Crash-Kurs Mathematik II Kapitel Integralrechnung 2011 Daniela Lukassen 1 … · 2019. 9. 6. ·...

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K A P I T E L - I N T E G R A L R E C H N U N G

1 Grundlagen

Ist eine gegebene Funktion

heißt �� STAMMFUNKTION

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.

1.1 Unbestimmte Integrale

Ist �� ein Integral von

Integral von ��. Man nennt es das

INTEGRATIONSKONSTANTE

Um auszudrücken, dass zu der Funktion

� � � �� heißt der INTEGRAND

die Integrationsvariable ist.

GRUNDINTEGRALE

Crash-Kurs Mathematik II

2011

Daniela Lukassen

Kapitel

Seite

N T E G R A L R E C H N U N G

Ist eine gegebene Funktion �� die Ableitung einer Funktion ��, also

TAMMFUNKTION oder ein INTEGRAL von ��.

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.

Unbestimmte Integrale

ein Integral von �� und eine beliebige Konstante, so ist auch

Man nennt es das UNBESTIMMTE INTEGRAL

NTEGRATIONSKONSTANTE .

dass zu der Funktion � � �� das Integral � � ��

· ��

NTEGRAND , � die INTEGRATIONSVARIABLE �� gibt zu erkennen, dass

die Integrationsvariable ist.

Kapitel Integralrechnung

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, also �� , so

eine beliebige Konstante, so ist auch �� ein

NTEGRAL von ��. c heißt

� gehört, schreibt man

gibt zu erkennen, dass �

[Papula Band I, S. 419]


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1.2 Integrationsregeln

1.2|1 KONSTANTER FAKTOR

bleibt beim Integrieren erhalten und darf vor das Integral gezogen werden.

1.2|2 SUMMEN UND D IFFERENZEN

von Funktionen dürfen gliedweise integriert werden.

1.2|3 PARTIELLE INTEGRATION

ist die Umkehrung der Produktregel. Nehme Funktionen, wie die Cosinus-, die Sinus- oder

auch die Exponentialfunktion immer als u-Funktion! Für die Logarithmus Funktion aber v!

1.2|4 SUBSTITUTION

Bei bestimmten Integralen müssen die Grenzen mit substituiert werden.

Berechnung eines Integrals mittels einer geeigneten Substitution:

1. Aufstellung der Substitutionsgleichungen

� � ��, �� , ��

��

2. Durchführung der Integralsubstitution durch Einsetzen der Substitutionsgleichung in

das vorgegebene (unbestimmte) Integral � �� :

� ��

Das neue Integral enthält nur noch die neue Variable � und deren Differential ��. Der

neue Integrand ist ��.

3. Integration (Berechnung des neuen Integrals) � �� Φ��

4. Rücksubstitution

� �� Φ�� Φ��

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INTEGRALSUBSTITUTION


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NTEGRALSUBSTITUTION - ÜBERBLICK


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[Papula Band I, S. 430]


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B EISPIELE SUBSTITUTION :

(Zu A) 1 ��2� − 3��

� � 2� − 3 �� 2 ⇒ �� 1

2 ��

� �� ∙ 12 �� = 1

2 � �� = 12 ∙ 1

7 �! + = 114 �! + = 1

14 �2� − 3�!

(Zu A) 2 � √4� + 5 ��

� = 4� + 5 �� = 4 ⇒ �� = 1

4 ��

� √� ∙ 14 �� = 1

4 � √� �� = 14 � �% &⁄ �� = 1

4 ∙ 23 �( &⁄ + = 1

6 �& (⁄ +

= %� �4� + 5�( &⁄ +c

(Nutze sonst auch die Integraltafeln der Formelsammlungen!)

(Zu B) 3 � sin � cos � ��

� = sin � �� = cos � ⇒ �� = 1

cos � ��

� � ∙ cos � ∙ 1cos � �� = � � �� = 1

2 ∙ �& + = 12 sin& � +

(Zu B) 4 � ln ��

� = ln � �� = 1

� ⇒ �� = � ��

� �� ∙ � �� = � � �� = 1

2 ∙ �& + = 12 �ln ��& +

(Zu C) 5 � 2� − 3�& − 3� + 1 ��

� = �& − 3� + 1 �� = 2� − 3 ⇒ �� = ��

2� − 3

� 2� − 3� ∙ ��

2� − 3 = � 1� �� = ln � + = ln��& − 3� + 1� +


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1.3 Das bestimmte Integral

Es sei �� irgendein Integral von ��. Dann gibt das

bestimmte Integral den Inhalt der Fläche an, welche

zwischen der Kurve � = ��, der x-Achse und den

Geraden � = 0 und � = 1 liegt.

Beispiel 1.3 Bestimmen Sie den Flächeninhalt A, den die Kurve � = �( − 6�& − 4� + 24 mit der

x-Achse einschließt.

Lösung 1.3 [Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C34 Seite 181]

Nullstellen bestimmen!


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2 Anwendung der Integralrechnung

2.1 Berechnung von Rauminhalten von Rotationskörper n

Rotationskörper entstehen durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene

liegende Achse. Zu ihnen gehören beispielsweise die Kugel, der Kreiskegel, der Zylinder

oder der Rotationsparaboloid.

Rotation einer Kurve um die x-Achse

Die über dem Intervall 0 ≤ � ≤ 1 gelegenen Kurve mit

der Funktionsgleichung � = �� erzeuge bei Rotation

um die x-Achse einen Rotationskörper. Dieser wird

durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in eine große

Anzahl n von Scheiben gleicher Dicke ∆� zerlegt.

Rotation einer Kurve um die x-Achse

4 = � �45

=

Rotation einer Kurve um die y-Achse

4� = � �45

=


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Beispiel 2.1 Das zwischen dem Kreis �& + �& = 16 und der Parabel � = %� �& gelegene

Flächenstück erzeugt bei Drehung um die y-Achse einen Rotationskörper. Wie groß

ist das R O T A T I O N S V O L U M E N Vy?

Lösung 2.1 [Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C40 Seite 186f]


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2.2 Berechnung der Bogenlänge einer Kurve

Beispiel 2.2 Berechnen Sie die B O G E N L Ä N G E der Kurve

� = %& �√� + 1 im Intervall 0 ≤ � ≤ 4. Lösen Sie

das anfallende Integral mit einer geeigneten

Methode.


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2.3 Mantelfläche (Oberfläche) eines Drehkörpers

Mantelfläche eines Körpers: Rotation um die x

Beispiel 2.3 Durch Drehung der Kurve

um die x-Achse wird ein Rotationskörper erzeugt.

Welche Mantelfläche M

Lösung 2.3


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Mantelfläche (Oberfläche) eines Drehkörpers

Mantelfläche eines Körpers: Rotation um die x-Achse im Bereich von a bis b

Durch Drehung der Kurve � = √1 � �&, 0 2 � 2 3

Achse wird ein Rotationskörper erzeugt.

Welche Mantelfläche Mx besitzt dieser Körper?

[Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4.


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Achse im Bereich von a bis b:

und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C44 Seite 189]


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2.4 Statisches Moment und Schwerpunkt ebener Fläche n

�7 = � ∙�89� �89

= :;8

�7 = � �∙�89� �89

= :<8

Beispiel 2.4 Man bestimme den Schwerpunkt eines

Rechteckes mit den Seiten g und h.

Lösung 2.4


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2.5 Schwerpunkt einer Fläche unter einer Kurve = = >�?�

�7 = :;8 = � ∙�∙� @

A� �∙� @

A , y ist die Funktion, x konstant

�7 = :<&8 = � �B∙� @

A&∙� �∙� @

A

Beispiel 2.6 Bestimmen Sie den Schwerpunkt S der Fläche zwischen der Kurve � = CCD B und

der x-Achse im Intervall −2 ≤ � ≤ 2.



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2.6 Schwerpunkt einer Fläche zwischen zwei Kurven

�7 = :;8 = � ∙��FG�B�∙� @

A� ��FG�B�∙� @

A

�7 = :<&8 = � ��FBG�BB�∙� @

A&∙� ��FG�B�∙� @

A

Beispiel 2.5 Berechnen Sie für das von den Parabeln � = �& − 4� und � = − %H �& + 2�

eingeschlossene F L Ä C H E N S T Ü C K A & den F L Ä C H E N S C H W E R P U N K T S.

Lösung 2.5

Schwerpunkt


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2.7 Flächenträgheitsmomente

Das Flächenträgheitsmoment ist ein Maß für die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts auf

Biegung (im Zusammenhang mit dem Biegeproblem bei Balken und Trägern).

I = � �& ∙ �J8 axiales Trägheitsmoment bzgl. x-Achse

I� = � �& ∙ �J8 axiales Trägheitsmoment bzgl. y-Achse

Der Name „Flächenträgheitsmoment“ leitet sich vom „Trägheitsmoment“ eines Körpers ab.

Diese dem Flächenträgheitsmoment ähnliche Größe tritt in der Kinetik auf und beschreibt die

Trägheitswirkung einer Masse bei der Drehung.

Flächenträgheitsmoment einer Fläche zwischen der Kurve y=f(x) und der x-Achse

I = � �I 8= 1

3 � �(��K

L

I� = � �& ∙ �J8 = � �& ∙ � ∙ ��KL

2.7.1 Verschiebungssatz von Steiner

Ausgehend von der Schwere-Achse zu einer beliebigen parallelen Achse:

IM = IN + J ∙ 0&

Ausgehend von einer beliebigen Achse zur dazu parallelen Schwere-Achse

IN = IM − J ∙ 0&


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3 Numerische Integration

In vielen Fällen ist die Integration einer stetigen Funktion in geschlossener Form nicht

möglich oder aber vom Arbeits- und Rechenaufwand her nicht vertretbar. Aus diesem Grund

ist man auf Numerische Integrationstechniken angewiesen, welche ihrem Charakter nach

Näherungsverfahren darstellen.

3.1 Trapezregel

Das Intervall O0; 1Q ist in n gleich breite Abschnitte der Länge ℎ = KGLS zu teilen und nähert

man in jedem Teilintervall die Kurve durch die Sehne an, so erhält man als Näherungswert

für das gesuchte Integral I = � ��KL

V E R B E S S E R U N G S S C H R I T T

Man berechne ITBU (mit doppelter Schrittweite) und ITU dann erhält man einen verbesserten

Näherungswert durch:

Beispiel 3.1 Berechnen Sie das folgenden Integral näherungsweise nach der Trapezformel für n=6

Streifen: I = � VWX

Y &⁄Y C⁄ ��


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3.2 Simpson-Regel

Das Intervall O0; 1Q wird in eine

geteilt. Als Näherungswert für das bestimmte Integral

V E R B E S S E R U N G S S C H R I T T

Man berechne INBU (mit doppelter Schrittweite) und

Näherungswert durch:

Beispiel 3.2: Bestimmen Sie mit der

Flächeninhalt A zwischen der Kurve

Achse. Führen Sie einen Verbesserungsschritt durch.


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wird in eine gerade Anzahl n gleich breiter Abschnitte der Länge

geteilt. Als Näherungswert für das bestimmte Integral I � � � ��K

L erhält man:

E R B E S S E R U N G S S C H R I T T

(mit doppelter Schrittweite) und INU; dann erhält man einen verbesserten

Bestimmen Sie mit der S I M P S O N - F O R M E L für n=8 einen Näherungswert für den

Flächeninhalt A zwischen der Kurve � � ln�1 � 5�(�, 0Achse. Führen Sie einen Verbesserungsschritt durch.


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Anzahl n gleich breiter Abschnitte der Länge R �KGL

S

erhält man:

dann erhält man einen verbesserten

für n=8 einen Näherungswert für den

0 2 � 2 1,6 und der x-

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Lösung 3.2


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[Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4.


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und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C30 Seite 175f]


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4 Berechnung von Biege- & Momentenlinie aus den dif ferenziellen Beziehungen

In den folgenden Gleichungen bedeuten:

• E – Elastizitätsmodul (Materialkonstante)

• I – Flächenmoment des Balkenquerschnitts

Für ZI konstant gilt:

Lösung der Differentialgleichungen durch vierfache Integration

Belastungsverlauf

Querkraftlinie

Momentenlinie

Tangentielle Verdrehung

Biegelinie

Die vier Integrationskonstanten werden durch die Randbedingungen bestimmt:

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