM Wii. Iii~ diJ.~1'8 d < , restns con

[ "e!ipl.'( ~t .o u l m 6dulo r1L



80

Para que hulnorumclases Je..., IlquivaJen tOiles necesario que

cadaunu de dliis ceuteuga 110 ruas u e un upo de rcstoay que k - I=m.

,25. a) Ambos miernbrus de Ia congeuencra Y I'Lmodl11osoil divi-slbles por un mismo niimcro (50 sobreentlende , diferente decere),

En ejector

ail = b tl (moo . mi l j

signiHcll que

lId - bd =a - b) d : md,

es decrr, ( a . - b) ; nt, de donde a - = b (mod. m I.

lI) Ambos nnembros de Ia congruencia pueden ser divididos porun numero primo con el modulo.~fl'ctJvament~, st d y m . sonprimos entre 5 1 , entonces, pur 01 teo-

rerna 1-2, de

ad;;;: l bd (mod. m i.

es dectr, de (0 - b) d 1m, sc deduce que a - b : , n . 10 qtre precisa-mente s., cl!Q,uerill,

26. Supongamos quo

1~ k <L ~ P - t, ka ~ la (mod. pl .

Esto significa que (l - k ) a :p. Por euan~9 a 110es dtvlslble por p,i - kip. 10 {mal tampoco puede ser, ya que 0 < l - k <p.

27. Neeesrdad, Sea el niimero p prirno. 'fumem<ts 0< q<'p-,

Entre los numeros q, Zq•.. '. (p - 1) q sehallani exactamente Unoque al ser dividido par p nos de como reslduo Ia unidad. Acoptemos

que t.al llI'ilaero sea q q :q q _t ( rood. lJ). (8.6)

Por otro Iado, entre los mimeros g , 2 q , . . " (p - 1)Q tambidn puede

existir s610 uno que al Sin' divirlido por p nos d e como residue in unidad.I!:l:lle. segun lucra establectdo, es q(j:

Aclaremos en que CilSOSq=. En torlos estos casos lu congruonefa( , 28) Be aneta <lsi:

q ' J . saa 1 . (mod. p ) ,

'f) In que es (0 f/I ISiXIU,

il~ - t =0 (m6d. p.),

BilLa signirfea que

q~ -1 = = (q + 1) (q - 1)!v -

En vista de que oj nilmcro p es prime, por el teorema 13 debera ser 0pi('ll (q+ 1) !p, u' bien (q -<1) : p: Como q se halls entre cero y p, elprimer caso es Jlosihle 11Ilic"lmente paraq=p - f, yel segundo, pan'

q =1. De tulimodo, para p = 2 y p = 31siempre ~erli q = ii . mien-tras qne para p ~ 5, solamonte on.Io 9 casos cuando q =y q = P - f.

Par ccnsiguiente, para p ;;;: 5, todos 103 nUmerus restantes 2, ... ,• • " p - 2 pueden SOl " llni(los en pares (p - 3)/2 tales, que al produc-to lie Ios numeros compouentes de cada uno de ellos, 81 ser divididol!l



81

por p, dejen como residue :J . Anotemos Ia congruencra del tlpo (H.6)

para, el loud dGdichos pares, agregando a esta hbtJ Ia. congruenctap - 1=' p - i (ulod. pi,

y vo lvemos a multlpfiear miemhro Ii miemhro toilo'S (05 (p - 1)/2ohtenldos de las congruenclas.

Como resultado de esta illllHlplicad6n, en d primer miernbro ! Ieohtiene 1'1 producio d:e todos los n(lmerus de;;de , 1 ! h.rstu p - f. y en1'1 segundo, p - 1:

2·3 ••• (p - 1)="--" (mod. p),

o hion

1·2;.3 ••• (p - 1) + 1 ......0 (fluid., p).

La ~JUma congruencia stgntllea que

II~2 ••. {p - i}+ 1] : Pi

y ['stu _I'S precfsamentolo q.!W se exigl!l. ."Quedan, 'por veriiicar los cases euuudo p = 2y }J = 3. Poro para

I'llos, evidentementa (1 + 1) , 2 :I (2+))~.

Suficienc.ia. 8i ~l 'numero pua c~ pr imo ,pptira ser dcseompuestoen el pr-odl~vlo de dos Iuctores meuores: P = f!tP2'

5i 1'1 = F Pt; e n tonces, 'PI Y P2 entrau lnmlliencomb Iectores enelproducto {·2 • , . (p - 1)' baciendolo divisible por PIPZ' 1'8 dec lr,por p , Aceptemos ahora que PI = Ps = iJ·Enlotl{;cs'p = ' ({} sea,pes· el.cuadrad.ode un .aumere rrim!l). Si q?- 2,cll.tQnG('S p;» 2q sen 1'1 producto .1·2 , . '. (p - 1 entran Lo s Iactrnus q y 2(1. de modoque queda divisihlepor ,p, es deeir, pur p , En a(II~J()8 cnsos 1· 2 . , .

(1' - 1) + 1 no pucde set divisible P( l f p. Para filla.1iZtlT, si P = , ' 1 ,

entonces 1- 2·3 - 1 ,=. 5, Y por 4 no (~S divi~lbJe,

2,~.l ' HOHE ;MA, Sea 111= -p '? p ' : " . _ . ~,~!i lo: de,ICC!fnpOS[Ci6:r.- w/lonltlJ

de m, Entonees, a [tn de que 'Z[,S usimeros A (' J J sean. equirrestduales e/l- la

diVlstiin par m" es ,WC6$a ri'o : , y Jllllil.'ienf:.e I;!!te ellos 10 .~I'{lt!,; i I, In, du;isii i ll ' par

pos.; pur pt<~, • , ., ] JQr P~'"

I Defllostradon. ·J'\eee.~id'ad.La eqliirreshluillidil<J lie A - Y ' B ~n In

division pOl' mSigniliea que (A -.B) !II AJeiMis1 (A - B); p 1 ' l ( / ~=1, ... , k) Y Iosnumeros A - y B resnltnn equrrresidn.tles r-n I t ! divi-

sion. por todos los p~i.

Su(icienciu. Seun los numcros A y B !·lllllrrt·sllllI,I!ll.<; ell Iii division

V01' cada.uno de los p ~ . j _ _ Designemos pOI: rial residuo. lIe la dIvision de

A y 11 por p 1 i (i= 1;2, . _ " k), Es\u si~til[h:iIquI'

- .,J (Zt,A "'" rj lIDO • P.j ). (R.7)

Supongaznos que en. adelante

In

~='m" l= t ••.•• k.Pj'



8 2

y rnu I tmUlil l l! l l lQB el Ulo(hdo y 8t1100S mlombros ~l' IL l congruenehi

(lU7) Jill!' In;

'S u lIIallllo m iUJllhrll u m !cm lrl'fl lo tills osla s .eougruoncins oh tonem osA(u z1 Tm.2'+ • " +lIlh)::

( H . S )

C,HJllO .( 1 y 1) sun (l(I\III'rl'sidllalt·S Oil 1 :1 (llVislllll IJOl ' p[l'\p~'2,

p~k. ilhl,()]WHIOS tamhien

• • ~ i_

/,/ (III,! + : m~ + .. 1-1 111 <) :::

"',',+ ... + Inkn, (m6d. m)- (lUI)

He~tauil() nuomlm :I HliNlIbro III cougruencia (fUJ) Iii} Iii (H .8)resulta

(A - ii( (raj + m2 + ... + mkrll) =-0 (mod. nil,

os declr, (A ~ Bi (mt +1112 -1 - . . . + "~/I) = - Ill.

PeriJ In suma 1111+ nl2 +..-+ !tilL Y II! . ~I'1lJ primo.~(>ntr() 31.

En efecto, si ella t .uvi(lra con III un ,livisoY'C( lll1'ill prlmo /l 61 inl<!gl'urillin dcscomposic.ion t:lIn(micn do III, h sea, t.l 'THlria 'I:, f<irma Jlj. PI'l'O

eutonccs ,~riiJ divl .! I lhl<:por e - l tanto toda Ia sum a como eadn 1,1110 I'[r.,

los sumandos, a ClWepCJOn de uno, el mi' cosa lmposlble.Ahora se pucde upllcar 1'1 teorema 12. pill' el que (A - l J - ) : 711,

os decir, los rrumeros A y n son equirreslduales en In d i-Vi.si6h por m.29. a) Anotatnos sisll'fil;hkament.e todas las I~nilidades qlll.' Ill's-

crihen la s divisiullcs rcslduales que consrituyon IiI<ll'licac-i6n del IIL go-

rltmo de EucH.lul" I. losnumeroa a l'b :

a =bqO-l-'I,

b-=1"Jql+ rll,

I'J= '211 - 2 - 1 - . 'l'

Tn_~=T"-Lq~1--j- rn,

'n,-I-1Il!Jn·

lIr

(1l.1(l)

N'(1$lllrOStonruios que rn,_I: "n' Junto con rn,-2 = rn.-lq,,-l

+r....

~sl(" nos (1(1ClUI~rn_~ " 1 / . , AVl Iuzando de modo lIllIUUgo por ul etstumu,h' igullhhllles (II. I(). haein arrtba nosulrua ohl4!l,l!mos. pot fin, queIt ' r>j,Y bi r,\. 0 SPIl, qlll'--rn. t's {1~ diviS{)I ' COHlUlI III' (I. ')' b.

Sl';) tl rllillqLllt'1' dlVlsnr cornua _ d ~ a y b. Juntn con a. - bqo + rl

( '8 10 I\ () s<< i,t t q ur: r'1 : d. AV lIJl7 .-a lldo por el sistem a de jglla ldades OLIO )hncia Hbajl!, JlIls'll.ri.)_"· obtendremos sucesivamentc que r~ :d, r~; tl: . ,._,

. " 'r:n ; d. Quier. II..e ir qll{'r" ea ilivisihll: ]1or-clIalqllit,'r divlsnrr'nunmtil' II -j" b, ~h~nd,) POl' .. Ilo m ismo SU 1Il1i:l.·iIIW 101Im(IO Ilivlsllr.

h), La ,ll·ll1 hsl.r.n diin so (i.f('I'tiltlpur inlhl(',diin ..RlIllUnicndo A 0"--:- 0 ,



B~ . c ,- 'I, A1.-"-' J, HI ~ -"10, 1I!'~l~r(oS ~('_III'ml!'>; I,D' be riA II

+bB

o.~ . r~ ~ aii.J + blIt l3e'lll ,lIwrll.

r'<_l ~ A II_Ill, -l L J " _ L / ! "

I : " - _ ; t ' J i a + .fJ,.b

Vero ,c n tp (U'-~,'.s.

TilT'] .;:- .""""1 _._ /'Ji'lh-ll ( .11]-, - !fi'iIA,,) a +

y ' 1 1 : Ij':;5(){:ro~ 1 1 : t : 1 : > ' 1 I J ! 1 fhl IlOl)!"

illl_'1 - qt, " lA I, "'" -A Id. I,

Bl~_1 _- q'r+~/h "11/1-1.1.'

A" Y I J II 1' (~: ; 'HHa!) Il.)~ mimm")8 A y 11 h"~('Il\lo'~.. ,W .:':-\I /) 'it : ~o[I 1.lt h i l ( p : > emtl'(' 8 1 . <.'n l! ll l~ '( ! " , j I( lr ii, 1 ;' :{l'nl~I<W: i III!~ri!, 1-.

rncnto 0;( , ' IHI(J,lclI lI:dIM' tulus euteros Bye I1lH'

lIn + 1:(; = - 1

n,dll~P-U Q ,~ j le 111111U p.1iNII' I'.o.r 4 '.

Itb_l? +tr{l' = fl I

' 1 , 1 > : cpr, r cnnd II: j '{m; ,~<, • " Ile InI),Ul'1'(l ov II 1O'Jl 1 .1 '; ( ' £\1."1,. 111m 0 U'il f " 'f ,

,1/. Li rni l6mol1ol'i 1\ exam ina r ell' ri 1,(II:.IOdl' rt>,~idllO:,1

lHl~,1v n 1011 tes HIiiv id. i I' pOI' 1 '$ . -

J : l I 'C S ( ,H f ·c m l 1 : : : ! ul 1 1 ( 1m e w , n n t l l t l l l jH 'hilrl1l'io A e n II I form~~

10nOa 1 b, -dOHdc 0 ~.;;b< '100\1 {II:.\ 11N'h', Ilt')I pi II {nll0 ro

triHlll,;io con l~l q 110 le:rm ilHI 11) Y

/(A)=

lH . 1 2 , : ; : 1000,

p.t)I' ~"«\ ~;:;~A < t O O O ,

si ,1<~,

; J 2 : . Lunitemouos a (J~1l rninar (\1 f:-.fl ted!) dc, eq II j rresidun-Ji{hld,(})1 91 s i "LeHiH dlJ(}d(}('.jf1Y~,lllo uOlueNlcioll, parHladhrl~

Sillil por 18,

SOil. A pref;en tndo ell ta form ,\ 1i14n -I {;, dnutl C U: ' 1 . . : ; ; Ii

<:<: : I ~ f r (0 sea , NI 01 sistema dllt)Ul't'.Im,1! dellll.luC!i'.(Iclilu,

b es !ii 0il'tll. 'binari,( ('.011 I" (1\Il\ term lUa ld ni) IIwr:1) /1 ps_tril.('

ell eslo: .si.st_eHnl), y

f(A)=

= {

/I, SI Q:,~::~1H,nL rosi ( I u() d n l a o Iiiv j sion do ;l pia. lR, -SI ' 1 R : o ; ; A <1411,

indetQrmina(.ia, SI A<is,



La verifir,ncibl1 do que 0 1 peo eeso do constcuccldn de lasueeslon A, f ( L 1 l, 1/ U )L , . . . ron lm en te (lS lin eritcrio do

equirrcsirlualidad , H e ( lIcctua do manera esrandur.

33. Para aquellns meuya descompoaiciou canonica tie-tleJ 01 aspecto 2a.511.

34 Las condiciones a) y b) se cumplen automatica-mente. P ur cuan hI 10 y 1 son eq uirrosidua Ie,_'len .l{l division

por ~1. tarnbien Io rieberan ser Los flUmerO:-i A y I ( .4J- PUI"

fin, 0 1 heche do que para A ~ 3, I ("t) <A 1 sa esta hle('e COilIlII ('ul,c,1l10 senctllo.

35 ,0) t (85877:3) -_ : · m : f (3~) = 11; f (11) =.

b) t (A ) -= 44 . 4 4 · 4 =- 17776; ( (17 7 7 G ) =8 ; f ( 2 8 ) =<=10~ f (H)) =

H e . EI crilc!'io de residues equi valentos nl d ivid i r por 9

es anM .ogo ill ya examinado do rosiduox equivulea tes a ld iv idir pOl' :t.

A Iin do obtenor H I eriterio de re:qidllQs equlvnlentes III

d ividi pur 11 -prcsen ta II I os oj nUrnoro A en Ia Ior 11\a

10z"au + 1i)2t1-2an_1 + .. + 102a, + (tn,

dondo 0 <» , <, 1()l), Evidenternen tn, tal exposicion mo-cuerda COLI In d(vi/liull UO 1111 numero err «(grupos» hinurtos

(de derecha It izqulerda). Soa

f(A)=

{

ao +aJ~' ... f-an, ! ' < i A;;~dOO.

= II I resi I I 1ICt de la d iviaion 4 10 A por 11 , si '1 1 ~ A < :100 ,

Indeterruinada, si A<ii,

Nos quoda ~efia la r que en In d.iv ision pnr 1 < 1 J63 numerosA y / (11) venl aderamente SOD equirrexiduales s, ademas,

I (AJ <..L01,1'0 eJ'itc:rio de residues equivnlen tes al d Ivid ir por

1'1 so obtiene prosen tando el mimero A en 10 forrnn

t1 =- 10 1l(l'l +WfI-la,i_1 +... + iO al + a ( l

Y vH lil?lIdonos fie In equirre idualtdad de 10 COIl -1 y de 100con 1OHiI ) ( 1 i.v 1 ! ' . i6n pot 11. Por eso A as eq uirresid ua 1 coneJ J11JfiWJ'O (to - 1 1 1 + ( 1 .2 - a s + ... ±all' Y Iu Jnrmulaciendel respecti vo crt tcrio· de rcsid uos eq uivulentes 00 presentadificuItad.



85

Por fin, d iv idi(inno el numern A ell ('gl'l1 [HIS>} trinarios,

podemos presen tarlo OIl lit flll'lna

tOS>lan, + 10ail-3Un_J + ' . . o . . ! 103a1 + (Ill

(0 ~ a , < 10UU ). E nto nces, A es oqnirr esidun l C·OII In Burna

u()+ a1+ ".. + a" , en In ( liv iRion POl' ;{7, y con In , sumade signo va ri I1Me au - aI+ a \"l - .• . ±a' l . ou lil d i ir;ionpor 7 ; 11 - y 13.

37, Como ejemplo examinernos el critprto de Nluirre-

sid ualldad para In division pur o S , ell 01 sistenra l.ernnrio donumeraci on, P,_'escn ta rncs rillra esto un A arbitrarto ~

an32n + an_1:12('1"'-1'). + ... + a13~+ ao, donde 0:::;: III <9.

Aqui , G , es la esencla del grupo h ina rto en que };(J IraccionaI I I numero A, conta rulo de derecha a izqu ierdu.

Nos quean snponcr que

si A } " . ? ' o ,slA=., ,8,

: ' l i . .1 <8

y efoctuar los razonamientos eiit<indnr.

38. En el sistema dennmoracion .de ba<;,,_li () eotr i . [JUcsoLo

de 6 guurismosr B (k =1). 7 (k =2), Li;) (/, -r-r- :1);

En el, sistema d e e num erac ion r:eptefU lrlO ~-2 , :~ , fj (k ,O_.CC 1),

4, 6, 12, Hi, '24 (k =2); 171 ( I i ; ; : - , - 3J;'En 01 sistema de numoracion d~ bass \) () compuesto de IIguarlsmos: 2, I~,:~ ( lc = 1),; 5, 1'0, 20, 40 ( I e .,= 2); 7, 1 : ' , \ ,

14, 26, etc. (k= 3)~En el sistema de numoracion do .base 1:~I) compuosto de.

13gnarismos: 2,3, 4, 6 (k = ): 7, 14, 21,ek .( k =,).3,9. En el sistomnrlenumeracton torn arjo: ~, 4 (k = -j);

8, -12, 24 (k =2): 1;\, 26 (k -- 3); ti1 (if, -:. ~ );

En el sistema do numeracion qutnarro: 2, a , lj (k =1 ),i

R, 12, 2 4 (k = 2 ); 31 (k =)~En el sistem a de .num era c ion ()C,tOJiU'I'1O H nc: t ( )Uoo: : ~ , ! J

(k=1), :i,til (lc=2);En. ,oJ sj:-steina de Ilulliel'}idou dec imal : 1 . 1 (k = 1);.

10J ( 1 r =2h 7, It. 1 ; - - 1 ( /r =, ::_'\),40 .S 1 lo s nll'mCl'Q.f) a .r b M)n l'(I!i i1'J'csidnn Ips, ~CIlr.O.nCP:--'

(a - tI) ; m. VOI'CSO, envigor del I .Ptl rt1HHI t i - , n y b ~OJI \) no

di vislbles POl' m slrnultaneamen to,



S f)

], .\' ;'"'Ol!. ('l]l 'Iidiyi"ihlus PN'O no eljuiri'll:-;idnall!s ell ju

div isiljll [ lO I" :l

41. 811nOl!gilmo~ IIlW,(Ill Iii e~luid ivisibi lidurl por In so11l'illlZl',a. I a ( > q 1I i IT t'S ' i 1111n Iid 114 ] P a t:a . la d i .\,'1~ iO"II po J~ /1/ E s! 0

SigllifieH q,lltl VHI(r~ lns iui m eros no di visihld; por.nt Lond1'ii II

( ,1 In i-;m(\ re-i d~1il ;11 H'T dl v idid os por 61 . QJli'Cl'O deell' q 110

esl.e residuo dp!~ora ser H {lIa l a nno , il"iqlW rn= 2.42. La rolnclbnde oquidivHihHilh"r l pOI' In, ovidcnte-

m en.to, cs 1'(:Jlrxi\rn (cuulquier nUmBL'Oes equtdlv isih le oon-sigll misrno al <;1'1" ([i\'I"il>ll) ptrr in), sim6tdt:h (s! (I.. 01'\ t 'IJ IIl -

(] iviHjhl~ con b . ; ImWnC08, b 1 0 es <\011 a} Y trans] tiVI! ( : : ; i

a es-oqnidivisihlo COn /' y b COLlI.', entoncos, /,110 (IS tarnlti6uCOIl c ) ' .

P or consiguien te, os!'a ,t)fl prod::;u rneu to ln !,tilllCdll:n deNluivll!(~H(',jn, Aqlil to\lh$ lo s numoros d ivisibles POt ml)(Jl 'I"QlltI!:Olt n uu a (:I~I.".(~'V lo~ qH O ItO , U 0 [.1',1.

dB E~ r t J c ; i l com pro b,lt ' que cuan do If/, ; : > '2 IJ I 01[ II iiiivisi-

lu lidad do la~ sum as no :-:~ ,dedu ce (I 'e If) de to ~ su rnundos.PIlJ'lI 'q lJ (\]H nqu id iv i~ibi,Hdl\(1 de los IH'OUllCld:,< so ,aC's~

p r e n d It d o II I ( J e : ; \U I i\ : 1 1 1 . < :,0/'0.:1' e s n e c e s a r i ( ) Y l : i l l t i c , ion ( .0 q 110 0 1

1I1llnoro Tn sell 1'1'1mo,J5fJ electo , f ' i uno de los prollllcLo:". C~ divisible POt p

pi-lmo, entoncos, sogun 01 teorem», 1a" /I) nW II()$ 1 .1110do susflletOl'ofl deheru sor divlsihle pur J i l l . Adornns. por p so divldoun fac tor de ctro producto que ,jl;'. e~ ~'q',lid l.\ 'l~[,Lle y laml)iQII,

pOI' In to nto , lorl o ol prod Ul1].O. P oro si U11 producto no ~,~divisible. ' POT p. el otro tampoco 10 seni (de 10 c.ol . iLt 'nr io,II J lI l~e do 10 q H e. auaharnos do esta hlecor, tarn hi6n 01 pl'LmN

prod uc to Slll'i i t ( li'v isl b le 1101 ' p)

.A'Ia iU\'OrSl!, 8 1 0 I n (i m o rn f' o s r-nm pu o sto ,III)" pmr.i ' l I( ' ,Lo" tit'

fm'.L()['C'S crrl1id)\'i~ilJlc," puedun no SOl,' yll equidj\'1r:l1bl(!s.g..-'

sultr.iente pnner [1= P 1P ~ ( P l * 1, P'J '=F 1). ElltOlIC.()~, 1 0 ' , , ,

11umeros 1 Y Pl' 1 \ : t > t como los fliimeros j Y (!~k(wiill t ' , q IIidiv 1,-

si hJNipOl' l'» lIIicntr.ll~ <r(JO los productos 1·'1 y IJ~ 'V ' ! ' (1YI-den tOIlWIl to, !l0

44, . CO I'() I< I I i(\I n r : n ed I/( (,oTd el Jlf( .)hleuw3FL

45,EI l'lfrnpllrn'ii'Jllo riP lns cond ieinncs a') y h') lfS in-dudable.

S 1 cu iHlcLTnle: it .._. [j~""j" 110 C;dIQdIH] it q 1I(~l' ( . . ( . ' 1 ) < : / 1 ,

liMO ~i'n - 21;:,::: n.OI'lI 011('0:"\, C~Ia.d e;-:I gilaid ad pued (l sorque

110 so C IJIllJl [d ' I " , Ilr p,~I.e r.1I.~(1,u Lmodulo I a >'C'26 I ulcanza su

v a lo r rn{ ixi J[lO c .uaLIi! 0 If ,tl 'Y b - USeS igual .a 18, POI',



8 7

cuuslgulente, pnra A '> 19. I (A) <A. LII j l lsLm." do li~la

dvsigualdad [IHl'A valore menoroa se assguro determiuaudola fUTlcion j. ,

P or fin, 10 a + b as equidivisfb]o COI l 50 a + f . i u l 1 . 1 ' 1 Lailivb :1 i611 pa r 7 (ya que 5 y 7 SOil prim os outre s1.) v , por 1 ( 1

tauto , COli 5.oa + rib - 7 (7,a + Ii ) = - u:46. E1 mimero 15, a I sor dividido poor (,' f l H 1como resi-

dno, y 1 - 2·5 =9. da 5.47. La eond.icidn e) . t (A) <;1 sign ilicn que a + llb <

< fDa. + b , 0 sea, 3 b <; 9a, POI' eso, para a ~:;>/l la cond i-ciou necesania se cumple,

, La condfcion d). Eviden ternento en In division pur '1:1,lOa· + b es equidivisible con 4011+ 4b y 01 ultimo numero

esequirresidlLal con a + 4b .48. El critezio dr. divisibilidarl llieroe cfidencia1 ya

quo f (39) =9,£9. Snpongamos que as necesarlo construir e1 criterio do

dlvlsihtlidad por cierto tn. Proouremoxelcgie tal s, prirnocon my on 10 posiblc pequefio , que (108 + 1): m. (astocurrlopararn =; S l'csu.lt6 igual a .3); 0 bien (i0s + 1) ; In' (porojemplo , para tit =1.3, s =).

1'~1lel prtmero de estos cases en il l dlv isi 6n pOl' nt, .A :;:;=10a + b ' Of] equ'idivisihle con

10as + u s = (1Os + 1) a ,..- It I bs,

C~ dccir, COIL a - O S , y'oll ot segundo, COU

(10s -1)a -I - a + bs;

cs decir, eon a -I - bs.En relacidn 1 1 10 djcho, el nu.rflero 10a + ben la divisi.6rr por 17, e s eqnidlvisihl« cun a ~ !Jb.

~» » » 19, » » » ( . / , . 1 - 2b,I) ' I)> > 23,» » II 11 -1 ' Th,I) II» 2 9 ,» ) »a - 3& ,» l)) 31 » » i) o : I- : , 1 ) ,La eOnc,hlsi611 do las Icnnulacloncs oaactas de (l:-)tos

ori lerios de d ivlsfhiltdad se Ia doiamos III Ioctor. ..;0. ( 1 ) Como 100 as equir:l '( \~idlJ(l l con 2 ell In d i . \ ' Ison

'POI' ,1\), cunlquier mimcro ((I) In forrnu

1()2rlan + 102I1- l I .a· I '_~ +.,.+ 10 2([1 +nu (0 ~ ; . a, < t oO}

es aquirresid ual COIl



88

2na" +2-11 Z n _ t + ... + 2al + C tp

en In di vIsion llor 4 0 .b) 10a + b es equld ivislhla con a + 5 b on la division

por 4 9.si. Evidentemento, para A :> 6, tendremos f (A ) < A .52. 8) La presentacien de A dentro del..ststema de numa-

raci6n sop tsnario, en Is forma 7a + b, de !'11 equidivisibili-

dad con a + 3b en la divisi6n por 5;b) La presentaclon de A dentro del sistema de numera-

cion de base 11 0 com nuosto de 11 guarlsm os, en la fo rma.Ha + b , da au equidivislbilidad can a + 2b en la divisionpar 1;

c) La presentaci6n de A dentro del sistema de numera-

cion duodeolm a l, en Ia form a 12a + b, d.·a sn equldivistbflt-dad conQ. - 7b en Ia division por 17.

59, Lascondlciones-a] y b) se eumplen automaticamente ..

Las c):{ ( 1 ) son'observadas.perque e1 paso'de A «r (A) se ra-duce a sustttuir ciertos mimeros PQf sus residues de Ia dlvi-sl6n entre A '(menores que los mismos mimeros y equirrasi-duales con ellos),

54. a) T2, =7'3 =..• =n=O, es decir, n.=O (k:;9 2);b) r3 = r" = ..• =1',,=0, as decir, rk=O (k> 3).c) T,t ='2·= ..• =7n=1, es deci.r, Tk=i;d) rl =';) = =J''Ji-t = -1, 1'2 - r!l, =

= ='!i =1. es declr, rh. =_1)11;

c) t'61+fi =, 101+2 =, 7'6t+3=6, ·rfH+4 =i .ral+5 =5, r6t = 1-

55. So Ia dejamos ;.\I Tecter.56. 'I 'om a tnos un m arbitrario y ponemos que

i] as igual al rsstduo de la divisi6n de t por m,1'2 I) » » » f) f) » ) trl por In etc.

Entonces e1 numero

ant

n

+ an_1t-1

+ .. . + a1t + aoas cquirrestdual con

anrn + an~]in·_l + ... + a1rl + ail.

en 10 . divisi6n por m. Luego de esto , Ia constnucclon delcri (arlo ex 19id0 no presen ta dificu Ita d•

57. Se ],0 dejamos al Iactor.

0 5 8 , 102 =7 .1/.i: - I - 2, de modo que r = 2 y entoncos

tonemos que Ao =048576, At =,23

+4.22

+85·2 +



8 9

+ 76 =270, Az =2·2 + 70 =4 y As =4.

59. Si en la division POt m, t es equirresidual con r =

=. rt,entonc,l's, en ]0 division pOI' dicho mimero,

tr1 (\'> equirresidua] con , - ! J . =rll,

tr ~ » » » rS =a ,

etc.60. Ni 2. - 2, ni 23 - 1 son dtvisibles pO l' q ,6]. Si a : p, entonces (~p ! p, Y el teorema [{1,1e(11l de-

rnostrado, 'Peru si a no e~ divisible por p, entonees a y p

80:11 Frimos entre sf y es posrhle simplifioar Ia- congruenciaoxprresta en Ia condicion del tsorema:

aP-1 = 1 (mod. pl.

Para comprohnr la lthima. congrueneia dividlmos resi-dualmente POl' p cads uno de los rnimeros dol tipota(t =- 1, 2, .. ., p - 1):

ta =JrP + r,Esto pneds SCI' escrito aS1:

a=1'1 (mod. p),

2n=rz (mod. p), (H.11)~. • I •

Del resultado de] problema 26 se desprende qllB entre losruimoros rl encontramoa exactarnente una sola vez cnda unode los nfrmeros 1, 2, ... , p- L Multlplicande toda [a

congruencia obtenomos

1·2 ..• (p - 1) a'P-l ~ 1-2 .•. (p -1) (mod. pl.

Nos queda simpllficar estA':c,ongruencia por 1..2'.':, (p-1).02. < p (12) =(P (2 2,,3) =a-1 (3 - 1) =2·2 =4,

c r (120) =- r p (23.3.5) =3-1 (il-1) (5 - 1) == 4_·2·4 =2,

\P (1000) -= I f " (2;i· 53) =33-15:1-'1 (5 - 1) =. ·25·4

=400.

(is. Vamos -3 buscar m . en In forma P C : ' 1> ';2 . , . r f t ; h .

Entonces.( 1 ) p~I .. l ( P L -:1) r;~2-tl( P 2 - I) ... p7,:;,J (,Jh-1}=jO.

EJ prodncto del p.rimer rniembro debera ser d ivisiblo pOE 5.



1)0

QuIcrc dueir, 0 hien que \lOU de l-os nurneeos 11 P2' ....-. ,-,_ Ph es ;, (pIW~ ser'exaotoe pongamos P - j =),0 hien quop()r 5 es \liv .i:;;ib le una do las diforencias p~ - 1, pz - 1" .•

. . , T ) If - j ( sn pon f;l\ mos quo parnos til: ci rc uns tan cia . (PI -

- f) ; f)). ErL. el primero de estos _ C O : S O S Pi - 1= 4, 0 0 8 1 1

lI11fJO:-{ibJ(J. )Ill. quo H) no os divisible pOl' it En olsogundo ,

pOI' cuanto p 1. deberti SOl ' llUmero prnno y 10 1 (P I - 1),liuicllmeu to (If!, poslblo pnrn PI = 11. Pcrcentoncos«, =.y del teoroma 25 so deduce quo

< p { ~ ) = f .

• J III 1 · b i II! 205 duclr, (I iieu U----' . , -0 __HlJl IT'= _.

gIL conclusio», nO$of;-tos tenemos (]\10 m l =1 y'm,;!- =.22_

h) p 7 1- t CPt-1) p~2~1 ( P 2 " - - - " ' 1) ." p~h- t (Ph -1) ="- 8;

81 m e::> irnpa r , entoncescq =2 . ;='0 ••• =U/,= 1(pues' l · 1 segund -0 rniombeo d D l a desigualdad anctada es la poteuciade (108):

(Pl - 1) ( P 2 - 1) ... (PI! --1) = 8.

Esto [ ' : 1 $ posiblo (Illjcn-rnent~, cuaudo It =, £ I I =S Y It s ::' [ I,es docirvcuando 7 1 '£ - : - 15_ .

SM uhoracl numoro m pal.'. Supungamos, para cortez,l,

quo PJ =. Indndablemeutc, ali - .' ... - fl.,k = '1 comoantes y nosotros t_{!llCffiflS que

20;-.1 ( P 2 - 1) •.. (Ph ,_ -t) =,

Es ovia 011 to que a::::;;;4 . Si 0;= 1,011 ton COl"; , 01 (:1 l.60 SO nso-mojll a l exam inudo: asl, Ii:! dosigtlald-<id oscrito es solamonteposible para k =:: 3 , P 2 = Y Pa =, es docir, purn In=".= 30.

Si 0\ = 2, eutonces k = 2, l'3 = y m·= 2().Sirx =: 3 , t~Jl&()IlCOS k =· , p " , = y m = = 2~.Si, por fin.• C ( , _ =I , enzonces Ie =1 Y ' - 1 ' £ = Hi.A.~f! Jus resoluoiones de nuosernaproblernas son:

m1 - 1 . 5 , m2 -= . ' 1 0 , Tn:! -= '20, lrtl = 2 4 y Ins •. H - L

04. Supongamos que

p~l-I (PI -1) p~!'-l (pz-1J ... pj,k -I (Ph-i") = 14.



01

Cad a unrr de los num('.ro,~ del tipo Pi - 1 es 0 ]) iC II 1.1

1111id ail, 6 hieu nn rnimero par, y por C~() Ill) 1I11l'!h.! ;;(lI' siol,o.

H abiendu dt scr m enor quo 0 1 n {',TIIcropriJ11o nn un it un idurl ,tarnpoco I ' I H i r n ~cr igual I) 14. Qulcre rlecir quo 1 1 1 1 0 do Ios

n Umeres / f 1 . i-l. ( > 1 : 1 ~ iat ,e. ['01'0 entoncos, fit - 1 '.:_ (j - y 1 1 ! ] 10

os d hisillI~ por (j,

'f65, Sell In,''''' p~rplt ' .. p%I(, Examinemos al priuclpio

l! l ril~n cnnndo InPi; potencial flo !Ill IIUm43 l '1 ! p rimo ; In = pa.

A fill de fille ciorto I'IIJme!'o y m. sean pl"iOH)'.' (·nire ~ r P'l' nece-sario y suficicntc I[lIC estc mJ.lIiCJ'O no sea divisible por /1 -

I'ero en tre los rnitnuros OJ 1, 2, ' . " III - 1 oxistcn so In-

T.TWJltr~ ~ numceos tlivil'ihlc!' pur p , Por ("()II:;iglLicllLe, C1IJ I

ostn 110 tuciou , ha b ra

m- ; ; i ~ - , -m:(1-+) -_< 1 , ( 1-+ ) =pU-1 (p-i) -='(p (m).

mirneros 'Primos con p.

Soiia leTl'1o .s nhorn quo para qllo t t : y m. KOHn prim os entre

sf as uecssario y sllncien te quo COl t a ~(1a prim o ( \1 resid U()de 1 1 1 oivisil)JI de a por m,

1'01' 10 que aca hamosfdo esta hlecor, In c/!IILidafl e t c resi-i'ltJ os 1 10 I a d i vis ion par p 'Z i • re.clIIJ'oe It IIien ke prj rn0 c; C(1I1

"1 " 1 ; , es igual 11 (P (p 11). PO_I'll, como yn lue exnlicado ell d

prnceso de l'CSO lu c.i 6n rlel proh lorna ({O, d ( \ 1'1_equ iresid uali-

r l a r T (h~ 1 0 : : ; numcros para t o division ( . l o r . 10(1015 l o s pt" St.1

r l 1 : \( 1 1 1 1 ' 1 : \ $11 eq 11lrrcsidualid a d e n In d i L " l i l l i l por m.. Y v i c o -versn. Adcmas-, f ; i qnerem os que 11.1 m lm { lr( ) ,<lN l prirno con In,

es nec esa rio Y liufic ien to f J uo Io soil ron NHln 11IH) J J C ' los n iirne-rns p ? - i Porconslgulente, a nl(ill cfJlnhilLIJei6n de 10f)l'<"."i(lll()~

(] (1 Ia d iYi~i6f1 }lor p ' f J , p ' ( ; z " "Pi"h., primoscon loS l:i)Hp(l!'ll-

V(lS d ivisoros, 1(\ cCHTeSpC)[Hi(' oxuctarnonte till rosiduo de la

d ivif')ioll por m, prime COil 11k. 'J ,U I l l l i ~ ; 1 i u~ IIOCOSlll'i( l 1 : < , 1 ) 1 1 « -I lIr'l"q-lIt! In ctllltifl~ld de ta les t .()IIIIJili LI'IOII(':-' r l o l ' (I:::id!l()~ esignnl ,,' tp (p~I) If' (fi~~) . , . (f ' ( P h i, ) " " ' - ' !.I'(Jn)

an. Tenerrros

(/.1 7"7 A + lli/it ,y ((.~=- I I q~rrt'!..

PIli' eso

(a . 7nz+ a211t1) (tn.+ II~Z)lp<lPlt" ',~J-1-=



92

~ tA (m,-l- 1 1 0 2)-1- ( q l ' 1 - qz ) rn.,m zJ ( '1'1- 1 - mi)!p(mlIR2)-1 =

=A (m.+ m2)(jl( 'mlm2LI- (qj +q2) mtm~ (m t 1- ~)<p(mlmz)-l.

Aqui, segUJl 01 teOl'Gma de Euler, Cll111 division por 1n,tn1.

elprimer sumando C iS eq uirrosid ual con A " y el.sogunde Idivi-stb le porm Lm 2 ' Eso significa quo al divid ir P O l' 1n1m2> todaIa su rna es equ irrasid nal con A.

(J7. Se 10 Ill1ja.mUS al Ioctor,68.»» » I , II

(J9. I)> > ;) \\ »10. n13_ n = n (n-' _ 1) PCl'O

ntz=n(j'( I~) =2~(1).= n31jl(~)=n.8IP(3)=n12fJ1(2).

POl' e50, 0 bien n. ~ p, o h; (n,l2 - 1) P para p =2, :~, lj,7, 13. Ahora os precise remltirse al tooruma 16_

71. SQ 10 dejamos al Iector.72.»» » » :i >

73. Sea del maximo cormin divisor de los ruimerns r..y b.Si c no es ·divisible por e l , entoncos, Ia ecuaclon ax + by =cno tiene soluckin en nfimeros enteros. Pero si, 10 es, entoncesamboamiembros d e Ia ecuacionpueden stmplificarse pOl' d

Y nosotros llegamos a un caso ya examinado.74. Soan A y JJ tales que aA + bB =1. Supongamos

que

Xl =A + bt,

i-aAy/rr:::::c-b--at.

axd ..bY t =a(cA. + btl +b ( c l' baA -at) =

=,caA + ab t + c(1-A) + . ab. t=,

y (x" V a os v erdadcram ente Ia soluc lon do nuestra ecua-cion.75. ( I) X, =··55 + 7t =8125 + 7t,

1-5 1

si= 9-r--5t=-20088-5t.

POl" C!HllILo lOR lCTmin08 independientcs y cooftcientes

quo aco mpafiau It t '-"11IRS· c"xpl'tJsiQol:ji:\ jiara XI e YI son , H idocir, «aproxlmadamente propcrclonales», nosotros espera-



9 9

mos ubteuor nooioues ( ! e nuestras r,q-solucioHos en mimerosmouorcs. En efecLo, pod emos escri hir

Xt = G + 7 (t + 4Ll17).

y,; =3 - 5 (t + 4017)

0, supoutendo 'ltW t + "' '1017= l' ,rmsoll 'os obtonemos

XI' = + 7t',

y , .=-3- 5~.

Sofialam os que 61 proced imian to do raaolucidn de acu a-clones en li{i,nterusen teras, expuesto onel problema 74,perrnite utilizar ltUllletos meuores, auuque lambhin exigecfi lculos a lgo m ;;i$ complejos,

b) Hngarnos valar que 25, porel rn6dllio t:{j per ten ec e alindlce 2. Podemos sscribir

X , ~

8.,25 + 13=

00 +j31,

Y i =8 1 - ; ; - : ; 52

_2Gt -= -384-2.'it

o_,despue.,> de .sitnphfica r,

; l : " = + 1o,t',

y " =-9 - 2-5 t' ,

76. La eondlcion c) se ssegura automaticamente y I n

d) se, 'deduce d.e] teorema 2 . . . 1 1 .

m I 17 {9272\)314977. IT 1 2 , ( 0 5 ) " 1 . t!l ; 1 : ! o S (0-3) '5 •

78~ Se 10 dejamos al lector.

79. Se 10 dejamos al lector.

80. a) 8q>\ZI)-1 = 811 =4 0.8 . En 10 . division pol' 2'1

este numero es eq u irresid ual COil 8. Quiere decir que Sa +- 1 h y u + -8h son. equidivlsihles en Ia division por 2"1.b) 12!P(31)-1~ '1239= (12.2)111.12 = 144B ·12 ese.quirr.e-

sidual con 1.114."12 =:1217.12 =-3p.1.2 =- ,(33)2 ·3,·12==. -f31 - 4)2.(31 + 5h en Iii division por 31 y tambien.

c'q.uitresid ual con -1.0·5 = -80, El ultimo numero, evi-dentamenta, es equirresidual CQn 1 ; 1 , POl'10 tanto, Ios nume-. rOB i2a. + b y a+ i3h sou equidivisiblel'l en 1<1division

por 31. .



«Lecotoues JflqmJilrC!l de materna LIens» es una celocciouqtle so IHki6 (~II1\175 y llovn puhlieados l iastu 01 mOll"mllo

"'I)rUl dc ' !'. iU lollctos. ESf,rilils J)or mal.ormil.icos ~nv i6 I ,h :osrHlIII)HW~. tHlIlo POt Sit IlllJ~l1'I foCOJILo C()Jl1{) por I'll o hra cion tf-fica, tied kad.as a lcmas in Ioresan Las I f { \ "MI l tematicas E lo -

w e rt t.u l e s 0 mtermed ias en I.I~Cegt .'l . y InJVla tenia l.ica Superiorexpuesta s en IOE 'm n clara y precise, que ( ,~H 110regIa no exigeconocirnientos previos espociallzndos, Jas « Lecc .ionos» cst.{m

destlnadas U un amplio circulo de lectoros y pueden corupa-

rnrscn peqlleu()s yates quo brindan Ia posihilidnrl de roali-

zar, bajo,el mundo de capitanes expertos, 11I1,WrLO y agrada b-It!v ia je par el i umsnso oceano de Ia ctencia rna tomauea,IJien ell III pro x imid ad de las costas, liieu ad {llll:rull d 05e OJ1

aquel, A lm ismo ticm po , Ias «Lecciones» esl.lmulan ol.le!lector Q J don det razonamiento 16g1c.()y I I I aptitud de descu-hrir relaclones ell tte feJl{)UlOno$4pru:cn1:emt1ll t.s mil y nl ojad OSi

Iamilinri zaud ole eon los elernen tos principu les de In ( 'Ui1.11Til:

matcmatica. Por Lotio ello, ias«LecciOlnis»,ri(!sLilladai'l, Oil

uu principle 'II J08 a lumuos do los gl'adOSi;Wpel'iorl's d~\ 1<1llflsel1aHzll mea ur , puedeu sec recomendadas LlunhioJl _ Il losestudinnteede cualq uier espcdalidildy 110 dejan de telHw

intt\res para los maestros y profesiouales.Los liIros do csta serre teatan, como regl«, sohre Lwn(l:->

ospocia I't\~ do las M:lteflllhicas y, por constguren tc, ci')tund('sUnad_o~ U lUI r irc n lo muy rostruigtdo de !CC.lOJ05 'pie,

apurtc de Ins prnlesionnles, -aharca a los estudinntes de Jo~Inst itutos PuhttScnic.os y de I~s Facultadcs de Ciencins Natu-rules do 1m; uruvorsidades. Pueden scr recomundades como

[nil teriul ndicrou a l de e$ l.-lIdio 3 .1 tr4lar tle:l.f;t 'JUinado:s temas

delpf0gTilHlIl y lam bi€npued.eJl set' apro vachadns en eltrabajo <Ill J05 circulos mutcmaticos. LOf\ rnnestros eucoutra-1'.111 al leerlns algunos mnmentos quo in dudn podran 8(11'

IlrllladoB ell In .'! c ir cu ln s maleflHHit:{)s esc ol a res.



A NUESTROSLEGTORES

Mir cdil~ lihros t ;oVioticos traducldos al CIii'lIiiUI, illglUs, frUl1c6s,arab!! 'Iouos Idlom a s extranlcroe. 'Entre ellos fi~urnn las meiores cbrasde las 'dlsl.intns rnmaa de In elencia y In tocm<:a: manunles para loscentres lie ensefinnza sup'erio'r lr(lSCU,clSIS tecno!{,gtc,(l.!J: lil(~rtllnrn~()hrl'eiNH'iaSJlu turales y medic-as. Tamhien I<~ incluyen uH>nograflas. Iihrosric divuigaci{11I c,ienLHica y cienciu ficcii'in. Dirijan ~ni; opinillnl's H 111EqHorial Mil', t_ Rjzhskiper., 2, 1211820, Mllscil, 1-1'l!.), GSP, URcS ,



Nikc.lslri S.

J tL ':i~ 'il!.i\1 "o •. UGL ANALIS 1S MA'i'I!:MATICO

~sLe Jibro e~Lc1escnto para ayudar a los esecleres que

csl.udiun ol <tlJalisili.malematieo, asi como 'alos

maestrosde

vseuela secundana que dan clases de drcha asignatura. LaoLril lam:l,)icll Stn'a titil para 105 alumnos de escuelas de, peri-Laie, e mel 115,0 para 1a autodidactdcau el repaso de la mate-riel d(~luuahsis maternatico al nivel cielas exigencias que se

presentau eLI cscuelas respecto a esta discrplina,Los eapuulos pnmero y segundo son. los hasicos, cat an

dt!dl(laUOS ul uua,l i!>ls matem atico Y plLedell considaearse porseparado de 10::1 demas, como uidependicntes, En, los prime-

.ros dos capitulos el uoailsjs: matematico 8C estudia a basetie la geometria y Ia Iisica, La gratiea continua y el movi-miento, pOl' SL -mismos, sirven de Iundamento para la s de-rlucciones basreas, Se cia una idea del Iinuto de una sucasiony del do una Iuncion, Se exponen el c3.lculo diferencial e

uuegral y sus aplteaciones, ~D el tercer capitulo se estudia,11.1.lOCIOIl de los numeros realas, El capIt) .ll.6 cuartc astadodlcado a ill formula del binomio de Newton y al analists

cornbtnatorlo. G n 01ultimo, quinto, capitulo, el Isetor enCOD-

Ll'ura una lwJVH mlormacidn aceroa de los mimeros com-plejos y su lJ i . . tPO(al l'tlsoh'!;ll"ecuaciones algehruicas.



.~• • • . . • • • . . . . . . • • . . . . . . . ~• • . • . . • . • . • . • . . . ~. . . .~. ., .• •• •~ l e c c l o n e s p o p u l a r e s ~

~ d e . m a t e m i t i c a s ;. . . ..o '

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Obras de nuestro rello edito ria J

V.A. Uspenski

Algu nas aplicaeiones de la

mecanica a las rnatematicas

Yu.1. Lyubich, L.A. Shor

Metoda cinematico

en problemas geometricos

N.Ya, Vi1enkin

Metoda de aproximaciones sucesivas

V,G. Shervatov

Funciones hiperb6licas

A.S. SolodovnlkovSis temas de desigualdades Iineales

E d it o r i a l M I R M o s c o

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Criterios de Divisibilidad - Vorobiov

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