Costruzioni in c.a. – Metodi di analisi · Costruzioni in c.a. – Metodi di analisi – Verres,...

Costruzioni in c.a. – Metodi di analisi –

Verres, 18 Novembre, 2011

Alessandro P. [email protected]

Corso di formazione in INGEGNERIA SISMICA Verres, 11 Novembre – 16 Dicembre, 2011

2

Gli argomenti trattati

1. Modellazione strutturale1. Modellazione strutturale 2.Metodi di analisi lineari2.Metodi di analisi lineari

2.1. Dinamica (analisi modale o multi-modale)

2.2. Statica

3. Metodi di analisi non lineari3. Metodi di analisi non lineari 3.1 Statica (pushover) 3.2 Dinamica (time-history) – cenni -

BibliografiaBibliografia

3

Definizioni La modellazione strutturale consiste nel passare

dalla costruzione alla struttura Struttura: sistema fisico di masse, elementi di

smorzamento e rigidezze che influenzano, in modo significativo, la risposta meccanica della costruzione su cui sono applicate le azioni.

Azioni: causa o insieme di cause capaci di indurre stati limite nella struttura (§2.5.1 NTC 2008). In base alla loro intensità nel tempo, le azioni si classificano in (§2.5.1.3 NTC 2008): Permanenti (G) Variabili (Q) Eccezionali (A) Sismiche (E): azioni derivanti dai terremoti

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

4

Regole generali di modellazione

La struttura di c.a. è da intendersi come lo scheletro resistente costituito da: Elementi verticali: pilastri e muri portanti. Diaframmi orizzontali: solai.

Nel caso in cui la modellazione strutturale è finalizzata all’analisi sismica, occorre prestare attenzione a:

Tridimensionalità della struttura Diaframmi orizzontali Effettiva distribuzione di masse e rigidezze

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

5

Effetti tridimensionali Le strutture devono essere considerate come

tridimensionali e l’azione sismica di progetto ècomposta da due componenti orizzontali (tra loro ortogonali) ed una verticale.

La componente verticale deve essere considerata obbligatoriamente nei seguenti casi (§7.2.1 NTC 2008): Presenza di elementi pressoché orizzontali di luce > 20 m. Elementi principali precompressi (esclusi i solai di luce < 8 m). Elementi a mensola di luce > 4 m. Strutture spingenti. Pilastri in falso. Edifici con piani sospesi. Ponti. Costruzioni con isolamento.

1. M

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one

stru

ttu

rale

6

Diaframmi orizzontali In generale, un diaframma orizzontale è infinitamente

rigido nel proprio piano(spostamenti nel piano uguali per tutti i punti) se, modellato con la sua reale deformabilità(solaio flessibile), gli spostamenti orizzontali calcolati durante un’analisi sismica non superano per più del 10% quelli ottenuti in condizione di infinita rigidezza (§4.3.1 EC8).

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

Modellazione di un solaio flessibile

Elemento membrana Elementi biella

7

Diaframmi orizzontali I solai possono essere considerati infinitamente rigidi nel

loro piano a condizione che (§7.2.6 NTC 2008): Siano in c.a., o latero-cemento (con soletta di c.a. di spessore

4 cm), o misto accaio-calcestruzzo o legno-calcestruzzo (con soletta di c.a. di spessore 5 cm e opportunamente connessa ai travetti di acciaio o di legno).

Siano presenti aperture che non riducono significativamente la rigidezza.

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

8

Risposta di una colonna1

. Mod

ella

zion

e st

rutt

ura

le

Solai rigidi a flessione Solai flessibili

Dig

ram

mi d

i mom

ento

fle

tten

te

Azione sismica

Def

orm

azio

nidi

inte

rpia

no

sheartype

bendingtype

1° piano

2° piano

3° piano

4° piano

9

Distribuzione di masse e rigidezze Le masse possono essere:

Ripartite lungo gli elementi strutturali Concentrate nei baricentri (o nei nodi) – è la soluzione

più adottata – Le rigidezze:

In genere si fa in modo che i solai siano infinitamente rigidi nel loro piano (in questo modo il solaio può solo avere due traslazioni ed una rotazione nel proprio piano)

Per gli elementi strutturali come travi e pilastri (solidi di S. Venant) la rigidezza da considerare è quella flessionale. Nel caso di pareti (lastre) occorre anche considerare l’effetto del taglio.

In generale, l’azione sismica impegna pesantemente la struttura, ed è dunque necessario considerare, nell’analisi strutturale, la riduzione di rigidezza che si verifica nella fase post-elastica.

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

10

Un caso semplice Edificio di 3 piani

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

3.2m

3.2m

3.2m

5.0 m

5.0

m

0

1

2

3

x

y

Travetti orditi in direzione y Due telai in direzione x Solai infinitamente rigidi nel

piano e a flessione (shear type) Modulo cls Ec = 30 GPa Masse solai

Pilastri

piano (kg/m2)1 12002 12003 800

pilastri Bx (m) By (m)0–1 0.4 0.31–2 0.35 0.32–3 0.3 0.3

lati

11

Calcolo delle masse ai piani1

. Mod

ella

zion

e st

rutt

ura

le

Le masse da considerare nell’analisi sismica, sia a SLU che a SLE, si ottengono dalla seguente combinazione di carico:

G1 e G2 sono i carichi permanenti strutturali e non strutturali, rispettivamente

g= accelerazione di gravità Qk sono i carichi variabili ridotti del coefficiente di

combinazione 2,j (tabella 2.5.I NTC 2008):

1 2 2, 2,j j jG G Qmassa

g

12

Semplificazioni Posso trascurare l’azione verticale. Si fa riferimento ad un solo telaio in direzione x (simmetria). La massa dei pilastri è trascurabile rispetto a quella dei solai. La massa dei solai è equamente ripartita sui due telai. Il cinematismo è definito dal vettore {u} – spostamenti dei

singoli solai – composto da tre elementi 3 gradi di libertà. Le forze sismiche {P} saranno applicate nel baricentro dei solai. Si richiama la sola rigidezza flessionale dei pilastri (si trascura il

contributo a taglio), perché i solai non si deformano. L’effetto di smorzamento è prodotto dai soli pilastri.

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

u3

u1

u2

c3

c1

c2

P2

P3

P1

m3

m2

m1

P2

P3

P1

u3

u1

u2

13

Equazioni del moto

mu cu k u P t

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

m3

m2

m1

P2

P3

P1

u3

u1

u2

Nel caso dell’oscillatore semplice

Si lavora con grandezze scalari

Nel caso del sistema analizzato

Si lavora con matrici e vettori

M u C u K u P t

14

Matrici [M] e [C]

1

2

3

0 00 00 0

mM m

m

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

Nel caso in esame la matrice delle masse è di tipo “diagonale” :

dove:

In generale, la matrice [C] è non diagonale. Nel caso in esame:

m1=massa solaio 1°piano= 0.5 1200 kg/m2 5 m 5 m = 15000 kg



1 1,2

2,1 2 2,3

2,3 3

0

0

c cC c c c

c c

Massa totale = 40000 kg

15

Matrice di rigidezza [K] 1

. Mod

ella

zion

e st

rutt

ura

le

La matrice di rigidezza è la stessa di un’analisi statica. Il suo prodotto [K]{u} da luogo alle forze di richiamo elastico ai vari piani {PE}.

Il generico temine kij della matrice, rappresenta dunque il valore della forza di richiamo PEi, quando lo spostamento uj=1 e tutti gli altri spostamenti u sono nulli.

Consideriamo, ad esempio, il caso in cui u2=1: si possono calcolare k21, k22 e k23.

PE2

PE3

PE1

u3

u1

u2

PE3=k23

PE2=k22

PE1=k21 1

16

Matrice di rigidezza [K]

121 21 12 23

12

122 2EEJP k T ul

2 22 12 23

231223 3

12 23

2

12122

EP k T T

EJEJ ul l

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

Se si isola il primo piano:

Se si isola il secondo piano:

Se si isola il terzo piano:

PE1=k21

T12 T12

PE2=k22

T23 T23

T12 T12

PE3=k23

T23 T23

233 23 23 23

23

122 2EEJP k T ul

17

Il termine 12EJ/l31

. Mod

ella

zion

e st

rutt

ura

le

Nel caso di deformate dei pilastri di tipo shear type, 12EJ/l3 è il taglio prodotto in una trave incastrata ai due estremi e soggetta ad un cedimento u=1 in uno dei due incastri

312 EJT u

l

N.B.: tale formula vale solo nel caso di comportamento lineare elastico, in cui EJ èla rigidezza flessionale della trave.

T

u=1

l

18

Calcolo di [K]

11 12 13

21 22 23

31 32 33

k k kK k k k

k k k

701 1211 3 3

01 12

12 122 5.87 10EJ EJk N ml l

71212 21 3

12

122 2.36 10EJk k N ml

1. M

odel

lazi

one

stru

ttu

rale

[K] è simmetrica: kij = kji(teoremi di reciprocità)

13 31 0k k

7231222 3 3

12 23

12122 3.84 10EJEJk N ml l

72323 32 3

23

122 1.48 10EJk k N ml

72333 3

23

122 1.48 10EJk N ml

19

Analisi dinamica lineare 2.

1 A

nal

isi d

inam

ica

linea

re

È il metodo di analisi “di riferimento”, e consiste (§7.3.3.1 NTC 2008): Nella determinazione dei modi di vibrare della costruzione. Nel disaccoppiamento delle equazioni del moto Nel calcolo degli effetti dell’azione sismica per ciascuno dei modi di

vibrare calcolati, e combinazione di questi effetti

Da un punto di vista matematico si risolve il sistema (0)

generalmente composto da equazioni differenziali accoppiate, trasformandolo in un insieme di equazioni disaccoppiate.

Si opera in campo lineare elastico, e le non linearità del materiale vengono considerate attraverso l’uso di un opportuno spettro di risposta e del fattore di struttura q.

M u C u K u P t

20

Calcolo dei modi di vibrare

0M u K u

sinu t

2 0M K

Si fa riferimento alle oscillazioni libere del sistema in assenza di smorzamento. In tali condizioni [C]={P}=0, ed il sistema generale diventa:

(1) È un sistema di equazioni differenziali omogenee, e si

suppone che la soluzione sia del tipo: (2)

Sostituendo (2) in (1) si ha il seguente sistema di equazioni omogenee:

(3) Oltre alla soluzione banale {}={u}={0} (assenza di

moto), vi sono altre soluzioni per pulsazioni (autovalori) che soddisfano la seguente equazione:

(4) 2det 0M K

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

21

Calcolo dei modi di vibrare Vi sono dunque n soluzioni, dove n = numero di

incognite di spostamento = numero di gradi di libertàdel sistema.

Nel caso in esame (n=3), Eq.(4) diventa la seguente equazione algebrica:

dove: = 2, =-2.25·1012, =1.79·1016, =-3.53·1019

=1.23·1022

Che fornisce le seguenti soluzioni:1 = 441.3 1 =21.01 rad/sec T1 =0.3 sec2 = 2434 2 =49.34 rad/sec T2 =0.13 sec3 = 5080 3 =71.27 rad/sec T3 =0.09 sec

3 2 0

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

22


211 1 12 13

221 22 2 23 2

2331 32 33 3

1 000

i

i

ii

k m k k

k k m k

k k k m

Il generico modo di vibrare i ha dunque pulsazione i , periodo Ti , e spostamenti {u}i:

Il vettore (autovettore) delle componenti dello spostamento {}i è definito a meno di un valore arbitrario imposto ad una componente (ad esempio 1=1).

{}i si calcola risolvendo il sistema (3):

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

sin ii iu t

23


ii iQ

Nel caso in esame si ha:

Se {}i è soluzione del problema del moto libero, lo saràanche {}i:

Dove Qi è una costante arbitraria che per comodità èposta pari a:

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Vettori Componenti {}1 {}2 {}3

1 (m) 1 1 1 2 (m) 2.21 0.94 -0.74 3 (m) 3.15 -1.47 0.31

1

i Ti i

QM

24

Calcolo dei modi di vibrare Nel caso in esame si ha:

{}i rappresenta il modo di vibrare (deformarsi) al periodo Ti

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

m3

m2

m1

Vettori Componenti {}1 {}2 {}3

1 0.002 0.004 0.006 2 0.005 0.004 -0.005 3 0.007 -0.007 0.002

1(2)

2(2)

3(2)

1(1)

2(1)

3(1)

1(3)

2(3)

3(3)

T1=0.29 s T2=0.13 s T3=0.09 s

Q1= 0.0023Q2= 0.0044Q3= 0.0064

25

Disaccoppiamento delle equazioni

u q L’oscillazione del sistema sarà una combinazione dei modi

(5)

dove [] raccoglie tutti gli autovettori {}i ordinati per colonna e {q} è il vettore dei coefficienti.

Se si pre-moltiplicano i termini di (0) per []T e si sostituisce la (5) nella (0) si ottiene:

Le nuove matrici di massa, smorzamento e rigidezza sono tutte diagonali ho disaccoppiato il sistema

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

TM q C q K q P t

Funzione del tempo e dello spazio

Funzione dello spazio

Funzione del tempo

26

1 0 00 1 00 0 1

TM M

Matrice di massa

Matrice di rigidezza

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Si ottiene una matrice identità [I] perchéi vettori {}i sono m-ortonormali: i vettori {}i sono stati normalizzati rispetto a Qi .

21

22

23

0 0 441.3 0 00 0 0 2434 0

0 0 50800 0

TK K


27

22P t

u u um

1 1

2 2

3 3

2 0 0 2.1 0 00 2 0 0 4.93 00 0 2 0 0 7.13

TC C

Analogia con l’oscillatore semplice: L’equazione generale del moto

Si trasforma in

dove

La matrice di smorzamento, in analogia con l’oscillatore semplice, è posta pari a:

dove 1=2=3= 0.05 (caso di struttura di calcestruzzo)

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

c/m=2k/m=2

mu cu k u P t


28

T TgP t M u

Se la forza agente {P(t)} è un terremoto, si avrà(6)

L’accelerazione al suolo è la stessa ai vari piani:

(7)

Sostituendo (7) nella (6) si avrà:

{g} = vettore dei coefficienti di partecipazione di modale (i termini gi hanno le dimensioni di massa1/2)

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Accelerazione al suolo

111

g g gu i u u

18464.644.5

T Tg g gP t M i u g u u


29

1 1 12.1 441.3 184 gq q q u

M u C u K u P t

Dal sistema iniziale accoppiato

Al sistema disaccoppiato di tre oscillatori semplici

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

T1 = 0.29 sMassa= g1

2 = 33850 kg

g12

2 2 24.93 2434 64.6 gq q q u


2 = 4170 kg

g22

3 3 37.13 5080 44.5 gq q q u


2 = 1980 kg

g32

m3

m2

m1

P2

P3

P1

u3

u1

u2

2 2 21 2 3 1 2 3 40000g g g m m m kg Massa totale =


30


2

1

i

jj

i

gMMA

massa totale

Al modo di vibrare i-esimo si hanno:

Massa partecipante

Massa partecipante cumulata

Nel caso esaminato si ha:

Dovranno essere considerati tutti i modi con MM > 5% e comunque un numero di modi con MMA > 85% (§7.3.3.1 NTC 2008).

Nel caso esaminato si può trascurare il 3° oscillatore (terzo modo di vibrare)

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare 2

ii

gMMmassa totale

modo di vibrare MM MMA1 85% 85%2 10% 95%3 5% 100%

31

Calcolo delle sollecitazioni

gu

0sin i i

t tii g i

i

gq t x t e d

Il calcolo delle sollecitazioni può essere fatto con una: Analisi “time history”: definito un accelerogramma ( ) si

risolvono gli oscillatori semplici con l’integrale di convoluzione (o di Duhamel) e si ottengono le qi(t):

Si ricavano quindi gli spostamenti

e le sollecitazioni taglianti e flettenti ad ogni piano (sono funzioni di {u(t)}).Si tratta di un procedimento concettualmente semplice, ma laborioso, e pertanto si usa raramente.

Analisi con lo “spettro di risposta”: in questo caso non si valuta l’evoluzione temporale di spostamenti e sollecitazioni, ma solo i massimi valori assunti da queste grandezze durante l’evento sismico.

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

u t q

32

Calcolo delle sollecitazioni Analisi con spettro di risposta elastico orizzontale (§3.2.2.2

EC8) – spettro delle accelerazioni per suolo di tipo A –

Si possono quindi calcolare le accelerazioni massime Sa per ciascun modo di vibrare (o ciascun periodo Ti) e quindi i massimi valori di qi:

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

periodo (s)

Sa/g

,,max , 2

a ii i d i i

i

Sq g S g

modo T (s) Sa (m/s2) qmax

1 0.29 10.3 4.292 0.13 9.37 0.253 0.09 7.75 0.06

33

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare


,max,max iiiu t q

Calcolo degli spostamenti massimi nei vari modi:

Calcolo delle sollecitazioni nei vari modi

01 011, 1, 0, 1, 1, 0,3 2

01 01

12 122, 2, 1, 2, 2, 1,3 2

12 12

23 233, 3, 2, 3, 3, 2,3 2

23 23

12 6

12 6

12 6

i i i i i i

i i i i i i

i i i i i i

EJ EJT u u M u ul lEJ EJT u u M u ul lEJ EJT u u M u ul l

M3

T1

T2

T33

2

1

0

M2

M1

34

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare


2i

iSRSS E E

Le azioni calcolate ai vari modi vanno opportunamente combinate se i periodi di oscillazione Ti differiscono fra loro meno del 10%

si utilizza una combinazione quadratica completa CQC (§C7.3.3.1 NTC2008).

Se i periodi di oscillazione Ti sono ben distinti tra di loro siutilizza la radice quadrata della somma dei quadrati SRSS (§7.3.3.1 NTC2008).

dove E= valore globale dell’azione (u, T, M)Ei= valore al modo i dell’azioneij= coefficiente di correlazione tra modo i e j (§C7.3.3.1

NTC2008)

ij i ji j

CQC E E E

35

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Calcolo delle sollecitazioni Nel caso in esame si ottiene:

I periodi di oscillazione Ti differiscono fra loro più del 10% e dunque si usa la SRSS per combinare le azioni calcolate ai vari modi: Se considero tutti i modi:

Se considero solo i primi due modi:

Non c’è sostanziale differenza tra il considerare 2 o 3 modi.

modo u1 (m) u2 (m) u3 (m) T1 (kN) T2 (kN) T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)1 0.01 0.02 0.03 174 141 69 279 226 1102 0.0011 0.001 -0.016 19 -0.76 -19.9 31.3 -1.22 -31.93 0.0004 -0.0003 0.0001 7.66 -8.95 3.39 12.3 -14.3 5.43

Tagli Momentispostamenti

u1 (m) u2 (m) u3 (m) T1 (kN) T2 (kN) T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)0.010068 0.020027 0.034 175.2018 141.2858 71.8923 281.0195 226.45525 114.66078

spostamenti Tagli Momenti



36

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Osservazioni sul calcolo di M

26 ul

26EJM u EJl

Il generico momento flettente è calcolato nell’ipotesi di comportamento elastico dei materiali

Nel caso esaminato si ha: Curvatura (deriva dal cinematismo della singola colonna)

(8) Rigidezza flessionale

c omEJ E J

Modulo elastico del calcestruzzo

Momento d’inerzia della sezione di c.a., omogenizzata rispetto al calcestruzzo, e ipotizzata interamente reagente

37

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Il legame momento curvatura di una sezione di c.a. ènonlineare

EJ= Ec Jom= rigidezza flessionale della sezione interamente reagente ed in regime lineare elastico

Mcr= momento di fessurazioneMy = momento di snervamentoMu= momento ultimo = curvatura - Eq.(8) -EJ*= rigidezza secante

A parità di curvatura, la risposta reale della sezione ècaratterizzata da una rigidezza minore (EJ*), e da un momento reale M =EJ* < Me.


Mcr

MMy

Mu

1

1

EJEJ*

Me=EJ

Curvatura

Mom

ento

38

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Se dunque si vuole calcolare la risposta effettiva della sezione, occorre ridurre il momento di un fattore di riduzione R pari a:

Me è stato calcolato con riferimento ad uno spettro delle accelerazioni, pertanto R rappresenta anche il rapporto tra l’accelerazione del sistema elastico Sale e la corrispondente accelerazione del sistema non lineare Sa,nl


eMRM

,

,

a el

a nl

SR

S

Lineare elastico

Non lineare

39

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Il altre parole, il calcolo delle sollecitazioni va fatto con uno spetto di progetto, ottenuto riducendo quello elastico con un fattore di struttura q (§7.3.1 NTC2008). q=1 se la struttura non dissipa (cioè non entra in campo

nonlineare), come accade nel caso degli stati limite di esercizio.

q>1 se la struttura dissipa (cioè entra nel campo nonlineare), come accade nel caso degli stati limite ultimi. In questi casi, il valore di q dipende dalla classe di duttilità, dalla tipologia strutturale (§7.4.3.2 NTC2008) e dalla regolarità della struttura. Ovviamente, in questi casi occorre che le membrature soddisfino dei requisiti di duttilità (come, ad esempio, la gerarchia delle resistenze) che a loro volta dipendono dal tipo di classe. La NTC 2008 stabilisce due possibili classi: classi di duttilità alta (CDA) e classi di duttilità bassa (CDB). L’EC8 ne individua tre: high ductility class (HDC), medium ductility class (MDC), e low ductility class (LDC).


40

Calcolo con spettro di progetto Se q=5, lo spettro di progetto a SLU per azioni orizzontali

(§3.2.2.5 EC8) – suolo di tipo A – diventa

Si possono quindi calcolare le accelerazioni massime Sa per ciascun modo di vibrare (o ciascun periodo Ti) e quindi i massimi valori di qi:

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

,,max , 2

a ii i d i i

i

Sq g S g

modo T (s) Sa (m/s2) qmax (m)1 0.29 2.06 0.862 0.13 2.37 0.0633 0.09 2.91 0.025

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

periodo (s)

Sa/g

41

Calcolo con spettro di progetto2.

1 A

nal

isi d

inam

ica

linea

re

Nel caso in esame si ottiene:

I periodi di oscillazione Ti differiscono fra loro più del 10% e dunque si usa la SRSS per combinare le azioni calcolate ai vari modi: Se considero tutti i modi:

Se considero solo i primi due modi:

Non c’è sostanziale differenza tra il considerare 2 o 3 modi.

modo u1 (m) u2 (m) u3 (m) T1 (kN) T2 (kN) T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)1 0.002 0.004 0.06 34.9 28.3 13.8 55.8 45.3 222 0.0003 0.0003 -0.0004 4.96 -0.193 -5.04 7.93 -0.309 -8.063 0.0002 -0.0001 0.00005 2.88 -3.36 1.27 4.06 -5.37 2.04

Tagli Momentispostamenti





42

Confronto dei risultati2.

1 A

nal

isi d

inam

ica

linea

re

Con lo spettro elastico

Con lo spettro di progetto



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

periodo (s)

Sa/g



43

Completamento dell’analisi2.

1 A

nal

isi d

inam

ica

linea

re

Essendo la struttura regolare in pianta, l’analisi dinamica lineare va condotta per ciascuna delle due direzioni orizzontali. Quindi oltre alla direzione x, sviluppata in precedenza, va condotta un’analisi anche in direzione y (§4.3.3.1 EC2).

Nel caso in esame di struttura simmetrica rispetto alle direzioni x ed y, il baricentro delle masse e quello delle rigidezze coincidono. Quindi, i singoli impalcati subiscono solo uno spostamento in direzione x, nel caso dell’analisi in direzione x, ed un solo spostamento in direzione y nel caso dell’analisi in direzione y. In entrambe le circostanze non esistono rotazioni degli impalcati, né spostamenti nell’altra direzione.

44

Completamento dell’analisi2.

1 A

nal

isi d

inam

ica

linea

re

Tuttavia, non potendo conoscere con esattezza la posizione delle masse e delle rigidezze, ed anche l‘evoluzione di queste ultime in campo non lineare, ci si tutela con l’introduzione di un’eccentricità accidentale, nelle due direzioni, pari a (§4.3.2 EC2, §7.2.6 NTC2008):

dove Li= direzione dell’impalcato perpendicolare alla direzione dell’azione sismica.

In queste condizioni, l’analisi della struttura va fatta con almeno 4 carichi (2 per ogni direzione principale), con lo stesso segno delle eccentricità ai vari piani:

5%i ie L

xyey

-

Exey

+ xy

Exx

y

Ey

ex-

xy

Eyex+

45

,max,max ,max i a ii i i iF M u M q M S T

2

1

n jj i

iF F

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Ognuno dei 4 casi può essere risolto in due modi Modo rigoroso: ricorrendo ad un modello spaziale (analisi 3D) in

cui i singoli solai hanno due traslazioni ed una rotazione. A questa condizione ci si riconduce anche quando non esiste la regolarità in pianta della struttura.

Modo semplificato: facendo sempre un’analisi 2D, come quella sviluppata in precedenza. Si calcolano quindi le forze statiche equivalenti di piano per ciascun modo di vibrare i:

Al generico piano j, si combinano le azioni calcolate agli n modi di vibrare:

e si calcola il momento torcente equivalente:

Completamento dell’analisi

j jMt F e

46

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Tale momento si decompone in una serie di forze statiche, applicate ai vari telai, in modo da generare lo stesso momento torcente. Nella prima analisi, ad esempio, si ha (2° piano):

Il momento torcente provocherà una rotazione dell’impalcato, ed un singolo pilastro sarà soggetto a due forze in direzione x ed y:

dove Ix,p e Iy,p sono i momenti d’inerzia del pilastro p-esimo rispetto alle direzioni x e y, ed xp yp le distanze dei pilastri dal centro di massa.


xyey

-

Ex

xy

F2 xy

Mt2

+

Effetti valutati con l’analisi modale

Effetti valutati con un’analisi statica

xy

Mt2

,

, 22 2

, ,1

x p px p m

x p p y p pp

I yS Mt

I y I x

,

, 22 2

, ,1

y p py p m

x p p y p pp

I xS Mt

I y I x

m = numero di pilastri nel singolo piano

47

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

In pratica si viene ad avere ogni telaio soggetto a forze orizzontali statiche. In direzione x si avrà:

dove mm = numeri di pilastri del piano i-esimo presenti nel telaio considerato. Si calcolano quindi gli spostamenti e le sollecitazioni:


PE2

PE3

PE1

u3

u1

u2 , ,1

mm

E i x p ipP S

01 011, 1, 0, 1, 1, 0,3 2

01 01

12 122, 2, 1, 2, 2, 1,3 2

12 12

23 233, 3, 2, 3, 3, 2,3 2

23 23

12 6

12 6

12 6

i i i i i i

i i i i i i

i i i i i i

EJ EJT u u M u ul lEJ EJT u u M u ul lEJ EJT u u M u ul l

M3

T1

T2

T33

2

1

0

M2

M1

1Eu K P

48

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

I valori di u, T e M sono gli effetti E calcolati con le analisimodali eseguite separatamente nelle direzioni x e y, sia con il metodo rigoroso che con quello semplificato.

Si combinano quindi gli effetti E prodotti dalle analisi nelle varie direzioni con le formule (§7.3.5 NTC2008, §4.3.3.5 EC8)

dove Ex è l’effetto prodotto dall’analisi sismica in direzione x e Ey è quello prodotto dall’analisi in direzione y.

Si può anche tenere in conto l’azione verticale:


0.3

0.3x y

y x

E combinato con E

E combinato con E

0.3 0.3

0.3 0.3

0.3 0.3

x y z

y x z

z x y

E combinato con E e con E



49

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Completamento dell’analisi Nel caso in esame consideriamo il calcolo del momento

flettente Mx in un pilastro del generico impalcato i: Si fanno le 4 analisi e si ottengono 4 valori di Mx

I valori di Mx sono ottenuti considerando anche i carichi verticali, oltre all’azione sismica E, secondo la combinazione

dove P è l’effetto prodotto dalla precompressione.

xyey

-

Exey

+ xy

Exx

y

Ey

ex-

xy

Eyex+

1xM2xM 3xM

4xM

1 2 2, 2,j j jG G P E Q

50

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare


3 1

3 1

3 1

3 1

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

4 1

4 1

4 1

4 1

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

4 2

4 2

4 2

4 2

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

3 2

3 2

3 2

3 2

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

1 3

1 3

1 3

1 3

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

1 4

1 4

1 4

1 4

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

2 4

2 4

2 4

2 4

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

2 3

2 3

2 3

2 3

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

Si fanno quindi gli inviluppi di 32 situazioni

A cui si aggiunge il calcolo di Mx che deriva dall’analisi a SLU della struttura in assenza di sisma, considerando agenti i seguenti carichi

(di solito in questo caso si considera la situazione di pieno carico, per cui le situazioni di carico complessive sono 33).

1 1 2 2 1 1 0, ,jG G p Q k j k j QjG G P Q Q

51

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Riepilogo L’analisi modale, con spettro di risposta e nell’ipotesi di

solai infinitamente rigidi, si sviluppa nei seguenti punti: 1. Valutazione di [M], [K] 2. Si calcolano i periodi di vibrazione Ti

3. Si calcolano gli autovettori {}i

4. Si calcolano il vettori di partecipazione modale {g} 5. Si calcolano le masse partecipanti MMi

6. Si di definiscono i periodi di oscillazione principali 7. Si valutano le accelerazioni spettrali Sai

8. Si calcolano le sollecitazioni (e le forze statiche equivalenti {F}inel caso di analisi 2D).

9. Si calcolano gli effetti secondo la combinazione CQC o SRSS 10. Si aggiungono gli effetti dell’eccentricità accidentale (4 analisi) 11. Si fanno gli inviluppi delle 32 situazioni 12. Si aggiunge la 33a situazione legata all’assenza di sisma

52

2.1

An

alis

i din

amic

a lin

eare

Osservazioni sull’analisi modale Nel caso in cui il solaio non è possibile considerarlo

infinitamente rigido assialmente e/o a flessione e nelle situazioni in cui la massa di tutti gli elementi deve essere tenuta in conto, è opportuno eseguire l’analisi modale 3D facendo riferimento al metodo degli elementi finiti (FEM).

Dall’analisi modale 3D si evince il comportamento dinamico della struttura e dunque si evince la sua “regolarità”: Si ha una regolarità in pianta se la struttura ha un

comportamento disaccoppiato nelle direzioni x e y. Si ha una regolarità in altezza quando la regolarità in pianta

si ripete ai vari piani e non ci sono eccessive differenze di spostamento tra un piano e l’altro. La presenza di un modo di vibrare che prevale rispetto agli altri è indice di regolaritàin altezza.

53

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Analisi statica lineare Rappresenta una semplificazione dell’analisi dinamica

lineare (modale), e consiste nell’applicare alla struttura delle forze statiche equivalenti a quelle che produce l’azione sismica (dinamiche).

Anche in questo caso si ipotizza un comportamento lineare della struttura, facendo ricadere le non linearitànel fattore di struttura q.

La valutazione delle forze statiche si evince dallo spettro di riposta e dal primo modo di vibrare della struttura, che deve prevalere rispetto agli altri modi.

Si può applicare l’analisi statica lineare quando: Si ha una struttura regolare in altezza Il primo modo di vibrare è da solo rappresentativo del

comportamento della struttura sotto l’azione sismica

54

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Regolarità in altezzaSecondo le NTC 2008 (§7.2.2), una struttura è regolare in altezza quando: Estensione per tutta l’altezza dell’edificio dei sistemi resistenti verticali. Masse e rigidezze costanti o variabili gradualmente lungo l’altezza (le

variazioni di massa da un piano all’altro non superano il 25%, la rigidezza non si abbassa da un piano al sovrastante più del 30% e non aumenta più del 10%).

Differenza inferiore al 20%, in strutture intelaiate in classe di duttilitàbassa, tra il rapporto fra la resistenza affettiva e la resistenza richiesta calcolata ad un generico piano e l’analogo rapporto calcolato per un altro piano (ad eccezione dell’ultimo piano di strutture intelaiate di almeno 3 piani).

Restringimenti graduali della sezione orizzontale da piano un al successivo (vedi Figura), ad eccezione dell’ultimo di edifici con almeno 4 piani.

55

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Regolarità in altezzaAnche l’EC8 (§4.2.3.3) definisce regole simili. In particolare i primi tre punti sono uguali (anche se non sono definite quantitativamente la brusca variazione di massa e rigidezza), mentre per i restringimenti, impone le limitazioni schematizzate in figura.

56

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Il 1° modo di vibrare L’analisi statica lineare si può applicare se il periodo T1 del

1° modo di vibrare soddisfa le seguenti condizioni rispetto allo spettro di risposta considerato (§7.3.3.2 NTC2008) :

T1 ≤ 2.5 TC

T1 < TD

N.B. La prima condizione garantisce che gli effetti taglianti relativi al primo modo di vibrare siano effettivamente predominanti sugli altri modi. Tale ipotesi è alla base del metodo statico lineare. Si ricorda che il punto C dello spettro di risposta elastico è funzione della categoria di suolo.

57

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Stima di T1 Per calcolare T1 si può fare riferimento a:

Risultati dell’analisi modale Metodi empirici come quelli normativi

La NTC 2008 (§7.3.3.2) e l’EC8 (§4.3.3.2.2) suggeriscono, per costruzioni che di altezza H ≤ 40 m e la cui massa sia pressappoco uniforme sull’altezza, la seguente formula:

dove C1=0.085 per strutture a telaio in acciaio, C1=0.075 per strutture a telaio in calcestruzzo, C1=0.05 per strutture di altro tipo.

L’EC8 suggerisce anche la seguente formula

dove d è lo spostamento orizzontale elastico in sommitàdell’edificio, ottenuto applicando orizzontalmente i carichi gravitazionali

Metodo di Rayleigh (più affidabile di quelli normativi)

3/ 41 1T C H

1 2T d

58

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Metodo di Rayleigh Per calcolare T1 con il metodo di Rayleigh

1) Si calcolano i carichi gravitazionali di ogni piano secondo la combinazione

2) Tali carichi si dispongono come carichi orizzontali Wi ai vari piani e si calcolano gli spostamenti i dei piani in condizioni statiche lineari

3) Si calcola T1 con la formula

1 2 2, 2,j j jG G P E Q

2 2 2 2

11 1 539.6 0.2 527.3 0.16 527.3 0.092 2

9.81 539.6 0.2 527.3 0.16 527.3 0.09i i

i i

WTg W

539.6 kN

527.3 kN

527.3 kN

59

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Calcolo del taglio alla base

La risultate delle forze statiche orizzontali (cosiddetta taglio alla base Fh) equivalenti all’azione dinamica si calcola con la seguente formula:

dove W= peso complessivo della costruzione (somma dei Wi ai vari piani);

Sa = ordinata dello spettro di risposta delle accelerazioni in corrispondenza del periodo fondamentale T1;

= 0.85 (se la struttura ha almeno tre orizzontamenti e se T1<2 TC); = 1 (in tutti gli altri casi);

g = accelerazione di gravità

11

h aF S T Wg

60

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Il taglio alla base Fh è distribuito lungo i piani proporzionalmente alle forze d’inerzia corrispondenti al primo modo di vibrare. Tale modo è approssimativamente lineare, per cui, si assume che le componenti del vettore {}1 siano espresse da:

Le forze di piano risultano dunque:

,1i

in

zz

Calcolo della distribuzione delle forze

1

i ii h n

j jj

W zF FW z

F1

Fi

Fn

61

Completamento dell’analisi Si calcolano spostamenti e rotazioni in modo statico

partendo dalla relazione

Se la struttura è regolare in pianta, l’analisi statica lineare va condotta per ciascuna delle due direzioni.

Nel caso di struttura simmetrica rispetto alle direzioni x ed y, gli effetti torsionali accidentali possono essere presi in considerazione amplificando le sollecitazioni su ogni elemento resistente della quantità:

F K u

1 0.6e

xL

dove x è la distanza dell’elemento resistente dal baricentro delle masse (distanza perpendicolare alla direzione dell’azione sismica); Le = distanza tra i gli elementi resistenti più lontani misurata allo stesso modo

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

62

Completamento dell’analisi Se non esiste la regolarità in pianta della struttura, va

eseguita un’analisi 3D. In questo caso, occorre tenere in conto sia l’eccentricità effettiva tra il centro delle masse e delle rigidezze, sia quella accidentale, nelle due direzioni, già definita nel caso dell’analisi dinamica

Si fanno dunque le 4 analisi

E si calcolano le sollecitazioni considerando anche carichi verticali, oltre all’azione sismica E, secondo la combinazione

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

5%i ie L

xyey

-

Exey

+ xy

Exx

y

Ey

ex-

xy

Eyex+

1 2 2, 2,j j jG G P E Q

63

Completamento dell’analisi Si fanno quindi gli inviluppi di 32 situazioni (in assenza di

azioni sismiche verticali)

A cui si aggiunge la situazione di pieno carico che deriva dall’analisi a SLU della struttura in assenza di sisma, considerando agenti i seguenti carichi

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

1 1 2 2 1 1 0, ,jG G p Q k j k j QjG G P Q Q

3 1

3 1

3 1

3 1

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

4 1

4 1

4 1

4 1

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

4 2

4 2

4 2

4 2

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

3 2

3 2

3 2

3 2

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

1 3

1 3

1 3

1 3

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

1 4

1 4

1 4

1 4

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

2 4

2 4

2 4

2 4

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

2 3

2 3

2 3

2 3

0.30.30.30.3

x x x

x x x

x x x

x x x

M M MM M M

M M MM M M

64

Riepilogo

L’analisi statica lineare, con spettro di risposta e nell’ipotesi di solai infinitamente rigidi, si sviluppa nei seguenti punti: 1. Valutazione di [K] 2. Si stima il 1° periodo di vibrazione T1

3. Si valuta l’accelerazione spettrale Sa

4. Si calcolano le forze statiche equivalenti nei vari piani 5. Si calcolano le sollecitazioni (aggiungendo gli effetti

dell’eccentricità accidentale - 4 analisi 3D). 6. Nell’analisi 2D, si aggiungono gli effetti dell’eccentricità

accidentale con l’amplificazione delle sollecitazioni 7. Nell’analisi 3D, si fanno gli inviluppi delle 32 situazioni 8. Si aggiunge la situazione di tutto carico legata all’assenza di

sisma

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

65

Osservazioni conclusive Sia nell’analisi modale che in quella statica, si è fatto

riferimento ad analisi 2D (modelli piani) ed analisi 3D (modelli spaziali). Questi ultimi sono necessari se le strutture non sono regolari in pianta

La struttura è regolare in pianta se (§7.2.2 NTC 2008):a) la configurazione in pianta è compatta e approssimativamente simmetrica rispetto a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e rigidezze;b) il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui la costruzione risulta inscritta èinferiore a 4;c) nessuna dimensione di eventuali rientri o sporgenze supera il 25 % della dimensione totale della costruzione nella corrispondente direzione;d) gli orizzontamenti possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano rispetto agli elementi verticali e sufficientemente resistenti.

2.2

An

alis

i sta

tica

lin

eare

Pianta Altezza modello analisisì no 2D modalesì sì 2D staticano no 3D modaleno sì 3D statica

regolarità

66

Analisi non lineare Nelle analisi lineari il calcolo delle sollecitazioni è fatto

sempre in regime lineare elastico. In tali analisi, la non linearità di comportamento

strutturale viene presa in considerazione attraverso lo spettro di progetto, che differisce da quello elastico per la presenza di un fattore di struttura q>1.

Ma quanto è affidabile tale fattore di struttura?

In alternativa ai metodi lineari si possono utilizzare i metodi di analisi di tipo non lineare, in cui il calcolo delle sollecitazioni è fatto considerando la reale risposta non lineare dei materiali che compongono la struttura.

3. A

nal

isi n

on li

nea

re

67

Analisi statica non lineare L’analisi statica non lineare è comunemente chiamata

pushover (= andare oltre), perché porta ad esplorare quello che succede dopo il comportamento elastico.

Nel caso di strutture regolari in pianta, l’analisi pushover è possibile eseguirla usando due modelli piani (2D), ciascuno per ognuna delle due direzioni principali.

Si applicano alla struttura 2D i carichi gravitazionali e alcune azioni orizzontali ad ogni piano della costruzione.

V= taglio alla base è la risultante delle forze orizzontali

3.1

An

alis

i sta

tica

non

lin

eare

1

n

ii

V F

68

Analisi statica non lineare Le forze orizzontali sono scalate tutte, monotonamente,

di un fattore fino al raggiungimento delle condizioni di collasso (7.3.4.1.NTC2008)

Durante tale incremento si misura lo spostamento orizzontale di un punto di controllo, coincidente con il centro di massa dell’ultimo livello della costruzione.

Il diagramma V-D rappresenta la curva di risposta, cosiddetta curva di pushover.

3.1

An

alis

i sta

tica

non

lin

eare

69

Distribuzione delle forze Fi3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

La distribuzione delle forze orizzontali è uno dei problemi principali dell’analisi pushover. Secondo l’EC8 (§4.3.3.4.2.2)devono essere applicate almeno due distribuzioni:

Uniforme: ad ogni piano le forze Fi sono proporzionali alle masse agenti nei singoli piani

Modale: ad ogni piano le forze Fi sono legate alle deformata modale. Se l’edificio è regolare in altezza, si fa riferimento al primo modo di vibrare (è quello dominante). In tali casi

i iF p V

1

ii n

ii

mpm

1

i ii n

i ii

mpm

70

La curva di pushover3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

Altro problema principale è la definizione della curva di pushover. Per ottenere tale curva, stabilita la distribuzione delle forze (uniforme o modale), occorre incrementare proporzionalmente tutte le Fi e calcolare lo spostamento D per ogni incremento. Occorre dunque eseguire un’analisi non lineare, generalmente di tipo numerico (FEM), in cui la risposta delle singole sezioni della struttura èrappresentata dal legame momento curvatura.

71

La curva di pushover3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

Nel calcolare la curva di pushover, sia i carichi verticali che quelli orizzontali (funzione della masse di ogni singolo piano), vanno calcolate con la seguente combinazione dei carichi

Gli effetti torsionali accidentali si possono analizzare come nel caso dell’analisi statica lineare di struttura simmetrica rispetto alle direzioni x ed y (§4.3.3.4.2.7 EC8): si amplificano le sollecitazioni su ogni elemento resistente della quantità:

1 2 2, 2,j j jG G P E Q

1 0.6e

xL

dove x è la distanza dell’elemento resistente dal baricentro delle masse (distanza perpendicolare alla direzione dell’azione sismica); Le = distanza tra i gli elementi resistenti più lontani misurata allo stesso modo

72

Dalla struttura 2D all’oscillatore3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

Dalla struttura nel piano (2D), avente più gradi di libertà e risposta V-D

Si passa all’oscillatore semplice con un grado di libertà e risposta F*-d* (detta Curva di capacità)

F*

d*

F*y

d*m

73

Dalla struttura 2D all’oscillatore3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

La massa m* dell’oscillatore semplice sarà:

i sono gli elementi del vettore della prima forma modale normalizzati al valore unitario relativo al punto di controllo

La forza F* e lo spostamento d* risultano:

è il coefficiente di partecipazione modale o di trasformazione, e risulta pari a:

La curva di capacità F*-d* termina nel punto di picco di coordinate F*

y-d*m

1

n

i ii

m m

VF

Dd

1

2

1

n

i iin

i ii

m

m

74

Bilinearizzazione di F*-d*3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

La curva di capacità è generalmente trasformata in una bilineare. Il primo ramo passa nell’origine e cresce fino alla resistenza F*

y-, mentre il secondo ramo è orizzontale e da d*

y a d*m .

Il punto d*y è ottenuto dall’equivalenza energetica (la

curva bilineare e quella iniziale devono avere la stessa area E*

m), ossia A1 = A2: ** *

*2 my m

y

Ed dF

*

* * *

0

md

mE F dd

75

Bilinearizzazione di F*-d*3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

Si può quindi individuare la rigidezza iniziale dell’oscillatore semplice, la sua pulsazione ed il periodo

1

K*

**

*y

y

FK

d

**

*Km

**

2T

76

Il massimo spostamento3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

* *max dd S T

Si valuta la massima risposta del sistema ad un solo grado di libertà in termini di spostamento massimo d*

max. Si utilizza lo spettro di risposta elastico degli spostamenti

(o delle accelerazioni) Sd(T)=Sa(T)/2:

Se T*TC la risposta del sistema è ottenuta direttamente dallo spettro di riposta elastico

Se T*<TC la riposta reale è maggiore di quella dello spettro e risulta

Se q*<1, allora vale sempre

*

* *max * *1 1

d CS T Td q

q T

* **

*a

y

m S T Forza di risposta elasticaqForza di risposta realeF

* *max dd S T

77

Lo spostamento nella struttura3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

Lo spostamento massimo del punto di controllo dell’edificio risulta

Noto Dmax si entra nel diagramma V-D

E si valuta qual è la situazione della struttura (formazione di cerniere plastiche, cinematismi etc.)

*max maxD d

Dmax

78

Verifiche3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

Se l’analisi pushover è finalizzata al calcolo degli spostamenti, e quindi a valutare l’affidabilità del fattore di struttura q che viene usato per le analisi lineari elastiche, la curva di pushover va calcolata con i valori medi dei materiali, e non con quelli caratteristici.

Se invece si usa l’analisi pushover per vedere se la situazione di stato limite ultimo della costruzione è stata raggiunta durante l’evento sismico, allora la curva di pushover va calcolata con opportuni momenti curvatura M- delle singole sezioni:

Curvatura –-

Mom

ento

–M

-

MSLUSi tratta di fare l’inviluppo (curva rossa) tra il legame M- ottenuto con i valori medi (curva bleu) e la retta orizzontale indicante il momento di stato limite ultimo della sezione MSLU

79

Osservazioni3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

Per gli edifici irregolari in pianta (pur con solai infinitamente rigidi) è possibili applicare l’analisi pushover su un modello di struttura 3D in una sola direzione, e non in due direzioni come nel caso 2D.

Per gli edifici irregolari in altezza, la distribuzione modale delle forze orizzontali potrebbe essere affetta anche dagli altri modi di vibrare. Ciò accade quando il primo modo di vibrare ha una partecipazione di massa inferiore al 75%. Occorre in questo caso eseguire un’analisi multimodale.

In questo caso e durante l’evoluzione dell’evento sismico, non è lecito assumere la stessa forma del profilo delle forze.

(analisi adattativa)

80

Riepilogo3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

L’analisi statica non lineare con modelli 2D nell’ipotesi di solai infinitamente rigidi, si sviluppa nei seguenti punti: 1. Definizione del profilo delle forze orizzontali applicate. 2. Calcolo della curva di pushover (con presa in conto degli

effetti prodotti dalle eccentricità accidentali). 3. Definizione del curva di capacità (dell’oscillatore semplice di

riferimento). 4. Bilinearizzazione della curva di capacità e definizione del

periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice. 5. Calcolo dello spostamento massimo nell’oscillatore semplice

attraverso lo spettro di riposta. 6. Conversione dello spostamento della struttura 2D iniziale 7. Verifica nella curva di pushover

81

Analisi dinamica non lineare3.

1 A

nal

isi s

tati

ca n

on li

nea

re

In questo caso si integrano direttamente le equazioni non lineari del moto, utilizzando un modello di struttura 3D e gli accelerogrammi (analisi time history)

1. Si definisce un modello geometrico di struttura e gli spostamenti da considerare {u(t)}

2. Si definiscono le masse applicate alla struttura [M] 3. Si definisce la matrice [C] del sistema da considerare 4. Definizione dei legami costitutivi non lineari della struttura

(legami momento curvatura nelle travature) 5. Selezione dell’accelerogramma 6. Si risolve al passo l’equazione del moto modificando, ad ogni

step, la matrice di rigidezza [K] (ed anche [C]) in relazione allivello di non linearità raggiunto

8. Si fanno le verifica di sicurezza (come nel pushover)

gM u C u K u M u

82

82

Bibliografia ENV 1992-1-1. Eurocodice 8 - Progettazione delle strutture per la resistenza sismica. Parte 1-1: Regole generali, azioni sismiche e regole per gli edifici.

NTC2008 - Norme tecniche per le costruzioni - D.M. 14 Gennaio 2008.

Mezzina, Raffaele, Uva, Marano. Progettazione sismo-resistente di edifici in cemento armato. Edizioni Città Studi, 2011.

Petrini, Pinho, Calvi. Criteri di Progettazione Antisismica degli Edifici. IUSS Press, 2004.

Favre, Jaccoud, Koprna, Radojicic. Progettare in calcestruzzo armato. Hoepli 1994.

Chopra A. K. Dynamics of Structures : Theory & Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall; 3 edition , 2006.Ottima dispensa del prof. Renato Giannini:

http://host.uniroma3.it/dipartimenti/dis/didattica/Strutture/materiale_didattico/Dinamica2.pdf

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