Crecimiento Económico Parte 3 01. 02 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III –...

Crecimiento EconómicoParte 3

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Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Idea Central:

Diferencia Centrales con Modelo Neoclásico

• En el largo plazo la tasa de crecimiento del stock de capital por trabajador puede ser positiva, aún cuando no se postule que alguna variable crezca a una tasa exógena

• Ausencia de rendimientos decrecientes del capital.

la acumulación del conocimiento técnico es endógeno al modelo

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Funciones Esenciales del Modelo

• La función de producción de bienes

con 0<∝<1

• La función de producción de conocimiento

�̇�=𝐵 (𝑎𝐾 𝐾 )𝛽 (𝑎𝐿𝐿 )𝛾 𝐴𝜃 con 𝛽 ≥0𝛾≥0

En donde: 𝑎𝐿es la proporción del factor trabajo dedicado a la producción de conocimiento

𝑎𝐾es la proporción del factor capital dedicado a la producción de conocimiento

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Porque se denominan Modelos AK

Supuestos del Modelo Neoclásico

(AK1) Función de producción Cobb Douglas:

(AK2) Tasa de Ahorro es constante () y se invierte lo que se ahorra

(AK3) El aumento del capital será:

(AK4) Toda la población esta empleada, y crece a una tasa constante determinada exógenamente:

𝑌=𝐴𝐾 𝛽 𝐿𝛼

˙𝐾=𝑠𝐴𝐾 𝛽𝐿𝛼−𝛿𝐾

𝜂=𝐿�̇�

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Demostración

Reexpresemos (AK3) dividiendo por L

�̇�𝐿

= 𝑠𝐴𝐾 𝛽𝐿𝛼

𝐿−𝛿 𝐾

𝐿

𝐿𝛼−1 𝑘

�̇�𝐿

=𝑠𝐴𝐾 𝛽 𝐿𝛼−1−𝛿𝑘 (1)

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Demostración

Si derivamos el capital por trabajo efectivo respecto del tiempo, obtenemos:

�̇�= �̇�𝐿−𝐾𝐿�̇�𝐿

𝑘 𝜂

�̇�= �̇�𝐿−𝑘𝜂

reordenando

�̇�𝐿

=�̇�+𝑘𝜂 (2)

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Demostración

Introduciendo (2) en (1), 𝐿𝛽

�̇�+𝑘𝜂=𝑠𝐴 𝐾 𝛽

𝐿𝛽 𝐿𝛼−1 𝐿𝛽−𝛿𝑘

𝑘𝛽𝐿𝛽+𝛼−1

�̇�+𝑘𝜂=𝑠𝐴𝑘𝛽 𝐿𝛽+𝛼− 1−𝛿𝑘

reordenando:

�̇�=𝑠𝐴𝑘𝛽 𝐿𝛽+𝛼− 1− (𝛿+𝜂 )𝑘

y multiplicando el primer termino del lado derecho arriba y abajo por

�̇�+𝑘𝜂=𝑠𝐴 𝐾 𝛽𝐿𝛼−1−𝛿𝑘

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por último si dividimos por

Demostración𝑘

�̇�𝑘

=𝑠𝐴𝑘𝛽𝐿𝛽+𝛼− 1

𝑘−

(𝛿+𝜂 )𝑘𝑘

𝑔𝑘 𝑘𝛽− 1

Por lo cual

𝑔𝑘=𝑠𝐴𝑘𝛽−1 𝐿𝛽+𝛼− 1− (𝛿+𝜂 )

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Demostración

Pasando todas las constantes al primer miembro, evaluando en el estado estacionario, y tomando logaritmos obtenemos:

𝑙𝑜𝑔 [𝑔𝑘∗+𝛿+𝜂𝑠𝐴 ]=(𝛽−1 ) log𝑘+ (𝛽+𝛼−1 ) log 𝐿

Finalmente derivamos respecto al tiempo:

(03)

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Demostración

En la hipótesis neoclásica la función de producción tiene rendimientos constantes a escala, y rendimientos decrecientes pero positivos de cada factor, lo que implica que 𝛽+𝛼=1

A su vez 0<𝛽<1

Por lo tanto, transformamos a (4) en

Entonces la única tasa de crecimiento sostenible en el estado estacionario es

¿𝟎

¿𝟎

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Conclusión

En un contexto de mercados competitivos con rendimientos constantes a escala, la retribución de los factores agota el valor del producto final, por lo cual no quedan recursos para actividades de investigación y desarrollo.

Para que en un contexto de rendimientos constantes a escala se puedan tener tasas de crecimiento del capital por trabajador positivas (), entonces necesariamente , por lo cual nuestra función de producción pasaría a ser:

𝑌=𝐴𝐾 𝛽 𝐿1−𝛽=𝐴𝐾 1𝑁 0=𝐴𝐾

Para suponer que hay aumento tecnológico, este debe ser exógeno, en el sentido que los mecanismos determinantes del mismo no son explicados por el modelo.

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Formas de introducir las tecnología AK

i) Trabajo como un tipo de capital: Lo relevante para la producción no es el numero de personas empleadas, sino la cantidad de trabajo corregido por calidad

La calidad es algo que puede acumularse a traves de la inversión en salud, educación o formación profesional, es un concepto similar al de capital humano, y cabe englobarlas como un concepto amplio de capital.

ii. Capital Privado y Bienes Públicos: se toman a los bienes producidos por el Estado como un bien productivo más.

La función tomará la forma de:

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iii) Rendimientos Crecientes a Escala:

Entonces

Dificultad: el problema que plantea este tipo de función de producción es la dificultad de encontrar un conjunto de precios que permitan un equilibrio competitivo.

Solución: suponer que existen rendimientos crecientes a nivel agregado y constantes a nivel individual.

Existencia de Externalidades Positivas

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Entonces la función de producción individual será:

𝑌 𝑖=𝐴𝐾 𝑖𝛽 𝐿𝑖

1−𝛽𝐾𝜓

En donde es el stock de capital agregado de la economía

𝑌=∑𝑖=1

𝑛

𝑌 𝑖=¿ 𝐴𝐾 𝛽 𝐿1−𝛽𝐾𝜓 ¿𝑌=∑𝑖=1

𝑛

𝑌 𝑖=¿ 𝐴𝐾 𝛽+𝜓 𝐿1−𝛽¿

El tamaño de la externalidad debe ser tal que

Habrá rendimientos constantes del capital en un contexto de rendimientos crecientes a escala.

es el tamaño de la externalidad

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iv) Coexistencia de capital físico y humano

Ahora nuestra función Cobb Douglas será:

Supongamos ahora que el capital físico como humano se pueden acumular detrayendo recursos del consumo:

Suponemos adicionalmente

• Que el capital físico y humano son sustitutos perfectos

en el equilibrio que posean idénticos rendimientos

• Que

(04)

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Derivemos para sacar las productividades marginales de ambos factores:

De hecho que ambas productividades son iguales en el equilibrio sabemos que:

𝛽𝐵𝐾 𝛽𝐻1−𝛽

𝐾=

(1− 𝛽) 𝐵𝐾 𝛽𝐻1−𝛽

𝐻

Reordenamos y luego dividimos arriba y abajo por H en el miembro derecho

𝑌

𝛽𝑌𝐾

=(1− 𝛽 )𝑌

𝐻

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Reordenando podemos encontrar una relación única entre K y H

(05)

Sustituyendo (5) en (4)

𝑌=𝐵𝐾 𝛽 [ (1−𝛽 )𝛽

𝐾 ]1−𝛽

=𝐵 [ (1−𝛽 )𝛽 ]

1−𝛽

𝐾 𝛽+1−𝛽

𝐴

1

𝑌=𝐴𝐾

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AKEL MODELO DE ROMER

(AKR01) Hay dos sectores productivos, uno que produce bienes de consumo y inversión; y el otro de producción de conocimiento:

𝑌= (1−𝑎𝐾 )𝐾 𝛼 [𝐴 (1−𝑎𝐿 )𝐿]1−𝛼 con 0<∝<1

�̇�=𝐵 (𝑎𝐾 𝐾 )𝛽 (𝑎𝐿𝐿 )𝛾 𝐴𝜃con 𝛽 ≥0𝐵>0 𝛾≥0

𝑎𝐿es la proporción del factor trabajo dedicado a la producción de conocimiento

𝑎𝐾 es la proporción del factor capital dedicado a la producción de conocimiento

(AKR02) La función de producción de bs de consumo e inversión presenta rendimientos constantes a escala

SUPUESTOS:

(06)

(07)

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(AKR03) La función de producción de conocimientos no presenta rendimientos constantes a escala:

SUPUESTOS:

Por lo cual

Si son DECRECIENTES, es que esta operando en las condiciones normales que aumentos marginales de esfuerzos de I+D disminuyen la productividad del elemento marginal

Sin son CRECIENTES, es que la producción de conocimientos genera externalidades positivas.

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SUPUESTOS:

(AKR04) es la influencia del stock de conocimiento en el éxito de las actividades de I+D

podemos razonar que descubrimientos pasados facilitan descubrimientos futuros

nos dice que los descubrimientos mas fáciles se realizan primero, y los posteriores son marginalmente mas difíciles de conseguir.

Entonces:

(AKR05) Tasa de Ahorro es exógena y constante

(AKR06) Hay una ley de movimiento de capital

(AKR07) Hay una ley de población

�̇�=𝐵 (𝑎𝐾 𝐾 )𝛽 (𝑎𝐿𝐿 )𝛾 𝐴𝜃

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MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL

(AKR08)

Por lo cual (06) y (07) se transformarán en:

𝑌 (𝑡 )=𝐴 (𝑡 ) (1−𝑎𝐿)𝐿𝑡 (6.a)

�̇� (𝑡 )=𝐵 (𝑎𝐿𝐿 )𝛾 𝐴 (𝑡 )𝜃 (7.a)

Remark 01: podemos observar que en este caso es proporcional a , y por tanto la tasa de crecimiento de es proporcional a

Remark 02: Como es exógeno y esta excluido, el conocimiento es el único factor producido, y como la función de producción tiene rendimientos constantes, entonces determina los rendimientos del modelo

𝑌 (𝑡 )𝐿 (𝑡 )

=𝐴 (𝑡 ) (1−𝑎𝐿)𝐿 (𝑡 )𝐿 (𝑡 )

¿1

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MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL

Busquemos entonces el valor de , para ello dividamos (7.a) por

𝑔𝐴=�̇� (𝑡 )𝐴 (𝑡 )

=𝐵 (𝑎𝐿𝐿 )𝛾 𝐴 (𝑡 )𝜃−1

Tomamos logaritmos:

log 𝑔𝐴 (𝑡 )=log 𝐵+𝛾 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐿+¿𝛾 log 𝐿 (𝑡 )+ (𝜃−1 ) log 𝐴 (𝑡 ) ¿

Derivamos respecto al tiempo

�̇�𝐴

𝑔𝐴

=𝛾𝜂+(𝜃−1 )𝑔𝐴 �̇�𝐴=𝛾𝜂𝑔𝐴+(𝜃−1 )𝑔𝐴2

Son cero por que son constantes 𝜂 𝑔𝐴

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AKEL MODELO DE ROMERMODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL

�̇�𝐴=𝛾𝜂𝑔𝐴+(𝜃−1 )𝑔𝐴2

Sí 𝑔𝐴=0= 0

= 0

Determina la trayectoria del crecimiento de la tecnología en el tiempo

Habrá tres casos de acuerdo a que

Pero el caso de ausencia de crecimiento tecnológico no es relevante

𝑔𝐴>0 Porque los parámetros y son positivos

(𝜃−1 )¿¿¿

0

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CASO 1: Como por construcción, tendremos una situación como la que marca el gráfico𝑔𝐴

𝑔𝐴𝑔𝐴∗

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CASO 1:

Veamos cual es el valor de

�̇�𝐴=𝛾𝜂𝑔𝐴+(𝜃−1 )𝑔𝐴2=0

𝑔𝐴 [𝛾𝜂+(𝜃−1 )𝑔𝐴 ]=0Este es el punto del

cero

Este es el punto que buscamos

𝛾𝜂+(𝜃−1 )𝑔𝐴=0

𝑔𝐴∗=−

𝛾𝜂𝜃−1 O lo que es igual 𝑔𝐴

∗=𝛾1−𝜃

𝜂

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CASO 1:

𝑔𝐴∗

Depende de parámetros exógenos:

Una vez determinadas las condiciones iniciales de y la economía tenderá a converger hacia

Una vez alcanzado la situación en donde , tanto el conocimiento () como la producción per capita () crecen a un ritmo constante y la economía entra en una senda de crecimiento sostenido

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CASO 1: Cuestiones Adicionales:

a) es función de pero ¿En los países de mayor crecimiento poblacional es donde mas crecimiento hay?

NO Esta variable se puede leer como que se necesita una cierta masa crítica para generar conocimiento suficiente para el crecimiento

b) no condiciona el crecimiento de largo plazo

La fracción de las horas de trabajo que dedicamos a I+D tiene un efecto nivel, pero no un efecto crecimiento.

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CASO 2:

En este caso el incremento de la producción de nuevo conocimiento es mas que proporcional al stock existente. Es decir que crece con

𝑔𝐴

𝑔𝐴

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CASO 2: Conclusiones:

a) La economía no converge a un crecimiento sostenido sino que entra en una senda de crecimiento permanente

b) Ante incrementos marginales de conocimiento la tasa de crecimiento de esos conocimientos se eleva cada vez mas en vez de caer.

c) Hay una espirilización del crecimiento

d) se transforma en fundamental, sí

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Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea – 2015


CASO 3:

Las ecuaciones (5) y (6) se transforman en:

𝑔𝐴=𝐵𝑎𝐿𝛾 𝐿𝛾

�̇�𝐴=𝛾𝜂𝑔𝐴

Solo si el crecimiento de la población es positivo será positivo el crecimiento de los conocimientos, y tiene una dinámica similar al caso anterior

𝑔𝐴

𝑔𝐴

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