Aplicacin de la ecuaciones

de campo electrosttico

Flujo elctrico: carga puntual Q centrada en la esfera

Flujo elctrico a travs de la superficie esfrica:

Campo E en la superficie esfrica:

Superficies gaussianas arbitrarias

Para cualquier superficie como S1, S2 o S3

Q fuera de S Flujo nulo

Q dentro de S:

Ecuaciones Maxwell de la electrosttica

E = 01) E es irrotacional (Circulacin nula)

r E .dr s = 0C

r . r E = 0

r . r E = 0

2)

Espacio vaco, libre de carga

r E .d r A = Q 0

S

Distribuciones discretas de cargaPara varias cargas puntuales, la fuerza neta sobre cualquier carga es la suma vectorial de las fuerzas debidas a las otras cargas individuales

En general:

Similarmente:

Cunta energa se requiere para traer las tres cargas a la posicin que se muestra?

Se determina para dos cargas.Se trae la tercera

Energa total de configuracin:

Energa de configuracin (cont.)

Equivalencia de la leyes de Gauss y de

Coulomb

Consiste de dos cargas puntuales de igual magnitud perosignos opuestos, separados una distancia d. El Punto Ppermanece sobre la perpendicular bisectora de la lnea que une las cargas, a distancia s por encima de la lnea.Cul es el campo E en P?

El dipolo elctrico

Campo elctrico del dipolo

EP =2qr2 cos =

qdr3

EP =qds3

si s>>d:

r

cos = d 2r

r = s2 + d 2 4Ep

Potencial de dipolo elctrico (r>>d)

V r( ) = qr acos q

r + acos V r( ) 2aqcos r 2 = r p . r r2

Ms an:

V r( ) = r p .r 1 r( ) = r p .

r V0( )

potencial elctrico de la carga unitaria

V0 = r1Con:

Campo elctrico de dipolo (r>>d)Dipole finito

Dipolo puntual

(cordenadas polares)Definicin de momento dipolar:

qd=p(direccin a +)

Campo elctrico de dipolo (coordenadas cartesianas)

Ez =p

403z2r5

1r 3

Ex =p

403zxr5

Ey =p

403zyr5

Ejercicio: Verificar las componentes del campo dipolar tanto en coordenadas cartesianas como en polares

Ejercicio: Empleando coordenadas cartesianas demuestre que la divergencia del campo elctrico de un dipolo es cero

Ejercicio: Utilizando coordenadas cartesianas demuestre que el rotacional del campo elctrico de un dipolo es cero

Distribuciones continuas de carga

Distribucin continua de cargaSe descompone en partes:

Campo E en P debido a q:

Superposicin:

Hilo cargado (positivo)

s r

dx

d

rd

cos = sr =rddx

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Ep =dxr2 cos

P

El punto P se ubica a distancia S bajo la perpendicular bisectora a la linea cargada de longitud L y carga Q (densidad

lineal de carga, =cte)

dQ = dxdx

EP =2s cosd0

mx

EP =2s sin 0

mx

=L

s s2 + L2 4

Campo elctrico en P (cgs):

EP =2s

Para =/2:(hilo infinito)

EP =

20s(mks)

Campo de la lnea infinita de carga (mks)

E r( ) = 20r

Superficie gaussiana

rPor ley de Gauss:

r E .d r A = 2rlE = l 0

E = 20r

s

P

dy

Campo elctrico del plano cargado infinito

q = 2dxdy

Ep =22

r dy

Ep =42

r cosdy = 42d

ET = 42 d0

2

2

E = 20

= 2

yxdx

...... 1) Hilo cargado infinito:

2) Por simetra:

Plano cargado infinito (ley de Gauss)

E = 2AEQ =A

2AE =A 0

Vista lateral del plano cargado

Clculo del flujo y la carga encerrada

Aplicando ley de Gauss (mks):

E = 20

Ley de Gauss en objetos cargados con simetra

esfrica

Ley de Gauss: Simetra esfrica+Q distribuida uniformemente en el interior de la esfera solida de radio a. Hallar E por doquier

Para campos con simetra esfrica se eliges superficies gaussianas tambin esfricas.

Regin 1: r > aSe dibuja esfera gaussiana de radio r > a

Ley de Gauss: Simetra esfrica

Superficie gaussiana

Nota: r es arbitraria pero es el radio al cual usted calcular el campo E!

Region 1: r > a:Carga total encerrada: qint = Q

Ley de Gauss: Simetra esfrica

Esfera gaussiana

Region 1: r < a:Carga total encerrada:

Ley de Gauss: Simetra esfrica

Qin =ra

3Q = Vgauss

Ley de Gauss:

Potencial de una esfera slida no conductora uniformemente cargada

Ley de Gauss:

BCarga puntual!

Potencial de una esfera slida no conductora uniformemente cargada

Potencial de una esfera slida no conductora uniformemente cargada