8/2/2019 Cramer-rao Lower Bound for Jointly Estimated Channel Taps and Dc Offset in a Gsm Edge Receiver

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P r o c e e d i n g so f2 0 0 5I n t e r n a t i o n a lS y m p o s i u mo nI n t e l l i g e n tS i g na l P r o c e ss i n ga n dC o m m u n i c a t i o nS y s t e m s

CRAMER-RAO LOWER BOUND FOR JOINTLYESTIMATEDCHANNEL TAPSAND DCOFFSETIN A GSM/EDGERECEIVER

H a n g u a n gWu a n d W e nXuS i e m e n sAG - M o b i l eP h o n e s ,G r i l l p a r z e r s t r .1 0 - 1 8 ,8 1 6 7 5

M u n i c h ,G e r m a n yw u h a n g u a n g @ g m a i l . c o m ;w e n . x u @ i e e e . o r g

ABSTRACT

I nt h eGSM/EDGEm o bi l e c o m m u n ic a t i o ns y s t e m ,i f t h er e c e i v i n gm o b i l es t a t i o nd i r e c tc o n v e r t st h eRF s i g n a lt ot h eb a s e b a n ds i g n a l ,DCo ff se t w i l lb e g e n e r a t e da n ds h o u l db e t a k e nc a r eo f .C h a n n e lt a p sa n dDCo f f s e tc a nb e e s t i -m a t e dj o i n t l yb a se d o nt h et r a i n i n gs e q u e n c ec o d e s( T S C s ) .T h i sp a p e rp r e s e n t st h eC r a m e r - R a oL o w e rB o u n d( C R L B )f o rj o i n t l ye s t i m a t e dc h a n n e lt a p sa n dDCo f f s e tb a s e do nt h eT S C si nGSM/EDGEs y s t e m .I tp r o v i d e sa b e n c h m a r ka g a i n s tw h i c hwec a nc o m p a r et h ep e r f o r m a n c eo fa n yu n b i -a s e de s t i m a t o ra n ds h o w st h a td i f f e r e n tT S C si nGSM/EDGEs y s t e mh a v ed i f f e r e n ti m p a c t so nt h ee s t i m a t i o ne r r o r.

1 . INTRODUCTION

EDGE( E n h a n c e dD a t er a t e sf o rGSM E v o l u t i o n s )s y s t e me m p l o y s8PSKt op r o v i d eh i g h e rd a t ar a t et r a n s m i s s i o nt h a nGSM s y s t e mw i t h i nt h es a m eb a n d w i d t h .I no r d e rt oo b t a i nr e l i a b l ep e r f o r m a n c e ,ag o o dr e c e i v e rd e s i g ni sr e q u i r e d .Ont h eo t h e rh a n d ,t h er e c e i v e rs h o u l db ee f f i c i e n tf r o mt h ec o s t ,s i z ea n dp o w e rc o n s u m p t i o n sp o i n to f v i e wi nt h em o b i l es t a t i o n s .A d i r e c tc o n v e r s i o nr e c e i v e rw a sp r o v e dt of u l f i l lt h e s er e q u i r e m e n t s ,h e n c ei t i s c o m m o n l yu s e di nm o b i l es t a t i o n s[ 1 ] .H o w e v e r ,s u c ha r e c e i v e rc a u s e su n f a v o r a b l eDCo f f s e tp r o b l e mw h i c hh a st ob e t a k e nc a r eo f .H e r ewec o n s i d e rt h ep r o b l e mi nt h eb a s e b a n dp r o c e s s i n gt ot a k ec a r eo f t h eu n c o m p e n s a t e dDCo f f s e to r t h er e m a i n i n gp a r to f i tw h i c hi sn o tc o m p l e t e l ye l i m i n a t e di nt h eRF p a r t .

DCo f f s e th a st ob e e s t i m a t e df i r s ti no r d e rt oc o m p e n -s a t eo r s u p p r e s si t . A j o i n te s t i m a t i o no f t h ec h a n n e lt a p sa n dDCo f f s e tu s i n gL e a s tS q u a r e( L S )e s t i m a t i o nw a sp r o -p o s e di n [ 1 ] .A f u r t h e rr e d u c e dc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x -i t ya l g o r i t h mi nc o n n e c t i o nw i t hs y n c h r o n i z a t i o nw a si n t r o -d u c e di n [ 2 ] .M o r er e c e n t l y,I t w a ss h o w ni n [ 3 ]t h a tt h es e l e c t i o no f t r a i n i n gs e q u e n c e sh a sa s i g n i f i c a n ti n f l u e n c eo nt h eDCe s t i m a t i o na n dc h a n n e le s t i m a t i o ne r r o r.

I nt h i sp a p e r ,i n s t e a do f u s i n gt h eg e o m e t r i cp r o j e c t i o nm e t h o da si n[ 3 ]we s t u d yt h eCRLBf o rj o i n t l ye s t i m a t e dc h a n n e lt a p sa n dDCo f f s e tb a s e do nt h es t a n d a r d i z e dT S C s

i nt h eGSM/EDGEs y s t e m .I tp l a c e sa l o w e rb o u n do nt h ev a r i a n c eo f a n yu n b i a s e de s t i m a t o r .M o r ei m p o r t a n t l y ,ho wt h e s e l e ct i ono f t h et r a i n i n gs e q ue n c e i m pa c t st h ee s t i m a -t i o ne r r o r sc a nb ed i r e c t l yo b t a i n e df r o mt h eCRLBa n dt h ei n d i c a t i o no f t h ec h o i c eo f t h eTSCf or b e t t e rd e t e c t i o ni ss t r a i g h t f o r w a r d .

T h er em a i n d e r o ft h ep a p e ri so rg a n i z e da sf o l l o w s :F i r s t ,t h es i g n a lm o d e lf o rGSM/EDGEs y s t em u n d erc o n s i d e r a -t i o ni sd e s c r i b e d .T h e n ,CRLBf o rj o i n t l ye s t i m a t e dc h a n n e lt a p sa n dDCo f f s e ti sd e r i v e d .I t sr e s u l t sa r ep r e s e n t eda n dd i s c u s s e d .F i n a l l y,c o n c l u s i o n sa r ed r a w n .

2 . SIGNALMODEL FOR GSM/EDGESYSTEM

T h r o u g h o u tt h i sp a p e r ,c o m p l e xb a s e b a n dn o t a t i o ni su s e da n ds y m b o lr a t es a m p l i n gi sa s s u m e d .F i g .1 s h o w st h es i g -n a lm o d e lt ob e c o n s i d e r e di nt h i sp a p e r .I t r e p r e s e n t sad o w n l i n ks i g n a lf l o wd i a g r a mo faGSM/EDGEs y s t e m .H e r ewe f o c u so nt h ep a r to f t h er e c e i v e ds i g n a lu s e df o rc h a n n e le s t i m a t i o nb as ed o nt h et r a i n i n gs e q u e n c e s .B e f o r et r a n s -

e j n h ( m D ( T m ) e i f nb ( m ) u ( m )

F i g .1 .S i g n a lf l o wd i a g r a mi nGSM/EDGEs y s t e m

m i s s i o n ,t h et r a i n i n gs e q u e n c es y m b o lb ( m )C { - + 1 ,- 1 }w i l lb er o t a t e ds e q u e n t i a l l yc o u n t e rc l o c k w i s eb y 2 1 r(GMSKa p p r o x i m a t e db yr o t a t e dB P S K )o rb y 3 1F( 8 P S K )a c c o r d -i n gt oGSM o rEDGEs y s t e mr e s p e c t i v e l y.W ea s s u m et h a tt h ef a d i n gc h a n n e li sc o n s t a n tw i t h i nt h ep e r i o df o rc h a n -n e le s t i m a t i o n .T h eo v e r a l lc h a n n e li m p u l s er e s p o n s eh ( m )w h i c hc o m p r i s e sp u l s es h a p i n g ,f r e q u e n c ys e l e c t i v ec h a n n e la n dr e c e i v ef i l t e rc a nb e d e n o t e da s

Lh ( m )= o ( 1 ) ( m- 1 )

1= 0( 1 )

w h e r eL r e p r e s e n t st h eo r d e ro f t h e o ve ra l lc h a n n e l .o ( l )d e n o t e st h ec h a n n e lt a pc o e f f i c i e n t .D i sr e f e r r e dt oa st h e

0 - 7 8 0 3 - 9 2 6 6 - 3 / 0 5 / $ 2 0 . 0 0C 2 0 0 5I E E E .

D e c e m b e r1 3 - 1 6 ,2 0 0 5H on g K on g

- 6 0 1-

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DCo f f s e ta n di t i sm o d e l e da sa c o m p l e xr a n d o mv a r i a b l ew h i c hr e m a i n su n c h a n g e dw i t h i nt h epe r iodf o rc h a n n e le s -t i m a t i o n .L ( m )i st h ea d d i t i v ew h i t eG a u s s i a nn o i s e .I n t her e c e i v e r ,ad e r o t a t i o no f 1 ro r3 1 w i l lb ep e r f o r m e ds y m b o lb y s y m b o la c c o r d i n g l y ,h e n c et h ee q u i v a l e n td i s c r e t et i m es i g n a lm o d e li sg ivena s

y( m )= y ( m ) e J -jmL

o S ( l ) b (m- l ) e( m - l )+ D + ( T ) ] e - j m1= 0LZ ( j l ) b ( m- 1 )+ D e - j O m+ 6 5 ( m )

1= 0( 2 )

w h e r e& ( l )= c ( l ) e - M .6 9 ( m )= w ) ( m ) e - j O mi s a g a i nc o m p l e xw h it e G a us s ia nr a n d o mv a r i a b l e .T h et a s ki s t oj o i n t l ye s t i m a t et h ed e r o t a t e dc h a n n e lt a p s& ( l )( I 0 . . .. L )a n dDCo f f s e tD , g i v e nt h eN - L r e c e i v e ds y m b o l sy[ y ( L ) ,y ( L+ 1 ) ,. . .. , y ( N- 1 ) ]w h i c ha r e f r eeo f t h eu n -k n o w nt r a n s m i td a t ab u ta c o m b i n a t i o no f t h et a pw e i g h t e ds h i f t e dv e r s i o no fT S C .H e r eN 2 6h o l d sf o rGSM/EDGEn o r m a lb u r s t .Ho wa c c u r a t ec a nt h e yb e f o ra n u n bi a se de s -t i m a t o ra n dhowd o e st h ea c c u r a c yd ep en d o nt h et r a i n i n gs e q u e n c e ?T h eq u e s t i o n sc a nb ea n s w e r e db ye x a m i n i n gt h eCRLB.F o rt h ed e r i v a t i o no f t h eCRLB,we r e w r i t e( 2 )i nt e r m so f t h er e a lp a r ta n di m a g i n a r yp a r to f t h ep a r a m e t e r st ob e e s t i m a t e da sf o l l o w s

L

y ( m )= J R { & ( l ) } b ( m- 1)+ j f . { ( l ) } b ( m- 1) ]+1= 0

R f D j c - j O m+ j N D } e - j < j m+ 6 9 ( m )= s ( m )+ C D ( m ) ( 3 )

w i t hL

s ( m ) = J R { & ( l ) } b ( m- 1 ) +j f { ( l ) } b ( m- 1 ) ]+1=0

+ D j- j < m+ j f { D } e - j O m ( 4 )

3 . CRLBFOR JOINTLYESTIMATEDCHANNELTAPSAND DCOFFSET

I nt h i ss e c t i o n ,C r a m e r - R a ol o w e rb o u n do f j o i n tc h a n n e lt a p s& ( l )a n dDCo f f s e tD b a s e do nt h eT S C si nGSM/EDGEs y s t e mw i l lb e d e r i v e d .

T ob e g i n ,l e tt h ep a r a m e t e r st ob ee s t i m a t e di nt h es i g n a lm o d e lt ob ed e f i n e da sa v e c t o r

Q = [ X f { c ( O ) } ,. . . X{ o ( L ) } ,R { D } ,t o z ( O )} ,. . .. ,S t c z ( L ) } ,S a { D } ] ( 5 )

w h e r eX a n dS aa r et h er e a la n di m a g i n a r yp a r to p e r a t o rr e -s p e c t i v e l y.T h ec o v a r i a n c em a t r i xo fa n yu n b i a s e de s t i m a t o r

s h o u l df u l f i l lt h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t y[ 4 ]

E Q [ ( _ -Q ) T ( O- _ ) ] > F - 1 ( Q ) ( 6 )w h e r et h er e a l ,p o s i t i v ed e f i n i t ea n ds y m m e t r i c a l( L+ 2 )x( L+ 2 )m a t r i xF ( Q)i sc a l l e d t h eF i s h e ri n f o r m a t i o nm a t r i x .L e tQ kd e n o t et h ek t hp a r a m e t e ro ft h ev e c t o rQ a n dQ kt h ee s t i m a t eo f i t . I fO ki su n b i a s e d ,i t smeane s t i m a t i o ne r r o r( m e a ns q u a r ee r r o r ,MSE)i sg i v e nb y [ 4 ]

MSE(Qk) E Q [ ( Q k- Q k ) 2 ]> [ F - 1 ( Q ) ] k k :C R L B ( Q k )

( 7 )( 8 )

T h ed i a g o n a le l e m e n t[ F - 1( Q ) ] k ki sr e f e r r e dt oa st h eCRLBf o r( k .T h es t a n d a r dd e v i a t i o no fQ ki sd e n o t e da sRMSE

MSE. I tc a nb ed e m o n s t r a t e dt h a tt h eF i s h e ri n f o r m a t i o nm a t r i xc a n b ew r i t t e ni nt h ef o r m[ 4 ]

F() - [ IF (Q) F w ( Q )IFa R( Q )F a S a( Q )w i t hi t se l e m e n t

2 N-1

F k k ' ( Q ) = N T-, 8 H(T; Q) .N

m=L k

& Q k 's ( m ;Q )}

( 9 )

( 1 0 )

w h e r eN od e n o t e st h eo n es i d en o i s ep o w e rs p e c t r a ld e n s i t y.A c c o r d i n gt o(8 ) ,( 9 )a n d( 1 0 ) ,t h ee l e m e n t so f t h eF i s h e ri n f o r m a t i o nm a t r i xc a nb ec a l c u l a t e da n dt h eCRLBc a nb eo b t a i n e d .F o rc a l c u l a t i o no f t h eC R L B ,n o t a t i o n( F x y ) 1 1 'i si n t r o du c e d , r e p r e s e n t i n gt h ee n t r yo f s u b m a t r i xF x yi nt h ep o s i t i o no f t h e1 t hr o wa n dt h e1 i t hc o l u m n .T h es u b m a t r i x

F x yc a nb e Fs, Fs , Fs o rFS.D e t a i l e d

d e r i v a t i o no f t h ee l e m e n t so ft h eF i s h e ri n f o r m a t i o nm a t r i xi sg i v e ni nt h ea p p e n d i x .T h er e s ul t s a r er e p e a t e dh e r ef o rt h e r e a de r ' sconvenience.F o r 0 < 1 1 ' < L,weh a v e

( F R R ) 1 1 =2 ( N- L ) > y R t p ( l ,l ' ) }( F w ) j j 1- 2 ( N- LIyp(l , I ' ) }

( 11)

( 1 2 )

w h e r ep ( l ,I ' )i s t h en o r m a l i z e dc o r r e l a t i o nf u n c t i o na n di ti s g i v e nb y

N-1

p ( l ,1 ) (N L) E E b(m - I ) b ( m- I ' )N - L E s m = L

( 1 3 )

E s i st h es y m b o le n e r g y.F o rTSCs y m b o l si nGSM/EDGE,E 8 1 .a -d e n o t e st h es i g n a lt on o i s er a t i ow h i c hi sd e f i n e da st h er a t i oo fs y m b o le ne rgyt on o i s ep o w e rs p e c t r a ld e n s i t yNo ,i . e . ,' y= E s .A f t e rs o m em a t h e m a t i c a lm a n i p u l a t i o n s

- 6 0 2-

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weh a v ef o r0 < I < L , ' L + 1 :N-1

( F w ) 11 ,= 2 ' - S b ( m- 1 )c o s ( q T m )m=L

N-1

( F ) j j , = 2 ' y5 b ( m- 1 )s i n ( q T m )m=Lf o rl=L+1,0

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4/4

Ta b l e2 .Av e r a g e( CRLB x 1 0 )f o rc h a n n e lt a p so cTSCl 0 1 2 3 4 5 6 7

L GMSK4 2 . 2 2 2 . 2 4 2 . 2 2 2 . 2 4[ 2 . 17 2 . 2 0 2 . 1 6 6 2 . 17 35 2 . 2 9 2 . 3 0 2 . 2 9 2 . 3 0[ 2 . 2 3 2 . 2 6 2 . 2 3 2 . 2 46 2 . 3 5 2 . 3 5 2 . 3 5 2 . 3 5[ 2 . 3 0 2 . 3 2 2 . 2 92 . 3 1L 8PSK4 2 . 2 8 2 . 2 82 . 4 2 2 . 4 3 2 . 4 7 2 . 4 3 2 . 4 6 2 . 4 85 2 . 3 7 2 . 3 5 2 . 5 3 2 . 5 3 2 . 6 1 2 . 5 52 . 5 9 2 . 6 16 2 . 4 8 2 . 4 6 2 . 7 2 2 . 7 0 2 . 82 2 . 77 2 . 8 1 2 . 8 0

s q u a r ec h a n n e la n dDCo ff se t e s t im a t i on .T h ea n a l y t i c a lr e s u l t sa r et h e r e f o r ev e r i f i e d .

5 . CONCLUSION

C r a m e r - R a ol o w e rb o u n d( C R L B )f o rj o i n t l ye s t i m a t e dc h a n -n e lt a p sa n dDCo f f s e tw a sd e r i v e di nGSM/EDGEs y s t e m .E s t i m a t i o ne r r o r sd u et os e l e c t i o no f t h et r a i n i n gs e q u e n c ec o de w e res h o w na n dc o m p a r e du s i n gCRLB.

A s y m b o lb ys y m b o ld e r o t a t i o no f 8 r i sw o r s et h a n2- F8 2f o rj o i n tc h a n n e la n dDCo f f s e te s t i m a t i o n .I tc a ngo u pt o11%d i f f e r e n c ew i t hr e s p e c tt ot h eMSEf o rDCo f f s e te s t i -m a t i o n .F o r8 P S K ,TSC0a n dT S C 1l e a dt ob e t t e rd e t e c t i o nr e s u l t s ,s od o TSC4a n dTSC6f o rGMSK.DCe s t i m a t i o ne r r o ri sm o r es e n s i t i v et os e l e c t i o no fTSCt h a nc h a n n e lt a pe s t i m a t i o ne r r o ri s .

6 . APPENDIX:COMPUTATIONOFTHE FISHERINFORMATIONMATRIXFOR CRLB

T h i sa p p e n d i xd e r i ve s t h ee l e m e n t so f t h eF i s h e ri n f o r m a -t i o nm a t r i xf o rCRLBf o rj o i n t l ye s t i m a t e dc h a n n e lt a p sa n dDCo f f s e t .A c c o r d i n gt o( 1 0 ) ,f o r0 < 1 ,1 '< L :

( F s s )1 ' = N . Rt- E s O R )(x I| ) ( f I ) )= L2 N-1

No b * ( m- I ) b ( m- I ' ) }m=L= N _ -N - L ) E s p ( l ,l ' ) }= 2 ( N- L ) > y - { p ( l ,I ' ) } ( 2 2 )

w h e r ep ( l ,I ' )a n dya r ed e f i n e da st h e ya r ee x p l a i n e di nt h ep r e v i o u ss e c t i o n .F o r O