Cosa si nasconde dietro ad un semplice fiocco di neve ?...
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Cosa si nasconde
dietro ad un semplice fiocco di neve ?...
… per esempio il fiocco di Koch !
• Ma che cos’ è ?
Il fiocco di neve di Koch è una figura frattale, basata sul concetto di autosomiglianza;La sua costruzione è un processo iterativo applicato a parti sempre più piccole.Inoltre, questa costruzione genera una progressione geometrica.
Com’ è costruito ?...Si tratta di una curva costruita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch.
Nella tabella successiva i primi passi della costruzione della curva. Per ottenere il frattale basta incollare tre copie della curva lungo i latidel triangolo. Si osservi chela seconda figura è una stella di David (stella a sei punte).
La curva ha la stessa
dimensione frattale del Merletto di
Koch ovvero è pari a:
D = log 4 / log 3 = 1,262 .
Che cos’ è un frattale ?• Un frattale è un oggetto
geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto-similarità (self-similarity). Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
• La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto .
Helge von Koch
Figlio di Richert Vogt von Koch, militare di carriera, e di Agathe Henriette Wrede, Helge Von Koch frequentò una buona scuola superiore di Stoccolma, completando i suoi studi nel 1887, quindi si inscrisse all'Università di Stoccolma.Pubblicò numerosi lavori di matematica, riguardanti i sistemi lineari e le equazioni differenziali, per i quali fu molto apprezzato, e, infine, nel 1911, divenne professore di matematica all'Università di Stoccolma.Von Koch è famoso per la curva che porta il suo nome e che apparve nel suo lavoro Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, pubblicato nel 1906.
L’ anti-fiocco di neve di koch …
• Entrambe le curve a fiocco di neve e ad anti- fiocco di neve di Koch iniziano come perimetro di un triangolo equilatero.
Stadio 0 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch
Stadio 0 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di
Koch
FIOCCO DI NEVE DI KOCH
Si divide ogni lato in tre parti uguali, eliminando il segmento centrale e si inseriscono, al centro di ciascun lato, due lati di un triangolo equilatero, ognuno misurante 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale.
Stadio 1 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch
Stadio 1 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch
ANTI-FIOCCO DI NEVE DI KOCH
I due lati del triangolo equilatero, misuranti ciascuno 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale, puntano all’interno, invece che all’esterno e vengono sottratti, anziché aggiunti.
Stadio 2 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch
Stadio 2 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di
Koch
La stessa procedura continua a essere ripetuta, all’esterno per il fiocco di neve e all’interno per l’anti-fiocco di neve…
Stadio 3 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch
Stadio 3 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch
La procedura continua a essere reiterata…
Stadio 4 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch
Stadio 4 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch
Si arriva al quarto stadio della costruzione…
Stadio 5 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch
Stadio 5 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di
Koch
Ecco il quinto stadio della costruzione… Nella mente dei matematici la procedura si ripete
all’infinito…
Riassunto !