Cours Concis de Mathématiques

7/30/2019 Cours Concis de Mathmatiques

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Cours Concis

deMathmatiques

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Pierre Guillot


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ChapitresUne table des matires dtaille se trouve la n du livre

1 Ensembles 3

2 Nombres 22

3 Polynmes 44

4 Suites 625 Matrices 84

6 Continuit 108

7 Dterminants 126

8 Compacit 146

9 Drives 154

10 Lexponentielle 176

11 Espaces vectoriels 195

12 Formules de Taylor 220

13 Applications linaires 235

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14 Intgrale de Riemann 262

15 Fractions rationnelles 29816 Diagonalisation 317

17 quations diff rentielles linaires 342

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Chapitre 1

Ensembles Premire lecture

Ensembles et appartenanceLes objets mathmatiques peuvent tre rangs dans desen-

sembles, que lon crit avec des accolades. Par exemple,E ={1,2,3} et F ={19,11}

sont des ensembles. On notexX pour signier quex appar-tient X, et dans le cas contraire on emploie le symbole; parexemple, on a 2

E et 3 F.

Un ensemble ne comprend jamais de rptition , et nestpas ordonn : ainsi

{2,2,2,3,3}= {2,3} et {3,2,1}= {1,2,3}.Il existe bien sr des ensembles innis, comme lensembleNdes nombres entiers, dont nous reparlerons au chapitre sui-vant. Il y a galement un ensemble vide, qui ne contient aucunlment : on le note

ou, plus rarement,{}.Lorsque tous les lments dun ensemble A sont aussi dans

lensemble B, on dit que A est une partiede B, ou quil est inclusdans B, et on note A

B. Par exemple

{2,4,6,8}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.3


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Les ensembles sont souvent dessins comme des bulles, et pourreprsenter linclusion on place ces bulles les unes dans les

autres, comme ci-dessous :

Fixant B, on peut considrer lensemble

P (B) dont les l-

ments sont toutes les parties de B; ainsi dans le cas o B ={1,2,3}, on a

P (B) ={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.(On noublie ni la partie vide, ni B lui-mme.)

Enn, tant donns deux ensembles A et B, on peut for-mer leur produit cartsiennot AB, dont les lments sont lespaires (a,b) aveca

A et b

B. Lorsque A =

{1,3

}et B =

{2,4,6

}par exemple, on aAB ={(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6)}.

On notera que pour les paires, lordre est important : ainsi ll-ment (1,2) deN N est diff rent de llment (2,1).Quelques constructions

Lorsquon dispose dun ensemble E, on peut sintresseraux lements de E qui vrient une certaine proprit P. Ceux-ci forment nouveau un ensemble, que lon note ainsi :

{xE |P(x)}.(Parfois le| est remplac par deux points, ou par lexpressioncomplte tels que . Il y a de nombreuses variantes et il fautshabituer des notations qui changent de temps en temps, en

gnral pour viter les lourdeurs.)

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Par exemple, supposons que A

E. Alors lecomplmentaire

deA dansE est par dnition{xE |x A}.

On le note gnralement EA ou E A.Autre exemple, si A et B sont deux parties de E, alors leurintersectionest

AB ={xE |xA etxB},leur unionest

A

B ={xE |xA ouxB}.Exemple 1.1 Prenons E =N N, puis

A ={(n,m)N N |n = 0},et enn

B ={(n, m)N N |m = 0}.Alors AB ={(0,0)}. On peut galement crireA

B ={(n,m)N N |nm = 0}.Note : en pratique, on crirait plutt A ={(0,m)N N}ouencore A ={(0,m) | mN}, lessentiel tant de se faire com-prendre.

Il est trs important de comprendre ds maintenant que lalettre x qui est employe ci-dessus dans la description des en-sembles peut tre remplace par nimporte quelle autre : onobtient rigoureusement les mmesensembles. Par exemple si

A ={xN | il existeyN tel que x = 2y},et si

B ={aN | il existebN tel que a = 2b},alors A = B = les nombres entiers pairs.

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Propositions mathmatiquesOn ne peut pas utiliser tout et nimporte quoi pour dcrire

les ensembles. Pour se convaincre que les proprits P commeci-dessus ne peuvent pas tre compltement arbitraires, voirlencadr Deux paradoxes . Pour bien faire les choses, ilconviendrait de dnir prcisment quelles sont les propritsacceptables, ou en dautres termes, dnir ce quest un noncmathmatique .

Cette thorie existe, et il existe mme plusieurs systmesconcurrents. Cependant il serait compltement hors de pro-

Deux paradoxes

Lnonc selon lequel {xE | P(x)}est un ensemble lorsque E est unensemble peut paratre anodin. Enralit il est bien plus n quon pour-rait le croire. Nous allons voir deuxparadoxes clbres, dont llucida-tion fait intervenir de manire sub-tile cette construction.Voici le premier. Pour un entier n,considrons la proprit n nepeut pas tre dcrit en moins de16 mots . Appelons cette pro-prit P(n), et soit

A ={nN |P(n)}.Les mots de la langue franaisesont en nombre ni, donc en 16mots on ne peut dcrire quunnombre ni de nombres. Ainsi,Aestinni et en particulier, non-vide. Soitalors a le plus petit lment de A. Cenombre est le plus petit nombre quine peut pas tre dcrit en moins de16 mots . On vient tout juste de d-crire a en 15 mots !Cest absurde. Et pour cause, laproprit P(n) ne fait pas partiedes proprits mathmatiques ac-ceptables.

Notre deuxime exemple utilisepour P(x) la proprit x x .Celle-ci est parfaitement accep-table. Cest sa signication intuitiveproche de zro qui donne un par-fum de paradoxe au raisonnementsuivant, pourtant correct.Montrons la chose suivante : pourtout ensemble E, il existe un en-semble A tel que A E. En eff et, soit

A ={xE |x x}.Si on avait A

E, alors on consta-

terait que A

A exactementlorsque A A, par dnition. Cestabsurde, donc A E.On nonce souvent ce rsul-tat sous la forme suivante : ilnexiste pas densemble de tousles ensembles. Nous venons biende le dmontrer. Sil est tentantdcrire quelque chose comme U ={x |x est un ensemble}pour essayerde le dnir malgr tout, on se rendcompte que cette expression nestpas de la forme {x E | P(x)}, etdonc ne dsigne pas un ensemble.La prsence de lensemble E pour chapeauter les x est essentielle.

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pos de donner une description prcise de lun de ces systmeds maintenant (les dtails sont parfois donns en troisime ou

quatrime anne, et encore). Nous allons nous contenter dunediscussion informelle qui suit les grandes lignes de ce que lonappelle la logique du premier ordre(pour des raisons que lonnexpliquera pas).

Nous avons rencontr des propositions mathmatiques :x

A par exemple, et on pourrait citer aussi les galits commex = y. La ngation dune proposition en est une, ainsix A estun nonc mathmatique.

On peut crer de nouveaux noncs laide de ou et de et : nous lavons fait dans la dnition des intersections etdes unions. On peut aussi relier deux noncs P et Q par lesymbole

, qui se lit implique . On obtient lnonc P

Q,

qui est faux lorsque P est vrai et Q est faux ; dans tous les autrescas P

Q est vrai. Voyons un exemple :A ={(x,y)N N |x 0y = 0}.

Les lments de A sont les paires (x,0) avecx entier, ainsi queles paires (0,y) avecy entier.

Le symboleest surtout pertinent lorsquon lutilise enconjonction avec lequanticateur universel, cest--dire le petitsymbole

qui signie pour tout. Nous pouvons par exemple

utiliser ce symbole pour montrer que A

B est un nonc ma-thmatique : en eff et il revient dire

x, xAx

B.Lautre quanticateur notre disposition est lequantica-

teur existentiel, qui scritet signie il existe . On a dj ob-serv que, pour un nombre entiern, la proprit n est pair scrit

mN tel que n = 2m.

(En toute rigueur, en logique du premier ordre on crit plu-ttm, m

N et n = 2m. On sautorise un peu de souplessepour plus de clart.)

En rgle gnrale, un nonc mathmatique est unephrase que lon peut rduire une suite de symboles com-binant,,, =,, des ngations, des ou et des et . En

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pratique cependant, la moindre dnition, le moindre tho-rme, occuperaient des milliers de symboles si on voulait les

dcortiquer compltement. En consquence, il faut veiller enpermanence ce que les noncs que lon produit soientthori-quementremplaables par des symboles, sans jamais eff ectuerconcrtement ce remplacement. Notons tout de mme qulaide dun ordinateur, on peut parfois rdiger certaines d-monstrations jusquau moindre dtail : cest ce quon appelleles preuves automatiques .

Ajoutons enn que dans certaines situations, nous utili-serons les symboles

,

ou autres, lorsque lon souhaite le-ver toute ambigit. Ainsi de la dnition des limites, parexemple.

Fonctions

tant donns deux ensembles A et B, une fonctionf de Avers B associe tout lmentxA un lment f (x)B etun seul. On peut traduire cette dnition (un peu vague) entermes densembles. Si lon souhaite tre extrmement prcis,on dira :Dfinition 1.2 Une fonction, ouapplication, est un objetf d-termin par trois ensembles :

1. un ensemble A, appel le domaine de dnition def , ouparfois la source def ;

2. un ensemble B, appel le but def ;3. un ensemble , qui est une partie de AB et que lon

appele le graphe def , ayant la proprit suivante : pourchaque xA, il existe un uniqueyB tel que (x,y).Ce y est not f (x).On utilise la notation

f : ABpour indiquer que f est une fonction dont le domaine de d-nition est A et dont le but est B.

On reprsente typiquement une fonction A

B de la ma-

nire suivante :

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Chaque che sur ce dessin part dun lmentxA et pointesur f (x). La caractristique importante est que chaque pointde A marque le dbut dune che, et dune seule.

Voyons quelques exemples.

Exemple 1.3 Il y a une (et une seule) fonctionf : N N telleque f (n) = 2n2 + 1. On utilise parfois la notationf : N Nn 2n2 + 1

pour dsigner cette fonction. Cest trs souvent par des for-mules, telles que 2n2 + 1, que lon va dnir les fonctions.

Ici le domaine de dnition est A =N, le but est B =N, et legraphe de f est = {(n, 2n2 + 1) |nN}.Exemple 1.4 Soit p : N

{0

} N la fonction telle quep(n) =

le n-ime nombre premier. Ainsip(1) = 2,p(2) = 3,p(3) = 5,p(4) = 7 et ainsi de suite. Cette fonctionp est bien dnie,mme si on na pas utilis de formule. (Cela dit, il en existe.)

Exemple 1.5 Nous allons anticiper un peu et supposer quevous connaissez un minimum lensembleR . On le reprsentepar une droite, et R R par un plan. Une fonction ABavec A

R et B

R est donne par son graphe, qui ressemble

de prs ou de loin une courbe dans le plan. Par exemple lagure suivante reprsente un tel graphe.

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La proprit caractristique des graphes se voit bien sur ledessin. Si maintenant on fait subir une rotation cette gure,obtient-on encore le graphe dune fonction?

La rponse est visiblement non : pour lex indiqu, il y a deuxnombres couples (x,y1) et (x,y2) qui appartiennent la courbe.Ce nest donc pas un graphe. On retiendra la traduction gom-trique simple : lorsque A

R et B

R , une partie de AB estle graphe dune fonction AB si et seulement si chaque droiteverticale dquationx = a (avec aA) coupe exactement enun point.Dans la suite du chapitre nous allons tudier la proprit

correspondante en utilisant cette fois des droites horizontales.

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Deuxime lecture

Fonctions injectivesDfinition 1.6 Soit f : AB une fonction. Supposons que,pour tout choix de deux lments distinctsx1 x2 dans len-semble A, on ait galementf (x1) f (x2). On alors dit quef estinjective, ou encore quef est une injection.

Il existe bien des faons de reformuler ceci. Par exemple,f est injective si et seulement si lgalitf (x1) = f (x2) en-trane x1 = x2. galement, il est bon de noter quef est injectivesi et seulement si lquation

f (x) =b ,

dont linconnue estxA et qui comporte le paramtrebB,possde au maximumune solution.

Exemple 1.7 La fonctiond : N N dnie par d(n) = 2n, estinjective : en eff et si 2x1 = 2x2, alorsx1 = x2. Lquationd(x) =bscrit 2x = b ; elle a une solutionx = b2 si b est pair, et aucunesolution sib est impair.

Exemple 1.8 La fonctionc : Z N dnie par c(n) = n2, nest pasinjective (iciZ est lensemble de tous les nombres entiers,positifs ou ngatifs). En eff et c(n) = c(n), de sorte que lqua-tion c(x) = b, qui scritx2 = b, peut possder deux solutions,comme par exemple 2 et2 qui sont solutions pourb = 4.

Voici comment on reprsente une fonction injective :

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Cette fois-ci, les ches pointent toutes vers des lmentsdiff rents.Exemple 1.9 Revenons au cas particulier of : AB avec Aet B des parties deR . Lquationf (x) =b possde une solutionxlorsque le graphe def comporte un point (x, f (x)) qui est ga-lement sur la droite horizontale dquationy = b. La conditionpour que f soit injective est donc que les droites horizontalesrencontrent le graphe def en un point au maximum.Soit le graphe de f . Faisons subir ce graphe une symtriepar rapport la droite dquationy = x (cette symtrie envoiele point (x,y) sur (y, x)). On obtient un ensemble . Lorsquef est injective, ce ne rencontre les droites verticales quen unpoint au plus. Cest--dire que est le graphe dune fonction !

Cette discussion est illustre sur la gure suivante.

gauche en bleu, le graphe dune fonction injective ; droite en vert, son symtrique.

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Soyons plus prcis. Pour dnir une fonctiong dont legraphe serait , il lui faut un ensemble de dnition et unbut. Les points de sont ceux de la forme (f (x),x). Notonsdonc

f (A) ={f (x) |xA}B.(Nous reviendrons sur cette notation (abrge) dans le para-graphe suivant.) Alors on peut dnir une fonctiong : f (A)A dont le graphe est . Concrtement, on ag (f (a)) = a, ce quia un sens puisquef est injective.

Cette fonctiong est essentiellement ce quon appelle lar-ciproque def , qui se notef

1. Toutefois il nous reste un peu de

vocabulaire introduire avant de dtailler ceci.

Fonctions surjectives et bijectivesDfinition 1.10 Soit f : AB une fonction. On notef (A),ou encore (f ), lensemble

{bB|xA tel queb = f (x)}.(En plus concisf (A) = {f (x) | x A}.) On dit que f (A) estlimage de A parf .

Lorsquef (A) = B, on dit quef est surjective, ou encore quef est une surjection.

Ainsi f est surjective lorsque lquationf (x) =b possde auminimumune solution.

Exemple 1.11 La fonctionf : N N N dnie par f (n,m) =n +m est surjective. En e

ff et, si on se donnebN, alorsf (b,0) =b. On a aussif (0,b) = b, et mmef (1,b 1) = b, de sorte quef est loin dtre injective, par contre.

Exemple 1.12 La fonctiond : N N telle que d(n) = 2n nestpas surjective. En fait lensemble imaged(N) est lensemble desnombres pairs.

Voici la reprsentation typique dune fonction surjective :

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Ici chaque lment de B est lextrmit dau moins une che.

Dfinition 1.13 Lorsquune fonction est la fois injective etsurjective, on dit quelle estbijective, ou encore que cest unebijection.

Lorsque f : AB est bijective, lquationf (x) = b possdeune solution et une seule. Cette solution est notef

1(b).On obtient ainsi une fonctionf 1 : BA, que lon appellela rciproquede f . On a alors :

Proposition 1.14 Lorsquef est bijective, la fonctionf 1 vrie1. f 1(f (a)) =a pouraA,2. f (f 1(b)) =b pourbB.Rciproquement si on a une paire de fonctionsf : A Bet g : B

A telles queg (f (a)) = a pour a

A et f (g (b)) = b pourbB, alorsf est une bijection etg = f 1.Enn,f 1 est galement une bijection lorsquelle existe, et

(f 1)1 = f .

Dmonstration. 1. tant donna, soitb = f (a) ; puisquef estinjectivea est le seul lment de A qui vrie cette qua-tion, et cest cet lment que lon notef 1(b). Donca =f 1(b) = f 1(f (a)).

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2. Cest la dnition mme def 1(b).Montrons la rciproque. Soientf et g comme dans la pro-

position. Sif (a1) = f (a2), alors on a aussig (f (a1)) = g (f (a2)),donc a1 = a2. Ainsi f est injective. De plus, sibB on ab =f (g (b)) doncb est bien dans limage def , ce qui montre quef est surjective. Finalementf est une bijection.

Partant de f (f 1(b)) =b = f (g (b)), on appliqueg pour obte-nir

g [f (f 1(b))] =g [f (g (b))].Puisque g (f (a)) = a pour tout a A (et donc en particulierpour a = f

1(b) ou poura = g (b)), cette dernire galit se sim-

plie et donne f 1(b) =g (b). Doncf 1 = g .Par symtrie, on peut inverser les rles def et de g . Doncg

est bijective et g 1 = f , cest--dire quef 1 est bijective etque (f 1)1 = f .Exemple 1.15 La fonctions : N N dnie par s(n) = n estune bijection. De plus,s1 = s.

Galerie dexemplesNous allons passer en revue quelques exemples clbres depaires de bijections rciproques. Nous nallons pas dmontrerque ces fonctions sont des bijections, et dailleurs nous nallonspas les dnir prcisment pour linstant : en eff et ce sont desexemples largement traits au lyce. Au fur et mesure quevous progresserez dans ce livre, vous trouverez les dnitionset les dmonstrations correspondantes.

Exponentielle & logarithme. Voici en bleu le graphe de lafonctionexponentielle. Cestune fonction exp:R R >0 (oR >0dsigne lensemble des nombres rels strictement positifs), etnous reviendrons longuement sur sa dnition dans ce livre.En vert, le graphe de sa rciproque, que lon appelle le loga-rithme nprien ; il sagit donc dune fonction ln:R >0 R .

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Notez qu ct du graphe bleu on a indiquy = exp(x) : cestle raccourci habituel pour indiquer quun point (x,y) du planse trouve sur le graphe si et seulement siy = exp(x). On auraitaussi bien pu inscrirex = ln(y). ct du deuxime graphe, lesrles dex et y sont inverss.

Sinus & arcsinus. La fonction sinus est ici vue comme une

fonction sin: [ 2 ,+

2 ] [1,1] (le nombre , qui doit voustre familier, sera tudi plus en dtail dans la suite). Cest

une bijection dont la rciproque sappelle arcsinus ; on critarcsin: [1,1][ 2 ,+ 2 ].

Attention, si lon sintresse dautres intervalles, la fonc-tion sinus ne sera pas forcment une bijection : par exemple ce

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nest pas le cas sur [0,2 ].Cosinus & arccosinus. Le cosinus, vu comme une fonction

cos: [0, ][1,1], est une bijection. Sa rciproque arccos: [1,1][0, ] est appele arccosinus.

Tangente & arctangente. Rappelons que lon note tan(x) =sin(x)cos(x) lorsque x nest pas de la forme

2 + n avec n Z . Ce

faisant, on obtient une fonction tan: ] 2 , 2 [R qui est unebijection. Sa rciproque, appele arctangente, est une fonc-tion arctan: R ] 2 , 2 [.

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Carr & racine. La fonction f : [0,+[[0,+[ dniepar f (x) = x2 est une bijection. Sa rciproquef 1 sappellela fonction racine carre et se notef

1(x) = x.

Attardons-nous un instant sur ce dernier exemple. Quesommes-nous capables de vritablement dmontrer? Com-menons par linjectivit def . Si f (x1) = f (x2), on a x21 = x22,do

x21 x22 = (x1 x2)(x1 + x2) = 0.Or puisquon se restreint x1 0 et x2 0, on ne peut avoirx1+x2 = 0 que lorsquex1 = x2 = 0. Dans les autres cas, on simpliepar x1 + x2 et on en conclut quex1 = x2, l encore. Doncf estinjective.

La fonction f , dont le but est [0,+[ est-elle bien surjec-tive ? Cest une question bien plus diffi cile ! Il sagit de savoirsi tout nombre relb possde une racine carre , cest--diresil existex tel que b = x2. En dautres termes, est-ce quon peuttoujours donner un sens la notation b ? Bien sr nous ve-nons daffi rmer ci-dessus que la rponse est oui, mais commentle dmontrer?

Cest lobjet du chapitre suivant, et cest aussi notre pre-mire rencontre avec un nonc considr comme vident jus-quau lyce et quil va falloir lucider. Les exemples ci-dessusen contiennent bien dautres (quest-ce que lexponentielle, au juste ? quest-ce quun cosinus ? etc)

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La mthode axiomatique

Sil existe une distinction essentielle entre les mathma-tiques (en tout cas dans la vision idalise quon peut en avoir)et la plupart des autres disciplines, cest sans doute quon y atout le loisir de poser des questions. Quon essaie de deman-der un physicien la dnition dune force, ou la dnition delnergie (et non pas la formule qui calcule telle ou telle incar-nation de lnergie), et on rencontrera rapidement des diffi cul-ts, qui sont profondes et invitables. Richard Feynman dansson Cours de Physique donne une belle dnition de lner-gie, par ailleurs trs mathmatique et sans doute dcevante parcertains gards pour les physiciens. Il ne parvient pas en faireautant pour les forces, et il est intressant de lire ses explica-tions.

RichardFeynman,Lecours dePhysique deFeynman,Dunod, 1999.

En thorie, ceci narrive jamais en mathmatiques. Vouspouvez demander votre professeur de dnir ce quest lelogarithme, il le fera (par exemple) en disant que cest une in-tgrale ; vous pouvez demander ce quest une intgrale, vous

aurez une rponse qui fait intervenir des limites ; vous pou-vez ensuite demander ce que signie un passage la limite ,etc. Mais que va-til arriver lorsquon en nit par demander cequest un ensemble, ce que sont les nombres entiers, et pour-quoi 2+ 2 = 4 ? Il va bien falloir trouver une rponse.

Cependant, a-t-on vraiment le dsir de traiter cette ques-tion maintenant, dans le premier chapitre dun livre destin auxtudiants en premire anne ? Nous aff rontons un vritable di-lemme. Dun ct, par simple honntet (et pas seulement pour

avoir des rponses disposition dun tudiant rcalcitrant quiaurait lide incongrue de demander la dnition des choses videntes), on a bien envie de commencer par le commence-ment, et de dnir tous les objets que lon rencontre en partant de rien . Dun autre ct, on peut objecter que cette exigenceserait aussi draisonnable que dimposer chaque candidat aupermis de conduire de connatre entirement la mcanique au-tomobile avant mme sa premire heure de conduite.

De fait, la vaste majorit des mathmaticiens de professionne connaissent pas et ne souhaitent pas connatre les dtails des

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fondements logiques des mathmatiques. Ils en connaissent ce-pendant les grands principes, que nous allons exposer dans la

n de ce chapitre.Le principe de dpart de la mthode axiomatique estsimple. Onpostulelexistence de certains objets, vriants cer-taines proprits appeles axiomes. Par postuler , il fautcomprendre quil sagit de se donner des rgles du jeu, quelon accepte sans les questionner. Ensuite, les rsultats que lonpeut dmontrer partir de ces axiomes sont considrs comme vrais dans la thorie .

Le premier exemple remonte lAntiquit, cest celui desaxiomes dEuclide pour la gomtrie. Euclide postule lexis-tence dobjets appels points et droites (et dautres encore), sa-chant quun point peut appartenir une droite. Ceci dansle respect de certaines proprits, comme deux droites pa-rallles une mme troisime sont parallles (et bien sr,dans cette thorie lexpression tre parallles est elle-mmednie, laide de concepts premiers comme lappartenancedun point une droite). Toute la gomtrie est dduite de cesaxiomes.

En principe, comme le disait Hilbert, on pourrait remplacer point par table , droite par chaise , et appartenir par nimporte quel verbe, et on pourrait toujours dvelopperla thorie, de manire purement formelle. Ceci est vrai ; ce nesont que des mots. Toutefois, il faut se garder de prendre cecitrop au srieux : les axiomes ont t choisis parce quEuclide alintuition que le monde rel comporte des points et des droites(ou au moins des segments), et parce quil souhaite considrerchaque rsultat vrai dans la thorie comme une assertionvraie sur le monde rel.

Lavantage de la mthode axiomatique est de couper courtaux dbats sur lexistence des objets de dpart. On supposequils existent, vriant certaines proprits, le reste nest quedduction. Celui qui doute de lexistence de ces objets peutentrer dans un dbat philosophique, par ailleurs intressant,mais il ne peut pas critiquer le travail mathmatique de ceuxqui ont choisi ces axiomes (sauf montrer que les axiomes

sont contradictoires et que lon peut en dduire des choses ab-

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surdes, comme un nonc et son contraire simultanment, parexemple).

On continue de nos jours employer la mthode axio-matique, mme si les mathmatiques modernes ne reposentplus sur les axiomes dEuclide. Il existe plusieurs systmesdaxiomes possibles, et dans loptique de ce livre il nest ab-solument pas utile den comprendre les diff rences, ni mmeden dcrire un en dtail. Citons tout de mme :

1. Le systme delarithmtique de Peano. On choisit ici deprendre les nombres entiers comme objets de dpart, eton suppose quils vrient certaines proprits comme tout nombren possde un successeurn +1 . On dduittout le reste.

2. Lathorie des ensembles de Zermelo & Fraenkel. Les objetsde dparts sont les ensembles et les axiomes sont, en gros,les proprits dcrites dans la premire partie de ce cha-pitre.

3. Il existe aussi un systme qui part desfonctionscommeobjets primaires.

Les thormes que lon peut obtenir dans un systme sonten gnral dmontrables dans les autres systmes. Ce nest pasexactement vrai, et on obtient des rsultats un peu plus fortsavec la thorie des ensembles quavec larithmtique ; mais lesdiff rences sont subtiles et nous nen parlerons pas plus. Cecisignie qutant donn un systme de dpart, disons la tho-rie des ensembles, il faut pouvoir dnir les objets des autressystmes, comme les nombres entiers ou les fonctions.

Dans ce cours, on ne va pas sencombrer de telles consid-rations, et nous considrerons comme connus aussi bien lesensembles que les nombres entiers.

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Chapitre 2

Nombres Premire lecture

Les premiers nombresLe premier ensemble de nombres notre disposition est ce-

lui des nombres naturels :

N = {0,1,2,3, . . .}.Puis vient lensemble des nombres relatifsZ , qui contient N,et comprend galement les nombres ngatifs comme4. Ennnous avons lensemble des nombres rationnelsQ , cest--direlensemble des fractionspq avecp, qZ et q 0. Noter les inclu-

sionsN

Z

Q.Dans le chapitre prcdent nous avons expliqu que nous

ne dnirons pas lensembleN, considr comme naturel (doson nom). Par contre on peut parfaitement donner une dni-tion des ensemblesZ et Q partir de N : voir lencadr Unednition de Q . Quoi quil en soit, nous pouvons considrerque nous sommes laise avec les nombres rationnels.

A-ton besoin dautres nombres que des rationnels? La ques-tion remonte aux Grecs de lAntiquit. Les diffi cults appa-

raissent peu prs ainsi. Les nombres doivent au minimum

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tre capables de mesurer les aires et les longueurs des objetsqui nous entourent (cest un petit anachronisme car les Grecs

ne pensaient pas (encore) aux aires comme des nombres, mais

Une dnition deQ

Imaginons quelquun qui connaisselensemble Z mais pas Q : com-ment le lui dcrire ? ( titre dexer-cice vous pourrez ensuite dcrire Z quelquun qui connait N).

On peut facilement imaginer dnir une fraction comme tant une pairede nombres (p,q)Z Z avec q0, avec la convention que (p, q)et (a, b) reprsentent la mme frac-tion lorsque bp = aq, puisque

pq

= ab

bp = aq .

En tant tout--fait prcis, on estamen la dnition suivante,

tonnamment complique : tantdonne une paire (p,q) de nombresavec q 0, la fraction dnie par cecouple est lensemble

Fp,q = {(a, b)Z Z |b 0 et pb = aq}.On dcide dcrire pq au lieu de Fp,q ,par simplicit.Maintenant si (a, b) vrie pb = aq,on peut dmontrer que

pq =

ab .

Faisons-le : montronsque Fp,q = Fa;b.Cest une galit densembles! Soitdonc (x,y)uncouple denombresen-tiers avec y 0. Si (x,y)Fp,q , ona py = xq. Multipliant parb, on ob-tient pby = xbq. Or on a supposque pb = aq, donc on a aqy = xbq. Ensimpliant par q qui est non-nul, onen tire ay = xb, cest--dire (x,y)Fa,b . Ceci montre que Fp,q F

a,b ;

cet argument est visiblement sym-trique, donc de la mme manire ona Fa,bFp,q , et on conclut que Fp,q =Fa,b comme on le souhaitait.Rciproquement, comme (a,b) Fa,b , lgalit Fp,q = Fa,b en-trane pb = aq.Nous avons donc donn une d-nition du symbole pq qui obit aumoins une rgle que nous atten-dons, la rgle du produit en croix .Pour dnir Q , il reste du travail : ilfaut expliquer laddition et la multi-plication.On pourrait croire que cest fa-cile. Soient F1 et F2 deux fractions.

Choisissons (p, q) tels que F1 =pq

(cest possible par dnition dunefraction), puis choisissons (a, b) telsque F2 = ab .On pose alors

F1 + F2 =pb + aq

qb,

etF1 F2 =

paqb

.

(On fait ceci videmment en pen-sant aux formules pour pq +

ab et

pq a

b . )Malheureusement il reste des vri-cations faire : il faut bien sassurerque le rsultat ne dpend pas deschoix que nous sommes obligs defaire pour (p, q) et (a, b), qui ne sontpas les seuls reprsentants de leurfraction. Nous laissons ces dtails

au lecteur.

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lide est la mme). Imaginons donc un triangle rectangle etisocle, dont le petit ct est de longueur 1, comme ci-dessous.

Le dessin suivant doit nous convaincre, si lon sait que lairedun rectangle sobtient en multipliant les longueurs de ses c-ts, que laire de notre triangle est12 :

Maintenant, notons la longueur de lhypotnuse (le grandct du triangle), et considrons ce dernier dessin, obtenu

partir de 4 copies du triangle initial :

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Laire du carr est 2 ; manifestement, cest 4 fois laire dutriangle, donc 412 = 2. On doit donc avoir

2 = 2.

Cest ici que les problmes commencent :

Proposition 2.1 Il nexiste aucun nombre rationnel Q telque 2 = 2.Dmonstration.Supposons par labsurde que lon ait = pq telque 2 = 2, donc p2 = 2q2. Quitte simplier la fraction uncertain nombre de fois par 2, on peut supposer quep et q nesont pas tous les deux pairs.

Maintenant si lon observe la relationp2 = 2q2, on voitque p2 est pair; donc p est pair galement, ce que lon vacrire p = 2r . Par suitep2 = 4r 2 = 2q2, doncq2 = 2r 2.

On en conclut queq2 est pair, doncq aussi. Cest une contra-diction.

Que faut-il en conclure ? Tout simplement que les nombres

rationnels ne sont pas assez comptents pour dcrire le monderel. Pour tre plus prcis, si lon veut assigner des nombresaux longueurs et aux aires, de sorte que certaines propritssouhaitables soient satisfaites (par exemple en sassurant quelaire dun rectangle est le produit des longueurs), alors on nepeut pas utiliser (seulement) les nombres rationnels.

La proprit de la borne suprieure

Nous venons de montrer quil ny a pas de nombre ration-nel digne dtre appel 2, et on pourrait avoir envie de rajouter simplement ce nombre au lyce on vous a bien appris rajouter un nombre i tel que i2 = 1. (Plus loin dans ce cha-pitre lexpression rajouter prendra un sens tout--fait prciset simple.) Mais nous aurions pu faire de mme avec 3 ou 5,de sorte quil semble y avoir une innit de lacunes dans cesystme de nombres questQ .

Nous allons maintenant dcrire une proprit un peu abs-traite des sous-ensembles deQ . Cest un peu dlicat, mais nous

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allons mettre le doigt exactement sur le phnomne qui em-pche, entre bien dautres choses, les racines carres de certains

nombres dexister dansQ .Dfinition 2.2 Soit A

Q .

Soit M

Q . On dit que M est unmajorantde A siaA, a M.Soit M

Q . On dit que M estle plus grand lment deA si

cest un majorant de A et si M

A.En remplaantpar , on obtient les notions deminorantet de plus petit lment.Soit B ={MQ |M est un majorant de A}.Si B possde unplus petitlment b, on dit que cest laborne suprieure deA et on noteb = supA.De mme, si lensemble des minorants de A possde un plus grandlment, celui-ci est appel laborne infrieurede A, note infA.

On retient que le sup est le plus petit des majorants , demme que linf est le plus grand des minorants . Nous allonsvoir que le sup et linf nexistent pas toujours, et cest bien l leproblme. Voyons quelques exemples.Exemple 2.3 Soit

A ={xQ |0 x < 1}.Les minorants de A, pour commencer, sont tous les nombresm

tels que m 0, cest--dire quils forment lensembleC ={mQ |m 0}.

Cet ensemble possde un plus grand lement, savoir 0. Cestdonc le plus grand minorant de A, et par dnition on peutcrire infA = 0. Ce nombre est galement le plus petit lmentde A.

Nous affi rmons que lensemble des majorants de A est

B ={MQ |M1}.26


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Montrons-le. Il est clair que les lments de B sont des majo-rants de A, et il faut montrer quil ny en a pas dautres. Soit

donc M un majorant quelconque, et supposons par labsurdeque M< 1. On a M0 puisque 0A, donc 0M < 1. Consi-drons alorsa = 12(M+ 1). On a M< a < 1, donc ce nombre sestgliss entre M et 1, ce qui est absurde : on aaA donc on de-vrait avoira M. Ainsi M1 comme on souhaitait le montrer.Lensemble B possde un plus petit lment, savoir 1. Cestle plus petit majorant de A, de sorte que supA = 1. Par contre Ana pas de plus grand lment.

Les bornes infrieure et suprieure de A sont donc 0 et 1respectivement, et nous voyons sur cet example quil sagitbien des bornes naturelles de A au sens intuitif. La diff -rence supAinfA = 10 = 1 donne une mesure de la taillede A.Exemple 2.4 Soit maintenant

A ={xQ |x2 2}.

Intressons-nous aux majorants de A, et notons comme dhabi-tude B lensemble quils forment. Cet ensemble est non-vide :on a par exemple 10

B puisque tous les lments de A sont10. En eff et, un nombrex > 10 satisfaitx2 > 102 = 100> 2 et ne

peut pas tre dans A.Pour les mmes raisons, on a 3

B puisque 32 = 9 > 2. Ap-

prochons nous encore : on voit que32B puisque (32)2 = 94 > 2.

Bien. Supposons que B possde un plus petit lment ;en dautres termes, supposons que A possde une borne sup-

rieure. Que peut-on dire de 2

? En particulier, ce nombre est-ilplus grand ou plus petit que 2 ?Examinons lventualit 2 > 2. Notons = 2 2 > 0, etprenons = 2 . Si on calcule

( )2 = 2 + 2 2 ,on saperoit de la chose suivante : lingalit

2 2

< 2 = = 2

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entrane ( )2 > 2 + (2 2) = 2. Le nombre M = estdonc un majorant de A puisque son carr est> 2, par le mmeraisonnement qui nous a servi montrer que 100, 3 et

32 sontdes majorants.

Mais cest absurde puisque M< et que est cens trele plus petit majorant ! Cette contradiction rfute lhypothseselon laquelle 2 > 2, et on en tire 2 2.On peut maintenant se demander si 2 < 2. Dans cettehypothse, notons = 2 2 > 0. Choisissons nimporte quelnombre > 0 tel que lon ait la fois < 2 et < 4 . On notealors que 2 < 2 et donc que

2 + 2 2, ni 2

= 2. On en arrive la conclusion quelensembleA ne possde pas de borne suprieure.

Lensemble des relsVoici un thorme (trs long!) qui affi rme que lon peut cor-

riger les dfauts deQ .

Thorme 2.5 Il existe un ensembleR , et un seul, ayant les proprits suivantes.

1. Proprits arithmtiques. R possde une addition et unemultiplication, et deux lments distingus nots0 et 1, telsque :(a) x + y = y + x,(b) 0 +x = x,(c) (x + y) +z = x + (y + z ),(d) pour chaquex il existe un nombre not(

x) tel quex +

(x) = 0,28


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(e) xy = yx,

(f) 1x = x,(g) (xy)z = x(yz ),(h) x(y + z ) =xy + xz .(i) pour touty 0 il existe un nombre noty1 ou 1y tel

queyy1 = 1.2. Proprits dordre.Les lments deR peuvent tre compa-

rs. Plus prcisment, il y a une relation notetelle que :(a) tant donnsx et y dansR , on a soitx y, soity x,(b) pour toutx on ax x,(c) six y et siy z , alorsx z ,(d) six y et y x alorsx = y,(e) six y alorsx + z y + z ,(f) six y et si0 z , alorsxz yz .

De plus, on a la proprit fondamentale de la borne sup-

rieure : siAR est une partie non-vide deR possdant aumoins un majorant, alors elle possde une borne suprieure.De mme toute partie non-vide minore possde une borneinfrieure.

3. Relation avecQ . On aQ

R , et les oprations usuelles dad-dition, de multiplication et dordre dansQ concident aveccelles calcules dansR .De plus, pour touta, b dansR tels quea < b, il existexQtel quea < x < b.

Nous allons commenter ce thorme point par point. Maisla premire chose remarquer, cest quil sagit dun rsultattrs abstrait : on affi rme quil existe un ensemble un peu plusgros queQ , ayant toutes les qualits de ce dernier, et possdanten plus toutes les bornes suprieures que lon puisse dsirer.Pourquoi noncer lexistence de cet objet plutt que lexhiberdirectement?

Tout simplement, parce que cest trs diffi cile, et dailleursnous ne parlerons pas de la dmonstration du thorme (qui

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donne une construction explicite, mais longue et pnible). Par

Pour ladmonstration,voir le trs bonarticle

Constructiondes nombresrels surWikipedia.

contre le thorme est facile utiliser, et vous le faites depuis

longtemps.Ce systme de nombres appelR tait inconnu des Grecs,mme sils avaient conscience de limperfection deQ . Il fautconsidrer la construction de cet objet, si abstrait et pourtant siconcrtement utile, comme un exploit de la pense humaine.Nous allons voir tout au long de ce livre que les nombres rels (les lments deR ) sont parfaitement adapts ladescription du monde rel : ils peuvent mesurer les longueurset les aires sans mener des contradictions, par exemple. Nousallons commencer par montrer que 2 possde une racine carredans R , bien sr.

Avant a, voici quelques remarques supplmentaires :1. Les proprits arithmtiques vous sont familires. Il ny

a rien retenir vraiment, puisque vous les appliqueriezsans rchir. Mais puisqueR est un ensemble abstrait, ilfaut bien lister ces choses.

2. Mme remarque avec les proprits dordre. Notez bien

que nous avons employ les termes de majorants, bornessuprieures, etc, dansR , et il est entendu quon donne ces expressions le mme sens que dans la dnition2.2.

3. La troisime srie de proprits est essentielle pour luni-cit de R (en eff et il existe des systmes de nombres en-core plus gros ayant encore toutes les autres proprits).On dit parfois que Q est dense dansR pour exprimerle fait quentre deux relsa et b, aussi proche que lonveut, il y aura toujours un rationnelx.

Voici enn le rsultat qui indique que les racines carresexistent dansR .

Proposition 2.6 SoitaR un nombre positif, cest--direa 0. Alors il existe un nombrexR , et un seul, tel quex 0 et x2 = a.On note ce nombre a et on lappelle la racine carre dea.Dmonstration.Dans cette dmonstration, nous allons denombreuses reprises indiquer quelles proprits du thorme2.5 nous sont utiles, mme les plus videntes, pour que vous

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voyiez bien que les raisonnements habituels reposent toujourssur ces quelques rgles. Par la suite on ne donnera pas tant

de dtails, videmment. Dailleurs vous allez voir que lon neva pas indiquer toutesles proprits que lon utilise : a seraitlong et pnible suivre, aussi vous laisse-t-on le soin de vriertoutes les tapes.

Voyons dabord lunicit. Soit doncx0 0 tel quex20 = a, etcherchons tous lesx 0 tels quex2 = a. On ax2 = a x

2 x20 = 0,

(x x0)(x + x0) = 0.(Pourquoi cette factorisation est-elle valide?) Lorsquun pro-duit ab de deux nombres relsa et b vaut 0, lun de ces nombresdoit tre nul : en eff et si a 0, alors 1a existe daprs le (1)(i) duthorme 2.5, et en multipliant par 1a on obtient

1a (ab) = (

1a a)b =

1b = b = 1a 0 = 0 (nous avons utilis les proprits (1)(g), puis(1)(i), puis (1)f ; le fait quex0 = 0 pour toutx se montre partirdes proprits : faites-le !) Doncb = 0.

Ici (aveca = x

x0 et b = x + x0) on voit quex = x0 ou x =

x0. Comme 0x0, on observe en ajoutantx0 de chaque ctque x0 0 (proprit (2)(e) du thorme). Ainsi, dans le caso x = x0, on constate quex est la fois0 et 0 ; cest doncque x = 0 par la proprit (2)(d), dox = x0 = 0. Finalementx =x0 quoi quil arrive, et lunicit est dmontre.

Passons lexistence. Sans surprise, on pose

A ={xR |x2 a}.Si lon trouve un nombre M tel que M2 > a, alors ce sera unmajorant de A. (Pour vrier ceci, dmontrez que six M,alors x2 M2 lorsque M 0.) Or on peut tout simplementprendre M = a si a > 1, et M = 1 sia < 1 (pour le casa = 1,la proposition est videmment vraie). .

Puisque lon est dansR , on sait que A possde une bornesuprieure, en tant quensemble non vide (il contient 0) et ma- jor ; posons doncx = supA. Il faut montrer quex2 = a. Nousavons dj fait le raisonnement dans lexemple2.4 dans lecas o a = 2 ; en procdant exactement de la mme manire,

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on trouve que x2 < a et x2 > a mnent des contradictions.Doncx2 = a.

Par la suite, nous montrerons mme que tout nombre posi-tif a possde une unique racinen-ime note n a ou a 1n , cest--dire quil existe un unique nombre positif x tel que xn = a.Vous pouvez essayer de dmontrer ce rsultat maintenant surle mme modle : cest un peu fastidieux, mais on y arrive.Nous allons prfrer dduire le rsultat du trs utile tho-rme des valeurs intermdiaires (6.8), qui montrera tout sonintrt.

Terminons avec les rels en montrant la trs utile inga-lit triangulaire . On dnit, pourxR , sa valeur absolue|x|par |x|= x si x 0 et |x|= x sinon. Autrement dit,|x|est le plusgrand des deux nombresx et x (ou encore,|x|= x2 commevous pouvez maintenant le montrer).Lemme 2.7 (Ingalit triangulaire) Sia et b sont des rels, ona

|a + b| |a|+ |b|.Dmonstration.Commea |a|et pareil pour b, en additionnanton trouve a + b |a|+ |b|. De mmea |a| et pareil pour b,do (a + b) |a|+ |b|. Comme|a + b|est soit a + b soit (a + b),linegalit est assure dans tous les cas.Corollaire 2.8 (Deuxime ingalit triangulaire) Si a et bsont des rels, on a

||a| |b| | |a b|.Dmonstration.En appliquant lingalit triangulaireclassique a et ba, on obtient

|b|= |a + (ba)| |a|+ |ba|,do |b| |a| |b a|. En inversant les rles dea et b, on ob-tient |a||b| |ab|. Ceci donne bien le rsultat puisque|ba|=|a b|, et | |a| |b| |= (|a| |b|).

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Les nombres complexesNous navons pas encore toutes les racines carres que lon

pourrait souhaiter : il manque encore les racines des nombresngatifs. En eff et si xR , alors x

2 0, et donc par exemple ilny a pas de nombre rel dont le carr serait1. Il nous fautdonc un systme de nombres encore plus tendu.Cette fois-ci, les choses sont beaucoup plus simples. Nous

allons voir quil suffi t de rajouter un nombrei tel que i2 =1, et toutes les racines carres imaginables sont obtenues etmme bien plus.

Comment donc rajouter cei ? Si notre nouveau systmede nombres contientR et un tel nombrei, alors il doit contenirdes nombres de la formex+iy avecx,yR . De plus si les rglesusuelles de calcul sappliquent (ce que lon souhaite), on doitavoir

(x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ),ainsi que

(x + iy)(x + iy ) = (xx yy ) + i(xy + x y).Ceci motive la dnition suivante.Dfinition 2.9 Sur le produit cartsienR R , on dnit uneaddition par

(x,y) + (x ,y ) = (x + x , y + y ),et une multiplication par

(x,y)(x ,y ) = (xx

yy ,xy + x y).Muni de ces deux oprations, lensembleR R est not C , etappel ensemble des nombres complexes.

Voyons pourquoi cette dnition est la bonne. Six,x sontrels, on a

(x,0)+(x ,0) = (x + x ,0) et (x,0)(x ,0) = (xx ,0).Donc lensemble des nombres complexes de la forme (x,0) secomporte exactement comme lensembleR . On peut identier

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ces deux ensembles sans risque de confusion, et lorsquexRon crira galementx pour le nombre complexe (x,0). (Le lec-

teur qui a pris connaissance de la dnition1.13parlera pluttdune bijectionx (x,0), qui se trouve tre compatible avec lesopration arithmtiques.)Ensuite, posonsi = (0,1). On a bien

i2 = (0,1)(0,1)= (1,0)= 1 .

Enn, pour tout rely, on a iy = (0,1)(y, 0) = (0, y). Finale-ment tout nombre complexe (x,y) peut scrire (x,y) = (x,0) +(0, y) =x + iy .

On vient de montrer queR

C , que C contient une racinede 1, et visiblementC ne pouvait pas tre plus petit. Tout sepasse dcidment bien, puisquon a le rsultat suivant :Proposition 2.10 LensembleC satisfait les neuf proprits (1)(a-b-c-d-ef-g-h-i) du Thorme2.5. En dautres termes, les rglesde calcul usuelles sappliquent.

Dmonstration.Ce sont des vrications videntes, sauf la (1)(i).tant donn z = x + iy un nombre complexe non-nul, il fauttrouver un nombre complexew tel que zw = 1. Un tel nombre,sil existe, serait videmment unique, et ce seraitz 1.

On appelle conjugude z le nombre z = x iy . On a zz =x2 + y2 ; ce dernier nombre est un rel positif, on peut no-ter |z |=

x2 + y2, que lon appelle lemodulede z . Notons que

lorsquez

0, on a|z |>

0 ; en particulier 1|z |

existe.Soit alors

w = z

|z |2= x

x2 + y2 iy

x2 + y2 .

Cest bien un nombre complexe, et on azw = zz zz = 1. Doncw =z 1.Remarque2.11. Lopration de conjugaison que nous venonsdutiliser possde de bonnes proprits : en eff et z + w = z + w

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et zw = zw pour tout z, wC , comme on le vrie facilement.Par suite on a

|zw|2 = zwzw = zzww = |z |2|w|2 .En prenant les racines carres de ces nombres rels, on a gale-ment |zw|= |z | |w|.

Nous naurons plus besoin de chercher de systme de nombresplus grand pour obtenir des racines carres. En eff et :Proposition 2.12 Tout nombre complexewC non-nul possdeexactement deux racines carres, qui sont opposes.

Opposes signie que lon a deux racinesz et z , et au-cune autre.Dmonstration.Il est trs facile de voir que siw possde uneracine z 0, alors il en possde exactement deux : en eff et

z 2 = w z 2 z 20 = 0

(z z 0)(z + z 0) = 0

z = z 0 ou z = z 0 .Pour lexistence, crivonsw = a+ib, et cherchons un nombrez =x + iy tel que z 2 = w. Ceci revient rsoudre

x2 y2 = a (1)2xy = b (2).Il est astucieux ici de regarder les modules : on doit avoir|z |2 =|z 2|= |w|, et donc

x2 + y2 = a2 + b2 (3).En faisant (1) + (3) on tire

x2 = a + a2 + b2

2 .

Le membre de droite est un rel0, donc cette dernire qua-tion a bien des solutions, ce qui donne deux choix opposspour x. De mme en faisant (3)(1) on obtient

y2 = a + a2 + b2

2 .

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L encore on a deux possibilits poury.Quels que soient les choix, lquation (1) est satisfaite ;

quant lquation (2), on est seulement assur davoir 4x2y

2=b2 et donc 2xy = b. Il suffi t alors dajuster le signe dex ou de ypour satisfaire (2).

Exemple 2.13 Soitw = 12i, et cherchonsz = x+iy tel que z 2 =w. Comme dans la dmonstration, on constate que lon doitavoir

x2 y2 = 12xy = 2x

2

+ y2

=

5 .Toujours en suivant le modle de la dmonstration, on en d-duit

x2 = 1 + 5

2 et y2 = 1 + 52 .

Lquation 2xy = 2 nous dit quex et y doivent tre de signesopposs. On peut donc prendre

x = 1 + 52 et y = 1 + 52 .Les deux solutions sont alorsx + iy et x iy .

On sait mme rsoudre dansC des quations un peu pluscompliques :

Proposition 2.14 Soienta, b etc trois nombres complexes aveca0, soit = b2

4ac, et enn soit

C tel que 2 = . Alors lquation

az 2 + bz + c = 0 possde exactement deux solutions lorsque 0, donnes par :

z = b 2a .Dans le cas o = 0, ces deux solutions se confondent et il ny ena pas dautres.

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Dmonstration.On crit simplement

az 2

+ bz + c = 0 4a2z

2

+ 4ab z + 4ac = 0

(2az + b)2 + 4ac b2 = 0

(2az + b)2 = ,

et donc 2az + b doit tre . ce stade, vos souvenirs de Terminale vous poussent sans

doute attendre une description de la forme polaire , la fa-meuse criture z = ei . En ralit, pour expliquer rigoureu-sement ce quil se passe, il va falloir patienter : il nous fautdabord voir une quantit dautres rsultats. En contrepartie,quand nous arriverons enn criture, nous aurons des vraiesdnitionsdu cosinus et du sinus, entre autres choses.

Vous pouvez toutefois aller voir tout de suite le passageintitul Forme polaire et racinesn-imes , dans le chapitre Lexponentielle (page185). Vous pourrez ainsi vous rappe-ler vos notations de Terminale, qui vous seront peut-tre nces-saires trs vite en Physique.

Deuxime lecture

Calculs sur machine et corpsLes systmes de nombresR et C semblent rpondre tous

nos besoins en thorie. En pratique par contre, les choses nesont pas aussi simples. Ds que lon commence faire des cal-culs un peu longs, le besoin de coner la tche un ordina-teur se fait sentir. Or, les nombres rels sont trs abstraits, nouslavons dit ; tout ce quune machine va savoir faire, cest utiliserdes approximations, comme par exemple

x = 1.414213 = 14142131000000

pour approcher 2. En fait les machines ne connaissent queQ(et encore, avec des limitations sur la taille des nombres en-tiers employs en fonction de la mmoire, mais on peut laisser

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ce problme de ct). Ces approximations sont une source der-

reur importante. Ainsi si lon calculex32 = 65535,1660562286

on est bien loin de 232 = 216 = 65536. Mme en sachantque x32 est cens approcher un nombre entier, arrondir len-tier le plus proche ne donne pas la bonne rponse ! Aussi, no-tons que 7 chiff res de x sont corrects, alors que seulement 4chiff res de x32 sont corrects.

Cependant, admettons que lon entreprenne une srie decalculs, dans lesquels on est certains de nutiliser que desnombres rationnels et 2, mais rien dautre. On peut tout sim-plement apprendre lordinateur manipuler les nombres dela forme a + b 2 aveca,bQ . En eff et il suffi t de stipuler lesrgles suivantes :

(a + b 2)+(a + b 2) = (a + a ) + (b + b ) 2 ,

et (a + b 2)(a + b 2) = (aa + 2bb ) + (ab + a b) 2 .On conoit bien comment un ordinateur peut considrer cesnombres commes des paires (a,b) de rationnels et oprer lesadditions et multiplications directement sur ces paires (un peucomme dans notre dnition deC avec des paires de rels).Voil un nouveau systme de nombres qui apparat naturelle-ment, et sur le mme modle on en entrevoit une innit. Il esttemps de leur donner des noms prcis.

Dfinition 2.15 On dit que lensembleK est un anneaulors-quil est muni dune addition

K K K(x,y) x + yet dune multiplication

Anneau estune mauvaisetraduction delAllemand

Ringe, quisignie cercle , dans lsens de communaut

K

K

K

(x,y) x y38


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ainsi que de deux lments nots 0 et 1, tels que les proprits

suivantes sont satisfaites :(a) x + y = y + x, (e)x(y + z ) =xy + xz (b) 0+x = x, et (x + y)z = xz + yz ,(c) (x + y) +z = x + (y + z ), (f) 1x = x1 = x,(d)x(x) tel quex + (x) = 0, (g) (xy)z = x(yz ).Lorsque de plus on a

(h) xy = yx ,

on dit que K est un anneau commutatif .Finalement, si en plus des proprits (a-b-c-d-e-f-g-h) on a

galement

Lexpression corps lorigine taitcomprise dans lesens dun corpsde mtier, oudun corpsdarme.

(i)x

0x

1 tel que xx1 = 1,

on dit que K est un corps.En dautres termes, dans un corps les rgles usuelles darith-

mtique doivent sappliquer.

Exemple 2.16 Les ensemblesQ , R et C , avec les oprationsusuelles, sont des corps.

Exemple 2.17 Soit K = {a + b 2 | a,bQ}avec les oprationsdnies ci-dessus. On va montrer queK est un corps. En faitles oprations sont hrites de celles deR (notez que lona K

R ), et par consquent les proprits a-b-c-d-e-f-g-h sontautomatiquement satisfaites. Mais il en manque une !

En eff et, il nest pas vident que six = a+b 2

K , alorsx1

K lorsque x 0 (on est simplement certain quex1 existedans R ). Cependant un petit calcul nous rassure :

1x

= 1a + b 2 =

a b 2(a + b 2)(a b 2)

= aa2 2b2

+ ba2 2b2

2

K .

Un avertissement. Nous avons multipli numrateur et dno-

minateur par a b 2, et ceci na un sens que sia b 2 0. Or39


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dans le cas contraire, on aurait 2 = ab aveca et b rationnels, cequi est impossible daprs la proposition2.1.

Ce corps est not gnralementQ [ 2].Exemple 2.18 LensembleZ est un anneau commutatif, maisce nest pas un corps. En eff et la proprit (i) de linverse nestpas satisfaite, par exemple12 Z .

Il va falloir attendre le chapitre5 pour avoir un exempledanneau non-commutatif.

Arithmtique de lhorlogeNous allons donner dautres exemples de corps, qui nepossdent quun nombre ni dlments. Ils sont utilis ex-trmement souvent en thorie des nombres, en informatique,en cryptographie, etc.

Lide de dpart est simple. Lorsquil est 23h et quon at-tend un vnement qui doit se drouler 4h plus tard, on calculerapidement quil aura lieu 3h du matin. Sil est 19h et que lona 7h attendre, on sait bien que cela va nous amener 2h dumatin. Le raisonnement que lon fait sans y penser consiste additionner les deux nombres (on obtient 27 dans le premiercas, et 26 dans le deuxime), puis retrancher 24 puisque les journes reprennent 0 ce moment-l.

On dit que lon calculemodulo24. Vous savez aussi spon-tanment calculer modulo 12 : il suffi t de ne pas diff rencierle matin et laprs-midi, comme lorsquon vous demande dat-tendre pendant 5h partir de 11h et que vous savez presque

immdiatement que vous en avez jusqu 4h (de laprs-midi).L encore on fait 11+ 5 = 16 puis 1612 = 4 puisque lon veutun rsultat entre 0 et 12.On va dnir maintenant des oprations modulo N, pour

tout entier N 2, sur le mme modle. Rappelons avant decommencer ce quest unedivision euclidienne: tant donnsdeux nombres entiersa et b, vous savez que lon peut trouverdeux nombres entiersq (le quotient) etr (le reste), uniques, telsque

a = bq + r ,

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et 0r < b. Par exemple, en faisant la division de 16 par 12 oncrit 16 = 121 + 4 doncq = 1 et r = 4.Dfinition 2.19 Sur lensemble{0,1,2, . . . ,N1}on dnit uneaddition par

xy= le reste dans la division euclidienne dex + y par N,

et une multiplication par

xy = le reste dans la division euclidienne dexy par N.

On critZ / NZ pour dsigner lensemble

{0,1,2, . . . ,N

1

}muni

de ces oprations.Exemple 2.20 Prenons N = 24. Si lon voit 23 et 4 comme deslments deZ / 24Z , on peut calculer 234. Comme

23+ 4 = 27 = 241 + 3,on a 23

4 = 3. De mme :

23

4 = 92 = 24

3+20,

donc 23

4 = 20.Exemple 2.21 Prenons N = 2 ; on a maintenantZ / 2Z = {0,1}.Le seul calcul un peu tonnant est 1

1 = 0 : en eff et

1 + 1 = 2 = 21 + 0.Sinon on a sans surprise 0

0 = 0, et 0

1 = 1

0 = 1. La multi-plication ne vous tonnera pas non plus. crivons les rsultats

complets sous forme de tableaux :

0 10 0 11 1 0

et 0 1

0 0 01 0 1

Peut-on appliquer les rgles de calcul usuelles avecZ / NZ ?Pour vrier ceci, dnissons la fonction reste :

R :Z Z / NZx R(x) = le reste dans la division dex par N.

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Proposition 2.22 On a

R(x + y) = R(x)

R(y) et R(xy) = R(x)

R(y).

Dmonstration.crivons les divisions euclidiennesx = Nq1 +R(x) et y = Nq2 + R(y). En additionnant on trouve

x + y = N(q1 + q2)+(R(x)+R(y)).

Il se peut que R(x)+R(y) soitN ; crivons donc une nouvelledivisionR(x)+R(y) = Nq3 + r .

Ici par dnition le rester = R(x)R(y). En regroupant :

x + y = N(q1 + q2 + q3) +r ,

et 0 r < N, doncr est bien le reste dans la division euclidiennede x + y par N. Cest--dire quer = R(x + y) = R(x)R(y).On procde de mme pour la multiplication.Corollaire 2.23 Les proprits de calcul (a-b-c-d-e-f-g-h) sont

valables dansZ / NZ , pour ladditionet la multiplication.(En dautres termes,Z / NZ est un anneau commutatif.)

Dmonstration.Soit x, y et z des entiers. Puisquex(yz ) = (xy)z ,en appliquant la fonction R on a R(x(yz )) = R((xy)z ), ce quidonne en utilisant la proposition

R(x)R(yz ) = R(xy)R(z ),

puisR(x)(R(y)R(z )) = (R(x)R(y))R(z ).Par suite, la multiplication

est associative (proprit (g)). On

fait pareil pour les autres proprits.

LensembleZ / NZ est-il un corps ? En dautres termes, quepeut-on dire de la rgle (i) de linverse? Voyons des exemples.

Exemple 2.24 Pour N = 2, le seul lment non-nul deZ / 2Zest x = 1. On ax

x = 1, doncx1 existe et on a mmex1 = x.AinsiZ / 2Z est un corps.

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Exemple 2.25 Prenons N = 24. Comme

38 = 24 = 241 + 0,on a 3

8 = 0. On en dduit que linverse de 3 nexiste pas : eneff et si lon avait un lment 31 tel que 313 = 1, on aurait

31(38) = (31

3)

8 = 1

8 = 8 = 0.

Or 8 0. DoncZ / 24Z nest pas un corps.

Dans le chapitre suivant nous allons dterminer les valeursde N telles queZ / NZ est un corps. Vous pouvez essayer de de-viner la rponse.

Nous allons conclure ce chapitre par une simplication desnotations. Il est clair qucrirexy et xy va devenir fatiganttrs vite, donc on va noterx + y et xy. Ceci introduit quelquesambiguts (penser au fait que 8 + 4 = 0 dansZ / 12Z . . . ), maisune autre convention va compenser. On va en eff et utiliser lanotation x = R(x). Il ne faut pas confondre avec la conjugaisoncomplexe, mais puisque la proposition2.22 nous dit que

x + y = x + y et xy = xy ,

la notation se comporte comme prvu. On va alors sastreindre mettre la barre systmatiquement sur les nombres, et donc crire

8 + 4 = 0,dans Z / 12Z . Et ce, mme si 8 = 8. . . Cest la prsence des barres

qui, par convention, signie que les calculs sont faits avec unmodulo. Dailleurs on devrait penser 8 et 8 comme desobjets totalement diff rents, lun dansZ / 12Z , lautre dansZ .

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Chapitre 3

PolynmesDans ce chapitre, la lettreK dsigne Q , R ou C .

Le lecteur ayantassimil ladnition2.15 peut prendre pourK

nimporte quelcorps.

Premire lecture

Dnitions & NotationsDfinition 3.1 Donnons-nous un symbole X. UnpolynmeenX coe fficients dansK est une expression formelle

a0 + a1X +a2X2 + + anXnavecan 0. Lentiern est appel le degr du polynme.

Lensemble de ces polynmes est notK [X], et le sous-ensemble des polynmes de degr

n est not K n[X].

Les termes symbole et expression formelle sont comprendre de manire intuitive : disons quun polynme estune criture. Si vous trouvez a insatisfaisant, essayez lencadr Dnition complte des polynmes .

Par exemple, P = 3X2 5X + 1 est un polynme deQ [X],et Q = X3 + iX2 7C [X].Lorsque lon dispose dun polynme P

K [X] et dun le-ment xK , on peut donner un sens P(x). Sans surprise, si

P = a0 + a1X ++ anXn ,44


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alorsP(x) =a0 + a1x + + anxn .

On dit que lon value P enx. Si P = X2+1, alors P(2) = (2)2+

Dnition complte des polynmes

En deux mots, un ordinateur nousdirions quun polynme est dnipar ses coeffi cients, et puis nous in-diquerions les rgles de calcul surces coeffi cients. Voici les dtails.Considrons les fonctions N K .Une telle fonctiona sera note

a = (a0, a1, a2, . . .),avec an = a(n).On dnit une addition

le plus

simplement du monde : si b =(b0, b1, . . .), alors nous dnissons

ab= (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, . . .).

Dnissons maintenant une multi-plication

, qui parat bien plus tor-

due : ab = (c0, c1, c2, . . .), o

cn =n

p=0apbnp .

(On appelle ceci la formule de Car-tan .)On peut vrier directement quelensemble des fonctions N K ,avec ces oprations, est un anneaucommutatif (cf dnition2.15).Premire remarque : en identi-ant xK avec la suite (x,0,0,0, . . .),on peut considrer que K estcontenu dans cet ensemble desuites.Soit maintenant X = (0,1,0,0,0, . . .),cest--dire X(n) = 0 sauf si n = 1,et X(1) = 1. Essayons quelques cal-culs :

X2 = XX = (0,0,1,0,0, . . .),

X3 = X

X2 = (0,0,0,1,0, . . .),et de mme on constate que Xn estreprsent par une suite de 0, sauf la position n o lon trouve un1.

Finalement, soient a0, a1, . . . ,an deslments de K . Si lon calculea0a1X anXn , on trouve(a0, a1, . . . , an ,0,0,0, . . .).

On peut nalement dnir K [X]comme tant lensemble dessuites a : N K telles que a(k) = 0pour tous les k suprieurs un cer-tain nN appel le degr. Les op-rations sont celles ci-dessus, et onva crire P+Qet PQ au lieu de PQet P

Q, pour simplier. Onvrie alors que tout polynme P scrit demanire unique

P = a0 + a1X ++ anXn .Par analogie, une suite quel-conque a : N K peut tre note

n

0

anXn ,

et appele une srie formelle , lors-quon veut faire rfrence aux op-rations daddition et de multiplica-tion que lon vient de dnir. At-tention cependant : cette notationne doit pas donner lillusion dunesomme innie ou dun passage la limite (dailleurs nous navons pasencore tudi les limites!).On note K [[X]]lensemble des s-ries formelles.

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1 = 5, par exemple. Cette opration est tellement commune quelon note souvent P(X) (au lieu de P tout simplement) pour un

lment de K [X], an de rappeler cette possibilit dvaluer.Un polynme donne naissance plusieurs fonctions. Pre-nons P = 7X5 12X3 ; on peut considrer la fonction

R Rx P(x) = 7x5 12x3 .Mais on peut aussi regarder

C

C

z P(z ) = 7z 5 12z 3 ,et il y aurait aussi la fonction [0,1]R qui x associe P(x), etcetc.La division Euclidienne

On peut additionner et multiplier les polynmes de faonnaturelle. Il ne vous aura pas chapp quon ne peut pas toujours diviser : par exemple si P = X21 et Q = X+2, il ny a pasde polynme R qui mriterait de sappelerPQ, cest--dire quilny a pas de polynme R tel que QR = P. Pour montrer ceci, onnote que si R existait, il serait de degr 1, disons R =aX +b. Orlquation QR = P donne en dveloppant :

aX2 + (2a + b)X+2b = X2 1 ,et en comparant les coeffi cients, on obtienta = 1,b = 12 , et 2a +b =

32 = 0, contradiction.Parfois, on peut avoir de la chance : pour le mme P, et

pour Q = X + 1, on a P = X2 1 = (X1)(X + 1) = (X + 1)Qdonc PQ = X1.En gnral on dit que QdiviseP lorsquil existe un poly-nme R tel que P = QR. Dans ce cas, et dans ce cas seulement,on pourra noter R = PQ . On utilise la notation Q|P pour indi-quer que Q divise P. Il faut se mer de cette notation (stan-dard malheureusement) qui apparat symtrique alors que lesrles de P et Q sont trs diff rents.

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La situation des polynmes est trs similaire celle desnombres entiers : on peut parfois diviser un entier par un autre,

parfois a ne tombe pas juste . Dans tout ce chapitre on va in-sister sur les similarits, et nous commenons par les divisionsEuclidiennes.

Rappelons que, sia et b sont des nombres entiers, il existedeux nombres entiersq (le quotient) etr (le reste), uniques, telsque

a = bq + r ,avec 0r < b.Proposition 3.2 SoitA et B deux polynmes deK [X]. Alors ilexiste deux polynmesQ (le quotient) etR (le reste), uniques, telsque

A = BQ + R,avecdegR< degB.

Dmonstration.Montrons lunicit. Si A = BQ + R et A = BQ +R , en faisant la diff rence on obtient

B(QQ ) = R R.Le degr de R R est < degB. On en dduit que QQ = 0,sinon le degr de B(QQ ) seraitdegB. Donc Q = Q et parsuite R = R .

Pour lexistence de Q et R, nous allons donner directementune mthode de calcul.

Exemple 3.3 Prenons A = 4X3

2X2 + 1 et B = X2 + X + 1. On

commence par prsenter la division comme pour les nombresentiers :

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Puis on value en 4X3, combien de fois X2 ? Rponse,4X. On calcule alors 4XB = 4X3 + 4X2 + 4X, et lon soustrait cersultat au polynme A. On prsente ces calculs de la maniresuivante :

On recommence avec en6X2, combien de fois X

2? , r-ponse 6 :

Cest termin : lorsque lon obtient gauche un polynmede degr infrieur celui de B, cest le reste, ici R = 2X+ 7. Lequotient est Q = 4X6. On peut vrier directement que A =BQ+R.Exemple 3.4 Les divisions Euclidiennes vont tre dune grandeutilit par la suite, mais pour linstant vous vous demandezpeut-tre quel intrt on pourrait bien avoir diviser des po-lynmes. Voici alors une petite astuce de calcul qui les faitintervenir. Soit

j = 1 + i 32 .Cest une solution de X2 + X + 1 = 0, cest--dire quej 2 + j +1 = 0 (proposition2.14). Combien vaut 4j 3 2j 2 + 1? Si loncommence par dvelopper (1+i 32 )3 de manire nave, on vaperdre pas mal de temps. Alors que nous venons de dmontrerque

4X3 2X2 + 1 = (4X6)(X2 +X+1)+2X+7,48


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ce qui donne en valuant en X =j la rponse 4j 3 2j 2 + 1 =2j + 7 = 6 +i 3.Notez bien que la division Euclidienne ne fait intervenirque des nombres entiers (et aucune 3), et quelle seff ectue

trs vite, avec lhabitude. Vous aviez peut-tre russi calcu-ler 4j 3 2j 2 + 1 rapidement en crivantj 2 = 1j , donc j 3 =j j 2 = 1. Bravo, mais la mthode de la division Euclidienne nefait rien dautre que dorganiser ces calculs. Avec des nombresencore plus compliqus que cej , il devient trs diffi cile de trou-ver des astuces au coup doeil.

RacinesDfinition 3.5 Soit P

K [X] un polynme, et soitr K . Ondit que r est une racinede P lorsque P(r ) = 0. (Parfois on dit

que r est une solution de P, et parfois on dit (assez curieuse-ment, dailleurs) quer est un zro de P.)Proposition 3.6 Le nombrer K est une racine deP si et seule-ment si le polynmeXr diviseP dansK [X].Dmonstration.On crit la division Euclidienne de P par Xr :

P = (Xr )Q+R.Ici le degr de R doit tre< 1, donc R est de degr 0 (on dit quecest une constante ). En faisant X =r , ceci devient P(r ) = R,donc nalement

P = (Xr )Q+P(r ).Il est alors clair que P(r ) = 0(Xr ) |P.

La dmonstration indique clairement que pour trouver ex-plicitement le polynme PXr , le plus simple est de

ff ectuer unedivision Euclidienne.Exemple 3.7 Soit P = 5X2 15X + 10. Ce polynme a deuxracines, savoir 1 et 2. Il doit donc tre divisible par X1 enparticulier, et en faisant la division Euclidienne on obtient

5X2 15X + 10 = (X1)(5X10) = 5(X1)(X2),ce qui conrme que P est galement divisible par X2.

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Dune manire gnrale, si P a une raciner 1 on peut crireP = (Xr 1)Q1, et si Q1 a une racine r 2 on peut crire Q1 =(Xr 2)Q2 donc P = (Xr 1)(Xr 2)Q2 ; si Q2 a une racine r 3on aboutit P = (Xr 1)(Xr 2)(Xr 3)Q3...Peut-on continuercomme a indniment? En dautres termes, est-ce que chaquepolynme de K [X] va toujours possder au moins une racinedans K ?

La rponse est non, tout dabord parce que les polynmesconstants, de la forme P(X) =c, avec cK , nont aucune ra-cine si c 0. Si maintenant degP =n 1, on observe que lesdegrs successifs de Q1, Q2, . . . , ne font que diminuer, donc silon peut trouver n racines succesivement comme ci-dessus lepolynme Qn sera de degr 0 donc constant et non-nul. On nepeut alors pas continuer avec Qn .

Au passage nous avons presque dmontr le rsultat sui-vant :

Proposition 3.8 Un polynme de degrn ne possde pas plusden racines distinctes.Dmonstration.Supposons en eff et que lon aitn + 1 racinesdistinctes, disons r 1, r 2, . . . , r n+1. On commence par crire P =(Xr 1)Q1 comme ci-dessus. Ensuite, puisque P(r 2) = 0, on crit

P(r 2) = (r 2 r 1)Q1(r 2) = 0,et comme r 1 r 2 par hypothse, on doit bien avoir Q1(r 2) = 0.On peut donc factoriser et obtenir Q1 = (Xr 2)Q2. On recom-mence avec Q2, et ainsi de suite on aboutit

P = (Xr 1)(Xr 2)(Xr n+1)Qn+1 .Cette dernire galit est absurde puisque le membre de droitea un degrn + 1.

Mais il ny a pas que les polynmes constants qui nont pasde racines. Lexemple le plus fameux est P = X2 + 1

R [X] et

qui ne possde pas de racine dansR , puisque le carr dun relest toujours positif et ne saurait valoir1. Dans le mme ordredide, le polynme Q = X2

2

Q [X] na pas de racine dansQdaprs la proposition2.1.

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Dans un cas comme dans lautre, on peut considrer cespolynmes comme des lments deC [X], et ils ont bien sr

des racines dans C . Rappelez-vous quen parlant deC nousavions prdit que nous gagnerions bien plus que des racinescarres supplmentaires en travaillant avec les complexes. Lethorme suivant affi rme en eff et que toute quation polyno-miale P(z ) = 0 a une solution dansC !

Thorme 3.9 (Thorme fondamental de lalgbre) Tout polynme de degr1 dansC [X]possde une racine dansC .

On dit que C est algbriquement clos . Nous montreronsle thorme fondamental de lalgbre plus loin, dans un cha-pitre danalyse. On peut dj en tirer des consquences.

Corollaire 3.10 Tout polynme deC [X]de degrn peut scrirede manire unique

P = (Xr 1)(Xr 2)(Xr n+1).Dmonstration.Lexistence de cette criture est claire ce stade,mais comme nous nonons lunicit aussi on va prudemmentfaire une rcurrence. Supposons le rsultat vrai pour les po-lynmes de degrn 1 (pour n = 0 cest vident). Soit P dedegr n.

On peut trouver une raciner 1 pour P daprs le thorme,donc P = (Xr 1)Q. Par rcurrence on sait que Q = (Xr 2)(Xr 3)(Xr n), do lcriture annonce pour P.Vrions quelle est unique. Si

P = (Xy1)(Xy2)(Xym),on sait dj quem = n = degP et que = = le coeffi cient de Xndans P. Comme P(r 1) = 0, on peut crire

(r 1 y1)(r 1 y2)(r 1 yn) = 0,donc r 1 yi = 0 pour un certain indicei ; quitte renumroter,on peut supposer que i = 1, doncy1 = r 1.

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Le quotient dans la division de P par (Xr 1), qui est uni-quement dtermin, peut donc tre calcul de deux faons dif-frentes, ce qui donne lgalit

Q = (Xy2)(Xy3)(Xyn).Par rcurrence, on sait que cette criture est unique, cest--direque (quitte renumroter) on axi = yi pour tous les indicesi.

La situation pour les polynmes deR [X] est peine pluscomplique. Faisons une remarque simple :

Lemme 3.11 SoitPR [X], et soitr C une racine deP. Alors lenombre conjugur est galement racine deP.Dmonstration.Si P(r ) = 0, on a aussi P(r ) = 0 = 0. Mais comme

P(r ) =a0 + a1r + + anr navecai = ai (puisque aiR ), on constate que

P(r ) =a0 + a1r + + an r n = P(r ) = 0.Proposition 3.12 SoitP un polynme deR [X]. On peut crire demanire unique

P = (Xx1)(Xx2)(Xxi)Q1Q2 Qj avecxkR et Qk un polynme de degr2 dansR [X]sans racinerelle.Dmonstration.Daprs le corollaire, on peut crire

P = (X

r 1)(X

r 2)

(X

r n),

avec r k C . Si certains de ces nombres sont en fait dansR ,appelons-les x1,x2, . . .xi . Les autres racinesr k qui ne sont pasrelles sont regroupes en paires : en eff et daprs le lemme,si r k est une racine de P, alorsr k aussi (etr k r k dans ce cas). Lefacteur

(Xr k)(Xr k) = X2 2 (r k)X +|r k|2est un polynme deR [X] de degr 2, sans racine relle. La pro-position sen dduit.

Lunicit est laiss en exercice.

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Diviseurs dansC [X]Que peut-on dire de lensemble des diviseurs dun poly-

nme P donn ? Tout dabord, notons que si P = QR, on peutcrire pour tout scalaire 0 que P = ( Q)(1 R) ; en dautrestermes, si Q divise P, alors Q divise aussi P, et en particulier Pa un nombre inni de diviseurs.

Pour viter cette complication inutile, nous dirons quunpolynme a0 + a1X +a2X2 + + anXn est unitairesi an = 1. Unemeilleure question est donc : que peut-on dire de lensembledes diviseurs unitaires dun polynme donn ? Notons que,

regarder les dnitions, il nest pasa priorivident de savoirsil en existe un nombre ni ou non.Grce au corollaire3.10 cependant, on va pouvoir tudier

facilement lensemble des diviseurs dun polynme complexe.Introduisons la notation suivante : pour un nombre complexez et un polynme P

C [X], le nombremz (P) est le plus grand en-

tier tel que (Xz )mz (P) divise P. On va lappeler lamultiplicitde z comme racine de P. On remarque quemz (P)> 0 si et seule-ment si z est racine de P, ce qui narrive que pour un nombre

ni de nombresz . Le corollaire3.10 peut scrireP =

z C

(Xz )mz (P),

sachant que ce produit ne comporte quun nombre ni determes (les autres sont gaux 1). Le lemme suivant est alorsvident.Lemme 3.13 Les multiplicits ont les proprits suivantes.

1. mz (P1P2) =mz (P1) +mz (P2).2. Q diviseP si et seulement simz (Q)mz (P) pour tout nombrecomplexez .3. P ne possde quun nombre ni de diviseurs unitaires.

Dmonstration.La dmonstration (trs simple) des points (1) et(2) est laisse en exercice. Pour le (3) notons quun polynmeunitaire Q scrit

Q =z

C

(X

z )mz (Q),

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et lorsque Q divise P le nombre entiermz (Q) vrie 0mz (Q)mz (P) daprs le point (2). Il ny a quun nombre ni de nombrescomplexesz pour lesquelsmz (P) 0,doncautotalilnyaquunnombre ni de choix pour Q.

On peut alors poser la dnition suivante.

Dfinition 3.14 Soit P et Q deux polynmes deC [X]. Le po-lynme pgcd(P,Q) est par dnition

pgcd(P,Q) =z

C

(Xz )min(mz (P),mz (Q)).

Lemme 3.15 Le polynmepgcd(P,Q)diviseP et diviseQ. De plussi D est un polynme qui diviseP et Q, alorsD divisepgcd(P,Q).En particulierpgcd(P,Q)est lunique diviseur unitaire deP etdeQde degr maximal.

On comprend donc pourquoi pgcd(P,Q) est appel le plus

grand diviseur commun de P et Q.Dmonstration.Daprs le (2) du lemme prcdent, il est clairque si D|P et D|Q, alors D| pgcd(P,Q), et donc que deg(D)deg(pgcd(P,Q)).

Vrions lunicit. Soit D un diviseur unitaire de P et de Qdont le degr est maximal. On a D| pgcd(P,Q) donc deg(D)deg(pgcd(P,Q)) do par maximalit deg(D) = pgcd(P,Q). Parsuite D = pgcd(P,Q) puisquils sont tous les deux unitaires.

Cette approche des pgcds a pas mal de dfauts. Tout dabord,il est diffi cile de calculer pgcd(P,Q) par la dnition ci-dessus :il faut dabord factoriser entirement P et Q ! Ensuite, siK nestpas C , on ne sait rien dire. Vous arrivez certainement traiterle casK = R laide de la proposition3.12 (en lieu et place ducorollaire3.10), mais pourK = Q on est dans une impasse.

Dans la suite du chapitre on va indiquer une toute autremthode, plus gnrale et entranant des calculs assez faciles.Par contre les dnitions sont moins directes.

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Deuxime lecture

Plus grand diviseur communDfinition 3.16 Soient A et B deux polynmes. Lensembledes diviseurs communs A et B est not div(A,B).

Notez que div(A,0) est lensemble des diviseurs de A (toutpolynme P divise le polynme nul, puisque 0 = 0P).Lemme 3.17 SoientA et B des polynmes (ou des nombres en-tiers). crivons la division euclidienneA = BQ + R. Alors

div(A,B) = div(B,R).

Dmonstration.Si D divise A et B, alors il divise R = ABQ (eneff et si A = A D et B = B D alors R = (A + B Q)D). Rciproque-ment si D divise R et B, alors il divise A, par le mme raisonne-ment. Donc les diviseurs considrer pour la paire (A,B) sontles mmes que pour la paire (B,R).

Pourquoi est-ce utile ? Tout simplement parce quen passant (B,R), les degrs (ou les nombres) sont plus petits. On peutensuite recommencer avec (B,R), et recommencer encore, et onva nir par obtenir une paire de la forme (P,0) : en eff et tantque le deuxime terme nest pas nul, on fait une nouvelle divi-sion euclidienne, et on obtient un nouveau terme strictementplus petit. En fait on a :

Proposition 3.18 SoientA et Bdes polynmes.

1. Il existe un unique polynme unitaireP tel quediv(A,B) = div(P,0).

On le notepgcd(A,B).2. SiD diviseA et B, alorsD divise galement leur pgcd.3. Le polynmepgcd(A,B) est galement caractris comme

lunique diviseur unitaire commun A et B dont le degr est maximal.

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4. Si on e ff ectue une division euclidienneA = BQ + R, alors

pgcd(A,B) = pgcd(B,R).Cette dnition du pgcd est cohrent avec la dnition3.14

lorsque K = C ( cause du point (3)).

Dmonstration.(1) Nous venons dexpliquer comment, en ap-pliquant le lemme prcdent suffi samment souvent, on trouveun polynme P tel que div(A,B) = div(P,0); on peut suppo-ser P unitaire. Montrons lunicit. Si div(P,0) = div(P ,0), alorscomme P

|P on a aussi P

|P ; et rciproquement comme P

|P

on a P | P. Finalement P et P se divisent lun lautre, et sontunitaires, donc P = P . Le polynme P est bien unique, et onpeut le noter pgcd(A,B).

(2) Lassertion sur D nest quune traduction de lgalitentre div(A,B) et div(P,0).

(3) Soit D

div(A,B) de degr maximal. On a D| pgcd(A,B),donc deg(D)deg(pgcd(P,Q)) do par maximalit deg(D) =pgcd(P,Q). Par suite, on a bien D = pgcd(P,Q) puisquils sonttous les deux unitaires.(4) Daprs le lemme prcdent, on a div(A,B) = div(B,R),donc cest vident.

Avant de donner des exemples, remarquons que la situationavec les nombres entiers est exactement similaire. En fait on a :

Proposition 3.19 Soienta et b des nombres entiers.1. Il existe un unique entier positif p tel que

div(a,b) = div(p, 0).

On le notepgcd(a,b).2. Sid divisea et b, alorsd divise galement leur pgcd.3. Le nombrepgcd(a,b) est galement caractris comme le plus

grand diviseur commun a et b (!).4. Si on e ff ectue une division euclidiennea = bq + r , alors

pgcd(a,b) = pgcd(b, r ).

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La dmonstration est la mme. Voyons des exemples.Exemple 3.20 Commenons pardesnombres entiers, disonsa =77 et b = 91. On crit

91 = 771+14,donc pgcd(91,77) = pgcd(77,14). Puis

77 = 145 + 7,donc pgcd(77,14) = pgcd(14,7). Finalement

14 = 7

2 + 0,

donc pgcd(14,7) = pgcd(7,0) = 7. Au total pgcd(77,91) = 7.Exemple 3.21 Prenons A = X3+7X2+2X+14 et B = X4+4X2+4,dans R [X]. On calcule

B = (X7)A+(51X2 +102),donc pgcd(B,A) = pgcd(A,R) avec R = 51X2 + 102 (on passe lesdtails du calcul de la division euclidienne). Puis on eff ectue

A = (151X +751)R + 0,

donc pgcd(A,R) = pgcd(R,0). Attention, comme le pgcd est unpolynme unitaire par dnition, ici la rponse nest pas R =51(X2 + 2) mais X2 + 2 : on divise simplement par le coeffi cientdu terme en X2. Finalement pgcd(A,B) = X2 + 2.

Le thorme de BzoutCest le suivant :

Thorme 3.22 Soienta etb deux nombres entiers. Alors il existedeux nombresu et v tels que

au + bv = pgcd(a,b).

SoientA et Bdeux polynmes deK [X]. Alors il existe deux po-lynmesU,VK [X]tels que

AU+ BV = pgcd(A,B).

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Dmonstration.Dans lalgorithme deuclide, on passe dunepaire la suivante en ajoutant des multiples dea et des mul-

tiples de b.Exemple 3.23 Revenons lexemple3.20, avec a = 77 et b =91; on a vu qued = pgcd(a,b) = 7.

Reprenons les divisions euclidiennes que nous avons faites,en exprimant systmatiquement les restes en fonction dea et b.Nous sommes partis de

91 = 771 + 14 donc 14 =ba .Puis nous avons eff ectu

77 = 145+ 7 donc 7 =a 5(ba) = 6a 5b .Enn la dernire division nous a montr que le pgcd taitbien d = 7. On a doncd = 6a 5b, ce qui est bien la formuleannonce avecu = 6 et v = 5.Exemple 3.24 Cette fois, reprenons lexemple3.21. La pre-

mire division taitB = (X7)A+51D,

avec D = pgcd(A,B) = X2 + 2. On a donc bien

D =151(X7)A+

151B,

qui est la forme annonce avec U =

1

51(X

7) et V = 1

51.

PremiersUn nombre ou un polynme va tre appel premier lors-

quil na aucun diviseur part ceux qui sont vidents. Prci-sons :

Dfinition 3.25 Soit pZ un nombre 1. On dit quep est premierlorsque la seule faon dobtenir une factorisationp = ab(aveca,bZ ) est de prendrea = 1 ou b = 1.

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Soit P

K [X] un polynme de degr1. On dit que Pest premier, ou plus souvent irrductible, lorsque la seule fa-on dobtenir une factorisation P = AB (avec A,BK [X]) estde prendre A constant ou B constant.

Exemple 3.26 Un nombre p est donc premier si et seule-ment si la liste complte de ses diviseurs est{1,1,p,p}. Lesnombres 17, 71,277, 733 et 953 sont ainsi premiers. Onadopte souvent la convention de ne parler que des nombrespremiers positifs, de sorte que leur liste commence par 2, 3, 5,7, 11, 13 . . .

Exemple 3.27 Un polynme de degr 1 est toujours irrduc-tible (premier). Pour un polynme P

K [X] de degr 2, la si-

tuation est encore assez simple. Si P = AB et si ni A, ni B nestconstant, alors degA = degB = 1. Comme un polynme de de-gr 1 possde toujours une racine dansK , le polynme P enpossde aussi une. Mais la rciproque est vraie : si P(r ) = 0,alors en posant A = Xr on peut crire P = AB avec B de de-gr 1 (proposition3.6).

On retiendra quun polynme deK

[X] de degr 2 est irr-ductible si et seulement si il ne possde pas de racine dansK .a reste vrai pour un polynme de degr 3 (vriez-le).

Par exemple P = X2+1 est irrductible dansR [X]. Par contredans C [X] on a P = (Xi)(X+i).

Le thorme de Bzout va permettre de dmontrer deschoses sur les nombres premiers et les polynmes irrductiblesqui paraissent intuitives, mais quon ne saurait pas prouverautrement. Voici le meilleur exemple.

Lemme 3.28 (Lemme de Gauss) SoitP un premier. SiP | AB,alorsP |A ouP |B.Ce rsultat est valable pour les entiers comme pour les po-

lynmes.

Dmonstration.Supposons que P ne divise pas A, et mon-trons quil divise alors B. Notons que lon a pgcd(P,A) = 1,

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et donc UA + PV = 1 par Bzout. Par hypothse on a AB = PR,donc UAB = UPR, et comme UA = 1PV, on en tire

(UA)B = BPVB = UPR.Ceci montre que B = P(VB+ UR) est bien divisible par P.

Nous pouvons nalement apporter une rponse la ques-tion souleve la n du chapitre2 (cf corollaire2.23) : quandest-ce queZ / NZ est un corps?

Proposition 3.29 Soitp un entier2. AlorsZ /pZ est un corpssi et seulement sip est un nombre premier.Dmonstration.Si p nest pas premier, on ap = ab avec a et bdes nombres qui ne sont pas divisibles parp. En rduisant mo-dulo p, on obtient

ab = p = 0,

avec a 0 et b 0. Il est donc impossible quea ait un inverse(argumenter comme dans lexemple2.25).

Rciproquement, supposons quep soit premier, et soita 0un lment de Z /pZ . Lentier a est alors premier avecp, cest--dire que pgcd(p, a) = 1 puisque lon suppose quep ne divisepas a. Par Bzout, on aau +pv = 1, et en rduisant modulop ona

au + pv = au = 1(tant donn que p = 0). Cest donc bien que (a)1 = u . Toutnombre non-nul de Z /pZ possde un inverse, et on a bien af-faire un corps.

FactorisationLe thorme suivant gnralise le corollaire3.10 et la pro-

position 3.12.

Thorme 3.30 SoitP

K [X]. On peut crire de manire unique

P = P1P2 Pk ,o chaquePi est irreductible et unitaire.

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Dmonstration.Montrons lexistence de cette criture, par r-currence sur le degr de P (cest vident si deg(P) = 0). On peut

supposer que P est unitaire. Si P est lui-mme irreductible,alors il ny a rien dire. Dans le cas contraire, on crit P = QRavec deg(Q)< deg(P) et galement deg(R)< deg(P). Par r-currence on peut factoriser Q et R en produit dirrductibles,donc P aussi.

Montrons lunicit (cest plus n). On doit donc montrerque si on a deux critures

P1P2 Pk = Q1Q2 Q , (*)avec chaque Pi et chaque Qi unitaire et irrductible, alors = ,k = , et les polynmesPi sont les mmes que les Qi . On procdepar rcurrence sur le degr des deux membres de (*) (les chosessont videntes si le degr est 0).

Tout dabord en regardant le coeffi cient de plus haut degr,on voit de suite que = . Ensuite, on constate que P1 divisele produit Q1Q2 Q . En consquence du lemme de Gauss, P1doit diviser lun des Qi , disons Q1 pour simplier les notations.On simplie (*) par P1 = Q1 pour obtenir

P2P3 Pk = Q2Q3 Q . (**)Lgalit (**) est de degr plus petit que (*), donc par rcurrenceon sait quek = et que les polynmes P2, . . . ,Pk sont les mmesque les polynmes Q2, . . . ,Q . Ceci termine la dmonstration.

Une fois de plus, ce thorme existe pour les nombres en-tiers, essentiellement avec la mme dmonstration, et vous leconnaissez probablement dj :

Thorme 3.31 SoitnZ . On peut crire de manire unique

n = p1p2 pk ,o chaquepi est un nombre premier positif.

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Chapitre 4

Suites Premire lecture

Suites de relsDfinition 4.1 Une suite de nombres rels est simplement

une fonction u : N R . En gnral on critun au lieu de u(n),et on crit (un)n0 pour dsigner la suite elle-mme.Exemple 4.2 La suite dnie parun = n2 commence par

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .

On emploie souvent une formule directe pourun en fonctionde n, et danscecas on parlera directement de la suite (n2)n0 .On sautorise aussi parler de suites qui ne sont dniesque pour des valeurs den suffi samment grandes ; ainsi de lasuite (1n )n1 par exemple. On veillera toujours indiquer ledomaine de dnition, ici lensemble des entiers1. videm-ment ltude de cette suite se ramne celle de (1n+1)n0 : dansles deux cas il sagit de comprendre la squence de nombres

1, 12 ,13 ,

14 ,

15 , . . .

Lcriture (1n )n1 est donc juste une notation commode.

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Exemple 4.3 Une autre faon commune de dcrire une suiteest dutiliser une relation de rcurrence: par exemple, on peut

considrer la suite (un)n0 dnie par u0 = 1 et un+1 = 2un . Ellecommence par1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

Dans cet exemple on voit tout de suite queun = 2n . Pourle dmontrer, sans surprise on procde par rcurrence : on abien u0 = 20 = 1 et siun = 2n alors un+1 = 22n = 2n+1.Les choses sont en gnral bien plus compliques. Que lonconsidre la s

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