Cosmologie relativiste

relativité générale principe cosmologique (homogénéité, isotropie) fluides parfaits

Modèles de Friedmann-Lemaître

Les équations du champ

• tenseur métrique gab (a, b = 0,

1,2,3) --> symétrique

• intervalle ds :

• équations du champ d’Einstein

Représentation mathématique des univers de Friedmann-

Lemaître

€

ds2 = gabdx adx b

R

ab = tenseur de courbure de Ricci

R = contraction du tenseur de Ricci

Λ = constantecosmologique T

ab = tenseur impulsion-énergie

€

κ ≡8πG

c4≈ 2,07.10−43 kg−1.m−1.s2

€

Rab −1

2Rgab + Λgab = κTab

€

=g00c2dt 2 + 2g01cdtdx + ...+ g11dx 2 + 2g12dxdy + ...+ g22dy 2 + ...+ g33dz2 + ...

A - Homogénéité et isotropie

• homogénéité

• isotropie

Les simplifications cosmologiques

€

ρ(x, t) = ρ(t)observations

Homogénéité : répartition uniforme

quasars

galaxies (Las Campanas survey)

Isotropie : comptage des radiosources

Isotropie

Fond micro-ondes à 2.728 K

A - Homogénéité et isotropie

• homogénéité

• isotropie

==> espace à courbure constante

Les simplifications cosmologiques

€

ds2 = −c2dt2 + R2(t)dr 2

1− kr 2+ r 2(dθ 2 + sin2θdϕ 2 )

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥Métrique FLRW

:

r , θ , ϕ = coordonnées sphériques k = +1 (espace elliptique) k = 0 (espace euclidien) k = - 1 (espace hyperbolique).

k / R

2

( t ) = courbure de l'espace R(t) = facteur d’échelle

€

ds2 = −c2dt2 + R2(t) dχ 2 + f 2(χ )(dθ 2 + sin2θdϕ 2 )[ ],

où r ≡ f (χ ) = sin χ (si k = +1),

χ (si k = 0),

shχ (si k = −1).

Autre forme :

€

ρ(x, t) = ρ(t)

B - Contenu matériel

• fluide parfait

Tenseur

impulsion-énergie :

Coordonnées comobiles :

€

Tab = ρ +p

c2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟uaub + pgab

€

T00 = ρc2

Tαα = gαα p pour α = 1,2,3.

ρ = densité d’énergie p = pression u

a = quadrivecteur-vitesse.

• 3 fonctions inconnues

==> trois relations indépendantes

Les équations de Friedmann-Lemaître

Équation d’état du fluide :

• matière non relativiste (« poussière »)

• matière relativiste (« rayonnement »)

• constante cosmologique (« énergie noire »)

€

˙ R 2

R2=

8πG

3ρ +

Λc 2

3−

kc 2

R2

€

˙ ̇ R

R= −

4πG

3(ρ +

3p

c2)+

Λc2

3

€

p = 0 ⇒ ρ ∝1

R3

€

p =ρc2

3⇒ ρ ∝

1

R4

€

p = −wρc 2

€

p = p(ρ)

(1)(2)(3)

Lemaître (1927)

k=+1

Solutions de Friedmann-Lemaître (1922-1931)

Solutions particulières

€

R =1

ΛE

= const

Univers statique d’Einstein (1917) courbure : + 1 Matière : = const, =0p

Constantecosmologique : Ë Dynamique : non

€

Λ=ΛE

Univers fermé de Friedmann (1922) courbure : +1 Matière : t) variable, p=0 Constante cosmologique : 0 Dynamique : expansion-contraction

Univers ouvert de Friedmann (1924) courbure : - 1 Matière : t) variable, p=0 Constante cosmologique : 0 Dynamique : expansion perpétuelle décélérée

Univers sphérique de Lemaître-Eddington (1927) courbure: +1 Matière : variables Constante cosmologique : Dynamique : expansion perpétuelle accélérée (pas de big bang)

€

ρ(t), p(t)

€

Λ=ΛE

Univers hésitant de Lemaître (1931) courbure: +1 Matière : variables Constante cosmologique : Dynamique : expansion perpétuelle décélérée puis accélérée

€

ρ(t), p(t)

€

Λ > ΛE

Univers euclidien d'Einstein-de Sitter (1932) courbure : 0 Matière : t) variable, p =0 Constante cosmologique : 0 Dynamique : expansi on perpétuelle décélérée

R ( t ) = R

0

3 H

0

2

t

⎛

⎝

⎞

⎠

2 / 3

, ρ ( t ) =

3 H

2

( t )

8 π G

où R0 et H0 = valeurs actuelles.

Univers à densité sous-critique (~1990) courbure : -1 Matière : t) et p(t) variables Constante cosmologique : 0

Dynamique : expansion perpétuelle décélérée

Univers « provisoirement standard » (2000) courbure : voisine de 0 Matière : t) et p(t) variables Constante cosmologique : oui

Dynamique : expansion perpétuelle accélérée

Variantes exotiques

Univers de de Sitter (1917)courbure : +1Matière : ρ = 0, p = 0Constante cosmologiqu e : oui

Dynamique :

€

R(t) ∝ exp Λ / 3t

(effe t d e laconstant e cosmologiqu)e

Univers oscillatoire d’Einstein-Tolman (1931) courbure : +1 Matière : (t) variable, p = 0

Constantecosmologique : oui Dynamique : cycle perpétuel ’d expansions-

contractions

Modèle de l’état stationnaire (1948) courbure : ±1 Matière : constant + énergie exotique Dynamique : expansion

(création continue)

Paramètres cosmologiques

€

H ( t) ≡˙ R (t)

R(t) Paramètre de Hubble-Lemaître

€

Ωm =8πGρ m

3H 2 Paramètre de densité de matière

€

ΩΛ =Λc2

3H 2 Paramètre de densité d’énergie noire

€

Ω≡Ωm + ΩΛ

€

(1)⇒ Ω =1+kc 2

R2H 2Paramètre de densité

Valeurs d’aujourd’hui :

€

Ω0 =1+kc 2

R02H0

2

€

Ω0 =1⇔ k = 0 (espace euclidien)

Ω0 <1⇔ k < 0 (espace hyperbolique)

Ω0 >1⇔ k > 0 (espace sphérique)

€

Ω0 =ρ 0

ρ crit

€

ρcrit =3H0

2

8πG≈10−29 g /cm3

fermé

ouvert

Modèles de big Modèles de big bangbang

Tests cosmologiques

• Expansion

• Age de l’univers

•Abondances des éléments légers

• Rayonnement de fond

Décalage Décalage vers le vers le rouge !rouge !

Expansion et décalage spectral

€

1 + z ≡λ 0

λ em

=R(t0 )

R(tem)

expansi onË z > 0 décalage vers le rouge

Si z <<1 : z ≈

v

r

c

⇒ v

r

≈ cz ≈ H

0

× d

« Loi de Hubble-Lemaître »

Exemples : • z varie de 0 à ~ 6 pour les galaxies

• z ~ 1100 pour le rayonnement de fond

1929

1995

2004

Pour résumer…

• Effet Doppler: conduit à des paradoxes• Lumière "fatiguée » : conduit à des paradoxes• Expansion de l'univers : explication retenue

N.B. Des mouvements "particuliers" de quelques centaines de km/s s'y superposent, dûs aux différences locales de densité.

€

H0 ≈ 70kms−1Mpc−1

Exemple : les amas de galaxies restent liés

Age de l’univers• âge des étoiles / éléments

(radiochimie, âge des amas globulaires,

refroidissement des naines blanches…) ==> t* ~ 14 - 16 109 ans• âge théorique :

dépend de H0, k, Ω0, Λ

Age et décalage vers le rouge

0 = temps présent

Facteur d’échelle

€

R =R0

1+ z

€

dt =dR˙ R

=R0dz

(1+ z)2

1˙ R

€

˙ R = RH =R0

1+ zH0 f (z)

€

f (z) = Ω0m (1+ z)3 + Ω0

rad (1+ z)4 + Ω0k (1+ z)2 + Ω0

Λ

€

dt =1

H0

dz

(1+ z) f (z)

temps de regard en arrière

€

t(z) =1

H0

dx

(1+ x) f (x)0

z

∫

Âge de l’univers

€

t(z = ∞) =1

H0

F(Ω) ≈14 ×109 années

€

2 ˙ R ̇ ̇ R =8πG

3˙ ρ R2 + 2ρR ˙ R [ ] +

2

3R ˙ R Λ

€

€

dS = 0 ⇒ R3T 3 = const

€

T ∝1

R

Thermodynamique cosmiqueDérivons (1) par rapport

au temps

€

3P ˙ R R2 + 3ρ ˙ R R2 + ˙ ρ R3 = 0

€

Pd(R3) + d(ρR3) = PdV + dU€

˙ ρ R˙ R

+ 2ρ = −(ρ + 3P)

Injectons dans (2):

€

dU = TdS − PdV ⇒ dS = 0

L’expansion de l’univers est adiabatique

€

s(T) =2π

45T 3

• L’essentiel de l’entropie de l’univers se trouve dans le rayonnement

Donc l’univers se refroidit:

€

T ∝1

R∝1+ z

comme

€

R(t)∝ t1/ 2 T ∝ t−1/ 2

Aujourd’hui T ~ 3 K

à t = 1 seconde T = 1 MeV

Fusions nucléaires possibles

Le big bang est chaud

Les éléments légers (D,He, Li) formés dans les 3 premières minutes !

• Composition quasi-identique dans toutes les directions• Domination extrême de l'hydrogène (90% des noyaux) et de l'hélium (10%),les autres éléments ne sont présents qu'à l'état de traces

Abondance des éléments dans l’univers

Gamow : Tous les éléments sont synthétisés lors du big bang.Hoyle : Tous les éléments sont synthétisés dans les étoiles.

€

n + p → D + γ

D + p→3He + γ3He+3He→4He + 2p

...

Nucléosynthèse primordiale & neutrinos

€

Ωbaryons < 0.04€

p + ν e ⇔ n + e+

n + ν e ⇔ p + e−

n ⇔ p + e− + ν e

...

Rayonnement de fond

QuickTime™ et un décompresseurPhoto - JPEG sont requis pour visualiser

cette image.

z = z = 11001100

z = 0z = 0

Arno Penzias & Robert Wilson (1965)

Corps noir cosmologique

Projection de Mollweide

T = 2.728 K

Direction du Direction du mouvement : mouvement : plus chaudplus chaud

Plan galactique

DipDipôle : ôle : T +/- 3.353 mK

Plan galactique

DipDipôle soustraitôle soustrait

Fluctuations : 10Fluctuations : 10-5-5 K K

Anisotropies de Température

• COBE/DMR (1992) • WMAP (2003)

T = 2.728 K, fluctuations 10 K

Resolution 7°

Resolution 10’

WMAP (2003)WMAP (2003)

Accélération de l’expansion (1998)

Le contenu en matière/énergie de

l’univers

• Supernovae• Anisotropies du fond diffus• Amas de galaxies, lentilles gravitationnelles

Age : 13,7 ± 0.2 milliards d’annéesPremière lumière : 380 000 ansPremières étoiles : 200 millions annéesTaux d’expansion : H0 = 70 km/s/Mpc

Paramètres de l’univers Paramètres de l’univers (2003)(2003)

Destin:Expansion perpétuelle accéléréeExpansion perpétuelle accélérée

Contenu énergie-matière :• 0,3 % « matière visible » (étoiles)

Courbure:

€

Ω0 =1.11± 0.13

• 4% « matière sombre baryonique » • 24% « matière sombre exotique »• 72% « énergie noire» 

La matière sombre

€

Ω0 = Ωm + ΩΛ

~ 1 ~ 0.3 ~ 0.7

€

Ωm = Ωvis + Ωdm

~ 0.30 ~ 0.005 ~ 0.30

€

Ωdm = Ωbar + Ωnbar

~ 0.30 ~ 0.05 ~ 0.25(nucléosynthès

e)

« MACHOs »

« WIMPs »

« chauds »(neutrinos…)

« froids »(axions…)

Evidences pour la matière sombre baryonique

€

Ωbar = Ωdyn

• courbes de rotation des galaxies

• dynamique des amas de galaxies (viriel)

Mirage Mirage gravitationgravitation

nelnel

€

Ωdyn >10 − 30Ωvis

Recherche des MACHOs

• Expériences EROS (1990-1999)

• Nuages moléculaires froids ?

MAssive Compact Halo Objects•Jupiters•Trous noirs• Naines brunes & blanches

Recherche des WIMPs

• Neutralinos (GUT), etc…•Expérience DAMA (Gran Sasso)•Expérience EDELWEISS I (2000-2003) : rien•Expérience EDELWEISS II (2006-) : 100 fois plus sensible

Qu’est-ce que l’énergie noire ?

1. Une vraie constante cosmologiqueLe terme avec la constante cosmologique peut être interprétée comme la densité d’énergie du vide d’équation d’état ΛΛ −= ρp

€

Rab −1

2Rgab = κTab − Λgab

2. Un champ scalaire (Quintessence) variable au cours du temps

3. Energie du vide quantique

4. Dimensions supplémentaires, branes, ?

Problème = Big Rip !

t

ρ

€

ρm ∝ R−3

€

ρΛ =const

décélération

accélération

€

ρΛ >>ρm ⇒˙ R

R

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

≅8πG

3ρ Λ ≡ ω2 = const ⇒ R ∝ eωt

Quel futur pour

l’univers ?

Contenu énergie-matière

aujourd’hui: 

72%

28%

MATIERE

Origine de la Origine de la lumièrelumière

Cosmologie et Cosmologie et hautes hautes

énergiesénergies

3 minutes : H, D, He

0,000 000 000 01 sec: bosons W,Z

CERN : LH CERN : LH CollisionnerCollisionner

Unification et cosmologieUnification et cosmologie

Observation des galaxies

Observation micro-ondes

Observation des abondances

Expériences CERN

Modèles théoriques

Limites de la physique

théories

Unification des interactions à grand T

relative

strength

temperature (K)T

2410 28103210

gravity

electromagnetic

weak nuclear

strong nuclear

electroweakGUT

superstrings

Fluctuations Fluctuations primordialesprimordiales

Fluctuations quantiques?Fluctuations quantiques?

Galaxies, Galaxies, amasamas

Origine des Origine des structuresstructures

Inflation• GUT = l’unification des interactions autres que la

gravité (forte, faible, électromagnétique) devrait se produire vers

• Rupture spontanée de symétrie

• Une transition de phase devrait se produire durant l’ère GUT depuis un “faux vide” de densité d’énergie

vers un “vrai vide” avec

• est un champ scalaire tel que

€

ρφ ≈4σT 4

c 3≈1077 kg m−3

327 m kg 106 −−×≈ρ

€

kT ≈1015 GeV ou T ≈1028 K.

Englert, Guth, Linde (1980’s)

€

φ

€

ρφ =1

2˙ ϕ 2 + V ϕ( ) pφ =

1

2˙ ϕ 2 −V ϕ( )

Mécanisme de l’Inflation

• Avec l’ équation de Friedmann-Lemaître (1) devient

• Si R est grand, le terme dominant est:

qui a pour solution à grand t :

€

ρ =ρr + ρ m + ρ v où ρ r = B /a4, ρ m = C /a3, et ρφ = const,

€

1

R2

dR

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

+ kc 2 ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

8πG

3

B

a4+

C

a3+ ρφ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟.

€

1

R2

dR

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

≅8πG

3ρφ ≡ ω2 = const

€

R = Aeωt

• Que vaut ? Estimation faux vide GUT: 10-35 s < t (inflation) < 10-32 s

€

ρφ ≈1077 gcm−3

€

Nombre de e - foldings? (exemple : e200 ≈1086)

€

expansion après inflation

€

expansion avant inflation

€

Très petite valeur de ρφ aujourd'hui.

s 10 35−

€

ère inflatoire

€

ρφ

€

R(t)

t

Prédictions de l’inflation

– (univers “presque plat”) – Homogénéité : toutes les régions du CMB ont été causalement reliées dans le passé

– Absence de monopoles magnétiques– Inflation des fluctuations quantiques ==> Spectre de fluctuations de densité compatibles avec observations CMB

€

Ω ≈1

Horizon et causalité

Suppression des Monopôles magnétiques

Space

Time

Problèmes de l’inflation

– Les modèles d’inflation calculables supposent l’homogénéité au départ!

– Le potentiel est arbitraire. On peut démontrer n’importe quoi! (épicycles)

€

V (φ)

ϕ

( )ϕV

Limites de la physique• Masse, longueur et temps de Planck:

1/ 28

1/ 235

3

1/ 244

5

2.2 10 kg,

1.6 10 m,

5.4 10 s.

P

P

P

cm

G

GL

c

Gt

c

−

−

−

⎛ ⎞≡ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞≡ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞≡ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠

h

h

h

2 ,P PkT m c=

€

TP =1.4 ×1032K

• Temperature de Planck:

• Au temps de Planck, écume d’espace-temps:

• Cosmologie quantique

• Supercordes, Théorie des Branes, M theory

• Théorie des boucles

gravité quantique : différentes approches

• Géométrodynamique quantique

Quantum Gravity

Quantum foam

(J. Wheeler)

Cosmologie quantiqueWavefunction of the

universe : Wheeler-De Witt equation

H(3g,) + R = 0

Solutions approchées dans le « mini-superespace »: • No-boundary solution (Hawking-Hartle)• Inflation chaotique (Linde, Vilenkin)

espace-temps --> superspace

3-geometry

universe worldline(3g) =

QuickTime™ et un décompresseurGIF sont requis pour visualiser

cette image.

Naissance spontanée de l’espace-temps par Naissance spontanée de l’espace-temps par fluctuation spontanée du vide (Linde, fluctuation spontanée du vide (Linde,

Vilenkin)Vilenkin)

Inflation chaotique

Mousse d’univers (multivers)

• Classification des particules

• Supercordes : supersymétrie+Pythagore !

Fermions

6 quarks

3 leptons

3 neutrinos

Bosons

photon

gluon

graviton

3 bosons faibles

supersymétrie

corde fermée

corde ouverte

String theory

Price to pay : extra-dimensions

Closed string

Open string

Veneziano, Green, Schwarz, Witten,

etc.

bulk

Loop quantum gravity

Atoms of space: 10-99 cm3

Spin networkAtoms of time : 10-43

secSpin foam

Ashtekhar, Smolin, Rovelli, Bojowald

Knot theory

Modèles de Pré-Big Bang ?

Gravité classique(singularité)

Gravité quantique ?(pas de singularité ?

Modèle pré-big bang

Trou noir

Big Bang