Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA 1 AA 2013-2014 LEZIONE 8f.
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Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA’ 1
AA 2013-2014LEZIONE 8f
AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE
CORRELAZIONE relazione di concordanza nella variabilità
r Pearson <0 relazione negativa >0 relazione positiva
relazione debolerelazione forte
AUTO si riferisce ai valori di una stessa variabile
SPAZIALE implica un ordinamento
Misura del grado di concordanza della variabilità tra valori “vicini” di una stessa variabile osservata su unità territoriali
Semi-varianzaDescrive la variabilità di una variabile osservata su un determinato insieme di dati spaziali
z(x)=valore della v.bile z in un dato “luogo” xz(x+h) = valore della v.bile z in un “luogo” che dista h da xn(h) = numero di coppie di valori la cui distanza è h
ORDINAMENTO
Nella forma più semplice: 0 = non contigue; 1 = contigue
CONTIGUITA’
Se si tratta di punti Una possibile strategia: poligoni di Thiessen
metodo che ad ogni dato puntuale associa un’area: lo spazio all’interno di quell’area assume i valori più simili a quello del valore puntuale che a quello di qualsiasi altro punto
1) Triangoli di Delaunay (vicino più vicino)
2) Rette perpendicolari costruite sui baricentri
3) Punti d’incontro = vertici dei poligoni
A B C D E
A 0 1 1 1 0
B 1 0 0 1 1
C 1 0 0 1 0
D 1 1 1 0 1
E 0 1 0 1 0
W
la contiguità spaziale è un fattore che interagisce con il fenomeno studiato
- attraverso la forma e la dimensione delle unità- vincoli territoriali/amministrativi che definiscono lo spazio- esistenza di altri elementi di contatto
In generale,
wij > 0 esprimono l’intensità con cui la circostanza della contiguità agisce sulle determinazioni del fenomeno nelle unità i e j Operativamente,
wij > 0 indica, ad esempio, la lunghezza di un confine in comune ecc.
Nella forma più semplice
wij = 0,1 Il valore 1 indica che le aree sono contigue, cioè ad esempio sono adiacenti
Il modello teorico
Nel mondo reale la contiguità è connessione. Ad esempio,
SI TRATTA SOLO DI IPOTESI
MISURA DELL’AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE
In presenza di autocorrelazione spaziale positiva, valori simili della variabile risultano spazialmente raggruppati, mentre in presenza di autocorrelazione spaziale negativa, risultano spazialmente raggruppati i valori dissimili della variabile; l’assenza di autocorrelazione spaziale indica una distribuzione casuale dei valori nello spazio.
ESEMPIO:Variabile caratteristica del territorio URBANO (U)/RURALE (R)
Contiguità possibili:
UU p(UU)=1/4UR p(UR)=1/4RU p(RU)=1/4RR p(RR)=1/4
Se f(UU+RR)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE POSITIVASe f(UR+RU)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE NEGATIVA
Gli elementi necessari per il calcolo degli indici di autocorrelazione spaziale sono:- una misura della variabilità del fenomeno studiato (Cij) e - una matrice che rappresenti la configurazione del territorio
considerato (Wij).
Tutti gli indici di autocorrelazione spaziale fanno riferimento ad una statistica cross-product.
MATRICE DI CONTIGUITA’(connessione, ponderazione spaziale)
MATRICE DI DISTANZA
Esempio:
a b c d e f g h i
a 0 1 0 1 0 0 0 0 0
b 1 0 1 0 1 0 0 0 0
c 0 1 0 0 0 1 0 0 0
d 1 0 0 0 1 0 1 0 0
e 0 1 0 1 0 1 0 1 0
f 0 0 1 0 1 0 0 0 1
g 0 0 0 1 0 0 0 1 0
h 0 0 0 0 1 0 1 0 1
i 0 0 0 0 0 1 0 1 0
Wij
a b c d e f g h i
a 0 9 36 1 16 49 4 25 64
b 9 0 9 4 1 16 1 4 25
c 36 9 0 25 4 1 16 1 4
d 1 4 25 0 9 36 1 16 49
e 16 1 4 9 0 9 4 1 16
f 49 16 1 36 9 0 25 4 1
g 4 1 16 1 4 25 0 9 36
h 25 4 1 16 1 4 9 0 9
i 64 25 4 49 16 1 36 9 0
a b c d e f g h i
a 0 1 0 1 0 0 0 0 0
b 1 0 1 0 1 0 0 0 0
c 0 1 0 0 0 1 0 0 0
d 1 0 0 0 1 0 1 0 0
e 0 1 0 1 0 1 0 1 0
f 0 0 1 0 1 0 0 0 1
g 0 0 0 1 0 0 0 1 0
h 0 0 0 0 1 0 1 0 1
i 0 0 0 0 0 1 0 1 0
a b c d e f g h i
a 0 9 36 1 16 49 4 25 64
b 9 0 9 4 1 16 1 4 25
c 36 9 0 25 4 1 16 1 4
d 1 4 25 0 9 36 1 16 49
e 16 1 4 9 0 9 4 1 16
f 49 16 1 36 9 0 25 4 1
g 4 1 16 1 4 25 0 9 36
h 25 4 1 16 1 4 9 0 9
i 64 25 4 49 16 1 36 9 0
a b c d e f g h i Totale
a 0 9 0 1 0 0 0 0 010
b 9 0 9 0 1 0 0 0 019
c 0 9 0 0 0 1 0 0 010
d 1 0 0 0 9 0 1 0 011
e 0 1 0 9 0 9 0 1 020
f 0 0 1 0 9 0 0 0 111
g 0 0 0 1 0 0 0 9 010
h 0 0 0 0 1 0 9 0 919
i 0 0 0 0 0 1 0 9 0 10
120
(cella x cella)
r f( r)2 88 8
10 8
G Il calcolo di G per l’osservazione (G =2) rientra nella distribuzione pertanto non vi è ragione di affermare che la sua manifestazione sia inusuale; infatti la frequenza con cui compare è uguale a quella degli altri valori
Il calcolo di G per l’osservazione (G =3) ha una bassa probabilità di essere attribuita al caso
r* f(r*)3 26 49 6
11 614 417 2
*G
ESEMPIO
0110
1001
1001
0110
d
c
b
a
W
dcba
ij
09116
9041
1409
16190
d
c
b
a
C
dcba
ij
40
10
10
10
10
0910
9001
1009
0190
d
c
b
a
CW
dcba
i jijij
8
8
8
)(
76
44
40
f
In generale non si conosce la forma della distribuzione di .G
Essa dipende dalla funzione di distanza utilizzata.
Per alcune statistiche, casi particolari della forma generica Cross Product (Join-count, Moran, Geary), è invece possibile fare riferimento ad una distribuzione teorica Normale, sempre che il numero delle unità geografiche sulle quali viene misurata l’autocorrelazione spaziale risulti abbastanza elevato. IN TAL CASO è POSSIBILE FARE IL TEST
Per la statistica cross product la media:
con:
La somma di tutti gli elementi della matrice di contiguità
La somma di tutti gli elementi della matrice di distanze
….e la varianza:
con:
v1 v2 v3 v4 2 3 2 5v5 v6 v7 v8 3 2 2 6v9 v19 v11 v12 7 6 8 4v13 v14 v15 v16 7 8 9 5
ESEMPIO:
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16v1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0v2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0v3 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0v4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0v5 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0v6 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0v7 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0v8 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0v9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0v10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0v11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0v12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1v13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0v14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0v15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1v16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
48=S0
Wij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16v1 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v2 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,2 0,1 0,3 0 0,2 0,3 0,4 0 1,552083v3 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v4 0,1 0 0,1 0 0 0,1 0,1 0 0 0 0,1 0 0 0,1 0,2 0 0,927083v5 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,2 0,1 0,3 0 0,2 0,3 0,4 0 1,552083v6 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v7 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v8 0,2 0,1 0,2 0 0,1 0,2 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 1,114583v9 0,3 0,2 0,3 0 0,2 0,3 0,3 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 1,635417v10 0,2 0,1 0,2 0 0,1 0,2 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 1,114583v11 0,4 0,3 0,4 0,1 0,3 0,4 0,4 0 0 0 0 0,2 0 0 0 0,1 2,489583v12 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 0,2 0 0,1 0,2 0,3 0 1,072917v13 0,3 0,2 0,3 0 0,2 0,3 0,3 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 1,635417v14 0,4 0,3 0,4 0,1 0,3 0,4 0,4 0 0 0 0 0,2 0 0 0 0,1 2,489583v15 0,5 0,4 0,5 0,2 0,4 0,5 0,5 0,1 0 0,1 0 0,3 0 0 0 0,2 3,677083v16 0,1 0 0,1 0 0 0,1 0,1 0 0 0 0,1 0 0 0,1 0,2 0 0,927083
29,64583
Cij
=G0
Trattandosi di valori 0,1
Poiché la matrice è simmetrica
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16v1 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02v2 0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,03v3 0,00 0,01 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10v4 0,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10v5 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,19v6 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,19v7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,38 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,54v8 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,22v9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,18v10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,01 0,00 0,04 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,26v11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,38 0,00 0,00 0,04 0,00 0,17 0,00 0,00 0,01 0,00 0,59v12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,22v13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01v14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,06v15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,17 0,19v16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,17 0,00 0,18
3,08
Pertanto: Wij*Cij
Applichiamo il test sulla Normale a due code:l’ipotesi nulla H0=non vi è autocorrelazione spaziale, cioè i valori sono distribuiti in modo casuale. Poiché al livello di significatività al 95%, i valori limite sono –1,96 e + 1,96,il valore osservato è nella zona di rifiuto.La variabile è affetta da autocorrelazione spaziale; Osservando I dati, direi positiva.
STATISTICA JOIN-COUNT
Per variabili misurate su scala nominale, dicotomiche SUCCESSO/INSUCCESSO
n1 = Bn2 = W
BB+WW+BW(WB)=J
ESTRAZIONI INDIPENDENTI (BINOMIALE)Numero complessivo possibili coppie =n2
numero atteso di coppie di questo tipo
ESTRAZIONI NON INDIPENDENTINumero complessivo di possibili coppie
12)( 21
nn
nnJBWE
Ipotesi di Normalità
In generale, al crescere del numero delle osservazioni le precedenti distribuzioni (binomiale e ipergeometrica) tendono alla Normale, pertanto è possibile fare riferimento alle seguenti formule riconducibili alla statistica
Ad esempio, si consideri la variabile codificata nel seguente modo: B,W I legami tra le aree confinanti saranno dunque del tipo BB, BW, WB, WW. La statistica Join Count consiste nel confrontare il numero di legami osservati del tipo BB (o WW) oppure i legami del tipo BW (e WB) con quelli attesi.
Conta il numero di legami BB=G*/2
(definizione del modello rook)
Conta il numero di legami WW=G*/2
Conta il numero di legami BW = G/2
E’ possibile applicare il test z
ESEMPIO
V1 V2 1 1
V3 V4 0 0
Si desidera verificare l’esistenza di autocorrelazione spaziale nei dati; si utilizza la statistica JOIN COUNT per il calcolo del numero di legami “discordi.Se la frequenza osservata di legami “discordi” è superiore a quella attesa, significa che valori dissimili di una stessa variabili tendono a presentarsi in unità contigue, quindi si è in presenza di autocorrelazione spaziale negativa.
pertanto il numero osservato di legami di tipo (B,W) è /2=2.
E(BW)=2*(2*2)/4=2
Il numero dei legami “discordi” (B,W) osservati è uguale a quello atteso pertanto vi è assenza di autocorrelazione spaziale
APPROCCIO GRAFICO
URBANO =ROSSORURALE=GIALLO
A B C D E
A 0 1 1 1 0
B 1 0 1 0 0
C 1 1 0 1 1
D 1 0 1 0 1
E 0 0 1 1 0
NODILEGAMI
0, 1 NON CONTIGUO/CONTIGUOGIALLO = RURALE+RURALEROSSO=URBANO+URBANOBIANCO=DISCORDI
A C B D E
A 0 1 1 1 0
C 1 0 1 1 1
B 1 1 0 0 0
D 1 1 0 0 1
E 0 1 0 1 0
Infatti, dalla matrice indicata, delle 14 celle in cui vi è connessione, si ricava: UU = 2RR = 2UR = 5RU = 5Quindi UR+RU=10>14/2, e dunque l’autocorrelazione è negativa, cioè tendono a raggrupparsi aree con valori dissimili.
INDICE DI MORAN
Applicabile a caratteri quantitativi ordinati su scala di intervallo o di rapporto
L’indice I di Moran è analogo al coefficiente di correlazione e come esso varia da +1 (forte autocorrelazione spaziale) a 0 (assoluta casualità) a –1(forte autocorrelazione negativa)
i j
ijijCW
ESEMPIO
Wij
a b c d e f g h i Totale
a 0 4 0 12 0 0 0 0 016
b 4 0 -2 0 0 0 0 0 02
c 0 -2 0 0 0 6 0 0 04
d 12 0 0 0 0 0 6 0 018
e 0 0 0 0 0 0 0 0 00
f 0 0 6 0 0 0 0 0 1218
g 0 0 0 6 0 0 0 -2 04
h 0 0 0 0 0 0 -2 0 42
i 0 0 0 0 0 12 0 4 0 16
80
Wij Cij
n
ii
ji
n
i
n
jij
n
i
n
jij xx
xxxxw
W
nI
1
2
1 1
1 1
Significatività statistica dell’Indice di Moran
Si dimostra che l’Indice di Moran ha una distribuzione Normale con
ESEMPIO: riprendendo l’esempio precedente
7111,2053125,0
)125,0(5,0
IVar
IEIz
N
N
053,0)125,0(24327294891924
1
31
1
22222
22021
222
0
IESnSSn
nSIVar NN
significativo al livello 0,05 (1/20 di probabilità che questo valore sia dovuto al caso).In altri termini rigetto l’ipotesi nulla che non vi sia autocorrelazione spaziale.
ESEMPIO
n
ii
ji
n
i
n
jij
n
i
n
jij xx
xxxxw
W
nI
1
2
1 1
1 1
58,08,16
52,15
8
5I
25,015
1
1
1
n
IEN
80 i j
ijWS
162
2
4
2 02
2
1
SW
WW
Si j
iji j
jiij
5614442 2.
2.
2..2
ii
ii
iii WWWWS
141,025,083565165158
1 22222
IVarN
206,2141,0
)25,0(58,0
IVar
IEIz
N
N Il valore è significatico al 95%.Pertanto si deve rifiutare l’ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione spaziale; poiché I=0,58, significa che vi è una notevole autocorrelazione spaziale positiva tra i valori della variabile X