1. BY dali200821 For Tunisia-sat Unit SESSignaux et systmes 1

2. Haute Ecole dIngnierie et de Gestiondu Canton de VaudDpartement Technologies Industrielles Unit SES Signaux et Systmesi nstitut dA utomatisation Prof. Freddy Mudryi ndustrielle

3. "La science, son got est amer au dbut mais la fin, plus doux que le miel" (Plat dcor pigraphique XI-XIIme sicle, Iran ou Transoxiane Le Louvre - Arts de lIslam) i

4. Informations concernant lunit Signaux et Systmes SES Prof. F. MudryObjectifs lissue de cette unit denseignement, ltudiant sera en mesure de : 1. valuer les caractristiques et les rponses temporelles dun systme analogique li- naire ou non. 2. Dcrire le comportement des systmes contre-ractionns. 3. Matriser les sries de Fourier : reprsentations spectrales et calcul de la puissance. 4. Analyser et mettre en pratique les relations temps-frquence. 5. valuer les eets de lchantillonnage et de la quantication. 6. valuer et calculer le comportement dun systme numrique linaire. lissue des travaux pratiques en laboratoire, ltudiant sera en outre capable de : 1. Matriser un outil de programmation tel que Matlab. 2. Simuler des systmes analogiques linaires ou non et apprcier leurs eets. 3. Synthtiser et analyser des signaux. 4. Visualiser, dcrire et analyser le spectre dun signal quelconque. 5. crire en ligne un rapport succint mais complet de son travail.Remarques 1. Le temps accord pour les exposs et exercices du cours SES est de 4 priodes hebdomadaires pendant un trimestre. Durant le trimestre suivant, le cours de 5 priodes hebdomadaires est complt par un laboratoire de 3 priodes hebdomadaires. 2. Dans la mesure du possible, les cours et exercices sont donns en alternance durant deux priodes. 3. Les corrigs dexercices sont donns dans un fascicule part. An dapprendre rsoudre les exercices proposs de manire personnelle et indpendante, celui- ci ne devrait pas tre consult pendant les sances dexercices. 4. Les tests crits sont constitus de problmes similaires ceux proposs comme exercices. Le seul document autoris pour les TE est un formulaire manuscrit personnel. 5. Lexamen de n dunit SES se fera sous forme crite et durera deux heures. 6. Des informations complmentaires sont donnes dans la che de cours SES.Programme Un temps total de 96 priodes est accord cette unit denseignement. Larpartition et la progression du cours sont donnes dans le tableau ci-aprs. Il est bienclair que ce programme constitue une ligne directrice et que le rythme du cours peut trelgrement modi selon les circonstances.ii c 2008 freddy.mudry@gmail.com

5. Semestres Signaux et Systmes Priodes Total Semaines Cours Trimestre 2 : 5 pr. hebdo. = 40 priodes I Analyse des systmes linaires 6 6 1.2 Analyse des systmes analogiques 8 14 2.8 lments de rgulation automatique 10 24 4.8 TP 1 : Simulation dun systme analogique 6 30 6 II Analyse des signaux priodiques 6 36 7.2 1 TE + correction 4 40 8 Cours Trimestre 3 : 5 pr. hebdo. = 35+3 priodes Analyse des signaux priodiques (n) 4 4 1 Analyse des signaux non priodiques 4 8 2 lments danalyse spectrale numrique 4 12 2.5 III chantillonnage et reconstruction des signaux 6 18 3 Signaux et systmes numriques 16 34 6 1 TE + correction 4 38 7 Labo Trimestre 3 : 3 pr. hebdo. = 21-3 priodes TP 2 : Synthse et analyse de signaux priodiques 6 6 3 TP 3 : Numrisation des signaux analogiques 6 12 5 TP 4 : Synthse et ralisation de ltres numriques 6 18 7 Tab. 0.1.: Programme denseignement de lunit SES c 2008 freddy.mudry@gmail.com iii

6. Bibliographie gnraleTraitement des signaux 1. B.P. Lathi : Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 2. B.P. Lathi : Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, 1992 3. F. de Coulon : Thorie et traitement des signaux, PPR, 1984 4. A. Spataru : Fondements de la thorie de la transmission de linformation, PPR, 1987 5. A.V. Oppenheim, A.S. Willsky : Signals and Systems, Prentice-Hall, 1983Traitement numrique des signaux 1. B. Porat : A Course in Digital Signal Processing, J. Wiley, 1997 2. J.H. McClellan, R.W. Schafer, M.A. Yoder : DSP First, Prentice Hall, 1999 3. J.G. Proakis, D.G. Manolakis : Digital Signal Processing, MacMillan, 2me dition, 1992 4. C.S. Burrus et al. : Computer-Based Exercises for Signal Processing, Prentice- Hall, 1994 5. V.K. Ingle, J.G. Proakis : Digital Signal Processing Using MatLab, PWS, 1997 6. E.C. Ifeachor, B.W. Jervis : Digital Signal Processing, Addison-Wesley, 1993Filtres analogiques et numriques 1. M. Labarrre et al. : Le ltrage et ses applications, Cepadues Editions, 1982 2. R. Bote, H. Leich : Les ltres numriques, Masson, 1980 3. R. Miquel : Le ltrage numrique par microprocesseurs, Editests, 1985 4. H. Lam : Analog and Digital Filters, Prentice Hall, 1979 5. T.W. Parks, C.S. Burrus : Digital Filter Design, J. Wiley, 1987 6. Ch.S. Williams : Designing Digital Filters, Prentice-Hall, 1986Analyse spectrale numrique 1. Hewlett-Packard : The Fundamentals of Signal Analysis, Application Note 243, 1981 2. R.B. Randall : Frequency Analysis, Brel-Kjaer, 1987 3. C.S. Burrus, T.W. Parks : DFT / FFT and convolution algorithms, J. Wiley, 1985 4. R.W. Ramirez : The FFT Fundamentals and Concepts, Prentice-Hall, 1985iv c 2008 freddy.mudry@gmail.com

7. Traitement de la parole 1. R. Boite et all : Traitement de la parole, PPUR, 2000 2. Deller, Proakis, Hansen : Discrete Time Processing of Speech Signals, Macmil- lan, 1993 3. S. Saito, K. Nakata : Fundamentals of Speech Signal Processing, Academic Press, 1985 4. L.R. Rabiner, R.W. Schafer : Digital Signal Processing of Speech, Prentice- Hall, 1978Pour le plaisir des yeux et de lesprit 1. Warusfel Andr : Les nombres et leurs mystres, Seuil 1961 2. Stewart Ian : Does God Play Dice ? the new mathematics of chaos, Penguin, 1989 3. Stewart Ian : Dieu joue-t-il aux ds ? les nouvelles mathmatiques du chaos, Flammarion, 1993 4. Peitgen H.O., Saupe D. : The Science of Fractal Images, Springer-Verlag, 1988 5. Dunham William : Euler, the master of us all, The Mathematical Association of America, 1999 6. Maor Eli : To Innity and Beyond : a cultural history of the innity, Birkhu- ser, 1986 7. Klein Etienne : Il tait sept fois la rvolution - Albert Einstein et les autres, Flammarion, 2005 8. Klein Etienne : La physique quantique, Dominos Flammarion, 1996 9. Hawking Stephen : Une brve histoire du temps, Flammarion, 1988 10. Reeves Hubert : Malicorne : rexions dun observateur de la nature, Seuil, 1990 11. ThuanTrinh Xuan : Le chaos et lharmonie : la fabrication du rel, folio essais, Gallimard, 1998 12. Davis Ph.J, Hersh R. : Lunivers mathmatique, Bordas 1985 13. Ekeland Ivan : Le Calcul, lImprvu : les gures du temps de Kepler Thom, Seuil, 1984 14. Conway John : The Book of Numbers, Copernicus, 1996 15. Fivaz Roland : Lordre et la volupt, PPR 1989 16. Lesieur Marcel : La turbulence, Grenoble PUG 1994Quelques adresses InternetDmonstrations interactives 1. http ://www.jhu.edu/~signals/ c 2008 freddy.mudry@gmail.com v

8. 2. http ://image-1.rose-hulman.edu/~yoder/bookcd/visible/contents/cover.htm 3. http ://www.engin.umich.edu/group/ctm/home.text.htmLivre et divers 1. http ://www.dspguide.com/pdfbook.htm 2. http ://www.redcedar.com/learndsp.htm 3. http ://www.dspguru.com/info/tutor/other.htmLogiciels gratuits 1. http ://www.sysquake.com 2. http ://www.dspguru.com/sw/opendsp/mathclo.htm 3. http ://www-rocq.inria.fr/scilab/scilab.htmvi c 2008 freddy.mudry@gmail.com

9. Table des matiresI. tude des systmes analogiques 11. Analyse des systmes linaires 3 1.1. La transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Rappels mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Quelques exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Impdances et fonctions de transfert symboliques . . . . . . . 10 1.2. Rponses temporelles vs ples et zros . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Eets des ples et zros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Eet des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Analyse dun systme dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Ple et rponse transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.3. Rponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Analyse dun systme dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Ples et rponse transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3. Rponse indicielle dun systme dordre 2 . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Rponses temporelles des circuits linaires . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1. Reprsentation des quadriples . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.2. Ples dun systme et rponse temporelle . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3. valuation du comportement temporel . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6. Rponse impulsionnelle dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.1. Remarques concernant limpulsion de Dirac . . . . . . . . . . 28 1.6.2. Rponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7.1. Rponse temporelle des systmes linaires . . . . . . . . . . . 32 1.7.2. Rponse dun systme causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7.3. Convolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372. Modlisation des systmes analogiques 45 2.1. Systme oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1. quations direntielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 vii

10. Table des matires 2.2. changeur de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3. Dmarche associe la modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. Un systme non linaire : le rservoir deau . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.1. quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2. Rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.3. Linarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.4. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5. Reprsentations des systmes analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6. Un systme lectromcanique : le moteur DC . . . . . . . . . . . . . . 61 2.6.1. quations direntielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6.2. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.6.3. Temps caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6.4. Schma fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6.5. Approximation dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6.6. Eets dun rducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.7. Comportement dun moteur DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7.1. Paramtres dun moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7.2. Comportement statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7.3. Comportement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.7.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.8. Simulation dun moteur DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.9. Conclusion gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843. lments de rgulation automatique 91 3.1. Schmas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.1. Schma contre-raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.2. Schma gnral dun systme asservi . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3. Fonctions de transfert dun systme asservi . . . . . . . . . . . 94 3.2. Analyse de systmes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.1. Systmes dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.2. Systmes dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.2.3. Systmes dordre suprieur 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2.4. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3. Calcul dun asservissement de position . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4. tude dun asservissement avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5. Une application : le circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5.1. Dmodulation FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.5.2. Description dun circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.6. Analyse du PLL en mode synchronis . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6.1. Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6.2. Choix du ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.6.3. Fonction de transfert en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . 119 3.6.4. Fonction de transfert en boucle ferme . . . . . . . . . . . . . 119viii c 2008 freddy.mudry@gmail.com

11. Table des matires 3.6.5. Calcul de 3 et 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.7. Calcul dun circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.7.1. Schmas fonctionnel et de ralisation . . . . . . . . . . . . . . 122 3.7.2. Dtecteur de phase (XOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7.3. Filtre retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7.4. Oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.7.5. PLL en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.7.6. PLL en boucle ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.7.7. Calcul du ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.8. Simulation dun circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.9. Circuit PLL en mode non - synchronis . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130II. tude des signaux analogiques 1394. Analyse des signaux priodiques 141 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.2. Deux reprsentations pour un seul signal . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.3. Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.3.1. Dnition de la srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.3.2. Srie de Fourier en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.3.3. Srie de Fourier complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.3.4. Relations entre les trois reprsentations de Fourier . . . . . . . 147 4.4. Thorme de la puissance ou de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.5. Spectres damplitudes et de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.5.1. Spectres unilatraux et bilatraux . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.5.2. Coecients spectraux et symtries des signaux . . . . . . . . 151 4.5.3. Exemple de reprsentations spectrales dun signal . . . . . . . 151 4.6. Suite dimpulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6.1. Suite dimpulsions rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6.2. Suite dimpulsions triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.6.3. Suite dexponentielles dcroissantes . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.7. Reconstruction des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.7.1. Synthse dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.7.2. Phnomne de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.7.3. Importance de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8. Quelques thormes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8.1. Dcalage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8.2. Modulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.8.3. Rotation autour de lordonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.9. Calcul de quelques spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.9.1. Suite dimpulsions composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.9.2. SIR dcale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.10. Rponse dun systme linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.10.1. Analyse de la rponse dun ltre passe-bas . . . . . . . . . . . 168 c 2008 freddy.mudry@gmail.com ix

12. Table des matires 4.11. Rponse dun systme non-linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.11.1. Distorsion due une diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745. Analyse des signaux non priodiques 187 5.1. Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.1.1. Passage de la srie la transformation de Fourier . . . . . . . 187 5.1.2. TF directe et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.1.3. nergie dun signal non permanent . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.1.4. Proprits de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . 190 5.2. Exemples de spectres continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.2.1. Spectre dune impulsion rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . 190 5.2.2. Spectres dun sinus amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.2.3. Spectres de 2 impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.3. Calcul de quelques transformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.1. Exponentielle dcroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.2. Exponentielle dcroissante symtrique . . . . . . . . . . . . . 197 5.3.3. Signal constant unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.3.4. Saut unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3.5. Phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3.6. Signal sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.7. Impulsion sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.4. Quelques conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.4.1. TF des signaux priodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.4.2. Relations avec la transformation de Laplace . . . . . . . . . . 201 5.5. Extension de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.6. Classication et types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.6.1. Classication phnomnologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.6.2. Classication nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.7. Table illustre de quelques transformes de Fourier [2] . . . . . . . . . 210 5.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136. lments danalyse spectrale numrique 223 6.1. Passage de la TF la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.1.1. Signaux continus non-priodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1.2. Signaux discrets de dure innie . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1.3. Signaux discrets de dure nie . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.1.4. Discrtisation de la frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.2. Relations temps-frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.2.1. Analyse spectrale avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.2.2. Pulsation normalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.3. Transformation de Fourier discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.3.1. Dnition de la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.3.2. TFD dun signal priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.3.3. TFD et FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.4. Relations entre les domaines analogique et numrique . . . . . . . . . 233 6.4.1. Calcul et analyse dune TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234x c 2008 freddy.mudry@gmail.com

13. Table des matires 6.5. Spectre dune sinusode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.5.1. Le nombre de priodes enregistres est un entier . . . . . . . . 238 6.5.2. Le nombre de priodes enregistres nest pas un entier . . . . 238 6.6. Fentres dobservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.6.1. Quatre fentres usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.6.2. Eet dune fentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.6.3. Choix dune fentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.7. Exemple 1 : analyse spectrale lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.8. Exemple 2 : reconstruction dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.9. Exemple 3 : analyse spectrale dtaille . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.9.1. Donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.9.2. Signal temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.9.3. Paramtres dacquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.9.4. Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.9.5. Estimation des amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.9.6. Dtail du calcul des signaux et des spectres . . . . . . . . . . . 253 6.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257III. tude des signaux et systmes numriques 2657. chantillonnage et reconstruction des signaux analogiques 267 7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.2. Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.1. Types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.2. Quantication dun signal : exemple . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.3. chantillonnage des signaux analogiques . . . . . . . . . . . . 270 7.3. Analyse frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.3.1. Spectre dun peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.3.2. Spectre dun signal chantillonn . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.4. Recouvrement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.4.1. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7.5. Thorme de lchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 7.5.1. Filtre antirecouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.5.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.6. Quantication dun signal chantillonn . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.6.1. Quantication uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.6.2. Bruit de quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.6.3. Rapport signal sur bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 7.6.4. SNR de quelques signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.6.5. Non linarit du convertisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.6.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 7.7. Choix dun ltre et de la frquence dchantillonnage . . . . . . . . . 293 7.8. Reconstruction du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.8.1. Convertisseur NA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.8.2. Interpolateur idal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 c 2008 freddy.mudry@gmail.com xi

14. Table des matires 7.8.3. Rponses impulsionnelle et frquentielle dun CNA . . . . . . 296 7.8.4. Filtre de reconstruction ou de lissage . . . . . . . . . . . . . . 297 7.9. Analyse qualitative dune chane A-N N-A . . . . . . . . . . . . . . 299 7.9.1. chantillonnage sans ltre antirecouvrement . . . . . . . . . . 299 7.9.2. chantillonnage avec ltre antirecouvrement . . . . . . . . . . 299 7.9.3. Eet du convertisseur NA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.9.4. Reconstruction du signal analogique . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.9.5. Correcteur damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3038. Description des signaux et systmes numriques 309 8.1. Signaux numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.1.1. Quelques signaux fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.1.2. Priodicit des signaux numriques . . . . . . . . . . . . . . . 311 8.2. Systmes numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.2.1. Exemples de systme numriques . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.2.2. Schma fonctionnel dun systme numrique . . . . . . . . . . 315 8.2.3. Proprits des systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 8.2.4. Interconnexions des systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8.2.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.3. Rponse impulsionnelle et produit de convolution . . . . . . . . . . . 320 8.3.1. Systmes causaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 8.3.2. Ralisation dun produit convolution . . . . . . . . . . . . . . 324 8.3.3. Une application : linterpolation numrique . . . . . . . . . . . 327 8.4. Systmes dcrits par des quations rcursives . . . . . . . . . . . . . . 328 8.4.1. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 8.5. quation aux dirences et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . 333 8.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3339. Rponses des systmes numriques 337 9.1. Rponse temporelle des systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.1.1. Rsolution dune quation rcursive . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.1.2. Solution de lquation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 9.1.3. Solution particulire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 9.1.4. Solution gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.1.5. Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.2. Stabilit des systmes numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.3. Instants caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.4. Transformation en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.4.1. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.4.2. Calcul de quelques transformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 9.4.3. Quelques proprits de la transformation en z . . . . . . . . . 345 9.4.4. quation aux dirences et fonction de transfert . . . . . . . . 346 9.5. Rponse frquentielle des systmes LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.5.1. Fonction de transfert et rponse frquentielle . . . . . . . . . . 347 9.5.2. Ples, zros et rponse frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . 348 9.5.3. TFD et rponse frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350xii c 2008 freddy.mudry@gmail.com

15. Table des matires 9.6. Calcul et traage de quelques rponses frquentielles . . . . . . . . . . 352 9.6.1. Moyenneur non causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 9.6.2. Moyenneur causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.6.3. Filtre passe-bas dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.6.4. Filtre passe-bas dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 9.7. Analyse et ralisation dun ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 9.7.1. Calcul de la rponse temporelle du ltre . . . . . . . . . . . . 360 9.7.2. Calcul de la rponse frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 362 9.7.3. Comment raliser ce ltre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 9.8. Classication des systmes numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 9.8.1. Systmes non rcursifs (dits RIF, FIR ou MA) . . . . . . . . . 366 9.8.2. Systmes rcursifs (dits RII, IIR ou ARMA) . . . . . . . . . . 366 9.8.3. Caractristiques des ltres FIR et IIR . . . . . . . . . . . . . . 367 9.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369IV. Formulaire Signaux et Systmes 37510.Formulaire Signaux et systmes 377 10.1. Systmes analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 10.2. Signaux analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 10.3. chantillonnage des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 10.4. Analyse spectrale numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 10.5. Signaux et systmes numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 c 2008 freddy.mudry@gmail.com xiii

16. Table des matiresxiv c 2008 freddy.mudry@gmail.com

17. Premire partie .tude des systmes analogiques 1

18. 1. Analyse des systmes linairesLanalyse des systmes linaires se fait essentiellement avec la transformation deLaplace car celle-ci traite une classe de signaux plus large que ne lautorise la trans-formation de Fourier. De plus, elle permet dtudier des systmes stables ou non parle fait que la variable de Laplace (s = + j C) est dnie dans lensemble duplan complexe. Enn, par linterptation des ples de la fonction image X(s), onprdit facilement la forme de la fonction orginale x(t).1.1. La transformation de Laplace1.1.1. Rappels mathmatiquesDans ce paragraphe, on se contente de rappeler quelques proprits lies la trans-formation de Laplace et utilises dans lanalyse des systmes linaires. Pour touteinformation supplmentaire, on consultera avantageusement son cours de mathma-tiques.Dnition L(x(t)) = X(s) x(t) est dt, s = + j [1/sec] (1.1) 0Dans lanalyse des signaux temporels, la variable s est appele pulsation complexeet elle possde les units [1/sec]. On notera que, si la variable x(t) est une tensionlectrique alors son image X(s) se mesure en [V sec].Linarit L(a x(t) + b y(t)) = a X(s) + b Y (s) (1.2)Drivation dx(t) L = s X(s) x(t = 0) (1.3) dtIntgration t X(s) x(t = 0) L x(t) dt + x(t = 0) = + (1.4) 0 s s 3

19. 1. Analyse des systmes linairesAmortissement L x(t) eat = X(s + a) (1.5)Valeurs limites x(t 0+ ) = s X(s)|s (1.6) x(t ) = s X(s)|s0 (1.7)Quelques transformes De lensemble des transformes de Laplace gnralementproposes dans les formulaires mathmatiques, on ne gardera que les plus frquem-ment utilises dans lanalyse des systmes (tableau 1.1). La connaissance de celles-ci,associe aux proprits rappeles plus haut, permettra de rsoudre la plupart desproblmes. x(t) X(s) (t) 1 1 (t) s 1 exp(a t) (t) s+a sin( t) (t) s2 + 2 s cos( t) (t) s2 + 2 eat sin( t) (t) (s + a)2 + 2 s+a eat cos( t) (t) (s + a)2 + 2 Tab. 1.1.: Quelques transformes de LaplacePles et zros Comme le montre le tableau des transformes, limage X(s) dunefonction x(t) est une fraction constitue de deux polynmes N (s) X(s) = (1.8) D(s)Les racines de ces polynmes sont importantes pour lanalyse de lvolution dessignaux ou du comportement des systmes. On dnit ainsi4 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

20. 1.1. La transformation de Laplace 1. Les ples de X(s) qui sont les racines du dnominateur D(s) ; ils dterminent compltement la partie transitoire (oscillation et amortissement) des rponses temporelles. 2. Les zros de X(s) qui sont les racines du numrateur N (s) ; leur eet ninter- vient que sur les amplitudes des composantes temporelles des signaux x(t).1.1.2. Quelques exemples introductifsExemple 1Connaissant limage I1 (s) dun courant i1 (t) 2 2 I1 (s) = = (1.9) s2 + 7s + 12 (s + 3) (s + 4)on souhaite connatre i1 (0+), i1 () et i1 (t).Valeurs initiale et nale Le thorme des valeurs limites permet dobtenir i1 (0+ ) = s I1 (s)|s = 0 [A] i1 () = s I1 (s)|s0 = 0 [A]Recherche des ples Les ples sont les racines du dnominateur de la fonction-image I1 (s). Dans ce cas, les ples valent simplement 1 1 p1 = 3 et p1 = 4 sec secvolution temporelle Le calcul de i1 (t) se fait en dcomposant la fonction I1 (s)en somme de fractions simples faisant intervenir les ples de I1 (s). Dans ce cas, cettefonction se dcompose en deux fractions dordre 1 A1 A2 I1 (s) = + s+3 s+4Se souvenant des transformes lmentaires prsentes plus haut, on voit que lecourant i1 (t) est dcrit par la somme de deux exponentielles i1 (t) = A1 exp(3t) + A2 exp(4t)que lon crira plus gnralement sous la forme i1 (t) = A1 exp(t/1 ) + A2 exp(t/2 ) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 5

21. 1. Analyse des systmes linairesCette criture fait apparatre les constantes de temps 1 1 1 = [sec] et 2 = [sec] 3 4Connaissant ces constantes de temps, on peut en dduire la dure ttr du rgimetransitoire 1 ttr 5 max = 5 2 [sec] 3Les valeurs des coecients A1 et A2 se trouvent par identication des coecientsdes numrateurs : 2 I1 (s) = (s + 3) (s + 4) A1 A2 = + s+3 s+4 (A1 + A2 ) s + 4A1 + 3A2 = (s + 3) (s + 4)On en dduit que A1 + A 2 = 0 4A1 + 3A2 = 2Do A1 = A2 = 2 2 2 I1 (s) = s+3 s+4Le courant i1 (t) correspondant cette fonction-image I1 (s) vaut donc i1 (t) = 2 exp(3t) 2 exp(4t) (1.10)Exemple 2Connaissant limage I2 (s) dun courant i2 (t) s+2 s+2 I2 (s) = = (1.11) s2 + 7s + 12 (s + 3) (s + 4)on dsire calculer i2 (0+), i2 () et i2 (t).Valeurs initiale et nale Le thorme des valeurs limites permet dobtenir i2 (0+ ) = s I2 (s)|s = 1 [A] i2 () = s I2 (s)|s0 = 0 [A]6 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

22. 1.1. La transformation de LaplaceRecherche des ples Les ples de la fonction-image I2 (s) sont videmment lesmmes que dans lexemple prcdent 1 1 p1 = 3 et p1 = 4 sec secvolution temporelle Comme les ples de I2 (s) sont les mmes que ceux delexemple 1, la fonction I2 (s) se dcompose en deux fractions simples identiquesaux prcdentes : A1 A2 I2 (s) = + s+3 s+4Do i2 (t) = A1 exp(3t) + A2 exp(4t)Comme les constantes de temps sont les mmes que prcdemment, la dure durgime transitoire nest pas change. Seules les valeurs des coecients A1 et A2 vontdistinguer ces deux rponses temporelles. Courants i (t) et i (t) 1 2 0.2 0.15 i1 (t) [A] 0.1 0.05 0 0.05 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1 0.8 i2 (t) [A] 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [sec] Fig. 1.1.: volution des courants i1 (t) et i2 (t)La rduction un mme dnominateur commun donne s+2 I2 (s) = (s + 3) (s + 4) A1 A2 = + s+3 s+4 (A1 + A2 ) s + 4A1 + 3A2 = (s + 3) (s + 4) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 7

23. 1. Analyse des systmes linairesOn en dduit que A1 + A 2 = 1 4A1 + 3A2 = 2do A1 = 1, A2 = 2 1 2 I2 (s) = + s+3 s+4qui correspond au courant i2 (t) = 1 exp(3t) + 2 exp(4t) (1.12)Une illustration des courants i1 (t) et i2 (t) est donne dans la gure 1.1. Comme onla dj dit, une modication du numrateur, cest--dire des zros de la fonction-image, ne modie en rien les constantes de temps des exponentielles constitutivesdu signal ; seules leurs amplitudes sont changes.Exemple 3On dsire connatre i3 (0), i3 () et i3 (t) sachant que la fonction-image I3 (s) vaut : 2s2 + 15s + 125 I3 (s) = (1.13) s (s2 + 10s + 125)Valeurs initiale et nale Le thorme des valeurs limites permet dobtenir imm-diatement : i3 (0) = sI3 (s) |s = 2 [A] i3 () = s I(s)|s0 = 1 [A]Recherche des ples Les ples sont les racines du dnominateur de la fonction-image I3 (s) qui valent 1 p1 = 0, p2,3 = 5 j10 secvolution temporelle Le calcul du courant i3 (t) se fait en dcomposant la fonctionI3 (s) en somme dlments simples. Comme il y a trois ples, la fonction I3 (s) sedcompose en trois termes : A1 A2 A3 I3 (s) = + + avec A2 = A 3 s s + 5 + j10 s + 5 j108 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

24. 1.1. La transformation de LaplaceLes deux dernires fractions se ramnent, par rduction un mme dnominateurcommun, une fraction quadratique de la forme : A1 B(s + 5) + C I3 (s) = + s (s + 5)2 + 102Utilisant le thorme de lamortissement et le tableau des transformes lmentaires,on en dduit que la forme gnrale de i3 (t) est C i3 (t) = A1 + exp(5t) B cos(10t) + sin(10t) 10que lon crira de prfrence sous la forme quivalente suivante i3 (t) = A1 + A23 exp(5t) cos (10t + 23 ) Courant i3(t) 2 1.5 i3 (t) [A] 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t [sec] Fig. 1.2.: volution du courant i3 (t)Cette forme de i3 (t) fait apparatre un amortissement de constante de temps 1 = [sec] 5et une oscillation de pulsation p = 10 [rad/sec]Pour obtenir lexpression exacte du courant, il faut encore calculer les coecientsA, B et C. En identiant les numrateurs de la fonction I3 (s), on obtient : 2s2 + 15s + 125 I3 (s) = s (s2 + 10s + 125) A B(s + 5) + C = + s (s + 5)2 + 102 (A + B) s2 + (10A + 5B + C) s + 125A = s (s2 + 10s + 125) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 9

25. 1. Analyse des systmes linairesdo A = 1, B = 1, C=0Ce qui permet dcrire I3 (s) sous la forme 1 s+5 I3 (s) = + s (s + 5)2 + 10Ce qui correspond au courant suivant i3 (t) = 1 + exp(5t) cos(10t) (1.14)Conclusions Ici galement, la dynamique du signal est dcrite par les ples de lafonction-image. On en dduit en particulier : la dure du rgime transitoire : ttr 5 = 5/5 = 1 [sec] la priode de loscillation amortie : 2 2 Tp = = 0, 6 [sec] p 10 le nombre de priodes visibles : ttr 1 sec Nosc = = 1.6 priodes Tp 0.6 secOn constate aussi que la prsence de deux ples conjugus complexes conduit untrinme scrivant sous la forme dune somme de deux carrs parfaits s2 + 10s + 125 = (s + 5)2 + 102dans lesquels on trouve les parties relle et imaginaire de la paire de ples. Onvoit donc que la partie relle des ples (5) entrane un amortissement temporelcorrespondant une translation dans le domaine complexe. Alors que la partieimaginaire (j10) conduit une oscillation impliquant une somme de deux carrsparfaits dans le domaine complexe.1.1.3. Impdances et fonctions de transfert symboliquesTout circuit constitu de rsistances, capacits et inductances peut tre modlispar une quation direntielle linaire coecients constants qui reprsente ainsiun systme linaire et temporellement invariant (LTI).Dans le cas dun circuit RLC srie conditions initiales nulles (gure 1.3), lquationdirentielle pour t0 scrit t di 1 u(t) = Ri(t) + L + i(t)dt (1.15) dt C 010 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

26. 1.2. Rponses temporelles vs ples et zros i(t) R L C u(t) Fig. 1.3.: Circuit RLC srieSa transforme de Laplace est 1 U (s) = RI(s) + L sI(s) + I(s) sCdo 1 U (s) = R + sL + I(s) = Z(s) I(s) (1.16) sCOn retrouve ici la loi dOhm faisant apparatre limpdance symbolique U (s) 1 Z(s) = R + sL + (1.17) I(s) sCsimilaire limpdance bien connue en rgime sinusodal permanent U (j) 1 Z(j) = R + jL + (1.18) I(j) jC partir de ceci, on voit que toutes les descriptions de circuits AC possdent leurquivalent symbolique. En particulier, la rgle du diviseur de tension est applicableet permet de calculer les fonctions de transfert de quadriples U2 (s) Z2 (s) G(s) = U1 (s) I2 (s)=0 Z1 (s) + Z2 (s)1.2. Rponses temporelles vs ples et zros1.2.1. Eets des ples et zrosEn conclusion des exemples ci-dessus, on retiendra les points suivants : 1. Une fonction-image X(s) dun signal x(t) scrit sous la forme dun rapport de deux polynmes N (s) X(s) = (1.19) D(s) 2. Le comportement temporel transitoire est totalement dtermin par les ples de la fonction X(s) (racines du dnominateur). 3. chaque ple correspond une exponentielle dont lexposant est le ple pk multipli par le temps t. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 11

27. 1. Analyse des systmes linaires 4. La forme gnrale de la fonction temporelle est donc dtermine par les ples x(t) = Ak exp(+pk t) (1.20) 5. Les constantes de temps dpendent de la partie relle des ples 1 k = (1.21) |Re(pk )| 6. Les priodes des oscillations sont xes par la partie imaginaire des ples 2 Tpk = (1.22) |Im(pk )| 7. Les racines du numrateur de la fonction-image sont appeles les zros de la fonction ; leur eet nintervient quau niveau des amplitudes des fonctions temporelles, mais pas du tout sur les paramtres dynamiques. 8. Les systmes stables sont caractriss par des ples partie relle ngative.Une illustration tire de [2] montre le comportement des systmes suivant lempla-cement de leurs ples dans le plan complexe (gure 1.4).1.2.2. Eet des conditions initialesConsidrons comme exemple le circuit RLC srie pour lequel les conditions initiales(CI) ne sont pas nulles et calculons lvolution du courant qui le traverse. Pour t 0,lquation direntielle de ce circuit scrit t di 1 u(t) = Ri(t) + L + i(t)dt + uC (0) dt C 0Sa transforme de Laplace vaut 1 uC (0) U (s) = RI(s) + L(sI(s) iL (0)) + I(s) + sC sRegroupant les facteurs de la fonction I(s), on obtient uC (0) 1 1 + sRC + s2 LC U (s) + L iL (0) = I(s) R + sL + = I(s) s sC sCOn voit ainsi que les conditions initiales jouent le rle de sources de tension dcrivantltat du systme en linstant t = 0. De cette quation, on peut tirer le courant sC sLC iL (0) C uC (0) I(s) = 2 LC U (s) + 1 + sRC + s 1 + sRC + s2 LCOn constate alors que les dnominateurs des deux fractions sont les mmes et quilsne dpendent pas des conditions initiales. On en dduit que les ples de la fonction,12 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

28. 1.2. Rponses temporelles vs ples et zrosFig. 1.4.: Position des ples et rponses temporelles [2] c 2008 freddy.mudry@gmail.com 13

29. 1. Analyse des systmes linairesdonc la dynamique de la rponse temporelle, sont indpendants des conditions ini-tiales. Seules les amplitudes des fonctions temporelles seront modies par celles-ci.Plus gnralement, on dira que la rponse dun systme est dcrite par la somme dedeux termes faisant intervenir le signal dentre X(s), le systme G(s) = N (s)/D(s)et ses conditions initiales N (s) P (s; CI) Y (s) = X(s) + (1.23) D(s) D(s)o : P (s; CI) est un polynme dont les coecients dpendent directement des CI et qui sannule si celles-ci sont nulles ; N (s) et D(s) sont le numrateur et dnominateur de la fonction dcrivant le systme.Ce rsultat est important car il montre que la connaissance des ples du systme,cest--dire du dnominateur de la fonction G(s) dcrivant le systme sut pourprvoir le comportement temporel de celui-ci.1.3. Analyse dun systme dordre 11.3.1. Fonction de transfertLexemple type dun systme dordre 1 est le ltre passe-bas RC (gure 1.5. Dansle cas o le courant de sortie du quadriple RC est nul, le quadriple est dcrit parlquation direntielle suivante (CI nulle) t 1 u1 (t) = R i(t) + u2 (t) avec u2 (t) = uc (t) = i(t) dt (1.24) C 0La transformation de Laplace de ces deux quations donne I(s) U1 (s) = R I(s) + U2 (s) avec U2 (s) = sCTirant le courant I(s) = sC U2 (s) de la deuxime quation et le portant dans lapremire, il vient U1 (s) = sRC U2 (s) + U2 (s)Sachant la fonction de transfert dun quadriple est dnie comme le rapport destensions sortie/entre, on retrouve la fonction de transfert bien connue du circuitRC U2 (s) 1 G(s) = (1.25) U1 (s) I2 =0 1 + sRCdont la constante de temps = RC dtermine la dynamique du circuit.De manire gnrale, un systme dordre 1 est reprsent par une fonction de trans-fert de la forme b0 + b1 s G(s) = (1.26) a0 + a1 s14 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

30. 1.3. Analyse dun systme dordre 1 R u1(t) C u2(t) Fig. 1.5.: Circuit lmentaire dordre 1dont la description se fera de prfrence dans une des deux formes canoniques sui-vantes b 0 1 + 2 s G(s) = (forme de Bode) (1.27) a0 1 + 1 s b1 s + 1/2 b1 s + 2 G(s) = = (forme de Laplace) (1.28) a1 s + 1/1 a1 s + 1avec 1 a1 1 b1 1 = = 2 = = 1 a0 2 b01.3.2. Ple et rponse transitoireUn tel systme possde un ple et un zro qui valent 1 1 p1 = z1 = (1.29) 1 2La rponse transitoire de ce systme est alors dcrite par une exponentielle 1 yh (t) = A1 et/1 avec 1 = (1.30) |p1 |1.3.3. Rponse indicielleLimage de la rponse indicielle dun systme est dcrite par 1 Y (s) = X(s) G(s) avec X(s) = (1.31) sCas particulier Dans le cas dun simple ltre passe-bas, on a 1 1 Y (s) = s 1 + s 1 1/ = s s + 1/ A0 A1 = + s s + 1/ c 2008 freddy.mudry@gmail.com 15

31. 1. Analyse des systmes linairesavec A0 = 1 = A1 . La transformation inverse conduit lexpression bien connue t y(t) = 1 exp (1.32) Rponses indicielles dordre 1 1 0.8 0.6 y1 (t) 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 3 y (t) 2 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t [ms] Fig. 1.6.: Rponses indicielles de deux systmes dordre 1Cas gnral Dans le cas dun systme dordre 1 quelconque dcrit par b0 + b1 s G(s) = (1.33) a0 + a1 son peut montrer que, indpendamment de la valeur des coecients, les rponsesindicielles sont telles que 1. Lvolution temporelle est entirement dcrite par t y(t) = y(0) + (y() y(0)) 1 exp (1.34) 2. Le temps pour atteindre la valeur y(t) vaut y() y(0) t = ln (1.35) y() y(t) 3. Le 63% de lvolution temporelle est ralise au temps t= car on a exp(t/ )|t= = e1 0.37 (1.36)16 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

32. 1.4. Analyse dun systme dordre 2 4. Le temps de monte dni comme le tempes ncessaire pour passer de 10% 90% de la variation y() y(0+ ) vaut tr t90% t10% = ln(9) (1.37)Les rponses indicielles de deux systmes dordre 1 dcrits par 1 1 + s 2 G1 (s) = , G2 (s) = avec 1 = 1 ms, 2 = 5 ms 1 + s 1 1 + s 1sont illustres dans la gure 1.6.1.4. Analyse dun systme dordre 21.4.1. Fonction de transfertLexemple type dun systme dordre 2 est le ltre passe-bas RL-C (gure 1.7. Dans lecas o le courant de sortie est nul, le quadriple est dcrit par lquation direntiellesuivante (pour laquelle on admet que les CI sont nulles) di(t) u1 (t) = R i(t) + L + uC (t) (1.38) dt t 1 u2 (t) = uC (t) = i(t) dt (1.39) C 0La transformation de Laplace de ces deux quations donne U1 (s) = R I(s) + sL I(s) + Uc (s) I(s) U2 (s) = UC (s) = sCTirant le courant I(s) = sC U2 (s) de la deuxime quation et le portant dans lapremire, il vient U1 (s) = sRC U2 (s) + s2 LC U2 (s) + U2 (s) R L u1(t) C u2(t) Fig. 1.7.: Circuit lmentaire dordre 2 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 17

33. 1. Analyse des systmes linairesSachant que la fonction de transfert dun quadriple est dnie comme le rapportdes tensions de sortie et dentre, on retrouve la fonction de transfert bien connuedu ltre passe-bas U2 (s) 1 G(s) = (1.40) U1 (s) I2 =0 1 + sRC + s2 LCComme un systme dordre 2 peut reprsenter autre chose quun simple circuit RLC,on prfre travailler avec une expression plus gnrale pour le dnominateur 2 1 s s D(s) = 1 + + (1.41) Q0 n nfaisant intervenir la pulsation naturelle du systme n et le facteur de qualit Q0 ouson inverse, le coecient damortissement 1 (1.42) 2Q0Ce qui donne 1 1 G(s) = 2 = 2 (1.43) 1 s s s s 1+ Q0 n + n 1 + 2 n + nDe manire gnrale, un systme dordre 2 est reprsent par une fonction de trans-fert de la forme a0 + a1 s + a2 s 2 G(s) = (1.44) b 0 + b 1 s + b 2 s2Pour ce qui suit, on se contentera danalyser les systmes de type passe-bas dcritspar 1 G(s) = 1 + b 1 s + b 2 s2dont la description se fera dans une des deux formes canoniques suivantes 1 G(s) = 2 (forme de Bode) (1.45) 1 s s 1+ Q0 n + n 2 n G(s) = 2 2 (forme de Laplace) (1.46) s + 2n s + n1.4.2. Ples et rponse transitoireLes ples dun systme dcrit par cette fonction de transfert G(s) valent p1,2 = n (n )2 n = n 2 2 1 (1.47)Selon la valeur de , on voit que ces ples peuvent tre rels, complexes ou imagi-naires. Pour tudier le comportement temporel du systme, il faut donc considrerles trois situations suivantes.18 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

34. 1.4. Analyse dun systme dordre 2 Rponses indicielles 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 = 0.2 = 0.4 = 0.6 0 0 0 0 10 20 0 10 20 0 10 20 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 = 0.8 =1 = 1.2 0 0 0 0 10 20 0 10 20 0 10 20 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 = 1.4 = 1.6 = 1.8 0 0 0 0 10 20 0 10 20 0 10 20 temps temps temps Fig. 1.8.: Rponses indicielles dun systme dordre 2 en fonction de >1 : les ples sont rels distincts La rponse transitoire du systme est alorsdcrite par 1 yh (t) = A1 et/1 + A2 et/2 avec 1,2 = (1.48) |p1,2 |La dure du rgime transitoire ttr vaut alors ttr 5 max (1.49) = 1 : les ples sont rels confondus La rponse transitoire du systme estalors dcrite par 1 1 yh (t) = A1 et/ (1 + A2 t) avec = = (1.50) |p1 | |p2 |Dans ce cas, la dure du rgime transitoire vaut ttr 7 (1.51)0 35 [1/sec]; Ka > 1.7 103Reg 4 Considrant un systme dcrit par (s + z) 1 Go (s) = Ka Ga1 (s) Ga2 (s) = Ka (s + a) s(s + 3)que lon boucle sur lui-mme avec une raction ngative, trouvez les valeurs deKa , z et a pour que la rponse indicielle ait un dpassement de 10% et un tempsdtablissement t5% dune seconde.130 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

146. 3.10. ExercicesReg 5 Considrant le schma fonctionnel dun asservissement de vitesse (gure3.20) constitu dun amplicateur de gain Ka = 5 [V/V], dune gnratrice tachy-mtrique de gain Kg = 2 V/1000 rpm et dun moteur reprsent par 1 Kmot = 5 [(rad/sec)/V] Gmot (s) = Kmot avec 1 + s mot mot = 10 [msec] 1. Exprimez en unit SI la valeur du gain DC en boucle ouverte Kbo . 2. Recherchez ce que valent, en boucle ferme, la dure du rgime transitoire et la vitesse permanente du moteur (en rpm) lorsque la consigne w(t) vaut 10 [V]. w(t) e(t) u(t) (t) u(t) Ka Gmot(s) Kg Fig. 3.20.: Schma fonctionnel dun asservissement de vitesseReg 6 Considrant le schma fonctionnel dune rgulation de position ralise avecun moteur pralablement asservi en vitesse (gure 3.21) : 1. Calculez sa fonction de transfert en boucle ferme. 2. Recherchez la valeur du gain Ka pour que la rponse indicielle soit optimum lorsque rad/sec mV K1 = 3 , Kg = 2 , 1 = 10 msec V rad/sec Kg W K1 1 Y Ka s 1+s1 Fig. 3.21.: Schma fonctionnel dun asservissement de positionReg 7 On sintresse ici un problme classique de la rgulation automatique : lasustentation magntique dune sphre. La gure 3.22 en prsente une photographieavec son schma technologique. Lquation dcrivant le mouvement de la sphre esttrs simple : mY (t) = mg + F (Y (t), I(t)) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 131

147. 3. lments de rgulation automatiqueLa dicult du problme rside dans le fait que la force F (Y, I) dpend non linaire-ment de la position de la sphre et du courant circulant dans la bobine. On doit donclinariser cette fonction autour dun point de fonctionnement {Y0 , I0 }. En dcrivantles variations de la position et du courant autour de ces valeurs, il vient Y (t) = Y0 + y(t) I(t) = I0 + i(t) F (Y (t), I(t)) = F (Y0 , I0 ) + F (y(t), i(t)) F0 + k1 y(t) + k2 i(t)En portant ce rsultat dans lquation de Newton, on obtient mY (t) = m(t) = mg + F0 + k1 y(t) + k2 i(t) yComme autour du point de fonctionnement la force F0 quilibre le poids mg , ontrouve que le mouvement de la sphre est dcrit par m(t) = +k1 y(t) + k2 i(t) y I0 + i(t) F(Y(t),I(t)) Y0 + y(t) mg Fig. 3.22.: Sustentation magntique (ralisation heig-vd)Pour maintenir la sphre une hauteur donne, il faut la placer dans une boucle dergulation contenant un correcteur qui gnre le courant circulant dans la bobine.Ce correcteur, de type proportionnel-driv, est dcrit par lquation de(t) i(t) = Kp e(t) + Td dttant donn ces pralables, on demande : 1. Calculez la fonction de transfert du systme Ga (s) = Y (s)/I(s) et montrez que le systme seul est instable.132 c 2008 freddy.mudry@gmail.com

148. 3.10. Exercices 2. Calculez la fonction de transfert du correcteur Gc (s) = I(s)/E(s). 3. Dessinez le schma fonctionnel du systme asservi ; indiquez la position des variables w(t), e(t), i(t), y(t) et calculez sa fonction de transfert Gf (s) = Y (s)/W (s). 4. Montrez que le systme boucl est stable si Kp est susamment grand. Re- marque : un systme dordre 2 est stable si tous les coecients du dnominateur de G(s) sont du mme signe. 5. Le but de la rgulation est de trouver les paramtres du correcteur de manire satisfaire un cahier des charges. Dans notre cas, on peut trouver Kp et Td de manire ce que le systme soit susamment rapide (n ) avec un amor- tissement satisfaisant ( ). Pour le voir, crivez Gf (s) sous forme canonique et montrez que KP et Td dpendent des valeurs choisies pour n et de la manire suivante 2 m n + k1 2n m Kp = , Td = k2 Kp k 2 6. Admettant que les paramtres de la sustentation magntique valent N N m = 0.012 kg, k1 = 12 , k2 = 0.66