Corso di logica matematica Prima lezione Introduzione: Antinomie logiche e semantiche. Antinomia di...
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Corso di logica matematica
Prima lezione
AA alloraA A se
A; A alloraA A se X};X|{XA
Introduzione: Antinomie logiche e semantiche.
Antinomia di Russel.
A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non hanno se stessi come elemento.
Antinomia semantica
Un uomo dice
“ IO STO MENTENDO”.
Se egli mente dice la verità; se dice il vero, mente.
La frase scritta sulla diapositiva
successiva è falsa
La frase scritta sulla diapositiva precedente è vera
Uno dei compiti della
logica matematica è quello di determinare il corretto
uso dei simboli e delle loro combinazioni per accertare che cosa si può dimostrare usando assiomi e regole di inferenza.
Il calcolo proposizionale: connettivi proposizionali e
Tavole di verità• Consideriamo solo combinazioni
vero-funzionali , nelle quali la verità o la falsità della nuova
proposizione è determinata dalla verità o falsità delle proposizioni
che concorrono a formarla.
NegazioneA A
V FF V
Congiunzione
A B AB V V V
V F F
F V F
F F F
Disgiunzione
A B A B
V V V
V F V
F V V
F F F
Condizionale
A B AB
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondizionale
A B AB
V V V
V F F
F V F
F F V
Forme enunciative.
• 1)Tutte le lettere enunciative, eventualmente con indice numerico, sono forme enunciative (A, B, C, A1, B2...);
• 2)SE e sono forme enunciative, allora lo sono anche (), (), (), () e ().
• Sono forme enunciative solo quelle espressioni determinate per mezzo della 1) e della 2).
Ciascuna forma enunciativa determina una funzione di verità che può essere rappresentata graficamente da una tavola di verità per la forma enunciativa.
A B C (A) ((A)B) (((A)B)C)
V V V F V V
F V V V V V
V F V F F V
F F V V V V
V V F F V F
F V F V V F
V F F F F V
F F F V V F
Tautologie
• Una forma enunciativa è una tautologia se e solo se la sua funzione di verità ha solo il valore V.
• Se è una tautologia , si dice che implica logicamente oppure che è una conseguenza logica di .
• Se è una tautologia, si dice che e sono logicamente equivalenti.
• Le tavole di verità costituiscono una procedura effettiva che ci permette di determinare se una forma enunciativa è una tautologia.
• Una forma enunciativa è una contraddizione se la sua funzione di verità ha solo il valore F.
Proposizione 1.1
• Se e () sono tautologie, allora anche è una tautologia.
Proposizione 1.2
• Se è una tautologia contenente come lettere enunciative A1, A2,...,An, e si ottiene da per sostituzione di A1, A2,...,An con, rispettivamente, forme enunciative 1, 2,..., n, allora è una tautologia
Proposizione 1.3
Se 1 deriva da 1 per sostituzione di a una o più occorrenze di , allora (() (11)) è una tautologia . Quindi, se e sono logicamente equivalenti, lo sono anche 1 e 1.
Proposizione 1.4
• Ogni funzione di verità è generata da una forma enunciativa in cui occorrono i connettivi , , .
x1 x2 x3 F(x1,x2,x3)
V V V V ABCF V V F
V F V V ABCF F V V ABCV V F F
F V F F
V F F F
F F F V ABC (ABC) (ABC) (ABC) (ABC).
Forma normale disgiuntiva
• Una forma enunciativa scritta come disgiunzioni di congiunzioni di lettere enunciative o delle loro negazioni è in forma normale disgiuntiva.
• Da quanto si è visto, ogni forma enunciativa può essere scritta in forma normale disgiuntiva