CoursFlorian - Maths - collège

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LES BASES MATHEMATIQUES

DU COLLEGE

Florian Longueteau Août 2013

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©Florian Longueteau – http://www.cours-maths-bordeaux.fr

NOTE PRELIMINAIRE Ce cours est l’adaptation d’un fascicule destiné à la préparation des épreuves d’aptitudes numériques des concours IFSI. Les outils mathématiques nécessaires à ces épreuves sont sensiblement identiques à ceux du collège. Ce cours ne respecte pas totalement le plan du programme officiel en vigueur en 2013, mais on y retrouvera l’essentiel du programme de mathématiques de la sixième à la troisième. La reproduction de tout ou partie de ce document est strictement interdite sans l’accord explicite de l’auteur. Dernière révision : août 2013.

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Sommaire NOTE PRELIMINAIRE ..................................................................................................................................... 2

CHAPITRE 1 – LES 4 OPERATIONS ELEMENTAIRES .......................................................................................... 7

1. Vocabulaire, définitions, exemples ............................................................................................................ 7

1.1. Somme et addition ............................................................................................................................. 7

1.2. Différence et soustraction .................................................................................................................. 7

1.3. Produit et multiplication .................................................................................................................... 7

1.4. Quotient et division............................................................................................................................ 7

1.5. Opposé .............................................................................................................................................. 8

1.6. Inverse ............................................................................................................................................... 8

1.7. Opérations réciproques ...................................................................................................................... 9

2. Suites d’opérations et priorités ................................................................................................................. 9

3. Opérations avec les nombres relatifs ......................................................................................................... 9

3.1. Somme ou différence de nombres relatifs .......................................................................................... 9

3.2. Produit ou quotient de nombres relatifs ........................................................................................... 10

CHAPITRE 2 – LES PUISSANCES .................................................................................................................... 11

1. Définition et exemples ............................................................................................................................ 11

2. Opérations sur les puissances ................................................................................................................. 11

3. Puissances de 10 ..................................................................................................................................... 12

4. Ecriture scientifique ................................................................................................................................ 12

CHAPITRE 3 – LES FRACTIONS ..................................................................................................................... 13


2. Forme irréductible d’une fraction ........................................................................................................... 13

3. Somme et différence de fractions ........................................................................................................... 13

4. Produit et quotient de fractions .............................................................................................................. 13

CHAPITRE 4 – MULTIPLES ET DIVISEURS ...................................................................................................... 15

1. Division entière ou « division euclidienne » ............................................................................................ 15

2. Multiples et diviseurs .............................................................................................................................. 15

3. Critères de divisibilité .............................................................................................................................. 15

4. Décomposition en nombres premiers ..................................................................................................... 16

5. Multiples communs – PPCM ................................................................................................................... 17

6. Diviseurs communs – PGCD. .................................................................................................................... 17

7. Nombres premiers entre eux .................................................................................................................. 17

CHAPITRE 5 – RACINES CARREES ................................................................................................................. 18


2. Opérations sur les racines carrées ........................................................................................................... 18

3. Simplification de racines ......................................................................................................................... 19

4. Equations « carrée » ............................................................................................................................... 19

CHAPITRE 6 – BASES DU CALCUL LITTERAL .................................................................................................. 20

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1. Expressions algébriques .......................................................................................................................... 20

1.1. Inconnues, variables et paramètres. ................................................................................................. 20

1.2. Expressions algébriques ................................................................................................................... 20

1.3. Sommes de termes .......................................................................................................................... 21

1.4. Produits de facteurs ......................................................................................................................... 21

2. Règles de calcul ....................................................................................................................................... 21

2.1. Développement, factorisation et réduction ...................................................................................... 21

2.2. Distributivité .................................................................................................................................... 21

2.3. Identités remarquables .................................................................................................................... 22

CHAPITRE 7 – CHAPITRE 7 – CALCULER SANS CALCULATRICE ...................................................................... 23

1. Numération en base décimale ................................................................................................................ 23

2. Poser une addition .................................................................................................................................. 23

3. Poser une soustraction............................................................................................................................ 23

4. Astuces d’addition et de soustraction ...................................................................................................... 23

5. Tables de multiplications ......................................................................................................................... 24

6. Poser une multiplication ......................................................................................................................... 24

7. Astuces de multiplication ........................................................................................................................ 25

8. Poser une division ................................................................................................................................... 26

CHAPITRE 8 – EQUATIONS A UNE INCONNUE .............................................................................................. 29

1. La mise en équation ................................................................................................................................ 29

1.1. Principe général ............................................................................................................................... 29

1.2. Une équation c’est quoi ? ................................................................................................................. 29

2. Règles de calcul sur les équations ........................................................................................................... 29

2.1. Principe d’équivalence ..................................................................................................................... 29

2.2. Ajout – soustraction ......................................................................................................................... 30

2.3. Multiplication – division ................................................................................................................... 30

2.4. Exemples. ......................................................................................................................................... 30

2.5. Cas particuliers ................................................................................................................................. 30

3. Inéquations ............................................................................................................................................. 31

3.1. Principe des inéquations .................................................................................................................. 31

3.2. Ensemble de solutions ..................................................................................................................... 31

3.3. Règles de calcul ................................................................................................................................ 31

CHAPITRE 9 – SYSTEMES DE 2 EQUATIONS A 2 INCONNUES ....................................................................... 32

1. Contexte ................................................................................................................................................. 32

2. Méthodes de résolutions ........................................................................................................................ 32

2.1. Principe d’équivalence ..................................................................................................................... 32

2.2. Substitution ..................................................................................................................................... 32

2.3. Combinaison .................................................................................................................................... 33

2.4. Cas particuliers ................................................................................................................................. 33

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CHAPITRE 10 – PROPORTIONNALITE ET POURCENTAGES ............................................................................ 34

1. Le principe de proportionnalité ............................................................................................................... 34

1.1. Exemple ........................................................................................................................................... 34

1.2. Le coefficient de proportionnalité .................................................................................................... 34

1.3. Produit en croix ................................................................................................................................ 35

2. La double proportionnalité ..................................................................................................................... 35

2.1. Exemple ........................................................................................................................................... 35

2.2. Méthode de résolution .................................................................................................................... 35

3. Les pourcentages .................................................................................................................................... 35

3.1. Définition ......................................................................................................................................... 35

3.2. Augmentation et diminution en pourcentage ................................................................................... 36

3.3. Valeur initiale après augmentation ou réduction .............................................................................. 36

3.4. Détermination d’un pourcentage – variation relative ....................................................................... 37

3.5. Enchaînement de pourcentages ....................................................................................................... 37

4. Echelles – Agrandissement – réduction ................................................................................................... 37

CHAPITRE 11 – GRANDEURS ET UNITES ...................................................................................................... 39

1. Système international ............................................................................................................................. 39

1.1. Grandeurs et unités .......................................................................................................................... 39

1.2. Multiples et sous-multiples .............................................................................................................. 39

1.3. Grandeurs composées ...................................................................................................................... 39

2. Unités de longueurs ................................................................................................................................ 39

2.1. Unités de longueurs usuelles ............................................................................................................ 40

2.2. Repères et ordres de grandeurs de longueurs .................................................................................. 40

2.3. Convertir des longueurs ................................................................................................................... 40

3. Unités de surfaces ................................................................................................................................... 41

3.1. Unités de surface usuelles ................................................................................................................ 41

3.2. Repères et ordres de grandeurs de surfaces ..................................................................................... 41

3.3. Convertir des surfaces ...................................................................................................................... 41

4. Unités de volume .................................................................................................................................... 42

4.1. Unités de volume usuelles ................................................................................................................ 42

4.2. Repères et ordres de grandeurs de volumes ..................................................................................... 42

4.3. Convertir des volumes ...................................................................................................................... 42

5. Unités de masse ...................................................................................................................................... 43

5.1. Unités de masse usuelles ................................................................................................................. 43

5.2. Repères et ordres de grandeurs massiques ...................................................................................... 43

5.3. Convertir des masses ....................................................................................................................... 43

6. Unités de temps ...................................................................................................................................... 43

6.1. Unités de temps usuelles ................................................................................................................. 43

6.2. Repères et ordres de grandeurs temporels ....................................................................................... 44

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6.3. Convertir des durées ........................................................................................................................ 44

Exprimer une durée sous forme décimale dans le système (j ; h ; min ; s) ........................................... 44

Exprimer une durée donnée en (j ; h ; min ; s) en secondes ou en heures ........................................... 44

CHAPITRE 12 – GEOMETRIE ........................................................................................................................ 46

1. Aires et périmètres ................................................................................................................................. 46

2. Volumes .................................................................................................................................................. 47

3. Théorème de Pythagore .......................................................................................................................... 48

3.1. Contexte .......................................................................................................................................... 48

3.2. Enoncé ............................................................................................................................................. 48

3.3. Réciproque ....................................................................................................................................... 48

3.4. Exemples .......................................................................................................................................... 49

4. Théorème de Thalès ............................................................................................................................... 49

4.1. Contexte .......................................................................................................................................... 49

4.2. Enoncé ............................................................................................................................................. 49

4.3. Réciproque ....................................................................................................................................... 50

CHAPITRE 13 – VITESSE ET DEBIT ................................................................................................................ 51

1. Vitesse moyenne..................................................................................................................................... 51

2. Débit ....................................................................................................................................................... 52

CHAPITRE 14 – CONCENTRATION ET DILUTION ........................................................................................... 54

1. Concentration ......................................................................................................................................... 54

2. Dilution ................................................................................................................................................... 55

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CHAPITRE 1 – LES 4 OPERATIONS ELEMENTAIRES

1. Vocabulaire, définitions, exemples

L’addition, la soustraction, la multiplication et la division constituent les 4 opérations élémentaires en mathématiques.

1.1. Somme et addition

Définition : si et sont deux nombres, leur somme s’écrit . L’opération associée à une somme est l’addition, notée « ».

Exemple : est la somme de 2 et 3.

Remarques :

L’addition est commutative. C'est-à-dire que Exemple : .

L’addition est associative. C’est-à-dire que Exemple :

L’addition étant commutative et associative, on peut calculer des sommes de plus de 2 termes dans l’ordre souhaité, quitte à réorganiser l’ordre des nombres.

1.2. Différence et soustraction

Définition : si et sont deux nombres, leur différence s’écrit . L’opération associée à la différence est la soustraction, notée « ».

Exemple : est la différence de 2 par 3. Remarques :

la soustraction n’est pas commutative : . Exemple : .

La soustraction n’est pas associative : . Exemple :

1.3. Produit et multipl ication

Définition : si et sont deux nombres, leur produit s’écrit . L’opération associée au produit est la multiplication, notée « ».

Exemple : est le produit de 2 par 3. Remarques :

le produit est commutatif. C'est-à-dire que . Exemple : .

Le produit est associatif. C’est-à-dire que . Exemple

Conséquence : la multiplication étant commutative et associative, on peut calculer des produits dans l’ordre souhaité, quitte à réorganiser l’ordre des facteurs. Cela permet de regrouper des produits plus faciles à effectuer.

1.4. Quotient et d ivision

Définition : si et sont deux nombres, leur quotient s’écrit ou ou

, avec . L’opération

associée au quotient est la division, notée « », ou « », ou « ».

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Exemple : le quotient de 2 par 3 est : ou ou

.

Remarques :

la division n’est pas commutative. C'est-à-dire que . Exemple .

La division n’est pas associative. C’est-à-dire que Exemple : et

1.5. Opposé

Définition : si et sont deux nombres et que , on dit que - et sont opposés ; - est l’opposé de ; - est l’opposé de .

Exemple : 4 et -4 sont opposés ; -2 est l’opposé de 2 ; 3 est l’opposé de -3.

Propriété : si et sont deux nombres, l’opposé de est .

Méthode : calculer l’opposé de la différence est équivalent à intervertir la position des deux nombres dans leur différence.

Exemple : l’opposé de est .

1.6. Inverse

Définition : si et sont deux nombres et que , on dit que - et sont inverses l’un de l’autre ; - est l’inverse de ; - est l’inverse de .

Exemple : et sont inverses l’un de l’autre ;

est l’inverse de 3 ; est l’inverse de .

Propriété : si et sont deux nombres non nuls, l’inverse de est

Méthode : calculer l’inverse d’un quotient de deux nombres est équivalent à intervertir la position des deux nombres dans leur quotient.

Exemple : l’inverse de

est

.

Remarques importantes :

Attention à ne pas confondre opposés et inverses. Pour ne pas se tromper, retenir que o les opposés se trouvent à l’opposé l’un de l’autre par rapport à zéro. Par exemple 3 et -3 sont

à égale distance de 0. o Les inverses s’obtiennent en inversant le « haut et le bas ». Par exemple , son

inverse s’obtient en inversant le haut et le bas : ; L’inverse de

s’obtient en

inversant le haut et le bas :

La division par zéro n’existe pas. En effet, si , il n’existe aucun nombre tel que , car

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le produit de n’importe quel nombre par zéro donne toujours zéro.

L’inverse d’un nombre négatif est négatif. Exemple : l’inverse de est .

1.7. Opérations réciproques

Propriété : soustraire un nombre à un autre est équivalent à lui ajouter son opposé.

Exemple : soustraire à est équivalent à ajouter l’opposé de 3 à 2, c'est-à-dire, ajouter à 2, ou encore effectuer la somme .

Propriété : diviser un nombre par un autre nombre non nul est équivalent à le multiplier par son inverse.

Exemple : diviser par est équivalent à multiplier par l’inverse de , c'est-à-dire multiplier par , ou encore effectuer le produit . On dit que l’addition et la soustraction, la multiplication et la division sont des opérations réciproques l’une de l’autre.

2. Suites d’opérations et priorités

Lorsque l’on enchaîne sommes, différences, produits et quotients, le résultat peut changer suivant l’ordre dans lequel on effectue les opérations. Par exemple, si on considère l’expression :

o En effectuant d’abord le produit, on obtient o En effectuant d’abord la somme, on obtient .

Pour des soucis de concision et de clarté(simplifier les écritures en utilisant le moins de symboles possible) on convient des priorités suivantes :

1. Effectuer les calculs entre parenthèses (ou crochets) en commençant par les parenthèses (ou crochets) les plus intérieurs

2. Effectuer les calculs de puissances (cf chapitre 4) et de racines carrés (cf chapitre 5) 3. Effectuer les multiplications et les divisions dans n’importe quel ordre 4. Effectuer les additions et les soustractions dans n’importe quel ordre

Exemple :

.

3. Opérations avec les nombres relatifs

L’ensemble des nombres entiers positifs et négatifs forme l’ensemble des nombres relatifs. Voici les règles d’opérations sur cet ensemble.

3.1. Somme ou différence de nombres relatifs

Méthode : pour additionner des nombres de même signe, on garde le signe et on ajoute les valeurs

Exemple : ; .

Méthode : pour additionner des nombres de signes opposés, le résultat sera du signe du nombre de plus grande valeur, et le résultat obtenu en soustrayant la plus grande à la plus petite.

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Exemple : ; ; ; .

3.2. Produit ou quotient de nombres relatifs

Règle des signes : le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif ; le produit (ou le quotient) de nombres de signes différents est négatif.

X

Méthode : dans une succession de produits ou de quotients de nombres relatifs, commencer par déterminer le signe du résultat, puis simplifier l’expression en enlevant les signes « - » et les parenthèses superflues avant de faire le calcul. Si le nombre de signes « - » est pair, le résultat sera positif. Si le nombre de signes « - » est impair, le résultat sera négatif.

Exemples :

;

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CHAPITRE 2 – LES PUISSANCES

1. Définition et exemples

Définition : soit un entier supérieur ou égal à 1 et un nombre quelconque. Alors la « puissance n-ième de », est égal au produit de par lui-même répété fois :

On lit « puissance » ou « exosant ». Cas particuliers : pour , on lit « au carré » ou « carré » et pour , on lit « au cube » ou « cube ». Exemples :

;

.

Propriétés :

;

;

;

;

Si est pair alors ;

Si est impair alors

2. Opérations sur les puissances

Soient et deux entiers, et deux nombres quelconques.

; ;

;

Si alors

Si alors

Attention : . Une formule donnant l’expression de existe mais dépasse très largement le cadre de ce cours. Exemples :

;

;

Les carrés parfaits

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Le cas particulier donne la liste des « carrés parfaits », c’est à dire les carrés des premiers nombres entiers. Il est très utile de les connaître et de les repérer lorsqu’il y a des racines à calculer.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

3. Puissances de 10

Autre cas particuliers lorsque On parle alors de « puissances de 10 ».

Définition : soit un entier supérieur ou égal à 1 :

Exemples :

4. Ecriture scientifique

Définition : l’écriture scientifique d’un nombre est de la forme : avec et un entier relatif.

Exemples :

L’écriture scientifique de 456000 est ;

L’écriture scientifique de 0,000257 est

L’écriture scientifique de est ;

L’écriture scientifique de est . Remarques :

Lorsqu’on augmente l’exposant d’une puissance positive, on rajoute des zéros à gauche de la virgule. Donc on décale la virgule vers la droite.

Lorsqu’on diminue l’exposant d’une puissance négative, on rajoute des zéros à droite de la virgule. Donc on décale la virgule vers la gauche.

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CHAPITRE 3 – LES FRACTIONS


Définition : une fraction est la notation sous la forme

d’un quotient de deux nombres, où .

est appelé le numérateur et le dénominateur.

Propriété : la valeur d’une fraction n’est pas modifiée si on multiplie ou on divise son numérateur ou son dénominateur par un même nombre non nul.

2. Forme irréductible d’une fraction

Définition : mettre une fraction sous forme irréductible consiste à écrire la fraction sous la forme

avec

et premiers entre eux.

Méthode : pour mettre une fraction sous forme irréductible on cherche le PGCD du dénominateur et du numérateur.

Exemple : PGCD(72 ; 360) = 72. Donc

1 et 5 sont premiers entre eux donc la fraction

est

irréductible. Conseil : prendre le réflexe de toujours mettre les fractions sous formes irréductibles permet de simplifier les calculs.

3. Somme et différence de fractions

Méthode : pour effectuer la somme et la différence de fractions, on les réduit au même dénominateur.

Propriété : le plus petit dénominateur commun de deux fractions est le PPCM des dénominateurs.

Exemple : calculons

. ; Donc PPCM(20 ; 15) = Pour passer

de 20 à 60, on multiplie par 3, et pour passer de 15 à 60 on multiplie par 4, donc en utilisant la propriété

énoncé précédemment :

On peut facilement vérifier que 37 et 60 sont premiers entre eux et donc que la fraction est irréductible.

4. Produit et quotient de fractions

Propriété : avec et non nuls, on a :

Méthode : pour effectuer le produit et le quotient de fractions on multiplie numérateurs et dénominateurs.

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Propriété : avec et non nuls, on a :

Méthode : pour effectuer le quotient de deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la seconde.

Remarques :

La division par zéro n’est pas définie (0 n’a pas d’inverse)

Multiplier ou diviser par un entier est équivalent à multiplier ou diviser par

Si ,

et

.

Si

et

.

Si et sont non nuls tels que

alors . C’est la fameuse règle du « produit en croix ».

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CHAPITRE 4 – MULTIPLES ET DIVISEURS

1. Division entière ou « division euclidienne »

Le résultat d’un quotient n’est pas toujours un entier, il peut y avoir un reste, sous forme de chiffre après la virgule. Effectuer une division en mettant en avant le quotient et le reste s’appelle une division entière ou « division euclidienne ». Exemple : que l’on peut écrire sous la forme : . Cette égalité traduit le fait que l’on peut retrancher 18 fois 8 à 145 et qu’il restera 1. On dit que le quotient entier de 145 par 8 est 18 est que le reste de la division entière (ou euclidienne) de 148 par 8 est égal à 1.

Définition : la division euclidienne de par s’écrit : , avec .

« » est le « dividende », « » est le « diviseur », « » est le « quotient », « » est le reste.

2. Multiples et diviseurs

Définition : un nombre entier est un multiple d’un nombre entier si le reste de la division entière de par est nul.

Exemple : 18 est un multiple de 3 car ou encore . 18 est aussi un multiple de 6 car ou encore .

Définition : un nombre entier divise un nombre entier si le reste de la division entière de par est nul.

Exemple : 6 est un diviseur de 18 car ou encore 3 est aussi un diviseur de 18 car ou encore .

3. Critères de divisibil ité

un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair.

Exemple : 2, 16, 1456, 238 sont tous divisibles par 2.

un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3

Exemple : 162 est divisible par 3, car 1+6+2=9, qui est un multiple de 3.

un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est un multiple de 4.

Exemple : 128 est divisible par 4, car 28 est un multiple de 4 (28 = 7x4).

un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5.

Exemple : 23460, 564445 et 39985 sont tous divisibles par 5.

un nombre est divisible par 6 s’il est à la fois divisible par 2 et par 3.

Exemple : 60 est divisible par 6, car il est à la fois divisible par 2 (se termine par un chiffre pair) et par 3 (la somme de ses chiffres est un multiple de 3).

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un nombre est divisible par 7 si la soustraction du nombre des dizaines par le double du chiffre des unités est un multiple de 7.

Exemple : 315 est divisible par 7, car 31-10 = 21 qui est un multiple de 7 (21 = 3x7)

un nombre de plus de trois chiffres est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est un multiple de 8.

Exemple : 69776 est divisible par 8 car 776 est un multiple de 8 (divisible par 2 et par 4).

un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple : 12 345 678 est divisible par 9 car 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 qui est un multiple de 9 (36 = 9x4).

un nombre est divisible par 10 s’il se termine par un 0.

un nombre est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est un multiple de 11.

Exemple : 919 380 est divisible par 11, car 9-1+9-3+8 = 22 qui est un multiple de 11 (22 = 2x11).

un nombre est divisible par 12 s’il est à la fois divisible par 3 et par 4.

Exemple : 60 est divisible par 12, car il est divisible par 3 et par 4.

un nombre est divisible par 25 s’il les deux chiffres des unités et des dizaines sont 00, 25, 50 ou 75.

Exemple : 3325, 723475 sont divisibles par 25.

un nombre est divisible par 100 s’il les deux chiffres des unités et des dizaines sont 00.

Exemple : 45688300 et 776554111000 sont divisibles par 100.

un nombre est divisible par 125 s’il les trois chiffres de droite forment un multiple de 125 : 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.

Exemple : 667745875 est divisible par 125.

4. Décomposition en nombres premiers

Définition : un nombre premier est un nombre qui n’admet pour diviseur que 1 ou lui-même.

Par convention, 1 n’est pas un nombre premier. Les premiers nombres premiers sont : 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Propriété : tout nombre entier se décompose en produit de facteurs premiers.

Exemple : ; Cette décomposition est très utile pour simplifier des expressions numériques, notamment les fractions. Pour décomposer un nombre entier en produits de facteurs premiers, on effectue des divisions successives par les nombres premiers en ordre croissant, en utilisant les critères de divisibilité. Exemples :

.

.

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5. Multiples communs – PPCM

Tous les entiers ont une infinité de multiples. Le produit de deux entiers donnés est un multiple commun à ces deux entiers. Donc, deux entiers quelconques ont une infinité de multiples en commun.

Définition : le PPCM de et noté PPCM est le plus petit multiple commun à et .

Exemple : les multiples de 8 sont : 8 ; 16 ; 24 ; … Les multiples de 12 sont : 12 ; 24 ; 36 ; … Le plus petit multiple commun de 8 et 12 est donc 24 : PPCM(8 ; 12) = 24.

Méthode : pour déterminer le PPCM de deux entiers, on les décompose en produit de facteurs premiers puis on effectue le produit de tous les facteurs premiers en leur affectant la plus grande puissance présente dans les décompositions.

Exemples.

; . Donc PPCM(8 ; 12) =

; . Donc PPCM(72 ; 360) =

6. Diviseurs communs – PGCD.

Tous les entiers ont un nombre finis de diviseurs, au minimum 2 si l’entier considéré est premier. Deux entiers donnés ont donc un ensemble fini de diviseurs en commun.

Définition : le PGCD de et noté PGCD est le plus grand diviseur commun à et .

Exemple : les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4 et 8. Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est donc 4 : PGCD(8,12)=4.

Méthode : pour déterminer le PGCD de deux entiers, on les décompose en produit de facteurs premiers puis on effectue le produit des facteurs premiers communs en leur affectant la plus petite puissance présente dans les décompositions.

Exemples.

; . Donc PGCD(8 ; 12) = .

; . Donc PGCD(72 ; 360) =

7. Nombres premiers entre eux

Définition : deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

Exemple : 118 et 33 sont premiers entre eux. En effet : et . Aucun diviseur commun hormis 1, donc PGCD(118 ; 33)=1.

Propriété : deux nombres consécutifs sont toujours premiers entre eux.

Propriété : une fraction dont le dénominateur et le numérateur sont premiers entre eux est irréductible.

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CHAPITRE 5 – RACINES CARREES


La raciné carrée est l’opération réciproque de la mise au carré.

Définition : Soit un nombre positif ou nul, la racine carrée de est le nombre dont le carré est égal à

On le note et on lit « racine de ».

On a donc, par définition :

.

Propriétés :

Si ,

. Conseil : apprendre les carrés parfaits permet de connaître des racines qui « tombent juste », leurs racines sont des entiers :

4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Remarques :

un carré étant toujours positif, la raciné carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

On peut définir aussi la racine cubique et la racine n-ième par les relations suivantes :

o

o

En dehors des valeurs particulières présentées dans le tableau ci-dessus, les racines ont une valeur

exacte comportant une infinité de décimales. Exemples : On pourra utiliser les valeurs arrondies au centième ou au millième et retenir quelques-unes d’entre elles.

Pour comparer des racines, sans connaître leurs valeurs approchées, il suffit de comparer leurs carrés.

On peut obtenir un ordre de grandeur d’une racine en encadrant son carré par les plus proches

carrés parfaits. Exemple : , car .

2. Opérations sur les racines carrées

Soient et deux nombres positifs :

(pour n pair)

Attention : , de même Et il n’existe aucune formule intéressante permettant de transformer simplement la racine d’une somme ou la somme d’une racine. Exemples :

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et

3. Simplification de racines

Méthode : pour simplifier des racines, on décompose le nombre sous la racine en un produit de facteurs premiers en essayant de faire apparaître des carrés parfaits et des puissances paires. On utilise ensuite la formule sur la racine d’un produit pour sortir les carrés parfaits et les puissances paires qu’on peut alors simplifier.

Exemples :

4. Equations « carrée »

Définition : les équations « carrées » sont les équations de la forme , où est un nombre donné et est l’inconnue.

Remarque : ce type d’équation pose la question : « quels sont les nombres dont le carré vaut ? ». Par définition, ces nombres sont les racines carrées de .

Propriété : si , l’équation admet deux solutions : et .

Exemples :

L’équation admet deux solutions : 6 et -6 ;

L’équation admet deux solutions : et ;

L’équation n’admet pas de solutions.

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CHAPITRE 6 – BASES DU CALCUL LITTERAL

1. Expressions algébriques

1.1. Inconnues, var iables et paramètres.

Pour être efficace lors des épreuves des tests d’aptitudes, il faut être capable de calculer rapidement à la main. Pour cela, quelques bases en calcul littéral sont nécessaires.

Définition : une grandeur qui peut prendre différentes valeurs au cours d’un processus ou d’une évolution (le temps par exemple) est appelée une variable. On la représentera mathématiquement par une lettre

Exemples : le temps , la position , la température

Définition : une grandeur dont on ne connaît pas nécessairement la valeur mais qui ne varie pas au cours du processus en fonction des variables, est appelé un paramètre. On le note généralement avec la lettre .

Exemples : coefficient de proportionnalité, rapport d’échelle, … Remarque : un paramètre est un cas particulier de variable, qui ne varie pas…

Définition : une grandeur dont on cherche à déterminer la valeur est appelée une inconnue. On la représente généralement par la lettre .

Exemple : prix d’un article, pourcentage, etc… Remarque : une inconnue est une variable un peu particulière dont on cherche une valeur particulière vérifiant une relation donnée.

Propriété : on peut appliquer les mêmes opérations de calculs algébriques sur ces variables que sur les nombres : addition / soustraction, multiplication / division, puissances, racines, etc avec les mêmes priorités d’opérations.

1.2. Expressions algébriques

Définition : une expression algébrique est une expression mathématique faisant intervenir des sommes, différences, quotients ou produits de nombres, paramètres, variables ou inconnues.

Exemple : est une expression algébrique. Il existe deux types particuliers d’expressions algébriques.

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1.3. Sommes de termes

Définition : une somme de terme est une expression algébrique qui peut s’écrire sous la forme d’une somme (ou une différence, ou les deux) de sous-expressions algébriques. Chacune de ces sous expressions est appelé un terme.

Une telle expressions s’appelle aussi « forme développée ».

Exemples :

est une somme de termes. Elle est constituée des trois termes , et .

est une somme de termes. Elle est constituée des 4 termes , , et

1.4. Produits de facteurs

Définition : un produit de facteurs est une expression algébrique qui peut s’écrire sous la forme d’un produit (ou d’un quotient, ou les deux) de sous-expressions algébriques. Chacune de ces sous expressions est appelé un facteur.

Une telle expressions s’appelle aussi « forme factorisée ».

Exemples :

est le produit des 3 facteurs et .

est le produit des 3 facteurs et . Remarque : le terme d’un somme peut à son tour être un produit de facteurs. De la même manière, un facteur peut à son tour être une somme de termes.

2. Règles de calcul

2.1. Développement, factor isation et réduction

Définitions : - Effectuer un développement consiste à transformer un produit de facteur en somme de terme. - Effectuer une factorisation consiste à transformer une somme de termes en produit de facteurs. - Réduire une expression consiste à écrire sa forme développée sous la forme la plus simple.

2.2. Distr ibutiv ité

La règle de distributivité permet de transformer un produit de facteurs en somme de termes et inversement.

Somme de termes

Produit de facteurs

factorisation

développement

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Simple distributivité

Produits Sommes

Produits Sommes

Double distributivité

Remarque : si : et – . Exemples :

.

;

2.3. Identités remarquables

Produits Sommes

Attention :

Exemples :

.

.

.

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CHAPITRE 7 – CHAPITRE 7 – CALCULER SANS CALCULATRICE

1. Numération en base décimale

Le fait de représenter un nombre par une succession de chiffres représentant de la droite vers la gauche les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, etc s’appelle une numération en base décimale. Chaque chiffre composant le nombre représente le poids d’une puissance de 10. Exemple : 3245 = 3000 + 200 + 40 + 5 = 3 milliers + 2 centaines + 4 dizaines + 5 unités.

2. Poser une addition

1) On positionne les nombres l’un en dessous de l’autre en alignant sur les mêmes colonnes les chiffres des unités, des dizaines, des centaines, etc… ;

2) On trace une ligne horizontale sous les deux nombres ; 3) On effectue la somme des chiffres, colonne par colonne,

- Lorsque la somme d’une colonne est inférieure à 9, on reporte le chiffre sous la ligne de résultat - Lorsque la somme d’une colonne dépasse 9 :

i. On « pose » le chiffre des unités du résultat sous la ligne du résultat ; ii. On ajoute une dizaine dans la colonne suivante à gauche : « on retient 1 ».

Exemple :

milliers centaines dizaines unités

3+1 2 7+1 2 + 8 1 9

= 4 0 9 1

3. Poser une soustraction

1) On positionne les nombres l’un en dessous de l’autre en alignant sur les mêmes colonnes les chiffres, des unités, des dizaines, des centaines, etc…

2) On trace une ligne horizontale sous les deux nombres 3) On effectue la différence des chiffres (1ère ligne – 2ème ligne), colonne par colonne,

- Lorsque la différence est positive, on reporte la différence sous la ligne de résultat - Lorsque la différence d’une colonne est positive :

i. On « ajoute une dizaine » en petit à côté du chiffre de la première ligne ii. On reporte le résultat de la différence sous la ligne de résultat

iii. On ajoute une dizaine dans la colonne suivante à gauche : « on retient 1 ».

Exemple :

milliers centaines dizaines unités

3 12 7 12 - 1 8 1+1 9

= 2 4 5 3

4. Astuces d’addition et de soustraction

Méthode : pour faciliter les calculs et éviter de poser l’addition ou la soustraction comme ci-dessus, penser à décomposer les nombres sur la base décimale et regrouper ensemble les sommes par unités, dizaines, centaine, etc, puis réorganiser la somme pour faire apparaître des additions aisées à calculer de tête.

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Exemples :

5. Tables de multiplications

Il est impératif de connaître toutes les tables de multiplication sur le bout des doigts. Quelques astuces en cas d’oubli :

Multiplier par est équivalent à ajouter à lui-même, fois. Exemple :

.

Multiplier par est équivalent à ajouter à lui-même, fois. Exemple :

.

La table de 4 s’obtient en doublant les résultats de la table de 2.

Tous les résultats de la table de 5 se terminent pas 0 ou 5.

La table de 6 s’obtient en multipliant les résultats de la table de 2, par 3, ou ceux de la table de 3 par 2.

Rien à dire sur la table de 7, elle est pénible et il faut l’apprendre. C’est la vie, et c’est pas toujours agréable.

La table de 8 s’obtient en multipliant les résultats de la table de 2, par 4, ou ceux de la table de 4 par 2.

La somme des chiffres des résultats de la table de 9 est toujours égale à 9. Exemple : et

Le chiffre des dizaines du résultat du produit d’un nombre par 9 est égal à . Le chiffre des unités s’obtient grâce à la remarque précédente : la sommes des deux doit faire neuf. Exemples : ; .

6. Poser une multiplication

Pour poser une multiplication, on utilise la décomposition en base décimale, puis la distributivité. Un exemple sera plus parlant. On veut effectuer la multiplication de 17 par 25. On décompose en et en . Et ensuite on développe le produit :

Ce que l’on peut aussi présenter de la manière suivante :

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1 7

2 5

3 5 On effectue le produit

+ 5 0 On effectue le produit

+ 1 4 0 On effectue le produit

+ 2 0 0 On effectue le produit

= 4 2 5 On effectue la somme des résultats intermédiaires

Un autre exemple avec plus de chiffres : :

Ce que l’on peut aussi présenter de la manière suivante :

1 7 2 2 5 2

4 + 1 4 0 + 2 0 0

+ 1 0 0 + 3 5 0 0 + 5 0 0 0 + 4 0 0 + 1 4 0 0 0 + 2 0 0 0 0

= 4 3 3 4 4

Remarque : pour faire des multiplications avec des virgules, on décale la virgule vers la droite pour obtenir des entiers, on effectue le produit comme ci-dessus, et on redécale la virgule vers la gauche. Exemple : pour effectuer , on décale la virgule de 2 vers la droite pour le premier nombre, de 1 pour le second (ce qui fait un décalage de 3 décimales), on effectue le produit et on redécale de 3 vers la gauche : , donc

7. Astuces de multiplication

Méthode : user et abuser de la double distributivité et des identités remarquables.

Exemples :

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Multiplier par 1,5 est équivalent à rajouter la moitié du nombre.

Exemple : 30x1,5 = 30 + 15 = 45.

Multiplier par 2,5 est équivalent à multiplier par 5 puis diviser par 2 ou à ajouter la moitié du nombre à son double.

Exemple : 30x2,5 = 30x5/2 = 150/2 = 75, ou 30x2,5 = 60 + 15 = 75.

Plus généralement, multiplier par x,5 est équivalent à rajouter la moitié du nombre à ce même nombre multiplié par x.

Exemple : 30x7,5 = 30x7 + 15 = 210 + 15 = 225.

Multiplier par 5 est équivalent à multiplier par 10, puis diviser par 2.

Exemple : 32x5 = 32x10/2 = 320/2 = 160.

Multiplier par 25 est équivalent à multiplier par 100 puis diviser par 4.

Exemple : 32x25 = 32x100/4 = 3200/4 = 1600/2 = 800.

Multiplier par 11 un nombre à deux chiffres : le résultat est ce nombre avec entre les deux chiffres, la somme des chiffres du nombre.

Exemple : 32x11 = 352. (3+2 = 5).

Multiplier par 9 est équivalent à multiplier par 10 puis à retrancher une fois le nombre.

Exemple : 32x9 = 32x10 – 32 = 320 – 32 = 320 – 30 – 2 = 290 – 2 = 288.

8. Poser une division

Effectuer une division euclidienne peut s’avérer laborieux à l’usage. Mais en utilisant ce principe on peut « poser à la main » les divisions sur le même principe que les multiplications. Exemple : division de 6359 par 16.

Etape 1 : on considère les 2 premiers chiffres du dividende : 63, et on effectue la division euclidienne de ce chiffre par le diviseur (16). Pour cela, on procède par « tests ». On essaye , on voit qu’il loge encore une fois 16 dans 63 puisque , en revanche 16 ne loge pas 4 fois dans 63 puisque . Donc . On représente cette étape de la manière suivante :

6 3 5 9 1 6

- 4 8 3

1 5

Etape 2 : on « abaisse » le 5 à côté du reste (15) et on divise 155 par 16, comme précédemment :

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. On reporte le quotient après le 3 obtenu précédemment et on reporte le reste :

6 3 5 9 1 6

- 4 8 3 9

1 5 5 - 1 4 4

1 1

Etape 3 : on abaisse le 9 à côté du reste (11) et on divise 119 par 16 : .

6 3 5 9 1 6

- 5 1 3 9 7

1 2 5 - 1 1 9

1 1 9 - 1 1 2

7

Etape 4 : pour continuer, il nous faut ajouter maintenant des chiffres après la virgule. Pour cela on abaisse un zéro après le reste (1), on ajoute une virgule après le quotient (397) et on recommence en effectuant le quotient de 70 par 16 : .

6 3 5 9 1 6

- 5 1 3 9 7 , 4

1 2 5 - 1 1 9

1 1 9 - 1 1 2

7 0 - 6 4

6

Etape 5 : on abaisse un zéro et on effectue la division de 60 par 16 : .

6 3 5 9 1 6

- 5 1 3 9 7 , 4 3

1 2 5 - 1 1 9

1 1 9 - 1 1 2

7 0 - 6 4

6 0 - 4 8

1 2

Etape 6 : on abaisse un zéro et on effectue la division de 120 par 16 : .

6 3 5 9 1 6

- 5 1 3 9 7 , 4 3 7

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1 2 5 - 1 1 9

1 1 9 - 1 1 2

7 0 - 6 4

6 0 - 4 8

1 2 0 - 1 1 2

8

Etape 7 : on abaisse un zéro et on effectue la division de 80 par 16 : ! Le reste est nul, la division est terminée :

6 3 5 9 1 6

- 5 1 3 9 7 , 4 3 7 5

1 2 5 - 1 1 9

1 1 9 - 1 1 2

7 0 - 6 4

6 0 - 4 8

1 2 0 - 1 1 2

8 0 - 8 0

0

Conclusion :

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CHAPITRE 8 – EQUATIONS A UNE INCONNUE

1. La mise en équation

1.1. Principe général

A un problème concret formulé en langue française où il s’agit de déterminer la valeur d’une grandeur inconnue on associe une formulation mathématique faisant intervenir cette grandeur. Il s’agit donc dans l’énoncé de repérer la grandeur en question puis de traduire les contraintes qui portent sur elle en égalité comportant des expressions algébriques sur cette grandeur. C’est ce qu’on appelle la mise en équation. La grandeur recherchée est nommée inconnue et est souvent notée Une équation à une inconnue ne fait intervenir qu’une seule inconnue.

1.2. Une équation c’est quoi ?

Une équation est une question qui peut se formuler ainsi : « pour quelle(s) valeur(s) de l’inconnue l’égalité est-elle vérifiée ? ». Exemple : est une équation qui pose la question : « pour quelle(s) valeur(s) de , les quantités et sont égales ? ». Une équation nécessite donc la présence :

d’une inconnue ;

d’une égalité ;

d’une question sous-entendue (« pour quelle valeur de… »).

Définition : une équation est une égalité faisant intervenir une ou plusieurs inconnues.

Equation

Pour quelle(s) valeur(s) de l’inconnue, les quantités et sont-elles égales ?

Définition : les deux quantités de part et d’autres de l’égalité s’appellent les membres de l’équation.

Remarque : les identités remarquables ne sont pas des équations car elles sont vérifiées quelles que soient les valeurs de et . Les identités remarquables sont toujours vraies, elles constituent une affirmation et non une question, en ce sens ce ne sont donc pas des équations. La (les) valeur(s) de l’inconnue qui sont telles que les quantités sont égales sont appelées les solutions de l’équations. On dit qu’elles vérifient l’équation.

2. Règles de calcul sur les équations

2.1. Principe d’équivalence

Résoudre une équation consiste donc à répondre à la question « pour quelle valeur de a-t-on… ? ». On s’attend à une réponse de la forme : « l’égalité est vérifiée pour telle(s) valeur(s) de ». Mathématiquement cela se traduit par une relation de la forme « ».

Méthode : résoudre une équation consiste à appliquer des transformations successives aux membres de l’équation jusqu’à arriver à « ». On dit qu’on « isole ».

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Pour transformer une équation on a accès, notamment, aux 4 opérations élémentaires.

2.2. Ajout – soustraction

Propriété : ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une équation donne une équation équivalente.

Exemple : en retranchant -1 aux deux membres de l’équation précédente on obtient l’équation équivalente , c'est-à-dire . Remarque : le nombre qu’on ajoute ou retranche doit être choisit astucieusement en ayant à l’esprit que l’objectif est d’isoler d’un côté de l’égalité. Rappel : l’addition et la soustraction sont deux opérations réciproques, donc on « défait » une addition avec une soustraction et réciproquement. Ainsi, dans l’exemple précédent, on « défait » l’addition par 1 suivant le terme en soustrayant 1 aux deux membres.

2.3. Multip lication – d ivis ion

Propriété : multiplier ou diviser par un même nombre les deux membres d’une équation donne une équation équivalente.

Exemple : en divisant par 2 l’équation précédente on obtient l’équation

, ou encore La

solution de l’équation est donc -2. On peut le vérifier : Remarque : comme précédemment la multiplication ou la division doit être judicieusement choisie pour isoler . Rappel : la multiplication et la division sont deux opérations réciproques, donc on « défait » une multiplication avec une division et réciproquement. Ici on « défait » la multiplication par 2 appliquée à en divisant par 2 (ou en multipliant par 1/2).

2.4. Exemples.

Résoudre l’équation . o Etape 1 : on commence par soustraire 10 aux deux membres. On obtient o Etape 2 : on divise par 5. On obtient . o Etape 3 : on conclut : « la solution de l’équation » est .

Résoudre l’équation . o Etape 1 : on commence par regrouper les termes qui dépendent des inconnues du côté

gauche de l’inconnue. Pour cela on retranche aux deux membres de l’équation. On obtient : , c'est-à-dire

o Etape 2 : on ajoute 6 aux deux membres. On obtient , ce qui est équivalent à .

o Etape 3 : on divise par pour isoler :

o Etape 4 : on conclut : la solution de l’équation est .

2.5. Cas particul iers

Généralement les équations à 1 inconnue admettent une unique solution. Il y a cependant deux cas particuliers.

Equations sans solutions Si au cours de la résolution, on obtient une équation de la forme , avec , alors l’équation n’admet aucune solution.

Exemple : . Cette équation n’a pas de solutions.

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Equations avec une infinité de solutions Si au cours de la résolution, on tombe sur une équation de la forme , alors l’équation admet une infinité de solutions.

3. Inéquations

3.1. Principe des inéquations

Le principe est le même que pour les équations si ce n’est que l’égalité est remplacée par une inégalité. Il y a donc 4 types d’inéquations :

Inéquation

Pour quelle(s) valeur(s) de l’inconnue, la quantité

est-elle inférieure ou égale à la quantité ?

Inéquation


est-elle strictement inférieure à la quantité ?

Inéquation


est-elle supérieure ou égale à la quantité ?

Inéquation


est-elle strictement inférieure à la quantité ?

Exemples :

3.2. Ensemble de solutions

Propriété : les solutions des inéquations sont généralement des ensembles ou des intervalles.

Exemple : les solutions de l’inéquation sont tous les nombres de l’intervalle .

3.3. Règles de calcul

Pour résoudre une inéquation de ce type, les règles opératoires sont les mêmes que pour les équations à une inconnue à une exception près : si on divise ou multiplie par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.

Exemple :

.

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CHAPITRE 9 – SYSTEMES DE 2 EQUATIONS A 2 INCONNUES

1. Contexte

Un problème concret qui fait intervenir deux inconnues soumises à deux contraintes peut être traduit mathématiquement par un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues consiste à répondre simultanément aux deux questions posées par chacune des équations. La question posée par le système est donc du type « pour quelle(s) valeur(s) des inconnues les égalités sont-elles vérifiées simultanément ? ». Les inconnues d’un système sont généralement notée et . On représente un système en écrivant les deux équations l’une en-dessous de l’autre (peu importe l’ordre) reliée ensemble par une accolade. Exemples :

2. Méthodes de résolutions

Résoudre un système consiste à répondre à la question « pour quelle(s) valeur(s) de et les égalités sont-elles vérifiées simultanément ?». Il s’agit donc de trouver les valeurs de et qui vérifient les deux équations en même temps.

2.1. Principe d’équivalence

Comme pour les équations à une inconnue on va successivement transformer le système initial en systèmes équivalents jusqu’à isoler les valeurs de et de . Pour chacune des équations on peut donc effectuer toutes les opérations disponibles pour les équations : addition, soustraction, multiplication, division. La seule chose qui change et que nous avons deux inconnues et deux équations à manipuler ensemble au lieu d’une seule. Il y a deux principales méthodes pour résoudre un système.

2.2. Substitution

Méthode (substitution) : le principe est d’exprimer l’une des deux inconnues en fonction de l’autre, puis de substituer cette expression dans le système. On obtient alors une équation à une inconnue qu’on sait résoudre. La seconde solution se déduit d’une des équations du système grâce à la première solution.

Exemple :

. De la première équation on tire .

On remplace ensuite par dans la seconde équation : D’où . La solution du système est donc et . Cette méthode ne présente d’intérêt que si l’une des deux inconnues s’exprime facilement en fonction de l’autre. On lui préfèrera généralement la méthode suivante.

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2.3. Combinaison

Propriété : on obtient un système équivalent en effectuant des combinaisons des deux équations.

On peut multiplier les deux équations par des nombres et les ajouter ou les soustraire. Ceci a l’avantage de simplifier grandement les calculs et de se ramener rapidement à des équations à une inconnue.

Méthode (combinaison) : le principe est de multiplier les équations par des coefficients qui après ajout ou soustraction membre à membre des équations permettent d’éliminer l’une des variables. On obtient alors une équation à une inconnue qu’on sait résoudre. On trouve la valeur de la seconde inconnue en reportant la valeur de la première dans l’une des équations initiales.

Exemple :

On choisit de commencer par éliminer (arbitrairement). Pour cela on va

multiplier les deux équations par des coefficients judicieusement choisis : la première par 3 (le coefficient devant dans la seconde équation), et la seconde par 2 (le coefficient devant dans la première équation).

On obtient le système équivalent :

. Il suffit ensuite de soustraire membres à membres

les deux équations pour éliminer . On obtient l’équation suivante : . On remplace ensuite par la valeur trouvée, par exemple dans la seconde équation , d’où . Cette méthode est applicable à tous les systèmes et se révèle à l’usage la plus efficace.

2.4. Cas particul iers

Systèmes sans solutions Si au cours de la résolution on obtient une équation de la forme ou avec , alors le système n’admet aucune solution.

Systèmes ayant une infinité de solutions Si au cours de la résolution on obtient une équation de la forme ou , alors le système admet une infinité de solutions.

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CHAPITRE 10 – PROPORTIONNALITE ET POURCENTAGES

1. Le principe de proportionnalité

1.1. Exemple

La proportionnalité est une notion fondamentale en mathématiques et en sciences (en particulier dans le domaine médical et paramédical) qu’il est impératif de maîtriser parfaitement. Illustrons le principe par une situation concrète : la recette du gâteau au yaourt.

Recette du gâteau au yaourt. Ingrédients pour 4 personnes.

1/2 paquet de levure 1 pot de yaourt (= 20 cl) 1/2 pot d'huile (= 10 cl)

2 pots de sucre 3 pots de farine

2 œufs 1 zeste de citron

Avec cette liste d’ingrédients, vous savez faire un gâteau pour 4 personnes. Comment adapter la recette pour 8 personnes ? Pour cela il suffit de savoir de quelle quantité il faut augmenter tous les ingrédients. Pour conserver le moelleux du gâteau il faut impérativement que les proportions relatives des ingrédients soit respectées. On va donc multiplier toutes les quantités par un même coefficient. Le coefficient en question est le coefficient de proportionnalité. Il est égal au facteur qui nous permet de passer de 4 à 8 personnes, c'est-à-dire 2. Il faut donc multiplier toutes les quantités par deux. Et pour faire une recette pour 6 personnes ? Il faudra tout multiplier par le facteur qui permet de passer de 6 à 4 personnes : 6/4 = 3/2 = 1,5.

Définition : soient et quatre nombres non nuls. On dit que et sont dans la même proportion que et si .

Dans notre exemple cela signifie que le rapport entre la quantité de farine pour 4 personnes (3 pots) et celle pour 6 personnes (4,5 pots) est égal au rapport entre la quantité de sucre pour 4 personnes (2 pots) et celle pour 6 personnes (3 pots). Le rapport en question étant égal à 1,5… Dans les tests d’aptitudes les problèmes s’articuleront généralement autour de 4 quantités proportionnelles. Connaissant trois d’entre elles ( et ) il s’agit de déterminer la troisième ( ), et étant dans les mêmes proportions que et Pour cela deux méthodes.

1.2. Le coeffic ient de proportionnal ité

La première méthode consiste à déterminer le coefficient de proportionnalité. Sachant que les quantités sont proportionnelles on détermine la quantité inconnue en calculant le coefficient qui permet de passer de la quantité connue à la quantité , c'est-à-dire le rapport . La quantité sera donc égale à multiplié par le coefficient de proportionnalité, d’où

http://www.marmiton.org/Magazine/Tendances-Gourmandes_le-gout-des-sucres_1.aspx

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Exemple : dans la recette du gâteau au yaourt, il me faut 2 pots de sucre ( ) pour 4 personnes ( ). Combien me faut-il de pots ( ) pour 6 personnes ( ) ? Le coefficient de proportionnalité est égal à 6/4 = 1,5. Donc pour 6 personnes il me faut pots de sucre.

1.3. Produit en croix

Si l’on réécrit le résultat précédent sous la forme , on voit apparaître la fameuse « règle de trois » ou du « produit en croix ».

Dans ce cas, le calcul est le même, seul change l’ordre des opérations. Exemple : pour 6 personnes il me faut pots de sucre.

2. La double proportionnalité

2.1. Exemple

Dans le cas de la double proportionnalité, l’inconnue est proportionnelle à deux autres quantités. Exemple : une machine-outil usine 6 pièces en 4 heures. Combien de pièces usinent deux machines en 12 heures ?

2.2. Méthode de résolution

- Etape 1 : se ramener au nombre de pièces produites par une machine en une heure : pièce par heure pour une machine.

- Etape 2 : en déduire le nombre de pièces produites par une machine en 12 heures : pièces pour une machine

- Etape 3 : en déduire le nombre de pièces produites par deux machines en 12 heures : deux fois plus, soit 36 pièces.

- Etape 4 : on conclut : deux machines usinent 36 pièces en 12 heures.

3. Les pourcentages

3.1. Définition

Le pourcentage est la fraction qui permet de comparer toutes les proportions.

Définition : un pourcentage est une fraction de dénominateur égal à 100. On le note par le symbole %. 30 % se lit « 30 pourcent ».

Méthode : pour transformer une valeur décimale en pourcentage, on la multiplie par 100.

Exemple :

Méthode : pour transformer une fraction en pourcentage on multiplie sa valeur décimale par 100.

Exemple : la fraction 3/8 correspond à

.

4 6

1 X

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Définition : prendre d’une quantité est équivalent à multiplier cette quantité par

Exemple : pour prendre 15% de 70, on calcule

.

3.2. Augmentation et diminution en pourcentage

A une quantité initiale on applique une augmentation ou une diminution de Connaissant la valeur initiale on cherche la valeur finale

Définition : appliquer une augmentation de sur une quantité est équivalent à multiplier par .

Exemple : un article coûte 150€, il est augmenté de 25%. Son prix après augmentation est .

Définition : appliquer une diminution de sur une quantité est équivalent à multiplier par .

Exemple : un article coûte 150€, il est soldé à 40%. Son prix après réduction est .

3.3. Valeur in it iale après augmentation ou réduction

C’est le problème inverse. On a appliqué une augmentation ou une diminution de à une quantité Connaissant la valeur finale on cherche la valeur initiale .

Propriété : dans le cas d’une augmentation on a :

Exemple : un article après augmentation de 20% coûte 240€. Son prix avant augmentation est de

. Attention : on ne peut pas appliquer une réduction de 20% au prix final.

Propriété : dans le cas d’une diminution on a :

Exemple : un article soldé à 60 % est vendu à 100€. Son prix avant remise est de

Attention :

on ne peut pas appliquer une augmentation de 60% au prix final.

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Augmentation

de Diminution

de

Valeur initiale connue. Calcul de la valeur finale.

Valeur finale connue. Calcul de la valeur initiale

3.4. Détermination d’un pourcentage – var iation relative

On connait une valeur initiale et une valeur finale et on veut déterminer le pourcentage (ou la variation relative) de diminution ou d’augmentation.

Dans le cas d’une augmentation

Dans le cas d’une diminution

Exemple : un article coûte 250€, après réduction, il coûte 150€. Le pourcentage de remise est de

3.5. Enchaînement de pourcentages

Méthode : lorsqu’on applique plusieurs augmentations ou réductions en pourcentage, le résultat final ne s’obtient pas en ajoutant les différents pourcentages mais en multipliant par les coefficients d’augmentation et de diminution.

Exemples :

- Un article initialement vendu à 100€ est soldé une première fois à 20%. Un client fidèle passe en caisse avec cet article et obtient une remise supplémentaire de 10%. Le prix final est de

- En 2024 le prix du litre d’essence, initialement à 2€ augmentera deux fois, une première fois de 5%, puis une seconde fois de 2%. Le prix en fin d’année sera donc de .

4. Echelles – Agrandissement – réduction

Une mise à l’échelle d’un objet correspond à un agrandissement ou à une réduction d’un coefficient de proportionnalité donné. L’échelle d’une carte est donnée par le rapport Distance sur la carte / Distance réelle. Il s’exprime sous la forme Le nombre étant supérieur à 1.

Distance sur la carte Distance réelle

L’échelle étant le rapport de deux distances, ce nombre est sans dimensions. Conséquence naturelle, les distances réelles et sur la carte doivent être exprimées dans les mêmes unités, sinon il faut penser à effectuer une conversion.

Distance sur la carte (cm) Distance réelle ( m) Distance sur réelle ( m) Distance sur la carte (cm)

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Exemple : une carte est à l’échelle 1/200 000e. Sur cette carte 2 cm correspondent à . Un trajet de 100 km correspond sur la carte à une distance de 100 km / 200 000 = 1 / 2000 km = 50 cm.

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CHAPITRE 11 – GRANDEURS ET UNITES

1. Système international

1.1. Grandeurs et unités

Les problèmes techniques rencontrés en sciences font intervenir des grandeurs physiques : distance, aire, volume, masse, température, etc. Ces grandeurs ont des unités. Par exemple l’unité d’une longueur est le mètre ou le centimètre. Pour une grandeur considérée, l’unité n’est pas unique. Par exemple une diagonale d’écran est souvent exprimée en pouce. Afin de faciliter les échanges de données à l’échelle internationale, les unités sont normalisées dans un système international (ou S.I.). Il spécifie quelles sont les unités de référence pour toutes les grandeurs étudiées en sciences. Chacune de ses unités ont un symbole.

Grandeur Distance ou longueur

Masse Volume et capacité

Temps ou durée Température

Unité SI Le mètre (m) Le kilogramme (kg)

Le mètre-cube (m3)

La seconde (s) Le Kelvin (K)

1.2. Multip les et sous-multip les

Suivant l’échelle du problème considéré (planètes, corps humain, atomes…) on pourra utiliser des multiples des unités fondamentales. Ces multiples sont exprimés en puissances de 10. On appose un préfixe à leur symbole pour les représenter.

Puissance de 10 Préfixe Symbole Nombre décimal Echelle

Téra T 1 000 000 000 000 Billion

Giga G 1 000 000 000 Milliard

Méga M 1 000 000 Million

Kilo K (ou k) 1 000 Millier

Hecto H (ou h) 100 Cent

Déca D (ou da) 10 Dix

- - 1 Unité

Déci d 0,1 Dixième

Centi c 0,01 Centième

Milli m 0,001 Millième

Micro 0, 000 001 Millionième

Nano n 0, 000 000 001 Milliardième

Pico p 0, 000 000 000 001 Billionième

1.3. Grandeurs composées

En multipliant ou divisant les unités entre-elles on peut créer de nouvelles unités dites « composées ». Exemples : unités de volumes (longueur x longueur x longueur), de vitesse (distance / temps), de débit (volume / temps), de concentration (masse / volume), etc.

2. Unités de longueurs

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2.1. Unités de longueurs usuel les

Les unités couramment rencontrées pour mesurer des distances ou des longueurs sont le mètre et ses multiples, l’angström, le pouce, le pied, le mile, l’année-lumière (distance parcourue par la lumière dans le vide pendant une année). Seul le mètre fait partie du système international. Les autres unités sont données à titre indicatif.

Unité mètre centimètre kilomètre Angström Pouce Pied Mile Année-lumière

Symbole M cm Km Å inch foot mile a.l.

Valeur 1 m m 103 m m 2,54 cm 30,48 cm 1609,344 m ~ 1012 km

1 cm = 10 mm ; 1 m = 100 cm ; 1 km = 1000 m ;

2.2. Repères et ordres de grandeurs de longueurs

1 Å ordre de grandeur du rayon d’un atome ;

20 – 300 nm = taille des virus ;

0,1 – 10 m taille d’une bactérie ;

1 cm taille d’un insecte ;

1,6 – 1,8 m = taille des humains ;

8,850 m altitude de l’Everest ;

4,22 a.l. distance de l’étoile la plus proche du système solaire.

2.3. Convertir des longueurs

Méthode 1 : avec tableau de conversion. - Dessiner un tableau de conversion avec en colonnes les multiples et sous multiples de l’unité. - Placer le chiffre des unités du nombre à convertir dans la colonne correspondant à son unité . - Puis rajouter des zéros ou décaler la virgule jusqu’à la colonne du multiple recherché.

Exemple : convertir 0,1 m en mm, 2,2 km en cm et 12 cm en hm

km hm Dm m dm Cm mm Commentaire

0, 1 0 0 on décale la virgule de trois cases vers la droite, on ajoute deux zéros et on enlève le zéro superflu devant le nombre. 0,1 m = 100 mm.

2, 2 0 0 0 0 on décale la virgule de 5 cases vers la droite et on ajoute quatre zéros. 2,2 km = 220 000 cm.

0, 0 0 1 2 on rajoute rajoute trois zéros devant et une virgule après le premier zéro. 12 cm = 0,0012 hm.

Méthode 2 : avec les puissances de 10. - En utilisant le tableau donné en début de chapitre, exprimer l’unité initiale en fonction de l’unité finale avec des puissances de 10. - Convertir avec une règle de trois ou une proportionnalité.

Exemples :

1 m = 1000 mm = mm. Donc

.

1 km = 1000 m = 103 m. Donc 2,2 km = .

1 cm = 1/100 m = m. 1 hm 100 m 10² m, d’où 1 m hm. Donc 12 cm = m =

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hm = hm = 0,0012 hm.

3. Unités de surfaces

3.1. Unités de surface usuelles

L’unité de référence pour les surfaces est le mètre-carré. Pour mesurer la surface de terrains on utilise parfois aussi l’are ou l’hectare. Seule le mètre-carré est une unité du SI. L’are et l’hectare sont donnés à titre indicatif.

Unités mètre-carré centimètre-

carré kilomètre-carré are hectare

Symbole m² cm² km² a ha

Valeur 1 m²

m² = 0,000 1 m²

m² = 1 000 000 m²

100 m² 10 000 m²

1 m² = 10 000 cm² ; 1 km² = 1 000 000 m² = 100 ha ;

3.2. Repères et ordres de grandeurs de surfaces

2 mm² taille d’une tête d’épingle ;

5 cm² taille d’un timbre postal

1 m² = surface corporelle ;

1 are taille d’un terrain de volley-ball

5,5 ha = base de la grande pyramide de Gizeh ;

105,4 km² = superficie de Paris.

3.3. Convertir des surfaces

Méthode 1 : avec tableau de conversion. - Dessiner un tableau de conversion avec en colonnes les multiples et sous multiples de l’unité (par exemple le mètre-carré) en rajoutant deux sous-colonnes par multiple. - Placer le chiffre des unités du nombre à convertir dans la colonne correspondant à son unité (cm par exemple), dans la sous-colonne la plus à droite. - Puis rajouter des zéros ou décaler la virgule jusqu’à la colonne du multiple recherché

Exemples : convertir 1,2 cm² en mm², 3,15 km² en m² et 1,24 m² en km².

km² hm² Dm² m² dm² cm² mm² commentaire

1, 2 0 on décale la virgule de trois cases vers la droite et on rajoute un zéro. 1,2 cm² = 120 mm².

3, 1 5 0 0 0 0 on décale la virgule de 6 cases vers la droite et on rajoute trois zéros. 3,15 km² = 3 150 000 m².

0, 0 0 0 0 0 1, 2 4 on rajoute trois zéros devant et on rajoute une virgule après le premier zéro. 1,24 m² = 0, 00000124 km².

Méthode 2 : avec les puissances de 10. - En utilisant le tableau donné en début de chapitre et les règles de calcul sur les puissances, exprimer l’unité initiale en fonction de l’unité finale avec des puissances de 10. - Convertir avec une règle de trois ou une proportionnalité.

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Exemples :

1 cm² = = . Donc 1,2 cm² = mm² = 120 mm²

1 km² = (1000 m)² = (103 m)² = 106 m². Donc 3,15 km² = m² = 3 150 000 m².

1 m² = (1/1000 km)² = (10-3 m)² = 10-6 m². Donc 1,24 m² = m² = 0, 00000124 km²

4. Unités de volume

4.1. Unités de volume usuel les

L’unité du système international est le mètre-cube. Cependant le litre est une unité très répandue, en particulier dans le milieu de la santé. Il est donc impératif de bien savoir effectuer des conversions entre les m3 et les litres.

Unités mètre-cube centimètre-cube Litre Déci-litre

Symbole m3 cm3 L dL

Valeur 1 m3

m3 = 0,000

001 m3 1 dm3 0,1 dm3

1 L = 1 dm3 ; 1 m3 = 1000 L ; 1 cm3 = 1 mL ;

4.2. Repères et ordres de grandeurs de volumes

Une goutte = 0,05 mL ;

Un verre d’eau 20 cL ;

Un pack de lait = 1 L, donc on met 1000 packs de laits dans un cube de 1 mètre de côté ;

Un bain = 150 L.

4.3. Convertir des volumes

Méthode 1 : avec tableau de conversion. - Dessiner un tableau de conversion avec en colonnes les multiples et sous multiples du mètre-cube en rajoutant trois sous-colonnes par multiple et en faisant figurer les multiples et sous-multiples du litre. - Placer le chiffre des unités du nombre à convertir dans la colonne correspondant à son unité, dans la sous-colonne la plus à droite. - Puis rajouter des zéros ou décaler la virgule jusqu’à la colonne du multiple recherché.

Exemples : convertir 1,2 cm3 en cL puis en mm3, 9,5 L en m3 puis en cL et 120 cm3 en cL et en m3.

m3 dm3 cm3 mm3 commentaires

hL daL L dL cL mL

0, 1, 2 on rajoute un zéro et on décale la virgule d’une case vers la gauche. 1,2cm3 = 0,12 cL.

1, 2 0 0 on décale la virgule de trois cases vers la droite et on rajoute deux zéros. 1,2 cm3 = 1 200 mm3.

0, 0 0 9, 5 on rajoute 3 zéros devant et une virgule après le premier zéro. 9,5 L = 0, 0095 m3.

9, 5 0 on décale la virgule de deux cases vers la droite et on rajoute un zéro derrière. 9,5 L = 950 cL.

1 2, 0 on décale la virgule d’une case vers la gauche et on enlève le zéro superflu. 120 cm3 = 12 cL.

0, 0 0 0 1 2 0 on décale la virgule de quatre cases vers la gauche, on rajoute une virgule après le premier zéro et on

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enlève le zéro superflu à droite 120 cm3 = 0,00012 m3.

Méthode 2 : avec les puissances de 10. - En utilisant le tableau donné en début de chapitre et les règles de calcul sur les puissances, exprimer l’unité initiale en fonction de l’unité finale avec des puissances de 10. - Convertir avec une règle de trois ou une proportionnalité.

Remarque : le litre n’étant pas une unité composée la conversion s’effectue comme pour les distances. Exemples :

1 cm3 = (1/10 dm)3 = 10-3 dm3 = 10-3 L = 10-3x100 cL = 10-1 cL. Donc 1,2 cm3 = 1,2x10-1 cL = 0,12 cL.

1 cm3 = (10 mm)3 = 103 mm3. Donc 1,2 cm3 = 1,2x103 mm3 = 1200 mm3.

1 L = 1 dm3 = (1/10 m)3 = 10-3 m3. Donc 9,5 L = 9,5x10-3 m3 = 0,0095 m3.

1 L = 100 cL. Donc 9,5 L = 950 cL.

1 cm3 = 1 mL = 10-1 cL. Donc 120 cm3 = 120x10-1 cL = 12 cL.

1 cm3 = (1/100 m)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3. Donc 120 cm3 = 120x10-6 m3 = 0,00012 m3.

5. Unités de masse

5.1. Unités de masse usuel les

L’unité de masse du système international est le kilogramme. On utilise aussi le g le milligramme, la tonne et le quintal. Seul le kg est dans le système international. Attention, c’est la seule grandeur SI qui n’est pas exprimée en fonction de son unité fondamentale (le gramme) mais avec un multiple : kilo = x 1000.

Unités kilogramme gramme Milligramme tonne Quintal

Symbole kg g Mg T q

Valeur 1 kg 0, 001 kg 0, 000 0001 kg 1000 kg 100 kg

1 kg = 1000 g ;

1 g = 1000 mg ;

1 quintal = 100 kg.

1 tonne = 1000 kg ;

5.2. Repères et ordres de gra ndeurs massiques

masse d’une cellule 1 nanogramme ;

masse d’un moustique 1 milligramme ;

masse d’un gros grain de sable 1 centigramme ;

1 cm3 d’eau = 1 gramme ;

1 être humain adulte = 70 kg ;

1 voiture = 1 tonne ;

1 fusée au décollage = 2000 tonnes ;

Le titanic = 46 000 tonnes.

5.3. Convertir des masses

La masse n’étant pas une unité composée, les conversions s’effectuent comme pour le mètre.

6. Unités de temps

6.1. Unités de temps usuel les

Le temps est unité non-composée mais dont les multiples et sous-multiples ne sont pas des puissances de

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10. Les conversions sont donc un peu moins simples. L’unité de temps du système international est la seconde. On utilise aussi :

L’heure ;

La minute ;

La journée ;

Le mois ;

L’année ;

Le siècle.

Unité seconde minute heure journée mois année siècle

Symbole s (ou ‘’) min (ou ‘) h j - - -

Valeur 1 s 60 s 60 min 24 h ~ 30 jours ~ 365 jours 100 ans

6.2. Repères et ordres de gra ndeurs temporels

1 heure = 3600 secondes ;

1 journée = 1440 minutes ;

½ h = 30 min ;

1/3 h = 20 min ;

¼ h = 15 min ;

1/5 h = 12 min ;

1/6 h = 10 min ;

1/10 h = 6 min ;

1 jour = 24h ;

2 jours = 48 h ;

3 jours = 72h ;

1 semaine = 168 h ;1 milliseconde = battement d’aile d’une mouche ;

9,58 s = record du monde du 100 m détenu depuis 2009 par Usain Bolt ;

1 minute période approximative d’un cycle cardiaque humain ;

1 jour = durée de la rotation de la Terre sur elle-même ;

28 jours = temps mis par la Lune pour effectuer sa révolution autour de la Terre ;

1 année = temps mis par la Terre pour effectuer sa révolution autour du soleil ;

1 siècle longévité approximative de l’être humain ;

6.3. Convertir des durées

Exprimer une durée sous forme décimale dans le système ( j ; h ; min ; s)

Méthode : le principe est de décomposer le nombre à convertir en la somme de sa partie entière et de sa partie décimale et de convertir les quantités obtenues en multiples ou pourcentage des unités de temps.

Exemples : 1,6 min =

+

= 1 min + 0,6 x 60 s = 1 min + 36s = 1 min 36s.

3,7 h =

+

= 3h + 0,7 x 60 min = 3h + 4,2 min = 3h + 4 min + 0, 2 min = 3 h 4 min

+ 0,4 x 60 s = 3 h 4 min + 24 s = 3 h 24 min 24 s.

1,3 jours = 1 j + 0,3 j = 1 j + 0,3 x 24 h = 1 j + 7,2 h = 1 j + 7 h + 0,2 h = 1 j 7 h + 0,2 x 60 min = 1 j 7h + 12 min = 1 j 7 h 12 min. Exprimer une durée donnée en ( j ; h ; min ; s ) en secondes ou en heures

A l’inverse pour effectuer des calculs de vitesses ou de débit, il faut parfois convertir une durée donnée en heures, minutes, secondes en un nombre de secondes ou d’heures.

x 24 Jours x 60 Heures x 60 Minutes x

1000 Secondes ... Milli

secondes

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Méthode : on ramène toutes les quantités dans une seule unité en utilisant la proportionnalité ou un produit en croix.

Exemples :

3 minutes 40 secondes = 3 x 60 s + 40 s = 180 s + 40 s = 220 s.

4 heures 24 minutes 15 secondes = 4 h + 24 / 60 h + 15 / 60 min = 4h + 0,4 h + 0,25 min = 4,4 h + 0,25 / 60 h = 4,40042 h.

2 jours 3 heures 45 minutes = 2 x 24 h + 3 h + 45 / 60 h = 48h + 3 h + 45 / 60 = 51h + 0,75h = 51,75h.

/ 60 Secondes / 60 Minutes / 24 Heures ... Jours

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CHAPITRE 12 – GEOMETRIE

1. Aires et périmètres

Nom Représentation Périmètre Aire intérieure

Carré

Rectangle

Losange

Parallélogramme

Triangle

Triangle équilatéral

Triangle isocèle rectangle

Trapèze

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Cercle / disque

Secteur circulaire

Polygone régulier

2. Volumes

Nom Représentation Aire de la surface Volume intérieur

Cube

Pavé droit

Prisme droit

Cylindre de révolution

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Pyramide

Cône

Sphère

3. Théorème de Pythagore

3.1. Contexte

Le théorème de Pythagore est utile dès lors qu’on est en présence d’un triangle rectangle. Il peut servir soit :

à calculer la longueur du côté d’un triangle rectangle connaissant les deux autres ;

à tester si un triangle et rectangle lorsqu’on connaît la mesure des trois côtés. Rappels :

l’hypoténuse est le plus grand des côtés d’un triangle.

Les côtés issus du sommet d’un triangle sont appelés « côtés adjacents » à ce sommet.

3.2. Enoncé

Théorème : dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse.

Dans , rectangle en , on a :

3.3. Réciproque

Propriété : si dans un triangle quelconque, la somme des carrés des longueurs des côtés opposés à l’hypoténuse est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse, alors le triangle est rectangle.

Dans si

,

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alors est rectangle en .

3.4. Exemples

Considérons un placard de hauteur , et de profondeur . Considérons le triangle rectangle formé par la hauteur, la profondeur et la diagonale (de longueur ) du placard. Ce triangle est rectangle. Son hypoténuse est la diagonale, les côtés adjacents à l’angle droit sont la profondeur et la

hauteur. On a donc d’où , soit . Cela permet de savoir que si le plafond fait 2,20 m de haut, on peut coucher le placard sans que les coins ne touchent le plafond. Nul besoin de le démonter donc, pensez-y pour votre prochain déménagement. Un triangle dont les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5 est rectangle car et . Un triangle dont les longueurs des côtés sont 4, 5 et 6 n’est pas rectangle car et .

4. Théorème de Thalès

4.1. Contexte

En géométrie, il y a deux configurations particulières mettant en jeu deux triangles semblables : agrandissement ou réduction l’un de l’autre. Dans les figures suivantes, les droites (MN) et (BC) sont parallèles et

dans la première figure, le triangle AMN et une réduction du triangle ABC ;

dans la seconde figure, le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC ;

dans la seconde figure, le triangle AMN peut-être un agrandissement ou une réduction, inversée, de ABC.

Dans tous les cas, les longueurs de côtés des triangles sont tous proportionnels.

4.2. Enoncé

Théorème : dans un triangle ABC non plat, si une droite parallèle à (BC) coupe (AB) en M et (AC) en N (première configuration), alors les égalités suivantes sont vérifiées :

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La relation s’adapte aisément aux deux autres configurations. Cela traduit simplement le fait que les dimensions d’un triangle agrandi ou rétréci sont proportionnelles.

4.3. Réciproque

Propriété : si dans un triangle ABC non plat, tel qu’une droite (MN) coupe (AB) en M et (AC) en N, les égalités suivantes sont vérifiées

alors, (MN) et (BC) sont parallèles.

Remarque : les théorèmes de Thalès et de Pythagore sont rarement utilisés dans les QCM. Leur application étant cependant assez simple, bien les connaître permet de gagner des points.

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CHAPITRE 13 – VITESSE ET DEBIT

1. Vitesse moyenne

Définition : la vitesse moyenne d’un corps est le rapport de la distance parcourue par le temps nécessaire pour effectuer ce parcours :

Remarques :

La relation précédente montre que la vitesse est proportionnelle à la distance, à durées égales. Cela signifie que, pour un temps donné, plus la distance est grande, plus la vitesse est grande, le coefficient de proportionnalité étant égal à l’inverse de la durée.

La relation précédent montre que la vitesse est inversement proportionnelle à la durée de parcours, à distances égales. Cela signifie que, pour une distance fixée, plus le temps de parcours est long, plus la vitesse est faible, le coefficient de proportionnalité étant égal à la distance.

Méthode : pour calculer la vitesse moyenne sur un trajet avec des étapes, on ne peut pas calculer la moyenne des vitesses moyennes sur chaque étape, il faut diviser la distance totale parcourue par la durée totale.

Analyse dimensionnelle. La distance est exprimée en mètre ou en kilomètre, le temps en heures ou en secondes. Les deux unités usuelles de la vitesse sont donc le m/s et le km/h. Conversions. Le km/h et le m/s sont proportionnels. En effet, comme 1 km/h = 1000 m / 3600 s = (1 / 3,6) m/s, on convertit les km/h en m/s en divisant par 3,6 et les m/s en km/h en multipliant par 3,6.

1 km/h = 3,6 m/s

Quelques ordres de grandeurs :

4,68 m/h = vitesse des escargots ;

9-12 km/h = vitesse moyenne de course ;

18 – 90 m/h vitesse de propagation de l’influx nerveux dans une gaine de myéline ;

1193,4 km/h = vitesse du son ;

40 000 m/h vitesse d’Apollo 10 ;

107 280 km/h = vitesse de la Terre en orbite autour du soleil ;

720 000 000 m/h vitesse d’un signale dans un câble ;

1 079 252 848,8 km/h = vitesse de la lumière. A l’aide de la définition précédente on peut exprimer la distance en fonction de la vitesse et du temps :

/ 3,6

x 3,6 km / h m / s

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Remarque : cette relation montre que la distance parcourue est proportionnelle à la vitesse et au temps. A vitesse donnée, plus la durée est grande, plus la distance parcourue est grande. A durée donnée, plus la vitesse est grande, plus la distance parcourue est grande. On peut aussi exprimer la durée de parcours en fonction de la vitesse et de la distance

Remarque :

cette relation montre que la durée de parcours est proportionnelle à la distance, à vitesse donnée. Cela signifie que, pour une vitesse fixée, plus la distance parcourue est grande, plus la durée de parcours est grande.

Elle montre aussi que la durée de parcours est inversement proportionnelle à la vitesse, à distance donnée. Cela signifie que, pour une distance fixée, plus la vitesse est grande, plus la durée de parcours est faible.

Exemples :

Une voiture a roulé pendant 1h pour effectuer 90 km. Sa vitesse moyenne est

km/h. En m/s, on divise par 3,6 : 90 km/h m/s = 25 m/s.

Un cycliste a roulé pendant 4h à la vitesse moyenne de 40 km/h. la distance parcourue pendant son trajet est : km.

Un piéton a effectué une randonnée de 25 km à la vitesse de 1 m/s. Sa marche aura duré

s, soit environ 7h (25000 / 3600).

2. Débit

Définition : le débit moyen d’un fluide est le rapport du volume de ce fluide s’écoulant à travers une surface par unité de temps :

Remarques :

La relation précédente montre que le débit est proportionnel au volume, à durées égales. Cela signifie que, pour un temps donné, plus le volume débité est important, plus le débit est grand.

La relation précédente montre aussi que le débit est inversement proportionnel à la durée, à volumes égaux. Cela signifie que, pour un volume fixé, plus le temps long, plus le débit est faible.

Analyse dimensionnelle. Le volume est exprimé en mètre-cube ou en litre, le temps en seconde, minute, heure… Les unités du débit sont donc diverses : m3/s, mL/h, L/s, etc… On peut exprimer le volume débité en fonction du débit et du temps :

Remarque : cette relation montre que le volume débité est proportionnel au débit et au temps. A débit donné, plus la durée est grande, plus le volume débité est grand. A durée donnée, plus le débit est grand, plus le volume débité est grand.

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On peut aussi exprimer le temps qu’il faut pour qu’un volume V de fluide soit débité au débit D :

Remarque :

cette relation montre que la durée est proportionnelle au volume, à débit donné. Cela signifie que, pour un débit fixé, plus le volume débité est grand, plus la durée est grande.

Elle montre aussi que la durée est inversement proportionnelle au débit, à volume donné. Cela signifie que, pour un volume fixé, plus le débit est grand, plus la durée est faible.

Exemple : Un robinet remplit 0,9 m3 en 10 minutes. Quelle est la hauteur d’une cuve de base carré (70 cm de côté)

remplie en 2h par le même robinet ? Le débit du robinet est

m3/s. En deux heures le

le robinet débit m3. Or, le volume de la cuve est de .

D’où

. La hauteur de la cuve est de 22 cm.

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CHAPITRE 14 – CONCENTRATION ET DILUTION

1. Concentration

Définition : la concentration représente la quantité en masse (ou en pourcentage) d’un soluté dissout par litre de solution :

Remarques :

on peut aussi exprimer une concentration en pourcentage :

en remplaçant la masse par la quantité de matière, on définit la concentration molaire :

Le solvant est très souvent l’eau. Il est important de connaître sa masse volumique : 1 kg/L.

La concentration est proportionnelle à la masse pour un volume donné. Cela signifie que, pour un volume fixé, plus la quantité de soluté est grande, plus la concentration est grande.

La concentration est inversement proportionnelle au volume, à masse fixée. Cela signifie que, pour une quantité de soluté donné, plus le volume de solvant contenant le soluté est grand, plus la concentration est faible.

Analyse dimensionnelle. est en gramme ou g, le volume généralement en litre, donc l’unité usuelle de la concentration massique est le g/L. La concentration en pourcentage est sans unités. La concentration molaire est en mol/L. On peut exprimer la masse dissoute en fonction du volume et de la concentration :

Remarque : la masse est proportionnelle à la concentration et au volume. A concentration donnée, plus le volume est grand, plus la masse contenue dans ce volume est grande. A volume donné, plus la concentration est grande, plus la masse contenue dans ce volume est grande. On peut exprimer le volume en fonction de la masse et de la concentration :

Remarque :

Le volume est proportionnel à la masse, à concentration donnée. Cela signifie que, pour une concentration fixée, plus la quantité de soluté est grande, plus le volume contenant ce soluté est grande.

Le volume est inversement proportionnel au débit, à masse de soluté donnée. Cela signifie que, pour une quantité fixée de soluté, plus la concentration est grande, plus le volume nécessaire pour

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contenir la quantité de soluté est faible. Exemples :

Dans une solution de chlorure de sodium de concentration massique 50 g/L, il y a 50 g de chlorure de sodium dissout par litre de solution, 25g par demi-litre, etc. Donc pour prélever 4 g de soluté, il

faut un volume de cette solution de

.

On prélève un volume mL d’une solution aqueuse de Iodure de Potassium dans laquelle on

trouve 20 mg de Iodure de Potassium dissout. La concentration de la solution est de

g/L.

2. Dilution

Définition : effectuer une dilution, c’est ajouter un volume d’eau à une solution « mère » afin d’obtenir une solution diluée (dite « fille ») moins concentrée.

Propriété : soient S1 une solution mère et S2 une solution fille. Au cours d’une dilution, la quantité de soluté se conserve : , soit

Remarque : cette relation est valable pour les concentrations massiques, en pourcentage, ou molaire.

Propriété : la relation entre les volumes des solutions S1 et S2 est :

Exemple : Un flacon contient 50 mL d’une solution concentrée à 70% en glucose. Quel volume d’eau (en mL) faut-il ajouter à cette solution pour obtenir une solution diluée de concentration 20% ?

On opère une dilution. On a donc

. D’où

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