crecimiento poblacional - ecuaciones

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill

Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.

Revisado y complementado: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede UIS-Socorro

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado

no lineales

1. La cantidad N(t) de supermercados del país que están usando

sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con

valores iníciales

a) Use el esquema de fase de la sección 2.1 para predecir cuántos

supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un

periodo de tiempo largo. A mano, dibuje una curva solución del

problema con valores iníciales dados.

b) Resuelva el problema con valores iníciales y después utilice un

programa de graficación para comprobar y trazar la curva solución

del inciso a). ¿Cuántas compañías se espera que adopten la nueva

tecnología cuando t=10?

Solución

a)




Puntos críticos de la ecuación diferencial:

Respuesta: se espera que en un periodo de tiempo largo las

empresas que adopten el nuevo procedimiento sean 2000.

b) Variables separables

0

2000

-∞

∞ Eje N

Decreciente

Decreciente

Decreciente

0

2000

t

N

(0,1)




Entonces:

Condiciones iniciales: N(0)=1

Remplazando:

En T=10 entonces:

Respuesta: son 1834 las empresas que se esperan que opten la

nueva tecnología en 10 años




2. Cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la influencia de

determinado anuncio está gobernada por la ecuación logística.

Inicialmente N(0)=500 y se observa que N(1) = 1000. Determine N(t) si

se predicen que habrá un límite de 50000 personas en la comunidad

que verán el anuncio.

Desarrollando la anterior ecuación diferencial se obtiene.

Aplicando N(0)=500

Sabiendo que




Usando N(1)=1000 y a=50000b tenemos:

Despejando=

ECUACION LOGISTICA

3. Un modelo para la población P (t) en un suburbio de una gran

ciudad esta descrito por el problema con valores iníciales:




Donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la

población? ¿Cuánto tardara la población en alcanzar la mitad de ese

valor limite?

Solución:

Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante

largos periodos de tiempo, porque en cierto momento los recursos

limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la

población.

Por ello es necesario emplear un modelo no lineal que pueda determinar

el crecimiento de una población en periodos que oscilan entre meses o

años.

Para esto se tiene la siguiente ecuación llamada hipótesis de dependencia

de densidad:

Ecuación logística

Llamaremos K la cantidad máxima de individuos en una población. Así

para la función en la ecuación se tiene que y simplemente

hacemos .

La hipótesis más sencilla es que es lineal, es decir, .




Si aplicamos las condiciones anteriores tenemos:

Así adopta la forma

Por lo tanto la ecuación se convierte en:

Redefiniendo las constantes se tiene la ecuación logística:

Esta ecuación se acopla perfectamente al modelo poblacional propuesto,

por lo tanto se tiene:

Desarrollamos la ecuación mediante variables separables:




Descomponemos el lado izquierdo en fracciones parciales e integramos:

Por propiedades de logaritmos tenemos:

Aplicando Euler a ambos lados de la ecuación se obtiene:




Dividimos numerador y denominador entre y tenemos:

Aplicamos condiciones iníciales establecidas en el problema:

Remplazamos en la ecuación:




Ecuación final:

Teniendo la ecuación desarrollada podemos responder las preguntas

propuestas

El valor límite de la población es K, por lo tanto se tiene :

El tiempo que tardara la población en alcanzar la mitad del valor

máximo es:




Aplicamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

Año

Población según el

censo (millones)

1790 3,929

1800 5,308

1810 7,240

1820 9,638

1830 12,866

1840 17,069

1850 23,192

1860 31,433

1870 38,558

1880 50,156

1890 62,948

1900 75,996

1910 91,972

1920 105,711

1930 122,775




4. (a) Los datos del censo de Estados Unidos, de 1790 a 1950 se ven en la tabla. Formule un modelo demográfico logístico, con los datos de 1790, 1850

y 1910.

(b) Formule una tabla para comparar la población real censada, con la que determine el modelo de la parte (a). Calcule el error y el error porcentual para cada par de poblaciones.

Solución:

PARTE (a)

Según la ecuación logística

usando separación de variables

tenemos:

Como P(0)= 3,929 , entonces tenemos:

; si c=

Si en el año 1850 cuando t=0 la población es de 23,192 millones; entonces

(1)

1940 131,669

1950 150,697




Si en el año 1910 cuando t=120 la población es de 91,972 millones; entonces tenemos:

(2)

Despejando en la ecuación (1) tenemos=

(3)

Reemplazando (3) en (2) tenemos:

=




Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

Finalmente tenemos el siguiente modelo demográfico logístico

PARTE (b)

Para completar la tabla nos apoyamos de el resultado de la parte (a)

El año 1790 corresponde a t=0, el año 1800 corresponde a t=10 y así sucesivamente hasta llegar a t=170, cada valor se ubica en la columna correspondiente a la población según las predicciones, y se hace la comparación con ayuda de las siguientes formulas:




Año

Población según el

censo (millones)

Población según las

predicciones (millones)

Error % Error

1790 3,929 3,929 0,000 0,000

1800 5,308 5,333 -0,025 -0,471

1810 7,240 7,222 0,018 0,249

1820 9,638 9,745 -0,107 -1,110

1830 12,866 13,088 -0,222 -1,725

1840 17,069 17,472 -0,403 -2,361

1850 23,192 23,138 0,054 0,233

1860 31,433 20,332 11,101 35,316

1870 38,558 39,257 -0,699 -1,813

1880 50,156 50,018 0,138 0,275

1890 62,948 62,560 0,388 0,616

1900 75,996 76,605 -0,609 -0,801

1910 91,972 91,651 0,321 0,349

1920 105,711 107,023 -1,312 -1,241

1930 122,775 121,983 0,792 0,645

1940 131,669 135,872 -4,203 -3,192

1950 150,697 148,212 2,485 1,649

5. a). Si se pesca un numero constante h de peces de pesquería por

unidad de tiempo, entonces un modelo para la población P(t) de la

pesquería al tiempo t esta dado por:

P (0)=Po

Donde a, b, h y Po son constantes positivas. Suponga que a=5, b=1 y

h=4, puesto que la ecuación diferencial es autónoma, utilice el




concepto del esquema de fase de la sección 2.1, para dibujar curvas

solución representativas que corresponden a los casos Po> 4, 1 < Po

< 4 y 0 < Po < 1. Determine el comportamiento de la población a

largo plazo en cada caso.

P(0)=Po

(p-4)(P-1)=0

P1=4 p2=1




En R1 a largo plazo la población va a ser 0 en el intervalo Creciente

0< Po < 1

En R2 a largo plazo la población tiende a 4.

En R3 a largo plazo la población tiende a 4.

b). Resuelva el problema de valor inicial del inciso a). Compruebe

los resultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando un

programa de graficacion para traer la grafica de P(t) con condición

inicial tomada de cada uno de los tres intervalos dados.

))= t+c

Ln (

(

P-1=

P(0)=Po




Po-1=PoC-4C

P(t)=

4<Po<∞---------Po=5

1<Po<4-------Po=2

0<Po<1---------Po=

1. P (t)=

2. P (t)=

3. P (t)=

c).Utilice la información de los incisos a), b) para determinar si la

población de la pesquería desaparece en un tiempo finito de pescas.

Determine ese tiempo.




Grafica P (t)=




Grafica P (t)=

Ln

3t=Ln




T=0.186

6. Investigue el modelo de pesca del ejercicios 5 tanto cualitativa

como analíticamente en el caso en que a = 5, b = 1, h = 25/4.

Determine si la población desaparecerá en un tiempo finito. De ser así

determine ese tiempo.

Analíticamente

Reemplazando los valores:




Desarrollando la Integral (fracciones parciales)

Entonces si

Reemplazando A y B se obtiene:




La solución general es:

Aplicando EULER

Despejando P




Si

Reemplazando (2) en (1)




CONCLUSIÓN: La población desaparecerá en un tiempo finito, ya que la

siguiente ecuación permite asignar un tiempo y una población inicial para

determinar cuál sería la población en ese instante.

Para saber cuando la población se extingue se tiene que evaluar en un

Intervalo de y fijando una población

Si




Si

Para finalizar se obtiene: EL TIEMPO EN EL CUAL DESAPARECERÁ

LA POBLACIÓN.

Cualitativamente

Según el concepto o esquema de fase las ecuaciones autónomas se

hallan los puntos críticos:





Así que las soluciones de equilibrio son:




Realizando un esquema de fase utilizamos estos puntos críticos y el 0

ya que en este punto desaparecerá la población.

Analizando en cada intervalo:

-

La población decrece tendiendo al punto de

equilibrio de

en un tiempo infinito.

-

La población crece tendiendo al punto de

equilibrio de

conforme el tiempo tiende a

infinito.

-

La población decrece tendiendo a CERO donde

allí desaparece en un TIEMPO INFINITO.

7. a).Suponga a=b=1 en la ecuación diferencial de Gempertz, puesto

que la ecuación diferencial es autónoma, utilice el concepto de

esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución

representativos correspondientes a los casos Po> e y 0 Po < e.

)




PUNTOS CRITICOS:

1-LnP=0 →LnP=1 →P=e

Para 0<P<e , P(t) esta acotada. Como P(t) es creciente, P(t) →e

cuando t → ∞, y P(t) → 0 cuando t → -∞. Las dos rectas P=0

y P= e son asíntotas horizontales para cualquier curva solución

que comience en esta subregión.

Para e<P, P(t) esta acotada inferiormente. Como P(t) es

decreciente, P(t) →e cuando t → ∞. Esto significa que P=e es una

asíntota horizontal para una curva solución.




b) Suponga que a=1, b=-1 en la ecuación (7) utilice un nuevo esquema

de fase para dibujar las curvas solución representativas

correspondientes a los casos Po> y 0 <Po< .

PUNTOS CRITICOS:

1+LnP=0 →LnP=-1 →P=

Para 0<P< , P(t) esta acotada. Como P(t) es creciente,

P(t) → cuando t → ∞, y P(t) → 0 cuando t → -∞. Las

dos rectas P=0 y P= son asíntotas horizontales para

cualquier curva solución que comience en esta subregión.

Para <P, P(t) esta acotada inferiormente. Como P(t) es

decreciente, P(t) → cuando t → ∞. Esto significa que P=e es

una asíntota horizontal para una curva solución.




c) Encuentre una solución explicita de la ecuación (7) sujeta a P(0)=

Po (7)

------------- (7) Geometriz

Sea U= a+blnp→dU = dp→ dp =

dU




Aplicando tenemos:

=

→

= → =

Ln p =

→ p =

Como piden p(0) → p(0) =

=

8. Dos sustancias A y B se combinan para formar un compuesto C. La

rapidez o velocidad, de la reacción es proporcional al producto de las

cantidades instantáneas de A y B que no se transforman en C. Al

inicio, hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B

se emplean dos gramos de A. Se observan que en 5 minutos se

forman 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 minutos? ¿Cuál es la

cantidad límite de C después de un tiempo largo? ¿Qué cantidad de

las sustancias A y B permanecen después de un tiempo largo?




A + B C

Donde se necesitan 2 gramos de A por cada gramo de B; entonces se

puede expresar la siguiente relación estequiometrica 2B=A.

Para obtener cierta cantidad de C necesitamos (c) gramos de A y B; en

este caso supondremos que se han obtenido 4 gramos de producto C

2B+B=4 se tiene

ó

Recordemos que 2B=A. Entonces

ó

Siempre se necesitaran

gramos de A y

gramos de B

Por ello se puede afirmar que el reactivo limite es A, (se acaba primero).

Y que las cantidades A y B que quedan en cualquier tiempo

respectivamente son:

y

La rapidez de la formación de C satisface

Al realizar las restas fraccionarias, sacar factor común

y multiplicarlo

con la constante de proporcionalidad obtenemos otra constante




Se puede evidenciar que se pueden separar las variables

Utilizando fracciones parciales se obtiene

+

K1dt

Al integrar encontramos

-

Organizando y aplicando la propiedad de logaritmo natural




Aplicando Euler

(1)

Es claro que en un t=0 la cantidad de producto C es cero, por ello

Reemplazando en (1) el valor de C2

Utilizando las condición inicial C (5)=10 podemos encontrar el valor de K1

siendo esta igual K1= 0,0001259

Finalmente despejando a C se obtiene la siguiente expresión que denota

la cantidad de C para cualquier tiempo

¿Cuánto se forma en 20 minutos?




Reemplazando el valor del tiempo en la anterior expresión se obtiene que

la cantidad de producto C es 29.3 gramos

¿Cuál es la cantidad límite de C después de un tiempo largo?

Podemos utilizar el concepto de límite para conocer la tendencia de C

¿Qué cantidad de las sustancias A y B permanecen después de un

tiempo largo?

Habíamos establecido que la cantidad de A y B en cualquier momento

estaba dada A=

; B=

conociendo el valor de C se puede

decir

A=0 como era de esperarse puesto que se requiere una cantidad mayor de

A

B= 30 gramos

8. dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la

sustancia química C. la razón de la reacción es proporcional al

producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se ha

convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y

por cada gramo de B se consumen 2 de A. se observa que a los cinco

minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20




minutos de C?, ¿Cuál es la cantidad limite de C a largo plazo?,

¿Cuánto de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo?

9. resuelva el problema 9 si hay al principio 100 gramos de la

sustancia química A. ¿Cuánto se formara la mitad de la cantidad

límite de C?

8. Sea la cantidad de compuesto de C presentes en el tiempo t. Es

obvio que gr y gr.

Si, por ejemplo, hay 2 gr del producto C, hemos debido usar, digamos, a

gramos de A y b gramos de B, así.

Por lo tanto,

Y por cada gramo de B se consumen 2 de A

Tenemos,

Pero como la razón de reacción es proporcional al producto de las

cantidades, se obtiene:

En general, para obtener X gramos de C debemos usar.

gr. De A y

gr. De B




Entonces si inicialmente hay 40 gr de A y 50 gr de B que quedan al tiempo

t son:

Respectivamente sabemos que la razón con la que se forma el compuesto

C satisface que

Para simplificar las operaciones algebraicas subsecuentes, eliminamos los

denominadores y después introducimos la constante de proporcionalidad.

Para el desarrollo de esta E.D, separamos variables.

Y por fracciones parciales escribimos.




Obtenemos

Cuando se tiene que

Usando se tiene

Con esta información se despeja X de la ecuación (1)




Rta:

En la siguiente grafica se muestra el comportamiento de como una

función del tiempo.

Cuand

o

pasan

20

minuto

s, se

han

formad

o

32.357

gr de

la

sustancia C.

Es claro en la tabla adjunta y de la ecuación (1) que ,

cuando , esto significa que se forman 60 gramos del

compuesto C, quedando.

t X

5 11.498

10 20.209

15 26.982

20 32.357

25 36.691

30 40.231

35 43.154

40 45.588

45 47.629

50 49.352

100 57.409

110 58.027

120 58.496

130 58.851

140 59.122

150 59.329

X(gr)

t




9. entonces si inicialmente tenemos 100 gr de A y 50 gr de B

Respectivamente sabemos que la razón con la que se forma el compuesto

C satisface que

Para simplificar las operaciones algebraicas subsecuentes, eliminamos los

denominadores y después introducimos la constante de proporcionalidad.

Separamos variables e integramos

Cuando se tiene que

Usando se tiene

Con esta información se despeja X de la ecuación (2)




t X

5 11.498

100 88.235

200 111.11

300 121.62

400 127.65

500 131.57

600 134.32

700 136.36

800 137.93

900 139.17

1000 140.18

1500 143.31

2000 144.92

5000 147.92

t

X(gr)




9000 148.84

10000 148.95

Es claro en la tabla adjunta y de la ecuación (1) que , cuando ,

esto significa que se forman 150 gramos del compuesto C, quedando.

¿En cuanto se formara la mitad de la cantidad limite de C?

Despejando t se obtiene:

10. Tanque cilindrico con gotera. Un tanque en forma de cilindro recto

circular en posicion vertical esta sacando agua por un agujero

circular en su fondo. Como se vio en (10) de la seccion 1.3, cuando se

desprecia la friccion y la contracción del agujero, la altura h del agua

en el tanque esta descrita por:

Donde Aw y Ah son las areas de seccion transversal del agua y del

agujero respectivamente.

a) Resuelva la ecuación diferencial si la h inicial del agua es H. A mano,

dibuje la grafica de h(t) y de su intervalo de definición I en términos de

los símbolos Aw, Ah y H.




Utilice g= 32 pies/s²

Solucion:

Separando variables se tiene:

=

Cuando T=0, h(t)= H :

Hh

=

2 =

Elevando al cuadrado para despejar h(t):




Al reemplazar el valor de la gravedad se tiene:

Entonces:

Para hallar el intervalo de definicion:

Cuando h(t) = 0 (tiempo en el cual ya no queda agua en el cilindro)

entonces:

t =

Entonces se puede concluir que, I : 0 ≤ t ≤

Gráfica:




b) Suponga que el tanque tiene 10 pies de altura y un radio de 2 pies y el

agujero circular tiene un radio de ½ pulg. Si el tanque esta inicialmente

lleno, ¿ cuánto tarda en vaciarse?

Solucion:

Cuando t=0 → h=H= 10 pies (Inicialmente)

t=?→ h=0 (Finalmente)

Uso la ecuacion para conocer el tiempo q tarda el tanque en

desocuparse:

t =

; (h=0)

H




t=

; Aw= pies² Ah= pies²

Entonces se tiene : t= 576 seg= 30,36 min

(tiempo que demora el tanque en vaciarse)

11. Tanque cilíndrico con gotera (continuación) Cuando se considera

la fricción y contracción del agua en el agujero, el modelo del

problema 10 se convierte en

Donde . ¿Cuánto tarda el tanque del problema 11b en vaciarse si

c= 0.6? vea el problema 13 de los ejercicios 1.3.




Para h(0) = H

Ahora bien , según el problema 11b:

t=? , h= 0 , C = 0,6 , H= 10 pies

Área de sección transversal del agua:

Área de sección transversal del agujero:

0.50 pulg = 0.041666 ft




12. Suponga que se invierte el tanque cónico del problema 13ª como

se muestra en la figura y que sale el agua por un agujero circular con

un radio de 2 pulgadas en el centro de su base circular.

¿El tiempo en que se vacía el tanque lleno es el mismo que para el tanque con el vértice hacia abajo del problema 13? Tome el coeficiente de fricción/contracción de c=0.6 y

20 pies

h

Aw




SOLUCIÓN Del ejercicio anterior tenemos que

Donde

Entonces reemplazo

Separando las variables e integrando

Usando




Reemplazando h=0 para encontrar t

R: El tanque se vacía mas despacio cuando el cono esta con la punta hacia arriba

13.Resistencia del aire.

Una ecuacion diferencial para la velocidad de una masa que cae

sujeta a la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la

velocidad instantanea es:

Donde es una constante de proporcionalidad. La direccion

positiva es hacia abajo.

(A) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial:

Se tiene que:




Despejando a

Factorizando :

Multiplicando por

:

En la integral de la forma

,

sustituimos:




queda:

Despejando a finalmente obtenemos:

Teniendo en cuenta la condicion inicial:

(B) Utilice la ecuación del inciso (A) para determinar la velocidad

limite o terminal de la masa:

Como 1 y el tiempo tiende a infinito ( , se tiene que:

(C) Si la distancia s medida desde el punto donde se libera la masa

sobre el suelo, se relaciona con la velocidad mediante ,

encuentre una expresion explicita para

Integrando a se obtiene:

=




+

Teniendo en cuenta la condicion inicial:

14. Considere la bala de cañón de 16 libras que se lanza verticalmente

hacia arriba, con una velocidad inicial de 300 pies por segundo.

Determine la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la

resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad

instantánea. Suponga que la dirección positiva es hacia arriba y

tome k=0.0003.

Dirección Positiva

Mg Resistencia del aire

(kv2)

Por la segunda Ley de Newton tenemos que:

Ma= F

M

= -mg - kv2




Haciendo la separación de variables:

=

= dt

Integrando en los dos lados nos queda que:

=

Donde la parte izquierda de la ecuación la multiplicamos y dividimos por

para mantener la proporcionalidad y la no alterar la ecuación.

-

v = t +c

Para hallar el valor de la constante c, partimos de la condición inicial

V (0) =300

C=

Reemplazando el valor de la constante en la ecuación diferencial y

despejando el término

=

+

+

)




V=

300

V=

)

V (t) =

(300

-


M= 16 libras g=32 pies/s2 k=3* 10-4

Y la velocidad en el punto más alto es cero; todo esto para hallar el tiempo

que tarda la partícula en alcanzar su máxima altura.

T= 9,37 segundos

Integrando la velocidad con respecto al tiempo encontramos:

S (t) =

t -

| +

Cuando el tiempo sea 9,37 segundos, la altura de la particular será

máxima.

S= 14111,45 pies

15. Esa sensación de hundimiento.




a) Determine una ecuación diferencial para la velocidad de una

masa m que se hunde en agua que le da una resistencia

proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y también

ejerce una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada

por el principio de Arquímedes. Véase el problema 18 de los

ejercicios 1.3. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo.

Primero:

El principio de Arquímides dice que la fuerza de flotación o hacia arriba

que ejerce el agua sobre la masa es igual al peso del agua desplazada.

Segundo:

Empezamos a plantear nuestra ecuación usando la segunda ley de

Newton, y tomando el eje vertical positivo hacia abajo.

Donde

: es el peso del cuerpo,

: resistencia del agua proporcional al cuadrado de la velocidad

instantánea (por eso aparece la constante de proporcionalidad k), y

: fuerza boyante hacia arriba que según el principio de Arquímedes

corresponde al peso del agua desplazada

Ahora expreso como el diferencial




Entonces la ecuación diferencial queda expresada así:

b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a).

Se hace separación de variables

Como la resistencia del agua está dada de la forma entonces

asignamos la respectiva constante al diferencial , pero para este caso es

porque el diferencial no está elevado al cuadrado; entonces:

Ahora expreso esta ecuación diferencial de modo tal que me quede fácil de

resolver, para este caso se puede llevar a la forma:

Entonces,




Despejo

c) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa hundida.

Cuando ∞ , entonces

Por lo tanto la velocidad terminal es:

16. COLECTOR SOLAR: la ecuacion diferencial




Describe la forma de una curva plana C que refleja los haces de luz

entrantes al mismo punto y podria ser un modelo para el espejo de un

telescopio reflector, una antena de satelite o un colector solar.

a) Comprube que la ecuacion diferencial es homogenea. Demuestre que

la sustitucion y=ux produce:

Utilice un SAC (u otra susutitucion adecuada) para integrar el lado

izquierdo de la ecuacion. Muestre que la curva C debe ser una parabola

con un foco en el origen y simetria respecto al eje X.

b) Demuestre que la ecuacion diferencial puede tambien resolverse por

medio de la sustitucion u=x² +y²

SOLUCION

Si una funcion f tiene la propiedad para algun

numero real , entonces se dice que es una funcion homogenea de

grado , entonces:

f(tx, ty)=

f(tx, ty)=

f(tx, ty)= t f(x, y)

por lo tanto concluimos que esta ecuacion es homogenea debido

a que cumple con la propiedad mencionda anteriormente.




a) Sustituyendo

y=ux dy =u dx +xdu

Reemplazo en la ecuacion original




“solución a la ecuación diferencial”

Demuestre que la curva c debe ser una parabola con foco en

el origen y simetria respecto al eje x.

,

2

Como u=

sustituyo

1-

=

=

+1 ,

2

2

=1+

2 +

QD. El vértice de la parábola esta en el punto(-

,0), por lo

tanto su foco esta en el origen.




sustituyendo u= , en la original obtenemos.

Reemplazando en la original.

Ahora por el metodo de variables separables obtengo.

X+c=

u=(x+c)2

17. Por un agujero circular de area , en el fondo de un tanque sale

agua. Debido a la friccion y a la contracción de la corriente cerca del

agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce según .

Deduzca la ecuación Diferencial que exprese la altura del agua en

cualquier momento t que hay en el tanque cubico. El radio del agujero

es 2 in y g= 32 ft/ .El tanque tiene 10 ft de altura.

=

H= ft

1)

y2=2x+c




G= ft/

Unidades.

El signo menos indica que el volumen (v) esta disminuyendo.

Volumen del agua:

V(t) = h

Sustituimos en 1)

Area circlar del orifico

; r = 2 in , entonces r = 1/6 ft.

Como el tanque es cubico entonces,




Ecuacion diferencial para expresar la altura del liquido en cualquier

momento t.

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