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S ec u n d a r i a

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Versión r

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Matemáticas

S EC U N D A R I A

Guía para el maestro

PRIMER

G R A D O

111

Primera edición en versión digital: abril de 2016

Matemáticas 1


Texto: Milosh Santiago Trnka Rodríguez

D. R. © 2016, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Todos los derechos reservados

Castillo ® es una marca registrada

Insurgentes Sur 1886, Col. Florida

Del. Álvaro Obregón,

C. P. 01030, México, D. F.

Tel.: (55) 5128-1350, Fax (55) 5128-1350 ext. 2899

Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan

ISBN: 978-607-621-509-8

www.grupomacmillan.com

www.edicionescastillo.com

Lada sin costo: 01 800 536 1777

Miembro de la cámara nacional de la industria editorial mexicana

Registro núm. 3304

Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra

por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso

fotocopia o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.

Dirección eDitorial: Cristina Arasa • SubDirección

eDitorial: Tania Carreño King • SubDirección De

DiSeño: Antonieta Cruz • coorDinación eDitorial: Verónica Velázquez • eDición: Javier Jiménez, Macbeth Rangel, Blanca Torres, Carlos Martínez, Antonio Gaytán, Rául Zamora • coorDinación De DiSeño eDitorial: Gustavo Hernández • coorDinación De operacioneS De DiSeño: Gabriela Rodríguez Cruz • coorDinación De imagen: Ma. Teresa Leyva Nava • Diagramación: Contintaroja y el Tall3r, Itzel Ramírez Osorno / Calli Diseño

PRESENTACIÓN

Al maestro:Cada día la práctica docente exige diferentes recursos para enfrentar-la y lograr una educación de calidad. Ante esta demanda, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta Guía para el maestro, una herra-mienta que le facilitará el trabajo diario en el aula y le ayudará a utilizar, de manera dosificada, los recursos impresos y digitales que integran el proyecto educativo de Fundamental Plus.

En esta Guía usted encontrará un avance programático que le ayu-dará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula, el libro del alumno completo, sugerencias didácticas para trabajar cada una de las secuencias didácticas, así como el solucionario de todas las activida-des. También, encontrará señalados todos aquellos contenidos que puede trabajar de manera interactiva con el grupo a través de las actividades, ani-maciones y visitas a páginas web de interés que puede encontrar en sus recursos digitales.

Como recurso adicional, atendiendo su preocupación e interés por mejorar el nivel de dominio de los aprendizajes evaluados por las prue-bas Planea, le ofrecemos en el libro digital del alumno 50 reactivos inte-ractivos Rumbo a Planea. Con esta Guía podrá ubicar aquellos conteni-dos fundamentales que cuentan con reactivos y preparar con antelación la práctica grupal con ellos.

Por último, en esta Guía encontrará recomendaciones de otros re-cursos para apoyar su trabajo en el aula, páginas de internet, audios, películas, videos, libros, etcétera.

Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las sugerencias di-dácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.

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ÍNDICE

4

Presentación 3

Proyecto Fundamental Plus 6

Conozca su Guía 8

Avance programático 11

Bloque 1Lección 1. Fracciones y decimales 18

Lección 2. Representaciones en la recta 24

Lección 3. Suma y resta de fracciones 30

Lección 4. Sucesiones 34

Lección 5. Fórmulas geometrícas y literales 41

Lección 6. Figuras de tres y cuatro lados 47

Lección 7. Las líneas notables del triángulo 55

Lección 8. Reparto proporcional 65

Lección 9. Juegos de azar 69

Aplica las matemáticas 74

Herramientas 76

Autoevaluación 79

Evaluación Planea 80

Evaluación PISA 81

Bloque 2Lección 1. Criterios de divisibilidad 84

Lección 2. Máximo común divisor y mínimo común

múltiplo 89

Lección 3. Problemas aditivos con fracciones y

decimales 94

Lección 4. Multiplicación y división

de fracciones 99

Lección 5. Con mediatrices y bisectrices 104

Lección 6. Áreas y perímetros de polígonos 108

Lección 7. Proporcionalidad directa 113


Herramientas 120

Autoevaluación 123


Evaluación PISA 125

Bloque 3Lección 1. Multiplicación de decimales 128

Lección 2. División de decimales 133

Lección 3. Ecuaciones de primer grado 138

Lección 4. Construcción de polígonos 144

Lección 5. Problemas de perímetros y áreas

de polígonos 149

Lección 6. A escala 153

Lección 7. Anticipación de resultados de una

experiencia aleatoria 157

Lección 8. Frecuencias absolutas y relativas 162


Herramientas 170

Autoevaluación 173



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Bloque 4Lección 1. Números positivos y negativos 178

Lección 2. Construcción de círculos 183

Lección 3. Perímetro y área del círculo 189

Lección 4. La regla de tres 194

Lección 5. Factor inverso en una escala 198

Lección 6. Problemas de conteo 202

Lección 7. Gráficas de barras y circulares 208


Herramientas 218

Autoevaluación 221



Bloque 5Lección 1. Sumas y restas de números enteros 226

Lección 2. Notación científica 232

Lección 3. Potencias y raíz cuadrada 238

Lección 4. Sucesiones y su regla general 245

Lección 5. Problemas de dimensiones

del círculo 250

Lección 6. Proporcionalidad múltiple 255


Herramientas 262

Autoevaluación 265



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Docente

Alumno

Matemáticas 1

Matemáticas 3Español 3

Química

Español 2

Física

Matemáticas 2Español 1

Biología

P R O Y E C T O

S E C U N D A R I A

Formación Cívica y Ética I

Formación Cívica y Ética II

Geografía

Historia I

Historia II

PROYECTO FUNDAMENTAL PLUS

Frente a los retos que presenta la educa-ción actual de mejorar el nivel académico, social y humano de los alumnos, Funda-mental Plus pone la mirada en asegurar el dominio de lo esencial; es decir, en la construcción de una base sólida para que los alumnos puedan desarrollar habilida-des y competencias para la vida.

Además de satisfacer las necesidades de aprendizaje de los alumnos, Fundamen-tal Plus facilita la labor de los docentes al atender sus necesidades de enseñanza.

Si su centro educativo cuenta con acce-so a la plataforma, usted y sus alumnos podrán utilizar:• Ellibrodigitalysusrecursosinteracti

vos desde cualquier dispositivo: com pu-tadora de escritorio, tabletas Android y iPad, tanto de forma online como o�ine.

• Lasherramientasdeleditorparadibu-jar, resaltar, escribir y agregar notas en las páginas del libro.

Además, desde la plataforma, usted pue-de disponer de:• Solucionariodelasactividades interactivas• Generadordeexámenes• Planificadoreditable• Guíadigitalparaelmaestro

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Planificador editable


Generador de exámenes

Digital

Actividades interactivas Animaciones

Reactivos Planea interactivos Vínculos

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Matem

áticas

SECUNDAR IA

P R I M E R

G R A D O

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Silvia Patricia

Romero Hidalgo

Juan Carlos

Aguilar Franco

Matem

áticas

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G R A D O

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Impreso

Impreso Libro digital del alumno

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11BLOQUE 3 / AVANCE PROGRAMÁTICO

Avance programático B1Semanas Eje Tema Lección Contenido

PáginasLT

Recurso digital

1 y 2S

en

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um

éri

coy

pe

nsa

mie

nto

alg

eb

raic

oNúmeros y sistemas

de numeración

1. Fracciones y decimalesConversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

20 a 25

2 y 3 2. Representaciones en la rectaRepresentación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

26 a 31

3 y 4 Problemas aditivos 3. Suma y resta de fraccionesResolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

32 a 35

4

Patrones y ecuaciones

4. Sucesiones

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

36 a 42

55. Fórmulas geométricas

y literales

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

43 a 48

6

Fo

rma

, e

spa

cio

y m

ed

ida

Figuras y cuerpos

6. Figuras de tres y cuatro ladosTrazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

49 a 56

6 y 77. Las líneas notables

del triánguloTrazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

57 a 66

7 y 8

Ma

ne

jo d

e l

ain

form

ac

ión Proporcionalidad y

funciones8. Reparto proporcional Resolución de problemas de reparto proporcional. 67 a 70

8 Y 9Nociones deprobabilidad

9. Juegos de azarIdentificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

71 a 75

9 Aplica las matemáticas, Herramientas 76 a 80

9 Evaluación Planea, Evaluación PISA 82 a 83

LT = Libro de texto

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Bloque 3

C AAprendizajes esperados

• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicacio-nes o divisiones con fracciones y números decimales.

• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

Competencias

• Resolver problemas de manera autónoma.

• Comunicar información matemática.

• Validar procedimientos y resultados.

• Manejar técnicas eficientemente.

128

Temas transversales

• Educación para la salud.

• Educación del consumidor.

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126

Bloque 3Conceptos principales

L1 Factor, punto decimal, cifras decimales, fracciones decima-les, multiplicación de decimales.

L2 Divisor, dividendo, cifras decimales, razón.

L3 Literal, ecuación, expresión algebraica, incógnita, despeje.

L4 Polígono regular, ángulo central, ángulo interno, triángulos congruentes.

L5 Polígonos regulares, apotema.

L6 Escala, factor, constante de proporcionalidad.

L7 Frecuencia absoluta, tabla de frecuencias, estudio estadístico.

L8 Frecuencia absoluta, frecuencia relativa, porcentaje, suceso. Bloque 3

C AAprendizajes esperados

• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicacio-nes o divisiones con fracciones y números decimales.

• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

Competencias





128

Temas transversales


• Educación del consumidor.


Bloque 3

CContenidos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

• Resolución de problemas que impliquen la multipli-cación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

• Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Forma, espacio y medida

• Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elemen-tos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

• Resolución de problemas que impliquen calcular el perí-metro y el área de polígonos regulares.

Manejo de la información

• Formulación de explicaciones sobre el efecto de la apli-cación sucesiva de factores constantes de proporciona-lidad en situaciones dadas.

• Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

• Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

129

Si se tira muchas veces un dado, ¿sabes si algún número tiene mayor posibilidad de aparecer que otro?


127BLOQUE 1

Aprendizajes esperados• Resuelveproblemasqueimplicanefectuarmultiplicacionesodivisionesconfraccionesynúmerosdecimales.

• Resuelveproblemasqueimpliquenelusodeecuacionesdelasformas:x+a=b;ax=byax+b=c,donde a,bycsonnúmerosnaturalesy/odecimales.

• Resuelveproblemasqueimplicanelcálculodecualquieradelasvariablesdelasfórmulasparacalcularelperímetroyeláreadetriángulos,cuadriláterosypolígonosregulares.Explicalarelaciónqueexisteentreelperímetroyeláreadelasfiguras.

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Losprimerosdoscontenidosestánenfocadosen lamultiplicaciónydivisióndenúmeros decimales utilizando los algoritmos convencionales.Enel terceroseutilizaránconocimientosadquiridosenelpri-merbloqueparaplantearyresolverecuacionesdeprimergra-do,querepresentanproblemas,analizandolaspropiedadesdelaigualdad.

Forma, espacio y medida. En este eje se abordandos temasacercadelospolígonosregulares,enlosqueseutilizaránco-nocimientosadquiridosenelbloqueanterior:unodirigidoalaconstruccióndedichasfigurasapartirdedistintasinformacio-nes,yelotroenfocadoenproblemasqueimplicancalcularsuperímetroyárea.

Manejo de la información. Alolargodelbloqueseestudiaránlostrestemaspertenecientesaesteeje:primeroseanalizarálaaplicaciónsucesivadefactoresdeproporcionalidad,enPropor-cionalidadyfunciones;despuésseestudiaránlasNocionesdeprobabilidadmedianteexperimentosaleatoriosyelregistrodesusresultadosy, finalmente, se trabajarácon tablasde frecuenciaabsolutayrelativa.

CONOZCA SU GUÍA

Aprendizajes esperados que se desarrollan en el bloque.

Ejes que se desarrollan en el bloque.

Conceptos principales que se trabajarán en el bloque.

Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula atendiendo a los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar, así como el tiempo sugerido para abordarlos.

En la última columna se encuentra la propuesta de dosificación de los recursos interactivos que le ofrece el libro digital del alumno:

Actividad interactiva Animación Reactivo tipo Planea interactivo

Entrada de bloque

Avance programático

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109

Lección

5 4 Raúl comprará un terreno para construir un corral para sus animales. Los cua-

driláteros de la figura 2.5.3 representan la forma de dos terrenos que tienen la misma área y están en venta. Si Raúl quiere que el corral sea circular y que ocupe la mayor área de terreno posible, ¿cuál debe elegir?

a) ¿Cómo se puede encontrar la circunferencia de mayor área posible dentro

de un triángulo?

b) Traza las bisectrices de los ángulos de los cuadriláteros. ¿En cuál de ellos

coinciden las cuatro bisectrices?

5 En parejas, discutan lo siguiente: si en un cuadrilátero las bisectrices de sus ángulos se intersecan en el mismo punto, ¿se puede trazar una circunferencia dentro de él que toque a cada lado en un solo punto?

6 En grupo, tracen varios cuadriláteros y validen sus conclusiones del ejercicio anterior. Después verifiquen si su respuesta al problema 4 es correcta.

1. El doblado de papel es útil para comprender las características de algunos objetos geométricos. En parejas, tracen en una hoja un segmento y un ángulo, y expliquen en su cuaderno cómo obtendrían la mediatriz y la bisectriz correspondientes do-blando el papel.

Refl exiona

Regresa y revisa

1 Regresa a la situación inicial de la lección y contesta lo siguiente en tu cuaderno.a) ¿Con qué segmento de recta puedes encontrar el lugar adecuado para el

puente?b) ¿El punto M se localiza sobre ese segmento de recta?

2 Marca en la figura 2.5.1 el punto donde se debe ubicar el puente.

3 Plantea un procedimiento para encontrar el punto donde se intersecarán la ter-cera carretera y el gasoducto, y aplícalo en el esquema.

4 En grupo, diseñen dos problemas: uno que involucre las propiedades de la me-diatriz y otro, las de la bisectriz.

a bFigura 2.5.3


107BLOQUE 2 / LECCIÓN 5

Sugerencias didácticasEn la actividad 6, pida que tracen las bisectrices del cuadrilátero a de la página 108, después de que noten que éstas coinciden, tra-cen una circunferencia que toque a cada lado en un solo punto.

Solucionario4. a) Se localiza el incentro y desde ahí se traza un segmento

perpendicular a uno de los lados. Luego, con centro en el incentro, se traza una circunferencia con radio igual a la longitud del segmento.

b) En ninguno.5. Sí se puede.6. R. L.

Reflexiona1. Para la mediatriz se dobla la hoja de forma que los extremos

del segmento coincidan en un punto. El doblez de la hoja es la mediatriz de ese segmento.

Para la bisectriz se dobla la hoja de manera que los seg-mentos que forman el ángulo estén sobre una sola línea. El doblez de la hoja es la bisectriz de ese ángulo.

Regresa y revisa

1. a) Con la mediatriz. b) No.2. El punto donde debe ubicarse el puente está sobre el “eje x”,

entre el 3 y el 4, en (3.88,0).3. En la intersección de la bisectriz del ángulo MPQ y el segmento

MQ.4. •Mediatriz.Enunterrenotriangularsequierecolocarunrociador

circular. ¿Dónde debe colocarse para cubrir la mayor parte del terreno y gastar la menor cantidad de agua? No importa si los terrenos aledaños se mojan. En el circuncentro del triángulo.

•Bisectriz.Enunterrenotriangularsequiereconstruirungra-nero circular. ¿Dónde debe construirse el granero para que sea lo más grande posible y no exceda el tamaño del terre-no? Se debe ubicar el centro del granero en el incentro del triángulo.

¿Mediatrizobisectriz?Mediatrizybisectriz.© T

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Bloque

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Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

1. Fracciones y decimales

Décimos y fracciones de litro

Para pintar un muro de su casa, Alejandro y Alma prepararon un litro de pintura con 13 de litro de pintura ecológica amarilla y el resto de pintura ecológica blanca. Para pintar otro muro con el mismo tono, adquirieron en la tienda 0.3 de litro de la misma pintura amarilla y completaron el litro con pintura blanca. Los colores de los muros no quedaron iguales. ¿Cuál fue el error que cometieron?

Situación inicial

Explora y construye

De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes

En el sistema decimal, el valor de un dígito en un número depende de su posición en éste; es decir, el sistema decimal es posicional. 1 En parejas, respondan.

a) El valor del dígito 2 es diferente en el número 0.2 que en el número 2. ¿En

qué consiste esta diferencia?

b) ¿Y cuál es la diferencia del valor de este dígito en los números 0.2 y 0.02?

c) ¿Qué obtienen al multiplicar 13.25 por 10?

1. En parejas, respondan lo siguiente.

a) ¿Qué representa 13 de una unidad?

b) ¿Qué representa 0.3 de una unidad?

c) ¿De qué manera pueden explicar que las cantidades de pintura amarilla de las dos

mezclas no son iguales?

2. En grupo, discutan qué muro tiene un tono de color amarillo más fuerte y por qué.

Analiza

Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su izquierda.

Sustentabilidad


18 BLOQUE 1 / LECCIÓN 1

Fracciones y decimales

Situación inicial

Sugerencias didácticasPregunte a los alumnos cómo pueden comparar un número decimal con una fracción. En este ejercicio, si se presentan, se pueden discutir las ideas erróneas 1 y 2.

SolucionarioDécimos y fracciones de litro / Analiza1. a) La tercera parte de la unidad. b) Tres décimas partes de la unidad. c) Un tercio no es igual que tres décimos.

2. En el que usaron 13

de pintura.

L 1

Ideas erróneas: 1. Es frecuente que los alumnos piensen que

18

es mayor que 14

por el hecho de que 8 es mayor que 4.

2. Algunos alumnos pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6. 3. Para encontrar una fracción equivalente a una dada, los alumnos pueden creer que sumando el mismo número

tanto al numerador como al denominador se obtienen frac-

ciones equivalentes; por ejemplo, que 47

es equivalente a 4 + 27 + 2

= 69

.

Antecedentes: Valor posicional en números decimales.Fracciones equivalentes.

División entre números naturales con cociente decimal.Comparación de naturales, fracciones y decimales.Conversión de fracciones decimales a escritura decimal

y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no deci-males mediante la notación decimal.

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Lección

1

21

d) ¿Por cuál número deben multiplicar 21.349 para obtener 21 349?

e) ¿Por cuál número deben dividir 21 349 para obtener 21.349?

f) Expresen la operación del inciso anterior como una fracción.

g) ¿Qué fracción con denominador 100 tiene el mismo valor que 13.25?

h) ¿Qué fracción con denominador 10 tiene el mismo valor que 0.1?

Situación inicial

Explora y construye

Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus potencias: 100, 1 000, 10 000,...

2 En grupo, escriban en el pizarrón varios números decimales y para cada uno propóngan una fracción decimal que tenga el mismo valor.

3 Haz lo siguiente.

a) ¿Qué número obtienes al sumar 0.6 + 0.07 + 0.001?

b) Escribe el número anterior como suma de tres fracciones decimales cuyo

numerador conste de una sola cifra.

c) Escribe el resultado de la suma anterior como una fracción con denominador

1 000.

4 Escribe cómo convertir un número decimal en una fracción decimal y discute en grupo tu propuesta.

5 Realiza lo siguiente.

a) Escribe una fracción decimal que valga lo mismo que 0.5.

b) Encuentra una fracción equivalente a 510 con denominador 2.

c) Encuentra otra fracción con el mismo valor que 510 y cuyo denominador sea

distinto de 2.

d) Escribe al menos tres fracciones que tengan el mismo valor que el número

0.5 y cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000,…

e) Convierte los siguientes números decimales en fracciones cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000,…

• 12.76 = • 3.4 = • 5.78 = • 2.15 =

f) ¿Es posible expresar el número 2.1 como una fracción cuyo denominador no

sea 10, 100, 1 000,…? ¿Por qué?


Bloque

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Para pintar un muro de su casa, Alejandro y Alma prepararon un litro de pintura con 13 de litro de pintura ecológica amarilla y el resto de pintura ecológica blanca. Para pintar otro muro con el mismo tono, adquirieron en la tienda 0.3 de litro de la misma pintura amarilla y completaron el litro con pintura blanca. Los colores de los muros no quedaron iguales. ¿Cuál fue el error que cometieron?

Situación inicial

Explora y construye













Analiza


Sustentabilidad



Explora y construye

Sugerencias didácticasPara el ejercicio 2, se debe preguntar a los alumnos de cuántas maneras se pueden encontrar fracciones equivalentes, y después, si se presenta, discutir la idea errónea 3.

SolucionarioDe decimales a fracciones decimales y sus equivalentes1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes

de la unidad, y en el número 2 representa dos unidades. b) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes

de la unidad, y en 0.02 representa dos centésimas partes. c) 132.5 d) Por 1 000 e) Entre 1 000

f) 21 3491 000

g) 1 325100

h) 110

2. R. L.3. a) 0.671

b) 610

+ 7100

+ 11 000

.

c) 6711 000

4. El alumno debe deducir que si el número decimal tiene 1, 2, 3,… cifras decimales, entonces el denominador de la fracción será 10, 100, 1 000,…

5. a) 510

b) 12

c) Respuesta modelo (R. M.) Cualquier fracción equivalente a

12

. Ejemplo: 24

.

d) R. M. Fracciones equivalentes a 12

, como: 36

, 48

, 612

.

e) R. M. • 31925

• 175

• 28950

• 4320

f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador como

el denominador de 2110

por un número diferente de 10, 100,

1�000,… para obtener una fracción equivalente, por ejemplo 4220

.

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. A. d

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. V.

Información sobre los Antecedentes que tienen los alumnos sobre el tema que se desarrollará.

En la sección Ideas erróneas se presentan los errores más comunes que cometen los estudiantes, y las ideas equivocadas que han adquirido.

Sugerencias didácticas para trabajar la situación inicial y el solucionario de la actividad.

Sugerencias didácticas para trabajar el desarrollo, Explora y construye, de la secuencia.

Solucionario de todas las actividades del desarrollo de la secuencia.

Trabajo con las lecciones

Sugerencias didácticas para trabajar el cierre, Regresa y revisa, de la secuencia.

Solucionario de la actividad de cierre.

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10

Bloque

1

34

d) Comenten qué hicieron para resolver los problemas. Identifiquen cuándo usaron restas y cuándo sumas de fracciones, y expliquen su elección.

3 En equipos de tres, resuelvan el siguiente problema.

Alejandra hizo un librero de madera y le sobró una tabla. Su amigo Isaías le pidió la quinta parte de la tabla para terminar de construir una mesa; Tere quiso dos quintas partes de la tabla para una repisa y Rodolfo, una quinta parte de la tabla para hacer un joyero para su esposa.

a) ¿Qué parte de la tabla en total regaló Alejandra?

b) ¿Qué parte de la tabla le quedaba antes de darle la quinta parte a Rodolfo?

c) ¿Qué parte de la tabla le quedó?

4 En grupo, consideren que la longitud de la tabla de Alejandra era de 3 metros y respondan lo siguiente en su cuaderno.a) Como Isaías recibió 1

5 de tabla, entonces la longitud de su pedazo es de

35

metros. Expresen con fracciones de metro las longitudes de los pedazos de Tere y Rodolfo.

b) Expliquen cómo obtendrían la longitud del pedazo que le quedó a Alejandra en fracciones de metro.

Invención de problemas

1 En equipos y con base en las imágenes de la figura 1.3.2, respondan las preguntas.

a) ¿Qué fracción del círculo representa su área sombreada?

• a • b • c

b) ¿Qué fracción de cada círculo no está sombreada?

• a • b • c

2 Cada integrante del equipo elija un círculo de la figura 1.3.2, plantee un problema a partir de él y explique su planteamiento a sus compañeros.

3 Elijan uno de los problemas que plantearon en el ejercicio 2, resuélvanlo y ex-plíquenlo al grupo.

4 En equipos de tres, cada uno elija una de las siguientes operaciones.

a) 4 12

+ 13

– 45

b) 87

– 37

+ 17

c) 78

– 14

+ 23

d) 54

– 35

– 18

e) 75

– 16

– 23

f) 25

+ 75

+ 15

Regresa y revisa

a b cFigura 1.3.2



Sugerencias didácticasPara el ejercicio 4 b), se le puede preguntar al alumno qué sucede-ría si la longitud de la tabla fuera, por ejemplo, de 4 m, 5 m, o 6 m. Si surge la idea errónea 2, discútanla.

Solucionario d) R. L.

3. a) 45

b) 25

c) 15

4. a) 65

m y 35

m, respectivamente.

b) R. M. Le queda 15

de la tabla, lo mismo que le dio a Isaías,

así que es la misma longitud, es decir, 35

metros.


1. a) • a. 12

• b. 14

• c. 18

b) • a. 12

• b. 34

• c. 78

2. R. M. Para el círculo a: Juan compró una gelatina circular para celebrar su cumpleaños en la escuela. Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿qué parte de la gelatina sobró?

3. Solución del problema anterior: sobró la mitad.4. R. L.

Selecciona la respuesta correcta.

Para elaborar un pastel de chocolate se requieren 23

kg de

harina de trigo. Carol tiene 14

kg en casa y en la tienda sólo

venden paquetes de 12

kg. Si compra un paquete, ¿le faltará

o le sobrará harina? ¿Cuánta?

A) Le faltará 112

kg. B) Le sobrará 112

kg.

C) Le faltará 18

kg. D) Le sobrará 18

kg.

Rumbo a Planea

Sumar y restar números fraccionarios. Rebanadas. Suma y resta de fracciones.

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Aplica las matemáticas

263

5 Traza una circunferencia con centro en C y radio AC (figura 5.A.5). Divídela en dos partes iguales con una recta horizontal. Divide la mitad inferior de esa circunferencia en 12 ángulos iguales. ¿Cuánto mide cada uno?

6 Prolonga cada uno de los lados de los ángulos que trazaste hasta que corten la recta horizon-tal que pasa por el punto A. Numera las intersec-ciones con esa recta para ubicar las horas en el reloj, como se muestra en la figura 5.A.6.

7 Traza segmentos de recta desde el punto B hasta las intersecciones numeradas en el paso anterior y remarca con plumón los segmentos que se mues-tran en negro en la figura 5.A.7. Vuelve a numerar, pero ahora con tinta, como se indica en la misma figura. Para terminar tu carátula traza una circun-ferencia con centro en el punto D y radio mayor al segmento DC.

8 Recorta la circunferencia y borra los trazos a lápiz, como se muestra en la figura 5.A.8.

9 Coloca con la cinta adhesiva el indicador sobre la carátula en forma perpendicular, de modo que los puntos A y B de la carátula coincidan con los puntos A y B del indicador.

10 Coloca tu reloj bajo el sol y con la ayuda de la brújula oriéntalo de manera que el punto A señale hacia el norte y el punto B, hacia el sur. El reloj de sol está listo.

¿Puedes idear una forma de hacer los trazos nece-sarios en un material que pueda permanecer bajo la lluvia? Compara la hora de tu reloj de sol con la hora local. ¿Qué tan preciso es tu reloj?

Para saber más de tu reloj de sol, haz una investiga-ción para responder lo siguiente.

a) ¿Cómo varía el ángulo interno del indicador con la latitud? ¿Qué pasaría si se acercara el reloj al ecuador o al polo norte? ¿Sería todo igual en el hemisferio sur?

b) ¿Por qué el ángulo del indicador depende de la latitud y por qué no de la longitud?

c) ¿De qué forma influye la latitud de un punto sobre la Tierra en el ángulo con que recibe la luz solar?

A

L

12 543211110987

12

5

4

3211110

9

8

7

5

4

3211110

9

8

7

12

Figura 5.A.5

Figura 5.A.6

Figura 5.A.7

Figura 5.A.8

P

B

C

D

12 543211110987

L

B

P

A

C

D

L

B

P

A

C

D



262

Reloj de solA lo largo de la historia, para medir el tiempo, los seres humanos se ha basado en la observación del cielo. De esta manera, la medición de intervalos de tiempo se ha he-cho, sobre todo, a partir de la duración de los movimientos aparentes del Sol y de la Luna. Uno de los instrumentos más antiguos para medir el tiempo es el reloj de sol.

Con base en las propiedades de la circunferencia construirás un reloj solar. Para ello necesitarás el siguiente material: cinta adhesiva, lápiz, compás, dos pedazos de cartón (uno de 40 cm × 40 cm y otro de 30 cm × 30 cm), escuadra, transportador, plumón y una brújula.

El reloj de sol está formado por una carátula y un indicador. Cuando la carátula es paralela al piso, el reloj solar se conoce como horizontal. La orientación de la carátula y el indicador de tu reloj dependerán de la latitud geográfica en la que te encuentres.

Haz con lápiz los trazos siguientes, salvo cuando se indique otra cosa.

1 Para construir el indicador, en el centro del cartón de 40 cm × 40 cm fija tu compás con una abertura de 10 cm y traza una circunferencia, marca un diámetro vertical y llama A y B a sus extremos (figura 5.A.1). Figura 5.A.1

2 Investiga la latitud del lugar donde vives (L) y traza una recta que forme un ángulo igual a L con vértice en el punto B. Por ejemplo, la ciudad de México tiene una latitud de aproxima-damente 19°; de este modo para los que viven ahí el ángulo tiene que ser de 19°. Llama P al punto donde el segmento que trazaste corta a la circunferencia (figura 5.A.2).

Figura 5.A.2

Figura 5.A.3

Figura 5.A.4

3 Traza el segmento PA; copia el triángulo PAB en el cartón de 30 cm × 30 cm y recórtalo (figura 5.A.3). Este triángulo será el indicador de tu reloj.

Discute con tus compañeros qué tipo de triángulo es la figura PAB.

4 Para construir la carátula de tu reloj solar prolonga el segmento AB y traza una recta perpendicular a él que pase por el punto A. Traza una circunferencia con cen-tro en A y radio AP: nombra D al punto en donde inter-seca al segmento AB, y C al punto en donde interseca a la prolongación de AB, como muestra la figura 5.A.4.

A

B

A

B

P

L

B

L

PA

B

PA

B

L

D

C

AP


261BLOQUE 5 / APLICA LAS MATEMÁTICAS

Sugerencias didácticasOrganice al grupo en equipos y guíe el trabajo durante el desa-rrollo de la actividad. Para cada situación, genere una discusión en el grupo y lleguen a un conclusión.

Realice en el pizarrón, con ayuda de sus alumnos, un mapa mental en donde sea posible esquematizar los aspectos más importantes del portafolios de evidencias. El mapa deben cons-truirlo a la par en su cuaderno o en una hoja blanca para que lo integren en su portafolios de evidencias y tengan presente cuál es su finalidad en su proceso de aprendizaje.

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Reactivo Rumbo a Planea que aparece en el libro digital del alumno.

Referencia a los contenidos interactivos que se incluyen en el libro digital del alumno:

Actividad interactiva Animación Reactivo tipo Planea interactivo

Uso de los recursos interactivos

Sugerencias didácticas, recomendaciones para trabajar las secciones complementarias. Incluye las soluciones.

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PáginasLT

Recurso digital

1 y 2S

en

tid

o n

um

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coy

pe

nsa

mie

nto

alg

eb

raic

oNúmeros y sistemas

de numeración

1. Fracciones y decimalesConversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

20 a 25

2 y 3 2. Representaciones en la rectaRepresentación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

26 a 31

3 y 4 Problemas aditivos 3. Suma y resta de fraccionesResolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

32 a 35

4

Patrones y ecuaciones

4. Sucesiones

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

36 a 42

55. Fórmulas geométricas

y literales

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

43 a 48

6

Fo

rma

, e

spa

cio

y m

ed

ida

Figuras y cuerpos

6. Figuras de tres y cuatro ladosTrazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

49 a 56

6 y 77. Las líneas notables

del triánguloTrazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

57 a 66

7 y 8

Ma

ne

jo d

e l

ain

form

ac

ión Proporcionalidad y

funciones8. Reparto proporcional Resolución de problemas de reparto proporcional. 67 a 70

8 Y 9Nociones deprobabilidad

9. Juegos de azarIdentificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

71 a 75



LT = Libro de texto

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12 BLOQUE 2 / AVANCE PROGRAMÁTICO


Páginas LT

Recurso digital

9 y 10

Se

nti

do

nu

mé

rico

y p

en

sam

ien

to a

lge

bra

ico

Números y sistemas de numeración

1. Criterios de divisibilidadFormulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

86 a 90

10 y 112. Máximo común divisor y

mínimo común múltiploResolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

91 a 95

11 y 12 Problemas aditivos3. Problemas aditivos con

fracciones y decimales

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

96 a 100

12 y 13 Problemas multiplicativos4. Multiplicación y división

de fracciones

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

101 a 105

13 y 14

Form

a, e

spac

io y

me

did

a

Figuras y cuerpos 5. Con mediatrices y bisectricesResolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

106 a 109

14 y 15 Medida6. Áreas y perímetros

de polígonos

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

110 a 114

15 y 16

Man

ejo

d

e la

in

form

ació

n

Proporcionalidad y funciones

7. Proporcionalidad directa

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

115 a 119



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PáginasLT

Recurso digital

16 y 17S

en

tid

o n

um

éri

co

y p

en

sam

ien

to

alg

eb

raic

oProblemas multiplicativos

1. Multiplicación de decimalesResolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

130 a 134

17 y 18 2. División de decimalesResolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

135 a 139

18 y 19

Se

nti

do

n

um

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co y

p

en

sam

ien

to

alg

eb

raic

o

Patrones y ecuaciones 3. Ecuaciones de primer grado

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

140 a 145

20

Form

a, e

spac

io

y m

ed

ida

Figuras y cuerpos 4. Construcción de polígonos

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

146 a 150

20 y 21 Medida5. Problemas de perímetros

y áreas de polígonosResolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

151 a 154

21 y 22

Man

ejo

de

la in

form

ació

n


6. A escalaFormulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

155 a 158

22 y 23 Nociones de probabilidad7. Anticipación de resultados

de una experiencia aleatoria

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

159 a 163

23 y 24Análisis y representación

de datos8. Frecuencias absolutas

y relativasLectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

164 a 169



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14 BLOQUE 2 / AVANCE PROGRAMÁTICO


PáginasLT

Recurso digital

24 y 25

Se

nti

do

n

um

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co y

p

en

sam

ien

to

alg

eb

raic

oNúmeros y sistemas de

numeración1. Números positivos

y negativos

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

180 a 184

25 y 26

Form

a, e

spac

io

y m

ed

ida

Figuras y cuerpos 2. Construcción de círculosConstrucción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

185 a 190

26 y 27 Medida 3. Perímetro y área del círculo

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

191 a 195

27 y 28

Man

ejo

de

la in

form

ació

n


4. La regla de tresAnálisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

196 a 199

28 y 29 5. Factor inverso en una escalaAnálisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

200 a 203

29 y 30 Nociones de probabilidad 6. Problemas de conteoResolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

204 a 209

30 y 31Análisis y representación

de datos7. Gráficas de barras y circulares

Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

210 a 217



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PáginasLT

Recurso digital

31 y 32S

en

tid

o n

um

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pe

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mie

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alg

eb

raic

oProblemas aditivos

1. Sumas y restas de números enteros

Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

228 a 233

32 y 33

Problemas multiplicativos

2. Notación científicaUso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

234 a 239

33 y 34 3. Potencias y raíz cuadradaResolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

240 a 246

34 y 35 Patrones y ecuaciones 4. Sucesiones y su regla generalObtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

247 a 251

35 y 36

Form

a,

esp

acio

y

me

did

a

Medida5. Problemas de dimensiones

del círculoUso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

252 a 256

36

Man

ejo

de

la

info

rmac

ión


6. Proporcionalidad múltiple Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. 257 a 261



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Bloque 1

Aprendizajes esperados

• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

Temas transversales

• Educación ambiental para la sustentabilidad.


• Educación financiera.

Competencias





C A

18


16

Bloque 1Conceptos principales

L1 Fracción decimal, fracción irreducible, número decimal pe-riódico, truncamiento, redondeo.

L2 Recta numérica, unidad como referencia de medida, densi-dad numérica.

L3 Suma y resta de fracciones.

L4 Sucesiones, elemento de una sucesión, consecutivo en una sucesión, progresión aritmética, progresión geométrica.

L5 Fórmulas de perímetros y áreas de figuras geométricas, literal.

L6 Triángulos, cuadriláteros, regla, compás, transportador, es-cuadra.

L7 Alturas y medianas de un triángulo, mediatrices y bisectrices en un triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.

L8 Proporción, reparto proporcional.

L9 Juegos de azar, procesos aleatorios.

Bloque 1

Contenidos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

• Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

• Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

• Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

• Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formula-ción en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritméti-ca o geométrica, de números y de figuras.

• Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Forma, espacio y medida

• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

• Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, media-nas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Manejo de la información

• Resolución de problemas de reparto proporcional.

• Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

C

19

Con algunas cintas métricas de costura se pueden medir decimales de centímetros y algunas fracciones de pulgada.


Bloque 1


• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

Temas transversales

• Educación ambiental para la sustentabilidad.


• Educación financiera.

Competencias





C A

18


17BLOQUE 1


- Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.- Conoce y utiliza las convenciones para representar números

fraccionarios y decimales en la recta numérica.- Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una

regla dada y viceversa.

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continua-ción de los estudios de la escuela primaria, en el primer conteni-do se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas de planteamiento de números fracciona-rios. Por otra parte, el contenido referente a las sucesiones re-quiere la búsqueda de una regularidad matemática que exige al estudiante un nivel mayor de abstracción. Con respecto a la simbolización, comienza con el contenido en el que las literales corresponden a números generales.

Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están de-dicados al trazo de las figuras más elementales y de las líneas y puntos notables del triángulo, construcciones que por sí mis-mas son importantes en la geometría y que, además, resultan indispensables para abordar construcciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques.

Manejo de la información. En este bloque los contenidos in-troducen un par de temas de este eje: la proporcionalidad se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad comienzan con la identificación y la práctica de juegos de azar sencillos.

Bloque

1

20




Para pintar un muro de su casa, Alejandro y Alma prepararon un litro de pintura con 13

de litro de pintura ecológica amarilla y el resto de pintura ecológica blanca. Para pintar otro muro con el mismo tono, adquirieron en la tienda 0.3 de litro de la misma pintura amarilla y completaron el litro con pintura blanca. Los colores de los muros no quedaron iguales. ¿Cuál fue el error que cometieron?

Situación inicial

Explora y construye













Analiza


Sustentabilidad



Fracciones y decimales

Situación inicial

Sugerencias didácticasPregunte a los alumnos cómo pueden comparar un número decimal con una fracción. En este ejercicio, si se presentan, se pueden discutir las ideas erróneas 1 y 2.

SolucionarioDécimos y fracciones de litro / Analiza1. a) La tercera parte de la unidad.

b) Tres décimas partes de la unidad.c) Un tercio no es igual que tres décimos.

2. En el que usaron 13

de pintura.

L 1

Ideas erróneas: 1. Es frecuente que los alumnos piensen que

18

es mayor que 14

por el hecho de que 8 es mayor que 4.

2. Algunos alumnos pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6. 3. Para encontrar una fracción equivalente a una dada, los alumnos pueden creer que sumando el mismo número

tanto al numerador como al denominador se obtienen frac-

ciones equivalentes; por ejemplo, que 47

es equivalente a 4 + 27 + 2

= 69

.

Antecedentes: Valor posicional en números decimales.Fracciones equivalentes.

División entre números naturales con cociente decimal.Comparación de naturales, fracciones y decimales.Conversión de fracciones decimales a escritura decimal

y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no deci-males mediante la notación decimal.

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Lección

1

21

d) ¿Por cuál número deben multiplicar 21.349 para obtener 21 349?

e) ¿Por cuál número deben dividir 21 349 para obtener 21.349?

f) Expresen la operación del inciso anterior como una fracción.

g) ¿Qué fracción con denominador 100 tiene el mismo valor que 13.25?

h) ¿Qué fracción con denominador 10 tiene el mismo valor que 0.1?

Situación inicial

Explora y construye

Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus potencias: 100, 1 000, 10 000,...

2 En grupo, escriban en el pizarrón varios números decimales y para cada uno propóngan una fracción decimal que tenga el mismo valor.

3 Haz lo siguiente.

a) ¿Qué número obtienes al sumar 0.6 + 0.07 + 0.001?

b) Escribe el número anterior como suma de tres fracciones decimales cuyo

numerador conste de una sola cifra.

c) Escribe el resultado de la suma anterior como una fracción con denominador

1 000.

4 Escribe cómo convertir un número decimal en una fracción decimal y discute en grupo tu propuesta.

5 Realiza lo siguiente.

a) Escribe una fracción decimal que valga lo mismo que 0.5.

b) Encuentra una fracción equivalente a 510 con denominador 2.

c) Encuentra otra fracción con el mismo valor que 510 y cuyo denominador sea

distinto de 2.

d) Escribe al menos tres fracciones que tengan el mismo valor que el número

0.5 y cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000,…

e) Convierte los siguientes números decimales en fracciones cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000,…

• 12.76 = • 3.4 = • 5.78 = • 2.15 =

f) ¿Es posible expresar el número 2.1 como una fracción cuyo denominador no

sea 10, 100, 1 000,…? ¿Por qué?


Bloque

1

20




Para pintar un muro de su casa, Alejandro y Alma prepararon un litro de pintura con 13

de litro de pintura ecológica amarilla y el resto de pintura ecológica blanca. Para pintar otro muro con el mismo tono, adquirieron en la tienda 0.3 de litro de la misma pintura amarilla y completaron el litro con pintura blanca. Los colores de los muros no quedaron iguales. ¿Cuál fue el error que cometieron?

Situación inicial

Explora y construye













Analiza


Sustentabilidad



Explora y construye

Sugerencias didácticasPara el ejercicio 2, se debe preguntar a los alumnos de cuántas maneras se pueden encontrar fracciones equivalentes, y después, si se presenta, discutir la idea errónea 3.

SolucionarioDe decimales a fracciones decimales y sus equivalentes1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes

de la unidad, y en el número 2 representa dos unidades. b) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes

de la unidad, y en 0.02 representa dos centésimas partes. c) 132.5 d) Por 1 000 e) Entre 1 000

f) 21 3491 000

g) 1 325100

h) 110

2. R. L.3. a) 0.671

b) 610

+ 7100

+ 11 000

.

c) 6711 000

4. El alumno debe deducir que si el número decimal tiene 1, 2, 3,… cifras decimales, entonces el denominador de la fracción será 10, 100, 1 000,…

5. a) 510

b) 12

c) Respuesta modelo (R. M.) Cualquier fracción equivalente a

12

. Ejemplo: 24

.

d) R. M. Fracciones equivalentes a 12

, como: 36

, 48

, 612

.

e) R. M. • 31925

• 175

• 28950

• 4320

f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador como

el denominador de 2110

por un número diferente de 10, 100,

1�000,… para obtener una fracción equivalente, por ejemplo 4220

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22

Una fracción se simplifi ca cuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número entero positivo distinto de 1 para obtener una fracción equivalente. Si no es posible, se dice que la fracción es irreducible.

g) Convierte los siguientes números decimales a fracciones irreducibles.

• 0.45 = • 3.6 = • 0.1 = • 2.25 =

6 En parejas, anoten en su cuaderno un procedimiento para convertir números decimales en fracciones cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000, etcétera.

7 En grupo, escriban algunos números decimales en el pizarrón y conviértanlos en su equivalente en fracciones. Comenten cuántas fracciones con el mismo valor podrían encontrar para cada número decimal.

De fracción a decimales

1 En parejas, y sin usar la calculadora, realicen lo que se indica.

a) Dividan 2 entre 10 hasta obtener residuo cero y escriban 210

en su equivalente

en número decimal.

b) Escriban 13610

y 76100

en forma decimal.

2 Validen sus respuestas con la calculadora.

3 En grupo, discutan un procedimiento para convertir una fracción decimal a su equivalente en número decimal y anótenlo en su cuaderno.

4 En parejas, realicen lo siguiente.

a) Sin usar calculadora, dividan 2 entre 5 hasta obtener residuo cero y escriban 25 en su equivalente en número decimal.

b) Escriban las siguientes fracciones en su equivalente en número decimal.

• 14 = • 3

4 = • 18 = • 4

5 =

c) Verifiquen con la calculadora sus respuestas anteriores.

5 Realicen lo que se indica y respondan.

a) Analicen la fracción 23 dividiendo 2 entre 3 sin usar calculadora. ¿Pudieron

terminar de dividir? ¿Por qué?

b) Consideren la fracción 542 . Dividan 5 entre 42, sin usar calculadora, hasta

obtener 13 cifras después del punto decimal.

• ¿Qué observan?

la siguiente página electrónica;

www.edutics.mx/oFX

donde encontrarás información sobre números decima-les y su conversión a fracciones, ade-más de ejercicios y actividades.

(Consulta: 11 de septiembre de 2015).

Busca en...



Solucionario

g) • 920

• 185

• 110

• 94

6. R. M. Un método es convertir el número decimal a una fracción decimal y, si es posible, simplificarla. De lo contario se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador por un número diferente de 10, 100, 1 000,… para obtener una fracción equivalente.

7. Respuesta libre (R. L.) No hay un límite para el número de fracciones equivalentes, ya que hay una cantidad infinita de números (1, 2, 3,…) que pueden multiplicar al numerador y al denominador de una fracción dada.

De fracción a decimales1. a) 0.2 b) 13.6; 0.762. R. L.3. R. M. Un método es tomar el numerador y recorrer el punto

decimal hacia la izquierda tantas cifras como ceros tenga el denominador.

4. a) 0.4 b) • 0.25 • 0.75 • 0.125 • 0.8 c) R. L.5. a) No, porque en cada paso de la división se obtiene el mismo

residuo, que es 2, y al ser éste distinto de cero el procedi-miento no termina.

b) • Después de la primera cifra decimal, que es 1, se repiten las cifras 190476.

La fracción equivalente. Fracciones y decimales. Conver-sión de decimales a fracciones. ©

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Lección

1

23

• ¿Cuál es el residuo de la división?

• ¿Podrían obtener cero como residuo, es decir, terminar de dividir? ¿Por qué?

Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero. Este tipo de números se llaman números decimales fi nitos.

Por otro lado, en la actividad 5, al intentar convertir las fracciones 23 y 5

42 en su equiva-lente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividien-do. A este tipo de números se les llama números decimales periódicos.

Si se divide 2 entre 3 para obtener el número equivalente a la fracción 23 se obtiene

0.666…, donde el dígito 6 se repite infi nitamente; lo mismo sucede con la fracción 542

, ya que vale lo mismo que el número 0.11904761…, en el que la agrupación de cifras 190476 se repite una infi nidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden representar así: 2

3 = 0.666… = 0.6 y 542 = 0.11904761… = 0.1190476, donde los dígitos bajo

la raya se repiten una infi nidad de veces.

Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos:

• Números decimales periódicos puros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0.6.

• Números decimales periódicos mixtos: aquellos en los que después del punto de-cimal aparecen cifras que no se repiten infi nitamente y luego una misma cifra o un mismo grupo de cifras que sí se repiten infi nitamente. Un ejemplo es el número 0.1190476.

6 Encuentren el número decimal equivalente de cada fracción.

a) 34 = b) 212

99 = c) 111 = d) 2

3 =

7 Indiquen si el número decimal equivalente de cada una de las siguientes frac-ciones es finito, periódico puro o periódico mixto. Luego, sin usar calculadora, verifiquen su respuesta.

a) 730

= b) 17 = c) 51

12 = d) 13

11 =

8 En grupo, con ayuda de una calculadora, obtengan tres fracciones de modo que una tenga como equivalente un número decimal finito; otra, un número decimal periódico puro, y la tercera, un número decimal periódico mixto.

Toma nota

En tu Glosario matemático escribe con tus palabras una explicación y un ejemplo de cada uno de los siguientes conceptos:

• Fracción decimal • Escritura decimal

de un número • Fracción irredu-

cible


Bloque

1

22

Una fracción se simplifi ca cuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número entero positivo distinto de 1 para obtener una fracción equivalente. Si no es posible, se dice que la fracción es irreducible.

g) Convierte los siguientes números decimales a fracciones irreducibles.

• 0.45 = • 3.6 = • 0.1 = • 2.25 =

6 En parejas, anoten en su cuaderno un procedimiento para convertir números decimales en fracciones cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000, etcétera.

7 En grupo, escriban algunos números decimales en el pizarrón y conviértanlos en su equivalente en fracciones. Comenten cuántas fracciones con el mismo valor podrían encontrar para cada número decimal.

De fracción a decimales

1 En parejas, y sin usar la calculadora, realicen lo que se indica.

a) Dividan 2 entre 10 hasta obtener residuo cero y escriban 210

en su equivalente

en número decimal.

b) Escriban 13610

y 76100

en forma decimal.

2 Validen sus respuestas con la calculadora.

3 En grupo, discutan un procedimiento para convertir una fracción decimal a su equivalente en número decimal y anótenlo en su cuaderno.

4 En parejas, realicen lo siguiente.

a) Sin usar calculadora, dividan 2 entre 5 hasta obtener residuo cero y escriban 25 en su equivalente en número decimal.

b) Escriban las siguientes fracciones en su equivalente en número decimal.

• 14 = • 3

4 = • 18 = • 4

5 =

c) Verifiquen con la calculadora sus respuestas anteriores.

5 Realicen lo que se indica y respondan.

a) Analicen la fracción 23 dividiendo 2 entre 3 sin usar calculadora. ¿Pudieron

terminar de dividir? ¿Por qué?

b) Consideren la fracción 542 . Dividan 5 entre 42, sin usar calculadora, hasta

obtener 13 cifras después del punto decimal.

• ¿Qué observan?

la siguiente página electrónica;

www.edutics.mx/oFX

donde encontrarás información sobre números decima-les y su conversión a fracciones, ade-más de ejercicios y actividades.


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Sugerencias didácticas

Al tiempo que lee de manera grupal la información del recuadro,

pida a los estudiantes que escriban en su calculadora un ejemplo

para cada tipo de número decimal. Por ejemplo, para los núme-

ros decimales finitos, que con su calculadora conviertan a nú-

mero decimal la fracción 38

= 0.375; para los periódicos puros: 911

= 0.81... y para los periódicos mixtos la fracción 914

= 0.6428571...

Que escriban en su cuaderno los resultados, para las decimales pe-

riódicos que resalten el periodo de cada número decimal.Comente a los estudiantes que existen casos como el núme-

ro Pi cuyas cifras decimales son infinitas pero son periódicas, es decir, que no tienen un patrón que se repita. Mencione que existen programas de computación que han obtenido millones de cifras decimales de este número.

Muestre al grupo las primeras cifras decimales de Pi:π = 3.1415926535...

y pídales que investiguen cuáles son las primeras 30 cifras deci-males.

Después, propóngales que resuelvan en parejas las siguientes actividades de la página y al final organice una revisión grupal de los resultados, incluyendo la explicación que se pide en el recuadro "Toma nota".

Solucionario• 8• No, porque se repiten los residuos cada seis pasos.

6. a) 0.75 b) 2.14 c) 0.09 d) 0.67. a) Periódico mixto. b) Periódico puro. c) Finito. d) Periódico puro.

8. R. M. Por ejemplo, decimal finito: 98

, decimal periódico puro: 19

y decimal periódico mixto 9105

.

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De decimales periódicos a fracciones

1 En parejas, consideren el número decimal 0.82 y respondan lo que se pide.

a) ¿Cuáles son los dígitos que se repiten?

b) ¿Por qué ese número decimal no se puede convertir en su equivalente en

fracción con el método que propusieron en la sección “De decimales a frac-

ciones decimales y sus equivalentes”?

Regresa y revisa

Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número decimal periódico. Ese número se puede aproximar redondeándolo o truncándolo. El signo de aproximación es “≈”.

Para redondear un número a cierta cantidad de cifras se considera el dígito que le sigue a la última cifra considerada. De ahí hay tres casos, si:

• ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42• el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43• el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que si ese dígito es:

i) par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52 ii) impar, se le suma 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54

c) Redondeen 0.82 a 3 cifras después del punto decimal y escriban ese número

en su equivalente en fracción.

d) Ahora redondéenlo a 6 y 9 cifras después del punto decimal y expresen los

números que obtuvieron en sus respectivos equivalentes en fracción.

2 En grupo, respondan.a) Comparen los cocientes de las fracciones de los incisos c y d del ejercicio

anterior, señalen cuál se aproxima más al número 0.82 y expliquen por qué.

b) ¿Creen que si el redondeo se hace con más cifras después del punto, el resulta-

do será más cercano al número 0.82? ¿Y en algún momento será exactamente

igual a ese número? Justifiquen sus respuestas.

3 En parejas, consideren el número decimal 0.26 y respondan lo siguiente.

a) Escriban el número 0.26 con sólo 4 cifras después del punto decimal.

A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta un cierto nú-mero de cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad de cifras que se desee. A diferencia del redondeo no se tiene en cuenta si el último dígito considerado es mayor, menor o igual a 5.



Sugerencias didácticasExplique a los estudiantes cómo obtener la fracción equivalente exacta a cada tipo de número decimal.

Para los decimales finitos, sólo tienen que escribirla como

fracción decimal y simplificarla en los casos que se pueda:

0.25 = 25100

= 14

.

Para los decimales periódicos puros, se escribe como nume-

rador las cifras sin el punto decimal y como denominador tantos

nueves como cifras tenga el periodo: 0.81 = 8199

= 911

Para los decimales periódicos mixtos, si hay ceros antes del pe-

riodo, éstos se agregan a la derecha de los nueves, según el proce-

dimiento anterior: 0.090 = 90990

= 111

.

Si no tiene ceros, se escribe por separado la parte que no per-

tenece al periodo y se suman: 0.83 = 0.8 + 0.03 = 810

+ 390

= 720900

+ 30900

= 750900

= 56

.

Pídales que con su calculadora conviertan los resultados a nú-mero decimal para comprobar que el procedimiento es correcto,

De decimales periódicos a fracciones1. a) El 8 y el 2. b) Porque sólo funciona para números decimales finitos.

c) 8281 000

, fracción simplificada: 207250

.

d) 828 2831 000 000

; 828 282 8281 000 000 000

fracción simplificada: 207 070 707250 000 000

.

2. a) Se aproxima más 207 070 707250 000 000

, porque tiene más cifras decimales.

b) Sí será más cercano. Ningún redondeo será exactamente igual porque para cada aproximación se puede obtener una aproximación mejor.

3. a) 0.2666

Decimales periódicos. Fracciones y decimales. Conver-sión de fracciones a decimales. ©

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Lección

1

25

1. Responde en tu cuaderno. a) ¿Cuáles son las fracciones decimales que no se pueden simplifi car? b) Escribe la fracción que vale lo mismo que 1.5 y cuyo denominador es 100, 1 000 y

10 000.c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 45.375 y cuyos

denominadores sean múltiplos de 10.

Refl exiona

1 Lee nuevamente la situación inicial y resuélvela en tu cuaderno.

a) ¿Cómo son entre si los números 13 y 0.3?

b) ¿La cantidad de pintura amarilla que usaron Alejandro y Alma para pintar cada muro es la misma? ¿Por qué?

2 En grupo, expresen 13 en número decimal, redondeado a una cifra decimal, y

compárenlo con el número 0.3. ¿Cómo son entre sí esos números? ¿Esto signi-fica que 1

3 y 0.3 son equivalentes? ¿Por qué?

b) Ahora trunquen el mismo número hasta 6 cifras y escriban a continuación,

para los truncamientos de hasta 4 y 6 cifras del número 0.26, su equivalente

en fracción.

c) ¿El cociente de alguna de las fracciones anteriores es igual al número 0.26?

¿Por qué?

d) ¿Hay una cantidad de cifras decimales hasta la que se pueda truncar el número

0.26 de modo que la fracción equivalente al número resultante tenga el mismo

valor que 0.26? ¿Y si en vez de truncar se redondea? Justifiquen su respuesta.

4 En grupo, hagan lo que se indica. a) Expresen los siguientes números decimales periódicos en su equivalente en

fracción o a una fracción aproximada. Los cocientes de las fracciones deben tener por lo menos 4 cifras después del punto decimal.

• 24.15 = • 0.456 =

• 4.7 = • 0.11432 =

b) Discutan cuáles son las dificultades para convertir un número decimal perió-dico en su equivalente en fracción y comenten el error que se genera al hacer aproximaciones.

Regresa y revisa


Bloque

1

24

De decimales periódicos a fracciones

1 En parejas, consideren el número decimal 0.82 y respondan lo que se pide.

a) ¿Cuáles son los dígitos que se repiten?

b) ¿Por qué ese número decimal no se puede convertir en su equivalente en

fracción con el método que propusieron en la sección “De decimales a frac-

ciones decimales y sus equivalentes”?

Regresa y revisa

Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número decimal periódico. Ese número se puede aproximar redondeándolo o truncándolo. El signo de aproximación es “≈”.

Para redondear un número a cierta cantidad de cifras se considera el dígito que le sigue a la última cifra considerada. De ahí hay tres casos, si:

• ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42• el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43• el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que si ese dígito es:

i) par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52 ii) impar, se le suma 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54

c) Redondeen 0.82 a 3 cifras después del punto decimal y escriban ese número

en su equivalente en fracción.

d) Ahora redondéenlo a 6 y 9 cifras después del punto decimal y expresen los

números que obtuvieron en sus respectivos equivalentes en fracción.

2 En grupo, respondan.a) Comparen los cocientes de las fracciones de los incisos c y d del ejercicio

anterior, señalen cuál se aproxima más al número 0.82 y expliquen por qué.

b) ¿Creen que si el redondeo se hace con más cifras después del punto, el resulta-

do será más cercano al número 0.82? ¿Y en algún momento será exactamente

igual a ese número? Justifiquen sus respuestas.

3 En parejas, consideren el número decimal 0.26 y respondan lo siguiente.

a) Escriban el número 0.26 con sólo 4 cifras después del punto decimal.

A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta un cierto nú-mero de cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad de cifras que se desee. A diferencia del redondeo no se tiene en cuenta si el último dígito considerado es mayor, menor o igual a 5.



Convertir fracciones a decimales y decimales a fracciones.

Solucionario

b) Fracciones simplificadas: 1 3335 000

; 133 333500 000

.

c) No, porque al hacer las divisiones correspondientes se ob-tienen números decimales finitos.

d) No, porque al truncarlo el resultado es un número menor. Si se redondea, el resultado es un número mayor o menor.

4. a) R. M. Fracciones simplificadas:

• 48 3032 000

• 22 83350 000

• 47 777

10 000 • 1 143 243

10 000 000

b) El redondeo y el truncamiento son procedimientos para obtener aproximaciones. Entre mayor sea el número de decimales considerados, mejor será la aproximación.

Regresa y revisa

1. a) 13

= 0.3333... = 0.3, el cual es mayor que 0.3.

b) No, porque 13

no es igual a 0.3.

2. a) Son iguales. No son equivalentes. 0.3 es la aproximación menos exacta.


En la etiqueta de un medicamento líquido se lee: “Para su

consumo diluya 34 L de medicamento en

38 L de agua”.

¿En qué inciso se muestran correctamente esas cantidades

expresadas en números decimales?

a) Medicamento: 0.75 L, agua: 0.375 L.b) Medicamento: 1.33 L, agua: 2.66 L.c) Medicamento: 0.375 L, agua: 0.75 L.d) Medicamento: 2.66 L, agua: 1.33 L.

Rumbo a Planea

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1

26

5 km 6 km


a) ¿En cuántas partes dividieron la distancia que hay entre los kilómetros 0 y 1 para saber

dónde están los puestos de hidratación?

b) ¿Y en cuántas hubo que dividirla para localizar las cámaras?

Analiza

1 Responde.

a) ¿Entre Diana y Lucía, quién va ganando?

b) ¿Y entre Karina y Renata quién lleva la delantera?

2 Completa la tercera columna de la tabla 1.2.1.

3 Ubica en la recta (figura 1.2.1) los puestos de hidratación y las cámaras que se encuentren entre los kilómetros 0 y 1.

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informa-ciones, analizando las convenciones de esta representación.

2. Representaciones en la recta

La carrera

0 km 1 km

Tabla 1.2.1

4 Ubica en la recta numérica de la figura 1.2.2 los puestos de hidratación y las cámaras que se encuentren entre los kilómetros 5 y 6. Después ubica las po-siciones de las corredoras.

CorredoraDistancia

(km)Posición

Nancy 5.25

Diana 5.1

Karina 5.7

Lucía 5.01

Renata 5.65

Alicia 5.33

Figura 1.2.1

Figura 1.2.2

Situación inicial

En una carrera de maratón, las seis corredoras que llevaban la delantera habían recorrido en los prime-ros 20 minutos las distancias que se muestran en la tabla 1.2.1.

A lo largo del trayecto, cada 15 de kilómetro había una

cámara de seguimiento de la carrera, y cada 12

km un puesto de hidratación. Recuerda que hacer ejercicio ayuda a mantener un peso corporal adecuado.

5 Verifica que las posiciones que anotaste en la tabla 1.2.1 correspondan con lo que marcaste en la figura 1.2.2.

Explora y construye

Salud



Representaciones en la recta

Situación inicial

SolucionarioLa carrera1. a) Diana. b) Karina.2. Datos de la tabla: 4º, 5º, 1º, 6º, 2º, 3º. 3.

4.

5. R. L.

Analiza1. a) En 2. b) En 5.

L 2

Ideas erróneas: 1. Es probable que algunos alumnos pien-sen que, una vez definida la posición de dos números, la de un tercero se puede determinar de manera arbitraria.

2. Los alumnos pueden pensar, si no reflexionan sobre ello,

que entre ciertos decimales o fracciones no hay más núme-

ros: por ejemplo, entre 110

y 210

o entre 0.25 y 0.26.

Antecedentes: Valor posicional de las cifras de un decimal.Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica.Identificación de una fracción o un decimal entre dos frac-

ciones o decimales. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales.

0 km 1 km

5 km D K

L N A R

6 km

¿Quién gana? Fracciones y decimales en la recta. © T

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27

Lección

2

El cero y la unidad en la recta

1 En la recta de la figura 1.2.3, marca los puntos donde se localizan 12 y 2.

2 Ubica en la recta de la figura 1.2.4 el 0 en una posición diferente a la que tiene en la recta de la figura 1.2.3, y ubica el número 1 de modo que la distancia entre éste y el 0 sea diferente a la que hay entre ellos en la figura 1.2.3.

c) ¿De qué modo usaron la información del primer kilómetro (fi gura 1.2.1) para saber

cómo ubicar los puntos solicitados del kilómetro representado en la fi gura 1.2.2?

d) Para localizar a la corredora que va en segundo lugar, ¿en cuántas partes tuvieron

que dividir el segmento entre los kilómetros 5 y 6?

e) ¿A qué otras corredoras pueden localizar dividiendo el segmento como en el inciso

anterior?

f) De las seis corredoras, ¿quiénes ya pasaron por el puesto de hidratación que se en-

cuentra entre los kilómetros 5 y 6?

2. Completen la tabla 1.2.2, de modo que expresen en fracciones con denominador 100 las distancias que han alcanzado las corredoras.

Corredora

Distancia (km)

Con decimales o fracción

Con fracción de denominador 100

Nancy

Diana

Karina

Lucía

Renata

Alicia

3. En equipo, a partir de las conversiones anteriores, escriban un procedimiento para verifi car si ubicaron correctamente las posiciones de las corredoras en la fi gura 1.2.2. Después aplíquenlo para verifi car las respuestas de otro equipo.

Figura 1.2.3

Figura 1.2.4

Tabla 1.2.2

Situación inicial

Explora y construye

0 1


Bloque

1

26

5 km 6 km


a) ¿En cuántas partes dividieron la distancia que hay entre los kilómetros 0 y 1 para saber

dónde están los puestos de hidratación?

b) ¿Y en cuántas hubo que dividirla para localizar las cámaras?

Analiza

1 Responde.

a) ¿Entre Diana y Lucía, quién va ganando?

b) ¿Y entre Karina y Renata quién lleva la delantera?

2 Completa la tercera columna de la tabla 1.2.1.

3 Ubica en la recta (figura 1.2.1) los puestos de hidratación y las cámaras que se encuentren entre los kilómetros 0 y 1.

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informa-ciones, analizando las convenciones de esta representación.

2. Representaciones en la recta

La carrera

0 km 1 km

Tabla 1.2.1

4 Ubica en la recta numérica de la figura 1.2.2 los puestos de hidratación y las cámaras que se encuentren entre los kilómetros 5 y 6. Después ubica las po-siciones de las corredoras.

CorredoraDistancia

(km)Posición

Nancy 5.25

Diana 5.1

Karina 5.7

Lucía 5.01

Renata 5.65

Alicia 5.33

Figura 1.2.1

Figura 1.2.2

Situación inicial

En una carrera de maratón, las seis corredoras que llevaban la delantera habían recorrido en los prime-ros 20 minutos las distancias que se muestran en la tabla 1.2.1.

A lo largo del trayecto, cada 15 de kilómetro había una

cámara de seguimiento de la carrera, y cada 12

km un puesto de hidratación. Recuerda que hacer ejercicio ayuda a mantener un peso corporal adecuado.

5 Verifica que las posiciones que anotaste en la tabla 1.2.1 correspondan con lo que marcaste en la figura 1.2.2.

Explora y construye

Salud



Sugerencias didácticasPara el ejercicio 3, se puede preguntar al alumno por qué algu-nas veces es más práctico ubicar un número decimal a partir de su equivalente en fracción.

Solucionarioc) Se puede repetir el procedimiento, ya que son segmentos

de igual longitud y con extremos enteros. d) R. M. Basta con 20 divisiones. e) R. M. A Nancy, a Diana y a Karina. f) Renata y Karina, corredoras que van en 2° y 1er lugar, respec-

tivamente.2.

Corredora

Distancia (km)

Con decimales o fracción

Con fracción de denominador 100

Nancy214

525100

Diana5110

510100

Karina5710

570100

Lucía501100

501100

Renata11320

565100

Alicia533100

533100

3. R. M. Un método es dividir el segmento de recta en 100 partes iguales.

Explora y construye

El cero y la unidad en la recta1.

2. R. L.

0 1 212

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llo, S

. A. d

e C

. V.


Bloque

1

28

Figura 1.2.5 0 1

3 ¿De qué depende la posición que tienen 12 y 2 en las figuras 1.2.3 y 1.2.4?

4 Ubica los números 83

y 54

en las rectas de las figuras 1.2.3 y 1.2.4. En parejas, co-menten qué diferencias observan entre las posiciones de estos números de una recta a otra.

5 Con base en las rectas anteriores, discutan en grupo de qué depende la posición

de cualquier número en la recta y escriban sus conclusiones.

Fracciones y decimales en la recta

1 En la lección anterior viste que 0.1 = 110 . La unidad de la siguiente recta (figura

1.2.5) está dividida en 10 partes iguales. Señala sus valores en números decimales.

2 Explica cómo ubicarías en la recta anterior el número 0.25 y márcalo en ella.

3 En la siguiente recta (figura 1.2.6) ubica el 0.11.

4 Explica en tu cuaderno qué harías para ubicar el 0.112 en la recta de la figura 1.2.6.

5 En grupo, verifiquen sus respuestas de los ejercicios 1 a 4 usando fracciones decimales.

6 En parejas, ubiquen en cada recta los números que se indican.

a) 12 y 3.2.

b) 53 , 1.4, 2 y 3.

7 Revisen sus respuestas del ejercicio anterior en grupo y discutan qué pasos rea-lizaron para localizar cada punto.

Figura 1.2.6 0 0.1 0.2

Figura 1.2.7

Figura 1.2.8 0 4

0 4


Solucionario3. Depende de la medida de la unidad, es decir, de la distancia

entre el 0 y el 1, y de la posición del 0.

4. Para ubicar el punto 83

deberá ubicarse el punto 3 a la derecha

del 2 y a una distancia igual a la que hay entre 0 y 1; posterior-

mente se divide la distancia entre 2 y 3 en tres partes iguales

y en la segunda de ellas se ubica el punto 83

. Para ubicar 54

se divide la distancia entre 1 y 2 en cuatro partes iguales, y la

primera división corresponde con 54

. El lugar en el que se

ubican depende de la unidad establecida.

5. R. M. La posición de cualquier número en la recta depende tanto de la posición del 0 como de la distancia entre el 0 y el 1, es decir, de la escala elegida.

Fracciones y decimales en la recta1.

2. Dividiendo a la mitad el segmento entre 0.2 y 0.3; el número 0.25 es el punto medio.

3.

4. Se puede dividir el segmento entre 0.11 y 0.12 en 10 partes iguales y marcar la segunda división.

5. R. L.6. a)

b)

7. R. L.

0 km 0.1 0.50.3 0.70.2 0.60.4 0.8 0.9 1 km

0 0.1

0.11

0.2

0 3.2 412

0 321

1.4

4

Dale su lugar a cada quien. Fracciones y decimales en la recta.

53

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. V.


Lección

2Entre dos números

1 En parejas, hagan y respondan lo siguiente.

a) Ubiquen las fracciones 23

y 57

en la recta (figura 1.2.9).

b) ¿Qué fracciones con denominador 21 son equivalentes a las anteriores?

c) Observen los numeradores de las fracciones que escribieron en el inciso

anterior y verifiquen que ubicaron correctamente 23

y 57

en la figura 1.2.9.

Expliquen cómo lo hicieron.

d) Consideren las fracciones que obtuvieron en el inciso b y expliquen por qué en

ese caso no es posible encontrar entre ellas una fracción con denominador 21.

e) ¿Qué fracciones con denominador 42 son equivalentes a las iniciales, es decir,

a 23

y 57

?

f) Consideren las fracciones que obtuvieron en el inciso anterior y obtengan

una intermedia con denominador 42.

2 En grupo, discutan si siempre es posible encontrar una fracción entre cualquier par de fracciones. Expliquen su respuesta.

3 Señala en la recta numérica de la figura 1.2.10 el número 0.218.

4 Señala un número en la recta anterior que esté entre el 0.21 y el 0.218.

5 Analiza: ¿siempre es posible encontrar otro número entre cualquier par de nú-

meros decimales? ¿Por qué?

0.21 0.22

Figura 1.2.9

Figura 1.2.10

0 1

1. En equipos, respondan lo siguiente.

a) Además de usar la recta numérica, ¿de qué otra manera pueden comparar fracciones

o números decimales?

Refl exiona


Bloque

1

28

Figura 1.2.5 0 1

3 ¿De qué depende la posición que tienen 12 y 2 en las figuras 1.2.3 y 1.2.4?

4 Ubica los números 83

y 54

en las rectas de las figuras 1.2.3 y 1.2.4. En parejas, co-menten qué diferencias observan entre las posiciones de estos números de una recta a otra.

5 Con base en las rectas anteriores, discutan en grupo de qué depende la posición

de cualquier número en la recta y escriban sus conclusiones.

Fracciones y decimales en la recta

1 En la lección anterior viste que 0.1 = 110 . La unidad de la siguiente recta (figura

1.2.5) está dividida en 10 partes iguales. Señala sus valores en números decimales.

2 Explica cómo ubicarías en la recta anterior el número 0.25 y márcalo en ella.

3 En la siguiente recta (figura 1.2.6) ubica el 0.11.

4 Explica en tu cuaderno qué harías para ubicar el 0.112 en la recta de la figura 1.2.6.

5 En grupo, verifiquen sus respuestas de los ejercicios 1 a 4 usando fracciones decimales.

6 En parejas, ubiquen en cada recta los números que se indican.

a) 12 y 3.2.

b) 53 , 1.4, 2 y 3.

7 Revisen sus respuestas del ejercicio anterior en grupo y discutan qué pasos rea-lizaron para localizar cada punto.

Figura 1.2.6 0 0.1 0.2

Figura 1.2.7

Figura 1.2.8 0 4

0 4


SolucionarioEntre dos números

1. a) Para ubicar 23

, se divide la distancia entre 0 y 1 en tres partes

iguales, y la segunda división corresponde a esa fracción.

Para ubicar 57

, se divide la misma distancia anterior en siete

partes y la quinta corresponde a la fracción señalada.

b) 1421

y 1521

, respectivamente.

c) R. M. Se puede dividir el segmento de 0 a 1 en 21 partes y

situar las dos fracciones donde correspondan; éstas deben

coincidir con las fracciones originales ( 23

y 57

).

d) Porque los numeradores son 14 y 15, y no hay ningún nú-mero entero entre ellos.

e) 2842

y 3042

, respectivamente. f) 2942

(Continúa en la página siguiente)

Responde.¿Cuál de los siguientes números fraccionarios se localiza en el sitio que se señala en la recta numérica?

A) 43

B) 154

C) 34

D) 415

Rumbo a Planea

431 20

Identificar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.©

To

do

s lo

s d

ere

cho

s re

serv

ado

s, E

dic

ion

es

Cas

tillo

, S. A

. de

C. V

.

Bloque

1

30

1 En la carrera del problema inicial, a 1 hora y 20 min del comienzo las tres corre-doras punteras han recorrido las siguientes distancias.

CorredoraDistancia

(km)

Diana 21.748

Karina 21.746

Alicia 21.745

Regresa y revisa

Tabla 1.2.3

Figura 1.2.11

a) Ubica en la recta la posición de cada corredora. Para ello, usa las rectas nu-méricas de la figura 1.2.11, las cuales representan: • La distancia entre los kilómetros 21 y 22. • La ampliación correspondiente a la distancia de los 21.7 km a los 21.8 km. • La ampliación de la distancia de los 21.74 km a los 21.75 km.

(Los puntos señalados con las letras F, E y D los utilizarás más adelante.)

21 22

21.7 F 21.8

21.74 E D 21.75

b) En su cuaderno, ubiquen el número 2.3 en la recta.

2. En grupo, respondan.

a) ¿Cuándo es conveniente usar la recta numérica para comparar números?

b) ¿Qué difi cultades enfrentaron para ubicar el número 2.3 en la recta?



Solucionario2. R. M. Siempre es posible encontrar una fracción dadas otras

dos siguiendo pasos análogos a los que se señalan en la pre-gunta 1 anterior.

3. Para ubicar el punto 0.218, se divide la distancia de 0.21 a 0.22 en diez partes y la octava corresponde con 0.218.

4. R. M. Cualquiera de las divisiones anteriores que corresponden con 0.211, 0.212, 0.213, 0.214, 0.215, 0.216 y 0.217.

5. R. M. Sí; por ejemplo, se puede sumar los dos números y dividir el total entre 2 para encontrar otro que se encuentre a la mitad de ellos.

Reflexiona1. a) R. M. Un método es el sugerido en el ejercicio 1 de la página

29. Para comparar los numeradores hay que modificar las fracciones de modo que tengan el mismo denominador. En el caso de los decimales, se pueden comparar dígito a dígito, de izquierda a derecha, hasta encontrar cuál es mayor.

b) R. L.2. a) R. M. Cuando el número sea un decimal finito, o cuando

ubicarlo no requiera una división de la recta en muchas partes.

b) R. M. No sirve dividir el segmento comprendido entre los números 2 y 3 en una cantidad finita de partes. Al pasar 2.3 a su forma de fracción sólo se obtiene una aproximación, pues hay que redondearlo o truncarlo.

Regresa y revisa

1. a) En la tercera recta, donde se ubican los puntos 21.74 y 21.75, la quinta división entre ellos corresponde a la posición de Patricia, la sexta corresponde a Karina y la octava a Ana.

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31

Lección

2

1. Explica por qué en la recta el número 0.25 se encuentra en el mismo

punto que 7

28.

2. Inventa una situación problemática cuya solución se obtenga al compa-rar 3

15 y 0.92 en la recta y pídele a un compañero que la resuelva.

3. Encuentra tres números entre cada una de las siguientes parejas.

a) 0.5 y 84 .

b) 14 y 69 .

c) 0.12 y 0.76.

d) 511 y 6

11.

4. A partir de la ubicación de los números 0.5 y 0.7 en la recta de la fi gura 1.2.12, determina la posición de las siguientes letras.

• W. • Y.

• X. • Z.

5. En tu cuaderno, traza una recta numérica y las ampliaciones necesarias para localizar los números 5.65, 7.13 y 10.87.

Resuelve

Regresa y revisa

Figura 1.2.12

Toma nota

Anota en tu Glosa-rio matemático con tus palabras una descripción y un ejemplo de recta numérica.

W X 0.5 0.7 Y Z

2 De acuerdo con la recta numérica de la figura 1.2.11, ¿cuáles son los puntos en los que se encuentran Nancy, Lucía y Renata representadas con las letras F, E y D respectivamente?

• F. • E. • D.

3 En equipos de cuatro, comparen sus respuestas y discútanlas si hay diferencias.

4 En grupo, comenten si el método usado es práctico para localizar el número 21.7428647 y discutan cuándo es útil el cambio de escala en la recta numérica. Escriban sus conclusiones a continuación.


Bloque

1

30

1 En la carrera del problema inicial, a 1 hora y 20 min del comienzo las tres corre-doras punteras han recorrido las siguientes distancias.

CorredoraDistancia

(km)

Diana 21.748

Karina 21.746

Alicia 21.745

Regresa y revisa

Tabla 1.2.3

Figura 1.2.11

a) Ubica en la recta la posición de cada corredora. Para ello, usa las rectas nu-méricas de la figura 1.2.11, las cuales representan: • La distancia entre los kilómetros 21 y 22. • La ampliación correspondiente a la distancia de los 21.7 km a los 21.8 km. • La ampliación de la distancia de los 21.74 km a los 21.75 km.

(Los puntos señalados con las letras F, E y D los utilizarás más adelante.)

21 22

21.7 F 21.8

21.74 E D 21.75

b) En su cuaderno, ubiquen el número 2.3 en la recta.

2. En grupo, respondan.

a) ¿Cuándo es conveniente usar la recta numérica para comparar números?

b) ¿Qué difi cultades enfrentaron para ubicar el número 2.3 en la recta?



Solucionario2. • 21.73 • 21.741 • 21.7433. R. L.4. R. M. No resulta práctico. Se necesita un cambio de la escala

cada vez que se considere un dígito más a la derecha del pun-to; por lo tanto ubicar 21.7428647, implicaría muchas rectas a escala.

Resuelve

1. 0.25 es equivalente a 728

2. R. L.3. a) Ejemplos: 3

4, 1, 5

4, 6

4, 7

4.

b) Ejemplos: 1036

, 1136

, 1236

, ..., 2236

, 2336

.

c) Ejemplos: 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6.

d) Ejemplos: 51110

, 52110

, ..., 58110

, 59110

.

4. • W. 0 • Y. 0.8 • X. 0.3 • Z. 15. R. L.

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Bloque

1

32

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

3. Suma y resta de fracciones

Consumo de agua

En casa de Rosario almacenan el agua en un tinaco, el cual se llena al inicio de cada día y después no vuelve a recibir agua. El líquido se usa diariamente de esta manera: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina. ¿Qué parte del tinaco queda al final de cada día?

Situación inicial


a) Si un día no se lava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría?

b) Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría?

2. Escriban algunas acciones que pueden realizar para ahorrar agua.

Analiza

Explora y construye

Acopio, reparto, carga, equilibrio…

1 En parejas, resuelvan lo siguiente.a) En una escuela se recolectan periódicos viejos para venderlos y donar lo que

se obtenga a la Cruz Roja. El primer día, un equipo de cuatro alumnos llevó las siguientes cantidades de papel: 3

7 kg, 6

10 kg, 1

2 kg y 2

3 kg.

• Cada uno estime mentalmente la suma de las cantidades anteriores y,

a partir de ello, diga cuánto falta para completar un número entero de

kilogramos.

• Hagan los cálculos necesarios para obtener el total del periódico reco-

lectado y cuánto falta para formar paquetes de 1 kg de papel cada uno.

Expresen su respuesta como fracción.

• Expliquen en su cuaderno cómo determinaron cuál es la cantidad que falta para formar un número entero de paquetes.

• Usen la calculadora para comprobar sus resultados.

b) En un grupo de primero de secundaria tres alumnas festejaron su cumplea-ños. Sus compañeros compraron un pastel de dos pisos del mismo tamaño: uno de fresa y otro de durazno. Se cortaron 10 rebanadas por piso, todas del

Sust

enta

bili

dad



Suma y resta de fracciones

Situación inicial

Sugerencias didácticasEl problema implica tres restas; verifique que en cada caso se haga la conversión necesaria para obtener el mismo denomi-nador, y así restar las fracciones. Es posible que algún alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador. Si la idea errónea 1 aparece, se puede discutir.

SolucionarioConsumo de agua / Analiza

Queda una octava parte del total de la capacidad del tinaco,

pues 1 – 12

– 14

– 18

= 18

.

1. a) 38

b) 14

2. R. L.

L 3

Ideas erróneas: 1. En una suma o resta de fracciones, algu-nos alumnos suman o restan (erróneamente) los valores de los numeradores y denominadores de los sumandos para obtener el resultado.2. Algunos alumnos pueden pensar que si dos fracciones son iguales, la parte del total que representan es igual aun-

que los totales sean diferentes; por ejemplo, que 13

de 10

sea igual a 13

de 20.

Antecedentes: Fracciones equivalentes.Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones

con números fraccionarios.Resolución de problemas de suma o resta de fracciones

con denominadores diferentes.Resolución de problemas aditivos con números fraccio-

narios.

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33

Lección

3mismo tamaño. Cinco personas comieron, cada una, una rebanada de pastel de fresa y otra de durazno, y cuatro personas sólo comieron una rebanada de pastel de fresa cada una.

Usando sólo fracciones respondan en su cuaderno.• ¿Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de

pastel de fresa que sobraron? • ¿Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de

pastel de durazno que sobraron? • Escriban una suma de fracciones para determinar qué parte del pastel

sobró. Después realicen la suma. • A partir del número total de rebanadas que se consumieron, escriban

una resta de fracciones para determinar qué parte del pastel sobró, y verifiquen que hayan obtenido el mismo resultado del punto anterior.

c) Jorge le pidió prestada a su tío su camioneta para entregar mercancía. Cuando empezó a usar el vehículo, el tanque tenía 3

4 de su capacidad de

gasolina. Luego de un recorrido, Jorge notó que había gastado 16

de la ca-pacidad total del tanque. Si durante el resto del día se consumieron 3

10 de

la capacidad total del tanque:

Situación inicial

Explora y construye

el siguiente libro información sobre la resolución de proble-mas con fracciones en el anti-guo Egipto: Pérez García, Miguel Ángel, Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes, Madrid, Visión Libros, 2009.

Para encontrar más problemas de fracciones, consulta: Palmer, Claude Irwin, et al., Matemáticas prácticas, Barcelona, Reverté, 2003.

Busca en...• Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque gastó

Jorge ese día.

• Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque quedó

después del recorrido.

d) En una balanza de dos platos se coloca un objeto de peso desco-nocido en el derecho y una carga formada por varias pesas con un total de 5 kg en el plato izquierdo (figura1.3.1). Como la balanza no queda equilibrada; para lograrlo, se le quitan al plato izquierdo dos pesas de 1

3 kg y una de 1

8 kg, y se le agregan dos pesas de 1

2 kg y

una de 14

kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la carga del plato derecho?

Figura 1.3.1

?121

2

14

131

3

18

2 En grupo, hagan lo siguiente.a) Redacten dos problemas cuya resolución implique operaciones de suma y

resta de fracciones. Antes de hacer los cálculos respectivos estimen mental-mente los resultados y después resuelvan los problemas.

b) Discutan cuál es la utilidad de estimar resultados mentalmente.c) Analicen qué otro problema o problemas del ejercicio anterior podrían resol-

verse mediante estimación y expliquen su respuesta.


Bloque

1

32

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

3. Suma y resta de fracciones

Consumo de agua

En casa de Rosario almacenan el agua en un tinaco, el cual se llena al inicio de cada día y después no vuelve a recibir agua. El líquido se usa diariamente de esta manera: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina. ¿Qué parte del tinaco queda al final de cada día?

Situación inicial


a) Si un día no se lava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría?

b) Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría?

2. Escriban algunas acciones que pueden realizar para ahorrar agua.

Analiza

Explora y construye

Acopio, reparto, carga, equilibrio…

1 En parejas, resuelvan lo siguiente.a) En una escuela se recolectan periódicos viejos para venderlos y donar lo que

se obtenga a la Cruz Roja. El primer día, un equipo de cuatro alumnos llevó las siguientes cantidades de papel: 3

7 kg, 6

10 kg, 1

2 kg y 2

3 kg.

• Cada uno estime mentalmente la suma de las cantidades anteriores y,

a partir de ello, diga cuánto falta para completar un número entero de

kilogramos.

• Hagan los cálculos necesarios para obtener el total del periódico reco-

lectado y cuánto falta para formar paquetes de 1 kg de papel cada uno.

Expresen su respuesta como fracción.

• Expliquen en su cuaderno cómo determinaron cuál es la cantidad que falta para formar un número entero de paquetes.

• Usen la calculadora para comprobar sus resultados.

b) En un grupo de primero de secundaria tres alumnas festejaron su cumplea-ños. Sus compañeros compraron un pastel de dos pisos del mismo tamaño: uno de fresa y otro de durazno. Se cortaron 10 rebanadas por piso, todas del

Sust

enta

bili

dad



Explora y construye

SolucionarioAcopio, reparto, carga, equilibrio…1. a) • Es muy probable que respondan que es difícil hacerlo

mentalmente.

• Se juntaron 2 41210

kg. Faltan 169210

para hacer paquetes de

1 kg.

• R. M. A una unidad, en este caso 1 kg, se le resta la cantidad fraccionaria del total recolectado.

b) • 120

• 520

= 14

• 1

20 + 5

20 = 6

20 = 3

10

• 1 – 14

20 = 6

20 = 3

10

c) • 16

+ 310

= 1430

= 715

• 3

4 – 7

15 = 17

60

d) • 5 – 13

– 13

– 18

+ 12

+ 12

+ 14

= 5 1124

kg

2. a) R. L. b) R. M. Sirve cuando no se requiere una respuesta exacta para

resolver un aspecto de una situación; por ejemplo, para saber si una cantidad fue menor o mayor a otra especifica.

c) R. L.

Lo que sobra. Suma y resta de fracciones.© T

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. A. d

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Bloque

1

34









35






• a • b • c


• a • b • c




a) 4 12

+ 13

– 45

b) 87

– 37

+ 17

c) 78

– 14

+ 23

d) 54

– 35

– 18

e) 75

– 16

– 23

f) 25

+ 75

+ 15

Regresa y revisa

a b cFigura 1.3.2



Sugerencias didácticasPara el ejercicio 4 b), se le puede preguntar al alumno qué sucede-ría si la longitud de la tabla fuera, por ejemplo, de 4 m, 5 m, o 6 m. Si surge la idea errónea 2, discútanla.

Solucionariod) R. L.

3. a) 45

b) 25

c) 15

4. a) 65

m y 35

m, respectivamente.

b) R. M. Le queda 15

de la tabla, lo mismo que le dio a Isaías,

así que es la misma longitud, es decir, 35

metros.


1. a) • a. 12

• b. 14

• c. 18

b) • a. 12

• b. 34

• c. 78

2. R. M. Para el círculo a: Juan compró una gelatina circular para celebrar su cumpleaños en la escuela. Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿qué parte de la gelatina sobró?

3. Solución del problema anterior: sobró la mitad.4. R. L.


Para elaborar un pastel de chocolate se requieren 23

kg de

harina de trigo. Carol tiene 14

kg en casa y en la tienda sólo

venden paquetes de 12

kg. Si compra un paquete, ¿le faltará

o le sobrará harina? ¿Cuánta?

A) Le faltará 112

kg. B) Le sobrará 112

kg.

C) Le faltará 18

kg. D) Le sobrará 18

kg.

Rumbo a Planea

Sumar y restar números fraccionarios. Rebanadas. Suma y resta de fracciones.

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Lección

3 5 Cada quien plantee un problema con la operación que eligió.

6 Expliquen el planteamiento a sus compañeros de equipo.

7 Elijan uno de los problemas, resuélvanlo y explíquenlo al grupo.

1. Toma una hoja de papel y dóblala sobre sí misma y siempre a la mitad el mayor nú-mero de veces que puedas y responde lo siguiente.

a) ¿Qué fracción de la hoja de papel representa el tercer doblez?

b) ¿Y el cuarto doblez?

c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces, ¿el resultado

será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta.

d) Verifi ca tu respuesta anterior efectuando la suma de las fracciones.

Refl exiona

1 En parejas, lean la situación inicial y el siguiente planteamiento. Después res-pondan.

El tinaco de la casa de Rosario tiene una capacidad de 1 200 L. Los vecinos tie-nen un tinaco de 2 000 L de capacidad que también se llena al inicio del día y después no vuelve a recibir agua; ellos emplean el agua del tinaco cada día de la siguiente forma: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina.

a) Observen la figura 1.3.3, la cual representa a los dos tinacos, y dibujen la parte de la capacidad de cada tinaco que se ocupó para el baño, la que se usó para lavar ropa y la que se utilizó para la cocina.

b) ¿Qué fracción de la capacidad del tinaco de

los vecinos queda al final del día?

2 En grupo, respondan en qué se parecen y en

qué difieren los consumos de agua de la familia

de Rosario y el de los vecinos.

Regresa y revisa

Rosario

Nivel de1 200 L

Nivel de2 000 L

Vecinos

Figura 1.3.3


Bloque

1

34









35






• a • b • c


• a • b • c




a) 4 12

+ 13

– 45

b) 87

– 37

+ 17

c) 78

– 14

+ 23

d) 54

– 35

– 18

e) 75

– 16

– 23

f) 25

+ 75

+ 15

Regresa y revisa

a b cFigura 1.3.2



Sugerencias didácticasPara el ejercicio 2, si aparece aquí la idea errónea 2, se puede discutir.

Solucionario

5. R. M. Roberto tiene que llenar un contenedor de 5 litros de

agua. Primero agregó 4 12

litros, después 13

de litro. Si retiró 45

de litro de lo que había en el contenedor, ¿cuántos litros

hacen falta para llenarlo por completo?

6. R. L.

7. Respuesta del ejemplo anterior: le faltan 2930

de litro.

Reflexiona

1. a) 18

b) 116

c) Menor, pues siempre falta la mitad del valor representado en cada doblez para completar la unidad.

d) 12

+ 14

+ 18

+ 116

= 1516

Regresa y revisa

1. a) Se deben dibujar 12

, 14

y 18

de cada tinaco.

b) 18

2. Se parecen en que las fracciones de consumo del volumen total de los tinacos son las mismas en ambos casos. Difieren porque los tinacos no tienen la misma capacidad.

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Construcción de sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formu-lación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de fi guras.

4. Sucesiones

Con semillas

En equipos de cuatro, realicen lo siguiente.

1 Lleven a clase aproximadamente medio kilogramo de frijoles o de alguna otra semilla.

2 Observen el siguiente ejemplo de una sucesión hecha de semillas (figura 1.4.1).

3 Divídanse en dos parejas y cada una proponga cómo construir una nueva suce-sión cuyos elementos sean arreglos de semillas.

4 Construyan los primeros cuatro elementos de la sucesión que planteó la otra pareja.

5 Asegúrense de que las construcciones de la otra pareja sean correctas. Si no lo son, repítanles la explicación para que las rehagan.

a) ¿Qué entienden por sucesión?

b) Describan el primer elemento de la sucesión de la fi gura 1.4.1.

c) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la fi gura 1.4.1?

d) ¿Cómo se construye el tercer elemento?

e) ¿Observan alguna regularidad? Si es así, descríbanla.

Analiza

Situación inicial

Explora y construye

Figura 1.4.1



Sucesiones

Situación inicial

SolucionarioCon semillas1 a 5. R. L.

Analizaa) R. M. Una sucesión es una colección ordenada y secuencia-

da de números o figuras que se forma a partir de una regla dada.

b) Un solo frijol (o semilla). c) Se agregan dos frijoles más (o semillas) a la derecha del frijol

inicial, formados en línea vertical. d) Igualmente se agregan dos semillas a la derecha. e) En cada paso se agregan 2 semillas.

L 4

Ideas erróneas: Algunos alumnos pueden confundir las sucesiones con progresión geométrica con las sucesiones especiales, por ejemplo, la sucesión 1, 4, 9, 16, 25,…, que se forma al elevar al cuadrado los números naturales, tiene un cociente diferente entre cada par de términos sucesivos.

Antecedentes: Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones de números o figuras que tengan progresión aritmética o geométrica, así como sucesiones especiales.

Construcción de sucesiones a partir de la regularidad.Resolución de problemas que implican identificar la re-

gularidad de sucesiones con progresión aritmética, geomé-trica o especial.

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Lección

4

Situación inicial

Explora y construye

Sucesiones de figuras

1 Dibuja los elementos que faltan en cada una de las sucesiones de la figura 1.4.2.

a

c

2 Utiliza las semillas para reproducir las sucesiones y construye los elementos correspondientes a los lugares 5° y 6° de cada sucesión.

3 En parejas, respondan Io siguiente sobre la sucesión a.

a) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la sucesión?

b) ¿Cómo se construye el tercer elemento de la sucesión a partir del segundo?

c) ¿Y el cuarto a partir del tercero?

d) ¿Qué regularidad observan en la sucesión? Descríbanla.

4 En grupo, expliquen cómo construir un elemento de la sucesión a a partir del elemento que lo antecede.

5 En parejas, respondan lo siguiente respecto a la sucesión b.

a) ¿Cómo construyeron el cuarto elemento de la sucesión?

b) ¿Cómo se construye cada elemento de la sucesión a partir del elemento que

lo antecede?

b

Figura 1.4.2

A las colecciones infi nitas de números o fi guras ordenados a partir de una regla se les llama sucesiones.


Bloque

1

36

Construcción de sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formu-lación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de fi guras.

4. Sucesiones

Con semillas

En equipos de cuatro, realicen lo siguiente.

1 Lleven a clase aproximadamente medio kilogramo de frijoles o de alguna otra semilla.

2 Observen el siguiente ejemplo de una sucesión hecha de semillas (figura 1.4.1).

3 Divídanse en dos parejas y cada una proponga cómo construir una nueva suce-sión cuyos elementos sean arreglos de semillas.

4 Construyan los primeros cuatro elementos de la sucesión que planteó la otra pareja.

5 Asegúrense de que las construcciones de la otra pareja sean correctas. Si no lo son, repítanles la explicación para que las rehagan.

a) ¿Qué entienden por sucesión?

b) Describan el primer elemento de la sucesión de la fi gura 1.4.1.

c) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la fi gura 1.4.1?

d) ¿Cómo se construye el tercer elemento?

e) ¿Observan alguna regularidad? Si es así, descríbanla.

Analiza

Situación inicial

Explora y construye

Figura 1.4.1



Explora y construye

SolucionarioSucesiones de figuras1. R. L.2. En la sucesión a, el quinto elemento tendrá 15 semillas, y el sexto,

21, acomodados en forma piramidal. En la Sucesión b, el quinto elemento tendrá 10 semillas y el sexto, 12. En la c, el quinto ele-mento tendrá 25 semillas y el sexto, 36.

3. a) Se coloca una columna de 2 frijoles a la izquierda del frijol inicial.

b) Se coloca una columna de 3 frijoles a la izquierda de la segunda columna.

c) Se coloca una columna de 4 frijoles a la izquierda de la tercera columna.

d) Se coloca un frijol, después se agrega una columna de 2 a la izquierda del primero; luego una de 3 a la izquierda de los anteriores, y así sucesivamente.

4. R. M. Se puede emplear el procedimiento anterior.5. a) Se colocan 8 frijoles en dos columnas juntas, de 4 frijoles

cada una. b) Se colocan dos frijoles, uno en cada columna.

¡El que sigue! Sucesiones de números o figuras.© T

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Bloque

1c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa cada elemento y el número de

frijoles que tiene la fila de su base?

d) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa cada elemento y su número de

filas horizontales?

d) ¿Qué relación hay entre el número de frijoles que se necesitan para construir

cada elemento de esta sucesión y el lugar que ocupa?

6 En grupo, expliquen cómo construir cualquier elemento de la sucesión b.

7 En parejas, respondan lo siguiente sobre la sucesión c.

a) ¿Con cuántos frijoles formaron al elemento que ocupa el tercer lugar de la

sucesión?


c) ¿Cómo se construye el segundo a partir del primero?

d) ¿Observan alguna regularidad en la sucesión? Descríbanla.

8 En grupo, expliquen cómo construir cada elemento de la sucesión c a partir del elemento que lo antecede.

9 Anota en cuál de las tres sucesiones la diferencia entre la cantidad de frijoles de dos

elementos consecutivos es siempre la misma.

10 En parejas, diseñen una sucesión de frijoles en la cual la cantidad de semillas siempre aumente lo mismo de elemento a elemento y dibújenla en su cuaderno.Comparen sus sucesiones y expliquen su construcción.

Sucesiones con progresión aritmética

1 En parejas, analicen la sucesión de números: 2, 4, 6, 8, 10, 12,… y respondan.

a) ¿Cuál es el primer elemento de la sucesión?

b) ¿Cómo se obtiene el tercer elemento de la sucesión a partir del segundo?

c) ¿Cómo se obtiene el cuarto a partir del tercero?

En una sucesión, la regla de regularidad es un enunciado que describe el patrón de comportamiento de los elementos de la sucesión, es decir, señala la manera como cambian los elementos en la sucesión.



Solucionarioc) La fila de la base siempre tiene 2 frijoles así que no hay re-

lación d) El número de filas de frijoles y el lugar que ocupa son iguales. e) El número de frijoles necesarios es el doble del lugar que

ocupa la figura.6. R. M.Se puede emplear el procedimiento anterior.7. a) 9 b) Se añaden 2 frijoles más en la base y se completa la pirámide. c) Se añaden 2 frijoles en la base y se completa la pirámide. d) El número de frijoles necesarios es el lugar que ocupa la

figura multiplicado por sí mismo. 8. R. M. Se puede emplear el procedimiento anterior.9. En la sucesión b.10. R. M. Una sucesión con esas características es la que se da

con la siguiente regla: primer paso, colocar un frijol; segun-do paso, agregar una columna de 2 frijoles a la derecha del frijol inicial; tercer paso, agregar una columna de 2 frijoles a la figura del paso dos, y así sucesivamente.

Sucesiones con progresión aritmética1. a) 2 b) Se suma 2. c) Se suma 2.

Espiral. Sucesiones de números o figuras. © T

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Lección

4d) ¿Escribe la regla de regularidad de la sucesión?

e) ¿Qué relación hay entre un número de la sucesión y el lugar que ocupa?

f) ¿Qué diferencia hay entre dos elementos consecutivos cualesquiera de la

sucesión?

g) Multipliquen el número que corresponde al lugar que ocupan los primeros 5

términos de la sucesión por el número que obtuvieron en el inciso anterior.

¿Qué observan?

2 En grupo, discutan cuál es la regla general para formar la sucesión anterior.

3 En parejas, analicen la siguiente sucesión: 6, 10, 14, 18, 22,…, y respondan.

a) ¿Qué número está en el lugar 10 de la sucesión?

b) ¿Qué número está en el lugar 20 de la sucesión?

c) ¿El número 37 pertenece a la sucesión anterior? Argumenten su respuesta.

d) ¿Qué relación hay entre un número de la sucesión y el lugar que ocupa en la

misma?

e) ¿Qué diferencia hay entre un elemento y su consecutivo en la sucesión?

f) Multipliquen el número que corresponde al lugar que ocupan los primeros 5

términos de la sucesión por el número que obtuvieron en el inciso anterior.

¿Qué observan?

g) ¿Qué número deben sumar o restar a los números que obtuvieron en el inciso

anterior para obtener la sucesión inicial?

4 En grupo, hagan lo siguiente.a) Discutan cuál es la regla general para formar la sucesión del ejercicio anterior.b) Propongan otras tres sucesiones donde la diferencia entre dos elementos

consecutivos sea constante y determinen sus reglas generales.

La regla general de una sucesión es una regla con la cual podemos determinar cual-quier elemento de la sucesión a partir de la posición que ocupa.

A las sucesiones que tienen una diferencia constante entre sus elementos consecuti-vos se les llama sucesiones con progresión aritmética. Por ejemplo, 4, 7, 10, 13, 16,… es una sucesión de esta clase, pues cada uno de sus elementos se obtiene al sumar 3 unidades al anterior.

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Bloque

1c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa cada elemento y el número de

frijoles que tiene la fila de su base?

d) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa cada elemento y su número de

filas horizontales?

d) ¿Qué relación hay entre el número de frijoles que se necesitan para construir

cada elemento de esta sucesión y el lugar que ocupa?

6 En grupo, expliquen cómo construir cualquier elemento de la sucesión b.

7 En parejas, respondan lo siguiente sobre la sucesión c.

a) ¿Con cuántos frijoles formaron al elemento que ocupa el tercer lugar de la

sucesión?


c) ¿Cómo se construye el segundo a partir del primero?

d) ¿Observan alguna regularidad en la sucesión? Descríbanla.

8 En grupo, expliquen cómo construir cada elemento de la sucesión c a partir del elemento que lo antecede.

9 Anota en cuál de las tres sucesiones la diferencia entre la cantidad de frijoles de dos

elementos consecutivos es siempre la misma.

10 En parejas, diseñen una sucesión de frijoles en la cual la cantidad de semillas siempre aumente lo mismo de elemento a elemento y dibújenla en su cuaderno.Comparen sus sucesiones y expliquen su construcción.

Sucesiones con progresión aritmética

1 En parejas, analicen la sucesión de números: 2, 4, 6, 8, 10, 12,… y respondan.

a) ¿Cuál es el primer elemento de la sucesión?

b) ¿Cómo se obtiene el tercer elemento de la sucesión a partir del segundo?

c) ¿Cómo se obtiene el cuarto a partir del tercero?

En una sucesión, la regla de regularidad es un enunciado que describe el patrón de comportamiento de los elementos de la sucesión, es decir, señala la manera como cambian los elementos en la sucesión.



Sugerencias didácticas Es importante verificar que los alumnos comprendan que las su-cesiones tienen una regla que define cómo obtener un término apartir de otro.

Solucionariod) Cada elemento es el anterior más 2.e) El número de la sucesión es el doble del lugar que ocupa.f) La diferencia es 2.g) Se obtiene la misma secesión: 2, 4, 6, 8,…

2. La sucesión se puede generar sumándole 2 al término anterior, o multiplicando por 2 la posición que ocupa el número.

3. a) 42b) 82c) No. Todos los números de la sucesión son pares.d) El número es igual al lugar que ocupa en la sucesión multipli-

cado por 4 más 2.e) El consecutivo es igual al anterior más 4.f) Se obtiene 4, 8, 12, 16, 20,…g) Se resta 2.

4. a) Cada término es igual al lugar que ocupa en la sucesión mul-tiplicado por 4 más 2.

b) Algunos ejemplos son:1, 5, 9, 13, 17,… 4n − 3 2, 6, 10, 14, 18,… 4n − 211, 15, 19, 23,… 4n + 7

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Bloque

1

40

5 En parejas, respondan lo siguiente.

a) ¿Cuáles son los primeros 10 elementos de la sucesión formada por los nú-

meros que son múltiplos de 5?

b) ¿El 19 es un número de esa sucesión? Justifica tu respuesta.

c) ¿Qué número se encuentra en el lugar 18 de la sucesión?

d) Encuentren la regla general de la sucesión y determinen qué número ocupa el lugar 79 de la sucesión.

6 En parejas, escriban lo siguiente.

a) Los primeros 10 elementos de la sucesión 4, 7, 10, 13, 16, …

b) ¿Cuál es la diferencia entre los elementos consecutivos de esta sucesión?

c) Determinen la regla general de la sucesión. Comparen su respuesta con las de otras parejas y corríjanla de ser necesario.

7 En grupo, y con ayuda de su profesor, escriban en su cuaderno un procedimiento para obtener la regla general de una sucesión.

Sucesiones con progresión geométrica

1 En parejas, analicen las siguientes sucesiones numéricas, comparen sus com-portamientos y respondan las preguntas.

• 2, 4, 6, 8, 10,… • 2, 4, 8, 16, 32,…

a) ¿Cuál o cuáles de estas sucesiones tienen progresión aritmética? Argumenten

su respuesta.

múltiplo de un número. Aquel que se ob-tiene al multiplicar ese número por un número natural (1, 2, 3, 4,…).

Glosario

Oprime en una calculadora básica la secuencia de teclas .El número que aparece es el primer elemento de una sucesión cuyos elementos suce-sivos se obtienen al oprimir las teclas … ¿Qué sucesiones se obtienen con las siguientes secuencias de teclas?

…

…

= = = …

Escribe una secuencia de teclas para obtener tu propia sucesión y compártela con un compañero.

Usa tu calculadora



SolucionarioUsa tu calculadoraLas sucesiones que se forman son:2, 20, 200, 2 000, 20 000,...1, 12, 22, 32, 42, 52, 62,...0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25,...5. a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

b) No. Todos los números acaban en 5 o en 0.c) 90d) La regla es 5n. El número 395 ocupa el lugar 79 ya que

5 × 79 = 395.6. a) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

b) 3c) 3n + 1

7. En una sucesión con progresión aritmética cada término (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado dife-rencia que se representa con d. Conociendo el primer término a

1, el enésimo término es a

n = a

1 +(n − 1) d.

Sucesiones con progresión geométrica1. a) La primera, ya que la diferencia entre sus elementos conse-

cutivos siempre es 2.

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Lección

4b) ¿Qué diferencia hay entre estas sucesiones?

2 Respondan lo siguiente sobre la segunda sucesión.

a) ¿Cómo puedes obtener el segundo término a partir del primero?

b) ¿Cómo puedes obtener el tercer término a partir del segundo?

c) ¿Cómo puedes obtener el cuarto término a partir del tercero?

d) Completa la segunda columna de la tabla 1.4.1 obteniendo el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión.

Término Cociente del término entre el término anterior

2

4

8

16

32

A las sucesiones que tienen un cociente constante entre sus términos consecutivos las llamamos sucesiones con progresión geométrica; por ejemplo:

• 3, 12, 48, 192,… • 4, 16, 64, 256,…

3 En grupo, discutan cómo se obtiene un elemento de una sucesión con progre-sión geométrica a partir del que lo antecede.

4 En parejas, observen las siguientes sucesiones y contesten. Justifiquen su res-puesta en cada caso.

• 3, 9, 27,… • 4, 12, 36,…

a) ¿Las sucesiones tienen progresión aritmética o geométrica?

b) ¿Qué tienen en común las sucesiones anteriores?

c) ¿Cuáles son sus diferencias?

5 Escriban la regla de regularidad de las sucesiones anteriores.

Tabla 1.4.1


Bloque

1

40


a) ¿Cuáles son los primeros 10 elementos de la sucesión formada por los nú-

meros que son múltiplos de 5?

b) ¿El 19 es un número de esa sucesión? Justifica tu respuesta.

c) ¿Qué número se encuentra en el lugar 18 de la sucesión?

d) Encuentren la regla general de la sucesión y determinen qué número ocupa el lugar 79 de la sucesión.

6 En parejas, escriban lo siguiente.

a) Los primeros 10 elementos de la sucesión 4, 7, 10, 13, 16, …

b) ¿Cuál es la diferencia entre los elementos consecutivos de esta sucesión?

c) Determinen la regla general de la sucesión. Comparen su respuesta con las de otras parejas y corríjanla de ser necesario.

7 En grupo, y con ayuda de su profesor, escriban en su cuaderno un procedimiento para obtener la regla general de una sucesión.

Sucesiones con progresión geométrica

1 En parejas, analicen las siguientes sucesiones numéricas, comparen sus com-portamientos y respondan las preguntas.

• 2, 4, 6, 8, 10,… • 2, 4, 8, 16, 32,…

a) ¿Cuál o cuáles de estas sucesiones tienen progresión aritmética? Argumenten

su respuesta.

múltiplo de un número. Aquel que se ob-tiene al multiplicar ese número por un número natural (1, 2, 3, 4,…).

Glosario

Oprime en una calculadora básica la secuencia de teclas .El número que aparece es el primer elemento de una sucesión cuyos elementos suce-sivos se obtienen al oprimir las teclas … ¿Qué sucesiones se obtienen con las siguientes secuencias de teclas?

…

…

= = = …

Escribe una secuencia de teclas para obtener tu propia sucesión y compártela con un compañero.

Usa tu calculadora



Solucionariob) En la primera la diferencia entre números consecutivos es

constante, y en la segunda no.2. a) Multiplicando el primero por 2.

b) Multiplicando el segundo por 2.c) Multiplicando el tercero por 2.d) Todos los cocientes son 2.

3. Multiplicando el elemento anterior por el cociente entre dos tér-minos consecutivos.

4. a) Tienen progresión geométrica. b) El cociente entre sus términos consecutivos es 3. c) Difieren término a término.5. a

n = 3n y b

n = 4(3n−1)

6. 8, 4, 2, 1, 12

.

7. Por ejemplo: a) 2, 4, 8, 16, 32,… b) 3, 12, 48, 192,… c) 4, 40, 400, 4 000,… d) 5, 25, 125, 625,… e) 10, 110, 1 210, 13 310,…

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Toma nota

Anota en tu Glosario matemático con tus palabras una descripción y un ejemplo de elemento de una sucesión.

1. Determina si las sucesiones 3, 6, 9,... y 6, 18, 54,... tienen progresión aritmética o geométrica y describe sus diferencias en tu cuaderno. Escribe las reglas de regulari-dad o general de cada una.

2. En tu cuaderno construye los primeros quince elementos de la sucesión formada por los múltiplos pares de 3. ¿Es una sucesión aritmética o geométrica? Explica tu respuesta.

3. Escribe los primeros 10 elementos de las sucesiones dadas por las siguientes reglas ge-nerales.

a) La posición que ocupa cada elemento se multiplica por 7 y se le resta 3 al resultado.

c) La posición de cada elemento se multiplica por 0.75 y se le suma 0.25.

b) La posición de cada elemento se multiplica por 23 y al resultado se le suma 13 .

Resuelve

Regresa y revisa

1 Analiza la sucesión de la figura 1.4.3 y responde las preguntas.

a) Describe cómo se construye esta sucesión.

b) Escribe los primeros 10 elementos de una sucesión numérica formada por

la cantidad de frijoles usados en la construcción de cada elemento de la

sucesión.

c) ¿Qué tipo de progresión tiene la sucesión que escribiste?

d) ¿Determina la regla general de la sucesión?

e) ¿Qué número se encuentra en el lugar 15 de la sucesión de números que

escribiste?

Situación inicial

Explora y construye

6 Ahora escriban los primeros cinco términos de la sucesión geométricas cuyo

primer término es 4 y donde el cociente entre dos términos consecutivos es 12

.

7 En grupo, escriban en el pizarrón al menos cinco sucesiones geométricas. Un compañero puede decir el término inicial y otro, la diferencia entre los térmi-nos consecutivos.

Figura 1.4.3



Regresa y revisa

1. a) Una manera es comenzando en 1 se suma 3 al término anterior para obtener el siguiente.

b) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,…c) Aritmética.d) 3n − 2e) 3 × 15 − 2 = 45 − 2 = 43

Resuelve1. La primera tiene progresión aritmética, la segunda, geométrica.2. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90. Es una

progresión aritmética, cada elemento se obtiene sumando 6 al anterior.

Selecciona la respuesta correcta.En su reporte científico, un biólogo determinó que el creci-miento de una planta, con los nutrientes y el crecimiento con-trolado, era el siguiente:

Día Crecimiento

1 2 cm

2 5 cm

3 8 cm

De acuerdo con la información, ¿qué tamaño tendrá la plan-ta en los días 7, 8 y 9?A) 11 cm, 14 cm, 17 cm.B) 14 cm, 16 cm, 18 cm.C) 20 cm, 23 cm, 26 cm.D) 20 cm, 21 cm, 22 cm.

Rumbo a Planea

Calcular o identificar el término dado en una sucesión. © T

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43

Lección

5

Regresa y revisa

Explicación del signifi cado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

5. Fórmulas geométricas y literales

La cenefa

Elvira quiere decorar con cenefa dorada el con-torno del marco que se muestra en la figura 1.5.1.

1 Responde lo siguiente.

a) ¿Cuántos metros de cenefa necesita para

el marco?

b) Si ella tiene otro marco de 120 cm por 60 cm,

¿cuán tos metros de cenefa necesita para

decorarlo?

Situación inicial

1. Responde lo siguiente.

a) ¿Habrá una expresión general para determinar los metros de cenefa necesarios para

decorar el contorno de cualquier marco rectangular?

b) Si es así, indica cuál es y explica cómo la obtuviste.

Analiza

Explora y construye

A partir de un rectángulo

1 Traza en tu cuaderno un rectángulo que tenga de largo el doble del ancho, compáralo con el de tus compañeros y contesta.

a) ¿Cuánto miden el largo y el ancho de tu rectángulo?

b) ¿Cuál es la diferencia entre los rectángulos que trazaron tus compañeros y

el tuyo?

2 Con rectángulos iguales a los que trazaste reproduce en tu cuaderno las cons-trucciones de las figuras 1.5.2 y 1.5.3.

67 cm

53

cm

Figura 1.5.1


Bloque

1

42

Toma nota

Anota en tu Glosario matemático con tus palabras una descripción y un ejemplo de elemento de una sucesión.

1. Determina si las sucesiones 3, 6, 9,... y 6, 18, 54,... tienen progresión aritmética o geométrica y describe sus diferencias en tu cuaderno. Escribe las reglas de regulari-dad o general de cada una.

2. En tu cuaderno construye los primeros quince elementos de la sucesión formada por los múltiplos pares de 3. ¿Es una sucesión aritmética o geométrica? Explica tu respuesta.

3. Escribe los primeros 10 elementos de las sucesiones dadas por las siguientes reglas ge-nerales.

a) La posición que ocupa cada elemento se multiplica por 7 y se le resta 3 al resultado.

c) La posición de cada elemento se multiplica por 0.75 y se le suma 0.25.

b) La posición de cada elemento se multiplica por 23 y al resultado se le suma 13 .

Resuelve

Regresa y revisa

1 Analiza la sucesión de la figura 1.4.3 y responde las preguntas.

a) Describe cómo se construye esta sucesión.

b) Escribe los primeros 10 elementos de una sucesión numérica formada por

la cantidad de frijoles usados en la construcción de cada elemento de la

sucesión.

c) ¿Qué tipo de progresión tiene la sucesión que escribiste?

d) ¿Determina la regla general de la sucesión?

e) ¿Qué número se encuentra en el lugar 15 de la sucesión de números que

escribiste?

Situación inicial

Explora y construye

6 Ahora escriban los primeros cinco términos de la sucesión geométricas cuyo

primer término es 4 y donde el cociente entre dos términos consecutivos es 12

.

7 En grupo, escriban en el pizarrón al menos cinco sucesiones geométricas. Un compañero puede decir el término inicial y otro, la diferencia entre los térmi-nos consecutivos.

Figura 1.4.3



Fórmulas geométricas y literales

Situación inicial

SolucionarioLa cenefa1. a) 2.4 m b) 3.6 m

Analiza1. a) y b) R. M. Sí. Sumar la longitud de sus lados. L = 2a + 2b.

Explora y construye

A partir de un rectángulo1. a) R. L. b) R. M. Rectángulos con diferentes medidas aunque propor-

cionales entre sí.2. R. L.

L 5

Antecedentes: Construcción de las fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros.

Resolución de problemas que impliquen calcular el perí-metro y el área de un rectángulo.

Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos.

Ideas erróneas: Es posible que algunos alumnos crean que en una fórmula sólo se pueden utilizar ciertas literales. En esta lección se mostrará que se puede utilizar cualquier lite-ral para representar una dimensión; puede explicarse a los alumnos que algunas se usan por convención o costumbre.

Todo depende… Significado de fórmulas geométricas.© T

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Bloque

1

44

3 Escribe en tu cuaderno un procedimiento para determinar el perímetro de cada una de las figuras que trazaste, sin medir sus lados y considerando sólo las di-mensiones del rectángulo inicial.

a) ¿Podrías calcular el perímetro de las figuras que trazaron tus compañeros

siguiendo el procedimiento que propones? Justifica tu respuesta.

Expresiones generales

1 Responde lo siguiente.a) Supón que los lados no paralelos de un rectángulo miden L y A. Dibuja en tu

cuaderno dos rectángulos diferentes y marca con esas letras cada uno de sus lados.

b) ¿Cuál sería el perímetro de cada rectángulo?

c) ¿Tu respuesta al inciso b es equivalente a la expresión 2L + 2A? ¿Por qué?

Glosario

perímetro.1. Contorno de una fi gura geométrica. 2. Medida de ese contorno.

La expresión 2a signifi ca “la suma de a más a” o “el producto de 2 por a”.La expresión ab signifi ca “el producto de a por b”.

a

Figura 1.5.3

b

c

Figura 1.5.2

a b



Solucionario3. R. M. Para obtener el perímetro de la figura a de la figura 1.5.2

se puede sumar 6 veces la medida del largo y 6 veces la del ancho. El perímetro de la figura b se obtiene sumando 4 veces el largo más 6 veces el ancho. El perímetro de la figura a de la figura 1.5.3 se obtiene sumando 2 veces el largo más 12 veces el ancho; la figura b se obtiene sumando 2 veces el largo más 22 veces el ancho, y la figura c se obtiene sumando 12 veces el largo más 2 veces el ancho.

a) R. M. Sí, los procedimientos no dependen de las medidas de los rectángulos sino sólo de la relación establecida entre el largo y el ancho.

Expresiones generales1. a) R. M.

b) L + L + A + A c) Sí, pues L + L = 2L y A + A = 2A, así que L + L + A + A =

2L + 2A.

A A

L L

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d) ¿Las fórmulas anteriores sirven para calcular el perímetro de cualquier rec-

tángulo? ¿Por qué?

e) Entonces, ¿qué valores pueden tomar L y A?

2 Discutan en grupo las respuestas a los dos últimos incisos.

3 Escribe una expresión general para calcular el área de un rectángulo.

a) ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyos lados no paralelos miden L y A?

4 Discutan las respuestas en grupo.


a) Si cambias la letra L por k y la letra A por m de los ejercicios 1 y 3:

• ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

• ¿Y el área?

b) Cambia la letra L y la letra A por letras diferentes y escribe el perímetro y el

área del rectángulo en términos de las letras que propusiste.

Glosario

área.1. Superfi cie de una fi gura, contenida por su perímetro.2. Medida de esa superfi cie.

Las letras que representan números se llaman literales.

6 En parejas, contesten lo siguiente.

a) Escriban una expresión para calcular el perímetro de un cuadrado cuyo

lado mide u unidades.

b) Expresen verbalmente la manera de obtener el área de un cuadrado.

c) Supongan que uno de los lados de un cuadrado mide a unidades. ¿Cuál

sería su área?

d) Si se sabe que un cuadrado tiene 5 unidades por lado, ¿cómo ocuparían la

expresión anterior para calcular su área?

7 En grupo, comenten cómo usarían la expresión del inciso c para calcular el área de cualquier cuadrado.

Lección

5


Bloque

1

44

3 Escribe en tu cuaderno un procedimiento para determinar el perímetro de cada una de las figuras que trazaste, sin medir sus lados y considerando sólo las di-mensiones del rectángulo inicial.

a) ¿Podrías calcular el perímetro de las figuras que trazaron tus compañeros

siguiendo el procedimiento que propones? Justifica tu respuesta.

Expresiones generales

1 Responde lo siguiente.a) Supón que los lados no paralelos de un rectángulo miden L y A. Dibuja en tu

cuaderno dos rectángulos diferentes y marca con esas letras cada uno de sus lados.

b) ¿Cuál sería el perímetro de cada rectángulo?

c) ¿Tu respuesta al inciso b es equivalente a la expresión 2L + 2A? ¿Por qué?

Glosario

perímetro.1. Contorno de una fi gura geométrica. 2. Medida de ese contorno.

La expresión 2a signifi ca “la suma de a más a” o “el producto de 2 por a”.La expresión ab signifi ca “el producto de a por b”.

a

Figura 1.5.3

b

c

Figura 1.5.2

a b



Solucionariod) Sí, pues sólo se necesitan las medidas de los lados y el cálculo

es el mismo.e) Cualquier valor.

2. R. L.3. Multiplicar la longitud de su largo por la de su ancho.

a) L × A o LA4. R. L.5. a) • 2k + 2m • km

b) R. M. a + b, ab; x + y, xy; l + t, lt.6. a) 4u b) Multiplicando la medida de su lado por sí mismo o eleván-

dola al cuadrado. c) a × a = a2

d) Sustituyendo la letra a por 5, es decir, 52 = 25.7. Se sustituye a por el valor de la longitud del lado del cuadrado,

y se hace la operación.

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Bloque

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46

8 Respondan lo siguiente.

a) Expresen verbalmente la manera de calcular el área de cualquier triángulo.

b) Escoge de las siguientes literales para representar cada uno de los elementos

que anotaste en el inciso anterior: c, d, e, f, g, w, y, z.

c) Escribe, con las literales que elegiste, una expresión que te permita calcular

el área de cualquier triángulo.

9 Reúnete con un compañero y haz lo siguiente.

a) Pídele que te explique con qué letras representó los elementos del triángulo.

b) Ocupa la expresión que escribió para calcular el área de un triángulo cuya

base mide 2 unidades y cuya altura mide 5 unidades.

c) Calcula la misma área, pero con la expresión que tú escribiste.

10 En grupo, comenten si el valor del área de un triángulo se ve afectada por las

literales que se ocupan en la fórmula y escriban sus conclusiones a continuación.

Perímetros y sucesiones

1 En parejas, resuelvan la siguiente secuencia.a) Escribe en las líneas el perímetro de los polígonos regulares que forman

las sucesiones de las figuras 1.5.4, 1.5.5 y 1.5.6. La medida de los lados de cada polígono está indicada en cada una de ellas y son en centímetros.

Figura 1.5.5

Figura 1.5.4

1 11 1

12

12

12

12

, , , , , , .

, , , , , , .



Sugerencias didácticas Para el ejercicio 8, se puede recordar al alumno que un triángulo tiene tres bases y tres alturas que se relacionan por parejas. Ge-neralmente se toma como base el lado horizontal del triángulo.

Solucionario8. a) Multiplicando la base y la altura correspondientes y dividien-

do el producto entre 2. b) R. M. c puede representar la base y f, la altura.

c) R. M. cf2

.

9. a) R. M. e puede representar la base y g la altura.

b) R. M. eg2

= 2 x 52

= 5u2.

c) R. M. cf2

= 2 x 52

= 5u2.

10. R. M. Una conclusión sería: el área no depende de las literales escogidas.

Perímetros y sucesiones1. a) • 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• 32

, 2, 52

, 3, 72

, 4, 92

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, , , , , , .

Lección

5

b) Respondan lo siguiente acerca del primer elemento de las sucesiones.

• ¿Cómo determinaron su perímetro?

• ¿Cuál sería el perímetro de la primera figura de las sucesiones si sus lados

midieran k unidades de longitud?

c) Respondan lo siguiente respecto al segundo elemento de las sucesiones.


• ¿Cuál es el área de estos polígonos?

• ¿Cuál sería el perímetro de la segunda figura de las sucesiones si sus lados

midieran k unidades de longitud?

• ¿Cuál sería su área?

d) Respondan lo siguiente acerca del tercer elemento de las sucesiones.


• ¿Cuál sería el perímetro de la tercera figura de las sucesiones si los lados

de cada polígono midieran k unidades de longitud?

e) Escriban los primeros diez elementos de la sucesión correspondiente a los

perímetros de los polígonos regulares cuyos lados miden k unidades.

2 A partir de su respuesta anterior, expliquen en grupo cómo obtener las sucesio-nes del ejercicio 1.

la siguiente página las fórmulas para calcular el perí-metro y el área de cuadrados y rec-tángulos. Resuelve los ejercicios y comprueba tus cálculos con los applets incluidos.

www.edutics.mx/oFK

(Consulta 22 de septiembre de 2015).

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2

Figura 1.5.6

22 22


Bloque

1

46


a) Expresen verbalmente la manera de calcular el área de cualquier triángulo.

b) Escoge de las siguientes literales para representar cada uno de los elementos

que anotaste en el inciso anterior: c, d, e, f, g, w, y, z.

c) Escribe, con las literales que elegiste, una expresión que te permita calcular

el área de cualquier triángulo.

9 Reúnete con un compañero y haz lo siguiente.

a) Pídele que te explique con qué letras representó los elementos del triángulo.

b) Ocupa la expresión que escribió para calcular el área de un triángulo cuya

base mide 2 unidades y cuya altura mide 5 unidades.

c) Calcula la misma área, pero con la expresión que tú escribiste.

10 En grupo, comenten si el valor del área de un triángulo se ve afectada por las

literales que se ocupan en la fórmula y escriban sus conclusiones a continuación.

Perímetros y sucesiones

1 En parejas, resuelvan la siguiente secuencia.a) Escribe en las líneas el perímetro de los polígonos regulares que forman

las sucesiones de las figuras 1.5.4, 1.5.5 y 1.5.6. La medida de los lados de cada polígono está indicada en cada una de ellas y son en centímetros.

Figura 1.5.5

Figura 1.5.4

1 11 1

12

12

12

12

, , , , , , .

, , , , , , .



Solucionario • 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

b) • Una manera es sumar la medida de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por tres.

• 3k c) • Una manera es sumar la medida de sus lados. También

se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por cuatro.

• 1 u2, 14

u2 y 4 u2, respectivamente. • 4k • k2

d) • Una manera es sumar las medidas de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por cinco.

• 5k e) 3k, 4k, 5k, 6k, 7k, 8k, 9k, 10k, 11k, 12k2. Multiplicando el número de lados por la longitud de uno de

ellos.

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Bloque

1

48

1 Retoma la actividad “A partir de un rectángulo” de las páginas 43 y 44.

a) Al largo y al ancho del rectángulo de la actividad 1 llámalos a y b, respectiva-mente. En la tabla 1.5.1, escribe el perímetro de cada una de las figuras de la actividad 2 en términos de a y b.

b) ¿Con estas fórmulas podrías calcular el perímetro de cada una de las figuras

que trazaron tus compañeros? ¿Por qué?

Regresa y revisa

PI P

IIP

IIIP

IVP

V

Toma nota

Anota en tu Glo-sario matemático, con tus palabras, una descripción y un ejemplo de cada uno de los siguien-tes conceptos:

• Fórmula geomé-trica

• Literal

1. Escribe, en la tabla 1.5.2, las fórmulas correspondientes a la siguiente fi gura y deter-mina el perímetro y el área para las medidas dadas.

Resuelve

Figura Fórmulas Datos (cm)Perímetro

(cm)Área(cm2)

P =

A =

a = 4 c = 4b = 4 h = 3.46

a = 7 c = 14b = 20 h = 3

a = 73.8 c = 65b = 30 h = 64.8

h

a

b

Situación inicial

1. Dado un rectángulo de largo t y de ancho w, escribe las siguientes expresiones.

a) El perímetro de un rectángulo que tenga el doble de largo.

b) El perímetro de un rectángulo que tenga el triple de ancho.

c) El área de un rectángulo con el doble de largo y el triple de ancho.

Refl exiona

c a

b

Tabla 1.5.2

Tabla 1.5.1

2. Escribe en tu cuaderno dos expresiones diferen-tes para calcular el perímetro de la fi gura 1.5.7. Después, verifi ca que se obtiene el mismo re-sultado con ambas para algunos valores de a y b que elijas. Figura 1.5.7


Reflexiona1. a) 4t + 2w

b) 2t + 6w c) 2t × 3w

Regresa y revisa

1. a)

PI

PII

PIII

PIV

PV

6a + 6b 4a + 6b 2a + 12b 7a + 12b 12a + 2b

b) R. M. Sí. Basta sustituir a por la medida de los largos, y b por la medida de los anchos de los rectángulos.

Resuelve1.

FórmulasPerímetro

(cm)Área(cm2)

P = a + b + c

A = bh2

12 6.92

41 30

168.8 972

2. R. M. 2a + 2b o a + a + b + b

Perímetros y áreas variables. Significado de fórmulas geométricas. ©

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Lección

6

Regresa y revisa

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

6. Figuras de tres y cuatro lados

Una tarea con un juego de geometría incompleto

Karla quiere trazar en su cuaderno un triángulo equilátero a partir de un segmento de recta que será uno de los lados. Sin embargo, sólo cuenta con un compás y una regla sin graduar. ¿Cómo lo trazarías con estas herramientas?

1 Responde y realiza lo siguiente.

a) Traza en tu cuaderno un segmento y a partir de él traza un triángulo equilátero

usando sólo regla y compás y escribe el procedimiento que usaste.

b) Compara tu procedimiento con el de tus compañeros y juntos establezcan un procedimiento en común.

2 Lleva a cabo los pasos y contesta.▶ Traza en tu cuaderno un segmento de recta, que será la base de un triángulo

equilátero. Señala con rojo dónde estarían los vértices de ese lado.▶ Traza una circunferencia con centro en uno de los extremos del segmento y

cuyo radio mida lo mismo que el segmento.

a) ¿Por qué el otro vértice del triángulo debe estar en algún punto de la circun-

ferencia que trazaste?

▶ Traza una circunferencia con centro en el otro extremo del segmento de recta y cuyo radio mida lo mismo que el segmento.

b) ¿Dónde se encuentra el otro vértice del triángulo?

▶ Traza el triángulo y después verifica con una regla graduada que sea equilátero.

Situación inicial

1. En grupo, discutan lo siguiente.a) ¿Qué semejanzas y diferencias hay entre este método y el procedimiento que tú

utilizaste.b) ¿Por qué con el procedimiento del ejercicio 2 se pueden construir dos triángulos

equiláteros diferentes?

Analiza

Glosario

segmento de recta. Porción de recta que queda delimi-tada por dos de sus puntos, llamados extremos del seg-mento.


Bloque

1

48

1 Retoma la actividad “A partir de un rectángulo” de las páginas 43 y 44.

a) Al largo y al ancho del rectángulo de la actividad 1 llámalos a y b, respectiva-mente. En la tabla 1.5.1, escribe el perímetro de cada una de las figuras de la actividad 2 en términos de a y b.

b) ¿Con estas fórmulas podrías calcular el perímetro de cada una de las figuras

que trazaron tus compañeros? ¿Por qué?

Regresa y revisa

PI P

IIP

IIIP

IVP

V

Toma nota

Anota en tu Glo-sario matemático, con tus palabras, una descripción y un ejemplo de cada uno de los siguien-tes conceptos:

• Fórmula geomé-trica

• Literal

1. Escribe, en la tabla 1.5.2, las fórmulas correspondientes a la siguiente fi gura y deter-mina el perímetro y el área para las medidas dadas.

Resuelve

Figura Fórmulas Datos (cm)Perímetro

(cm)Área(cm2)

P =

A =

a = 4 c = 4b = 4 h = 3.46

a = 7 c = 14b = 20 h = 3

a = 73.8 c = 65b = 30 h = 64.8

h

a

b

Situación inicial

1. Dado un rectángulo de largo t y de ancho w, escribe las siguientes expresiones.

a) El perímetro de un rectángulo que tenga el doble de largo.

b) El perímetro de un rectángulo que tenga el triple de ancho.

c) El área de un rectángulo con el doble de largo y el triple de ancho.

Refl exiona

c a

b

Tabla 1.5.2

Tabla 1.5.1

2. Escribe en tu cuaderno dos expresiones diferen-tes para calcular el perímetro de la fi gura 1.5.7. Después, verifi ca que se obtiene el mismo re-sultado con ambas para algunos valores de a y b que elijas. Figura 1.5.7


Figuras de tres y cuatro lados

Situación inicial

SolucionarioUna tarea con un juego de geometría incompleto1. a) R. M. Una vez trazado el segmento se coloca la punta del

compás en un extremo y se traza un círculo con radio igual a la longitud del segmento, se coloca la punta en el otro extremo y se traza otro círculo. Finalmente se une cada ex-tremo del segmento con el mismo punto de intersección de los círculos.

b) R. L. 2. a) Porque en un triángulo equilátero los tres lados miden

lo mismo, y todos los puntos de la circunferencia tienen la misma distancia hacia el centro que, en este caso, es igual a la medida del lado del triángulo.

b) En la intersección de las dos circunferencias.

Analiza1. a) R. L. b) Porque hay dos puntos de intersección entre las circunfe-

rencias trazadas.

L 6

Antecedentes: Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláte-ros que se forman al unir dos triángulos.

Clasificación de cuadriláteros con base en sus caracterís-ticas (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría).

Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros.

Pasos para la construcción de un triángulo equilátero. Trazo de triángulos y cuadriláteros.©

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Bloque

1

50

Trazo de triángulos

En esta sección harás los trazos que se indican utilizando únicamente las herramien-tas solicitadas en cada caso.

Triángulos equiláteros

1 En parejas, tracen en su cuaderno, con regla graduada, un triángulo equilátero cuyos lados midan 4 cm cada uno.

2 Comenten en grupo las dificultades para hacer el ejercicio anterior.


a) ¿Para qué sirve el transportador?

b) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo de la situación inicial?

4 Tracen en su cuaderno un triángulo equilátero cuyos lados midan 5 cm con transportador y regla graduada.

5 Describan en su cuaderno el procedimiento que utilizaron.

6 El juego de geometría incluye dos escuadras como las de la figura 1.6.1. Mi-dan con el transportador los ángulos de cada una y anoten sus valores en la figura.

Explora y construye

Figura 1.6.1

7 En parejas, tracen en su cuaderno, con escuadras y regla graduada, un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

8 En grupo, discutan las ventajas de cada uno de los siguientes procedimientos para trazar un triángulo equilátero. Después respondan las preguntas.

• Con compás y regla sin graduar.• Con transportador y regla graduada.• Con escuadras y regla graduada.

a) ¿Los ángulos de cualquier triángulo equilátero miden lo mismo?

b) ¿Cómo validarían la respuesta anterior?


Explora y construye

SolucionarioTrazo de triángulosTriángulos equiláteros1. R. L.2. R. L.3. a) Para medir ángulos.

b) 60 grados (60°).4.

5. R. M. Se puede trazar un segmento de recta de 5 cm y luego, desde uno de sus extremos, otro de 5 cm a 60° del primero con ayuda del transportador. Por último, se traza el tercer lado uniendo los extremos libres de los otros dos lados.

6. La primera escuadra de la figura 1.6.1 tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°; la segunda escuadra tiene un ángulo de 30°, uno de 60° y otro de 90°.

7. Se puede utilizar el método de la actividad 5, pero en lugar de transportador se usa la escuadra que tiene un ángulo de 60°.

8. R. L.a) Sí, 60°.b) R. M. Haciendo algunos triángulos equiláteros de diferentes

tamaños y verificando que sus ángulos midan lo mismo.

5 cm

5 cm5 cm

Los ángulos en las escuadras. Trazo de triángulos y cuadriláteros. ©

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Lección

6Triángulos isósceles

1 Traza en tu cuaderno, con regla graduada y escuadras, un triángulo isósceles cuyo lado diferente mida 6 cm y sus ángulos iguales sean de 45°.

2 Revisa tu trazo con un compañero y escriban las medidas de los lados iguales y

el ángulo diferente del triángulo.

3 En grupo, discutan por qué en todos los triángulos trazados deberían obtenerse las mismas medidas.

4 En equipos, tracen en su cuaderno, con regla graduada y transportador, tres triángulos isósceles. Para ello, observen la tabla 1.6.1 y sigan las indicaciones.

Triángulo

Medida I II III

Ángulo diferente de cada triángulo

55° 55° 55°

Lados iguales de cada triángulo

4 cm 5.5 cm 9 cm

Ángulos iguales de cada triángulo

Lado diferente de cada triángulo

Explora y construye

▶ Tracen los tres triángulos con las medidas dadas.▶ Midan los ángulos y lados de los triángulos y completen la tabla anterior.

5 Propongan otra longitud para los lados iguales de un triángulo isósceles con la misma medida del ángulo diferente del cuadro anterior y tracen el triángulo.

6 Comparen el ejercicio anterior con el de otro equipo y observen cómo son los lados y los ángulos de los triángulos que ellos trazaron.

7 En grupo, discutan lo siguiente.

a) Dado un ángulo, ¿cuántos triángulos isósceles se pueden trazar si consideran

que ese ángulo se encuentra entre los lados iguales? Expliquen.

b) Dado el ángulo que se encuentra entre los lados iguales de un triángulo isós-

celes, ¿cambiará la medida de los otros dos ángulos si cambia la longitud de

esos lados?

8 Escriban cuáles son las medidas mínimas que deben conocerse para trazar un

triángulo isósceles determinado.

Tabla 1.6.1 Medidas de tres triángulos isósceles.


Bloque

1

50

Trazo de triángulos

En esta sección harás los trazos que se indican utilizando únicamente las herramien-tas solicitadas en cada caso.

Triángulos equiláteros

1 En parejas, tracen en su cuaderno, con regla graduada, un triángulo equilátero cuyos lados midan 4 cm cada uno.

2 Comenten en grupo las dificultades para hacer el ejercicio anterior.


a) ¿Para qué sirve el transportador?

b) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo de la situación inicial?

4 Tracen en su cuaderno un triángulo equilátero cuyos lados midan 5 cm con transportador y regla graduada.

5 Describan en su cuaderno el procedimiento que utilizaron.

6 El juego de geometría incluye dos escuadras como las de la figura 1.6.1. Mi-dan con el transportador los ángulos de cada una y anoten sus valores en la figura.

Explora y construye

Figura 1.6.1

7 En parejas, tracen en su cuaderno, con escuadras y regla graduada, un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

8 En grupo, discutan las ventajas de cada uno de los siguientes procedimientos para trazar un triángulo equilátero. Después respondan las preguntas.

• Con compás y regla sin graduar.• Con transportador y regla graduada.• Con escuadras y regla graduada.

a) ¿Los ángulos de cualquier triángulo equilátero miden lo mismo?

b) ¿Cómo validarían la respuesta anterior?


SolucionarioTriángulos isósceles1. R. M. Se puede trazar un segmento de 6 cm y, con ayuda de

la escuadra que tiene un ángulo de 45°, trazar un segmento desde cada vértice del segmento inicial a 45°. La intersección de los dos segmentos forma el tercer vértice del triángulo.

2. El ángulo diferente mide 90° y los lados iguales miden 4.2 cm.3. R. M. El lado y los ángulos dados determinan el vértice opues-

to del triángulo y, con ello, la medida de los otros lados y el ángulo que se forma entre ambos.

4. Triángulo

Medida I II III

Ángulos igualesde cada triángulo

62.5° 62.5° 62.5°

Lado diferentede cada triángulo

3.7 cm 5 cm 8.3 cm

5. R. L.6. Los ángulos de los cuatro triángulos miden uno a uno lo mismo.7. a) Una infinidad de triángulos. b) No, siempre mide lo mismo.8. Los tres lados, dos lados y un ángulo comprendido entre sus

lados, y dos ángulos y un lado comprendido entre los ángulos.

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Triángulos escalenos

1 Construye en tu cuaderno, con regla graduada y compás, un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 8 cm.

2 Explica tu construcción del ejercicio anterior a tres compañeros y comparen sus

construcciones. ¿Qué observan?

3 Traza en tu cuaderno, con escuadra y transportador, un triángulo cuyos ángulos midan 15°, 25° y 140° y compáralo con los trazados por dos compañeros.

4 Discutan en grupo cuántos triángulos se pueden obtener en los ejercicios 1 y 3, respectivamente.

5 En grupo, analicen cuántos triángulos se pueden trazar a partir de las siguientes características.a) Un ángulo de 30° y otro de 70°, que comparten un lado de 4 cm.b) Un lado de 4 cm y otro de 7.5 cm que formen un ángulo de 37°.

Llama triada a un conjunto de tres números que correspondan a las longitudes de tres segmentos; por ejemplo, la triada (1, 2, 3) se refiere a segmentos que miden 1 cm, 2 cm y 3 cm.

6 En parejas, tracen en su cuaderno, con el juego de geometría, los triángulos co-rrespondientes a cada una de las siguientes triadas: (5, 3, 3), (6, 3, 7) y (4, 6, 5).

7 En grupo, expliquen por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas.• Con una triada de la forma (a, a, a) no es posible construir un triángulo escaleno.• Es posible construir un triángulo rectángulo con una triada de la forma

(a, a, b).

Trazo de cuadriláteros

En esta sección también deberás hacer los trazos que se indican utilizando única-mente las herramientas solicitadas en cada caso.

Cuadrados


a) Si el lado del cuadrado A mide 3 cm y el del cuadrado B mide 5 cm, ¿entonces

los ángulos del cuadrado A son de menor tamaño que los del cuadrado B?

¿Por qué?

2 Planteen un procedimiento para trazar un cuadrado de 4 cm con una regla gra-duada y escuadras, y llévenlo a cabo.

3 Discutan sus procedimientos en grupo.



SolucionarioTriángulos escalenos1. Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm.

Con ayuda del compás, trazar una circunferencia de 6 cm de radio y centro en uno de los extremos del segmento. Luego trazar una circunferencia de 8 cm de radio y centro en el otro extremo del segmento. Uno de los dos puntos de intersección de las circunferencias será el tercer vértice del triángulo.

2. Que todos los triángulos tienen las mismas medidas.3. R. L.4. En el ejercicio 1 se puede obtener un solo triángulo. En el 3

no hay límite, pues se puede cambiar la medida de uno de los lados del triángulo y la medida de los otros lados también cambia.

5. a) Sólo se puede trazar uno.b) Sólo se puede trazar uno.

6. R. M. Basta repetir la construcción desarrollada en el ejercicio 1, con las medidas señaladas.

7. • Con la tríada (a, a, a) sólo se puede construir triángulos equi-láteros puesto que los tres lados son iguales.

• Los segmentos que miden a unidades tienen que ser perpen-diculares; esta medida determina la medida de b.

Trazo de cuadriláterosCuadrados1. No. Porque los cuatro ángulos de un cuadrado miden 90°.2. R. M. Una posible construcción sería: trazar un segmento de

4 cm con la regla; con la escuadra, trazar dos segmentos per-pendiculares de 4 cm que tengan como extremos los del seg-mento inicial y que vayan en el mismo sentido (se puede usar la regla como apoyo de la escuadra, de modo que la primera quede justo junto al segmento inicial), y trazar el lado restante para obtener un cuadrado.

3. R. L.

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Lección

6 4 Carlos trazó un cuadrado usando sólo un compás y una regla sin graduar. Para

ello, partió de un segmento de recta al que llamó AB, que sería uno de los lados del cuadrado (en la figura 1.6.2, corresponde al segmento azul). Lee los pasos que siguió para obtener un lado adyacente al primero y analízalos en la figura.

▶ Prolongar con rojo el segmento AB por ambos extremos, con longitudes al me-nos iguales a la de dicho segmento.

▶ Trazar una circunferencia (de color verde) con centro en A y con un radio que mida menos que AB.

▶ Llamar C y D a los puntos donde la circunferencia corta al segmento AB y su prolongación.

▶ Trazar dos circunferencias de radio CD: una con centro en C y otra con centro en D.▶ Trazar una recta sobre los puntos donde se cortan las dos circunferencias de

igual tamaño. ▶ Trazar otra circunferencia con centro en A y radio AB. ▶ Marcar el punto de intersección de la circunferencia con la última recta trazada

y llamarlo E.

Glosario

lados adyacentes. Aquellos que com-parten un vértice.


a) ¿Cómo es el ángulo entre el segmento AB y la última recta trazada?

b) ¿Cómo son entre sí ambas rectas?

c) ¿Por cuál punto pasa la última recta trazada?

d) ¿Por qué el segmento AE mide lo mismo que el segmento AB?

e) ¿Qué parte de la última recta trazada corresponde al nuevo lado del cuadrado?

6 Con base en el procedimiento de Carlos, traza en tu cuaderno un cuadrado de 6 cm de lado.

7 Verifica que las propiedades de esta figura geométrica se cumplan respecto a la longitud de sus lados, así como la dimensión de sus ángulos. Si no es así, revisa la actividad con un compañero cuyos trazos sí las cumplan.

8 Revisen en grupo las dudas respecto a la construcción anterior.

D A C B

E

Figura 1.6.2

www.edutics.mx/oFR

las condiciones para construir triángulos. Ade-más, en esta página encontrarás algu-nos applets donde podrás trazar algu-nos de ellos.


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Bloque

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Triángulos escalenos

1 Construye en tu cuaderno, con regla graduada y compás, un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 8 cm.

2 Explica tu construcción del ejercicio anterior a tres compañeros y comparen sus

construcciones. ¿Qué observan?

3 Traza en tu cuaderno, con escuadra y transportador, un triángulo cuyos ángulos midan 15°, 25° y 140° y compáralo con los trazados por dos compañeros.

4 Discutan en grupo cuántos triángulos se pueden obtener en los ejercicios 1 y 3, respectivamente.

5 En grupo, analicen cuántos triángulos se pueden trazar a partir de las siguientes características.a) Un ángulo de 30° y otro de 70°, que comparten un lado de 4 cm.b) Un lado de 4 cm y otro de 7.5 cm que formen un ángulo de 37°.

Llama triada a un conjunto de tres números que correspondan a las longitudes de tres segmentos; por ejemplo, la triada (1, 2, 3) se refiere a segmentos que miden 1 cm, 2 cm y 3 cm.

6 En parejas, tracen en su cuaderno, con el juego de geometría, los triángulos co-rrespondientes a cada una de las siguientes triadas: (5, 3, 3), (6, 3, 7) y (4, 6, 5).

7 En grupo, expliquen por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas.• Con una triada de la forma (a, a, a) no es posible construir un triángulo escaleno.• Es posible construir un triángulo rectángulo con una triada de la forma

(a, a, b).

Trazo de cuadriláteros

En esta sección también deberás hacer los trazos que se indican utilizando única-mente las herramientas solicitadas en cada caso.

Cuadrados


a) Si el lado del cuadrado A mide 3 cm y el del cuadrado B mide 5 cm, ¿entonces

los ángulos del cuadrado A son de menor tamaño que los del cuadrado B?

¿Por qué?

2 Planteen un procedimiento para trazar un cuadrado de 4 cm con una regla gra-duada y escuadras, y llévenlo a cabo.

3 Discutan sus procedimientos en grupo.



Solucionario4. R. L.5. a) Es un ángulo recto. b) Perpendiculares. c) Por el punto A. d) Porque E es un punto de la circunferencia con centro en A,

es decir, AE es un radio de la circunferencia, al igual que AB. e) El segmento AE.6.

7. R. L.8. R. L.

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Rectángulos 1 Supón que cuentas con un transportador y una regla graduada y quieres trazar

un rectángulo.

a) ¿Qué propiedad de los rectángulos justifica el uso del transportador?

b) Traza con estos instrumentos un rectángulo cuyos lados midan 5 y 7 cm en tu cuaderno.

c) Escribe un procedimiento para trazar un rectángulo con transportador y regla graduada, con las medidas de sus lados dadas y verifícalo en tu cuaderno.

Deltoides y rombos

1 Realiza el procedimiento siguiente y responde. ▶ Traza un segmento AB de 5 cm en el centro de una hoja de tu cuaderno.▶ Sobre el segmento AB traza dos circunferencias, una con centro en A y otra con

centro en B, cuyos radios cumplan lo siguiente.• Que midan lo mismo.• Que su longitud sea mayor que la mitad de la del segmento AB, de modo que

las circunferencias se intersequen en dos puntos.▶ Marca el punto de intersección de las circunferencias que se encuentra por arriba

del segmento AB y llámalo C.▶ Traza otras dos circunferencias cuyos radios midan lo mismo, con centro en

cada uno de los extremos del segmento AB; la longitud de los radios debe ser mayor que la de los radios de las otras circunferencias.

▶ Marca el punto de intersección de ambas circunferencias que se encuentra por debajo del segmento AB y llámalo D.

▶ Traza con rojo los segmentos AC, CB, BD y DA.

a) ¿Qué forma tiene el cuadrilátero que construiste? Describe sus lados y ángulos.

b) ¿Cómo son los lados y ángulos de un rombo?

2 La figura que trazaste en el ejercicio 1 se llama deltoide. Con base en el proce-dimiento que permite trazar un deltoide escribe en tu cuaderno los pasos para construir un rombo.

3 Después, en grupo, revisen este procedimiento.

4 Lee lo siguiente y responde: “en un cuadrilátero, una diagonal es la recta que

va de un vértice al otro que no se encuentra en un lado adyacente”. ¿Cuántas

diagonales tiene un rombo?



SolucionarioRectángulos1. a) La medida de sus ángulos.

b) R. L. c) R. M. Una construcción correcta sería: trazar un segmento

de 5 cm; con la regla y el transportador trazar segmentos perpendiculares de 7 cm que tengan como extremos los del segmento inicial y que vayan en el mismo sentido, y trazar el lado restante.

Deltoide y rombo1. a) Tiene dos pares de lados iguales. Tiene un par de ángulos

opuestos iguales y los otros dos son diferentes.b) Los lados de un rombo son todos iguales y sus ángulos

opuestos miden lo mismo.2. R. M. Una posible construcción, a partir del procedimiento del

ejercicio 1, es usar sólo uno de los pares de circunferencias cuyo radio es el mismo y unir sus puntos de intersección con los extremos del segmento.

3. R. L.4. Un rombo tiene dos diagonales.

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Lección

6 5 En parejas, revisen los trazos del ejercicio anterior y digan de qué cuadrilátero

se trata.

6 En grupo, discutan y escriban el procedimiento para trazar un rombo.

7 Haz lo siguiente.▶ Marca los puntos medios de los lados del cuadrado y del rectángulo de la figura

1.6.3.▶ Une los puntos marcados con los puntos de los lados adyacentes.▶ Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros resultantes.

Figura 1.6.3

Figura 1.6.4

8 En parejas, respondan.

a) ¿Qué figura obtuvieron dentro del cuadrado?

b) ¿Qué figura obtuvieron dentro del rectángulo?

9 En grupo, discutan y escriban en su cuaderno cuáles son las diferencias y simili-tudes entre un cuadrado y un rombo respecto a sus lados, ángulos y diagonales.

Romboides

1 Prueba este procedimiento para trazar rectas paralelas usando dos escuadras:▶ Mantén fija una de las escuadras. ▶ Coloca la otra escuadra de manera que uno de sus lados se deslice sobre un lado

de la escuadra fija, como se muestra en la figura 1.6.4.▶ Traza una recta con alguno de los lados de la escuadra móvil que no está en

contacto con la escuadra fija. ▶ Arrastra la escuadra móvil sobre la fija y traza otras rectas paralelas a la primera.

2 Traza en tu cuaderno un romboide cuyos lados iguales midan 4 cm y 7 cm, res-pectivamente.

3 En grupo, discutan y escriban un procedimiento para trazar, con regla gra-

duada y dos escuadras, un romboide cuyos lados iguales están dados.

4 En parejas, tracen en su cuaderno el romboide y midan sus ángulos internos.

Traza en tu cuaderno un romboide cuyos lados iguales midan 4 cm y 7 cm, res-


Bloque

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54

Rectángulos 1 Supón que cuentas con un transportador y una regla graduada y quieres trazar

un rectángulo.

a) ¿Qué propiedad de los rectángulos justifica el uso del transportador?

b) Traza con estos instrumentos un rectángulo cuyos lados midan 5 y 7 cm en tu cuaderno.

c) Escribe un procedimiento para trazar un rectángulo con transportador y regla graduada, con las medidas de sus lados dadas y verifícalo en tu cuaderno.

Deltoides y rombos

1 Realiza el procedimiento siguiente y responde. ▶ Traza un segmento AB de 5 cm en el centro de una hoja de tu cuaderno.▶ Sobre el segmento AB traza dos circunferencias, una con centro en A y otra con

centro en B, cuyos radios cumplan lo siguiente.• Que midan lo mismo.• Que su longitud sea mayor que la mitad de la del segmento AB, de modo que

las circunferencias se intersequen en dos puntos.▶ Marca el punto de intersección de las circunferencias que se encuentra por arriba

del segmento AB y llámalo C.▶ Traza otras dos circunferencias cuyos radios midan lo mismo, con centro en

cada uno de los extremos del segmento AB; la longitud de los radios debe ser mayor que la de los radios de las otras circunferencias.

▶ Marca el punto de intersección de ambas circunferencias que se encuentra por debajo del segmento AB y llámalo D.

▶ Traza con rojo los segmentos AC, CB, BD y DA.

a) ¿Qué forma tiene el cuadrilátero que construiste? Describe sus lados y ángulos.

b) ¿Cómo son los lados y ángulos de un rombo?

2 La figura que trazaste en el ejercicio 1 se llama deltoide. Con base en el proce-dimiento que permite trazar un deltoide escribe en tu cuaderno los pasos para construir un rombo.

3 Después, en grupo, revisen este procedimiento.

4 Lee lo siguiente y responde: “en un cuadrilátero, una diagonal es la recta que

va de un vértice al otro que no se encuentra en un lado adyacente”. ¿Cuántas

diagonales tiene un rombo?



Solucionario5. De un rombo.6. R. L.7.

8. a) Un cuadrado. b) Un rombo.9. R. M. En el cuadrado y en el rombo todos los lados miden lo

mismo. Todos los ángulos de un cuadrado miden 90°, mientras que en un rombo los ángulos opuestos miden lo mismo, pero su medida es distinta respecto al otro par. Las diagonales de un cuadrado miden lo mismo, mientras que las de un rombo son distintas. En ambos cuadriláteros las diagonales son per-pendiculares.

Romboides1. R. L.2.

3. R. M. Un procedimiento sería: trazar un segmento de 4 cm, con el procedimiento descrito en 1 trazar desde cada extremo del segmento de 4 cm un segmento de 7 cm, que sean paralelos, y trazar el lado restante.

4. R. L.

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5 En grupo, discutan un procedimiento para trazar un romboide, de manera que dos de sus ángulos sean de 75° y 105°, y dos de sus lados midan 4 cm y 7 cm.

Trapecios

1 En equipos de tres, hagan lo siguiente.a) Tracen tres triángulos isósceles con dos lados de 7 cm y uno de 6 cm usando

compás y regla graduada.b) Con cada uno de los triángulos anteriores tracen un trapecio isósceles cuya

base mayor sea de 6 cm. El primer trapecio debe tener una altura de 2 cm; el segundo, una de 3 cm, y el último, una de 4 cm. Usen escuadras y regla graduada.

c) Obtengan la base menor de los tres.

2 En grupo, verifiquen que obtuvieron las longitudes correctas de las bases me-nores; de lo contrario, revisen en qué parte del procedimiento se equivocaron.

1. Discutan en grupo si cada una de las siguientes afi rmaciones es verdadera o falsa y justifi quen cada respuesta.

a) Con dos segmentos de recta se puede trazar un único triángulo.b) Se puede construir un único triángulo si se conocen la longitud de su base y su altura.

Refl exiona

Regresa y revisa

1 En equipos, analicen los trazos que hicieron en la lección. Elaboren un cartel con una tabla de dos columnas: en la primera dibujen un instrumento del juego de geometría y en la segunda redacten sus aplicaciones en el trazo de triángulos y cuadriláteros. Incluyan todas las herramientas con las que trabajaron.

1. Traza en tu cuaderno los siguientes cuadriláteros, mide sus lados y ángulos, e iden-tifi ca de qué fi gura se trata en cada caso.

▶ Sus diagonales miden 5 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

▶ Sus diagonales miden 5 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

▶ Sus diagonales miden 5 cm y 8 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

▶ Sus diagonales miden 5 cm y 8 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

2. Una diagonal siempre divide a un cuadrilátero en dos triángulos. Si esos triángulos son equiláteros, ¿de qué tipo de cuadrilátero estamos hablando? ¿Hay varias posi-bles respuestas a esta pregunta?

Resuelve

Situación inicial



Solucionario5. R. M. Una construcción sería: trazar un segmento de 4 cm;

con ayuda del transportador, desde uno de sus extremos trazar una segmento de 7 cm a 75°; trazar otro segmento de 7 cm a 105° desde el otro extremo del primer segmento, y trazar el segmento restante.

Trapecios1. a) R. L. b) R. L. c) Las bases menores son aproximadamente: 4.1 cm, 3.2 cm

y 2.2 cm, respectivamente.

Reflexiona1. a) Es falsa. Con distintos ángulos entre los dos segmentos se

obtienen distintos triángulos. b) Es falsa. Se puede desplazar la colocación del tercer vértice

de modo que se obtengan triángulos distintos.

Regresa y revisa

1. R. L.

Resuelve1. a) Un cuadrado. b) Un rectángulo. c) Un rombo. d) Un romboide.2. El cuadrilátero sería un rombo en el que una de las diagonales

mide lo mismo que los lados de los triángulos. No hay ninguna otra respuesta posible.

Lo que sí se puede y lo que no. Trazo de triángulos y cuadriláteros. ©

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Lección

7

Regresa y revisa

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

7. Las líneas notables del triángulo

Distancia equitativa en un servicio

Se desea construir un hospital en la zona costera que se muestra en la figura 1.7.1, el cual debe estar a la misma distancia de los tres poblados señalados con las letras A, B y C. ¿Dónde debería situarse el hospital?

Situación inicial

Figura 1.7.1

A

B

C

1. Responde.

a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que forman los tres poblados?

b) ¿Qué tipo de triángulo es?

c) ¿Cómo encontrarías el punto donde se debe ubicar el hospital?

Analiza


Bloque

1

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5 En grupo, discutan un procedimiento para trazar un romboide, de manera que dos de sus ángulos sean de 75° y 105°, y dos de sus lados midan 4 cm y 7 cm.

Trapecios

1 En equipos de tres, hagan lo siguiente.a) Tracen tres triángulos isósceles con dos lados de 7 cm y uno de 6 cm usando

compás y regla graduada.b) Con cada uno de los triángulos anteriores tracen un trapecio isósceles cuya

base mayor sea de 6 cm. El primer trapecio debe tener una altura de 2 cm; el segundo, una de 3 cm, y el último, una de 4 cm. Usen escuadras y regla graduada.

c) Obtengan la base menor de los tres.

2 En grupo, verifiquen que obtuvieron las longitudes correctas de las bases me-nores; de lo contrario, revisen en qué parte del procedimiento se equivocaron.

1. Discutan en grupo si cada una de las siguientes afi rmaciones es verdadera o falsa y justifi quen cada respuesta.

a) Con dos segmentos de recta se puede trazar un único triángulo.b) Se puede construir un único triángulo si se conocen la longitud de su base y su altura.

Refl exiona

Regresa y revisa

1 En equipos, analicen los trazos que hicieron en la lección. Elaboren un cartel con una tabla de dos columnas: en la primera dibujen un instrumento del juego de geometría y en la segunda redacten sus aplicaciones en el trazo de triángulos y cuadriláteros. Incluyan todas las herramientas con las que trabajaron.

1. Traza en tu cuaderno los siguientes cuadriláteros, mide sus lados y ángulos, e iden-tifi ca de qué fi gura se trata en cada caso.

▶ Sus diagonales miden 5 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

▶ Sus diagonales miden 5 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

▶ Sus diagonales miden 5 cm y 8 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

▶ Sus diagonales miden 5 cm y 8 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.

2. Una diagonal siempre divide a un cuadrilátero en dos triángulos. Si esos triángulos son equiláteros, ¿de qué tipo de cuadrilátero estamos hablando? ¿Hay varias posi-bles respuestas a esta pregunta?

Resuelve

Situación inicial



Las líneas notables del triángulo

Situación inicial

Sugerencias didácticas La mayoría de los alumnos desconocen lo que es la mediatriz de un segmento. Pregunte dónde estaría el hospital si sólo hubiera dos poblados, motivando la identificación de todos los posibles lugares.

SolucionarioDistancia equitativa en un servicioR. M. En el punto de intersección de las rectas que pasan de for-ma perpendicular por los puntos medios de dos de los segmen-tos que unen los poblados.

Analiza1. a) El ángulo ABC = 105°, BCA = 32° y CAB = 43°. b) Es un triángulo obtusángulo o escaleno. c) R. M. Trazar el triángulo que forman los tres poblados y la

mediatriz de 2 o 3 de sus lados.

L 7

Antecedentes: Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláte-ros que se forman al unir dos triángulos.

Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros.

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Ideas erróneas: El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen una altura, pues las otras dos coin-ciden con los lados.

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Bloque

1

58

▶ Traza con rojo la altura de los triángulos anteriores correspondiente a la base roja. Si para alguno de los triángulos no es posible hacerlo en el libro, cálcalo en una hoja para hacerlo en ella.

a) ¿Qué hiciste para trazar las alturas?

Alturas de un triángulo

1 En grupo, recuerden qué propiedades tienen los triángulos rectángulos, acután-gulos y obtusángulos. En el pizarrón, dibujen algunos ejemplos de cada uno.

2 Haz los siguientes trazos y responde.▶ Traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno equilátero, de manera que

en cada uno la base sea de color rojo; el lado izquierdo, verde, y el lado derecho, azul.

Explora y construye

La altura de un triángulo es el segmento de rec-ta que va de uno de sus vértices hasta el lado opuesto (o su prolongación) y es perpendicular a éste. Como un triángulo tiene tres lados y tres vértices, entonces también tiene tres alturas.

Ortocentro

Altura

Altura

Altura

Figura 1.7.2



Explora y construye

Sugerencias didácticas Para el ejercicio 1, de ser necesario, se le puede recordar al alum-no que un ángulo agudo mide menos de 90° y uno obtuso, más de 90°.

Para el ejercicio 2 se puede abordar la idea errónea 1, si ésta se presenta.

SolucionarioAlturas de un triángulo1. El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; en el acután-

gulo todos los ángulos son agudos, y el obtusángulo tiene un ángulo obtuso..

2. R. M. Hay que trazar, desde un vértice, un segmento perpen-dicular al lado opuesto. En el triángulo obtusángulo, cuando sea necesario hay que prolongar el segmento que es la base del triángulo.

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Lección

7

El punto en que se intersecan las alturas de un triángulo se llama ortocentro.

▶ Gira tu libro de manera que el segmento azul sea ahora la base de cada triángulo y traza con azul la altura correspondiente.

▶ Repite el procedimiento anterior suponiendo ahora que el lado verde es la base en cada triángulo y traza con verde la altura.

b) ¿En qué casos alguna altura está fuera del triángulo?

3 En parejas, comparen los triángulos y las alturas que trazaron. Analicen qué re-lación hay entre la clasificación del triángulo y la ubicación de las alturas.

4 Reúnanse con otra pareja y verifiquen que sus conclusiones del ejercicio ante-rior también se cumplan en los triángulos que ellos trazaron.

5 En cada triángulo trazado, prolonguen las alturas hasta que se intersequen.

Explora y construye

6 Completen la tabla 1.7.1.

TriánguloUbicación del ortocentro

respecto al triángulo

Equilátero

Rectángulo

Obtusángulo

7 En equipos de cinco integrantes, verifiquen que las conclusiones de la tabla se cumplen para todos los triángulos trazados.

8 En grupo, comenten y escriban por qué los resultados de la tabla se cumplen sin importar el tamaño de los triángulos.

Mediatrices en un triángulo

1 Haz los trazos que se indican a continuación en el recuadro de la página siguiente.▶ Traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno equilátero. La base de todos

debe ser roja, el lado izquierdo, verde, y el lado derecho, azul. ▶ Marca los vértices que corresponden al lado rojo de la siguiente manera: A y B

en el triángulo rectángulo, D y E en el obtusángulo, y G y H en el equilátero.▶ En cada triángulo, traza con una línea roja punteada la altura que corresponde a

la base de ese color.▶ Con tu juego de geometría, determina el punto medio del lado rojo. ▶ Traza con negro una recta paralela a la línea punteada que pase por el punto

medio que encontraste.

Tabla 1.7.1

www.edutics.mx/oFF

una animación donde puedes visualizar las dife-rentes ubicaciones del ortocentro.


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Bloque

1

58

▶ Traza con rojo la altura de los triángulos anteriores correspondiente a la base roja. Si para alguno de los triángulos no es posible hacerlo en el libro, cálcalo en una hoja para hacerlo en ella.

a) ¿Qué hiciste para trazar las alturas?

Alturas de un triángulo

1 En grupo, recuerden qué propiedades tienen los triángulos rectángulos, acután-gulos y obtusángulos. En el pizarrón, dibujen algunos ejemplos de cada uno.

2 Haz los siguientes trazos y responde.▶ Traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno equilátero, de manera que

en cada uno la base sea de color rojo; el lado izquierdo, verde, y el lado derecho, azul.

Explora y construye

La altura de un triángulo es el segmento de rec-ta que va de uno de sus vértices hasta el lado opuesto (o su prolongación) y es perpendicular a éste. Como un triángulo tiene tres lados y tres vértices, entonces también tiene tres alturas.

Ortocentro

Altura

Altura

Altura

Figura 1.7.2



Solucionario b) En el caso de los triángulos obtusángulos.3. R. M. En los triángulos rectángulos dos alturas son lados del

triángulo y la tercera está dentro; en los triángulos equiláteros las tres alturas están dentro del triángulo, y en los triángulos obtusángulos dos alturas están fuera del triángulo y una dentro.

4. R. L.5. R. L.6.

TriánguloUbicación del ortocentro


Equilátero Dentro

RectánguloEl ortocentro es el vértice de

los lados que forman el ángulo recto

Obtusángulo Fuera

7. R. L.8. R. M.La ubicación del ortocentro depende de los ángulos del

triángulo y no de las medidas de los lados.

Los puntos del triángulo. Puntos notables en un triángulo.© T

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▶ Marca el otro punto en que la recta negra corta al triángulo y llámalo P.


a) ¿En qué casos coinciden la línea punteada y la recta negra?

b) Completa la tabla 1.7.2.

Triángulo SegmentoLongitud del

segmento (cm)

RectánguloAP

BP

ObtusánguloDP

EP

EquiláteroGP

HP

c) ¿Cómo son entre sí en cada triángulo las longitudes de los segmentos traza-

dos desde el punto P a cada extremo del lado rojo?

d) Ahora, en cada triángulo toma un punto diferente a P sobre la recta negra,

llámalo Q y mide la longitud de los segmentos formados desde Q hasta cada

uno de los extremos de la base. ¿Qué observas?

e) Verifica si para cualquier otro punto sobre la recta negra pasa lo mismo.

Tabla 1.7.2


SolucionarioMediatrices de un triángulo1.

2. a) En el triángulo equilátero.b) R. L. Los datos dependen de los trazos del alumno.c) Son iguales.d) R. M. Que los segmentos desde Q a cada extremo miden

lo mismo.e) R. M. Sí pasa lo mismo, pues es la mediatriz.

A D GB E H

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Lección

7 3 En parejas, comparen sus triángulos y los trazos que hicieron. Analicen si en los

incisos anteriores obtuvieron los mismos resultados y escriban sus observaciones.

La recta negra que trazaron es la mediatriz del segmento rojo.

4 Repite el procedimiento del ejercicio 1 para trazar las mediatrices de los lados azul y verde de cada triángulo; prolonga las 3 mediatrices hasta que se intersequen.

El punto en que se intersecan las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.

5 Completa la tabla 1.7.3.

TriánguloUbicación del circuncentro


Equilátero

Rectángulo

Obtusángulo

6 En equipos de cinco integrantes, verifiquen que las conclusiones de la tabla 1.7.3

se cumplan para todos los triángulos trazados.

7 En parejas, tracen en su cuaderno un triángulo rectángulo, un equilátero y un obtusángulo diferentes a los que trazaron en el ejercicio 1. Obtengan el orto-centro y circuncentro de cada uno.

8 En grupo, establezcan en qué triángulos coinciden estos puntos y escríbanlos a

continuación.

9 En parejas, tracen en su cuaderno un triángulo rectángulo que sea isósceles. Mar-quen sus tres alturas y sus tres mediatrices. Prolónguelas hasta que se intersequen.

Tabla 1.7.3

La mediatriz de un triángulo es la recta per-pendicular a uno de sus lados y que pasa por el punto medio de éste. Como un triangulo tie-ne tres lados, tiene tres mediatrices. Todos los puntos sobre la mediatriz equidistan de los ex-tremos del lado correspondiente.

Mediatriz

MediatrizMediatriz

CircuncentroFigura 1.7.3


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60

▶ Marca el otro punto en que la recta negra corta al triángulo y llámalo P.


a) ¿En qué casos coinciden la línea punteada y la recta negra?

b) Completa la tabla 1.7.2.

Triángulo SegmentoLongitud del

segmento (cm)

RectánguloAP

BP

ObtusánguloDP

EP

EquiláteroGP

HP

c) ¿Cómo son entre sí en cada triángulo las longitudes de los segmentos traza-

dos desde el punto P a cada extremo del lado rojo?

d) Ahora, en cada triángulo toma un punto diferente a P sobre la recta negra,

llámalo Q y mide la longitud de los segmentos formados desde Q hasta cada

uno de los extremos de la base. ¿Qué observas?

e) Verifica si para cualquier otro punto sobre la recta negra pasa lo mismo.

Tabla 1.7.2


Solucionario3. R. M. Cualquier punto sobre la recta negra equidista de los

extremos del segmento rojo.4. R. L.5.

TriánguloUbicación del circuncentro


Equilátero Dentro

RectánguloSobre el lado opuesto al vértice de los lados que forman el ángulo recto

Obtusángulo Fuera

6. R. L.7. R. L.8. En el triángulo equilátero coinciden; en los demás no.9. R. L.

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10 Analicen y redacten las diferencias entre las intersecciones de las alturas y las de las mediatrices de un triángulo rectángulo isósceles y otro que no lo sea. Después verifiquen sus conclusiones con el resto del grupo.

11 En cada triángulo que trazaste en la página 60, haz lo que se indica.▶ Mide las distancias del circuncentro a cada vértice.

A la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo y cuyo centro es el circuncentro se le llama circunferencia circunscrita del triángulo.

a) ¿Qué relación hay entre estas distancias?

▶ Traza una circunferencia cuyo centro sea el circuncentro y cuyo radio sea la distancia del centro a cualquier vértice.

12 En grupo, comenten si es posible trazar otra circunferencia circunscrita en cada triángulo.

Medianas de un triángulo

1 Haz los siguientes trazos y responde las preguntas.▶ En el siguiente espacio, traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno

equilátero, de manera que en cada uno la base sea de color rojo; el lado izquier-do, verde; y el lado derecho, azul.

▶ En cada triángulo, traza con tu lápiz un segmento de recta que vaya del punto medio del lado rojo al vértice opuesto.

a) Calcula el área de las figuras en que queda dividido cada triángulo.

b) ¿Qué relación hay entre las áreas de las figuras en que está dividido cada

triángulo?



Sugerencias didácticas En el ejercicio 1, después de que los estudiantes tracen la media-na de los triángulos y respondan las preguntas de los incisos a y b, compare sus respuestas y pregúnteles. ¿por qué el triángulo que-dó dividido en dos triángulos con la misma área? Se espera que respondan que tienen la misma área porque su base y su altura miden lo mismo. Deje las respuestas abiertas y retómelas durante las siguientes actividades.

Solucionario10. R. M. En el triángulo rectángulo isósceles una altura y una

mediatriz coinciden; el ortocentro y el circuncentro están sobre el triángulo pero el ortocentro está en el vértice del ángulo recto, y el circuncentro está en el lado opuesto.

11. a) Son iguales.12. R. M. No es posible trazar otra circunferencia circunscrita, pues

sólo ese punto equidista de los tres vértices del triángulo.

Medianas de un triángulo1. En todos las casos la línea trazada es la mediana del lado co-

rrenpondiente, como se muestra en el siguiente ejemplo.

a) R. L. b) R. L. El área de cada figura es la mitad del área del triángulo

original trazado por el alumno.

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Lección

7 2 Reúnete con otro compañero y analiza si en los triángulos que trazó también se

cumple la relación anterior.

3 En grupo, comenten las relaciones que encontraron entre las áreas y justifiquen sus conclusiones.

4 Ahora traza con lápiz un segmento de recta que vaya del punto medio del lado azul al vértice opuesto; haz lo mismo con el lado verde y responde en tu cua-derno.a) ¿Se intersecaron los segmentos que trazaste?b) ¿En qué casos la intersección de estos segmentos de recta puede estar fuera

del triángulo?

5 En grupo, comenten sus respuestas al inciso anterior.

6 Escoge uno de los triángulos que trazaste y contesta las preguntas en tu cua-derno.a) Mide los segmentos en que el baricentro divide a la mediana correspondiente

al lado rojo. Después divide la medida del segmento más grande entre la del más chico. ¿Qué número obtienes?

b) ¿Pasa lo mismo para los segmentos en que está dividida la mediana que co-rresponde al lado verde? ¿Y para la otra mediana?

7 Realiza el mismo análisis del ejercicio anterior para el resto de los triángulos que trazaste en la actividad 1.

8 En grupo, contesten lo siguiente en su cuaderno.a) Supongan que una de las medianas de un triángulo mide 18 unidades. ¿Cuán-

tas unidades mide cada uno de los segmentos que resultan al dividir esta mediana con el baricentro del triángulo?

b) Expliquen cómo el baricentro divide a cada una de las medianas de un triángulo.

9 Hagan lo siguiente en parejas.▶ Calquen los triángulos que trazaron en el ejercicio 1, junto con su baricentro,

reprodúzcanlos en cartón y recórtenlos. ▶ Coloquen cada triángulo sobre un lápiz sin punta en posición vertical y procuren

equilibrar la figura, es decir, que se mantenga estable.

10 En grupo, señalen la relación entre el punto de equilibrio y el baricentro.

Los segmentos de recta que trazaste se llaman medianas. La mediana de un triángulo es el segmento de recta trazado desde un vérti-ce hasta el punto medio del lado opuesto, y el punto donde se intersecan las tres medianas recibe el nombre de baricentro.

Mediana

Mediana

Baricentro

Mediana

Figura 1.7.4


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10 Analicen y redacten las diferencias entre las intersecciones de las alturas y las de las mediatrices de un triángulo rectángulo isósceles y otro que no lo sea. Después verifiquen sus conclusiones con el resto del grupo.

11 En cada triángulo que trazaste en la página 60, haz lo que se indica.▶ Mide las distancias del circuncentro a cada vértice.

A la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo y cuyo centro es el circuncentro se le llama circunferencia circunscrita del triángulo.

a) ¿Qué relación hay entre estas distancias?

▶ Traza una circunferencia cuyo centro sea el circuncentro y cuyo radio sea la distancia del centro a cualquier vértice.

12 En grupo, comenten si es posible trazar otra circunferencia circunscrita en cada triángulo.

Medianas de un triángulo

1 Haz los siguientes trazos y responde las preguntas.▶ En el siguiente espacio, traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno

equilátero, de manera que en cada uno la base sea de color rojo; el lado izquier-do, verde; y el lado derecho, azul.

▶ En cada triángulo, traza con tu lápiz un segmento de recta que vaya del punto medio del lado rojo al vértice opuesto.

a) Calcula el área de las figuras en que queda dividido cada triángulo.

b) ¿Qué relación hay entre las áreas de las figuras en que está dividido cada

triángulo?



Sugerencias didácticas Resalte la propiedad del baricentro como el centro de equilibrio o centro de gravedad del triángulo. Pregúnteles, ¿qué pasaría si sostengo con la punta de un lápiz un triángulo por su baricentro? Si no obtiene respuesta, mencione que el triángulo se mantendría en equilibrio. Si tiene la oportunidad permita que experimenten lo anterior.

Solucionario2. R. L.3. R. M. Con esa recta, el área de un triángulo se divide en dos

partes iguales.4. a) Sí se intersecan.

b) En ninguno, siempre queda dentro.5. R. L.6. a) 2

b) Sí, pasa lo mismo para las otras dos medianas.7. R. L.8. a) El segmento más grande mide 12 unidades, y el otro, 6.

b) R. M. Lo divide en dos partes: una mide 23

de lo que mide

la mediana y la otra, 13

.

9. R. L.10. R. M. El baricentro es el punto de equilibrio de un triángulo,

pues lo divide en tres áreas iguales.

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la página electróni-ca siguiente cómo se construye paso a paso la mediatriz de un segmento:

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Regresa y revisa

Bisectrices en un triángulo

1 Haz lo que se indica en el espacio siguiente.▶ Traza tres triángulos de diferente tamaño y distinta clasificación.▶ En cada triángulo, traza una recta que divida cada ángulo en dos ángulos iguales

y prolóngala desde el vértice hasta el lado opuesto.


a) ¿En qué tipo de triángulos no se intersecan las bisectrices?

b) ¿Dónde se ubica el incentro de un triángulo?

3 Haz lo siguiente en los triángulos del ejercicio 1 y responde.▶ En cada triángulo elige un punto sobre una bisectriz, traza un segmento desde

ese punto hacia uno de los lados adyacentes de modo que sea perpendicular a éste y mide su longitud. Repite el trazo con el otro lado adyacente. ¿Cómo son entre sí las medidas de los segmentos?a) Compara tu resultado con el de tus compañeros. ¿Qué observan?

4 En cada triángulo, traza un segmento de recta para cada uno de los lados de modo que ese segmento sea perpendicular al lado y que uno de sus extremos sea el incentro. Haz lo que se indica y responde en tu cuaderno.

▶ Mide la longitud de los tres segmentos que acabas de trazar.a) ¿Qué relación hay entre estas longitudes?

▶ Traza una circunferencia con centro en el incentro y radio igual a la longitud de uno de los tres segmentos que trazaste.b) ¿En cuántos puntos toca la circunferencia a cada lado del triángulo?

A la semirecta que divide un ángulo en dos án-gulos iguales se le llama bisectriz. En un trián-gulo se consideran las bisectrices de sus ángu-los internos. El incentro de un triángulo es el punto de intersección de sus bisectrices.

Bisectriz

BisectrizBisectriz

Incentro Figura 1.7.5



SolucionarioBisectrices en un triángulo1. R. L. 2. a) Las bisectrices se intersectan en cualquier triángulo.

b) Se ubica siempre dentro del triángulo.3. a) Son iguales.4. a) Son iguales.

b) En uno solo en cada lado.

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Lección

7

5 En grupo, comenten si es posible trazar otra circunferencia interna al triángulo y que toque sus lados en un solo punto.

A la circunferencia con centro en el incentro y que toca en un solo punto a cada uno de los tres lados de un triángulo se le llama circunferencia inscrita del triángulo.

A las rectas y puntos que trazaste en la lección se les conoce como líneas y puntos notables del triángulo.

1 En tu cuaderno, explica qué punto notable sirve para resolver el problema de la situación inicial.

2 En equipos de tres, realicen las siguientes actividades.a) Determinen cómo se clasifica el triángulo ABC de la figura 1.7.6 en relación

con la medida de sus ángulos.b) Tracen las tres alturas del triángulo y señalen su ortocentro.c) Llamen D al punto donde la altura que pasa por el vértice C corta al segmento

AB. El segmento de recta CD divide al triángulo en dos triángulos. Sin medir los ángulos de los triángulos ∠ACD y ∠DCB, determinen cómo se clasifican según la medida de sus ángulos. Justifiquen su respuesta en su cuaderno.

d) Localicen, sin trazar las alturas de estos triángulos, el ortocentro de los trián-gulos ACD y DCB.

e) Verifiquen su respuesta trazando las alturas de ambos triángulos y hagan una conjetura acerca de este tipo de triángulos, sus alturas y su ortocentro.

Regresa y revisa

Todos los puntos de la bisectriz equidistan de las semirrectas que forman el ángulo.

Toma nota

Anota en tu Glosa-rio matemático con tus palabras, una explicación y un ejemplo de los siguientes conceptos:

• Alturas de un triángulo

• Medianas de un triángulo

• Mediatrices en un triángulo

• Bisectrices en un triángulo

Figura 1.7.6A B

C

1. Traza diversos triángulos en tu cuaderno y decide si...a) Existe un triángulo en el que todos sus puntos notables coincidan en uno solo.b) Existe un triángulo en el que todas las rectas notables coincidan en una sola.2. Compartan en grupo sus respuestas y obtengan una conclusión.

Refl exiona


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Bisectrices en un triángulo

1 Haz lo que se indica en el espacio siguiente.▶ Traza tres triángulos de diferente tamaño y distinta clasificación.▶ En cada triángulo, traza una recta que divida cada ángulo en dos ángulos iguales

y prolóngala desde el vértice hasta el lado opuesto.


a) ¿En qué tipo de triángulos no se intersecan las bisectrices?

b) ¿Dónde se ubica el incentro de un triángulo?

3 Haz lo siguiente en los triángulos del ejercicio 1 y responde.▶ En cada triángulo elige un punto sobre una bisectriz, traza un segmento desde

ese punto hacia uno de los lados adyacentes de modo que sea perpendicular a éste y mide su longitud. Repite el trazo con el otro lado adyacente. ¿Cómo son entre sí las medidas de los segmentos?a) Compara tu resultado con el de tus compañeros. ¿Qué observan?

4 En cada triángulo, traza un segmento de recta para cada uno de los lados de modo que ese segmento sea perpendicular al lado y que uno de sus extremos sea el incentro. Haz lo que se indica y responde en tu cuaderno.

▶ Mide la longitud de los tres segmentos que acabas de trazar.a) ¿Qué relación hay entre estas longitudes?

▶ Traza una circunferencia con centro en el incentro y radio igual a la longitud de uno de los tres segmentos que trazaste.b) ¿En cuántos puntos toca la circunferencia a cada lado del triángulo?

A la semirecta que divide un ángulo en dos án-gulos iguales se le llama bisectriz. En un trián-gulo se consideran las bisectrices de sus ángu-los internos. El incentro de un triángulo es el punto de intersección de sus bisectrices.

Bisectriz

BisectrizBisectriz

Incentro Figura 1.7.5



Solucionario5. R. M. No es posible trazar otra pues sólo ese punto equidista

de los tres lados del triángulo.

Reflexiona1. a) Sólo en el triángulo equilátero los puntos notables coinciden.

b) En un triángulo equilátero cualquiera de las rectas notables coinciden. En uno isósceles sucede en uno de los tres lados.

2. R. L.

Regresa y revisa

1. R. M. Al trazar el triángulo que tiene por vértices los tres pobla-dos, se puede utilizar el circuncentro para ubicar el hospital.

2. a) Es un triángulo rectángulo.b) El ortocentro es el punto C.c) Son dos triángulos rectángulos, pues la altura corta a AB en

un ángulo recto.d) El ortocentro de ambos triángulos es el punto D.e) R. L.

Observa la imagen y contesta.En medio de un terreno triangular se quiere colocar un asta bandera justo como se muestra en la figura, de manera que esté en el punto de intersección de las rectas que divi-den los ángulos del triángulo en partes iguales. Ese punto se conoce como:

Rumbo a Planea

C

A B

0

A) Incentro.B) Baricentro.C) Circuncentro.D) Ortocentro.

Identificación de rectas y puntos notables de un triángulo.© T

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1. Justifi ca en tu cuaderno qué tipo de rectas están trazadas en los triángulos de la fi -gura 1.7.3. Sólo puedes utilizar regla graduada.

2. En un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 10 cm y 14 cm traza con tu juego de geometría de rojo las alturas; de azul las mediatrices; de verde, las medianas, y de negro, las bisec-trices ¿Qué puntos notables quedan dentro del triángulo? ¿Cuáles quedan fuera?

Resuelve

a) b)

c)

d)

Situación inicial

Explora y construye

Figura 1.7.3



SolucionarioResuelve y practica1. a) Se trata de un triángulo equilátero, por lo que están trazadas

todas las rectas notables.b) Son medianas porque van del punto medio de los lados al

vértice opuesto. Una de ellas (la recta vertical) también es mediatriz, bisectriz y altura, pues es un triángulo isósceles.

c) Son bisectrices, ya que el punto en el que se intersecan equidista de los lados.

d) Son medianas porque van del punto medio de los lados al vértice opuesto.

2. El triángulo se muestra en la figura. Las rectas azules (media-trices) deben prolongarse hacia abajo para encontrar el cir-cuncentro, y las rectas rojas (alturas) deben prolongarse hacia arriba para encontrar el ortocentro. El baricentro y el incentro quedan dentro del triángulo. Fuera quedan el ortocentro y el circuncentro.

6 cm

14 cm

10 cm

Rectas en el triángulo. Rectas notables en un triángulo. © T

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Lección

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Resolución de problemas de reparto proporcional.

8. Reparto proporcional

Tienda de buceo

Tres amigos: Alfonso, Tere y Rocío, se asociaron para poner una tienda de buceo y para ello aportaron diferentes cantidades de dinero. Alfonso puso $40 000; Tere, $60 000, y Rocío, $100 000. Si al final del primer año tuvieron ganancias de $60 000, ¿cómo deben repartirse ese dinero de acuerdo con lo que aportó cada uno?

Situación inicial

1. En parejas, respondan en su cuaderno.

a) ¿Consideran justo que las ganancias se repartan en partes iguales entre los tres? ¿Por

qué?

b) ¿Qué parte de las ganancias le debería corresponder a cada uno de acuerdo con lo

que aportó? Expliquen su respuesta.

Analiza

Explora y construye

Repartición justa

1 Es probable que hayas participado en un reparto equitativo. Ya sabes resolver problemas donde la distribución es así, pero pregúntate si eso es justo en todos los casos. Considera el problema de la situación inicial y responde.

a) Si las ganancias hubieran sido de $50 000, ¿cómo se repartirían?

b) Si las aportaciones iniciales hubieran sido $100 000 de Alfonso, $120 000 de

Tere y $100 000 de Rocío, y las ganancias al final del primer año hubieran sido

de $60 000, ¿cómo debería repartirse ese dinero de modo proporcional a lo

que aportó cada uno?

2 Una unidad habitacional contrató a David y Daniel como vigilantes para trabajar de lunes a viernes. David lo hará de 6 a. m. a 6 p. m. y Daniel, de 6 p. m. a 6 a. m. La semana pasada, David trabajó dos turnos que le tocaban a Daniel.

Finanzas


Bloque

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1. Justifi ca en tu cuaderno qué tipo de rectas están trazadas en los triángulos de la fi -gura 1.7.3. Sólo puedes utilizar regla graduada.

2. En un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 10 cm y 14 cm traza con tu juego de geometría de rojo las alturas; de azul las mediatrices; de verde, las medianas, y de negro, las bisec-trices ¿Qué puntos notables quedan dentro del triángulo? ¿Cuáles quedan fuera?

Resuelve

a) b)

c)

d)

Situación inicial

Explora y construye

Figura 1.7.3



Reparto proporcional

Situación inicial

SolucionarioTienda de buceo / Analiza1. a) R. M. No porque aportaron cantidades diferentes.

b) R. M. A Alfonso le correspondería 15

parte, es decir, $12 000;

a Tere, 310

partes, $18 000, y a Rocío, la mitad, que equivale

a $30 000.

Explora y construye

SolucionarioRepartición justa1. a) R. M. A Alfonso $10 000; a Tere, $15 000, y a Rocío, $25 000. b) A Alfonso y a Rocío les corresponderían $18 750 a cada uno,

mientras que a Tere le tocarían $22 500.

L 8

Antecedentes: Resolución de problemas de proporcionali-dad del tipo valor faltante (suma término a término, cálculo de un valor intermedio, aplicación del factor constante).

Identificación y aplicación del factor constante de pro-porcionalidad (con números naturales).

Problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural.

Ideas erróneas: Los alumnos pueden pensar que una reparti-ción en partes iguales es una manera justa de hacer un repar-to aun cuando no todas las aportaciones hayan sido iguales.

Dos procedimientos para el reparto proporcional. El que comparte y reparte. Reparto proporcional.©

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a) Si la cantidad de dinero destinada a la vigilancia es de $5 000 por semana,

¿cuánto le deben de pagar a cada uno por su trabajo de la semana pasada?

¿Por qué?

3 Rosa, Javier y Herminio hicieron 100 tamales oaxaqueños. Para comprar los ingredientes aportaron $80, $120 y $200, respectivamente, y se repartieron el trabajo de manera equitativa. En parejas, analicen cómo se deben repartir los tamales respondiendo las preguntas.

a) ¿Consideran que los tamales se deben repartir en cantidades iguales? ¿Por qué?

b) Rosa, Javier y Herminio tienen 33, 32 y 35 años de edad, respectivamente.

¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace de manera

proporcional a su edad?

c) ¿Piensan que es justo repartir los tamales según sus edades? ¿Por qué?

d) ¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace proporcio-

nalmente al aporte monetario para la compra de los ingredientes?

e) ¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace proporcio-

nalmente al aporte de trabajo para hacer los tamales?

4 En grupo, verifiquen sus procedimientos y analicen si los distintos criterios seña-lados en el problema, como el trabajo de cada persona, la edad de cada uno o el aporte económico para comprar los ingredientes son igualmente válidos.

Dinero y chocolates

1 En parejas, resuelvan lo siguiente. a) Cada uno de los cinco integrantes de una familia ahorró durante un año para

pagar un viaje a la playa. Aportaron las siguientes cantidades (tabla 1.8.1).

Integrante Ahorro ($) Devolución

María 3 500

Silvia 4 000

Rogelio 4 000

Concepción 4 500

Sergio 5 500Tabla 1.8.1


w


Solucionario2. a) De los diez turnos que trabajaron entre los dos, David trabajó

siete y Daniel tres; por lo tanto, a David le corresponden 710

partes ($3 500) y a Daniel, 310

partes ($1 500).

3. a) Se espera que el alumno responda que no, pues las apor-taciones no fueron equitativas.

b) La suma de sus edades es igual a la cantidad de tamales que prepararon; entonces, a Rosa le tocan 33; a Javier, 32, y a Herminio, 35.

c) Se espera que el alumno responda que no, pues la edad no es un criterio justo para hacer la repartición.

d) A Rosa le tocarían 20; a Javier le tocarían 30 y a Herminio, 50. e) Se repartieron el trabajo de manera equitativa, así que a cada

uno le tocaría la misma cantidad, es decir, 100 tamales entre 3.4. R. M. El trabajo de cada persona, así como el aporte de cada

uno son criterios válidos para hacer un reparto justo; la edad no.

Dinero y chocolates1.

Integrante Ahorro ($)

Cantidad aportada

respecto al total

reunido

Devolución

María 3 5007

43 $325.58

Silvia 4 000843 $372.09

Rogelio 4 000843 $372.09

Concepción 4 500943 $418.60

Sergio 5 5001143 $511.62

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69

Lección

8• En la primera celda de la tercera columna de la tabla anterior, escriban

“Cantidad aportada respecto al total reunido” y completen el resto de la columna con las fracciones correspondientes.

• Si al regresar del viaje sobraron $2 000, ¿cómo se debe repartir ese dinero?

• Anoten en la cuarta columna cuánto le tocaría a cada quien y verifiquen sus resultados con el resto del grupo.

b) Jorge, Rocío y Samuel compraron una caja de chocolates con 60 piezas. Ro-cío aportó la mitad del costo total; Jorge, la tercera parte, y Samuel, el resto. Si se repartieran las piezas de manera proporcional a su aportación:

• ¿Cuántos chocolates le tocarían a cada uno?

• Expliquen en su cuaderno su procedimiento para obtener la respuesta.c) Juan y Carlos, dos compañeros de trabajo, compraron un boleto de un sorteo

y ganaron $20 000. El reparto del premio se hizo de manera proporcional de acuerdo con lo que aportaron y a Juan le tocaron $7 500.

• ¿Qué parte del costo del boleto aportó Juan?

• ¿Y qué parte aportó Carlos?

• Si el boleto costó $600, ¿cuánto dinero aportó cada uno de ellos?

• Expliquen qué hicieron para determinar el resultado de las preguntas an-

teriores.

d) El gobierno federal asigna $800 000 al año al municipio de Santiago Huaucli lla, Oaxaca, cuyos cuatro pueblos principales son: Santiago Huauclilla (233 ha-bitantes), San Bartolomé Zotula (64 habitantes), San Juan Tlalixtlahuaca (53 habi-tantes) y Santiago Ixtlahuaca (40 habitantes). La distribución del dinero se hace de manera proporcional al número de habitantes de cada pueblo. Respondan.Fuentes: “Santiago Huauclilla”, en Enciclopedia de los Municipios de México, disponible en www.inafed.gob.mx/work/enciclopedia/EMM20oaxaca/municipios/20463a.html (Consulta: 22 de sep-tiembre de 2015).“Santiago Huauclilla”, disponible en www.microrregiones.gob.mx/catloc/LocdeMun.aspx?tipo=clave&campo=loc&ent=20&mun=463 (Consulta: 18 de septiembre de 2015).

• ¿Qué parte del total del dinero asignado le corresponde a cada uno de

los cuatro pueblos?

• ¿Qué cantidad de dinero le toca a cada pueblo?

2 En grupo, respondan las preguntas del inciso d del ejercicio anterior, pero ahora consideren una asignación de un millón de pesos.

Toma nota

Anota en tu Glo-sario matemático, con tus palabras, una explicación y un ejemplo del término reparto proporcional.

el siguiente enlace ejemplos sobre reparto propor-cional:

www.edutics.com.mx/ots

Revisa los casos 1 y 3.


Busca en...


Bloque

1

68

a) Si la cantidad de dinero destinada a la vigilancia es de $5 000 por semana,

¿cuánto le deben de pagar a cada uno por su trabajo de la semana pasada?

¿Por qué?

3 Rosa, Javier y Herminio hicieron 100 tamales oaxaqueños. Para comprar los ingredientes aportaron $80, $120 y $200, respectivamente, y se repartieron el trabajo de manera equitativa. En parejas, analicen cómo se deben repartir los tamales respondiendo las preguntas.

a) ¿Consideran que los tamales se deben repartir en cantidades iguales? ¿Por qué?

b) Rosa, Javier y Herminio tienen 33, 32 y 35 años de edad, respectivamente.

¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace de manera

proporcional a su edad?

c) ¿Piensan que es justo repartir los tamales según sus edades? ¿Por qué?

d) ¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace proporcio-

nalmente al aporte monetario para la compra de los ingredientes?

e) ¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace proporcio-

nalmente al aporte de trabajo para hacer los tamales?

4 En grupo, verifiquen sus procedimientos y analicen si los distintos criterios seña-lados en el problema, como el trabajo de cada persona, la edad de cada uno o el aporte económico para comprar los ingredientes son igualmente válidos.

Dinero y chocolates

1 En parejas, resuelvan lo siguiente. a) Cada uno de los cinco integrantes de una familia ahorró durante un año para

pagar un viaje a la playa. Aportaron las siguientes cantidades (tabla 1.8.1).

Integrante Ahorro ($) Devolución

María 3 500

Silvia 4 000

Rogelio 4 000

Concepción 4 500

Sergio 5 500Tabla 1.8.1



Solucionario• El dinero que sobró debería ser repartido de manera pro-

porcional a lo que aportaron. b) • A Rocío le tocarían 30 piezas; a Jorge, 20, y a Samuel, 10.

• R. M. Un procedimiento consiste en multiplicar la fracción del costo total que aportó cada uno por la cantidad de piezas que tiene la caja de chocolates.

c) • Juan aportó 38

del costo del boleto.

• Carlos aportó 58

del costo del boleto.

• Juan aportó $225 y Carlos, $375.• R. M. Se puede dividir el total de dinero que ganaron

($20 000) entre la cantidad que ganó Juan ($7 500) para obtener la fracción del total que aportó él. Luego se cal-cula la fracción que aportó Carlos, haciendo la resta de la unidad menos la parte que aportó Juan. Finalmente, se multiplican esas fracciones por el costo del boleto ($600).

d) • Al pueblo de Santiago Huauclilla le corresponden 233390

del total; a San Bartolomé Zotula, 64390

; a San Juan Tla-

lixtlahuaca, 53390

, y a Santiago Ixtlahuaca, 40390

.

• A Santiago Huauclilla le tocan $477 948.72; a San Bar-tolomé Zotula, $131 282.05; a San Juan Tlalixtlahuaca, $108 717.95, y a Santiago Ixtlahuaca, $82 051.28.

2. A Santiago Huauclilla, $597 435.90; a San Bartolomé Zotula, $164 102.56; a San Juan Tlalixtlahuaca, $135 897.44, y a San-tiago Ixtlahuaca, $102 564.10.

¡A repartir! Reparto proporcional.© T

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Situación inicial

1. En el problema de los tamales oaxaqueños (ejercicio 3 de la página 68), si Rosa y Her-minio hubieran aportado cada quien $200 para los ingredientes y Javier no hubiera dado dinero, pero él solo hubiera hecho todos los tamales, ¿cómo repartirías los 100 tamales? ¿Qué difi cultad plantea esa repartición?

Refl exiona

Regresa y revisa

1 En equipos de tres, lean nuevamente la situación inicial y analicen el siguiente planteamiento. Respondan las preguntas en su cuaderno.

Después del primer año, los tres amigos quisieron hacer crecer su negocio e in-vitaron a Julieta y Esther a asociarse con ellos para así tener más capital. Las dos aceptaron y cada una aportó $25 000. Los cinco amigos trabajaron por igual pero, al finalizar el año, no hubo ganancias sino pérdidas. Además de perder el dinero de la inversión, tenían que pagar $100 000 entre todos.

a) Propongan una manera para repartir el pago entre los socios y expliquen por qué lo decidieron así.

b) Si los amigos hubieran decidido repartir el pago pendiente de manera propor-cional a la cantidad que cada quien invirtió, ¿cuál de los cinco habría tenido que pagar más? ¿Cuánto hubiera pagado cada uno?

2 En grupo, discutan sus respuestas anteriores y expliquen en qué situaciones es aplicable el reparto proporcional.

Explora y construye

Participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (PTUE)Por ley, las empresas deben repartir parte de sus ganancias anuales a sus trabajadores. Una compañía repartirá este año $90 000. Para calcular cuántas utilidades le corres-ponden a cada una de las 15 personas que laboran en ella, se usaron dos criterios:

• Reparto proporcional a los días trabajados. La mitad de las utilidades disponibles ($45 000) se repartió considerando los días laborados en el año, que se acumula-ron entre los 15 trabajadores (3 761 días); es decir, cada uno recibirá $11.96 por día trabajado individualmente, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 3 761.

• Reparto proporcional al salario recibido. La otra mitad se repartió considerando el total de los salarios pagados por la compañía en el año ($523 100); es decir, cada empleado recibirá 0.086 de su salario individual recibido ese año, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 523 100.

a) ¿Qué criterio favorece más a los empleados?b) Consulta la Ley Federal del Trabajo (artículo 117 en adelante) para conocer más sobre

la PTUE (www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/index.htm).

Observa y relaciona

Fin

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SolucionarioReflexiona1. R. M. Una posible respuesta es que los tamales se podrían

distribuir en partes iguales si se sustituyera la aportación eco-nómica por el trabajo. Así, habría que repartir 100 entre 3.

Regresa y revisa

1. a) Una manera es repartir las pérdidas de manera proporcional, de acuerdo con lo que cada quien invirtió.

b) Julieta y Esther tendrían que pagar $10 000 cada una; Al-fonso, $16 000; Tere, $24 000, y Rocío, $40 000.

2. R. L.

Observa y relaciona a) El primer criterio favorece a todos por igual, mientras que el

segundo favorece más a los que tienen un sueldo mayor.b) R. L.

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Lección

9

Identifi cación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

9. Juegos de azar

Un juego de números

1 En equipos de cinco personas, hagan lo siguiente y res-pondan lo que se pide.

Corten 31 pedazos de papel del mismo tamaño y escriban un número de la siguiente manera: en 20 anoten el número 1; en cinco, el número 2; en otros cinco, el número 3, y en uno, el número 4.

Doblen los papeles a la mitad y métanlos en una bolsa de plástico. Tomen un papel por turno y anoten el número en la tabla 1.9.1. Devuélvanlo a la bolsa doblado de nuevo a la mitad. Después de sacar 70 veces los papeles (14 por jugador) sumen los puntos obtenidos para saber quién es el ganador.


a) ¿Qué número apareció más veces?

b) ¿Cuál apareció menos?

c) ¿Por qué algunos números aparecen más que otros?

Situación inicial

1. En grupo, respondan lo siguiente en su cuaderno.a) Si se juega de nuevo, ¿el resultado será el mismo? ¿Por qué? b) ¿Es posible que el número 3 aparezca más veces que el 1? ¿Por qué?

Analiza

Regresa y revisa Jugador

Turno A B C D E

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Total:

Explora y construye

Procesos aleatorios

Cuando se tira un volado, hay dos resultados posibles; cuando se lanza un dado de seis caras, hay seis resultados posibles; si se juega a la lotería, hay un número deter-minado de resultados posibles. Pero, aunque se puedan conocer todos los resul-tados posibles, no se sabe cuál se obtendrá cada vez. Esto es lo que sucede en los procesos aleatorios. En un juego de azar intervienen procesos aleatorios.

Tabla 1.9.1


Bloque

1

70

Situación inicial

1. En el problema de los tamales oaxaqueños (ejercicio 3 de la página 68), si Rosa y Her-minio hubieran aportado cada quien $200 para los ingredientes y Javier no hubiera dado dinero, pero él solo hubiera hecho todos los tamales, ¿cómo repartirías los 100 tamales? ¿Qué difi cultad plantea esa repartición?

Refl exiona

Regresa y revisa

1 En equipos de tres, lean nuevamente la situación inicial y analicen el siguiente planteamiento. Respondan las preguntas en su cuaderno.

Después del primer año, los tres amigos quisieron hacer crecer su negocio e in-vitaron a Julieta y Esther a asociarse con ellos para así tener más capital. Las dos aceptaron y cada una aportó $25 000. Los cinco amigos trabajaron por igual pero, al finalizar el año, no hubo ganancias sino pérdidas. Además de perder el dinero de la inversión, tenían que pagar $100 000 entre todos.

a) Propongan una manera para repartir el pago entre los socios y expliquen por qué lo decidieron así.

b) Si los amigos hubieran decidido repartir el pago pendiente de manera propor-cional a la cantidad que cada quien invirtió, ¿cuál de los cinco habría tenido que pagar más? ¿Cuánto hubiera pagado cada uno?

2 En grupo, discutan sus respuestas anteriores y expliquen en qué situaciones es aplicable el reparto proporcional.

Explora y construye

Participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (PTUE)Por ley, las empresas deben repartir parte de sus ganancias anuales a sus trabajadores. Una compañía repartirá este año $90 000. Para calcular cuántas utilidades le corres-ponden a cada una de las 15 personas que laboran en ella, se usaron dos criterios:

• Reparto proporcional a los días trabajados. La mitad de las utilidades disponibles ($45 000) se repartió considerando los días laborados en el año, que se acumula-ron entre los 15 trabajadores (3 761 días); es decir, cada uno recibirá $11.96 por día trabajado individualmente, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 3 761.

• Reparto proporcional al salario recibido. La otra mitad se repartió considerando el total de los salarios pagados por la compañía en el año ($523 100); es decir, cada empleado recibirá 0.086 de su salario individual recibido ese año, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 523 100.

a) ¿Qué criterio favorece más a los empleados?b) Consulta la Ley Federal del Trabajo (artículo 117 en adelante) para conocer más sobre

la PTUE (www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/index.htm).

Observa y relaciona

Fin

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Juegos de azar

Situación inicial

SolucionarioUn juego de números1. R. L.2. a) R. L. El resultado no tiene que ser el mismo para todos, pero

el número que puede aparecer más veces es el 1. b) R. L. El número que puede aparecer menos es el 4. c) R. M. Porque hay más papeles con esos números.

Analiza1. a) R M. El resultado puede no ser el mismo porque se pueden

extraer otros papeles. b) R. M. Sí es posible, aunque es muy poco probable que su-

ceda, pues hay menos papeles con el número 3 que con el número 1.

L 9

Ideas erróneas: Hay situaciones en las que se toma en cuen-ta el orden de una combinación y otras en las que no. Gene-ralmente depende del contexto o se especifica en las indica-ciones de la actividad. Por ejemplo: los números 1 y 2, como pares de números son diferentes, es decir, (1, 2) ≠ (2, 1), pero si fueran fichas de dominó representarían la misma pieza.

Todo depende del azar. Juegos de azar.© T

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1 Escribe en tu cuaderno. a) Dos juegos en los que intervengan procesos aleatorios. b) Dos situaciones en las que el resultado de un juego dependa más de las ha-

bilidades de los participantes que de los procesos aleatorios.

2 En grupo, lean los juegos y las situaciones de dos compañeros y comenten cómo intervienen los procesos aleatorios.

3 En equipos de tres personas, analicen la siguiente situación y respondan.

En un grupo de primero de secundaria se elegirán dos representantes para el co-mité de protección civil de la escuela. Los candidatos propuestos fueron Catalina, Natalia, José, Pablo y Laura. La elección de los representantes se hará mediante sorteo: cada candidato meterá en una bolsa un papel del mismo tamaño dobla-do a la mitad con su nombre. Sin ver dentro de la bolsa, otro alumno sacará dos papeles y con ello se obtendrá el nombre de los representantes elegidos. ¿Creen que el par Pablo-José gane el sorteo? ¿Por qué?

a) ¿Qué otros pares se pueden formar?

b) ¿Los pares José-Laura y Laura-José son diferentes? ¿Por qué?

c) Si se simula el sorteo varias veces, ¿creen que se pueda saber quiénes serán

los representantes? ¿Por qué?

4 Simulen el sorteo varias veces de la siguiente manera.

En diferentes papeles, escriban el nombre de los interesados en participar en el comité. Doblen los cinco papeles, revuélvanlos y tomen dos. Escriban en la tabla 1.9.2 el par elegido. Devuelvan los papeles a la bolsa y revuélvanlos. Repitan el pro-cedimiento 14 veces. Utilicen las letras C, N, J, P y L para representar en el cuadro, respectivamente, los nombres de Catalina, Natalia, José, Pablo y Laura.

5 Con la información de la tabla 1.9.2 respondan lo siguiente.

a) ¿Qué resultado de los siguientes aparece más veces: hombre-mujer, mujer-

mujer u hombre-hombre?

b) ¿Creen que si el procedimiento se repitiera cien veces la respuesta al inciso

anterior sería la misma? ¿Por qué?

Turno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Resultado

Tabla 1.9.2


Explora y construye

Sugerencias didácticas En el ejercicio 1 b), explicar la similitud entre el juego de dardos y el juego de sacar papelitos de la bolsa de plástico. En ambos se obtienen números, pero en el juego de dardos el participante más hábil acertará a los valores más altos, mientras que en el jue-go de los papeles no importa la habilidad.

En el ejercicio 3 b), si se presenta la idea errónea, se puede discutir para explicar que lo que se tiene en cuenta es la pareja elegida y no el orden en el que se toma el papel con el nombre.

SolucionarioProcesos aleatorios1. a) R. M. Por ejemplo, tirar un dado o sacar una carta, sin ver,

de una baraja.b) R. M. Por ejemplo, lanzar dardos a un tablero o encestar un

balón.2. R. L.3. Sí es posible que el par Pablo-José gane; pues es uno de los

pares que se pueden formar.a) Catalina-Natalia, Catalina-José, Catalina-Pablo, Catalina-

Laura, Natalia-José, Natalia-Pablo, Natalia-Laura, José-Laura y Pablo-Laura.

b) No. Son el mismo par porque están integrados por las mis-mas personas.

c) R. M. No se puede saber, ya que cada vez que se simule el sorteo pueden ser representantes distintos.

4. R. L.5. a) La respuesta más probable es hombre-mujer, aunque puede

ser cualquier par.b) R. M. Sí, pues hay más combinaciones hombre-mujer que

las otras dos combinaciones.

Adivina, adivinador. Eventos aleatorios y eventos deterministas. ©

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Lección

9 6 En grupo, discutan y respondan lo siguiente.

a) ¿Cuál de los siguientes resultados creen que se obtendría más si se repitiera el sorteo mil veces: hombre-mujer, mujer-mujer u hombre-hombre?

b) ¿Es relevante para el resultado que el número de mujeres que quieren integrar el comité sea mayor que el de hombres? ¿Por qué?

Más juegos de azar

1 En parejas, tomen una moneda y cada uno láncela al aire 25 veces. Anoten lo que sale en cada lanzamiento en la tabla 1.9.3. Pueden utilizar la letra A para representar el resultado que sea “águila” y S para el que sea “sol”. Ganará quien obtenga más veces “águila”.

Turno Total

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A S

Jugador 1

Jugador 2

2 En la penúltima columna, donde aparece A, anoten el número total de veces que salió “águila” como resultado del volado y, en la última columna, el número de veces que salió “sol”.

a) ¿La habilidad de cada jugador intervino en el resultado del juego?

b) ¿Qué resultado salió más veces?

c) ¿Por qué consideran que sucedió así?

3 En grupo, verifiquen sus respuestas y discutan lo siguiente: si repitieran el juego, ¿saldrían águilas y soles en cantidades similares?

4 En parejas, hagan lo siguiente y después respondan.▶ Coloquen en una bolsa que no sea transparente canicas de

igual tamaño de los siguientes colores y en las cantidades indicadas: blanco (cuatro), verde (cuatro) y negro (una).

▶ En la tabla 1.9.4 anoten su nombre en las primeras dos celdas vacías. Por turno, cada quien sacará una canica, anotará su color en la tabla y la regresará a la bolsa. Gana quien obtenga más canicas del mismo color.

a) ¿Quién ganó y con qué color?

b) ¿Quién perdió y cuál fue el color que más obtuvo?

Jugador

Turno

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tabla 1.9.3

Tabla 1.9.4


Bloque

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1 Escribe en tu cuaderno. a) Dos juegos en los que intervengan procesos aleatorios. b) Dos situaciones en las que el resultado de un juego dependa más de las ha-

bilidades de los participantes que de los procesos aleatorios.

2 En grupo, lean los juegos y las situaciones de dos compañeros y comenten cómo intervienen los procesos aleatorios.

3 En equipos de tres personas, analicen la siguiente situación y respondan.

En un grupo de primero de secundaria se elegirán dos representantes para el co-mité de protección civil de la escuela. Los candidatos propuestos fueron Catalina, Natalia, José, Pablo y Laura. La elección de los representantes se hará mediante sorteo: cada candidato meterá en una bolsa un papel del mismo tamaño dobla-do a la mitad con su nombre. Sin ver dentro de la bolsa, otro alumno sacará dos papeles y con ello se obtendrá el nombre de los representantes elegidos. ¿Creen que el par Pablo-José gane el sorteo? ¿Por qué?

a) ¿Qué otros pares se pueden formar?

b) ¿Los pares José-Laura y Laura-José son diferentes? ¿Por qué?

c) Si se simula el sorteo varias veces, ¿creen que se pueda saber quiénes serán

los representantes? ¿Por qué?

4 Simulen el sorteo varias veces de la siguiente manera.

En diferentes papeles, escriban el nombre de los interesados en participar en el comité. Doblen los cinco papeles, revuélvanlos y tomen dos. Escriban en la tabla 1.9.2 el par elegido. Devuelvan los papeles a la bolsa y revuélvanlos. Repitan el pro-cedimiento 14 veces. Utilicen las letras C, N, J, P y L para representar en el cuadro, respectivamente, los nombres de Catalina, Natalia, José, Pablo y Laura.

5 Con la información de la tabla 1.9.2 respondan lo siguiente.

a) ¿Qué resultado de los siguientes aparece más veces: hombre-mujer, mujer-

mujer u hombre-hombre?

b) ¿Creen que si el procedimiento se repitiera cien veces la respuesta al inciso

anterior sería la misma? ¿Por qué?

Turno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Resultado

Tabla 1.9.2


Sugerencias didácticas En el ejercicio 6 a), pregunte a los alumnos cuál resultado de esta actividad se puede repetir más veces cuando hay, por ejemplo:• dos mujeres y tres hombres,• dos mujeres y dos hombres,• tres mujeres y un hombre,• una mujer y tres hombres, y• cuatro mujeres y un hombre.

Solucionario6. a) R. M. Hombre-mujer.

b) Sí es relevante, pues define el número de posibles combi-naciones.

Más juegos de azar1. R. L.2. a) No. b) Depende de los resultados obenidos, sin embargo uno sale

más veces que otro. c) Porque hay un número impar de lanzamientos.3. R. M. No necesariamente, alguno puede salir más veces.4. a) y b) R. M. Los resultados varían de pareja a pareja, pero los

colores que aparecerán más veces serán el blanco y el verde.

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Bloque

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5 Comparen sus resultados con los de los demás equipos del grupo y discutan lo siguiente.

a) Si se tratara de adivinar qué color saldrá más en el juego de las canicas, ¿por

cuál apostarías?

b) ¿Hay alguna estrategia para ganar en el juego anterior? ¿Por qué?

6 Repitan los ejercicios 4 y 5, pero ahora usen cuatro canicas blancas, tres verdes y una negra. Registren sus resultados y respuestas en su cuaderno.

¿Sólo azar?

Para jugar dominó, las fichas se reparten de manera aleatoria.


a) Si en una partida de dominó es su turno, ¿qué deben considerar para tirar una

ficha?

b) ¿Sabrían con exactitud qué ficha van a tirar en el siguiente turno? ¿Por qué?

c) ¿Expliquen si ganar una partida de dominó depende sólo de la habilidad de los

jugadores?

2 En grupo, comenten algunos juegos donde ganar depende tanto del azar como de la habilidad de cada jugador.

1. José y Santiago discutían de futbol. José decía que el resultado se defi ne sólo por la habilidad de los jugadores, pero Santiago decía que además depende del azar. ¿Tú qué opinas?

Refl exiona

Regresa y revisa

1 Responde lo siguiente en tu cuaderno.a) En la actividad de la situación inicial si se tratara de adivinar el número que

saldrá más, ¿cuál no debes elegir? ¿Por qué?b) ¿Consideras que si un resultado tiene más posibilidades de salir, elegirlo te da

ventajas para ganar? ¿Por qué?

2 En grupo, discutan si el único factor para ganar un juego es elegir el resultado que tiene el mayor número de posibilidades de salir.

www.edutics.mx/oFB

la actividad Lanzamientos rápidos de una moneda que se encuentra en la sección Equipa-miento experi-mental.


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Solucionario5. a) Por la blanca o la verde. b) No hay una estrategia para ganar, aunque elegir la canica

negra es la peor opción.6. a) Por la canica blanca. b) Una estrategia es elegir la canica blanca, aunque no hay

certeza de que se ganará.

¿Sólo azar?2. a) R. M. Primero hay que considerar cuáles fichas se pueden

tirar en ese turno; luego, analizando las demás fichas que se tienen, decidir cuál da alguna ventaja.

b) No se puede saber cuál ficha tirar en el siguiente turno, pues depende de lo que tiren los demás, aunque en ciertas situaciones sí es posible saberlo.

c) No depende exclusivamente de la habilidad de cada jugador, pero sí es un factor importante.

2. R. M. Por ejemplo el póquer y el backgammon.

Reflexiona1. R. M. El futbol es un deporte en el que la habilidad de los ju-

gadores es primordial para obtener un resultado positivo. Sin embargo, eso no significa que un equipo con jugadores más hábiles siempre ganará: el resultado depende también de otros factores.

Regresa y revisa

1. a) El 4, porque sólo hay un papel con ese número, mientras que hay 20 con el número 1, cinco con el número 2 y otros cinco con el número 3; es decir, el número 4 saldrá menos veces.

b) Sí, porque hay más posibilidades de obtener ese resultado.2. R. M. No es el único factor, pues no hay una certeza de que

el resultado elegido será el ganador, aunque sí es una buena estrategia.

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Lección

9

1. En parejas, hagan lo siguiente y respondan las preguntas.

Coloquen las fi chas de un juego completo de dominó boca abajo y revuélvanlas. Saquen una fi cha y registren en su cuaderno la suma de sus puntos, regrésenla boca abajo con las otras fi chas y revuélvanlas todas. Repitan este procedimiento 50 veces.

a) A partir de los resultados, ¿cuál suma consideran que tiene más posibilidades de salir:

6 u 8?

b) Si les pidieran adivinar la suma de los puntos de una fi cha de dominó elegida al azar

de entre el total de las fi chas, ¿cuál propondrían? ¿Por qué?

2. En equipos de tres, realicen lo siguiente.

Cada quien elija uno de estos pares de números: 1 y 2, 3 y 4, 5 y 6. De acuerdo con ello, ano-ten su nombre en las celdas de inicio de columna de la tabla 1.9.5 que aparece más adelante.

Lancen un dado sobre una superfi cie plana. Anoten una G en la celda ganadora del primer turno. Hagan lo mismo hasta el último turno. Gana el jugador que acumule más turnos ganadores.

Ahora respondan.

a) ¿Qué pares de números resultaron ganadores?

b) ¿Consideran que en este juego interviene la habilidad del jugador?

3. Comparen en grupo los resultados de todos los equipos y contesten lo siguiente.

a) ¿Coinciden los pares ganadores de todos los equipos? ¿Por qué?

Resuelve

Regresa y revisa

Nombre del jugador (puntos elegidos)

Turno (1 o 2) (3 o 4) (5 o 6)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Nombre del jugador (puntos elegidos)

Turno (1 o 2) (3 o 4) (5 o 6)

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Tabla 1.9.5


Bloque

1

74

5 Comparen sus resultados con los de los demás equipos del grupo y discutan lo siguiente.

a) Si se tratara de adivinar qué color saldrá más en el juego de las canicas, ¿por

cuál apostarías?

b) ¿Hay alguna estrategia para ganar en el juego anterior? ¿Por qué?

6 Repitan los ejercicios 4 y 5, pero ahora usen cuatro canicas blancas, tres verdes y una negra. Registren sus resultados y respuestas en su cuaderno.

¿Sólo azar?

Para jugar dominó, las fichas se reparten de manera aleatoria.


a) Si en una partida de dominó es su turno, ¿qué deben considerar para tirar una

ficha?

b) ¿Sabrían con exactitud qué ficha van a tirar en el siguiente turno? ¿Por qué?

c) ¿Expliquen si ganar una partida de dominó depende sólo de la habilidad de los

jugadores?

2 En grupo, comenten algunos juegos donde ganar depende tanto del azar como de la habilidad de cada jugador.

1. José y Santiago discutían de futbol. José decía que el resultado se defi ne sólo por la habilidad de los jugadores, pero Santiago decía que además depende del azar. ¿Tú qué opinas?

Refl exiona

Regresa y revisa

1 Responde lo siguiente en tu cuaderno.a) En la actividad de la situación inicial si se tratara de adivinar el número que

saldrá más, ¿cuál no debes elegir? ¿Por qué?b) ¿Consideras que si un resultado tiene más posibilidades de salir, elegirlo te da

ventajas para ganar? ¿Por qué?

2 En grupo, discutan si el único factor para ganar un juego es elegir el resultado que tiene el mayor número de posibilidades de salir.

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la actividad Lanzamientos rápidos de una moneda que se encuentra en la sección Equipa-miento experi-mental.


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Sugerencias didácticas En el ejercicio 1 a), algunos alumnos escribirán que 8 es la suma que tiene más posibilidades, pues así sucedió en su experimento. Es importante comparar varias respuestas y analizar que hay más combinaciones que permiten obtener el número 6 que combina-ciones que permiten obtener el 8.

SolucionarioResuelve1. a) R. L. La respuesta que se espera es 6.

b) El número 6, pues se obtiene con más sumas que los demás números: con las fichas (0, 6), (1, 5), (2, 4) y (3, 3).

2. a) R. L. Depende de cada equipo, pues no hay números favo-ritos.

b) No, pues es un juego de azar y todos los números tienen la misma posibilidad de salir.

3. a) R. M. Lo más seguro es que no, pues es un experimento aleatorio con la misma posibilidad para todos los resultados.

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74 BLOQUE 1 / APLICA LAS MATEMÁTICAS


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META

¿Qué figura lo cumple?Reúnete con cuatro compañeros para jugar y repasar al mismo tiempo algunas propiedades de triángulos y cuadriláteros.

Instrucciones del juego.

1 Fotocopien la página siguiente y recorten las 30 tarjetas.

2 Cada uno elija una figura de la tabla y sorteen los turnos para jugar.

3 Mezclen las tarjetas y apílenlas boca abajo.

4 Por turnos cada uno debe tomar una tarjeta y leer la propiedad escrita. Si su figura la cumple, avanza una posición hacia la meta, marcando la casilla de la columna correspondiente con una ü. Coloquen la tarjeta boca abajo al final de la pila.

5 Si un jugador saca una tarjeta que ya hubiera leído en otro turno, deberá elegir una de las siguientes figuras que cumpla la propiedad escrita en la tarjeta. Si su respuesta es correcta, avanzará una posición.



Esta sección tiene como propósito que los estudiantes desarro-llen sus habilidades matemáticas a través de actividades lúdicas.

Pida a los estudiantes con anticipación los materiales para lle-var a cabo las actividades que se proponen en la sección.

Propicie el trabajo colaborativo en los alumnos al cambiar-los de equipo a la mitad de la actividad de tal manera que los alumnos que lleguen al nuevo equipo continuen el juego del compañero que lo dejó.

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75BLOQUE 1 / APLICA LAS MATEMÁTICAS


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Todos sus lados son

de la misma longitud

Todos sus ángulos internos miden

lo mismo

Todos sus ángulos

internos son menores

que 90 grados

El circuncentro está siempre

en uno de sus lados

Tiene al menos un ángulo

interno mayor que 90 grados

Tiene a lo más dos lados de la

misma longitud

Todos sus lados son

de diferente longitud

Todos sus ángulos

internos son de 60 grados

Una de sus bisectrices

coincide con una de sus medianas

Tiene tres vértices

No tiene diagonales

Tiene cuatro vértices

La intersección de las alturas es

un vértice

Sus diagonales son iguales

Una de sus alturas coincide con una de sus

mediatrices

La fórmula para calcular su área

es base por altura sobre 2

La fórmula para calcular

su área es base por altura

Sus diagonales no son iguales

Tiene dos diagonales

Se encuentran dos fi guras de este tipo

al trazar una diagonal en

un rectángulo

Sus diagonales son

perpendiculares

Se puede trazar

con regla graduada y compás

Se puede trazar con escuadras

y regla graduada

Se puede trazar con

transportador y regla

graduada

Todos sus ángulos

internos son menores o iguales

a 90 grados

Todas sus rectas notables

coinciden

Tiene dos lados que

son paralelos

Sus lados opuestos miden lo mismo

Se puede dividir

en cuatro triángulos escalenos

Tiene al menos

un ángulo que mide 90 grados



76

META

¿Qué figura lo cumple?Reúnete con cuatro compañeros para jugar y repasar al mismo tiempo algunas propiedades de triángulos y cuadriláteros.

Instrucciones del juego.

1 Fotocopien la página siguiente y recorten las 30 tarjetas.

2 Cada uno elija una figura de la tabla y sorteen los turnos para jugar.

3 Mezclen las tarjetas y apílenlas boca abajo.

4 Por turnos cada uno debe tomar una tarjeta y leer la propiedad escrita. Si su figura la cumple, avanza una posición hacia la meta, marcando la casilla de la columna correspondiente con una ü. Coloquen la tarjeta boca abajo al final de la pila.

5 Si un jugador saca una tarjeta que ya hubiera leído en otro turno, deberá elegir una de las siguientes figuras que cumpla la propiedad escrita en la tarjeta. Si su respuesta es correcta, avanzará una posición.


Sugerencias didácticasEn este caso, pida a los jóvenes que lleven al salón las tarjetas ya cortadas para optimizar el tiempo de clase y prepare los sólidos platónicos para guiar el trabajo de los estudiantes.

Organice al grupo en equipos para realizar la actividad. Antes de iniciar el juego y después de que elijan su figura, propónga-les que por turnos describan algunas de las características de la figura que les tocó, sin ver las tarjetas del juego. Durante el juego manténgase a la expectativa para intervenir en caso de que en alguno de los equipos existan dudas en cuanto a las caracterís-ticas o respuesta de algún estudiante.

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76 BLOQUE 1 / HERRAMIENTAS

Herramientas

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Trazo de triángulos y cuadriláteros Existen diversos software libres (programas informáticos gratuitos) de matemáticas que, entre otras funciones, permiten trazar una gran variedad de figuras y estudiar las propiedades de las figuras geométricas, pues los trazos se pueden modificar de manera dinámica. En internet puedes obtener uno gratuito, pregunta a tu maestro cual es el más adecuado.

Exploración del software

Idioma. Abre el programa; si los menús se encuentran en inglés, selecciona la si-guiente secuencia de la barra de menús: Options, Language, R-Z y Spanish.

Herramientas. En la ventana aparecen los botones de algunas de ellas, como se muestra en la siguiente figura; cada uno tiene un triángulo invertido: si haces clic en él, aparecerán otras herramientas (las herramientas de cada programa varían).

Ubica algunas de las herramientas del software y pruébalas para que las conozcas.

Nociones

• Para ver o quitar la cuadrícula o los ejes x y y, selecciona en la barra de menús Vista / Cuadrícula o Vista / Ejes.

• Para insertar un punto, selecciona la herramienta Nuevo punto y haz clic sobre el área para construcciones.

• Para mover el punto (u otro objeto) selecciona la herramienta Elige y mueve. Manteniendo apretado el botón izquierdo del ratón, haz clic sobre el punto y muévelo sobre el área de construcción. También es posible mover el nombre del punto cuando sea necesario.

• Para borrar cualquier objeto, haz clic con el botón de-recho del ratón sobre él y selecciona la opción Borra.

• Con el mismo menú podrás mostrar/ocultar el obje-to, renombrarlo y modificar sus propiedades (color del contorno, color del relleno, entre otros).

• Para trazar un segmento, selecciona la herramienta Segmento entre dos puntos , haz clic sobre el área de trabajo y después otro clic en un lugar distinto del primero.

• Cada vez que empieces a trabajar en una nueva ven-tana, los vértices se nombrarán automáticamente de acuerdo con el orden de las letras del abecedario. De ahí que el segmento anterior se llamará segmento AB.

• Hay herramientas que funcionan con cierto tipo de ob-jetos, por lo que a veces, al elegir alguna de ellas, en

www.edutics.mx/4hC

un software gratuito de geo-metría, álgebra y cálculo.


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Herramientas

Esta sección tiene como propósito introducir a los estudiantes en el uso de las Tecnologías de la Información y de la Comuni-cación (TIC), que forman parte de las nuevas prácticas de apren-dizaje, y con esto facilitarles su adaptación a situaciones educa-tivas que se encuentran en permanente cambio.

Es deseable que motive a los alumnos a leer la actividad y ex-plorar la herramienta antes de desarrollar la actividad. Resuelva las dudas que puedan surgir en plenaria con el grupo.

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77BLOQUE 1 / HERRAMIENTAS

Herramientas

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la parte superior derecha de la barra de herramientas aparecerá su nombre y los objetos que se requieren. Por ejemplo, para el trazo de una mediatriz aparecerá Dos puntos o un segmento. Entonces, después de seleccionar la herramienta Mediatriz deberás seleccionar dos puntos o un segmento de los que se trazará la mediatriz.

2 Responde lo siguiente en tu cuaderno. a) ¿Cuál es el nombre del cuadrilátero ADBE? b) ¿Cuáles son las propiedades de ese polígono?

3 A partir de la figura trazada en el ejercicio anterior sigue los pa-sos que se indican a continuación.

▶ Ubica un nuevo punto sobre la mediatriz arriba del segmento AB, de modo que la distancia entre él y C sea la misma que entre C y E. Aparecerá un punto llamado F.

▶ Traza el polígono AFBE y cambia su color de modo que sea dife-rente al de los segmentos AD y DB.

▶ Utiliza la herramienta correspondiente para trazar una circunfe-rencia; ubica su centro en C y asígnale un radio igual a la longi-tud del segmento CB. Llámala Circ. El resultado debe ser similar al de la figura 1.H.2.

▶ Mueve el punto E: sólo podrás hacerlo sobre la mediatriz, y eso provocará que el punto F también se mueva, ya que éste depen-de del punto E.

Figura 1.H.2

Figura 1.H.1

A BC

D

E

Mediatriz

Mediatriz

Circ

A B

D

F

E

C

Cuadriláteros

1 Realiza lo siguiente.▶ En una nueva ventana, traza un segmento horizontal de

la medida que desees usando la herramienta adecuada. ▶ Traza la mediatriz del segmento AB y llámala Mediatriz.

Marca con un punto la intersección del segmento AB y su mediatriz. Automáticamente ese punto se llamará C.

▶ Con la herramienta Nuevo punto coloca sobre la me-diatriz un punto arriba del segmento AB. Ese punto se llamará D. Luego coloca otro punto debajo del segmen-to AB y sobre la mediatriz, cuya distancia a C sea menor que la distancia entre los puntos D y C. El nuevo punto se llamará E.

▶ Traza el polígono ADBE y, si lo deseas, cambia su color. El resultado debe ser similar al de la figura 1.H.1.


Herramientas

78

Trazo de triángulos y cuadriláteros Existen diversos software libres (programas informáticos gratuitos) de matemáticas que, entre otras funciones, permiten trazar una gran variedad de figuras y estudiar las propiedades de las figuras geométricas, pues los trazos se pueden modificar de manera dinámica. En internet puedes obtener uno gratuito, pregunta a tu maestro cual es el más adecuado.

Exploración del software

Idioma. Abre el programa; si los menús se encuentran en inglés, selecciona la si-guiente secuencia de la barra de menús: Options, Language, R-Z y Spanish.

Herramientas. En la ventana aparecen los botones de algunas de ellas, como se muestra en la siguiente figura; cada uno tiene un triángulo invertido: si haces clic en él, aparecerán otras herramientas (las herramientas de cada programa varían).

Ubica algunas de las herramientas del software y pruébalas para que las conozcas.

Nociones

• Para ver o quitar la cuadrícula o los ejes x y y, selecciona en la barra de menús Vista / Cuadrícula o Vista / Ejes.

• Para insertar un punto, selecciona la herramienta Nuevo punto y haz clic sobre el área para construcciones.

• Para mover el punto (u otro objeto) selecciona la herramienta Elige y mueve. Manteniendo apretado el botón izquierdo del ratón, haz clic sobre el punto y muévelo sobre el área de construcción. También es posible mover el nombre del punto cuando sea necesario.

• Para borrar cualquier objeto, haz clic con el botón de-recho del ratón sobre él y selecciona la opción Borra.

• Con el mismo menú podrás mostrar/ocultar el obje-to, renombrarlo y modificar sus propiedades (color del contorno, color del relleno, entre otros).

• Para trazar un segmento, selecciona la herramienta Segmento entre dos puntos , haz clic sobre el área de trabajo y después otro clic en un lugar distinto del primero.

• Cada vez que empieces a trabajar en una nueva ven-tana, los vértices se nombrarán automáticamente de acuerdo con el orden de las letras del abecedario. De ahí que el segmento anterior se llamará segmento AB.

• Hay herramientas que funcionan con cierto tipo de ob-jetos, por lo que a veces, al elegir alguna de ellas, en

www.edutics.mx/4hC

un software gratuito de geo-metría, álgebra y cálculo.


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Sugerencias didácticasSi tiene oportunidad trabaje con los estudiantes en el aula de medios, ya que el uso de estos recursos incide positivamente en la disposición de los alumnos para profundizar y enriquecer su conocimiento.

Organice al grupo en equipos y guíe el trabajo durante el de-sarrollo de la actividad. Para cada pregunta, genere una discu-sión en el grupo y lleguen a un conclusión para responder.

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Herramientas

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4 Responde lo siguiente en tu cuaderno. a) ¿Qué polígono forman los puntos A, F, B y E cuando el punto E queda sobre

la circunferencia y cuál se forma cuando queda fuera o dentro de ella?b) ¿Qué propiedades comparten los polígonos que se forman y cuáles son sus

diferencias? c) ¿Qué pasa cuando el punto E se encuentra encima del punto C?

5 Retoma la figura trazada en el ejercicio anterior y sigue los pasos que se indican a continuación.

▶ Oculta la circunferencia Circ.▶ Ubica un nuevo punto X sobre la prolon-

gación del segmento EB, de modo que la distancia entre él y B sea la misma que en-tre B y E.

▶ Ubica un nuevo punto Y sobre la prolon-gación del segmento EA, de modo que la distancia entre él y A sea la misma que hay entre A y E.

▶ Luego traza dos segmentos de la misma medida y perpendiculares al segmento YX: uno de ellos debe tener como extre-mo al punto Y y el otro, al punto X como se observa en la figura 1.H.3. Nombra, respectivamente, Z y W a los otros extre-mos de los segmentos que parten de X y de Y.

▶ Traza los polígonos WXYZ y ABXY y modifica el color de cada uno de modo que sea diferente a los de los polígonos anteriores. El resultado debe ser similar al de la figura 1.H.3.

6 Responde en tu cuaderno.a) ¿Cuál es el cuadrilátero obtenido con los puntos WXYZ? b) ¿Cómo se llama el cuadrilátero que se forma con los puntos ABXY? c) ¿Qué polígono forman los puntos AFXB?d) Escribe las propiedades de cada uno de los últimos tres polígonos.

Para corroborar algunas de tus respuestas, mide las dimensiones de los ángulos con la herramienta Ángulo y las de los segmentos con la herramienta Distancia o longitud.

Otras construcciones

Revisa algunos procedimientos del bloque 1 para trazar un triángulo y dos cuadri-láteros diferentes. Construye esos polígonos utilizando el software y escribe en tu cuaderno los pasos que seguiste.

Figura 1.H.3

Mediatriz

A

Y X

Z W

B

D

F

E

C


78 BLOQUE 1 / HERRAMIENTAS

Sugerencias didácticasAl final de la actividad, comente con el grupo su experiencia al realizar las actividades propuestas. También puede proponerles re-tomar algunas de las actividades de la lección correspondiente, para que exploren la herramienta.

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1 Lee cada uno de los siguientes enunciados. 2 Señala si es falso (F) o verdadero (V).

3 Explica cómo verificarías tu respuesta.

Enunciado F V Propuesta de verifi cación

a) 15 es igual a 0.26.

b) Si un número a es menor que 35 y otro

número b es mayor que 35

, entonces, en

la recta numérica, a está a la izquierda de b.

c) Si en un rectángulo el perímetro es de 73 cm

y uno de los lados mide 34

cm, entonces el otro

lado mide 512

cm.

d) La sucesión 7, 9, 11,… es de progresión geométrica.

e) Si un triángulo de base m y altura z aumenta su altura al doble, entonces el área del triángulo resultante es m por z.

f) Dado un segmento, es posible construir un triángulo equilátero sólo usando compás y regla no graduada.

g) En un triángulo con un ángulo obtuso, el ortocentro siempre se ubica fuera de él.

h) Cecilia trabajó tres días de 8 am a 1 pm, y Juan, dos días de 8 am a 6 pm, por lo cual a ambos deben pagarles la misma cantidad de dinero.

i) Si se va a lanzar 11 veces un dado, una estrategia para adivinar el número que caerá en el volado número 11 consiste en elegir el número que caiga más veces en los primeros 10 tiros.

4 En la página 83 podrás revisar cuáles enunciados son falsos y cuáles son verda-deros. Revisa en tu libro los temas de las respuestas erróneas; de ser necesario, replantea tus propuestas de verificación y aplícalas.

Autoevaluación


Herramientas

80

4 Responde lo siguiente en tu cuaderno. a) ¿Qué polígono forman los puntos A, F, B y E cuando el punto E queda sobre

la circunferencia y cuál se forma cuando queda fuera o dentro de ella?b) ¿Qué propiedades comparten los polígonos que se forman y cuáles son sus

diferencias? c) ¿Qué pasa cuando el punto E se encuentra encima del punto C?

5 Retoma la figura trazada en el ejercicio anterior y sigue los pasos que se indican a continuación.

▶ Oculta la circunferencia Circ.▶ Ubica un nuevo punto X sobre la prolon-

gación del segmento EB, de modo que la distancia entre él y B sea la misma que en-tre B y E.

▶ Ubica un nuevo punto Y sobre la prolon-gación del segmento EA, de modo que la distancia entre él y A sea la misma que hay entre A y E.

▶ Luego traza dos segmentos de la misma medida y perpendiculares al segmento YX: uno de ellos debe tener como extre-mo al punto Y y el otro, al punto X como se observa en la figura 1.H.3. Nombra, respectivamente, Z y W a los otros extre-mos de los segmentos que parten de X y de Y.

▶ Traza los polígonos WXYZ y ABXY y modifica el color de cada uno de modo que sea diferente a los de los polígonos anteriores. El resultado debe ser similar al de la figura 1.H.3.

6 Responde en tu cuaderno.a) ¿Cuál es el cuadrilátero obtenido con los puntos WXYZ? b) ¿Cómo se llama el cuadrilátero que se forma con los puntos ABXY? c) ¿Qué polígono forman los puntos AFXB?d) Escribe las propiedades de cada uno de los últimos tres polígonos.

Para corroborar algunas de tus respuestas, mide las dimensiones de los ángulos con la herramienta Ángulo y las de los segmentos con la herramienta Distancia o longitud.

Otras construcciones

Revisa algunos procedimientos del bloque 1 para trazar un triángulo y dos cuadri-láteros diferentes. Construye esos polígonos utilizando el software y escribe en tu cuaderno los pasos que seguiste.

Figura 1.H.3

Mediatriz

A

Y X

Z W

B

D

F

E

C


79BLOQUE 1 / AUTOEVALUACIÓN

Autoevaluación

Solucionario

3. a) F, 15

= 20100

= 0.20 ≠ 0.26.

b) V, Como en la recta numérica el número a se localiza a la

izquierda de 35

(pues a es menor que 35

), y como el número

b se localiza a la derecha de 35

(pues b es mayor que 35

),

entonces a está a la izquierda de b.

c) V, Calcular el perímetro con los datos que se indican:

(L + L + A + A =) 34

+ 34

+ 512

+ 512

= 912

+ 912

+ 512

+ 512

= 2812

= 73

, por lo tanto, el enunciado es cierto.

d) F, Los cocientes 79

y 911

son distintos, por lo tanto, no es una

sucesión con progresión geométrica.

e) V, Usar la fórmula para calcular el área de un triángulo (b × h2

) y multiplicar la altura por 2.

f) V, Los extremos del segmento son los vértices del triángulo; para encontrar el tercer vértice se trazan dos circunferen-cias, cada una con centro en un extremo del segmento, con un radio igual a la medida de éste; esas circunferencias se intersecan en dos puntos, y cualquiera de ellos es el tercer vértice del triángulo equilátero.

g) V, Se trazan varios triángulos obtusángulos y sus ortocentros. h) F, Hay que repartir una cantidad de dinero entre las dos per-

sonas, pero Cecilia trabajó 15 horas en total y Juan, 20, por lo que les corresponden cantidades de dinero diferentes.

i) F, Al lanzar un dado todos los resultados tienen la misma posibilidad de salir, por lo que no hay forma de predecir el resultado del tiro número 11, es decir, no hay ninguna estrategia.

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80 BLOQUE 1 / EVALUACIÓN PLANEA

Evaluación PLANEA

82

Resuelve los siguientes problemas y elige la opción correcta.

1 El punto M está ubicado a 29 del punto N, ¿qué fracción representa?

a) 59

b) 23

c) 69

d) 33

2 ¿Cuánto pesa una bolsa que contiene 1 12 kg de jamón y 2 3

4 kg de queso?

a) 3 12 kg

b) 2 13 kg

c) 4 18 kg

d) 4 14 kg

3 ¿Cuál sucesión cumple con la regla: Cada elemento se obtiene al considerar el lugar que ocupa, multiplicando éste por 6 y restándole 4?

a) 4, 2, 8, 14, 20,…b) 2, 8, 14, 20, 26,…c) 4, 10, 16, 22, 28,…d) 10, 16, 22, 28, 34,…

4 ¿Con cuál de las siguientes expresiones se puede obtener el perímetro de la figura?

a) n + m + n + 8b) m + n + 8c) 2m + 2n + 8d) 4mn + 8

5 Tres copiadoras sacan la misma cantidad de copias en una hora. Hoy la copia-dora Print trabajó 3 h, la Copyp, 4 h y la Hslaser, 5 h. Entre las tres sacaron 8 400 copias, ¿cuántas se sacaron en la copiadora Hslaser?

a) 2 800b) 700c) 3 500d) 2 400

8

w m

n n

N M

13

89


Evaluación Planea

El propósito de esta sección es reafirmar y evaluar los contenidos abordados en el bloque. En el libro interactivo se encuentra una evaluación Planea complementaria que puede resolver en grupo con el fin de detectar fallas en procedimientos, ideas erróneas o problemas en la realización de cálculos u operaciones. Es impor-tante que, junto con el grupo, trabaje en la corrección de las pro-blemáticas encontradas involucrando a los alumnos dentro de un ambiente de confianza que sea propicio para el aprendizaje.

Solucionario

1. a) 59

2. d) 4 14

kg

3. b) 2, 8, 14, 20, 26,…4. c) 2m + 2n + 85. c) 3 500

Evaluación final Planea. © T

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. A. d

e C

. V.

81BLOQUE 1 / EVALUACIÓN PISA83

Evaluación PISA

1 Para hacer unos bastidores, un carpintero utilizará clavos que miden 58 de pul-

gada, de modo que al clavarlos queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de cada clavo que quedará dentro de la madera.

2 Indica en la regla correspondiente la longitud de cada uno de los clavos cuyas medidas se presentan a continuación.

Clavo Longitud

M 34

de pulgada

N 58

de pulgada

O 1 14

pulgadas

X 1.2 cm

Y 3.8 cm

Z 7.6 cm

3 En un centro comercial se apilan latas de duraznos del siguiente modo.

a) ¿Cuántas latas habrá apiladas en un arreglo de 20 niveles?

b) ¿Y en uno de 100 niveles?

Respuestas de la autoevaluación de la página 81. Enunciados falsos: a, d, h, i; enunciados verdaderos: b, c, e, f, g.

Pulgadas

Centímetros


Evaluación PLANEA

82

Resuelve los siguientes problemas y elige la opción correcta.

1 El punto M está ubicado a 29 del punto N, ¿qué fracción representa?

a) 59

b) 23

c) 69

d) 33

2 ¿Cuánto pesa una bolsa que contiene 1 12 kg de jamón y 2 3

4 kg de queso?

a) 3 12 kg

b) 2 13 kg

c) 4 18 kg

d) 4 14 kg

3 ¿Cuál sucesión cumple con la regla: Cada elemento se obtiene al considerar el lugar que ocupa, multiplicando éste por 6 y restándole 4?

a) 4, 2, 8, 14, 20,…b) 2, 8, 14, 20, 26,…c) 4, 10, 16, 22, 28,…d) 10, 16, 22, 28, 34,…

4 ¿Con cuál de las siguientes expresiones se puede obtener el perímetro de la figura?

a) n + m + n + 8b) m + n + 8c) 2m + 2n + 8d) 4mn + 8

5 Tres copiadoras sacan la misma cantidad de copias en una hora. Hoy la copia-dora Print trabajó 3 h, la Copyp, 4 h y la Hslaser, 5 h. Entre las tres sacaron 8 400 copias, ¿cuántas se sacaron en la copiadora Hslaser?

a) 2 800b) 700c) 3 500d) 2 400

8

w m

n n

N M

13

89


Evaluación PISA

El propósito de esta sección es evaluar los conocimientos ad-quiridos por los estudiantes durante el bloque

Sugiera a los estudiantes que antes de responder cada pre-gunta, las lean con mucha atención y que en su cuaderno o en una hoja realicen los cálculos necesarios para responder, si-guiendo los procedimientos que requiera cada situación, antes de leer las opciones de respuesta.

Una vez fi nalizada la evaluación, organice una revisión en grupo de los resultados, con el fi n de detectar las fallas más frecuentes en el grupo para trabajar en conjunto en su correc-ción. Es importante revisar los procedimientos de los estudian-tes, porque en algunos casos, el procedimiento es el correcto, pero el error puede estar al hacer los cálculos u operaciones correspondientes.

Solucionario

1. La parte del clavo que queda dentro de la madera es 58

– 110

= 2140

de pulgada.

2.

3. a) 210 latas. b) 5 050 latas.

Centímetros

X Y Z

Pulgadas

NM O

© T

od

os

los

de

rech

os

rese

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os,

Ed

icio

ne

s C

asti

llo, S

. A. d

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