Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschildstockage.univ-brest.fr/~scott/GR_2013/GR_lecture_9.pdf ·...
Transcript of Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschildstockage.univ-brest.fr/~scott/GR_2013/GR_lecture_9.pdf ·...
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 1
Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschild
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 2
Resume du cours d’aujourd’hui
– Resume du cours 8 (pour lequel nous n’avons pas eu le temps)
sur la conservation d’energie et d’impulsion
– Introduction a les trous noirs de Schwarzschild.
– Changement du genre d’une coordonnee.
– Mouvement geodesique.
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 3
Conservation d’energie et d’impulsion
– Voir (Hobson et al., 2010, Chapitre 8) et e (Schutz , 2009,
chapitre 4).
– Comme T decrit l’energie et l’impulsion d’un fluide ou systeme
de particules, il devrait etre liee a les principes de conservation
d’energie et d’impulsion.
– Considerons un volume de fluide cubique de longueur l (en
coordonnees pseudo-cartesiens). (Voir pp. 98–99 dans
Schutz(2009)). On peut demontrer la conservation d’energie et
d’impulsion,
∂Tαβ
∂xβ= 0
– La demonstration en coordonnees pseudo-cartesiens est plus
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 4
facile ; dans lesquels Γµαβ = 0 et donc,
∂Tαβ
∂xβ= ∇βTαβ = 0
Mais le deuxieme egalite est une equation tensorielle, et par
consequent elle est valide dans tous referentiels ! (Si ca vous
inquiete, voir aussi l’explication dans § 8.3 de HEL2010.)
– Puis Tαβ = T βα, donc nous avons aussi :
∇αTαβ = ∇αT βα = 0
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 5
Les trous noirs : introduction
– En 1784 John Michell a remarque que si un corps de masse
donnee etait assez dense la vitesse de liberation serait superieure
a c. Leur gravite seraient si forte que rien, pas meme la lumiere,
ne peut s’en echapper.
– Dans la relativite generale nous pouvons aussi avoir un tel objet.
Ils sont appeles les « trous noirs ».
– En principe, en peut avoir un trou noir d’il n’importe quelle
masse. C’est la densite de masse qui est importante.
– Les trous noirs macroscopique sont caracterises par trois
parametres, leurs (i) masse, (ii) charge electrique, (iii) moment
cinetique :
1. le trou noir de Schwarzschild est statique et electriquement
neutre ;
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 6
2. le trou noir de Kerr est en rotation et electriquement neutre ;
3. les trous noirs charges electriquement en rotation ou statique.
– Dans l’astrophysique c’est le trou noir de Kerr le plus important
parce que la plus part de corps massifs dans l’univers sont cru
d’etre electriquement neutre et en rotation.
– Si vous voulez pratiquer votre anglais et apprendre la vie de Roy
Kerr (1934–), il y un biographie populaire par Melia (2009).
– Nous avons vu la metrique de Schwarzschild qui decrit la
geometrie de l’espace-temps vide autour du premier trou noir.
– Aujourd’hui nous discutons en plus detail le trou noir de
Schwarzschild.
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 7
Coordonnees du genre temps et du genre
espace
– Dans la relativite restreinte on parle des intervalles du genre
temps ou du genre espace.
– Considerons deux evenements par exemple dite A et B separes
temporellement de ∆t et spatialement de ∆l :
(∆l)2 = ηij
(xi(B)− xi(A)
)(xj(B)− xj(A)
)= ηij∆x
i ∆xj
= (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 (1)
– Rappelez-vous de cours 1, nous avons defini l’intervalle de
relativite restreinte comme :
(∆s)2 = −c2(∆t)2 + (∆l)2
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 8
– Si (∆s)2 < 0 l’intervalle entre A et B est dite du genre temps
parce que la partie temporelle est plus grande. Une particule
massive peut en principe traverser un intervalle du genre temps.
Les deux evenements peut etre relies causalement.
– Par contre, si (∆s)2 > 0 l’intervalle de A et B est dite du genre
espace. Une particule massive ou meme un photon ne peut pas
traverser un intervalle du genre espace. Les deux evenements ne
peut pas etre relies causalement.
– Et c’est claire, a cause de l’invariance de la vitesse de la lumiere,
que les photons toujours lient les evenements avec un intervalle
du genre nul, (∆s)2 = −c2(∆t)2 + (∆l)2 = 0.
– En relativite generale nous pouvons caracteriser une coordonnee
au signe de l’intervalle elementaire ds2 comme le suivant.
– Nous allons voir que le genre est fixe uniquement par le signe de
gαα.
– Si nous fixons toutes les coordonnees sauf qu’un, y par exemple,
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 9
et nous faisons un petit pas dy, puis si
ds2 = gyydy2 < 0
nous disons que cette coordonnee est du genre temps. Par contre,
si gyydy2 > 0 puis y est une coordonnee du genre espace.
– Clairement, puis dxα ∈ <, le genre est fixe uniquement par le
signe de gαα.
– En relativite generale une coordonnee peut change du genre avec
evenement !
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 10
Changement du genre d’une coordonnee
– Rappel : metrique de Schwarzschild. A partir des arguments de
symetrie, nous avons decide que le tenseur metrique doit etre
(ds)2 = −A(r)dt2 +B(r)dr2 + r2 (dθ)2 + r2 sin2 θ (dφ)2
et quand nous resolvons les equations d’Einstein du vide,
Rαβ = 0, nous trouvons que
A(r) = c2/B(r) =
(1− 2µ
r
)Et en exigant que puis r →∞ nous retrouvons la loi de Newton,
il faut que
µ ≡ GM
c2
– TD : Dans la metrique de Schwarzschild, quel est le genre de r
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 11
quand r > 2µ,
– TD : Quel est le genre de r quand r < 2µ.
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 12
Singularites d’espace et des coordonnees
– C’est bien claire qu’il y a un singularite au r = rs, le rayon de
Schwarzschild :
rs ≡ 2µ.
Mais, ce n’est pas tres evident si cette singularite etait due au
choix de coordonnees ou est due au singularite vrai
d’espace-temps la.
– Qu’est-ce-que c’est « une singularite due au choix de
coordonnees » ?
– TD : Est-ce-qu’il y a quelque chose special de la geometrie
d’espace au pole nord ?
– On peut montrer le scalaire de Ricci est, a un evenement donne,
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 13
est
R ≡ Rαα =48µ2
r6
Donc, la courbure est fini a r = rs.
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 14
Le rayon de Schwarzschild du Soleil
– Rappel : Notre argument pour le tenseur metrique de
Schwarzschild n’etait valable que dans le vide autour la sphere
massive avec centre a r = 0. Si le rayon de la sphere est plus
grande que rs, notre solution n’y sera pas valable.
– TD : Qu’est-ce-que c’est rs pour notre Soleil ?
– Le rayon de notre Soleil est environ R� = 696 000 km, sa masse
est M� ≈ 2× 1030 kg, est la constante de la gravitation
G = 6, 674× 10−11 m3 kg−1 s−2, et c ≈ 3× 108m s−1.
– TD : Est-ce-qu’il y a un trou noir dedans le Soleil ?
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 15
Le rayon de Schwarzschild du Soleil
– TD : Solution : Le rayon de Schwarzschild rs pour notre Soleil est
rs ≈ 3km
et donc le Soleil n’est pas un trou noir !
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 16
Les particules autours un trou noir de
Schwarzschild
– Nous comprenons plus un trou noir par etudier les trajectoires
des particules en chute libre autours le trou noir.
– Les particules massives et meme les photons, en chute libre,
suivent les geodesiques.
– Les particules massives en chute libre suivent les geodesiques du
genre temps,
ds2 = gαβ dxα dxβ < 0
– Mais les photons suivent les geodesiques du genre nul,
ds2 = gαβ dxα dxβ = 0
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 17
Mouvement geodesique et la conservation
d’energie-impulsion
– Rappelez-vous que pendant cours 5 nous avons dit que le
principe d’equivalence tiens que : La trajectoire d’une particule
dans un champ de gravitation et aucune force (pas de champ
electrique, nucleaire, etc. ), ce sera celle d’une particule libre –
c’est-a-dire la trajectoire d’une particule en chute-libre dans un
champ de gravitation est une geodesique de l’espace-temps.
– La equation de mouvement de ce particule est
dp
dτ= 0
– Il est possible montrer que les equations d’Einstein, et la
conservation d’energie-impulsion, ∇αTαβ = 0, conduisent a ce
resultat, § 8.8 de HEL2010.
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 18
Geodesiques : parametre affine
– Un geodesique est une generalisation de la notion de ligne droite.
Voir § 3.17 HEL2010. Il est plus facile d’ecrire l’equation de
geodesiques utilisant un parametre affine – c’est-a-dire il un
change pas la magnitude du vecteur tangente t :
t =d
dλ(xαeα)
Si |t(λ)| est constante le longe de la ligne, puis λ est dite
« affine ».
– Le temps-propre τ est toujours un parametre affine parce que,
t =d
dτ(xαeα) ≡ u, la quadri-vitesse
et toujours
u · u = |u|2 = −c2
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 19
Donc τ est un parametre affine !
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 20
Equation des geodesiques
– Sur un geodesique la direction de vecteur tangente ne change pas
le longe de la ligne (autrement dit le vecteur tangent est
transporte parallelement).
– L’equation de geodesiques utilisant un parametre affine λ est
donc
dt
dλ= 0, definition d’un geodesique (2)
– Mais, si λ = τ
t =d
dτ(xαeα) ≡ u, la quadri-vitesse
et nous obtenons une equation pour les geodesiques utilisant la
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 21
derivee covariante :
dt
dτ=du
dτ= 0
0 =dxβ
dτ
∂
∂xβ(uαe
α)
= uβ ∇βuα
= uβ [∂βuα − Γσαβ uσ] (3)
– TD : Plutot que utilisant u = uαeα, utilisez les composantes
covariant u = uαeα et derivez l’equation de geodesiques :
d2xα
dτ2+ Γαβγ
dxβ
dτ
dxγ
dτ= 0
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 22
Equation des geodesiques
– TD : Solution : (Hobson et al., 2010, Eq. (3.47))
du
dτ= 0 =
dxβ
dτ
∂
∂xβ(uαeα)
= uβ ∇βuα
= uβ [∂βuα + Γασβ u
σ]
=duα
dτ+ Γασβ u
σuβ
=d
dτ
(dxα
dτ
)+ Γασβ
(dxσ
dτ
)(dxβ
dτ
)0 =
d2xα
dτ2+ Γασβ
dxσ
dτ
dxβ
dτ(4)
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 23
Parametre affine pour les geodesiques
nulle
– TD : Un photon en mouvement dans la direction x.
Qu’est-ce-que c’est sa quadrivitesse ?
– TD : Rappelez-vous la definition de la quadrivitesse est :
uα ≡ dxα
dτ
Pourquoi nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le
parametre affine d’une geodesiques nulle ?
– TD : Qu’est-ce-qu’on peut faire ? Indice : Quel vecteur est
toujours tangent de la trajectoire ou « ligne d’Univers » d’un
photon ?
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 24
Parametre affine pour les geodesiques
nulle . . .
– TD : Solution : Un photon en mouvement dans la direction x a
une quadrivitesse
u = limv→c
γ(v)(c, v, 0, 0) = (∞,∞, 0, 0)
– TD : Solution : Rappelez-vous la definition de la quadrivitesse
est :
dτ =dx0
u0=dx0
∞= 0
Nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le parametre
affine d’une geodesique nulle parce qu’il est toujours zero.
– TD : Solution : Le quadri-impulsion est toujours tangent de la
trajectoire ou « ligne d’Univers » d’un photon ! Et dans la
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 25
mecanique quantique l’energie et l’impulsion d’un photon sont
E = hν |~p| = h
λ
ou h designe la constante de Planck, ν designe la frequence, et λ
designe la longueur d’onde. Donc, la quadri-impulsion d’un
photon en mouvement dans la direction x est
p =
(E
c,h
λ, 0, 0
)=
(hν
c,h
λ, 0, 0
)– Donc nous parametrons le ligne d’Univers d’un photon avec un
parametre σ tel que,dxα
dσ= pα
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 26
Geodesiques definies a partir de l’aspect
extremal d’intervalle
– Nous avons vu l’equation de geodesiques a partir d’idee que le
vecteur tangent ne change pas de direction le longe de la
geodesique.
– Mais une geodesique est aussi la trajectoire la plus courte. Donc
nous pouvons les trouver en cherchant la trajectoire avec « la
plus courte » ∫ds2 =
∫Ldσ2
ou L designe
L ≡ gαβ xαxβ , xα ≡ dxα
dσ
– On peut aussi penser de L comme le lagrangien L = T − V dans
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 27
lequel T est comme un « energie cinetique »
T = gαβdxα
dσ
dxβ
dσ
et notre parametre affine est comme le temps, et l’energie
potentielle V = 0 parce que la particule qui suive une geodesique
est libre – il n’subit aucune force (rappelez-vous que dans la RG
la gravite n’est pas une force. Elle s’agit la courbure
d’espace-temps !) Je n’aime trop ce argument parce que le
parametre affine σ n’est toujours pas le temps-propre. Je pense
que c’est plus generale de penser d’une geodesique comme un
ligne ou une trajectoire dans une variete courbure qui minimise
l’intervalle.
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 28
Geodesiques de la metrique de
Schwarzschild
– A minimiser∫ds2 on resout les equations de Euler-Lagrange
(tres bref en francais voir (Hobson et al., 2010, Appendice 3C) ;
beaucoup plus de detail mais en anglais voir (Boas, 1983,
Chapitre 9))
– Equations de Euler-Lagrange sont
d
dσ
(∂L
∂xα
)− ∂L
∂xα= 0 (5)
– Ici, pour la metrique de Schwarzschild
L = gαβ xαxβ =
(1− 2µ
r
)c2t2−
(1− 2µ
r
)−1r2−r2[θ2+sin2 θφ2]
– TD : Trouvez l’equations de Euler-Lagrange pour les
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 29
composantes t et φ.
– La composante θ n’est pas necessaire, parce que nous pouvons
toujours, sans perdre de generalite, choisir le systeme des
coordonnees tel que la motion est dans le plan equatorial θ = π/2.
– La composante r = 0 est un peu difficile. C’est plus facile de
prendre au d’abord une integrale premiere de l’equations de
Euler-Lagrange (voir HEL2010).
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 30
Interpretations des equations pour t et φ
– Nous faisons notre interpretation pour le cas d’une particule de
masse m0 et ou notre parametre affine σ = τ (Hobson et al.,
2010, voir Chapitre 9.5)
– La premiere equation dans (5) (i.e. α = 0, celle de t) decrit la
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 31
conservation d’energie :(1− 2µ
r
)t = k
gtt c t = c k
gtt (m0 c t) = m0 c k
gtt pt = m0 c k
pt = m0 c k , et donc
k =ptm0 c
=E
m0 c2(6)
– La φ equation decrit la conservation de quantite de mouvement
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 32
angulaire :
r2 sin2 θ φ = h h a aucune relation avec la constante de Planck
gφφφ = h
gφφ (m0 φ) = m0 h
pφ = m0 h , et donc
h =pφm0
(7)
Cours 9: trous noires de Schwarzschild 33
References
Boas, M. L. (1983), Mathematical methods in the physical sciences,
793 pp., John Wiley and Sons, New York, 793 + xiv pp.
Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite
Generale, de boeck, Bruxelles.
Melia, F. (2009), Cracking the Einstein Code : Relativity and the
Birth of Black Hole Physics, University of Chicago Press.
Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge
University Press, Cambridge UK.