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Corso diProgetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 – 2013
Le piastre in grandi spostamenti
Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria, Università di Basilicata
[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/
l
y
IPOTESI DI BASE
Se gli spostamentinon possono essere considerati infinitesimi lateoria alla base delle piastre deve essere modificata
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
xz
Come conseguenza le forze contenute nel piano della piastra
nx , ny
nxy , nyx
Non possono esseretrascurate
PIASTRE RETTANGOLARI
Se gli spostamenti non possono essere considerati piccoli bisognarivedere l’equazioneLAGRANGE includendo la deformazionedel piano medio
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
D
b
y
w
yx
w
x
w z=∂∂+
∂∂∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2Dyyxx
=∂
+∂∂
+∂ 4224
2
( )D
bww z=∆=∆∆ 2
considerando anche le sollecitazioni (per unità di lunghezza) nelpiano della piastra
xyyx nnn ,,
PIASTRE RETTANGOLARI
Considerando un elemento infinitesimodx, dy
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
dyy
nn y
y ϑϑ
+dy
y
nn yx
yx ϑϑ
+
dxn
n xϑ+
x
y
yn xyn
dxx
nn x
x ϑϑ+
dxx
nn xy
xy ϑϑ
+xn
xyn
È possibile scriverel’equilibrio allatraslazione lungogli assi x e y
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
0
0
=+
=+
nn
y
n
x
n
yxy
xyx
ϑϑϑ
ϑϑϑ
Equilibrio allatraslazione assi x e y
y
dyy
nn y
y ϑϑ
+
n
dyy
nn yx
yx ϑϑ
+
dxx
nn x
x ϑϑ+
dxx
nn xy
xy ϑϑ
+xn
xyn
0=+x
n
y
n yxy
ϑϑ
ϑϑ
Inoltre, se le deformazioni del piano medio non sono piùtrascurabili dobbiamo aggiungere le componenti relative alleproiezioni sui piani xz e yz
x
ynxyn xxy ϑ
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
xn x
w
ϑϑ
dxx
nn x
x ϑϑ+
x
z
dyn
n yy ϑ
ϑ+
dyn
n yxϑ+
x
y
dyy
ny ϑ+
ynxyn
dyy
nn yx
yx ϑϑ
+
dxx
nn x
x ϑϑ+
dxx
nn xy
xy ϑϑ
+xn
xyn
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Componente sull’asse z
xn x
w
ϑϑ
dxx
nn x
x ϑϑ+
x
z
dydxx
w
x
wdx
x
nn
x
wdyn x
xx
+
++2
2
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
dxdyx
w
x
ndxdy
x
wn x
x ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ +
2
2
Trascurando i contributi di ordine superiore al secondo:
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
yn y
w
ϑϑ
dyy
nn y
y ϑϑ
+
y
z
considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)in
Componente sull’asse z
dxdyy
w
y
ndxdy
y
wn y
y ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ +
2
2
considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)indirezione y
yn
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
xyn y
w
ϑϑ
dxx
nn xy
xy ϑϑ
+
y
z
considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)in
Componente sull’asse z
dxdyx
w
y
ndxdy
y
w
x
ndxdy
yx
wn xyxy
xy ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑϑ ++
2
2
Sommando con la risultante del carico esterno: pdxdy
considerandoanchele sollecitazioni (per unità di lunghezza)indirezione y
xyn
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Ricordando che:
Si ottiene quindi l’equazione di Lagrange nella forma
+++−=++
yx
wn
y
wn
x
wnpMMM xyyxyyyxyxx ϑϑ
ϑϑϑ
ϑϑ 2
2
2
2
2
,,, 22
M ν 01 w
In cui: ( )2
3
112 ν−⋅⋅= hE
D
⋅−=
D
M
M
M
xy
y
x
−νν
ν
100
01
01
xy
yy
xx
w
w
w
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Introducendo le equazioni di congruenza ed il legame elasticotensionideformazioni:
Si ottiene
+++=++
yx
wn
y
wn
x
wnp
Dy
w
yx
w
x
wxyyx ϑϑ
ϑϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑϑ
ϑϑ 2
2
2
2
2
4
4
22
4
4
4
21
2
tensionideformazioni:
∂∂
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
y
w
x
w
y
v
x
u
y
w
y
v
x
w
x
u
xy
y
x
γ
ε
ε
2
2
2
1
2
1( )
( )
( ) xyxy
xyy
yxx
nEs
nnEs
nnEs
νγ
νε
νε
+=
−=
−=
12
1
1
2
2
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Derivando due volte le equazioni di congruenza e combinandolecon le equazioni costituitive:
2
2
2
2222
2
2
2
22
2
2
2
2
221
y
w
x
w
yx
w
yx
n
x
n
y
n
yx
n
x
n
y
n
Esxyxyxyyx
∂∂
∂∂−
∂∂∂=
∂∂∂
−∂∂+
∂∂
−
∂∂∂
−∂∂
+∂∂ ν
Il sistemadi equazionipuò essererisolto medianteuna stressIl sistemadi equazionipuò essererisolto medianteuna stressfunction F (funzione di Airy)
+++=++
yx
wn
y
wn
x
wnp
Dy
w
yx
w
x
wxyyx ϑϑ
ϑϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑϑ
ϑϑ 2
2
2
2
2
4
4
22
4
4
4
21
2
2
2
2
2222
2
2
2
22
2
2
2
2
221
y
w
x
w
yx
w
yx
n
x
n
y
n
yx
n
x
n
y
n
Esxyxyxyyx
∂∂
∂∂−
∂∂∂=
∂∂∂
−∂∂+
∂∂
−
∂∂∂
−∂∂
+∂∂ ν
PIASTRE CIRCOLARI
Consideriamo una piastra circolare appoggiata soggetta ad unmomentom ripartito
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
R
m
R
M
Consideriamo unapiastra circolareappoggiatasoggetta ad unmomento Mripartito
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
nrMrnr Mr
tr tr
Per effetto delle condizioni di carico e geometriche la superficieelastica della piastra e dotata di assialsimmetria rispetto al centro Oper cui il campo di spostamenti è descritto da due componenti:
u in direzione radiale
w in direzione perpendicolare al piano medio della piastra
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Le relazioni di congruenza diventano:
r
udr
dw
dr
dur
=
+=
ϑε
ε2
1 deformazione in direzione radiale
deformazione in direzione perpendicolare alpiano medio della piastra
In regime elastico dalle equazioni costitutive le sollecitazioni perunità di lunghezza nel piano della piastra diventano:
( )
+
+−
=+−
=2
22 2
1
11 r
u
dr
dw
dr
duEsEsrr ν
ννεε
νσ ϑ
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
( )
++−
=+−
=2
22 211 dr
dw
dr
du
r
uEsEsr
ννν
νεεν
σ ϑϑ
Se consideriamo l’equilibrio di un elemento infinitesimo
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Se consideriamo l’equilibrio nella direzione radiale di un elementoinfinitesimo
M t
0=+−dr
d rr
σσσ ϑ dr
d rr
σσ +
dθθθθ
M t
Mr
trσϑσ
rq
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Se consideriamo l’equilibrio alla rotazione di un elementoinfinitesimo
0=−+− rtdr
dMrMM r
rr ϑ
Mdr
d rr
σσ +
dθθθθMt
Mr
Mt
trσϑσ
rt
dr
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Si ottiene quindi la forza di taglio
dr
dwt rr σ−=
Sostituendo nell’equazione di equilibrio e utilizzando la relazioneottenuta si ricava un sistema di due equazioni che risolvono ilproblema della piastra circolare in grandi spostamenticon unproblema della piastra circolare in grandi spostamenticon unmomento ripartito al contorno:
++++−=
−
−−+−=
2
222
2
3
3
2
22
22
2
2
11211
2
11
dr
dw
r
u
dr
du
dr
dw
sdr
dw
rdr
dw
rdr
dw
dr
dw
dr
dw
dr
dw
rr
u
dr
du
rdr
du
ν
ν
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
Sistema di equazioni differenziali non lineari
++++−=
−
−−+−=
223
2
22
22
2
11211
2
11
dwududwdwdwdw
dr
dw
dr
dw
dr
dw
rr
u
dr
du
rdr
du
ν
ν
++++−=2223 2
11211
dr
dw
r
u
dr
du
dr
dw
sdr
dw
rdr
dw
rdr
dw ν
Per la soluzione di tale sistema esistono svariate proposte (es.Timoschenko)
STUDIO DELLE PIASTRE IN GRANDI SPOSTAMENTI
In presenza di un carico esterno uniformemente ripartito siaggiunge il contributo dovuto al carico:
∫−−=r
rr prdrrdr
dwnt
0
1
Tale contributo è aggiunto alla seconda delle equazioni di
++++−=2
222
2
3
3
2
11211
dr
dw
r
u
dr
du
dr
dw
sdr
dw
rdr
dw
rdr
dw ν
Tale contributo è aggiunto alla seconda delle equazioni diequilibrio