Cours Cinetique
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CPGE –Meknès- SI / S2I MP et PSI Cinétique
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1
CINETIQUE
I- CENTRE D’INERTIE : (voir cours de statique )Le centre d’inertie d’un ensemble matériel (E) de
masse m est le point G tel que :
P E
mOG = OP dm
Le centr e d’inertie G de (E) vérifie aussi : P E
GP dm = 0
;
Si (E) est une partition de n sous ensembles matériels :
E = i ni 1 iE tel que chaque Ei est de masse mi et de centre d’inertie Gi
Alors :
1 2 3
n
i 1P E P E E E ... P Ei
mOG OP dm OP dm OP dm
Donc n
ii
i=
n
i
11 i=
m avec m =O = mG m OG ( m : masse de l’ensemble matériel (E) ) ;
Si (E) admet un élément de symétrie matérielle (plan , axe , centre ) alors son centre d’inertie G appartientà cet élément de symétrie.
II- OPERATEUR D’INERTIE – MATRICE D’INERTIE :2.1. Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe : . Soit (S) un solide ;
. Soit )z,y,x,R(O
un repère ;
. Soit )u,O(
un axe d’origine O (origine du repère R) etde vecteur unitaire u
.
. Soit P un point courant de (S) de masse élémentaire dm .
Par définition le moment d’inertie du solide (S) par rapport
à l’axe () est le scalaire positif :
dmHPI2
SP
On a : sinOPHP or u
est un vecteur unitaire donc 1u
Alors sinOPuHP
= OPu
et 2 2
A
HP u OP u OP u OP
OPuOP.uAOP.uHP2
Donc dmOPuOP.uI
SP
Comme u
est indépendant de m alors dmOPuOP.uI
SP
D’où OΔI = u.J (S, u) (à retenir)
x
y
z
O
P
dmG
(E)
..
x
y
z
O
P
dm
( )
u
H(S)
.
.
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2.2. Opérateur d’inertie d’un solide :L’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point O est l’opérateur linéaire qui à tout vecteur u
fait
correspondre le vecteur : O
P S
J (S,u) = OP u OP dm
dmOPuOP)u,S(Ju
SP
OJO
2.3. Matrice d’inertie d’un solide :
L’opérateur d’inertie est linéaire donc on peut lui associer une matrice : O OJ (S,u)= I (S) u (à retenir)
Cherchons la matrice d’inertie OI (S) .
On a : O
(x,y,z)
I (S)
. . .
. . .
. . .
Soit P un point courant de (S) de masse élémentaire dm , soit zzyyxxOP
.
On a O
P S
J (S,x) OP x OP dm
(x , y,z) (x , y,z)
1 x 0
x OP 0 y z
0 z y
donc
2 2
(x,y,z) (x,y,z)
x 0 y z
OP x OP y z xy
z y xz
Donc
2 2O
P S P S P S P S
J (S,x) OP x OP dm (y z )dm x xydm y xzdm z
De même : 2 2O
P S P S P S P S
J (S, y) OP y OP dm xydm x (x z )dm y yzdm z
2 2O
P S P S P S P S
J (S,z) OP z OP dm xzdm x yzdm y (x y )dm z
D’ou
2 2
P S P S P S
2 2O
P S P S P S
2 2
P S P S P S(x , y , z)
y + z dm - xy dm - xz dm
I (S) = - xy dm x + z dm - yz dm
- xz dm - yz dm x + y dm
(à retenir)
[IO(S)] est la matrice d’inertie du solide (S) au point O, exprimée dans la base (x,y,z) ,
[IO(S)] est associée à l’opérateur d’inertie )u,S(JO
. On note :
)x,S(JO
)y,S(JO
)z,S(JO
O
(x,y,z)
A F E
I (S) F B D
E D C
OJ (S,x) OJ (S,y) OJ (S,z)
x
y
z
O
P
dm
(S)
.
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*
SP
22Ox dmzyIA : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe )x,O(
( )x,S(J.xA O
) ;
*
SP
22Oy dmzxIB : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe )y,O(
;
*
SP
22Oz dmyxIC : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe )z,O(
;
*
SP
Oxy dmxyIF : produit d’inertie de (S) par rapport aux axes )x,O(
et )y,O(
( O OF x .J (S, y) y.J (S, x) )
*
SP
Oxz dmxzIE : produit d’inertie de (S) par rapport aux axes )x,O(
et )z,O(
;
*
SP
Oyz dmyzID : produit d’inertie de (S) par rapport aux axes )y,O(
et )z,O(
.
2.4. Application : (S) : tige rectiligne ,homogène , de masse m , de longueur l ,de diamètre négligeable et de centre d’inertie G ;
R(G , x , y , z) repère lié à (S).
1) déterminer en fonction de m et l la matrice d’inertie de (S)
au point G dans la base )z,y,x(
.
2) déterminer le moment d’inertie de la tige (S) par rapport à
l’axe )u,G(
tel que le vecteur unitaire u est situé dans le
plan (G , y , z) et (y , u)
2.5. Base principale d’inertie :
La matrice d’inertie [IO(S)] est à coefficients réels et elle est symétrique , donc elle estdiagonalisable. Il existe donc une base de vecteurs propres )z,y,x( 111
dans laquelle on a :
1 1 1
1
O 1
1 (x , y , z )
A 0 0
I (S) 0 B 0
0 0 C
* )x,(O 1
, )y,O( 1
et )z,(O 1
sont les axes principaux d’inertie de (S) au point O
0 1 0 1 1 1J (S,x ) I (S) x A x ;
* A1 , B1 et C1 sont les moments d’inertie principaux de (S) au point O .
2.6. Symétrie matérielle d’un solide :On a la symétrie matérielle si on a à la fois la symétrie géométrique
et la symétrie de répartition de masse.
a) Solide (S) ayant (O,x,y)comme plan de symétrie matérielle :
A tout point P(x , y , z) de masse dm correspond son symétrique
P’(x , y , – z) de masse dm également .
On a :
SP
Oyz dmyzID
Soit S = S1 S2 avec S1 la partie de S située au dessus du plan )y,x,O(
et S2 la partie située au dessous .
Alors
21 SSPSP
Oyz dmyzdmyzID
21 SPSP
dmyzdmyz
G
(S)
-l /2
l /2
( )
α
z
y
x
u
Ox
y
z
-z
P
P’
(S)
(S1)
(S2)
z
y
x
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1 1P S P S
yz m y z m 0
Donc D=0 et de même on montre que 0dmxzIE
SP
Oxz
;
D’où : 0
(x,y,z)
A F 0
I (S) F B 00 0 C
; (O,z) est un axe principal d’inertie de (S) .
b) Solide (S) ayant (O,x,z) et (O,y,z) comme plans de symétrie matérielle :
. (O,x,z) plan de symétrie matérielle donc
P S P S
xydm yzdm 0
. )z,y,O(
plan de symétrie matérielle donc :
0dmxzdmxy
SPSP
D’où 0
(x,y,z)
A 0 0
I (S) 0 B 0
0 0 C
;
(x,y,z) est une base principale d’inertie de (S)
Remarque : il suffit que le repère )z,y,x,R(O
présente deux plans de symétrie matérielle pour (S)
pour que sa matrice d’inertie au point O soit diagonale dans la base )z,y,x(
.
c) Solide (S) ayant (O ,z) comme axe de symétrie matérielle de révolution :
Tout plan contenant l’axe )z,O(
est un plan de symétrie
matérielle de (S) donc :
2.7. Théorème de Huygens généralisé :. Soit (S) un solide de masse m et de centre d’inertie G.
. Soit A un point.
. Le théorème de Huygens permet de mettre en relation les
matrices d’inertie de (S) aux points A et G : [IA(S)] et [IG(S)]
exprimées dans la même base )z,y,x(
.
On a : A
P SAG GP
J (S, u) AP (u AP)dm
SP SP
A dm)APu(GPdm)APu(AG)u,S(J
SPSPdm)APu(GP)dmAPu(AG
Or AGmdmAP
SP
(G est le centre d’inertie de (S))
dans toute base orthonormée dont
le 3eme
vecteur unitaire est z
)z,y,x(
ou (u,v,z)
0
( , , z)
A 0 0
I (S) 0 A 0
0 0 C
A
G
(S)
x
x
y
y z
z
y O
(S)
x
z
u
v
x
O(S)
y
z
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Donc A
P SAG GP
J (S, u) mAG (u AG) GP (u AP ) dm
SPSP
A dm)GPu(GPdm)AGu(GP)AGu(AGm)u,S(J
SP
)AGu()dmGP( )u,S(JG
Or 0dmGP
SP
(G est le centre d’inertie de (S))
Donc
Soit sous forme matricielle : A G AI (S) u I (S) u I (m,G) u et comme u
est quelconque alors :
Soit (x,y,z)
a
AG = b
c
alors :
G G G
2 2
G G G
2 2
G G G(x,y ,z) (x,y ,z) (x,y,z)
A -F -E A -F -E m(b + c ) -mab -mac
-F B -D = -F B -D + -mab m(a + c ) -mbc
-E -D C -E -D C -mac -mbc m(a + b )
Remarques :
1. On a C = CG + m(a2 + b
2)
IAz = IGz + m(a2 + b2)
a2 + b
2 représente le carré de la distance entre les
axes )z,A(
et )z,G(
2. Soit G un axe passant par le centre d’inertie G de (S) et
A un axe passant par le point A tel que A// G alorson a de même :
Avec d = distance (A , G)
m : masse du solide (S) .
AI (m,G) représente la matrice d’inertie de (S) au
point A en supposant sa masse concentrée en G
GI (S) AI (S)
A = AG + m(b + c ) D = DG + mbc
B = BG + m(a2 + c2) E = EG + mac
C = CG + m(a2 + b2) F = FG + mab
A
G
a
b
c
x
y
z z
A G AI (S) = I (S) + I (m,G)
2
A GΔ Δ
I = I + md
)AGu(AGm)u,S(J)u,S(J GA
( Th de Huygens généralisé )
( Th de Huygens )
( A) ( G)
d
GA (S)
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III- TORSEUR CINETIQUE : . Soit (E) un ensemble matériel de masse m et
de centre d’inertie G en mouvement par rapport
à un repère )z,y,x,R(O
.
* Définition : Le torseur cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement rapport aurepère R , en un point A quelconque est :
C
(E/R) =
CP E
A
P E
A
A
V(P / R)dmR (E / R)
(E / R)AP V(P / R)dm
. c
P E
R (E / R) V(P / R)dm
: est la résultante cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son
mouvement par rapport au repère R.
. A (E / R) =P E
AP V(P / R)dm
: est le moment cinétique au point A de l’ensemble matériel
(E) dans son mouvement par rapport au repère R.
* Expression de cR (E/ R) :
G étant le centre d’inertie de (E) donc
EP
dmOPOGm
En dérivant par rapport à t dans R
R EPR
dmOPdt
dOG
dt
dm
dmOPdt
ddmOP
dt
d
R EPR EP
(valable pour un ensemble matériel (E)
a masse conservative)
Donc dmOPdt
dOG
dt
dm
R EPR
D’où dm)R /P(V)R /G(Vm
EP
cR (E / R) dm)R /P(V
EP
)R /G(Vm
Donc
(E/R) A A
mV(G / R)=
(E / R)σ
x
y
z
O
P
dmG
(E)
..
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* Remarques :
Le torseur cinétique est aussi appelé torseur des quantités de mouvement ;
C (E/R) est un torseur donc : A B(E / R) = (E / R)+ AB mV(G / R)σ σ
( A et B deux points de l’espace )
Si la masse de (E) est supposée concentrée en son centre d’inertie G alors :
C (E/R) =
G A
mV(G / R) mV(G / R)
0 AG mV(G / R)
Si (E) se réduit à une masse ponctuelle P alors :
C (P/R) =
P A
mV(P / R) mV(P / R)
0 AP mV(P / R)
IV- TORSEUR DYNAMIQUE :
* Définition : Le torseur dynamique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement rapport aurepère R , en un point A quelconque est :
D (E/R) =dP E
A
P E
A
A
(P / R)dmR (E / R)
(E / R)AP (P / R)dm
. dm)R /P()R /E(R
EP
d
: est la résultante dynamique de l’ensemble matériel (E) dans son
mouvement par rapport au repère R.
. )R /E(A = dm)R /P(AP
EP
: est le moment dynamique au point A de l’ensemble matériel (E)
dans son mouvement par rapport au repère R.
* Expression de )R /E(R d :
On a
EP
dm)R /P(V)R /G(Vm
En dérivant par rapport à t dans R
R EPR
dm)R /P(Vdt
d)R /G(V
dt
dm
dm)R /P(Vdt
ddm)R /P(Vdt
d
R EPR EP
Donc dm)R /P(Vdt
)R /G(Vdt
m
R EPR
D’où dm)R /P()R /G(m
EP
)R /E(R d dm)R /P(
EP
)R /G(m
Donc
D
(E/R) A A
mγ(G / R)=
δ (E / R)
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* Remarques :
Le torseur dynamique est aussi appelé torseur des quantités d’accélération ;
D (E/R) est un torseur donc : A Bδ (E / R) = δ (E / R) + AB mγ(G / R)
( A et B deux points de l’espace )
Si la masse de (E) est supposée concentrée en son centre d’inertie G alors :
D (E/R) =
G A
m (G / R) m (G / R)
0 AG m (G / R)
Si (E) se réduit à une masse ponctuelle P alors :
D (P/R) =
P A
m (P / R) m (P / R)
0 AP m (P / R)
V- RELATION ENTRE LE MOMENT CINETIQUE ET LE MOMENT DYNAMIQUE :
On a A
P E
(E / R) AP V(P / R)dm
, en dérivant par rapport à t dans R :
A
R P E R
d d(E / R) AP V(P / R)dm
dt dt
= dm)R /P(VAPdt
d
EP R
= dm)R /P(VAPdt
EP R
+ dm)R /P(V
dtAP
EP R
= dm)R /P(V)R /A(V)R /P(V
EP + dm)R /P(AP
EP
= dm)R /P(V)R /A(V
EP
+ )R /E(A
Or )R /G(Vmdm)R /P(V
EP
D’où
A A
R
dδ (E / R) = (E / R) + V(A / R) mV(G / R)
dtσ
( A est un point quelconque de l’espace )
* Cas particuliers :
Le point A est fixe dans R : A A
R
d(E / R) (E / R)
dt
Le point A est confondu avec G (A G) :
G G
R
dδ (E / R) = (E / R)
dtσ
)R /G(V//)R /A(V : A A
R
d(E / R) (E / R)dt
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VI- MOMENT CINETIQUE D’UN SOLIDE :. Soit (S) un solide de masse m et de centre d’inertie G
en mouvement par rapport à un repère )z,y,x,R(O
;
. Soit A un point de (S) ;
On a A
P S
(S / R) AP V(P / R)dm
A et P sont deux points de (S) donc :
AP)R /S()R /SA(V)R /SP(V)R /P(V
Alors A
P S
(S / R) AP V(A S / R) (S / R) AP dm
dmAP)R /S(APdm)R /SA(VAP
SP SP
)R /SA(VdmAP
SP
))R /S(,S(JA
( )R /SA(V est indépendant de m )
Et AGmdmAP
SP
D’où
AA
A
(S / R)=J (S, Ω(S / R)) + mAG V(A S / R)
= I (S) Ω(S / R) + mAG V(A S / R)
σ
( A est un point du solide (S) )
* Cas particuliers : Le point A est fixe dans R : AA A(S/ R) J (S, (S/ R)) I (S) (S/ R)
Le point A est confondu avec G (A G) : GG G(S / R)=J (S,Ω(S / R))= I (S) Ω(S / R)σ
Solide (S1) en rotation autour d’un axe fixe dans le repère R :)z,y,x,R(O
repère lié au bâti (S0) ;
1 1 1R (O , x , y , z) repère lié à (S1) ;
L(S1/S0) = pivot d’axe (O, z) , soit )y,y()x,x( 11
.
Soit O 1
1 1(x ,y ,z)
A F E
I (S ) F B D
E D C
, (S1) est supposé quelconque .
x
y
z
O
P
dm
A.
.
(S)
O
(S1)(S0)
x x 1x
z y
1y z
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Le point O est fixe dans R donc O 1 O 1 1(S / R) I (S ) (S / R)
Or z)R /S( 1
donc O 1
1 1 1 1(x ,y ,z) (x ,y ,z)
A F E 0 E
(S / R) F B D 0 D
E D C C
O 1 1 1(S / R) E x D y C z
Remarques concernant ce cas particulier :
. Rq1 : pour un solide (S1) en rotation autour de l’axe )z,O(
fixe dans R , O 1(S / R)
n’est porté par l’axe de rotation z
( O 1(S / R) C z ) que si E = D = 0 ,
donc que si )z,O(
est un axe principal d’inertie de (S1 ) .
. Rq2 : La projection du moment cinétique O 1(S / R) sur l’axe de rotation z
est :
O 1 Ozz. (S / R) C I
avec IOz = C : moment d’inertie de (S1) par rapport à l’axe )z,O(
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VII- ENERGIE CINETIQUE :L’énergie cinétique de l’ensemble matériel (E)
dans son mouvement par rapport aurepère R est le scalaire positif :
P E
21T(E / R) V(P / R) dm
2
IIX- ENERGIE CINETIQUE D’UN SOLIDE :. Soit (S) un solide de masse m et de centre d’inertie G
en mouvement par rapport à un repère )z,y,x,R(O
;
. Soit A un point de (S) ;
Par définition l’énergie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport au repère R est :
dm)R /P(V2
1)R /S(T
SP
2
A et P sont deux points de (S) donc :
AP)R /S()R /SA(V)R /SP(V)R /P(V
Donc
SPSP
2
dm)R /P(V.)R /P(Vdm)R /P(V)R /S(T2
SP
dmAP)R /S()R /SA(V.)R /P(V
SP SP
dmAP)R /S(.)R /P(Vdm)R /SA(V.)R /P(V
SP SP
dm)R /P(VAP.)R /S(dm)R /P(V.)R /SA(V
SP SP
dm)R /P(VAP.)R /S(dm)R /P(V.)R /SA(V
( )R /SA( et )R /S( sont indépendant de m)
Donc A2T(S / R) V(A S/ R).mV(G / R) (S/ R) . (S/ R)
D’où 2T(S/R) = V (S/R) (S/R)
Comoment exprimé au même point A :
AA A
(S / R) mV(G / R)2T(S/ R)
V(A S / R) (S / R)
donc A2T(S/ R) V(A S/ R).mV(G / R) (S/ R). (S/ R)
Comoment exprimé au même point G (centre d’inertie de (S)) :
GG G
(S/ R) mV(G / R)2T(S/ R)
V(G / R) (S / R)
donc 2
G2T(S/ R) m V(G / R) (S/ R) . (S/ R)
Torseur cinématique du
mouvement de (S) par rapport à R
Torseur cinétique de (S) dans
son mouvement par rapport à R
.G
x
y
z
O
P
dmA.
.
(S)x
y
z
O
P
dmG
(E)
..
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* Cas particuliers :
Le point A est fixe dans R : A2T(S/ R) (S/ R) . (S/ R)
Solide (S1) en rotation autour d’un axe fixe dans le repère R :
Le point O est fixe dans R donc O1 1 1 1 O 1 12T(S / R) (S / R). (S / R) (S / R).J (S , (S / R))
Or z)R /S( 1
donc :
)z,S(J.z)z,S(J.z)R /S(T2 1O2
1O1
Car l’opérateur d’inertie est linéaire
Et Oz1O I)z,S(J.z : moment d’inertie de (S1 ) par rapport à l’axe )z,O(
Donc 2Oz1 I)R /S(T2
2Oz1 I
2
1)R /S(T
Le mouvement de (S1) par rapport à R est tel que 1Ω(S / R)=θz
(mouvement plan sur plan ou hélicoïdal …)
2
G1 1 12T(S / R) m V(G / R) (S / R). (S / R)
))R /S(,S(J.)R /S()R /G(Vm 11G1
2
Or z)R /S( 1
donc
)z,S(J.z)R /G(Vm)R /S(T2 1G
2
1
)z,S(J.z)R /G(Vm 1G2
2
Gz2
2
I)R /G(Vm
Donc 2Gz
2
1 I2
1)R /G(Vm
2
1)R /S(T
Avec IGz : moment d’inertie de (S1) par rapport à l’axe )z,G(
Le solide (S1) est en mouvement de translation par rapport au repère R : 2 2
1 1
1 1T(S / R) m V(G / R) m V(A S / R)
2 2 ( A (S1))
O
(S1)(S0)
x x 1x
z y
1y z
O
G
(S1)
x
y
1x
1y
x
y