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Costruzioni in zonasismicaLezione 8
Sistemi a più gradi di liberà:Oscillazioni libere in assenza
di smorzamento
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Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
N equazioni differenziali omogenee accoppiate tramite lamatrice delle masse, la matrice delle rigidezze oentrambeN è il numero di gradi di libertà dinamici del sistema
È necessario inserire delle condizioni iniziali perattivare il moto
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Il moto di ogni massa non è un’armonica sempliceLa configurazione deformata (u1/u2) varia nel tempo
Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
Risposta del sistema
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Modi naturali di vibrazione:Rappresentano delle determinate distribuzioni deglispostamenti tale che, se il sistema viene posto in quellaconfigurazione e lasciato libero di vibrare, il suo moto saràun’armonica semplice che conserva la forma delladeformata.
Entrambi i piani raggiungono lo spostamento massimo allostesso istante e passano per la posizione di equilibrio allostesso istante.
Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
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In queste condizioni è possibile individuare la pulsazione1, il periodo T1 come nel caso dei sistemi a un grado dilibertà.
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e la pulsazione 2, il periodo T2 corrispondente all’altromodo di vibrazione.
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Il periodo naturale di vibrazione Tn di un sistema a piùgradi di libertà è il tempo richiesto per compiere un ciclodi un moto armonico semplice attivato da unaconfigurazione deformata iniziale corrispondente a unomodi di vibrazione del sistema.
La corrispondente pulsazione naturale di vibrazione è n ela frequenza è fn, dove:
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Modi naturali corrispondenti alle due frequenze naturali divibrazione
o La più piccola delle due pulsazioni naturali è indicata con1, e la più grande come 2: corrispondono al primo esecondo modo di vibrazione.
o Il più grande dei due periodi naturali di vibrazione èindicato con T1 mentre il più piccolo con T2
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Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
Le vibrazioni libere di un sistema non smorzato possono essere descritte matematicamente dalla seguente relazione:
La forma della configurazione deformata non varia nel tempo
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La variazione nel tempo degli spostamenti è descritta da una funzione armonica:
Le costanti di integrazione dipendono dalle condizioni iniziali
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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conseguentemente:
Incognite del problema
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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Considerando le equazioni del moto:
Questa equazione può essere soddisfatta in due modi:qn(t)=0 → u(t)=0 assenza di moto (soluzione banale)
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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Oppure che n and n soddisfino la seguente equazione algebrica:
Problema agli autovalori
per determinare le quantità scalari n2 e n
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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Riscrivendo il problema agli autovalori nella seguente forma:
Questo sistema non ammette soluzione banale se:
Si ha un set di N equazioni algebriche omogenee per gli N elementi
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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sviluppando il determinante si ottiene un polinomio diordine N in n
2 :EQUAZIONE CARATTERISTICA.
Dalla quale si ottengono N radici reali e positive di n2,
poiché m and k simmetriche e definite positive.
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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Il fatto che k sia definita positiva deriva dal fatto chesi considera che le condizioni di vincolo non consentanomoti rigidi.
Il fatto che m sia definita positiva deriva dal fatto chenon si hanno masse nulle per I gradi di libertàconsiderati proprio in seguito all’operazione dicondensazione statica.
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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Le N radici determinano le N frequenze naturali divibrazione: autovalori
Per ogni frequenza naturale, il corrispondente vettoren può essere derivato a meno di una costantemoltiplicativa:
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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Il problema agli autovalori non fornisce l’ampiezza di nma solo la sua forma
Ci sono N vettori indipendenti n noti come modinaturali di vibrazione, o forme modali (sono anche noticome autovettori)
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
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Un sistema con N GdL possiede N frequenze naturali divibrazione spesso raggruppate in un vettore dalla piùpiccola alla più grande, con i corrispondenti periodi emodi naturali di vibrazione
Il termine naturale è utilizzato per enfatizzare cheessi dipendono solo dalla massa e dalla rigidezza delsistema
Il primo modo viene spesso chiamato modofondamentale
Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare
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Matrici modali e spettrali
gli N modi naturali e le N frequenze naturali possono essereassemblate in modo compatto tramite matrici.
Matrice modale
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Matrice spettrale
Matrici modali e spettrali
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Una rappresentazione in forma compatta delle equazionirelative a tutti gli autovalori ed autovettori è la seguente:
Matrici modali e spettrali
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Ortogonalità dei modi
I modi naturali corrispondenti a differenti frequenze naturali,soddisfano le seguenti condizioni di ortogonalità:
queste matrici quadrate sono diagonali e definite positive
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Normalizzazione dei modi
se n è un modo naturale, ogni vettore proporzionale a n ècomunque lo stesso modo naturale.Normalizzazione: consiste nello scalare le ampiezze deimodi naturali tramite un fattore in maniera da poterconfrontare direttamente I modi di vibrazione.
Generalmente è conveniente normalizzare ogni modo taleche la sua componente maggiore sia pari ad uno.
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Normalizzazione dei modi
Un’altra maniera per normalizzare i modi viene fatta affinchési abbia:
Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
T M I
1*11
2*22
1
1M
M
si ottiene:
* TM M dove:
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Normalizzazione dei modi
Ciò comporta che se:
Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
T M I
segue: 2T K
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esempi
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esempi
Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
Con riferimento al telaio shear-type riportato in figura, si determinino:- Le pulsazioni naturali- I modi di vibrazione normalizzati rispetto la matrice
delle masse- La risposta della struttura soggetta a vibrazioni
libere con spostamenti iniziali sia diversi dai modi e sia uguali ai modi di vibrazione
0.70711.4142
1
2
0.4082 0.57740.8165 -0.5774
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esempi
Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
0 5 10 15 20 25 30-0.5
0
0.5condizione iniziale generica
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1condizione iniziale primo modo
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1condizione iniziale secondo modo
primo pianosecondo piano
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4