Cortes y estacas sobre una línea recta o sobre una línea cerrada.

*Para una línea cerrada:................

GUIA DE CLASE

1. Cuántos cortes debe realizar a una soga de 91m. de largo para tener pedazos de 7m. de longitud.Rpta: ............................................................

2. Se tiene un lingote de plata de 78cm de largo, que se desea dividir en trozos de 13cm de largo cada uno. ¿Cuánto nos cobrará el cortador por cada corte sabiendo que recibió un total de S/.45?.Rpta: ............................................................

3. Se debe colocar una cortina en una ventana amplia, para lo cual la cortina debe tener 9m. de largo. Si los ojalillos deben estar separados 10cm. uno de otro. ¿Cuántos de estos se colocará (no se colocará ojalillos en el límite de la tela).Rpta: ............................................................

4. ¿Cuántos arboles pueden colocarse a lo largo de una avenida que tiene 1,5km. de longitud,

los árboles se colocarán cada 15m.?Rpta: ............................................................5. Un pobre enfermo debia recibir una inyección cada 2 horas, si el tratamiento duro una semana. ¿Cuántas inyecciones tuvo que recibir dicho enfermo?5. Un reloj da 3 campanadas en 3 segundos, ¿Cuánto tiempo tardará en sonar 7 campanadas?A) 9 s                                   B) 6                             C) 8D) 10                                    E) 7

6. Un aro hecho de oro de 1metro de longitud se desea cortar en trozos de 20 cm de largo, cuantos cortes tendrá que hacer para cumplir su objetivoA) 4                                       B) 6                           C) 5D) 3                                       E) 8

7. Margarito desea cercar su terreno de 18m de largo por 10 metros de ancho, si pone los postes cada 2 metros empezando desde una esquina; ¿cuántos postes será necesario para dicho objetivo?A) 26                                     B) 25                         C) 28D) 27                                     E ) 298. Jennifer toma 2 pastillas cada 6 horas durante 8 días por recomendaciones del Doctor. Si Jennifer no incumple dicha recomendación ¿Cuántas pastillas a tomado un total?A) 48                                        B) 50                             C) 60D) 62                                        E) 52

Al final del capítulo el alumno deberá estar capacitado para:

1. Aplicar las distintas técnicas de conteo de sucesos a la vida real.

2. Manipular de manera satisfactoria los elementos de un determinado conjunto para

ordenarlos en forma lineal o circular.

3. Resolver situaciones o problemas que involucren algún tipo de conteo de sucesos.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO

Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez

llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C. ¿De cuántas maneras podrá realizar el

viaje de A a C pasando por B?........................................................................

Si una primera decisión, operación o acción puede efectuarse de a formas diferentes, una

segunda acción puede efectuarse de b formas diferentes, una tercera acción puede efectuarse

de c formas diferentes y así sucesivamente hasta la enésima acción que puede efectuarse de

z formas diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que puede efectuarse

estas n acciones es igual a: a×b×c×d×e×.............×z

Este principio también se llama principio de conteo o principio multiplicativo.

Ejemplo 1:

¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4

pantalones y 2 pares de calzado?

Resolución:

3 × 4 × 2 = 24 maneras diferentes

Ejemplo 2:

En una ciudad los números de teléfono constan de 5 dígitos, cada uno de los cuales se llama

con alguno de los 10 dígitos (0 al 9). ¿Cuántos números diferentes pueden formularse?

Resolución:

9 × 10 × 10 × 10 × 10 = 90000 números.

Ejemplo 3:

La agencia de Publicacidad PIPSA, ha obtenido la exclusividad respecto a una línea de polvos

para preparar postres. A estos efectos la agencia ha decidido organizar un concurso nacional

destinado a adivinar el nombre futuro de esa línea de productos.

Las condiciones son:

a. Los nombres que se propongan deben ser de 4 letras.

b. Ninguna letra debe repetirse.

c. La primera y tercera letra deben ser consonantes.

d. La segunda y cuarta letra deben ser vocales.

e. Si una persona propone 2 veces el mismo nombre queda descalificada.

¿Cuántos nombres debe proponer una persona para estar seguro que participa en el sorteo

público?

(Considerar 28 letras del alfabeto)

Resolución

23 × 5 × 22 × 4 = 10 120 nombres diferentes

¿Por qué esos números?

Porque hay 28 letras del alfabeto, 23 consonantes y 5 vocales, pero se disminuyó de 23 a 22

en la primera y tercera cifra porque una de las condiciones es que las letras no se repitan. Así

como 5 y 4 en la segunda y cuarta cifras, que son las vocales.

Permutaciones

Una permutación es un conjunto ordenado de “n” elementos.

Notación: Pn

Permutación de 5 elementos: P5 = 5!

Combinaciones

Una combinación de n elementos tomados de r en r es un subconjunto no ordenado de r

elementos.

(Con: n > r).

Dos combinaciones formadas por r elementos son distintas, si difieren al menos en un

elemento.

Ejemplo 1:

Sea el conjunto {a, b, c} de cuántas maneras podemos seleccionar:

A) Un elemento

B) Dos elementos

C) Tres elementos

Resolución:

A) Existen tres formas de seleccionar un elemento:

a; b; c.

B) Existen 3 formas de seleccionar dos elementos: ab, ac, bc

C) Existe 1 forma de seleccionar 3 elementos: abc.

Permutaciones con repetición

Dados “m” elementos de una sola clase, “n” elementos de otra clase, “p” elementos de una

tercera clase, etc. Si llamamos k = m + n + p + ...., entonces el número de ordenamientos de

estos k elementos tomados todos a la vez se denomina permutación con repetición.

EJERCICIOS PROPUESTOS :

1. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 4 personas en una carpeta de 4 asientos?

2. ¿De cuántas maneras podrá vestirse Pamela si ella posee 3 pantalones, 5 blusas y 2 pares

de zapatos, todas las prendas son distintas?

3. ¿De cuántas maneras se podrá vestir Marco si tiene 4 polos, 3 pantalones, 2 buzos y 3

pares de zapatillas?

5. ¿De cuántas maneras Juan se podrá vestir si posee 3 polos (2 iguales), 2 buzos y 3 pares

de zapatillas?

6. ¿De cuántas maneras se podrá elegir de 10 personas al primer y segundo lugar de un

concurso de Belleza?

7. ¿De cuántas maneras distintas podrán ocupar los 3 primeros lugares, 8 personas en una

competencia de atletismo si no hay empate?

8. Seis personas se sientan en una banca de 6 asientos, ¿de cuántas maneras se podrán

ubicar si dos de ellos en particular no se pueden separar?

9. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 3 libros de RM (distintos) con 3 libros de RV

(distintos) si se sabe que los de RM siempre esta a la derecha del estante seguidos con los de

RV?