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Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Campus de CLUNY
Notation indicielle Page 1
Notations indicielles
Voici quelques exemples détaillés de notation indicielle, en supposant travailler dans un espace à trois
dimensions.
Définition d’un vecteur, par exemple le vecteur position d’un point de l’espace :
3
1
332211
i
iiii ExExExExExOM
Produit scalaire de deux vecteurs ii EaA et ii EbB
333322331133332222221122331122111111
3
1
332211
3
1
3
1
3
1
3
1
.........
...
...
EbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaBA
EbEaEbEaEbEaBA
EbEaEbEaEbEaBA
i
iiiiii
i j
jjii
j
jj
i
iijjii
Produit scalaire de deux vecteurs avec utilisation du symbole de Kronecker dans le cas d’une base
orthonormée :
332211
333332233113233222222112133112211111
3
1
332211
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
...
..................
......
.....
bababaBA
bababababababababaBA
bababaBA
baEbEaEbEaEbEaBA
i
i
iiiiii
i i j
ijji
j
jjii
j
jj
i
iijjii
Divergence d’un vecteur, par exemple la divergence du vecteur vitesse jiiii xvvavecEvV d’un point
de l’espace :
3
3
2
2
1
13
1 x
v
x
v
x
v
x
v
x
vVdiv
i i
i
i
i
Gradient d’une fonction scalaire, par exemple la fonction pression en un point de l’espace ixpp :
3
3
2
2
1
1
3
1
Ex
pE
x
pE
x
pE
x
pE
x
ppgrad
i
i
i
i
i
Démonstration indicielle d’une formule, par exemple la divergence d’un vecteur multiplié par un scalaire :
pgradVVdivpx
pv
x
vp
x
vpVpdiv
i
i
i
i
i
i ..
Cette démonstration est à comparer avec une démonstration n’utilisant pas la notation indicielle :
Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Campus de CLUNY
Notation indicielle Page 2
pgradVVdivpx
pv
x
pv
x
pv
x
v
x
v
x
vpVpdiv
x
pv
x
pv
x
pv
x
vp
x
vp
x
vpVpdiv
x
pv
x
vp
x
pv
x
vp
x
pv
x
vp
x
vp
x
vp
x
vpVpdiv
..
.
.
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
Gradient d’une fonction vectorielle, par exemple le tenseur gradient d’un vecteur déplacement
jiiii xuuavecEuU d’un point de l’espace :
33
3
3
23
2
3
13
1
3
32
3
222
2
212
1
2
31
3
121
2
111
1
1
3
1
3
3
2
2
1
1
3
1
3
1
EEx
uEE
x
uEE
x
u
EEx
uEE
x
uEE
x
u
EEx
uEE
x
uEE
x
uUgrad
EEx
uEE
x
uEE
x
uUgrad
EEx
uEE
x
uUgrad
i
ii
ii
ii
i j
ji
j
iji
j
i
Mais sur cet exemple, il est plus simple d’utiliser la notation matricielle :
iEx
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
EEEx
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Ugrad
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3213
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
,,
Produit scalaire de deux tenseurs, par exemple produit scalaire du tenseur des contraintes M avec le
tenseur des déformations M :
333332323131232322222121131312121111
3
1
3
1
MM
MMi j
ijijijij
Produit contracté de deux tenseurs, par exemple la traduction de la loi de comportement linéaire entre le
tenseur des contraintes et le tenseur des déformations A :
333332323131232322222121131312121111
3
1
3
1
.........
..
ijijijijijijijijijij
k l
klijklklijklijlkjiijkljiijjiij
AAAAAAAAA
AAEEEEAAEEEE
Dans cet exemple, les indices i et j sont des indices parlants et ils peuvent prendre n’importe quelle valeur entre
1 et 3. Donc en définitive on retrouve 9 équations identiques à la dernière écriture. On peut réaliser
l’importance de travailler sur une formulation contractée.