Cours de mathématiques en français par Stéphane Perret.

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Mathématiques par Stéphane Perret Version 3.101 I Logique et raisonnement II Calcul algébrique III Trigonométrie IV Fonctions VI Continuité, comportement asymptotique et dérivée VII Calcul intégral V Géométrie VIII Combinatoire et probabilités

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  • Mathmatiquespar

    Stphane Perret

    Version 3.101

    ILogique et

    raisonnement

    IICalcul

    algbrique

    IIITrigonomtrie

    IVFonctions

    VIContinuit,

    comportementasymptotiqueet drive

    VIICalculintgral

    VGomtrie

    VIIICombinatoire

    etprobabilits

  • Table des matires

    I Logique et raisonnement 1

    1 Les principes de base de la logique 31.1 Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Les implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 La rciproque dune implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Les quivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Le contraire dune expression bien forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 La contrapose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Trois mthodes pour dmontrer des implications . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 La dcouverte des nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    i

  • Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : table des matires

    Cours de Mathmatiques

    II Calcul algbrique 10

    2 Ensembles, nombres et calcul algbrique 112.1 Ensembles et sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Oprations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 La droite relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.4.1 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 criture dcimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.3 Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.5 Oprations sur les nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.1 Rgles concernant les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.2 Puissances, bases et exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.3 Les identits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.4 Les racines n-imes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.5 Extension de la notion dexposants . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.6 Les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.7 Analogies entre les diverses oprations . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.8 La rgle des signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.9 Valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.10 Un peu de vocabulaire : simplifier, dvelopper, factoriser . . . . . 25

    3 Sommes, sries arithmtiques et gomtriques 273.1 Le symbole somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Sries arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Sries gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Application : calculs dintrts et capitalisation . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.4.1 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.2 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.3 quivalence de capitaux et chance moyenne . . . . . . . . . . . 34

    4 quations polynomiales 354.1 Rsolution des quations du premier degr . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 La proprit du produit dans les nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Rsolution des quations du deuxime degr . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4.3.1 Deux mthodes de rsolution et la formule de Vite . . . . . . . . 374.3.2 Les quations du deuxime degr camoufles . . . . . . . . . . . . 40

    4.4 Rsolution des quations de degr suprieur 2 . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Systmes dquations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    5 Factorisation de polynmes 435.1 Polynmes de degr n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Factorisation de polynmes du deuxime degr . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    5.3.1 Schma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle . . . . . . . 495.5 Factorisation de polynmes de degr suprieur deux . . . . . . . . . . . 495.6 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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    Lyce cantonal de Porrentruy

    III Trigonomtrie 51

    6 Trigonomtrie 536.1 Le cercle trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    6.1.1 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.2 Le cercle trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.1.3 Formules de symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.1.4 Les fonctions tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    6.2 Valeurs des fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3 Les triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4 Les triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5 Les fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.6 Formules dadditions des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7 quations trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    7 Un astrolabe 71

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    Cours de Mathmatiques

    IV Fonctions 73

    8 Fonctions 758.1 Les fonctions et leur reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Images, domaine image et pr-images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3 Les zros dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.4 Graphes savoir dessiner rapidement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    8.4.1 Graphes des fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.4.2 Graphes des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 808.4.3 Graphes des fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.4.4 Graphes des homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    8.5 Oprations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.5.1 Addition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.5.2 Multiplication dune fonction par un nombre . . . . . . . . . . . . 848.5.3 Multiplication de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.5.4 Division dune fonction par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . 868.5.5 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    8.6 Les fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.7 Tableau de signes dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.8 Linjectivit, la surjectivit et la bijectivit . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    8.8.1 Utilit de linjectivit pour les quations . . . . . . . . . . . . . . 958.9 Les fonctions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    9 Rsolution dinquations 999.1 Rsolution dinquations du premier degr . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.2 Rsolution dinquations : mthode gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    10 Fonctions usuelles transcendantes 10110.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.2 Les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.3 Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    11 Herbier de fonctions relles 105

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    Lyce cantonal de Porrentruy

    V Gomtrie 113

    12 Les gomtries plane et spatiale 11512.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.2 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11712.3 Vecteurs dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11812.4 Vecteurs dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11912.5 Oprations sur les vecteurs dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 12012.6 Oprations sur les vecteurs dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 12112.7 Vecteurs et points dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12212.8 Vecteurs et points dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12312.9 Reprsentations paramtriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . 12412.10 Reprsentations paramtriques dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . 12512.11 quations cartsiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.12 quations cartsiennes dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13112.13 Notion de pente pour les droites dans le plan . . . . . . . . . . . . . . 13212.14 Traces de droite et de plan dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 13312.15 Droites remarquables dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.16 Droites et plans remarquables dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . 13512.17 Norme et produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13812.18 Norme et produit scalaire dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 13912.19 Droite dans le plan et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14212.20 Plan dans lespace et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.21 Aire dun paralllogramme dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 14412.22 Aire dun paralllogramme dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.24 Volume dun paralllpipde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.25 Aire dun triangle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.26 Aire dun triangle dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.28 Volume dun ttradre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.29 Proprits du dterminant dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.30 Proprits du produit vectoriel dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . 15112.31 Distances dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.32 Distances dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.33 Cercle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16012.34 Sphre dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.35 Rappel : dterminant en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16212.36 Complment : dterminant en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 16312.37 Sur le cercle inscrit un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16412.38 Sur le cercle inscrit un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.40 Sur la sphre inscrite un ttradre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

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    Cours de Mathmatiques

    VI Continuit, comportement asymptotique et drive 168

    13 Notions de limite 16913.1 Le nombre dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16913.2 Les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    13.2.1 Dfinition intuitive des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17013.2.2 La droite relle vue par Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . 17113.2.3 Lien entre les limites et les limites gauche et droite . . . . . . 17113.2.4 Calculs de limites et types de limites . . . . . . . . . . . . . . . . 172

    13.3 Proprits des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.4 Continuit dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17513.5 Comportement asymptotique des fonctions continues (par morceaux) . . 176

    13.5.1 Comportement local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17613.5.2 Comportement linfini des fonctions rationnelles . . . . . . . . . 17713.5.3 Comportement linfini des fonctions non rationnelles . . . . . . 18213.5.4 Complments sur le comportement asymptotique linfini . . . . 183

    14 Drivation 18514.1 La drive en un point dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18514.2 La drive dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    14.2.1 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18814.3 quation de la tangente au graphe dune fonction . . . . . . . . . . . . . 18814.4 Rgles de drivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    14.4.1 Rgle de la somme et de la soustraction . . . . . . . . . . . . . . . 18914.4.2 Rgle de la multiplication par un nombre . . . . . . . . . . . . . . 18914.4.3 Rgle du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19014.4.4 Rgle de la composition ou de la drivation en cascade . . . . . . 19014.4.5 Rgle du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19214.4.6 Rgle de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    14.5 Drives des fonctions transcendantes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . 19314.5.1 Drive de la fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19314.5.2 La drive des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19614.5.3 Le logarithme nprien et sa drive . . . . . . . . . . . . . . . . 19714.5.4 La drive des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . 197

    14.6 Table de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    15 Quelques applications des drives 19915.1 Problmes doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19915.2 La courbure (lacclration en physique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20215.3 Extrema locaux et points dinflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20315.4 tude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20415.5 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20815.6 Le thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20915.7 Rgle de lHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21015.8 Problmes de taux daccroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

    15.8.1 Notation de Leibniz et drivation en cascade . . . . . . . . . . . . 21215.8.2 Les drives implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    16 Dmonstration de la rgle de lHospital 217

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    Lyce cantonal de Porrentruy

    VII Calcul intgral 223

    17 Intgrales et primitives 22517.1 Dfinition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22517.2 Dfinition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22517.3 Pourquoi lintgrale est une aire signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    17.3.1 Pour tre sr davoir laire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23017.5 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23217.6 La valeur moyenne dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23317.7 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

    17.7.1 Le thorme fondamental du calcul intgral . . . . . . . . . . . . 23417.8 Trois faons de rsoudre une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

    17.8.1 Intgration par devinette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23617.8.2 Intgration par parties : intgrale dfinie . . . . . . . . . . . . . . 23717.8.3 Intgration par parties : intgrale indfinie . . . . . . . . . . . . . 23817.8.4 Intgration par substitution : partir de la dfinition . . . . . . . 23917.8.5 Intgration par substitution : intgrale dfinie . . . . . . . . . . . 24017.8.6 Intgration par substitution : intgrale indfinie . . . . . . . . . . 241

    18 Quelques applications des intgrales 24318.1 Volumes de rvolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

    18.1.1 Autour du premier axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24318.1.2 Autour du deuxime axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

    18.2 Longueur dune courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24518.3 Laire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24618.4 Un calcul dintgrale sophistiqu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

    Version 3.101 page vii S. Perret

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    Cours de Mathmatiques

    VIII Combinatoire et probabilits 249

    19 Dnombrement : permutations, arrangements et combinaisons 25119.1 Les permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

    19.1.1 Permutations dobjets distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25119.1.2 Permutations dobjets identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    19.2 Les arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25319.2.1 Arrangements sans rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25319.2.2 Arrangements avec rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

    19.3 Les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25519.3.1 Combinaisons sans rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25519.3.2 Combinaisons avec rptitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

    19.4 Tableau rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25719.5 Triangle de Pascal des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . 257

    20 Probabilits 25920.1 Univers, vnements et probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

    20.1.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25920.1.2 vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26020.1.3 Probabilits : la fonction probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . 26120.1.4 vnements quiprobables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

    20.2 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26320.2.1 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26320.2.2 vnements indpendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26420.2.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

    20.3 Mthodes de calcul de probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26620.3.1 Par dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26620.3.2 Par rgles de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26620.3.3 Par arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26820.3.4 La technique des anagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

    20.4 La loi binomiale et la loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27020.5 Lesprance de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

    S. Perret page viii Version 3.101

  • Premire

    partie

    Logique etraisonnement

    ImplicationsP Q

    rciproqueP Q

    quivalenceP Q

    contraposeQ P

    Principede non-

    contradiction

    Principe dutiers exclus

    ImplicationsP Q

    rciproqueP Q

    quivalenceP Q

    contraposeQ P

    Preuves

    on nedmontrepas un

    rsultat laide dunexemple

    on infirmeun rsultat laide

    dun contre-exemple

    sens directn est pair

    n2 est pair.

    parcontrapose

    n2 est pair

    n est pair.

    parlabsurde

    2 est

    irrationnel

    1

  • Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : logique et raisonnement

    Cours de Mathmatiques

    S. Perret page 2 Version 3.101

  • Chapitre 1

    Les principes de base de la logique

    En mathmatique, une expression bien forme ou proposition est une expression qui a dusens et qui peut tre vraie ou fausse.

    1.1 Le principe de non-contradiction

    La logique (et donc les mathmatiques) est base sur le principe de non-contradiction.Ce principe dit quune expression bien forme ne peut pas tre vraie et fausse la fois.

    1.2 Le principe du tiers exclu

    Le principe du tiers exclu stipule que si une expression bien forme nest pas vraie, alorselle est fausse (ou que si elle nest pas fausse, alors elle est vraie).

    Ce principe est vrai pour la plupart des expressions bien formes, bien quil y ait desexpressions qui ne vrifient pas le principe du tiers exclu (voir lnigme du cyclope ci-dessous). Ces expressions trs particulires se prononcent, en gnral, sur leur proprevaleur de vrit. Dans la suite du cours, on admettra que nos propositions vont satisfairece principe.

    Lnigme du cyclope

    Vous voil enferm dans une caverne en compagnie dun cyclope qui veut votre mort.Il vous donne nanmoins un choix : soit vous dites une proposition vraie et vous serezbouilli ; soit vous dites une proposition fausse et vous serez roti.

    Que dire ?

    1.Onpeutdire:Vousallezmerotir!(ouVousnallezpasmebouillir!)

    Sicettepropositiontaitvraie,alorsvousfiniriezbouillietainsicettepropositionseraitfausse;ilsagit

    dunecontradiction,donccettepropositionnepeutpastrevraie.

    Sicettepropositiontaitfausse,alorsvousfiniriezrotietainsicettepropositionseraitvraie;ilsagitdune

    contradiction,donccettepropositionnepeutpastrefausse.

    Cettepropositionnestdoncnivraie,nifausse.

    2.Onpeutaussidire:Jesuisentraindementir!

    Sicettepropositiontaitvraie,alorsvousseriezentraindedirelavritetainsicettepropositionserait

    fausse;ilsagitdunecontradiction,donccettepropositionnepeutpastrevraie.

    Sicettepropositiontaitfausse,alorsvousseriezentraindementiretainsicettepropositionseraitvraie;

    ilsagitdunecontradiction,donccettepropositionnepeutpastrefausse.

    Cettepropositionnestdoncnivraie,nifausse.

    3.Onpeutaussidire:Cettephraseestfausse!

    Rponse:ilyaplusieurspropositionspossibles.Voicideuxexemples.

    3

  • Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : logique et raisonnement

    Cours de Mathmatiques

    1.3 Les implications

    Lorsquon a deux expressions bien formes P et Q, on crit

    P Qpour dire que lexpression P implique lexpression Q. Dans ce cas, P est lhypothse etQ est la conclusion.

    Il y a diffrentes faons de lire P Q. On peut dire :Si P , alors Q Si la proposition P est vraie, alors la proposition Q est vraie

    Q si P La proposition Q est vraie si la proposition P est vraie

    P seulement si Q La proposition P est vraie seulement si la proposition Q est vraie

    Lorsque lexpression P nimplique pas lexpression Q, on note P 6 Q. Cest le cas lorsqueQ est fausse quand P est vraie.

    Remarques importantes

    1. En mathmatiques, on ncrit jamais dexpressions bien formes fausses (sauf si onsest tromp en toute bonne foi).

    2. En mathmatiques, lorsquon dit quune proposition (ou implication) est vraie, celasignifie quelle est toujours vraie (lexpression lexception qui confirme la rglena pas sa place en mathmatiques). Ainsi une proposition (ou implication) estfausse lorsquelle nest pas toujours vraie.

    Exemples dimplications

    1. Jean a gagn au loto Jean a jou au loto.On lit : a) Le fait que Jean a gagn au loto implique le fait quil a jou au loto.

    b) Si Jean a gagn au loto, alors il a jou au loto.

    c) Jean a jou au loto, sil a gagn.

    d) Jean a gagn au loto seulement sil a jou.

    Cette implication est vraie, car on ne peut pas gagner sans jouer.

    2. 2x = 6:2= x = 3.

    Cette implication est vraie, car si le double dun nombre x vaut 6, alors le nombrex est gal 3 (on divise chaque ct de lgalit par 2).

    3. Si un enseignant vous dit : Les cancres sasseyent au fond de la classe, il penseque :

    Un lve est un cancre = Il sassied au fond de la classeNon seulement cela ne signifie pas quil y a des cancres dans la classe, mais surtoutcela ne signifie en aucun cas que tous les lves du fond de la classe sont des cancres.Ainsi, lenseignant na pas affirm que : Ceux qui sasseyent au fond de la classesont des cancres. Dailleurs, mme cet enseignant sera daccord de penser que :

    Un lve sassied au fond de la classe =6= Cest un cancre

    S. Perret page 4 Version 3.101

  • Cours de MathmatiquesMathmatiques : logique et raisonnement

    Lyce cantonal de Porrentruy

    1.4 La rciproque dune implication

    La rciproque dune implication P Q est limplication P Q.Lorsque la rciproque nest pas vraie, on trace limplication : P 6 Q.

    Exemples Regardons les rciproques des deux premiers exemples prcdents.

    1. Jean a gagn au loto 6== Jean a jou au loto.En effet, il y a au moins une personne qui joue au loto et qui ne gagne pas.

    2. 2x = 62= x = 3.

    En effet, si un nombre x vaut 3, alors son double vaut 6 (on multiplie chaque ctde lgalit par 2).

    Moralit

    La valeur de vrit de la rciproque dune implication est indpendante de celle de lim-plication.

    En effet, la premire implication de lexemple est vraie, alors que sa rciproque est fausse.Tandis que la deuxime implication de lexemple est vraie et que sa rciproque est vraie.

    1.5 Les quivalences

    Lorsquon a deux expressions bien formes P et Q telles que P Q et P Q, on crit :

    P Q

    et on dit que la proposition P est quivalente la proposition Q.

    Lorsque la proposition P nest pas quivalente la propostion Q, on note P 6 Q. Cestle cas lorsque P 6 Q ou P 6 Q.Au lieu de dire que P est quivalent Q, on peut aussi dire que

    P si et seulement si Q

    Exemples dquivalence

    1. Georges est le frre de Sophie si et seulement si Sophie est la sur de Georges.

    Il est vident que Georges est le frre de Sophie et Sophie est la sur de Georgessont des propositions synonymes.

    2. Jean a gagn au loto 6= Jean a jou au loto.En effet, limplication est fausse, donc lquivalence est fausse (malgr le faitque est vraie).

    3. 2x = 6 x = 3.En effet, les deux implications et sont vraies.

    Version 3.101 page 5 S. Perret

  • Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : logique et raisonnement

    Cours de Mathmatiques

    1.6 Le contraire dune expression bien forme

    Si P est une proposition, alors sa proposition contraire est note non P , P ou P .

    Par exemple

    Si P est la proposition Il pleut, alors non P est la proposition Il ne pleut pas (etnon pas Il fait beau, car il peut aussi neiger, grler, etc.).

    Remarques

    1. Le principe de non-contradiction affirme que P et non P ne peuvent pas tre vraiesen mme temps. De mme, elles ne peuvent pas tre fausses en mme temps.

    2. Le principe du tiers exclu permet daffirmer que :{P est vraie non P est fausseP est fausse non P est vraie

    On voit limportance du principe du tiers exclu, car les contraires des phrases delnigme du cyclope, qui ne sont ni vraies, ni fausses, sont des phrases vraies.

    1.7 La contrapose

    La contrapose dune implication P Q est limplication non Q non P .

    Thorme

    La contrapose dune implication I est une implication qui a la mme valeur de vritque limplication I.

    P Q implication I

    non Q non P contrapose de limplication I

    ()

    Interprtations

    1. Le sens = de () signifie queSi limplication P Q est vraie, alors sa contrapose non Q non P est vraie.

    2. Le sens = de () signifie queSi la contrapose non Q non P est vraie, alors limplication P Q est vraie.

    3. La contrapose du sens = de () signifie queSi la contrapose non Q non P est fausse, alors limplication P Q est fausse.

    4. La contrapose du sens = de () signifie queSi limplication P Q est fausse, alors sa contrapose non Q non P est fausse.

    Moralit

    Quelque soit la valeur de vrit dune implication, sa contrapose a exactement la mmevaleur de vrit et inversement.

    S. Perret page 6 Version 3.101

  • Cours de MathmatiquesMathmatiques : logique et raisonnement

    Lyce cantonal de Porrentruy

    Exemples

    1. La contrapose de limplication

    Jean a gagn au loto = Jean a jou au lotoest

    Jean na pas jou au loto = Jean na pas gagn au lotoComme la premire implication est vraie, le thorme affirme que la deuximeimplication est aussi vraie.

    2. La contrapose de la proposition

    Jean a jou au loto =6= Jean a gagn au lotoest

    Jean na pas gagn au loto =6= Jean na pas jou au lotoComme la premire proposition est vraie (limplication Jean a jou au loto Jeana gagn au loto est fausse), le thorme affirme que la deuxime proposition estaussi vraie (limplication Jean na pas gagn au loto Jean na pas jou au lotoest fausse).

    3. La contrapose de lquivalence 2x = 6 x = 3 est x 6= 3 2x 6= 6.Cest la raison principale pour laquelle on rsout rarement des quations o lesymbole = est remplac par le symbole 6=.

    Remarque

    Si on contrapose la contrapose dune implication, on retrouve cette implication.

    Preuve du thorme

    = On suppose que P Q est vraie. On doit montrer que non Q non P est vraie,donc encore supposer que non Q est vraie, afin de montrer que non P est vraie.

    On remarque que si P tait vraie, alors limplication P Q nous permettraitdaffirmer que Q serait vraie, ce qui est impossible (principe de non contradiction)car Q est fausse (puisque non Q est suppos vraie (principe du tiers exclu)).

    Par consquent, P nest pas vraie, donc non P est vraie (principe du tiers exclu).

    On vient donc de montrer, grce aux principes de non-contradiction et du tiersexclu, que : (

    P Q)=

    (non Q non P

    )= En refaisant le raisonnement = en remplaant P par non Q et Q par non P ,

    on a :(non Q non P

    )=

    (non (non P ) non (non Q)

    )

    (P Q

    )

    Version 3.101 page 7 S. Perret

  • Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : logique et raisonnement

    Cours de Mathmatiques

    1.8 Trois mthodes pour dmontrer des implications

    Pour montrer que limplication ci-dessous est vraie

    P Q

    on peut utiliser lune des trois mthodes ci-dessous.

    1. La premire est la mthode directe : on suppose que P est vraie et on essaie dedmontrer que Q est aussi vraie.

    2. La deuxime faon utilise la contrapose, cest la preuve par contrapose : on montrelimplication quivalente non Q non P de manire directe. Cest--dire que lonsuppose que non Q est vraie et on cherche dmontrer que non P est vraie.

    3. La troisime faon de faire, cest de procder par labsurde. Cela consiste fairecomme si la conclusion Q tait fausse et essayer den dgager une contradiction(cest--dire une proposition vraie et fausse en mme temps). Par le principe de non-contradiction, cela signifie donc quil y a une erreur quelque part et, si la preuveest bien ficele, que cette erreur ne peut tre que le fait que Q est fausse. Ainsi, Qdoit donc tre vraie (si Q satisfait le principe du tiers exclu).

    Voici un exemple dune preuve par labsurde :

    Montrons quil nexiste pas de nombre rel x tel que x2 = 1.Par labsurde, on suppose que la conclusion est fausse, cest--dire quilexiste un nombre rel x tel que x2 = 1. Or, grce la rgle des signes,on sait que x2 > 0. Ainsi, on a 1 = x2 > 0.On a une contradiction : 1 > 0.Donc, il nexiste pas de nombre rel x tel que x2 = 1.

    1.9 Contre-exemples

    Pour montrer que limplication P Q est fausse, il faut un contre-exemple, cest--direun cas particulier pour lequel P est vraie et Q est fausse.

    Exemple

    On a :x est un nombre pair =6= x

    2est un nombre pair

    En effet, x = 2 fournit un contre-exemple, car 2 est un nombre pair et que 22= 1 nest

    pas un nombre pair. Ici, le nombre 2 est un contre-exemple.

    Attention

    On ne dmontre pas une implication laide dun exemple.

    En effet, x est un nombre pair 6 x2est un nombre pair. Pourtant, si on essaye avec

    x = 4, alors x2= 4

    2= 2 est bien un nombre pair.

    S. Perret page 8 Version 3.101

  • Cours de MathmatiquesMathmatiques : logique et raisonnement

    Lyce cantonal de Porrentruy

    1.10 La dcouverte des nombres irrationnels

    la fin du VIe sicle, les mathmaticiens grecs, membres de lcole pythagoricienne,pensaient que deux grandeurs a et b taient toujours commensurables, cest--dire quilexistait un nombre rel u (u comme unit) et deux nombres entiers m et n tels quea = mu et b = nu, donc que a

    best une fraction (car a

    b= mu

    nu= m

    n).

    Ils furent troubls de dcouvrir quils avaient tort en tudiant un objet pourtant trssimple, la diagonale du carr de ct 1, qui se trouve aussi tre lhypotnuse du trianglerectangle isocle dont les cathtes sont de longueur 1.

    1

    1

    2 car

    2 =

    12 + 12

    (par le thorme de Pythagore)

    En effet, il se trouve que 1 et2 sont incommensurables, car

    21

    =2 nest pas une

    fraction. Puisque, pour les grecs, lexistence de tels nombres dpassait la raison, cesnombres furent appels irrationnels.

    Thorme

    Le nombre2 est un nombre irrationnel, cest--dire

    2 6 Q.

    Preuve

    On note M2 lensemble des nombres qui sont des multiples de 2.

    1. Ingrdient : Soit n Z. Si n2 M2, alors n M2.Il est quivalent de montrer la contrapose : si n 6M2, alors n2 6M2.Si n nest pas un multiple de 2, alors n scrit n = 2k + 1 avec k Z. On a

    n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(

    Z 2k2 + 2k) + 1

    Ainsi, n2 nest pas un multiple de 2.

    2. La preuve par labsurde.

    Par labsurde, on suppose que2 Q. Donc 2 = a

    bavec a, b Z et b 6= 0.

    On peut encore supposer que abest irrductible.

    On a ainsi : 2 = ab

    = 2 = a2

    b2= a2 = 2b2 ()

    Ainsi, on constate que a2 M2. Par lingrdient, on sait que a M2.Par consquent a = 2k avec k Z. En substituant ce rsultat dans lquation (),on obtient

    (2k)2 = 2b2 = 4k2 = 2b2 = b2 = 2k2Ainsi, on constate que b2 M2. Par lingrdient, on sait que b M2.Par consquent, la fraction est rductible par 2. contradiction avec

    lirrductibilit de ab.

    Donc2 est un nombre irrationnel.

    Version 3.101 page 9 S. Perret

  • proprit du produit

    Deuxime

    partie

    Calculalgbrique

    Ensembleset oprations

    dans R

    Oprationsdans R

    fractions

    identitsremar-quables

    exposants,racineset loga-rithmes

    rgle dessignes etvaleurabsolue

    Ensembles

    symboles, , =,, , \

    ensemblesde

    nombres

    la droiterelleet les

    intervalles

    quationspolynomiales

    degr 1

    systmesdquations

    degr 2

    Vite

    Factorisationde polynmes

    divisioneuclidienne

    degr > 3

    Gauss &Horner 2 est

    irrationnel

    10

  • Chapitre 2

    Ensembles, nombres et calculalgbrique

    2.1 Ensembles et sous-ensembles

    Dfinition

    Un ensemble est une collection dlments. Nimporte quel objet (mathmatique ou non)peut tre considr comme un lment dun ensemble (y compris un ensemble !). Lorsquonnumre les lments dun ensemble, on note ses lments entre accolades. Par exemple,lensemble E des nombres de 0 10, y compris, se note de la manire suivante.

    E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Les mathmaticiens utilisent le symbole pour dire quun lment appartient un en-semble. Lorsquun lment nappartient pas un ensemble, on utilise le symbole 6. Parexemple,

    0 E, 5 E, mais 15 6 ENanmoins, lorsque les objets ne sont pas dcrits de faon explicite, mais dpendent dunecondition, on utilise une notation lgrement plus sophistique. Par exemple, on traduitla phrase

    F est F=

    lensemble {...}

    des lments de E n E

    on donne un nom gnralaux lments de lensemble

    tels que :

    leur carr est plus grand ou gal 35 n2 > 35

    on crit la condition laide dune formulegrce au fait quon a donn un nom aux lments

    par

    F = {n E : n2 > 35}

    On constate, en calculant les carrs des lments de E, que F = {6, 7, 8, 9, 10}.

    Dfinition

    Si A et B sont des ensembles, on dit que A est un sous-ensemble de B lorsque chaquelment de A appartient lensemble B.

    En reprenant lexemple ci-dessus, on voit que lensemble F est un sous-ensemble delensemble E.

    F = {n E : n2 > 35} = {6, 7, 8, 9, 10} est un sous-ensemble de E

    11

  • Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : calcul algbrique

    Cours de Mathmatiques

    Dfinitions et notations

    Soit A et B deux sous-ensembles dun ensemble E quelconque. On dit que

    1. A est inclus dans B lorsque tout lment de A appartient B. On note A B.Dans ce cas, A est un sous-ensemble de B.

    2. A contient B lorsque tout lment de B appartient A. On note A B. Dans cecas, B est un sous-ensemble de A.

    3. A est gal B, lorsque tout lment de A appartient B et que tout lment deB appartient A. On note A = B.

    Exemples

    Si E est lensemble de la page prcdente (E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}), alors :1. {n E : n2 > 35} = {6, 7, 8, 9, 10} E2. E {n E : n2 > 35} = {6, 7, 8, 9, 10}

    Attention aux notations

    Dire que {1} A signifie que {1} est un lment de A et ainsi lensemble A est de laforme suivante.

    A ={{1}, . . .

    }Remarques

    Il est vident que :A B B A(

    A B et B A) A = BLorsquon veut dmontrer que deux ensembles A et B sont gaux, on peut faire unepreuve par double inclusion, cest--dire quon dmontre que A B et que B A (envertu de la deuxime quivalence ci-dessus).

    Syntaxe

    Les symboles ainsi dfinis sont des oprateurs binaires, cest--dire qu deux objets lesoprateurs font correspondre un seul objet.

    Nom Terme de gauche Symbole Terme de droite Rsultat

    Appartenir Elment Ensemble PropositionEtre inclus dans Ensemble Ensemble Proposition

    Etre gal Ensemble = Ensemble PropositionEtre gal Elment = Elment Proposition

    contenir Ensemble Ensemble Propositioncontenir Ensemble Elment Proposition

    On a lquivalence suivante lorsque A est un ensemble.

    x A {x} A

    S. Perret page 12 Version 3.101

  • Cours de MathmatiquesMathmatiques : calcul algbrique

    Lyce cantonal de Porrentruy

    2.2 Oprations sur les ensembles

    Dfinition

    Soit A et B deux sous-ensembles dun ensemble E.

    On dfinit les sous-ensembles runion A B et intersection A B comme suit.A B = {e E : e A ou e B}A B = {e E : e A et e B}

    A B A BA B

    E

    A B

    E

    Dfinition

    Soit A et B deux sous-ensembles dun ensemble E.

    On dfinit les sous-ensembles diffrence A \B, complmentaire de A dans E, not EA,et diffrence symtrique AB comme suit.

    A \B = {e E : e A et e 6 B}EA = {e E : e 6 A}AB = {e E : e A ou (exclusif) e B}

    A \B EA ABA B

    E

    A

    E

    A B

    E

    Dfinition

    Soit A et B deux sous-ensembles dun ensemble E.

    1. Si lensemble A ne contient aucun lment, on dit que A est vide et on utilise lanotation A = o est lensemble vide.

    2. On dit que A et B sont disjoints si A B = .

    Convention

    Lensemble vide est contenu dans tous les ensembles.

    Cela signifie que la proposition A est considre comme vraie quelque soit len-semble A.

    Version 3.101 page 13 S. Perret

  • Lyce cantonal de PorrentruyMathmatiques : calcul algbrique

    Cours de Mathmatiques

    2.3 Les ensembles de nombres

    Les mathmaticiens ont class les nombres dans des ensembles, appels ensembles denombres.

    Tout dabord, on a les nombres naturels. Cest eux que lon utilise la plupart du tempspour compter (des objets, de largent, etc.).

    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}Historiquement, le zro nest pas venu tout de suite. Il a t invent en Orient et importpar Fibonacci au dbut du XIIIe sicle.

    Ensuite, les nombres ngatifs sont apparus et, mis ensemble avec les nombres naturels,ont form lensemble des nombres entiers. Moins utiliss que les nombres naturels dansla vie de tous les jours, on les trouve notamment dans lexpression de la temprature (endegr Celsius). Leur prsence permet la soustraction dexister quelque soit les nombresque lon soustrait : sans eux, 2 3 nexisterait pas.

    Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}Construits partir des nombres entiers, les nombres rationnels ou fractions, sont trsimportants. On les utilise tous les jours lorsquon parle de centimtres, de dcilitres, decentimes de seconde, de moiti, de tiers, etc. Grce eux on peut diviser nimporte quelnombre par un nombre non nul.

    Q ={ab: a, b Z, b 6= 0

    }En termes mathmatiques a est le numrateur (vient du mot numro ou nombre, car ilcompte) et b est le dnominateur (vient du mot dnommer, car il correspond un nomcomme demi, tiers, dixime, etc.).

    Enfin, il y a des nombres qui ne sont pas des fractions. Ce sont les nombres irrationnels.Dcouverts par les Grecs (qui ont eu de la peine en accepter lexistence), ils apparaissentpar exemple lorsquon tudie la longueur des cts dun triangle, le primtre dun cercleou encore en calculant des intrts bancaires. Runis avec les nombres rationnels, ilsforment lensemble des nombres rels.

    R = Q {

    2,3,5, , e,

    1 +5

    2, . . .

    }

    Contrairement aux ensembles N, Z et Q, lensemble des nombres rels nest pasdnombrable, cest--dire que lon ne peut pas numrer les nombres rels.

    On a les inclusions densembles suivantes :

    N Z Q R

    Les lves qui sont dans une option scientifique auront le privilge de dcouvrir lensembledes nombres complexes, not C. Il sagit de lensemble des nombres construits laidedes nombres rels et dun nombre imaginaire, not i, dont le carr vaut 1 (ce nombrenest videmment pas un nombre rel). Ce qui permet de prolonger la suite dinclusionprcdente.

    N Z Q R C

    S. Perret page 14 Version 3.101

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    2.4 La droite relle

    On reprsente les nombres rels par une droite, appele la droite relle.

    R4 3 2 1 0 1 2 3 4

    2.4.1 Les intervalles

    Les intervalles sont des notations simples et efficaces pour dcrire certains sous-ensemblesde R. Ils sont notamment utiliss lors de rsolution dinquations (voir page 99).

    Dans le tableau ci-dessous, o a et b sont deux nombres rels tels que a < b, chacune deslignes dcrit le mme sous-ensemble de trois faons quivalentes.

    Les huit types dintervallesSous-ensemble Intervalle Reprsentation graphique

    {x R : a 6 x 6 b} [a, b]a b

    R

    {x R : a 6 x < b} [a, b[ ou [a, b)a b

    R

    {x R : a < x 6 b} ]a, b] ou (a, b]a b

    R

    {x R : a < x < b} ]a, b[ ou (a, b)a b

    R

    {x R : x > b} ]b,+[ ou (b,+)b

    R

    {x R : x > b} [b,+[ ou [b,+)b

    R

    {x R : x < a} ], a[ ou (, a)a

    R

    {x R : x 6 a} ], a] ou (, a]a

    R

    Il est aussi possible dutiliser lintervalle ],+[ pour dcrire lensemble des nombresrel R, mais dans ce cas cela perd le ct pratique et simple.

    Version 3.101 page 15 S. Perret

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    2.4.2 criture dcimale

    Lcriture dcimale permet de reprsenter tous les nombres rels dune faon agrable,mais qui nest en gnral pas exacte, ni unique (car 0.9 = 1). Cette criture permet deplacer avec une prcision relative nimporte quel nombre rel sur la droite relle. Voiciquelques nombres crits sous forme dcimale :

    2 = 2.02

    5= 0.4

    1

    8= 0.125

    2

    3= 0.6

    5

    13= 0.384615

    2 = 1.414213 . . .

    Les nombres rationnels peuvent scrire sous forme de nombres dcimaux limits (comme25et 1

    8) ou priodiques (comme 2

    3et 5

    13), contrairement aux nombres irrationnels dont le

    dveloppement dcimal est toujours infini et non-priodique (comme2,3 ou aussi

    = 3.14159265 . . .).

    2.4.3 Notation scientifique

    La notation scientifique demande que lon note les nombres non nuls comme ceci : x10navec 1 6 x < 10 (x R) et n Z. En dautres termes, on crit le premier chiffre non nuldu nombre suivi dune virgule et des chiffres suivants, ensuite on calibre le nombre n afindavoir le nombre dsir (placement de la virgule). Le nombre de chiffres crits est appelle nombre de chiffres significatifs. Il est en gnral fix lavance soit par lenseignant,soit par le contexte. Afin de raccourcir lcriture la plupart des calculatrices crivent :

    x E n au lieu de x 10n

    Exemples :

    nombre exactnombre dcimal

    arrondinotation

    scientifiquenb de chiffressignificatifs

    2 2 2 100 112

    0.50 5.0 101 22

    30.66667 6.6667 101 5

    403

    13.33 1.333 101 413 3.6056 3.6056 100 5

    220 1048576 1.048576 106 7(2)49 5629499534 ? 5.629499534 1014 103100 5153775207 ? 5.1537752 1047 8(13

    )1000.0000000 ? 1.940325 1048 7

    Comme on le voit la notation scientifique permet de se donner un ordre de grandeur dunombre en question. Plutt superflue dans les premiers exemples, elle est essentielledans les derniers exemples !

    S. Perret page 16 Version 3.101

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    2.5 Oprations sur les nombres rels

    Le calcul arithmtique consiste prendre des nombres et excuter sur ces derniers desoprations. Arriv au lyce, chaque lve est capable dadditionner, de soustraire, demultiplier et de diviser des nombres entiers.

    Le calcul algbrique consiste manipuler des expressions littrales (cest--dire avec desnombres et des lettres qui reprsentent des nombres). Le calcul algbrique est pratique etconome : il permet dviter le ttonnement lors de la rsolution de problmes divers etdappliquer des dductions logiques inspires du calcul arithmtique afin de rsoudre cesproblmes. De plus, si des donnes sont variables, le calcul algbrique permet dexprimerles ventuelles solutions en fonction de ces donnes.

    La rgle dor est la suivante.

    La prsence de lettres dans un calcul ne change rien la faon decalculer. Une lettre ne fait que reprsenter un nombre quelconque !

    On peut dcrire les diffrentes rgles de calcul par des expressions algbriques. Parexemple, laddition satisfait la rgle de calcul suivante.

    a+ b = b+ a

    Cela signifie que si a et b sont deux nombres rels quelconques (qui pourraient mme tregaux), alors le calcul de a+ b donne la mme rponse que le calcul de b+ a.

    2.5.1 Rgles concernant les fractions

    Lamplification, la simplification et lirrductibilit dune fraction

    On a la rgle suivante.a

    m=

    a nm n

    En lisant de gauche droite, on amplifie la fraction. En lisant de droite gauche, onsimplifie la fraction. On dit quune fraction est irrductible si on ne peut pas la simplifier.

    Voici 3 fractions qui reprsentent le nombre 0.5. Seule celle de gauche est irrductible.

    1

    2=

    2

    4=

    3

    6

    = =

    Remarque fondamentale. Un mme nombre peut tre reprsent par plusieurs frac-tions, mais par une seule fraction irrductible.

    Version 3.101 page 17 S. Perret

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    Laddition et la soustraction de fractions

    Lorsquon dsire additionner ou soustraire deux fractions, il faut respecter le principesuivant.

    Avant dadditionner ou de soustraire deux fractions, on doitsassurer quelles soient au mme dnominateur ! Si ce nest pasle cas, alors on les met au mme dnominateur en les amplifiant.

    On a ensuite les rgles suivantes :

    a

    c+b

    c=a+ b

    c

    a

    c bc=a bc

    Ces rgles sillustrent parfaitement sur lexemple suivant.

    1

    2+

    1

    3

    amplification=

    3

    6+

    2

    6

    addition=

    5

    6

    + =

    1

    2 1

    3

    amplification=

    3

    6 2

    6soustraction

    =1

    6

    =

    Le point du vue du calcul algbrique

    Mme si les calculs peuvent paratre plus abstraits, le principe reste exactement le mme,comme on le voit sur les deux exemples suivants :

    a)3

    x+ 1 2x 2

    ampl.=

    3(x 2)(x+ 1)(x 2)

    2(x+ 1)

    (x 2)(x+ 1)soustr.=

    3(x 2) 2(x+ 1)(x+ 1)(x 2)

    simpl.=

    3x 6 (2x+ 2)(x+ 1)(x 2) =

    x 8(x+ 1)(x 2)

    b)3

    2(x+ 1)+

    2

    (x+ 1)2ampl.=

    3(x+ 1)

    2(x+ 1)2+

    4

    2(x+ 1)2add.=

    3(x+ 1) + 4

    2(x+ 1)2=

    3x+ 7

    2(x+ 1)2

    S. Perret page 18 Version 3.101

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    La multiplication de fractions

    On va tablir deux rgles qui nous permettrons de dduire la rgle de la multiplicationde deux fractions.

    Rgle 1 Cas particulier Moralit du cas particulier

    a cb=a cb

    a 1b=a

    bmultiplier a par 1

    brevient diviser a par b

    Pour mieux comprendre la rgle 1, on peut contempler la situation ci-dessous.

    7 215

    =7 215

    =14

    15

    7 =

    De la moralit ci-dessus, on en dduit la rgle 2 :1

    b cd=

    c

    b dcar multiplier c

    dpar 1

    b

    revient diviser cdpar b

    Pour mieux comprendre la rgle 2, on peut contempler la situation ci-dessous.

    1

    5 23=

    2

    5 3 =2

    15

    1

    5 = =

    On peut maintenant en dduire la rgle de la multiplication :

    a

    b cd=a cb d

    En effet, on utilise les rgles 1 et 2 pour y arriver :

    a

    b cd

    R1=

    (a 1

    b

    ) cd

    = a (1

    b cd

    )R2= a c

    b dR1=

    a cb d

    Remarque. Les rgles 1 et 2 se retrouvent comme cas particuliers de la rgle de lamultiplication. Ainsi, parmi les trois rgles ci-dessus, seule la rgle de la multiplicationmrite dtre apprise.

    Version 3.101 page 19 S. Perret

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    La division par une fraction

    Commenons par montrer que linverse dune fraction est encore une fraction. On appel-lera cette formule, la rgle dinversion :

    1dc

    =c

    d

    En effet, grce la rgle de la multiplication, on a :

    c

    d dc=c dd c = 1

    Or, en divisant le membre de gauche et le membre de droite de lgalit ci-dessus par dc,

    on trouve lgalit suivante.c

    d=

    1dc

    On peut maintenant dmontrer la rgle de la division :

    adc

    = a cd

    En effet, on utilise la rgle 1 de la page prcdente et la rgle dinversion (RI) :

    adc

    R1= a 1

    dc

    RI= a c

    d

    Exemple de calculs

    a)2511

    = 2 115

    =22

    5b)

    37511

    =3

    7 115

    =33

    35

    c)

    x+ 1

    x+ 3x 2x+ 5

    =x+ 1

    x+ 3 x+ 5x 2 =

    (x+ 1)(x+ 5)

    (x+ 3)(x 2)

    d)

    On ne peut appliquer la rgle de la division que si on a une fraction au dnominateur, ilfaut donc crire la soustraction du dnominateur comme une fraction. Par consquent,on commence par faire cette soustraction en amplifiant les fractions.

    x+ 1

    x+ 3

    1 x 2x+ 5

    =

    x+ 1

    x+ 3x+ 5

    x+ 5 x 2x+ 5

    =

    x+ 1

    x+ 3x+ 5 (x 2)

    x+ 5

    =

    x+ 1

    x+ 37

    x+ 5

    =x+ 1

    x+ 3 x+ 5

    7=

    (x+ 1)(x+ 5)

    7(x+ 3)

    S. Perret page 20 Version 3.101

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    2.5.2 Puissances, bases et exposants

    Afin de se rendre la vie plus agrable, les mathmaticiens ont invent une notation quipermet de simplifier lcriture.

    a a . . . a a apparat n fois

    = an

    Quand on lit an, on dit a lev la puissance n ou plus rapidement a puissance n.Le symbole n est appel la puissance (ou lexposant) et le symbole a est appel la base.On en dduit immdiatement les rgles suivantes :

    am an = a a . . . a a apparat m fois

    a a . . . a a apparat n fois

    a apparat m+ n fois

    = am+n

    (am)n = am am . . . am am apparat n fois

    = a a . . . a a apparat m fois

    a a . . . a a apparat m fois

    . . . a a . . . a a apparat m fois

    a apparat m n fois

    = amn

    On a donc tabli les formules suivantes :

    am an = am+n (am)n = amn pour tout m, n > 1 et a R

    2.5.3 Les identits remarquables

    Les identits remarquables sont des formules quil est bon de reconnatre en toute cir-constance. Les voici :

    a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 a2 b2 = (a + b)(a b)

    Ces identits se lisent dans les deux sens (comme toute galit). Il est facile de lesretrouver en dveloppant le terme de droite. Par contre, il est important de bien lesconnatre afin de pouvoir les reconnatre lorsque seul le terme de gauche est prsent.

    Lidentit (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 montre que lon doit faire extrmement attentionlorsquon lve une somme au carr. Do le slogan :

    Lorsquon lve une somme au carr, des doubles produits apparaissent

    Vision gomtrique

    (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (a+ b)(a b) = a2 b2

    a b

    ab

    a2

    b2ab

    ab

    a+ b

    ab

    bb

    (a+ b)(a b)

    b2

    b2

    a b

    ab

    a2

    b2

    b2

    Version 3.101 page 21 S. Perret

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    Cours de Mathmatiques

    2.5.4 Les racines n-imes

    Il peut arriver quon ait besoin de trouver un nombre x qui lev la puissance n donneun nombre a. Autrement dit, on cherche le ou les nombres rels x (sils existent) quisatisfont la condition

    xn = a

    Ce ou ces nombres, lorsquils existent, sont appels racines n-imes de a.

    On est ainsi face deux soucis mathmatiques : lexistence et lunicit de ces nombres x.On distingue ainsi plusieurs cas :

    1. Si a est nul.

    Alors 1 seul 0 satisfait la condition xn = 0. Ainsi 0 est la seule racine n-ime de 0.On note x = n

    0 = 0.

    2. Si n est impair (et si a est non nul).

    Alors1 il existe un seul nombre x rel qui satisfait la condition xn = a. Comme ilest unique, on parle de la racine n-ime de a que lon note x = n

    a.

    3. Si n est pair et que a est positif.

    Alors1 il existe deux nombres qui satisfont la condition xn = a : un de ces nombresest positif, lautre est ngatif. On dfinit la racine n-ime de a comme tant lasolution positive que lon note n

    a, lautre solution est ainsi note na.

    4. Si n est pair et que a est ngatif.

    Alors1 aucun nombre ne satisfait la condition xn = a. Dans ce cas na nexiste pas.

    Exemples

    1.0 = 0 (car 02 = 0).

    2. 38 = 2 (car 2 est solution de x3 = 8 puisque 23 = 8).

    38 = 2 (car 2 est solution de x3 = 8 puisque (2)3 = 8).

    3.4 = 2 (car 2 et 2 sont les deux solutions de x2 = 4 et 2 est la solution positive).

    4.1 na pas de sens parce quil nexiste pas de nombre rel x qui satisfait x2 = 1.

    2.5.5 Extension de la notion dexposants

    Pour linstant, on ne sait calculer an que lorsque n N \ {0}. On va tendre ce calculpour toutes les puissances relles (n R), en conservant les deux formules suivantes.

    am an = am+n (am)n = amn pour tout m, n > 1 et a R

    On va donc dfinir aq

    pour q Q laide desrgles ci-contre.

    a0 = 1 an =1

    ananm =

    an

    amamn = n

    am= nam

    si mn

    est rduite et si

    chacun de ces termes existe

    1. Ces affirmations sont videntes pour le lecteur qui sait rsoudre graphiquement une quation etesquisser les graphes des fonctions xn (il en sera dautant plus laise sil utilise des arguments sur laparit des fonction xn).

    S. Perret page 22 Version 3.101

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    Extension la puissance nulle

    On veut dfinir a0 en conservant la formule am an = am+n. En posant m = 0 dans cetteformule, elle devient a0 an = an. Limplication ci-dessous nous montre que a0 = 1.

    a0 an = an :an= a0 = 1

    Extension aux puissances ngatives

    Maintenant que a0 est dfini, on peut dfinir an (pour n N) en conservant la formuleam an = am+n. En posant m = n dans cette formule, elle devient an an = a0 = 1.Limplication ci-dessous nous montre que an = 1

    an.

    an an = 1 :an= an = 1an

    Extension aux puissances rationnelles (premire partie)

    Commenons par dfinir a1n en conservant la formule (am)n = amn. En posant m = 1

    n

    dans cette formule, elle devient (a1n )n = a. Ainsi, x = a

    1n satisfait la condition xn = a,

    tout comme cest le cas pour x = na (voir page 22). On va donc dfinir a

    1n comme tant

    la racine n-ime de a, cest--dire a1n = n

    a. Rappelons que cette racine n-ime nexiste

    pas lorsque a < 0 et que n est pair.

    Extension aux puissances rationnelles (deuxime partie)

    Si mnest une fraction irrductible, on dfinit a

    mn en conservant la formule (am)n = amn.

    En utilisant cette formule de droite gauche, on obtient :

    amn = a

    1nm formule= (a

    1n )m

    1re partie= n

    am

    Remarquons que lon a nam= nam lorsque chacune de ces expressions existe. En effet

    amn = am

    1n

    formule= (am)

    1n

    1re partie= n

    am

    Dans le cas dune fraction irrductible, les deux critures nam ou n

    am existent (ou

    nexistent pas) simultanment.

    Remarquons que si1 2 nexiste pas,(1)2 vaut 1, et nest donc pas gal (1) 22 qui

    devrait valoir (1)1 = 1. Ainsi, si une puissance est sous forme de fraction rductible,il faut dabord la rduire avant dappliquer les formules.

    *Extension aux puissances irrationnelles

    Ce passage est extrmement dlicat car on na pas dfini les nombres rels de manireformelle 2. On va donc se contenter dexpliquer comment trouver une bonne approxima-tion de ax avec x R \Q. Pour cela, on prend une fraction q qui est proche du nombrex et on calcule aq. Ce nest pas facile, mais on peut montrer que plus la fraction q estproche de x, plus aq est proche de ax.

    Par exemple, pour calculer 32, on peut estimer

    2 par la fraction 22

    61953715994428 (cette ap-

    proximation permet de tromper les calculatrices les plus avances) et on calcule 32261953715994428 .

    Cela revient calculer la racine 15994428-ime de 322619537. On trouve ainsi lapproxima-tion quatre chiffres significatifs 3

    2 = 4.729.

    2. On peut dfinir les nombres rels comme espace quotient o la relation dquivalence utilise lessuites de Cauchy.

    Version 3.101 page 23 S. Perret

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    2.5.6 Les logarithmes

    Dvelopps par lcossais John Napier au XVIIe sicle, les logarithmes permettent de trou-ver une puissance x laquelle on lve une base a pour trouver un nombre b. Autrementdit, on cherche le ou les nombres rels x (sils existent) qui satisfont la condition

    ax = b

    Le mot logarithme est driv des mots grecs logos (parole, discours) et arithmos (nombre).

    On peut montrer que si on vite les cas particuliers inintressants a = 0 ou a = 1,alors, sil existe, le nombre x qui satisfait la condition ax = b est unique. On peut ainsilui donner un nom : il sagit du logarithme en base a de b que lon note x = loga(b).

    On a ainsi lquivalence : ax = b x = loga(b) (pour autant que loga(b) existe)Do le slogan du logarithme (cest le discours sur les nombres quil faut tenir) :

    loga(b) est la puissance laquelle on lve la base a pour obtenir le nombre b

    Sur la calculatrice, on trouve la touche LOG , qui correspond au logarithme en base 10.La formule de changement de base suivante est utile pour calculer des logarithmes.

    loga(x) =log10(x)

    log10(a)

    Exemples

    a) log2(8) = 3 (car 23 = 8). b) log3(1) = 0 (car 3

    0 = 1).

    c) log4(14) = 1 (car 41 = 1

    4). d) log5(

    125) = 2 (car 52 = 1

    25).

    e) On peut estimer que log2(20) se situe entre 4 et 5 (car 24 = 16 et 25 = 32),

    mais si on veut une valeur plus prcise, on peut utiliser le changementde base ci-dessus et la calculatrice. On trouve ( 5 chiffres significatifs) :

    log2(20) =log10(20)

    log10(2)= 4.3219

    f) log2(8) = 3 (car (2)3 = 8), pourtant log2(8) et log2(8) nexistent pas.

    2.5.7 Analogies entre les diverses oprations

    Voici un rsum des formules importantes. Mme si ces formules paraissent analogues,elles sont nanmoins diffrentes. Il est important de ne pas confondre ces formules !Les formules concernant les logarithmes seront tablies la fin de la premire anne.

    Multiplication Puissance Logarithme

    a+ a+ . . .+ a a apparat n fois

    = a n a a . . . a a apparat n fois

    = an ax = b x = loga(b)

    a m+ a n = a (m+ n) am an = am+n loga(m) + loga(n) = loga(m n)a m a n = a (m n) am/an = amn loga(m) loga(n) = loga(m/n)(a m) n = a (m n) (am)n = amn loga(mn) = n loga(m)

    S. Perret page 24 Version 3.101

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    Lyce cantonal de Porrentruy

    2.5.8 La rgle des signes

    Lorsquon a une multiplication ou une division entre deux nombres, la rgle des signessapplique.

    nombremultiplicationou division

    nombre nombre phrase mnmotechnique

    + + + les amis de mes amis sont mes amis+ les amis de mes ennemis sont mes ennemis + les ennemis de mes amis sont mes ennemis + les ennemis de mes ennemis sont mes amis

    En Allemand, les ngations suivent une rgle semblable.

    2.5.9 Valeur absolue et distance

    La valeur absolue, note |a|, est dfinie comme suit.

    |a| =a2 ou |a| =

    {a si a > 0

    a si a < 0Rappel : si a est ngatif, alors a est positif.

    La valeur absolue dun nombre permet de mesurer la distance sur la droite relle de cenombre par rapport lorigine, qui est le nombre 0.

    R4 3 2 1 0 1 2 3 4

    Par exemple, les valeurs absolues de 3 et de 3 sont les mmes, car ces nombres sont distance 3 de 0. Autrement dit : |3| = |3| = 3.Elle permet aussi de calculer la distance entre deux nombres x et y, qui est |x y|.Par exemple, la distance sur laxe rel entre 2 et 3 vaut

    |(2) 3| = 5

    2.5.10 Un peu de vocabulaire : simplifier, dvelopper, factoriser

    Dfinitions

    Il y a tout de mme quelques termes techniques quil faut connatre comme :

    Simplifier Sarranger pour que lexpression littrale soit la plus simple possible.Par exemple, on simplifie lexpression x+ x+ x pour obtenir 3x.

    Dvelopper Sarranger pour remplacer un produit par une somme.Par exemple, on crit le produit x(y + 1) en la somme xy + x.

    Factoriser Cest lopration inverse de dvelopper. On sarrange pour avoir unproduit la place dune somme.Par exemple, on crit la somme xy + x en le produit x(y + 1).

    Version 3.101 page 25 S. Perret

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    Cours de Mathmatiques

    S. Perret page 26 Version 3.101

  • Chapitre 3

    Sommes, sries arithmtiques etgomtriques

    3.1 Le symbole somme

    Ce symbole permet dcrire de grandes sommes sans utiliser les points de suspension. Parexemple, on crit

    1 + 2 + + n =n

    k=1

    k

    Cela permet davoir des expressions plus prcises (il pourrait y avoir nimporte quoi laplace des points de suspension) et plus condenses.

    Soit n1, n2 deux nombres entiers et des nombres rels ak (n1 6 k 6 n2), on noten2

    k=n1

    ak = an1 + an1+1 + + an21 + an2

    Dans cette expression mathmatique, lindice k de la somme permet de dcrire commenton additionne les lments. Le nombre n1 est la valeur de dpart de lindice et le nombre n2celle darrive. Lindice k prend toutes les valeurs entires entre n1 et n2 y compris.

    Lorsquon dveloppe une somme, son indice disparat !

    Proprits du symbole somme

    Soit n1, n2, n3 trois nombres entiers tels que n1 6 n2 < n3, des nombres rels ak, bk(n1 6 k 6 n3) et R. Il y a trois proprits fondamentales :

    Proprits Justification rapide

    (P1)n2

    k=n1

    ak +

    n3k=n2+1

    ak =

    n3k=n1

    akLaddition de deux sommes estencore une somme.

    (P2)n2

    k=n1

    ak +

    n2k=n1

    bk =

    n2k=n1

    (ak + bk

    )On peut permuter les lmentsdune somme : a + b = b+ a

    (P3) n2

    k=n1

    ak =

    n2k=n1

    (ak

    ) On peut distribuer la multipli-cation sur laddition :

    a(b+ c) = ab+ ac

    27

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    Cours de Mathmatiques

    3.2 Sries arithmtiques

    Une histoire sur Gauss (clbre mathmaticien allemand, 1777-1855)

    On raconte que lorsque Gauss tait lve, un de ses professeurs de mathmatiques lui ainflig comme punition le calcul de la somme 1+2+3+4+5+ +1000. Gauss trouvla rponse en quelques minutes grce lastuce dcrite ci-dessous.

    S = 1 + 2 + 3 + + 998 + 999 + 1000+ S = 1000 + 999 + 998 + + 3 + 2 + 1

    2S = 1001 + 1001 + 1001 + + 1001 + 1001 + 1001

    Puisque le terme 1001 apparat 1000 fois dans la somme 2S, on obtient :

    2S = 1000 1001 S = 1000 10012

    = 500500

    Dfinition

    Une srie arithmtique est une somme finie de termes

    a1

    +ry

    + a2

    +ry

    + a3

    +ry

    + +ry

    + an

    pour laquelle il existe un nombre r, r 6= 0, appel raison, qui satisfait ak+1 = ak + r .

    Exemples

    a) 1+1y

    + 2+1y

    + 3+1y

    + 4+1y

    + 5+1y

    + 6+1y

    + 7+1y

    + 8+1y

    + 9+1y

    + 10

    b) 1+2y

    + 3+2y

    + 5+2y

    + 7+2y

    + 9+2y

    + 11+2y

    + 13+2y

    + 15+2y

    + 17+2y

    + 19

    c) 2+2y

    + 4+2y

    + 6+2y

    + 8+2y

    + 10+2y

    + 12+2y

    + 14+2y

    + 16+2y

    + 18+2y

    + 20+2y

    + 22+2y

    + 24+2y

    + 26+2y

    + 28+2y

    + 30

    d) 1205y

    + 1155y

    + 1105y

    + 1055y

    + 1005y

    + 955y

    + 905y

    + 855y

    + 805y

    + 755y

    + 705y

    + 65

    criture avec le symbole somme

    Dans le cas dune srie arithmtique, on a :

    a1

    +ry

    + a2

    +ry

    + a3

    +ry

    + +ry

    + an =n1k=0

    (a1 + k r)

    Thorme

    Si a1 + a2 + + an1 + an est une srie arithmtique de raison r. Alors, on a :

    a1 + a2 + + an1 + an = n a1 + an2

    Autrement dit, la valeur de la srie est gale au nombre de termes de la somme multiplipar la moyenne du premier terme et du dernier terme.

    S. Perret page 28 Version 3.101

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    Preuve

    On note S = a1 + a2 + a3 + + an1 + an. On peut utiliser lastuce invente par Gaussdont on a parl au dbut de cette section. Cette astuce consiste crire la somme S unefois normalement et une fois inverse, puis examiner la somme verticale (voir tableauci-dessous) :

    S = a1 + a2 + a3 + + an1 + an+ S = an + an1 + an2 + + a2 + a1

    2S = a1 + an + a2 + an1 + a3 + an2 + + an1 + a2 + an + a1

    Or, comme S est une srie arithmtique, on trouve grce la proprit ak+1 = ak + rque :

    a1 + an = a2 + an1 = a3 + an2 = = an1 + a2 = an + a1

    En effet, comme a2 = a1 + r et que an1 = an r (car an = an1 + r), on a bien :a2 + an1 = a1 + r + an r = a1 + an

    De mme, puisque a3 = a2 + r et que an2 = an1 r (car an1 = an2 + r), on a aussi :a3 + an2 = a2 + r + an1 r = a2 + an1 = a1 + an

    et ainsi de suite. . .

    Donc :

    2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + + (a1 + an) + (a1 + an) n fois

    = n (a1 + an)

    Ainsi :S = n a1 + an

    2

    Application du thorme aux exemples prcdents

    a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 10 termes

    = 10 1 + 102

    = 55

    b) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 10 termes

    = 10 1 + 192

    = 100

    c) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 15 termes

    = 15 2 + 302

    = 240

    d) 120 + 115 + 110 + 105 + 100 + 95 + 90 + 85 + 80 + 75 + 70 + 65 12 termes

    = 12 120 + 652

    = 1110

    Version 3.101 page 29 S. Perret

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    Cours de Mathmatiques

    3.3 Sries gomtriques

    Les rentes

    Un gnreux donateur a dcid de verser 100 CHF sur votre compte en banque tous lespremiers janvier de 2001 2050. En supposant que le taux dintrts de 1% est constantjusquen 2050 et que personne na retir dargent sur ce compte, on peut dterminer lecapital en date du premier janvier 2050 en capitalisant chacun des versements laide dela formule de capitalisation des intrts composs Cn = C0(1 + i)n (voir page 32).

    C2050 = 100versementdat du01.2050

    + 100(1.01) versementdat du01.2049

    +100(1.01)2 versementdat du01.2048

    +100(1.01)3 versementdat du01.2047

    + + 100(1.01)48 versementdat du01.2002

    +100(1.01)49 versementdat du01.2001

    50 termes (1 par an)

    = 100(1 + 1.01 + 1.012 + 1.013 + + 1.0148 + 1.0149)

    srie gomtrique

    Mme si la rponse peut tre calcule la main (en additionnant les 50 termes, on trouveC2050 = 6446.30 CHF (arrondi 5 centimes prs)), il serait bien davoir une formulepermettant de calculer cette srie gomtrique sans devoir additionner ces 50 termes.

    Dfinition

    Une srie gomtrique est une somme finie de termes

    a1

    ry

    + a2

    ry

    + a3

    ry

    + ry

    + an

    pour laquelle il existe un nombre r, r 6= 1, appel raison, qui satisfait ak+1 = ak r .Quitte effectuer une mise en vidence de a1 comme dans lexemple ci-dessus, on peuttoujours crire :

    a1

    ry

    + a2

    ry

    + a3

    ry

    + ry

    + an = a1 (1ry

    + rry

    + r2ry

    + r3ry

    + ry

    + rn2ry

    + rn1)

    Exemples

    a) 12y

    + 22y

    + 42y

    + 82y

    + 162y

    + 322y

    + 642y

    + 1282y

    + 2562y

    + 512

    b) 1 12y

    + 12

    12y

    + 14

    12y

    + 18

    12y

    + 116

    12y

    + 132

    12y

    + 164

    12y

    + 1128

    12y

    + 1256

    12y

    + 1512

    12y

    + 11024

    12y

    + 12048

    c) 11.1y

    + 1.11.1y

    + 1.121.1y

    + 1.131.1y

    + 1.141.1y

    + 1.151.1y

    + 1.161.1y

    + 1.171.1y

    + 1.181.1y

    + 1.191.1y

    + 1.1101.1y

    + 1.111

    d) 123y

    + 363y

    + 1083y

    + 3243y

    + 9723y

    + 29163y

    + 87483y

    + 262443y

    + 787323y

    + 236196

    criture avec le symbole somme

    Dans le cas dune srie gomtrique, on a :

    a1

    ry

    + a2

    ry

    + a3

    ry

    + ry

    + an =

    n1k=0

    (a1 rk) = a1 n1k=0

    rk

    S. Perret page 30 Version 3.101

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    Thorme

    La formule permettant de calculer une srie gomtrique de raison r et dont le premierterme vaut 1 est :

    n1k=0

    rk = 1 + r + r2 + r3 + + rn2 + rn1 = rn 1r 1

    (=

    1 rn1 r

    )

    Remarquons que n est le nombre de termes de cette srie.

    Preuve

    On a en distribuant :(1 + r + r2 + r3 + + rn2 + rn1)(r 1)= r + r2 + r3 + r4 + + rn1 + rn

    1 r r2 r3 r4 rn1

    = rn 1

    On a ainsi montr que :(1 + r + r2 + r3 + + rn2 + rn1)(r 1) = rn 1

    Par consquent en divisant de chaque ct par (r1) on obtient la formule nonce dansle thorme.

    Application du thorme aux exemples prcdents

    a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 10 termes

    =210 12 1 = 1023

    b) 1 +1

    2+

    1

    4+

    1

    8+

    1

    16+

    1

    32+

    1

    64+

    1

    128+

    1

    256+

    1

    512+

    1

    1024+

    1

    2048 12 termes

    =

    (12

    )12 112 1

    =4095

    2048= 1.9995

    c) 1 + 1.1 + 1.12 + 1.13 + 1.14 + 1.15 + 1.16 + 1.17 + 1.18 + 1.19 + 1.110 + 1.111 12 termes

    =1.112 11.1 1

    = 21.3843

    d) 12 + 36 + 108 + 324 + 972 + 2916 + 8748 + 26244 + 78732 + 236196 10 termes

    = 12 (1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 + 6561 + 19683) = 12 310 13 1

    = 354288

    Version 3.101 page 31 S. Perret

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    Cours de Mathmatiques

    3.4 Application : calculs dintrts et capitalisation

    Toute la difficult de cette section consiste bien comprendre comment on peut dpla-cer un capital dans le temps. Lorsquon dplace un capital en direction du futur, onle capitalise. Si on dplace un capital en direction du pass, on lactualise. Lorsquau-cune contrainte spcifique nest prcise, on simaginera toujours disposer dun capital enlanne zro. Dans ce cas, on peut visualiser lactualisation et la capitalisation.

    temps [anne]

    capitalisationactualisation

    4 3 2 1 0 1 2 3 4

    3.4.1 Capitalisation

    Notons Cn le capital lanne n et t le taux dintrt (effectif) annuel (suppos constant).

    Intrts simples

    Lorsquon capitalise un capital initial C0 selon la mthode des intrts simples, on ajoute C0 la proportion dintrt correspondante.

    Cn = C0 + C0 t n donc Cn = C0(1 + t n)Cette formule est valable pour tout n > 0 (on peut parler de demi-anne,...).

    Intrts composs

    On calcule les intrts anne par anne, en les ajoutant au capital. Ainsi, chaque anne,le montant sur lequel les intrts sont calculs change !

    C1 = C0 + C0 t = C0(1 + t)C2 = C1 + C1 t = C1(1 + t) = C0(1 + t)2C3 = C2 + C2 t = C2(1 + t) = C0(1 + t)3C4 = C3 + C3 t = C3(1 + t) = C0(1 + t)4...

    Cn = C0(1 + t)n

    On a donc dmontr que cette formule est valable lorsque n N. Mais, elle est valablepour tout nombre n rel (mme si on ne dmontrera pas) !

    Exemple

    On place 1000 CHF 5% pendant 40 ans.

    1. Le capital final aprs les 40 ans si on applique la mthode des intrts simples estdonn par

    C40 = C0(1 + t 40) = 1000(1 + 0.05 40) = 1000 3 = 3000 CHF

    S. Perret page 32 Version 3.101

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    2. Le capital final aprs les 40 ans si on applique la mthode des intrts composs estdonn par

    C40 = C0(1 + t)40 = 1000(1 + 0.05)40 = 1000 7.03999 = 7040.00 CHF

    Cela fait environ 4040 CHF de plus quavec la mthode des intrts simples !

    3. Si on dessine les capitaux obtenus tous les deux ans pour des intrts simples etcomposs (la priode de placement reste lanne). On obtient le graphe suivant.

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    7000

    4 8 12 16 20 24 28 32 36 40ans

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    On voit que pour les intrts simples, la courbe est une droite, tandis que pour lesintrts composs, il sagit dune courbe exponentielle !

    Taux priodique (ou proportionnel ou relatif)

    On peut dsirer composer des intrts m fois dans lanne selon des priodes gales(de longueur 1

    m). Pour cela, on introduit la notion dun taux dintrt priodique (ou

    proportionnel ou relatif), not tm.

    Par exemple t2 correspond un taux semestriel, t4 un un taux trimestriel, t12 un tauxmensuel et t360 un taux journalier, car en conomie, il y a 360 jours par an.

    On fixe ce taux de manire ce que la capitalisation revienne au mme que si celaavait t sur des priodes dune anne avec le taux dintrt (effectif) annuel. En termesmathmatiques, en regardant comment on calcule le capital aprs une anne, on trouvela condition suivante qui relie le taux (effectif) annuel avec le taux priodique.

    C1 = C0(1 + t) = C0 (1 + tm)m donc (1 + t) = (1 + tm)

    m

    (1 + t) 1m = (1 + tm)

    Exemple Si le taux dintrt annuel est de 3% pour un placement mensuel, alors letaux priodique est de t12 = (1 + 0.03)

    112 1 = 0.247%. On remarque que ce taux nest

    pas gal 3% divis par 12, qui ferait 0.25% !

    Version 3.101 page 33 S. Perret

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    Cours de Mathmatiques

    3.4.2 Actualisation

    Il sagit cette fois daller dans le pass, en se demandant, par exemple, quel investisse-ment C0 on doit placer, un taux dintrt annuel t, pour obtenir aprs n anne uncapital Cn. Les formules sont les mmes que pour la capitalisation, si ce nest que main-tenant ce nest pas C0 qui est donn, mais Cn !

    Exemple Si on souhaite avoir 50000 CHF dans 20 ans sur un compte en banque untaux de 2%, on doit placer

    C0 = C20 1(1 + t)20

    = 50000 (1 + 0.02)20 = 50000 0.67297 = 33648.60 CHF

    3.4.3 quivalence de capitaux et chance moyenne

    Dfinition

    Deux capitaux sont dit quivalents sils sont gaux au mme instant.

    Exemples

    1. Si on suppose que le taux dintrt est constant 5%, alors 1000 CHF le premierjanvier 2007 sont quivalents 1050 CHF le premier janvier 2008.

    En effet, une anne aprs, les 1000 CHF sont devenus 1000 (1.05)1 = 1050 CHF.2. Verser 5000 CHF aujourdhui sur un compte bancaire dintrts constants 2% est

    quivalent avoir vers 4528.65 CHF il y a 5 ans.

    En effet, on a 5000 (1.02)5 = 4528.65 CHF ou 4528.65 (1.02)5 = 5000 CHF.

    Dfinition

    Lchance moyenne est lunique date laquelle plusieurs capitaux chants diffrentesdates sont rgls par un seul paiement quivalent la somme de tous ces capitaux.

    Exemple

    Imaginons que lon ait achet 2 produits. Le premier a t achet le premier juin 2006,il cotait alors 1500 CHF. Quant au deuxime, il a t command et il cotera 2500CHF le jour de sa livraison le premier juin 2007. Pour ces deux achats, on considre quele taux dintrts est de 1%.

    Lchance moyenne correspond la date o la somme des achats, qui vaut 4000 CHF,sera quivalente aux deux paiements. Cette chance correspond au 16 janvier 2007 (au-trement dit 7 mois et 15 jours aprs le premier juin 2006).

    En effet, on commence par dplacer les deux valeurs au premier juin 2006 (on pourraitles dplacer nimporte quelle date), la valeur totale vaut ainsi :

    1500 + 2500 (1.01)1 = 3975.25On cherche dans combien dannes n ces 3975.25 CHF valent 1500+2500 = 4000 CHF.

    3975.25 (1.01)n = 4000 (1.01)n = 40003975.25

    n = log1.01( 40003975.25) = 0.6238 ansAinsi n = 0.6238 360 = 224.6 jours, ce qui fait environ 7 mois et 15 jours.

    S. Perret page 34 Version 3.101

  • Chapitre 4

    quations polynomiales

    Dfinitions

    1. Une quation est une galit entre deux expressions mathmatiques qui contiennentdes variables, des lettres (reprsentant des valeurs fixes) et des nombres.

    2. Une variable est une grandeur a priori inconnue. Par dfaut, elle vit dans R.

    3. Une quation est rsolue lorsquon a trouv toutes les valeurs, qui mises la placedes variables correspondantes rendent la proposition (donne par lquation) vraie.

    4. Lensemble de ces valeurs est appel lensemble de solutions, gnralement not S.

    5. Une premire quation implique une deuxime quation, lorsque les solutions de lapremire sont aussi solutions de la deuxime. Mais, il est possible quil y ait plusde solutions dans la deuxime que dans la premire.Par exemple

    x = 2 x2 = 4 , mais x2 = 4 6 x = 26. Deux quations sont dites quivalentes si lensemble des solutions de chaque qua-

    tion est le mme.Par exemple

    |x| = 2 x2 = 4

    Au dbut, on ne va travailler quavec des quations une variable, note x.

    Quelques types dquations

    1. Les quations du premier degr sont de la forme

    ax+ b = 0 avec a, b R et a 6= 0

    2. Les quations du deuxime degr sont de la forme

    ax2 + bx+ c = 0 avec a, b, c R et a 6= 0

    3. Les quations de degr n avec n N, n > 3 sont de la formeanx

    n + an1xn1 + + a1x+ a0 = 0 avec ak R et an 6= 0

    4. Les quations du deuxime degr camoufles sont de la forme

    a y(x)2 + b y(x) + c = 0 avec a, b, c R, a 6= 0, y(x) dpend de x

    35

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    Cours de Mathmatiques

    4.1 Rsolution des quations du premier degr

    Dans ce cas, la mthode la plus utilise pour rsoudre une telle quation consiste trouverune quation quivalente pour laquelle la variable est isole dun ct de lgalit. Dans cebut, on effectue une succession doprations rversibles de chaque ct de lgalitde lquation.

    Par exemple pour rsoudre lquation 5x+ 6 = 2x+ 4, on peut procder comme suit.

    5x+ 6 = 2x+ 46 5x = 2x 2 2x 3x = 2 :3 x = 2

    3

    Par consquent, lensemble de solutions de cette quation est S = {23}.

    Au-dessus de chaque quivalence, il peut tre utile de noter lopration que lon fait pourpasser de lquation de gauche celle de droite. Afin de pouvoir parler dquivalence (),il faut sassurer que cette opration est rversible.

    Il y a videmment plusieurs faons de procder. Ce qui compte, cest davoir une quationquivalente o x est isol !

    4.2 La proprit du produit dans les nombres rels

    Si a et b sont deux nombres rels, alors on a lquivalence suivante.

    a b = 0 a = 0 ou b = 0Limplication = traduit le fait que R est anneau intgre.

    Application

    Si on cherche rsoudre lquation (x + 1)(x 2) = 0 dans les nombres rels, on peututiliser la proprit du produit qui dit que :

    (x+ 1)(x 2) = 0 x+ 1 = 0 ou x 2 = 0 x = 1 ou x = 2

    De manire plus gnrale, on a lquivalence :

    (x x1)(x x2) = 0 x = x1 ou x = x2

    4.3 Rsolution des quations du deuxime degr

    Thorme

    On a lquivalence :

    ax2 + bx+ c = 0 admet 1 ou 2 solutions ax2 + bx+ c peut se factoriserLa preuve de est montre dans les pages suivantes, et se dmontre de maniredirecte en utilisant la proprit du produit.

    La contrapose (qui est aussi vraie) est :

    ax2 + bx+ c ne se factorise pas ax2 + bx+ c = 0 nadmet pas de solution

    S. Perret page 36 Version 3.101

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    Lyce cantonal de Porrentruy

    4.3.1 Deux mthodes de rsolution et la formule de Vite

    Pour rsoudre lquation du deuxime degr ax2 + bx+ c = 0, avec a 6= 0, on commencepar examiner les deux cas particuliers suivants.

    1. Premier cas : b = 0.

    Dans ce cas, lquation est ax2+c = 0 et peut tre ramene lquation quivalentesuivante (en posant d = c

    a).

    x2 = d avec d R

    Une telle quation admet exactement :

    0 solution si d < 0.En effet, comme x2 est un nombre rel positif, il ne peut pas tre gal d quiest ngatif.

    1 solution si d = 0.En effet, on a les quivalences suivantes :

    x2 = 0 x x = 0propritdu produit x = 0

    2 solutions si d > 0. Les solutions seront d et d (ces racines carresexistent et ne sont pas gales car d 6= 0). En effet, on a :

    x2 = dd x2d = 0

    identitremarq.d>0

    (xd)(x+

    d) = 0

    propritdu produit

    {x =

    d

    ou

    x = dEn rsum, on a lquivalence :

    x2 = d x = d

    Cette quivalence livre bien deux solutions si d est positif, une solution si d est nulet aucune solution si d est ngatif (puisque la racine carre dun nombre ngatifnexiste pas).

    2. Deuxime cas : c = 0.

    Dans ce cas, lquation est ax2 + bx = 0. Pour trouver les valeurs de x, il suffit demettre x en vidence et dutiliser la proprit du produit.

    ax2 + bx = 0 x(ax+ b) = 0propritdu produit

    {x = 0ou

    ax+ b = 0

    {x = 0ou

    x = ba

    Ainsi une telle quation admet toujours exactement 2 solutions dont 0.

    Remarque cruciale : il est trs important de ne pas apprendre par cur lessolutions de cette quation. Il suffit de se souvenir de la mthode utilise.

    Version 3.101 page 37 S. Perret

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    Cours de Mathmatiques

    La formule de Vite

    On peut maintenant examiner le cas gnral, cest--dire lorsque lquation du deuximedegr est du type ax2 + bx+ c = 0 avec a, b, c 6= 0.Les calculs qui suivent sont aussi valables si b = 0 ou c = 0. Mais les mthodes prcdentessont plus efficaces (gain de temps et diminution du risque de faire une erreur de calcul).

    ax2 + bx+ c = a

    (x2 +

    b

    ax +

    c

    a

    )= a

    ( (x+

    b

    2a

    )2 b

    2

    4a2+c

    a

    )

    = a

    ((x+

    b

    2a

    )2 b

    2 4ac4a2

    )

    Dans la zone grise, on a utilis une technique de calcul qui consiste crire un polynmede degr 2 en x de faon ce que x napparaisse quune seule fois. Cette technique seraaussi utile dans le chapitre des fonctions pour trouver le sommet dune parabole et dansle chapitre de gomtrie pour les quations des cercles et des sphres.

    Ainsi, on a

    ax2 + bx+ c = 0 (x+

    b

    2a

    )2=b2 4ac

    4a2

    Comme on la vu dans le premier cas de la page prcdente, le nombre de solutions dunetelle quation est donn par le signe de lexpression b

    24ac4a2

    . Or, comme 4a2 est toujourspositif, le signe de lexpression b2 4ac dtermine le nombre de solutions de lquation.Cette expression est ainsi appele le discriminant de lquation et est note = b24ac.Ainsi lquation ax2 + bx+ c = 0 possde exactement :

    0 solution si son discriminant est ngatif (cest--dire si < 0). 1 solution si son discriminant est nul (cest--dire si = 0). 2 solutions si son discriminant est positif (cest--dire si > 0).

    On utilise lquivalence du premier cas de la page prcdente pour conclure.

    (x+

    b

    2a

    )2=b2 4ac

    4a2

    4a2=2|a| x+ b

    2a=

    b2 4ac2|a|

    |a|=asi a>0|a|=asi a

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    Lyce cantonal de Porrentruy

    Bonus : la factorisation de ax2 + bx+ c

    Reprenons la factorisation obtenue aprs la technique de calcul de la zone grise et conti-nuons cette factorisation grce lidentit remarquable d2 e2 = (d e)(d+ e).

    ax2 + bx+ c = a

    ((x+

    b

    2a

    )2 b

    2 4ac4a2

    )()

    >0=

    4a2=2|a|a

    (x+

    b

    2ab2 4ac2|a|

    )(x+

    b

    2a+

    b2 4ac2|a|

    )|a|=asi a>0=

    |a|=asi a 0, on sait quil y adeux solutions et on utilise la formule de Vite pour trouver ces solutions :

    2x2 x 1 = 0 x = 19

    4=

    1 34

    = 12ou 1

    Donc lensemble de solutions est S = {12, 1}.

    Nanmoins, pour tre sr que la factorisation ci-dessus soit comprise, on factorisece polynme en utilisant la technique de calcul prcdemment vue (zone grise).

    2x2 x 1 = 2(x2 1

    2x 1

    2

    )= 2

    ( (x 1

    4

    )2 1

    16 1

    2

    )

    = 2

    ((x 1

    4

    )2 9

    16

    )= 2

    ((x 1

    4

    ) 3

    4

    )((x 1

    4

    )+

    3

    4

    )

    Ainsi, on a 2x2 x 1 = 2(x 1)(x+ 12

    )= 0 x = 1

    2ou 1.

    Version 3.101 page 39 S. Perret

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    4.3.2 Les quations du deuxime degr camoufles

    Pour rsoudre lquation du deuxime degr en y(x), a y(x)2 + b y(x) + c = 0 (aveca, b, c R, a 6= 0 et o y(x) est une expression algbrique qui dpend de x), on utiliseaussi la formule de Vite. On a :

    a y(x)2 + b y(x) + c = 0 y(x) = bb2 4ac2a

    Ensuite, on termine la rsolution en cherchant les valeurs de x qui sont solutions.

    Exemples

    1. Rsolvons lquation 2x4x21 = 0. Il faut reconnatre une quation du deuximedegr en x2 ! Une telle quation est aussi appele bicarre. On a :

    2x4 x2 1 = 0 2(x2)2 (x2) 1 = 0

    Ainsi, on a y(x) = x2. Par Vite, on trouve que : y(x) = 12ou 1

    Donc x2 = 12ou x2 = 1. La premire quation nadmettant pas de solution, il

    reste rsoudre x2 = 1. Donc les solutions de lquation bicarre sont 1.Par consquent, lensemble de solutions est S = {1}

    2. Rsolvons lquation 22x 2x+1 = 3. Il faut reconnatre une quation du deuximedegr en 2x ! On a :

    22x 2x+1 = 3 22x 2 2x 3 = 0 (2x)2 2(2x) 3 = 0

    Ainsi, on a y(x) = 2x. Par Vite, on trouve que : y(x) = 1 ou 3Donc 2x = 1 ou 2x = 3. La premire quation nadmettant pas de solution, ilreste rsoudre 2x = 3. Il y a donc une seule solution qui est x = log2(3) = 1.5850.Par consquent, lensemble de solutions est S = {log2(3)}.

    4.4 Rsolution des quations d