Cours Treillis

7/25/2019 Cours Treillis

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Les treillis

L3 STPI MecaParcours STM et MI

FLSI655 : Structures et Dimensionnement

Vincent HUON


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2

Les treillis et portiques

1. Rappel sur les poutres rectilignes

2. Gnralits sur treillis3. Calculs des efforts dans les barres

4. Calcul des dplacements5. Exemple complet


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3






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4

Rapp

elsurlespoutresrec

tilignes

Sollicitations dans une barre quelconque

Condit ions dquilibresLa barre AB, soumise aux forces etest lquilibresi et seulement si

et sont colinaires ,

de mme normes et,de sens opposs

Fr

'Fr

Fr

'Fr

B

E, S, LFr

'Fr

A

B

L : longueur initiale

S : sectionE : module dYoung

Fr

Fr

Extension

Fr

Fr

Compression

Contrainte normale

S

FN=

Allongement

ES

FLL =

Remarque : dans le cas de barres comprimes, il convient en pratiquedexaminer les risques de flambage


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5

Rapp

elsurlespoutresrec

tilignes

Formulaires des dformations de flexion plane simple


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6

Rapp

elsurlespoutresrec

tilignes

Principe de superposition

Principe de superposition des dformations

Dans la limite des dformations lastiques, le vecteur dformation en unpoint, d un systme de forces extrieures est gal la sommegomtrique des vecteurs dformations dus chacune des forces dusystme agissant sparment.

Valeur de la flche en AConsidrons les charges extrieures comme lasuperposition :- de la charge rpartie seule (Cas 6)- de la charge concentre seule (Cas 4)

Principe de superposition :

ZZ GG

A

AcasAcasA

EI

plalal

EI

Fy

yyy

82

6

4

2

46

ApplicationSoit une poutre AB de longueur l. Cette poutre est encastr en B et supporte :- Une charge verticale uniformment rpartie de densit p (N/m);- Une charge concentre F applique en C dabscisse a


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Rapp

elsurlespoutresrec

tilignes

Systmes hyperstatiques dordre 1

Systme hyperstatique en quilibre

Nombre d'inconnues de liaison Ns > Nombre d'quations algbriques d'quilibrersh dfinit le degr d'hyperstatisme (nombre d'quations complmentaires qu'ilfaudra crire pour rsoudre le systme).

CetB,Arrr

Exemple dun cas de systmes hyperstatiques de degr 1

Une poutre 1 de section constante repose sur trois appuis de niveau sansadhrence 2,3 et 4 respectivement en ; ces appuis sont quidistants.

Le plan est un plan de symtrie pour la poutre et pour les forcesextrieures qui lui sont appliques. La poutre est soumise sur toute sa longueur une charge uniformment rpartie de densit p (Nlm).

( )y,x,A rr


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8

Rapp

elsurlespou

tresrec

tilignes


Dsignons par les rsultantes des actions mcaniques des appuis 2, 3,4 en A, B, C. Modlisons la poutre 1 par sa ligne moyenne et plaons lesrsultantes A, B, C des actions des appuis.

tude de l'quil ibre de la poutreOn note A, B, C les normes des vecteurs .

quations algbriques d'quilibre de 1 :

A+B+C-pl = 0 (a)A=C (b)

Les quations algbriques d'quilibre de 1 sont au nombre de rs = 2 alors que lenombre des inconnues de liaison est de Ns = 3. La poutre 1 est donc bien enquilibre hyperstatique d'ordre h = 1.Pour rsoudre ce systme il faut donc une quation complmentaire.

CetB,Arrr

CetB,Arrr


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9

Rapp

elsurlespou

tresrectilignes


Principe de superposition des dformations

Il nous permet de trouver cette quation.

Gz

4

B111EI384

pl5

y:Benpartielleflchelapouret2

pl

CA ===

Modle de la poutre 1 soumise seulement la charge rpartie p ; l'appui central3 en B a t supprim.


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10

Rapp

elsurlespou

tresrectilignes


Modle de la poutre 1 soumise seulement l'action extrieure de l'appui 3 en B.

Bien entendu ce cas de charge est fictif et on observe que les actions partiellesdes appuis 2 et 4 en A et C sont inverses.

Gz

3

B222 EI48

Bl

y:Benpartielleflchelapouret2

B

CA ===


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Rappelsur

lespou

tresrectilignes


Modle initial de la poutre et des charges

)c(0EI48

Bl

EI384

pl5doncyyy

Gz

3

Gz

4

B2B1B =++=

La rsolution du systme (a), (b), (c) permet dcrire

16

pl3B;

8

pl5B;

16

pl3A ===


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Rappelsur

lespou

tresrectilignes

Energie de dformation dans une poutre

Energie de dformation dans un tronon de poutre

Rappel : en sollicitations simples, en un point M quelconque de (S), ltat decontrainte est tel que les termes sont nuls et par consquent

lexpression caractristique des contraintes dans la section droite est donnesur une facette de normale par :

Avec : vecteur unitaire de la contrainte tangentielle dans lasection

zyyzzy =,,

xr

( ) txzyxxM, xtxxzxyxrrrrrr

r

+=++=

tet 2

xz

2

xy

2

xt

r

+=

Soit une poutre sollicite dans une section droite (S) de centre de surface G etde repre local principal , par son torseur de cohsion.( )z,y,xG, rrr

E i d df ti d t


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Rappelsur

lespou

tresrectilignes


Energie de dformation dans un tronon de poutre

Le torseur de cohsion ne dpend que de l'abscisse x, sur la ligne moyenne, dela section (S). Sur un tronon infiniment petit dx autour de (S), on considrengligeable les variations du torseur de cohsion.En considrant dans le tronon de poutre, le prisme de volume lmentairedv = dx dy dz autour d'un point M, on en dduit pour l'nergie de dformationlmentaire :

13

dzdydxG

1

E

1

2

1dU 2xt

2

x

+=

dxdSG

1dS

E

1

2

1dU

(S)

2

xt

(S)

2

x

+=

Aussi dans une section droite (S) donne, les contraintes ne varientqu'en fonction des coordonnes locales (y, z ) du point M considr d'ol'expression :

xtx et

E i d df ti d t


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Rappelsur

lespou

tresrectilignes


Cas de lextension compression

Soit une sollicitation dextension dans la section droite (S) de la poutre. Letorseur de cohsion dans cette section est dfini en G par :

{ }

( )

0Navec

00

000N

z,y,xG

coh >

=

rvr

Donc lnergie de dformation dune poutre en extension scrit :

14

dx

ES

N

2

1dU

2

=



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Rappelsur

lespou

tresrectilignes


Cas de la flexion

{ }

( )z,y,x

fy

G

coh

00

M000

rvr

=

Donc lnergie de dformation dune poutre en extension scrit :

15

dx

EI

M

2

1dU

GY

2

fy=

Soit une sollicitation de flexion autour de laxe dans la section droite (S)de la poutre. Le torseur de cohsion dans cette section est dfini en G par :

( )yG,r

Thorme de Castigliano : nonc


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16

Rappelsur

lespou

tresrectiligne

s

Thorme de Castigliano : nonc

iFr

iFr

i

i

uF

U=

inr

i ( )ii n,P r

Les dplacements et les forces sont pris au sens gnralis.Par exemple pour un couple C, daxe , et de dplacement derotation , autour de laxe , le thorme de Castigliano

scrit :

i

iF

U=

Thorme de Castigliano


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Rappelsur

lespou

tresrectiligne

s

Thorme de Castigliano

Cas particulier

Considrons le cas particulier o parmi l'ensemble des n forces appliques ; ausolide (E), les deux reprsentants (appliqus respectivement en P1 et P2)soient directement opposes et de mme norme F.On montre que si l'on exprime l'nergie de dformation U l'aide de la valeur

commune F soit U = U(F, F3, . . . , Fn,), l'application du thorme deCastigliano donne :

avec u1/2 dplacement relatif des deux points d'application P1 et P2.Ce rsultat sera utile pour la rsolution des systmes hyperstatiques.

iFr

21 FetFrr

21/uF

U=

21 FetF

rr

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Thorme de Castigliano : Thorme de la charge fictive


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Le thorme de Castigliano => dplacement dans la direction d'un effortappliqu au solide tudi.Par contre, il semble ne pas permettre de dterminer des dplacements :- en un point du solide o aucune force n'est applique ;- si les charges sont rparties sur une partie du solide.

La mthode de la charge fictive permet de rpondre cette interrogation.Considrons un solide (E) soumis un ensemble quelconque de forcesconcentres ou rparties . On souhaite dterminer en un point P ledplacement algbrique u dans une direction .

Considrons une charge fictive applique en P dans la direction de .L'nergie de dformation dans le solide est alors une fonction de l'ensemble desforces : U = U(pi Fi,Ff).Appliquons ensuite le thorme de Castigliano en introduisant au terme de la

drivation, le fait que la charge fictive Ffsoit nulle d'o :

Cette relation forme le thorme de la charge fictive.

iFr

)u

f

fii

fFF

FFpU=

=

,,

0

ipr

nr

fFr

nr

Rappelsur

lespou

tresrectiligne

s

Thorme de Castigliano : Thorme de la charge fictive

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Rsolution des systmes extrieurement hyperstatiques


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Rappelsur

lespou

tresrectiligne

s


19

Solide en liaison avec lextrieur de telle sorteque lensemble soit extrieurementhyperstastique de degr n.

Soit une structure (E) soumise un ensemblede m forces appliques aux points Pi.Lnergie de dformation est :

U = U(F1, F2, , Fi, , Fm)

iFr

(E) est soumis k action de liaison de norme Rj. On considre les npremires composantes comme les inconnues hyperstatique

jRr

iFr

Equation de la statique k-n actions de liaison Rj en fonction des m forceset des n inconnues de liaison choisies comme inconnues hyperstatiques :Rj=fi(F1, F2, , Fi, , Fm, R1, R2, , Rn) avec j=n+1 k



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Soit une structure (E) rendu isostatique enlibrant les ddl correspondant aux n inconnueshyperstatiques de liaison et en considrant cesderniers comme des forces donnes dont les

points dapplication ont un dplacement nul.Energie de dformation de (E) :U = U(F1, F2, , Fi, , Fm, R1, R2, , Rn)

Rappelsur

lespou

tresrectiligne

s


20

Thorme de Mnabra : n1j0R

U

j

==


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21





Dfinition


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22

Gnralits

surles

treillis

Un systme rticul (ou treillis) est un systme compos de barres droitesarticules entre elles leurs extrmits.

On appelle nuds les points darticulation communs plusieurs barres.

Lorsque les barres et les forces appliques sont dans un mme plan, lesystme est un systme rticul plan.

Un systme triangul est un systme rticul form de triangles juxtaposs.

Utilisation


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23

Gnralits

surles

treillis

Avantages : lgret, conomique, inertie flexionnelle adapte par variation

de hauteur de la poutreInconvnients : temps de mise en uvre importants

Matriaux : acier, bois, aluminium

Hypothses


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24

Gnralits

surles

treillis

yp

Pour dterminer les actions de liaison, on assimilera le systme rticul unsystme matriel rigide

Par dfinition, un systme matriel est constitu de solides au sens de la statique, ces solides sontdonc indformables, les barres ont une longueur invariante quel que soit lintensit des effortsnormaux et on nglige la dformation axiale des barres provenant des sollicitations de traction oucompression. Par rigide, on entend que le treillis est stable (isostatique ou hyperstatique)

Les barres sont modlises par leur ligne moyenne (ligne passant par leCDG des sections droites). On suppose les barres articules sans frottement aux nuds (articulationparfaite daxe z perpendiculaire au plan du treillis)

En pratique, en construction mtallique le nud est constitu dune plaque nomme gousset surlaquelle les barres sont le plus souvent boulonnes ou soudes. De plus certaines barres sontcontinues au passage dun nud. Parfois, lorsque les barres sont des profils creux, elles sont soudesau niveau de leurs intersections. Nanmoins tant que la longueur des barres reste grande devant lesdimensions de lassemblage, on peut considrer sans grande erreur (quelques %) que cet assemblagese comporte comme une articulation.

Hypothses


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25

Gnralits

surles

treillis

On nglige le poids propre des barres devant les autres charges sollicitant letreillis.

Les forces extrieures sont toujours ponctuelles et appliques au nuds.

Les calculs sont conduit exclusivement en lasticit.

Les liaisons avec lextrieur sont des appuis fixes ou des appuis mobiles

Degr dhyperstatisme extrieur et intrieur


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Gnralits

surles

treillis

Avant de rsoudre un systme nuds articuls, il convient d'examiner lesdegrs d'hyperstatisme extrieur et intrieur pouvant compliquer la rsolution.On note pour un systme plan donn :- b le nombre de barres ;- n le nombre de nuds ;- r le nombre d'inconnues de liaison avec l'extrieur.

Le nombre total ni d'inconnues statiques est la somme des b efforts intrieursdans les barres et des r inconnues de liaisons : ni = b + r.

Si l'on isole un nud, on remarque que les forces s'exerant sur ce nudsont toutes concourantes en celui-ci. En consquence, l'quilibre statique dunud implique la nullit de la rsultante des forces, soit l'obtention dans le plan

de deux quations algbriques d'quilibre statique par nud. Le nombre total ned'quations de la statique disponible dans le plan est donc : ne = 2n.

Le degr d'hyperstatisme h du systme se dcompose en he degrsd'hyperstatisme extrieur et h

i

degrs d'hyperstatisme intrieur. Aussi, on a larelation : h=he+hi=ne-ni.

Degr dhyperstatisme extrieur et intrieur


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Gnralits

surles

treillis

Parmi les ne quations, trois suffisent dterminer les inconnues de liaison d'un

systme isostatique extrieurement. Cette remarque amne crire la dernirerelation sous la forme :

[ ]

]

4434421321

ie h

nb

h

rh 323

Degr d'hyperstatisme extrieur

- Si r


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Gnralits

surles

treillis

Degr d'hyperstatisme intrieur- Si b < 2n - 3 ; hi < 0 : le systme est instable intrieurement. Les effortsextrieurs dforment normment la structure si bien qu'elle ne satisfait plus l'hypothse des petits dplacements nonce en rsistance des matriaux.

- Si b = 2n - 3; hi = 0 : le systme est isostatique intrieurement. Les effortsintrieurs dans les barres sont entirement dtermins par les quations de lastatique.

- Si b > 2n-3 : hi > 0 : le systme est hyperstatique intrieurement. Il estncessaire d'crire des quations supplmentaires pour dterminer les effortsintrieurs.



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Mthode dquilibre des nuds Systme plan isostatique


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30

Calc

uldeseffortsdanslesbarre

sSoit un systme plan n nuds articuls dans

un repre .Isolons un nud quelconque i reliant plusieursbarres.Sur ce nud s'exercent un certain nombred'efforts extrieurs et d'efforts normaux N dansles barres.

( )y,xO, rr

jNr

kFr

Lquilibre du nud i scrit : 0NFj

j

k

k

rrr

=+

=+

=+

jj

kk

j

j

k

k

0sinNsinF

0cosNcosF

jk

jk

Soit k et j les angles entre l'axe et respectivement la droite d'action desefforts extrieurs et intrieurs. La projection de la relation vectorielle ci-dessussur les axes du repre permet d'crire pour le nud i deux quationsalgbriques :

xr

Mthode dquilibre des sections Systme plan isostatique


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Calc


sLes quations de la statique fournissent trois quations d'quilibre pour tout oupartie d'un systme plan isol. Si le systme est isostatique, l'isolement de lastructure entire permet d'obtenir les actions de liaisons.

La mthode d'quilibre des sections ou > consiste isoler une partie du systme de telle sorte que n'apparaissent que troisinconnues d'efforts intrieurs. Les droites d'action de ces inconnues tant

souvent concourantes, on crit de prfrence, parmi les quations de la statiquedisponibles, les quations de moment par rapport ces points de concours.Cette dmarche a pour effet de ne conserver qu'une inconnue dans l'quationobtenue.

Mthode dquilibre des sections Exemple


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32

Calc


s

Hypothse de travail. On suppose chaque effortnormal positif (N > O, barre en extension). Si lecalcul contredit cette hypothse (N < O), la barre

est donc comprime.

Soit un systme triangul constitu de barres delongueur unitaire et sollicit aux nuds sommetsC et D par deux forces .yFFF 21

rrr

==Equilibre statiquede la structure entire yFRR BA

rrr

==

Isolons la partie gauche de la structure en effectuant une coupure fictive autravers des sections des barres 2, 3 et 4. On remarque qu'une quationalgbrique de moment en E permet le calcul de l'inconnue N4.

La mthode d'quilibre des sections est simpleet applicable dans la plupart des systmes nuds articuls. Elle est trs pratique pourobtenir un effort particulier

Leve de lhyperstatisme


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33

Calc


s Dans le cas d'un systme hyperstatique extrieurement et/ou intrieurement, il

convient d'appliquer les mthodes de leve de l'hyperstatisme utilisant lesthormes de Catigliano-Mnabra.Rappelons que dans une barre i d'un systme nuds articuls ne rgne qu'uneffort normal Ni constant tout le long de la barre. L'nergie de dformation Ui de

cette barre de longueur Li, de section Si et de module d'Young Ei s'crit donc :

ii

i

2

ii

SE

LN

2

1U =

Pour un systme compos de b barres, lnergie totale U a pour expression :

==

==b

i

b

i 1 ii

i

2

i

1

iSE

LN

2

1UU



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Thorme de Castigliano et de la charge fictive


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35

Calc


s

La connaissance des efforts intrieurs et de liaison permet d'crire l'expressionde l'nergie de dformation du systme, ceci l'aide de la relation (voir partie

rappel).Au nud et dans la direction d'un effort extrieur, le dplacement est donn parle thorme de Castigliano.Pour tout autre dplacement, on a recours l'introduction d'une chargeextrieure fictive (voir le thorme de la charge fictive).

Mthode de compatibilit des dplacements

Soit une barre i de longueur Li dans un plan . Les nuds extrmitsde la barre ont pour coordonnes : Ai(xi, yi) et Aj(xj, yj). La barre fait un angle iavec l'axe .

( )y,xO, rr

( )xO,r



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36

Calc


s

Longueur de la barre Li : ( ) ( )2

ji

2

ij2i yyxxL +=

Au cours d'une petite dformation, les nuds Ai et Aj viennent se positionner enet la barre subit en consquence

un petit allongement dLi. Faisons apparatre ces termes en diffrenciant larelation prcdente :

)dyy,dx(xAet)dyy,dx(xA jjjj'

jiiii

'

i ++++

jijiijijii dydyyy2dxdxxx2dL2L +=



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37

Calc

uldeseffortsdansle

sbarre

sNotons les petits dplacements suivant les axes du plan ui = dxi ; uj = dxj ;v

i= dy

i; v

j= dy

jet divisons l'expression prcdente par L

iafin de faire apparatre

les termes :

i

ij

i

i

ij

iL

yysinet

L

xxcos

=

=

On a alors : iijiiji sinvvcosuudL +=

Dans la barre i, La loi de Hooke s'crit :i

ii

i

i

L

dLE

S

N=

Compatibilit des dplacements avec leffort normal Ni :

( ) ( )ii

iiiijiij

SE

LNsinvvcosuu =+

Conclusion : Connaissant les efforts dans les barres et un minimum deconditions en dplacement, en particulier aux liaisons (certains dplacements y

sont nuls), on peut dterminer les dplacements de tous les nuds du systme.

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