CPV O CursinhO Mais prOva GV FGV Economia...
4
FGVECONOV2016 2F FGV – Economia – 11/ DEZ/2016 CPV O CURSINHO QUE MAIS APROVA NA GV 1 MATEMÁTICA 01. A figura indica o gráfico das funções reais f, g, h e i, dadas, respectivamente, pelas leis f(x) = x 3 – 3x 2 + 3, g(x) = 2x + 3, h(x) = 2x e i(x) = 2x – 3. a) As abscissas de três dos doze pontos (A, B, C, ..., J, K, L) marcados na figura correspondem às soluções da equação x 3 – 3x 2 = 2x. Quais são esses pontos, e quais são suas abscissas? b) Seja m uma constante real positiva e sabendo que a equação x 3 – 3x 2 =m 2 – 16 possui três soluções reais, determine, com o auxílio da figura, o conjunto de todos os possíveis valores de m. Resolução: a) A equação x 3 – 3x 2 = 2x vem da igualdade f(x) = g(x) e, portanto, os pontos A, B e C são os pontos de intersecção entre as curvas. Como as abscissas desses pontos são as raízes da equação x 3 – 3x 2 = 2x, temos: x 3 – 3x 2 = 2x Þ x 3 – 3x 2 – 2x = 0 Þ x(x 2 – 3x – 2) = 0 Þ x=0 x= 3 – 17 2 x = 3 + 17 2 O ponto A tem abscissa x A = 3 – 17 2 . O ponto B tem abscissa x B = 0. O ponto C tem abscissa x C = 3 + 17 2 . b) Temos: x 3 – 3x 2 =m 2 – 16 Somando 3 nos dois membros, resulta: x 3 – 3x 2 +3=m 2 – 16 + 3 Þ x 3 – 3x 2 +3=m 2 – 13 Para 3 soluções reais, temos no gráfico que –1 < x 3 – 3x 2 + 3 < 3 ou seja: –1 < m 2 – 13 < 3 Þ 12 < m 2 < 16 Þ Þ –4 < m < –2 3 ou 2 3 < m < 4 Como m é um número real positivo: 2 3 < m < 4.
Transcript of CPV O CursinhO Mais prOva GV FGV Economia...
FGVECONOV2016 2F
FGV – Economia – 11/dez/2016
CPV O CursinhO que Mais aprOva na GV
1
MATEMÁTICA
01.Afiguraindicaográficodasfunçõesreaisf, g, hei, dadas,respectivamente,pelasleisf(x)=x3–3x2 + 3, g(x)=2x+3,h(x)=2xei(x)=2x–3.
a) Asabscissasdetrêsdosdozepontos(A,B,C,...,J,K,L)marcadosnafiguracorrespondemàssoluçõesdaequaçãox3–3x2=2x.
Quaissãoessespontos,equaissãosuasabscissas? b) Sejam uma constante real positiva e sabendo que a
equaçãox3–3x2=m2–16possuitrêssoluçõesreais,determine,comoauxíliodafigura,oconjuntodetodosospossíveisvaloresdem.
Resolução:
a) Aequaçãox3–3x2=2xvemdaigualdadef(x)=g(x)e,portanto,os pontos A, B e C são os pontos de intersecção entre as curvas.
Comoasabscissasdessespontossãoasraízesdaequaçãox3–3x2=2x,temos:
x3–3x2=2xÞx3–3x2–2x=0Þ
x(x2–3x–2)=0Þ
x=0
x=3 – 17
2
x = 3 + 17
2
O ponto A tem abscissa xA = 3 – 17
2 .
O ponto B tem abscissa xB = 0.
O ponto C tem abscissa xC = 3 + 17
2 .
b) Temos:x3–3x2=m2 – 16
Somando3nosdoismembros,resulta:
x3–3x2+3=m2 – 16 + 3 Þx3–3x2+3=m2 – 13
Para3soluçõesreais,temosnográficoque
–1<x3–3x2 + 3 < 3
ouseja:
–1 <m2 – 13 < 3 Þ 12 <m2 < 16 Þ
Þ –4 <m< –2 3ou2 3 <m< 4
Como m é um número real positivo: 2 3 < m < 4.
FGVECONOV2016 2F
11/12/2016 CPV O CursinhO que Mais aprOva na GV2
02.Odiagramaaseguirmostraopadrãodeformaçãodeumafiguracomformatodelosango,construídacompalitosdefósforoidênticos.
a) Determineumaexpressãodototaldepalitosdafiguraemfunçãoden.
b) Considerandoqueocomprimentodecadapalitoéiguala4cm,calculeaáreadolosangoformadonocasoemquen=20.
Desconsidereosespaçosnasjunçõesentrepalitos.
Resolução:
a) Paran = 1,são1x2triângulosequiláteroscom3palitos,menosopalitocomumentreosdoistriângulos.
Paran = 2,são3x2triângulosequiláteroscom3palitos,menososdoispalitoscomunsentrequatrodostriângulos.
Paran = 3,são6x2triângulosequiláteroscom3palitos,menosostrêspalitoscomunsentreseisdostriângulos.
Paraumvalorgenéricoden,são(1+n)n
2 .2triângulos
equiláteroscom3palitos,menosnpalitosentreos2n dostriângulos.
Onúmerodepalitos(N)é:
N=[ (1+n)n2 . 3] .2–nÞ N = 3n2 + 2n
b) Paran = 20,comcadapalitomedindo4cm,temosoladodolosangomedindo20.4=80cm.
Aáreaserá:A=2∙ (80)2 3
4 Þ A = 3200 3 cm2
FGVECONOV2016 2F
3CPV O CursinhO que Mais aprOva na GV 11/12/2016
03.O diagrama seguinte indica o número de veículos quepassaramemcadatrechodequatroavenidasdemãoúnicanaúltimahora.
Porexemplo,300veículospassaram,nessahora,pelotrechodaAv.StuartMillqueantecedeocruzamentoD.
Sabe-se ainda que, nessa hora, passaram 500 veículosentre os cruzamentos deD eC, x veículos deD paraA, y veículos deB paraA e z veículos deB paraC.
Interpretandooscruzamentosdodiagrama,pode-sededuzir,porexemplo,quex+y=1300(deduçãoapartirdaanálisedocruzamentoA).
a) Calculex, yez.
b) Substitua, no diagrama original, a quantidade de 500veículosquetrafegamdeDparaCnahoraanalisadapor uma quantidade desconhecida de t veículos.Considerando que x, y, z e t são inteiros positivos,determinequantossãoosvalorespossíveisparat.
Resolução:
b) Pelodiagramarepresentadonoenunciado,temos:
1200+300=500+xx+y=800+500500+z=1300+700
Þ x=1000y=300z=1500
Os valores pedidos são x = 1000, y = 300 e z = 1500.
b) Substituindoovalorde500port,nodiagrama,temos:
1200+300=t+xx+y=800+tt+z=1300+700
Þ x=1500–ty=t–200z=2000–t
Comox, yezsãovaloresinteirosepositivos,temos:
x> 0y> 0z> 0
Þ 1500–t> 0t–200> 02000–t> 0
Þ 200 <t<1500
Nesse intervalo, há 1299 valores possíveis para t.
FGVECONOV2016 2F
11/12/2016 CPV O CursinhO que Mais aprOva na GV4
04.UmafórmulaquemedeamagnitudeMdeumterremotopodeserescritacomoM=0,67.logE–3,25,sendoEaenergiamecânicaliberadapeloabalo,medidaemJoules.
a) Calcule,pormeiodafórmuladada,aenergiamecânicaliberadaporumterremotodemagnitude2,11.
b) Afiguraaseguirmostraummodelotrigonométricoque,pormeiodafunçãocossenoy=A+B.cos(mx+n), ajudaapreveramagnitudedeterremotosemumailhadoPacífico.
Nessemodelo,yindicaamagnitudedoterremoto,ex indicaoanodeocorrência,sendox=1correspondenteaoano1980,x=6correspondenteaoano1990,x=11correspondenteaoano2000,eassimsucessivamente.
Determinedomínio,imagemeperíododafunçãocujográficoestáindicadonafigura.Emseguida,determineosvaloresdosparâmetrosA, B, mendaleidessafunção.
Resolução:
a) SendoM=2,11temos:
2,11=0,67.logE–3,25Þ
Þ5,36=0,67.logEÞ
Þ8=logEÞ E = 108 J
A energia mecânica liberada pelo terremoto é E = 108 J.
b) Pelográficodado,temos:
Domínio Þ Dom = R
Imagem Þ Im = [4, 8]
Período Þ P = 10 = 20 anos
Seafunçãoy=A+B.cos(mx+n)representaográficodado,então:
–B≤Bcos(m(x+ nm) ≤B A–B≤A+Bcos(m(x+ nm)) ≤A+B Logo:
A–B=4 A = 6(deslocamentovertical) A+B=8 B = 2(amplitude)
2π
|m| =10 m = π5 ou m = –
π5
nm =–1 param=
π5 ovalorden = –
π5 ou
param= – π5 ovalorden=
π5
sendon =(deslocamentohorizontal)
Assim: y=6+2cos(– π5 x +
π5 )
y = 6 + 2 cos (π5 x – π5 )
Þ
