Cour Statestique

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Statistiques

Introduction

Ensemble des méthodes et procédés à partir desquelles on recueille, organise, résume et analyse des données, et qui permettent d’en tirer des conclusions et de prendre des décision judicieuses.

Statistiques descriptives Statistiques inductives

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Définitions

Statistique descriptiveC’est la phase analytique qui consiste à réduire les données à un nombre limité de paramètres caractéristiques susceptibles de décrire la série statistique.

Statistique inductiveC’est une phase qui permet de déduire des résultats obtenus sur un échantillon afin de prendre des conclusions relatives à l’ensemble de la population entière.

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Quelques terminologies de la statistique

Population (univers):

Tout ensemble étudié en statistique s’appelle population. Les éléments sont appelés individus.

Échantillon:

C’est un sous- ensemble d’une population.

Effectif : ( ni )

L’effectif est associé à une variable: c’est le nombre de fois que cette variable se répète.

Fréquence: ( fi )

Le rapport entre l’effectif et le nombre d’effectif total.

Modalité: La valeur prise par une variable X.

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Quelques terminologies de la statistique

Variable:

Elle est définie comme étant une quantité ou caractéristique qui peut varier d’un individu à un autre.

Ex: taille, poids, nationalité…

Variable quantitative:

Elle prend des valeurs numériques et peut être discrète ou continue

Variable qualitative:

Elle ne prend ni valeur numérique et ni un ordre naturel (ex: profession)

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Les premiers traitement de l’information

C’est la phase initiale où il s’agit de rassembler des données, de les regrouper et les présentés sous forme de :

- Tableaux

Ou

- Graphiques

Le tableau établit la correspondance entre deux séries de nombres, l’une est constituée par les valeurs de la variable étudiée ( Modalités ), l’autre par les effectifs correspondants ( ou d’autres : fréquences,….)

Exemples:

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Exemple 1:

Dosage du phosphore par polarographie à tension sinusoïdale surimposé::La mesure de la hauteur d’un pic de réduction d’une solution phosphomolybdique étalon donne les résultats suivants:

60, 59, 58, 58, 56, 57, 60, 59, 59, 59, 58, 59, 61, 60, 61

60, 58, 59, 60, 59, 59, 60, 59, 57, 60, 61, 59, 59, 56, 58.

Exemple 2: On effectue l’analyse du sang de 20 personnes qui ont manipulé un gaz toxique. La mesure du taux de leucocytes ( globules blanc), par mm3, donne les résultats suivants :

3600 5100 6100 4600 5100 4800 3200 47005600 6900 5300 6100 3900 4200 3400 63005400 6200 3200 3700

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Exemple 3:

L’équipe de contrôle de qualité d’une maison d’alimentation doit vérifier le poids d’un produit devant être vendu en format de 20 g. Pour ce faire, on pèse le contenu de 75 pots de ce produit, sélectionnés au hasard. On obtient la distribution suivante :

-Cette distribution est-elle celle d’une population ou celle d’un échantillon?

- Quelle est le caractère étudié? Identifier le type.

- Compléter le tableau.


L(en mm) 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 165-175 175-185

Nbre de tiges 3 5 9 12 5 4 2

Exemple 4:

On veut étudier la longueur des tiges d’acier d’un certaine production. Pour cela on a extrait un lot dont les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Faire une étude descriptive.

Poids (en g) 19 20 21 22 23 24

Nbre de pots 1 7 31 24 11 1

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Présentations graphiques

Diagramme en bâtons (variable discrète):

Lorsque la variable est discrète, on utilise le diagramme en bâtons, tel que les modalités sont portées sur l’axe des abscisses et les fréquences (ou effectifs) sur l’axe des ordonnées.

Si l’on joint les sommets des bâtons, on obtient le polygone des fréquences

Histogramme (variable continue):

Histogramme est formé de bandes rectangulaires ayant la largeur de chaque classe et dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif de la classe considérée.

Le polygone des effectifs (fréquences) s’obtient en joignant les divers points

(ci, ni)

Diagramme circulaire (variable qualitative): i = fi*360°

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Calcul des éléments caractéristiques d’une série statistique

C’est une phase analytique qui consiste à réduire les données à un nombre limité de paramètres caractéristiques.

Paramètres de position(moyenne, médiane…)

Paramètres de dispersion(écart type, variance…)

Permettre de se rendre compte sur l’ordre de grandeur de l’ensemble des observations et de localiser la zone des fréquences maximale

Préciser le degré de dispersion des différentes observations autour d’une valeur centrale.

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Paramètres de position

Mode:

La valeur de la variable correspondant à l’effectif le plus grand.

Lorsqu’il s’agit de la classe on dit classe modale.

Médiane:

la valeur de la variable statistique qui partage la population en deux effectifs égaux.

Deux méthodes sont à considérer selon qu’il s’agit de variable statistiques discrètes ou continues.

Variable discrète- variable continue

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Variable discrète

Représentation graphique point d’intersection des courbes cumulées f

n/2 Me

Variable continue

On cherche la classe médiane

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Les moyennes:

i) La moyenne arithmétique:

Soit une variable X x1, x2………………, xi, xn

On appelle moyenne arithmétique le rapport:

x = 1/n∑ ni xi

ii) La moyenne géométrique:

Lorsqu’une variable croit suivant une progression géométrique.

x1 = x0*r

x2 = x1*r

xn = xn-1*r

g = x0 r n/2

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iii) Moyenne harmonique:

Soit x (x1……… xn) (1/x1, 1/x2………., 1/xn)

iv) Moyenne quadratique:

x ( x1, x2………xn) (x21, x2

2…………, x2n)

n

i i

nH

x11

n

iin

q x1

21

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Paramètres de dispersion

Les paramètres de position sont insuffisants pour caractériser complètement une série

Ex : m1= m2 de deux séries différentes

la répartition ≠


Dev. xi – X

Ecart |xi - X|

Etendue Xmax – xmin

…………

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Etendue :

W = X max – X min

Ecart moyen arithmétique:

C’est la moyenne arithmétique des écarts / à la X (MA)

E = 1/n ∑ ni |xi - X|

Variance V :

C’est la moyenne arithmétique des carrées des écarts / X (MA)

Écart- type :

L’écart type (ou écart quadratique moyen = rms) est la √V

= √V

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Covariance:

Cov(X,Y) = 1/n ∑ (xi – X) (yi – Y)

Coefficient de variation CV :

CV = s/X *100

- CV donne une très bonne idée sur le degré d’homogénéité d’une distribution statistique ( CV < 15%).

- Comparaison de deux distribution.

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Ajustement linéaire & corrélation

Cas générale:

L’ajustement du nuage obtenu consiste à déterminer une fonction de liaison entre X & Y.

y = ax + b ou y = a ebx

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y= a log x + b

19


Y= a/x+ b

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D’une manière générale, l’ajustement consiste à rechercher une fonction f(x) dont la graphe se rapproche le plus possible des points du digramme.

On a toujours:

yi = f(xi) + εi εi = yi- f(xi)

La méthode d’ajustement consiste à déterminer les paramètres de f(x) qui minimisent ces écarts.

∑ | εi| ou bien ii

i ii xfy ))((22

C’est la méthode des moindres carrées

21

2

1

,

n

iiibaxbaS y


n

ii

ii

xn

yxna

x

yx

1

22

2x

yxna

x

yx

i

ii

Droite de régression:

il s’agit de déterminer a et b pour soit minimale.

La droite de régression passe par le point (x,y)

22


Cœfficient de corrélation:

Le coefficient de corrélation permet de mesurer la précision de l’ajustement

yx

YXCovYXr

,

,

Cas extrêmes:

r= -1 il y’a relation linéaire parfaite y=ax+b avec a<0

r= 1 il y’a relation linéaire parfaite y=ax+b avce a>0

r≠0 il n’existe aucune relation linéaire entre X&Y

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Cette loi occupe une place privilégiée en calcul statistique.

Soit X une variable aléatoire continue. On dit que X suit une loi normale (ou loi de Laplace- Gauss) si la densité de probabilité est :

f (x) = (1/ √2π). e-1/2 ((x- m)/)2

Tracer f(x):

• définit la largeur à mi-hauteur de la courbe :

• Plus est grand plus le max est faible et plus la courbe est large

Loi normale (loi de Laplace- Gauss)

m

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Calculer : Prob ( m – x0 ≤ X ≤ m + x0 )

l’aire de la courbe de Gauss comprise entre m- x0 et m+ x0


mm – x0 m + x0

Changement de variable : t = (x-m)/ ( voir démonstrationvoir démonstration )

La loi centrée réduite de paramètre m = 0 & = 1

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Utilisation de la table

Prob (m – x0 ≤ X ≤ m + x0) = Prob (-t0 ≤ T ≤ t0)

t 0.01 0.02 0.06 0.09

0.0

0.1

1.9 0.475

3.8

3.9 0 t

t = 1.96

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Calculer : Prob (m – ≤ X ≤ m + ) Prob (m – 2≤ X ≤ m + 2 )

Prob (m – 3≤ X ≤ m + 3 )

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Loi Normale (Loi De Laplace- Gauss)

Exemple:

La taille des élèves d’une école suit une distribution N (150, 20). N= 1000

1. Qu’elle est le nombre d’élèves ayant une taille comprise entre 140 & 160 ?



4. Qu’elle est le nombre d’élèves ayant une taille supérieure à 170 ?

5. Qu’elle est le nombre d’élèves ayant une taille inférieure à 130 ?

6. Qu’elle est le nombre d’élèves ayant une taille inférieure à 175 ?

7. Qu’elle est le nombre d’élèves ayant une taille supérieure à 135 ?

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Loi Binomiale

Définition

Soit une série de n épreuves successives et indépendantes ( épreuve de Bernoulli)dont l’issue de chaque épreuve est soit « succès » avec une probabilité p, soit « insuccès »avec une probabilité q= 1-p, alors la probabilité d’avoir x succès en n épreuves est donnée par l’expression:

qpCxnxx

nxXob

Pr B (n,p)

Conditions d’application:

• Les résultats de l’expérience ne comporte que 2 résultats possibles: succès ou insuccès

• On répète l’expérience n fois

• La probabilité de réalisation de l’événement succès est la même à chaque essai notée p.

• Les essais sont indépendantes et non exhaustifs ( ou n/N ≤ 0.10 ) .

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Loi Binomiale

Propriétés:

Les paramètres de la loi binomiale sont n et p ( n > 0 et 0 < p < 1)

La moyenne et la variance sont: M = n p & σ² = n p(1-p)

Les valeurs tabulées:

n k p

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

2

0

1

2

0.8100

0.1800

0.0100

0.6400

0.3200

0.0400

0.4900

0.4200

0.0900

0.3600

0.4800

0.1600

0.2500

0.5000

0.2500

3

0

1

2

3

0.7290

0.2430

0.0270

0.0010

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Loi Binomiale

La loi binomiale permet d’évaluer la probabilité de tirer x produits défectueux dans un échantillon de n produits provenant d’un lot important contenant p% de défectueux.

Exemple:

Soit un lot contenant une proportion de 10% de produits défectueux.

On prélève un échantillon de 8 produits sans remise. Calculer la probabilité de tirer dans un échantillon:

un ou zéro produit non- conforme

au moins deux produits non- conformes

Au plus un produit non- conforme

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Loi de Poisson

Définition:

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de poisson, si elle est successible de prendre toutes les valeurs entières 0, 1, 2, 3,…..n…, la probabilité que X soit égale à k étant:

ekkXobk

Pr

Conditions d’application:La loi de poisson s’appelle encore la loi des petites probabilités. Elle est utilisée pour présenter des phénomènes rares:nombres d’accidents, nombre de défauts, de déchets….

Propriétés:

La moyenne et la variance sont: E(X)= λ & σ²= λ

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Loi de PoissonLes valeurs tabulées:

K

λ

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0 λ

1

2 k

3

k

λ

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0

1

2

kXob Pr

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Loi de Poisson

La loi de poisson est largement utilisée pour décrire les défauts compatibles par unité ( exemple, le nombre de ponts de soudure sur un circuit imprimé, pannes de machines, appels téléphoniques sur une ligne, arrivées de clients à comptoir……)

Exemple 1:Supposons que les défauts “ pont de soudure“ sur un circuit imprimé soit distribué selon une loi de poisson avec un paramètre λ= 2.Calculer la probabilité qu’un circuit contienne un pont de soudure au moins.

Exemple 2:Si la probabilité pour qu’un individu ait une mauvaise réaction d’un certain sérum est de 0.001, déterminer la probabilité pour que sur 2000 individus :

- 3- plus de 2

aient une réaction dangereuse.

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Echantionnage &

Estimation

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Echantillonnage

L’échantillonnage a pour objectif d’étudier le lien entre la distribution statistique d’une variable X dans une population P et les distributions de cette variable dans différents échantillons.

Pop :

N, M, Echantillons i : n, mi, i

INTRODUCTION

Echantillonage aléatoire = Les individus ont même Probabilité

Exhaustif Non-exhaustif

?

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Echantillonnage

Soit une Population P X N, M, : E(X) = M & = (X)

soient tous les Echantillons i : n ( k échantillons )

Distribution des moyennes d’échantillons

1 ( n, m1, 1)

2 ( n, m2, 2)

i ( n, mi, i)

k ( n, mk, k)

L’ensemble :m (m1,m2,…,mi,…..mk) constitue une série statistique d’effectif k appelée Distribution des Moyennes.

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Echantillonnage

Distribution des moyennes d’échantillons

Pop :


Non-Exhaustif Exhaustif

E(X) = M

nm

E(X) = M

1

N

nN

nm

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EchantillonnageDistribution des fréquences d’échantillons

Soit une Population P N X1

0p = proportions d’éléments ayant X = 1

On désigne par

q = proportions d’éléments ayant X = 0

tq : p + q = 1 , 0 < p < 1 & 0 < q < 1

La population P de taille est caractérisée par :E(X) = p

=√ p*q

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Echantillonnage

Soit une Population P X N, F, F : E(F) = p & F = √ p*q

soient tous les Echantillons i : n ( k échantillons )

Distribution des fréquences d’échantillons

1 ( n, f1, 1)

2 ( n, f2, 2)

i ( n, fi, i)

k ( n, fk, k)

L’ensemble :m (f1,f2,…,fi,…..fk) constitue une série statistique d’effectif k appelée Distribution des Fréquences.

40

Echantillonnage

Distribution des fréquences d’échantillons

Pop :

N, F, F

Echantillons i : n, fi, i

Non-Exhaustif Exhaustif

E(f) = p

n

qpfm

*)(

E(f) = p

1

*)(

N

nN

n

qpfm

41

EchantillonnageAutres distributions d’échantillonnage

Distributions

N, M,

²t

n < 30 Ajustement d’une distribution théorique et expérimentale

On peut définir d’autres distributions pour toutes variables susceptibles d’être variable d’un échantillon à l’autre ( , Me, V,…..).

42

Echantillonnage

Distribution t:

Distribution

N, M, X Loi normale N (M, )

soit un échantillon de taille n (n, m i, i)

n

Mmi

ti Ecart Réduit

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Echantillonnage

Distribution ²

Pop :


21

2)(2

n

jim

ijx

i

La série (²1, ²2……, ²i…… ²n) constitue une distribution de ²

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EstimationIntroductionSi l’échantillonnage étudié les relations existants entre une population et tous les échantillons de même taille n, l’estimation vise à étudier la représentativité de la population par un échantillon.

IL s’agit d’attribuer une valeur à un paramètre inconnu de la population à partir de la connaissance d’un échantillon extrait de cette population.

Il y a deux types d’estimation :

• Estimation ponctuelle : Attribuer une valeur unique

• Estimation par intervalle de confiance ( IC ) : Donner un intervalle susceptible de recouvrir la valeur recherchée avec une probabilité donnée.

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1. Estimation Ponctuelle de la moyenne : M = E(X) = m

2. Estimation Ponctuelle d’ une variance :

3. Estimation ponctuelle d’une variance d’un échantillon ( s ) :

Estimation

1'

n

n

1

'

nX

Estimation Ponctuelle

Pop : N, M, Echantillons i : n, mi, i’

( M, sont inconnus )

)(

2

)1(

12 Xxs in

46

EstimationEstimation par Intervalle de confiance ( IC )

L’estimation par IC d’un paramètre consiste à calculer, à partir d’un estimateur choisi , un intervalle dans lequel il est vraisemblable que la valeur correspondante du paramètre s’y trouve.

L’IC est défini par deux limites auxquelles est associée une certaine probabilité, fixée à l’avance et aussi élevée qu’on désire, de contenir la valeur vraie du paramètre inconnu :

Prob ( LI ≤ ≤ LS ) = 1 - Avec (1-) = Probabilité associée à l’intervalle d’encadrer la vraie valeur 1 -

/2 /2

47

EstimationEstimation par Intervalle de confiance ( IC )

On peut écrire aussi :

Prob ( - k ≤ ≤ + k ) = 1 - La quantité k dépend de la distribution d’échantillonnage spécifiée de l’estimateur et de la probabilité associée ( = risque d’erreur ) ( voir schéma )

Applications :

• Estimation par IC d’une moyenne

• Estimation par IC d’une proportion

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Il y a 3 cas possibles :

1. Si est connu :

Prob ( m - tm ≤ M ≤ m + tm ) = 1 -

2. Si est inconnu et n 30 :

Prob ( m - tm ≤ M ≤ m + tm ) = 1 -

3. Si est inconnu et n < 30 :

Prob ( m - tm ≤ M ≤ m + tm ) = 1 -

m est l’écart type de la distribution échantillonnage

t valeur extrait de la table N(0,1)

t valeur extrait de la table de la loi de Student (,)

EstimationEstimation par IC d’une moyenne

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EstimationEstimation par IC d’une proportion

nm

Dans le cas de l’estimation d’une proportion on a seul cas car est connu et donné par :

2 = p*( 1- p )

Alors IC est donné par :

Prob ( m - tm ≤ M ≤ m + tm ) = 1 -

Avec m est l’écart type de la distribution échantillonnage :

50

EstimationRemarques

1. Echantillonnage exhaustif :

2. Encadrement de la moyenne de échantillon:

3. Utilisation de la table de Student :

nm

1

N

nN

nm

Prob ( M - tm ≤ m ≤ M + tm ) = 1 -

/2 /21-

t-t

0.9 0.5 0.4 0.01 0.001

1

2

3

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